автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмизация анализа и синтеза нелинейных управляемых систем с учетом свойств проводимости по А. М. Ляпунову и особенностей в виде плоских предельных циклов на основе системы компьютерной алгебры "АНАЛИТИК-С"

На правах рукописи

РГВ од

- 6 СЕН 7000

ОРЛОВ Дмитрий Васильевич

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С УЧЁТОМ СВОЙСТВ ПРИВОДИМОСТИ ПО А.М.ЛЯПУНОВУ И ОСОБЕННОСТЕЙ В ВИДЕ ПЛОСКИХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ «АНАЛИТИК-С»

Специальность 05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов-2000

, Работа выполнена на кафедре технической кибернетики и и] форматики Саратовского государственного технического университ та.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

Защита диссертации состоится " 16 " мая 2000 года в 1500 час( в ауд.216А на заседании специализированного диссертационного сов та по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.063.58.08 Саратовском государственном техническом университете. Отзывы ) автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим о правлять по адресу: 410054, Саратов, Политехническая, 77.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университет; Автореферат разослан " " cLn.ptля 2000 г

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Подчукаев

В.В.Ермишин

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н.Челноков

и управления РАН, г.Саратов

V - т.Чг. \\а п

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эволюционное развитие теории автоматического управления соразмерно возрастанию требований к точности математического описания объектов управления. Наиболее точные и полные модели, в большинстве своем, представляются нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, такие модели очень сложны для анализа и-создают значительные трудности при синтезе законов управления. В этой связи большое значение играет теория приводимых систем, основы которой заложены выдающимся русским ученым А.М.Ляпуновым, и которая оформилась в законченную теорию усилиями академика АН СССР Н.П.Еругина. Однако, теория приводимых систем распространяется только на класс нестационарных линейных систем, в то время как какие-либо попытки ее распространения на нелинейные системы - практически неизвестны. Поэтому исследование свойства приводимости нелинейных систем, преследуемое настоящей работой, представляет несомненный научный и практический интерес.

Среди не до конца решенных проблем нелинейных управляемых систем остается и 16-я проблема Д.Гильберта топологии алгебраических кривых и поверхностей, самыми интересными из которых, с позиций многочисленных технических приложений, являются замкнутые кривые или предельные циклы. При анализе системы управления необходимо знать, возможен ли в принципе процесс автоколебаний в этой системе, или нет. Известные достаточные критерии несуществования предельных циклов на фазовой плоскости Бендиксона и Дюла-ка, обобщенные на случай многомерных систем В.П.Жуковым, в ряде случаев позволяют ответить на этот вопрос, в то время как какие-либо регулярные процедуры анализа существования предельных циклов -практически неизвестны. Вот почему проблема анализа существования плоских предельных циклов, рассматриваемая в настоящей работе, также представляет несомненный научный и практический интерес.

Анализ и синтез нелинейных управляемых систем немыслим без использования современных систем аналитических вычислений (CAB) типа Maple V, MathCAD, MathLab, Mathematica, MACSYMA, MACNON и других. Среди перечисленных до сих пор нет ни одной отечественной CAB, хотя использование указанных выше пакетов западной разработки зачастую затруднительно, а в ряде случаев и невозможно. Поэтому разработка отечественной CAB, преследуемая настоящей работой, является приоритетной задачей сегодняшнего дня, поскольку дальнейшее отставание в этой области не способствует паритету, в том числе и в оборонном плане.

Объектом исследований в работе являются нелинейные управ ляемые системы с сосредоточенными параметрами, описываемы! обыкновенными конечномерными дифференциальными уравнениями.

Работа выполнена в рамках основного направления научных ис следований Саратовского государственного технического университет - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИ5 при частичной финансовой поддержке базового финансирования фун даментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по тем СГТУ-115 за 1998 год «Разработка алгоритма анализа предельны: циклов с использованием производящего вектора и коэффициенте А.Н.Крылова».

Целью диссертационной работы является:

1) с использованием математического аппарата производящег вектора и коэффициентов А.Н.Крылова:

- получить необходимые и достаточные условия приводимост нелинейных управляемых систем и использовать полученные услови при синтезе;

- получить необходимые и достаточные условия существовани плоских предельных циклов на фазовой плоскости, обобщить эти ус ловия на случай многомерных систем и использовать их при синтезе;

2) создать новую редакцию языка аналитических вычислени АНАЛИТИК, разработанного в конце 60-х годов авторским коллект! вом под руководством академика АН СССР В.М.Глушкова, для реал! зации алгоритмов аналитической теории автоматического управлени и алгоритмов, разработанных в диссертации.

Методы исследований. Полученные в работе результаты базир^ ются на методах теории автоматического управления, теории усто1 чивости, качественной теории динамических систем, аналитическо геометрии, теории доказательств Д.Гильберта и объектне ориентированного программирования.

Научную новизну работы составляют следующие результать выносимые на защиту:

1) с использованием аппарата производящего вектора и коэс фициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные уел! вия приводимости нестационарных линейных и нелинейных систе (обычных и блочных);

2) поставлена задача синтеза производящего коэффициент или мультипликативной составляющей закона управления, доста ляющего свойство приводимости синтезируемой нелинейной систем и предложен алгоритм ее решения;

3) с использованием аппарата производящего вектора и коэс фициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные уел вия существования плоских предельных циклов (со смещенным и н смещенным центрами) на фазовой плоскости, обобщенные на случе многомерных систем;

4) поставлена (как задача параметрического синтеза) обратная задача анализа существования предельных циклов и предложен алгоритм ее решения;

5) введен в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения — минимум уровней вложенности операций, на основе которого с помощью формализма Д.Гильберта разработан алгоритм приведения подобных членов, состоящий в упрощении символьных выражений согласно этому критерию;

6) на основе указанного в п.5 алгоритма приведения подобных членов разработан алгоритм символьного дифференцирования функций многих переменных в условиях полиномиального и неполйноми-ального представления входных функций. Для полиномиальных функций предложенный алгоритм представляет собой модификацию известного алгоритма численного дифференцирования функции по семи точкам, а для неполиномиальных функций - базируется на применении формул Лейбница.

Практическую ценность работы составляет разработанная под названием «АНАЛИТИК-С» система компьютерной алгебры, представляющая собой математическое обеспечение аналитической теории автоматического управления и разработанных в диссертации алгоритмов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и использованы в учебном процессе Саратовского государственного технического университета и Саратовского филиала военного артиллерийского университета, о чем имеются соответствующие акты внедрения. Результаты работы внедрены также в процесс разработки систем управления летательных аппаратов в ОАО КБ «Электроприбор», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

Система компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С» зарегистрирована в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологии микросхем Федерального института промышленной собственности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: научно-технических конференциях в Саратовском филиале военного артиллерийского университета и Академии военных наук в 1996-1999 годах; VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость движения» (Казань, 1997 г.); IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 1998 г.); Межреспубликанской научной конференции «Управление в социальных, экономических и технических системах» (Кисловодск, 1998 г.); XIV Конгрессе 1ГАС (Китай, Пекин, 1998 г.); Международной электронной научно-технической конференции «Перспективные технологии автоматизации» (Вологда, 1999 г.); Международной конференции «Нелинейные

наукй на рубеже тысячелетий» (Санкт-Петербург, 1999 г.); Международной конференции International Conference «-Computer Integrated Manufacturing» (Польша, Закопане, 1999 г.).

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 15 научных работ, из них: статей - 8, тезисов докладов — 7. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, восьми приложений, заключения и списка литературы из 114 названий. Основное содержание диссертации изложено на 240 страницах, содержит 26 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой темы, дается общая характеристика работы и краткр излагается содержание диссертации.

Б разделе 1 работы, носящем, в основном, описательный характер, приводится абстрактная математическая модель, которая является объектом исследований в работе, и описывается математический аппарат производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова, составляющий инструмент исследований диссертации.

Объектом исследований в диссертации являются нелинейные системы автоматического управления со скалярным управлением, описываемые следующим векторно-матричным дифференциальным уравнением в символьной форме:

х = [P(z, t)]„ х + [B(z, t)]„ u, x e R", z e R", u e R1, t e [0, oo) (1)

где x - вектор состояний; u - управление; [P(z,t)](t), [B(z,t)](>) - заданные в символьном виде матрицы соответствующих размеров (названные В.А.Подчукаевым функциональными матрицами), индекс (*) в обозначении которых задает область изменения их аргументов. В роли этих аргументов выступают время t и n-мерный вектор z, подчиненный некоторому заданному уравнению (•■'). То есть область изменения аргументов функциональных матриц задается посредством некоторого уравнения (*).

Покажем, что математическую модель (1), в зависимости от задаваемой уравнением (*) области изменения аргументов функциональных матриц z и t, можно рассматривать как абстрактную форму описания стационарных линейных, нестационарных линейных и нелинейных управляемых систем.

1°. Возьмем в качестве уравнения .(*) следующее уравнение

z = 0„, (*)

где 0П - нулевой n-мерный вектор.

Это уравнение обращается в тождество при любом 2(0)=сопз1,. Поэтому подстановка решения уравнения ('■•') в матрицы [Р^Д)],,,, [13(2,1;)],.,

[P(z,t)](.

= [P(z,t)](*z(0)) = Р [B(z,t)](*

= [B(!.t)](.,« = B

Z(0)

*<0)

дает числовые матрицы. При этом уравнение (1) будет описывть стационарную линейную систему

X = Р х + Ви . 2°. Возьмем в качестве уравнения (*) следующее уравнение

г = А г , (*)

где А - заданная матрица чисел.

Решение этого уравнения: 2(1,0) = ехр(А1)г(0). Тогда, по аналогии с 1°, получим

[P(z,t)V,

[P(z,t)](*iZ(tj0)) sP(t) [B(z,t)](,,

= [B(z,t)](*,z(t,o)) =B(t)

2(t,0)

Z(t,0)

Тем самым, уравнение (1) будет описывать нестационарную линейную систему

х = P(t)x + B(t)u .

3°. В частном случае z = х после введения обозначения Г(х, u, t)] s [Р(х, t)](t)x + [B(x,t)]{i)u, где F(x, u, t)] - заданная вектор-функция размерности п (в предположении, что она определена и непрерывна вместе со своими частными производными по х, u, t на некотором открытом множестве пространства переменных Rn х R1 х [0,со), в роли уравнения (*) будет выступать следующее уравнение нелинейной системы с аддитивно входящим в правую часть управлением

х = F(x, u, t). (*)

При этом уравнение (1) можно рассматривать в двух взаимо-неисключающих аспектах:

1) как систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений без подстановки в нее решений из области (*) изменения соответствующих функциональных матриц (символьное описание элементов функциональных матриц);

2) как нестационарную линейную систему, полученную в результате подстановки в функциональные матрицы любого нетривиального решения вышеприведенного нелинейного уравнения (рассмотрение функциональных матриц в этом аспекте известно под названием принципа линейного включения Былова-Гробмана).

Таким образом, в зависимости от того, какое уравнение выступает в роли уравнения (*), уравнение (1) можно трактовать по-разному, рассматривая его как абстрактную форму описания стационарных и нестационарных, линейных и нелинейных систем управления. В дальнейшем будем рассматривать (1) без конкретизации уравнения (*) и из соображений простоты сам индекс в обозначении. функциональных матриц опустим. В отношении элементов функциональных матриц будем полагать, что элементы матрицы [P(z,t)] - определены, непрерывны и ограничены вместе со своими производными по времени до (n-l)-ro порядка включительно, а элементы вектора [B(z,t)] - определены, непрерывны и ограничены вместе со своими производными по времени до n-го порядка.

Будем трактовать вектор [B(z,t)] как «производящий вектор» А.Н.Крылова метода преобразования векового (характеристического) уравнения. При этом переход к новому базису согласно равенству

x=[W(z,t)]y,yeRn, (2)

с невырожденной (сделаем такое предположение) матрицей управляемости

[W(z,t)] = [B(z,t),DB(z,t),...,DnlB(z,t)], (3)

где через D обозначен дифференциальный оператор Е.Я.Смирнова, порожденный дифференциальным выражением

D = [P(z,t)]-End(.)/dt (En - обозначение единичной матрицы размера пхп), дает кинематически подобную систему

у = [P(z, t)]y + e,u, в которой на основании тождества

[W1(z,t)W(z,t)] = [e1>...,en] = En

имеем

ei =[W-1(z,t)][B(z,t)],

[Р (z, t)] = [W1 (z, t)P(z, t)W(z, t) - W1 (z, t) W (z, t)] =

- [WJ(z.t)DW(z, t)] = [e2, e3.....e„, - H(z,t)]

[H(z,t)] = - [W1 (z,t)D"B(z, t)] = col[h„ (z, t),...,h, (z, t)], e¡ = col [0,..., 0, 1, 0, ...,0], (i = 1.....n)

1 i-l i i+l n

При сделанных предположениях относительно функциональных матриц [P(z,t)] и [B(z,t)] преобразование (2) будет ляпуновским, поскольку по построению функциональные матрицы [W(z, t)], [W_1(z, t)]

и [W(z, t)] - определены, непрерывны и ограничены. Коэффициенты [hj(z,t)], (i=l,n) названы В.А.Подчукаевым коэффициентами А.Н.Крылова, а матрица [P(z, t)] - матрицей в форме Крылова-Люенбергера.

Абстрактная математическая модель и математический аппарат производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова являются, соответственно, объектом и инструментом исследований двух последующих разделов.

Объектом исследований в разделе 2 диссертации является абстрактная математическая модель, заданная следующим векторно-матричным уравнением:

х = [P(x,t)]x,x 6 R". (4)

Постановка задачи: требуется с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова сформулировать критерий приводимости системы (4).

Задача приводимости достаточно хорошо освещена в литературе, о чем свидетельствует выполненный в работе обзор, отражающий исследования ученых, начиная с определения приводимости, данного в 1892 году А.М.Ляпуновым, и заканчивая работами, опубликованными в последнее время.

Применительно к нелинейным системам в условиях z = х свойство приводимости формализовано В.А.Подчукаевым посредством определения 1 (для нелинейных систем, рассматриваемых в аспекте принципа линейного включения Былова-Гробмана) и 2 (символьное описание нелинейных систем).

Определение 1. Будем говорить, что система (4) слабо приводима к системе

у = Ру, у eRn, (5)

(или приводима по А.М.Ляпунову в классическом смысле), если невырожденное преобразование кинематического подобия типа (2) является ляпуновским, то есть на решениях системы (4) определены, непрерывны и ограничены следующие функциональные матрицы:

[ W(x, t)], [W(x, t)], [ W"1 (x, t)].

Определение 2. Если невырожденное преобразование кинематического подобия типа (2) в условиях символьного описания нелинейных систем, когда элементы функциональных матриц лишены знаковых признаков и признаков ограниченности, приводит исходную систему (4) к системе (5) с матрицей чисел, и при этом полученное из (2) уравнение

[W-4x,t)]x = у

имеет при фиксированном у единственное действительное решение x(y)eRn, то система (4) сильно приводима к системе (5).

На основе этих определений в диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Необходимое и достаточное условие приводимости (сильной или слабой) по А.М.Ляпунову системы (4) состоит в существовании производящего вектора А.Н.Крылова [B(x,t)] (или вектора, составляющего с матрицей [P(x,t)] полностью управляемую пару, ко-

гда rank[W(x,t)] = п), для которого коэффициенты А.Н.Крылова удовлетворяют условиям:

[hi(x,t)J = const, (i=l, n).

Доказательство необходимости. Пусть система (4) - приводима, то есть существует невырожденное преобразование кинематического подобия типа (2), при котором матрица кинематически подобной системы является матрицей чисел. Всякая матрица чисел имеет характеристический многочлен, а всякий характеристический многочлен - сопровождающую матрицу характеристического многочлена в форме Крылова-Люенбергера. Следовательно, существует производящий вектор А.Н.Крылова, отображающий пространство Rn исходной системы в подпространство А.Н.Крылова, в котором проекциями исходной системы на векторы линейной оболочки подпространства А.Н.Крылова являются коэффициенты характеристического многочлена. Поскольку по предположению исходная система — приводима, то коэффициенты характеристического многочлена не могут быть ничем иным, как числами, то есть удовлетворять условию [h;(z,t)] = const, (i=l,n). Необходимость доказана.

Доказательство достаточности очевидно.

Полученный в работе критерий приводимости обобщен также на случай систем с векторным управлением, для которых сформулированы достаточные условия приводимости. Особенность предложенного метода состоит в следующем. Вместо производящего вектора А.Н.Крылова введена в рассмотрение матрица производящих векторов А.Н.Крылова такой размерности, что составленная с ее помощью матрица преобразования кинематического подобия является квадратной. Построенное таким образом преобразование исходной системы дает систему в блочной форме Крылова-Люенбергера, в которой, в отличие от случая одного производящего вектора, вместо числового вектора коэффициентов А.Н.Крылова выступает числовая матрица коэффициентов А.Н.Крылова.

В качестве иллюстрации эффективности использования предло женных критериев приводимости в работе приведены примеры неста ционарных линейных и нелинейных систем, приводимость который исследована как «классическими» методами, так и с помощью вве денного в рассмотрение критерия приводимости. В качестве модель ных примеров технических систем в работе рассматриваются кватер нионные уравнения инерциальной навигации, бокового движения осе симметричного летательного аппарата, а также модель гировертикал! с вращающимися сосудами.

Научную новизну второго раздела работы составляет также ра нее не описанный в литературе класс приводимых нестационарны: линейных систем, названный автором диссертации системами тип! Н.П.Еругина, или систем, для которых выполняется классическое ус ловие приводимости Н.П.Еругина:

11 1 1

g = lim - fa(P)dt, t-» t 0J

где g - конечное число, a(P) - сумма диагональных элементов матрицы [P(t)] размера nxn, элементы которой заданы равенствами:

PM(t) = bi + V^tJ.Puit) = q, * Ш, (i * j), q. = const,

t

,bk = const, (k = l,n),

vk(fc) = S^Vi^)'1"! ~ const.Ik = exp Jvk (x)dx

1=1 1.0 J

v;(t), (i=l,n) - заданные на полуоси [0, со) ограниченные функции времени.

Если в качестве функций vj(t) брать функции совершенно различных типов, как то: экспоненциальные, периодические, обратные тригонометрические функции, функции вида vj(t)=l/ts при s=2, п, а также различные комбинации перечисленных типов функций, то производящий вектор А.Н.Крылова вида

B(t) = col[0 Ь2Г2 b3I3 ... b„In] приводит системы типа Н.П.Еругина к системам с постоянными коэффициентами.

Далее в диссертационной работе показано возможное применение полученных критериев приводимости при синтезе систем управления.

В отличие от задач анализа при синтезе структура производящего вектора А.Н.Крылова является заданной. Действительно, исходными данными задачи синтеза в детерминированной постановке является заданная математическая модель объекта управления:

х = P(z,t)x + B(z,t)u,x € Rn,u s R1.

Если приведение такой модели общего вида к форме Крылова-Люенбергера (обычной или блочной) не имеет своим результатом выполнение условий

hi(z,t) = const, i = 1, n, (6)

то попытаться удовлетворить этим условиям можно с помощью замены

u = giz.tju^u G R1,

где g(z, t) - функция, выбираемая из соображений выполнения условий (6) за счет трансформации производящего вектора А.Н.Крылова к виду _

B(z,t) = B(z, t)g(z,t), а Uj- искомый закон управления рассматриваемым объектом.

Определение 3. Будем называть производящим коэффициентом функцию g(z, t) или мультипликативную составляющую закона управления, при которой исходный производящий вектор А.Н.Крылова, будучи умноженным на эту функцию, дает такой но-

вый производящий вектор, при котором составленная с его помощью согласно (3) матрица ляпуновского преобразования (2) приводит исходную систему к форме Крылова-Люенбергера с коэффициентами А.Н.Крылова, удовлетворяющими условиям (6).

Цель замены исходной модели нестационарного линейного или нелинейного объекта управления моделью объекта с постоянными коэффициентами не требует комментариев, так как управлять такими объектами на порядок проще.

Раздел 3 диссертации преследует цель с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова сформулировать необходимые и достаточные условия существования предельных циклов на фазовой плоскости (при п == 2} и обобщить эти условия на случай п>2.

В начале этого раздела помещён обзор литературы, в котором систематизированы достоинства и недостатки существующих к настоящему времени методов исследования фазового пространства динамических систем. В отличие от перечисленных методов, предложенные в диссертации методы анализа выражают собой преемственность теории приводимых систем А.М.Ляпунова и Н.П.Еругина, представленной в предыдущем разделе данной работы.

Из дифференциальной геометрии известно, что уравнение окружности радиуса R на фазовой плоскости имеет вид

y^ + y^R2. (7)

В этой связи в работе вводится в рассмотрение классификаци* предельных циклов, выраженная посредством следующих определе ний.

Определение 4. Будем называть предельный цикл предельны» циклом с несмещенным центром, если он гомеоморфен окружности (7).

Замечание. К предельным циклам с несмещенным центром кро ме окружности (7) относятся траектории, описываемые уравнение» типа

а1У1 + агУг = a3>ai = const > 0,(i = 1,3), или уравнением эллипса. Очевидно, что простым линейным преобра. зованием переменных у4,(i = 1,2) это уравнение можно свести к (7).

Определение 5. Будем называть предельный цикл предельны» циклом со смещенным центром, если он гомеоморфен окружности сс смещенным центром

yl + у\ + F(yi>y2) = С,С = const >0, где F(yI,y2) - некоторая функция переменных (у!,у2).

Теорема 3.1. Необходимое и достаточное условие существованш предельного цикла нелинейной системы (4) второго порядка состоит i существовании производящего вектора А.Н.Крылова, при которо» гомеоморфное преобразование (2) с помощью невырожденной матриць

(3) (rank[W(z,t)] = п) переводит исходную систему в кинематически подобную систему

y = [P(z,t)]y,y eRn, (8)

для которой коэффициенты А.Н.Крылова определяются равенствами h2(z,t) = 1, h](z,t) = 0, (9)

или

h2(z,t) = q, hi(z,t).= 0, (10)

где q - некоторая полояштельная константа.

При доказательстве этой теоремы рассматриваются два случая: приводимые и неприводимые системы. Если для системы (4) выполняется теорема 3.1, то достаточным признаком существования предельного цикла у системы (4) являются (9) (или (10)). В противном случае равенства (9) (или (10)) можно рассматривать как дифференциальные (в частных случаях алгебраические) уравнения, левая часть которых для каждого уравнения имеет уникальное символьное представление. При этом достаточное условие существования предельного цикла в виде окружности у исходной системы состоит в существовании решений (корней) системы уравнений:

K(z't) = Klh2= const. [h1(z,t) = 0-

Справедливость этой теоремы продемонстрирована на примерах двумерных приводимых и неприводимых систем, обладающих предельными циклами.

Для систем третьего порядка критерий существования плоских предельных циклов представлен в виде следующих теорем.

Теорема 3.2. Если исходная система (4) приводима к форме Крылова-Люенбергера, для которой коэффициенты А.Н.Крылова подчинены равенствам

[h,(x, t)] = 0, [h2(x, t)] = hi, [h3(x, t)] = 0, (11)

то среди решений исходной системы имеется предельный цикл со смещённым центром.

Доказательство основано на том факте, что уравнение фазовой траектории системы в форме Крылова-Люенбергера с коэффициентами А.Н.Крылова (11) можно записать в виде гиперквадрики

гтАг + 2bTr = q,

г, b е R3, q = const > 0, которая представляет собой уравнение эллипса со смещенным центром.

В условиях этой теоремы справедлива следующая

Теорема 3.3. Необходимое и достаточное условие существования среди решений системы уравнений (4) третьего порядка предельного цикла со смещённым центром состоит в существовании производяще-

го вектора А.Н.Крылова, для которого разрешимы уравнения (11), которым удовлетворяют коэффициенты А.Н.Крылова.

Справедливость теорем 3.1 и 3.3 продемонстрирована на известных примерах и распространена на динамические системы, допускающие разложение на и 31 (1=1,2,3,...) автономных в смысле И.Н.Вознесенского (то есть не связанных между собой) подсистем.

Далее в работе рассматриваются системы общего вида (4), не допускающие разложение на независимые подсистемы второго или третьего порядков, которые гомеоморфным преобразованием (2) приводятся к системам в форме Крылова-Люенбергера (8), для которых, в свою очередь, вектор коэффициентов А.Н.Крылова имеет структуру:

—2 —2 —2 |г ' ' 0];

hn 0 h„-2 ... О h2 Oj ; (12)

-2 —2 -2 V

О hn-i 0 hn-з 0 ... h2 0 , (13)

а) для четного n: Н =

б) для нечетного n: Н =

где hi, (i = 1, п)- положительные константы.

Применительно к этим системам в работе доказана теорема.

Теорема 3.4. Необходимым и достаточным условием существования предельных циклов среди решений системы общего вида (4) является существование производящего вектора А.Н.Крылова, при котором гомеоморфное невырожденное преобразование (2) переводит исходную систему в систему (8), для которой коэффициенты А.Н.Крылова определяются выражениями (12) и (13), для четных i: нечетных п соответственно.

Доказательство этой теоремы основано на предыдущих теоремах а также на теореме А.М.Ляпунова о связи характеристических кор ней системы с ее аналитическим интегралом и типом состояния рав новесия ее фазовых траекторий. В этой связи показано также воз можное применение теоремы А.М.Ляпунова для доказательства тео рем 3.1-3.3.

Полученные критерии существования плоских предельных цик лов обобщены на многомерные динамические системы, допускающие разложение на i независимых подсистем порядка qxq. Обобщенный hi эти системы критерий сформулирован в виде соответствующей теоре мы со следствием, справедливость которых проиллюстрирована при мерами.

Исследования систем дифференциальных уравнений различны: порядков на предмет существования у них предельных циклов поке зали, что в случае неприводимых систем, когда коэффициент] А.Н.Крылова представлены в символьном виде, можно получить кс ординаты точек входа фазовых траекторий в предельный цикл (ил выхода из него). Этот факт подтверждают соответствующие примерь но приводится в диссертации как гипотеза, без доказательства.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующу] задачу синтеза.

Рассмотрим абстрактную математическую модель объекта управления с заданным производящим вектором А.Н.Крылова

х = [Р(х, t)]x + [В(х, t)]u, х е R", u е R1, (14)

в предположении, что элементы матрицы [P(x,t)J заданы в символьном виде.

Определение 6. Будем называть обратной задачей анализа существования плоских предельных циклов задачу выбора параметров матрицы [P(x,t)], при которых в разомкнутой системе имеет место плоский предельный цикл.

Нетрудно видеть, что таким образом названная задача является задачей параметрического синтеза. Как и любая задача параметрического синтеза она не может быть строго математически формализована, тем не менее, для ее решения естественен следующий алгоритм:

1) посредством гомеоморфного преобразования (2) приведем систему (14) к форме Крылова-Люенбергера;

2) приравняем вектор коэффициентов А.Н.Крылова векторам (12) или (13) (в зависимости от порядка системы), в результате получим систему алгебраических уравнений относительно параметров, заданных в символьном виде;

3) разрешая эту систему относительно символьных параметров, можно записать условия, при которых среди решений системы (14) будут существовать замкнутые траектории.

Поясним содержательный смысл поставленной задачи. Исходную систему уравнений можно рассматривать как модель объекта управления, допускающего подстройку его параметров. С помощью таким образом интерпретированной обратной задачи анализа существования предельных циклов представляется возможным получить точные значения параметров системы, при которых эта система будет обладать автоколебаниями. Например, если в системе нужны автоколебания, то параметры этой системы необходимо поставить в соответствие с полученными значениями. Если же автоколебания не нужны, то настройкой параметров системы можно добиться несоответствия этих параметров полученным значениям.

Раздел 4 посвящен новой редакции языка аналитических вычислений «АНАЛИТИК», который существовал на ЭВМ «МИР-2» в виде ее входного языка. Эта новая редакция названа «АНАЛИТИК-С».

На базе этой редакции в диссертации реализована система аналитических вычислений (САВ) или система компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С». Раздел предварен обзором литературы, где сконцентрирована информация о разновидностях, направлениях развития и решаемых задачах существующих систем подобного рода. В обзоре приведены сведения об аналитических и численных методах математических преобразований. В соответствии с основными задачами про-

1С

актирования CAB и техническими возможностями современных компьютеров обоснован выбор языка программирования - Delphi 3.

Общая характеристика CAB АНАЛИТИК-С. Указанная CAB реализует интерпретатор языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, который позволяет производить операции над выражениями, представленными в числовом и символьном видах. Данный язык делает возможным упрощение, дифференцирование, интегрирование, подстановку одних выражений в другие, разложение полиномов на множители, нахождение суммы и произведения выражений в заданных пределах, построение двумерных и трехмерных графиков функций, численное решение системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка, его графическое представление как i двумерном, так и в трехмерном виде, переход от описания многосвязного объекта управления в форме вход-выход к описанию в одной иг канонических форм: в форме Фробениуса или в форме Крылова Люенбергера, разложение функции в ряд Тейлора, генерацию случай ного полинома и множество других операций.

По своей структуре CAB представляет собой сложную интерак тивную среду программирования, включающую в себя средства ввод: информации — программы на языке АНАЛИТИК-С и с помощью диа логовых компонентов, средства вывода текстовой и графической ин формации - результатов вычислений. Рассматриваемая система ана литических вычислений поддерживает двуязычный ввод команд (н русском и английском языках), основана на использовании Windows интерфейса, содержит обширную справочную систему.

Эффективность любой системы компьютерной алгебры (СКА оценивается по ее способности в той или иной степени упрощат входные выражения и выражения, получаемые в ходе вычислений. ! этой связи важной проблемой является выбор критерия, согласно кс торому можно судить о «простоте» выходного выражения. Путем ввс дения нескольких определений на языке теории доказательст Д.Гильберта в работе обоснован выбор критерия простоты аналитич« ского выражения, и, согласно выбранному критерию, разработан aj горитм приведения подобных членов. С целью экономии использов! ния ресурсов компьютера в работе даны концептуальные рекоменд; ции по программной реализации.

Переменные могут быть выражены последовательностью букве) ных знаков PjeR11, j = l,z некоторой длины (здесь п - число перемен ных, Pj - различны). Значения этих переменных могут принима' значения результатов предыдущих вычислений, выражений подстан вок, чисел или символьных представлений самих себя. Если значен! переменной отличается от ее символьного представления, то такие п ременные назовем значащими: Pj6Rz, RzeRn, Rz<Rn,(j = l,z). В сво очередь, выражения состоят из совокупности операций над переме ными: Sj(P), j = l,m. Эти операции могут быть вложенным

3j(Sj+1(Sj+2...Sm(P)...)). С учетом этого, введены следующие определения.

Определение 7. Будем называть операцию Sj(P) разрешимой, если результат применения этой операции эквивалентен некоторой переменной из области RN, RneRN, то есть Sj(P)~Pk, je[l,m], ke[l,N].

Определение 8. Операцию Sj(P) назовем неразрешимой, если она эквивалентна только самой себе, то есть Sj(P)~Sj(P).

Тем самым, в качестве критерия простоты результата аналитических вычислений можно считать минимальное число уровней вложенности операций S.

Важной частью описываемого алгоритма упрощения являются зпециализированные технические приемы - подстановка и синтаксическое вхождение, которые используются в предложенном алгоритме следующим образом. Подстановка - это замена в выражении S переменных из области R2 их значениями, то есть в процессе работы программы в выражении S ищется синтаксическое вхождение переменной Pj6Rz, (j = l,z) при условии, что эта переменная не является подвыражением, то есть переменная Pj является аргументом операции [кроме случая S=P). Введем некоторые обозначения и понятия. Пусть требуется вычислить (упростить) f различных выражений, то есть в программе в качестве входных данных выступают Sj, j = l,f. И пусть во множестве переменных Rz есть подмножества значащих переменных PyeRj1-, где ie[l,L], Le[l,z], je[l,f], предназначенных для под-

гтановок в соответствующие выражения Sj, j = l,f. В общем случае эти

у I

области могут пересекаться. Обозначим далее через R -jjRj'.L e [l,z]

j-i

подмножество области Rz, где располагаются значащие переменные Ру с учетом пересечений R|\

Определение 9. Глобальная подстановка - это поиск синтаксического вхождения во всех выражениях Sj, j = l,f переменных PjeRz-z, j = l,z и их замена соответствующими значениями.

Определение 10. Локальная подстановка - это поиск синтаксического вхождения во всех выражениях Sj, j = l,f переменных PyeRj",

Le[l,L], Le[l,z], je[l,f] и их замена соответствующими значениями цля каждого конкретного выражения.

Далее в работе приводятся команды языка АНАЛИТИК-С, реализующие подстановку и упрощение алгебраических выражений.

Важной способностью описываемой САВ является символьное дифференцирование. Для достижения поставленной цели в работе предложено разделить дифференцируемые выражения на полиномиальные и неполиномиальные. Для первых из перечисленных предложена символьная модификация численного метода дифференцирования функции, заданной семью точками. Для неполиномиальных вы-

ражений представлен алгоритм аналитического дифференцирования применением формул Лейбница, на описании которого остановимся подробнее.

Представим входное выражение - результат выполнения алго ритма приведения подобных членов - следующим образом:

Рвход = S1(S2...(Si(Sj+1...Sm(P)...), где Sj, j6[l,2,...,m] - неразрешимые операции, согласно приведенном; выше определению. Тогда производная первого порядка от этого вы ражения по формуле Лейбница будет иметь вид:

Рвыход = D[S1(S2...(Sj(Sj+1...Sm(P)...)]* *D[S2...(Sj(Sj+1...Sm(P)... )]*... *D[Sm(P)]*D[P], где D[...] — оператор дифференцирования, переменная Р здесь в обще» случае выражение, не содержащее функций аргумента типа SIN(...).

Такая структура выходного выражения будет иметь место, толь ко если множество операций Sj, je[l,2,...,m] не содержит операцш «+», «-», «*» и «/». Поэтому операция дифференцирования выраже ния D[Sm(P)] сводится к простой замене операции или, точнее, функ ции Sm(P) по таблице производных, то есть D[Sm(P)]=Hra(P). Тогд; выходное выражение принимает вид:

Рвыход = H1(S2...(Sj(Sj+1...Sm(P)...)" *H2...(Sj(Sj+1...Sni(P)...)*...*Hm(P)*D[P], где раскрытие операции D[P] предполагает использование упомянуто го выше алгоритма дифференцирования выражения Р, представленно го в виде полинома.

Несколько сложнее представляется последовательность действш дифференцирования выражения, множество операций Sj, je[l,2,...,m которого содержит операции «+», «-», «*» и «/■>, аргументами кото рых могут быть функции, обладающие одинаковыми уровнями вло женности. Здесь аргумент операции дифференцирования должен ме няться не только в направлении возрастания уровня вложенности, не и внутри одной операции при одинаковом уровне вложенности. Этг ситуация требует применения логического ветвления и запоминанш промежуточных результатов особым образом. Пусть операции сложе ния и вычитания представляет функция SUM, а операции умножение и деления обозначает функция MUL (вид операции изменяется чистс формально). Эти математические действия для простоты рассуждение сведены попарно, так как они имеют в парах одинаковый приоритет алгебраического выполнения и сходные правила раскрытия дифференцирования. И пусть входное выражение имеет следующий вид:

Рвход =SUM1[MUL2{S3(P1),S3(SUM4[P2,P3,P4])},P5], где нижние индексы при операциях обозначают их уровни вложенно сти, а индексы переменных обозначают их порядковые номера.

Тогда продифференцированное выражение примет вид: Рвыход =D[SUM1[MUL2{S3(Pi)IS3(SUM4[P2,P3,P4])},P5l], Рвыход = D[MUL2{S3(P1),S3(SUM4[P2,P3,P4])}]+D[P5],

Рвыход = Н3(РХ) *ЦР{\* S3(P2+P3+P4)+ +S3(PI)*H3(P2+P3+P4)*(D[P2]+D[P3]+D[P4])+D[P5].

Таким образом, после формальной замены операций «+», «-», «••», «/» функциональными выражениями типа SUM и MUL нахождение производной происходит по формуле Лейбница до тех пор, пока зе встретится функция типа SUM или MUL. Если такая функция зстретилась, то ход вычислений изменяется. Выделяются временные -фомежуточные переменные, в которые записываются подлежащие дифференцированию аргументы найденной функции, к которым применены соответствующие правила вычислений производной. Например, внутреннее представление второго уравнения последней системы 1рнмет следующий вид:

Рвыход = Vx* S3(SUM4[P2,P3,P4])+S3(P1)"V2+D[P5], при V1=D[{S3(P1)}], V2=D[{S3(SUM4[P2,P3,P4])}], >де Vj - временные промежуточные переменные, имеющие уникаль-юе представление. Далее к каждой переменной Vj применяется под-фограмма дифференцирования сложной функции до первого нахож-(ения функции типа SUM или MUL. Результат вычислений над переменной Vj подставляется в исходное выражение РВЫХОд- С помощью (тих промежуточных переменных удается реализовать логическое ¡етвление алгоритма, так как поиск максимума вложенности функ-1,ий ведется по числу направлений, равному числу временных проме-куточных переменных, с сохранением в РЕыХод результатов вычисле-[ий по всем направлениям поиска. Вычисления останавливаются то-да, когда достигнут максимальный уровень вложенности функций, и выражении Рвыход не осталось ни одной промежуточной переменной. 5 конце работы алгоритма вызываются подпрограммы дифференциро-ания полиномиальных функций для раскрытия выражений типа )[Pj], а также замены соответствующих функций Sj по таблицам про-зводных. Такая последовательность действий обеспечивает защиту лгоритма от зацикливания. По окончании работы подпрограммы ифференцирования выходное выражение необходимо пропустить че-ез подпрограмму приведения подобных членов.

Далее в разделе содержится описание переменных, функций, ператоров языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, а также нструкция по инсталляции программного продукта.

В конце четвертого раздела приведена сравнительная характери-гика разработанной CAB с CAB Maple V, получена количественная ценка преимуществ описанного в- работе алгоритма упрощения ана-итических выражений. В работе систематизированы достоинства и едостатки, а также намечены пути развития данного программного родукта.

Краткое содержание приложений.

Приложение 1 содержит описание средств графического ввода-ывода информации CAB АНАЛИТИК-С. В Приложениях 2 и 3 приданы примеры использования основных аналитических и числен-

пых алгоритмов, соответственно. В Приложении 4 представлено ма тематическое описание алгоритма перехода от формы матричной за писи дифференциальных уравнений «вход-выход» к формам Фробе ниуса и Крылова-Люенбергера. Контрольные, просчеты перехода i этим формам приведены в Приложениях 5 и 6, соответственно. I Приложении 7 дается контрольный просчет алгоритма разложения ] ряд Тейлора аналитически заданной функции. Приложение 8 содер жит акты внедрений результатов диссертации.

В заключении приведены общие выводы по диссертации и пол ный список научных результатов, выносимых на защиту.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Орлов Д.В. Система аналитических вычислений АНАЛИТИК С //Проблемы совершенствования ракетных комплексов, сис тем залповрго огня и их эксплуатации: Тезисы докладов i сообщений на военно-технической конференции/Ред В.В.Сафронов. -Саратов: Изд-во СВВКИУ, 1998. С.100-102.

2. Подчукаев В.А., Орлов Д.В. Достаточные условия приводи мости нелинейных систем//Аналитическая механика, устой чивость и управление движением: Тезисы докладов VII Чета евской конференции. -Казань: Изд-во КГТУ, 1997. -С.63.

3. Орлов Д.В. Использование коэффициентов А.Н. Крылова i анализе приводимости //Управление в технических системах Тезисы докладов научно-технического семинара /Ред В.В.Сафронов. -Саратов: Изд-во СВВКИУ, 1998. -С.59-63.

4. Орлов Д.В. Использование аппарата коэффициентов А.Н Крылова в анализе приводимости. Необходимые и достаточ ные условия приводимости//Управление в социальных, эко номических и технических системах: Труды межреспубли канской научной конференции. Кн.З. Кисловодск: Изд-bi Кисловодского университета Академии оборонных отрасле] промышленности РФ, 1998. -С.45-49.

5. Орлов Д.В. Необходимые и достаточные условия приводимо сти с использованием аппарата коэффициентов А.Н.Крылова //Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гос.техн.ун т, 1999. С.183-192.

6. Орлов Д.В. Новый критерий существования предельных цик лов и их обобщений у нелинейных систем с использование!? аппарата коэффициентов и производящего вектор. А.Н.Крылова //Нелинейные науки на рубеже тысячелетий Тезисы Международной конференции. -СПб.: Изд-во РАН АНН, 1999. -С.66.

7. Podchukaev V.A., Orlov D.V. Application of the Vehicle o A.N.Krylov's Producing Vector and Factors in the Analysis o Non-Linear Systems// Proceedings of the 14-th World Congres

of IF AC (18-Volume Set). Oxford Elsevier LTD (UK), 1998. -Vol.F. -P.385.

8. Орлов Д.В. Новый критерий существования предельных циклов и их обобщений у нелинейных систем //Управление в технических системах: Тезисы докладов научно-технического семинара /Ред. В.В.Сафронов. -Саратов: Изд-во СВВКИУ, 2000. -С.62-70.

9. Орлов Д.В., Павлов К.В., Подчукаев В.А. Необходимые и достаточные условия существования предельных циклов: общий случай (п > 2) //Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 2000. С.106-126.

10. Орлов Д.В. Упрощение выражений в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С //Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления: Тезисы докладов IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. -С.100-103.

11. Орлов Д.В. Использование диалогов FIND и REPLACE в среде DELPHI// Радиолюбитель. Ваш компьютер, 1999. -N9. -С.24-26.

12. Орлов Д.В. Алгоритмизация символьных преобразований: упрощение алгебраических выражений и дифференцирование сложных функций в системе аналитических вычислений «АНАЛИТИК-С»// Перспективные технологии автоматизации: Тезисы докладов международной электронной научно-технической конференции. -Вологда: ВоГТУ, 1999. -С.132-133.

13. Orlov D.V., Podchukaev V.A. Simplification of Algebraic Expressions in the System of Analytical Evaluations «ANALYTIK-С». //Proceedings of the International Conference on COMPUTER INTEGRATED MANUFACTURING'99. Warszawa: Wydawnicta Naukowo-Techniczne. -1999. -Vol.2. -P.99-103.

14. Орлов Д.В. Алгоритмы упрощения алгебраических выражений и символьного дифференцирования в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С //Информационные техно-логии.-1999. -Nil. -С.29-35.

15. Орлов Д.В. Упрощение алгебраических выражений в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С //Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 2000. С.97-105.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ

1. АБСТРАКТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ПРОИЗВОДЯЩЕГО ВЕКТОРА И КОЭФФИЦИЕНТОВ А.Н.КРЫЛОВА

1.1. Объект исследований - абстрактная математическая модель

1.2. Математический аппарат производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова

1.3. Коэффициенты А.Н.Крылова в задаче канонизации систем дифференциальных уравнений

1.4. Выводы

2. АНАЛИЗ ПРИВОДИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ПРОИЗВОДЯЩЕГО ВЕКТОРА И КОЭФФИЦИЕНТОВ А.Н.КРЫЛОВА

2.1. Постановка задачи

2.2. Традиционный подход к решению задачи приводимости

2.3. Необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных систем

2.4. Анализ приводимости с использованием производящей матрицы А.н.крылова

2.5 Модельные примеры анализа нестационарных линейных систем

2.5.1. Классический пример приводимой системы Н.П.Еругина

2.5.2. Приводимые системы типа Н.П.Еругина

2.5.3. Модель гировертикали с вращающимися сосудами

2.5.4. Анализ модели бокового движения осесимметрического летательного аппарата

2.5.5. Анализ приводимости кинематических уравнений инерциальной навигации

2.5.6. Другие примеры нестационарных линейных систем

2.6. Модельные примеры анализа нелинейных систем

2.7. Использование необходимых и достаточных условий приводимости при синтезе

2.8. выводы

3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКИХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

3.1. Постановка задачи

3.2. Обзор методов анализа существования предельных циклов

3.3. Необходимые и достаточные условия существования предельных циклов на фазовой плоскости

3.4. Примеры систем второго порядка

3.4.1. Примеры приводимых двумерных систем

3.4.2. Примеры неприводимых двумерных систем

3.5. Случай п=

3.6. Обобщение плоских предельных циклов с несмещенным центром на случай п=21 0 = 1,2,3,.)

3.7. Обобщение плоских предельных циклов со смещенным центром на случай П=31 (\ = 1,2,3,.)

3.8. Условия существования плоских предельных циклов систем с п>

3.9. Обобщение плоских предельных циклов со смещенным центром на случай (\ = 1,2,3,.)

3.10. Гипотезы о символьном представлении коэффициентов

А.Н.КРЫЛОВА

3.11. Примеры систем дифференциальных уравнений, обладающих предельными циклами

3.11.1. Примеры биологических систем

3.11.2. Примеры систем, характеризующие физические явления

3.12. обратная задача анализа существования предельных циклов

3.13. Выводы

4. СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ АНАЛИТИК-С

4.1. Постановка задачи

4.2. Аналитический обзор проблемы развития систем компьютерной алгебры

4.2.1. Основные возможности систем компьютерной алгебры и проблемы разработки

4.2.2. Основные направления развития САВ

4.2.3. Основные задачи по построению системы аналитических вычислений

4.2.4. Выбор языка программирования для реализации аналитических алгоритмов

4.3. Математическое и алгоритмическое обеспечение

4.3.1. Назначение и общая характеристика

4.3.2. Вспомогательные сведения к задаче упрощения алгебраических выражений

4.3.3. Алгоритм приведения подобных членов

4.3.4. Алгоритм символьного дифференцирования

4.3.5. Разложение в ряд Тейлора аналитически заданной функции

4.3.6. Решение дифференциальных уравнений первого порядка и систем, составленных из них

4.3.7. Генерирование случайного полинома

4.4. Описание языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С

4.4.1. Область применения

4.4.2. Переменные

4.4.3. Операции, выражения

4.4.4. Функции

4.4.5. Операторы

4.5. Технические характеристики и установка

4.5.1. Требования к аппаратному и программному обеспечению

4.5.2. Инсталляция программного продукта

4.6. Сравнительная характеристика с существующими аналогами

4.6.1. Сравнительная характеристика CAB АНАЛИТИК-С и MapleV

4.6.2. Достоинства и недостатки CAB АНАЛИТИК-С

4.6.3. Основные направления развития

4.7. Выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ПРИЛОЖЕНИЕ 7 ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АТФ - аденозинтрифосфорная кислота;

Гл - глюкоза;

НАД - никотинамидадениндинуклеотид;

САВ - система аналитических вычислений;

СКА - система компьютерной алгебры;

Ф6Ф - фруктозо-6-фосфат;

ФДФ - фруктозодифисфат;

ФФК - фосфофруктокиназ.

Эволюционное развитие теории автоматического управления соразмерно возрастанию требований к точности математического описания объектов управления. Наиболее точные и полные модели, в большинстве своем, представляются нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, такие модели очень сложны для анализа и создают значительные трудности при синтезе законов управления. В этой связи большое значение играет теория приводимых систем, основы которой заложены выдающимся русским ученым А.М.Ляпуновым, и которая оформилась в законченную теорию усилиями академика АН СССР Н.П.Еругина. Однако, теория приводимых систем распространяется только на класс нестационарных линейных систем, в то время как какие-либо попытки ее распространения на нелинейные системы - практически неизвестны. Поэтому исследование свойства приводимости нелинейных систем, преследуемое настоящей работой, представляет несомненный научный и практический интерес.

Среди не до конца решенных проблем нелинейных управляемых систем остается и 16-я проблема Д.Гильберта топологии алгебраических кривых и поверхностей, самыми интересными из которых, с позиций многочисленных технических приложений, являются замкнутые кривые или предельные циклы. При анализе системы управления необходимо знать, возможен ли в принципе процесс автоколебаний в этой системе, или нет. Известные достаточные критерии несуществования предельных циклов на фазовой плоскости Бендиксона и Дюлака, обобщенные на случай многомерных систем В.П.Жуковым, в ряде случаев позволяют ответить на этот вопрос. В то время как какие-либо регулярные процедуры анализа существования предельных циклов - практически неизвестны. Вот почему проблема анализа существования плоских предельных циклов, рассматривая в настоящей работе, также представляет несомненный научный и практический интерес.

Анализ и синтез нелинейных управляемых систем немыслим без использования современных систем аналитических вычислений (CAB) типа 8

Maple V, MathCAD, MathLab, Mathematica, MACSYMA, MACNON и других. Среди перечисленных до сих пор нет ни одной отечественной CAB, хотя использование указанных выше пакетов западной разработки зачастую затруднительно, а в ряде случаев и невозможно. Поэтому разработка отечественной CAB, преследуемая настоящей работой, является приоритетной задачей сегодняшнего дня, поскольку дальнейшее отставание в этой области не способствует паритету, в том числе и в оборонном плане. Изложенные выше факты обосновывают актуальность данной диссертационной работы.

Объектом исследований в работе являются нелинейные управляемые системы с сосредоточенными параметрами, описываемые обыкновенными конечномерными дифференциальными уравнениями.

Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета -АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке базового финансирования фундаментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по теме СГТУ-115 за 1998 год «Разработка алгоритма анализа предельных циклов с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова».

Диссертационная работа преследует следующие цели:

1) с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова:

- получить необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных управляемых систем и использовать полученные условия при синтезе;

- получить необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов на фазовой плоскости, обобщить эти условия на случай многомерных систем и использовать их при синтезе;

2) создать новую редакцию языка аналитических вычислений АНАЛИТИК, разработанного в конце 60-х годов авторским коллективом по руководством академика АН СССР В.М.Глушкова, для реализации алгоритмов аналитической теории автоматического управления и алгоритмов, разработанных в диссертации.

Методы исследований. Полученные в работе результаты базируются на методах теории автоматического управления, теории устойчивости, ка9 чественной теории динамических систем, аналитической геометрии, теории доказательств Д.Гильберта и объектно-ориентированного программирования.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия приводимости нестационарных линейных и нелинейных систем (обычных и блочных);

2) поставлена задача синтеза производящего коэффициента или мультипликативной составляющей закона управления, доставляющего свойство приводимости синтезируемой нелинейной системе, и предложен алгоритм ее решения;

3) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов (со смещенным и несмещенным центрами) на фазовой плоскости, обобщенные на случай многомерных систем;

4) поставлена (как задача параметрического синтеза) обратная задача анализа существования предельных циклов и предложен алгоритм ее решения;

5) введен в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности операций, на основе которого с помощью формализма Д.Гильберта разработан алгоритм приведения подобных членов, состоящий в упрощении символьных выражений согласно этому критерию;

6) на основе указанного выше алгоритма приведения подобных членов разработан алгоритм символьного дифференцирования функций многих переменных в условиях полиномиального и неполиномиального представления входных функций. Для полиномиальных функций предложенный алгоритм представляет собой модификацию известного алгоритма численного дифференцирования функции по семи точкам, а для

10 неполиномиальных функций - базируется на применении формул Лейбница.

Практическую ценность работы составляет разработанная под названием «АНАЛИТИК-С» система компьютерной алгебры, представляющая собой математическое обеспечение аналитической теории автоматического управления и разработанных в диссертации алгоритмов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и использованы в учебном процессе Саратовского государственного технического университета и Саратовского филиала военного артиллерийского университета, о чем имеются соответствующие акты внедрения. Результаты данной работы внедрены также в процесс разработки систем управления летательных аппаратов в ОАО КБ «Электроприбор», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

Система компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С» зарегистрирована в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологии микросхем Федерального института промышленной собственности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• научно-технических конференциях в Саратовском филиале военного артиллерийского университета и Академии военных наук в 1996-1999 годах;

• VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость движения» (Казань, 1997 г.);

• IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 1998 г.);

• Межреспубликанской научной конференции «Управление в социальных, экономических и технических системах» (Кисловодск, 1998 г.); и

• XIV Конгрессе IFAC (Китай, Пекин, 1998 г.).

• Международной электронной научно-технической конференции «Перспективные технологии автоматизации» (Вологда, 1999 г.);

• Международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» (Санкт-Петербург, 1999 г.)

• Международной конференции International Conference "Computer Integrated Manufacturing" (Польша, Закопане, 1999 г.);

По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 15 научных работ, из них: статей - 8, тезисов докладов — 7. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, десяти приложений, заключения и списка литературы из 114 названий. Основное содержание диссертации изложено на 240 страницах, содержит 26 рисунков и 4 таблицы.

4.7. Выводы

Идея проведения вычислений в формульном или символьном виде на компьютере возникла давно, вскоре после создания вычислительных машин. Было создано довольно . много систем аналитических вычислений и решен ряд задач из различных разделов математики, физики и механики. Однако, долгое время системы' аналитических вычислений (CAB) и работа с ними относились к разряду экзотики, задачи были частными и модельными, поскольку систематическое использование CAB упиралось в их несовершенство и ограниченные возможности компьютеров.

В настоящее время аналитические вычисления и CAB переходят в разряд рабочих вычислительных методов с широкими и разнообразными приложениями. Об этом говорится, например, в статье [27]. С одной стороны, возможности CAB и компьютеров возросли, с другой -практика вычислений в' некоторых областях все настоятельнее требует использования CAB.

Символьным вычислениям в перспективе предстоит стать в ряд обычных вычислительных возможностей. Для этого необходимо в первую очередь, чтобы на основных типах компьютеров были бы доступные и эффективные CAB в качестве стандартного математического обеспечения. Требуется интенсивное развитие и усовершенствование численно-символьного интерфейса, а также сопряжение CAB с пакетами прикладных программ, архивами, базами данных, базами знаний, эвристическими системами и другими системами не численной обработки информации, например, системами доказательства теорем. Системы аналитических вычислений с большим объемом математических и прикладных подсистем являются, по существу, основой для базы математических знаний, так как включают в себя большое число математических методов, позволяют обращаться к ним без специальной подготовки, имеют форму представления результата и исходных данных, близкую к привычной формульной.

Создание символьных алгоритмов требует соединения глубоких знаний в математике или прикладной области с искусством

225 программирования для их реализации. Накопление фонда алгоритмов, оснащение ими CAB; происходит недостаточно интенсивно. Нередко имеем не реализацию метода (в общем случае), а решение частной задачи и соответствующую программу. Очень важна возможность быстрого переноса реализованных алгоритмов из одной СКА в другие. При разработке новых сложных алгоритмов разумно использовать элементы уже имеющихся алгоритмов,- готовые "кирпичики", но это требует изучения и стыковки больших по объему текстов на различных языках. Библиотеки алгоритмов для символьных вычислений не собраны воедино и по качеству, объему, значительно отстают от библиотеки численных методов и алгоритмов.

В процессе работы над этим разделом диссертации была собрана и систематизирована обширная информация как по существующим на данный момент системам аналитических вычислений (по истории развития, разновидностям, задачам, способам реализации), так и по математическому, алгоритмическому и программному обеспечению аналитических и численных методов. Об этом красноречиво свидетельствует список использованной отечественной и зарубежной литературы по этим темам.

Описанная в данной работе СКА является вторым приближением реализации на IBM-совместимой платформе интерпретатора языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, прототипом которого послужил входной язык ЭВМ "МИР-2" [26]. В программе, составляющей суть данной работы, частично использованы адаптированные численные математические алгоритмы [2], [3], [9], [30], [83], а также оригинальные алгоритмы разработчика [58], [59], [61], [65], [67], [68], [110]. Программа написана на языке Delphi 3.0 [88], имеет подробное описание алгоритмов, методов, контрольных примеров, приведены укрупненные структурные схемы отдельных блоков программы.

Научную новизну данного раздела- диссертационной работы составляют следующие выносимые на защиту результаты: 1) введенный в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности

226 операций, критерий имеет строгое обоснование и описание на языке понятий Д.Гильберта [25];

2) алгоритм упрощения символьных выражений согласно выбранному критерию простоты выходного' выражения, даны рекомендации по программированию этого алгоритма, следование которым обеспечивает однозначность представления выходного выражения, простоту структуры программы, защиту о.т зацикливания хода программы, экономию ресурсов компьютера;

3) алгоритм символьного дифференцирования функций многих параметров, работающий с выходными выражениями предложенного в- диссертации алгоритма приведения подобных членов: для достижения задачи символьного дифференцирования предложено разделить входные функции на полиномиальные и неполиномиальны'е. Для полиномиальных функций введена в рассмотрение модификация известного численного алгоритма дифференцирования функции по семи точкам, а для неполиномиальных .функций предложен алгоритм аналитического дифференцирования с применением формул Лейбница. Для представленного алгоритма дифференцирования также даются рекомендации по программированию.

Определенный научный интере'с имеет средство графического представления информации, которое позволяет с помощью одной команды (с соответствующими параметрами) получить результат моделирования динамических систем (стационарных линейных, нестационарных линейных, нелинейных, автономных, неавтономных) второго и третьего порядка: путем выбора соответствующих закладок графического экрана обзору могут быть доступны графики поведения переменных состояния вЬ времени, плоские фазовые портреты и для трехмерных систем пространственные фазовые траектории. Данное средство графического вывода .информации основано на применении предложенного в этом разделе алгоритма упрощения аналитических выражений.

227

Введенные в рассмотрение алгоритмы символьного упрощения и дифференцирования формализованы на язьще понятий Д.Гильберта [25].

Представленный в ■ данной работе программный продукт является системой аналитических вычислений общего назначения, отдельные элементы которого ноеят, тем не менее*,, специализированный характер применительно к развивающейся в настоящее время в Саратовском государственном техническом университете аналитической теории автоматического управления. Действительно-, к специализированным программным элементам- можно отнести средство графического представления результатов моделирования динамических систем на плоскости и в пространстве, программную реализацию символьного преобразования матричной записи, представления динамических систем от формы «вход-выход» к формам Фробениуса и Крылова-Люенбергера. Эти элементы являются неотделимой частью предложенной CAB. Кроме того, поскольку описываемая • программа является интерпретатором языка символьных вычислений АНАЛИТИК-С, то на этом языке представляется возможным программировать аналитические и численные алгоритмы решения задач общего назначения и специальных задач, в том числе, и связанных с аналитической теорией автоматического управления.

Отличительная особенность данной программной разработки состоит еще и в том, что все операторы языка АНАЛИТИК-С могут вводиться как на русском, так и на английском языках. Также программа имеет удобный пользовательский Windows-интерфейс, встроенную контекстную помощь, что очень облегчает работу начинающих пользователей с данным языком. • !

Данная программа нашла применение ' при аналитических исследованиях и моделировании динамических систем, представленных в двух предыдущих разделах. Также CAB АНАЛИТИК-С используется в ф учебных целях на каф. ТК-И СРТУ, в Саратовском филиале военного артиллерийского университета, о чем свидетельствуют Акты о внедрении в учебный процесс ,(см- прил. 8). Данный программный продукт нашел свое применение в процессе проектирования систем

• 228 управления летательными аппаратами в ОАО КБ «Электроприбор», что также подтверждено соответствующим Актом о внедрении (прил. 8).

229

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена: 1) разработке альтернативных известным необходимых и достаточных условий приводимости динамических систем (обычных и блочных), описываемых с помощью введенной в рассмотрение абстрактной математической модели; 2) разработке необходимых и достаточных условий существования плоских предельных циклов двумерных нелинейных систем и обобщению этих условий на случай многомерных систем (обычных и блочйых); 3) созданию новой версии системы аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, прототипом которой служил входной язык микроЭВМ «Мир-2» АНАЛИТИК.

Проведенные исследования позволили получить автору следующие научные результаты, выносимые на защиту:

1) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия приводимости нестационарных линейных и нелинейных систем (обычных и блочных);

2) поставлена задача синтеза производящего коэффициента или мультипликативной составляющей • закона управления, доставляющего свойство приводимости синтезируемой нелинейной системе, и предложен алгоритм ее решения;

3) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов (со смещенным и несмещенным центрами) на фазовой плоскости, обобщенные на случай многомерных систем;

4) поставлена (как задача параметрического синтеза) обратная задача анализа существования предельных циклов и предложен алгоритм ее решения; • '

5) введен в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности операций, на основе которого с помощью формализма Д.Гильберта

231

1. Абрамов С.А., Квашенко К.Ю. Некоторые алгоритмы компьютерной алгебры, связанные с дифференциальными уравнениями. М.: Выч. центр АН СССР, 1991.

2. Агеев М.И., Алик В.П. Библиотека алгоритмов 1016-1506. М.: Сов. радио, 1978.

3. Агеев М.И., Алик В.П. Библиотека алгоритмов 516-1006. М.: Сов. радио, 1976.

4. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями./Перевод с англ. Панкратьева E.B. М.: Мир, 1994.

5. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. М.: Информационно-издательский дом «ФИЛИНЪ», 1998. 240 С.

6. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424С.

7. Арушанян О.Б., Гойхман Г.Я. Аннотированный перечень алгоритмов и программ. М.: МГУ, 1990.

8. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496С.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

10. Бруновский П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно-действующих возмущений. //Дифференциальные уравнения. 1966. - т.2, N6. - С.769-777.

11. Быков В.И., Котманов А.И., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосиб.: Наука, 1991.

12. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 С.

13. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320С.232

14. Вознесенский И.Н. О регулировании машин с большим числом регулируемых параметров. //Автоматика и телемеханика. 1939. -N4. - С.44-46.

15. Выпуск N7 сборников Вычислительные процессы и системы. /Под ред. Г.И. Марчука. М.: Наука, 1990.

16. Габасов Р., Игнатенко В.В. Управляемость систем с помощью регуляторов. // Тез. докл. VI Респ. конф. математиков БССР. Минск: 1975. Ч. I. - С.35.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508С.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М., Асмыкович И.К. Задачи реконструкции конечномерных систем. Минск: Препринт инта математики АН БССР N26(183), 1983. 47С.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М., Асмыкович И.К. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами. Минск: Препринт ин-та математики АН БССР N20(177), 1983. 36С.

20. Гайшун И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы// Дифференциальные уравнения. 1998. - Т.34. - N 6. -С.727-734.

21. Гайшун И.В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35. - N1. - С.24-29.

22. Галиуллин A.C. Устойчивость движения. Москва.: Изд-во УДН им.П.Лумумбы, 1973, 103 С.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1954. 492 С.

24. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики Пер. с нем. Нагорного Н.М./под ред. Адяна С.И. М: Наука, 1982 - 515 С.233

25. Глушков В.М. Алгоритмический язык для описания вычислительных процессов с использованием аналитических преобразований. //Кибернетика. -1971. N3.

26. Трошева М.В., Ефимов Г.Б. О системах аналитических вычислений на ЭВМ.// Сборник Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. М.: Наука, 1988. -157С.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967, 473С.

28. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. М.: CK Пресс, 1997. 336 С.

29. Дьяконов В.П. Сравочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1989.

30. Дэвеннорт Дж., Сир П., Турнье Э. Компьютерная алгебра: Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир 1991.

31. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979, 743 С.

32. Еругин Н.П. Приводимые системы. М.: Изд-во АН СССР, 1946. 94 С.

33. Ефимов Г.В., Трошева М.В. Вопросы развития и использования систем аналитических выкладок на ЭВМ. М: Изд-во ин-та прикладной математики, 1988.

34. Жуков В.П. Аналоги критериев Бендиксона и Дюлака для динамических систем произвольного порядка //Автоматика и телемеханика. 1999. - N10. - С.46-64.

35. Изобов H.A. Линейные системы дифференциальных уравнений.// Математический анализ. -1974. Т.12. - С.71-146.

36. Калинина H.A. Системы компьютерной алгебры. Основные возможности и проблемы. Система АУМ. Новосиб.: ГУ, 1993.

37. Калман P.E. Об общей теории систем управления.// Тр. I Конгр. ИФАК. М.: 1960, - С.206-266.

38. Калман P.E., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400С.

39. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989.

40. Кожевникова Г.П., Синицкий A.JI. Алгоритмы преобразования форм представления выражений и их сложностный анализ. Киев: институт кибернетики, 1980.

41. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. /Под ред. Бухбергер Б. и др. М.: Мир, 1986.

42. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем//Прикладная математика и механика. 1964, - Т.28, - Вып.1. - С.3-14.

43. Красовский H.H. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем.// Тр. II Всесоюз. съезда по теоретич. и приклад, механике. М.: 1965, - Вып. I, - С.77-93.

44. Красовский H.H. Теория управления движением. М.:Наука, 1968. 476 С.

45. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем//Изв.АН СССР, сер.физ.-мат. 1931. - N4. -С.491-539.

46. Курцвейль Я. К аналитическому конструированию регуляторов. //Автоматика и телемеханика. 1961, - N6, - С.688-695.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости. М.: ОНТИ. 1935.

48. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Информационно-издательский дом «ФИЛИНЪ», 1998.

49. Марченко В.М. Минимальное число входов линейных управляемых систем. //Дифференциальные уравнения. 1974, -Т.10, - N10, - С.1789-1796.

50. Математическая энциклопедия, том 3. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982. 1184С.

51. Математическая энциклопедия, том 4. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982. 1183С.

52. Математическая энциклопедия. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1988. 848 С.235

53. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 847С.

54. Михалев A.B., Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. МГУ. 1989.

55. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М.:Изд-во МГУ, 1988, 142С.

56. Николаев С.Ф., Тонков E.JI. Структура множества управляемости линейной докритической системы// Дифференциальные уравнения. -1999. Т.35. - N 1. - С.107-115.

57. Орлов Д.В. Алгоритмы упрощения алгебраических выражений и символьного дифференцирования в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С. //Информационные технологии. М.: Машиностроение. 1999. - N11, - С.26-35.

58. Орлов Д.В. Использование диалогов FIND и REPLACE в среде DELPHI.// Радиолюбитель. Ваш компьютер. 1999. - N9, - С.24-26.

59. Орлов Д.В. Использование коэффициентов А.Н. Крылова в анализе приводимости. //Управление в технических системах: Тезисы докладов научно-технического семинара. /В.В.Сафронов. Саратов: Изд-во СВВКИУ. 1998. - С.59-63.

60. Орлов Д.В. Необходимые и достаточные условия приводимости с использованием аппарата коэффициентов А.Н.Крылова.236

61. Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гоС.техн.ун-т. -1999. С.183-192.

62. Орлов Д.В. Упрощение алгебраических выражений в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С. //Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гоС.техн.ун-т. 2000. - С.97-105.

63. Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. М.: МГУ. 1988.

64. Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та. 1972. - 365С.

65. Петухова М.Н., Жернак А.Н., Петухов O.A. Машинные методы вычислений. Л.: СЗПИ. 1979.237

66. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. 1969. 176С.

67. Подчукаев В. А. Аналитическая теория автоматического управления. Саратов: Изд-во Сарат.гоС.техн.ун-та. 1996. 200 С.

68. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы совмещенного синтеза систем управления.//Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1991. - N8. - С.28-43.

69. Подчукаев В. А. Новый критерий устойчивости нелинейных систем.//Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1987. - N6. - С. 154161.

70. Подчукаев В.А. Производящий вектор и коэффициенты А.Н.Крылова в анализе и синтезе управляемых систем//Доклады Академии Военных Наук. Серия «Аналитическая механика. Аналитическая теория автоматического управления». Саратов. -1999. Т1. - С.71-83.

71. Подчукаев В.А. Устойчивость, качество и коррекция систем автоматического управления: Учебное пособие для студентов втузов. Саратов: Сарат.политехи.ин-т. -1989. 80 С.

72. Подчукаев В.А., Орлов Д.В. Достаточные условия приводимости нелинейных систем.//Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тезисы докладов VII Четаевской конференции. Казань: Изд-во КГТУ. 1997. - С.63.

73. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997. 350 С.

74. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Компания «Петит», 1997. 200С.

75. Рубин А.Б. Биофизика: В 2-х кн.: Учеб. для биол. спец. вузов. Кн.1. теоретическая биофизика. М.: Высшая школа, 1987. 319С.

76. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та. 1981. 200 С.

77. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ. /Под ред. Веретенникова В.Г. М.: В.ш. 1990.

78. Тонков Е.Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями.// Дифференциальные уравнения. -1976. Т.12. - N6. - С.1007-1011.238

79. Тонков E.JI. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию.// Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9. - N 12. - С.2180-2185.

80. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970. 564 С.

81. Фадеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Набор матриц для тестирования. Л.: ГУ. 1987.

82. Фаронов В.В. Delphi 3. Учебный курС. М.: Нолидж. 1998.

83. Форсайт Дж., Малькольм М., Маулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

84. Anderson В.D.O., Luenberger R.G. Design of multivariable feedback systems. //Proc. IEE. -1967. vol.114. - N3. - PP.395-399.

85. Avenhaus Juergen. Reduktiossysteme. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. 1995.

86. Birk J., Zeitz M. Anwendung eines symbolverarbeiten Programmsystems zur Analyse und Synthese von Beobachtern fur nichtlineare Systeme.//msr. Berlin 33/ 1990. - N12.

87. Burda Wolf gang. Objektorientierte Messger aeteprogrammirung. // Elektronik. Berlin. 1991. - N20.

88. Carminati John, Devitt John S., Fee Greg J. Isogroups of Differential Equations Using Algebraic Computing. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N14 - PP.103-120.

89. Dougherty Daniel J., Patricia Johann. An Improved General E-Unification Method. //Journal of Symbolic Computation. 1992. -N14. - PP. 303-320.

90. Grossman Robert, Larson Richard G. Symbolic Computation of Derivations Using Labelled Trees.// Journal of Symbolic Computation. -1992. N13. - PP. 511-523.

91. Habel Markus, Wiwie Christoph. Hochsprache statt Maschinensprache.// Elektronik. Berlin. 1991. - N21.

92. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 1: Einfuhrung in das Konzept.// Elektronik. Berlin. 1991. - N7.239

93. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 2: Daten, Steuerstatements und "Objekte". // Elektronik. Berlin. 1991. -N8.

94. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 3: Zeiger, Ableitung, Virtualitaet und Polymorphie.// Elektronik. Berlin. -1991. N9.

95. Kaiman R.E. Contribution to the Theory of Optimal Control //Bol.Soc.Math.Mexicana. 1960. -N5. - PP.102-119.

96. Klotter Karl. Technische Schwingungslehre. Berlin: Springer Verlag. 1980. 270c.

97. Kneubuehl Fritz Kurt. Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen. Stuttgart: B.G. Teubner, 1995. 325c.

98. Knowles Paul H. Integration of a Class of Transcendental Liouvillan Functions with Error-Functions. Part I. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N13, - PP. 525-543.

99. Kriesel M., Vogt K. Anwendung prognosirter Reglere in linearen Systemen groesser Dimension.// Elektronik. Berlin. 1990. - N3.

100. Kuhlman Heiner . ADA: Sprachelemente und Konzepte.// Elektronik. Berlin. 1991. - N16-19.

101. Kuncevich V.M. Garantierte Schaetzung der Parameter und der Zustandsgroessen in Steuerungssystem.// msr. Berlin 33. 1990. - N4.

102. Miller Dale. Unification Under a Mixed Prefix. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N14, - PP. 321-358.

103. Morris W. Hirsch, Stephen Smale. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto.: ACADEMIC PRESS, INC., 1994. 400p.

104. Podchukaev V.A., Orlov D.V. Application of the Vehicle of A.N.Krylov's Producing Vector and Factors in the Analysis of NonLinear Systems.// Proceedings of the 14-th World Congress of IFAC240

105. Volume Set). Oxford Elsevier LTD (UK), 1999. - Vol.F. - 560p. p.385.

106. Schmelovsky К. H. Zustandsschaetzung in der Prozesssteuerung.// msr. Berlin 33. - 1990. - N2.

107. Seydel Ruediger. Practical Bifurcation and Stability Analysis From Equilibrium to Chaos. Berlin: Springer Verlag, 1994. 353C.

108. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и её применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 С.

109. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1955.

110. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. Киев: Наук, думка, 1983. 208С.

111. Червяков В.П. Об устойчивости и границах изменения координат линейной системы на конечном интервале времени//Тр. МАИ. М.: Машиностроение, -1970. -С.45-60.242

112. С, например, «Открытие файла» или «Построение решения дифференциального уравнения» и т.п.

113. Продемонстрированный на рис.1, раздел меню Файл содержит следующие команды для работы с редактором:

114. Новый создать новый файл программы;

115. Открыть открыть существующий файл программы;

116. Сохранить записать текущий файл на диск;

117. Сохранить как сохранить текущий файл под другим именем;

118. Печать программы распечатать текст из редактора программ;

119. Печать результата распечатать текст из редактора вывода результатов;1. Выход выход из системы.

120. Все команды меню продублированы соответствующими клавишами или комбинациями клавиш.

121. Диалоговые окна для работы с файлами имеют схожее строение, поэтому приведем только окно для открытия файла:эп'.а А Ъагпр1е1. Ы 10-3.nl 1-'□1111 4П1 lla.Mil :^11Ь.ап1 □ 11с.ап111(3.ап11. ПсЗт^оп.ап!12.ап1ш.эгЛ11п1е^а1.ап1 ¡^АсЫе.ап!1^Ви(ег1.ап1

122. Вшег2 ап1 |"^Ое1еттт.ь.п1 ап!егттапи.ап! ^Еее.ал!