автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория и приложения методов приводимости нелинейных дифференциальных уравнений

Мордовский государственный университет имени Н.ГГ.Огарева

На правах рукописи УДК 617.9:001.891.57

Пашуткин Дмитрий Витальевич

Теория и приложения методов приводимости нелинейных дифференциальных уравнений

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится "24" июня 1998 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного сонета К 063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Мордовском государственном университете имени Н. П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научпой библиотеке Мордовского государственного университета.

профессор Б. В. Логинов

кандидат физико-математических паук доцент Ю. В. Усачёв

Автореферат разослан "Ю" 1998 г_

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических паук доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Качественная теория дифференциаль-пых уравнений, и, в частности, теория устойчивости движения, основы которой заложены в конце XIX века А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре, находит широкое применение в различных областях науки и техники.

Среди методов, используемых при исследовании качественных и асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений, широко используются первый и второй методы Ляпунова.

Метод преобразований Ляпунова относится к первому методу Ляпунова. Основополагающие результаты здесь получены Н.П.Еругиным, В.А.Якубовичем, Б.Ф.Быловым, Р.Э.Виноградом, Ю.С. Богдановым и др. На основе этого метода были решены многие важные прикладные задачи. Это особенно важно, если иметь в виду, что численных методов вычисления характеристических показателей не существует. В классической теории рассматривались лишь лилейные преобразования Ляпунова. В работах Е.В.Воскресенского введено понятие нелинейного ляпуповско-го преобразования. Использование нелинейных преобразований Ляпунова позволяет существенно расширить область применения методов, использующих приводимость. На этой основе были получены новые классы нелинейных дифференциальных уравнений с устойчивым состоянием равповесия. В первую очередь это относится к устойчивости состояния равповесия нелинейных механических систем.

С появлением понятия нелинейного преобразования Ляпунова возникла задача построения новых классов приводимых пелипей-ных дифференциальных уравнений. Решение этой задачи далеко от завершения, и в связи с этим задача получения необходимых и достаточных условий приводимости нелинейных дифференциальных систем представляется актуальной.

Цель работы. Прикладные задачи механику, теории колебаний нуждаются в новых методах исследования асимптотических свойств и устойчивости решений. Классические методы не всегда способны давать решения подобных задач. Поэтому на основе

приводимости в классе нелинейных дифференциальных уравнений предварительно необходимо решить следующие задачи:

1. Получение новых необходимых и достаточных условий приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к нелинейным системам общего вида и к системе с нулевой правой частью.

2. Получение необходимых и достаточных условий приводимости нелинейной дифференциальной системы к системе с блочно-треугольной и, в частности, с диагональной правой частью.

3. Получение достаточных условий локальной приводимости нелинейных дифференциальных систем к линейным системам с постоянной матрицей.

4. Исследование притяжения нулевым решением и существования О-кривых с помощью локальной приводимости дифференциальных уравнений.

5. Исследование ограниченности решений с помощью преобразований Ляпунова.

6. Исследование устойчивости тривиального решения с помощью приводимости и локальной приводимости.

7. Получение новых условий асимптотической эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений.

8. Исследование приводимости уравнения Шредингера.

9. Исследование приводимости уравнений колебательных процессов.

Общая методика исследования основана на применении критерия приводимости нелинейных дифференциальных уравнений и метода функций Ляпунова. Устойчивость нулевого решения, огра-, ниченность решений и существование О-кривых исследуются с помощью инвариантов рассматриваемых преобразований.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Получены новые необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к нелинейным системам и к системе с нулевой правой частью.

2. Получено необходимое условие приводимости нелинейной

дифференциальной системы к системе с блочно-треугольной правой частью. Получен критерий приводимости нелинейной системы дифференциальных уравнений к диагональному виду.

3. Получено достаточное условие локальной приводимости нелинейной системы дифференциальных уравнений к линейной системе с постоянной матрицей.

4. Получены условия существования О-кривых дифференциальной системы и условия, при которых нулевое решение является притягивающим.

5. Получено условие равномерной ограниченности решений нелинейной дифференциальной системы.

6. Получены условия устойчивости нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений.

7. Получены новые условия асимптотической эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений.

8. Получены новые условия приводимости уравнения Шре-дингера.

9. Получены условия приводимости уравнений колебательных процессов.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической физике, теории колебаний, асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений, исследовании устойчивости движения нелинейных механических систем и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II и III международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения'' (Саранск, 1996, 1998 гг.), на седьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997 г.), на седьмой четаевской конференции (Казань, 1997 г.), на конференции молодых ученых (Саранск, 1997 г.), на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск, 1997, 1998 г.г.), на научдом-исследовательском семинаре по качественной теории

дифференциальных уравнений РГПУ под руководством профессора М.Т.'Герехина (Рязань, 1998 г.).

Публикации. Основные результаты отражены в 8 публикациях, список которых приведен в коцце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического списка. Общий объем диссертации 113 страниц. Библиографический список содержит 104 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена история вопроса, проводится обоснование актуальности темы диссертации, дается краткое содержание диссертации, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена вопросу приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к нелинейным системам, к системе с нулевой правой частью и к блочно-треугольной нелинейной системе.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем приводится определение группы преобразований Ляпунова и приводимости нелинейных дифференциальных уравнений. Рассматривается множество Е дифференциальных уравнений

£ = Ж«>, (1)

таких, что I 6 Л", / 6 С((Г, +оо)х Л", Я"), /(*, 0) = 0, задача Коти с любыми начальными данными для системы (1) имеет единственное решение, решения системы (1) х(1 : <о>жо) определены при всех г, к е [г.+оо), ха еД\

В работах Е.В.Воскресенского введено следующее определение ляпуновского преобразования в. классе нелинейных дифференциальных уравнений.

Определение 1.1,1. Назовем группу преобразований б = {уэ : (р : Е —» И} ляпуновской группой преобразований {ЬО, Е), если показатели Ляпунова и устойчивость нулевого решения являются инвариантами. Если <р принадлежит какой-либо (ЬИх,Е1), Е1 С Е, то (р

будем называть ляпуповским преобразованием, а соответствующие уравнения - взаимно приводимыми.

Затем в первом параграфе описаны используемые в дальнейшем группы преобразований Ляпунова:

1) ЬО1 — группа отображений Я" на Я", для которых выполнены условия:

ЭЬ{1,х)

дх

<К 1 < +оо;

£(Г,0) = 0.

2) ЬСз — группа отображений Я" на К1, для которых выполнены условия:

ЬеШ^о £€СС1'1'([Т,+оо)х ()£(*, ®)|| < К1Ц3Ц.

Далее описаны их основные свойства. Среди них стоит отметить, что кроме устойчивости нулевого решения и характеристических показателей Ляпунова инвариантами преобразований групп и £С?2 являются различные виды ограниченности решений.

Во втором параграфе получен критерий приводимости нелинейной дифференциальной системы класса Е

!=/(*.«) (2)

к системе также класса Е

£ = *(<,»>. . (3)

где /,<? € С<°-,)([7,1 +оо) х Я*, Я").

Пусть Ф(£,го) — общее решение системы (2). Вводится вспомогательная дифференциальная система

Здесь и — неизвестная функция, I — независимая переменная, т — скалярный параметр.

Запись а & К в дальнейшем означает, что а является функцией класса К, по Хану, т.е. а непрерывная строго возрастающая функция, а(0) = 0.

Справедлива следующая георема.

Теорема 1.2.1. Для приводимости системы (2) к системе (3) в группе преобразований Ляпунова LG-x необходимо и достаточно, чтобы существовали знакоположительные функции Vi, V2 g С1([Г,+оо) х [Г,+оо) х R*,R") такие, что выполнены условия:

1) И(Т,Г,«) > OidJttJI), V т > Т и е Я\ аг е К, а,(а) +оо при. а —» +оо;

2) Vi(4) > Aiii.T)^ при t е [Г,г], т е (Г,+оо);

V V3(T,T,u) < а2(Ци||), V т > Т V 6 Лп а2 € К, а,(а) -»■ +оо при а —> +оо;

4) V3(4) < A3{t,r)V2 при t G |Г,т], г 6 [Г,+оо);

5)

т

аГ1(е1Л1М\(г,т,Ф(т,и))) < *i||u||, г

а^'М''Г)Ч(т,т,Ф(г,и))) > fc2||u||,

где ki,k2 >0 — константы, при всех т € [Г,+оо), и G R".

В заключение параграфе приведены примеры использования теоремы 1.2.1 для доказательства приводимости систем дифференциальных уравнений.

В третьем параграфе рассматривается более узкая задача о приводимости системы (2) к системе

| = 0. (5,

Получены следующие результаты.

Теорема 1.3.1. Если существуют знакоположительные функции Vi, V2 g С'([Т,+оо) х Лп,Л+) такие, что выполнены условия

1) Vi(t,x) > ai(||z||), <ц е 1С, а{(а) +оо при а +оо;

2)Цт<ШУи

3) V2(t,x) < а2(||хЦ), а2 G К, а2(а) -* +оо при а -» +оо;

4) V2(2) > Aa(i)V2 ;

ег > [<2,

а:1(КМ{Т,х)) < *3||х||, а;1(КгУг(;Г,х)) > К<\\х\\, К, > 0; тогда система (2) приводима к системе (5) и соответствующее преобразование Ляпунова Ь принадлежит группе Ьвч-

Сформулированная теорема является следствием теоремы 1.2.1. Использование здесь в качестве одной из систем системы с нулевой правой частью позволяет упростить условия теоремы.

Условия теоремы являются необходимыми для приводимости системы (2) к системе (5).

Теорема 1.3.2. Пусть система (2) приводима к системе (5) о группе //С?2, тогда существуют функции 14, У2 для которых выполнены условия теоремы 1.3.1 при Л1 = Д2 ^ 0.

Далее в параграфе рассмотрены примеры дифференциальных систем, приводимых к системе (5).

В ряде случаев для доказательства приводимости системы (2) к системе (5) удается ограничится построением лишь одной функции Ляпунова.

Пусть система (2) имеет вид ¿х

— = А(их)х. (6)

Рассмотрим уравнение сравнения для системы (С)

§ = >з(1,«0, (7)

Аз £ С, А3(<, 0) = 0. Предположим, что решения задачи Коши для уравнения (7) существуют и единственны и нулевое решение устойчиво.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.3. Пусть существует V е С^рГ,+оо) х такая, что выполнены условия:

1) Н(*,*)>в(||г||), а 6 АС, У(«,0)=0;

2) + Д", |И| < г, г > О

Е (Е ) £ V* е

t

3) SpA{t,x) > b(t), fb(-a)ds > с > -oo npu i > T. г

тогда система (6) приводима к системе (5) ляпуновским преобразованием L G LG2.

Сформулированную теорему наиболее удобно использовать при доказательстве приводимости линейных систем.

В четвертом параграфе изучается вопрос о приводимости системы (2) к системе (3), имеющей блочпо-треугольную правую часть.

Определение 1.4.1. Систему дифференциальных уравнений (3) будем называть треугольной, если матрица Якоби является

треугольной при всех значениях х Е R", t G [Г, +оо).

Аналогично вводятся понятия диагональной и блочно-треу-гольной нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Имеет место следующий результат.

Пусть »ii 6 N, i = 1, ...,1, щ +- n2 -f ... -f n; = л, будем считать, n0 = 0. Обозначим X(t,x0) = где <&(t,x0) — общее реше-

ние системы (2); Xni — прямоугольные матрицы, составленные из столбцов матрицы с номерами «¡_i + 1,...,«;,

X(t,X о) = [Ха1,Хв2,...,Хл|].

Теорема 1.4.1. Для приводимости системы (2) к блочно-тре-угольной системе, состоящей из I независимых систем изп, уравнений, в группе преобразований Ляпунова. LG\ необходимо, чтобы выполнялось неравенство

_g(*('.*»))._>р>0

G(Xnl(t, x0))e(X*(t,xo))...G{Xutt,xo)) ~ * '

при всех i е [Г, -foo), хо в Rn.

Здесь G — определитель Грама.

В отличие от линейного случая условия теоремы не являются достаточными для приводимости нелинейной дифференциальной системы к блочно-треугольной системе даже в группе LGi. Однако для приводимости системы (2) к диагональному виду имеет место следующий критерий.

Теорема 1.4.2. Для приводимости системы (2) к диагональной системе дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемой по компонентам леизвсстной переменной правой частью необходимо и достаточно, чтобы для матрицы Якоби общего решения Ф € С*0,1)([Т,+оо) х /Г, системы (2) ^ = существовали непрерывные функции Л,- с непрерывными частными производными такие,что ||у7;(*,с)|| < А;(£,с;), £ = 1

< € [Т,+оо), се Л" и

-^^->Р> 0, (8)

t 6 [Г, +оо), с е R", где - грамгит

Необходимость в условиях сформулированной теоремы нони-мается как существование соответствующего преобразования Ляпунова в группе LGX.

В конце параграфа рассмотрены примеры систем, для которых выполнены условия теоремы 1.4.1.

Вторая глава посвящена преобразованиям, близким по свойствам к преобразованиям Ляпупова, но действующим лишь в некоторой окрестности состояния равновесия.

Рассматривается множество Д дифференциальных уравнений

¥ = /(!,»)

таких, что / 6 С([Т,+оо)х B{0,rf),Rn, где В(а, г) = {z : х G Rn, ||о-< г}> г/ > 0, f(t,0) = 0, для любых <0 е [Г,+оо), хй е B(Q,rj) существует единственное решение с начальными данными (¿0,20). Число rf предполагается, вообще говоря, зависящим от конкретно взятого уравнения.

В отличие от множества H здесь дифференциальная система определена только па множестве [Т,+оо) х В(0,г/) и пе накладывается ограничение, связашюе с существованием решений на всем полуинтервале [Г, +оо).

Введем определение.

Определение 2.1.1. Назовем два уравнения из множества Д локально приводимыми, если существуют отображения L €

С'([Т,+оо) X Л(0,Г1),Д»), Ь"1 е С^Г.+оо) х В(0,г3),Дв), гьг2 > О, такие, что | ° ^ [ < Ки || | < Кг, и замена .переменных

х = Ь(1,у) переводит одна уравнение в другое при I £ [Г,+оо) и г,у € В(0,г3), 0< г3 <п,г2.

Преобразования, удовлетворяющие требованиям определения 2.1.1, называются локальными преобразованиями.

Такие преобразования задают отношение эквивалентности па множестве дифференциальных уравнений Д и разбивают его на классы эквивалентности, задалая таким образом классификацию множества А по локальным свойствам решений.

Далее в параграфе описаны основные инварианты указанных преобразований. К шм относятся некоторые виды устойчивости нулевого решения, притяжение нулевого решения, показатели решений, не покидающих достаточно малую окрестность состояния равновесия, О-кривые.

Часто требуется знание более тонких характеристик решений, чем устойчивость. В работах Е.В.Воскресенского введено следующее определение.

Рассматривается система дифференицальных уравнений

§=/о(<,*), (9)

/ £ С([Т\-!-оо) хБ(0,г), Д"), г е (0,+оо], решения системы : 1о,г0) определены при всех х0 € В(0,г 1), п € (0,г), 1 > Пусть фо € С(|Г,+с»), (0,+оо)).

Определение 2.1.2. Будем говорить, что решение х{1 : 1о,хд) системы (9) ^-устойчиво, если для любого е > 0 существует число 6 > 0 такое, что как только Цхо — 2оЦ < 6, выполняется неравенство

: - : *о,го)|| < £

при всех I > £0'-

В случае, когда фа > с > 0, ^о-устойчивость является инвариантом локальных преобразований.

Важнейшим свойством локальных преобразований является их связь с классическим понятием приводимости А.М.Ляпунова.

Если уравнения являются лилейными однородными, то из их локальной приводимости вытекает приводимость в смысле классического определения А.М.Ляпунова.

Теорема 2.1.2. Если линейное однородное уравнение

<1х .

локально приводимо к ¡/равнению

(10)

(П)

то уравнение (10) приводимо в смысле Ляпунова к уравнению (11).

Этот факт позволяет рассматривать введенное определение как обобщение классического понятия приводимости па нелинейный случай наряду с определением 1.1.1.

Во втором параграфе получено достаточное условие локальной приводимости нелинейной дифференциальной системы

(12)

класса Д, где / е С<0Д)([Т, +оо) х В(0,г),Я"), г > 0 к линейной системе

¿У <й

= Ау.

(13)

Векторным полиномом степени т будем называть отображение вида

РтМ =

/ т / \ \ ' Е Л)**

1?1=2

Е <&\*)*

\ 1»М у

здесь и в дальнейшем 9 = (?1,...,?„), € N, М =91+92 + — + 9ч, 2« = а:;1 х ... х

Пусть Лт;„ и \та1 — минимальная и максимальная вещественные части собственных значений матрицы А.

Тогда для локальной приводимости системы (12) к системе (13) имеет место следующее достаточное условие.

Теорема 2.2.1. Пусть функция f в правой части системы. (12) предстпавима в виде:

/(«,*) = Р»(«,*) +Л (*,«),

где Рт — векторный полином степени т, коэффициенты Рт ограни-пени, ^^ = О, 6 сМ([0,+оо) х 5(0, г), Я»), < К\\х

Если Лт1-„ > 0, или Лпи* < 0, то система (12) локально приводима к системе (13).

В третьем параграфе рассмотрены примеры локально приводимых систем дифференциальных уравнений. В их числе уравнение, описывающее колебания физического маятника под действием силы вязкого трения и силы гидродинамического или аэродинамического сопротивления, и уравнение, описывающие процессы в некоторой электрической цеди.

Третья глава посвящена исследованию различных качественных и асимптотических характеристик прикладных нелинейных дифференциальных уравнений таких как существование О-кривых, устойчивость нулевого решения и ограниченность решений.

В первом параграфе на основе результатов о локальной приводимости из второй главы получены достаточные условия существования О-кривых, притяжения к нулевому решению, устойчивости нулевого решения нелинейной дифференциальной системы. Получены оценки асимптотического поведения решений исследуемой системы.

Во втором параграфе на основе результатов о приводимости нелинейной дифференциальной системы к системе с нулевой правой частью получены условия равномерной ограниченности решений некоторой дифференциальной системы, устойчивости нулевого решения, а также условия асимптотической эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений.

В третьем параграфе рассмотрены следующие прикладные задачи.

Для уравнения колебания физического маятника с действующими силами вязкого трения и гидродинамического или аэродинамического сопротивления, изменяющейся с течением времени, и

возмущающей силой /

х + fcii + fc2sina: 4- кз(1)х* = f(t,x, х),

где к\,к2 — положительные постоянные, fcj — непрерывная ограниченная функция, / -— непрерывная по совокупности переменных функция такая, что для уравнения выполнены условия единственности решений задачи Коши. Пусть х\ = х, г2 = х, тогда уравпение может быть переписано в виде системы

iSX — -г.

£ " (14)

-rf = -к2sinai! - kix2 -fc3(t)z| + j(t,xux2)

Пусть / удовлетворяет следующему условию: |/(£,®1,1г)| < Л(<), А G С([0,+оо),[0,+оо)). Тогда если выполнено условие: lim ^ < 0, то система (14) имеет по крайней мере одну О-

i-»+oo *

кривую. Физический смысл этого результата состоит в существования затухающих колебаний.

Пусть /(¿,0,0) = 0. Если выполнено более жесткое условие

+00

/ \(s)ds < +оо, то состояние равновесия является притягиваю-

о

щим, то есть колебания маятника являются затухающими.

Теперь предположим, что для J выполнено условие \f{ttxua2)\ < A(t,|n| + |аг,|), А 6 С([0,+оо) х (0,г),Д), г > О, A(i,ori) < А(i,cti) при ö! < аг. Тогда если нулевое решение системы

1=6 + ^,^(161+161)) £ = -Ы1 - fcib + ВД1, +161))

при всех К\,К2 > 0 Vo-устойчиво, где ipo{t) > с > 0 при всех t € [О, +оо), то нулевое решение системы (14) также t/'o-устойчиво.

Рассмотрено уравнение Шредингера с возмущающим потенциалом

+ =-/(«,*), (15)

где h, т, Е - положительные постоянные, / - непрерывная функция, а - непрерывно дифференцируемая функция, предполагается, что решения однозначно определяются начальными данными.

Уравнению (15) соответствует система уравнений ¿а = х2

Пусть выполнено одно из условий

1) Е - a(t) > О, Е- o(i) < Jf!, c'(t) < 0; 2) Е - o(t) > -К"2 > 0, o'(i) > 0.

Тогда невозмущенная система

éHL =

по теореме 1.3.3 приводима к системе с нулевой правой частью.

Если / удовлетворяет условиям: I/O,!2!)! ^ A(i,|г|), Л е С([0,+оо) х [0,+оо),[0,+оо)), A(t,0) = 0 и нулевое решение уравнения

устойчиво при любых К3, > 0, то нулевое решение системы (16) также устойчиво.

Пусть теперь Л удовлетворяет следующим условиям:

+00

A(i,ai) < A(î,q2) при сц < а2, J(a) = J X(s,a)ds<-f-oo, (18)

+00

-77-r = +oo при 6 > 0, (19)

J(a) i

+а /

функция

1

ЯМ = I (20)

<о

имеет непрерывную частную производную > 0, то решения

системы (16) равномерно ограничены.

При тех же ограничениях на функцию Л система (16) асимптотически эквивалентна но Брауеру системе (17).

Проведено исследование асимптотических свойств решений уравнений колебательных процессов. В частности, если в системе

р е Довыполнены условия:-^! < р(хх) < -сгх 1 при х1 < О и — С2Х1 < р(х 1) < —С1Х1 при XI > 0, сьс2 > 0, то по теореме 1.3.1 она приводима к системе с нулевой правой частью.

Рассматривается возмущенная система ^ = ®2

Ф^Ы + Я*,*!,*,)' (22)

где / £ С([0,+оо) х Л2, Д) такая, что для системы (22) выполнено условие единственности решения задачи Коши.

Если Ц(г,хия2)\ < АхС«,Ы + Ы), < К, функция А(<,а) =

А1(<>а)е''кГ1+к1 удовлетворяет условиям (18)-(20) и

+О0 «

равномерно относительно а > 0, то системы (21) и (22) асимптотически эквивалентны по Брауеру.

• Такие уравнения описывают, например, колебания в колебательном контуре с сегнетоэлектриком между обкладками конденсатора.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пашуткин Д.В. Приводимость асимптотически эквивалентных систем дифференциальных уравнений // Вестн. Морд. Ун-та.

1996. N1. С. 52-54.

2. Пашуткин Д.В. О приводимости к уравнению с нулевой матрицей // Мат. моделирование, РАН - 1997. - Т.9 , N» 10. -С.19.

3. Пашуткин Д.В. О приводимости асимптотически эквивалентных дифференциальных систем // Тез. докл. II копф. молодых ученых, Саранск, апрель 1997. - Саранск, 1997. - С.16.

4. Пашуткин Д.В. О устойчивости некоторых классов дифференциальных уравнений // Труды седьмой межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 28-30 мая,

1997. - Самара, 1997. - С. 79-81.

5. Пашуткин Д.В. О диагонализации нелинейных систем дифференциальных уравнений // Тез. докл. VII четаевской конф. Казань, 10-13 июня, 1997. - Казань: Изд-во Казан, техн. ун-та, 1997. - С.62.

6. Пашуткин Д.В. Об устойчивости решений дифференциальных систем// Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, май-июнь, 1997/ Мордов. гос. ун-т. - Саранск,

1997. - С.71-77. Деп. в ВИНИТИ 06.08.97. N 2618-И97.

7. Пашуткин Д.В. О диагонализации нелинейных дифференциальных системJJ Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, май-июнь, 1997/ Мордов. гос. ун-т. — Саранск, 1997. - С.78-83. Деп. в ВИНИТИ 06.08.97. N 2618-И97.

8. Пашуткин Д.В. О приводимости нелинейных автономных дифференциальных уравнений// Труды III междун. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 19-21 мая,

1998. - Саранск, 1998. С.224-225.