автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Тепловая устойчивость проточного химического реактора

На правах рукописи

УДК 532.72 ОД

ГАРЕЕВА РЕНАТА ГЕГЕЛЕВНА "

Г.-и

■ - и

ТЕПЛОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТОЧНОГО ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА

Специальность 05.13.16 -

«Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Барнаул - 2000

Работа выполнена в Бийском технологическом институте Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Боднарь Т. А.

доктор технических наук, профессор Титаренко Ю.И.

кандидат физико-математических наук Утемесов М.А.

Ведущая организация: Федеральный научно-производственный центр

«Алтай», г. Бийск Защита состоится 27 июля 2000 г. в 1130 час. на заседании диссертационного совета Д 064.45.02. в Алтайском государственном университете по адресу: 656099, г. Барнаул, Димитрова, 66, гл. корпус, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке А ГУ. Автореферат разослан 26 июня 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор Ай-Р ^ С. А. Безносюк

Л Л А СГ— ¿ГЛ —<Г> А Г)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Современное направление повышения интенсивности процессов химической технологии связывают с осуществлением химических превращений в областях близких к критическим. Такие режимы способствуют большему выходу целевого продукта, снижению его себестоимости, повышению качества. С другой стороны, работа оборудования в этих режимах может привести к непредвиденному развитию процессов и, как следствие, потере качества продукции или выходу из строя аппаратов. Как правило, обеспечение работы оборудования в областях близких к критическим достигается оптимизацией режимов в реальном времени, комплексными алгоритмами защиты, реализуемыми на ЭВМ, адаптивным регулированием и т.д. Отмечено, что промышленная эксплуатация химического оборудования в критических областях безопасна и эффективна только в специально разработанных (спроектированных) аппаратах, устойчивые состояния которых следует выбирать на основе анализа поведения технологической системы во времени после прекращения действия возмущения.

Описание процессов в непрерывно действующих химических реакторах методами теории подобия не всегда оправдано, поскольку не полностью раскрывает физико-химические закономерности поведения технологических систем и не позволяет достоверно прогнозировать развитие процессов на основе выборочных исследований. Отметим так же и значительные затраты, связанные с изготовлением и эксплуатацией физических (пилотных) моделей, а так же высокую вероятность их разрушения при испытаниях в критических режимах.

Широкое внедрение ЭВМ в инженерный труд значительно расширило возможности математического моделирования, которое стало од-

ним из основных методов решения важнейших задач в химической промышленности. Перспективный путь исследования и проектирования химических реакторов состоит в выборе, построении и экспериментальной проверке математической модели процесса с учетом эмпирических параметров, полученных с помощью лабораторных исследований кинетики, макрокинетики, гидродинамики процесса и последующем решении систем уравнений разработанной модели на ЭВМ.

Сказанное в полной мере относится к исследованию и моделированию нестационарных процессов, возникающих на всех масштабных уровнях технологического процесса, что подтверждает актуальность разработки методов исследования устойчивости процесса на основе математических моделей.

Объектом исследования настоящей работы являются методы анализа устойчивости решений нелинейных задач, описывающих эволюцию теплового состояния химических реакторов с распределенными источниками тепла.

Предметом исследования являются тепловые процессы в химических реакторах с протекающими экзотермическими реакциями.

Целью настоящей работы является исследование тепловой устойчивости химического реактора и обоснование конструктивных и технологических параметров, обеспечивающих его эффективную работу.

Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач:

- созданием математической модели проточного химического реактора с неравномерным начальным распределением температуры по длине;

- разработкой математической модели процесса теплопроводности в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями;

- определением на основе математической модели границы, разделяющей область состояний системы на зоны устойчивости и неустойчивости;

- решением задачи о собственных значениях для уравнений с переменными коэффициентами;

- анализом устойчивости нулевого, бифуркационного и изолированного решений;

- расчетом критических размеров системы, начиная с которых происходит процесс лавинообразного возрастания температуры;

- оценкой полезности разработанной метода на примере промышленного процесса получения нитрометана.

Научная новизна.

1. Предложена задача тепловой устойчивости проточного химического реактора с распределенными источниками тепла и неравномерным начальным профилем температуры.

2. Разработан метод приближенного вычисления собственных значений и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

3. Разработан метод анализа устойчивости решения нелинейной задачи, описывающей тепловое состояние химического реактора с распределенными источниками тепла. На основе разработанного метода получены соотношения, определяющие границу устойчивости работы проточного химического реактора, как функции от параметров задачи.

Практическая значимость результатов состоит в том, что разработанный метод может быть использован при разработке технологических процессов химических производств и при создании САПР. Результаты исследования использованы при разработке технологического процесса промышленного получения нитрометана на Бийском олеумном заводе.

Положения, выносимые на защиту:

1. Постановка задачи о тепловой устойчивости химического реактора с неравномерным распределением начальной температуры.

2. Разработка метода определения устойчивости решения нелинейной задачи, описывающей тепловое состояние хтического реактора с неоднородным распределением начальной температуры.

3. Результаты анализа устойчивости работы химического реактора по производству нитрометана.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты работы докладывались на региональной н.п.к. «Прикладные аспекты совершенствования химических технологий и материалов» (Бийск, 1997г.); н.п.к., посвященной 290-летию города (Бнйск, 1999); первой всероссийской н.п.к. «Материалы и технологии XXI века» (Бийск, 2000). По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 15 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность, научная и практическая значимость проблемы, сформулированы цель работы и ее научная новизна, изложены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дано краткое описание технологического процесса получения нитрометана и выделены элементы технологической схемы, нестабильная работа которых может протеста к сокращению производительности, снижению качества конечного продукта или аварии. Выяснение условий устойчивости данных аппаратов связано с задачей о работоспособности, экономичности и надежности установки в целом.

Дальнейшая информация носит обзорный характер и посвящена описанию основных принципов построения математических моделей химических реакторов и методов оценки устойчивости их работы. Проведен анализ устойчивости «в малом» реактора идеального смешения с помощью первого метода Ляпунова и определено условие потери им тепловой устойчивости, когда интенсивность стока тепла сравняется или станет меньше интенсивности источника в зоне химической реакции.

Анализ литературных данных показал, что решение задачи об устойчивости нелинейных динамических систем с распределенными параметрами упирается в серьезные препятствия математического характера. Современная математика не предоставляет рутинных методов аналитического решения данной проблемы, и поэтому в ее изучении до сих пор преобладает индивидуальный качественный подход. Численные же методы перестают работать вблизи точек бифуркации решений.

В настоящей работе используется метод проекций, основанный на редукции размерности бесконечномерной задачи за счет использования проекций ее решений на пространство собственных функций.

Во второй главе тепловой взрыв химического реактора, описываемого моделью с распределенными параметрами, рассматривается как потеря реагирующей средой тепловой устойчивости. В классической теории условие возникновения теплового взрыва определяется как результат прекращения существования решения стационарной задачи о протекании экзотермической реакции в условиях тештоотвода, а критический режим реакции отождествляется с точкой ветвления решений.

Исходным в теории горения является нестационарное уравнение теплопроводности в среде с непрерывно распределенными источниками тепла. Поскольку скорость реакции зависит от температуры по экспоненциальному, а от концентраций веществ только по степенному закону, то действие нагревания, как правило, существеннее. Поэтому основное допущение, на котором основывается вся теория горения, заключается в том, что скорость реакции зависит только от температуры как

Е Л

£ехр--,т.е. пренебрегают выгоранием исходных веществ, зависи-

V )

мостьто предэкспоненциального множителя от температуры, изменением плотности в разных частях сосуда и т.п. Тепловой эффект реакций также должен быть велик.

Постановка задачи. Рассматривается адиабатический проточны¡5 химический реактор, в котором происходят экзотермические реакции, а течение реакционноспособной жидкости считается поршневым при наличии продольного перемешивания. Интенсивность экзотермических процессов, форма и размер реактора определяют условия тепловой устойчивости, которые могут быть нарушены даже при незначительном отклонении температуры реагирующей среды от заданной. Оценивается влияние неравномерного начального распределения температуры по длине реактора на эволюцию его теплового состояния.

Математическая модель процесса теплопроводности в рассматриваемом реакторе имеет вид:

ВТ д2Т дТ <22 ( Е\ — = + —ехр , (1)

?Л ох ох ср \ Н.Т)

где х - координата, м; / - время, с; Т - абсолютная температура, К; х -температуропроводность, м2/с; V - скорость потока, м/с; О - тепловой эффект реакций, отнесенный к единице массы, Дж/кг; 2 - предэкспонент, с"1; Е - энергия активации, Дж/моль; ср - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); Л" - универсальная газовая постоянная,Дж/(моль-К).

Начальное условие характеризует тепловую неоднородность вещества по длине реактора:

Т(х,0 )= Т0(х), О <Х <Ь, Ь- длина реактора. (2)

Граничные условия отражают неизменность температуры реагирующей среды на входе в реактор и постоянство градиента температуры на выходе:

7(0,/) = 70, = (>0. (3)

ох

Используя в качестве характеристической температуру на левой границе реактора Т0, введены безразмерные параметры:

/ ут у

0=:——' х=»'«1> ^ =хх*>

^ (4)

Р-^; ха=Ш"2; 1а=срКТ02(Ед2Т1ехр(Е/ПТ0).

В безразмерном виде уравнение (1) с условиями (2), (3) перепишется в виде:

39 Э29 59 Г 9 л

дх дг\ <5т)

■и— + ехр

.и-ре.

(5)

е(т],о) = е0(п), (6)

0(О,х)=О, ^ = 0, т > 0. (7)

Таким образом, задача сводится к определению значений параметров и, Д 5, сходящих е систему (5)-(7), при которых ее решение теряет устойчивость. При этом возможно определение границы, разделяющей область состояний системы на зоны устойчивости и неустойчивости.

Построение пулевого решения. Одномерная нелинейная задача (5)-(7) сформулирована в бесконечномерном пространстве собственных функций. Изучение устойчивости ее решений связано с разложением пространства решений на конечномерную и бесконечномерную части. Теорга устойчивости систем с распределенными параметрами утверждает, что потеря устойчивости решений бесконечномерной задачи происходит в пространстве конечной размерности, где существует полная информация относительно точек бифуркации решений. Устойчивость решения системы (5)-(7) исследуется методом проекций, в котором на первом этапе используется линеаризованная система. Для этого последнее слагаемое в правой части уравнения (5) разлагается в степенной ряд, в котором учитываются слагаемые до 2-го порядка включительно:

56 520 59 Л

— т-«--+ао + а,е + а20 , (8)

от дц- дг\

где а, (/=0,1,2...) - коэффициенты разложения. В качестве начальных усло-

вий выбрана функция 90(т|) = /гвш

'я ^

—ц 25

, удовлетворяющая граничным

условиям, где /г - малый параметр. При этом возможен переход к новой переменной Г(г|,т) = 6(г|,т) - 90(г|) с нулевыми начальным и граничными условиями:

К(ть0) = 0; 0<Г1 <5, (9)

У( 0,т) = 0; —^ = 0; т>0. (10)

д1]

Уравнение (8) после проведенных преобразований примет вид:

ау д2г дг г . . . л1„ д\{т\) ае0(л)

¿я от] от] ог|" 5т|

+а0+а,ео(л) + я2е^(т]).

(П)

При условии равенства нулю свободного члена в правой части уравнения (11), рассматривается его линейное приближение:

я у Л^у йу

+2о20о(Л)]Г. (12)

9т <?Г1 от] Согласно теории возмущений, уравнение

дУ д2у дУ v

-=-г--И-+ (13)

дт дх\ дх\

совместно с фаничными условиями (10) представляет собой невозмущенную задачу о собственных значениях, а уравнение (12) - возмущенную.

Спектр нестационарного уравнения (13) состоит из дискретных

4а, - гг - 4?Л,

собственных значеннй с„ =---, где 1„ - корни трансцендентного уравнения tgQ~5) = —, полученного с учетом граничных ус-

и

ловий.

В исследовании устойчивости основной интерес представляет знак максимального собственного значения <тшах = 0>. Если он отрицателен, то решение

№г) = Л А ехр(стлт)ехр — эш^г])

2

«О

уравнения (13) устойчиво. Обозначим через и функцию, определяющую границу между зонами устойчивости и неустойчивости решений и зависящую от 1-го собственного значения. Тогда выражение для границы устойчивости нулевого решения приобретет вид

Каждому собственному значению ст„ соответствуют собственный и сопряженный ему векторы

образующие оргонормированную систему, где А - коэффициент нормировки.

Для отыскания собственных значений оператора (12) используется метод возмущений, основная идея которого состоит в том, чтобы с помощью решения более простой задачи о собственных значениях (13) найти решение другой, «возмущенной» задачи. Для этого обозначим собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора (12) через и Ъъ будем искать решения в виде рядов по степеням малого параметра у = 2 а2Ь

Коэффициенты разложения подлежат определению.

Учет возмущенных членов 1-го порядка в системе (15) определяет новую границу устойчивости решений уравнения (12):

И 2

¡л- [л (сух) или а,---Д, = 0.

(14)

(15)

и2

ц = ц, = сг, + уу, или а{---(16)

4

Еифурка1\иоипое решение. Часто необходимым условием бифуркации (ветвления решения) является неустойчивость равновесного решения по отношению к малым возмущениям. Теория устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям является линейной, поэтому далее оценивается влияние на устойчивость решений уравнения (11) нелинейного слагаемого при условии равенства нулю свободного члена в правой части. Сначала выразим из условия (16) коэффициент

12

о, = р. н---г л,, — уу,, затем будем искать решения в виде степенных ря-

4

дов по амплитуде г, определяемой как скалярное произведение

о *-1 к[ к]

Подстановки рядов в уравнение (11) и последующее применение альтернативы Фредгольма приводит к изменению границы устойчивости бифуркационного решения Г = Г, — . Оно будет определяться выражением:

2

ц = ими ах - — -А,* -р! = 0. (17)

Решения, разруишющие бифуркацию. Равновесные решения дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, не обязательно должны иметь ветвления. Существуют изолированные решения, несвязанные с другими решениями посредством ветвления. Один из путей исследования изолированных решений состоит в возмущении задач, в которых происходит бифуркация.

Для определения устойчивости решения задачи (9-11) с ненулевым свободным членом введем в рассмотрение неявную функцию А(ц, е)=1 и перепишем уравнение (11) в операторном виде:

ЗУ дгУ дГ г ^ 2

— = —7-и—+1«!+ 2а20о (я) Р" + а2Г + Д(щ в) ох дг\ Эг|

д%(ц)

~1Л

сЗД

ап

+ а0 ++а10о(г1) + й'2ео (л)

Стационарные решения уравнения Г(ц, е),0) = 0 при А(ц, е)~ 0 разветвляются в двойной точке (/л, У)-(0, 0), а при А([г, г) распадаются на изолированные решения. Для разрушения бифуркации достаточно, чтобы

й?(0,0,0) _ 52Э0(л) 560(г|) ... ^.л оД дт\~ дг\

Двукратное дифференцирование 0(ц,Г(ц,е),0)= О в точке (д 0) с

последующим применением альтернативы Фредгольма позволяет получить два ненулевых члена в разложении функции А({х, е)

Д(Ц.е) =

1 5 Д

2 дг2

2 5 А £ +-

ц=0 £=0

дедц

ц=0

Е=0

ец,

откуда вытекает зависимость для границы устойчивости изолированного решения

,2

и

ц = р,-ц8 ИЛИ а, -у-А.1 -«-уу,-и, =0, (18)

где /г, определяется через найденные коэффициенты разложения.

Устойчивость изолированных решений определяется знаком величины ///. при ,и£>() решения устойчивы, при д,<0 решения неустойчивы.

Величина /¿. зависит от начальных условий 00(ц), скорости потока и, дайны реактора <5, параметра (3.

В третьей главе изложены результаты применения разработанного метода анализа устойчивости решений применительно к проточному химическому реактору в различных режимах.

Адиабатический проточный реактор с неравномерным распределением начальной температуры. Оценка устойчивости реактора, математическая модель которого изложена во 2-ой главе, проведена с точки зрения его размеров. Графически зависимость критической безразмерной длины реактора 8 от безразмерной скорости и для четырех решений приведена на рис.1, откуда видно, что при и >2 тепловое состояние реактора в линейном приближении устойчиво при любых значениях его длины. Кривая 1 ограничивает область устойчивости решений сверху.

5

Рисунок 1. Зависимость критической безразмерной длины 3от безразмерной скорости и для нулевого (1), возмущенного (2), бифуркационного (3) и изолированного решений (4).

Учет в линеаризованном уравнении (12) переменного коэффициента, определяющего влияние неоднородности начальной температуры, приводит к некоторому сужению области устойчивости сверху (кривая 2). Аналогичный результат наблюдается для бифуркационного (кривая 3) и

изолированного (кривая 4) решений, что объясняется существенным влиянием на устойчивость решений нелинейных членов уравнения (11).

Устойчивость изолированных решений оценивалась также при различных значениях параметра /?, зависящего от температуры на левой

границе реактора и энергии активации. Граница устойчивости решений

5=5(0) при И=0. /, и=0.1, приведена на рис. 2.

Рисунок 2. Зависимость критической безразмерной дайны реактора S от параметра ß дня изолированных решений.

Область устойчивости расположена между осью абсцисс 8=0 и прямой 1.

Следует отметить хорошую сходимость результатов метода проекций с результатами асимптотических и численных методов, описанных в литературе. Проведенные тестовые расчеты при и~>0 и ß—>0 дают значение dlp - 0,723 , что согласуется с классическим результатом Франк-

Каменецкого = 0,880 для бесконечного плоского слоя реагирующего

вещества в пределах погрешности -18%.

Тепловое состояние реального реактора в размерных величинах определялось при помощи масштабов расстояния и скорости (4). На рис.3

приведены зависимости Ь=Ь(Т0), соответствующие реальным значениям /? (0,01 <(3<0,03), для линейной (кривая !) и нелинейной (кривая 2) задач при линейной скорости потока, близкой к нулю. Область устойчивости расположена между осью абсцисс и соответствующей кривой.

Рисунок 3. Зависимость критической длины реактора Ь от входной температуры Т0 для линейной (1) и нелинейной (2) задач.

В качестве исходных данных использованы значения характеристик нитрометана: = 1,56-103 ВтАсг; % = 8,02-Ю"8 м2/с; ср= 0,94-103 Дж/(кг-град); Е/К =25150 К.

При повышении линейной скорости потока и зона устойчивости расширяется, поэтому тепловое состояние химического реактора с дайной ¿=/,27 л/, входной температурой Тд~383 К и скоростью о=8,85-10"5 м/с является устойчивым, причем незначительные изменения температуры существенного влияния не оказывают.

Устойчивость теплового состояния рассматриваемого реактора подтверждается анализом расположения областей устойчивости в размерных величинах в плоскости (¿, и). На рис. 4 представлены зависимости критической длины реактора ¿ от линейной скорости потока о, соответст-

вующие входной температуре Т0=383 К, при различных значениях параметра к. 1) кривая 1 соответствует А = 0,1\ 2) кривая 2 - Л =0,2. Кривые 1, 2 ограничивают области устойчивости сверху.

ЫО* и

8

4

О

0 2 4 у-Ю'Гм/с

Рисунок 4. Зависимость критической длины реактора Л от линейной скорости потока и при различном влиянии неоднородной начальной температуры.

Повышение степени неоднородности начальной температуры (кривая 2) приводит к сужению зоны устойчивости, однако это никак не сказывается на устойчивости теплового состояния химического реактора с параметрами 1=1,27 м, о=8,85 •/ (Г3 м/с.

Химический реактор в пусковых режимах. Отличительной особенностью химических реакторов, в которых при высокой температуре протекают экзотермические реакции, является нестабильная работа в пусковых режимах. Даже малые изменения в условиях проведения процесса способны вызвать экспоненциальное нарастание температуры реагирующей среды, что может сопровождаться тепловым взрывом. При остановившемся реакторе темплоотвод из реакционноспособной среды осуществляется через внешнюю поверхность и элементы конструкции мешалки. Область, в которой расположено реагирующее вещество, рассматривается

как находящаяся между двумя вложенными сферами. На рис.5 представлены результаты расчета границы области устойчивости «в малом» в плоскости Л/, /?2 (безразмерные радиусы внутренней и внешней сферы соответственно) при различных сочетаниях параметров а,, а2, определяющих условия теплообмена на границах среды в остановившемся реакторе. Область устойчивости расположена справа от каждой кривой. В зависимости от значений параметров а,, а2 устойчивые режимы возможны лишь при определенных соотношениях размеров реактора и перемешивающего устройства. В предельном случае ( а —» оо , прямая 4) граница раздела областей соответствует соотношению /?;+<?, что согласуется с литературными данными.

Рисунок 5. Зависимости Р?|= при различных сочетаниях параметров Щ, а2 :

I) а, = а2 = 0,1 ;2) а, = а, =1; 3) а, =а2 = 10; 4) а, =а2 = 1000. Для химического реактора с объемом V = 1 м3 и радиусом перемешивающего устройства X; = 0,18 м безразмерные радиусы внутренней и внешней сфер соответственно равны Я| =5,9-10"4, = 8,5-10"4. Анализ расположения областей устойчивости на рис. 5 свидетельствует о неустойчивости теплового состояния системы при любых из рассмотренных выше сочетаниях

параметров а,, а2, что делает необходимым использование системы автоматического регулирования температуры.

Далее в работе представлена математическая модель изменения теплового состояния сплошной среды в коаксиальной трубе конечной длины с учетом тепловыделений от экзотермических реакций. Модель описывает режим остановки проточного химического реактора, когда отсутствует конвективный отвод тепла. Проведенные расчеты показали, что в линейном приближении при Ь<л/2 (I - длина) тепловое состояние реактора устойчиво при любых значениях радиусов. Зависимости для различных /?/ (Л/, Я2 - внутренний и наружный радиусы) приведены на рис.6, область устойчивости решений расположена снизу от каждой кривой.

Рисунок 6. Зависимость безразмерной длины от внешнего безразмерного радиуса при различных значениях внутреннего безразмерного радиуса Л/: - кривая 1; Л;=0,5 -

кривая 2; Л/=0,9 - кривая 3.

Максимальная зона устойчивости соответствует наибольшему значению внутреннего радиуса. Это позволяет сделать вывод о том, что для обеспечения устойчивости проточных реакторов при их остановке предпочтительнее использование коаксиальной, а не цилиндрической трубы.

Проведены также расчеты устойчивости точки стационарного равновесия для нелинейного уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Анализ литературных данных позволил сделать вывод о практической значимости исследования проблемы устойчивости стационарных режимов химических реакторов с распределенными параметрами.

2. Решение задачи об устойчивости нелинейных динамических систем с распределенными параметрами упирается в серьезные препятствия математического характера, поэтому разработка эффективной методики оценки устойчивости является особенно актуальной.

3. Разработан приближенный метод решения задачи о собственных значениях для дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

4. На основе разработанного метода получены соотношения, определяющие границу устойчивости работы проточного химического реактора, как функции от параметров задачи.

5. Создан комплекс программного обеспечения, позволяющий рассчитывать области устойчивости химического реактора на основе его конструктивных параметров.

6. Достоверность результатов подтверждается проверкой методов и алгоритмов тестовыми вычислениями и сравнением с классическими результатами.

7. Проведены расчеты критических размеров хишгческого реактора с распределенными источниками тепла по производству нитрометана.

8. На основании проведенных расчетов рекомендованы конкретные режимы и характеристики технологической установки по производству нитрометана на Бийском олеумном заводе.

Публикации по теме диссертации.

1. Боднарь Т.А., Гареева Р.Г. Тепловая устойчивость процесса отверждения заряда ТРТ./ Сборник статей «Исследование по баллистике и смежным вопросам механики».- Томск: Изд-во ТГУ, 1997 - 4 с.

2. Боднарь Т.А., Гареева Р.Г. Исследование тепловой устойчивости реактора получения нитрометана.// Прикладные аспекты совершенствования химических технологий и материалов / Сборник материалов региональной научно-практической конференции. - Бийск: БТИ АлтГТУ, 1997-5 с.

3. Гареева Р.Г. Обеспечение безопасности пусковых режимов химического реактора по производству нитрометана./ Сборник материалов науч-но-пракпмеской конференции, посвященной 290-летию города. - Бийск: Изд-во НИЦ БГПИ, 1999 - 3 с.

4. Гареева Р.Г Тепловая устойчивость проточного химического реактора./ Препринт N 11,- Барнаул: АГУ, 2000.-19 с.

5. Гареева Р.Г. Применение метода возмущений для оценки тепловой устойчивости проточного химического реактора .// Материалы и технологии XXI века / Тезисы докладов Первой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых. - Бийск: ФНПЦ «Алтай», 2000,- 1 с.

Введение.

Глава 1. Проблемы исследования устойчивости химических реакторов на основе математического моделирования.

1.1. Процесс промышленного получения нитрометана как объект математического моделирования.

1.2. Математическое описание химических реакторов.

1.3. Устойчивость химических реакторов.

Глава 2. Анализ устойчивости систем с распределенными параметрами.:>.- л

2.1. Условие возникновения теплового взрыва.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Построение нулевого решения.

2.4. Решение спектральной задачи с переменными коэффициентами.

2.5. Построение бифуркационного решения.

2.6. Решения, разрушающие бифуркацию.

2.7. Программная реализация метода проекций.

Глава 3. Результаты применения метода проекций для анализа устойчивости модели реактора с распределенными параметрами.

3.1. Устойчивость адиабатического проточного реактора с неравномерным распределением начальной температуры.

Современное направление повышения интенсивности процессов химической технологии связывают с осуществлением химических превращений в областях близких к критическим. Такие режимы способствуют большему выходу целевого продукта, снижению его себестоимости, повышению качества. С другой стороны, работа оборудования в этих режимах может привести к непредвиденному развитию процессов и, как следствие, потере качества продукции или выходу из строя аппаратов. Как правило, обеспечение работы оборудования в областях близких к критическим достигается оптимизацией режимов в реальном времени, комплексными алгоритмами защиты, реализуемыми на ЭВМ, адаптивным регулированием и т.д. Вместе с тем отмечено, что промышленная эксплуатация химического оборудования в критических областях безопасна и эффективна только в специально разработанных (спроектированных) аппаратах, устойчивые и неустойчивые состояния которых следует выбирать на основе анализа поведения технологической системы во времени после прекращения действия возмущения.

Описание процессов в непрерывно действующих химических реакторах методами теории подобия и лабораторного моделирования не всегда оправдано, поскольку не полностью раскрывает физико-химических закономерностей поведения технологических систем и не позволяет достоверно прогнозировать развитие процессов на основе выборочных исследований. Результаты, полученные на пилотных установках, при всей тщательности проведения опытов с ними, в промышленных условиях в требуемой мере не воспроизводятся. Обнаруживаются значительные ошибки, затрудняющие достижение проектной мощности установок, что объясняется отсутствием возможности сохранить одинаковым влияние физических факторов на скорость химического превращения в лабораторном, пилотном и промышленном аппаратах. При изменении масштабов реактора в принципе нельзя добиться неизменности значения всех критериев подобия, так как они по-разному зависят от управляемых параметров процесса. Отметим так же и значительные затраты, связанные с изготовлением и эксплуатацией пилотных моделей, а так же высокую вероятность их разрушения при испытаниях в критических режимах.

Широкое внедрение ЭВМ в инженерный труд значительно расширило возможности математического моделирования, которое стало основным методом решения важнейших задач в химической промышленности. В процессе становления математического моделирования химических процессов на ЭВМ наметились два пути получения математических моделей:

1) на основе регрессионных соотношений, устанавливающих формальные зависимости между входными и выходными переменными с помощью статистических методов;

2) на основе анализа механизма и кинетики физических и химических стадий процесса.

Первый подход успешно применяется при управлении стационарными технологическими системами в узкой области, определенной экспериментальными исследованиями. В силу этих обстоятельств анализ эффективности химико-технологических процессов при масштабном переходе от лабораторных исследований к промышленным условиям и решение конкретных задач проектирования химической аппаратуры на основе регрессионных моделей, как правило, не осуществляется.

Решить указанные задачи позволяет второй, более перспективный путь исследования и проектирования химических реакторов, состоящий в выборе, построении и экспериментальной проверке математической модели процесса с учетом эмпирических параметров, полученных с помощью лабораторных исследований кинетики, макрокинетики, гидродинамики процесса и последующем решении систем уравнений разработанной модели на ЭВМ.

Сказанное в полной мере относится к исследованию и моделированию нестационарных процессов, возникающих на всех масштабных уровнях технологического процесса, что подтверждает актуальность разработки методов исследования устойчивости процесса на основе математических моделей.

При описании нестационарных задач наиболее приемлем подход на основе понятия «динамика», подчеркивающий связь динамической теории химических процессов и реакторов с соответствующими областями физики, техники и математики, в которых изучаются динамические системы. Структура задач динамики химических процессов включает определение асимптотического поведения, числа стационарных состояний и их устойчивость. При множественности стационарных состояний в ряде случаев наблюдается явление гистерезиса - запаздывание изменения скорости реакции при изменении параметров. Анализ причин возникновения гистерезиса и разработка соответствующих математических моделей для химических реакторов с нестационарными режимами имеют большое практическое значение, ибо позволяет на этапе проектирования технологического аппарата в полной мере или частично подавить факторы, вызывающие эти явления.

Актуальность и практическая направленность методики исследования устойчивости реактора с использованием математической модели обусловлена приложением разработанного подхода к оценке режимов работы проточного реактора, сконструированного для технологического процесса производства нитрометана, внедряемого на ОАО "Бийский олеумый завод".

Объектом исследования настоящей работы являются методы анализа устойчивости решений нелинейных задач, описывающих эволюцию теплового состояния химических реакторов с распределенными источниками тепла.

Предметом исследования являются тепловые процессы в химических реакторах с протекающими экзотермическими реакциями.

Целью настоящей работы является исследование тепловой устойчивости химического реактора и обоснование конструктивных и технологических параметров, обеспечивающих его эффективную работу.

Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач:

- созданием математической модели проточного химического реактора с неравномерным начальным распределением температуры по длине;

- разработкой математической модели процесса теплопроводности в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями;

- определением на основе математической модели границы, разделяющей область состояний системы на зоны устойчивости и неустойчивости;

- решением задачи о собственных значениях для уравнений с переменными коэффициентами;

- анализом устойчивости нулевого, бифуркационного и изолированного решений;

- расчетом критических размеров системы, начиная с которых происходит процесс лавинообразного возрастания температуры;

- оценкой полезности разработанной метода на примере промышленного процесса получения нитрометана.

Научная новизна.

1. Предложена задача тепловой устойчивости проточного химического реактора с распределенными источниками тепла и неравномерным начальным профилем температуры.

2. Разработан метод приближенного вычисления собственных значений и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

3. Разработан метод анализа устойчивости решения нелинейной задачи, описывающей тепловое состояние химического реактора с распределенными источниками тепла. На основе разработанного метода получены соотношения, определяющие границу устойчивости работы проточного химического реактора, как функции от параметров задачи.

Практическая значимость результатов состоит в том, что разработанный метод может быть использован при разработке технологических процессов химических производств и при создании САПР. Результаты исследования использованы при разработке технологического процесса промышленного получения нитрометана на Бийском олеумном заводе.

Положения, выносимые на защиту:

1. Постановка задачи о тепловой устойчивости химического реактора с неравномерным распределением начальной температуры.

2. Разработка метода определения устойчивости решения нелинейной задачи, описывающей тепловое состояние химического реактора с неоднородным распределением начальной температуры.

3. Результаты анализа устойчивости работы химического реактора по производству нитрометана.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты работы докладывались на региональной научно-практической конференции «Прикладные аспекты совершенствования химических технологий и материалов» (г. Бийск, 1997г.); научно-практической конференции, посвященной 290-летию города (Бийск, 1999); первой всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Материалы и технологии XXI века» (Бийск, 2000). По теме диссертации опубликовано пять печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 15 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 117 наименований.

Выводы по третьей главе

На базе разработанного программного комплекса осуществлен количественный анализ устойчивости проточного химического реактора в различных рабочих режимах. Достоверность результатов проведенных исследований в безразмерном виде подтверждается проверкой методов и алгоритмов тестовыми вычислениями и сравнением с классическими результатами.

Осуществлен анализ в размерных величинах теплового состояния конкретного химического реактора в различных режимах при незначительных отклонениях значений определяющих параметров от заданных. Рекомендованы оптимальные технологические характеристики проведения процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Анализ литературных данных позволил сделать вывод о практической значимости исследования проблемы устойчивости стационарных режимов химических реакторов с распределенными параметрами.

2. Решение задачи об устойчивости нелинейных динамических систем с распределенными параметрами связано с серьезными трудностями математического характера, поэтому разработка эффективной методики оценки устойчивости их решений является особенно актуальной.

3. Разработан приближенный метод решения задачи о собственных значениях для дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

4. На основе разработанного метода получены соотношения, определяющие границу устойчивости работы проточного химического реактора, как функции от параметров задачи.

5. Создан комплекс программного обеспечения, позволяющий рассчитывать области устойчивости химического реактора на основе его конструктивных параметров.

6. Достоверность результатов подтверждается проверкой методов и алгоритмов тестовыми вычислениями и сравнением их с классическими результатами.

7. Проведены расчеты критических размеров химического реактора с распределенными источниками тепла по производству нитрометана.

8. На основании проведенных расчетов рекомендованы конкретные режимы и характеристики технологической установки по производству нитрометана на Бийском олеумном заводе.

1. Автомагическое управление в химической промышленности. / Под ред. Дудникова Е.Г. - М: Химия, 1987. - 368 с.

2. Алексашенко A.A. Теоретические исследования процессов конвективного переноса при переменных параметрах.// ТОХТ, 1993, т.27, N 3, с. 211-217.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Физ-матгиз, 1959. - 915 с.

4. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука, 1966. -603 с.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М: Наука, 1967. - 487 с.

6. Андронов A.A., Любина А.Г. Применение теории Пуанкаре о «точках бифуркаций» и «смене устойчивости» к простейшим автоколебательным системам.//ЖЭТФ 5, вып. 3-4 (1935).

7. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы. Докл. АН СССР 14, N5 (1937).

8. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. Л: Химия, 1967. -327 с.

9. Аронович Г.В., Беллюстина Л.Н. Об устойчивости колебаний горизонта в уравнительной башне. / Инженерный сборник АН СССР XIII (1952).

10. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений (пер. с англ.). М.: Мир, 1969. - 368 с.

11. Баггис Г.Ф. Грубые системы двух дифференциальных уравнений. // Успехи матем. наук, X, вып. 4 (66) (1955), 101-126.

12. Барзыкин В.В., Гонтковская В.Т. Мержанов А.Г., Худяев С.И. К нестационарной теории теплового взрыва. // ПМТФ, 1964, N 3, с. 118-124.

13. Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. Краевая задача в теории теплового взрыва. Докл. АН СССР, 1958, т. 120, N 6, с. 1271.

14. Баутин H.H. К теории синхронизации.// ЖТФ 9 (1939).

15. Баутин H.H. Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл.// ЖТФ IX, вып.7 (1939), 601-611.

16. Баутин H.H. О продольных движениях самолета, близких к фугойд-ным движениям,- Учен, записки Горьковского ун-та 13 (1947).

17. Беллюстина JI.H. К динамике симметричного полета самолета. Изв. АН СССР, OTH,N 1 1 (1956).

18. Беллюстина JI.H. Об одном уравнении из теории электрических машин./ Сборник памяти A.A. Андронова. Изд-во АН СССР, 1955, 173186.

19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: ГИФМЛ, 1959.-620 с.

20. Боднарь Т.А. Самовоспламенение K-фазы как потеря тепловой устойчивости// Физика горения и взрыва, 1989, N 6, с.40-44.

21. Боднарь Т.А. Тепловая устойчивость плоских, цилиндрических и сферических образцов K-фазы.// Физика горения и взрыва, 1990, N 3, с.41-46.

22. Боднарь Т.А. Тепловая устойчивость проточного химического реактора с неподвижным слоем катализатора.// Физика горения и взрыва, 1990, N4, с.68-74.

23. Боднарь Т.А. Устойчивость адиабатического проточного химического реактора.// ПМТФ, 1991, N 3, с.91-97.

24. Боднарь Т.А. Тепловая устойчивость сплошных сред с переменными теплофизическими характеристиками.// ПМТФ, 1992, N 3, с.38-45.

25. Боднарь Т.А., Гареева Р.Г. Тепловая устойчивость процесса отверждения заряда ТРТ// Исследование по баллистике и смежным вопросам механики: Сборник статей. Томск: ТГУ, 1997, с.59-62.

26. Бояринов А.И., Дуев С.И. Анализ стационарных состояний реактора идеального вытеснения с рециклом.// ТОХТ, 1988, т.22, N 3, с.402-404.

27. Брайнес Я.М. Введение в теорию и расчеты химических и нефтехимических реакторов. М: Наука, 1976. - 232 с.

28. Бут Э.Д. Численные методы (пер. с англ.). М.: ГИФМЛ, 1959. - 239 с.

29. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ., 1963. - 487 с.

30. Вайнберг A.M., Конторович В.К., Хитерер Р.З. Решение задачи нестационарного тепло- и массопереноса в нелинейных средах методом Ньютона-Канторовича.// ТОХТ, 1991, т.25, N 6, с.805.

31. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969. - 527 с.

32. Вант-Гофф Я.Г. Очерки по химической динамике. Л.: ОНТИ, 1936. -178 с.

33. Вилюнов В.Н. Теория зажигания конденсированных веществ. Новосибирск: Наука, 1984. - 186 с.

34. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М: Наука, 1988.-512 с.

35. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М: Химия, 1981. - 198 с.

36. Вычислительные методы в гидродинамике./ Под ред. Олдер Б. М.: Мир, 1967.-383 с.

37. Гареев Г.А., Белоусов Ю.М. и др. Директивный технологический проект «Исходные данные для проектирования производства нитрометана мощностью 100 т/год».-Бийск, 1991. 133 с.

38. Гареев Г.А., Свирская Л.Г. Химия нитрометана. Новосибирск: Наука, 1995.-204 с.

39. Гареева Р.Г. Тепловая устойчивость проточного химического реактора. / Препринт N11.- Барнаул: Изд-во АГУ, 2000. 19 с.

40. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400 с.

41. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М: Наука, 1967.-472 с.

42. Дильман В.В. Об обобщенной диффузионной модели продольного перемешивания.//ТОХТ, 1987, т.21, N 1, с. 66-73.

43. Дубошин Г.Н. Основы теории устойчивости движения. М: Изд-во МГУ, 1952.- 319 с.

44. Ермилов С.П., Глузман С.С., Серафимов Л.А. Об устойчивости стационарных режимов изотермических реакторов вытеснения с рециклом.// ТОХТ, 1986, т.20, N 2, с.261-262.

45. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б. и др. Математическая теория горения и взрыва. -М: Наука, 1980. 477 с.

46. Зельдович Я.Б. В кн.: Химическая кинетика и цепные реакции (сборник). - М: Наука, 1966. - с. 574-587.

47. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М: Наука, 1972. - 592 с.

48. Иоффе И.И., Письмен Л.М. Инженерная химия гетерогенного катализа. М: Химия, 1965. - 456 с.

49. Истратов А.Г., Либрович В.Б. Об устойчивости решений в стационарной теории теплового взрыва.// ПММ, 1963, т.27, вып.2, с.343-347.

50. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М: Мир, 1983.

51. Каганов С.А. Об устойчивости стационарных решений в теории теплового взрыва.//ПММ, 1967, т.31, N 6, с. 1081-1085.

52. Каганов С.А. К стационарной теории теплового самовоспламенения.// ПМТФ, 1963, N 1, с. 133-135.

53. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Наука, 1976. - 576 с.

54. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ГИФМЛ, 1962. - 708 с.

55. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М: Химия, 1971.-496 с.

56. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М: Высшая школа, 1991. - 400 с.

57. Кириллов В.А., Стегасов А.Н. Множественность и неустойчивость режимов в реакторах с орошаемым слоем катализатора.// ТОХТ, 1993, т.27, N3,0.241-257.

58. Крамере X., Вестертерп К. Химические реакторы. Расчет и управление ими. М: Химия, 1967. - 263 с.

59. Кроу К., Гамилец А., Хоффман Т., Джонсон А., Вудс Д., Шеннон П. Математическое моделирование химических производств. М: Мир, 1973.-391 с.

60. Курант Р. Уравнения с частными производными. М: Мир, 1964. -830 с.

61. Курант Р., Гилберт Д. Методы математической физики, т. I. М: Государственное технико-теоретическое издательство, 1933.-525 с.

62. Курдюмов В.Н., Рязанцев Ю.С. Об одном механизме неединственности стационарных режимов проточного химического реактора.// ТОХТ, 1991, т.25, N 2, с.227-233.

63. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.-489 с.

64. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин (пер. с англ.). М.: ИЛ, 1962.-208 с.

65. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М: Химия, 1969.-624 с.

66. Липатов Л.Н. Типовые процессы химической технологии как объекты управления. М: Химия, 1973.-317 с.

67. Лозовой A.C., Зянгареев З.М. Годовой отчет по НИР и ОКР по теме «Разработка опытно-промышленной установки ректификации нитро-метана». Казань, 1992. - 70 с.

68. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гос-техиздат, 1950. - 472 с.

69. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

70. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -М: Мир, 1981.-368 с.

71. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. / Под ред. Бутузова В.Ф. М: Высшая школа, 1988. - 288 с.

72. Мержанов А.Г., Абрамов В .Г., Гонтковская В.Т. О закономерностях перехода от самовоспламенения к зажиганию. Докл. АН СССР, 1963, т.148, N 1, с.156-159.

73. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. - 319 с.

74. Младов А.Г. Системы дифференциальных уравнений и устойчивость движения по Ляпунову. М.: Высшая школа, 1966. - 224 с.

75. Мошинский А.И. Некоторые вопросы применения диффузионной модели в задачах тепломассопереноса.// ТОХТ, 1993, т.27, N 5, с. 535-538.

76. Патент N 2045514, РФ, МПК С 07 с 205/02. Способ получения нитрометана./Гареев Г.А.; Заявл. 21.03.91; Опубл. 10.10.95.

77. Патент N 2109728, РФ, МПК С 07 с 205/02. Способ получения нитрометана./ Гареев Г.А.; Свирская Л.Г., Першин Н.С., Меньшов В.Н.; Заявл. 09.12.93; Опубл. 27.04.98.

78. Патент N 2076094, РФ, МПК С 07 с 205/02. Способ получения нитрометана./ Гареев Г.А., Свирская Л.Г., Першин Н.С.; Заявл. 14.04.95; Опубл. 27.03.97.

79. Патентная заявка N 98107489. Способ получения нитрометана./ Гареев Г.А.; Заявл. 15.04.98.

80. Паушкин Я.М. Жидкие и твердые химические ракетные топлива. М.: Наука, 1978.- 154 с.

81. Перлмуттер Д. Устойчивость химических реакторов. Л: Химия, 1976. -256 с.

82. Полянин А.Д. Точные решения уравнений газодинамики и тепломассообмена. // ТОХТ, 1993, т.27, N 1, с. 28.

83. Прибыткова Н.В., Худяев С.И., Штессель Э.А. Исследование теплового самовоспламенения в условиях естественной конвекции. В кн.: Тепломассообмен: Материалы V Всесоюз. конф. по тепломассообмену. - Минск: 1976, т.2, с.20-29.

84. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-химиков. М.: Мир, 1968. - 443 с.

85. Рябенко Е.А., Бомштейн Е.В., Бессарабов A.M., Логинов А.Ф. Исследование устойчивости тепловых режимов реактора периодического действия.// ТОХТ, 1986, т.20, N 2, с.263-265.

86. Свиридов В.Н., Софиев А.Э. Об устойчивости химических реакторов смешения.// ТОХТ, 1982, т. 16, N 6, с.759-765.

87. Семенов H.H. К теории процессов горения./ Сообщения Журн. Рус. Физ.-хим. о.-ва, 1928, т. 60, N 3, с. 247-250.

88. Семенов H.H. Цепные реакции. Л: ОНТИ, 1934. - стр.110.

89. Сивашинский Г.И. О существовании и устойчивости решений в стационарной теории теплового взрыва.// ПММ, 1967, т.31, N 1, с. 13 7-139.

90. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. II. М: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. - 627 с.

91. Соболев С.Я. Уравнения математической физики. 4-е изд. -М.: Наука, 1966.-443 с.

92. Современная математика для инженеров. / Под ред. Беккенбаха Э.Ф. -М: ИЛ, 1958.-500 с.

93. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. М.: ИЛ, 1961.-555 с.

94. Тодес О.М. К теории теплового взрыва. // ЖФХ, 1933, т.4, вып.1, с.78-80.

95. Тодес О.М., Конторова Т.А. К теории теплового взрыва. // ЖФХ, 1933, т.4, вып.1, с.81-91.

96. Толстов Г.П. Ряды Фурье. Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. - 396 с.

97. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей, т. 1 (пер. с англ.). М.: Мир, 1991.-502 с.

98. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М: Наука, 1967. - 491 с.

99. Франк-Каменецкий Д.А. Распределение температур в реакционном сосуде и стационарная теория теплового взрыва.// ЖФХ., 1939, т. 13, вып. 6, с.738-755.

100. Филиппов В.Д. К теории теплового взрыва в негерметичных сосудах.// Физика горения и взрыва, 1990, т.26, N 2, с.47-52.

101. Хемминг Р.В. Численные методы (пер. с англ.). М.: Наука, 1968. -400 с.

102. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207 с.

103. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ, ч.1. Киев: Издательство АН УССР, 1963.- 196 с.

104. Штессель Э.А., Прибыткова Н.В., Мержанов А.Г. Численное решение задачи о теории взрыва с учетом свободной конвекции.// Физика горения и взрыва, 1971, т.7, N 2, с. 167-177.

105. Boddington Т., Gray P., Harvey D. J. Thermal theory of spontaneous ignition: criticality in bodies of arbitrary shape. Phil. Trans. Roy. Soc., 1971, vol. A 270, N 1207, p. 467-506.

106. Hlavacek V., Hofmann H. Steady state axial heat and mass transfer in tubular reactors. An analysis of the uniqueness of solutions// Chem. Eng. Sci. 1970. - v. 25, N1.

107. Jouguet J. Me'canique des Explosifs. Paris: O.Doin, 1917.