автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.07, диссертация на тему:Теория и методика расчетов оптических приборов с плоскостной симметрией

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

На правах рукописи

003054135

УДК 535.317.2 + «5.317.6 Смирнов Александр Павлович «^-У/

Теория и методика расчетов оптических приборов с плоскостной симметрией

Специальность: 05.11.07 - Оптические и оптико-электронные приборы и

комплексы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2007

003054135

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики на факультете Оптических Информационных Систем и Технологий (ФОИСТ) на кафедре Компьютеризации и Проектирования Оптических Приборов (КиПОП)

Научный консультант Доктор технических наук,

профессор С.М.Латьгев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук С.Н.Бездидько

доктор технических наук М.Н.Сокольский

доктор технических наук В.А.Зверев

Ведущая организация: Государственный Оптический Институт им. С.И.Вавилова (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится -¿'З " о 4 2007 г. в _часов

На заседании диссертационного совета Д.212.227.01. "Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы" Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, пер. Гривцова, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан "_ ¿>2_2007 г.

Ваши отзывы и замечания по автореферату (в двух экземплярах), заверенные печатью, просим направлять в адрес университета:

197101, г.Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, секретарю диссертационного совета. Г\

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В.М.Красавцев

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конструирование оптических систем предполагает наличие эффективной программы расчёта оптики. Если обратиться в Internet, то обнаружим, что с десяток компаний предлагают программное обеспечение для проектирования и анализа работы оптических систем. Наиболее популярна среди разработчиков программа ZEMAX компании Focus Software. Мировой лидер в области компьютерного проектирования Ассоциация Оптических Исследований (ORA) несколько десятилетий разрабатывает программу Code V. Это дорогостоящие изделия: в настоящее время цена ZEMAX - 4000, Code V - 12000 дол. Компания Lambda Research Corporation предлагает программу TracePro для расчёта лучей с учётом поглощения, отражения, рассеяния и дифракции при распространении через оптическую систему. Эта же компания приобрела у фирмы Sinclair Optics права на дальнейшее развитие старейшей программы OSLO и т.д. Среди отечественных программ наиболее востребованными являются OPAL, разработанная на кафедре ПИКО в ГУ ИТМО, и SARO (ГОИ им. С.И.Вавилова).

Теоретические основы программ в литературе освещены и базируются на приближённой теории аберраций и критериях оценки качества оптического изображения, развитые для осесимметричных систем. Основной функциональной операцией программ является расчёт хода лучей. Алгоритмическая структура программ недоступна для свободного ознакомления. По каким направлениям идёт совершенствование программ для автоматизированного конструирования оптики? Современный потенциал вычислительной техники позволяет за счёт возросшей оперативной памяти и быстродействия расширять возможности при анализе оптических систем, а принципы объектного программирования позволяют создавать удобный интерфейс пользователя. По этой составляющей идёт модернизация всех программ расчёта оптики, теоретические же основы остаются прежними. На данный момент не существовало теории оптических систем с плоскост

симметрией, и тем более без оси симметрии, без ограничений на величину децентрировки. Поэтому построение теории и методики расчёта оптических приборов с плоскостной симметрией, несомненно, актуально, поскольку расширяет возможности конструирования и оптимизации оптических систем, а также подготавливает теоретическую базу для качественного улучшения структуры программ расчёта оптики.

Цели и задачи работы. Целью являлось разработать теории оптических систем с плоскостной симметрией: параксиальную, аберрационную, теорию построения изображения, которые позволили бы адекватно описать преобразование нормальной системы лучей с помощью оптических поверхностей второго порядка, ось симметрии которых занимает в меридиональной плоскости произвольное пространственное положение относительно преобразуемого ими пучка лучей.

Другой целью являлась разработка методики расчёта оптики, не требующей операции доводки системы с помощью расчёта хода лучей, поскольку глобальная стационарная область достигается на стадии оптимизации при использовании точных целевых функций.

Достижение поставленных целей сопровождалось решением следующих задач:

1. Получение точных выражений угловых эйконалов для оптических поверхностей типа коникоида, имеющих произвольное пространственное положение во внешней системе координат.

2. Разработка теории абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией.

3. Построение удобной модели для исследования произвольной оптической системы, позволяющей проверять аналитические выводы.

4. Исследование разработанных теорий при аберрационном анализе оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией.

5. Вывод соотношений параксиальной оптики в случае наклонной или параллельно смещённой оптической оси.

6. Апробация предлагаемой методики расчёта оптики на конкретном примере.

Научная новизна. Научная новизна выполненных исследований заключается в том, что в них впервые

1. Получены точные выражения для угловых эйконалов коникоида.

2. Разработана теория абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией.

3. Получены аналитические выражения для вычисления астигматических характеристик наклонных пучков более точные, чем инварианты Гульстрандта-Юнга, а также выражения, пригодные для анализа астигматизма косых лучей.

4. Получены соотношения параксиальной оптики наклонных лучей.

5. Разработана методика аналитического описания множества полусимметричных изображений точечного предмета.

Достоверность и обоснованность теоретических результатов подтверждается исследованиями на протестированной модели оптической системы и прямым расчётом апробированной оптической системы (склеенного объектива), взятой из каталога и значительно улучшенной по её аберрационным характеристикам с сохранением эксплуатационных требований, а также актом использования научных результатов работы в космическом проекте "ОЗИРИС".

Практическая значимость. Методика расчёта оптики, основанная на точном выражении углового эйконала, позволяет использовать в качестве корригируемых функций выражения, точно описывающие аберрационные характеристики изображения и не требующие дополнительного этапа улучшения системы путём расчёта хода лучей. Задача оптимизации оптической системы становится полностью автоматизированной. Таким образом, предлагаемая методика позволит сократить время поиска

оптимального решения при конструировании оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией, а также повысить характеристики рассчитываемых систем. Научные положения, выносимые на защиту:

1) Выведенное точное аналитическое выражение функции углового эйконала коникоида в произвольном пространственном положении в зависимости от лучевых компонент в пространствах предмета и изображения.

2) Выведенные выражения для фокальных и главных поверхностей в тангенциальном и сагиттальном приближениях, позволяющие расширить возможности и точность исследования параксиальных свойств оптических поверхностей и систем.

3) Разработанная теория дробно-линейных преобразований (коллинеации) для систем с плоскостной симметрией.

4) Развитая методика реализации абсолютной оптической системы в параксиальном приближении наклонных лучей.

5) Развитый аналитический метод расчёта и оптимизации оптических систем, осесимметричных систем и с плоскостной симметрией, подкреплённый расчётами и оптимизацией склеенного объектива.

Апробация работы: Основные результаты докладывались на Международном оптическом конгрессе "Оптика-ХХ1 век", Санкт-Петербург 16-20 октября, 2006 г., опубликованы в девяти научных работах.

Объём и структура диссертации. Объём диссертации 243 страницы, диссертация состоит из семи глав, введения, заключения и 8 приложений.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении уточняются типы исследуемой в диссертации плоскостной симметрии: 1) плоскостная симметрия (ПС) относительно главного луча наклонного пучка в осесимметричной системе (ОС), 2) ПС с наклонными или децентрированными поверхностями в системе с осевой симметрией, 3) брахитные системы, 4) обобщение брахитных ОС, в которых ПС

обеспечивается произвольным смещением оптической поверхности в меридиональной плоскости или наклоном относительно оси, перпендикулярной к плоскости симметрии.

Одной из трудностей при исследовании ОС с ПС является отсутствие параксиальной теории, а, следовательно, и понятия зрачков таких систем, другая трудность связана с отсутствием аналитических соотношений для построения целевой (корригируемой) функции (отклика системы) на окончательном этапе оптимизации ОС. Поскольку основным инструментом достижения поставленных целей является теория эйконала, то кратко рассмотрены выводы эйконалов из уравнения Гамильтона и обсуждены условия их применения, а также система уравнений относительно лучевых компонент на основе эйконалов Брунса.

Некоторым объяснением того факта, что теория углового эйконала не была востребована в полной мере при разработке аберрационной теории изображения и методиках расчёта оптики, является устоявшееся мнение, сформулированное Слюсаревым Г.Г. В его монографии "Геометрическая Оптика"( в последних абзацах главы 3), он указывает на невозможность аналитического выражения углового эйконала в общем случае, а самое главное, на "бесперспективность" такого выражения для проведения аберрационного расчёта.

Глава 1 является обзорной. Согласно литературным источникам все работы, затрагивающие наличие ПС в ОС, ограничиваются использованием теории аберраций Зейделя и разложением углового эйконала до невысоких степеней, что автоматически накладывает ограничения на величину децентрировки. Это направление достаточно долго и тщательно разрабатывалось в течении почти 100 летнего периода, начиная с работ Конради. Аналитический обзор и исследование приближённых методов анализа ОС, имеющих небольшую децентрировку выполнен Губелем H.H. В этой связи в главе 1 обсуждены идеи методов анализа аберраций децентрировки Конради, Слюсарева, Марешаля, Киути, Кокса и самого Губеля. Из всех этих методик лишь

методика Кокса обращалась к идее эйконала, к его разложению до пятого порядка. Аналитическое выражение разложения отсутствовало, а коэффициенты определялись численно, что вызывало обоснованную критику Губеля. В этом же направлении была выполнена и первая по данной тематике работа автора [1], в которой дан вывод разложения углового эйконала Г по параметрам децентрировки бх, 8у, осевого смещения Ьг и углов наклона а, @ оптической поверхности типа коникоида. Оно имеет вид

Т(р0,д0,рид1) = 31^(Я)Ат

М4<

Ар2 \+]¥{дх,8у,а,р)

Ат Ат

Здесь (Ро>Яо'то) и лучевые компоненты падающего и

преломлённого луча, Я- вершинный радиус кривизны и А - параметр деформации коникоида, 2о> 21 - аппликаты плоскостей в пространствах предмета и изображения, для которых определён угловой эйконал. Функцию IV можно рассматривать как волновую аберрацию децентрировки. Поскольку угловой эйконал системы оптических поверхностей равен сумме угловых эйконалов её составляющих, то лучевая аберрация согласно известному свойству углового эйконала разъюстировки выразится как

дРн У }

где N — номер последней поверхности оптической системы.

Как видим, наличие явного выражения углового эйконала позволяет аналитически исследовать аберрации и по ним вести оптимизацию ОС. Для вычисления передаточных коэффициентов частичных аберраций разъюстировки требуется определить следующие соотношения

л э(Ах) 5(Ау) а2^ . .

В общем случае, когда поверхность не последняя, к * N, то угловой эйконал последней поверхности явно не зависит от разъюстировок предыдущих поверхностей. Чтобы выявить эту зависимость воспользуемся известными соотношениями для согласованных угловых эйконалов, связывающими промежуточные лучевые компоненты между поверхностями дТк _ 8Тк+1 8Тк = дТм _

дрк 8рк ' дцк ддк

ч 3(Тк+ТкЛ Э(Тк+Тк+.) л (4>

Ф * (/>*-,, <7*-., А, > Рш. Чм) = * + * = О

дрк ддк

Тогда передаточные коэффициенты разъюстировок к-той поверхности запишутся в виде

Дг д2}У» ^ д1¥" ^У' дР" дЧУ" д ]¥" 8<!»

дрыдт ФЛ-ФЛ._, дг дрыг дг 5рл,Эдл,_, дт др„дд„ дт

дФ ' дг

дФ )"' | д21У„ ( дФ ] ' , ( Г | ( Зф

Ф*Фаы1Ф*-\) дры удр„) дрКддыл ) др„дд„{дд

1н ,

(5)

— имеет симметричный вид с взаимной заменой р и а. дт

В частности, располагая выражениями (5) можно провести компенсацию остаточных аберраций Зейделя. Так далее в главе на примере звёздного интерферометра [3] получена система уравнений относительно параметров подвижек поверхностей главного и вторичного зеркал, удовлетворяющих условии минимизации остаточных аберраций.

Этот результат можно рассматривать как развитие идеи Кокса использования разложения углового эйконала и иллюстрацию полезного использования явного вида углового эйконала. Задача в такой постановке, т.е. с использованием разложения, не имела продолжения, поскольку в дальнейшем предполагалось найти точное выражение углового эйконала.

Плоскостная симметрия используется при описании астигматизма ОС с помощью инвариантов Гульстрандта-Юнга. Русинов М.М. в монографии "Техническая оптика" использует их для построения теории солинейного сродства, а точнее, варианта параксиальной оптики с наклонной оптической осью. При этом сама модель солинейного сродства, т.е. абсолютная оптическая система, описываемая дробно-линейными преобразованиями, в этом построении отсутствует. Такой подход внутренне противоречив. Основное противоречие как раз связано с наличием двух фокусов: меридионального и сагиттального, тогда как параксиальная система как приближение теории солинейного сродства, или абсолютной оптической системы, должна иметь один фокус. В диссертации показано, что меридиональный фокус должен рассматриваться лишь как инструмент анализа астигматизма, он не даёт правильного положения точки полурезкого изображения.

В конце главы рассмотрена теория волновых аберраций ОС с ПС американского исследователя Сесяна. В своей постановке она сформулирована с общих позиций, но её решение с помощью аберраций третьего порядка Зейделя и инвариантов Гульстрандта-Юнга ограничено малыми значениями децентрировок.

Выводы из главы 1.

1) Все рассмотренные теории, учитывающие плоскостную симметрию оптических систем, направлены на расчёт аберраций децентрировки осесимметричных систем. Теория солинейного сродства Русинова создана на основе интуитивных аналогий с осесимметричным случаем и требует доработки.

2) Базой всех рассмотренных теорий является разложение эйконалов, что ограничивает точность результатов, полученных с их помощью.

3) Очевидна насущная необходимость в получении точного аналитического выражения эйконалов оптических поверхностей наиболее общего вида и положения, а также в разработке теории солинейного сродства для систем с плоскостной симметрией.

Р(х,у,г) = х2 + у2 +

1 + +у2У

(6)

Глава 2 посвящена выводу точных выражений для угловых эйконалов оптической поверхности второго порядка (коникоида, т.е. поверхности, полученной вращением коники относительно одной из осей симметрии). Поверхность коникоида может быть обобщена на асферическую поверхность с помощью представления конической постоянной в виде разложения к-, по радиальной координате поверхности в локальной системе координат с вершиной в полюсе (Л- вершинный радиус кривизны) и осью аппликат, совпадающей с осью симметрии поверхности:

N

I

1-0

Первоначально эйконалы были введены Брунсом на основе характеристических функций в уравнении Гамильтона, т.е. имели геометрическую природу. В волновой оптике эйконал вводят как обобщение решения волнового уравнения в части его фазового множителя, а именно:

представляют решение следующим образом: у/(?,0 = а(?)ехр^— [£(?)-где

к - волновое число, п - показатель преломления, с - скорость света. Подстановка представленного в таком виде волнового поля в качестве пробного решения в волновое уравнение приводит к двум дифференциальным уравнениям, одно из которых имеет вид: к2 ( \

&а-а—\£гас1гЕ-п2)=0 и далее к дифференциальному уравнению эйконала с

как скалярной функции пространства: \§гас!(Е)\ = п при условии, малости длины волны (к оо). Однако область использования эйконала может быть, очевидно, расширена. Как следует из приведенного дифференциального уравнения уравнение эйконала справедливо, если выполняется уравнение Пуассона относительно амплитудной функции волны Да = 0.

Угловой эйконал представляет собой приращение эйконала для точек на преломлённом и падающем лучах, являющихся основаниями

перпендикуляров из начал координат произвольных взаимно коллинеарных систем в пространствах предмета и изображения: Т=п[АВ]+п'[ВС] (рис.1).

Рис.1. К определению общей формулы углового эйконала. (Хо, Уо, 2с), (Х1, У1, 21), (Хг, Уг, Ъ) - взаимно коллинеарные координатные системы, связанные соответственно с поверхностью, пространствами предмета и изображения, АР, ВР' - лучевые вектора падающего и преломлённого лучей. После преобразований получим:

Т = -(хДр + у&д + гАт) - х,р - уд - г,т + х2р' + у2д' + 12т' = П - (О,, Р)+(02, Р') (7) Выражение П составляет ядро эйконала, общее для всех эйконалов поверхности. Основное преобразование эйконала осуществляется относительно его ядра и представляет собой исключение пространственных переменных (х, у, г), координат точки поверхности. В качестве независимых переменных углового эйконала выступают поперечные компоненты лучевых векторов (р,д,р',д').

1° тл у Ь 'к х>/\ 1 п2 х3»

\е ^ р2=(р2-<'2-т2)

уУа 0=(р0-ч0.™0)

°2 *2 °3

1

Рис.2. К построению углового эйконала двух поверхностей. Угловой эйконал системы поверхностей строится по подобию углового эйконала двух поверхностей. Одну из поверхностей выбираем основной,

например, первую и полагаем, что координатная система второй оптической поверхности (КСОП2) параллельно смещена вдоль оси аппликат на величину Ь относительно КСОП] (рис.2).

КСОП выбирается таким образом, чтобы формула поверхности имела наиболее простой вид, начало координат помещается либо в вершину, либо центр кривизны. В результате подвижек и наклонов поверхности, вызванных конструктивными соображениями или погрешностями положения, поверхность занимает относительно КСОП произвольное положение. Значение углового эйконала двух поверхностей есть функция поперечных угловых компонент в пространствах 0 и 3, предмета и изображения соответственно и представляет собой оптический путь [АО], расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из начал координат о0 и о3. Оно выражается как сумма составляющих его оптических путей. Т = [АВ] + (Р,, Е)+ [СЮ] = О, +а2 - (о'1' ,/>„)+ (о<2) ,Р2)+ (ь, Р,) (8)

Здесь верхний индекс указывает на номер КСОП. В окончательном выражении ядра не имеют верхнего индекса, так как после исключения пространственных координат ядро инвариантно относительно параллельного сдвига КСОП. В окончательном выражении эйконала пространство предмета, скалярное произведение (о0,Р0), представлено в КСОПь а пространство изображения, (о3,Р2) - в КСОПг. Кроме того, появился дополнительный член (X, Р1), отображающий промежуточное пространство.

Заметим, что выбор начал координат промежуточных пространств не отражается на окончательном выражении углового эйконала.

Исключение пространственных координат из выражения эйконала происходит на основе формулы поверхности и закона преломления, которые имеют вид системы из одного нелинейного и двух линейных уравнений:

Р{х,у,г) = х2 +(у- с-г-5)2 + (1 + А:) • (>-• 5 + г-с): -2Я(у ■ 5 + г • с) = 0,

NxL = nsmi = n'smi' = NxL' => ЛГх(1-£') = 0 => \ х г^ (9)

[№хАт- Ы2&р = О к>

Здесь с=со,^(е), Для осесимметричного коникоида достаточно

рассмотреть наклон в одной из меридиональных плоскостей. Пусть это будет плоскость Обозначим угол наклона в этой плоскости е. (Ал-.Л^ЛУ -

вектор нормали в точке преломления, Ь, V- лучевые векторы, п, п' -показатели преломления соответственно до и после поверхности, 1,«" - углы падения и преломления.

Для своего решения система (9) требует чрезвычайно громоздких многоступенчатых преобразований и они не были выполнены раньше, по-видимому, вследствие их "бесперспективности". Для наклонного коникоида с конической постоянной к * -1 полученное решение имеет вид

(10)

Я 1 + к

sign(An)y¡(l + к)Ар2 + (1 + £с2)Лд2 + (1 + к2)Дт2 - -

- + сАт)

+ 2'т' - 2т

В частном случае выражение для осесимметричного коникоида при е = 0:

Т0(р,д,р',д') = [ягл(Дл)7(1 + £)(Д/?2+Д<72) + Дт2 - Дт]+ ?т' - 1т (10а)

1 + к

Здесь 2 к 2' аппликаты начал систем координат в плоскостях предмета и изображения, т = ^п2-рг -д2, т' = ^п'2 -р'2 -д'2.

Выражение углового эйконала наклонного параболоида:

Цр,д,р',д')= Я х 2(5Дд + сАт)

' 2 | [с(\ + ¡(\ -Зсг)Ат\±д&т + С5(с&дг + .гАст3)"| ^^

яАд + сАт

Выражения эйконалов при децентрировке на величину Ъ связаны аддитивной добавкой:

ТДЩ{р,д,р',д') = ТГ1(р,ч,р\ч,)-кАЧ (12)

Для плоской поверхности, как телескопической системы, угловой эйконал не определён. Плоская поверхность, ориентированная в пространстве нормалью

N, описывается угловой характеристикой Е(х,у,р,д) = п\АВ\ + п'\ВЛ'\, где А -точка в пространстве предмета, В — точка встречи луча с поверхностью, находится из уравнения В = А + Р\А^ = А - ' ' р, где Р(р,ц,т) — лучевой

вектор падающего луча, а точка изображения в плоскости имеет

координаты

/Г =

(АМ)

, , , г-г+ /и

^ (М,Р)\Ч) \Я + М'Ь) т + ^-с

(13)

ц = -пг +{Р,Щ - (Л Щ

Выводы из главы 2.

1. Точные формулы углового эйконала коникоида имеют два вида: для параболоида и для остальных типов коникоидов.

2. Децентрировка поверхности описывается смещением начала координат в пространствах предмета и изображения и не отражается на "ядре" формулы, зависящем от углов наклона и не зависящем от параллельного смещения поверхности.

3. Формула углового эйконала для асферической поверхности может быть построена с помощью введённой в данной главе асферики третьего рода, согласно которой коническая постоянная есть функция полярного радиуса.

Глава 3 посвящена исследованию параксиальных свойств наклонных лучей с использованием точного выражения углового эйконала.

1) Получены обобщённые выражения, аналогичные соотношениям Аббе, для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении, справедливые для коникоида.

2) Дан вывод выражений для вычисления кривизны фокальных поверхностей в меридиональном сечении. Проведены расчёты положений меридиональных и сагиттальных фокусов, а также главных точек оптической поверхности при наклонном падении лучей на множествах

апертурных и полевых лучей. Построены графики фокальных и главных поверхностей в зависимости от угла наклона главного или апертурного луча пучка.

3) Исследована аберрация астигматизма в функции апертурного или полевого угла, зависимость среднего астигматизма от конической постоянной. Получены выражения для вычисления астигматической разности коникоида и наклона фокальных плоскостей, плоскости изображения в зависимости от угловой координаты луча. Рассмотрен пример оптимизации по критерию минимума астигматической разности аберраций линзы иммерсионного объектива Амичи. Получены и обсуждены выражения для суммарных аберраций: дисторсии, комы, сферической аберрации.

4) Получены выражения и проведены расчёты астигматической разности для косых лучей.

Для исследования астигматических свойств наклонного узкого пучка лучей, заданного лучевыми компонентами: {(£,77,£)}еО(о,?,т), лежащего в бесконечно малой окрестности главного луча, который наклонно падает и преломляется на оптической поверхности в меридиональной плоскости (лучевые компоненты преломлённого пучка соответственно находятся в бесконечно малой окрестности преломлённого главного луча: угловая характеристика сферической поверхности отнесена к координатным системам в пространствах предмета и изображения с началами в точках Л(0,0,б) и А '(0,0,б'). Воспользуемся известным свойством углового эйконала:

дТ дТ дТ дТ ..

84 дц дц'

Представим в (14) угловой эйконал линейными членами ряда Тейлора в точке (0,я,0^') меридиональной плоскости (р-р'-0) и перепишем их в виде системы уравнений, в которых нижние индексы указывают на номер аргумента и порядок дифференцирования:

(Т '2000 Т мюо Т мою т 1 1001 ^

т 'моо Т 10200 Т л 0110 Т 0101 п-ч

Т мою Т ^ 0110 Т 10020 Т '0011

^1001 Т 0101 Т ООН Т 0002 У

х т]Ш

У ~~ Тохоо х ТлА

У 'ООО! У

В точке (0^,0^') меридиональной плоскости первые горизонтальные производные и часть смешанных вторых производных, содержащих дифференцирование по р и р', равны нулю: Тюоо=Т(Ю10=Тцоо=Т1оо1=То11о=Т(Ю11=<д, В этом случае система из четырёх уравнений (15) распадается на две независимых подсистемы по два уравнения относительно вертикальных и горизонтальных компонент. Их решения относительно угловых компонент в пространстве предмета (£, г)) запишутся в виде

у'-т«,

Н.

Тат-(У ~ Тлт)~ Т°шТТ Г°"" («/ - ч).

(16)

Из (16) следует: для того чтобы в первом приближении (х \ у') были координатами стигматического (резкого) изображения, они не должны зависеть от угловых компонент, поэтому необходимым условием построения параксиальной оптики на основе коникоида будет удовлетворение системе уравнений

\т т _г2 =о

I 0200 0002 0101 "

(17)

Первое уравнение (17) описывает преобразования в сагиттальной плоскости, второе - в меридиональной плоскости. Аппликата переднего фокуса Гг = 5

отвечает условиям

для сагиттальной плоскости и,

соответственно, условиям Г^,,,, = О, ТШ2 ->» - для меридиональной плоскости. Получаем выражения для передних меридиональных и сагиттальных фокусов (18) и задних фокусов (19), полагая F'z = я' и учитывая, что ТВо2о=0, Тт2 = 0.

г

1 + к

у-п

р + + Ад)

т у

\ + к | у-п

7

sign(Ari)m'

(т' + кт)

ц + ^г-^-г + к{т,г -д'Ад) т у

К

1 + к

1 +

^/^(Ап)

(т + кт')

(19)

<т = д ■ Ат - (1 + к)т ■ Ад, а' = -д'■ Ат + (1 + к)т' • Дд, Здесь введены обозначения: у = ^(1 + к)/щг +дт1,

ц = дд' + тт'.

В случае, когда оптически сопрягаются точки предмета и изображения, находящиеся на конечном расстоянии, условия (17) запишется в виде аналогов соотношения Аббе для наклонных пучков, в меридиональной плоскости:

(1 + к)у-пп' и сагиттальной плоскости: г2

¡1 + ктт'

'Ы

(20)

(21)

Полученные соотношения более точные, чем инварианты Гульстрандта-Юнга, так как они получены с использованием вторых производных точного выражения углового эйконала. На рис. 3 приведены графики меридиональных сечений тангенциальных и сагиттальных поверхностей изображения, полученные по формулам (20) и (21) и с помощью инвариантов Гульстрандта-Юнга.

С помощью полученных соотношений уточняется положение меридиональных и сагиттальных фокусов. Как следует из графиков (рис.3) и последующего анализа различие в величинах астигматической разности и разности кривизны при этом оказывается незначительным при малом апертурном угле. Оно возрастает с увеличением апертурного угла.

Рис.3. Графики сечений меридиональной (ит, Эт) и сагиттальной ((Л^) полей изображения осевой точки (Б—Зг), сферой с радиусом г, ограниченной диафрагмой на сфере (0=0,4г) и разделяющей воздух и среду с показателем преломления 1,5 в зависимости от апертурного угла. Графики ит, 1Л - рассчитаны с помощью инвариантов Гульстрандта-Юнга , а графики Бт, Бз - рассчитаны с помощью соотношений (20) и (21).

Параксиальные характеристики оптической системы с наклонными лучами для меридиональной и сагиттальной плоскости строим по аналогии с осесимметричным случаем. Помещаем аппликаты начал пространств предмета и изображения в точки фокусов:

и' , „ ' т'

—з Л, — 2 Т()О20> — $ — ,2 ^0002

п

п'2 (22)

г, =з-Рв = тТат, = - рп =-т'Тшг.

Преобразования координат поперечных координат запишутся в виде

дробно линейных преобразований

-.<_/» _ _ /ч '(У~ 7*0010 ) , т * — 7 У ~ у т^ооо1>

«»г <аа> 1 (23)

где /, = -sign(^n) —, /„ = -sign(^n) -— Г - Щ- + ц + кттп' .

у (1 + к)пту\у )

Величиныесть проекции фокусных отрезков на ось аппликат.

Кривизна кардинальных поверхностей наиболее просто может быть исследована в случае, когда плоскость падения совпадает с одной из меридиональных плоскостей оптической поверхности. Ограничимся этим случаем. В случае осесимметричного расположения оптической поверхности главные и фокальные поверхности имеют осевую симметрию. Осевая симметрия сохраняется для апертурных лучей при осевом положении точки

предмета. Тогда исследование кривизны поверхностей сводится к исследованию кривизны кривых меридионального сечения, так как нормали к поверхности лежат в меридиональной плоскости. Кривизна кривой S'(У'), 5'-аппликата, а У- ордината кривой сечения, определяется известным

соотношением:К -

1 +

-. Используя связь У' = -Тт1, производные

дУ

дУ

д2Т №

д2Т 1%'2

(24)

кривых запишем в виде

дг8' = д28'(д2тХ2 дТ' ' дГ2 дя\

з' = гт,р„гя,р;,ня,н,1н'т,н,1.

Для примера на рис.4 представлены графики кривизны апертурных главных и фокальных поверхностей в пространстве изображения для сферической поверхности, разделяющей среды с показателями преломления 1 и 1,5, в предположении, что сама поверхность имеет кривизну в одну единицу.

5 10 -10 -5 0 5 1с

Рис.4. Графики зависимости кривизны задних главных поверхностей от апертурного угла, меридиональной (а) и сагиттальной (б), а также задних фокальных поверхностей, меридиональной (в) и сагиттальной (г).

Астигматизм. В литературе астигматизм определяется для полевых лучей как полуразность кривизны, тангенциальной и сагиттальной, фокальных поверхностей вблизи оптической оси. Обобщим это определение и на апертурные лучи и введём усреднение по текущей разности кривизны:

АвЛ(Кт-К,) = 2п'С

(25)

Здесь черта обозначает среднее значение, С — коэффициент астигматизма.

Аб

АБ

\ А \ = 0 / /

к--С 4234- У

-2 -0.423 0 1 2 -10 -5 0 5 10 3) 6) В)

Рис.5. Апертурный астигматизм (к = юолш, Л' = °о,« = 1, = 1,5) сферической поверхности (а) и коникоида (к=-0,423) (в) и зависимость среднего апертурного астигматизма от конической постоянной (б).

На рис.5а представлены расчёты апертурного астигматизма по фокальным кривым (рис.4), получена величина среднего астигматизма, Аб=-0,012. Варьируя постоянной коникоида (рис.4б), находим положение, когда средний астигматизм равен нулю. Соответствующая кривая астигматизма в зависимости от апертурного угла приведена на графике (рис.4в). Астигматическая разность Зейделя, как аберрация третьего порядка определяется на заданной высоте от оптической оси в пространстве изображения. В общем случае эти точки на фокальных поверхностях построены лучами, имеющими разные полевые углы. В данном же случае целесообразно рассматривать уровни фокальных поверхностей по одному значению полевого (или апертурного) угла. Используя соотношения (20) и (21), мы определяем величины меридиональных и сагиттальных задних отрезков и как их разность, проекцию на ось ОЪ астигматической разности по главному лучу. Несмотря на указанное различие обе характеристики, астигматическая разность Зейделя и проекция наклонной астигматической разности для полевых углов, очевидно, эквивалентны как критерии оптимизации.

Для произвольной плоскости предмета и системы, заданной множеством угловых компонент, астигматическую разность как функцию параметров системы запишем в виде

р + ктт + -

I У

К.-* О + к)1 (.пп1)1 (¥■„-*)

Функция (26) определена на множестве гиперплоскости пространства угловых компонент {д,д',т,т'}, определяемом структурой оптической системы.

Наклон изображения. С помощью аналогов соотношения Аббе (21) получим аналитические выражения для вычисления заднего отрезка, меридионального и сагиттального, ли определим наклон изображения как тангенс угла наклона к плоскости ОХУ касательных к соответствующим фокальным кривых

а?' (егт

8у' 8д'ду' дд'удд'

"0002 дЧ

(27)

♦ +»

з. мм "'с Ь

Рис.6. Положение точек меридионального и сагиттального изображения, построенного наклонными лучами от точечного предмета, расположенного под углом 5° к оптической оси (а). Зависимость тангенса угла наклона меридионального и сагиттального изображения этой же точки от угла наклона луча к оптической оси (б). Поверхность - сфера, Я=100мм, передний отрезок Э—ЗООмм.

На рис.6 приведены графики положения апертурных меридиональной и сагиттальной поверхностей изображения и наклон изображения, рассчитанный по (27).

Методика исследования астигматизма наклонных лучей, применённая выше для меридиональных пучков, может быть использована и для косых лучей. Для косых пучков, то есть пучков, главный луч которых по

отношению к оси поверхности является скрещивающимся, система (15) не разбивается на две подсистемы. Для того чтобы удовлетворить требованию стигматичности пучков, необходимо потребовать независимости свободного столбца системы (15) от вектора-столбца угловых компонент. Это условие удовлетворяется, если определитель системы равен нулю. Если полагать, что передний отрезок задан, то в результате определитель системы, приравненный нулю, даёт уравнение относительно заднего отрезка.

Используя известные свойства определителя, нижний левый 2x2-квадрат коэффициентов обнуляем. В результате получаем в неявном виде квадратное уравнение, содержащее искомое неизвестное - задний отрезок, от которого зависят производные Тт2о(з ')> Тооог^') и То0ц(б').

Два решения (29) на множестве пар угловых компонент, на гиперплоскости системы, образуют две фокальные поверхности: (меридиональную) в вертикальном и (сагиттальную) в горизонтальном приближении угловых компонент. Весь же косой пучок фокусируется на отрезке менаду этими поверхностями. Длина каждого отрезка равна астигматической разности данного косого бесконечно узкого пучка.

В качестве примера рассмотрены каустики, образованные широким наклонным пучком, преломляющемся на сфере с радиусом 11=1, полевой угол ф= 5°, входной зрачок находится в плоскости, касающейся вершины сферы,

Плоскость предмета помещается в апланатическую точку сферы: " Я =

п' 3

Пучок разбивается на 5 полых конусов, опирающихся на эквидистантные

т

т

Преобразуем (28) к явному виду

(сг2 - р7 )5'2 + \2.р ■ ап - а(ап + а22 )>' + (а„а22 - а,2,) = О

(29)

концентрические окружности на входном зрачке. Фокальные поверхности, развёрнутые по этим окружностям (верхняя часть) и соответствующая астигматическая разность (нижняя часть) представлены на графиках рис.7.

Рис.7. Значения аппликат точек двух фокальных поверхностей для лучей широкого пучка, образующих 5 концентрических окружностей на передней главной плоскости (вверху). Соответствующая астигматическая разность (внизу). Гауссова плоскость изображения - 2,5 г.

Численно астигматическая разность рассчитывалась для каждого косого луча, проходящего через пять концентрических окружностей на входной поверхности и расположенных равномерно по этим окружностям: на первой окружности - 6 лучей, второй — 12, третьей - 18, четвёртой - 25 и пятой - 31 луч. На рис.3.15 эти окружности выделены вертикальными полосами. Радиусы окружностей составляли от 0,1 г до 0,5г, где г - радиус поверхности.

По оси абсцисс отложены обороты. Меридиональная плоскость находится на расстояниях 'Л (ж/2) и У* (3 тг/2) от границ полных оборотов лучей по окружностям. На первой окружности меридиональная плоскость не попала в число 6 лучей, а на последующих минимумы соответствуют положению лучей на меридиональной плоскости, первый из наиболее глубоких минимумов соответствует ближнему к внеосевой точке предмета лучу, в последний минимум в полосе- дальнему меридиональному лучу. Из графиков видно, каких значительных величин достигает астигматическая разность для косых лучей.

Выводы из главы 3.

1. Полученные экстремальные соотношения для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении для коникоида являются удобным инструментом анализа аберраций астигматизма, кривизны поля изображения, наклона изображения для любых типов лучей, наклонных и косых.

2. Точное выражение углового эйконала позволило расширить возможности анализа астигматических поверхностей. Если в рамках теории Зейделя они описываются одним параметром, кривизной на оптической оси, то с помощью эйконала они имеют полное аналитическое описание.

3. Впервые появилась возможность исследовать наклон астигматических поверхностей и их свойства для косых лучей. Получены формулы точных интегральных аберраций.

4. Так как в основе анализа лежит угловой эйконал, то развитая в этой главе теория астигматизма одной поверхности автоматически обобщается на любую оптическую систему, для которой известен её угловой эйконал.

В главе 4 построена теория системы с плоскостной симметрией на основе дробно-линейных преобразований, являющейся моделью абсолютной оптической системы. Основное внимание уделено нормальной конфигурации системы, в которой главные плоскости и плоскости предмета и изображения перпендикулярны оси аппликат коллинеарной системы.

Согласно проективному, или дробно-линейному, преобразованию каждая из координат изображения (хьу^) есть дробно-линейная взаимно однозначная функция координат предметной точки (х0,уо,го) (30).

Приравнивая нулю те или иные коэффициенты преобразований, можно получить требуемую систему. Модель абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией имеет в общем случае 9 степеней свободы

. Уо+Уо+с2гР+^2 Г

г1= 3 ^ 3 0 3-' р = аохо+ьоУо+со^+<1о-

(а0 = а2 = а3 = ¿>, = с, = = 0 ). Требование изоморфизма увеличений отнимает одну (а, +Ь]), переход к нормальной конфигурации - две степени (Ь0=Ьг-0), переход к осесимметричному случаю (с2 =с12 =0) - ещё две. Телескопическая анаморфотная конфигурация имеет 7 (Ьа = с0 = 0), а изоморфная - 6 степеней свободы.

II "0 ж 1 оД /Г» ,"1 \0 V 1 \ ' с0

У -'1 1 N. г Хо

Ао на •А, н'

р0 'о , '1 ^

Рис.8. Положение фокальных, главных плоскостей и кардинальных точек в абсолютной оптической системе с плоскостной симметрией. На верхнем рисунке пространства предмета и изображения вложены друг в друга, на нижнем они отнесены к началам в точках фокусов. л0,л, - главные, - узловые точки.

На рис. 8 изображена нормальная конфигурация абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией. Фокуса находятся на пересечении в общем случае наклонных оптических осей с осью аппликат в точках

—, углы наклона оптических осей: 'г(у0) = —, с0 с0 я,

) = —■ Проекции фокусных отрезков на ось аппликат: с3с!0 -с0с13

/„=—, /, = —Преобразования координат в косоугольных координатах, связанных соотношениями:

с0 с0 а, с0с/,-с3£/0

имеют вид = —, внешне не

отличающийся от осесимметричного случая. Плоскостная симметрия отражена коэффициентами сг и ¿г. Углы наклона оптической оси в пространствах предмета и изображения соответственно выразятся формулами

а, с3</0-с0</3

Выводы из главы 4:

1) В рамках абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией можно проводить исследование линейной дисторсии из-за наклона элементов системы (в реферате не отражено).

2) При выборе двух косоугольных систем координат в пространствах предмета и изображения с началами на фокальных плоскостях и продольными осями, направленными по наклонным оптическим осям, преобразования осуществляются по формулам, внешне похожими на формулы для осесимметричной системы, если вместо косых фокальных расстояний использовать их косые проекции на ось аппликат.

3) Система, изначально изоморфная по линейному увеличению, проявляет анаморфизм углового увеличения, возрастающий по мере роста разности модулей углов наклона оптической оси, в пространствах предмета и изображения (в реферате не отражено).

В главе 5 на основе сопоставления свойств коллинеации с плоскостной симметрией и характеристик реальных оптических поверхностей, описываемых точным выражением углового эйконала, исследованы

принципы реализации параксиальных оптических систем, являющихся приближением абсолютной оптической системы.

Угловую характеристику как функцию четырех угловых компонент оптического луча представим разложением в ряд Тейлора до второго порядка в окрестности угловых компонент главного луча, принимаемого за оптическую ось, в меридиональной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии оптической системы ОЧЪ:

1 ,1 , (32)

+-4(?о -е.)2-е,)2+-&Х9, -а)+-

Здесь р и <7 соответственно X и У-оптические компоненты произвольного луча в пучке, <30 и СЬ — оптические направляющие косинусы главного луча относительно оси ординат, индекс 0 относится к пространству предмета, а индекс 1 - к пространству изображения. Коэффициенты разложения есть частные производные углового эйконала по соответствующим переменным в точке (0,0о,0,<г,).

При этом согласно свойству эйконала будут выполняться следующие дифференциальные уравнения:

<33>

Для установления связи между координатами изображения и предмета с помощью угловой характеристики дифференцируем (32) с учетом (33), получаем систему уравнений.

СДо - Ш - Ш) + 4?. +£>,<?,= л -о

т° . (34)

(в0 - да - £>,е0)+5,?,+= -у,

тI

Исключив из получившейся системы уравнений величину Ци получаем зависимость ординат в пространствах предмета и изображения в виде (35).

Поскольку координаты стигматического изображения не должны зависеть от угловых компонент, то с необходимостью второе слагаемое в (35) полагаем равным нулю. В результате этой операции установим зависимость

28

(21 +т°А>} + 0

Дш0т,

(35)

■9о

между 2-координатами предмета и изображения и устанавливаем положение аппликат переднего Р0 и заднего Р, фокусов:

^ р^м^, (36)

где Мо, М\ - г-угловые компоненты оптической оси в пространствах предмета и изображения, соответственно. Выберем две системы координат с началами в точках аппликат фокусов, положив г0 = - , г, = г, - ^, тогда зависимость между 2-координатами предмета и изображения будет иметь вид: =-М0М1й2. В частности, это соотношение выполняется для главных плоскостей: г0 =/0, 2, =/,, тогда для 7-проекций фокусных расстояний То и// справедливо следующее равенство /0/,=-А/0Л/,Д2 (37)

Следовательно, для аппликат точек предмета и изображения справедливо соотношение Ньютона: г „г, = /„/,. Соотношение (35) (без второго нулевого слагаемого), если ввести обозначения /, = Л/,£),,/„ = перепишется в

виде

(л - Аво-ту, __ л Г | (38)

/1 М /0 ^

При этом между параметрами АОС2 и коэффициентами разложения углового эйконала установим следующие соответствия:

а в.-в.е.'О, (39)

Л/„ а, -Л/0О,

1 м, С3(/0-С0</,

Таким образом, проблема реализации параксиальной оптической системы сводится к решению системы уравнений:

ад+/о=о А/,Д-/,= о

А-460=0

В первой части главы показано, что использование разложения углового эйконала при решении системы (40) недостаточно для построения реальной системы, необходимо точное выражение углового эйконала.

На рис.9, изображена рассчитанная система для случая сферической поверхности, имеющей наклон к оси аппликат 5°.

Рис.9. Параксиальная схема с наклонными оптическими осями.

На рис.10, представлены графики плотности лучей в плоскости

параксиального фокуса, соответствующие семейству лучей, равномерно распределённых по концентрическим окружностям на входном зрачке (рис. 10а). Главный луч, идущий вдоль оптической оси, пересекает ось аппликат в заднем фокусе, а все остальные лучи пучка расположены по одну сторону от него. Изображение осевой точки обладает несимметричной положительной аберрацией, СКО которой почти линейно изменяется в зависимости от величины светового диаметра на входном зрачке (рис.106).

В качестве примера использования двух поверхностей при построении оптической системы с плоскостной симметрией рассмотрена схема изображающего звёздного интерферометра, скомпонованного около обзорного телескопа на основе предфокальной укорачивающей системы двухзеркальных телескопов. Главные зеркала ветвей интерферометра расположены на периферии главного зеркала обзорного телескопа (рис.11).

V.

О, мм

-0.2 -0.1 0 0.1 0.3

О

10

Рис.10. Графики плотности лучей в плоскости параксиального фокуса (а) и зависимость СКО суммарной аберрации в параксиальном фокусе от величины светового радиуса пучка на входном зрачке (б).

Рис.11. Схема изображающего звёздного интерферометра,

ГЗ - главные зеркала, ВЗ - вторичные зеркала, ПИ - плоскость изображения.

В начальном положении использована брахитная схема относительно

главного и вторичного зеркал модулей интерферометра. В результате

габаритного расчёта получены следующие характеристики: вершинные

радиусы кривизны - 1^=-], 1^2=0,4, алгебраическое расстояние между

зеркалами - Ь=-0,3, эффективный диаметр главного зеркала - 01=0,1.

Конические постоянные выбраны по критерию апланатизма: к,=-6,3, к2=4,3.

Решение системы, аналогичной (40), согласования параметров коллинеации

и параксиальной системы с наклонными оптическими осями, направление

которых задано начальной брахитной схемой, представлено на рис. 12. В

качестве свободного параметра выбрана децентрировка главного зеркала.

Для одного из решений: {0,04; 2,173"; 0,022; 3,37°; -4,825-10"1}

проведено сравнение аберрационных характеристик брахитной и

Рис.12. Зависимости параметров АОС2 от свободного параметра, поперечного смещения главного зеркала: а) угла наклона главного зеркала, б) ординаты начала координат в пространстве изображения, в) поперечного смещения вторичного зеркала, г) угла наклона вторичного зеркала.

рассчитанной параксиальной схем (рис.13). В отличие от графиков (а,б), где использовалась брахитная схема модулей, эллиптическая форма аберрационного пятна на (в,г) не меняется по полю. Поле изображения практически плоское: (¿и = -0,5а,а-2,7-1(Г!|Я,|), а разность дисторсий для двух модулей (Д£> = 0,1 ст), тогда как аналогичные характеристики для неисправленной схемы составляют: Дг«-20<т, Л£> и 0,5ст. Кривизна поля уменьшена в 40 раз, а разность дисторсий — в 5 раз, а именно эти аберрации являются ограничивающим фактором при разработке звёздных изображающих интерферометров.

Заметим, что при этом никаких специальных операций по минимизации кривизны поля и изменения дисторсии не проводилось. Как и ожидалось, параксиальная схема относительно наклонной оптической оси привела к улучшению осесимметричных свойств наклонного изображения. Кроме того, не проводилось и расчётов хода лучей через систему, вся система и положение кардинальных точек и изображения, подвижки зеркал были указаны аналитически в результате решения системы уравнений.

у II

Я3/*,

о - О ¿1 - -0.574

""^ЛП-ОЯЛ О 0.001 0.002

1 1 1 модуль а -0.031

^ист чЭ' 2182"

У ¿¡Дк 2.149

ю»0_3° Дт- -0-574 1

-004-0-002 О 0 002 0.004 -!

1 ШУЯ

б)

Рис.13. Распределение лучей в плоскостях изображения брахитной апланатической системы (а,б) и рассчитанной параксиальной системы (в,г) двухзеркального телескопа. Графики на (а,б) получены в плоскостях наилучшей наводки, графики на (в,г) в расчётной параксиальной плоскости. Выводы из главы 5.

1) Использование приближённой формулы углового эйконала не позволяет построить параксиальную абсолютную оптическую систему вследствие ограничений на величину подвижек оптической поверхности. Решение задачи возможно только с применением точной формулы эйконала возмущённой поверхности.

2) Существует множество решений при построении параксиальной АОС2 на основе одной оптической поверхности. Наиболее простое решение достигается при выборе фокусных отрезков в качестве свободных параметров.

3) Аберрационное пятно параксиальной АОС2 на основе одной поверхности несимметрично. Оно расположено по одну сторону от идеального изображения. Аберрационное пятно в случае двух поверхностей обладает симметрией относительно оптической оси. Оно имеет овальную форму.

4) Построение АОС2 в случае двухзеркальной системы позволило улучшить аберрационные характеристики, дисторсия уменьшена в 5

раз, кривизна поля изображения - в 40 раз, по сравнению с аналогичной брахитной системой.

5) Выбор оптимальных подвижек параксиальных АОС2 и расчёт характеристик системы, положение фокусов, кардинальных точек направлений оптической оси, осуществляется аналитически без применения программ расчёта хода лучей.

Глава 6 посвящена разработке аналитического метода аберрационного расчёта оптической поверхности для нормальной системы лучей. В основе метода лежит точное выражение углового эйконала, его дифференциальные свойства и известное положение, что полурезкое изображение точечного предмета оптической поверхностью лежит на побочной оси XX' (рис.14),

Рис.14. Преломление лучей внеосевой точки предмета на коникоиде. соединяющей точку предмета и центр кривизны поверхности в точке преломления. Зная положение побочной оси, и используя выражение координат точки изображения через производную углового эйконала, можно определить множество полурезких изображений следующим образом: вт - я + ь0

Х' = -—= -

8р' S-R + kza

(R - kz0 )Х__

S — R + kzn 1 + А

'-Х

sign(Ari)

(1 + к)т\_ Л_. ,

.---. i—zi—Ар-Ат +1

J(l + k)(Ap2+Aq2) + Am2\ P

S-R + kz„

P_ m'

(41)

P = л1(р cos(a) + m sin(a))2 + q2, q = 0, m=m eos (a) - p sin(a).

На рис.15 представлены результаты расчёта по формуле (41) плотности точек полурезкого изображения внеосевой точки предмета для сферы (а), параболоида (б) и гиперболоида (в)

£7,, мм

Рис.15. Зависимости продольной плотности множества изображения внеосевой точки предмета (передний отрезок 8—300 мм, вершинный радиус поверхности РМООмм) от величины заднего отрезка. На графиках указаны значения конической постоянной (к), угла поля зрения (ср) и коэффициент продольной асимметрии. Вертикальными штриховыми линиями отмечены положения максимальной плотности и среднего значения.

Коэффициент продольной асимметрии рассчитан по формуле

-Л

Д5;

сШ

(42)

Здесь N - общее число лучей в пучке.

Коэффициент продольной асимметрии характеризует форму кривой плотности точек изображения. Плоскость максимальной плотности точек изображения обычно не совпадает с плоскостью максимальной плотности лучей, поскольку кроме точек изображения в плоскости изображения присутствует фон в виде лучей, строящих изображение в других плоскостях. Если плотность лучей оценивать с помощью среднеквадратического отклонения а (СКО) координат точек лучей от среднего, то для сравнения на рис. 16 приведены распределения координат лучей в плоскостях максимальной плотности (а) и плоскости минимального СКО для внеосевой точки изображения (б). С точки зрения энергетики, если плотность лучей ассоциировать с плотностью энергии, то предпочтение в выборе плоскости наводки следует отдать случаю максимальной плотности точек изображения. Выводы из главы 6.

1) Точный аберрационный анализ изображения точечного предмета в плоскости сечения может быть проведён с использованием

у, им

Рис.16. Распределения координат лучей в плоскостях изображения внеосевой точки предмета (передний отрезок Б—ЗОО мм, вершинный радиус поверхности Я=100мм, угол поля зрения ф=5°).

точных выражений углового эйконала поверхностей вращения второго порядка.

2) Оптимизация системы может быть проведена по критерию минимума продольной аберрации с учётом дисторсии и асимметрии изображения.

Глава 7 посвящена проверке методики расчёта и оптимизации оптических систем, развитой в главе 6. Для примера рассмотрен расчёт склеенного объектива для телескопической системы. Аналогом служил объектив из каталога. Поскольку расчёт множества полурезких изображений для заданной схемы происходит аналитически, то выбор параметров исходной схемы проводился прямым перебором всех возможных сочетаний пар стёкол из каталога. Уже на этой стадии были получены объективы, превосходящие аналог по продольной хроматической и продольной аберрации полурезкого изображения. На следующем этапе по критерию минимума продольной протяжённости множества полурезкого изображения методом градиентного спуска получен оптимальный объектив. В таблице представлены конструктивные параметры объектива-аналога и рассчитанного объектива. Объектив МЛИ-1 имел протяжённость множества полурезкого изображения 165 мкм и продольную хроматическую разность 149 мкм. Соответствующие характеристики рассчитанного объектива - 85 и 114 мкм.

Объектив МЛИ-1 314(165 + 149) Объектив 2 1 99 ( 85 + 114)

Я 1 п0 марка стекла Г! 1 марка стекла

6251 -47,64 -144,88 4 2 1.516 1.673 КБ ТФ2 64,975 -49,703 -169,564 3,86 2,203 1,579 1,74 БФ7 ТФ4

Таблица. Параметры каталожного объектива (слева) и объектива, имеющего "абсолютный" оптимум по критерию минимума продольной протяжённости множества полурезкого изображения (справа). Поле зрения объективов 12°, диаметр входной диафрагмы 24 мм.

Распределение лучей в плоскостях наилучшей наводки для полевой точки предмета при 6° для сравниваемых объективов представлено на рис.17. Там же приведена разность СКО плотности лучей для аналога и рассчитанного объектива в зависимости от полевого угла.

°м-°о,мкм

-10.82

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 б)

Рис.17. Распределение лучей в плоскости наилучшей наводки для точки предмета на краю поля зрения объектива МЛИ-1 (а) и рассчитанного объектива (б) и разность СКО плотности лучей данных объективов в зависимости от полевого угла (в).

Как видим, предложенный метод позволил улучшить интегральные аберрационные характеристики телескопического объектива, причём это достигнуто с использованием аналитического метода расчёта и оптимизации. Выводы из главы 7.

1) Основанный на точном выражении для углового эйконала оптической поверхности аналитический метод оптимизации оптических систем

является достаточно эффективным и допускает полную автоматизацию расчётов.

2) Использование простых формул при определении положения множества точек изображения позволяет эффективно применять метод прямого перебора при улучшении характеристик оптических систем, рассчитанных и оптимизированных по другим методикам.

Заключение

В работе была поставлена задача создания методики анализа и расчёта оптических систем с плоскостной симметрией. Предполагалось в основу положить разработку тех положений теоретической оптики, которые до последнего времени содержали пробелы. Не была развита теория коллинеации систем с плоскостной симметрией, поскольку не было перспективы её применения. Развитие такой теории было бы оправдано, если бы существовало выражение для углового эйконала оптической поверхности, имеющей, в результате перемещений в пространстве, плоскостную симметрию. Такого выражения также не существовало.

Когда эти две задачи в данной работе были решены, то оказалось, что сфера применений точного выражения углового эйконала значительно шире узкой задачи создания аналога оптики Гаусса для наклонных лучей. Во-первых, появился инструмент для исследования свойств параксиальной оптики, более совершенный, чем инварианты Гульстрандта-Юнга, а во-вторых, процесс расчёта и оптимизации оптических систем, осесимметричных с плоскостной симметрией и других, перешёл в разряд аналитических. Единственное требование - это наличие точного выражения для углового эйконала оптических поверхностей системы и оно было получено в данной работе.

Хочется надеяться, что применение развитых в данной работе теорий и методик даст новый толчок в исследовании свойств оптических систем и качества оптического изображения и приблизит расчёт и оптимизацию оптических систем к чисто аналитическому процессу. Круг вопросов,

которые могли бы быть рассмотрены с позиций точного выражения эйконалов, широк - это по сути все положения современной вычислительной оптики.

Основные научные труды по теме диссертации.

1. Смирнов А.П. Аберрации разъюстировки оптических систем, исследованные в рамках теории эйконала Зейделя// Оптика и спектроскопия. -1995. Т.78. №1. С. 165-173.

2. Смирнов А.П. Угловой эйконал коникоида// Оптика и Спектроскопия. -2006. т. 101, № 2.

3. Смирнов А.П., Дёмин A.B., Серёгин А.Г., Канаев И.И., Сопряжение звёздного интерферометра с обзорным изображающим телескопом// Изв.ВУЗов. Приборостроение, -2006. Т.49. №1. С.48-52.

4. Багров A.B., Лебедева Г.И., Лахтиков В.Б., Румянцев A.A., Серёгин А.Г., Смирнов А.П. Анализ оптических схем здёздного интерферометра ОЗИРИС// Оптический журнал. -2006, Т.73. №4. с.93-101.

5. Смирнов А.П. Идеальная оптическая система с двухсторонней симметрией// Оптика и спектроскопия. -2004. Т.97. В.6. С.1043-1049.

6. Смирнов А.П. Оптика наклонных и косых лучей коникоида// Оптика и спектроскопия. -2006. Т. 101. №3. С.502-510.

7. Смирнов А.П. Аналитический метод аберрационного расчёта оптических систем// Оптика и спектроскопия. -2007. Т. 102. №1.

8. Смирнов А.П., Серёгин А.Г. Проектирование многозеркальных систем с плоскостной симметрией. Доклад на Международном оптическом конгрессе "Оптика-XXI век", 16-20 октября 2006 г. Санкт-Петербург.

9. Смирнов А.П. Угловой эйконал и расчёт оптических систем. Доклад на Международном оптическом конгрессе "Оптика-XXI век", 16-20 октября 2006 г. Санкт-Петербург.

Введение.-.„-.

Глава 1. Методы анализа оптических систем, обладающих плоскостной енчжтрней.

1,1. Аберрации децентрировки на основе теории Зейделя . „.

V ,2. Аберрации разъюстировки оптических систем в рамках теории эйконала,

1.2.1. Разложение углового эйконала ратмостнрованной асферической поверхности.

1.2.2. Компенсация аберраций третьего порядка звёздного интерферометра.

13. Описание систем с плоскостной симметрией.

1,3-1- Инварианты Гульстранда-Юнга

1.3.2. Теория солннейного сродства Русннова.

1.3.3. Теория Сесяна волновых аберраций систем с двухсторонней симметрией.

Выводы из главы 1.

Глава 2. Точиая формула углового эйконала коникоила.

2.1, Уравнение коникоида.

2.2, Точечная характеристика н угловой эйконал коникоила.

2.2.1, Теоретические положения .~

2.2.2. Формула углового эйконала ., —.

2.2 J. Обобщение углового эйконала одной н двух поверхностей на коллннсарныс пространства,

2.2.4. Свойства углового эйконала,.

2.3, Формулы углового эйконала коннконда—.

2.3Л. Углоаой эйконал наклонного коннконда

2.3.2. Угловой эЙконаи наклонного параболоида.

2-3.3, Угловой эйконал децентрнрованиого кони кои да,.

2,4. Точечная характеристика плоской поверхности,

Выводы ю глаоы

Глава 3, Параксиальная оптика наклонит и косы* лучен ко ни ко ила

3,1 Наклонные лучи.,.,.,,.♦.„„.

3.2. Параксиальные свойства систем с наклонными лучами.

3.2.1. Апертурные лучи.

3.2.2. Полевые лучн.

3.2.3. Кривизна фокальных и главных поверхностей.

3.3. Аберрации коннкоида.,.„

3.4. Косые лучн,

Выводы из главы

Глава 4, Абсолютная онтнчеекяя система с плоскостной симметрией

4,1. Общие свойства абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией,

4.1.1 Телескопическая АОС (bq=Co=0).

4.1.2, Общий случай АОС2.

4.1.3, Частный случай АОС2 с плоскостями предмета и изображения. параллельными фокальными плоскостями.

4-1-4. АОС2 с нормальными к оси аппликл фокальными плоскостями (bifbj'O)-.

4.1.5. Обобщение АОС2 на наклонное положение плоскостей предмета и изображения,.«.

4.1.6. Композиция иг двух АОС2 (нормальная конфигурация).

Выводы из главы

Глава Реализация абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией .,♦„„♦.,.

5.1 .Вывод соотношений, связывающих параметры нормальной Л0С2 с производными углового эйконала .„♦„.„„.

5.1.1. Построение АОС2 с использованием разложения углового эйконала одной поверхности по параметрам ратьюстнровки (нормальная конфигурация).

5-1,2, Оценка погрешности .♦.„.

5.2. Реализация А0С2 с помощью тонной формулы углового эйконала

5,2.1,11остроеине ЛОС2 на основе одной оптической поверхности. J

5.2.2, АОС2 на основе двух оптических поверхностей,.

Выводы из главы

Глава 6 Аналитический метол аберрационного расчет оптической по верки ос I н. . . „,„„„.

6, Г Точечный предмет на оптической осн.

6.1.1. Симметричное изображение осевой точки предмета. Продольная сферическая аберрация.,.„„„.

6.1.2. Волновая, лучевая аберрации и аберрання полурезкого изображения осевой точки предмета.

6-2, Точечный предмет вне оптической оси.

6.2.1, Изображение внеосевой точки предмета.

6.2.2. Аберрации внеосевой точки изображения.]

Выводы из главы 6 .,,.„.,.Е лава 7, Реалнтацня аналитического метода .,,,.

7.1. Объектив из двух склеенных линз.„,.

7.1.1. Выбор исходной конструкции.

Выводы из главы 7.„.,.„.,.,,„

Плоскостная симметрия в оптических системах встречается в различных видах- Будем рассматривать следующие типы плоскостной симметрии.

I) Меридиональная симметрия внеосевых лучков в осеснмметричных системах, с которой связаны ннеосевые аберрации Она встречается в подавляющем числе огггическнх систем.

2} Не менее распространяй тип плоскостной симметрии, возникающий в результате внеосевых погрешностей положения оптических элементов. В отличие от первого типа в данном случае плоскость симметрии связывается с отдельной возмущённой поверхностью н поворачивается относительно общей оптической оси при переходе от одного элемента к другому. С данным типом плоскостной симметрии связывают аберрации децентрнровки. В указанных двух типах шгоекосгной симметрии сохраняется осеснмметрнчная система зрачков н положений кардинальных точек. Следующие два типа плоскостной симметрии инляются конструктивными.

3) Известны брахнтные двухзеркальиые телескопические системы Форстера н Фрнча, см., например. (1, с. 232}, использующие внеосевые поверхности осесимметричной системы для устранения центрального экранирования. "Брахнтиая" плоскостная симметрия -это тип меридиональной плоскостной симметрии с наклонной или параллельно смещённой оптической осью, в качестве которой выступает, например, главный луч наклонного (смещенного) пучка,

4) Обобщение брахитной плоскостной симметрии можно получить, если позволить оптическим поверхностям поперечное смещение в плоскости симметрии и наклон относительно оси, перпендикулярной к плоскости симметрии. Назовем условно этот тип плоскостной симметрии - конструктивным.

Для систем с плоскостной симметрией типа 3 н 4 зрачки как параксиальное изображение апертурной диафрагмы (ГОСТ 7427-76), строго говоря, не определены- Не существует и теории параксиального изображения относительно наклонной или параллельно смешённой оси, Родионов С А. [2] предлагает исключить понятие зрачка для нсиентрированных систем н пользоваться концепцией апертурной диафрагмы, Ясно, что это вынужденная мера в отсутствии необходимой параксиальной теории систем без оси симметрии. Одной из задач данной работы является устранение данного пробела в теории.

В гл. 1 дан краткий обзор методов исследования систем с первыми двумя типами плоскостной симметрии. Это объясняется тем, что данная работа н основном посвящена исследованию конструктивного типа плоскостной симметрии, которая, на данный момент не имеет теоретической базы, а развиваемые в данной работе теоретические основы конструктивного типа плоскостной симметрии являются полностью оригинальными.

Современная геометрическая оптнка имеет два направления: первое -это "математическая оптнка", а второе "техническая оптнка". Однако, основная задача технической оптики - расчёт эффективных оптических систем на базисе математической оптики - пока остаётся не только наукой, но и искусством оптнка-расчЕтчнка. Цель данной работы состоит в поиске аспектов математической оптики, не востребованных или недостаточно разработанных, таких, чтобы их решение помогло расширить возможности научного подхода к расчёту оптических систем, включая случай плоскостной симметрии в указанных выше смыслах.

Основой расчётной оптики служит теория характеристических функции. Известно, что математическая модель оптической системы может быть построена на основе характеристических функций Гамильтона [3], см. также в [4, гл,14|, для четырёхмерного множества лучей. Основное уравнение Гамильтона неявно содержит все чаконы образования и свойства оптического изображения. Оно удивительно просто выводится (4, с.151] и имеет вид

--1-J <4, VrW.O--j(tl, F, W, 0 =-1--. It =U.V, W.r, ( I ) $g dg dg

Здесь А и A' - поверхности it четырёхмерных пространствах, a x и j' оптические направляющие косинусы в пространствах предмета и изображения, соответственно, в произвольно выбранной системе координат F,- оптический путь между точками поверхностей Л и Л', иян точечная характеристика. u.v.jvJ - параметры множества лучей.

Соответствие между лучами s и s' можно устаиовнТ1> с помощью (t), если точка А пространства предмета w/нлн точка А" пространства изображения не лежит на бесконечности- В противном случае пользуются смешенными или угловой характеристиками. Смешенная характеристика V' и соответствующее дифференциальное уравнен не Гамильтона имеют вил

У'шЕ-Л'г'

-» —■■ —— A (н, v, w,/)--j(w,v.»,/). g = u, v, w.t.

5g % dg

В данном случае в пространстве изображения выбирается система координат с взаимно параллельными осями с внешней системой и началом в точке А' Из определения смешенной характеристики следует, что V' есть оптический путь между точкой А и основанием перпендикуляра, опущенного нз А' на луч в пространстве изображения. Как следует из дифференциального уравнения в (2), данная смешенная характеристика применяется, если для точки предмета в пространстве изображения не существует, по крайней мере, двух параллельных луней, другими словами точка предмета расположена влалн от переднего фокуса оптической системы.

Аналогично смешенная характеристика V, имеющая вид и соответствующее дифференциальное уравнение ar<v.v.w.o af(a,tr.>f,f) ., . at(ir.v.w.r) „ . . (3)

---- — a-—-j(v,V,W,f) +-—-V.W.I}, g eg % % применяется, если точка изображения не находится вблизи заднего фокуса оптической системы.

Наконец, угловая характеристика объединяет дополнительные свойства данных смешенных характеристик и задаётся уравнениями

Т E + As-A's'

-»• ------M<if,v.ur10 +

Bg dg дя

Угловая характеристика, очевидно, не используется дня описания телескопических систем.

Модификацией уравнений Гамильтона является метол Брукса [5], см. также [4, с.182], в котором два параметра отнесены к пространству предмета, а два других - к пространству изображения и объектом исследования являются два множества прямых трёхмерного пространства, зависящих от двух параметров (конгруэнции лучей). Связуюшим звеном двух конгруэниий является характеристическая функция нлн эйконал (по Брунсу), представляющая собой оптический путь между специально выбранными точками в пространствах предмета и изображения для произвольной оптической системы. Тот или иной вид эйконала выбирается в зависимости от типа системы.

Так как в метоле Брунса поверхности вида v), Л'(и'У) и оптические направляющие косинусы i(u,v>. »■") представлены независимыми параметрами, то полный дифференциал характеристической функции нз (I) (эйконала Брунса) имеет вид

Из (5) следуют две системы уравнений ды' ои дЕ = ^ М' dv'~ * dv' s': =n's б)

Следовательно, располагая заданными значениями Е, можно по А' определить я', а по Л определить s.

Аналогично» располагая явным видом других эйконалов Брунса, можно определять соответствующие характеристики оптического изображения. Так по виду углового эйконала и заданным направлениям луча, как следует нэ (4), можно определить пространственное положение точек в пространствах предмета и изображения» то есть получить изображение каждой точки пространства» На этом пути Гсрцбсргером построена точная теория аберраций [4, 4.VIT], им же получена точная формула эйконалов для сферической поверхности в системе координат с началом в центре сферы,

В общем случае Герцбергер использует прямой метод, в котором эйконалы исключаются из уравнений Гамильтона с помощью оптического дифференциального инварианта Лагранжа. Полагая» по-видимому, что развиваемый им "прямой метод" достаточно мощный способ анализа оптического изображения, Герцбергер не ставит задачу нахождения общего аналитического выражения эйконалов поверхностей второго порядка в произвольной системе координат, а развивает приближённую теорию аберраций любого порядка и, в как частный случай, аберраций Зейделя.

В литературе установилось мнение, что аналитический вид эйконалов в общем случае невозможен. Читаем в "Геометрической оптике" Слюсарева

6, с.62]; '"Однако функция W (угловой эйконал), за очень малым числам не преде то в.тл ю щах практического интереса случаев, не может быть выражена в конечном виде как функции am р, v. р' и v' (u. vt и' н v'). ее приходится выражать в виде ряда расположенного по степеням р, v, р v\" С другой стороны, значение эйконала в вычислительной оптике не достаточно осознало, читаем в следующем абзаце дальше: " . с чисто технической стороны применение теории эйконала для расчёта аберрации не представляет каких-либо серьёзных преимуществ по сравнению с методами, основанными на непосредственном применении тлементарных формул тригонометрического расчета хода лучей,. " Полезность теории эйконалов отмечается только в получении " сведений общего характера об аберрациях (например, данные о числе независимых коэффициентов аберраций—)

Однако, анамгтнческне трудности вывода выражения для эйконалов поверхностей второго порядка при произвольном выборе системы координат не имеют принципиальных офанмчекни (7] н сводятся лишь к достаточно громоздким алгебраическим преобразованиям прн решении нелинейных систем- В главе 2 приведён вывод точного выражения углового эйконала кониконда, имеющего наклон и децентрировку.

Что касается второго замечания Спосарева о преимуществах, предоставляемых точным выражением эйконалов при расчете оптических систем, то оптимизация системы непосредственно но точным значениям характеристик изображения, а не по коэффициентам разложения того же эйконала, представляется более предпочтительной вследствие получения точного резул е. та тз

Другим преимуществом применения теории эйконала прн расчёте аберраций является более широкие возможности анализа систем параксиальной оптики наклонных лучей» опирающейся, как известно, на инварианты Гульстрандта-Юнга для сферической поверхности. В гл. 3 параксиальная оптика наклонных н косых лучей развита на основе углового эйконала поверхностей второго порядка.

Далее, построение теории колли неацин систем с плоскостной симметрией не имело перспективы, поскольку аналитический вид характеристических функций оптических поверхностей, имеющих в общем случае значительные децентрнровку и наклон, отсутствовал, как полагалось принципиально, а точное выражение углового эйконала именно таких поверхностей лежит в основе построения аналога оптики Гаусса наклонных пучков. С получением точного выражения эйконала построение теории дробно-линейных преобразований систем с плоскостной симметрией обрело смысл- Такая теория построена в главе 4

Реалнчацня гауссовых систем с плоскостной симметрией в отличие от осссиммстрнчного случая, когда требуется выполнение лишь одного инварианта Аббе, как. оказалось, требует дополнительно удовлетворения большего числа условий в виде системы нелинейных трансцендентных уравнений, Эта задача решена для одной м двух поверхностей в главе 5.

Другой полезной особенностью точного выражения эйконала для оптической поверхности с произвольным пространственным расположением является возможность построения точной теории аберраций системы независимо от пространственного расположения ее составляющих. Аберрации рассматриваются в плоскости сечения, плоскости, содержащей точку предмета и центр касательной сферы в точке преломления {отражения). Точные выражения аберраций Mojyr быть использованы в качестве целевых функций при оптимизации системы. Этому вопросу посвящена т. 6.

В гл. 7 на примере расчета склеенного объектива проиллюстрированы возможности аналитического метода. Удалось улучшить характеристики каталожного объектива, но главное, что аналитический метод расчета не требует доводки с помощью расчетов хода лучей. Метод проб и ошибок, применяемый на второй стадии оптимизации, как известно, требует мастерства, интуиции и искусства расчётчика. В данной работе оптимизация системы осуществлялась только с помощью точных выражений продольной хроматической н монохроматической аберраций в плоскости сечения» зависящих от параметров системы.

Все аналитические выводы апробированы с помощью расчетов на математических моделях в среде MaUiCAD, Документы расчётов представлены в приложениях.

1. АКТУАЛЬНОСТЬ темы

В большом числе случаев оптические системы работают а условиях, которые можно описать в рамках плоскостной симметрии. Теории систем с плоскостной симметрией общего вида К настоящему времени не существует, поэтому построение такой адекватной теории актуально.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

Цель работы - разработка методики расчёта оптических систем, опирающейся преимущественно на аналитические методы оптимизации, не предполагающие использование метода проб и ошибок.

3. ИДЕЯ РАБОТЫ.

Основная идея работы - использование точного выражения углового эйконала при анализе характеристик изображения н расчёте оптимальной конструкции.

4. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ.

3) Вывод точных выражений углового эйконала коникоида

2) Построение теории коллинеацнн систем с плоскостной симметрией.

3) Вывод условий реализации абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией на примере одной и нескольких оптических поверхностей.

4) Построение теории параксиальной оптики наклонных н косых лучей коникоида.

5) Разработка аналитического метода расчета и оптимизации оптических систем,

5.МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ.

Теоретически методы исследований опираются иа свойства эйконалов, методологически - все выводы теории проверялись расчётами н графиками в среде MathCAD. б.ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1) Получено точное выражение для углового эйконала коннконда в произвольном пространственном положении.

2) Выведены выражения для фокальных н главных поверхностей в тангенциальном и сагиттальном приближениях, Проведено исследование параксиальных оптнк» меридиональной н сагиттальной.

3) Развита теория дробно-лннейных преобразований (коллинеацин) для систем с плоскостной симметрией,

4) Развита методика реализации абсолютной оптической системы в параксиальном приближении наклонных лучей,

5) Предложен аналитический метод расчёта н оптимизации оптических систем, состоящих иэ сферических, асферических и плоских поверхностей. Метод подкреплен расчётами на примере склеенного объектива,

7. ДОСТОВЕРНОСТЬ НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Каждый вывод теории проверялся на модели оптической системы. Сама же модель оптической системы опробована при исследованиях оптических систем телескопов (8}, (9]. где при расчёте и анализе оптических схем использовалась данная модель оптической системы (см. приложение t) и вычислительные комплексы CAPO и ОПАЛ.

8,НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ.

Положения, выносимые на защиту, получены впервые н опубликованы в статьях [7], [30-12].

9. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ,

Разработанная в диссертации методика аналитического расчета и оптимизации оптики сокращает время расчета и повышает точность и эффективность результатов,

10. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Метод аналитического расчёта оптики опробован на примере расчета склеенного объектива (гл.7). Сравнение результатов расчёта с объективом для телескопических систем МЛИ-1 из каталога в справочнике [13, с, 164] показало, что предлагаемый метод позволяет ■значительно улучшить характеристики каталожного объекта вэ

11. ПУБЛИКАЦИИ.

Материалы диссертации опубликованы в семи статьях: [7-12], [14J.

12. ОБЪЁМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Объём диссертации 244 страницы, диссертация состоит из семи глав, введения и заключения н восьми приложений.

Выводы нз главы 6.

1) Проведённый анализ и расчёты показывают, что точный аберрационный анализ аберраций изображения точечного предмета в плоскости сечения может быть проведён с использованием точных выражений углового эйконала поверхностей вращения второго порядка.

2) Оптимизация системы может быть проведена по критерию минимума продольной аберрации с учётом днсторсин н асимметрии изображения.

Глава 7.

Реализации аналитического метода.

Известные методы расчёта оптических систем базируются на теории аберраций преимущественно третьего, пятого порядков. Корректировка системы, ее оптимизация, протекает по критериям аберраций Зейделя на основе трассировки лучей по различным программам (CAPO, ОПАЛ, ZEMAX, OSLO и т.д.). Принципы работы с отечественной программой CAPO, например, изложены в [36]. Этот процесс время- и наукоемкий, но не гарантирует действительно оптимального решения вследствие несовершенства данной методики.

В основе аберрационного расчёта лежит разложение углового эйконала в ряд Тейлора. В литературе по технической оптике поддерживается мнение, сформулированное Слюсаревым Г. Г. [27], что функция углового эйконала "за исключением очень малого числа не представляющих интереса случаев, не может быть выражена в конечном виде как функция (оптических компонент); её приходится выражать в виде (степенного) ряда". В главе 2 были получены точные формулы для угловою эйконала поверхности вращения второю порядка, называемой кон икон дом: сферы, параболоида, гиперболоида, сфероида, как в осеснммстричном положении, так и прн поперечным сдвиге н наклоне поверхности. Однако, продолжает Слюсзрев, "с чисто технической стороны применение теории эйконала для расчёта аберраций не представляет каких-либо серьезных преимуществ по сравнению с методами, основанными на непосредственном применении элементарных формул тригонометрического расчёта хода лучей". В этой связи в данной главе показано, что использование точною выражения углового эйконала оптической поверхности позволяет проводить процессы анализа и оптимизации оптической системы в аналитическом виде, Программа трассировки лучей используется не для формирования целевых функций оптимизации системы, а для задания области определения углового эйконала системы, что существенно сокращает время вычислении. Вместе с тем, результаты, полученные на основе точных выражений эйконала, имеют точность, определяемую вычислительной машиной и структурой самих выражений- Сложности расчёта технического характера: светосила, число поверхностей системы и т.п. в новом методе не вносят принципиальных ограничений. Он может эффективно применяться для расчёта оптических систем независимо от величины апертуры и их сложности, так как для его реализации требуется лишь точное выражение углового эйконала оптических поверхностей системы, на пространственное положение которых не накладывается никаких ограничений. Метод проиллюстрирован на примере расчёта объективов из двух склеенных линз.

7.1. Объектив из двух склеенных линз.

Методика расчёта склеенных объективов разработана Слюсаревым [27] и основана на выборе параметров (Р, W,C), связанных с параксиальным лучом и позволяющим минимизировать аберрации третьего порядка, сферическую, кому и хроматизм положения, путём определения требуемой пары стёкол. Методика усовершенствована Дмитриевым А,А. [39]. Анализ н расчёт двухлиизовых склеенных объективов в рамках хроматических аберраций первого порядка представлен, например, в монографиях [37,38], Среди хроматических аберраций рассматривают хроматизм положения, хроматизм увеличения, сферохромагнзм. вторичный спектр, хроматизм в зрачках. Ко второй группе относят хроматические аберрации высших порядков шнрокопольиых н широкоугольных объективов. Минимизация хроматических аберрации осуществляется выбором марок используемых стёкол и с помощью изменения конструктивных параметров, включая выбор положения входного зрачка, диафрагмирование выходного зрачка [27] и др.

В рамках аберраций первого порядка область ахроматнзацин ограничивается о крест остью гауссовой плоскости изображения, и учёт хроматических полевых аберраций не проводится

С целью опробовать теорию аберраций, развитую в главе 6, в данной главе проводится расчёт склеенного из двух линз объектива на основе точных формул, определяющих пространственное положение всех точек множества изображения любой точки поля предмета. Продольный размер множества изображения всех точек протяжённого предмета характеризует продольную интегральную аберрацию, а максимальная разность положений множеств для выбранных длин волн определяет продольный хроматизм системы. Для осевой точки предмета протяженность множества изображения определяет интегральную продольную сферическая аберрацию.

7.1.1. Выбор исходной конструкции.

Существует две возможности конструирования склеенных из двух линз объективов [27,37,38]: "крон вперёд" н "флинт вперед", Обычно положительный компонент - кроновый, отрицательный - флннтовый. Положительный компонент имеет форму двояковыпуклой линзы. Кроновый компонент имеет большую осевую толщину, чем флннтовый, Русинов М,М,

37] приводит обширный каталог двухлинзовых склеенных объективов с фокусным расстоянием 100, 150 и 200мм на основе четырёх пар стёкол, "флинт вперёд"- В справочнике [39] приведены конструктивные элементы 21-го двухлннзового склеенного объектива телескопических систем, четыре из которых выполнены по схеме "флннт вперёд". Чуриловскнй в монографии

38] схему "крон вперёд" рассматривает как основную. Таким образом, обе схемы имеют равноправное существование,

Относительно прогиба лит объектива выбор конструкторов единодушен; выбирается двояковыпуклая или плосковыиуклая конфигурация (Рис.7,1, позиция 1),

Рис,7.], Комбинации компонентов склеенного объектива

Во всех случаях положительная линза - кроновая, отрицательная -флинтовая. Возможные схемы объективов в виде положительных менисков представлены на позициях 2-4 рнс-7. 1.

Конструирование линзы проведем по следующей схеме. При заданном фокусном расстоянии, полевом угле и диаметре входной диафрагмы, играющей роль алертурной диафрагмы (влияние выноса зрачка не исследовалось), изменяя прогиб линз, выберем начальную конфигурацию, обладающую на каталоге марок стёкол [40] оптимальным минимаксным критерием для точки на краю поля зрения:

Kj -SSt +45 * тт^тах^Л,)-ЗДЛ,)}+(паях)-пипЛОД,)]^, ^ ^^

Хроматизм определяем на трёх длинах волн С» D н F В (7.1) N - число лучей в пучке, К - число марок стёкол.

Выбранный критерий наиболее простой, он направлен на получение наилучших аберрационных качеств, минимума суммы продольного хромаЛ!зма (Жд) и продольной протяжённости изображения (д.?) крайней внеосевой точки предмета, и не затрагивает таких характеристик как кривизна поля изображения н дисторсия, Очевидно, что учёт дополнительных требований приведёт к усложнению критерия, но не изменит сути метода оптимизации, описанию которого н посвящена данная глава.

Для определенности зададимся фокусным расстоянием объектива: Г» 100мм. Слюсарев отмечает [22], что вследствие аберраций высших порядков склеенные объективы при фокусных расстояниях менее 150 мм не могут иметь относительное отверстие больше 0,25 и поле зрения не должно превышать 10-12°. Этим требованиям, например, отвечает набор объективов Русннова [29], каталог объективов в справочнике [39], В соответствии с этими рекомендациями зададим диаметр объектива D=24 мм и максимальный полевой угол «=бв.

Задача имеет одно ограничительное условие: требование постоянства фокусного расстояния, В ней связывается между собой 7 параметров: 3 радиуса кривизны, 2 толщины и два показателя преломления. Каждый из них может оказаться в процессе оптимизации коррекционным в пределах своих границ изменения:

Д|>у = 1г«и. 2MH=j<d, 1.47045 пцх S 1,7440, 1,5005 £SДОМ

Нижняя граница толщины выбрана в соответствии с рекомендациями справочника (39}. Границы изменения показателей преломления согласованы с используемым в данной работе каталогом стёкол [40],

При выборе начальной конфшурацин учтём, что наименьшее влияние на изображение оказывают толщины Часто ими пренебрегают как коррекционнымн параметрами, чтобы упростить процедуру оптимизации Зададимся начальным значением толщин линз: dK=4.им, 4=2к«, Наибольшее влияние на изображение оказывает выбор марок стёкол, именно с него начинается построение линзового объектива. Это наиболее трудная задача. Традиционно она решается в рамках параксиальной оптики н теории аберраций Зейделя [27,37,38] для бесконечно тонких линз.

Однако, имея в распоряжении простую формулу для расчёта координат точек множества изображения (глава 6), решим задачу выбора марок стекла прямым перебором всех пар стёкол из каталога, вычисляя для каждого объектива минимаксный критерий на специальном множестве лучей. Задав значение фокусного расстояния, толщины и показатели преломления, из семи степеней свободы мы задействовали пять. Оставшиеся две степени свободы соотнесём с двумя радиусами кривизны Рассмотрим сетку значений радиусов кривизны первой н второй поверхности, Радиус кривизны выходной поверхности используем в качестве параметра, с помощью которого удовлетворяется ограничение постоянства фокусного расстояния, Зададимся схемой объектива "крон вперёд". Необходимые вычисления проведены в среде MathCAD, документ вычислений представлен а приложении 11.

Какие лучи выбрать для расчёта критерия? Заметим, что конусы лучен, строящих гюлурезкое изображение точки предмета, пересекают меридиональный диаметр входного зрачка, поэтому любой косой луч имеет своего "представителя* среди меридиональных лучей. Поэтому для уменьшения объёма и времени вычислений можно ограничиться только меридиональными лучами, В данном примере критерий вычислялся по 21 -ой точке, равномерно расположенной по диаметру входного зрачка.

Напомним идею, лежащую в основе аналитического расчёта оптических систем. В процессе однократного расчёта хода лучей через реальную систему мы получаем информацию о лучевых компонентах и координатах лучей на каждой поверхности. По координатам лучей на поверхности определяется сё кривизна в точке преломления (отражения), а значит и прямая в пространстве, соединяющая точку предмета н центр кривизны. На этой прямой строится полурезкое изображение, Для решения одномерной задачи вычисления неизвестных координат изображения используется основное свойство углового эйконала, связывающее его производные по угловым компонентам с координатами изображения. Формулы получены в главе 6.

Начальные значения радиусов и показателей преломления, обеспечивающих оптимальный критерий (7,1), собраны в таблице 7.1.

R.VR, . мм 40 50 60 70

-30 46061341+42651 ЛК7. ,"[ф|0 .1 «61.01 1Ш<376.|321) вв. лф; .1642.00 463(201+261) ■307Л13 (220+550) тиг.Фб .207.142

J0 4017 (25 1+3 7661 ЛК6.ЛФ9 -621.637 1625 tm* 1430) ЛКЗ. ЛФ0 •223,1 S4 икимог J1K.V Ф1 -I20.4H3 ш (262+310) БФИ.ТФЬ ■242,310

-50 366 J q 24+353 It] ЛК6.Ф4 -400.706 Ш1131Ш11) ЛК6, 7Ф2 -143.667 329(133+1901 K<W. ТФ4 -126.236 55J (259+205) ЕФ13. ТФ5 ■234.4S7

-<0 3549(1 №33901 ЛК6.ТО1 ■ SM.S61 12Q2UO 1. 1403 ! ЛХЗ. ТФ! -1B8.7I9 6J7 (211+446) FM>7. ТФЮ -IM.MS 622(201+421) WIS, ТОЮ ■29!Х7

•70 3533 1104.34301 Л Кб. ТФВ -530.970 иЬЙШ-lSKI ЛИ ТФ7 -IK.47S Sli (03+726) TK2.TOI0 -210,118 Ш (221+677) СТК7. ТОЮ -411,131

1. Герцбергер M. Современная геометрическая оптика. M.: ИЛ, 1962, -457 с.

2. В runs Н „ Lcipcciger Site. Ber ,21, 321, 1895.

3. Слюсарев ГГ., Геометрическая оптнка М.-Л.: АНСССР, 1946, -332с.

4. Смирнов А,П. Угловой эйконал коникоида'/ Оптика и Спектроскопия. -2006. т.101,№2.

5. Смирнов А.П., Дёмин А.В., Серёгин А.Г., Канаев И.И., Сопряжение звёздного интерферометра с обзорным изображающим телескопом// ИзвВУЗов. Приборостроение, -2006. Т.49. №t. С.48-52.

6. Багров А.В., Лебедева Г.И., Лахтиков В.Б., Румянцев А.А. Серегин АХ., Смирнов А,П. Анализ оптических схем здёздного интерферометра ОЗИРИС// Оптический журнал. -2006, Т,73. №4. с.93-101

7. Ю.Смнрнов А.П. Идеальная оптическая система с двухсторонней симметрией// Оптнка и спектроскопия. -2004. Т.97. В.6, С. 1043-1049.11 .Смирнов А.П. Оптнка наклонных и косых лучей коникоида// Оптнка и спектроскопия. -2006. ТЛ01. №3. С.502-510.

8. Смирнов А.П. Аналитический метод аберрационного расчёта оптических систем// Оптика и спектроскопия. -2007. Т. 102. №1.

9. Кругер М.Я, Панов В.А., Кулагин В В. Погарев Г.В. Крулер ЯМ, Левинзон А, М- Справочник конструктора оптико'механическнх приборов, машиностроение. -Л: Машиностроение, 1968, 760с.

10. Смирная А. П. Аберрации ратьюстнровкн оптических систем, нес л ела ванные в рамках теории эйконала Зейделя// Оптика и спектроскопия. -1995. Т.78. №1. С. J 65-17315. A-E.Conrady, Month. Not. Royal Astron. Soc. 1918, v,79. № ! t p.60-69

11. A,E,Conrady, Month. Not. Royal Astron. Soc. 1918, v.79, № 5, p,384~402.

12. A.E.Cortrady, Dcccntercd lens system. Month. Not Royal Asuon, Soc. 1919, v.79, № I, p.384-390

13. А.Марешаль, М.Франсои, Структура оптического изображения, М., Мир, 1964. 296с.

14. A.MarechaJ, fmagerie geometrique. Aberrations. Ed. "Rev. OpL", 1952.

15. A.Marechal, Rev. Opt., 1947, v.26, №9, p.257-263. 21 A.Marechal, Compt, Rend., 1949, v.228, p.668-672. 22.M.Kiuti, Educ. Univ. Tokyo. 1951, v.I, p, 15-72,23 . A.Cox, A system of optical design. N.-Y -Lond., Focal Press, 1964, бббр.

16. Н.Н.Губель, Аберрации децентрнрованных Оптических систем. Л., Машиностроение. 1975, 272с.

17. Г.Г.Слюсарев, Разделение переменных и основные параметры в системах т бесконечно тонких компонентов. Труды ГОИ, 1932, t.VIII, вып,7б, с.38-75.

18. М.Борн, Э.Вольф, Основы оптики, М., Наука, 1970. 27ХЛ".Слюсарев> Методы расчёта оптических систем. Л.»1. Машиностроение, 1969.

19. Оптнческнй производственный контроль под ред. Д.Малакары М. Машиностроеине, 1985.

20. Максутов Д-Л- Астрономическая оптика. Л. 1979. с. 181.34Г1огарев ГЛ., Киселёв Н.Г, Оптические юстировочиые задачи. Машиностроение, Л., 1989.

21. Н.В. Рябова, Д.Н.Еськов, Системы анертурного синтеза телескопов с прямым формированием изображения. Оптический журнал, №8, 1993, с.3-19

22. Грамматнн А. П. в снраа. "Вычислительная оптика", под ред. Русинова М,М. и др. Машиностроение, Д., 1984.

23. Русинов М.М., Габаритные расчёты оптических систем, Госгеологотехнздат, М., 1963.

24. Стскло оптическое бесцветное. ГОСТ 13659-78,41,Бронштейн И,Н„Семснляев К.А., Справочник по матенатнке, М., Наука, 1981.

25. Прыткой А.С. Синтез линзовых вндеообъективов. Диссертация. СГУИТМО, Спб., 2004.