автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.07, диссертация на тему:Методика расчетов оптических систем с плоскостной симметрией

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

ООЭА4б4в

^3 317 2+ 535 317 6

Смирнов Александр Павлович

Методика расчетов оптических систем с плоскостной

симметриеи

Специальности 05.11 07 - Оптические и оптико-электронные приборы и

комплексы 01 04 05 - Оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 2 СЕН 2008

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики на факультете Оптических Информационных Систем и Технологий (ФОИСТ) на кафедре Компьютеризации и Проектирования Оптических Приборов (КиПОП)

Научный консультант Доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты доктор технических наук, 01 04 05 доктор технических наук, 05 11 07 доктор технических наук, 05 11 07

СМ Латыев

МА Ган МН Сокольский В А Зверев

Ведущая организация Государственный Оптический Институт им С И Вавилова (г Санкт-Петербург)

Защита состоится " ¿3 - 0$ _2008 г в. /Г .часов на заседании совета по защите кандидатских и докторских диссертаций Д 212 227 01 "Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы" Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Точной Механики и Оптики по адресу 197101, г Санкт-Петербург, пер Гривцова, д 14, ауд 314

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан " '¿УРЧсЪ 2008 г

(Г

Ваши отзывы и замечания по автореферату (в двух экземплярах), заверенные печатью, просим направлять в адрес университета

197101, г Санкт-Петербург, Кронверкский пр, д 49, секретарю совета по защите кандидатских и докторских диссертаций

Ученый секретарь совета по защите кандидатских и докторских диссертаций, кандидат технических наук, доцент В М Красавцев

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Методика расчета оптических систем, как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией, на первом этапе при получении исходной схемы из бесконечно тонких элементов базируется на системе алгебраических уравнений, выбор которых связан с набором аберраций третьего порядка, подлежащих исправлению На втором этапе, следующее приближение, производится учет толщин и аберраций высших порядков и вычисление конструктивных параметров На третьем этапе, на основании тригонометрического расчета по соответствующим программам, осуществляется численная оценка аберраций по критериям качества изображения, например, по частотно-контрастной характеристике Выбранные критерии качества изображения являются целевыми функциями, оптимизация которых осуществляется, автоматизировано в рамках выбранной программы расчета, с применением численных методов нахождения направления движения к оптимуму Численное дифференцирование, применяемое на стадии оптимизации оптической системы, неизбежно обладает ошибкой дискретизации Кроме того, задача оптимизации в общем случае не является выпуклой, поэтому обычно требуется многократный расчет хода лучей с возвратом к первому этапу расчета, в том числе и при каждом вычислении приращения целевой функции, положительного и отрицательного, при численном дифференцировании Это обычно длительный процесс, занимаемый до 90% всего времени расчета оптической системы

Предлагаемая методика призвана усовершенствовать второй и третий этапы расчета, создания реальной оптической системы и ее оптимизации, на основе точных аналитических зависимостей, связывающих параметры оптической системы с целевыми функциями, построенными с помощью разработанной в данной диссертации теории полурезкого изображения оптической системы, осесимметричной и с плоскостной симметрией

Цели и задачи работы Целью являлось разработать теории оптических систем с плоскостной симметрией параксиальную, аберрационную, теорию построения изображения, которые позволили бы адекватно описать преобразование нормальной системы лучей, то есть образующих нормальную конгруэнцию, с помощью оптических поверхностей второго порядка, ось симметрии которых занимает в меридиональной плоскости произвольное пространственное положение относительно преобразуемого ими пучка лучей

Другой целью являлась разработка методики расчета оптики, не требующей операции доводки системы с помощью расчета хода лучей, поскольку глобальная стационарная область достигается на стадии оптимизации при использовании точных целевых функций

Досгижение поставленных целей сопровождалось решением следующих задач

1 Получение точных выражений угловых эйконалов для оптических поверхностей типа коникоида, имеющих произвольное пространственное положение во внешней системе координат

2 Разработка теории абсолютной оптической системы, то есть системы строящей стигматическое, но не подобное предмету изображение, с плоскостной симметрией

3 Построение удобной модели для исследования произвольной оптической системы, позволяющей проверять аналитические выводы

4 Исследование разработанных теорий при аберрационном анализе оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией

5 Вывод соотношений параксиальной оптики в случае наклонной или параллельно смещенной оптической оси

6 Апробация предлагаемой методики расчета оптики на конкретном примере

Научная новизна Научная новизна выполненных исследований заключается в том, что в них впервые

1 Получены точные выражения для угловых эйконалов коникоида

2 Развита теория абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией

3 Получены аналитические выражения для вычисления астигматических характеристик наклонных пучков, а также выражения, пригодные для анализа астигматизма косых лучей

4 Получены соотношения параксиальной оптики наклонных лучей

5. Разработана методика аналитического описания полурезкого изображения

Достоверность и обоснованность теоретических результатов подтверждается исследованиями на протестированной модели оптической системы и прямым расчетом апробированной оптической системы (склеенного объектива), взятой из каталога и значительно улучшенной по ее аберрационным характеристикам с сохранением эксплуатационных требований, а также актом использования научных результатов работы в космическом проекте "ОЗИРИС"

Практическая значимость Методика расчета оптики, основанная на точном выражении углового эйконала, позволяет использовать в качестве корригируемых функций выражения, точно описывающие аберрационные характеристики изображения Задача оптимизации оптической системы становится полностью автоматизированной Таким образом, предлагаемая методика позволит сократить время поиска оптимального решения при конструировании оптических систем как осесимметричных, так и с плоскостной симметрией, а также повысить характеристики рассчитываемых систем

Научные положения, выносимые на защиту

1) Функция углового эйконала коникоида в произвольном пространственном положении имеет точное аналитическое описание

2) Характеристики астигматизма оптической поверхности второго порядка наклонных и косых узких пучков есть второе приближение в разложении функции углового эйконала в рад Тейлора

3) Для дробно-линейного преобразования с плоскостной симметрией существует косоугольная система координат, в которой преобразования имеют форму, аналогичную той, какую они имеют в случае осевой симметрии

4) Для оптической системы из одной и двух поверхностей с плоскостной симметрией существуют условия, позволяющие реализовать абсолютную оптическую систему в окрестности наклонного главного луча

5) Полурезкое изображение, построенное произвольной оптической системой, имеет аналитическое описание на основе свойств углового эйконала

6) Оптическая система может быть оптимизирована аналитически на основе теории полурезкого изображения

Апробация работы Основные результаты докладывались на Международном оптическом конгрессе "Оптика-ХХ1 век", Санкт-Петербург 16-20 октября, 2006 г, опубликованы в 33 научных работах, в том числе 25 из которых в журналах, рекомендованных ВАК

Объем и структура диссертации Объем диссертации 244 страницы, диссертация состоит из семи глав, введения, заключения и 8 приложений 2 СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении уточняются типы исследуемой в диссертации плоскостной симметрии 1) плоскостная симметрия (ПС) относительно главного луча наклонного пучка в осесимметричной системе (ОС), 2) ПС с наклонными или децентрированными поверхностями в системе с осевой симметрией, 3) брахитные системы, 4) обобщение брахитных ОС, в которых ПС обеспечивается произвольным смещением оптической поверхности в

меридиональной плоскости или наклоном относительно оси, перпендикулярной к плоскости симметрии

Одной из трудностей при исследовании ОС с ПС является отсутствие параксиальной теории, а, следовательно, и понятия зрачков таких систем, другая трудность связана с отсутствием аналитических соотношений для построения целевой (корригируемой) функции (отклика системы) на окончательном этапе оптимизации ОС Поскольку основным инструментом достижения поставленных целей является теория эйконала, то кратко рассмотрены выводы эйконалов из уравнения Гамильтона и обсуждены условия их применения, а также система уравнений относительно лучевых компонент на основе эйконалов Брунса

Глава 1 является обзорной Согласно литературным источникам все работы, затрагивающие наличие ПС в ОС, ограничиваются использованием теории аберраций Зейделя и разложением углового эйконала до невысоких степеней, что автоматически накладывает ограничения на величину децентрировки Это направление достаточно долго и тщательно разрабатывалось в течении почти 100 летнего периода, начиная с работ Конради Аналитический обзор и исследование приближенных методов анализа ОС, имеющих небольшую децентрировку выполнен Губелем Н Н В этой связи в главе 1 обсуждены идеи методов анализа аберраций децентрировки Конради, Слюсарева, Марешаля, Киути, Кокса и самого Губеля Из всех этих методик лишь методика Кокса обращалась к идее эйконала, к его разложению до пятого порядка Аналитическое выражение разложения отсутствовало, а коэффициенты определялись численно, что вызывало обоснованную критику Губеля В этом же направлении была выполнена и первая по данной тематике работа автора [1], в которой дан вывод разложения углового эйконала Т по параметрам децентрировки 5х, 5у, осевого смещения 5г и углов наклона а, Р оптической поверхности типа коникоида Оно имеет вид

т(Ра > %. Л. Ч1) = ^(ЮАт

-т^о + т^,

Ат Ат

Здесь (ро><7о>то) и лучевые компоненты падающего и

преломленного луча, вершинный радиус кривизны и Л - параметр деформации

коникоида, Z0, - аппликаты плоскостей в пространствах предмета и изображения, для которых определен угловой эйконал. Функцию У/ можно рассматривать как волновую аберрацию децентрировки Поскольку угловой эйконал системы оптических поверхностей равен сумме угловых эйконалов ее составляющих, то лучевая аберрация согласно известному свойству углового эйконала разъюстировки выразится как

Ах =--2-, Ау = -

(2)

Ъры ЪЧы

где Ы- номер последней поверхности оптической системы

Как видим, наличие явного выражения углового эйконала позволяет аналитически исследовать аберрации и по ним вести оптимизацию ОС Для вычисления передаточных коэффициентов частичных аберраций разъюстировки требуется определить следующие соотношения

х Ьг др„д?' АТ> дт д9„дг' (3)

В общем случае, когда поверхность не последняя, к # N, то угловой эйконал последней поверхности явно не зависит от разъюстировок предыдущих поверхностей Чтобы выявить эту зависимость воспользуемся известными соотношениями для согласованных угловых эйконалов, связывающими промежуточные лучевые компоненты между поверхностями

дТк дТм дтк дтм

дрк дрк ' э^ ддк

дрк дЧк

Тогда передаточные коэффициенты разъюстировок к-той поверхности запишутся в виде

АТ =-

эх _ эх эх др„ эх эх

Э/?лЭг дрКдрн_, дт др„ Эг Эг Эр^Э^ Эг

ЭФ

: дт

-1 / , - N"1 / - _

ЭХ Г ЭФ V ЭХ (ЭФ у ЭХ { ЭФ у эх ( ЭФ '

ЭРл-ЭРл-ЛЭр«.,; Ьры {дрн) дРндц

Чп 1

(5)

да. „

—^ имеет симметричныи вид с взаимной заменой р и q Эг

В частности, располагая выражениями (5) можно провести компенсацию остаточных аберраций Зейделя Так далее в главе на примере звездного интерферометра [3] получена система уравнений относительно параметров подвижек поверхностей главного и вторичного зеркал, удовлетворяющих условии минимизации остаточных аберраций

Этот результат можно рассматривать как развитие идеи Кокса использования разложения углового эйконала и иллюстрацию полезного использования явного вида углового эйконала Задача в такой постановке, тес использованием разложения, не имела продолжения, поскольку в дальнейшем предполагалось найти точное выражение углового эйконала

Плоскостная симметрия используется при описании астигматизма ОС с помощью инвариантов Гульстранда-Юнга Русинов ММ в монографии "Техническая оптика" использует их для построения теории солинейного сродства, а точнее, варианта параксиальной оптики с наклонной оптической осью. При этом сама модель солинейного сродства, т е абсолютная оптическая система, описываемая дробно-линейными преобразованиями, в этом построении отсутствует

Далее рассмотрена теория волновых аберраций ОС с ПС американского исследователя Сесяна В своей постановке она сформулирована с общих позиций, но ее решение с помощью аберраций третьего порядка Зейделя и инвариантов Гульстранда-Юнга ограничено малыми значениями децентрировок В конце главы дан обзор работ автора, посвященных методам анализа оптических систем при когерентном и частично-когерентном освещении Выводы из главы 1.

1) Все рассмотренные теории, учитывающие плоскостную симметрию оптических систем, направлены на расчет аберраций децентрировки осесимметричных систем Теория солинейного сродства Русинова создана на основе интуитивных аналогий с осесимметричным случаем и требует доработки

2) Базой всех рассмотренных теорий является разложение эйконалов, что ограничивает точность результатов, полученных с их помощью

3) Очевидна насущная необходимость в получении точного аналитического выражения эйконалов оптических поверхностей наиболее общего вида и положения, а также в разработке теории солинейного сродства для систем с плоскостной симметрией

Глава 2 посвящена выводу точных выражений для угловых эйконалов оптической поверхности второго порядка (коникоида, т е поверхности, полученной вращением коники относительно одной из осей симметрии) Поверхность коникоида может быть обобщена на асферическую поверхность с помощью представления конической постоянной в виде разложения к, по радиальной координате поверхности в локальной системе координат с вершиной в полюсе (Я- вершинный радиус кривизны) и осью аппликат, совпадающей с осью симметрии поверхности

n

^(х, у, г) = х + у +

-2К г = 0 (6)

1 = 0

Первоначально эйконалы были введены Брунсом на основе характеристических функций в уравнении Гамильтона, т е имели

геометрическую природу В волновой оптике эйконал вводят как обобщение решения волнового уравнения в части его фазового множителя, а именно

представляют решение следующим образом у/(7,г) = а(?)ехр|^— [Ж?)-с/Ц, где к-

волновое число, п - показатель преломления, с - скорость света Подстановка представленного в таком виде волнового поля в качестве пробного решения в волновое уравнение приводит к двум дифференциальным уравнениям, одно из

к2 г \

которых имеет вид. Да-а—^гЫ1 Е-п2)=0 и далее к дифференциальному

с

уравнению эйконала как скалярной функции пространства при

условии, малости длины волны (к -» Однако область использования эйконала может быть, очевидно, расширена Как следует из приведенного дифференциального уравнения уравнение эйконала справедливо, если выпол-

Рис 1 К определению общей формулы углового эйконала (Хо, У о, (Хт, Уь 2-1), (Хг, Уг, 12) - взаимно коллинеарные координатные системы, связанные соответственно с поверхностью, пространствами предмета и изображения, АР, ВР' - лучевые вектора падающего и преломленного лучей няется уравнение Пуассона относительно амплитудной функции волны Да = О

Угловой эйконал представляет собой приращение эйконала для точек на преломленном и падающем лучах, являющихся основаниями перпендикуляров из начал координат произвольных взаимно коллинеарных систем в пространствах предмета и изображения Т=п[АВ]+п'[ВС] (рис 1) После преобразований получим

Т =-(хАр +уАц+ гАт)-х1р-уд-г,т + х2р' +у2д'+г2т' = П-(0,,?)+(02,Р') (7)

Выражение £2 составляет ядро эйконала, общее для всех эйконалов поверхности Основное преобразование эйконала осуществляется относительно его ядра и представляет собой исключение пространственных переменных координат точки поверхности В качестве независимых

переменных углового эйконала выступают поперечные компоненты лучевых векторов (р,с{,р',с/)

10 ТЛ °с \ г° / 7 у2 1» Т ^ » Х>/\ 4 "2 х2 у/* Р2=(р2'Ч2

'о^Ло т0> Ч Ч^2 т °г гг ..... \Ьз °3 13

ь

Рис 2 К построению углового эйконала двух поверхностей Угловой эйконал системы поверхностей строится по подобию углового эйконала двух поверхностей Одну из поверхностей выбираем основной, например, первую и полагаем, что координатная система второй оптической поверхности (КСОП2) параллельно смещена вдоль оси аппликат на величину Ь относительно КСОП1 (рис 2)

КСОП выбирается таким образом, чтобы формула поверхности имела наиболее простой вид, начало координат помещается либо в вершину, либо центр кривизны В результате подвижек и наклонов поверхности, вызванных конструктивными соображениями или погрешностями положения, поверхность занимает относительно КСОП произвольное положение Значение углового эйконала двух поверхностей есть функция поперечных угловых компонент в пространствах 0 и 3, предмета и изображения соответственно и представляет собой оптический путь [АЛ], расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из начал координат оо и Оз Оно выражается как сумма составляющих его оптических путей Т = [АВ] + (Р,, Е)+[СВ] = €11+Й2 - (о™, Р,)+ (о<2), Р2)+ (Ь,Р,) (8)

Здесь верхний индекс указывает на номер КСОГТ В окончательном выражении ядра не имеют верхнего индекса, так как после исключения пространственных координат ядро инвариантно относительно параллельного сдвига КСОП В окончательном выражении эйконала пространство предмета, скалярное произведение (о0,Р0), представлено в КСОПь а пространство изображения, (оъ,Рг) - в КСОП? Кроме того, появился дополнительный член (•£, Р-,), отображающий промежуточное пространство

Заметим, что выбор начал координат промежуточных пространств не отражается на окончательном выражении углового эйконала

Исключение пространственных координат из выражения эйконала происходит на основе формулы поверхности и закона преломления, которые имеют вид системы из одного нелинейного и двух линейных уравнений

Р(х,у,г) = х2 +(>• с-г ^)2+(1 + к) (у 5 + г с)2-2Щу 5 + г с) = О,

Здесь с=соь(е), $=Б1п(е) Для осесимметричного коникоида достаточно рассмотреть наклон в одной из меридиональных плоскостей Пусть это будет плоскость ОУЪ Обозначим угол наклона в этой плоскости с (Nx.Ny.Nz) -вектор нормали в точке преломления, I, V- лучевые векторы, п, п -показатели преломления соответственно до и после поверхности, г, г'- углы падения и преломления

Для своего решения система (9) требует чрезвычайно громоздких многоступенчатых преобразований и они не были выполнены раньше, по-видимому, вследствие их "бесперспективности" Для наклонного коникоида с конической постоянной к * -1 полученное решение имеет вид

(10)

я 1+ к

+ к)Ар2 + (1 + кс2)&дг +(1 + Ь2)Дт2-2каАдАт -- (¡Ад + сАт)

В частном случае выражение для осесимметричного коникоида при е = О Т0(р,<?,р,д') = [я^л(Дл)д/(1 + кХАр1+Ад2) + Дт2 -Ат\+2т-2т (10а)

Здесь Ъ и X' аппликаты начал систем координат в плоскостях предмета и

изображения, т = ^п2-р2-д2, т' = ^п'2 -р'г -д'2

Выражение углового эйконала наклонного параболоида

Т(р,ър',ч) = . Д . . *

2 [с(1 - Зд2 )Ад + - Зс2

)Ат]д<?Ат + св{сАд% + ¿А &Ац + сАт

Выражения эйконалов при децентрировке на величину /г связаны аддитивной добавкой

Тдец (р. 9. р\ ч') = Т0(р, д, р, - кАд (12)

Для плоской поверхности, как телескопической системы, угловой эйконал не определен Плоская поверхность, ориентированная в пространстве нормалью ДГ, описывается смешанной характеристикой Е(х, у, р, д) = п]лв| + п^ВА^, где А -точка в пространстве предмета, В - точка пересечения лучом поверхности, находится из уравнения В-А + Р\АБ\ = А-^~^Р, где Р(р,д,т) - лучевой

вектор падающего луча, а точка изображения в плоскости 2—г имеет координаты

А' =

/ (МЛ)

лЛ (Ы,А)(р\(р + {1 г + (ЛГ ,Р)т

у) (Ы,Р){у + ц Ь) т + /и с

ц = ¿^(п^п'2 -п2 +(Р,Ю -(Р,ю

(13)

Выводы из главы 2.

1 Точные формулы углового эйконала коникоида имеют два вида для параболоида и для остальных типов коникоидов

2 Децентрировка поверхности описывается смещением начала координат в пространствах предмета и изображения и не отражается на "ядре" формулы зависящем от углов наклона и не зависящем от параллельного смещения поверхности

3 Формула углового эйконала для асферической поверхности может быть построена с помощью введенной в данной главе асферики третьего рода, согласно которой коническая постоянная есть функция полярного радиуса

Глава 3 посвящена исследованию параксиальных свойств наклонных лучей с использованием точного выражения углового эйконала

1) Получены обобщенные выражения, аналогичные инвариантам Гульстранда-Юнга, для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении, справедливые для коникоида

2) Дан вывод выражений для вычисления кривизны фокальных поверхностей в меридиональном сечении Проведены расчеты положений меридиональных и сагиттальных фокусов, а также главных точек оптической поверхности при наклонном падении лучей на множествах апертурных и полевых лучей Построены графики фокальных и главных поверхностей в зависимости от угла наклона главного или апертурного луча пучка

3) Исследована аберрация астигматизма в функций апертурного или полевого угла, зависимость среднего астигматизма от конической постоянной Получены выражения для вычисления астигматической разности коникоида и наклона фокальных плоскостей, плоскости изображения в зависимости от угловой координаты луча Рассмотрен пример оптимизации по критерию минимума астигматической разности аберраций линзы иммерсионного объектива Амичи Получены и обсуждены выражения для суммарных аберраций дисторсии, комы, сферической аберрации

4) Получены выражения и проведены расчеты астигматической разности для косых лучей

Для исследования астигматических свойств наклонного узкого пучка лучей, заданного лучевыми компонентами 0(0,<?,т), лежащего в

бесконечно малой окрестности главного луча, который наклонно падает и преломляется на оптической поверхности в меридиональной плоскости (лучевые компоненты преломленного пучка соответственно находятся в бесконечно малой окрестности преломленного главного луча {(£',??',£")}£ 0(0, д', т')) угловая характеристика сферической поверхности отнесена к координатным системам в пространствах предмета и изображения с началами в точках ДОДя) и А '(0,0,в') Воспользуемся известным свойством углового эйконала.

ЭГ дТ дт дТ ,,.4

дд д ц д 77

Представим в (14) угловой эйконал линейными членами ряда Тейлора в

точке (0,4,0,9') меридиональной плоскости (р=р'=0) и перепишем их в виде

системы уравнений, в которых нижние индексы указывают на номер

аргумента и порядок дифференцирования

/т т

1 2000 1 1100

Тпоо ^0200

Т

•мою

т

Т

/1001

7*

-* 0101

Ът

Т

•■оно

Т

0020

Т

10011

•моо1

Т

0011

\ и \ (ц-Т \

У — ■'оюо

? -х'-Т л 10010

) л'-ч) Г" У ~ ^ооо1 >

(15)

В точке (0,я,0,q') меридиональной плоскости первые горизонтальные производные и часть смешанных вторых производных, содержащих дифференцирование по р и р\ равны нулю Ттй~Тоот=Т!}0о-Тт,=Тоио=Тооп=0 В этом случае система из четырех уравнений (15) распадается на две независимых подсистемы по два уравнения относительно вертикальных и горизонтальных компонент Их решения относительно угловых компонент в пространстве предмета (£,, ц) запишутся в виде

Из (16) следует для того чтобы в первом приближении (х\ у') были координатами стигматического (резкого) изображения, они не должны зависеть от угловых компонент, поэтому необходимым условием построения параксиальной оптики на основе коникоида будет удовлетворение системе уравнений

Первое уравнение (17) описывает преобразования в сагиттальной плоскости, второе - в меридиональной плоскости Аппликата переднего фокуса К, = 5 отвечает условиям Г2000 = 0, Тат —> ~ для сагиттальной плоскости и, соответственно, условиям Т0200 = О, Гт2 - для меридиональной

плоскости Получаем выражения для передних меридиональных и сагиттальных фокусов (18) и задних фокусов (19), полагая Р\ = я' и учитывая, что Тоо7о=0, ТШ2 = О

(17)

у п

т у2

(18)

К

(т' + кт) ,

^ + + -д'Ад) ,

7'

(19)

К

Т ¡^п(Ап), л

- 1 + —2-(т + кт )

\ + к у

(т + кт')

0 = д Ат-(1 + к)т Ад, а' = ~д' Ат + (1 + к)т' Ад,

Здесь введены обозначения, у-^х + к)Ад2 +Дт2,

В случае, когда оптически сопрягаются точки предмета и изображения, находящиеся на конечном расстоянии условия (17) запишется в виде аналогов соотношения Аббе для наклонных пучков, в меридиональной плоскости

л!

КС-.0 = юи'

(1+к)у пп

ц + ктт'+

Г

и сагиттальной плоскости

2

(я-Р^МКг -¡') = тт

, г

(20)

(21)

Результаты, полученные с помощью соотношений (20), (21) для сферической поверхности полностью совпадают с результатами, полученными с использованием инвариантов Гульстранда-Юнга Это продемонстрировано на рис 3

РисЗ Графики сечений меридиональной (Щ бш) и сагиттальной (1)5,85) полей изображения осевой точки (Э=-Зг), сферой с радиусом г, ограниченной диафрагмой на сфере (0=0,4г) и разделяющей воздух и среду с показателем преломления 1,5 в зависимости от апертурного угла. Графики 11ш, и3 - рассчитаны с помощью инвариантов Гульстранда-Юнга , а графики Бт, Бе - рассчитаны с помощью соотношений (20) и (21)

Параксиальные характеристики оптической системы с наклонными лучами для меридиональной и сагиттальной плоскости строим по аналогии с осесимметричным случаем. Помещаем аппликаты начал пространств предмета и изображения в точки фокусов

■ тг 2 " 0020 * —т - /« ,2 * 0002 >

п п (22)

= а - = тТЖ1й, = / - ^ = -т'Гга2

Преобразования координат поперечных координат запишутся в виде дробно линейных преобразований

т2г Гаст' ^ (23)

где Л = Дл)—, /„ = -я^л(Дп) -—^ , —т- + Ц + ктт' у (1 + к)гСту\у~ )

Величины/„', // есть проекции фокусных отрезков на ось аппликат

Кривизна кардинальных поверхностей наиболее просто может быть исследована в случае, когда плоскость падения совпадает с одной из меридиональных плоскостей оптической поверхности Ограничимся этим случаем В случае осесимметричного расположения оптической поверхности главные и фокальные поверхности имеют осевую симметрию Осевая симметрия сохраняется для апертурных лучей при осевом положении точки предмета Тогда исследование кривизны поверхностей сводится к исследованию кривизны кривых меридионального сечения, так как нормали к поверхности лежат в меридиональной плоскости Кривизна кривой 5'(У), ^'-аппликата, а У- ордината кривой сечения, определяется известным С с Л"

соотношением К =--——-- Используя связь У' = -Ттг, производные

1 +

(М'г)

кривых запишем в виде

дБ'_ Э5'р2гГ' ЭУ^ЭУр'гУ2 дТ(д2Т У

ЭГ ы[дд'2) ' ЭГ2 дд'{д^2) ' (24)

т1 s1 т7 т1 м» 5

Для примера на рис.4 представлены графики кривизны апертурных главных и фокальных поверхностей в пространстве изображения для сферической поверхности, разделяющей среды с показателями преломления 1 и 1,5, в предположении, что сама поверхность имеет кривизну в одну единицу

Рис 4 Графики зависимости кривизны задних главных поверхностей от апертурного угла, меридиональной (а) и сагиттальной (б), а также задних фокальных поверхностей, меридиональной (в) и сагиттальной (г)

Астигматизм В литературе астигматизм определяется для полевых лучей как полуразность кривизны, тангенциальной и сагиттальной, фокальных поверхностей вблизи оптической оси Обобщим это определение

Аз

АЭ

\ А \ = 0 / /

к .-0 4234- у

-2 -0 423 0

В)

а) 6)

Рис 5 Астигматизм апертурных лучей (/? = Ю0лш, 5 = °°,п = 1, «'=1,5 ) сферической поверхности (а) и коникоида (к=-0,423) (в) и зависимость среднего астигматизма апертурных лучей от конической постоянной (б)

и на апертурные лучи и введем усреднение по текущей разности кривизны

(25)

/15 = -/0 = 2и'С 2

Здесь черта обозначает среднее значение, С - коэффициент астигматизма

На рис 5а представлены расчеты астигматизма апертурных лучей по фокальным кривым (рис 4), получена величина среднего астигматизма, Ах=-0,012 Варьируя постоянной коникоида (рис 46), находим положение, когда средний астигматизм равен нулю Соответствующая кривая астигматизма в зависимости от апертурного угла приведена на графике (рис 4в) Астигматическая разность Зейделя, как аберрация третьего порядка определяется на заданной высоте от оптической оси в пространстве изображения В общем случае эти точки на фокальных поверхностях

20

построены лучами, имеющими разные полевые углы В данном же случае целесообразно рассматривать уровни фокальных поверхностей по одному

и (21), мы определяем величины меридиональных и сагиттальных задних отрезков и как их разность, проекцию на ось ОЪ астигматической разности по главному лучу Несмотря на указанное различие обе характеристики, асгагматическая разность Зейделя и проекция наклонной астигматической разности для полевых углов, очевидно, эквивалентны как критерии оптимизации

Для произвольной плоскости предмета и системы, заданной множеством угловых компонент, астигматическую разность как функцию параметров системы запишем в виде

Функция (26) определена на множестве гиперплоскости пространства угловых компонент {д,д',т,т'}, определяемом структурой оптической системы

Наклон изображения С помощью аналогов соотношения Аббе (21) получим аналитические выражения для вычисления заднего отрезка, меридионального 5'га и сагиттального, ¿ ^ и определим наклон изображения как тангенс угла наклона к плоскости ОХУ касательных к соответствующим фокальным кривых

значению полевого (или апертурного) утла Используя соотношения (20)

гп ' 1 V. /

(26)

(27)

Рис 6 Положение точек меридионального и сагиттального изображения, построенного наклонными лучами от точечного предмета, расположенного под углом 5° к оптической оси (а) Зависимость тангенса угла наклона меридионального и сагиттального изображения этой же точки от угла наклона луча к оптической оси (б) Поверхность - сфера, В=100мм, передний отрезок 8=-300мм

На рис 6 приведены графики положения апертурных меридиональной и сагиттальной поверхностей изображения и наклон изображения, рассчитанный по (27)

Методика исследования астигматизма наклонных лучей, примененная выше для меридиональных пучков, может быть использована и для косых лучей Для косых пучков, то есть пучков, главный луч которых по отношению к оси поверхности является скрещивающимся, система (15) не разбивается на две подсистемы Для того чтобы удовлетворить требованию стигматичности пучков, необходимо потребовать независимости свободного столбца системы (15) от вектора-столбца угловых компонент. Это условие удовлетворяется, если определитель сисгемы равен нулю Если полагать, что передний отрезок задан, то в результате определитель системы, приравненный нулю, дает уравнение относительно заднего отрезка

Используя известные свойства определителя, нижний левый 2x2-квадрат коэффициентов обнуляем В результате получаем в неявном виде квадратное уравнение, содержащее искомое неизвестное - задний отрезок, от которого зависят производные Т^^б'), Т«юг($') и Тооп(.ч')

аи - а / ап - ¡3 аи-Р а2г-а /

т

Преобразуем (28) к явному виду (а1 -/?2)/2 +[2/3 а12 -а(ап +а22)У + (аиа22-а?2) = 0

(29)

Два решения (29) на множестве пар угловых компонент, на гиперплоскости системы, образуют две фокальные поверхности (меридиональную) в вертикальном и (сагиттальную) в горизонтальном приближении угловых компонент Весь же косой пучок фокусируется на отрезке между этими поверхностями Длина каждого отрезка равна астигматической разности данного косого бесконечно узкого пучка

В качестве примера рассмотрены каустики, образованные широким наклонным пучком, преломляющемся на сфере с радиусом И=1, полевой угол 9=5°, входной зрачок находится в плоскости, касающейся вершины сферы,

Плоскость предмета помещается в апланатическую точку сферы п +(" К = -

п 3

Пучок разбивается на 5 полых конусов, опирающихся на эквидистантные концентрические окружности на входном зрачке Фокальные поверхности, развернутые по этим окружностям (верхняя часть) и соответствующая астигматическая разность (нижняя часть) представлены на графиках рис 7

Рис.7. Знамения аппликат точек двух фокальных поверхностей для лучей широкого пучка, образующих 5 концентрических окружностей на передней главной плоскости (вверху). Соответствующая астигматическая разность (внизу). Гауссова плоскость изображения - 2,5 г.

Численно астигматическая разность рассчитывалась для каждого косого луча, проходящего через пять концентрических окружностей, на входной поверхности и расположенных равномерно по этим окружностям: на первой окружности - 6 лучей, второй - 12, третьей - 18, четвёртой - 25 и пятой - 31 луч. На рис.3.15 эти окружности выделены вертикальными полосами. Радиусы окружностей составляли от 0,1г до 0,5г, где г - радиус поверхности.

По оси абсцисс отложены обороты. Меридиональная плоскость находится на расстояниях V* (к/2) и % (Зк/2) от границ полных оборотов лучей по окружностям. На первой окружности меридиональная плоскость не попала в число 6 лучей, а на последующих минимумы соответствуют положению лучей на меридиональной плоскости, первый из наиболее глубоких минимумов соответствует ближнему к внеосевой точке предмета лучу, в последний минимум в полосе- дальнему меридиональному лучу. Из графиков видно, каких значительных величин достигает астигматическая разность для косых лучей.

Выводы из главы 3.

1 Полученные экстремальные соотношения для параксиальной оптики наклонных лучей в тангенциальном и сагиттальном приближении для коникоида являются удобным инструментом анализа аберраций астигматизма, кривизны поля изображения, наклона изображения для любых типов лучей, наклонных и косых

2 Точное выражение углового эйконала позволило расширить возможности анализа астигматических поверхностей Если в рамках теории Зейделя они описываются одним параметром, кривизной на оптической оси, то с помощью эйконала они имеют полное аналитическое описание

3 Впервые появилась возможность исследовать наклон астигматических поверхностей и их свойства для косых лучей Получены формулы точных интегральных аберраций

4 Так как в основе анализа лежит угловой эйконал, то развитая в этой главе теория астигматизма одной поверхности автоматически обобщается на любую оптическую систему, для которой известен ее угловой эйконал

В главе 4 построена теория системы с плоскостной симметрией на основе дробно-линейных преобразований, являющейся моделью абсолютной оптической системы Основное внимание уделено нормальной конфигурации системы, в которой главные плоскости и плоскости предмета и изображения перпендикулярны оси аппликат коллинеарной системы

Согласно проективному, или дробно-линейному, преобразованию каждая из координат изображения (хьУьгг) есть дробно-линейная взаимно однозначная функция координат предметной точки (хц,уо,2о) (30)

Приравнивая нулю те или иные коэффициенты преобразований, можно получить требуемую систему Модель абсолютной оптическои системы с плоскостной симметрией имеет в общем случае 9 степеней свободы

Уо+Уо+с1го+<г1

ГУОТУОТУОТ°2 р

аг,хп+Ъ-уп+с-гп+<1,

(30)

У:

, Р = апхп+Ьпуп+спгп + »1.

Г

(а0 = <з2 = аъ = = с, = г/, = 0) Требование изоморфизма увеличений отнимает одну (а^тЩ+Ь32), переход к нормальной конфигурации - две степени (Ь0 =Ь3 =0), переход к осесимметричному случаю (с2 = й2 =0) - еще две Телескопическая анаморфотная конфигурация имеет 7 (¿>0 = с0 =0), а изоморфная - б степеней свободы

Рис 8 Положение фокальных, главных плоскостей и кардинальных точек в абсолютной оптической системе с плоскостной симметрией. На верхнем рисунке пространства предмета и изображения вложены друг в друга, на нижнем они отнесены к началам в точках фокусов - главные, vts,vi - узловые точки

На рис 8 изображена нормальная конфигурация абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией Фокуса находятся на пересечении в общем случае наклонных оптических осей с осью аппликат в точках

/"„=-——, углы наклона оптических осей' ¡8(у/а) = —,

с0 с0 а,

—Проекции фокусных отрезков на ось аппликат

Го

/„= —, /, = ——1 Преобразования координат в косоугольных

С0 а, С0

координатах, связанных соотношениями

2о = г0 +—> х0 = х0, = ^ г„

с0 с0 с, с0а3 — с3я„

имеют вид 20 внешне не

2]

отличающийся от осесимметричного случая Плоскостная симметрия

отражена коэффициентами с2 и ¿2 Углы наклона оптической оси в

пространствах предмсга и изображения соответственно выразятся формулами

= —• (31)

а, с2а0-с0с13

Выводы из главы 4:

1) В рамках абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией можно проводить исследование линейной дисторсии из-за наклона элементов системы (в реферате не отражено)

2) При выборе двух косоугольных систем координат в пространствах предмета и изображения с началами на фокальных плоскостях и продольными осями, направленными по наклонным оптическим осям, преобразования осуществляются по формулам, внешне похожими на формулы для осесимметричной системы, если вместо косых фокальных расстояний использовать их косые проекции на ось аппликат

3) Система, изначально изоморфная по линейному увеличению, проявляет анаморфизм углового увеличения, возрастающий по мере роста разности модулей углов наклона оптической оси, в пространствах предмета и изображения (в реферате не отражено)

В главе 5 на основе сопоставления свойств коллинеации с плоскостной симметрией и характеристик реальных оптических поверхностей, описываемых точным выражением углового эйконала, исследованы

принципы реализации параксиальных оптических систем, являющихся

приближением абсолютной оптической системы

Угловую характеристику как функцию четырех угловых компонент

оптического луча представим разложением в ряд Тейлора до второго

порядка в окрестности угловых компонент главного луча, принимаемого за

оптическую ось, в меридиональной плоскости, совпадающей с плоскостью

симметрии оптической системы OYZ

Т(р0,д9,рх,) = Г0(0,<20,0,<2,)■+ Л(<?о -<20)■+ В0-2,) +

1 , 1 , (32)

+ -А(«о-Йо) +2-Й) + *>,(<?„ -ОьХй -й) +

Здесь ряд соответственно X и У-оптические компоненты произвольного луча в пучке, <2о и Ql - оптические направляющие косинусы главного луча относительно оси ординат, индекс 0 относится к пространству предмета, а индекс 1 - к пространству изображения Коэффициенты разложения есть частные производные углового эйконала по соответствующим переменным в

точке (0,Оо,0,<20

При этом согласно свойству эйконала будут выполняться следующие дифференциальные уравнения

/ °Чо т0 / »01 щ

Для установления связи между координатами изображения и предмета с помощью угловой характеристики дифференцируем (32) с учетом (33), получаем систему уравнений

т° (34)

т\

Исключив из получившейся системы уравнений величину ци получаем зависимость ординат в пространствах предмета и изображения в виде (35)

Поскольку координаты стигматического изображения не должны зависеть от угловых компонент, то с необходимостью второе слагаемое в (35) полагаем равным нулю В результате этой операции установим зависимость

28

у,+в0-в1е1-£>1е0 =

= ,0 (35) ^ Ат1 ) I °1тот1

между 2-координатами предмета и изображения и устанавливаем положение

аппликат переднего и заднего /V фокусов

Р0=-М0А„ =М1В1, (36)

где Ма А/; - г-угловые компоненты оптической оси в пространствах предмета и изображения, соответственно Выберем две системы координат с началами в точках аппликат фокусов, положив 20 = <-„ 2, = г, - Р1,

тогда зависимость между г-координатами предмета и изображения будет иметь вид =~МаМхО* В частности, это соотношение выполняется для главных плоскостей г0 = /0, 2, = /,, тогда для Z-пpoeкций фокусных расстояний/о исправедливо следующее равенство /о (37)

Следовательно, для аппликат точек предмета и изображения справедливо соотношение Ньютона = /0/( Соотношение (35) (без второго нулевого слагаемого), если ввести обозначения ]\ =М1С1, /а = -л/0£>1, перепишется в виде

(4,-Л(2о-Р,е,)г, . /о С | (в0-в&-р1оа)г0') 8.

/> /0 J

При этом между параметрами АОС2 и коэффициентами разложения углового эйконала установим следующие соответствия

с0 а,с0

(39)

м0 ^

М, с3^0-с0й з

Таким образом, проблема реализации параксиальной оптической системы сводится к решению системы уравнений

м„о1 + /0= о

Л-А2о=о

В первой части главы показано, что использование разложения углового эйконала при решении системы (40) недостаточно для построения реальной, необходимо точное выражение углового эйконала

На рис 9 изображена рассчитанная система для случая сферической поверхности, имеющей наклон к оси аппликат 5°

Рис 9 Параксиальная схема с наклонными оптическими осями На рис.10 представлены графики плотности лучей в плоскости

параксиального фокуса, соответствующие семейству лучей, равномерно

распределенных по концентрическим окружностям на входном зрачке

(рис 10а) Главный луч, идущий вдоль оптической оси, пересекает ось

аппликат в заднем фокусе, а все остальные лучи пучка расположены по одну

сторону от него Изображение осевой точки обладает несимметричной

положительной аберрацией, СКО которой почти линейно изменяется в

зависимости от величины светового диаметра на входном зрачке (рис 106)

В качестве примера использования двух поверхностей при построении

оптической системы с плоскостной симметрией рассмотрена схема

изображающего звездного интерферометра, скомпонованного около

обзорного телескопа на основе предфокальной укорачивающей системы

двухзеркальных телескопов Главные зеркала ветвей интерферометра

расположены на периферии главного зеркала обзорного телескопа (рис 11)

-0 2 -0 1

0

01

02

о

10 б)

20

О мм

Рис 10 Графики плотности лучей в плоскости параксиального фокуса (а) и зависимость СКО суммарной аберрации в параксиальном фокусе от величины светового радиуса пучка на входном зрачке (б)

Рис 11 Схема изображающего звездного интерферометра,

ГЗ - главные зеркала, ВЗ - вторичные зеркала, ПИ - плоскость изображения

В начальном положении использована брахитная схема относительно главного и вторичного зеркал модулей интерферометра В результате габаритного расчета получены следующие характеристики вершинные радиусы кривизны - 111=-1, К2=0,4, алгебраическое расстояние между зеркалами - Ь=-0,3, эффективный диаметр главного зеркала - О¡=0,1 Конические постоянные выбраны по критерию апланатизма к!=-6,3, к2=4,3. Решение системы, аналогичной (40), согласования параметров коллинеации и параксиальной системы с наклонными оптическими осями, направление которых задано начальной брахитной схемой, представлено на рис 12 В качестве свободного параметра выбрана децентрировка главного зеркала

13,

Рис.12. Зависимости параметров АОС2 от свободного параметра, поперечного смещения главного зеркала а) угла наклона главного зеркала, б) ординаты начала координат в пространстве изображения, в) поперечного смещения вторичного зеркала, г) угла наклона вторичного зеркала,

Для одного из решений {й1,е1,й2,г2,У2}={0,04, 2,173°, 0,022, 3,37°, -4,825 10"3} проведено сравнение аберрационных характеристик брахитной и

рассчитанной параксиальной схем (рис 13) В отличие от графиков (а,б),

где использовалась брахитная схема модулей, эллиптическая форма

аберрационного пятна на (в,г) не меняется по полю Поле изображения

практически плоское (дг = -0,5о\ ст = 2,7 10~5|/?,|), а разность дисторсий для

двух модулей (Д£) = 0Дсг), тогда как аналогичные характеристики для

неисправленной схемы составляют Дг ~ -20<т, ДО = 0,5а Кривизна поля

уменьшена в 40 раз, а разность дисторсий - в 5 раз, а именно эти аберрации

являются ограничивающим фактором при разработке звездных

изображающих интерферометров

Рис 13 Распределение лучей в плоскостях изображения брахитной апланатической системы (а,б) и рассчитанной параксиальной системы (в,г) двухзеркального телескопа Графики на (а,б) получены в плоскостях наилучшей наводки, графики на (в,г) в расчетной параксиальной плоскости

Заметим, что при этом никаких специальных операций по минимизации кривизны поля и изменения дисторсии не проводилось Как и ожидалось, параксиальная схема относительно наклонной оптической оси привела к улучшению осесимметричных свойств наклонного изображения Кроме того, не проводилось и расчетов хода лучей через систему, вся система и почожение кардинальных точек и изображения, подвижки зеркал были указаны аналитически в результате решения системы уравнений

Выводы из главы 5.

1) Использование приближенной формулы углового эйконала не позволяет построить параксиальную абсолютную оптическую систему вследствие ограничений на величину подвижек оптической поверхности Решение задачи возможно только с применением точной формулы эйконала возмущенной поверхности

2) Существует множество решений при построении параксиальной АОС2 на основе одной оптической поверхности Наиболее простое решение достигается при выборе фокусных отрезков в качестве свободных параметров

3) Аберрационное пятно параксиальной АОС2 на основе одной поверхности несимметрично Оно расположено по одну сторону от идеального изображения Аберрационное пятно в случае двух поверхностей обладает симметрией относительно оптической оси Оно имеет овальную форму

4) Построение АОС2 в случае двухзеркальной системы позволило улучшить аберрационные характеристики, дисторсия уменьшена в 5 раз, кривизна поля изображения - в 40 раз, по сравнению с аналогичной брахитной системой

5) Выбор оптимальных подвижек параксиальных АОС2 и расчет характеристик системы, положение фокусов, кардинальных точек направлений оптической оси, осуществляется аналитически без применения пргарамм расчета хода лучей

Глава 6 посвящена разработке аналитического метода аберрационного расчета оптической поверхности для нормальной системы лучей В основе метода лежит точное выражение углового эйконала, его дифференциальные свойства и известное положение, что полурезкое изображение точечного предмета оптической поверхностью лежит на побочной оси XX' (рис 14),

Рис 14 Преломление лучей внеосевой точки предмета на коникоиде

соединяющей точку предмета и центр кривизны поверхности в точке преломления Зная положение побочной оси, и используя выражение координат точки изображения через производную углового эйконала, можно определить множество полурезких изображений следующим образом

х

т'

р = л](рс1х(а) + т$т(а))г + <?2, ¡?= О, т=тсов(а)~ рал(а)

На рис 15 представлены результаты расчета по формуле (41) плотности точек полурезкого изображения внеосевой точки предмета для сферы (а), параболоида (б) и гиперболоида (в)

001

800 850

а)

850 900 6)

Рис 15 Зависимости продольной плотности множества изображения внеосевой точки предмета (передний отрезок 8=-300 мм, вершинный радиус поверхности Я=100мм) от величины задн'его отрезка На графиках указаны значения конической постоянной (к), угла поля зрения (<р) и коэффициент продольной асимметрии Вертикальными штриховыми линиями отмечены положения максимальной плотности и среднего значения

Коэффициент продольной асимметрии рассчитан по формуле сШ

Р — р

£ = 5 тах_

N

Л5', = я; - 5',

/ f тп2Х / ггап

(42)

Здесь N - общее число лучей в пучке.

Коэффициент продольной асимметрии характеризует форму кривой плотности точек изображения Плоскость максимальной плотности точек изображения обычно не совпадает с плоскостью максимальной плотности лучей, поскольку кроме точек изображения в плоскости изображения присутствует фон в виде лучей, строящих изображение в других плоскостях Если плотность лучей в изображении точки оценивать с помощью

35

среднеквадратического отклонения а (СКО), то для сравнения на рис 16 приведены распределения координат лучей в плоскостях максимальной плотности (а) и плоскости минимального СКО для внеосевой точки изображения (б) С точки зрения энергетики, если плотность лучей ассоциировать с плотностью энергии, то предпочтение в выборе плоскости наводки следует отдать случаю максимальной плотности точек изображения

у, мм

Рис 16. Распределения координат лучей в плоскостях изображения в неосевой точки предмета (передний отрезок 8=-300 мм, вершинный радиус поверхности 13=100мм, полевой угол ф=5°)

Выводы из главы 6.

1) Точный аберрационный анализ изображения точечного предмета в плоскости сечения может быть проведен с использованиемточных выражений углового эйконала поверхностей вращения второго порядка

2) Оптимизация системы может быть проведена по критерию минимума продольной аберрации с учетом дисторсии и асимметрии изображения

Глава 7 посвящена проверке методики расчета и оптимизации оптических систем, развитой в главе 6 Для примера рассмотрен расчет склеенного объектива для телескопической системы Аналогом служил объектив из каталога Поскольку расчет множества полурезких изображений для заданной схемы происходит аналитически, то выбор параметров исходной схемы проводился прямым перебором всех возможных сочетаний пар стекол из каталога Уже на этой стадии были получены объективы,

превосходящие аналог по продольной хроматической и продольной аберрации полурезкого изображения На следующем этапе по критерию минимума продольной протяженности множества полурезкого изображения методом градиентного спуска получен оптимальный объектив В таблице представлены конструктивные параметры объектива-аналога и

Объектив МЛИ-1 3 1 4 (165 + 149)

Я 1 пО марка стекла

62,81 4 1 516 КВ

-47,64 2 1673 ТФ2

-144,88

Объектив 2 199(85 + 114)

Я 1 пО марка стекла

64,975 49,703 -169,564 зев 2,203 1,579 1,74 БФ7 ТФ4

Таблица Параметры каталожного объектива (слева) и объектива, имеющего Абсолютный" оптимум по критерию минимума продольной протяженности множества полурезкого изображения (справа) Поле зрения объективов 12°, диаметр диафрагмы первой поверхности 24 мм

рассчитанного объектива Объектив МЛИ-1 имел протяженность множества полурезкого изображения 165 мкм и продольную хроматическую разность 149 мкм Соответствующие характеристики рассчитанного объектива - 85 и 114 мкм

аи'°0, мкм 4Г

-10305

Рис 17 Распределение лучей в плоскости минимума СКО лучевой аберрации для точки предмета на краю поля зрения объектива МЛИ-1 (а) и рассчитанного объектива (б) и разность СКО лучевой аберрации данных объективов в зависимости от полевого угла (в)

Распределение лучей в плоскостях наилучшей наводки для полевой точки предмета при 6° для сравниваемых объективов представлено на рис 17

37

Там же приведена разность СКО лучевой аберрации для аналога и рассчитанного объектива в зависимости от полевого угла

Как видим, предложенный метод позволил улучшить интегральные аберрационные характеристики телескопического объектива, причем это достигнуто с использованием аналитического метода расчета и оптимизации Выводы из главы 7.

1) Основанный на точном выражении для углового эйконала оптической поверхности аналитический метод оптимизации оптических систем является достаточно эффективным и допускает полную автоматизацию расчетов

2) Использование простых формул при определении положения множества точек изображения позволяет эффективно применять метод прямого перебора при улучшении характеристик оптических систем, рассчитанных и оптимизированных по другим методикам

Заключение

В работе была поставлена задача создания методики анализа и расчета оптических систем с плоскостной симметрией Предполагалось в основу положить разработку тех положений теоретической оптики, которые до последнего времени содержали пробелы Не была развита теория коллинеации систем с плоскостной симметрией, поскольку не было перспективы ее применения Развитие такой теории было бы оправдано, если бы существовало выражение для углового эйконала оптической поверхности, имеющей, в результате перемещений в пространстве, плоскостную симметрию Такого выражения также не существовало

Когда эти две задачи в данной работе были решены, то оказалось, что сфера применений точного выражения углового эйконала значительно шире узкой задачи создания аналога оптики Гаусса для наклонных лучей Во-первых, появился инструмент для исследования свойств параксиальной оптики, более совершенный, чем инварианты Гульстранда-Юнга, а во-

вторых, процесс расчета и оптимизации оптических систем, осесимметричных с плоскостной симметрией и других, перешел в разряд аналитических Единственное требование - это наличие точного выражения для углового эйконала оптических поверхностей системы - и оно было получено в данной работе

Хочется надеяться, что применение развитых в данной работе теорий и методик даст новый толчок в исследовании свойств оптических систем и качества оптического изображения и приблизит расчет и оптимизацию оптических систем к чисто аналитическому процессу Круг вопросов, которые могли бы быть рассмотрены с позиций точного выражения эйконалов, широк - по сути, все положения современной вычислительной оптики

Основные научные труды по теме диссертации.

1 Смирнов А П Аберрации разъюстировки оптических систем, исследованные в рамках теории эйконала ЗейделяУ/ Оптика и спектроскопия -1995 Т 78 №1 С 165-173

2 Смирнов А П Угловой эйконал коникоида// Оптика и Спектроскопия -2006 т 101, № 2.

3 Смирнов А П , Демин А В , Серегин А Г, Канаев И И, Сопряжение звездного интерферометра с обзорным изображающим телескопом// Изв ВУЗов Приборостроение, -2006 Т 49 №1 С 48-52

4 Багров А В , Лебедева Г И, Лахтиков В Б , Румянцев А А , Серегин А Г, Смирнов А П Анализ оптических схем здездного интерферометра ОЗИРИС// Оптический журнал -2006, Т 73 №4 с 93101

5 Смирнов А П Идеальная оптическая система с двухсторонней симметрией//Оптика и спектроскопия -2004 Т97 В 6 С 1043-1049

6 Смирнов А П Оптика наклонных и косых лучей коникоида// Оптика и спектроскопия -2006 Т 101 №3 С 502-510

7 Смирнов А П Аналитический метод аберрационного расчета оптических систем// Оптика и спектроскопия -2007 Т 102 №1

8 Смирнов А П , Серегин А Г Проектирование многозеркальных систем с плоскостной симметрией Доклад на Международном оптическом конгрессе "Оптика-XXI век"Д6-20 октября 2006 г Санкт-Петербург

9 Смирнов А П Угловой эйконал и расчет оптических систем Доклад на Международном оптическом конгрессе "Оптика-XXI век", 16-20 октября 2006 г Санкт-Петербург

10 Смирнов А П Метод Каули при анализе интерферометра с дифракционной решеткой Оптика и спектроскопия, 1987, т 63, в.4, с 888-895

ПАР Smirnov Convolution formulation of diffraction for gratmg system, Proceedmg of SPIE, Diffractometry and Scatterometry, Warsaw, Poland 2428 may 1993, V 1991, p 87-94

12 Смирнов АП Каскадные дифракционные системы при частично когерентном освещении анализ методом свертки эффектов Тальбота и Лау Оптика и спектроскопия, 1986, т 61, в 4, с 821-827

13 Смирнов А П. О безлинзовом оптическом преобразовании Фурье с помощью дырчатой маски и метода анализа интерферограмм на его основе в модифицированном интерферометре Тальбота Оптика и спектроскопия, 1987, т 62, в 3, с 636-643

14 Смирнов А П Об измерении фокусного расстояния линз на основе эффекта Тальбота Сравнительный аналитический обзор Оптика и спектроскопия, 1993, т.74, в 1, с 202-209

15 Смирнов А П О возможности измерения аберраций в выходном зрачке оптической системы с помощью интерферометра поперечного сдвига с протяженным источником белого света Оптика и спектроскопия, 1993, т75, и 1, с 193-203

16 Смирнов А П Влияние частичной пространственной когерентности на контраст саморепродуцированных изображений периодического транспаранта Оптика и спектроскопия, 1986, т 61, в 3, с 618-623

17 Смирнов А П Теория формирования изображений Френеля периодических транспарантов неограниченных размеров Оптика и спектроскопия, 1977, т 43, в 4, с 755-759

18 Смирнов АП Изображения Френеля периодических транспарантов конечных размеров Оптика и спектроскопия, 1978, т 44, в 2, с 359-365

19 Смирнов А П Глубина фокусировки изображений Френеля Оптика и спектроскопия, 1979, т 46, в 3, с 574-578

20 Смирнов А П Синтез промежуточных ракурсов на основе эффекта Тальбота Оптика и спектроскопия, 1980, т 48, в 5, с 980-982

21 Смирнов А П Дифракционное поле Френеля плоских объектов с дискретным пространственным спектром Оптика и спектроскопия, 1986, т 61, в 2, с 380-386.

22 Смирнов А П Развитие принципов построения датчиков волновых фронтов Тальбота 1 Определение параметров поля в плоскости периодического транспаранта Оптика и спектроскопия, 1986, т 61, в 5, с 1096-1101

23 Смирнов А П Способ определения параметров поля в пучке электромагнитного излучения А С №1363938 от 1 09 1987 г

24 Смирнов А П Исследование физических принципов интенсивностной интерферометрии, основанной на эффекте Тальбота Диссертация ЛГУ, 1988

25 Смирнов А П Поле дифракции Френеля многорешетчатой системы при освещении точечным источником многорешетчатый эффект Тальбота Оптика и спектроскопия, 1990, т 69, в 2, с 435-440

26 Смирнов А П Об эффекте Тальбота для амплитудно-фазовых периодических транспарантов Оптика и спектроскопия, 1990, т 69, в 5, с 1179-1182

27 Смирнов А П Дифракционно-ограниченные характеристики в методе муаровой интерферометрии Тальбота Оптика и спектроскопия, 1991, т.70, в 1, с 136-141

28 Смирнов А П О контрасте и форме сигнала в растровой измерительной системе Оптика и спектроскопия, 1991, т70, в 5, с 1156-1162

29 Смирнов А П , Гальперн А Д Влияние ошибок периодического транспаранта на изображения Френеля Оптика и спектроскопия, 1980, т 48, в 3, с 589-593

30 Смирнов А П Новый метод оценки погрешности приближения Френеля дифракционного интеграла в ближней области дифракции Оптика и спектроскопия, 1992, т 73, в 5, с 989-998

31 Смирнов АП Компьютерное моделирование измерительных процессов Практикум в среде MathCAD на примерах их механики и оптики СПб, ГУ ИТМО, 2006 г , 99с

32 Смирнов А П Исследование погрешностей оптической системы на ее модели, Приборостроение, №4,2007, 51-55

33 Смирнов А П Модель оптической системы в среде MathCad, Приборостроение, №4,2007, 56-62

Подписано в печать 01 08 2008 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 2,4 Тираж 50 экз Заказ № 876

Отпечатано в ООО «Издательство "J1EMA"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В О , Средний пр , д 24, тел /факс 323-67-74 e-mail izd_lema@mail ru

Введение.

Глава 1. Методы анализа оптических систем, обладающих плоскостной симметрией.

1.1. Аберрации децентрировки на основе теории Зейделя

1.2. Аберрации разъюетировки оптических систем в рамках теории эйконала.

1.2.1. Разложение углового эйконала разъюстированной асферической поверхности.

1.2.2. Компенсация аберраций третьего порядка звёздного интерферометра.

1.3. Описание систем с плоскостной симметрией.

1.3.1. Инварианты Гульстранд а-Юнга

1.3.2. Теория солинейного сродства Русинова.

1.3.3. Теория Сесяна волновых аберраций систем с двухсторонней симметрией.

1.4. Метод свёртки при анализе когерентных оптических систем.

Выводы из главы 1.

Глава 2. Точная формула углового эйконала коникоида.

2.1. Уравнение коникоида.

2.2. Точечная характеристика и угловой эйконал коникоида.

2.2.1. Теоретические положения.

2.2.2. Формула углового эйконала.

2.2.3. Обобщение углового эйконала одной и двух поверхностей на коллинеарные пространства.

2.2.4. Свойства углового эйконала.

2.3. Формулы углового эйконала коникоида.

2.3.1. Угловой эйконал наклонного коникоида.

2.3.2. Угловой эйконал наклонного параболоида.

2.3.3. Угловой эйконал децентрированного коникоида.

2.4. Точечная характеристика плоской поверхности.

Выводы из главы 2.

Глава 3. Параксиальная оптика наклонных и косых лучей коникоида

3.1 Наклонные лучи.

3.2. Параксиальные свойства систем с наклонными лучами.

3.2.1. Апертурные лучи.

3.2.2. Полевые лучи.

3.2.3. Кривизна фокальных и главных поверхностей.

3.3. Аберрации коникоида.

3.4. Косые лучи.

Выводы из главы

Глава 4. Абсолютная оптическая система с плоскостной симметрией 98 4.1. Общие свойства абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией.

4.1.1.Телескопическая АОС (Ьо=с0=0).

4.1.2. Общий случай АОС2.

4.1.3. Частный случай АОС2 с плоскостями предмета и изображения, параллельными фокальными плоскостями.

4.1.4. АОС2 с нормальными к оси аппликат фокальными плоскостями (Ь0=Ьз=0).

4.1.5. Обобщение АОС2 на наклонное положение плоскостей предмета и изображения.

4.1.6. Композиция из двух АОС2 (нормальная конфигурация).

Выводы из главы

Глава 5. Реализация абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией

5.1.Вывод соотношений, связывающих параметры нормальной АОС2 с производными углового эйконала.

5.1.1. Построение АОС2 с использованием разложения углового эйконала одной поверхности по параметрам разъюстировки (нормальная конфигурация).

5.1.2. Оценка погрешности.

5.2. Реализация АОС2 с помощью точной формулы углового эйконала

5.2.1. Построение АОС2 на основе одной оптической поверхности.

5.2.2. АОС2 на основе двух оптических поверхностей.

Выводы из главы

Глава 6. Аналитический метод аберрационного расчёта оптической поверхности.

6.1. Точечный предмет на оптической оси.

6.1.1. Симметричное изображение осевой точки предмета. Продольная сферическая аберрация.

6.1.2. Волновая, лучевая аберрации и аберрация полурезкого изображения осевой точки предмета.

6.2. Точечный предмет вне оптической оси.

6.2.1. Изображение внеосевой точки предмета.

6.2.2. Аберрации внеосевой точки изображения.

Выводы из главы

Глава 7. Реализация аналитического метода

7.1. Объектив из двух склеенных линз.

7.1.1. Выбор исходной конструкции.

Выводы из главы 7.

Плоскостная симметрия в оптических системах встречается в различных видах. Будем рассматривать следующие типы плоскостной симметрии.

1) Меридиональная симметрия внеосевых пучков в осесимметричных системах, с которой связаны внеосевые аберрации. Она встречается в подавляющем числе оптических систем.

2) Не менее распространён тип плоскостной симметрии, возникающий в результате внеосевых погрешностей положения оптических элементов. В отличие от первого типа в данном случае плоскость симметрии связывается с отдельной возмущённой поверхностью и поворачивается относительно общей оптической оси при переходе от одного элемента к другому. С данным типом плоскостной симметрии связывают аберрации децентрировки.

В указанных двух типах плоскостной симметрии сохраняется осесимметричная система зрачков и положений кардинальных точек. Следующие два типа плоскостной симметрии являются конструктивными.

3) Известны брахитные двухзеркальные телескопические системы Форстера и Фрича, см., например, [1, с. 232], использующие внеосевые поверхности осесимметричной системы для устранения центрального экранирования. "Брахитная" плоскостная симметрия -это тип меридиональной плоскостной симметрии с наклонной или параллельно смещённой оптической осью, в качестве которой выступает, например, главный луч наклонного (смещённого) пучка.

4) Обобщение брахитной плоскостной симметрии можно получить, если позволить оптическим поверхностям поперечное смещение в плоскости симметрии и наклон относительно оси, перпендикулярной к плоскости симметрии. Назовём условно этот тип плоскостной симметрии - конструктивным.

Для систем с плоскостной симметрией типа 3 и 4 зрачки как параксиальное изображение апертурной диафрагмы (ГОСТ 7427-76), строго говоря, не определены. Не существует и теории параксиального изображения относительно наклонной или параллельно смещённой оси. Родионов С.А. [2] предлагает исключить понятие зрачка для нецентрированных систем и пользоваться концепцией апертурной диафрагмы. Сопряжение точек предмета и изображения предполагает наличие эталона, параметры которого неизвестны. Можно проводить сравнение не с эталоном, а со специально выделенным волновым фронтом, связанным, например, с главным лучом пучка. В этом случае неявно предполагается наличие некоторого эталона, связанного с главным лучом. В этом направлении выполнена работа Гана М.А. [65], в которой для вычисления аберраций нецентрированных систем рассматривается разложение разности эйконалов для главного и апертурного лучей. Сесян [30] строит эталон, используя инварианты Гульстранд а-Юнга, для построения разложения функции волной аберрации по пяти параметрам (к трём параметрам центрированной системы добавляются параметры углов наклона плоскостей предмета и изображения в системах с плоскостной симметрией). Русинов М.М. в монографии [29] строит две теории солинейного сродства (меридиональную и сагиттальную) относительно наклонного главного луча в меридиональной плоскости по аналогии с параксиальной оптикой Гаусса. Данные теории остаются неполными, поскольку не решены задача пространственного положения плоскостей предмета и изображения, а также положения главных плоскостей и кардинальных точек. Одной из задач данной работы является устранение данного пробела в теории.

В гл. 1 дан краткий обзор методов исследования систем с первыми двумя типами плоскостной симметрии. Это объясняется тем, что данная работа в основном посвящена исследованию конструктивного типа плоскостной симметрии, которая, на данный момент не имеет теоретической базы, а развиваемые в данной работе теоретические основы конструктивного типа плоскостной симметрии являются полностью оригинальными.

Современная геометрическая оптика имеет два направления: первое -это "математическая оптика", а второе "техническая оптика". Однако, основная задача технической оптики - расчёт эффективных оптических систем на базисе математической оптики - пока остаётся не только наукой, но и искусством оптика-расчётчика. Цель данной работы состоит в поиске аспектов математической оптики, не востребованных или недостаточно разработанных, таких, чтобы их решение помогло расширить возможности научного подхода к расчёту оптических систем, включая случай плоскостной симметрии в указанных выше смыслах.

Основой расчётной оптики служит теория характеристических функций. Известно, что математическая модель оптической системы может быть построена на основе характеристических функций Гамильтона [3], см. также в [4, гл.14], для четырёхмерного множества лучей. Основное уравнение Гамильтона неявно содержит все законы образования и свойства оптического изображения. Оно удивительно просто выводится [4, с. 151] и имеет вид

--4 ' ' ' 0 = — ' , g = u,v,w,í. (1) дg

Здесь А и А' - поверхности в четырёхмерных пространствах, а 5 и оптические направляющие косинусы в пространствах предмета и изображения, соответственно, в произвольно выбранной системе координат. Е - оптический путь между точками поверхностей А и А', или точечная характеристика. - параметры множества лучей.

Соответствие между лучами б из' можно установить с помощью (1), если точка А пространства предмета и/или точка А' пространства изображения не лежит на бесконечности. В противном случае пользуются смешенными или угловой характеристиками. Смешенная характеристика V' и соответствующее дифференциальное уравнение Гамильтона имеют вид

У' = Е-ЛУ

-» -Ц--- =----А (и,v,iv,0---£ = ы, v, . дg дх

В данном случае в пространстве изображения выбирается система координат с взаимно параллельными осями с внешней системой и началом в точке А'. Из определения смешенной характеристики следует, что V' есть оптический путь между точкой А и основанием перпендикуляра, опущенного из А' на луч в пространстве изображения. Как следует из дифференциального уравнения в (2), данная смешенная характеристика применяется, если для точки предмета в пространстве изображения не существует, по крайней мере, двух параллельных лучей, другими словами точка предмета расположена вдали от переднего фокуса оптической системы.

Аналогично смешенная характеристика V, имеющая вид и соответствующее дифференциальное уравнение

У = Е +Аз дg дх применяется, если точка изображения не находится вблизи заднего фокуса оптической системы.

Наконец, угловая характеристика объединяет дополнительные свойства данных смешенных характеристик и задаётся уравнениями г /

Т = Е + Ая - А я дУ'(и,у,-. . д$(и,у,м>,() . (4) -^ ' у =--4 'А'(и,у,щ0+ ' А(и,у,ч>,0, g = u,v,w,t.

Угловая характеристика, очевидно, не используется для описания телескопических систем.

Модификацией уравнений Гамильтона является метод Брунса [5], см. также [4, с. 182], в котором два параметра отнесены к пространству предмета, а два других - к пространству изображения и объектом исследования являются два множества прямых трёхмерного пространства, зависящих от двух параметров (конгруэнции лучей). Связующим звеном двух конгруэнций является характеристическая функция или эйконал (по Брунсу), представляющая собой оптический путь между специально выбранными точками в пространствах предмета и изображения для произвольной оптической системы. Тот или иной вид эйконала выбирается в зависимости от типа системы.

Так как в методе Брунса поверхности вида А(и,у), А'(и'У) и оптические направляющие косинусы я(и,у), з\и',у') представлены независимыми параметрами, то полный дифференциал характеристической функции из (1) (эйконала Брунса) имеет вид

ЗА' дА' ЗА дА йЕ - 5'— йи' + я'-йу' - 5—йи -5—<Ь . ди' ду' ди ду

5)

Из (5) следуют две системы уравнений ди ди' ду' ду' 5 п 2 дА ди ди аг ду ду

2 2 5 = п

6)

Следовательно, располагая заданными значениями Е, можно по А' определить / ,апо А определить 5.

Аналогично, располагая явным видом других эйконалов Брунса, можно определять соответствующие характеристики оптического изображения. Так по виду углового эйконала и заданным направлениям луча, как следует из (4), можно определить пространственное положение точек в пространствах предмета и изображения, то есть получить изображение каждой точки пространства. На этом пути Герцбергером построена точная теория аберраций [4, ч.УП], им же получена точная формула эйконалов для сферической поверхности в системе координат с началом в центре сферы.

В общем случае Герцбергер использует прямой метод, в котором эйконалы исключаются из уравнений Гамильтона с помощью оптического дифференциального инварианта Лагранжа. Полагая, по-видимому, что развиваемый им "прямой метод" достаточно мощный способ анализа оптического изображения, Герцбергер не ставит задачу нахождения общего аналитического выражения эйконалов поверхностей второго порядка в произвольной системе координат, а развивает приближённую теорию аберраций любого порядка и, в как частный случай, аберраций Зейделя.

Аналитические трудности вывода выражения для эйконалов поверхностей второго порядка при произвольном выборе системы координат не имеют принципиальных ограничений [7] и сводятся лишь к достаточно громоздким алгебраическим преобразованиям при решении нелинейных систем. В главе 2 приведён вывод точного выражения углового эйконала коникоида, имеющего наклон и децентрировку.

Преимуществом применения теории эйконала при расчёте аберраций является более широкие возможности анализа систем параксиальной оптики наклонных лучей, опирающейся, как известно, на инварианты Гульстранд а-Юнга для сферической поверхности. В гл. 3 параксиальная оптика наклонных и косых лучей развита на основе углового эйконала поверхностей второго порядка.

Далее, построение теории коллинеации систем с плоскостной симметрией не имело перспективы, поскольку аналитический вид характеристических функций оптических поверхностей, имеющих в общем случае значительные децентрировку и наклон, отсутствовал, как полагалось принципиально, а точное выражение углового эйконала именно таких поверхностей лежит в основе построения аналога оптики Гаусса наклонных пучков. С получением точного выражения эйконала построение теории дробно-линейных преобразований систем с плоскостной симметрией обрело смысл. Такая теория построена в главе 4.

Реализация гауссовых систем с плоскостной симметрией в отличие от осесимметричного случая, когда требуется выполнение лишь одного инварианта Аббе, как, оказалось, требует дополнительно удовлетворения большего числа условий в виде системы нелинейных трансцендентных уравнений. Эта задача решена для одной и двух поверхностей в главе 5.

Другой полезной особенностью точного выражения эйконала для оптической поверхности с произвольным пространственным расположением является возможность построения точной теории аберраций системы независимо от пространственного расположения её составляющих. Аберрации рассматриваются в плоскости сечения, плоскости, содержащей точку предмета и центр касательной сферы в точке преломления (отражения). Точные выражения аберраций могут быть использованы в качестве целевых функций при оптимизации системы. Этому вопросу посвящена гл. 6.

В гл. 7 на примере расчёта склеенного объектива проиллюстрированы возможности аналитического метода. Удалось улучшить характеристики каталожного объектива, но главное, что аналитический метод расчёта не требует доводки с помощью расчётов хода лучей. Метод проб и ошибок, применяемый на второй стадии оптимизации, как известно, требует мастерства, интуиции и искусства расчётчика. В данной работе оптимизация системы осуществлялась только с помощью точных выражений продольной хроматической и монохроматической аберраций в плоскости сечения, зависящих от параметров системы.

Все аналитические выводы апробированы с помощью расчётов на математических моделях в среде МаШСАО. Документы расчётов представлены в приложениях.

1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

В большом числе случаев оптические системы работают в условиях, которые можно описать в рамках плоскостной симметрии. Теории систем с плоскостной симметрией общего вида к настоящему времени не существует, поэтому построение такой адекватной теории актуально.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

Цель работы - разработка методики расчёта оптических систем, опирающейся преимущественно на аналитические методы оптимизации, не предполагающие использование метода проб и ошибок.

3. ИДЕЯ РАБОТЫ.

Основная идея работы - использование точного выражения углового эйконала при анализе характеристик изображения и расчёте оптимальной конструкции.

4. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1) Вывод точных выражений углового эйконала коникоида.

2) Построение теории коллинеации систем с плоскостной симметрией.

3) Вывод условий реализации абсолютной оптической системы с плоскостной симметрией на примере одной и нескольких оптических поверхностей.

4) Построение теории параксиальной оптики наклонных и косых лучей коникоида.

5) Разработка аналитического метода расчёта и оптимизации оптических систем.

5.МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ.

Теоретически методы исследований опираются на свойства эйконалов, методологически - все выводы теории проверялись расчётами и графиками в среде MathCAD.

6.ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1) Функция углового эйконала коникоида в произвольном пространственном положении имеет точное аналитическое описание.

2) Характеристики астигматизма оптической поверхности второго порядка наклонных и косых узких пучков есть второе приближение в разложении функции углового эйконала в ряд Тейлора.

3) Для дробно-линейного преобразования с плоскостной симметрией существует косоугольная система координат, в которой преобразования имеют форму, аналогичную той, какую они имеют в случае осевой симметрии.

4) Для оптической системы из одной и двух поверхностей с плоскостной симметрией существуют условия, позволяющие реализовать абсолютную оптическую систему в окрестности наклонного главного луча.

5) Полурезкое изображение, построенное произвольной оптической системой, имеет аналитическое описание на основе свойств углового эйконала.

6) Оптическая система может быть оптимизирована аналитически на основе теории полурезкого изображения.

7. ДОСТОВЕРНОСТЬ НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Каждый вывод теории проверялся на модели оптической системы. Сама же модель оптической системы опробована при исследованиях оптических систем телескопов [8], [9], где при расчёте и анализе оптических схем использовалась данная модель оптической системы (см. приложение 1) и вычислительные комплексы CAPO и ОПАЛ.

8.НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ.

Положения, выносимые на защиту, получены впервые и опубликованы в статьях [7], [10-12].

9. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Разработанная в диссертации методика аналитического расчёта и оптимизации оптики сокращает время расчёта и повышает точность и эффективность результатов.

10. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Метод аналитического расчёта оптики опробован на примере расчёта склеенного объектива (гл.7). Сравнение результатов расчёта с объективом для телескопических систем МЛИ-1 из каталога в справочнике [13, с. 164] показало, что предлагаемый метод позволяет значительно улучшить характеристики каталожного объектива.

11. ПУБЛИКАЦИИ.

Материалы диссертации опубликованы в 33 научных статьях.

12. ОБЪЁМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

Объём диссертации 244 страницы, диссертация состоит из семи глав, введения и заключения и восьми приложений.

Выводы из главы 7.

1) Основанный на точном выражении для углового эйконала оптической поверхности аналитический метод оптимизации оптических систем является достаточно эффективным и допускает полную автоматизацию расчётов.

2) Использование простых формул при определении положения множества точек изображения позволяет эффективно применять метод прямого перебора при улучшении характеристик оптических систем, рассчитанных и оптимизированных по другим методикам.

3) Аналитический метод, основанный на угловом эйконале кривых поверхностей и точечной характеристике плоскости универсален, он пригоден для любых оптических систем, для которых известны выражения эйконалов для всех поверхностей её составляющих (вывод следует только из логических посылок из материала главы и непосредственно не подкреплён расчётами).

4) Несомненным достоинством аналитического метода расчёта на основе углового эйконала является высокая точность результатов и их достоверность.

Заключение

В работе была поставлена задача создания методики анализа и расчёта оптических систем с плоскостной симметрией. Предполагалось в основу положить разработку тех положений теоретической оптики, которые до последнего времени содержали пробелы. Не была развита теория коллинеации систем с плоскостной симметрией, поскольку не было перспективы её применения. Развитие такой теории было бы оправдано, если бы существовало выражение для углового эйконала оптической поверхности, имеющей, в результате перемещений в пространстве, плоскостную симметрию. Такого выражения также не существовало.

Когда эти две задачи в данной работе были решены, то оказалось, что сфера применений точного выражения углового эйконала значительно шире узкой задачи создания аналога оптики Гаусса для наклонных лучей. Во-первых, появился инструмент для исследования свойств параксиальной оптики, более совершенный, чем инварианты Гульстранд а-Юнга, а во-вторых, процесс расчёта и оптимизации оптических систем, осесимметричных с плоскостной симметрией и других, перешёл в разряд аналитических. Единственное требование - это наличие точного выражения для углового эйконала оптических поверхностей системы.

Можно только предполагать о причинах того, что на протяжении полутора веков в теоретической и вычислительной оптике не возникло необходимости в точном выражении для эйконалов в общем случае. Хорошо известно, что уравнения Гамильтона и эйконалы Брунса являются базой построения геометрической оптики. Для вывода общих законов точного выражения эйконалов не требуется. Другое дело для анализа оптического изображения - здесь без формулы не обойтись. Развитие теории эйконала на базе рядов Тейлора привело к созданию теории аберраций Зейделя. Попытки перехода к более высоким порядкам разложения сдерживались трудностями аналитических преобразований. Разработка геометрической оптики с помощью теории рядов с одной стороны привела к созданию красивой теории аберраций Зейделя и аберраций пятого порядка, являющихся в настоящее время базой расчетной оптики. С другой стороны она отвлекла от более простого альтернативного решения, основанного на получении точного выражения эйконала не только для простых частных случаев, но и в общем случае пространственного положения асферической оптической поверхности. Значение теории эйконала оставалось в формулировке общих законов оптики.

Кроме того, в расчётной оптике, когда эйконал как оптический путь мог быть посчитан с любой требуемой точностью, необходимость в точной теории эйконала была неочевидной.

Таким образом, пробел в теории эйконала, отсутствие его точного выражения, не вызывал видимых неудобств. Другой пробел относится к теории аналога гауссовой оптики наклонных лучей. Существование двух параксиальных оптик, тангенциальной (меридиональной) и сагиттальной, основанных на инвариантах Гульстранд а-Юнга, позволяет исследовать астигматические характеристики изображения первого порядка. Но оно не позволяет соединить их в одну теорию гауссовой оптики, как параксиального предела абсолютной оптической системы. Поскольку реализация абсолютной оптической системы опирается на производные углового эйконала, то необходимость в выражении эйконала для оптических поверхностей, имеющих произвольное пространственное положение относительно внешней координатной системы, и здесь выступает на первый план.

Как видим недооценка роли эйконала в вычислительной оптике и наличие теории инвариантов Гульстранд а-Юнга наклонных лучей не вызывали потребности в точном выражении эйконалов, хотя их вывод для поверхности коникоида (глава 2) связан лишь с громоздкими преобразованиями при решении системы из линейных и нелинейных уравнений.

Хочется надеяться, что применение развитых в данной работе теорий и методик даст новый толчок в исследовании свойств оптических систем и качества оптического изображения и приблизит расчёт и оптимизацию оптических систем к чисто аналитическому процессу. Круг вопросов, которые могли бы быть рассмотрены с позиций точного выражения эйконалов, широк - это по сути все положения современной вычислительной оптики.

1. Михельсон H.H., Оптические телескопы. - М.: Наука, 1976. - 510 с.

2. Родионов С.А. Описание аберраций нецентрированных оптических систем // Оптический журнал. -1994. №8. С.13-16.

3. Hamilton W.R. The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton. Vol. I. Geometrical Optics. Cambridge. 1931.

4. Герцбергер M. Современная геометрическая оптика. M.: ИЛ, 1962. -457 с.

5. Bruns H., Leipziger Sitz. Ber.,21, 321, 1895.

6. Слюсарев Г.Г., Геометрическая оптика. М.-Л.: АНСССР, 1946.-332с.

7. Смирнов А.П. Угловой эйконал коникоида// Оптика и Спектроскопия. -2006. т. 101, № 2.

8. Смирнов А.П., Дёмин A.B., Серёгин А.Г., Канаев И.И., Сопряжение звёздного интерферометра с обзорным изображающим телескопом// Изв.ВУЗов. Приборостроение, -2006. Т.49. №1. С.48-52.

9. Багров A.B., Лебедева Г.И., Лахтиков В.Б., Румянцев A.A., Серёгин А.Г., Смирнов А.П. Анализ оптических схем здёздного интерферометра ОЗИРИС// Оптический журнал. -2006, Т.73. №4. с.93-101.

10. Ю.Смирнов А.П. Идеальная оптическая система с двухсторонней симметрией// Оптика и спектроскопия. -2004. Т.97. В.6. С. 1043-1049.

11. П.Смирнов А.П. Оптика наклонных и косых лучей коникоида// Оптика и спектроскопия. -2006. Т. 101. №3. С.502-510.

12. Смирнов А.П. Аналитический метод аберрационного расчёта оптических систем// Оптика и спектроскопия. -2007. Т. 102. №1.

13. Кругер М.Я., Панов В.А., Кулагин В.В. Погарев Г.В. Кругер Я.М., Левинзон A.M. Справочник конструктора оптико-механических приборов, машиностроение. -Л: Машиностроение, 1968, 760с.

14. Н.Смирнов А.П. Аберрации разъюстировки оптических систем, исследованные в рамках теории эйконала Зейделя// Оптика и спектроскопия. -1995. Т.78. №1. С.165-173.

15. A.E.Conrady, Month. Not. Royal Astron. Soc. 1918, v.19, № 1, p.60-69.

16. A.E.Conrady, Month. Not. Royal Astron. Soc. 1918, v.79, № 5, p.384-402.

17. A.E.Conrady, Decentered lens system, Month. Not. Royal Astron. Soc. 1919, v.79, № 1, p.384-390

18. А.Марешаль, М.Франсон, Структура оптического изображения, М., Мир, 1964. 296с.

19. A.Marechal, Imagerie geometrique. Aberrations. Ed. "Rev. Opt.", 1952.

20. A.Marechal, Rev. Opt., 1947, v.26, №9, p.257-263.

21. A.Marechal, Compt. Rend., 1949, v.228, p.668-672.

22. M.Kiuti, Educ. Univ. Tokyo, 1951, v.l, p. 15-72.

23. A.Cox, A system of optical design. N.-Y.-Lond., Focal Press, 1964, 666p.

24. Н.Н.Губель, Аберрации децентрированных оптических систем, Д., Машиностроение, 1975, 272с.

25. Г.Г.Слюсарев, Разделение переменных и основные параметры в системах из бесконечно тонких компонентов, Труды ГОИ, 1932, т.VIII, вып,76, с.38-75.

26. М.Борн, Э.Вольф, Основы оптики, М., Наука, 1970.

27. Г.Г.Слюсарев, Методы расчёта оптических систем, Д., Машиностроение, 1969.

28. Оптический производственный контроль под ред. Д.Малакары М. Машиностроение, 1985.

29. М.М.Русинов, Техническая оптика, Д., Машиностроение, 1979.

30. J.M.Sasian, How to approach the design of a bilateral symmetric optical system, Opt. Eng., 1994, V.33, №6, p. 2045-2061.

31. H.H.Hopkins, Wave Theory of Aberrations, Clarendon Press, Oxford, 1950.

32. Ефимов H.B. Краткий курс аналитической геометрии. М. 1962. 227 с.

33. Максутов Д.Д. Астрономическая оптика. Л. 1979. с.181.

34. Погарев Г.В., Киселёв Н.Г. Оптические котировочные задачи, Машиностроение, Л., 1989.

35. Н.В. Рябова, Д.Н.Еськов, Системы апертурного синтеза телескопов с прямым формированием изображения, Оптический журнал, №8, 1993, с.3-19

36. Грамматин А.П., в справ. "Вычислительная оптика", под ред. Русинова М.М. и др., Машиностроение, Л., 1984.

37. Русинов М.М., Габаритные расчёты оптических систем, Госгеологотехиздат, М., 1963.

38. Чуриловский В.Н., Теория хроматизма и аберраций третьего порядка, Машиностроение, Л., 1968.

39. Кругер М.Я., Панов В.А., Кулагин В.В. Погарев Г.В. Кругер Я.М., Левинзон А.М., Справочник конструктора оптико-механических приборов, машиностроение, Л., 1968, стр. 164.

40. Стекло оптическое бесцветное, ГОСТ 13659-78.

41. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А., Справочник по матеиатике, М., Наука, 1981.

42. Прытков А.С. Синтез линзовых видеообъективов. Диссертация. СГУИТМО, Спб., 2004.

43. Смирнов А.П. Метод Каули при анализе интерферометра с дифракционной решеткой. Оптика и спектроскопия, 1987, т.63, в.4, с.888-895.

44. A.P.Smirnov Convolution formulation of diffraction for grating system, Proceeding of SPIE, Diffractometry and Scatterometry, Warsaw, Poland 2428 may 1993, V. 1991, p.87-94

45. Смирнов А.П. Каскадные дифракционные системы при частично когерентном освещении: анализ методом свертки эффектов Тальбота и Лау. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.4, с.821-827.

46. Смирнов А.П. О безлинзовом оптическом преобразовании Фурье с помощью дырчатой маски и метода анализа интерферограмм на его основе в модифицированном интерферометре Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1987, т.62, в.З, с.636-643.

47. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М., 1970.

48. Смирнов А.П. Об измерении фокусного расстояния линз на основе эффекта Тальбота. Сравнительный аналитический обзор. Оптика и спектроскопия, 1993, т.74, в.1, с.202-209.

49. Смирнов А.П. О возможности измерения аберраций в выходном зрачке оптической системы с помощью интерферометра поперечного сдвига с протяженным источником белого света. Оптика и спектроскопия, 1993, т.75, и.1, с.193-203

50. Смирнов А.П. Влияние частичной пространственной когерентности на контраст саморепродуцированных изображений периодического транспаранта. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.З, с.618-623.

51. Смирнов А.П. Теория формирования изображений Френеля периодических транспарантов неограниченных размеров. Оптика и спектроскопия, 1977, т.43, в.4, с.755-759.

52. Смирнов А.П. Изображения Френеля периодических транспарантов конечных размеров. Оптика и спектроскопия, 1978, т.44, в.2, с.359-365.

53. Смирнов А.П. Глубина фокусировки изображений Френеля. Оптика и спектроскопия, 1979, т.46, в.З, с.574-578.

54. Смирнов А.П. Синтез промежуточных ракурсов на основе эффекта Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1980, т.48, в.5, с.980-982.

55. Смирнов А.П. Дифракционное поле Френеля плоских объектов с дискретным пространственным спектром. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.2, с.380-386.

56. Смирнов А.П. Развитие принципов построения датчиков волновых фронтов Тальбота: 1 .Определение параметров поля в плоскостипериодического транспаранта. Оптика и спектроскопия, 1986, т.61, в.5, с.1096-1101.

57. Смирнов А.П. Способ определения параметров поля в пучке электромагнитного излучения. А.С.№ 1363938 от 1.09.1987 г.

58. Смирнов А.П. Исследование физических принципов интенсивностной интерферометрии, основанной на эффекте Тальбота. Диссертация. ЛГУ, 1988.

59. Смирнов А.П. Поле дифракции Френеля многорешетчатой системы при освещении точечным источником: многорешетчатый эффект Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1990, т.69, в.2, с.435-440.

60. Об эффекте Тальбота для амплитудно-фазовых периодических транспарантов. Оптика и спектроскопия,1990,т.69,в.5,с.1179-1182.

61. Дифракционно-ограниченные характеристики в методе муаровой интерферометрии Тальбота. Оптика и спектроскопия, 1991, т.70, в.1, с.136-141.

62. Смирнов А.П. О контрасте и форме сигнала в растровой измерительной системе. Оптика и спектроскопия, 1991, т.70, в.5, с.1156-1162.

63. Смирнов А.П., Гальперн А.Д. Влияние ошибок периодического транспаранта на изображения Френеля. Оптика и спектроскопия, 1980, т.48, в.З, с.589-593.

64. Смирнов А.П. Новый метод оценки погрешности приближения Френеля дифракционного интеграла в ближней области дифракции. Оптика и спектроскопия, 1992, т.73, в.5, с.989-998.

65. Ган М.А., Новосельский В.В., Расчёт коэффициентов аберрации для нецентрированных оптических систем с голограммами в окрестности луча. Оптический журнал, 1994, №8, 17-21.