автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование статистических алгоритмов восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного дискретного динамического объекта

На правах рукописи

Худяков Дмитрий Сергеевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛЕВОЙ ЧАСТИ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИСКРЕТНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

[Анисимов Александр Саввович].

Научный консультант: доктор технических наук, доцент Кононов Владимир Тарасович.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Абденов Амирза Жакенович;

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Сероклинов Геннадий Васильевич.

Ведущая организация

ФГУП Сибирский научно-исследовательский институт метрологии, г. Новосибирск.

Защита состоится 27 декабря 2005 г. в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г. Новосибирск, проспект Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 13 » ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Воевода А.А.

^ г то 55

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Формализованные постановки многих задач науки и техники сводятся к задаче идентификации математической модели. В зависимости от конкретной задачи возникает необходимость построения математической модели в той или иной форме. При решении линейных задач управления и контроля техническими динамическими объектами наиболее приемлемыми математическими моделями являются дифференциальные и разностные уравнения или соответствующие им непрерывные и дискретные передаточные функции. Эти модели ориентированы на современные методы синтеза автоматических систем и при необходимости позволяют сравнительно просто перейти к другим линейным математическим моделям, например, таким, как импульсная или амплитудно-фазовая характеристики.

Вопросам разработки методов и алгоритмов параметрической идентификации динамических моделей в форме дифференциальных или разностных уравнений по измеряемым с помехами реализациям входных и выходных сигналов идентифицируемого объекта посвящена обширная литература. Однако известные методы и алгоритмы такого рода требуют сравнительно большой априорной информации об объекте и помехах. Особенно важной является информация о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта. Во многих практических случаях эта информация отсутствует, а ее получение предполагает проведение дополнительных экспериментальных исследований.

Такое положение приводит к актуальности идентификации интегрального уравнения объекта. При идентификации импульсной характеристики не требуется априорная информация о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта и не используются производные этих сигналов. В настоящее время существуют алгоритмы идентификации импульсной характеристики, которые требуют минимальную априорную информацию об объекте и помехах. Наряду с этим они оказываются слабо чувствительными к степени колебательности импульсной характеристики объекта и эффективно функционируют в условиях различного характера и высокого уровня помех.

При этом можно предложить новый подход к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта (построение любой математической модели - дифференциального или разностного уравнения, импульсной и амплитудно-фазовой характеристики по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов) посредством последовательного решения трех задач:

- идентификации импульсной характеристики по измеряемым зашумлен-ным реализациям входного и выходного сигналов объекта;

- восстановления дискретной передаточной функции по оценке импульсной характеристики (не требующей использования производных импульсной характеристики);

- трансформации (при необходимости) о) функции в требуемую математическую модель. РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1

БИБЛИОТЕКА ]

При имеющихся качественных алгоритмах перехода от разностного уравнения к другим математическим моделям реализация этого подхода сводится к решению проблемы восстановления дискретной передаточной функции по оценке импульсной характеристики.

До сих пор проблема восстановления непрерывной и дискретной передаточных функций по оценке импульсной характеристики систематически и всесторонне не обсуждалась - имеются немногочисленные статьи и отсутствует фундаментальная научная литература. Это обстоятельство определяется следующими факторами'

- формализованные постановки задач восстановления дискретной передаточной функции по оценке импульсной характеристики, идентификации дискретной передаточной функции по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов объекта и синтеза статистических динамических моделей авторегрессии оказываются близкими, поэтому при поверхностном рассмотрении специальное изучение задачи восстановления представляется нецелесообразным;

- задачи идентификации дискретной передаточной функции и синтеза статистических динамических моделей в качестве исходных данных используют непосредственно измеренные реализации сигналов, а тем самым задача восстановления дискретной передаточной функции, предполагающая предварительную идентификацию импульсной характеристики, представляется неестественной и заведомо характеризующейся неоправданной сложностью.

Цель работы. Разработка и исследование помехоустойчивых алгоритмов восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по дискретной реализации оценки его импульсной характеристики с использованием статистических подходов.

Методы исследования. Математический аппарат линейной алгебры, теории дифференциальных и разностных уравнений, спектрального и статистического анализа, численные методы, а также машинное моделирование.

Научная новизна. Разработаны и исследованы новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения объекта по оценке его импульсной характеристики с использованием статистических алгоритмов уточнения оценок параметров, получаемых базовым алгоритмом на основе МНК. Статистические алгоритмы уточнения построены на основе обобщенного МНК, метода максимального правдоподобия и метода инструментальной переменной.

Основные положения, выносимые на защиту. Новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по оценке его импульсной характеристики, реализуемые на основе статистических методов уточнения оценок искомых параметров.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается аналитическими методами исследования и решением характерных модельных задач.

Практическая ценность. Проведенные исследования показали, что при аддитивных помехах различного характера и высокого (до 50%) уровня, иска-

жающих импульсную характеристику, удается обеспечить эффективное восстановление параметров левой части разностного уравнения объекта. В результате оказывается возможным снять повышенные требования к помехоустойчивости используемых алгоритмов идентификации импульсной характеристики. Синтезированные алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения по оценке импульсной характеристики в совокупности с известными алгоритмами восстановления разностного уравнения и идентификации импульсной характеристики позволяют решить задачу идентификации дифференциального или разностного уравнения объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах при сильном зашумлении измеряемых реализаций его входного и выходного сигналов. Такое положение позволило существенно расширить область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры и резкого снижения объема экспериментальных исследований объекта, а тем самым временных и материальных затрат.

Реализация результатов. Результаты исследований использовались при ведении шкал времени вторичного эталона СНИИМ, где внедрение разработанного алгоритмического и программного обеспечения дало возможность повысить точность расчетов моментов шкалы времени вторичного эталона, а также в учебном процессе на кафедре автоматики НГТУ в рамках изучения дисциплин «Идентификация динамических объектов» и «Алгоритмы преобразования математических моделей» при подготовке бакалавров по направлению 220200 «Автоматизация и управление», дипломированных инженеров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и магистров по программе 220201 «Управление в технических системах».

Сведения о достигнутых технических показателях приведены в акте о внедрении и в справке об использовании полученных результатов в учебном процессе.

Результаты диссертационного исследования связаны с выполнением НИР «Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК» (2000 г.).

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 4-ом Русско-Корейском Международном симпозиуме по науке и технологии (KORUS-2000, Ulsan, Republic of Korea, 2000 г.), 5-ой Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (ИСТ2000, Новосибирск, 2000 г., ИСТ2003, Новосибирск, 2003 г.), Международной конференции IASTED «Автоматизация, управление и информационные техночогии» (ACIT-2002, г. Новосибирск, 2002 г.), 4-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ—2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника Инновации» (НТИ-2001, г. Новосибирск, 2001 г.), а также регулярно на научных семинарах кафедры автоматики НГТУ.

Публикации. По тематике диссертации имеется 13 публикаций, в том числе патент на изобретение и отчет по НИР, выполненный при участии автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 92 наименований и приложений. Общий объем диссертации - 160 е., она содержит 78 рисунков и 44 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы, определяются цель и задачи исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе формулируется задача восстановления разностного уравнения, описывается базовый алгоритм, позволяющий решать эту задачу, '

рассматривается алгоритм восстановления коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции на основе МНК, производится постановка задачи / уточнения МНК-оцепок (полученных базовым алгоритмом) алгоритмами, построенными на основе статистических методов.

Одномерный стационарный линейный устойчивый объект с сосредоточенными параметрами описывается дифференциальным уравнением, отражающим связь между входным и выходным у(/) сигналами в каждый момент времени г Этому уравнению соответствуют рациональная передаточная функция ^(я) (л' - аргумент преобразования Лапласа), содержащая п полюсов Sj, у е [1, и] и т нулей ^, у е [1, т], а также импульсная характеристика >у(г), / е [0, оо) и амплитудно-частотная характеристика #н(ш), со е [0, °о). При заданном фиксированном шаге дискретизации по времени Д t рассматриваемые непрерывные объекты можно описать как дискретные объекты с импульсной характеристикой = и/ [ (к -1) ■ Д/ ], совпадающей с непрерывной импульсной характеристикой м>{г) в дискретные моменты времени / = (£ -1) ■ Д/, к~ 1, 2,... Математической моделью такого дискретного объекта является разностное уравнение п т+1

+ У[к-(п+\-Л] = Е V х[к-(п+1-у)]. 7=1 7=1

хк=х[(.к-\)-М], ук=у[(к- 1)-Д/].

Данному уравнению соответствуют рациональная передаточная функция 1¥(2) = г{щ} = В(2)1 А(г), п т+1

Л(2) = *" + !>,■• ги~1), В(г) = ,

7=1 7=1

где Z— оператор 2-преобразования; г = ехр(л- • А/) - аргумент ^-преобразования, содержащая и полюсов у е[1, я] и т нулей г0у, у е [1, т], а также импульсная характеристика к = 1,2,.. и амплитудно-частотная характеристика #(о>), ше[0,со0=я7Д/].

Рассматривается задача восстановления оценки УУ0{г) = В0(г)/А0(г) передаточной функции IV(г) по зашумленной аддитивной помехой Ш/с уровня

8w„, = шах ISwJ/ max IwJ m ц k4i,Kj kl

оценке и-^ = + импульсной характеристики н"^, заданной равноотстоящими с шагом Дг отсчетами wtjc=w* [ (А: — 1) ■ Ai ] , £e[l, К w ] При решении поставленной задачи без ограничения общности можно положить m — п В качестве априорной информации принимается известной оценка ОоН. верхней частоты Clw эффективной полосы спектра импульсной характеристики w{t) на задаваемом относительном уровне 5w(fioW, которая находится

при идентификации оценки w*(i).

В основе алгоритмов восстановления лежат следующие соотношения (устанавливающие связь между параметрами передаточной функции W(z), отсчетами импульсной характеристики wk и базовой импульсной характеристики wok =Z~' {fVQ(z)}, FF0(z) = l/A(z), Z-1 - обратное Z-преобразование):

wk= 0, ke[l,n-m], w(„_m+1)=i(m+1)> (])

n

wk=b(n+2-k)~ E ajw(k+j-n-1). ke[n-m + \,n + \], (2) j=n+2-k

= 0, k = n + 2, B + 3,..., (3)

л+1

bj=Har■ w{r+\-j)» У e [1, iw +1], (4)

r=i

wok = 0,ke[l,n], w0(n+1)=l, (5)

{w0(>t_n)} = 0, A = « + 2, b + 3,... (6)

l?(z){ woi} = W£, k = n-m + \,n-m + 2,.... (7)

Базовой передаточной функции соответствует базовая амплитудная частотная характеристика Я0(ш), ы е[ 0, ы g ],

Описывается обобщенный базовый алгоритм восстановления оценки W0(z), изложенный в статье A.C. Анисимова и В.Т. Кононова «Синтез базового алгоритма восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики» (Научный вестник Hl ТУ, 1998, № 1(4), с. 30-45), предполагающий отсутствие или наличие предварительной низкочастотной фильтрации реализации (в дальнейшем под реализацией понимаются исходная или предварительно сглаженная реализации), задание максимально возможного значения R порядка п и проведение Л-шагового процесса, на г-м (ге[1,Я]) шаге которого полагается п0-г (оценка передаточной функции задается в форме Wr(z) = Br(z) / Ar(z)), уравнение (3) принимает вид

¿r00{w(*-r)} = 0, k —г+ 2, г + 3,..., (8)

и выполняются следующие операции.

1 Находятся коэффициенты полинома Ar(z) путем решения линейной алгебраической системы (8) при к , К j- J

2. Проверяется устойчивость уравнения (8).

3. Определяются отсчеты wq^ базовой импульсной характеристики, соответствующей передаточной функции W§r{z) = \ / Ar(z), согласно соотношениям (5), (6) в виде

w0гк = °> к Ф> r]> W0r(r+1) = 1 > w0rk = -[^r(z)-zr j{w0 r(jfc-r)}. ks[r + 2,Kw + r],

4. Находятся коэффициенты полинома Br(z) прямо на основе соотношений (4) или посредством решения линейной системы (7) при к e^K0S, К aj- J.

5. Вычисляются отсчеты амплитудно-частотной характеристики г-й модели и определяется ее верхняя граничная частота flm., что позволяет в качестве дополнительного контроля осуществить проверку соответствия частот QWr и CioW.

6. Восстанавливается оценка w^ импульсной характеристики Wfr,к e[l, Nр >Kw] согласно соотношениям (1)-{3) в форме wr\ = 6r(r+i),

г

wrk=br(r+2-k)~ Е arj-wr(k+j-r-1). *e[2,r + l], j=r+2-k

7. Вычисляется функционал er, определяющий близость оценки w^ к импульсной характеристике w/с. Функционал в г может также определять линейную зависимость функций wor(j+k) и™ wr(j+k)< ./е|Лг] на некотором интервале и в этом случае вычисляется, соответственно, в рамках 1-й, 3-й или 6-й операций.

После окончания Л-шагового процесса производится анализ совокупности значений одного из функционалов er, г е[1, г], на основании которого определяется порядок л о и коэффициенты восстановленной оценки W0 (z) передаточной функции W(z). Также находятся оценки амплитудно-частотной и фа-зо-частотной характеристик.

В работе обсуждаются особенности решения задачи восстановления коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции.

Коэффициенты arj, je[l,r] удовлетворяют системе K0 = Kf~Ks+\ линейных алгебраических уравнений

[ 4г(*) - ] {W(*+D } = -Щ+г+1). * е [л:, > 1, Kf < Kw - г -1 ], которая с учетом помехи bw\ записывается в форме

= Аг(г) } , к е [1, Кг ]

и может быть представлена в векторно-матричном виде \У*Г • аг = + 8\г(г+х) ■

Первая трансформация Гаусса этой системы приводит к системе

У*г-&г=-Хг0+Хг8у, (10)

где с учетом оператора усреднения {<} на интервале к е £ К5, К у- ^ имеем

у*г = ~' < ' = [= МК0{■ у)}]' о

^го ~ ' ■ «*(г+1) = [/тог = МКа { ™*{к+Г) ' ™*(к+г+1)} ]> "■о

{г8у = ' ■ Зуг(г+\) = \frSvi = МКа { ™*(к+{)' ^г(к+г+\) } ] ■ о

Вследствие неизмеримости обобщенной помехи решение системы (10) заменяется решением усеченной системы

V*г аг0=-^0- (П)

Ошибка восстановления еаг = аг - аг0 полностью определяется свойствами матрицы У*г и вектора :

Улучшение обусловленности матрицы У*г позволяет ослабить влияние неизмеримого вектора на оценку аг0 и теоретически достигается посредством классической регуляризации или увеличения шага Д/. Однако, как показывают исследования, оба пути оказываются неэффективными в плане уменьшения ошибки восстановления. Такое положение приводит к тому, что повышение точности может быть достигнуто только за счет уменьшения влияния неизмеримого вектора .

Задача восстановления коэффициентов йг близка к задаче идентификации разностного уравнения и отличается от нее двумя особенностями:

1) в основе решения задачи восстановления лежит однородное (а не неоднородное как в задаче идентификации) разностное уравнение;

2) в силу устойчивости разностного уравнения объекта эффективная длительность Т„ =(£„,-!)■ А/, а тем самым и диапазон /се[1, значимых величин импульсной характеристики оказываются принципиально ограниченными, причем в ряде случаев, например, при не колебательной импульсной характеристике параметр КК заведомо принимает малые значения.

При решении задачи параметрической идентификации в литературе широко обсуждались методы на основе статистических подходов и при решении задачи восстановления естественно воспользоваться такими подходами.

Исследование возможностей статистических методов для уточнения оценок (полученных базовым алгоритмом) параметров левой части разностного уравнения и составляет цель настоящей работы, а постановку задачи можно сформулировать следующим образом. Требуется разработать помехоустойчивый алгоритм восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта с использованием статистических методов уточнения оценок этих параметров, полученных базовым алгоритмом восстановления. В качестве априорной информации используются дискретные отсчеты реализации оценки импульсной характеристики.

Во втором разделе приведен критический обзор современного состояния проблемы параметрической идентификации динамических моделей, описывающих линейные дискретные динамические объекты. Рассмотренные методы объединены в три группы - подход на основе ошибки предсказания, корреляционный и компенсационный подходы.

Подход на основе ошибки предсказания базируется на использовании модели помехи согласно гипотезе о том, что помеха является реакцией некоторого дискретного формирующего фильтра на порождающий центрированный белый шум. В рамках данного подхода рассматриваются три модификации обобщенного МНК (ОМНК), а также метод максимального правдоподобия (ММП).

Корреляционный подход не использует модель обобщенной помехи и в общем случае предполагает дополнительное преобразование формируемой алгебраической системы уравнений с использованием специально вводимой так называемой инструментальной переменной. В рамках этого подхода рассматриваются две разновидности метода инструментальной переменной (МИП): методы сдвига и линейного фильтра.

Компенсационный подход также не использует модель обобщенной помехи и при вычислении оценки коэффициентов полинома знаменателя предполагает использование различных способов уменьшения смещенности получаемой оценки по сравнению с оценкой МНК, в частности, путем учета некоторой оценки неизмеримого слагаемого. В рамках данного подхода рассматриваются алгоритмы BELS (Bias-Eliminating Least Squares), DBELS (Direct Bias-Eliminating Least Squares), EBELS (Extended Bias-Eliminating Least Squares).

Делается заключение о достоинствах и недостатках указанных подходов и методов. Для исследований выбраны первые два подхода.

В третьем разделе исследуются алгоритмы уточнения Miff-оценок коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции, разработанные на основе ошибки предсказания, представлен детальный машинный анализ этих алгоритмов.

Рассматриваются возможности применения статистических методов {ОМНК, ММП) в задаче восстановления, существенной особенностью которой является принципиальная ограниченность эффективной длительности импульсной характеристики (параметра Kw).

ОМНК базируется на сведении исходной системы (9) к виду, при котором неизмеримое слагаемое правой части представляется реализацией белого шума. Такое положение достигается использованием гипотезы о том, что обобщенная помеха Sv^ может трактоваться как реакция некоторого дискретного линейного

формирующего фильтра на центрированный белый шум . В частности, при использовании авторегрессионой модели этот фильтр описывается оператором

С,.(г) = сгХ + сг2 ■ г + сг3 • г2 +... + с^ • + 1Р и имеют место соотношения

С,.(2){гуг(£+г+]_р)}=г(£+г+1), к = 1,2,..., (12)

Ьуг(к+г+]) = с71(2)$(к+г+1+р)}> к = 1,2,.... (13)

Теоретически, коэффициенты оператора С,г(х) (при заданном р) можно определить согласно (12) из системы К0 линейных уравнений

[С,, (г) - гр] {8у^к+г+1_р-)} = + 5№+г+1), * б [К5, К^ ],

которая записывается в векторно-матричной форме и после первой трансформации Гаусса приводится к виду

(1 /К0)■ 8\7 • 8УГ ■ сг = ~(1/К0)-5У? ■ 8\г + (l/K0) ■8УJ .

При достаточно большом параметре К0 имеем (I/К0)-8\) 6Г = 0. и оценка ОМНК сог может быть найдена из усеченной системы

ЙУ7-5Уг-Сог=-5У7-5Уг. (14)

Соотношение (9) с учетом (13) записывается в форме

М2){™>*(к+1)} = СгХ(2)$[к+г+\+1.>)}' к = 1> 2>-и после воздействия оператором Сг(г) хфедставляется в виде

= 8(к+г+1+р), к = 1, 2, . (15)

Оператор Б (г) определяется соотношением ¿V {г) = Сг (г) ■ Аг(2) = с1л + йг1 • г +... + ¿г(р+г) ■ г{р+г~Х) + г(р+г) и коэффициенты операторов Аг(г), Сг(г) и Ог(г) связаны выражениями г

Xаг{М-]) ■ сг] = ¿п> ' + (16)

М

аг(г+1) = сг(р+1) =аг] =0 при ]>г + 2, Су = 0 при ]>р + 2. В работе рассматриваются три варианта реализации алгоритмов уточнения на основе ОМНК, используемые при параметрической идентификации.

В рамках ОМНК] система (9) с учетом (13) после воздействия оператора Сг(г) записывается в форме

[Аг(г)- 7Г}{™п(к+\)} = ~™п(к+г+\) + 5*пг(к+г+1+р)> кеК/]> ™пк=сЛг){™*к}1 ^шк =8к=Сг(г){8 угк}, ^та-' лг = _л¥п(/-+1) + 5упг(г+1) и после первой трансформации Гаусса принимает вид

Т

Упг' яг = иг + ^Ш- = (1/^)' ^пт ' ^,

fnw- = С1 /к0) • • wn(r+],, fnSvr =(l/£0)-w£-Svnr(r+l)

В рамках 0MHK2 система (9) с учетом (12) принимает форму W*r ■ ar = -w»(r+1) + 5Vr ■ cr + br

и после первой трансформации Гаусса представляется в виде

У* ГО = ~f\vcr + f&r :

Ксг =0'Ко)-w*Tr -[w,(r+1) +«Vr -сД f5r =Q/Koy wjr Ьг.

В рамках ОМНКЗ используется расчетное соотношение (15) и основная система К0 линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов dfj записывается в форме

[Dr(z)- z(p+r)]{w*(Ä+1)} = ~w4k+r+up) + 8(k+r+}+p), k e[Ks, Кf],

W^d,=-wd(r+1) + Sr (17)

и после первой трансформации Гаусса принимает вид

т

Vdr • ~ -frfwr + Ubvr> Vdr =(1/Ko) ■ Wdr • Wdr,

W = Wo) • Wl ■ ™d(r+\), W = (1/ ^) ■ wX • 6r .

Неизвестные оценки aorj, j e [l,r] и corj, 7" e [1, /j] находятся путем решения системы (р+r) нелинейных уравнений вида (16). Предложена итерационная процедура решения этой нелинейной системы, для запуска которой необходимо задание только нулевого приближения оценки коэффициентов а,., в качестве которого можно принять грубые МНК-оценкн arg.

При достаточно большом значении параметра К0 имеем = О,

Цг = 0, -- 0, и оценки ОМНК aor, d0i, находятся из усеченных систем

Vro-' ао г= wr > ~V*r0 ■ aor = —fwor, Уф. ■ dor ~ -frfwr, причем первые две системы (матрица Vur и векторы fnwr, fwor) формируются через неизвестные оператор Cr(z) и обобщенную помеху öv^ (что определяет основной недостаток алгоритмов ОМНК1 и ОМНК2), а формирование третьей системы не встречает трудностей.

Алгоритмы OMHKI и ОМНК2 можно реализовать только приближенно (порядок р задается априори) путем итерационного процесса, на каждом 1-м (I e[l,L]) шаге которого выполняются операции:

- вычисляется оценка 5vor/^ обобщенной помехи;

- формируется алгебраическая система вида (14) относительно оценки сг[ коэффициентов сг, причем матрица 5Vor/ и вектор 8\ог; выражаются через оценку öv0^., и находится оценка с,./;

- формируются оценки усеченных алгебраических систем, решением которых являются уточненные оценки лг1 коэффициентов аг.

При этом вопрос сходимости оценок аг/ к оценке ОМНК а0(, (как и в алгоритмах параметрической идентификации) остается открытым.

Оценки ММП а0, и сог находятся из условия максимизации логарифмической функции правдоподобия Jn. Если порождающий белый шум <5д является гауссовским, то функция Jn записывается в явной форме. Ее максимум достигается при выполнении условий, которые и определяют систему (г+р) нелинейных алгебраических уравнений относительно оценок ММП аог и сог коэффициентов яг и ег При этом вывод нелинейной системы не связан с условиями относительно величины параметра Кп. В работе предложена итерационная процедура решения этой системы, для запуска которой необходимо задание только нулевого приближения оценок коэффициентов а,- (оценки МНК аго).

Экспериментальные исследования производились на примере модельного объекта с передаточной функцией

2 / 2 ич*)=+Р?) / Пк*+°02+Р?]> 1=) / ¡=1 а! =-1,5577, Р, =12,9196, а2 =-3,7605, Р2 =5,3515, которой при Дг = 0,02 с соответствует дискретная передаточная функция

;=1 / у=1

Д! = 0,8084, а2 = -3,3456, а3 = 5,2570, а4 = -3,7188; ¿1 = 0,00, Ь2 = 0,0082, Ь3 = 0,0345, 64 = 0,0091.

Помеха задавалась в виде установившейся реакции формирующего нере-1 курсивного полосового фильтра на реализацию псевдослучайного белого шума, причем рассматривались помехи различного уровня 5и'т и частотных свойств: низкочастотная, широкополосная и высокочастотная.

На рис. 1 приведена зашумленная широкополосной помехой уровня 5^^=0,20 реализация к = 1,2,... импульсной характеристики и-\ , используемая в качестве априорной информации.

Рис 1 Реализации импульсной характеристики исследуемого объекта

Машинный анализ алгоритмов ОМНК1, ОМНК2 и ММП показывает, что практически всегда при надлежащем выборе порядка р обеспечивается умень-

шение ошибки еп, которое при отсутствии предварительной фильтрации незначительно, а при ее наличии наблюдается уменьшение ошибки еп в случае низкочастотной и высокочастотной помех, искажающих импульсную характеристику, - на порядки, а в случае широкополосной помехи - в 1,5-2 раза. Причем для оптимальных вариантов ошибка еа наиболее заметно уменьшается, как правило, на первой итерации. Помимо этого машинный анализ показал сходимость предложенных процедур решения нелинейных алгебраических систем в аш оритмах ОМНКЗ и ММП и сильную чувствительность оценок всех алгоритмов к порядку р формирующего фильтра.

На рис. 2-5 приведены графики зависимости ошибки восстановления еа§, полученной базовым МНК, и минимальной ошибки восстановления еа т1П. полученной алгоритмами уточнения ОМНК1, ОМНК2, ОМНКЗ и ММП от уровня широкополосной помехи с использованием предварительного сглаживания на основе БПФ, иллюстрирующие возможности алгоритмов уточнения.

0,04

0,00

0,00 0,05 0,10 0,20 0,50

0,00 0,05 0,10 0,20 0,50

Рис 2. Ошибки восстановления для ОМНК1

Рис. 3 Ошибки восстановления для ОМНК2

0,00 0,05 0,10 0,20 0,50

0,00 0,05 0,10 0,20 0,50

Рис. 4. Ошибки восстановления для ОМНКЗ

Рис. 5. Ошибки восстановления для ММП

В общем, установлены следующие основные положения:

- существенным недостатком алгоритмов ОМНК является зависимость от априори значительно ограниченной величины параметра Ка, а алгоритмы ММП оказываются свободными от этого недостатка;

- эффективность алгоритмов ОМНК и ММП сильно зависит от выбранной вида передаточной функции формирующего фильтра, в частности, при выборе авторегрессионой модели этого фильтра - от порядка р, причем в алгоритмах ММП из-за необходимости обеспечения гауссовости порождающего шума эта зависимость значительно усиливается;

- алгоритмы ОМНК1 и ОМНК2 могут быть реализованы только итерационно, что порождает дополнительную ошибку восстановления;

- алгоритмы ОМНКЗ и ММП приводят к нелинейной системе, решение которой осуществляется итерационным процессом, что требует анализа условий его сходимости и порождает дополнительную ошибку восстановления.

В четвертом разделе исследуются алгоритмы уточнения МЖ-оценок коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции, разработанные на основе корреляционного подхода, представлен детальный машинный анализ этих алгоритмов.

Введем в рассмотрение матрицу иг к е [К5, К у], у'е[1, г]] с

элементами, представляющими собой отсчеты функции и^ (инструментальной переменной), которая сильно коррелирует с импульсной характеристикой щ и не коррелирует с обобщенной помехой .

В случае МИП решение системы (9) сводится к решению системы

т

УигО Лг = +{Ы5уг0> ^иЛ = (\/К0)-Иг

т т

При достаточно большом значении К0 справедливо соотношение ^угО = 0 и оценка МИП находится из решения усеченной системы

^мгО' ао г = ~^и\1>г0 ■

Трудность использования МИП обусловлена сложностью выбора инструментальной переменной. При решении задачи параметрической идентификации известны два подхода (методы сдвига и линейного фильтра) к синтезу инструментальной переменной, которые легко адаптируются к задаче восстановления разностного уравнения.

В рамках метода сдвига принимается и^ = *>*(к+1а) — Л^к {'И'»^}, к 6 [1, Куу], причем сдвиг 1а задается таким образом, чтобы эта реализация не коррелировала с обобщенной помехой Ьугк. Применение метода сдвига сильно затруднено выбором надлежащего сдвига 1а.

В рамках метода линейного фильтра инструментальная переменная должна представлять собой отличную от оценки и^ реализацию, сильно коррелирующую с импульсной характеристикой . Такими реализациями явля-

ются оценки и>с/1, к<д или Однако каждая из указанных оценок коррелирует и с помехой .

Отсюда вытекают принципиальная невозможность выбора идеальной инструментальной переменной и только приближенная реализация алгоритмов уточнения на основе итерационной процедуры.

Машинные исследования алгоритмов уточнения на основе МИП показывают, что эффективное уточнение оценки МНК наблюдается далеко не всегда. В частности, при наличии предварительной фильтрации уточнение наблюдается только при низкочастотной помехе, искажающей реализацию импульсной характеристики. При отсутствии предварительной фильтрации имеет место некоторое уточнение (в среднем на 20%), причем с увеличением уровня помехи эффективность уточнения возрастает.

В целом можно отметить следующее:

- алгоритмы МИП не используют модель обобщенной помехи и не приводят к решению нелинейной алгебраической системы;

- существенным недостатком алгоритмов МИП является зависимость от априори значительно ограниченной величины параметра К0;

- возможности выбора инструментальной переменной существенно ограничены и не видно эффективных путей решения этой проблемы;

- основная ошибка порождается ограниченностью эффективной длительности импульсной характеристики и значительной коррелированностью выбираемой инструментальной переменной с обобщенной помехой;

- алгоритмы уточнения МИП могут быть реализованы только приближенно через итерационную процедуру, что порождает дополнительную ошибку восстановления и приводит к необходимости специальных исследований по сходимости получаемых оценок.

В заключении формулируются основные положения и результаты исследования.

В приложениях приведены общие положения машинного анализа, рассмотрены используемые алгоритмы фильтрации коротких реализаций сигналов, описан пакет прикладных программ Ш250Е<2 и представлены сведения о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработаны и исследованы новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по оценке его импульсной характеристики с использованием уточняющих статистических алгоритмов на основе обобщенного МНК, метода максимального правдоподобия и метода инструментальной переменной.

2 Конкретизирована постановка задачи уточнения оценок (полученных посредством базового алгоритма на основе МНЮ) параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по задаваемым дискретным отсчетам реализации оценки импульсной характеристики.

3 Впервые проведены исследования статистических алгоритмов уточнения МНК-оценок параметров левой части разностного уравнения, используе-

мых в условиях обработки коротких реализаций импульсной характеристики Результаты исследований показывают:

— алгоритмы уточнения на основе обобщенного МНК и метода максимального правдоподобия оказываются сильно чувствительными к порядку авторегрессио-ной модели формирующего фильтра, однако практически всегда при надлежащем выборе порядка обеспечивают уменьшение (в среднем в 5, а ряде случаев до 10 раз) уточнение оценок параметров левой части разностного уравнения;

- алгоритмы уточнения на основе метода инструментальной переменной не позволяют должным образом (уточнение происходит в среднем на 20%) уточнить оценки параметров левой части разностного уравнения, поскольку используемые инструментальные переменные лишь в незначительной степени удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям.

4. Проведенный анализ свидетельствует об эффективности алгоритмов уточнения оценок параметров левой части разностного уравнения на основе обобщенного МНК и метода максимального правдоподобия, а их дальнейшее развитее, в плане возможностей уточнения, видится при использовании в качестве модели формирующего фильтра авторегрессионной модели скользящего среднего.

5. Разработано программное обеспечение алгоритмов уточнения, включенное в пакет прикладных программ RESDEQ.

Проведенные исследования позволили выявить специфичные особенности проблемы восстановления полинома знаменателя, дать обоснованные рекомендации по ее эффективному решению, определить конкретные пути целесообразных дальнейших исследований и представляют собой разработку алгоритмов уточнения оценок коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции при восстановлении разностного уравнения объекта по оценке его импульсной характеристики.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Anisimov AS, Kononov VT, Hudyakov DS Difference equation reconstruction algorithms based on maximum likelihood method // Proc. 4th Korea -Russia Int. Symp. on Science and Technology (KORUS-2000). Part 2. Republic of Korea, Ulsan, 2000. P. 128-134. (Алгоритмы восстановления разностного уравнения на основе метода максимального правдоподобия).

2. Аиисимов А С, Кононов В.Т, Д С Худяков. Алгоритмы восстановления разностного уравнения на основе метода инструментальной переменной // Материалы Междунар. научно-техн. конф. «Информационные системы и технологии» (ИСТ2000). Т. 2. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. С. 350-354.

3. Anisimov A S, Kononov VT, Khudyakov D.S. Difference equation reconstruction algorithms based on generalized least square method // Proc. 5th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2000). V. 1. Novosibirsk, 2000. P. 103-108. (Алгоритмы восстановления разностного уравнения на основе обобщенного метода наименьших квадратов).

4 Anisimov A S, Kononov VT, Khudyakov DS The methods of linear dynamic objects parameter identification //Proc IASTED Int. Conf «Automation, Con-

trol, and Information Technology» (ACIT-2002). Anaheim, Calgary, Zürich: ACTA Press, 2002. P 273-278. (Методы параметрической идентификации линейных динамических объектов).

5. Кононов ВТ, Худяков ДС Алгоритм восстановления разностного уравнения на основе обобщенного МНК // Материалы междунар. науч.-техн. конф. «Информационные системы и технологии» (ИСТ'2003). Новосибирск: НГТУ, 2003. Т. 1. С. 171-176.

6. Анисимов А С, Кононов В Т, Худяков Д С Современное состояние методов параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов // Научный вестник НГТУ. 2002. № 1. С. 13-28.

7. Кононов ВТ, Худяков Д С Исследование алгоритма восстановления разностного уравнения на основе обобщенного МНК // Сб. научных трудов НГТУ, 2003. № i.e. 11-20

8. Khudyakov DS Statistical reconstruction algorithm on the basis of generalized least square method. - First Graduate School Inter-University Scientific Conference "Young Researchers of the XXI Century" Abstract Booklet, Novosibirsk, April 20,2000, p. 23-24. (Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научно-технической конференции магистрантов и аспирантов на английском языке «Молодые исследователи XXI столетия», Новосибирск, 20 апреля 2000 г., с. 23-24). (Статистический алгоритм восстановления на основе обобщенного метода наименьших квадратов).

9 Анисимов A.C., Кононов В.Т, Худяков ДС. Алгоритмы уточнения на основе обобщенного МНК при восстановлении разностного уравнения // Тез докл. 4-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Часть 4. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 2000. С. 5.

10. Анисимов А С, Худяков ДС Исследование возможностей уточнения оценок МНК посредством алгоритма на основе модификации обобщенного метода наименьших квадратов // Тез. докл. регион, научн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации - 2001». Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.Ч. 1. С. 45-46.

И. Патент №2161369 РФ. Устройство для декодирования двоичных кодов Хемминга / А.Б. Жуков (РФ), С.В. Лащевич (РФ), ДС Худяков (РФ). - За-явл. 28.05.1999; Опубл. 27.12.2000.

12. Жуков А.Б., Худяков Д.С Прием с использованием адаптивно изме- f няющейся зоны стирания. - Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ,

2000.-№2(19).-С. 31-36.

13. Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А.С Анисимов. № ГР 01200102493; Инв. №02200102015. Новосибирск, 2000.33 с.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 346-08-57 формат 60x84/16, объем 1,25п.л., тираж 100 экз., заказ № 1309, подписано в печать 18.11.05 г.

Ш24707

РНБ Русский фонд

2006-4 26072

Введение.

1. Задача восстановления разностного уравнения.

1.1. Формулировка задачи восстановления разностного уравнения.

1.2. Базовый алгоритм восстановления разностного уравнения.

1.3. Постановка задачи восстановления параметров левой части, разностного уравнения.

2. Методы параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов.

2.1. Задача параметрической идентификации.

2.2. Метод наименьших квадратов.

2.3. Подход на основе ошибки предсказания

2.4. Корреляционный подход.

2.5. Компенсационный подход.

Актуальность темы. Формализованные постановки многих задач науки и техники сводятся к задаче идентификации математической модели объектов и явлений. В зависимости от конкретной задачи возникает необходимость построения математической модели в той или иной форме. При решении линейных задач управления и контроля техническими динамическими объектами наиболее приемлемыми математическими моделями являются дифференциальные и разностные уравнения или соответствующие им непрерывные и дискретные передаточные функции (ПФ). Эти модели непосредственно ориентированы на современные методы синтеза автоматических систем [1-4] и позволяют сравнительно просто перейти к другим линейным математическим моделям, например, таким, как импульсная (ИХ) или амплитудно-фазовая {АФХ) характеристики.

Вопросам разработки методов и алгоритмов пассивной параметрической идентификации моделей в форме дифференциальных или разностных уравнений по измеряемым с помехами реализациям входных и выходных сигналов идентифицируемого объекта посвящена обширная литература [5-13]. Однако известные методы, и алгоритмы такого рода требуют сравнительно большой априорной информации об объекте и помехах. Особенно важной является априорная информация о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта. Во многих практических случаях эта информация отсутствует, а ее получение предполагает проведение дополнительных экспериментальных исследований. Улучшение точности может быть достигнуто в рамках активной идентификации при специальных входных тестовых сигналах [14, 15], однако и в этом случае по-прежнему требуется большая априорная информация об объекте и помехах и возникают значительные трудности практической реализации тестовых сигналов.

Отсутствие достаточной априорной информации об идентифицируемом объекте н помехах, искажающих измеряемые реализации входного и выходного сигналов объекта, заставляет обратиться к идентификации интегрального уравнения объекта, описывающегося ИХ.

При идентификации ИХ имеют место следующие достоинства:

- отсутствует необходимость в априорной информации о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта;

- отсутствует необходимость использования производных входного и выходного сигналов идентифицируемого объекта;

- в настоящее время существуют алгоритмы идентификации ИХ [16-21], которые требуют минимальной априорной информации об идентифицируемом объекте и помехах (искажающих измеряемые реализации входного и выходного сигналов объекта), оказываются слабочувствительными к степени колебательности ИХ объекта и достаточно эффективно функционируют в условиях различного характера {низкочастотная (НЧ), широкополосная (ШП), высокочастотная (ВЧ)) и высокого уровня помех, причем при необходимости дополнительная априорная информация может быть вообще исключена [16, 22];

- помехи высокого уровня, искажающие реализации входного и выходного сигналов объекта, трансформируются в помеху значительно более низкого уровня, искажающую идентифицированную оценку ИХ.

Наличие эффективных алгоритмов идентификации ИХ дает возможность предложить новый подход к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта (построение любой математической модели - дифференциального или разностного уравнения, ИХ, АФХпо измеряемым реализациям входного и выходного сигналов (рис.В1)) посредством последовательного решения трех задач [23], а именно:

- задачи идентификации ИХ по измеряемым зашумленным реализациям входного и выходного сигналов объекта;

Рис. Bl. Структурная схема алгоритма полной идентификации задачи восстановления дискретной ПФ по найденной оценке ИХ (не требующей использования производных ИХ)\

- задачи трансформации (при необходимости) оценки дискретной ПФ в требуемую математическую модель.

Целесообразность восстановления по оценке ИХ именно дискретной ПФ объясняется тем, что задача идентификации разностного уравнения по сравнению с задачей идентификации дифференциального уравнения априори обладает существенными преимуществами, так как не требует использования производных (в том числе и высоких порядков) измеряемых реализаций входного и выходного сигналов объекта.

Поскольку имеются качественные алгоритмы перехода от дифференциального или разностного уравнения к другим математическим моделям [24, 25] и в этом плане принципиальных трудностей не возникает, то реализация указанного подхода к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта сводится к проблеме восстановления линейного разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по оценке его ИХ.

В рамках обсуждения необходимо особо подчеркнуть, что до сих пор проблема восстановления дифференциального и разностного уравнения по оценке ИХ систематически и всесторонне не обсуждалась, и в литературе данной проблеме уделяется крайне незначительное внимание - имеются сравнительно немногочисленные статьи и полностью отсутствует фундаментальная научная литература. Это обстоятельство во многом определяется следующими положениями:

- задачи восстановления дискретной ПФ по оценке ИХ, идентификации дискретной ПФ по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов объекта и построения статистических динамических моделей авторегрессии (т4Р-модель), скользящего среднего (СС-модель), авторегрессии-сколъзящего среднего (ЛРСС-модель) измеряемой реализации сигнала в плане конечного результата являются адекватными;

- задачи идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей дискретных сигналов детально изучались [8, 11-13, 26-66] в течение длительного времени;

- задачи идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей в качестве исходных данных используют непосредственно измеренные реализации сигналов, а задача восстановления дискретной ПФ предполагает предварительную идентификацию ИХ по измеряемым реализациям сигналов, в результате чего, на первый взгляд, представляется неестественной и заведомо характеризующейся неоправданно повышенной сложностью;

- формализованные постановки задач восстановления дискретной ПФ, идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей оказываются близкими, и при поверхностном рассмотрении необходимость специального изучения задачи восстановления представляется нецелесообразной.

Цель работы. Разработка и исследование помехоустойчивых алгоритмов восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по дискретной реализации оценки его ИХ с использованием статистических подходов.

Методы исследования. Математический аппарат линейной алгебры, теории дифференциальных и разностных уравнений, спектрального и статистического анализа, численные методы, а также машинное моделирование.

Научная новизна.

1. Разработаны и исследованы новые статистические алгоритмы уточнения оценок (полученных базовым алгоритмом восстановления) параметров левой части разностного уравнения объекта, построенные на основе обобщенного МНК (ОМНК), метода максимального правдоподобия (ММП) и метода инструментальной переменной (МИП).

2. В результате исследований разработанных статистических алгоритмов, используемых в условиях обработки коротких реализаций ИХ, было показано, что алгоритмы на основе ОМНК и ММП чувствительны к порядку ^4Р-модели формирующего фильтра. Однако, при надлежащем выборе порядка ^Р-модели данные алгоритмы позволяют обеспечить существенное (в среднем в 5, а в ряде случаев до 10 раз) уточнение оценок параметров левой части разностного уравнения. Алгоритмы на основе МИП являются малоэффективными и не позволяют должным образом уточнить оценки параметров левой части разностного уравнения.

3. Показаны:

- эффективность разработанных алгоритмов на основе ОМНК и ММП\

- возможность улучшения результатов уточнения, например, путем применения ЛРСС-модели.

4. Впервые дана формальная постановка задачи уточнения оценок параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта, полученных посредством базового алгоритма восстановления этих параметров на основе МНК по заданным дискретным отсчетам реализации оценки ИХ.

5. Разработано программное обеспечение предложенных алгоритмов уточнения, включенное в пакет прикладных программ «RESDEQ», используемый для восстановления разностного уравнения.

Основные положения, выносимые на защиту:

Новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта цо оценке его ИХ, реализуемые на основе статистических методов уточнения оценок искомых параметров.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается аналитическими методами исследования и решением характерных модельных задач.

Практическая ценность. Проведенные исследования показали, что при аддитивных помехах различного характера и высокого (до 50%) уровня, искажающих ИХ, удается обеспечить эффективное восстановление параметров левой части разностного уравнения объекта. В результате оказывается возможным снять повышенные требования к помехоустойчивости используемых алгоритмов идентификации ИХ. Синтезированные алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения по оценке ИХ в совокупности с известными алгоритмами восстановления разностного уравнения и идентификации ИХ позволяют решить задачу идентификации дифференциального или разностного уравнения объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах при сильном зашумлении измеряемых реализаций его входного и выходного сигналов. Такое положение позволило существенно расширить область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры и резкого снижения объема экспериментальных исследований объекта, а тем самым временных и материальных затрат.

Реализация результатов. Результаты исследований использовались при ведении шкал времени вторичного эталона СНИИМ, где внедрение разработанного алгоритмического и программного обеспечения дало возможность повысить точность расчетов моментов шкалы времени вторичного эталона, а также в учебном процессе на кафедре автоматики НГТУ в рамках изучения дисциплин «Идентификация динамических объектов» и «Алгоритмы преобразования математических моделей» при подготовке бакалавров по -направлению 220200 «Автоматизация и управление», дипломированных инженеров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и магистров по программе 220201 «Управление в технических системах».

Сведения о достигнутых технических показателях приведены в акте о внедрении и в справке об использовании полученных результатов в учебном процессе.

Результаты диссертационного исследования связаны с выполнением НИР «Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК» (2000 г.).

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 4-ом Русско-Корейском Международном симпозиуме по науке и технологии (KORUS-2000, Ulsan, Republic of Korea, 2000 г.), 5-ой Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП—2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (ИСТ'2000, Новосибирск, 2000 г., ИСТ'2003, Новосибирск, 2003 г.), 4-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (НТИ-2001, г. Новосибирск, 2001 г.), Международной конференции IASTED «Автоматизация, управление и информационные технологии» (ACIT-2002, г. Новосибирск, 2002 г.), а также регулярно на научных семинарах кафедры автоматики НГТУ.

Публикации. По тематике диссертации имеется 13 публикаций [21, 6778], в том числе патент на изобретение [71] и отчет по НИР [21], выполненный при участии автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 92 наименований и приложений. Общий объем диссертации - 160 е., она содержит 78 рисунков и 44 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе впервые проведено достаточно полное исследование проблемы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по оценке его ИХ с использованием статистических алгоритмов уточнения оценок искомых параметров. Эта проблема лежит в основе решения задач восстановления разностного уравнения и полной идентификации линейного динамического объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах, искажающих измеряемые сигналы входа и выхода идентифицируемого объекта.

Сформулируем основные положения и результаты исследований.

1. Разработаны и исследованы новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по оценке его ИХ с использованием уточняющих статистических алгоритмов на основе ОМНК, ММП и МИП.

2. Конкретизирована постановка задачи уточнения оценок (полученных посредством базового алгоритма на основе МНК) параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по задаваемым дискретным отсчетам реализации оценки ИХ.

3. Впервые проведены исследования статистических алгоритмов уточнения МНК-оценок параметров левой части разностного уравнения, используемых в условиях обработки коротких реализаций ИХ. Результаты исследований показывают: алгоритмы уточнения на основе ОМНК и ММП оказываются сильно чувствительными к порядку ^Р-модели формирующего фильтра, однако практически всегда при надлежащем выборе порядка обеспечивают (в среднем в 5, а ряде случаев до 10 раз) уточнение оценок параметров левой части разностного уравнения;

- алгоритмы уточнения на основе МИП не позволяют должным образом (уточнение происходит в среднем на 20%) уточнить оценки параметров левой части разностного уравнения, поскольку используемые инструментальные переменные лишь в незначительной степени удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям.

4. Проведенный анализ свидетельствует об эффективности алгоритмов уточнения оценок параметров левой части разностного уравнения на основе ОМНК и ММП, а их дальнейшее развитие, в плане возможностей уточнения, видится при использовании в качестве модели формирующего фильтра АРСС-модели.

5. Разработано программное обеспечение алгоритмов уточнения, включенное в пакет прикладных программ RESDEQ.

6. О новизне исследований свидетельствует также обзор современного состояния проблемы параметрической идентификации линейных динамических моделей, написанный по 45 литературным источникам, представленный в р. 2 на 21 странице.

7. Результаты исследований использовались:

- при ведении шкал времени вторичного эталона СНИИМ, где внедрение разработанного алгоритмического и программного обеспечения дало возможность повысить точность расчетов моментов шкалы времени вторичного эталона СНИИМ;

- в учебном процессе на кафедре автоматики НГТУ в рамках изучения дисциплин «Идентификация динамических объектов» и «Алгоритмы преобразования математических моделей» при подготовке бакалавров по направлению 220200 «Автоматизация и управление», дипломированных инженеров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и магистров по программе 220201 «Управление в технических системах».

Проведенные исследования позволили выявить специфические особенности проблемы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта, дать обоснованные рекомендации по ее эффективному решению, определить конкретные пути целесообразных дальнейших исследований и представляют собой разработку алгоритмов уточнения оценок параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта при его восстановлении по оценке ИХ.

1. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

2. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

3. Востриков А. С. Синтез нелинейных систем методом локализации. Новосибирск: НГУ, 1990. 120 с.

4. Фрадков A.J1. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.292 с.

5. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1972. 376 с.

6. Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973. 212 с.

7. Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. Томск: ТГУ, 1975. 272 с.

8. Эйюсофф И Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.683 с.

9. ГропД. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

10. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. Томск: ТГУ, 1982. 304 с.

11. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1987. 80 с.

12. Soderstrom Т., Stoica P. System identification. London, U.K., Prentice-Hall, 1989.

13. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

14. Денисов В.И, Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986. 159 с.

15. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989. 312с.

16. Анисимов А. С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы идентификации импульсной характеристики. Новосибирск: НГТУ, 1996. 94 с.

17. Анисимов А. С., Симонов М.М.,Чикильдин Г.П. Исследование алгоритмов идентификации импульсной и частотных характеристик. Новосибирск: НГТУ, 1996. 50 с.

18. А.С.Анисимов, Г.П.Чикильдин. Пакет прикладных программ IDENIR. Новосибирск: НГТУ, 1998. 56 с.

19. Разработка алгоритмов идентификации импульсной характеристики и их сравнительный анализ: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Ру-ковод. темы А.С. Анисимов. № ГР 01970003524; Инв. № 02980002098. Новосибирск, 1997. 165 с.

20. Исследование алгоритма идентификации импульсной характеристики: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А. С. Анисимов. № ГР 01970003524; Инв. № 02990001444. Новосибирск, 1998. 32 с.

21. Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК: Заключит, отчет / Новосиб. гос. техн. ун-т; Руковод. темы А. С. Анисимов. № ГР 01200102493; Инв. № 02200102015. Новосибирск, 2000. 33 с.

22. Разработка адаптивного алгоритма идентификации импульсной характеристики: Промежут. отчет / Новосиб. гос. Техн. ун-т; Руковод. темы А.С. Анисимов. № ГР 019400018006 Инв. № 02950000289. Новосибирск, 1994. 143 с.

23. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Чикильдин Г.П. Проблема идентификации линейных математических моделей // Докл. СО РАН ВШ. 2000. № 1. С. 51-57.

24. Анисимов А.С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей. Новосибирск: НГТУ, 1996. 100 с.

25. Анисимов А.С., Кононов В. Т., Чикильдин Г.П. Исследование алгоритмов преобразования математических моделей. Новосибирск: НГТУ, 1998. 46 с.

26. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

27. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1. 406 с.

28. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоф-фа. М.: Мир, 1983. 400 с.

29. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 2. 200 с.

30. Clarke D.W. Generalized-least-squares estimation of the parameters of a dynamic models // Proc. IF AC Symp. Identification in Automatic Control Systems. 1967. Paper 3.17.

31. Sen A., Sinha N.K. A generalized pseudoinverse algorithm for unbiased parameter estimation // Int. J. Systems Sci. 1975. V. 6, № 12. P. 1103-1109.

32. Hsia T.C. On least squares algorithms for system parameter identification //IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. V. 21, № 2. P. 104-108.

33. Zhang X.-D., Takeda H. On order recursive generalized least squares algorithm for system identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1985. V. 30, № 12. P. 1224-1227.

34. Hsia T.C. On multistage least squares approach to system identification // Proc. IF AC 6th World Congress, Boston, MA, 1975. Paper 18.2.

35. Браммер К, Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982. 200 с.

36. Warwick К. System identification // Ind. Digital Contr. Syst. London, 1988. P. 138-167.

37. Soderstrom T. Convergence properties of the generalized least squares identification method // Automatica. 1974. V. 10, № 6. P. 617-626.

38. Zhang X.-D., Takeda H. An approach to time series analysis and ARMA spectral estimation // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1987. V. 35, № 9. P. 1303-1313.

39. Шамриков Б.М. Параметрическая идентификация динамических объектов по выборкам ограниченного объема // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 2. С. 81-89.

40. Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction error methods // Automatica. 1980. V. 16, № 5. P. 551-574.

41. Gertler J., Banyasz C. A recursive (on-line) maximum likelihood identification method // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V. 19, № 12. P. 816820.

42. Schoukens J., Pintelon R., Van Hamme H. Identification of linear dynamic systems using piecewice constant excitations: Use, misuse and alternatives // Automatica. 1994. V. 30, № 7. P. 1153-1169.

43. Schoukens J., Pintelon R., Vandersteen G., Guillaume P. Frequency-domain system identification using non-parametric noise models estimated from a small number of data sets // Automatica. 1997. V. 33, № 6. P. 1073-1086.

44. Pintelon R, Schoukens J., Vandersteen G. Frequency domain system identification using arbitrary signals // IEEE Trans. Automat. Contr. 1997. V. 42, № 12. P. 1717-1720.

45. Schoukens J., Pintelon R., Rolain Y. Study of conditional ML estimators in time and frequency-domain system identification // Automatica. 1999. V. 35, № 1. P. 91-100.

46. Vandersteen G., Van Hamme H, Pintelon R. General framework for asymptotic properties of generalized weighted nonlinear least squares estimators with deterministic and stochastic weighting // IEEE Trans. Automat. Contr. 1996. V. 41, № 10. P. 1501-1507.

47. Vandersteen G. On the use of compensated total least squares in system identification // IEEE Trans. Automat. Contr. 1998. V. 43, № 10. P. 1436-1442.

48. Wellstead Р.Е., Rojas R.A. Instrumental product moment model-order testing: extensions and application // Int.J. Contr. 1982. V. 35, № 6. P. 1013-1027.

49. Wong K. Y., Polak E. Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable method // IEEE Trans. Automat. Gontr. 1967. V. 12, № 12. P. 707-718.

50. Isermann R., Baur V., Bamberger W., Kneppo P., Seiber H. Comparison of six on-line identification algorithms I I Automatica. 1974. V. 10, № 1. P. 81-103.

51. Wellstead P.E. An instrumental product moment test for model order estimation//Automatica. 1978. V. 14, № 1. P. 88-91.

52. Young P. C., Jakeman A.J., McMurtrie R. An instrumental variable method for model order identification // Automatica. 1980. V. 16, № 2. P. 281-294.

53. Sagara S., Gotanda H., Wada K. Dimensionally recursive order determination of linear discrete system // Int. J. Contr. 1982. V. 35, № 4. P. 637651.

54. Karlsson E., Sjostrom E. In subspace system identification of noisy input-output systems // Prepr. 10th IF AC Symp. Syst. Identif. (SYSID'94). Cophenhagen, 1994. Vol. 2. P. 385-390.

55. Chen J.-M., Chen B.-S. A higher-order correlation method for model-order and parameter estimation // Automatica. 1994. V. 30, № 8. P. 1339-1344.

56. Sagara S., Wada K. On-line modified least-squares parameter estimation of linear discrete dynamics systems // Int. J. Contr. 1977. V. 25. P. 329-343.

57. Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least-squares identification // Int. J. Contr. 1982. V. 35. P. 449^457.

58. Zhao Z.Y., Sagara S., Wada K. Bias-compensating least-squares method for identification of continuous-time systems from sampled data // Int. J. Contr. 1991. V. 53. P. 445-461.

59. Feng C.B., Zheng W.X. Robust identification of stochastic linear systems with correlated noice // Proc. IEE Contr. Theory Appl. 1991. V. 138. P. 484-492.

60. Zhao Z.Y., Sagara S., Tomizuka M. A new bias-compensating LS method for continuous systems identification in the precence of colored noise // Int. J. Contr. 1992. V. 56. P. 1441-1452.

61. Stoica P., Soderstrom Т., Simonyte V. Study of bias-free least squares parameter estimator // Proc. IEE Gontr. Theory Appl. 1995. V. 142. P. 1-6.

62. Feng C.B., Zhang Y. Unbiased identification of systems with nonparametric uncertainty // IEEE Trans. Automat. Contr. 1995. V. 40, № 6. P. 933-936.

63. Zhang Y., Lie T.T., Soh C.B. Consistent parameter estimation of systems disturbed by correlation noice // Proc. IEE Contr. Theory Appl. 1997. V. 144. P. 40-44.

64. Zhang Y., Feng C.-B. Unbiased parameter estimation of linear systems with colored noises // Automatica. 1997. V. 33, № 5. P. 969-973.

65. Zheng W.X. On a least-squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems // IEEE Trans. Signal Process. 1998. V. 46, № 6. P. 1631-1638.

66. Soderstrom Т., Zheng W.X., Stoica P. Comments on "On a least-squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems" // IEEE Trans. Signal Process. 1999. V. 47, № 5. P. 1395-1396.

67. Anisimov A.S., Kononov V.T., Hudyakov D.S. Difference equation reconstruction algorithms based on maximum likelihood method // Proc. 4th Korea-Russia Int. Symp. on Science and Technology (KORUS-2000). Part 2. Republic of Korea, Ulsan, 2000. P. 128-134.

68. Khudyakov D.S. Statistical reconstruction algorithm on the basis of generalized least square method. First Graduate School Inter-University

69. Патент №2161369 РФ. Устройство для декодирования двоичных кодов Хемминга / А.Б. Жуков (РФ), С. В. Лапцевич (РФ), Д.С. Худяков (РФ). -Заявл. 28.05.1999; Опубл.-27.12.2000.

70. Жуков А.Б., Худяков Д.С. Прием с использованием адаптивно изменяющейся зоны стирания. Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.-№ 2(19).-С. 31-36.

71. Anisimov AS., Kononov V.T., Khudyakov D.S. The methods of linear dynamic objects parameter identification // Proc. IASTED Int. Conf. "Automation, Control, and Information Technology" (ACIT-2002). Anaheim, Calgary, Zurich: ACTA Press, 2002. P. 273-278.

72. Анисимов А. С., Кононов В. Т., Худяков Д. С. Современное состояние методов параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов // Научный вестник НГТУ. 2002. № 1. С. 13-28.

73. Кононов В.Т., Худяков Д. С. Алгоритм восстановления разностного уравнения на основе обобщенного МНК // Материалы междунар. науч.-техн. конф. "Информационные системы и технологии" (ИСТ'2003). Новосибирск: НГТУ, 2003. Т. 1. С. 171-176.

74. Кононов В. Т., Худяков Д.С. Исследование алгоритма восстановления разностного уравнения на основе обобщенного МНК // Сб. научных трудов НГТУ. 2003. № 1. С. 11-20.

75. Анисимов А.С.; Кононов В.Т. Синтез базового алгоритма восстановления разностного уравнения по оценке импульсной характеристики // Научный вестник НГТУ. 1998. № 1 (4). С. 30 45.

76. Анисимов А.С., Кононов В.Т. Проблема восстановления линейного разностного уравнения // Мехатроника. 2000. № 5. С. 42-45.

77. Анисимов А С., Кононов В. Т., Чикильдин Г.П. Особенности низкочастотной фильтрации на основе преобразования Фурье // Сб. научных трудов НГТУ. 1998. № 2 (11). С. 45 53.

78. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

79. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с.

80. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.368 с.

81. Анисимов А. С. Методы цифровой фильтрации. Новосибирск: НЭТИ, 1991.82 с.

82. Разработка и исследование алгоритмов фильтрации коротких сигналов на основе методов линейного предсказания: Промежут. отчет / Новосиб. гос. техн. у-т; Руковод. темы А. С. Анисимов. № ГР 01940001800; Инв. № 02960000947. Новосибирск, 1995. 79 с.

83. Анисимое А.С., Кононов В.Т., Сероклинов Г.В. Идентификация математической модели движения автомобиля в режиме торможения // Аппаратура и методы исследования сельскохозяйственных машин и механизмов. Новосибирск: СО ВАСХНИЛ, 1986. С. 96-101.

84. Kononov V.T. Transfer function order identification on impulse response estimation // Proc. 5th Int. Conf. on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2000). Novosibirsk: NSTU, 2000. Vol. 1. P. 118-122.

85. Справочник по типовым программам моделирования / Под. ред. А.Г.Ивахненко. Киев: Техшка, 1980. 184 с.

86. Кононов В. Т. Особенности восстановления коэффициентов полинома знаменателя дискретной передаточной функции объекта. Научный вестник НГТУ, 1999, №2, с.32^16.

87. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 542 с.

88. Алгоритмическое и программное обеспечение фильтрации коротких реализаций сигнала: Промежут. отчет / Новосиб. электротехн. ин-т; Руковод. темы А. С. Анисимое. № ГР 01860022724; Инв. № 02870018244. Новосибирск, 1986. 53 с.