автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ структурных возмущений и особенностей управляемых систем

ГГЗ од

2 м иг

На правах рукописи

ПАВЛОВ Кирилл Викторович

АНАЛИЗ СТРУКТУРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ОСОБЕННОСТЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов-2000

Работа выполнена на кафедре технической кибернетики и информатики Саратовского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

и управления РАН, г.Саратов

Защита диссертации состоится "16" мая 2000 года в 1700 часов в ауд.216А на заседании диссертационного совета Д.063.58.08 в Саратовском государственном техническом университете. Адрес: 410054, Саратов, Политехническая, 77.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "^"лп^я 2000 г. Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Подчукаев

профессор Н.Н.Макеев

доктор технических наук, профессор Е.П.Решетняк

В.В.Алёшкин

¡мх-егеЛ^ н, о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В теории и практике автоматического управления центральное место занимает проблема анализа. Этой проблеме посвящено огромное количество исследований как отечественных, так и зарубежных учёных. Однако, несмотря на это, отдельные аспекты этой проблемы до сих пор не изучены. Среди них отметим следующие.

1. Проблема анализа грубости математических моделей при преобразованиях структурных схем. Эта проблема возникла из исторически первого способа описания объектов управления посредством структурных схем. Исторически первым способом упрощения этих схем с целью последующего анализа стали методы преобразования структурных схем, при которых происходит изменение порядка преобразованной схемы по сравнению с исходной. И если случай, когда порядок преобразованной системы понижается, может быть формализован методами теории сингулярных возмущений, то применительно к случаю, когда порядок преобразованной системы повышается по сравнению с исходной, какие-либо исследования практически неизвестны.

2.Проблема анализа таких особенностей нелинейных управляемых систем, как предельные циклы. Эта проблема хорошо известна, но основные результаты в её решении связаны с фазовой плоскостью, когда размерность пространства состояний п=2. Обобщение понятия предельного цикла на случай п=3 выполнено В.П.Жуковым. Однако необходимые и достаточные условия существования предельных циклов в многомерном пространстве практически неизвестны.

3.Проблема анализа собственно предельных циклов и их обобщений в многомерном пространстве, состоящая в ответе на вопрос: являются ли эти предельные циклы аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами. Какие-либо конструктивные результаты, позволяющие ответить на эти вопросы, также практически неизвестны.

Объектом исследований в работе являются стационарные линейные и нелинейные управляемые системы с сосредоточенными параметрами.

Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке базового финансирования фундаментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по темам СГТУ-115 за 1998 год «Разра-

ботка алгоритма анализа предельных циклов с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова» и СГТУ-194 за 1999 год «Исследование эффекта сингулярных возмущений при преобразованиях математических моделей систем автоматического управления».

Целыо работы являются:

1) анализ структурных возмущений при преобразованиях структурных схем;

2) обобщение понятия предельных циклов на случай многомерного пространства, получение необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова;

3) качественный анализ плоских и пространственных предельных циклов вторым методом А.М.Ляпунова.

Достижение поставленных целей предполагает решение следующих основных задач:

• формализация структурных преобразований (структурных возмущений) на языке элементарных преобразований Ф.Р.Гантмахера для полиномиальных матриц;

• формализация эффектов, связанных со структурными возмущениями структурных схем, при которых происходит повышение порядка математической модели управляемой системы, как эффектов, обратных эффекту сингулярных'возмущений;

• анализ и уточнение классических правил преобразования структурных схем с учётом эффекта повышения порядка математической модели для правил преобразования структурных схем, порождающих такое повышение;

• обобщение понятия плоского предельного цикла на многомерное пространство как замкнутой гиперповерхности и применение математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова для получения необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов;

• адаптация второго метода А.М.Ляпунова применительно к качественному исследованию плоских и пространственных предельных циклов с точки зрения ответа на вопрос: являются ли они аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами?

Методы исследований. Поставленные задачи решаются с привлечением методов теории автоматического управления, теории устойчивости, теории сингулярных возмущений, теории «эквивалентных» преобразований Ф.Р.Гантмахера над многочленными матрицами, аппаратов линейной алгебры, аналитиче-

ской и диффоренцналыюй геометрии, качественной теории динамических систем.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, которые выносятся на защиту.

1-С использованием понятия «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера формализовано понятие структурного преобразования (структурного возмущения) структурных схем.

2.Структурное возмущение, повышающее порядок преобразованной системы, формализовано как возмущение, обратное сингулярному возмущению.

3.Исследованы условия, при которых исходная и структурно преобразованная система (эквивалентные в смысле классических правил преобразования структурных схем) были бы эквивалентны в смысле асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) как по входу, так и по выходу (с введением соответствующих определений).

4.Введено обобщение предельного цикла как замкнутой гиперповерхности и получены необходимые и достаточные условия существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова.

о.Предложен метод построения функций А.М.Ляпунова, основанный на понятии кривизны кривой в дифференциальной геометрии, для ответа на вопрос: является ли плоский или пространственный предельный цикл аттрактором, репеллером или полуустойчивым предельным циклом?

Практическую ценность работы составляют:

1) уточнение классических правил преобразования структурных схем, основанных на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции, что приводит к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) исходной и преобразованной систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме вход-выход) сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит;

2) развитие математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова в качестве инструмента анализа существования пространственных предельных циклов;

3) интерпретация понятия кривизны кривой в дифференциальной геометрии как естественной математической интерпретации функции А.М.Ляпунова для анализа неточечных особенностей нелинейных динамических систем.

Внедрение результатов работы. Материалы диссертационной работы внедрены и использованы в учебном процессе Саратовского государственного технического университета и Саратовского филиала военного артиллерийского университета, о чём имеются соответствующие акты внедрения.

Получен акт внедрения результатов исследований соискателя при проведении НИОКР в ОАО КБ «Электроприбор» .

Апробация работы: основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на

-Межреспубликанской конференции «Управление в социальных, экономических и технических системах* в г. Кисловодске. 1998.

-Международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» в г. Санкт-Петербурге. 1999.

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 5 научных работ, из них: статей - 3, тезисов докладов - 2. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы, содержащего 59 наименований, и приложения, в которое вынесены акты внедрения и использования и одна таблица. Работа изложена на 173 страницах машинописного текста и содержит одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность работы, даётся её общая характеристика и кратко излагается содержание диссертации.

Основной результат первого раздела состоит в том, что классические правила преобразования структурных схем подлежат уточнению в соответствии с таблицей, приведенной в приложении диссертационной работы, поскольку заключение об эквивалентности передаточных функций исходной и преобразованной схем основано на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции. А это приводит к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) обеих систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме «вход-выход») сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит.

Объектом исследований в первом разделе является математическая модель стационарной линейной управляемой системы в форме «вход-выход«:

У"" + ХХУ'""' = ¿[^""'""'У е е (!)

1-1 ¡=0

где у - вектор выхода; и - вектор входа; верхние индексы в скобках обозначают производные по времени соответствующих порядков; а^ (1=1,...,п), 0=0,1,...,п) - заданные матрицы чисел соответствующих размеров параметров объекта управления.

Введением обозначений

Г(р) = Р" +2а,р-1;Ч(р) = ¿Р,р-',

1.1 1.0

где р = —, запишем (1) в векторно-матричной операторной форме

Р(р)У = Q(P)U. (2)

Определение 1.1. Будем называть структурным преобразованием по выходу (структурным возмущением по выходу) замену выходной переменной по формуле

У = Б(р)у, у е Ыт, (3)

где О(р) - некоторый заданный многочлен вида

О(Р) = 1у1Рк-'. (4)

¡»о

Результатом структурного преобразования по выходу является следующее уравнение структурно преобразованной системы

Р(р) С*(р)у = <3(р)и. (5)

На языке теории многочленных матриц Ф.Р.Гантмахера произведение Е(р)0(р) является «элементарным» преобразованием многочлена Р(р), состоящим в умножении его на многочлен О(р) справа, в результате чего порядок п дифференциального уравнения левой части в форме вход-выход (2) для (5) увеличивается до п+к.

Аналогичным образом формализуется структурное преобразование (структурное возмущение) по входу.

Определение 1.2. Будем называть (5) структурно возмущённой по выходу системой, а (2) - структурно невозму-щёяной системой.

Аналогичное определение можно сформулировать применительно к структурному возмущению по входу.

Введем в рассмотрение параметры ц = — 0 = 1,к), тогда (5)

У;

можно представить в виде:

Р(Р>Ук ((«/'к [[к! Ук-1 ((к-.)№с-1 [[К-..) -

)(1) ](2)Р +

+ 1)(2,][31Р + -+1)(к-з,](),-2)р + 1)<1-2;]11,-чР + 1),ы)]мР +1)(к)У= (6)

_ = д(р)и.

Из (6) при ^ = О (1 = 1,к) следует

Г(р)[1г;Рк")]У = Я(р)и, (7)

1=1

то есть структурное возмущение по выходу параметров системы, обусловленное приравниванием нулю соответствующего малого параметра понижает (п+к)-порядок структурно возмущённой системы (5) до (п+к-1).Таким образом, структурные возмущения можно формализовать как возмущения, обратные сингулярным, или как возмущения, дающие приращение величинам , исходно равным нулю.

Определение 1.3. Будем говорить, что система в форме «вход-выход» асимптотически устойчива по входу, если многочлен при переменной входа - гурвицев.

Определение 1.4. Будем говорить, что система в форме «вход-выход» асимптотически устойчива по выходу, если многочлен при переменной выхода - гурвицев.

Теорема 1.1. Будем полагать, что структурно невозмущённая система (2) либо асимптотически устойчива, либо неустойчива по выходу. Тогда при структурном возмущении по выходу (3) с гурвицевым многочленом в(р) данное свойство сохраняется для структурно возмущённой системы (7) при любом щ = 0, где а = Гк).

Аналогичная теорема моясет быть сформулирована применительно к структурному возмущению по входу.

Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме, доказанной методом математической индукции.

Лемма. Если многочлен (4) - гурвицев, то гурвицевыми являются следующие многочлены:

_ а)

О.(р) = У0Р + У1. Ог(р) = у0р2 + У,р + у 2, Оз(р) = 7оР3 +У!Р2 +У2Р + У3.

ёк-ЛР) = УоРк1 + У.Р1""2 + + Ук_2Р + У„.,, б) _

при Цк-1 = 0 имеем й^р) = ук^р + ук, при цк_2 = 0 имеем 02(р) = ук.2р2 + ук_,р + ук, при цк_3 = 0 имеем й3(р) = ук_3р3 + ук_2р2 + Ук_:Р + Ук,

звено.

приЦ] =0 имеем Ок_д(р) = у^1 +у2рк"2 +... + ук_]р + у1<. Пример 1.1. Правило переноса точки разветвления через

а) Исходная структурная схема:

гх^п

х=и Рх(р)у^1(р)и.

Вход-выходная зависимость системы имеет вид:

х=и Р1(р)у=дх(р)и.

Условие асимптотической устойчивости системы - гурвице-вость Е^р).

Условие асимптотической устойчивости системы по входу-гурвицевость С}1(р).

б) Преобразованная структурная схема:

Р1(Р)У^1(Р)П СЫр)х= Р1(р)у.

Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Р1(р)д1(р)х= р1(р)о1(р)и F1(p)y=Q1(p)u.

Условие асимптотической устойчивости системы- гурвице-вость Р^р), Ql(p).

Условие асимптотической устойчивости системы по входу-гурвидевость (^(р^^р).

Выводы:

1) исходная и преобразованная системы имеют разный порядок,

2) нули и полюсы обеих систем - разные,

3) имеют место структурные возмущения по выходу х и по входу и,

4) системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости <31(Р),

5) системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Р1(р).

Основной результат второго раздела состоит в получении необходимых и достаточных условий существования обобщенных предельных циклов как замкнутых гиперповерхностей, являющихся инвариантными множествами, на основе математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова, а также в создании на основе этих критериев алгоритма решения задачи синтеза обобщенных предельных циклов.

Объектом исследований во втором разделе являются нелинейные системы, описываемые следующим нелинейным уравнением:

х =[Р(х,1)]х+£(<;), хеИп, со). (8)

С использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н. Крылова осуществим переход к новому базису с помощью невырожденного нелинейного преобразования

X = ГЩх.ЭДу, у е Е", • (9)

Г^(хД)] = [В(хД),ВЗ(хЛ),...,Б"-1В(хД)], где вектор [В(хД)] е 11"- производящий вектор А.Н.Крылова,

Б=[Р(хЛ)] - Еп а/<Щ.)

(Еп - обозначение единичной матрицы размера п х п).

В результате этого получим кинематически подобную систему в форме Крылова-Лгоенбергера

где

[P(x,t)]=[W'1(x,t)P(x,t)W(x,t)-W"1(x,t)W(x,t)] = = ПУЧхЛ^Сх.ЦМег, е3, ..., е„, - Н(х,Ь)], [Н(х,ед = - ^•1(хД)ОпВ(х,1)] = со1[Ьп(х^),...,Ь1(хЛ)]. Здесь [Ь^хД)] (1=1, п) - коэффициенты (параметры) А.Н.Крылова.

О п р е д е л е н и е 2.1. Будем понимать под обобщением понятия предельного цикла замкнутую простую гиперповерхность пространства переменных системы, содержащую в себе целиком периодические решения данной системы и составленную целиком только из них.

Определение 2.2. Системы вида (8), приводимые гомеоморфным преобразованием (9) к форме Крылова-Люенбергера, коэффициенты А.Н.Крылова которой подчинены равенствам

[Ь|(х,0] = 0,[Ь2 (х, г)] = 1, [И „.¡(х,1:)] = --—,(} = 0^п-3), (10)

У»

где угрешения следующей системы дифференциальных уравнений

у = Пу,у бИ", а П - матрица чисел вида

П =

"о -1 0 0 . . 0 0

1 0 -1 0 . . 0 0

0 1 0 -1 . . 0 0

0 0 1 0 . . 0 0

0 0 0 1 .

0 0 0 0 . . 0 -1

0 0 0 0 . . 1 0

будем называть П-приводимыми системами.

п

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1. У системы (8) тогда и только тогда существует обобщённый предельный цикл, когда система (8) является П-приводимой.

Теорема 2.2. У системы (8) тогда и только тогда существует обобщённый предельный цикл, когда существует такой производящий вектор В(х,1;), что вектор ее коэффициентов Крылова имеет вид

Н=-'\У1П1пе1, (11)

а ее неоднородность имеет вид

£=\¥ЛУ1"1П1х0,

где

^'^[ех.Пхе!, П12е1,...,П1п"1е1], х0-произвольный п-мерный вектор,

1 О

п, = " - '

где постоянные q и Ci+i имеют разные знаки (i=l,3,..2n-3, п>2).

Теоремы 2.1 и 2.2 основаны на гомеоморфном преобразовании системы вида (8) к системам, имеющим инвариантные множества в виде гиперсферы и гиперэллипсоида, соответственно.

Определение 2.3. Будем называть задачей параметрического синтеза обобщенных предельных циклов задачу выбора параметров матрицы [P(x,t)] системы (8), при которых в разомкнутой системе имеет место обобщенный предельный цикл.

Как и любая задача параметрического синтеза, она не может быть строго математически формализована, но для ее решения естественен следующий алгоритм:

1) посредством гомеоморфного преобразования (9) приведем систему (8) к форме Крылова-Люенбергера;

2) приравняем вектор коэффициентов А.Н. Крылова векторам (10) или (11), в результате получим систему алгебраических уравнений относительно параметров, заданных в символьном виде;

0 с, 0 0 . 0 0

с2 0 с. 0 . . 0 0

0 с4 0 С5 • . 0 0

0 0 0 . . 0 0

0 0 0 1 .

0 0 0 0 . . 0 с,п_

0 0 0 0 . • С1«-2 0

3) разрешая эту систему относительно символьных параметров, можно записать условия, при которых среди решений системы (8) будут существовать замкнутые траектории, принадлежащие гиперсфере или гиперэллипсоиду.

Основные результаты третьего раздела состоят в следующем:

1) формализовано (посредством определений 3.1-3.2) классическое определение орбитальной устойчивости применительно к ранее не формализованным понятиям аттрактора (определение 3.3), репеллера (определение 3.5) и полуустойчивого предельного цикла (определение 3.4), как в случае плоского, так и обобщённого предельного циклов;

2) введены в рассмотрение (ранее не описанные в литературе) функции А.М.Ляпунова для исследования орбитальной устойчивости особенностей автономных нелинейных систем;

3) обобщены на базе введённых в п.1 определений основные теоремы второго метода А.М.Ляпунова применительно к исследованию орбитальной устойчивости как плоских, так и обобщённых предельных циклов (теоремы 3.1-3.3);

4) предложен метод построения указанных в п.2 функций А.М.Ляпунова, основанный на использовании в качестве этих функций математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии.

Объектом исследований в третьем разделе являются нелинейные автономные системы дифференциальных уравнений вида

х=Р(х),ха0)=х0. (12)

Здесь х - п-мерный вектор (вектор фазовых координат), х0 -вектор начальных состояний. Р - заданная вектор-функция переменных (х11....,хп )) такая, что система (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, а также теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений.

На основании того, что любая простая замкнутая гиперповерхность М делит пространство на два множества, Е^ и Е2М, для первого из которых она является замыканием, и все фазовые траектории, в силу теоремы о единственности, лежат целиком в одном из них, ниже мы всегда будем уточнять, в каком из этих множеств лежат рассматриваемые нами точки и траектории.

Пусть множество М является обобщенным предельным циклом, а р(х,М)-мшшмальное евклидово расстояние от точки х до М, Г;Е-множество точек хеЕ^, для которых выполняется условие р(х(1;),М)<е 1=1,2; ЦЕ-множество точек хеЕ^, для кото-

рых p(x(t),M)=E.

Введем следующие определения, согласующиеся с понятиями качественной теории динамических систем.

Определение 3.1. Обобщенный предельный цикл М системы (12) будет двусторонне орбитально устойчив, если для любого е>0 существует такое 5(s,t0)>0, что всякое решение системы x(t)sEjM с p(x(t0),M)< 5 удовлетворяет p(x(t),M)< z для всех t>t0 и i=l,2.

Определение 3.2. Обобщенный предельный цикл М системы (12) будет односторонне орбитально устойчив, если для любого е>0 существует такое 8(еДо)>0, что всякое решение системы x(t)eEjM с p(x(t0),M)< 5 удовлетворяет p(x(t),M)< е для всех t>to и i=l (i=2), но данное условие не выполняется для i=2 (i=l).

Определение 3.3. Обобщенный предельный цикл М системы (12) является аттрактором, если он двусторонне орбитально устойчив и существует такое 8>0, что для всякого решения системы x(t)eEjM с p(x(t0),M)< 5 имеем p(x(t),M)—>0 при

t->co, i=l,2.

Определение 3.4. Обобщенный предельный цикл М системы (12) яйляется полуустойчивым, если он односторонне орбитально устойчив и существует такое 5>0, что для всякого решения системы x(t)eEjM с p(x(t0),M)< 5 имеем p(x(t),M)->0 при t-х», где i=l или 2.

Определение 3.5. Обобщенный предельный цикл М системы (12) является репеллером, если он не является ни односторонне, ни двусторонне орбитально устойчивым.

В основание исследования устойчивости обобщенных предельных циклов в диссертационной работе положен второй метод A.M. Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Как известно, поведение параметризации кривой x(t) в пространстве Rn можно охарактеризовать набором п-1 функций длины дуги кривой s, Хъ--">Хп-1 > называемых кривизнами, составляющими матрицу

' 0. Х,Е„ 0, 0„ 0»

-Х,Е„ 0. хА ..... 0. 0.

0. -ХА 0,. 0„ 0.

0. ©. 0„ ..........0,. Х„-|Е„

0. 0. 0. ..........-Х.-Е. 0. .

такую, что уравнение

с!е/^=Не , с^хТхсИ;)1/2 , ееКпхп,

определяет многогранник Френе, единственным образом связанный с каждой точкой параметризации кривой и формирующий связанную с этой точкой подвижную систему координат в пространстве переменных х . Здесь е!=со1[0 ..... О 1 0 ..... о],

е=со1[е!.....еп], ©п и Еп - нулевая и единичная матрицы размерности пхп, а под х понимается производная вектор-функции х по переменной I.

Данные соотношения позволяют выразить кривизны через производные компонент вектор-функции х. Например, в случае п=2 получим следующее соотношение для определения ее кривизны:

7Л=(Х1Х2-Х1Х2)/(Х12+Х22)8/2 ,

а в случае п=3 (для кривизны и кручения соответственно):

[(х, X 2 — Хг XI )" + (х: X) ~ X) Хг)" + (х. X! — X - X .)']"'

х, =-

Хг

X 2 + Х,

X,

X,

X, X,

[(х, Хг - Хз Х|)2 + (х: X) ~Хз X:)" + (х. Хз ~ X •• Х>)" ]

В случае, когда х описывает поведение фазовой траектории системы (12), ее производные можно получить в силу уравнений (12).

Для того, чтобы дать простое геометрическое обоснование предлагаемого способа конструирования обобщенных функций Ляпунова, предположим сначала, что п=2, а М - окружность. В этом случае при исследовании поведения фазовых траекторий вблизи М естественно предполагать, что они представляют собой спирали, наматывающиеся на М или сматывающиеся с него. Тогда в терминах дифференциальной геометрии это кривые с монотонно изменяющейся функцией кривизны Х1(х)- Выбрав

х

функцию Ляпунова в виде У(х)=(х1(х)-с)2 , будем иметь

У=2х1(х)(х1<х)-с),

где V есть полная производная функции V по составленная в силу уравнений (12), а с-кривизна окружности, формирующей М ( как известно,величина постоянная для окружности).

Легко заметить, что V и V обращаются в нуль только на при

этом вне М У>0, У<0, если спирали наматываются на рассматриваемую окружность и

У>0, У>0, если спирали сматываются с нее.

В общем случае М уже не будет являться окружностью, а в случае п>2 вообще не будет кривой. Однако, основываясь на том предположении, что при гомеоморфизме замкнутой кривой на окружность естественно предполагать, что близкие к ней фазовые траектории трансформируются в спирали, можно предложить способ конструирования функций Ляпунова в виде

У(х)=(Х1(х)-хМ1(х))2 , где хМ1(х)"кРивнзна Х1(х) фазовых траекторий, находящихся на обобщенном предельном цикле М. Иными словами, значениями функции ХМ1(Х) являются значения функции Х1(х) с учетом уравнения, описывающего М в фазовом пространстве.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.1 (о двусторонней орбитальной устойчивости ).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что полная производная функции У(х)=(х1(х)-хмх(х))2 по ^ составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная) для М в Г;8 (1=1,2), то М является двусторонне орби-тально устойчивым обобщенным предельным циклом.

Теорема 3.2 (об аттракторе).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что, полная производная функции У(х)=(х1(х)-хМ1(х))2 по ^ составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г^е (1=1,2), то М является аттрактором.

Теорема 3.3 (о репеллере).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что полная производная функции У(х)=(х!(х)-хМ1(х))2 по составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (поло-яштельная ) для М в Г4е (1=1,2), то М является репеллером.

Теорема 3.4 (об односторонней орбитальной устойчивости).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что, полная производная функции У(х)=(х1(х)-хМ1(х))2 по Ь, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная) для М в 1=1(1=2) и есть функция знакоопределен-ная (положительная) для М в Г^е 1=2(1=1), то М является односторонне орбитально устойчивым обобщенным предельным циклом.

Теорема 3.5 (о полуустойчивом предельном цикле).

Если уравнения движения системы (12) таковы, -что полная производная функции У(х)=(ул(х)-хМ1(х))2 по Ь, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г^е 1=1(1=2) и есть функция знакоопределенная (положительная) для М в Г^е 1=2(1=1), то М является полуустойчивым обобщенным предельным циклом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе диссертационного исследования:

1. С использованием понятия «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера формализовано понятие структурного преобразования (структурного возмущения) структурных схем.

2. Структурное возмущение, повышающее порядок преобразованной системы, формализовано как возмущение, обратное сингулярному возмущению.

3. Исследованы условия, при которых исходная и структурно преобразованная системы (эквивалентные в смысле классических правил преобразования структурных схем) были бы эквивалентны в смысле асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) как по входу, так и по выходу (с введением соответствующих определений).

4. Введено обобщение предельного цикла как замкнутой гиперповерхности и получены необходимые и достаточные условия существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова.

5. Предложен метод построения функций А.М.Ляпунова, использующий в качестве функции А.М.Ляпунова понятие кривизны дифференциальной геометрии, для ответа на вопрос: является ли плоский или пространственный предельный цикл аттрактором, репеллером или полуустойчивым предельным циклом.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Орлов Д.В., Павлов К.В., Подчукаев В.А. Необходимые и достаточные условия -существования предельных циклов: общий случай (п>2)// Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб.-Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 2000. С. 106-226.

2. Павлов К.В. Подчукаев В.А. Эффект структурных возмущений при преобразованиях структурных схем//Доклады Академии Военных Наук. 2000. № 5. С.66-93.

3. Павлов К.В. Исследование устойчивости систем методами дифференциальной геометрии// Нелинейные науки на рубеже тысячелетий: Тезисы докладов международной конференции. Санкт-Петербург,1999. С. 48.

4. Павлов К.В. Исследование устойчивости систем с неединственным состоянием равновесия методом функций A.M. Ляпунова, конструируемых с использованием аппарата дифференциальной геометрии // Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб.-Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1998. С. 193-205.

5. Павлов К.В. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия // Управление в социальных, экономических и технических системах: Труды межреспубликанской научной конференции. Кн.З. Кисловодск: Изд-во Кисловодском университета Академии оборонных отраслей промышленности РФ, 1998. С. 223.

Введение.

Раздел 1. Анализ структурных возмущений при преобразованиях структурных схем.

1.1. Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3. Формализация структурных преобразований на языке «элементарных» преобразовании Ф.Р.Гантмахера.

1.4. Формализация структурных возмущений, как возмущений, обратных сингулярным возмущениям.

1.5. Анализ структурных возмущений, сохраняющих свойства асимптотической устойчивости (неустойчивости).

1.6. Анализ правил преобразования структурных схем, приводящих к появлению структурных возмущений по входу и выходу

1.7. Анализ примера, используемого участниками дискуссии [13, 41].

1.8. Выводы.

Раздел 2. Необходимые и достаточные условия существования обобщенных предельных циклов.

2.1. Введение.

2.2. Постановка задачи и вспомогательные сведения.

2.3. Обобщение понятия предельного цикла на многомерный случай.

2.3.1. Гомеоморфизм на гиперсферу.

2.3.2. Гомеоморфизм на гиперэллипсоид.

2.4. Обобщённый предельный цикл со смещенным центром.

2.4.1. Гомеоморфизм на гиперсферу со смещенным центром.

2.4.2. Гомеоморфизм на гиперэллипсоид со смещенным центром.

2.5 Синтез управляемых систем с обобщёнными предельными циклами.

2.5.1 Параметрический синтез обобщённых предельных циклов.

2.5.2 Синтез обобщённых предельных циклов, основанный на понятии нелинейной гиперквадрики.

2.6 Примеры анализа систем на наличие среди их решений обобщений предельных циклов.

2.5 Выводы.

Раздел 3. Анализ качественного поведения траекторий динамических систем в окрестности предельный циклов и их обобщений.

3.1. Постановка задачи и вспомогательные сведения.

3.2.Распространение основных теорем второго метода Ляпунова на случай исследования орбитальной устойчивости предельных циклов и их обобщений.

3.3. Метод построения обобщенных функций Ляпунова с использованием математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии.

3.4. Примеры анализа предельных циклов и их обобщений с помощью метода построения функций Ляпунова, использующего кривизны дифференциальной геометрии.

3.5. Выводы.

Актуальность работы. В теории и практике автоматического управления центральное место занимает проблема анализа. Этой проблеме посвящено огромное количество исследований как отечественных, так и зарубежных учёных. Однако, несмотря на это, отдельные аспекты этой проблемы до сих пор не изучены. Среди них отметим следующие.

1) Проблема анализа грубости математических моделей при преобразованиях структурных схем. Эта проблема возникла из исторически первого способа описания объектов управления посредством структурных схем. Исторически первым способом упрощения этих схем с целью последующего анализа стали методы преобразования структурных схем, при которых происходит изменение порядка преобразованной схемы по сравнению с исходной. И если случай, когда порядок преобразованной системы понижается, может быть формализован методами теории сингулярных возмущений, то применительно к случаю, когда порядок преобразованной системы повышается по сравнению с исходной, какие-либо исследования практически неизвестны.

2)Проблема анализа таких особенностей нелинейных управляемых систем, как предельные циклы. Эта проблема хорошо известна, но основные результаты в её решении связаны с фазовой плоскостью, когда размерность пространства состояний п=2. Обобщение понятия предельного цикла на случай п=3 выполнено В.П.Жуковым [20]. Однако необходимые и достаточные условия существования предельных циклов в многомерном пространстве практически неизвестны.

3)Проблема анализа собственно предельных циклов и их обобщений в многомерном пространстве, состоящая в ответе на вопрос: являются ли эти предельные циклы аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами. Какие-либо конструктивные результаты, позволяющие ответить на эти вопросы также практически неизвестны.

Объектом исследований в работе являются стационарные линейные и нелинейные управляемые системы с сосредоточенными параметрами.

Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке базового финансирования фундаментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по темам СГТУ-115 за 1998 год «Разработка алгоритма анализа предельных циклов с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова» и СГТУ-194 за 1999 год «Исследование эффекта сингулярных возмущений при преобразованиях математических моделей систем автоматического управления».

Целью работы является:

1) анализ структурных возмущений при преобразованиях структурных схем;

2) обобщение понятия предельных циклов на случай многомерного пространства, получение необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова;

3) качественный анализ плоских и пространственных предельных циклов вторым методом А.М.Ляпунова.

Достижение поставленных целей предполагает решение следующих основных задач:

• формализация структурных преобразований (структурных возмущений) на языке элементарных преобразований Ф.Р.Гантмахера для полиномиальных матриц;

• формализация эффектов, связанных со структурными возмущениями структурных схем, при которых происходит повышение порядка математической модели управляемой системы, как эффектов, обратных эффекту сингулярных возмущений;

• анализ и уточнение классических правил преобразования структурных схем с учётом эффекта повышения порядка математической модели для правил преобразования структурных схем, порождающих такое повышение;

• обобщение понятия плоского предельного цикла на многомерное пространство как замкнутой гиперповерхности и применение математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова для получения необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов;

• адаптация второго метода А.М.Ляпунова применительно к качественному исследованию плоских и пространственных предельных циклов с точки зрения ответа на вопрос: являются ли они аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами?

Методы исследований. Поставленные задачи решаются с привлечением методов теории автоматического управления, теории устойчивости, теории сингулярных возмущений, теории "эквивалентных" преобразований Ф.Р.Гантмахера над многочленными матрицами, аппаратов линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, качественной теории динамических систем.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, которые выносятся на защиту.

1)С использованием понятия «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера формализовано понятие структурного преобразования (структурного возмущения) структурных схем.

2)Структурное возмущение, повышающее порядок преобразованной системы, формализовано как возмущение, обратное сингулярному возмущению.

3)Исследованы условия, при которых исходная и структурно преобразованная система (эквивалентные в смысле классических правил преобразования структурных схем) были бы эквивалентны в смысле асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) как по входу, так и по выходу (с введением соответствующих определений).

4)Введено обобщение предельного цикла как замкнутой гиперповерхности и получены необходимые и достаточные условия существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова.

5)Предложен метод построения функций А.М.Ляпунова, основанный на понятии кривизны кривой в дифференциальной геометрии, для ответа на вопрос: является ли плоский или пространственный предельный цикл аттрактором, репеллером или полуустойчивым предельным циклом?

Практическую ценность работы составляют:

1) уточнение классических правил преобразования структурных схем, основанных на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции, что приводит к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) исходной и преобразованной систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме вход-выход), сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит;

2) развитие математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова в качестве инструмента анализа существования пространственных предельных циклов;

3) интерпретация понятия кривизны кривой в дифференциальной геометрии как естественной математической интерпретации функции А.М.Ляпунова для анализа неточечных особенностей нелинейных динамических систем.

Основной результат первого раздела состоит в том, что классические правила преобразования структурных схем подлежат уточнению в соответствии с таблицей, приведенной в приложении диссертационной работы, поскольку заключение об эквивалентности передаточных функций исходной и преобразованной схем основано на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции. А это приводит к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) обеих систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме "вход-выход") сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит.

Объектом исследований в первом разделе является математическая модель стационарной линейной управляемой системы в форме "вход-выход": у(п) + = ХР;и(пЛу е е 1Г\ (1)

1 = 1 1 = 0 где у - вектор выхода; и - вектор входа; верхние индексы в скобках обозначают производные по времени соответствующих порядков; сц (1=1,.,п), Pj 0=0,1,.,п) - заданные матрицы чисел соответствующих размеров параметров объекта управления. Введением обозначений

Р(Р) = Рп +1 а1Рп1; 0(Р) =

1 ¿=0 где р = —, запишем (1) в векторно-матричной операторной фор-сН ме

Р(р)у = Q(p)u. (2)

Определение 1.1. Будем называть структурным преобразованием по выходу (структурным возмущением по выходу) замену выходной переменной по формуле

У = 0(р)у, у е К* (3) где О(р) - некоторый заданный многочлен вида р) = 1у1рк"1. (4) о

Результатом структурного преобразования по выходу является следующее уравнение структурно преобразованной системы

Г(р) 0(р)у = <3(р)и. (5)

На языке теории многочленных матриц Ф.Р.Гантмахера [14] произведение Г(р)6(р) является «элементарным» преобразованием многочлена Г(р), состоящим в умножении его на многочлен 6(р) справа, в результате чего порядок п дифференциального уравнения левой части в форме вход-выход (2) для (5) увеличивается до п+к.

Аналогичным образом формализуется структурное преоб-разование(структурное возмущение) по входу.

Определение 1.2. Будем называть (5) структурно возмущённой по выходу системой, а (2) - структурно невозмущённой системой.

Аналогичное определение можно сформулировать применительно к структурному возмущению по входу.

Введем в рассмотрение параметры ц. = — (1 = 1,к), тогда (5)

Уг можно представить в виде:

Чк-1) Цк-1] •••

У2 ((2) И-2 [[2] У1 ((1) [[1] Уо ][1] Р + 1)(1)](2)Р + + 1)(2)][3]Р + . + 1)(к-8)][к-2]Р + 1)(к-2)][к-1]Р + 1)(к-1)][к]Р +1)(к)У= (6) Q(p)u,

Из (6) при щ = 0 (1 = 1, к) следует рИЕър^ = <3(р)й, (7) 1 то есть структурное возмущение по выходу параметров системы, обусловленное приравниваем нулю соответствующего малого параметра щ, понижает (п+к)-порядок структурно возмущённой системы (5) до (п+к-1).Таким образом, структурные возмущения можно формализовать как возмущения, обратные сингулярным, или как возмущения, дающие приращение величинам ^ исходно равным нулю.

Определение 1.3. Будем говорить, что система в форме "вход-выход" асимптотически устойчива по входу, если многочлен при переменной входа - гурвицев.

Определение 1.4. Будем говорить, что система в форме "вход-выход" асимптотически устойчива по выходу, если многочлен при переменной выхода - гурвицев.

Теорема 1.1. Будем полагать, что структурно невозмущённая система (2) либо асимптотически устойчива, либо неустойчива по выходу. Тогда при структурном возмущении по выходу (3) с гурвицевым многочленом G(p) данное свойство сохраняется для структурно возмущённой системы (7) при любом щ = 0, где (i = l,k).

Аналогичная теорема может быть сформулирована применительно к структурному возмущению по входу.

Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме, доказанной методом математической индукции.

Лемма. Если многочлен (4) - гурвицев, то гурвицевыми являются следующие многочлены: а)

Gi(p) = YoP + Yi»

Мр) = УоР2 + YiP + У2> Gs(p) = УоР3 + Y]P2 + у2Р + Уз» У

Gk-i(p) = YoPk1 + YiPk~2 + ••• + Ук-2Р + Yk-i» б) при = 0 имеем G^p) = y^p + Yk, при |ik2 = 0 имеем G2(p) = yk2p2 + Yk-iP + Yk» при ц.к3 = 0 имеем Gs(p) = Yk3P3 + Ук-2Р2 + Yk-iP + Yk> при = 0 имеем Gkx(p) = уxpk1 + у2рк~2 +. + уыр + ук,

Пример 1.1. Правило переноса точки разветвления через звено. а) Исходная структурная схема: К х=и

Fi(p)y=Qi(p)u.

Вход-выходная зависимость системы имеет вид: х=и

Fi(p)y=Qi(p)u.

Условие асимптотической устойчивости системы - гурвицевость

Fi(p).

Условие асимптотической устойчивости системы по входу- гурвицевость Qi(p). б) Преобразованная структурная схема:

Fi(p)y=Qi(p)u Qi(p)x= F1(p)y.

Вход-выходная зависимость системы имеет вид:

Fi(p)Qi(p)x= F1(p)Q1(p)u

Fi(p)y=Qi(p)n.

Условие асимптотической устойчивости системы- гурвицевость

Fi(p), Qi(p).

Условие асимптотической устойчивости системы по входу- гурвицевость Q1(p),F1(p).

Выводы:

1) исходная и преобразованная системы имеют разный порядок,

2) нули и полюсы обеих систем - разные,

3) имеют место структурные возмущения по выходу х и по входу и,

4) системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости

Qi(P),

5) системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости F^p).

Основной результат второго раздела состоит в получении необходимых и достаточных условий существования обобщенных предельных циклов как замкнутых гиперповерхностей, являющихся инвариантными множествами, на основе математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова, а также в создании на основе этих критериев алгоритма решения задачи синтеза обобщенных предельных циклов.

Объектом исследований во втором разделе являются нелинейные системы, описываемые следующим нелинейным уравнением: х =[P(x,t)]x+f(t), xeRn, te[0, оо). (8)

В соответствии с методами профессора В.А. Подчукаева [43] осуществим переход к новому базису с помощью ляпуновского преобразования х = \УГ(х,У\у, у е (9)

ГЩхД)] = [В(хЛ),Ш(*Л),.,В^В(хЛ)], где вектор [В(хД)] е 11п- производящий вектор А.Н.Крылова, Б=[Р(хД)] - Еп с1/сВД

Еп - обозначение единичной матрицы размера п х п).

В результате этого получим кинематически подобную систему в форме Крылова-Люенбергера у = [ьЧхдхьмл^Схдеа), где

P(x,t)]=[W-1(x,t)P(x,t)W(x,t)-W-1(x,t)W(x,t)] = = Г^-ЦхЛ)ВЖ(хЛ)]=[е2, е8, • еп, - Н(хД)], [Н(хД)] = - ^(хДО^хД)] = со1[Ьп(хД),.,Ь1(хД)].

Здесь [Ь^(хД)] (1=1,п) - коэффициенты (параметры) А.Н.Крылова.

Определение 2.1. Будем понимать под обобщением понятия предельного цикла простую замкнутую гиперповерхность пространства переменных системы, содержащую в себе целиком периодические решения данной системы и составленную целиком только из них.

Определение 2.2. Системы вида (8), приводимые гомеоморфным преобразованием (9) к форме Крылова-Люенбергера, коэффициенты Д.Н.Крылова которой подчинены равенствам

ЬХМ)] = 0,[Ь2(х,0] = №п,(х,0] = -Ь±з([ = 0,п-3), (10)

Уп где у^-решения следующей системы дифференциальных уравнений у = Пу,у еГ, а П - матрица чисел вида

0 -1 0 0 . . 0 0

1 0 -1 0 . . 0 0

0 1 0 -1 . . 0 0

0 0 1 0 . . 0 0

0 0 0 1 . . .

0 0 0 0 . . 0 -1

0 0 0 0 . . 1 0 будем называть П-приводимыми системами. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1. У системы (8) тогда и только тогда существует обобщённый предельный цикл, когда система (8) является П-приводимой.

Теорема 2.2. У системы (8) тогда и только тогда существует обобщённый предельный цикл, когда существует такой производящий вектор В(х,1), что вектор ее коэффициентов Крылова имеет вид

Н=^1П1пе1, (11) а ее неоднородность имеет вид

Л™"1-1П1Х0, где

1=[е1,П1е1, П12е1,.,П1п'1е1], х0-произвольный п-мерный вектор,

О с, О О с2 0 с3 О О с4 0 с5

О О О О О О

1 О

П, = О 0 сб О

О О .е

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 с

2п-2

0 с

2п-3 о о где постоянные с^ и с^ имеют разные знаки (1=1,3,.2п-3, п>2)

Теоремы 2.1 и 2.2 основаны на гомеоморфном преобразовании системы вида (8) к системам, имеющим инвариантные множества в виде гиперсферы и гиперэллипсоида, соответственно. у

Определение 2.3. Будем называть задачей параметрического синтеза обобщенных предельных циклов задачу выбора параметров матрицы [Р(хД)] системы (8), при которых в разомкнутой системе имеет место обобщенный предельный цикл.

Как и любая задача параметрического синтеза, она не может быть строго математически формализована, но для ее решения естественен следующий алгоритм:

1) посредством гомеоморфного преобразования (9) приведем систему (8) к форме Крылова-Люенбергера;

2) приравняем вектор коэффициентов А.Н. Крылова векторам (10) или (11), в результате получим систему алгебраических уравнений относительно параметров, заданных в символьном виде;

3) разрешая эту систему относительно символьных парашений системы (8) будут существовать замкнутые траектории, принадлежащие гиперсфере или гиперэллипсоиду метров, можно записать условия, при которых среди ре

Основные результаты третьего раздела состоят в следующем:

1) формализовано (посредством определений 3.1-3.2) классическое определения орбитальной устойчивости применительно к ранее не формализованным понятиям аттрактора (определение 3.3), репеллера (определение 3.5) и полуустойчивого предельного цикла (определение 3.4), как в случае плоского, так и обобщённого предельного циклов;

2) введены в рассмотрение (ранее не описанные в литературе) обобщённые функции А.М.Ляпунова для исследования орбитальной устойчивости особенностей автономных нелинейных систем;

3) распространены на базе введённых в п.2 определений основные теоремы второго метода А.М.Ляпунова применительно к исследованию орбитальной устойчивости как плоских, так и обобщённых предельных циклов (теоремы 3.1-3.3);

4) предложен метод построения указанных в п.З обобщённых функций А.М.Ляпунова, основанный на использовании в качестве этих функций математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии.

Объектом исследований в третьем разделе являются нелинейные автономные системы дифференциальных уравнений вида x=F(x),x(to)=xo. (12)

Здесь х - n-мерный вектор (вектор фазовых координат), х0 -вектор начальных состояний. F - заданная вектор-функция переменных (х1?—,хп ); такая, что система (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, а также теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значении.

На основании того, что любая простая замкнутая гиперповерхность М делит пространство на два множества, EjM и Е2М, для первого из которых она является замыканием, и все фазовые траектории, в силу теоремы о единственности, лежат целиком в одном из них, ниже мы всегда будем уточнять, в каком из этих множеств лежат рассматриваемые нами точки и траектории.

Пусть множество М является обобщенным предельным циклом, а р(х,М)-минимальное евклидово расстояние от точки х до М, Г^в множество точек хеЕ^, для которых выполняется условие p(x(t),M)<s i=l,2; Ь^в-множество точек хеЕ}М, для которых p(x(t),M)=s.

Введем следующие определения, согласующиеся с понятиями качественной теории динамических систем.

Определение 3.1. Обобщенный предельный цикл М системы (12) будет двусторонне орбитально устойчив, если для любого 8>0 существует такое 8(g,to)>0, что всякое решение системы x(t)GEiM с p(x(t0),M)< 8 удовлетворяет p(x(t),M)< 8 для всех t>to и i=l,2.

Определение 3.2. Обобщенный предельный цикл М системы (12) будет односторонне орбитально устойчив, если для любого s>0 существует такое 8(e,t0)>0, что всякое решение системы x(t)eEiM с p(x(to),M)< 8 удовлетворяет p(x(t),М)< е для всех t>to и i=l (i=2), но данное условие не выполняется для i=2

Определение 3.3. Обобщенный предельный цикл М системы (12) является аттрактором, если он двусторонне орбитально устойчив и существует такое 8>0, что для всякого pels шения системы x(t)eEiM с p(x(t0),M)< 8 имеем p(x(t),M)^>0 при t—>оо, i—1,2.

Определение 3.4. Обобщенный предельный цикл М системы (12) является полуустойчивым, если он односторонне орбитально устойчив и существует такое 8>0, что для всякого решения системы x(t)eEiM с p(x(t0),M)< 8 имеем p(x(t),M)^-0 при t-»oo, где i=l или 2.

Определение 3.5. Обобщенный предельный цикл М системы (12) является репеллером, если он не является ни односторонне, ни двусторонне орбитально устойчивым.

В основание исследования устойчивости обобщенных предельных циклов в диссертационной работе положен второй метод A.M. Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Как известно, поведение параметризации кривой x(t) в пространстве Rn можно охарактеризовать набором п-1 функций длины дуги кривои s, Xi> ставляющими матрицу Х,ЕП -Х,ЕП ©п н= ©„ -X2E„

0П 0Г ©„ такую, что уравнение

Xn-i » называемых кривизнами, со ©

Х,ЕП .®п 0 п .©п ©

-Х„-,ЕП

ХП-]ЕП de/ds=He , ds=(xTxdt)1/2 , eeRnxn, определяет многогранник Френе, единственным образом связанный с каждой точкой параметризации кривой и формирующий связанную с этой точкой подвижную систему координат в про

19 странстве переменных х . Здесь е^со^О . О 1 0 . 0],

1 ¿-1 / /+1 п е=со1[е!.еп], ©п и Еп - нулевая и единичная матрицы размерности пхп, а под х понимается производная вектор-функции х по переменной Ь.

Данные соотношения позволяют выразить кривизны через производные компонент вектор-функции х. Например, в случае п=2, получим следующее соотношение для определения ее кривизны:

Х1=(х1х2-х1х2)/(х12+х22)3/2 , а в случае п=3 (для кривизны и кручения соответственно):

• •• • •• 2 / * ** * ** ? • •• *** 2 1/1

Х1 X2 — Хг XI ) + (хг Хз ~ Хз Хг)' +(х: Хз ~ Хз Х1У] '

X— 1-11 .

1 • 2 • 2 • 2 х! + Х2 + Хз)1'"

X, Х2 X,

X, X, X,

X, Х2 Х3

Кх, X2 X2 Х1)2 +(х2 Хз — Хз Х2)2 + (х: Хз ~ Хз хО']

В случае, когда х описывает поведение фазовой траектории системы (12), ее производные можно получить в силу уравнений (12).

Для того, чтобы дать простое геометрическое обоснование предлагаемого способа конструирования обобщенных функций Ляпунова, предположим сначала, что п=2, а М - окружность. В этом случае при исследовании поведения фазовых траекторий вблизи М естественно предполагать, что они представляют собой спирали, наматывающиеся на М или сматывающиеся с него. В

20 терминах дифференциальной геометрии это кривые с монотонно изменяющейся функцией кривизны Х1(х)- Выбрав функцию Ляпунова в виде У(х)=(х1(х)-с)2 , будем иметь

• •

У=2Х1(х)(Х1(х)-с), где V есть полная производная функции V по Ь, составленная в силу уравнений (12), а с-кривизна окружности формирующей М ( как известно величина постоянная для окружности).

Легко заметить, что V и V обращаются в нуль только на при этом вне М У>0, У<0, если спирали наматываются на рассматриваемую окружность и

У>0, У>0, если спирали сматываются с нее.

В общем случае М уже не будет являться окружностью, а в случае п>2 вообще не будет кривой. Однако, основываясь на том предположении, что при гомеоморфизме замкнутой кривой на окружность естественно предполагать, что близкие к ней фазовые траектории трансформируются в спирали, можно предложить способ конструирования функций Ляпунова в виде

У(х)=(Х1(х)-ХМ1(х))2 , где хМ1(х)кРивизна %1(х) фазовых траекторий, находящихся на обобщенном предельном цикле М. Иными словами, значениями функция хМ1(х) являются значения функции Х1(х) с учетом уравнения, описывающего М в фазовом пространстве.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.1 (о двусторонней орбитальной устойчивости ).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что полная производная функции У(х)=(х1(х)-хМ1(х))2 по Ь, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная) для М в 1^8 (1=1,2), то М является двусторонне орби-тально устойчивым обобщенным предельным циклом.

Теорема 3.2 (об аттракторе).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что, полная производная функции У(х)=(х1(х)-%м1(х))2 по Ь, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г\е (1=1,2), то М является аттрактором.

Теорема 3.3 (о репеллере).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что полная производная функции У(х)=(х1(х)-хМ1(х))2 по Ь, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (положительная ) для М в Г^в (1=1,2), то М- является репеллером.

Теорема 3.4 (об односторонней орбитальной устойчивости ).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что, полная производная функции У(х)=(%1(х)-хМ1(х))2 по 1;, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная) для М в Г^е 1=1(1=2) и есть функция знакоопределенная (положительная) для М в Г\е 1=2(1=1), то М является односторонне орбитально устойчивым обобщенным предельным циклом.

Теорема 3.5 (о полуустойчивом предельном цикле).

Если уравнения движения системы (12) таковы, что, полная производная функции У(х)=(хх(х)-хм1(х))2 по 1;, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г^в 1=1(1=2) и есть функция знакоопределенная (положительная) для М в Г\е 1=2(1=1), то М является полуустойчивым обобщенным предельным циклом.

1. Анализ структурных возмущений при преобразованиях структурных схем

1.1. Введение

Исторически первым способом описания объектов управления является применение структурных схем. В свою очередь, методы преобразования структурных схем являются исторически первым способом их упрощения с целью последующего анализа. Поскольку какие-либо исследования грубости математических моделей при преобразованиях структурных схем практически неизвестны, восполним этот пробел.

Любая структурная схема несёт информацию о том, как соединены входы и выходы образующих её элементов. Отсюда следует, что в математическом описании структурной схемы должны присутствовать уравнения в форме "вход-выход". Однако в практике оперирования со структурными схемами, как правило, используется математический аппарат передаточных функций. Поэтому правила преобразования структурных схем описаны на языке передаточных функций, в то время как определение грубости математической модели применимо лишь к математическому описанию дифференциальными уравнениями.

Аналогом методов преобразования структурных схем при описании систем автоматического управления уравнениями пространства состояний являются ляпуновские преобразования, при которых порядок исходной и преобразованной систем не меняется, а свойства асимптотической устойчивости, либо неустойчивости математической модели сохраняются.

24

Вход-выходная форма описания с помощью понятия многочленных матриц, введённых в рассмотрение Ф.Р.Гантмахером [14], даёт такое же компактное (векторно-матричное) математическое описание, что и форма Коши. Однако известны примеры видоизменения вход-выходной формы описания, при которых порядок системы меняется за счет появления малых членов более высокого порядка. Причиной такого эффекта является использование элементарных преобразований Ф.Р.Гантмахера, включающих операцию умножения (слева или справа) на произвольный многочлен. Поскольку такая операция не может быть интерпретирована как ляпуновское преобразование ввиду того, что при таких преобразованиях происходит повышение размерности пространства состояний преобразованной системы, свойства исходной и преобразованной систем могут быть разными.

Сопутствующее этому повышение порядка системы не описано ни в отечественной, ни в зарубежной литературе, хотя по своему смыслу представляет собой возмущение, обратное сингулярному возмущению, при котором происходит понижение порядка рассматриваемой системы. Настоящий раздел преследует цель формализовать понятие элементарного преобразования в смысле Ф.Р.Гантмахера с использованием методов теории сингулярных возмущений, а также исследовать условия, при которых преобразованная (возмущенная) система была бы грубой, то есть, имела бы одинаковые свойства с вырожденной.

1.2. Постановка задачи

Дискуссия вокруг проблемы грубости, начатая в начале 70-х годов [35], и с новой силой разгоревшаяся в последнее время [13-41], как отмечено в [44], имеет своим происхождением две альтернативные формы описания математических моделей объектов управления:

1) описание уравнениями в форме "вход-выход" (лагранжев формализм),

2) описание уравнениями пространства состояний (гамильтонов формализм).

Дело в том, что известные определения грубости, а именно: определение грубости математической модели (А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин [4]) и определение грубости данного свойства математической модели (Н.Н.Красовский [25]), связаны с математической моделью в форме Коши и не предполагают изменения порядка системы уравнений этой модели, в то время как истоками дискуссии являются вход-выходная форма описания и связанные с ней структурные преобразования, приводящие к изменению порядка уравнения, которым описывается эта форма.

Структурные преобразования порождены исторически первой формой описания объектов управления посредством структурных схем. Одним из элементов математической формализации структурного преобразования является «элементарное» преобразование Ф.Р.Гантмахера [14], состоящее в умножении двух многочленов разного порядка. Результатом «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера в построенной им теории многочленных матриц является новый многочлен, порядок которого равен сумме порядков многочленов-сомножителей.

В этом разделе преследуются следующие цели:

1) формализовать понятие структурного преобразования (структурного возмущения) с использованием понятия «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера;

2) формализовать понятия структурных возмущений, как возмущений, в известной мере обратных сингулярным возмущениям [12];

3) исследовать условия, при которых исходная и структурно преобразованная система (эквивалентные в смысле классических правил преобразования структурных схем [31]) были бы эквивалентны в смысле асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) как по входу, так и по выходу (соответствующие определения будут приведены ниже).

3.5. Выводы

Резюмируя изложенное, можно заключить, что научную новизну третьего раздела диссертации составляют [37,38,39]:

1) формализация (посредством определений 3.5-3.6) классического определения орбитальной устойчивости применительно к ранее не формализованным понятиям аттрактора (определение 3.7), репеллера (определение 3.9) и полуустойчивого предельного цикла (определение 3.8), как в случае плоского, так и обобщённого предельного циклов;

2) введение в рассмотрение (ранее не описанных в литературе) обобщённых функций А.М.Ляпунова (определения 3.10, 3.11) для исследования орбитальной устойчивости особенностей автономных нелинейных систем;

3) распространение на базе введённых в п.2 определений основных теорем второго метода А.М.Ляпунова применительно к исследованию орбитальной устойчивости как плоских, так и обобщённых предельных циклов (теоремы 3.1-3.3);

4) метод построения указанных в п.З обобщённых функций А.М.Ляпунова, основанный на использовании в качестве этих функций математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии.

Практическая ценность полученных в данном разделе результатов состоит в том, что с их помощью можно исследовать автоколебания управляемых систем произвольной размерности.

Заключение

Подводя итоги, можно заключить, что научную новизну настоящей диссертации составляют ее следующие основные результаты.

1). В соответствии с проведенными в данной работе исследованиями классические правила преобразования структурных схем подлежат уточнению согласно таблице 1 приложения диссертации. В работе показано, что применение этих правил без учета эффектов, связанных с изменением порядка системы, может приводить к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) обеих систем как по входу, так и по выходу.

2). Введёны определения асимптотической устойчивости по входу и выходу.

3). Дана формализация элементарным преобразованиям Ф.Р.Гантмахера как структурным возмущениям, приводящим к изменению порядка системы.

4). Введено понятие обобщенного предельного цикла со смещенным и несмещенным центрами как замкнутой гиперповерхности являющейся инвариантным множеством системы.

5). Получены необходимые и достаточные условия существования обобщенных предельных циклов на языке математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А. Н. Крылова .

6). Предложен новый алгоритм решения задачи параметрического синтеза обобщенных предельных циклов, формирующих автоколебания управляемой системы.

7) Введены в рассмотрение (ранее не описанные в литературе) функции А.М.Ляпунова для исследования орбитальной устойчивости особенностей автономных нелинейных систем.

8) Предложен новый метод построения функций А.М.Ляпунова, основанный на использовании в качестве этих функций математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии.

Практическая ценность настоящей работы состоит в разработанных методах корректного проектирования управляемых систем, а также в возможности исследовать и проектировать автоколебательные системы произвольного порядка.

Завершая эту работу, приношу благодарность своему научному руководителю, профессору В.А. Подчукаеву, за постановку рассмотренных здесь задач и за обсуждение промежуточных и конечных результатов.

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А. О рождении предельных циклов из петли сепаратрисы и из сепаратрисы состояния равновесия типа седло-узел // Мат. сб. 1959. Т 48. Вып 3.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла // Мат. сб. 1956. Т 40. Вып 2.

4. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы//ДАН СССР. 1937. Том 14. № 5. С.247-250.

5. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. С.4.

6. Бендиксон И.О. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. Т.9.

7. Беляков Л.А. Об одном случае рождения периодического движения с двумя гомоклиническими кривыми // Мат. заметки. 1974. Т. 15. Вып.4.

8. Бруновски П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно действующих возмущений//Диф. уравнения. 1966. т.2. №6. С. 769-777.

9. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576с.

10. Варченко А.Н. Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла, зависящего от параметра, и предельные циклы // Функцион. анализ и его прил. 1984. Вып.2.

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

12. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

13. Гайдук А. Р. К исследованию устойчивости линейных систем //Автоматика и телемеханика. 1997. N 3. С. 153-160.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967. 473с.

16. Дюлак Г. О предельных циклах. М.: Наука, 1980.

17. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991. 448 с.

18. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. 743с.

19. Еругин Н.П. Приводимые системы. М.: Изд-во АН СССР, 1946. 94с.

20. Жуков В.П. Аналоги критериев Бендиксона и Дюлака для динамических систем произвольного порядка // Автоматика и телемеханика. 1999. № 10. С.46.

21. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. Ленинград, ЛГУ, 1957.

22. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа, 1973.

23. Комов Д.А. Стабилизация нелинейных управляемых систем в условиях декомпозиции на полностью управляемую и условно неуправляемую (полностью неуправляемую) подсистемы // Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов. Саратов:

24. Изд-во Сарат.гос.техн.ун-та, 1998. С.72-103.

25. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

26. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

27. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем // Изв. АН СССР. Сер. Физ. мат. -1931. -С 491-539.

28. Курцвейль Я. К аналитическому конструированию регуляторов//Автоматика и телемеханика. 1961. №6. С. 688695.

29. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892. 3 -е изд., М.: Гостехиздат,1950.

30. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.30. • Майер А.Г. Доказательство существования предельных циклов у уравнений Рэлея и Ван-дер-Поля //Ученые записки ГГУ. 1935. Вып. 2.

31. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчёта и справочный материал). М.: Машиностроение, 1982. 504 с.

32. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1996. 530 с.

33. Марсден Дж., Мак-Кракен Н. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

34. Минц P.M. Исследование некоторых основных типов сложных состояний равновесия // Матем. сб. 1964. Т. 63.

35. Надеждин П.В. О потере грубости при элементарных преобразованиях дифференциальных уравнений управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1973. N 1. С. 185-187.

36. Орлов Д.В., Павлов К.В., Подчукаев В.А. Необходимые и достаточные условия существования предельных циклов: общий случай (п>2)// Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб.-Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т. 2000. с. 106-226.

37. Павлов К.В. Исследование устойчивости систем методами дифференциальной геометрии// Тезисы докладов международной коференции "Нелинейные науки на рубеже тысячилетий".-Санкт-Петербург., 1999, с. 48.

38. Петров Ю.П. Устойчивость линейных систем при вариациях параметров // Автоматика и телемеханика. 1994. N 11. С. 186-189.

39. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969. 176 с.

40. Подчукаев В.А. Аналитическая теория автоматического управления. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1996. 200 с.

41. Подчукаев В. А. К проблеме грубости//Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов. Саратов: Изд-во Сарат.гос.техн.ун-та, 1998.

42. Подчукаев В.А. Производящий вектор и коэффициенты А.Н.Крылова в анализе и синтезе управлямых систем//Доклады Академии военных наук. Серия "Аналитическая механика. Аналитическая теория автоматического управления". 1999. № 1. С.71-83.

43. Понтрягин JI.C. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ. 1934. Т. 4. Вып. 8.

44. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

45. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и её применение. М.: Машиностроение, 1972. 552с.

46. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1946.

47. Шильников. Л.П. Некоторые случаи рождения периодических движений из особых траекторий // Мат. сб. 1963. Т. 61(104).

48. Шильников Л.П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных систем//ДАН СССР. 1969. Т. 189, № 1.

49. Шильников JI.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 160, № 3.

50. Andersen B.D.O., Luenberger D.G. Design of multivariable feedback systems. Proc. IEE, 1967, vol.144, №3, p.395-399.

51. Bendixon I. Sur les cjurbes definies par des ecuations differentielles // Acta Mfth. 1901. V.24, № 1.

52. Dulac H. Recherche des cycles limites // С. r. Acad. sci. 1937. V.204, № 23.

53. Kalman R.E. On the structural properties on linear, constant, multivariable systems. In: proc. 3rd IFAC Congress. London, 1966, p 6.A.1-6.A.9.

54. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems. IEEE trans, automatic control, 1967, vol AC-12, №3, p. 280-293.

55. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems. IEEE trans, automatic control, 1966, vol AC-11, №2, p. 190-197.

56. Podchukaev V.A., Orlov D.V. Application of the Vehicle of A.N.Krylov's Producing Vector and Factors in the Analysis of Non-Linear Systems// The Preprints of the 14th World Cogress of IFAC. China, 1999. Vol.F. P.385.