автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Ляпуновские преобразования и устойчивость движения

Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева —-;-

На правах рукописи

*ч

\

УДК 617.9:519.6:001.891.67

Шаманаев Павел Анатольевич

Ляпуновские преобразования и устойчивость движения

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мо| довского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М. Т. Терехин

кандидат физико-математических аау: Т. В. Кормилицына

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится 1997 г. в /£>мин. 3

заседании диссертационного совета К 063.72.04 по присужден» ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордо ском государственном университете имени Н. П. Огарева по адр су: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиоте Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан ^ " 1997 г<

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

С. М. Мурюм

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическая теории устойчивости !ижения, основы которой были разработаны почти 100 лет назад .Пуанкаре и А.М.Ляпуновым, получила широкое применение в «личных областях науки и техники.

Среди различных методов решения задач устойчивости дви-ения следует выделить два метода, изложенных в знаменитой эчинении А.М.Ляпунова "Общая задача об устойчивости дви-ения": первый н второй (или прямой) методы А.М.Ляпунова, ущественные результаты по развитию данных методов принадле-ат Н.Н.Красовскому, Н.Г.Четаеву, И.Г.Малкину, Е.А.Барбаши-В.И.Зубову, В.М.Матросову, А.И.Лурье, С. Лефшецу, Ж.Ла-аллю, Б.Ф.Былову, Р.Э.Винограду и другим.

Исследование устойчивости движения с помощью линейных нпуновских преобразований принадлежит к первому методу. В аботах Е.В.Воскресенского обобщено понятие ляпуновского пре-Эразования, что позволило решать вопросы устойчивости реше-яй нелинейных систем дифференциальных уравнений. В связи с гим задача построения группы нелинейных ляпуновских преобрази алий на некотором множестве нелинейных систем дифферешщ-кьных уравнений представляется весьма актуальной.

Цель работы. 1. Получение новых достаточных условий риводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к инейным системам с постоянной и переменной матрицами.

2. Получение достаточных условий локальной приводимости в линейных систем дифференциальных уравнений к линейным си-геыам с переменной матрицей.

3. Построение квазиллпуновской группы преобразований на екотором множестве систем дифференциальных уравнений.

4. Получение достаточных условий квазиприводимости нели-ейных систем дифференциальных уравнений к линейным системам постоянной и переменной матрицами.

5. Исследование устойчивости движения с помощью ляпунов-ких преобразований.

6. Исследование ограниченности движения с помощью кваз> ляпуновских преобразований.

Общая методика исследования основана на применении м< тодов неподвижной точки нелинейных операторов. Устойчивое! и ограниченность решений нелинейных систем дифференциальны урмнений исследуются с помощью инвариантов ляпуновских квазиляпуновских преобразований.

Научная новизна. В диссертации получены следующие н< вые результаты, выносимые на защиту.

1. Получены новые достаточные условия приводимости нел! нейных систем дифференциальных уравнений к линейным система с постоянной и переменной матрицами.

2. Получены достаточные условия локальной приводимое? нелинейных систем дифференциальных уравнений к линейным а с темам с переменной матрицей.

3. Приведены достаточные условия существования квазиш пуновскоЙ группы преобразований на некотором множестве систе дифференциальных уравнений.

4. Получены достаточные условия квазиприводимости нел! нейных систем дифференциальных уравнений к линейным система с постоянной и переменной матрицами.

5. С помощью ляпуновских преобразований найдены достг точные условия устойчивости движений, описываемых диффере! циадьнфм уравнением 2-го порядка.

6. С помощью квазиляпуновских преобразований найдены д< статочные условия ограниченности движений механических систе

Научная и практическая ценность. Работа носит теор< тический характер. Полученные результаты могут быть приме . нены к исследованию устойчивости движения механических а с тем, а также к исследованию ограниченности решений нелине! ных систем дифференциальных уравнений, описывающих физич< ские процессы и природные явления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации дс кладывались на Международных конференциях по дифференциал! ньш уравнениям и их приложениям (Саранск, 1994, 1996 гг.), в

г

*

гаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1993, )94, 1995, 1996 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск, )96 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики ГУ им. Н.П.Огарева под руководством профессора Е.В.Воскре-¡нского (Саранск, 1995, 1996, 1997 гг.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в вось-н публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из зедения, трех глав, разбитых на параграфы, списка обозначений, иблиографического списка и приложения. Общий объем диссер-щии 145 страниц. Библиографический список содержит 116 на-шенований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы дис-гртацки, дается краткий обзор работ по ее тематике, формули-уются основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава посвящена вопросу существования нелинейных япуновских преобразований на множествах ВиО систем диффе-енциальных уравнений, а также, связанному с ним, вопросам о риводимости и локальной приводимости нелинейных систем диф-еренциальных уравнений. Первый параграф этой главы носит, э преимуществу, вспомогательный характер. Здесь приводится пределение ляпуновской группы преобразований на множестве В сех нелинейных систем дифференциальных уравнений вида

§=/(«.*). (!)

це х е И", / 6 С(к'Ч(Т х Й'Д"), - пространство всех вектор-ункций (4, х) /(4,0) = 0 размерности п, определенных

а множестве Т х И", к раз непрерывно дифференцируемых по пе-еменной Л > 0 и I раз непрерывно дифференцируемых по ком-опентам вектора х, I > 1. Предполагается, что для всех систем

из 5 общие решения определены при всех 4 € 7". Общее решет системы (1) обозначим символом х = д(1, с).

Определение 1.1.2. Назовём группу преобразований С = {<р \ ц Е*—>2} ляпуновсхой группой преобразований (Ьв.З), если характер\ стичесхие показатели и устойчивость нулевого решения являюпи инвариантами. Если (р принадлежит какой-либо группе (Ьв^Е1 Е1 С 2, то (р будем называть Ляпунов схим преобразованием, а а ответствующие уравнения — взаимно приводимыми. Если система дифференциальных уравнений

!=/.(',») о

также принадлежит множеству 2 и у = доС'.сО - её общее решени< то для систем (1) и (2) справедлив критерий о взаимной привода мости.

Теорема 1.1.2. Для того, чтобы уравнения (1) и (2) были ел имно приводимыми, необходимо и достаточно, чтобы преобразов( кие

х = д&дЦЧ^у))

било ляпуновским.

Далее в первом параграфе приводятся оценки, используюпп еся в 1 и 2 главах, для матрицы Коши линейной системы дифф< ренциальных уравнений с постоянной матрицей

л

А = ^ ^

Пусть У(< — а) — матрица Коши линейной системы (3), но{ мированная в нуле. Тогда для нее справедливы опенки

||У(< - л)|| < Ле^1"'УЧ* -а) < > л, (-

||К(<- л)|| < О

где I? - константа;

если <1; если | £|> 1 '

где р — целое неотрицательное число.

А

Для решений линейной системы с переменной матрицей

^ = (6)

меем

¿%(*o)l|e^r(r)'r < ||у(0Н < (7)

це D - константа, не зависящая от выбора начальных данных o,u(¿0)); R(t), r(t) — вещественные непрерывные функции, опре-гленные на полуинтервале Т.

Во втором параграфе первой главы приводятся достаточные словия приводимости нелинейной системы

^ = А*+ /(*,*) (8)

линейной системе (3) с помощью ллпуновского преобразования

+оо

u = <p(t, v) = v + jY{t- s)f(», x(s))ds, (9)

t

le u,r e R", x(s) A= x(s : t,v) - решение системы (8), проходящее грез точку v = x(í).

Будем предполагать, что для частной производной функции по переменной х справедлива оценка

df(t,x)

дх

< VC*) при всех t>T, х £ R", (10)

1е

■ ф е С (Т.И^), Ф({) <К< +оо при всех * е Т.

Теорема 1.2.1. Пусть для матрицы Коши линейной системы У справедливы оценки (4) и (5). Тогда, если сгодится интеграл

+оо

J е""вт'+га^(л)(Ь, (И)

т

'е го = Л — А, то преобразование (9) является ляпуновсхим, а си-аеми (3) и (8) — приводимыми.

В третьем параграфе первой главы приводятся достаточны* условия приводимости нелинейной системы

^ = A(t)x + f{t,x) (12

к линейной системе (6) с помощью Ляпуновского преобразования

+00

и = ¥>(*, v) s V + J K(t, s)f(», »(«))*, (13

<

где u,v 6 R", x{s) x{s:t,v) - решение системы (12), проходяще через точку v = x(t), K(t,a) - матрица Коши линейной систем] (в).

Теорема 1.3.1. Пусть для решений î/(i :*о,2Л)) линейной cvcmt мы (6) справедлива равномерная оценка (7). Тогда, если сходитс интеграл

+оо ,

J eWKMWyWds, (1<

т

та преобразование (13) является ляпуновсхим, а системы (6) и (11 — приводимыми.

Замечание 1.3.1. Теорема 1.3.1 не обобщает теорему 1.2.1 так как из выполнений условий следствия 1.3.4, вообще говоря, е вытекает выполнение условий теоремы 1.2.1. Более точно — у сходимости интеграла (11), вообще говоря, не следует сходимоса интеграла (14).

В четвертом параграфе первой главы на некотором множесп систем дифференциальных уравнений рассматриваются преобр] зования, которые, вообще говоря, не являются ляпуновскими.

Рассмотрим множество всех систем дифференциальных ура) нений вида

(11

где функция f{t,x) такая, что

/ е С W>(T х R\R"),jfc > 0,1 > 1, f(t,0) = 0. (И

обозначим через

О = |(1,х) : 1 € Т, * е Х„ X, С Я"},

де Х( (4 6 Т) - области, содержащие окрестность нуля, причем, уществует шар Зр С И", фиксированного радиуса р > 0, такой, то 8, С Х< при всех ( 6 Т.

Пусть у системы вида (15) существует совокупность решений (*:<0)*о)> где (¿о, го) 6 О, определенных при всех < > Т. Множе-тво всех систем дифференциальных уравнений вида (15) обозна-йм символом П.

Рассмотрим преобразование х = У) из ляпуновской грун-ы (ЪС,Е) на множестве П. При каждом фиксированном 1 б Т это реобразование представляет собой взаимно однозначное отобра-«зпие

* = <рЫ, х, у е к*.

Так как отображение <рг является взаимно однозначным ото-ражением пространства Н* на себя, то

х =-<р<(у). у е V«,* е и, =

где V* С К* - область, содержащая окрестность нуля) также вляется взаимно однозначным отображением области V« на область

и.

Определение 1.4.1. Лее системы из множества П назовем опально приводимыми, если существует преобразование <р € (1»С,Н) шхос, что при каждом фиксированном 4 6 Т

V*: V« и«, — биекция

здесь Х( Э V), и< - области, содержащие окрестности нуля), при том в момент I через точки у € V« и х € и(, соответствующие руг другу в силу этой биекции, проходят решения этих систем.

Замечание 1.4.1. Пусть Х< = К* при всех 1 е Т. В этом слу-ае, Б = Т х В.", откуда следует, что для любых (*о,*о) 6 Т х К* се решения систем из множества П определены при всех £ > Т. ¡ледовательно, множества 17 и 3 систем дифференциальных урав-ений совпадают. Пусть, кроме этого, V, и и« при всех 1 <Е Т также

\

совпадают со всем пространством R", тогда, согласно определе шло 1.4.1, все решения одной системы переводятся преобразова нием tp € (LG,E) в решения другой системы, а это означает, чт< эти системы являются приводимыми.

Рассмотрим из множества П нелинейную систему дифферен циальных уравнений вида

= +/(«,*), (17

где A(t) - непрерывная и ограниченная на полуинтервале Т (п > г»)-матрица; вектор-функция f(t,x) удовлетворяет условию (16) причем покрайней мере дважды непрерывно дифференцируема п< переменной х.

Зафиксируем в R" замкнутый шар Sr так, чтобы Sr С Xj дл: любого t G Т. Так как вектор-функция f(t,x) - непрерывно диф ференцируема по переменной х € Sr, то существует

»«s, II ОХ ||

где

ш е С(Т х R+,R+), to(t,r) -* О при г 0.

Теорема 1.4.1. Пусть для решений y(i :to, уо) линейной систем\ (в) справедлива равномерная оценка (7). Тогда, если выполняйте все условия леммы 1.4.1 и сходится интеграл +00

т

то системы (в) и (17) являются локально приводимыми.

В пятом параграфе первой главы приводятся примеры приво димых и локально приводимых систем дифференциальных уравне ний.

Все основные результаты этой главы являются новыми.

Во второй главе рассматриваются преобразования, инвари аатом которых является ограниченность решений систем диффе ренциальных уравнений из в. Эти преобразования в дальнейше] будут называться квазиляпуновскими.

+00 /

В первом параграфе этой главы дается определение груп-л квазиляпуновских преобразований, а также приведены доста->чные условия, при выполнении которых некоторая совокупность >еобразований образует квазиляпуновскую группу на множестве систем дифференциальных уравнений.

Пусть в — множество всех систем дифференциальных урав-:ний вида

1е х е и», / е С^>(Т х КП,Н"), к > О, I > 0.

Предполагается, что для всех систем дифференциальных урав-;ний из 0 общие решения существуют в области единственности х а».

В этом случае, решения х = х(<:<о,®о) с начальными данными о.Жо) € Т х К" также существуют и единственны при всех * > Т.

На множестве 0 рассматривается совокупность преобразова-1Й вида

* = ¥>(*,у), у е и.", * е т. (19)

Определение 2.1.1. Группу О — {</> | <р : © 0} преобразо-тий, инвариантом которой является ограниченность решений си-пем дифференциальных уравнений из 0, назовем хвазиляпуновсхой >уппой преобразований и обозначим символом — (£С, 0). Преобра-\вания из этой группы назовем хвазиляпуновскими, а соответству-щие системы — квазиприводимыми.

Теорема 2.1.1. Пусть совокупность преобразований ¡р вида (19) >разуют группу бо на множестве 0. Тогда, если выполняются •.ловия

1) 1И*,У)Н < «!(1М1) при всех у е Я", * > Т;

2) <ш2(||х||) при всех гбН",»> Т;

>е щ (»' = 1,2) - скалярные непрерывные на полуинтервале [0,+оо) /нкции, то группа <?о является квазиляпуновской.

Аналогично критерию о взаимной приводимости для систем ) множества 3 сформулируем критерий квазиприводимости для гстем из множества 0. Пусть х = д{1,,с\) и у = <?о(<,сз) - общие

решения систем (18) и

=/<>(«,»), * (21 соответственно. Тогда справедлива

Теорема 2.1.3. Для того чтобы системы дифференциальнь уравнений (18) и (20) были кваэиприводимыми, необходимо и дост точно, чтобы преобразование

x = 9(t,gô\t,y))

било хвазиляпуновским.

Во втором параграфе второй главы рассматривается нел] нейная система дифференциальных уравнений вида

^=Ax + f(t,x) + F(t), (2

где функция f(t,x) определена также как в §1.2;

F G C<')(T,Rn), l > О, ||F(t)|| < »(t) Vi > T, (2

где ц — непрерывная ограниченная функция на полуинтервале ' Показывается, что при выполнении некоторых условий пр образование

+оо +оо

u = v(t, ю) = v + jY(t- з)/(а, я(л))<гл + jY(t- a)F(j)ds, (2 t t

где x(s)=:x(s:t,v) - решение системы (21), проходящее через точ] v = xÇt), u,v € Rn, является квазиляпуновским, а системы (21) (3) — квазиприводиыыми.

Теорема 2.2.1. Пусть матрица Коши системы (3) удовлетв ряет условиям (4) и (5), а. также сходятся интегралы (11) и

+00

е~у'зт1ц(з)<1з.

Тогда если

+оо

ji

е «

J еТ" smi+ny>tp(a)ds < Ki <+оо Vt>T,

+оо

JeA(t-')emi/i(3)da< Кj < +00 Vt>r, i

►e K\ и Кг — константы, то преобразование (22) является квази-гпуновским, а системы (3) и (21) — квазиприводимыми.

В третьей параграфе второй главы рассматривается система ифференпиальных уравнений

^ = A(t)x+ /(*,*)+ F(i), (23)

це f{t,x) удовлетворяет условию (10), a F(t) - условию (21). Показывается, что преобразование

+оо +00

u = <p{t,v) = v + J K{t, a)f{s, x{s))ds + J K{t, s)F{a)ds, (24) t <

ae x(s) =f x(s : t,v) - решение системы (23), проходящее через очку v = x(t), u,v € R", является квазиляпуновским, а системы 3) и (23) — квазиприводимыми.

Теорема 2.3.1. Пусть для решений системы (в) выполняется авномерная оценка (7). Тогда если сходятся интегралы (14) и

+00

t

также справедливы условия

+00

J e-^ir/i(s)d3,

eJrT(T)dT J e&WThW^^ds <KX<+ 00 V t > T,

t

+00

J ef-rWTii(s)d3 <K2<+00 V t>T, t

10 преобразование (24) является квазиляпуновским, а системы (в) , (23) — квазиприводимыми.

В четвертом параграфе этой главы приводятся примеры кв; зиприводимых систем дифференциальных уравнений.

Все основные результаты этой главы являются новыми.

В третьей главе вопросы устойчивости движения мехашг* ских систем решаются с помощью Ляпуновских и квазиляпуновски преобразований.

В первом параграфе этой главы решается вопрос об устойч) вости движения по первому приближению некоторой механическс системы.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается вопрс об устойчивости положения равновесия математического малтш ка с изменяющейся по времени длиной I нити подвеса.

В третьем параграфе третьей главы с помощью квазиляпуно! ских преобразований исследуется ограниченность движений мех; нических систем при наличии внешней силы.

В приложении рассматривается применение численных мет< дов к задаче об установлении соответствия между начальным точками решений систем дифференциальных уравнений с помощы ляпуновского преобразования.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шаманаев П.А. Асимптотичекие методы стабилизации про-аммного движения // Мат. моделирование, РАН - 1995. - Т.7, 5. - С. 80.

2. Шаманаев П.А. О приводимости // Тр. семинара по диф-¡ренц. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, май-июнь, 95/ Мордов. гос. ун-т. - Саранск, 1995. - С. 236-243. - Деп. ВИНИТИ 04.08.95, № 2386-В95.

3. Шаманаев П. А. Достаточные условия приводимости неко-рого дифференциального уравнения // XXIV Огарёвские чтения: >з. докл. науч. конф., Саранск, 4-9 дек., 1995. В 3 ч. Ч. 3. -фанск, 1995. - С. 30.

4. Шаманаев П.А. О приводимости нелинейной системы диф-:ренциальных уравнений // Тр. семинара по диф. уравнениям ордов. гос. ун-та. - Саранск, май-июнь, 1996/ Мордов. гос. [-т. - Саранск, 1996. - С. 140-149. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.96,

2830-В96.

5. Шаманаев П.А. Преобразования Ляпунова для нелинейных [стем дифференциальных уравнений // Тр. семинара по диф. >авнениям Мордов. ун-та. - Саранск, май-июнь, 1996/ Мордов. с. ун-т. - Саранск, 1996. - С. 150-159. - Деп. в ВИНИТИ .09.96, № 2830-В96.

6. Шаманаев П.А. Достаточные условия приводимости // Тр. минара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, ьй-июнь, 1996/ Мордов. гос. ун-т. - Саранск, 1996. - С. 160-¡8. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.96, № 2830-В96.

7. Шаманаев П.А. О приводимости нелинейных систем диф-гренциальпых уравнений // Вестн. Морд, ун-та. - 1996. - № 3. С. 46-48.

8. Шаманаев П.А. О ляпуновских преобразованиях // Тез. >кл. II Междун. конф. "Дифференциальные уравнения и их применил" , Саранск, 10-12 сентября, 1996. - Саранск, 1996. - С. 17.