автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория, методы и алгоритмы восстановления разностного уравнения объекта по оценке импульсной характеристики

На правах рукописи

Кононов Владимир Тарасович

ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТА ПО ОЦЕНКЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2003

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный консультант доктор технических наук, профессор Анисимов Александр Саввович.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Абденов Амирза Жакенович;

доктор физико-математических наук, профессор Воскобойников Юрий Евгеньевич;

доктор технических наук, профессор Рубан Анатолий Иванович.

Ведущая организация

ФГУП Сибирский государственный научно-исследовательский институт метрологии, г. Новосибирск.

Защита состоится 24 июня 2003 г. в 10.00 на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г. Новосибирск, проспект Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разосла^З мая 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

А.А. Воевода

Ю550

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Формализованные постановки многих задач науки и техники сводятся к задаче идентификации математической модели. В зависи-моти от конкретной задачи возникает необходимость построения математической модели в той или иной форме. При решении линейных задач управления и контроля техническими динамическими объектами наиболее приемлемыми математическими моделями являются дифференциальные и разностные уравнения или соответствующие им непрерывные и дискретные передаточные функции (ПФ). Эти модели ориентированы на современные методы синтеза автоматических систем и при необходимости позволяют сравнительно просто перейти к другим линейным математическим моделям, например, таким, как импульсная (ИХ) или амплитудно-фазовая (АФХ) характеристики.

Вопросам разработки методов и алгоритмов параметрической идентификации динамических моделей в форме дифференциальных или разностных уравнений по измеряемым с помехами реализациям входных и выходных сигналов идентифицируемого объекта посвящена обширная литература. Однако известные методы и алгоритмы такого рода требуют сравнительно большой априорной информации об объекте и помехах. Особенно важной является информация о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта. Во многих практических случаях эта информация отсутствует, а ее получение предполагает проведение дополнительных экспериментальных исследований.

Такое положение приводит к актуальности идентификации интегрального уравнения объекта. При идентификации ИХ не требуется априорная информация о порядках старших производных (разностей)'входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта и не используются производные этих сигналов. В настоящее время существуют алгоритмы идентификации ИХ, которые требуют минимальной априорной информации об объекте и помехах, оказываются слабочувствительными к степени колебательности ИХ объекта и эффективно функционируют в условиях различного характера (низкочастотная (НЧ-), широкополосная (ШП-), высокочастотная (ВЧ-)) и высокого уровня помех.

При этом можно предложить новый подход к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта (построение любой математической модели (дифференциальное или разностное уравнение, ИХ, АФХ) по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов посредством последовательного решения трех задач, а именно: идентификации ИХ по измеряемым зашумленным реализациям входного и выходного сигналов объекта, восстановления дискретной ПФ по оценке ИХ (не требующей использования производных ИХ) и трансформации (при необходимости) оценки дискретной ПФ в требуемую математическую модель. При имеющихся качественных алгоритмах перехода от разностного уравнения к другим математическим моделям

реализация этого подхода сводится к решению п] кретной ПФ по зашумленной аддитивной помеодздедадвдДОйАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА

■шя дис-

3 } С Петербург (.

5 оэ улзшугТЛХ/

До сих пор проблема восстановления непрерывной и дискретной ПФ по оценке ИХ систематически и всесторонне не обсуждалась - имеются немногочисленные статьи и отсутствует фундаментальная научная литература. Это обстоятельство определяется следующими факторами:

- формализованные постановки задач восстановления дискретной ПФ по оценке ИХ, идентификации дискретной Т1Ф по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов объекта и синтеза статистических динамических моделей авторегрессии (ЛР-модель), скользящего среднего (СС-модель), авто-регрессии-скользящего среднего (ЛРСС-модель) измеряемой реализации сигнала оказываются близкими и при поверхностном рассмотрении специальное изучение задачи восстановления представляется нецелесообразным;

- задачи идентификации дискретной ПФ и синтеза статистических динамических моделей в качестве исходных данных используют непосредственно измеренные реализации сигналов, а тем самым задача восстановления дискретной ПФ, предполагающая предварительную идентификацию ИХ, представляет- > ся неестественной и заведомо характеризующейся неоправданной сложностью.

Диссертация частично выполнялась в рамках межведомственной (СО АН СССР, МАП СССР и МГА СССР) комплексной программы "Алгоритмическое и математическое обеспечение аэрофизического эксперимента", координационного плана Минвуза СССР по проблеме "Инерционно-импульсные системы", координационного плана НИР АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", научно-технической программы "Идентификация сложных систем управления" Госкомвуза РФ и опытно-конструкторской работы "Навигация" Федеральной целевой программы "Глобальная навигационная система".

Результаты диссертационного исследования связаны с выполнением госбюджетных НИР "Разработка алгоритмического обеспечения измерений в динамических режимах" (1981 - 1982 г.) и "Алгоритмическое и программное обеспечение идентификации динамических объектов" (1986 - 1991 г.); НИР "Ре-гуляризирующие алгоритмы идентификации импульсной характеристики и восстановления разностного уравнения динамического объекта" (1991 - 1993 г.), « финансируемой по результатам конкурса грантов 1991 г. Головным советом "Системы управления и средства автоматики" Минвуза РСФСР; НИР "Адаптивная идентификация динамического объекта" (1994 - 1996 г.), "Робастная идентификация импульсной и частотных характеристик" (1997 - 1998 г.) и "Исследование подходов к робастной идентификации импульсной и частотных характеристик" (1999 г.), финансируемых по результатам конкурса грантов 1994 г., 1997 г. и 1998 г. из средств федерального бюджета по единому заказ-наряду; НИР "Полная идентификация линейного динамического объекта при ограниченной априорной информации" (1992 - 1995 г.), финансируемой межотраслевым научно-техническим центром "Наука" Госкомвуза РФ; хоздоговорных НИР "Алгоритмическое и программное обеспечение построения математических моделей контуров управления движением автомобиля" (1985 г.), "Синтез алгоритма автоматического управления скоростью движения автомобиля" (1986 - 1987 г.), "Разработка комплекса средств для регистрации и обработки информации при испытаниях ИЭТ на механические ударные воздействия"

(1986 - 1987 г.), "Идентификация передаточной функции биотрона" (1999 -2000 г), "Разработка методики траекторных измерений на базе высокостабильных квантовых стандартов частоты" (2000-2001г.), "Разработка методики и проведе-' ние беззапросных измерений по навигационным сигналам КА ГЛОНАСС и КА GPS с использованием наземных приемников, сопряженных с высокостабильными часами, для экспериментальной отработки эфемеридно-временного обеспечения КНС ГЛОНАСС" (2001 - 2002 г.), "Разработка средств лазерной локации ИСЗ ГЛОНАСС и реализация на этой основе технологии траекторных измерений" (2002 г.) и "Построение математических моделей ансамбля квантовых стандартов частоты вторичного эталона времени и частоты СНИИМ" (2002 г.).

Цель работы. Разработка теоретических основ, методов и помехоустой-► чивых алгоритмов восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ)

объекта по зашумленной оценке его ИХ.

Методы исследования. Исследования проводились на основе аппарата линейной алгебры, теории разностных уравнений, спектрального и статистического анализа, а также машинного моделирования.

Научная новизна. В работе впервые проведен всесторонний анализ проблемы восстановления дискретной ПФ по зашумленной аддитивной помехой оценке ИХ путем исследования нового базового алгоритма восстановления и впервые установлено влияние собственных свойств идентифицируемой ПФ (распределения нулей и полюсов), шага дискретизации по времени и характера помехи на точность восстановления коэффициентов ПФ, базовой ИХ, ИХ, амплитудной (А ЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотных характеристик. Синтезированы и исследованы новые алгоритмы уточнения оценок коэффициентов ПФ (получаемых базовым алгоритмом на основе метода наименьших квадратов (МНК)) нестатистического и статистического типа. В рамках последних рассмотрены алгоритмы уточнения на основе обобщенного МНК (ОМНК), метода максимального правдоподобия (ММП), метода капмановской фильтрации (МКФ) и метода инструментальной переменной (МИП). Синтезированы и исследованы новые алгоритмы определения порядка ПФ на основе многочисленных функционалов от характерных показателей различных матриц (формируемых по отсчетам исходной и сглаженной оценок ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ и ИХ) и от рассогласования между исходной (сглаженной) и восстановлен» ной оценками ИХ. Исследования позволили построить новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления коэффициентов и порядка дискретной ПФ.

Основные положения, выносимые на защиту:

- теоретические основы проблемы восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной оценке его ИХ\

- новый подход к решению проблемы восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной оценке его ИХ\

- новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления коэффициентов и порядка разностного уравнения (дискретной ПФ).

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается аналитическими доказательствами и решением характерных модельных задач.

Практическая ценность. Синтезированные алгоритмы восстановления дискретной ПФ позволили по новому решить задачу идентификации дифференциального или разностного уравнения объекта в условиях сильного зашум-ления измеряемых реализаций входного и выходного сигналов при сравнительно малой априорной информации об объекте и помехах. Отсюда существенно расширяется множество практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры и снижения объема экспериментальных исследований, а тем самым временных и материальных затрат. Эти достоинства расширяют возможности решения современных задач науки и техники.

Реализация результатов. Результаты исследований использованы при синтезе моделей объектов и сигналов разнообразной физической природы в виде дифференциальных и разностных уравнений в рамках решения задач

- автоматического управления (системы автоматического управления стендовыми испытаниями автомобилей и параметрами (температурой, влажностью и освещенностью) рабочей камеры биотрона);

- контроля (система автоматизированных испытаний изделий электронной техники на механические ударные воздействия);

- обработки экспериментальных данных и измерительной техники (обработка информации в аэрофизическом эксперименте и сигналов от навигационных спутников космических навигационных станций ГЛОНАСС и GPSJ;

- метрологии (аттестация динамических характеристик средств измерения температуры, методика синхронизации по частоте и моменту шкалы времени высокостабильного хранителя беззапросных измерительных станций, методики ведения шкал времени вторичного эталона СНИИМ),

а также в учебном процессе при подготовке бакалавров и магистров по направлению 550200 "Автоматизация и управление" и дипломированных инженеров по специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах" в дисциплинах ."Идентификация динамических объектов", "Алгоритмы преобразования математических моделей", "Методы цифровой фильтрации" и "Цифровая фильтрация сигналов" на кафедре автоматики Hi'ГУ.

Сведения о достигнутых технико-экономических показателях приведены в 9 актах о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены и обсуждены на Всесоюзной научно-технической конференции "Радиотехнические измерения в диапазонах высоких частот и сверхвысоких частот" (Новосибирск, 1980 г.), 3-ем, 4-ом и 5-ом Всесоюзных научно-технических симпозиумах "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (Новосибирск, 1982 г., 1985 г., 1989 г.), 1-ой и 2-ой Всесоюзных научно-технических конференциях "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1987 г., 1990 г.), 11-ом Всесоюзном совещании по проблемам управления (Ташкент, 1989 г.), семинаре IFAC "Оценка стратегий адаптивного управления в промышленных применениях" (Тбилиси, 1989 г.), 3-ем и 4-ом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ -1998, 2000, Новосибирск, 1998 г., 2000 г.), 4-ой, 5-ой и 6-ой Международных

конференциях "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП - 1998, 2000, 2002, Новосибирск, 1998 г., 2000 г., 2002 г.), 4-ом и 6-ом Русско-Корейских Международных симпозиумах по науке и технологиям (KORUS -2000, 2002, Ульсан, Корея, 2000 г., Новосибирск, 2002 г.), 1-ой и 2-ой Международных конференциях "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2000, 2003, Москва, 2000 г., 2003 г.), Международной научно-технической конференции "Информационные системы и технологии" (ИСТ 2000, Новосибирск, 2000 г.), Международной конференции IASTED "Автоматизация, управление и информационные технологии" (ACIT-2002, Новосибирск, 2002 г.), а также ряде других конференций и научных семинарах.

Публикации. По тематике диссертации имеется 57 публикаций, в том числе 38 публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК для работ, отражающих основное научное содержание докторских диссертаций, и 17 отчетов по научно-исследовательским работам, выполненным при участии автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, трех приложений (100 с.) и списка литературы из 316 наименований (25 е.), изложенных на 381 странице, в том числе 78 страниц рисунков и таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первом разделе производится постановка задачи восстановления, синтезируется базовый алгоритм восстановления, рассматриваются используемые алгоритмы фильтрации коротких реализаций сигналов, а также приводятся основные положения машинного анализа.

Пусть одномерный, стационарный, линейный, асимптотически устойчивый объект описывается дифференциальным уравнением, отражающим связь между входным x(t) и выходным y{t) сигналами в каждый момент времени t. Этому уравнению соответствуют рациональная ПФ Wh(î) (s - аргумент преобразования Лапласа), содержащая лн полюсов Sj,jе[\,пп] и та нулей ïo/.76D.'»h], а также ИХ w{t), t е[0,со), АЧХ Ни(а),а> е[0,<х>) и коэффициент усиления кн0 =#н(0).

При заданном фиксированном шаге дискретизации по времени Ai рассматриваемые непрерывные объекты можно описать как дискретные объекты с ИХ wk = w[(&-1)• А/], совпадающей с ИХ w(t) в дискретные моменты времени t = (£-1)-Д/, к = 1, 2,... . Математической моделью такого дискретного объекта является разностное уравнение п т+1

M 7=1

xk=x[(k-l)-Ai], yk=y[(k-\)-bt}.

Данному уравнению соответствуют рациональная ПФ

Щг) = г{м>к) = В(г)/А(2), п и+1 .

АЫ^г' + Ъч-ги-», *(*)= Е^Л

7=1 М

2 и 2 = ехр(.? • Дг) - оператор и аргумент ¿-преобразования, содержащая п полюсов г7,у'е[1,л] и т нулей z0jJe[\,m], а также ИХ щ,к е[1,оо), АЧХ Н(со), ие[0,ю0 = я7Лг] и коэффициент усиления *о=Я(0) = (1/Д/)-*ио.

Рассматривая полиномы В(г) и А(г) как некоторые операторы, мЬжем представить разностное уравнение в операторной форме

Ж*)Ы = *(*){**}•

В дальнейшем предполагаются выполненными практически несущественные условия, при которых обеспечивается однозначность перехода от ПФ IV(г) к ПФ и справедливы соотношения л = ин и ¿1=0, а знаки коэф-

фициентов а^,уе[1,и + 1] чередуются (а(и+1)=1). При этом сумма сга=а\ + а2 +--- + Я(п+1) близка к нулю при достаточно малых абсолютных значениях

вещественных и мнимых частей хотя бы одной пары комплексно-сопряженных полюсов или хотя бы одного вещественного полюса ПФ Жн(5) при любом шаге ДI или же при достаточно малом шаге Д/ при любых полюсах ПФ .

Рассматривается задача восстановления оценки 1У0(г) = В0(г)/А0(г) ПФ IV(г) по зашумленной аддитивной помехой 5м>^ урвня

5™т= тах \Svk\l тох }щ\

оценке = ыр. +8м>ь ИХ IV, заданной К ы равноотстоящими с шагом Д/ отсчетами [ (Л-1)-Д/] , 1, ]. При решении поставленной

задачи без ограничения общности можно положить т = п.

В качестве априорной информации можно принять известной оценку верхней частоты О^ эффективной полосы спектра ИХ м^г) на задаваемом относительном уровне которая находится при

идентификации оценки .

В основе алгоритмов восстановления лежат следующие расчетные соотношения (устанавливающие связь между параметрами ПФ IV(г) и

отсчетами ИХ и базовой #Л>оА {^0(г)},И,0(г) = 1/А(г)):

и

Пк=Ь{п+2-к)- Е •и'(А+у_п_1), Ле[п-ш + 1,п + 1], (2) Ж*) {»(*_„)}= 0, *е[я+ 2, »), (3)

л+1

Ь]= £ аг-и'(г+1_у),уе[1>т + 1]) (4)

и>^=0Дб[1,п], ^о(п+1)=1, (5)

{*<,(*-«)}= 0, * 6[п +2, со), (6)

Базовой /7Ф соответствует базовая Л ЧУ Н0(<а), <»е[0, й>0] и коэффициент усиления &00 = На(0). При этом с учетом ¿1=0 имеем

т+1

ко=°Ь'коо> к00=хе-к0, хе = 11аь, (Гб= .

7=2

Обсуждаются особенности решения задачи восстановления дискретной ПФ, в том числе задачи определения порядка и.

Обобщенный базовый алгоритм восстановления оценки ^„(г) предполагает отсутствие = 0) или наличие (Ш = 1, 2) предварительной низкочастотной фильтрации реализации н^ (в дальнейшем под реализацией понимается исходная н^д. и предварительно сглаженная реализации),

задание максимально возможного значения К порядка п и проведение Л-шагового процесса, на г-м (г е[1, Д] ) шаге которого полагается па=г (оценка ПФ задается в форме = Вг(г) / Аг(г) ), уравнение (3) принимает вид

{*-(*_,.)} = 0, Ле[г + 2,со), (8)

и выполняются следующие операции.

1. Находятся коэффициенты полинома Аг(г) путем решения линейной

алгебраической системы (8) при к К^ ^.

2. Проверяется асимптотическая устойчивость уравнения (8).

3. Определяются отсчеты *>огк базовой ИХ, соответствующей ПФ ¡¥ог(г) -1 / Аг(г), согласно соотношений (5), (6) в виде

*>огк=0,ке[1,г], *>ог(г+1)=1,

™огк =-[АЛ2)-2Г~\{"'ог(к-г)}, ке[г + 2,К„ + г].

4. Находятся коэффициенты полинома Вг(г) прямо на основе соотношений (4) или посредством решения линейной системы (7) при к е £ Кт, ].

5. Вычисляются отсчеты АЧХ г-й модели и определяется ее верхняя граничная частота что позволяет в качестве дополнительного контроля осуществить проверку соответствия частот и

6. Восстанавливается оценка ИХ Ыр^К^ согласно соотношений (1) - (3) в форме = ¿>г(/-+1)»

wrk — br(r+2-k) ~ S arj-wr(k+j-r-l)< k&[2,r + \], j=r+2-k

7. Вычисляется функционал er, определяющий близость оценки w^ к ИХ wk. Функционал ег может также определять линейную зависимость функций или j e[l> г] на некотором интервале и в этом

случае вычисляется, соответственно, в рамках 1-ой, 3-ей или 6-ой операций.

После окончания Ä-шагового процесса производится анализ совокупности значений одного из функционалов е r, г е [ 1, г ], на основании кдторого определяется порядок п0 и коэффициенты восстановленной оценки WQ(z) ПФ W(z), а также находятся оценки А ЧХ и ФЧХ.

В дальнейшем теоретические положения иллюстрируются на примере решения задачи восстановления дискретной ПФ W(z) модельного объекта, описывающегося непрерывной ПФ W„(s) 4-го порядка. ИХ w{f) модельного объекта имеет колебательный характер, а ее эффективная длительность Tw на уровне 0,01 от максимального значения составляет 2,76 с. АЧХ Ha(w) (Ян(0) = 1, 0) объекта характеризуется двумя максимумами Янэ=1, 2, а ее эффективная длительность D.w на уровне 0,01 составляет 32,0 р/с.

При решении модельных задач принималось At = 0, 02 с (К w = 139) и для ПФ W(z) модельного объекта имеем er а = 0, 00104, <т ¿,=0,0518, хе -19, 31, а с увеличением шага Дt показатели а а и а^ монотонно возрастают, особенно существенно в области малых значений шага Ai.

Помеха Sw^ задавалась в виде установившейся реакции формирующего нерекурсивного полосового фильтра (идеализированная АЧХ Hп(а>) этого фильтра характеризуется неравномерностями в полосах пропускания и задерживания ¿>„=0,001, шириной переходной полосы Дй>„, нижней ®п и верхней Г2П граничными частотами полосы пропускания) на реализацию псевдослучайного белого шума, причем рассматривались помехи Swf, различного уровня Swm и различного характера:

- ЯЧ-помеха - еоп = 0,0 р/с, Г2П = 8,0 pic, Д<уп = 3,5 р/с-,

- ШП-помеха - ®п = 0,0р/с, Пп = 60,0 р/с, Аа>и =5,0р/с;

- ВЧ-помеха- соп = 40,0р/с, Qn=60,0р/с, Атп= 5,0 р/с.

Обсуждаются особенности и возможности фильтрации коротких реализаций сигналов и в дальнейшем рассматриваются два вида алгоритмов предварительной низкочастотной фильтрации (с верхней частотой Пф полосы пропускания) реализации w»^,к e[l, Kw\ - посредством дискретного преобразования Фурье (ZF= 1) и на основе нерекурсивного фильтра с линейной ФЧХ я исполь-

зованием последовательного инверсного отображения реализации м>,к (Л7 = 2). Исследованы методические составляющие ошибки фильтрации 8м>фк и даны

рекомендации по выбору параметров алгоритмов фильтрации.

Машинные исследования проводились при помощи разработанного пакета прикладных программ КЕБИЕ^. При машинном анализе, если специально не оговаривается, принималось Д* = 0, 02 с, А"^ = 139, Д = 6, =0,01.

Основные эксперименты проводились при различных помехах уровня 8\»т =0,0,0,001,0,01,0,05,0,10,0, 20,0,50,1,0.

Исследована связь между ошибками фильтрации <5н<ф^ при № = 1, 2 и различными помехами 8юк,в частности, установлено

- фильтрация при отсутствии помехи 8мгк порождает широкополосную ошибку фильтрации уровня 8м/^т =0,0066 при № = 1 и 8н»фт = 0,0039 при /Р= 2, причем максимальные абсолютные значения ошибки достигаются в окрестности граничных точек к = 1 и А: = К

- фильтрация порождает заметную смещенность ошибки 8 и^.

Во втором разделе исследуются основные операции базового алгоритма восстановления, а именно, процедуры определения оценок коэффициентов ПФ IV(г), базовой ИХ, ИХ, АЧХ и ФЧХ (обсуждены также возможности декомпозиции процедуры восстановления на основе фильтрации реализации ы,к системой полосовых фильтров), а в третьем разделе представлен детальный машинный анализ этих операций.

Коэффициенты а^,} е [1, г ] удовлетворяют системе К0 - К^ - Ка +1

линейных алгебраических уравнений

[ М*) ~*г ] {*и+1)} = -*(*+'+!)• ке[к1>1,К/<К„-г-\],

которая с учетом помехи 8\\>к записывается в форме

3^(к+г+\) = Мг) {<^(*+1)} Л е [ 1, Кг ] и может быть представлена в векторно-матричном виде

' аг = + <^уг(г+1) •

Первая трансформация Гаусса этой системы приводит к системе

У.г.щг—Гг0 + ГгЛ„ (10)

где с учетом оператора усреднения {•} на интервале к е [ К3, К^ ] имеем = -¿Г' W,Tr = МКд {*>,{к+1) ■ л|],

Гго = ~ К ■ = [ /го1 = МКд { ■ ™.(к+г+1) } ] ,

fr8v = T" < • <K(r+l) = \frövi=MK0 { w,(jfc+i) • <4(*+r+l) } ]. о

Вследствие неизмеримости обобщенной Помехи Svрешение системы (10) заменяется решением усеченной системы

V,r-ar0=-fr0- О О

С целью улучшения обусловленности матрицы V»r оценки МНК аго можно находить из регуляризированной системы

Vpr-ar0=-fr0, Vpr = V»r + pa-Er,

где pa>0 - параметр регуляризации, Er - единичная матрица.

При выборе метода решения системы (11) следует обеспечить контроль обусловленности матрицы и в этом плане удобно использовать метод Гаусса, при котором система (11) с помощью преобразований, описываемых оператором Рд, трансформируется в систему вида

VA«r ' ar0 = ~Wo >

характеризующуюся верхней треугольной матрицей Уд»г = Яд {V,r}. Такой алгоритм восстановления будем называть алгоритмом ABS-PAC.

При г = п относительная среднеквадратическая ошибка еа восстановления коэффициентов aj, у е[ 1, л] определяется свойствами матрицы V,„ и

степенью неточности задания правой части системы (10). Свойства матрицы V»„ будем характеризовать числом обусловленности Тодда Тап матрицы Уд»„,

а степень неточности - отношением помеха/сигнал х„ = max | fnSvi I fn0i\-

fe[l,n]

Показана возможность рекуррентного вычисления обратной матрицы и алгоритм восстановления посредством решения систем (11) на основе обратной матрицы будем называть алгоритмом ABS-POM.

Далее теоретические положения иллюстрируются результатами машинного анализа алгоритма ABS-PAC, в котором , если особо не оговаривается, принималось А t = 0,02 с, ра= 0, Ks Кj- = Kw - г -1 при IF = 0, Ks= 3, Kj- = 122 при IF = 1,2.

Проведен теоретический и машинный анализ ошибки еа. Матрица V»„, несмотря на достаточную информативность ИХ, оказывается плохо обусловленной, и имеют место следующие положения:

- числа Тодда Тап в случае НЧ-помехи (7F = 0 - 2) и ВУ-помехи (7F= 1,2) уровня е[0, 0,1, 0], а также в случае любой помехи уровня öwm 001 при JF = 0 и 3wm< 0,10 при IF = 1, 2 изменяются в узких пределах и принимают значения порядка 100000;

- с увеличением параметра ра в диапазоне ра >0, 00001 -0,001 числа Тодда Тап монотонно уменьшаются, однако уменьшение чисел Тодда Тап в общем случае не приводит к уменьшению ошибок еа, а переход к регуляризиро-

ванной системе затруднительный из-за сложности нахождения оптимума значения рао параметра ра и существования на каждом шаге г своего значения рао;

- с увеличением шага А? числа Тап, как правило, уменьшаются монотонно, а при заметных значениях шага Д* > 0,05 с монотонность изменения нарушается из-за наложения боковых полос амплитудного спектра помехи на основную полосу [-®о> ®о ] и тем самым усиления влияния ШП- и В'/-помехи;

- пути улучшения обусловленности матрицы У»л неэффективны.

Показано, что при выполнении условий

аШ1п-Д/ = 0,0, Д.т1Л-Д/ = 0,0, (12)

сгга=аг1+аг2+— аг(г+1) -0.

+ (13)

справедливо соотношение /Г$У1 = 0, т.е. происходит взаимная компенсация слагаемых , в результате чего элементы /г<уУ|- даже при больших уровнях помехи 8щ могут принимать малые значения.

При этом имеют место следующие положения:

- при любом характере и уровне помехи сумма апа оказывается достаточно близкой к нулю, причем в случае Ш = 1, 2 при ШП- и В ^-помехе сумма сгпа на порядок меньше таковой при Ш - 0, например, суммы апа при помехах уровня 5щ =1, 0 принимали значения порядка 0,0006 (НЧ-помеха, Ш = 0 - 2), 0,0060 (Д/Л-помеха, Ш = 1,2), 0,0025 (В¥-помеха, ^F = 1, 2), 0,0500 {ШП- и 5 V-помеха, 0);

- близость слагаемых /„¿„у, ] е [1, п +1] при 0 проявляется при НЧ- и

не наблюдается при ШП- и 5'/-помехе, а при № — 1,2 проявляется при НЧ- и В ^-помехе (I е [1, л]) и частично (г = 3,4) при ШП-помехе;

- усиление взаимной компенсации достигается согласно (12) и (13) при уменьшении шага А1 и верхней частоты эффективной полосы спектра помехи 3щ, чему способствует предварительная фильтрация реализации уу*,/,-;

- показатель хп даже при уровне помехи 5у/т= 1,0 принимает малые значения порядка 0,0001 при Ш = 0 в случае ЯЧ-помехи и при 1Р = 1, 2 в случае НЧ- и В '/-помехи, а также принимает сравнительно малые значения порядка 0,01 при = 1, 2 в случае Ш/7-помехи.

Относительно ошибки еа отметим следующие основные положения:

- возможность уменьшения ошибки еа путем регуляризации оказывается весьма ограниченной - заметное уменьшение еа при ра = ра0 наблюдается только в случае НЧ-помехи (ошибка еа уменьшается в 23,2 раза при Ш = 0, в 5,5 раза при Л7 = 1 и в 79,1 раза при 1¥ = 2), а в случае Д/Л-помехи уменьшение ошибки еа при ра = рао крайне незначительно (ошибка еа уменьшается в 1,48 раза при Ш = 1 ив 1,14 раза при Ш = 2), причем в случае //"/-помехи малые отклонения ра от ра0 приводят к значительному увеличению ошибки еа;

- существует оптимальная величина шага Лг, обеспечивающая достаточно сильно выраженный минимум ошибки еа и, как правило, имеющая малое значение, при котором число Тап принимает большие величины;

- несмотря на большие числа Тодда Тап ошибка еа для помех уровня 5-п>т< 1,0 при Ш = 0 малая (еа <0,04) в случае #¥-помехи и существенная (еа <0,24) в случае ШП- и ВЧ-помехи, а при Ш = 1, 2 принимает достаточно малые значения (еа < 0,09) при любой помехе, причем ошибка еа на 1 - 2 порядка больше показателя хп;

- при малых ошибках еа наблюдаются весьма значительные ошибки восстановления вещественных и мнимых частей полюсов ПФ ^(з), малые ошибки восстановления вещественных частей полюсов ПФ IV(г) и большие ошибки восстановления мнимых частей полюсов ПФ .

Оценка базовой ИХ находится путем решения однородного

разностного уравнения

Ло(2) { *>оп{к-п)} = 0, А: е [п + 2, оо) с точными начальными условиями - 0, к е [1, и], %п(и+1) = 1.

Ошибка ештк = и^ - м/д^, ке[п + 2, да) восстановления базовой ИХ является решением неоднородного разностного уравнения

и

Л(2){е^оп(к-п)} = /№опк = -X еа«0у • у-л-1) 6 [л + 2,со), (14)

М

с начальными условиями еу/опк ~ /\vonk = к е [1, п +1], которому соответствует базовая А ЧХ Н0((о), и в силу его асимптотической устойчивости с увеличением времени к ошибка не накапливается.

При выполнении условий

™оп(к+ у-п-1) - ™опк0 = СОШ, 1е [1, п], (15)

сга=°. 0-Ла= 0. о-яеа =СТ(,-Ст„а=0 (16)

имеем /ыопк = 0, т.е. наблюдается эффект взаимной компенсации слагаемых возмущения /у^яА. усиливающийся с уменьшением шага А/.

Параметр хе представляет собой коэффициент усиления показателей (уровня и дисперсии) возмущения /Копк при его трансформации в ошибку еыопк и полностью определяется свойствами объекта (ПФ ^н(«)) и выбранным шагом Д? (с уменьшением шага Ы возрастает). Отсюда при хе> 1,0 возникает двойной отрицательный эффект - почти пропорциональное параметру хе увеличение показателей (уровня и дисперсии) возмущения /ц,оп^ и такое же усиление показателей ошибки по сравнению с показателями

возмущения ^»пк-

При уменьшении параметра хе за счет увеличения шага А1 ухудшается точность выполнения соотношений (15), (16) и происходит наложение боковых полос амплитудного спектра помехи 8щ на основную полосу [-й>о, ©о]-

Дополнительно отметим следующие основные положения:

- при достаточно малом шаге А/, когда выполняется соотношение хе»1,0, малые ошибка еа и показатели возмущения /юпк могут трансформироваться в весьма значительные показатели (уровень и дисперсия) ошибки , в частности, в случае А/ = 0,02 с имеем хе = 19, 3 и для наиболее характерной ШП-помехи при Ш - 1, 2 и изменении уровня помехи в пределах 8\</т е[0,0,1,0] ошибки еа изменяются в диапазоне [0,0073, 0,0325], а относительные среднеквадратические (на интервале к €[1, К^) ошибки е№0 восстановления базовой ИХ изменяются в диапазоне [0,1259, 0,8768];

- эффективные полосы амплитудных спектров возмущения при НЧ- и ВЧ-помехе находятся в полосе пропускания АЧХ Н0(а>), а при ШП- и частично ВЧ-помехе располагаются за ее полосой пропускания, а тем самым только в этом случае наблюдается фильтрация заметных высокочастотных (<и>Цр) слагаемых возмущения /копк;

- основным фактором уменьшения уровня возмущения является эффект взаимной компенсации его слагаемых, которому существенно способствует предварительная фильтрация реализации >е»£;

- ошибка всегда имеет широкополосный характер.

Прямой путь определения коэффициентов Ьц и их оценок Ьгу, у е [ 1, г +1 ] согласно (4) базируется на соотношениях

Г+1 Т+1

ЬП = X аг0у ■ 1-у) - ЗЬГ] . ¿то/ = 2 аг0] ■ ^0+1-у) .

/=У Ы]

г+1 г+1

5ЬГ) еаг01' ™(М-Л + Л аг0у ' 8^/+1-7) •

1=у ;=у

Погрешности 8Ь^ представляются суммой двух слагаемых. Первое слагаемое всегда характеризуется малым уровнем из-за малых значений начальных отсчетов ИХ г+1], тем более при малых ошибках

еагоу, У [1, г]. Второе слагаемое может иметь большой уровень. Отсюда, прямой путь определения оценок ¿>тоу через (г+1) начальных отсчетов оценки ИХ может приводить к большим ошибкам.

Более предпочтительным представляется определение оценок ЬГу на

основе всей совокупности отсчетов оценки посредством системы

К00 = Кау - К0у +1 линейных алгебраических уравнений (Ьг1 = 0)

[ Br (z) -brï]{ work }=wtk-Svork,ke[Kos>2, Kof < Kw ],

Svork=Swk +[Br(z)-bA]{ework}, *e[l, которая может быть представлена в векторно-матричном виде

Wor-br =w,-ôv0(..

Первая трансформация Гаусса этой системы приводит к системе

У or ' br = foro ~ for5v. О7)

где с учетом оператора усреднения M на ^ е [ К os > Kof ] имеем Vor =-77-' Wjr • Wor = [ vorij =MKoo{ wor(fc+i) • wor{kJrj) ] ],

for0 = "TT— *'w* = [ forOi =MK00{wor(k+t)-w**)]>

Uv =TT— ■ WJr *^^ or = f"forSvi =MK00 [wor(k+i)-5vork)\ K-OO

Вследствие неизмеримости обобщенной помехи 5v0rk решение системы (17) заменяется решением усеченной системы

vOr-br0=fOr0- (18)

С целью улучшения обусловленности матрицы \ог оценки МНК Ьго можно находить из регуляризированной системы

vpor-bro ='ог0. Vpor = Vor + Pü.Er; Рй >0.

При решении системы (18) методом Гаусса эта система преобразуется в систему с верхней треугольной матрицей Удог = Яд {Vor}.

При г = п относительная среднеквадратическая ошибка е^ восстановления коэффициентов Ьу, / е [ 2, n +1 ] определяется свойствами матрицы Von и

степенью неточности задания правой части системы (17). Свойства матрицы Уоп будем характеризовать числом Тодда 7J,„ матрицы Удол, а степень неточности - отношением помеха/сигнал хоп = max \fonSvi I fonOi I-

Ц1,л)

Анализ устанавливают следующие основные положения и выводы:

- все положения по обусловленности матрицы V*„ распространяются на матрицу Уоп, причем числа Тодда ТЬп оказываютя, как правило, несколько больше чисел Тодда Тап ;

- уровень компонент вектора fongv практически всегда (кроме случая НЧ -помехи при IF = 0) определяется уровнем их слагаемых, порожденных ошибкой ewonk, которая имеет заметный уровень (ewon =0,126-0,155 при IF = 1,2 и Swm = 0 ) и /Я/7-характер, что априори определяет существенную ошибку е^ ;

- некоторое уменьшение уровня компонент вектора fon§v достигается только за счет предварительной низкочастотной фильтрации, подавляющей высокочастотные (й»Ц^) составляющие помехи Swk ;

- показатель хоп значительно (на 3-4 порядка при IF = 0, 1, 2 в случае //^-помехи и при IF = 1,2 в случае В ^-помехи) и в несколько меньшей степени (на 1 - 2 порядка при IF = 0 в случае ШП- и ВЧ-помекм уровня; ¿>wm <0,20 и при IF = 1, 2 в случае Я/Я-помехи Swm > 0,50) превосходит показатель х„;

- ошибка е/, практически всегда принимает недопустимо большие значения, в частности, в случае IF = 0, 1, 2 имеем е^, > 10,0 при 5wm> 0,10, а в случае IF = 1,2 имеем ef, 5, 0 уже при 5wm = 0,0;

- в большинстве случаев ошибка е^ и ошибки восстановления нулей ПФ W(z) оказываются несколько меньше при использовании прямого алгоритма, однако в этом случае ошибки, по прежнему, принимают недопустимо большие значения и заведомо отсутствует какая-либо возможность улучшения получаемых оценок коэффициентов.

Оценка ИХ н^ находится путем решения разностного уравнения

Ano(z) {wn(k-n)} = ОД е [л + 2, qo) с неточными начальными условиями w„i = 6п0(л+1)>

п

wnk = b„0(n+2-k) - X an0j ■ wn(k+j-n-X). * e [ 2, n +1 ].

j=n+2-k

Ошибка ewn/c=wic-w„ic,ke[n + 2,ao) восстановления ИХ является решением неоднородного разностного уравнения

л

A(z) {e»n(k-n)} = fwnk = ean0j ■ wn(k+j-n-1). k<=\n + 2,00), (19)

7=1

с начальными условиями е№и1 = fwn] = e6„o(/i+i). и

ewnk=~ E a j ' ewi(jt 1) + /wn* , A: 6 [ 2, и +1 ], j=n+2-k

n

fwnk = ebn0(n+2-k) ~ X eandj ' wn(k+j-n-l) , * e [ 2, я +1 ]. j=n+2-k

Разностные уравнения (14) и (19) отличаются только возмущениями fwonk и fwnk и начальными условиями, а тем самым выводы относительно уравнения (14) оказываются справедливыми и в этом случае, в частности, при достаточно малом шаге At, когда выполняется соотношение хе »1, 0, малые показатели возмущения fwn^ могут приводить к весьма значительным показателям ошибки ewn£.

Возмущения fwonk и fwnk при к > п + 2 характеризуются одинаковой структурой, в результате чего при выполнении условий

w„(*+j-n-l) = wnk0 = const, j 6 [ 1, n ] (20)

и условия (16) наблюдается .эффект взаимной компенсации слагаемых возмущения /кпк(/-л>пк-о)^ усиливающийся с уменьшением шага Д/.

По возмущению отметим следующие основные положения:

- возмущение fwnк на интервале к < п + 1 определяется очень большими ошибками e^)nQj и ограниченно сверху величиной /шт, а на интервале к>п + 2 определяется малыми ошибками eanQj и принимает значения меньше величины на 2 - 3 порядка при действии НЧ- и ВЧ- и на 1 - 2 порядка при действии ШП- помехи;

- при достаточно малых ошибках е^^ и имеем

/\vonk ~ хе ■ Алк, к е[п + 2, оо);

- в случае 5 = 0,0 показатели возмущения ПРИ - О значительно (на несколько порядков) меньше таковых при №= 1,2;

- в случае 8\\'т = 1,0 показатели возмущения /^„^ при 1Р = 0 по сравнению с 1Р = 1,2 заметно меньше в случае ЯЧ-помехи и больше примерно в 50,0 (№= 1) и 5,0 (1Р= 2) раз при Ш/7-помехе и 25,0 раз при ВЧ-помехе;

- амплитудные спектры возмущения всегда имеют выраженный высокочастотный характер и их эффективные полосы располагаются, в основном, за полосой пропускания АЧХ Н0(а), в результате чего обеспечивается эффективная фильтрация значительных высокочастотных

) составляющих возмущения ;

- при выполнении условия хе> 1,0 в данном случае происходит только почти пропорциональное параметру хе усиление показателей ошибки по сравнению с показателями возмущения , что свидетельствует о значительно меньшем влиянии параметра хе на ошибку е^^^ по сравнению с ошибкой е^^;

- уменьшение параметра хе за счет увеличения шага Д/ не дает положительных результатов из-за ухудшения точности выполнения условий (16), (20) и проявления эффекта наложения боковых полос амплитудного спектра помехи 8щ на основную полосу [ -«о, а)д ].

Анализ установил также следующие основные положения и выводы:

- показатели (уровень и дисперсия) ошибки при 8ыт=1,0 и /Р = 0 превышают таковые при № = 1,2, соответственно, в 3,0 - 4,0 и 1,7 раз при ШП-помехе и в 20,0 и 7,0 раз при ВЧ-помехе;

- при различных помехах уровня 8у>т= 1,0 оценки вещественных частей одного или обоих полюсов ПФ ^н(5) оказываются заметно меньше истинных значений, в результате чего соответствующие слагаемые оценки м/пк затухают существенно медленее по сравнению с таковыми слагаемыми ИХ и оценка щь, близкая к ИХ и^ в пределах первой полуволны, в дальнейшем может значительно отклоняется от ИХ щ;

- относительная среднеквадратическая (&е[1,ошибка восстановления ИХ меньше относительного среднеквадратического значения помехи 8м>к (ошибки Зыфк) при №- 0 и НЧ-помехе уровня 8пт <1,0 и при Ш=\,2

и НЧ-помехе уровня 8ыт е[0,05,1,0], а также при //=* = 0-2 и й/Я-помехе уровня <5н>/я = 1,0;

- оптимальные значения шага Ы по минимуму ошибок еа, е„0 и еи, не всегда совпадают;

- ошибки е„, при определении оценок коэффициентов числителя прямым алгоритмом и путем решения системы (18) практически во всех случаях значительно больше при использовании прямого алгоритма;

- зависимости ошибки и относительных среднеквадратичных ошибок восстановления АЧХ (ен) и ФЧХ(е^,) от уровня помехи качественно идентичны, причем количественно ошибки ен во всех случаях, а ошибки е^ зачастую оказываются заметно меньше ошибок е^,.

В четвертом разделе исследованы возможности улучшения получаемых базовым алгоритмом оценок МНК коэффициентов ПФ посредством алгоритмов уточнения нестатистического и статистического типа.

Алгоритмы уточнения нестатистического типа предполагают использование оценки обобщенной помехи или менее зашумленной (по сравнению с исходной или сглаженной оценками) восстановленной оценки ИХ. Показано, что алгоритм на основе оценки обобщенной помехи является принципиально неработоспособным. Поскольку восстановленная оценка ИХ менее зашумлена только при ЯЧ-помехе, а ошибка восстановления ИХ имеет широкополосный характер (что ухудшает условия проявления эффекта взаимной компенсации слагаемых обобщенной помехи), то отсюда следует неэффективность и весьма ограниченная область применения такого алгоритма.

Рассматриваются возможности применения известных статистических методов (ОМНК, ММП, МКФ и МИП) в задаче восстановления, существенной особенностью которой является принципиальная ограниченность эффективной длительности ИХ (параметра в частности, при неколебательной ИХ

параметр заведомо принимает малые значения.

ОМНК базируется на сведении исходной системы (9) к виду, при котором неизмеримое слагаемое правой части представляется реализацией белого шума. Такое положение достигается использованием гипотезы о том, что обобщенная помеха может трактоваться как реакция некоторого дискретного линейного формирующего фильтра на центрированный белый шум В частности, при ЛР-модели обобщенной помехи этот фильтр описывается оператором

Сг(г) = сг\ +сг2-г + Сгз-г2 + +гр

и имеют место соотношения

Сг(2){^к+г+1-Р)} = 5(*+г+1)> *е[1,оо], (21)

Ч(^+г+1) = С7,(г){5(А+г+1+1р)}, Ае[1,°о]. (22)

Теоретически, коэффициенты оператора Сг(г) (при заданном р) можно определить согласно (21) из системы Ка линейных уравнений

[Сг(г)-= + 5^+г+1), к &[К5,Ку],

которая записывается в векторно-матричной форме и после первой трансформации Гаусса приводится к виду

(1 / К0) • б'V? • &V,. • сг = -(1 / К0) • &УГТ • 5уг + (1 / Ка ) • 5УГТ • \.

т —

При достаточно большом параметре К0 имеем (\!К0)-Ь\; -5Г=0 и оценка ОМНК сог может быть найдена из усеченной системы

§Угт-5Уг-сог = -5УгТ-5Уг. (23)

Соотношение (9) с учетом (22) записывается в форме

1)} = СГ1(г){8^+г+1+р)}, к е[1,со] и после воздействия оператором С',, (г) представляется в виде

Рг(2){н'*(к+\)} = Ь(1ч-г+\+р)> *е[1,оо]. (24)

Оператор О (г) определяется соотношением £>г(г) = Сг(г)-Аг(г) = с1г1+с1г2-2 + ... + </г(р+г) • + г^

и коэффициенты операторов Аг(г), Сг(г) и 1>г(г) связаны вьфажениями (

Е °г(1+1-;) • сг; = *п> » 6[1,/> + /•], (25)

7=1

аг(г+1) = сг(/>+1) =1. «</ = о при У > г + 2, сгу- = 0 при ]> р + 2. Рассматриваются три используемые при параметрической идентификации варианта реализации алгоритмов уточнения на основе ОМНК.

В рамках ОМНК1 система (9) с учетом (22) после воздействия оператора Сг(г) записывается в форме

[Аг(г) - гг]{иц*+1)} = + 5упг(*+г+1+р), к е[К,,КД

™пк =Сг(г){н>*к], &пгк=&к=Сг{г){Ъугк},

^го-' *г = -*п(/-+1) + 5уш-(г+1) и после первой трансформации Гаусса принимает вид

т

^ш- 'лг 'г +'П8уг> V = (1 /Ка)• \УПГ • У^ш-, Т Т

В рамках ОМНК2 система (9) с учетом (21) принимает форму \У,Г • яг = + 5УГ ■ сг + 8Г

и после первой трансформации Гаусса представляется в виде

У*го 'аг = + 'бг •

fwcr =Q'KoVwi -[w*(r+l) +6V,-cr], f5r = (1/K0)-W* Л-

В рамках ОМНКЗ используется расчетное соотношение (24) и основная система Ка линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов drj записывается в форме

[£)r(z)-2(;,+r)]{w»(Ä+1)} =-wt(k+r+i+p) + 8(jt+r+1+i>), ke[Ks,Kf],

=-wi/(r+1) + 6r (26)

и после первой трансформации Гаусса принимает вид

\dr dr =-fdwr +ГДи., V* = (1/*0)-W& ■ W,*.,

'Аи- WX W = (1/K0)-Wjr -5r.

Неизвестные оценки ye[l,r] и corj, у s[l,p] находятся путем

решения системы (р + г) нелинейных уравнений вида (25). Предложена итерационная процедура решения этой нелинейной системы, для запуска которой необходимо задание только нулевого приближения оценки коэффициентов аг - оценки МНК аго.

При достаточно большом значении параметра К0 имеем

fnSw ~ О, Цг - 0, fd5vr ~ 0 и оценки ОМНК aor, dor находятся из усеченных систем

^пг ' ®ог ~ ~^nwr' V*ro" aor ~ ~^wor > ^dr ' ^or ~ ~^dwr > причем первые дае системы (матрица Vnr и векторы fnw, fwor) формируются через неизвестные оператор Cr(z) и обобщенную помеху 8vr^ (что определяет основной недостаток алгоритмов ОМНК1 и ОМНК2), а формирование третьей системы не встречает трудностей.

Алгоритмы ОМНК1 и ОМНК2 можно реализовать только приближенно (порядок р задается априори) путем итерационного процесса, на каждом 1-м ( / e[l,L]) шаге которого выполняются операции:

- вычисляется оценка 5vQrfc обобщенной помехи;

- формируется алгебраическая система вида (23) относительно оценки сг/ коэффициентов сг, причем матрица SVor/ и вектор 5vor/ выражаются через оценку 6vor№, и находится оценка сг/;

- формируются оценки усеченных алгебраических систем, решением которых являются уточненные оценки аг/ коэффициентов аг.

При этом вопрос сходимости оценок аг/ к оценке ОМНК а0/. (как и в алгоритмах параметрической идентификации) остается открытым.

Синтезирован алгоритм восстановления AZT путем трансформации алгоритма структурной и параметрической идентификации, использующего алгоритм ОМНК2 и процедуру рекуррентного обращения матриц.

Оценки ММП яог и сог находятся из условия максимизации логарифмической функции правдоподобия Зммп. Если порождающий белый шум

является гауссовским, то функция Зммп записывается в явной форме, а ее максимум достигается при выполнении условий, которые и определяют систему (г + р) нелинейных алгебраических уравнений относительно оценок ММП аог и сог коэффициентов яг и сг. При этом вывод нелинейной системы не связан с условиями относительно величины параметра Кп. Предложена итерационная процедура решения этой системы, для запуска которой необходимо задание только нулевого приближения оценок коэффициентов аг (оценки МНК аго).

Показано, что при калмановской фильтрации базовым соотношением может служить только соотношение (26), на основе которого синтезирован рекуррентный алгоритм уточнения МКФ с использованием ЛР-модсли обобщенной помехи. По окончании рекуррентной процедуры оценки аог и сог определяются по найденным оценкам коэффициентов путем решения нелинейной системы вида (25). Из-за ограниченной длительности ИХ оценка МКФ заведомо будет менее эффективной по сравнению с оценкой ОМНК. Помимо указанного в алгоритмах уточнения МКФ дополнительно требуется выполнение условия гауссовости порождающего шума и правильное задание его дисперсии, а также задание начальных значений оценок коэффициентов йг и обратной матрицы.

Машинный анализ алгоритма ОМНК1 показывает, что практически всегда при надлежащем выборе порядка р обеспечивается уменьшение ошибки еа, которое при № = 0 незначительно, а при № - 1,2 наблюдается уменьшение ошибки еа в случае НЧ- и ВЧ-помехи на порядки, а в случае ШП-помехи в 1,5 -2,0 раза, причем для оптимальных вариантов ошибка еа наиболее заметно уменьшается, как правило, на первой итерации (/ = 1). Помимо указанного машинный анализ показал

- неработоспособность алгоритма ОМНК2, обусловленную тем, что почти всегда при первом уточнении (/ = 1) получаемые оценки а,./ приводили к неустойчивости оценки однородного разностного уравнения и процедура уточнения прекращалась;

- сходимость предложенных процедур решения нелинейных алгебраических систем в алгоритмах ОМНКЗ и ММП и сильную чувствительность оценок ОМНК!, ОМНКЗ и ММП к порядку р.

В общем, установлены следующие основные положения:

- существенным недостатком алгоритмов ОМНК является зависимость от априори значительно ограниченной величины параметра Ка, а алгоритмы ММП оказываются свободными от этого недостатка;

- эффективность алгоритмов ОМНК и ММП сильно зависит от выбранной структуры ПФ формирующего фильтра, в частности, при выборе АР-модепи обобщенной помехи от порядка р, причем в алгоритмах ММП из-за необходимости обеспечения гауссовости порождающего шума эта зависимость значительно усиливается;

- основная ошибка восстановления обусловлена произвольным выбором структуры ПФ формирующего фильтра (в алгоритмах ОМНК дополнительно

ограниченностью эффективной длительности ИХ), вследствие чего порождающий шум не является хорошим приближением к белому (в алгоритмах ММП дополнительно гауссовскому) шуму;

- алгоритмы ОМНК1 и ОМНК2 могут быть реализованы только итерационно, что порождает дополнительную ошибку восстановления;

- алгоритмы ОМНКЗ и ММП приводят к нелинейной системе, решение которой осуществляется итерационным процессом, что требует анализа условий его сходимости и порождает дополнительную ошибку восстановления.

Введем в рассмотрение матрицу иг~[иг(к+^> ^ е [АГ^, _/е[1,г]] с

элементами представляющими собой отсчеты функции игк (инструментальной переменной), которая сильно коррелирует с ИХ щ и не коррелирует с обобщенной помехой .

В случае МИП решение системы (9) сводится к решению системы

т

УигО • яг = -Гии/гО + ГИ6уг0. УиИ) = (1/^о)'иг -^»г.

X X

ГиитО = 01К„)-иг ■ Гы8уг0 = (1/К0)-иг -5уг(г+1).

При достаточно большом значении К0 справедливо соотношение

-0 и оценка МИП находится из решения усеченной системы

^игО ' аог = •

Трудность использования МИП обусловлена сложностью выбора инструментальной переменной. При решении задачи параметрической идентификации известны два подхода (методы сдвига и линейного фильтра) к синтезу инструментальной переменной, которые легко адаптируются к задаче восстановления разностного уравнения.

В" рамках метода сдвига принимается = *>*(к+1а) ~^КУ1/{м,*к)->

Лб[1,А"и/], причем сдвиг 1а задается таким образом, чтобы эта реализация не коррелировала с обобщенной помехой 6уг^ . Применение метода сдвига сильно затруднено выбором надлежащи) сдвига 1а.

В рамках метода линейного фильтра инструментальная переменная должна представлять собой отличную от оценки реализацию, сильно коррелирующую с ИХ Такими реализациями являются оценки или у>огк. Однако каждая из указанных оценок коррелирует и с помехой Отсюда вытекает принципиальная невозможность выбора идеальной инструментальной переменной и только приближенная реализация алгоритмов уточнения на основе итерационной процедуры.

Синтезированы алгоритмы уточнения на основе МИП для метода сдвига при выборе в качестве начального приближения инструментальной переменной функции = н^д - Мк е Н.^и-] и последующего уточнения инструментальной переменной путем организации на каждом г-ом шаге дополнительного итерационного ¿-шагового процесса. Этот алгоритм требует специальных исследований по сходимости получаемых оценок аг/ к оценке МИП яог.

Машинные исследования показывают, что даже недостаточно эффективное уточнение оценки МНК наблюдается не всегда. В частности, для итерационного ¿-шагового процесса при IF - 1, 2 наблюдается уточнение (иногда на порядок) только при #¥-помехе. При IF = 0 уточнение на 10% + 50% наблюдается практически всегда и с увеличением уровня помехи эффективность уточнения возрастает.

Синтезирован алгоритм восстановления AWR, использующий идею реализации МИП из одного алгоритма параметрической идентификации.

В целом можно отметить следующие основные положения:

- алгоритмы МИП не используют модель обобщенной помехи и не приводят к решению нелинейной алгебраической системы;

- существенным недостатком алгоритмов МИП является зависимость от априори значительно ограниченной величины параметра Ка;

- возможности выбора инструментальной переменной существенно ограниченны и не видно эффективных путей решения этой проблемы;

- основная ошибка восстановления порождается ограниченностью эффективной длительности ИХ и значительной коррелированностью выбираемой инструментальной переменной с обобщенной помехой;

- алгоритмы уточнения МИП могут быть реализованы только приближенно через итерационную процедуру, что порождает дополнительную ошибку восстановления и приводит к необходимости специальных исследований по сходимости получаемых оценок аг/ к оценке МИП лог.

Исследованы синтезированные алгоритмы уточнения оценки МНК b^g, аналогичные алгоритмам уточнения оценки МНК arg. Показано, что алгоритм на основе оценки обобщенной помехи неработоспособный, а другие алгоритмы по сравнению с таковыми алгоритмами уточнения оценки МНК arQ оказывается менее эффективными, в частности,

- в алгоритме ОМНКЗ основной недостаток алгоритмов ОМНК1 и ОМНК2 сохраняется, а в алгоритмах ОМНК1, ОМНК2 и ММП возможности уточнения заведомо значительно ухудшаются из-за очень больших погрешностей, содержащихся в оценках МНК bro, которые принимаются в качестве начальных значений используемых итерационных процедур;

- в алгоритмах МИП дополнительная сложность выбора инструментальной переменной объясняется наличием только восстановленной оценки базовой ИХ, что позволяет использовать лишь метод сдвига и такой алгоритм априори представляется неэффективным из-за трудности выбора величины сдвига и возможной значительной ошибки е.

В целом, проведенный анализ показывает, что можно ожидать заметного уточнения оценок МНК Ьг0 только на основе ММП.

Приведенный сравнительный машинный анализ алгоритмов восстановления ABS-PAC, ABS-POM (JF = 0 - 2), AZT, AWR и известного алгоритма ASR по ошибкам еа и ew (для всех алгоритмов при 8wm >0,01 получаем > 10,0) показывает предпочтение алгоритма ABS-PAC.

В пятом разделе решается задача структурной идентификации . дискретной ПФ, формируются различные виды функционалов и представлены результаты детального машинного анализа этих функционалов.

Структурный синтез АРСС-модели сигнала базируется на использовании ранговых критериев, информационных критериев и проверки статистических гипотез. Сравнение показывает, что в задаче восстановления дискретной ПФ методы проверки статистических гипотез принципиально не применимы, а информационные критерии можно построить только чисто формально.

Определение порядка п осуществляется в рамках Я-шаговой процедуры, на каждом r-ом (ге[1,Л]) шаге которой в случае ранговых критериев проверяется линейная зависимость функций wцщ, ke[Ks,Kj-], _/е[1,г] и если на некотором га-ом шаге эти функции впервые оказываются линейно зависимыми, то принимается

п = г0-1,

а в случае аналогов информационнных критериев вычисляется некоторый функционал ег от рассогласования = wk ~ wrk> и порядок п

определяется по окончании Я-шаговой процедуры в виде

n = rn, er = min е,.

0 * r4\,R] г

При использовании ранговых критериев приходится оперировать с оценками отсчетов ИХ. Введем обобщенную оценку w^, под которой будем понимать исходную Wtk, сглаженную или восстановленную wrk оценки ИХ и восстановленную оценку базовой ИХ. Проверка линейной зависимости функций W(j+k)> У е П,'"] заменяется проверкой линейной зависимости оценок wo(k+j)> 7 е [I,г], которая сводится к проверке ранга матрицы Wor

ke[Ks,Kf], j e [l,r]] или проверке определителя матрицы Vor = wjr ■ Wor.

Вместо матрицы Vor можно рассматривать другую матрицу, эквивалентную матрице Vor и у которой легко определяются характеристические корни. При этом удобно рассматривать матрицу треугольного вида Удог = -Рд{Уог}, диагональные элементы удоп,- которой являются ее характеристическими корнями. При соответствующем приведении матрицы к треугольному виду элементы vAoril располагаются в порядке убывания их абсолютных значений.

Характерными показателями матрицы VAof. являются определитель detV^or, число Тодда TVAor и минимальный корень | vAorrr а анализируемые ранговые функционалы ъг представляют собой отношения £г = Prfor Ч de'VAo(r-\) 111 det\Lar |, er = Pror = TvAor1 TVbo(r-\)> zr = PXor -I vAo(r-l)(r-l)(r-l) 111 уДоrrr I •

Для каждого конкретного типа обобщенной оценки ыок получаем три различных типа функционалов, причем функционалы гг = Рг*г> РЛ*г формируются по исходной или сглаженной а>ск оценкам ИХ \мк и не зависят от свойств алгоритма восстановления, функционалы ег - р^ог, Ртоп РЛог формируются по восстановленной оценке -могк базовой ИХ ч/ок и зависят от точности вычисления оценок коэффициентов полинома Аг(г) и оценки ч/огк базовой ИХ, а функционалы ег-р^гг, р^, рхгг формируются по восстановленной оценке ИХ м>к и зависят от всех свойств алгоритма восстановления.

Помимо указанных построен также специальный функционал еуд*г.

Для ранговых критериев предполагается существование уровня функционала ег, превышение которого свидетельствует о линейной зависимости функций 3 е П»',]> и в качестве характерного номера шага г0 принимается номер г, при котором впервые выполняется условие ег < 8Ет, а уровень 6Ет априори задается.

Ранговые функционалы в идеальном случае (при точном задании отсчетов ИХ или базовой ИХ и отсутствии вычислительных погрешностей) обеспечивают строгое определение порядка ПФ, а их недостаток обусловлен трудностью задания численной величины порогового уровня 8Ш. Указанная трудность усугубляется тем, что в каждом конкретном случае необходимо задавать свое значение порогового уровня.

Отсюда прямо возникает необходимость применения оптимизационных функционалов, свободных от указанного недостатка.

Поскольку ИХ щ неизвестна, то функционалы ег можно сформировать только по рассогласованию еК,гк = и^ -Щк, между исходной

(сглаженной пск) и восстановленной -н>гк оценками ИХ м>к. При этом оценка п0 порядка л определяется соотношением

Недостаток этих функционалов обусловлен отсутствием строгого обоснования возможности определения порядка.

Рассматриваются следующие функционалы от рассогласования еог = гг: аналоги финальной ошибки предсказания, информационного критерия Акаике и критерия длины минимального описания, а также построенные по центрированным и нецентрированным реализациям относительные среднеквадратичные ошибки (при условии, что реализация является эталонной и эталонная реализация отсутствует) и ошибки на основе коэффициента корреляции.

Помимо перечисленных функционалов еог рассматриваются

- относительная смещенность рассогласования (при * О ) -«г =есмА =\МК„ {е**гк) } |,

где {•} - оператор усреднения на интервале к е [1,Ку,\;

- верхняя частота Q^ эффективной полосы оценки А ЧХ Нгк.

Обсуждается возможность построения внешних функционалов на основе

разделения оценки ИХ w*¿, к e[l,íTw] на две-обучающуюся щк, А: е [1, ] и проверочную wik, А: е [1, ATw2 ] реализации. При этом расширяются возможности формирования различных функционалов, однако из-за двукратного уменьшения длительности обучающей и проверочной реализаций по сравнению с исходной существенно снижается статистическая эффективность процедуры определения порядка.

Анализ устанавливает следующие основные положения.

При использовании ранговых функционалов ег

- условие обращения в нуль характерного показателя матрицы Удог путем использования неизвестного порогового уровня 8ет можно заменить совокупностью условий, выражающихся через экстремальные значения функционалов и их отношений;

- функционалы на основе чисел обусловленности рТтог и минимального корня рхог обеспечивают близкие результаты и практически всегда уступают функционалам на основе определителей pdor;

- несмотря на большие ошибки определения базовой ИХ и коэффициентов числителя ПФ функционалы, формируемые по восстановленным оценкам базовой ИХ и ИХ, характеризуются высокой эффективностью;

- для функционалов pdor правильный порядок п с учетом введенных дополнительных условий, обеспечивающих исключение необходимости использования порогового уровня 5ет, находится

- с,1ри #¥-помехе в случае IF = 0-2 при 5wm <1,0 (для функционала pdor в случае IF = 0 при 5wm < 0,50);

- при ШП- помехе в случае IF = 1, 2 для функционала pd»r при 5wm <1,0 (кроме 8wm = 0,10, 0,20 ), для функционала pdrr при bwm <0,50 (IF = 1, кроме 8wm =0,10) и 8wm <1,0 (IF = 2, кроме owm =0,50), а для функционала pdor при 8wm <1,0 (кроме bwm =0,20);

- при В Ч-помехе в случае IF = 1,2 при 5wm <1,0 (для функционала pd„r в случае IF = 1 при 8wm < 0,50).

При использовании функционалов от рассогласования sor

- применение центрированных реализаций не позволяет улучшить процедуру определения порядка, причем все функционалы еог обладают близкими свойствами и в общем случае нельзя выделить функционалы, характеризующиеся значительно более ярко выраженными экстремумами;

- улучшение процедуры определения порядка п Достигается учетом дополнительных (помимо минимума) условий;

- анализ изменения какого-либо из функционалов еог п<мЧ0Ляет получить информацию о преимущественном характере помехи 8wk;

- для функционалов еог правильный порядок п находится

- при ЯУ-помехе в случае IF = 0 при bwm <0,50, в случае IF = 1 при 5wm < 0,20 и в случае IF = 2 при 5wm 5 0,10;

- при ШП-помехе в случае IF = 0 при dwm <0,01, в случае IF = 1 при 5wm <0,10 и в случае IF = 2 при &wm < 0,05;

- при ßV-помехе в случае IF = 0 при 5wm <0,001, в случае IF - 1,2 при 5wm<l,0.

Функционал £lWr эффективный только при IF= 1, 2 и 5¥-помехе.

Таким образом, могут быть сделаны следующие общие выводы:

- применение предварительной низкочастотной фильтрации оказывает на эффективность процедуры восстановления порядка л значительное положительное влияние в случае использования любого'рангового функционала ег (особенно при ШП- и В У-номехе) и заметное отрицательное влияние только для функционалов еог при НЧ-помехе;

- ранговые функционалы ег (с учетом условий, исключающих необходимость использования уровня 8Ет) по потенциальным возможностям заметно превосходят функционалы от рассогласования гог;

- правильный порядок л достаточно надежно находится при использовании различных функционалов в случае НЧ- и 5Ч-помехи высокого уровня 8wm <1,0 и ШП- помехи уровня bwm <0,10, причем для функционала eCMr (IF = 1, 2) существует большая вероятность правильного определения порядка п при Д#7-помехе уровня 8wm <1,0, а повышение надежности определения порядка можно обеспечить за счет использования не одного, а некоторой совокупности функционалов.

Показано существование функционала еуд*г > обеспечивающего правильное определение порядка п в случае ШЯ-помехи высокого уровня 8wm <1,0, что прямо свидетельствует о целесообразности поиска более эффективных (по сравнению с рассмотренными) функционалов.

Сравнение процедур определения порядков на основе алгоритмов ABS-РАС, ABS-POM (в случае функционалов eor), ASR, AZT и AWR отдает безусловное предпочтение алгоритму ABS-PAC, причем алгоритм ASR не обеспечивает правильное определение порядка л даже при отсутствии помехи (8wm =0), а алгоритмы AZT и А WR при надлежащем выборе корректирующих параметров обеспечивают правильное определение порядка л при НЧ-помехе высокого уровня, однако неэффективны при ZZ//7-помехе и, особенно, ВЧ-помехе даже низкого уровня 8wm >0,001 (алгоритм AZT) и 8wm >0,01 (алгоритм А WR).

Проведенные исследования и сформулированные на их основе выводы представляют собой базовые положения для синтеза эффективной процедуры определения порядка разностного уравнения.

В Приложении 771 (60 с.) приведен критический обзор современного состояния проблемы параметрической (рассмотренные методы объединены в

три группы - подход на основе ошибки предсказания, корреляционный и компенсационный подходы) и структурной (методы на основе ранговых критериев, информационных критериев и проверки статистических гипотез, отдельно выделены методы на основе частотных характеристик и других подходов) идентификации линейных динамических моделей, описывающих линейные непрерывные и дискретные динамические объекты и статистические ЛРСС-модели дискретных сигналов.

В Приложении 772 (20 с.) описан пакет прикладных программ RESDEQ.

В Приложении 773 (20 с.) представлены сведения о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Впервые всесторонне исследована проблема восстановления дискретной ПФ по зашумленной аддитивной помехой оценке ИХ, которая лежит в основе решения проблемы полной идентификации линейного динамического объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах, различного характера и высокого уровня помех, и установлено влияние собственных свойств идентифицируемой ПФ, шага дискретизации по времени и характера помехи на точность восстановления, в частности, впервые установлены следующие положения:

- матрицы линейных алгебраических систем относительно оценок коэффициентов полиномов знаменателя и числителя ПФ плохо обусловленны, а возможности улучшения обусловленности путем классической регуляризации или увеличения шага дискретизации по времени существенно ограниченны и неэффективны в плане уменьшения ошибок восстановления коэффициентов ПФ;

- выявлены эффекты взаимной компенсации слагаемых компонент неизмеримой составляющей вектора правой части линейной алгебраической системы относительно оценок коэффициентов полинома знаменателя ПФ и слагаемых неизмеримых возмущений линейных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ, условия проявления которых определяются распределением полюсов ПФ, шагом дискретизации по времени и характером помехи;

- существует параметр, характеризуемый распределением нулей идентифицируемой ПФ и определяющий коэффициент усиления показателей (уровня и дисперсии) неизмеримых возмущений линейных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ при их трансформации в показатели ошибок восстановления базовой ИХ и ИХ, а также определяющий коэффициент усиления между неизмеримыми возмущениями линейных разностных уравнений относительно оценок ИХ и базовой ИХ;

- эффективная полоса амплитудного спектра неизмеримого возмущения разностного уравнения относительно оценки ИХ сосредоточена в области высоких частот (по сравнению с базовой АЧХ), что всегда обеспечивает значительное подавление этого возмущения.

2. В общем, процедуры восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ и ИХ характеризуются сильной помехоустойчивостью, помехоустойчивость процедуры восстановления базовой ИХ может оказаться слабой, а

процедура восстановления коэффициентов полинома числителя ПФ всегда характеризуется слабой помехоустойчивостью.

3. Вследствие достаточно плохой обусловленности матриц решаемых алгебраических систем и невозможности ее заметного улучшения большое значение приобретают алгоритмы уточнения оценок МНК коэффициентов ПФ. Исследование синтезированных нестатистических и статистических (на основе ОМНК, ММП и МИП) алгоритмов уточнения оценок МНК коэффициентов ПФ устанавливает следующие основные положения:

- нестатистические алгоритмы уточнения неработоспособны;

- эффективность алгоритмов уточнения на основе ОМНК и МИП априори ограничивается конечной эффективной длительностью ИХ;

- при АР-модели обобщенной помехи не удается обеспечить хорошее приближение обобщенной помехи к гауссовскому белому шуму;

- алгоритмы уточнения на основе ОМНК и ММП оказываются сильно чувствительными к порядку ЛР-модели обобщенной помехи и при неправильном выборе этого порядка могут приводить к заметному увеличению ошибки восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ;

- алгоритмы уточнения на основе ОМНК и ММП практически всегда при надлежащем выборе порядка /"-модели обобщенной помехи обеспечивают уменьшение (в ряде случаев значительное - на порядок) ошибки восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ;

- эффективное уточнение оценок МНК коэффициентов полинома числителя ПФ можно ожидать только при использовании ММП.

4. При определении порядка ПФ исследовались многочисленные функционалы от различных показателей характерных матриц (формируемых по отсчетам исходной (сглаженной) оценки ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ и ИХ) и от рассогласования между исходной (сгла-женной) и восстановленной оценками ИХ. Установлены, в частности, следующие положения:

- при использовании ранговых функционалов условие обращения в нуль характерного показателя путем использования порогового уровня может быть заменено некоторой совокупностью условий, выражающихся через экстремальные значения функционалов и их отношений;

- несмотря на большие ошибки определения базовой ИХ и коэффициентов полинома числителя ПФ ранговые функционалы по восстановленным оценкам базовой ИХ и ИХ характеризуются высокой эффективностью;

- все рассмотренные функционалы от рассогласования обладают близкими свойствами, причем использование центрированных реализаций не позволяет улучшить процедуру определения порядка;

- модифицированные ранговые функционалы по потенциальным возможностям заметно превосходят функционалы от рассогласования;

- правильный порядок ПФ достаточно надежно находится при использовании различных функционалов в случае НЧ- и ВЧ'-помехи 100%-го уровня и ШП-помехи 10%-го уровня, а повышение надежности можно обеспечить за счет использования не одного, а некоторой совокупности функционалов;

- показано существование функционала, обеспечивающего определение правильного порядка ПФ в случае ДОТ-помехи 100%-го уровня, что прямо свидетельствует о целесообразности поиска более эффективных (по сравнению с рассмотренными) функционалов.

5. Синтезированные алгоритмы восстановления дискретной ПФ дают возможность решить задачу полной идентификации линейного динамического объекта в условиях сильного зашумления измеряемых реализаций входного и выходного сигналов и минимальной априорной Информации. При этом существенно расширяется область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры И снижения объема экспериментальных исследований объекта.

6. Разработан пакет прикладных программ ЯЕ80Е<2, включающий многочисленные варианты алгоритмов восстановления дискретной ПФ и предназначенный как непосредственно для исследования алгоритмов восстановления, так и при соответствующей модификации для практической обработки оценки ИХ, идентифицированной по экспериментальным данным.

7. Результаты исследований использовались при синтезе математических моделей объектов и сигналов разнообразной физической природы в виде дифференциальных и разностных уравнений в рамках задач автоматического управления, контроля, обработки экспериментальных данных, измерительной техники и метрологии, а также в учебном процессе.

Проведенные исследования позволили выявить особенности проблемы восстановления, дать обоснованные рекомендации по ее эффективному решению, определить конкретные пути целесообразных дальнейших исследований и представляют собой разработку теоретических основ, методов и алгоритмов восстановления разностного уравнения объекта по зашумленной оценке его ИХ.

Основные положения а результаты диссертации изложены в следующих, приведенных в хронологическом порядке, основных, публикациях:

1. Кононов В.Т. Метод регуляризации в задаче определения динамических характеристик электрорадиоцепей // Тез. докл. Всесоюзн. науч.-техн. конф. "Радиотехнические измерения в диапазонах высоких частот (ВЧ) и сверхвысоких частот (СВЧ)". Новосибирск: СНИИМ, 1980. С. 52 - 53.

2. Кононов В.Т. Об одном подходе к текущей нестационарной параметрической идентификации И Тез. докл. 3-го Всесоюзн. науч.-техн. симпоз. "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии". Новосибирск: СНИИМ, 1982. С. 73 - 75.

3. Кононов В.Т. Алгоритм идентификации нестационарных параметров тензовесовых элементов // Тез. докл. 4-го Всесоюзн. науч.-техн. симпоз. "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии". Новосибирск: СНИИМ, 1985. С. 186 - 187.

4. Кононов В.Т. Регуляризирующий алгоритм параметрической идентификации // Математические модели прикладной метрологии. Л.: НПО ВНИИМ им. Д.И.Менделеева, 1986. С. 40 - 49.

5. Кононов В.Т. К выбору корректирующих параметров метода нестационарной параметрической идентификации // Тез. докл. 5-го Всесоюз. науч.-техн. симпоз. "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии". Новосибирск: СНИИМ, 1989. С. 102 - 103.

6. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгоритм текущей идентификации нестационарных параметров // Тез. докл. 11-го Всесоюз. совещания по проблемам управления. М.: АН СССР, 1989. С. 117-119.

7. Кононов В.Т. Анализ регуляризированного уравнения нестационарной параметрической идентификации // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками. Новосибирск: НЭ'ГИ, 1989. С. 52 - 58.

8. Anisimov A.S., Kononov V.T., Chikildin G.P. Comparison of nonstationary parameters current identification methods // Evaluation of adaptive control stratégies in industriel applications. IFAC Workshop sériés, England, Oxford: Pergamon press pic., 1990. № 7. P. 35 - 40.

9. Анисимов A.C., Кононов В.Т. Декомпозиционный алгоритм восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики // Научный вестник НГТУ. 1997. № 1. С. 3 - 19.

10. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Синтез базового алгоритма восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики // Научный вестник НГТУ. 1998. № 1. С. 30-45.

11. Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Низкочастотная фильтрация на основе быстрого преобразования Фурье // Тр. 4-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного машиностроения" (АПЭГ1-1998). Новосибирск: НГТУ, 1998. Т. 13. С. 51 -56.

12. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Исследование алгоритмов преобразования математических моделей. Новосибирск: НГТУ, 1998.46 с.

13. Кононов В.Т. Особенности восстановления коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции объекта // Научный вестник НГТУ. 1999. № 2. С. 32 - 46.

14. Кононов В.Т. Особенности восстановления базовой импульсной характеристики объекта // Сб. научных трудов НГТУ. 1999. № 4. С. 32-43.

15. Кононов В.Т. Особенности восстановления коэффициентов полинома числителя дискретной передаточной функции объекта // Сб. научных трудов НГТУ. 1999. № 4. С. 44 - 55.

16. Кононов В.Т. Особенности восстановления импульсной и частотных характеристик объекта // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 1. С. 47 - 57.

17. Кононов В.Т. О нестатистических алгоритмах уточнения оценок коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции // Сб. научных грудов НГТУ. 2000. № 1. С. 38 - 46.

18. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Идентификация порядка при восстановлении линейного разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. № 1. С. 47-56.

19. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Статистические алгоритмы восстановления разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. № 1. С. 57 - 73.

20. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по исходной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 2. С. 64 - 73.

21. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по функционалам от рассогласования // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 2. С. 74 - 83.

22. Anisimov A.S., Kononov V.T., Hudyakov D.S. Algorithms of reconstruction of difference equation of the basis of maximum likelihood method // Proc. 4th Korea - Russia Int. Symp. on Science and Technology (KORUS-2000). Republic of Korea, Ulsan: University of Ulsan, 2000. Part 2. P. 128 - 134.

23. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по исходной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. №3. С. 18-27.

24. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Идентификация порядка линейного разностного уравнения // Тр. Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2000). М.: ИЛУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2000. Компакт-диск, ISBN 5-201-09605-0. С. 979-991.

25. Кононов В.Т. Идентификация порядка передаточной функции по восстановленной оценке базовой импульсной характеристики // Тр. 5-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП-2000). Новосибирск: НГТУ, 2000. Т. 3. С. 182 - 187.

26. Anisimov A.S., Kononov V.T., Khudyakov D.S. Difference equation reconstruction algorithms based on generalized least square method // Proc. 5th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2000). Novosibirsk: NSTU, 2000. Vol. 1. P. 103 - 108.

27. Kononov V.T. Transfer function order identification on impulse response estimation // Proc. 5th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2000). Novosibirsk: NSTU, 2000. Vol. 1. P. 118 -122.

28. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по восстановленной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 4. С. 43 - 53.

29. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по восстановленной оценке базовой импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 4. С. 54 - 64.

30. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Худяков Д.С. Алгоритмы восстановления разностного уравнения на основе метода инструментальной переменной // Материалы междунар. науч.-техн. конф. "Информационные системы и технологии" (ИСТ2000). Новосибирск: НГТУ, 2000. Т. 2. С. 350 - 354.

31. Кононов В.Т. Идентификация порядка, передаточной функции по относительной смещенности рассогласования // нкуч.-техн.

I БИБЛИвТ F

конф. "Информационные системы и технологии" (ИСТ'2000). Новосибирск: НГТУ, 2000. Т. 2. С. 421 - 425.

32. Кононов В.Т. Сравнительный анализ алгоритмов восстановления порядка разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. № 2. С. 45 - 55.

33. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по относительной смещенности рассогласования // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 5. С. 47 - 56.

34. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Проблема восстановления линейного разностного уравнения // Мехатроника. 2000. № 5. С. 42-45.

35. Anisimov A.S., Kononov V.T., Khudyakov D.S. The metods of linear dynamic objects parameter identification // Proc. IASTED Int. Conf. "Automation, Control, and Information Technology" (ACIT -2002). Anaheim, Calgary, Zurich: ACTA Press, 2002. P. 273 - 278.

36. Anisimov A.S., Kononov V.T. Structure identification of statistical dynamic models on the basis of information criteria // Proc. 6th Russian-Korean Int. Symp. on Science and Technology (KORUS-2002). Russia. Novosibirsk: NSTU, 2002. Vol. l.P. 158-161.

37. Анисимов A.C., Кононов B.T., Худяков Д.С. Современное состояние методов параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов // Научный вестник НГТУ. 2002. № 1. С. 13 - 28.

38. Anisimov A.S., Kononov V.T. . Structure identification of linear discrete dynamic models on the basis of check of statistical hypotheses // Proc. 6th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2002). Novosibirsk: NSTU, 2002. Vol. 1. P. 224 - 229.

39. Анисимов A.C., Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей на основе проверки статистических гипотез // Тр. 6-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП-2002). Новосибирск: НГТУ, 2002. Т. 6. С. 3 - 8.

40. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгебраический подход к определению порядков линейных динамических моделей. 1. Общие положения // Научный вестник НГТУ. 2002. № 2. С. 3 -18. .

41. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгебраический подход к определению порядков линейных динамических моделей. 2. Методы решения // Научный вестник НГТУ. 2002. № 2. С. 19 - 32.

42. Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей по частотным характеристикам // Научный вестник НГТУ. 2002. № 2. С. 33 - 40.

43. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей на основе ранговых критериев // Тр. Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2003, 29 -31 января 2003 г.) М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2003. Компакт-диск, ISBN 5-201-14948-0. С. 227 - 255.

Подписано к печати 13.05.2003г. Формат бумаги 60X84 1/16

Бумага офсетная. Тираж 180 эта. Уч-изд.л. Печ. л. 2,0

Заказ № Z73

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

«•1053 0

¿eoS"/?

icario

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. ПРОБЛЕМА ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ.

1.1. Постановка задачи восстановления.

1.2. Основные расчетные соотношения.

1.3. Обсуждение задачи восстановления.

1.4. Общая структура базового алгоритма восстановления

1.5. Описание модельного объекта и помех.

1.6. Нерекурсивная фильтрация оценки ИХ.

1.7. Особенности фильтрации оценки ИХ на основе БПФ

1.8. Общие положения машинного анализа.

1.9. Фильтрация оценки ИХ в модельных задачах.

2. АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ.

2.1. Восстановление коэффициентов полинома знаменателя

2.1.1. Общие положения.

2.1.2. Алгоритмы на базе решения системы (РАС)

2.1.3. Алгоритм на базе обращения матриц (РОМ)

2.1.4. Алгоритм на базе рекуррентного МНК (РМНК)

2.1.5. Алгоритмы на базе алгоритма С.Качможа (АК)

2.2. Восстановление базовой ИХ.

2.3. Восстановление коэффициентов полинома числителя

2.4. Восстановление ИХ, АЧХ и ФЧХ.

2.5. Декомпозиция процедуры восстановления.

3. МАШИННЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ. 3.1. Восстановление коэффициентов полинома знаменателя

3.2. Восстановление базовой ИХ.

3.3. Восстановление коэффициентов полинома числителя

3.4. Восстановление ИХ, АЧХ и ФЧХ.

4. АЛГОРИТМЫ УТОЧНЕНИЯ ОЦЕНОК МНК.

4.1. Общие положения.

4.2. Не статистические алгоритмы уточнения оценок МНК

4.3. Алгоритмы уточнения на основе ОМНК.

4.3.1. Обтцше положения.

4.3.2. Алгоритмы уточнения 0МНК1.

4.3.3. Алгоритмы уточнения 0МНК2.

4.3.4. Алгоритмы уточнения 0MUK3.

4.3.5. Особенности алгоритмов уточнения на основе ОМНК

4.3.6. Алгоритм уточнения AZT.

4.3.7. Некоторые результаты, машинного анализа.

4.4. Алгоритмы уточнения на основе ММП.

4.5. Алгоритмы уточнения на основе МКФ.

4.6. Алгоритмы уточнения на основе МИП.

4.7. Уточнение оценок ИНК коэффициентов полинома числителя

4.8. Сравнительный анализ алгоритмов восстановления

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ.

5.1. Виды анализируемых функционалов.

5.2. Ранговые критерии на основе исходной оценки ИХ

5.3. Ранговые критерии на основе оценки базовой ИХ

5.4. Ранговые критерии на основе восстановленной оценки ИХ

5.5. Специальный критерий на основе исходной оценки ИХ

5.6. Критерии на основе функционалов от рассогласования

5.7. Критерий на основе смещенности рассогласования . . . 244 • 5.8. Критерий на основе восстановленной оценки АЧХ

5.9. Сравнительный анализ алгоритмов определения порядка

Актуальность темы. Формализованные постановки многих задач науки и техники сводятся к задаче идентификации математической модели. В зависимости от конкретной задачи возникает необходимость построения математической модели в той или иной форме. При решении линейных задач управления и контроля техническими динамическими объектами наиболее приемлемыми математическими моделями являются дифференциальные и разностные уравнения или соответствующие им непрерывные и дискретные передаточные функции (ПФ). Эти модели непосредственно ориентированы на современные методы синтеза автоматических систем [1 - 4] и позволяют сравнительно просто перейти к другим линейным математическим моделям, например, таким, как импульсная (ИХ) или амплитудно-фазовая (АФХ) характеристики. 41 Вопросам разработки методов и алгоритмов пассивной параметрической идентификации моделей в форме дифференциальных или разностных уравнений по измеряемым с помехами реализациям входных и выходных сигналов идентифицируемого объекта посвящена обширная литература 15 - 13}. Однако известные методы и алгоритмы такого рода Г см. Приложение П1) требуют сравнительно большой априорной информации об объекте и помехах. Особенно важной является априорная информация о порядках старших производных (разностей,) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном,) уравнении объекта. Во многих практических случаях эта информация отсутствует, а ее получение предполагает проведение дополнительных экспериментальных исследований. Улучшение точности может быть достигнуто в • рамках активной идентификации при специальных входных тестовых сигналах 114, 15}, однако и в этом случае, по прежнему, требуется большая априорная информация об объекте и помехах и возникают значительные трудности практической реализации тестовых сигналов.

Отсутствие достаточной априорной информации об идентифицируемом объекте и помехах, искажающих измеряемыме реализации входного и выходного сигналов объекта, заставляет обратиться к идентификации интегрального уравнения объекта, описывающегося ИХ.

При идентификации ИХ имеют место следующие достоинства:

- отсутствует необходимость в априорной информации о порядках старших производных (разностей.) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном,) уравнении объекта;

- отсутствует необходимость использования производных входного и выходного сигналов идентифицируемого объекта;

- в настоящее время существуют алгоритмы идентификации ИХ (16 -21J, которые требуют минимальной априорной информации об идентифицируемом объекте и помехах (искажающих измеряемые реализации входного и выходного сигналов объекта;, оказываются слабочувствительными к степени колебательности ИХ объекта и достаточно эффективно функционируют в условиях различного характера (низкочастотная (НЧ-), широкополосная (ШП-), высокочастотная (ВЧ-)) и высокого уровня помех, причем при необходимости априорная информация может быть вообще исключена ( 76, 22 ];

- помехи высокого уровня, искажающие реализации входного и выходного сигналов объекта, трансформируются в помеху значительно более низкого уровня, искажающую идентифиттировянную оценку ИХ.

Наличие эффективных алгоритмов идентификации ИХ дает возможность предложить новый подход к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта (построение любой математической модели (дифференциальное или разностное уравнение, ИХ, АФХ) по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов; посредством последовательного решения трех задач (2311 а именно:

- задачи идентификации ИХ по измеряемым зашумленным реализациям входного и выходного сигналов объекта;

- задачи восстановления дискретной ПФ по найденной оценке ИХ;

- задачи трансформации (при необходимости; оценки дискретной ПФ в требуемую математическую модель.

Целесообразность восстановления по оценке ИХ именно дискретной ПФ объясняется тем, что задача идентификации разностного уравнения по сравнению с задачей идентификации дифференциального уравнения априори обладает существенными преимуществами, так как не требует использования производных (в том числе и высоких порядков; измеряемых реализаций входного и выходного сигналов объекта.

Поскольку имеются качественные алгоритмы перехода от дифференциального или разностного уравнения к другим математическим моделям [24, 257 и в этом плане принципиальных трудностей не возникает, то реализация указанного подхода к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта сводится к проблеме восстановления линейного разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной аддитивной помехой оценке его ИХ.

В рамках обсуждения необходимо особо подчеркнуть, что до сих пор проблема восстановления дифференциального и разностного уравнения по оценке ИХ систематически и всесторонне не обсуждалась и в литературе данной проблеме уделяется крайне незначительное внимание - имеются сравнительно немногочисленные статьи и полностью отсутствует фундаментальная научная литература. Это обстоятельство во многом определяется следующими положениями:

- задачи восстановления дискретной ПФ по оценке ИХ, идентификации дискретной ПФ по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов объекта и построения статистических динамических моделей авторегрессии (АР-модель.), скользящего среднего fСС-модель), авто-регрессии-скользящего среднего (АРСС-модель) измеряемой реализации сигнала в плане конечного результата являются адекватными;

- задачи идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей дискретных сигналов детально изучались, см. Приложение П1, в течении длительного времени;

- задачи идош'ификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей в качестве исходных данных используют непосредственно измеренные реализации сигналов, а задача восстановления дискретной ПФ предполагает предварительную идентификацию ИХ по измеряемым реализациям сигналов, в результате чего, на первый взгляд, представляется неестественной и заведомо характеризующейся неоправданной повышенной сложностью;

- формализованные постановки задач восстановления дискретной ПФ, идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей оказываются близкими и при поверхностном рассмотрении необходимость специального изучения задачи восстановления представляется нецелесообразной.

Отметим, что близость проблем идентификации и восстановления разностного уравнения позволила при решении последней широко использовать ранее полученные автором результаты по исследованию задачи параметрической идентификации динамического объекта 126].

Диссертационная работа частично выполнялась в рамках межведомственной (СО АН СССР, МАП СССР и МГА СССРJ комплексной программы "Алгоритмическое и математическое обеспечение аэрофизического эксперимента", координационного плана Минвуза СССР по проблеме "Инерционно-импульсные системы", координационного плана НИР АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", Межвузовской научно-технической программы "Идентификация сложных систем управления" Госкомвуза РФ и опытно-конструкторской работы "Навигация" Федеральной целевой программы "Глобальная навигационная система".

Результаты диссертации связаны с выполнением следующих НИР:

- госбюджетных НИР "Разработка алгоритмического обеспечения изморошш в динамических режимах" (TP Я 81067728, 1981 - 1982 г.г.,) я "Алгоритмическое и программное обеспечение идентификации динамических объектов" СГР Ш 01860022724, 7986 - 1991 т.т.);

- НИР "Регуляризирущие алгоритмы идентификации импульсной характеристики и восстановления разностного уравнения динамического объекта" (ГР м 01910007883, 7997 - 7993 г.г.;, финансируемой по результатам конкурса грантов 1991 г. Головным советом "Системы управления и средства автоматики" Минвуза РСФСР;

- НИР "Адаптивная идентификация динамического объекта" (TP М 01940001800, 1994 - 1996 г.г.;, "Робастная идентификация импульсной и частотных характеристик" СГР М 01970003524, 1997 - 1998 г.г. J и "Исследование подходов к робастной идентификации импульсной и частотных характеристик" (TP * 07990007078, 7999 г.;, финансируемых по результатам конкурса грантов 1994 г., 7997 г. и 7998 г. из средств федерального бюджета по единому заказ-наряду;

- НИР "Полная идентификация линейного динамического объекта при ограниченной априорной информации" (ГР ** 07930007026, 01960001350, 1992 - 1995 г.г.;, финансируемой научно-техническим центром "Наука" Госкомвуза РФ;

- хоздоговорных НИР "Алгоритмическое и программное обеспечение построения математических моделей контуров управления движением автомобиля" С7985 г., ПО АвтоВАЗ, г. Тольятти;, "Синтез алгоритма автоматического управления скоростью движения автомобиля" С7986 - 7987 г.г., ПО АвтоВАЗ, г. Тольятти;, "Разработка комплекса средств для регистрации и обработки информации при испытаниях ИЭТ на механические ударные воздействия" (1986 - 7987 г.г., предприятие п/я Х-5806, г. Фрязино;, "Идентификация передаточной функции биотрона" (1999 - 2000 г.г., СибФГИ СО РАСХН, п. Краснообск;, "Разработка методики траекторных измерений на базе высокостабильных квантовых стандартов частоты" (2000 - 2001 г.г., НИИ "Радиотехника" при КГТУ, г. Красноярск;, "Разработка методики и проведение беззапросных измерений по навигационным сигналам КА ГЛОНАСС и КА GPS с использованием наземных приемников, сопряженных с высокостабильными часами, для экспериментальной отработки эфемеридно-временного обеспечения КНС ГЛОНАСС" (2001 - 2002 г.г., НПО ПМ им. академика М.Ф. Решетнева, г. Железногорск;, "Разработка средств лазерной локации ИСЗ ГЛОНАСС и реализация на этой основе технологии траекторных измерений" (2002 г., Красноярский научный центр СО РАН; и "Построение математических моделей ансамбля квантовых стандартов частоты вторичного эталона времени и частоты СНИИМ" (2002 г., СНИИМ, г. Новосибирск;.

Цель работы. Разработка теоретических основ, методов и помехоустойчивых алгоритмов восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной оценке его ИХ.

Методы исследования. Математический аппарат линейной алгебры, теории разностных уравнений, спектрального и статистического анализа, а также машинное моделирование.

Научная новизна. В работе впервые проведено всестороннее исследование проблемы восстановления дискретной ПФ по зашумленной аддитивной помехой оценке ИХ. Исследование этой проблемы осуществлялось путем анализа разработанного базового алгоритма восстановления, предполагающего предварительную низкочастотную фильтрацию исходной оценки ИХ и проведение шаговой по порядку ПФ процедуры, на каждом шаге которой выполняются следующие основные операции:

- находятся коэффициенты полинома знаменателя оценки ПФ посредством решения линейной алгебраической системы, формируемой по отсчетам исходной (сглаженной,) оценки ИХ и характеризующейся неизмеримой составляющей в векторе правой части;

- находится оценка, так называемой, базовой ИХ посредством решения линейного неоднородного разностного уравнения с точно заданными начальными условиями и неизмеримым возмущением;

- находятся коэффициенты полинома числителя оценки ПФ на основе формульных выражений (прямой метода или посредством решения линейной алгебраической системы, формируемой по отсчетам восстановленной оценки базовой ИХ и характеризующейся неизмеримой составляющей в векторе правой части;

- находится оценка ИХ посредством решения линейного неоднородного разностного уравнения с неточно заданными начальными условиями и неизмеримым возмущением;

- вычисляется некоторый функционал, формируемый по отсчетам исходной оценки ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ или ИХ.

По окончании шаговой процедуры порядок оценки дискретной ПФ определяется на основе анализа совокупности значений функционала на каждом шаге и затем находятся оценки коэффициентов дискретной ПФ, ИХ, амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотных характеристик.

В рамках проведенного исследования впервые установлено влияние собственных свойств идентифицируемой ПФ (распределения нулей и полюсов;, шага дискретизации по времени и характера помехи (НЧ-, ШП- и ВЧ-) на точность восстановления коэффициентов ПФ, базовой ИХ ж ИХ, в частности, впервые установлены следующие положения:

- матрицы линейных алгебраических систем относительно оценок коэффициентов полиномов знаменателя и числителя ПФ несмотря на достаточную информативность ИХ и базовой ИХ могут быть плохо обусловленными, а возможности улучшения их обусловленности путем классической регуляризации или увеличения шага дискретизации по времени оказываются существенно ограниченными и неэффективными в плане уменьшения ошибок восстановления коэффициентов ПФ;

- выявлен эффект взаимной компенсации слагаемых компонент неизмеримой составляющей вектора правой части линейной алгебраической системы относительно оценок коэффициентов полинома знаменателя ПФ и слагаемых возмущений линейных неоднородных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ, условия проявления которого существенно зависят от распределения полюсов идентифицируемой ПФ, шага дискретизации по времени и характера помехи;

- существует параметр, характеризуемый распределением нулей идентифицируемой ПФ и определящий коэффициент усиления показателей (уровня и дисперсии; неизмеримых возмущений линейных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ при их трансформации в показатели ошибок восстановления базовой ИХ и ИХ, а также определяющий коэффициент усиления между неизмеримыми возмущениями линейных разностных уравнений относительно оценок ИХ и базовой ИХ;

- эффективная полоса спектра возмущения линейного разностного уравнения от оценки ИХ сосредоточена в области высоких частот (по сравнению с эффективной полосой базовой АЧХ), что всегда обеспечивает значительное подавление составляющих этого возмущения.

Вследствие достаточно плохой обусловленности матриц решаемых линейных алгебраических систем и невозможности ее заметного улучшения большое значение приобретают алгоритмы уточнения оценок коэффициентов ПФ, получаемых базовым алгоритмом на основе метода наименьших квадратов (МНК). В работе синтезированы и исследованы нестатистические и статистические алгоритмы уточнения. В рамках последних рассмотрены алгоритмы уточнения на основе обобщенного МНК (ОМНК), метода максимального правдоподобия (ММП), метода калманов-ской фильтрации (МКФ) и метода инструментальной переменной (МИП).

При исследовании процедуры определения порядка ПФ анализировались многочисленные ранговые функционалы от различных показателей характерных матриц (формируемых по отсчетам исходной (сглаженной; оценки ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ ж ИХ) и функционалы от рассогласования между исходной (сглаженной; и восстановленной оценками ИХ. Установлены, в частности, следующие положения:

- при использовании ранговых функционалов условие обращения в нуль характерного показателя путем использования порогового уровня может быть заменено некоторой совокупностью условий, выражающихся через экстремальные значения функционалов и их отношений;

- ранговые функционалы по потенциальным возможностям заметно превосходят функционалы от рассогласования;

- правильный порядок ПФ достаточно надежно находится при использовании различных функционалов в случае действия НЧ- и ВЧ-помехи 100%-го уровня и М-помехи 1(М-го уровня, а повышение надежности определения порядка можно обеспечить за счет использования не одного, а некоторой совокупности функционалов;

- показано существование функционала, обеспечивающего определение правильного порядка ПФ в случае ШП-помехи 100%-го уровня, что прямо свидетельствует о целесообразности поиска более эффективных (по сравнении с рассмотренными; функционалов.

Проведенные исследования и сформулированные на их основе выводы представляют собой базовые положения для синтеза эффективной процедуры определения порядка разностного уравнения.

Помимо указанного в работе обсуждены и другие альтернативные пути решения основных задач проблемы восстановления дискретной ПФ.

О новизне исследований свидетельствует также обзор современного состояния проблемы структурной и параметрической идентификации линейных динамических моделей, представленный на 60 страницах в Приложении П1 и написанный по 228 литературным источникам.

Совокупность исследований позволила выявить специфичные особенности проблемы восстановления, дать обоснованные рекомендации по ее эффективному решению, определить конкретные пути целесообразных дальнейших исследований и представляет собой разработку теоретических основ, методов и алгоритмов проблемы восстановления разностного уравнения объекта по зашумленной оценке его ИХ.

Основные положения, выносимые на защиту:

- теоретические основы проблемы восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной оценке его ИХ;

- новый подход к решению проблемы восстановления разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной оценке его ИХ;

- новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления коэффициентов и порядка разностного уравнения (дискретной ПФ).

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается аналитическими доказательствами и решением характерных модельных задач.

Практическая ценность. Проведенные исследования показали, что при аддитивных помехах различного характера и высокого (до 10<Ж) уровня, искажащих оценку ИХ, удается обеспечить эффективное восстановление разностного уравнения объекта, в результате чего оказывается возможным снять повышенные требования к робастности используемых алгоритмов идентификации ИХ. Синтезированные алгоритмы восстановления разностного уравнения по зашумленной оценке ИХ в совокупности с известными алгоритмами идентификации ИХ позволяют решить задачу идентификации дифференциального или разностного уравнения объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах цри сильном зашумлешш измеряемых реализаций его входного и выходного сигналов. Такое положение дает возможность существенно расширить область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры и резкого снижения объема экспериментальных исследований объекта, а тем самым временных и материальных затрат. Указанные достоинства расширяют возможности решения современных задач науки и техники.

Реализация результатов.

Результаты исследований использовались при синтезе математических моделей объектов и сигналов разнообразной физической природы в виде дифференциальных и разностных уравнений посредством разработанного пакета прикладных программ RESDEQ (предназначенного как для исследования алгоритмов восстановления разностного уравнения, так и для обработки оценки ИХ, идентифицированной по экспериментальной информации; в рамках решения следующих задач:

- задачи автоматического управления (системы автоматического управления стендовыми испытаниями автомобилей и параметрами (температурой, влажностью и освещенностьюJ рабочей камеры биотрона);

- задачи контроля (система автоматизированных испытаний изделий электронной техники на механические ударные воздействия);

- задачи обработки экспериментальных данных и измерительной техники (автоматизированная обработка информации в аэрофизическом эксперименте и сигналов от навигационных спутников космических навигационных станций ГЛОНАСС и GPSJ;

- задачи метрологии (аттестация динамических характеристик средств измерения температуры в мощных тепловых потоках, методика синхронизации по частоте и моменту шкалы времени высокостабильного хранителя беззапросных измерительных станций, методики ведения шкал времени вторичного эталона 0ШШ)у а также в учебном процессе при подготовке бакалавров и магистров по направлению 550200 "Автоматизация и управление" и дипломированных инженеров по специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах" на кафедре автоматики НГТУ.

Сведения о достигнутых технико-экономических показателях приведены в 9 актах о внедрении и в справке об использовании полученных результатов в учебном процессе.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно-технической конференции "Радиотехнические измерения в диапазонах высоких частот и сверхвысоких частот" (г. Новосибирск, 1980 т.), 3-ем, 4-ом и 5-ом Всесоюзных научно-технических симпозиумах "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (г. Новосибирск, 1982 г., 1985 г., 1989 г.;, 1-ой и 2-ой Всесоюзных научно-технических конференциях "Микропроцессорные системы автоматики" (г. Новосибирск, 1987 г., 1990 г.;, 11-ом Всесоюзном совещании по проблемам управления (г. Ташкент, 1989 г.;, семинаре ИФАК "Оценка стратегий адаптивного управления в промышленных применениях" Гг. Тбилиси, 1989 г.;, 3-ем и 4-ом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 1998, 2000, г. Новосибирск, 1998 г., 2000 г.;, 4-ой, 5-ой и 6-ой Международных конференциях "Актуальные проблемы электронного приборостроения" ГАПЭП - 1998, 2000, 2002, г. Новосибирск, 1998 г., 2000 г., 2002 г,;, 4-ом и 6-ом Русско-Корейских Международных симпозиумов по науке и технологии (K0RUS - 2000, Ulsan, Republic of Korea, 2000, KORUS - 2002, г. Новосибирск;, Международных конференциях "Идентификация систем и задачи управления" (SICPR0'2000, 2003, г. Москва, 2000 г., 2003 г.;, Международной научно-технической конференции "Информационные системы и технологии" СИСТ'2000, Новосибирск, 2000 г.;, Международной конференции IASTED "Автоматизация, управление и информационные технологии" С AC IT-2002, г. Новосибирск, 2002 г.;, а также ряде других конференций, в том числе регулярно на научных семинарах кафедры автоматики НГТУ.

Публикации. По тематике диссертации имеется 57 публикаций [23, 25, 27 - 81] и оформлено 17 отчетов по научно-исследовательским работам [19 - 22, 82 - 94], выполненным при участии автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, трех приложений (100 страниц; и списка литературы из 316 наименований (25 страниц;, изложенных на 381 странице, в том числе 78 страниц рисунков и таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе впервые проведено всестороннее исследование проблемы восстановления линейного разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по зашумленной аддитивной помехой оценке его ИХ, которая лежит в основе решения проблемы полной идентификации линейного динамического объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах, различного характера и высокого уровня помех.

Сформулируем основные положения и результаты исследования.

1. Исследование проблемы восстановления дискретной ПФ осуществлялось путем анализа разработанного базового алгоритма восстановления, предполагающего предварительную низкочастотную фильтрацию оценки ИХ и проведение шаговой по порядку ПФ процедуры, на каждом шаге которой выполняются следующие основные операции:

- находятся коэффициенты полинома знаменателя оценки ПФ посредством решения линейной алгебраической системы, формируемой по отсчетам исходной (сглаженной; оценки ИХ и характеризующейся неизмеримой составляющей в векторе правой части;

- находится оценка, так называемой, базовой ИХ посредством решения линейного неоднородного разностного уравнения с точно заданными начальными условиями и неизмеримым возмущением;

- находятся коэффициенты полинома числителя оценки ПФ на основе формульных выражений (прямой метод; или посредством решения линейной алгебраической системы, формируемой по отсчетам восстановленной оценки базовой ИХ и характеризующейся неизмеримой составляющей в векторе правой части;

- находится оценка ИХ посредством решения линейного неоднородного разностного уравнения с неточно заданными начальными условиями и неизмеримым возмущением;

- вычисляется некоторый функционал, формируемый по отсчетам исходной оценки ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ или ИХ.

По окончании шаговой процедуры определяется порядок оценки ПФ на основе анализа совокупности значений функционала на каждом шаге и затем находятся оценки коэффициентов ПФ, ИХ, АЧХ и ФЧХ.

2. Впервые установлено влияние собственных свойств идентифицируемой ПФ, шага дискретизации по времени и характера помехи на точность восстановления коэффициентов ПФ, базовой ИХ и ИХ, в частности, впервые установлены следующие положения:

- матрицы линейных алгебраических систем относительно оценок коэффициентов полиномов знаменателя и числителя ПФ несмотря на достаточную информативность ИХ и базовой ИХ могут быть плохо обусловленными, а возможности улучшения их обусловленности путем классической регуляризации или увеличения шага дискретизации по времени оказываются существенно ограниченными и неэффективными в плане уменьшения ошибок восстановления коэффициентов ПФ;

- выявлен эффект взаимной компенсации слагаемых компонент неизмеримой составляющей вектора правой части линейной алгебраической системы относительно оценок коэффициентов полинома знаменателя ПФ и слагаемых возмущений линейных неоднородных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ, условия проявления которого существенно зависят от распределения полюсов идентифицируемой ПФ, шага дискретизации по времени и характера помехи;

- существует параметр, характеризуемый распределением нулей идентифицируемой ПФ и определяющий коэффициент усиления показатеф лей (уровня и дисперсии; неизмеримых возмущений линейных разностных уравнений относительно оценок базовой ИХ и ИХ при их трансформации в показатели ошибок восстановления базовой ИХ и ИХ, а также определяющий коэффициент усиления между неизмеримыми возмущениями линейных разностных уравнений относительно оценок ИХ и базовой ИХ;

- эффективная полоса амплитудного спектра возмущения разностного уравнения относительно оценки ИХ сосредоточена в области высоких частот (по сравнению с базовой АЧХ), что всегда обеспечивает значительное подавление составляющих этого возмущения.

3. В общем, процедуры восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ и ИХ характеризуются сильной помехоустойчивостью, помехоустойчивость процедуры восстановления базовой ИХ может ока

• заться слабой, а процедура восстановления коэффициентов полинома числителя ПФ всегда характеризуется слабой помехоустойчивостью.

4. Вследствие достаточно плохой обусловленности матриц решаемых алгебраических систем и невозможности ее заметного улучшения большое значение приобретают алгоритмы уточнения оценок ИНК коэффициентов ПФ. Исследование синтезированных нестатистических и статистических (на основе ОМНК, ММП и МИП) алгоритмов уточнения устанавливает следующие основные положения:

- нестатистические алгоритмы уточнения неработоспособны;

- эффективность алгоритмов уточнения на основе ОМНК и МИП априори ограничивается конечной эффективной длительностью ИХ;

- при АР-модели обобщенной помехи не удается обеспечить хорошее приближение обобщенной помехи к белому гауссовскому шуму;

- алгоритмы уточнения на основе ОМНК и ММП оказываются сильно чувствительными к порядку АР-модели обобщенной помехи и при неправильном выборе этого порядка могут приводить к заметному увеличению ошибки восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ;

- алгоритмы уточнения на основе ОМНК и ММП практически всегда при надлежащем выборе порядка АР-модели обобщенной помехи обеспечивают уменьшение (в ряде случаев значительное - на порядок; ошибки восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ;

- эффективное уточнение оценок МНК коэффициентов полинома числителя ПФ можно ожидать только при использовании ММП.

В общем, проведенный анализ свидетельствует о потенциальной эффективности алгоритмов уточнения коэффициентов полинома знаменателя ПФ на основе ОМНК и ММП (применение этих алгоритмов существенно затруднено отсутствием процедуры выбора надлежащей структуры, в том числе и порядка, ПФ формирующего фильтра; и позволяет надеяться на достижение лучших результатов при использовании более качественной АРСС-модели обобщенной помехи.

5. При анализе процедуры определения порядка ПФ исследовались многочисленные ранговые функционалы от различных показателей характерных матриц Сформируемых по отсчетам исходной (сглаженной; оценки ИХ, восстановленных оценок базовой ИХ ж ИХ) и функционалы от рассогласования между исходной (сглаженной; и восстановленной оценками ИХ. Установлены, в частности, следующие положения:

- при использовании ранговых функционалов условие обращения в нуль характерного показателя путем использования порогового уровня может быть заменено некоторой совокупностью условий, выражающихся через экстремальные значения функционалов и их отношений;

- несмотря на большие ошибки определения базовой ИХ и коэффициентов числителя ПФ ранговые функционалы по восстановленным оценкам базовой ИХ и ИХ характеризуются высокой эффективностью;

- все рассмотренные функционалы от рассогласования обладают близкими свойствами, причем использование центрированных реализаций не позволяет улучшить процедуру определения порядка;

- ранговые функционалы по потенциальным возможностям заметно превосходят функционалы от рассогласования;

- правильный порядок ПФ достаточно надежно находится при использовании различных функционалов в случае действия НЧ- и ВЧ-помехи 100%-го уровня и Ш-помехи 10&-го уровня, а повышение надежности определения порядка можно обеспечить за счет использования не одного, а некоторой совокупности функционалов;

- показано существование функционала, обеспечивающего определение правильного порядка ПФ в случае Ш-помехи 100%-то уровня, что прямо свидетельствует о целесообразности поиска более эффективных (по сравнению с рассмотренными; функционалов.

Проведенные исследования и сформулированные на их основе выводы представляют собой базовые положения для синтеза эффективной процедуры определения порядка разностного уравнения.

6. При аддитивных помехах различного характера и высокого уровня, искажающих оценку ИХ, обеспечивается удовлетворительное восстановление дискретной ПФ, что позволяет снять повышенные требования к робастности используемых алгоритмов идентификации ИХ. Синтезированные алгоритмы восстановления разностного уравнения дают возможность решить задачу полной идентификации линейного динамического объекта в условиях сильного зашумления измеряемых реализаций входного и выходного сигналов и минимальной априорной информации. При этом существенно расширяется область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуре и снижения объема экспериментальных исследований объекта.

7. Разработан пакет прикладных программ RESDEQ, включающий многочисленные варианты алгоритмов восстановления линейного разностного уравнения и предназначенный как непосредственно для исследования алгоритмов восстановления, так и при соответствующей модификации для практической обработки оценки ИХ, идентифицированной по экспериментальной информации.

8. Результаты исследований использовались при синтезе математических моделей объектов и сигналов разнообразной физической природы в виде дифференциальных и разностных уравнений в рамках задач автоматического управления, контроля, обработки экспериментальных данных, измерительной техники и метрологии, в том числе при построении систем автоматического управления, автоматизированных испытаний и автоматизированной обработки экспериментальной информации, а также в учебном процессе.

Проведенные исследования позволили выявить специфичные особенности проблемы восстановления, дать обоснованные рекомендации по ее эффективному решению, определить конкретные пути целесообразных дальнейших исследований и представляют собой разработку теоретических основ, методов и алгоритмов проблемы восстановления разностного уравнения объекта по зашумленной оценке его ИХ.

1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

2. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

3. Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации. Новосибирск: НГУ, 1990. 120 с.

4. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990. 292 с.

5. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1972. 376 с.

6. Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973. 272 с.

7. Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. Томск: ТГУ, 1975. 272 с.

8. Эикхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 683 с.

9. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

10. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. Томск: ТГУ, 1982. 304 с.

11. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. 80 с.

12. Soderstrom Т., Stolca P. System Identification. London, U.K., Prentice-Hall, 1989.

13. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

14. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986. 159 с.

15. Малышев в.в. Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989. 312 с.

16. Анисимов А.С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы идентификации импульсной характеристики. Новосибирск: НГТУ, 1996. 94 с.

17. Анисимов А.е., Симонов м.м.,Чикильдин Г.П. Исследование алгоритмов идентификации имцульснои и частотных характеристик. Новосибирск: НГТУ, 1996. 50 с.

18. А.С.Анисимов, Г.П.Чикильдин. Пакет прикладных программ ZDENIR. Новосибирск: НГТУ, 1998. 56 с.

19. Разработка алгоритмов идентификации импульсной характеристики и их сравнительный анализ: Промежут. отчет / Новосиб. гос.• техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. » ГР 01970003524; Инв. Л§ 02980002098. Новосибирск, 1997. 165 с.

20. Исследование алгоритма идентификации импульсной характеристики: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. * ГР 07970003524; Инв. * 02990001444. Новосибирск, 1998. 32 с.

21. Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01200102493; Инв. № 02200102015. Новосибирск, 2000. 33 с.

22. Разработка адаптивного алгоритма идентификации импульсной характеристики: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01940001800, Инв. М 02950000289. Ноф восибирск, 1994. 143 С.

23. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Проблема идентификации линейных математических моделей // Докл. СО РАН ВШ. 2000. М 1. С. 51 57.

24. Анисимов А.С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей. Новосибирск: НГТУ, 1996. 100 с.

25. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Исследование алгоритмов преобразования математических моделей. Новосибирск: НГТУ, 1998. 46 с.

26. Кононов В.Т. Построение и исследование регуляризирующих алгоритмов параметрической идентификации: Дис. . канд. техн. на• ук / Новосиб. электротехн. ин-т; Науч. рук. А.С. Анисимов. Новосибирск, 1988. 201 с.

27. Анисимов А.С., Кононов В.Т. О решении задачи текущей идентификации нестационарных параметров методом регуляризации // Автоматизация производственных процессов. Новосибирск: НЭТИ, 7978. С. 700 109.

28. Кононов В.Т. Об одном подходе к текущей нестационарной параметрической идентификации // Тез. докл. 3-го Всесоюзн. науч.-техи. симпоз. "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии". Новосибирск: СНИИМ, 1982. С. 73 75.

29. Кононов В.Т. Алгоритм идентификации нестационарных параметров тензовесовых элементов // Тез. докл. 4-го Всесоюзн. науч.-техн. симцоз. "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии". Новосибирск: СНИИМ, 1985. С. 186 187.

30. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Сероклинов Г.В. Идентификация математической модели движения автомобиля в режиме торможения // Аппаратура и методы исследования сельскохозяйственных машин и механизмов. Новосибирск: СО ВАСХНИЛ, 1986. С. 96 101.

31. Кононов В.Т. Регуляризируадий алгоритм параметрической идентификации // Математические модели прикладной метрологии. Л.: НПО ВНИИМ им. Д.И.Менделеева, 1986. С. 40 49.

32. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Анализ оператора уравнения идентификации нестационарных параметров // Тез. докл. науч.-техн. конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". Новосибирск: НЭТИ, 1988. С. 120 121.

33. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгоритм текущей идентификации нестационарных параметров // Тез. докл. 11-го Всесоюз. совещания по проблемам управления. М.: АН СССР, 7989. С. 117 119.

34. Anisimov A.S., Kononov V.Т., Chikildin G.P. Comparison о1 nonstationary parameters current identification methods // Abstracts of 1УАС Workshop on Evaluation of adaptive control strategies in industrial applications. M.: ИЛУ АН СССР, 7989. P. 736- 737.

35. Кононов В.Т. Анализ регуляризированного уравнения неста-ц ионарной параметрической идентификации // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками. Новосибирск: НЭТИ, 1989. С. 52-58.

36. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Декомпозиционный алгоритм восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики // Научный вестник НГТУ. 1997. №1.0.3- 19.

37. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Синтез базового алгоритма восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики // Научный вестник НГТУ. 1998. » 1. С. 30 45.

38. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Особенности низкочастотной фильтрации на основе преобразования Фурье // Сб. научных трудов НГТУ. 1998. * 2. С. 45 53.

39. Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Низкочастотная фильтрация на основе быстрого преобразования Фурье // Тр. 4-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного машиностроения" (АПЭП-1998). Новосибирск: НГТУ, 1998. Т. 13. С. 51 56.

40. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Базовый алгоритм восстановления разностного уравнения // Тр. 4-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного машиностроения" (АПЭП-1998). Новосибирск: НГТУ, 1998. Т. 13. С. 6-11.

41. Кононов В.Т. Особенности восстановления коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции объекта // Научный вестник НГТУ. 1999. М 2. С. 32 46.

42. Кононов В.Т. Особенности восстановления базовой импульсной характеристики объекта // Сб. научных трудов НГТУ. 1999. М 4. С. 32 43.

43. Кононов В.Т. Особенности восстановления коэффициентов полинома числителя дискретной передаточной функции объекта //. Сб.научных трудов НГТУ. 1999. М 4. С. 44 55.

44. Кононов В.Т. Особенности восстановления импульсной и частотных характеристик объекта // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. № 1. С. 47 57.

45. Кононов В.Т. О нестатистических алгоритмах уточнения оценок коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 1. С. 38 46.

46. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Идентификация порядка при восстановлении линейного разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. М 1. с. 47 56.

47. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Статистические алгоритмы восстановления разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. М 1. С. 57 73.

48. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по исходной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 2. С. 64 73.

49. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по функционалам от рассогласования // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 2. С. 74 ~ 83.

50. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по исходной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 3. С. 18 27.

51. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Идентификация порядка линейного разностного уравнения // Программа (с аннотациями докладов; Мездунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2000). М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2000. С. 62.

52. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Идентификация порядка линейного разностного уравнения // Тр. Мездунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2000). М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2000. Компакт-диск, ISBN 5-201-09605-0. С. 979-997.

53. Кононов В.Т. Идентификация порядка передаточной функции по восстановленной оценке базовой импульсной характеристики // Тр. 5-ой Междунар. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения" САПЭП-2000). Новосибирск: НГТУ, 2000. Т. 3. С. 182 187.

54. Kononov V.T. Transfer function order identification on impulse response estimation // Proc. 5th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APBIE-2000;. Novosibirsk: NSTU, 2000. Vol. 1. P. 118 122.

55. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по восстановленной оценке импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 4. С. 43-53.

56. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по восстановленной оценке базовой импульсной характеристики // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 4. С. 54 64.

57. Кононов В.Т. Идентификация порядка передаточной функции по относительной смещенности рассогласования // Материалы междунар. науч.-техн. конф. "Информационные системы и технологии" (ИСТ' 2000). Новосибирск: НГТУ, 2000. Т. 2. С. 421 425.

58. Кононов В.Т. Сравнительный анализ алгоритмов восстановления порядка разностного уравнения // Научный вестник НГТУ. 2000. М 2. С. 45 55.

59. Кононов В.Т. Восстановление порядка разностного уравнения по относительной смещенности рассогласования // Сб. научных трудов НГТУ. 2000. М 5. С. 47 56.

60. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Проблема восстановления линейного разностного уравнения // Мехатроника. 2000. * 5. С. 42-45.

61. Anislmov A.S., Kononov V.T., Khudyakov D.S. The metods of linear dynamic objects parameter identification // Proc. IASTED Int. Conf. "Automation, Control, and Information Technology" (ACIT 2002). Anaheim, Calgary, Zurich: ACTA Press, 2002. P. 273 278.

62. Anisimov A.S., Kononov V.T. Structure Identification of statistical dynamic models on the basis of information criteria // Proc. 6th Russian Korean Int. Symp. on Science and Technology fKORUS-2002;. Russia. Novosibirsk: NSTU, 2002. Vol. 1. P. 158-161.

63. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Худяков Д.С. Современное состояние методов параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов // Научный вестник НГТУ. 2002. М 1. С. 13 28.

64. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгебраический подход к определению порядков линейных динамических моделей. 1. Общие положения // Научный вестник НГТУ. 2002. М 2. С. 3 18.

65. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Алгебраический подход к определению порядков линейных динамических моделей. 2. Методы решения // Научный вестник НГТУ. 2002. №. 2. С. 19 32.

66. Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей по частотным характеристикам // Научный вестник НГТУ. 2002. № 2. С. 33-40.

67. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей на основе ранговых критериев // Прогр. (с аннот. докл.; Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'2003;. М.: ИЛУ РАН, 2003. С.29.

68. Сравнительные свойства методов идентификации импульсной характеристики. В 4 х кн.: Заключит, отчет / Сиб. гос. науч.-исслед. ин-т метрологии; Руковод. темы А.С. Анисимов и М.М. Симонов. М ГР 81067728; Инв. М 02840063871. Новосибирск, 1984. 308 с.

69. Алгоритмическое и программное обеспечение фильтрации коротких реализаций сигнала: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. ин т; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01860022724; Инв. * 02870018244. Новосибирск, 1986 . 53 с.

70. Синтез алгоритма автоматического управления скоростью движения автомобиля: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. ин -т; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01860022724; Инв. М 02880036530. Новосибирск, 1987. 72 с.

71. Проектирование формирующих звеньев при параметрической идентификации: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. ин т; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01860022724; Инв. » 02880033437. Новосибирск, 1988. 77 с.

72. Разработка и исследование алгоритмов восстановления полинома знаменателя дискретной передаточной функции: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. ин т; Руковод. темы А.С. Анисимов. Я ГР 01910007883; Инв. М 02920010038. Новосибирск, 1991. 113 с.

73. Разработка помехоустойчивого алгоритма восстановления разностного уравнения: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. инт; Руковод. темы А.С. Анисимов. М ГР 01930001026; Инв. М 02930005561. Новосибирск, 1992. 26 с.

74. Алгоритмы преобразования разностного уравнения: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. Л ГР 01910007883; Инв. * 02940002422. Новосибирск, 1993. 42 с.

75. Разработка помехоустойчивого алгоритма идентификации импульсной характеристики при ограниченной априорной информации: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. у-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. » ГР 01930001026; Инв. М (нет). Новосибирск, 1994. 58 с.

76. Алгоритмы преобразования дифференциального уравнения: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. у-т; Руков. темы А.С. Анисимов. М ГР 01940001800; Инв. М 02950000290. Новосибирск, 1994.29 с.

77. Анисимов А.С. Методы цифровой фильтрации. Новосибирск: НЭТИ, 1991. 82 с.

78. Разработка и исследование алгоритмов фильтрации коротких сигналов на основе методов линейного предсказания: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. у-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. * ГР 01940001800; Инв. М 02960000947. Новосибирск, 1995. 79 с.

79. Рабинер Л., Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

80. Каппе лини В., Константинидкс А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с.

81. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

82. Голд В., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 368 с.

83. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.

84. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976. Т.1. 304 с.

85. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

86. Kaczmarz S. Angenaherte Aullosung топ Systemen linearer Glelchungen // Bull. Internet. Acad. Polon. Scl. Lett., CI. Scl. Math. Nat. 7937. Ser. A. P. 355 357.

87. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 7975. 534 с.

88. Банда Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 7988. 128 с.

89. Clarke D.W. Generallzed-least-squares estimation оf the parameters of a dynamic models // Proc. ГРАС Symp. Identificationф In Automatic Control Systems. 1967. Paper 3.17.

90. Sen A., Sinha N.K. A generalized pseudoinverse algorithm for unbiased parameter estimation // Int. J. Systems Sci. 1975. V. 6, M 12. P. 1103 1109.

91. Hsia Т.е. On least squares algorithms for system parameter identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. V. 21, * 2. P. 104 108.

92. Zhang X.-D., Takeda H. On order recursive generalized least squares algorithm for system identification // IEEE Trans. Automat, contr. 1985. V. 30, AS 12. P. 1224 1227.

93. Hsia Т.е. On multistage least squares approach to system Identification // Proc. IFAC 6th World Congress, Boston, MA, 1975. Paper 18.2.

94. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 542 с.

95. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1. 406 с.

96. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.

97. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 2. 200 с.

98. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982. 200 с.

99. Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction error me-• thods // Automatica. 1980. V. 16, M 5. P. 551 574.

100. Wellstead P.E., Rojas R.A. Instrumental product moment model-order testing: extensions and application // Int. J. Contr. 1982. V. 35, M 6. P. 1013 1027.

101. Омельченко В.Д. "Восстановление" импульсной переходной функции по ее оценке методом скользящего ряда // Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук. 1981. Вып. 2, М 8. С. 123 128.

102. Справочник по типовым программам моделирования / Под. ред. А.Г.Ивахненко. Киев: Техн1ка, 1980. 184 с.

103. Савараги Е., Соэда Т., Наказимо Т. "Классичяеские" методы и оценивание временных рядов // Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. С. 74 147.

104. Cadzow J.A. Spectral estimation: an overdetermined rational model equation approach // Proc. IEEE. 1982. V. 70, M 9. P.907 939.

105. Cadzow J.A. High performance spectral estimation A new• ABMA metod // IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Process. 1980. V. 28, M 10. P. 524 529.

106. Friedlander В., Porat B. The modified Yule-Walker method of ARMA spectral estimation // IEEE Trans. Aerospace Electron. Syst. 1984. V. 35. P. 158 172.

107. Kaufman H., Woods J.W., Dravida S.t Tekalp A.M. Estimation and identification of two-dimensional Images // IEEE Trans. Automat. Contr. 1983. V. 28, M 7. P. 745 756.

108. Ranganath S., Jain A.K. Two-dimensional linear prediction models: Spectral factorization and realization // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1985. V. 33, № 2. P. 280 299.

109. Tummala M. New algorithm for solving block matrix equations with applications in 2-D AR spectral estimation // IEEE• Trans. Signal Process. 1991. V. 39, M 3. P. 759 764.

110. Klerman P. Two-dimensional AR spectral estimation using a two-dimensional minimum free energy method // IEEE Trans. Signal Process. 1995. V. 43, M 12. P. 3075 3081.

111. Choi B.S. A recursive algorithm for solving the spatial Yule- Walker equations of causal spatial AR models // Stat. Pro-bab. Lett. 1997. V. 33. P. 241 251.

112. Kayran A.H., Parker S.R. Optium quarter-plane autoreg-ressive modeling of 2-D fields using four-field lattice approach // тта Trans. Signal Process. 1997. V. 45, M 9. P. 2363 2373.

113. Aksasse В., Badidi L., Radouane L. A rank test based ap• proach to order estimation-part I: 2-D AR models application // IEEE Trans. Signal Process. 1999. V. 47, J* 7. P. 2069 2072.

114. Choi B.S. An order-recursive algorithm to solve the 3-D Yule- Walker equations of causal 3-D AR models // IEEE Trans. Signal Process. 1999. 47, M 9. P. 2491 2502.

115. Cadzow J.A., Ogino K. Two-dimensional spectral estimation // TigKR Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1981. V. 29, M 6. P. 396 401.

116. Zhang X.-D., Cheng J. High resolution two-dimensional ARMA spectral estimation // IEEE Trans. Signal Process. 1991. V. 39, J» 3. P. 765 770.

117. Warwick K. System identification // Ind. Digital Contr. Syst. London, 1988. P. 138 167.

118. Soderstrom Т. Convergence properties of the generalized least squares identification method // Automatica. 1974. V. 10, M6. P. 617 626.

119. Zhang X.-D., Takeda H. An approach to time series analysis and ARMA spectral estimation // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 7987. V. 35, Jk 9. P. 1303 1313.

120. Шамриков Б.М. Параметрическая идентификация динамических объектов по выборкам ограниченного объема // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. М 2. С. 81 -89.

121. Gertler J., Banyasz С. A recursive (on-line) maximum likelihood identification method // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V. 19, Л 12. P. 816 820.

122. Schoukens J., Pintelon R., Van Hamme H. Identification of linear dynamic systems using piecewice constant excitations: Use, misuse and alternatives // Automatica. 7994. V. 30, M 7. P.1153 1169.

123. Schoukens J., Pintelon R., Vandersteen G., Guillaume P. Frequency-domain system identification using non-parametric noise models estimated from a small number of data sets // Automatica. 7997. V. 33, M 6. P. 70/3 108b.

124. Pintelon R., Schoukens J., Vandersteen G. Frequency domain system identification using arbitrary signals // IEEE Trans. Automat. Contr. 7997. V. 42, M 12. P. 1717 1720.

125. Vandersteen G. On the use of compensated total least squares in system identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1998. V. 43, № 10. P. 1436 1442.

126. Wong K.Y., Polak E. Identification of linear discrete time systems using the Instrumental variable method // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. V. 12, M 12. P. 707 718.

127. Isermann R., Baur V., Bamberger W., Kneppo P., Seiber H. Comparison of six on-line identification algorithms // Automatica. 1974. V. 70, #7. P. 81 703.

128. Wellstead P.E. An Instrumental product moment test for model order estimation // Automatlca. 1978. V. 14, M 1. P. 88- 91.

129. Young P.C., Jakeman A.J., McMurtrle R. An instrumental variable method for model order Identification // Automatlca. 1980. V. 16, M 2. P. 281 -294.

130. Sagara S., Gotanda H., Wada K. D linens ionally recursive order determination of linear discrete system // Int. J. Contr. 1982. V. 35, M 4. P. 637 651.

131. Karlsson E., SJostrom E. In subspace system Identification of noisy Input-output systems // Prepr. 70th IPAC Symp. Syst. Identlf. CSYSID'94J. Cophenhagen, 1994. Vol. 2. P. 385 390.

132. Chen J.-M., Chen B.-S. A higher-order correlation method for model-order and parameter estimation // Automatlca. 1994. V. 30, M 8. P. 1339 1344.

133. Sagara S., Wada K. On-line modified least-squares parameter estimation of linear discrete dynamics systems // Int. J. Contr. 1977. V. 25. P. 329 343.

134. Stolca P., Soderstrom T. Bias correction ln least-squares Identification // Int. J. Contr. 1982. V. 35. P. 449 457.

135. Zhao Z.Y., Sagara S., Wada K. Bias-compensating least-squares method for Identification of continuous-time systems from sampled data // Int. J. Contr. 1991. V. 53. P. 445 461.

136. Peng C.B., Zheng W.X. Robust Identification of stochastic linear systems with correlated nolce // Proc. IEE Contr. Theory Appl. 1991. V. 138. P. 484 492.

137. Zhao Z.Y., Sagara S., Tomlzuka M. A new blas• compensating IS method for continuous systems Identification in the precence of colored noise // Int. J. Contr. 1992. V. 56. P. 1441 1452.

138. Stolca P., Soderstrom Т., Simonyte V. Study of bias-free least squares parameter estimator // Proc. IEE Contr. Theory Appl. 1995. 4. 142. P.1-6.

139. Peng C.B., Zhang Y. Unbiased Identification of systems with nonparametric uncertainty // IEEE Trans. Automat. Contr. 1995. 4. 40, M 6. P. 933 936.

140. Zhang Y., Lie T.T., Soh C.B. Consistent parameter estimation of systems disturbed by correlation nolce // Proc. IEE Contr. Theory Appl. 1997. V. 144. P. 40 44.

141. Zhang Y., Peng C.-B. Unbiased parameter estimation о f linear systems with colored noises // Automatica. 1997. V. 33, * 5. P. 969 973.

142. Zheng W.X. On a least-squares-based algorithm lor Identification of stochastic linear systems // IEEE Trans. Signal Process. 1998. V. 46, M 6. P. 1631 1638.

143. Soderstrom. Т., Zheng W.X., Stolca P. Comments on "On a least- squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems" // IEEE Trans. Signal Process. 1999. V. 47, M 5. P. 1395 1396.

144. Акаике X. Развитие статистических методов // Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. С. 148 JY6.

145. Бачище П.В., Назаров В.И. Метод идентификации объектов управления по экспериментальным переходным функциям на основе обобщенного преобразования Фурье // Изв. высш. учебн. зав. СССР. Энергетика. 1983. М 1. С. 99 102.

146. Бессонов А.А., Крутицкий А.Ю., Маркелов А.С., Муратов К. С. Оптимизация процедуры идентификации линейных систем при представлении их оператора рядом Лагерра // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. М 3. С. 182 185.

147. Чикильдин Г.П. Восстановление передаточной функции по импульсной характеристике // Математические методы прикладной метрологии. Л.: НПО ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1986. С. 34 39.

148. Дехтяренко П.И., Коваленко В.П. Определение характеристик звеньев систем автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973. 119 с.

149. Tokaya К. The use of Hermite functions for systems identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. V. 73, M 4. P. 446 447.

150. Карнишин Л.В., Чернышев В.М. Экспериментальное определение передаточных функций методом измерения импульсных моментов // Электричество. 1966. М 8. С. 11 14.

151. Глушко А.Р. Применение метода моментов в решении задачи параметрической идентификации динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 1992. М 1 2. С. 16 - 23.

152. Худяев А.А. Алгоритм оптимальной идентификации линейных объектов методом временных моментов // Автоматика. 1993. М 2. С. 27-36.

153. Плахотников В.В., Абакумов В.И., Шутов В.К. Определение дифференциального уравнения линейного объекта по заданной переход• ной характеристике // Изв. высш. учебн. зав. СССР. Электромеханика. 1983. М 7. С. 47-51.

154. Плахотников В.В., Чернышев В.М. Метод определения порядка передаточной функции линейного объекта // Изв. высш. учебн. зав. СССР. Электромеханика. 1978. М 5. С. 53-60.

155. Saba D.S., Prahlada Rao В.В., Prasada Rao G. Structure and parameter Identification in linear continuous lumped systems -the Polsson moment functional approach // Int. J. Contr. 1982. V. 36, M 3. P. 447 491.

156. Whitfield А.Н., Messali N. Continuous system order identification from plant input output data // Int. J. Contr. 1987. V. 46, M 4. P. 1399 - 1410.

157. Дмитриев С.П. Ривкин B.C. Определение параметров дифференциальных уравнений в задачах стохастической идентификации // АиТ. 1970. М 9. С. 96 703.

158. Unnlkrishnan R. Linear systemen identification using numerical computation of Laplase transforms // Comput. and Elec. Eng. 7980. V. 7, № 4. P. 279 285.

159. Коршунов А.И., Костенко С.Г. К определению коэффициентов• передаточной функции по переходной характеристике // Изв. высш. учебн. зав. СССР. Электромеханика. 1982. № 1. С. 67 -73.

160. Kosbahn R., Garbrecht P.W. Verfahren zur Identification von zeltvarlanten, linearen, dynamischen Ubertragungs-systemen // Messen-Steuern-Regeln. 7970. Ms 3. P. 96 98.

161. Дмитриев С. П. Определение порядка дифференциального уравнения в задаче стохастической идентификации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 7969. Л 5. С. 790 192.

162. Батенко А.П. Об одном способе идентификации динамических систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 7979. М 4. С. 162 167.

163. Бессонов А.А., Титенко Н.А. Идентификация импульсной переходной характеристики по функциям Уолша // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1988. М 1. С. 183 187.

164. Левахин М.Г. Идентификация динамических объектов методом аппроксимации частных решений // Методы проектирования сложных• систем. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 12 16.

165. Nouri М.М., Miki N.r Nagai N. ARMA model order estimation based on the SVD of the data matrix // J. Acoust. Soc. Jap. E. 1994. V. 15, M 6. P. 383 392.

166. Сеуегз М., Tsol A. Structural Identification of linear multivariable systems using overlapping forms a new parametrlza-tlon // Int. J. Contr. 1984. V. 40, M 5. P. 971 987.

167. Moonen M., De Moor В., Vandenberghe L., Vandevalle J.• On- and off-line Identification of linear state space models // Int. J. Contr. 1989. V. 49, № 1. P. 219 232.

168. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 44 53.

169. Евстафьев В.Ф., Стригоцкий В.М. Построение многомерных моделей динамических систем с пространством состояний минимальной размерности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. М 6. С. 61 71.

170. Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimati• on in dynamic systems A survey and new results // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V. 19, » 12. P. 753 - 768.

171. Soderstrom T. Comments on order assumption and singularity of information matrix for pulse transfer function models // IEEE Trans. Automat. Contr. 1975. V. 20, * 4. P. 445 447.

172. Stoica P., Soderstrom T. On nonsingularinformation matrices and local ident if lability // Int. J. Contr. 1982. V. 35, M 2. P. 323 329.

173. Woodside C.M. Estimation of the order of linear systems // Automatica. 1971. V. 7, AS 7. P. 727 733.

174. Tugnoit J.K. Identification of non-minimum phase linear stochastic systems // Automatica. 1986. V. 22, M 4. P. 457 464.

175. Zhang Y., Wang S.-X. Harmonic retrieval In colored non-gausslan noise using cumulants // IEEE Trans. Signal Process. 2000. V. 48, * 4. P. 982 988.

176. Guldorzi R. Canonical structures In the Identification of multivariable systems // Automatlca. 1975. V. 11, № 3. P. 361 -374.

177. Chow J.C. On estimating the orders of an autoregressive moving-average process with uncertain observations // IEEE Trans. Autom. Contr. 1972. Y. 17, M 10. P. 707 709.

178. Chan Y.T., Wood J.C. A new order determination technique for ARMA processes // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1984. V. 32, M 3. P. 517 521.

179. Puchs J. ARMA order estimation via matrix perturbation theory // IEEE Trans. Automat. Contr. 1987. V. 32, M 4. P.358-361.

180. Konstantinides K., Yao K. Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determination // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1988. V. 36, M 5. P. 757 763.

181. Konstantinides K. Threshold bounds in SVD and new iterative algorithm for order selection in AR models // IEEE Trans. Signal Process. 1991. V. 39, M 5. P. 1218 1221.

182. Djuric P.M., Kay M. Order selection of autoregressive models // IEEE Trans. Signal Process. 1992. V. 40, M 10. P. 2829 -2833.

183. Pillai S. U., Shim Т. I., Youla D. C. A new technique for ARMA-system identification and rational approximation // IEEE Trans. Signal Process. 1993. V. 41, M 3. P. 1281 1304.

184. Zhang X.-D., Zhang Y.-S. Determination of the MA order of an ARMA process using sample correlations // IEEE Trans. Signal Process. 1993. V. 41, M 6. P. 2277 2280.

185. Castaldi P., Soverini U., Beghelli S. Identification of ARX models in precence of Input noise // Proc. 12th Int. Conf. Syst. Sci. Wroclaw, 1995. V. 1. P. 49 56.

186. Tugnait J.K. Identification of linear stochastic systems via second- and fourth-order cumulant processes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1987. 33, M 5. P. 393 407.

187. Giannakis G.B., Mendel J.M. Identification of nonminimum phase systems using higher-order statistics // IEEE Trans. Aco-ust., Speech, Signal Process. 1989. V. 37, M 3. P. 360 377.

188. Tugnait J.K. Consistent order selection for noncausal autoregressive models via higjier-order statistics // Automatica. 1990. V. 26, M 3. P. 311 320.

189. Swami A., Mendel J.M. ARMA parameter estimation Lining only output cumulants // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1990. V. 38, AS 7. P. 1257 1265.

190. Giannakis G.B., Mendel J.M. Cumulant-based order determination of non-Gaussian ARMA models // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., 7990, V. 38, M 8. P. 1411 1423.

191. Mendel J.M. Tutorial on higher-order statistics ("spectra; In signal proceeslng and system theory: Theoretical results and some applications // Proc. IEEE. 1991. V. 79, M 3. P. 278 -305.

192. Swami A., Mendel J.M. Ident if lability of the AR parameters of an ARMA process using cumulants // IEEE Trans. Autom. Contr. 1992. V. 37, M 2. P. 268 273.

193. Zhang X.-D., Zhang Y.-S. Singular value decomposition-based MA order determination of non-Gaussian ARMA models // TRKK Trans. Signal Process. 1993. V. 41, M 8. P. 2657 2664.

194. Alshebelll S.A. Order determination of MA models using fourth-order cumulants // IEEE Signal Processing Lett. 1995. V. 2. P. 120 122.

195. Chow T.W.S., Tan H.-Z. Semiblind Identification of non-minimum-phase ARMA models via order recursion with higher order cumulants // IEEE Trans. Ind. Electron. 1998. V. 45, M 8. P. 663671.

196. Ли P. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966. 176 с.

197. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655с.

198. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

199. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1987. 240 с.

200. Woodward W.A., Gray H.L. On the relationship between the S array and the Box-Jenkins metod of ARMA model Identification. // J. Amer. Statist. Assoc. 7987. V. 76. P. 579 587.

201. Glasbey C.A. A generalization of partial autocorrelations useful in identifying ARMA models // Technometries. 1982. V. 24. P. 223 228.

202. Tsay R.S., Tiao G.C. Consistent estimates of autoregres-sive parameters and extended sample autocorrelation function for stationary and nonstationary ARMA models // J. Amer. Statist. As• soc. 1984. V. 79, M 385. P. 84 96.

203. Choi B.S. On the asymptotic distribution of the generalized partial autocorrelation function ln autoregressive moving-average processes // J. Time Series Anal. 7997. V. 12. P. 193-205.

204. Choi B.S. Two chi-square statistics for determining the orders p and q of an ARMA (p,q) process // IEEE Trans. Signal Process. 1993. 4. 41, M 6. P. 2165 2176.

205. De Gooijer J.G., Heuts R.M.J. The corner metod: an investigation of an order discrimination procedure for general ARMA processes // J. Opl. Res. Soc. 7987. V. 32. P. 7039 1046.

206. Petruccelll J.D., Davies N. Some restriction of the use• of corner method hypothesis tests // Commun. Statist. 1984. V. A73. P. 543 551.

207. Lii K.-S. Identification and estimation of nongaussian ARMA processes // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 7990. V. 38, M 7. P. 1266 1276.

208. Стригоцкий B.M. Выбор параметров запаздывания и порядка линейных моделей динамических систем при структурной идентификации // АиТ. 7997. М 4. С. 94 102.

209. LJung L. Asimptotic variance expressions for identified black-box transfer function models // IEEE Trans. Automat. Contr. 1985. V. 30, * 9. P. 834 844.

210. Cadzow J.A., Baseghi В., Hsu T. Singular value decomposition approach to time series modeling // Proc. IEEF. 1983. V. 130, M 2. P. 202 210.

211. Tugnait J.К., Liu E. Model validation and order selection lor linear model fitting using third- and fourth-order cumu• lants // IEEE Trans. Signal Process. 1999. V. 47, M 9. P. 2433 2444.

212. Li S., Dickinson B.W. Application of the lattice filter to robust estimation of AR and ARMA models // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1988. V. 36, » 4. P. 502 512.

213. LI S., Zhu Y., Dickinson B.W. A comparison of two linear methods of estimating the parameters of ARMA models // IEEE Trans. Automat. Contr. 1989. V. 34, M 8. P. 915 917.

214. Zarowski C.J. The MDL criterion for rank determination via effective singular values // IEEE Trans. Signal Process. 1998. V. 46, M 6. P. 1741 1744.

215. Akaike H. A Bayesian analysis of the minimum AIC procedure // Ann. Inst. Statist. Math. 1978. V. 30. P. 9 14.

216. Akaike H. On the likelihood of a time series model // The Statistician. 1978. V. 27. P. 217 235.

217. Akaike H. A Bayesian extension of the minimum AIC procedure of autoregressive model fitting // Biometrika. 1979. V. 66. P. 237 242.

218. Akaike H. A new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V.19, M 12. P.716-723.

219. Parzen E. Some recent advances in time series modeling // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V. 19, M 12. P. 723 730.

220. Akaike H. Pitting autoregressions for prediction // Ann. Inst. Statist. Math. 1969. V. 21. P. 243 247.• 247. Rissanen J. Modeling by shortest data dlscrlption //

221. Automatica. 1978. V. 14, M 4. P. 465 471.

222. Rissanen J. A universal prior for the integers and estimation by minimum description length // Ann. Stat. 1983. V. 11, & 2. P. 416 431.

223. Schwarz G. Estimation the dimension of a model // Ann. Stat. 1978. V. 6, M 2. P. 461 464.

224. Hannan E.J., Quinn B.G. The determination of order of an autoregression // J. R. Statist. Soc. 1979. V. В41. P. 190 195.

225. Hurvich C.M., Tsai C.L. Regression and time series model selection In small samples // Biometrika. 1989. V. 76. P. 297 307.

226. Ciftcloglu 0., Hoogenboom J. E., Van Dam H. A consistent estimator for the model order of an autoregressive process // teer Trans. Signal Process. 1994. V. 42, * 6. P. 1471 1477.

227. Jones R.H. Autoregression order selection // Geophys. 1976. V. 41. P. 771 773.

228. Broersen P.M.T. Selecting the order of autoregressive models from small samples // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1985. V. 33, M 4. P. 874 879.

229. Broersen P.M.T. The prediction error of autoregressive small sample models // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1990. V. 38, M 5. P. 858 860.

230. Broersen P.M.T., Wensink H.E. On finite sample theory for autoregressive model order selection // IEEE Trans. Signal Process. 1993. V. 41, M 1. P. 194 204.

231. Broersen P.M.T., Wens ink H.E. Autoregressive model order selection by a finite sample estimator for the Kullback-Leibler discrepancy // IEEE Trans. Signal Process. 1998. V. 46, * 7. P. 2058 PO61.

232. Broersen P.M.T., Wensink H.E. On the penalty factor for autoregressive order selection In finite samples // IEEE Trans. Signal Process. 1996. V. 44, * 3. P. 748 752.

233. Rao N. S., Moharir P.S. Estimation of the order of an auto-regressive model // Sadhana. 1995. V. 20, M 5. P. 749 758.

234. Burstein D., Welnstein E. On the application of the Wald statistic to order estimation of ARMA models // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. V. 36, * 9. P. 1091 1096.

235. Tsay R.S., Tlao G.C. Use of canonical analysis in time series model Identification // Biometrlka. 1985. V. 72. P.299-315.

236. Liang G., Wilkes D.M., Cadzow J.A. ARMA model order estimation based on the eigenvalues of the covarlance matrix // IEEE Trans. Signal Process. 1993. V. 41, M 10. P. 3003 3009.

237. Xiao С.-B. t Zhang X.-D., Li Y.-D. A new method for AR order determination of an ARMA process // IEEE Trans. Signal Process. 1996. V. 44, jK 11. P. 2900 2903.

238. Soderstrom Т., Stolca P. Comparison of some instrumental variable methods consistency and accuracy aspects // Automatlca. 1981. V. 17, M 1. P. 101 - 115.

239. Aksasse В., Radouane L. Two-dimensional autoregressive (2-D AR) model order estimation // IEEE Trans. Signal Process. 1999. V. 47, № 7. P. 2072 2077.

240. Haber R., Unbehauen H. Structure identification оf nonlinear dynamic systems a survey on input/output approaches // Automatica. 1990. V. 26, AS 4. P. 651 - 667.

241. Youn L., Godhwani A., Wetzler S. Discrete-time transfer function estimation based on unit-pulse response // Proc. IEEE Reg. 5 Conf. New York, 1986. P. 114 116.

242. Duong H. N., Landau I. D. An IV based criterion for model order selection // Automatica. 1996. V. 32, AS 6. P. 909 914.

243. Wahlberg B. System identification using Laguerre models // IEEE Trans. Automat. Contr. 1991. V. 36, AS 1. P. 89 91.

244. Бахтизин P.H., Латыпов A.P. Оценка порядка линейных объектов по экспериментальной информации // АиТ. 1992. М 3. С. 108 -112.

245. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука. 1979. 447 с.

246. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика. 1971. 488 с.

247. Wang L., Cluett W.R. Use of PRESS residuals in dynamic system Identification // Automatica. 1996. V. 32, AS 5. P. 781-784.

248. Korenberg M., Billings S.A., Liu Y.P., Mcllroy P.J. Orthogonal parameter estimation algorithm for nonlinear stochastic systems // Int. J. Contr. 1988. V. 48, AS 1. P. 193 210.

249. Tugnalt J.K. Linear model validation and order selection using higher-order statistics // IEEE Trans. Signal Process. 1994. V. 42, AS 7. P. 1728 1736.

250. Tugnalt J.K. An improved test for linear model validation and order selection using higher-order statistics // IEEE Signal Processing Lett. 1995. V. 2. P. 123 125.

251. Anderson T.W. Determination of the order of dependence In normally distributed time series // Time Series Analysis / Ed< by M. Rosenblatt. New York: Wiley. 1963. P. 425 446.

252. Zhou Y., Tugnalt J.K. Closed-loop linear model validation and order estimation using polyspectral analysis // IEEE Trans. Signal Process. 2000. V. 48, AS 7. P. 7965 7975.

253. Tugnalt J.K. Detection of non-Gaussian signals using Integrated polyspectrum // IEEE Trans. Signal Process. 1994. V. 42, AS 77. P. 3737 3149.

254. Tugnalt J.K., Ye Y. Stochastic system Identification with noisy input-output measurements using polyspectra // IEEE Trans. Automat. Contr. 7995. V. 40, № 4. P. 670 683.

255. Giarmakis G.B. Polyspectral and cyclostationary approach lor Identification of closed-loop systems // IEEE Trans. Automat.• Contr. 1995. V. 40, * 5. P. 882 885.

256. Merhav N. The estimation ol the model order In exponential families // IEEE Trans. Inform. Theory. 1989. V. 35, M 9. P. 1109 1113.

257. Merhav N., Gutman M., Zlv J. On the estimation ol the order of a Markov chain and universal data compression // IEEE Trans. Inform. Theory. 1989. V. 35, M 9. P. 1014 1019.

258. Liu C., Narayan P. Order estimation and sequensial universal data compression of hidden markov source by the method of mixtures // IEEE Trans. Inform. Theory. 1994. V. 40, M 7. P. 1167 1180.

259. Kassam S.A., Poor H.V. Robust techniques for signal processing: A survey // Proc. IEEE. 1985. V. 73, M 3. P. 433 481.

260. HIrshberg D., Merhav N. Robust methods for model order estimation // IEEE Trans. Signal Process. 1996. V. 44, M 3. P. 620 628.

261. Смит Г.У., Клемент П.Р. Идентификация линейных динамических систем с помощью коэффициентов спектрального разложения по экспоненциальным функциям // Техническая кибернетика за рубежом. М.: Машиностроение, 1968. С. 786 200.

262. Куропаткин П.В., Кухаренко Н.В., Лачков В.И. Об одном методе идентификации линеаризованных объектов управления // Синтез алгоритмов сложных систем. Таганрог: ТРТИ, 1976. Вып. 2. С. 43-48.

263. Whitfield А.Н. Transfer function synthesis using frequ• ency response data // Int. J. Contr. 1986. V. 43, M 5. P. 7473 -7426.

264. Braun S.G., Ram Y.M. Structural parameter Identification in the frequency domain: the use of overdetermined system // Trans. ASME: Dyn., Measur. and Contr. 1987. V. 709. P. 120 123.

265. Karpe P.A., Madhavan K.P., Chidambaran M. Model Identification and reduction in the frequency domain // Int. J. Contr. 1987. V. 45, M 2. P. 421 438.

266. Sidman M.D., DeAngells Р. В., Verghese G.C. Parametric system Identification on logarithmic frequency response data // Proc. Amer. Contr. Conf. Green Valley (Ariz.), 7990. V. 2. P. 1888 1892.

267. Стукач О.В., Ильюшенко В.Н. Конструирование передаточных функций на основе дифференциальных преобразований временных харак• теристик линейных систем // Электронное моделирование. 1990. V. 12, М 6. С. 97 98.

268. Helmicki A.J., Jacobson С.A., Nett C.N. Control oriented system Identification: A worstcase / deterministic approach In H // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. V. 36, M 10. P. 1163 1176. °°

269. Березовенко B.M., Ларин В.Б. Упрощенная процедура идентификации линейных динамических систем // Автоматика. 1991. М 1. С. 9 12.

270. Ларин В.Б. Повышение робастности процедуры идентификации // Автоматика. 1991. М 1. С. 21 27.

271. Ларин В.Б. Алгоритм робастной процедуры идентификации стационарной SISO-системы // Автоматика. 1993. № 5. С. 60 68.

272. Мань Н.В. Применение "оврагоперешагового" метода оптимизации для идентификации передаточной функции объектов управления // Теплоэнергетика. 1995. Мб. С. 71 77.

273. Goodwin G.C., Gevers М., NInness В. Quantifying the error in estimated transfer functions with application to model order selection // IEEE Trans. Autom. Contr. 1992. V. 37, M 7. P. 913 928.

274. Partington J.R. Algorithms for identification in H with unequally spaced function measurements // Int. J. Contr. 1993. V. 58, * 1. P. 21 31.

275. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ: Справочное пособие. Киев: Наукова• думка. 1978. 292 с.

276. Анисимов А.С. Идентификация объектов управления. Новосибирск: НЭТИ. 1985. 80 с.

277. Сидоров С.В. Идентификация линейных систем по частотным характеристикам на основе шдифицированных полиномов Лагерра // Методы и средства обработки и получения данных в информационно-управляющих системах. Л.: ЛИАП, 1990. С. 36-41.

278. Cluett W.P., Wang Ъ. Frequency smoothing using Laguerre model // Proc. IEED. 1992. 4. 139, * 1. P. 88 96.

279. Антонова О.Б., Таламанов С.А., Тверской Ю.С. Определение точности частотных характеристик, получаемых на основе обработки кривых разгона // АиТ. 1983. * 5. С. 28 -38.

280. Агафонова Н.А., Таламанов С.А., Тверской Ю.С. Анализ промышленных методик идентификации на основе критерия минимума

281. Дисперсии частотных характеристик // АиТ. 1998. Мб. С. 117 -129.

282. Kendall М., Stuart A., Qrd J.K. The advanced theory of statistics. London: Griffin, 1983. V. 3.

283. Райбман H.C., Анисимов С.А., Яралов А.А., Меняйленко В.

284. A., Зайцева И.О. Оценка структуры модели при типовой идентификации линейных объектов. Препринт. М.: ИПУ АН СССР, 1973. 100 с.

285. Райбман Н.С., Анисимов С.А., Яралов А.А., Меняйленко

286. B.А., Зайцева И.С. Оценка параметров модели при типовой идентификации линейных объектов. Препринт. М.: ИПУ АН СССР, 1973. 172 с.

287. Типовые линейные модели объектов управления / Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Энергоатомиздат, 1983. 264 с.

288. Карабутов Н.Н. Определение порядка линейной динамической системы // АиТ. 1991. # 4. С. 180 183.

289. Анисимов А.С., Кишкурно В.И., Сероклинов Г.В., Чикильдин Г.П. Построение математических моделей контуров управления движением автомобиля // Методы, технические средства контроля и диагностики машин. Новосибирск: СО ВАСХНИЛ, 1987. С. 111 121.

290. NInness В., Goodwin G.C. Estimation of model quality // Automatlca. 1995. V. 31, M 12. P. 1771 1797.

291. Broersen P.M.T. The quality of models for ARMA processes // IEEE Trans. Signal Process. 1998. V.46, M 6. P. 1749- 1752.

292. Шпилевски Э.К. Дискриминантный анализ в идентификации динамических систем // Тр. Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления" fSICPR0t2000). М.: ИПУ им. В.А.Трапезникова• РАН, 2000. Компакт-диск, ISBN 5-201-09605-0. С. 650 657.

293. Martin R.J. A metric for ARMA processes // IEEE Trans. Signal Process. 2000. V. 48, » 4. P. 1164 1170.