автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Траекторное управление многоканальными динамическими объектами

На правах рукописи

Капитанюк Юрий Андреевич

Траекторное управление многоканальными динамическими объектами

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2014

"«0057763

005557763

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики

и оптики.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат технических наук Чепинский Сергей Алексеевич

Фокин Александр Леонидович

доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности

Путов Антон Викторович

кандидат технических наук Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина), кафедра систем автоматического управления, ассистент

Ведущая организация:

ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»

Защита состоится 27 ноября 2014 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49., ауд. 285.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49 и на сайте fppo.ifmo.ru .

Автореферат разослан а». Ф 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿й^

Дударенко Наталия Александровна

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современное развитие науки и техники позволили совершить огромный скачок в развитии мобильной робототехники. Прогресс в области вычислительной техники, развитие различных измерительных устройств и повышение энергоэффективности оборудования и источников энергии позволили создать действительно автономные системы. Кроме того, в морской и авиационной сфере активно стали внедряться интегрированные системы управления движением, позволяющие автоматизировать некоторые задачи судовождения. Одним из основных режимов работы таких систем является движение вдоль заданного маршрута. В свою очередь, для этого режима движения важнейший характеристикой является точность отслежевания заданной траектории. С точки зрения повышения точности, одним из самых перспективных направлений развития являются методы траекторного управления на основе стабилизации геометрических многообразий в пространстве выходов объекта управления, развитию которых посвящена данная работа.

Цель диссертационной работы.Целью диссертационной работы является разработка новых методов планирования траекторий и управления мобильными робототехническими системами на основе стабилизации целевых геометрических многообразий в пространстве выходов объекта управления. Традиционные методы построения систем управления движением на основе методов слежения за виртуальной целью("уМиа1 target") не могут обеспечить инвариантность желаемой траектории движения. Данного недостатка лишены методы аналитического конструирования регуляторов на основе стабилизации множеств в пространстве выходов объекта управления, но они, как правило, требуют линеаризации исходной модели в окрестности заданной траектории. Для этого используются либо методы трансверсальной линеаризации, либо методы преобразования модели к за-дачно-ориентированным координатам И.В.Мирошника. Кроме того, для существующих методов стабилизации множеств не рассматривалась задача конструирования регуляторов по выходу, без измерения вектора скоростей. В данной работе поставлена задача разработки алгоритмов управления движением на основе стабилизации множеств без линеаризации модели объекта и не требующих измерения производной выхода. Особой спецификой представленных алгоритмов управления является то, что процедура конструирования регуляторов требует описание желаемой траектории в виде неявно заданной функции. Ранее, как таковая, задача планирования траектории движения, состоящей из элементов, описанных в виде неявно заданных функций, не ставилась. Для планирования С ^гладкой траекто-рии(траектория состоящая из прямых и окружностей) возможно использование классических методов, ввиду простого неявного представления элементов. В вообще говоря, такая траектория не является физически реализуемой, так как в месте соединения прямой и окружности происходит скачок

кривизны. Для планирования физически реализуемой траектории необходимо добавления элемета, обеспечивающего линейное изменение кривизны на участке сопряжения прямых и окружностей. В случае параметрического описания траектории движения данная задача отлично изучена и, как правило, в качестве такого участка используется клотоида. Но клотоида, как и большинство используемых для сопряжения кривых, не может быть выражена в виде неявно заданной функции. Возможным решением проблемы является использование полиномиальных кривых и, в частности, кубической параболы. В известной автору литературе, задача планирования С2-гладкой траектории в терминах неявно заданных функций прежде не решалась. В данной работе ставится задача планирования С2-гладкой траектории, заданной с помощью реперных точек, с использованием прямолинейных отрезков, дуг окружностей и элементов кубической параболы, выраженных с помощью неявно заданных функций. Для проверки работоспособности теоретических результатов также в качестве одной из целей работы является проведение экспериментальных исследований полученных алгоритмов применительно к мобильному роботу "1?оЬо1то".

В процессе достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Предложен методы планирования траектории движения на основе базовых элементов, представленных в классе неявных функций, обеспечивающих С2-гладкость результирующего пути.

2. Разработаны алгоритмы траекторного управления, относительно стационарно заданных траекторий и траекторий, заданных относительно подвижных внешних объектов, не требующие измерения вектора линейных скоростей.

3. Решена задача разработки алгоритмов траекторного управления мобильной робототехнической системой "ПоЬоИпо". Проведены эксперименты на реальном мобильном роботе.

Методы исследования.При получении теоретических результатов использовались метод функций Ляпунова, методы дифференциальной и аналитической геометрии, различные методы классической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, линейной алгебры, численных методов. Экспериментальные результаты были получены с использованием современного программного обеспечения - пакетов МаИаЬ и 5>тиНпк, библиотеки для численных расчётов Митру, системы компьютерной алгебры Ма^етаМса; технического оснащения - мобильной робототехнической установки '^оЬоНпо", оснащенной системой локальной навигации МогШ51аг, предоставленной кафедрой Систем Управления и Информатики Университета ИТМО.

Научная новизна.

В рамках данной работы развивались методы планирования траектории и синтеза регуляторов на основе методологий преобразования к заданно-ориентированным координатам, разработанной И.В. Мирошни-ком.На основании проведённых исследований были разработаны методы планирования траектории движения на основе базовых элементов, представленных в классе неявно заданных функций, обеспечивающих С2-гладкость результирующего пути, что, насколько известно автору, сделано впервые. Разработаны методы синтеза законов управления пространственным траекторным движением для полноприводных и неполнопривод-ных объектов управления для стационарной и нестационарной постановки траекторной задачи. Разработанные регуляторы в отличии от ранее изученных не требуют измерения вектора линейных скоростей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Метод планирования траекторий на основе базовых элементов, выраженных в виде неявно заданных функций, обеспечивающий С2-гладкость результирующего пути, позволяющие построить физически реализуемую траекторию движения для последующего синтеза алгоритмов управления на основе стабилизации заданных геометрических многообразий.

2. Алгоритмы аналитического конструирования регуляторов на основе стабилизации заданных геометрических многообразий в пространстве выходов объекта управления не требующие измерения линейных скоростей и обеспечивающие инвариантность желаемой траектории движения.

3. Экспериментальные исследования полученных теоретических результатов в задаче управления мобильной робототехнической системой "Robotino".

Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. I Всеросийский Конгресс молодых ученых. Санкт-Петербург, 2012.

2. Конференция "Навигация и управление движением XIV конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 2012.

3. Информационные технологии в управлении(ИТУ-2012), Санкт-Петербург, 2012

4. II Всероссийский Конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, 2013.

5. Конференция "Навигация и управление движением XV конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 2013.

6. 19th IFAC World Congress. Cape Town, South Africa. 2014.

Полученные в ходе научно-исследовательской работы алгоритмы управления были аппробированны на мобильном роботе "Robotino", предоставленном кафедрой Систем Управления и Информатики Университета ИТМО.

Публикации. Автор диссертационной работы имеет 10 публикаций 5 из которых входят в список ВАК, 3 статьи размещены в международной базе данных Scopus.

Личный вклад автора Автором диссертационной работы были проведены теоретические и экспериментальные исследования в задачах планирования траекторий и синтеза законов управления для мобильных робото-технических систем.

Объем и структура работы Диссертационная работа объемом в 111 страниц состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность задач, рассматриваемых в диссертационной работе. Показана необходимость совершенствования методов управления движением на основе стабилизации нетривиальных геометрических многообразий в выходном пространстве объекта управления. Сформулированы цели и задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы представлен краткий обзор современных методов планирования траекторий и наиболее популярных процедур аналитического конструирования алгоритмов управления, обеспечивающих заданные параметры движения. Выделены достоинства и недостатки существующих решений.

Во второй главе диссертационной работы представлен упрощённый метод построения желаемой траектории движения. Одной из специфических проблем конструирования алгоритмов управления на основе стабилизации множеств является необходимость использования уравнения кривых в виде неявно заданных функций. Чтобы избежать сложности описания, присущих представлению кривых в виде неявно заданных функций, была предложена упрощённая методика планирования траекторий на основе базовых элементов таких как отрезки прямых, дуги окружностей и участки кубических парабол. Несмотря на то, что планирование траекторий на основе этих элементов не является чем-то уникальным, ранее, в известной автору работы литературе, ни рассматривалась задача построения С2-гладкой траектории, выраженной в терминах неявно заданных функции. В данной работе ставится задача планирования С2-гладкой траектории, заданной с помощью реперных точек, с использованием прямолинейных отрезков, дуг окружностей и элементов кубической параболы, выраженных с помощью неявно заданных функций.

Исходные реперные точки Pl = (хиУ1),р2 = (х2,у2), ...,р„ = (хп, уп) заданы в правосторонней декартовой системе координат XjYi. Для рассмотрения методики соединения точек нам не нужно использовать для анализа

все точки сразу, а достаточно рассмотреть три ближайших. Результирующая задача в свою очередь сводится к итеративному обходу всех точек по тройкам и "склеивание" результатов. Введём в рассмотрение матрицу поворота е ¿>0(2), описывающая переход из глобальной системы координат в локальную, задачно-ориентированную ХрУр, связанную с точкой р1 = (£1,2/1). Матрицу обратного перехода из ХрУр в Х\У) определим как Кр = (Л/)Г._ Результирующая траектория построенная только с помощью отрезков прямых имеет вид:

Г - Фг(х - Х{) + СОЭ ^{у - у{) = О, Ч I ^ = агйап (^г) . ( )

1=1 \Xii-l~ZiJ

Дополним описание кривой участками состоящими из дуг окружностей. Неявное уравнение окружности радиуса Я с центром в точках х,я, усо задается уравнением вида:

(г-®со)2 + (»-усо)а-Ла = 0. (2)

Допустим, что радиус выбирается вручную с учётом ограничения на максимальную кривизну то есть Д < Лтах- В результате этих вычислений получаются координаты центра окружности радиусом Д, вписанной в угол между соседними участками. Также найдём выражения для плоскостей переключения, которые обозначим буквами С}1(х,у) и С>2(х,у). В результате работы алгоритма получается С1-гладкая кривая. Для многих практических применений достаточно и такого описания, но данная траектория является физически нереализуемой ввиду скачка кривизны на участках сопрядения базовых элементов. Чтобы выполнить условия поставленной задачи и обеспечить С2-гладкость, необходимо ввести в рассмотрение ещё один базовый элемент, соединяющий отрезки прямых и дуги окружностей. Выберем уравнение кубической параболы в виде:

кх3 - у = 0, (3)

где к - настраиваемый параметр. Для участков перехода, как правило, выбирают кривую, обладающую рабочим участком с линейно возрастающей кривизной. Для анализа данного свойства у предложенной кривой (3) найдём функцию, характеризующую кривизну. Для этого воспользуемся формулой кривизны для неявной кривой. В результате получаем уравнение:

б кх

(4)

(1 4- 9А~2.т4)5

Линеаризуем функцию (4), разложив её в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки. Получаем выражение:

= 6кх - 81*V + 3645fV + 0{xxi), (5)

Рисунок 1 - Линеаризация функцией 4(;с) = бкх при к — 1

где - функция кривизны, разложенная в ряд Тейлора. Точка максимум функции (4) находится в виде:

- 1 , , \_ъУку/Ь

Хтах — у/д^/^' ^тахУХтах) — <3,^/2

Как можно заметить, исходя из выражений (5) и (6), мы можем варьируя параметр к, задавать максимум, тем самым обеспечивая выполнения ограничения на максимальную кривизну, а также, чтобы добиться приемлемой точности линеаризации функции £(ж). К примеру, для параметра к — 1 линейная функция = бкх обеспечивает приемлемую точность на половине диапазона [0,£тоа;] (см. рис. 1). Дополним описание Б, криволинейным участком, образуемым кубической параболой (3). Определим крайние точки параболы, исходя из заданного радиуса окружности Е. Начальные точки расположены на плоскостях переключения <5г и Цч- Для конечных точек получаем

Необходимо заметить, что в выражение для у необходимо ввести функцию знака, в зависимости от того, в какую сторону происходит разворот, Получается выражение

ш=819п{а)к (¿) • у2 = (¿г) '

где ух - конечная точка первой параболы, у-2 - конечная точка второй параболы. Далее делаем параллельные переносы и повороты, чтобы совместить параболы и плоскости (51 и После этого необходимо рассчитать новые положения окружностей с помощью элементарных геометрических преобразований. И найти плоскости переключения и Сдля перехода от криволинейного участка к круговому и обратно. Результат работы окончательного алгоритма представлен на рисунке 2. Сделаем дополнение, чтобы

V-----V

Ри'\ Рт! \

п ^----^ Ря

Л ^-------<г>з р.? Ч

: /.....'"

Рисунок 2 - Результирующая траектория

Рисунок 3 - Результирующая траектория в пространстве

решить задачу планирования траектории для пространственного случая. Неявная траектория в пространстве задается с помощью пересечения двух поверхностей, выраженных в неявном виде. Естественно, в зависимости от выбора типов этих поверхностей можно строить траектории разной сложности. В нашем случае, мы можем ограничить выбор одной их в виде, плоскости. Это решение отлично согласуется с. представленным выше подходом к решению, так как на этих трёх точках можно построить одну поверхность в виде плоскости и редуцировать исходную подзадачу к рассмотренному выше случаю планирования траектории на плоскости. Для реализации данного подхода необходимо найти матрицу преобразования Н^(а,/3,7), где а, /3,7 углы поворотов относительно осей Х^У^г, соответственно. Таким образом, используя матрицу поворота /¡^(а,/3,7) можно перейти из абсолютной системы координат Х/У/.2/ в локальную ХрУрЯр, для которой выполняется соотношение = 0, задающее нам уравнение плоскости, тем самым, позволяя использовать полученные выше результаты, чтобы найти вторую поверхность. Пример работы алгоритма представлен на рисунке 3.

В третьей главе рассмотрена задача управления точечной массы вдоль заданной траектории без измерения вектора скоростей. Основные результаты данной главы представленны в работах [1-4, 6-9]. В данной работе поставлена задача разработки алгоритмов управления движением на основе стабилизации множеств. Предложенная методика, в отличие от существующих, не требует линеаризации модели объекта в окрестности заданной траектории и не предполагает измерения производной выхода. Для начала ввёдем подвижную (связанную с центром масс управляемого тела О) правостороннюю декартову систему координат ХоУо^о, где Хо -продольная ось, направленная вперёд, Уо - поперечная ось, направленная слева направо, и 7-,о - вертикальная ось, направленная сверху вниз. Движение управляемого объекта будем описывается относительно неподвижной (инерциальной) правосторонней декартовой системы координат Х/У/^/, где X/ - ось координат, направленная с юга на север, У} - ось координат, на-

правленная с запада на восток, и Zi - вертикальная ось, направленная вниз, к центру Земли. Данная система координат широко используется при решении задач навигации. Положение центра масс О связанной с телом системы координат XoYqZo относительно неподвижной системы координат XiYiZi будем описывать с помощью вектора координат р = [ж, у, г] € Д3, характеризующих линейные перемещения в пространстве. Угловая ориентацию связанного базиса относительно неподвижного задается с помощью матрицы направляющих косинусов Rf (а) е SO(3), где а = [ф,0,ф] € R3 -вектор углов Эйлера, характеризующий вращение объекта управления относительно соответствующих направляющий осей базиса Х/У/Zj. Выберем модель объекта управления в виде:

тр — F,

где р = [x,y,zY е R3 - вектор-столбец текущих координат, тп - масса тела, F - [Fx, Fy, FZ]T € ß3 - вектор-столбец управляющих сил. Траектория задается с помощью пересечения двух уравнений поверхностей заданных в неявной форме.

<pi{p) = 0 U </>г(р) = 0 (7)

Данное представление не является единственным. Один из возможных методов нахождения такого описания представлен во второй главе диссертации. Выберем для задачи управления точечной массы две подзадачи:

1. Геометрическая подзадача, выражаемая в виде:

lim р — <pi(p) 0, lim р — ¡Р2(р) 0.

t—юс t~*oc

2. Кинематическая подзадача, заключающаяся в поддержании заданной скорости движения вдоль траектории, то есть

lim AV= lim (V — V*) О, «->00 «->00 '

где V - текущая скорость движения вдоль траектории, V* - заданная скорость движения вдоль траектории

Для реализации схемы управления без измерения вектора линейных скоростей введём в рассмотрение вспомогательную переменную £ = р—д, где q некоторая переменная, которую определим позже. Систему управления будем строить на основе каскадной методологии, постепенно стабилизирую каждую подсистему. Для синтеза закона управления, стабилизирующего скоростную подсистему рассмотрим функцию Ляпунова в виде:

^ = \(Р - üfd - fl) +\i4 + ^ + |(i - 7)г(£ - 7), (8)

где й - вектор задающих скоростей и 7 - вспомогательная переменная, которую определим позже, - положительные параметры. Выберем управления и вспомогательные переменные в виде:

—F = й - kg{q-ü), т

q = ü-2ki{q-ü) + k1Z + k2($-4), (9)

7 = Mi-7),

где kq и fc4 - положительные константы. Тогда получаем

Vt = -Ш - й)T(q - ü) - - 7)т(£ - 7) < о.

Найдем вторую производную функции Ляпунова (8).

= l)T{i~i).

Так как функция VT (8) ограничена снизу нулем и ее производная отрицательна или равна нулю, то функция VT сходится к конечному пределу при t 00. Из ограниченности функции VT следует, что функции : (р - й),£ = р — q,£ = р - q и (£ - 7) также ограничены. Отсюда вытекает то, что и функции (<} - й) и 7 = - 7) ограничены. Следовательно, вторая производная VT является ограниченной функцией. Поэтому V? асимптотически стремится к нуля при t -> 00. Это значит, что выполняются соотношения

lim q - й ->■ 0, lim £ — 7 0.

i—юс t—>00

Покажем, что выполнение этих условий влечёт за собой выполнение соотношений

lim £ 0, lim 7 0.

00 i-юо

Для этого продифференцируем выражение q — й — 0 с использованием соотношения (9) и полученных выше результатов:

q — u= —fci£ = 0.

Следовательно при £ —> 0 справедливо, что 7 -5- 0. В результате получается, что контур по скорости глобально асимптотически устойчив и выполняются соотношения

lim р — q -> 0, lim р — q —> 0, lim р — й —» 0, lim q — й —¥ 0.

t-400 f-ЮО i-> СО ¿-»ЭО

Далее синтезируем внешний контур по положению, вырабатывающий сигнал задания, позволяющий решить представленные выше траекторные-задачи. После замыкания системы синтезированным выше контуром с учётом

асимптотической сходимости скоростной подсистемы можно представить исходную модель системы в виде:

где ид - управление, решающее геометрическую задачу, то есть стабилизирующий регулятор, и ик - управление, решающее кинематическую задачу или, по сути, прямая связь по заданной скорости V*. В отличие от классических методов траекторного управления, формулирующихся как задача слежения за каким-то эталонным объектом, представленный подход формулируется в виде задаче о устойчивости по части переменных. Для начала синтезируем составляющую и*, являющуюся прямой связью по заданной скорости траекторного движения. Чтобы найти выражение для этой выполним некоторые дополнительные преобразования. Выберем меру отклонения от заданных многообразий (7) в виде:

Суть данного действия заключается в том, что неявные представления поверхностей в пространстве задает линии уровня, таким образом, ассоциируя себя с той или иной линией уровня мы знаем текущее положение объекта управления относительно целевой поверхности. Обозначим с помощью переменной в - траекторную координату, каким-либо образом заданную вдоль желаемого пути следования. В нашей постановке задачи нас, в принципе, не интересует конкретно переменная в, но интересует её производная характеризующая тангенциальную (направленную вдоль касательной) скорость. Таким образом мы можем найти преобразование текущего состояния объекта к задачно-ориентированным координатам через якобиан, имеющий вид:

Условием регулярности(невырожденности) выбранного преобразования координат является условие ¿(ЛТ(д) ф о, которое выполняется для гладких кривых. Таким образом мы можем реализовать закон управления щ для заданной траекторной скорости V* в виде:

д — и

Выберем задающее воздействие й в виде:

й = ид + щ

(Ю)

е1 = '-р\{ч), е2 = <Р2(<?)-

5

ЩЧ>1 X

ё1 = Т (д)д = ¿2

щ = ТГЧд) О

О

Следующим шагом является определение закона управления ид. Для синтеза управления рассмотрим функцию Ляпунова в форме:

Если выбрать ид в виде:

из = - + к^Ыя)-^^)

то полученное выражение для производной примет вид

% = ~и1 < 0

тогда производная функции Ляпунова Уд становится отрицательно определённой, и, соответственно, исходная система является глобально асимптотически устойчивой относительно переменных е\ = <¿>1(5) и е2 = ^г(д), и, с учётом полученного ранее выражения Шп^«.^ - д) 0, можно резюмировать, что таким образом решена геометрическая подзадача в частности и, как следствие, совместно с представленным выше решением кинематической подзадачи, исходная траекторная задача. На рисунках 4 - 9 представлены результаты численного эксперимента. В данном эксперименте желаемая траектория задана в виде пересечения двух неявно заданных поверхностей:

\х2 + у2 - 100 = 0 и г + ~у2 -5 = 0.

о 2{)

Заданная скорость траекторного движения Уй* = 10. Параметры объекта управления и регулятора выбраны в виде: т = 1,/ = /еЯ3- единичная матрица, к^ = 1, к9.2 = 1, кд = 2, к^ = 10, кх = 10, к2 = 42.

В четвёртой главе диссертационной работы представлены результаты экспериментальной реализации алгоритмов управления на базе мобильной робототехнической системы "Р?оЬоЬ'по".При решении задач управление движение мобильным роботом в качестве описания системы используется модель движения твердого тела на поверхности. В нашей реализации мы также будем использовать данный подход. Для начала введем подвижную (связанную с центром масс управляемого тела О) правостороннюю декар-тову систему координат ХоУо, где Хо - продольная ось, направленная вперёд и Уо - поперечная ось, направленная слева направо. Движение управляемого объекта будем описывается относительно неподвижной (инерци-альной) правосторонней декартовой системы координат Х/У/. Положение центра масс О связанной с телом системы координат ХоУо относительно неподвижной системы координат Х/У/ будем описывать с помощью вектора координат р = [ж, у] е Л2, характеризующих линейные перемещения в пространстве. Угловая ориентацию связанного базиса относительно неподвижного задается с помощью матрицы направляющих косинусов

■

Рисунок 4 -Результирующая траектория в пространстве

Рисунок 5 - Проекция

результирующей траектории на плоскость ЛГУ

Рисунок 6 - Проекция

результирующей траектории на плоскость

уг

Рисунок 7 - Отклонение от заданной траектории

в1Й

Рисунок 8 - Отклонение от заданной траектории

еа(*)

Рисунок 9 - Траекторная скорость У3(£)

Д?(а) € 30(2), где а € Я - угол поворота базиса ХоУЬ относительно Х/У/. Выберем модель объекта управления в виде:

тр = Р, р = До(а)г), До(а) —

сова шла — вша сова

, а = ш.

где р — [х, у)Т е Д2 - вектор-столбец текущих координат, тп - масса тела, Р = [Рх,Ру)т € Д2 - вектор-столбец управляющих сил, »ей2- вектор-столбец соростей в базисе ХрУр. Связь между скоростями колёс

Ч"

=

о*.

— йш | соз | Ь О

вш'

-1 Ь Ь

сов

где Ь - расстояние от центра масс С до колеса. Ортогональное отклонение от заданной траектории в точке р будем вычислять как:

е(р) = <р(р),

где <р(р)- желаемая траектория движения в виде неявного уравнения. Кроме того сразу определим матрицу преобразования к задачно-ориентированно-му базису:

Т(р)

ду Эх

дх

Мн1

ду

ё

) е

Г (р)р = Т(р)Д?(о)«,

Управляющее воздействие будем формировать в виде двух компонент, каждый из которых решает раздельно геометрическую и кинематическую подзадачи.

и = ик + иа, ик = RT0{a)T 1(р)

V* О

и3 - кеср(р)

Уф)

(И)

где У<р(р) - вектор частных производных, к,, - положительная константа. Управление ориентацией реализовано в виде

ид = и + S(n¿)ño(a)— (Я?(аК,)

;, к\........S{nd)n,

2 - ti n¿

где rcd - вектор желаемой ориентации, п - вектор текущей ориентации, кп - положительная константа, ¿>(ri<¡) - кососимметрическая матрица, составленная из элементов вектора n¿. Предложенная в третьей главе процедура синтеза основана на последовательном синтезе контуров, но в данном случае, локальная система управления робота организует внутренний контур по скорости, на вход которого поступают управляющие воздействия выработанные регуляторами 11. Далее будут детально рассмотрены частные реализации.

Для реализации движения вдоль прямой линии выбрано геометрическое описание в виде нормальной формы:

— sin a*x + cos a*у + (/?*= О,

где а* - заданный угол наклона прямой, <р* - заданное ортогональное смещение. В данном эксперименте были выбраны следующие параметры: ке = 3, kR = 100, а* = 0, <р* = 0, К, = 300(мм/с).

Рисунок 10 - Траектория движения

Рисунок 11 - Отклонение от траектории ip(x(t), y(t))

Для реализации движения вдоль окружности выбрано геометрическое описание б виде неявного уравнения окружности:

ж2 + у2 - Д2 = 0,

где Я - заданный радиус. В данном эксперименте были выбраны следующие параметры: ке = 3, кК = 100, Я - 500(мм), Уа = 300(мм/с).

Рисунок 12 - Траектория движения

Рисунок 13 - Отклонение от траектории <р(х(Ь),

Для реализации движения вдоль криволинейной траектории выбрано геометрическое описание синусоидальной прямой:

у — = 0,

где - заданная амплитуда, к - коэффициент имеющий математический смысл заданной частоты. В данном эксперементе были выбраны следующие параметры: ке = 3, кл = 100, А = ЗОО(мм), к = 0,005, V, = 300(мм/с).

Рисунок 14 - Траектория движения

Рисунок ¡5 - Отклонение от траектории

В данном эксперименте ставилась цель показать, как ведёт себя замкнутая система при переключении траекторий. Заданная траектория составлена из двух прямолинейных участков и двух окружностей:

1) Прямолинейный участок от точки [-400,400] до точки [400,400] и углом наклона а* = 0;

2) Участок окружности с центром в точке [400,0] и радиусом Д = 400;

3) Прямолинейный участок от точки [400,-400] до точки [-400,-400] и углом наклона а* = 0;

4) Участок окружности с центром в точке [-400,0] и радиусом Я — 400. Заданная скорость движения вдоль траектории Уа = 300(мм/с).

1

„1___________„_______......................................

Рисунок ¡7 - Отклонение от траектории <р(х({), у(4))

Заключение

1. Разработан метод планирования траекторий на основе базовых элементов таких как участок прямой, дуга окружности и кубическая парабола, выраженных в виде неявно заданных функций, обеспечивающий С2-гладкость результирующего пути.

2. Предложена процедура аналитического конструирования стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих движение вдоль заданной траектории.

3. Решена задача построения системы управления траекторным движением для мобильной робототехнической системой "р{оЬо^по". Рассмотрено несколько стандартных типов траекторий: прямая, окружность, синусоидальная кривая и кусочно-гладкая траектория состоящая из прямолинейных и круговых участков.

Рисунок 16 - Траектория движения

Публикации по теме диссертации

Публикации в рецензируемых изданиях из перечня ВАК:

1. Капитанюк, Ю. А. Управление мобильным роботом по заданной кусочно-гладкой траектории [Текст] / Ю. А. Капитанюк, С. А. Чепин-ский // Гироскопия и навигация. — 2013. — № 2. — С. 42-52. -0,7/0,6 п.л.

2, Капитанюк, Ю. А. Задача управления многоканальной динамической системой по кусочно-гладкой траектории [Текст] / Ю. А. Капитанюк, С. А. Чепинский // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2013. - Т. 56, № 4. - С. 65-70. - 0,4/0,3 п.л.

3. Капитанкж, Ю. А. Разработка системы траекторного управления мобильным роботом с роликонесущими колёсами [Текст] / Ю. А. Капитанкж, А. А. Капитонов, С. А. Чепинский // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2014. - № 2(90). - С. 65-71. - 0,4/0,3 п.л.

4. Капитанюк, Ю. А. Траекторное управление твёрдым телом относительно подвижного объекта [Текст] / Ю. А. Капитанюк, Д. А. Хвостов, С. А. Чепинский // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2014. — № 2(90). — С. 60-64. - 0,3/0,2 п.л.

5. Технология Lego Mindstorms NXT в обучении студентов основам адаптивного управления [Текст] / Бобцов A.A., Колюбин С.А., Пыр-кин A.A. и др. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. -2011. - №1 (71). - С. 103-108. - 0,4/0,13 п.л.

Прочие публикации:

6. Капитанюк, Ю. А. Алгоритм управления надводными судами с активным демпфированием волновых воздействий [Текст] / Ю. А. Капитанюк // Навигация и управление движением Материалы докладов XII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». Науч. редактор О.А.Степанов, под общей редакцией В. Г. Пешехоно-ва. Санкт-Петербург, 2010. С. 214-221. - 0,5/0,5 п.л.

7. Капитанюк, Ю. А. Подвижная балансирующая научно-исследовательская платформа [Текст] / Ю. А. Капитанюк, С. В. Шаветов // Навигация и управление движением. Материалы XIV конференции молодых ученых. - 2012. - С. 363-369. - 0,4/0,2 п.л.

8. Капитанюк, Ю. А. Траекторное управление мобильным роботом в изменяющейся среде [Текст] / Ю. А. Капитанюк, С. А. Чепинский // Навигация и управление движением материалы докладов XIV Конференции молодых ученых, под общей редакцией В.Г. Пешехонова и O.A. Степанова (научный редактор). — 2012. — С. 506-512. - 0,4/0,3 п.л.

9. Kapitanyuk, Y. Geometric path following control of a rigid body based on the stabilization of sets [Текст] / Y. Kapitanyuk, S. Chepinskiy, A. Kapitonov // 19th IFAC World Congress. - 2014. - P. 7342-7347. -0,4/0,3 п.л.

10. Using of LEGO Mindstorms NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory [Текст] / Alexey Bobtsov, Anton A Pyrkin, Sergey A Kolyubin, etc. // печатная Proceedings of the 18th IFAC World Congress. - 2011. - P. 9818-9823. - 0,4/0,13 п.л.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 46 69. Объем 1,0 у.п.л. Тираж 100 экз.