автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Теория и алгоритмы отделения и уточнения изолированных решений некоторых классов нелинейных уравнений

■лчЫ'.т-

иимтаю АкадемЦ г-йук УкраГка

вт&м шстнтут кибернетики ¡мет В. М. Глушкова

На правах рукопису

БАБИЧ Мнхайло Данилович

УДК 517.957:517.968.4

ТЕОР1Я I АЛГОРИТМИ В1ДОКРЕМЛЕННЯ ТА УТОЧНЕНИЯ 130ЛЬ0ВАНИХ РОЗВ'ЯЗКШ ДЕЯКИХ КЛАС1В НЕЛ1Н1ЙНИХ Р1ВНЯНЬ

05.13.16 — застосування обчнслювальноТ технми, матема-тичного моделювання та математичних методш в наукових достижениях

Автореферат дисертацп на здобуття вченого ступеня доктора фвико-математичних наук

КиГо — 1993

Робота виконана в 1нституй к1бернетики ¡меш В. М. Глуш-кова АН Украши.'

Науковий консультант: академик, доктор ф^зико-м атематнч-них наук, професор МИХАЛЕВИЧ В. С.

Офодиш опоненти: доктор ф^зико-математичних наук, • професор ЛУЧКА А. Ю„

доктор ф!зико-математичних наук, професор ГУДИВОК П. М.,

доктор ф!зико-математичних наук, професор ЧИКРШ А. О.

Провщна оргашзащя: 1нститут прикладних проблем мехаш-ки { математики 1м. Я. С. Шдстригача АН Украши.

Захист вибудеться ^ ■»---19//р. о-——

годин 1 на заадант спещал1зовано1 ради Д 016.45.01 при 1нститут1 ибернетики ¡меш В. М. Глушкова АН Украши за адресою:

252207 Кшв 207, проспект Академша Глушкова, 40.

3 дисертащею можна ознайомнтися у науково-техн'чному арх1в! шстлтуту.

Автореферат роз1'слашш '->—

--Ч£а---199^3 р.

Учений ссгфетар спещал1зовано1 вченоТ ради

синявськип В. Ф.

загллш ьл'кьш'жхш ыъити

ЛктIMЫli<Ltь_I£Ë*I^-J^ На сучасному отап! роз-

витку науки I техниси пауков 1 досл1д\ения багатьох складних япп.д I об"ект1н у Ф!з1:ц1, х£м51, сИологП, економИ'Л та ("шик областях д1яльност! лвдша реал!зуються ыляхок створепня ! .сосльадння ?х штематичнйх моделей. Серед таких мэделсгл г;л!д шшлити подел! багатокритер!ально! оптим! зац!!, то розглянут! у монограф! I В.ОЛ/д-халевгча, Б.Л.Волковича, макроеконом1чн1 т.лыл В, М.Глушкова, задач! матокэтично! ф1.чяяи, цо описан! в кшг ;х О.Л.Сгшарського, А.ы.Тихонова, Г. I.¡/дрчука, В. 1.Лебедева, „..окретно! ог;тим1зачН, як! наведен! в роботах 1.Б.Серг!ен::а, шдол1 ггачхИаосгI систем 1.М,Кавалвика та багато Ьшшх, ко зусгИчакзт-ся л росотах 1лМ.(-'р-мольева, О.АЛетичерського, Ь.В.Кап!тоново1, Ь'. 1.Само^ло!:иа,

A.Ф.Верланя, В.К.Задираки, В.В. 1вьнова, А.О.Чищня та 1ншлх учон/х.

Часто такими математичняш моделями в р!зпого роду

р1вилння, почянаючи В1Д нормальнкх систем нелпШ'шкх алгеб'шчннх 1 траисцендентних р!внянь I кппаючи вс!ляким:! дифе-ошцалъшдаг (нтегральними, 1нтегроди(1ерзнц!алышмл та ¡ш:иш цу;!.кц{01тлы1Г«ми або, в загальному випадку, операторикми рх.'ш.чннями, а'таиох р!з-я1 задач! оптим!зац!1 з нел1н1Клима ц!льовиш; футсиями ! обмелениями.

Все част!ше ставиться задача про зпаходкення ус!х розв"язк!н нел1нН'них р!внянь, як! а багатьох випадках можуть виступати як апарат для глобального розв"яэання задач олтим1зац11, Ироцее набли-кеного розв"язування таких р1внянь складаеться )э двох етап!н: в1докремлення розв"язк1в, тоОто знаходаення таких областей вдино-ст! розв"язк1в, у яких за допомогоп певно! процедури мо*па \гочп).,-вати ц! розв"язки, 1 самого процесу уточнения. При яаявиост! цоситъ близького до шуканого розв"язку початкового нвбткенпя уточн.:1шч цього розв"язку в багатьох випадках ыоке бути здМснене ь,;р:нн;! -ними методами, умови застосуваиня I зб!жност1 яких дяють, як. правило, достатШ умови для 1снувашш розв"язку. 1э багатьох рошг, присвячшшх цьому питанию, в!дм1Тимо глибок1 досл1дження С.Ьштха,

B.В.Нешщького, А.М.Тихонова, Х.Лере, ¡и.Ь.аудера, Л.В.Канторовича, М.О.Краснооельського, М.М. Вайнберга, Ф.1.'раудера<

'При наблихеному розв"язуванн1 нел!н!йних р!внянь часто застс«-совуються апроксимац1Пн1 метода, цо зводять вих!ди1 р1вшшня до р!внянь менш складно! структура. До них належать: ск!нчешю ^(зайцев!, проекцНщ!, проекц1ино-!терац!йн! та 1н.

Р!зницев! метода широко використопуються в обчислювальн!Й прак-

тиц|, вони кшоть доспть прост! обчислювальн1 схемл, зручн1 при ре-ал!зац11 на ЕС®. 1з рой1т, що 1м присвячен!, в!дм!тимо роботи О.А.Самарського, ГЛ.Марчука. М.М.Яненка, В. л.¡»акарова,С.К.Годунова, В.С.Рябшшюго.

Надто широкий клас, наблилених метод!в становлять проекции) мотоди. На в1дц!ну в!д :1терац1йних проекцИЫ методи у cboIÍ) осно-bí м1стять прянцяпово лову i дою, шо полягав у зам i к i вяхшюго pl-шшння апроксжац1£цим, .розв"лзки якого приймаються за набляжен1 розв"язял вих1дного р1вяяння. Досл1джвиням р!зних аспехт1в проек -МFu их матод1влочинавч«.з !х аобудови, критерШ зб!жкост1, ивидко-ctí зсИжноот!, питааь точностГ 1 ctíííkocií, а також родiопального п!дбору коордшштних еламант1в^' ваймалвся Оагатр, вчвних, у тому чя-сл1 I.Г.Ъуднов, Б,Г.Гадаорк1и,' М.М.Кралов, ti.Ф.Кравчук, М.В.Келдав, С»Г.М1хл1н, Л.В.КалтороЕия, М.С.Краспосальськяй, Г.М.Вайа1кко, П.П.Забрайко, В.К.Дэядяк та-¡я,

. 1ишиа клас иабликених ко ход (в складавть провкц!йпо1терац1йн1. Ш мзтоди, шо повдвують у соб! елвмевтя алрокоишщП .та 1тврац1йяо1 процедура, бвруть оШй.лочаток в!д матод!в усервднення фуикцЮнал^-впх поправок, запрошнюваяого Ш.:Д,Соколовил» 1 розвинутого лал! • А.Ю.Лучко», К.С.Куршзлам-га !х учшшл. В результат! досл1джвнь

A.Ю. Лучки та М.С.Курпеля на баз! 1дей функционального £шал1зу ме- ; тод одэдашв яалажне уэагальнеавя, що призвало до створевяя проек- : ц1йно- ¡Т0рац1йких ыа-од!». В 1дейному план! бллзькям до im като-д!в е К£> - метод, розробланий Б. ЬЛебедеаш, «о иоеднуе у coQI комб1нац1ю 1терац1Яяого i вар1ац1Яного катод1а. ." ; ' .

Нроцво ааближеиого роав"язування на ЕО.'.: р1вкяяь/я. TOiiy чяс-л! i нел!нШмх/ супр0Б0ф:уюгь р!зиого роду похибкй. Щодо доол1дж-; виня i оц!иок ycix ем!в похибок е pina! п!дхода. Bcí иояи вй.нладв-н! в роботах М.С.Бахвалова, В.В,Воеаод1на, В.БЛванова, ií.n.KopdlB-чука, В.Л.Макароаа, Б.Л!.Пиешгчяог0, Х/.М. Данил! на,-Л. В. Канторовиче, : ¡¿.О.Красаосзльського. 1.М. Молчанова, С.Г.Шхл1на, М.К.Гавур}на, . '

B.К.Задараки, А. 1 .Березойсьяого, П.М.Беоара0а i автора niel роботи. ! Немохливо перерахуватв yoix учаиих, що займаллоя í эапшються

w- чл )якямл шюанадми математичюго модалюваипя 1 яавлшконого розв"язування р1внянь. Б1бл1ограф!ю Ix poútt мокяа звайти у Фунда-ментальних монографиях згаданах ввще автор1в.

Ус) парел!чен1 аспвкти, що отосуються набллжбногц розв"язувя-ння р1внянь, сараведлиа! для будь-яких р!внянь. Однак застооуваяня 1х до нелШйних р!внянь, що ыають йагато розв"язк!в, моле вир1ии-

ти повну проблему !х знаходкення т!льки п тому випадку, коли ц! розв"язки Ыдокремлен!. Сл1д зазначитк, то ця проблема досл1дхена дуже слабо. Серед тих, хто нею займавея, мо~ша п1дштити В.В.Неми-цького, О.Д.Горбунова, Ь.А.ВартгеГша, Е.О.Волкова Б.П.Скогооогагько.

Таким чином, аналЬз нолпийши математичпих моделей 1 набли-жвиих метод!в 1х розв"язупання доводить актуал- Нсть розробки 1 розвятку теорП 1 практики вгиокрамления ¡зольованих розв"язк1в.

Мета роботи - розробка теореткчних ос ;ов 1 створчння практичного апарату для в1докремлення 1 наб.'.-иад-'ого пнаходжеиня 1зольовани? рс :в"яэк!в и'5л1л1Кних р1звяаь.

Методика аосл1кчс1'ия. Для побудови методу пЦокрешэння вико-рястовувалися методи Функц1оиального анал!зу, таорН апроксимац; I, загально! теорП наблияаних мзто;ив та обчислювально! мятекагнги. исновнию! об"ектами досл1даення е нелипйн! операторк-', ¡нтегральп! р1вняння та система нелпп;]них алгеора1чних 1 трансцендентнпх ¡Ив-нянь. 0д1!ак автор ввачав доцыгьшш викласти таоретичн! оонови катоду в!докромлення в абстрактному вигляд! в уковах г1л.>бертовогэ ть евкл!дового Просторов. При застосуванн! до нел1н!иш1х ¡нтегралышх р!вняиь автор намагався пере<;юрмулшата основн] положения теорП щодо даного класу р1внянь 1 факти, власг;:л{ тальки "ил, ефективно використати при реал^зацН процесу в!докремлення на конкретннх прикладах.

Науковч новизна. Основними науковими результатами е так!:

1. Запропонований ! реалпованиН шдоид до розв"язання пробле-1ли з1докремлення ¡зольованих роэв"язк1в деяких клас!в нелПийних р1внянь, до базуеться на В1дшуканн1 центра I рад!уса замкноно! кул! як облает I единост! розв"язку.

2. Розроблен1 теоретичн! основи вгдокремлэння ¡зольованих роэ-в"язн(в нел!н1йних операторних I функшональних р!внянь, що характеризуются теоремам {снування 1 .единост I розв"язк1в взаемозв"яза-них вих!дного р!зняння та посл1довност! апроксимаги йних.рхвнянь,

1з яких випливас зб1жн$'сть методу переходу до алрокоимацпншх р!в-нянь та ¡снування рад!уса кул! единост! розв"язку, що характеризуй апсстер!орну ощнку похибки наближеного розв"язку. При фй<сованому значенн! параметра апроксимацИ розв"язки апроксимацШшх р1внянь приРмаыться за центра куль, а рад^уси знаходяться 1з достатшх умов теорем {снування I единост!, що в!дпов1дають методам м!н1маль-них нев"язок та похибок.

3. Створений практичний апарат для в!докремлення ¡зольованих

розв"язк1в. В1н полягае у дяскретизацП ненерервних задач 1 зве-денн! !х до систем нел!н!йних алгебра!чних ! трансцеадентних р!в-нянь, в!дшуканн! оцшок величин, що характеризуют достатн! умо-ви теорем ¡снуваяяя, та розв"язанн! сястеми нер!вностей, область сум!сност1 лких дае допустимий {нтервал зм!ни рад!уса кул! еди-ност!.

4. Для глобального розв"язування систем нел!н!й!Шх алгебраИ-них 1 трансцандеитних р1вилнь розроОлений 1 реал!зований на ЕОМ

£5 - алгоритм, од дае змогу в}додремлювати вс! !зольован! роэ-в"язки 1 апроксимуватЕ 1х з максимальною точн1ст», допустимою на ЕОМ. ■ .

5. Процас в 1 докрентеиня !зольованих розв"язк1в реал!зовано

на конкретних прикладах систем нал! и ¡¿'них алгебраТчяих 1 тралсцен-дентних р!внлнь та нел!'н!йних {нтеграяьних р1внявь !в степенавою • нел!иШистю.

Достов!рн!сть результат 1в,. Ус! результата дясертацП сформу-льонен! у вигляд! теорем, 5 лем,1. повн1стк> доведен!. Теоретичн! ва-сиовки п1дк.р!плен1 прикладами. ■'

Теоратичас та практичяе значения. Робота мае теореткчно-прак-. тичний характер. У и!й запроггововано I обгрунтовано новий ефектип-пнй метод в1докр2млелня 1зольованих розв"язк!в певпих клао!в нед1-п1йних операто-чих та фунте! оиалышх р!внякь, що полягае у в1дку~ канн! центра'1 рад!уса заккнено! кул! як облает! единост! розв"яз~ ку. Доведен! теорема 1 ламп а!дображаоть теоретичн! основа ! прак-тнчн! аспекта процооу в!докреылешш. Створвний 1 рвял1зованяй яа ЕОМ ££ - алгоритм, що дае змогу в!докремлювати вс1 ■ I зодьСЕап1 роз-в"язки систем нелЫйних алгебра5чнта ! трансцендвнтпих р1аиянь, • е основною складовоа частиною метода в!докремлення. його ефектявИ-1 нГсть, як 1 воього методу в 1докремлешя, показана на прикладах систем нел!н!йких алгебра1чних ! трансцендентних р1вняиь I нел!иШшх 1нтегральних р!внянь !а степенавою иел!н!йн!стю.

Дпробац1я роботя та пу<МкааН ;

Основн! результат« дисе.ртац! I допов!далися I обговорювалися на р1зних иаукових конференц!ях, сишоз!ушх, ижолах-сем! нарах, зокрема на ЗагальносоюзнШ ковфврешМ 1 з динам!чного управл!ння /Свердловськ, 1979/, Загальносоюзн1Й школ!- семйшр! "Паралельн! обчислення 1 високопродуктивн! системи"/Алушта, 1982/, Загально-союзному сем!кар! "Питания оптим!зацМ оСчислень" /Алушта, 1987/,

Загальносоюзн1й п;кол!-сем1нар1 "розпералелювашш обробки !шТорма-ц!!" /Льв!в, 1989/, республ!канських коиференц!ях "Обч¡телютальна ¡математика в сучасному науково-техн!чному прогрес!" /Кан!в, 1978, 1982/, республ!канських науково-технИних конференциях 'Чнтеграль-н! р!вняння в прикладному моделюван.Л" /íüiín, 1983, 1986/, икол!-симдоз1ум! '3 як!сно1 теорП диференц!альних р1впян5 /Дрогобич, Т978/,Рег!ональн!й коифчрекц! I з метод1в математичкого прогвамува-нЯя i программного забезпеченгя /Свердловськ. T9Ú4/. симпозиум! "Метода розв"язува[шя пел!нПш»'х р!вняяь I ь,пдач оптжИзацП /Тпл!нн, 196-1/, школах-сем!парах "Питашщ оптим1зац11 обчислень" /Кащгоел!,, T97I, 1975, 1977, 1381, 1983, 1985, 1991; Одеса, 1979, 1989; Ки1в,-1976,1973, 1980, 1982, 1584, 1986, 1988, 1990/, сем!-нарах 1нстлтуту к!бернетикя !м. В.М.Глушкова АН Укра1ия.

Оснсвний зм!ст дпсертац!! детально викладзний у роботах / I - 34 /. 1з роб!т, написаних у сл!вавторств!, до диеертацН включен! т!льки т! результати, що одержан! особисто автором. Ви-няток становлять числов! приклади, де знаходженяя ycix ¡зольогшш.с розв"язк!в за допомогою розробленого автором С-" - алгоритму зц!й-снввала Л.Б.Шевчук» ¡до на Paro ochobí склала лрограму.

Структура й об"ем роботи. Дясертац!я складаеться Í3 встугу, П"яти глав, виснрвк!в, списку цитовако! Л1тературя 1 м!стить '¿t-j стор1нок машинописного тексту,

3MICT РОБОТИ

Вступ у дисертац!! м!стить огляд л!тератури щодо проблема на-ближеного розв"язуваннл р!внянь, набляжених метод1в розв"язуванпя нелШйних р!внянь, включаючи ! задачу в!докремлення !зпльопаних розв"пзк!в, та опис результат!в, що виносяться на захист.

Глава Т. Мзтематичне моделювання в яаукових досл!.джеинях, У дан1й глав!, що мае вступний 1нфоркативний характер, наведен! деяк) задач!, математичними моделями яких /чи математичним апара-том розв"язування яких/ е система нелШйних алгебра!чних j транс-цендентних р!внянь або нелШйн! 1нтегральн! р!вняння Í3 сталими границями тяну Урисона 1 Гамарштейна. Глава складаеться !з одного параграф, в перш!й часгин! якого /п. 1.1/ описан! ословн! задач! оптим!зац!!: безумовно!, нел!н!йного програмування, глобально! та багатокритер!ально1, що у випадку диференц!овност! функц!й ц!л! i обмекень мояуть бути зведен! до задач! розв"язування систем нел1-н!йних алгебра!чних ! трансцендентних р!внянь. У п.1.2 наведен! те деяк! класи задач /р!вняння математично! ф!зики !нтегральн! píbhhh-

ня/, то методаш дискретизац!I /ск!нченних р!зииць, вар!ацШш.1и та методом ¡нтегральних р(ваянь/ зводяться до задач розв"язування в!дпов!дшх систем нел!н!йних алгебра!чних 1 трансцендентних р!в-нянь.

Глава тт. Питания .загально! теорН в!докремлення 1 набдкеного знаходкония {зольованкх розв".язк!в_нел!н!йнйх операторних.р1виянь в.г1льбертовому простор!,

Об"ектами досл1дм9Нйя у дан!й глав! е нел!н!йл! операторн! р!вняняя. СкладнЮть розв"язувашя таких р!внянь полягае в тому, що войй мояуть матд багато розвяязк!в з нев!домам !х числом 1 м!сцем розтаиуватш ;в розглядувшПй оЗласт!. Процес !х розв"язування скла-. даеться з двйх етаа!в: -:п1докрвмлвння розв"язк!в, тобто в!диуканпя ! таких областей, кожна з -яккх м!смть один розв"язок, 1 уточнения

розв"язк!в, що за пэених умов ,реал1зуеться !терад)»;ниш методат,"' : умови застосуванкя I зсНюост! яках дають, як правило,, достатя! уко 1сяуваяяя роз в "я:зяу. , • '

- Якщо задача .уточнения'poзвяязкlв■ 1терац!йндш методами розро-блена досить'фундамзптаяьно ! мае батату л!твратуру, ;то задача 1х; в1дояромлоняя розроблеиа'.слабо. ' ,,, ' . ; ■ .

В дан1Й глав! викладаеться суть катоду в1докремлзння 1зол&от/: ваних розвиязк!в нал1в18них операторних р1а:шнь, що йазуеться аа в!дшука:ш! целгла I радфса зелено 1 кул * .як облает! едяност! :роа< в"язку. Реал1!эуеться матод-в!докрамлоння так. Операторов р!вяяшш адроксдмузться посл1довн1стю вабльаенше р1вняпь, роэв"язкя яках . ". приймаються'за «онтри шуканих куль, а радиуса зпаходаться1з дос-таийх умов 1сяування в кожя!й !з нкх единого розв"яэку р!вяяняя.',. Одночасно ц! розв"язкя моад'ть правим за початков 1 наближешш для !гарац!йних мзтод!в, ; ; ! '"'

■ Розглянуто два вар]анти побудгазя теорН в1докремлвиня 1зольо~ ваних ро'зв''язк!в> що базувться на р!заих ¡терааШих' методах 1 р!э-них способах апроксимацН опаратор1в ! аростор!в. Вони виклакеп! в!дпов!дно у параграфах 2 ! 3. ! : . '•':.

Отке, розглянемо яелШйве операторве р!вняняя . . 1 ' ',1

ТЪ- - 0 > : ' ' /I/

де 'Г - дв!ч! дйфереяцМовний за Фреше оператор, що д] е 1з облает) свого визначення О.С. Н - г ¡ль бе ртов ому простору, у тоЯ ж о яро-ст!р Н.

Прилустиш, що в облает! О- р1вняняя /I/ мае скипзпну мно-жину. = } [¿¿¿¿¿¡¡у обмеяених за нормою розв"яз1ив. Ставиться

задача: побудувати так! замкн'он1 куЛ1, ко хна з яких будя м!ститя единиц розв"язок 1з ниоумнл £2- , тобто в!докремити и! .розв"япкя. Розв"язання ц!е! задач! передбачае знаходхення такс» К'.почини еле-мент!в , ! д^Псних чисел ^У^,..., , як| будемо

ллэявати в1 цпов!дно центрам та рад!у~амл зпмкнених нуль

: //и-1Г,- /I г г* / <7- , .

чоб на коянИ! 1з них впконуваляся даяк! достптн! умом (снупшшя единого розв"язку р!яняння /!/. Д1йсно, я!'::;о так! IV I ^ будут;, знайден!, то теорема 1снутияя кож кого рсзв"язку р1яняндя /Г/ моко бути визначена таким чином.

Застосуемо для розвнязання йвняннк /Г/ 1тесац(?!нпй кстод н!мальних нев"яэок

^ _ Ги* ). /?у.

Цодо 1снувшшя единого розв"язку р1в!шння /I/' та эб1хност1 V? тоду /2/ те м(сц<з теорема.

Тоорема ;2.Г . НэхаЯ у кул! § (и',-Г ) , де и0 - одз:а 1з элемент! в ^ , а •Г - в!дпов1днв Я ому число Л; , втигуються у;'они:

, нг'^о , /а/

* *

да ¡Л, , т - констактя.

. Нахай, кр1м того, макггь м1сца нер1вност!

V — ' ________4- Г

' А/

Тод* р1аняшш /!/ те в кул1 57«.° /О вдииий рояв"язок , до якого зб!гаеться посл!дозн!сть , побудована эг!дно з

/2/, причому швидк!сть зб1кност! характерязуеться яер1лн1стю

»* - ^ и * ■ /7/

2в1дси випливае, що якцо будуть знаНден! так! паря ^г'»., )у г=1/гп1, для яких буде в1рна теорема 2.;I, то задача в!докрем-

лепт розп"язк1в р1вняиня /!/ ¿уде впр!шена. В робот1 запропонова-ни'л оии п1дх1д до розв"язання ц! е 1 проблеми. Розглянемо посл1довн1сть р!внянь

■.о в певному розум1ии! в наближеними до р(вняння /т/, Нел1нН'н1 оператори : йп.ёН-п—г К ввачакться дв1ч! ди^ренц^овними з

Фрошв. Пряпускаеться, щоЛп=^> , а Тл мае узагальне-

.ий скисл.

0 Умови близькост! оператор1в V I , а так ох ¡х пох!Дних Т ТЛ',Т", Тп виэначамо таким чяном: будемо впакзти, ио на елемен-т! ие вЯконан1 умови апрокскмац!? операторов Ти-, Т'/и),

операторами >гГп.'и),гС . якпо 1сяують так1 функ-а!оналп ^ (^¡гс) >0 При и-»00 (^¿,2,3) ( а0 виконуються лер1в-

|ЮСТ|

/[г,д.-т.."ц* ы

11Т'Га)-т»Ц.< Ъ(п,и.) , /то/

Позначно -52. п | /) посл!допносггеи роз-

в"язк!в р!вняния /8/ 1 дамо таке означешш.

Означения _2Л_; _Посл1довн|сть розв"язк!В и-д

♦г. ргв.чяння

/8/ будемо називатй в1дпов!дною розв"язку р1вняшш /I/,

а метод переходу до р1внянь /8/ - зб1хнпм, ягао П№п-*-*> //и'-и'п1{->0.

На основ! теоремя 2,1. сфорг.гу.ьшло теорем про 1снувзння розв"язку посл!довност1 р!вня.чь /8/ 1 зб]--:шсть методу переходу до не 5.

Теорема 2.2. . Нехай -и." - один ¡з розв"язк1в р1вняння /1/ 1 для вс 1х и.6 3 /•J =■ {и. 6 а : и и. - а'// + j

виконуються умов и /9/ - /Л/, а для оператора Т"(и.) ;лае м!сце нер1вн!сть

ИТ"Си) /и и.') . /Т2/

Нехай, кр!м того, для оператора Т'(и') виконуються умови:

11Г№)Ц ¿М, ¡(Т'МкХ))* тпШ^о, кеН /тз/

Нарешт!, пехай "¡снуе така область Ы. (+) с /0, § щ0

ГП -«Л^Л > О ДЛЯ КОХНОГО

Тод1 справедлив! так! твердоеимя:

1. Ш оператор!в "С J Т^ > и кул| .С (и\ Г )

маюгь м!сце оц1нкн

ц /К/

и.')/-*?^, л, *-,) ^/„/».л "О ; /1С,'

/«' £и.» П * ^ V - Г». ^ . /17/

2. Лет будь-якого знайдеться тп::е я» ^ , що пр-л

п > п,1+) в нер1вяос~1 /16/ в I яякоиу»гься

умови:

Й

л /л.) Гу т^ЫЛм'Ц ^ лЦп, ^ и.')I«' > у

Лт^/п,?, и." ) -Ц

<4

гс

У"

/ю/

мае в

3. Г» ¿и конному I з зазначених П^^о(^) р!вняння/8/ куМ ^ единпй розв"язок и'*. , в!дпов!дний розв"язку

и' , до якото починаю'^ : = зб!гаеться посл!довн!сть/и^ [

побудована зг!дно з /2/ для р!шяння /8/, прямому мае м1сцв оц!н. д, що характеризуе швадк!сть эб1жност!

I «V- Г« /го/

4. Кожпа посл!довя!сть розв"язк!в {У-п} при п->о° прямуе за

нормою до розв"яг»<у Л.* , причому швидк!сН зб)жност1 визначаеться нер1вн!стю

Останнг нер!вн!сть доводить зб!жн!сть апроксимац!йного методу переходу до р!внян?1я /В/, щ е достатньою основою для практично!

раал1задП / при ф!коованихл/ процасу розв"язуваяня р!вняшш /8/, Пряпуствш, що при ф!ксованому п ми знайшш розв"язки и^

р!вняння /8/. Ц1 розв"язка надал! приЯмемо за центри шукаяих куль

1 заувакямо, що одержання апостер1орно! рц!нки похибки наближеного розв"язку V р!вносильно доведению !спування прияаймн! одного розв"язку -и.' р1вняння /I/ в кул! 3 .

Для велИИйних р!внянь, що мають не один розв"язок, задача по-дягав.в-тому, щоб для кожного розв"язку & знайтц так! значения рад)усаУ , щоб у'кул! 5(У■'О виконувалися достатн! умови !сяу^ ваиия единого розв"язку' р1вняяня /I/. У дьому випадку величину т (*■), Л'/*)

виявляюгься яел!н! йки.мл функц1ями, анал!тяч ний вираз яких не завкди вдаеться одержати. Том/ природням е п!д-х!д, коли ц! функцЛ виражаються через анадог!чн1 величина,що об-мекують в. кул! £(х>-, ) оператор , його пох!дну I >

с твкож Тп (и-) , ! фу.икц!онали ^.'(п,^) (¿-¿,2,3)^ що характеризуют у кул!

!х бллзьк1сть до оператор!в Ти..

зг!дво з /?/ - /II/. Мае м!сде лема.

Дема 2.1. Нехай для ус!х !>(*,+) , де ^ - один *»з роев"язк!в .и'п.1 ,виконан1 умови /9/ - /II/, а для оператора т£(ц.)

мае м!сце нер!вн!сть

Нехай, кр!ы того, для оператора виконан! умови:

Тод! у кул! справедлив! оц!нки:

ИТгг (I О- )

|(ТМЛ)\ >, К"^^ =

^ т (п,?г1>) Щ*-

/22/ /23/

/24/ /25/

/26/

¡1 г" (и.) (I ^ (Л tJ ^ = ^/п, Л *).

При ф1ксов ímhx V. i у npanl частики /25/ - /27/ перигьорю-оться в нел1н1йн1 fj-ункц! I mf*) i , а це osiwme, «о

иел1н1й!'и»ли Функц1ями рад!усп /- ст >ить I л!в! частини ^upIbho-стеЯ /5/ i /Г>/. В умовах леми 2.1 icitynmmH розв".<тэку /5/,/(i/ гарантуе !сяувшшя кул! 5(0-, t) к/шного розв"язку рпьшгшя /Г/,

до в!мов1дае даному v .

Сформулюемо о^ионну теорем-/ (сиупакпя единого розн"язку р! няння /'/у припущеин1, то структура оператора и, гпрянтуе

пол!ном1альну структуру büihocho У '¡унюйоналМ-. ч ь Л щ Ж

Hs * J i ' > 1

Творема 2.3. Hexall при будь-якому 'Чь'со:ипому п z Но р1в-пяння /б/ "ае одно 1 те самэ число po'j. "чэк1 d, то дор1вшп mt

1 ПРИ ЦЬОМУ ВК^ОМугтьСЯ Kti.iiiüliCTI

V) >ú.

Тод! в уиовах лсми 2. 1 спрвзвдлип1 так1 тиердкзнкя:

1. 1сяуе такс П ъ -п0 , гто'инаючи з якого полному розя"язку V в!дпов!дае св!й 1нтервал ( ^ Я) , де К - паД-

мепшвй годатн1й кор!нь функцП , що для вс1х +

систег.,;! нер!вностай /о/ , /6/, в яких J4,m,JV назначон! зг!днс з /25/ - /27/, буде сум!сною.

2. РIвняиня /I/ мае в кул! о (г) , да ¿V*. £ ) единой розв"язок и." , що в!дпов1дав даному if- , до якого /почи-

наючи 1з V" / збКаеться посл1довн!сть • побудована

зпдно з /2/, причому мае м1сце оц!нка /7/, в ях!й it-),

3. АпоРтер!орна оц.нка похибкя, що характеризуе блазьк1сть

розв"язк1в и." i V гНвнянь /I/ I /8/, визначаеться не-

р!вн!стю

Цервбираючи вс1 розв"язки ¿ñ«' £ р!вняння /8/, одержи-

мо множину систе. неровностей /5/, /6/. Розв"язок кожно! з них ви-рчачав 1 :тервал зм!ни рад!уса f кул1 1снування единого розв"яз-ку и-* р!вняяяя /I/, що в1дпов!дае розв"язков! р1вняння

/8/, тобто рвал!зуеться пронес в1докрвнлення yolx розв"язк1в р1в-няння /I/.

У § 3 розглянуто ще один вар1ант в!докремлання розв"язк!в р1вняпня /!/ за умови застосування .¡терацШого методу м1н!маль-них похибок у випадку побудови апроксимацЫних р1внлнь проекц!!!-ними методами , для оператор(в Т I Тп . то д!ють у р!зни-. просторах. На алроксимацП'н! оператори не накладавться обм

хення щодо структура, а це означав, '¿¡о функц1онали , ч3

1 ма:-лранти ^ гп, М мохуть бути дов!льло1 структура !э за-

гальнлмн п..ас-п:востями.

Отже, нехаК потр!бно розв"язати операторне р1вняння

Ти - П - Ти - О, /25

де Т - нел1н11!|шП оператор, визначени:! I неперерзни;' н~ в!д-крит!?, непуст!!1, обме>:еп!;> мноу.ин! Л- - банахозого простору

£ , яамлканр... яко! е Я- .

Позначное посл1 довн!Сть замкнених п1дпростор1в £

а 1х перетин 1з кн0х1'"0]0 SL позначимо S2.■n. , тобто

= Й П Еъ , 52. „ - замакання 52н.

лал! бузег.-.о ввакати, що оператор ^ : ££.-„.~* - набла-

кени;1. у певному розум1нн1 до оператора Т" 1 пород-^уе посл!дов-н!сть а;1р;'К.-1ги.'|ц1йш'х р!внлнь

и„-П /3(

Ко.т.по !з р!внянь /30/ трактуемся як наближене до /29/, а ;:ого розв"ягки при кояному П- оголоиуйться наблахепигм розв"яз-какя /2.'/.

Сл1д заувачсити, :цо в дая!Г: постанови! задач! р!зншш Т не коке бутл характеристикою блязькост1 р!внянь /29/ ! /30/, тому що оператори Т I д!ють у р!знах просторах. У зв"язку з цим розглядаеться П0сл1д0вн1сть лш^йних проекц!Пних оператор!в , кокни.'; з яких проектуе на в1п0в!дне ¿V . Як:ц| Ли необмежен!, то прапускаеться, що оператори й. — непе-рервн! на Л. 1 сЗ(РЛ). облает 1 назначения оператора

I*. . В цьому випадку степ!нь близькост! р!бнянь /29/ 1 /30/ ха рактерязуеться величиною ".".злост!" норм оператор!в

¿ъ^Тъ-ЪТ, ги=Г-Д/Г, /3

де ,

i.J

У upunyaiumfi, мо ¡1,-остори f I - rl.ibOi'priml, оп^ритори T t jJjT - дшч! дл'.'оринц!; oinii за <И> ■¡•••о пЯ , л и1«»;>.-кт>ри -

Б 52Л , ДЛЯ Т(!РР'!ТИЧ||01'0 ойгруитунмиш !1,Ю'1- у и|Д0К1)еЫЛ«1(|Ш |>озп"лз-К f П використано ПйТОД МШМОЛЫШХ ¡КШЮОК, .¡О ДЛЯ plHHHHHH /."'/ МЛС

виг ляд

/7^?' ^ j' /зр/

- f Т 1и.У}* , м!и « тмоем.".

Теорема 3. .. llexa;! у кул; J1, t^ Г) - f и iSl: /- сн — ] , да tf = - яоччяюч'мо» наотхетш /¿2/, отчмтом'/Ь , Т /и), T^uj

З'кшплльнл. гь угоним /3/, /1/ i при цьому «¡¡¡п. к!one nephtimcrf

/ =■ L^M/r^'M < /, Л-;-/

* Л /о4/

10Д( р!нкяння /29/ мае в кул( i1/^ единий |>о:<ь"язок й* , до яког'о монотонно i сильно з01гасться поел!доннiсгь ^¿i'J , я о о\ кована зг! чнэ з /32/, Причому мае к!сц<! оц!нка no:nOir,y

mT^ji1 УкЧ*1/!-4- • /з:;/

'гшим чином, нк 1 в понередньому шшадку, ¡¡¡ыачи и1долримлоння ¡зольончнкх рози"ннк!п зьодиться до задачf :ииход-ення таких пар ( , Л ) , як! зуг.-.оаднть справедливtcrb теорем 3.1.

цього вкладку доведено теорем, аналог|чн1 «опереди!(и, !з яких ииплипак зб!хн!сть методу переходу до посл!довност! р!ннянь /¿О/, !снуваннг ¡нтервал!в рад;ус!в куль едилост! 1зольовяних рг. в"язк)д pIbhhhhя /29/ та оц jkh aiiocruplopiio! похибки кожного роз-в"язку р!вняння /30/.

ваних розв"язк!н деяких клас!в нел1нП*них ¡нтегрдльних_1)1пнянь,.. Бона присвячена эастосуванню методу в1докремлешш ¡зольованих розв"язк!в до нел!н1йних (нтегральних р!в^янь /НIР/. Розглядаються питания побудови ,1осл1довност! апооксимац!йних р1внянь за допомо-гою мето,'!в виродаених ядер та мвхан!чних квадратур 1 зведення не-перервних задач до дискретних, тобто до систем нелш!йних алгебра-!чнил ! трансцендентних р!внянь. Доел!джуються практичн! аспекти виконання д"статн!х умов теорем 1снування i одержання апостер!ор-но1 оц1нки похибки," mo piнт ;н;1чно в!цокремленню розв"язку.

У § 4 розглядаються ШР

н

ти и (ос)- ¡к у," (у)^ - /д; - о. /36/

I носл1 лоян I сть н .оли*:ених до /ЗГ,/ р1апянь

71 и/.к)=г *- п^л... ч /3-у

до Щх)- шукана г ункц1л А'/*/ у, и а С(&), {Ме С [&-), (*, У, « /пи) сШ)_ эадя„, 1(у11К1[1; .

Бвачае-->ся, до розв"язки и (ж.) р1вняння /36/ 1 и.п<-ху

: поелIдонност 1 р1яилнь /37/ з:1.док.льшшть означению ?.7. У пркпу.аенн!, ;ч0

я (•*>}>*(}/}) ^ * /ь--/

р!вняння /36/ наОувае вигляду

Т'и/х) - : /Су,и^у '/С*)- /39/

Падал! ввахае. .ься, що

//>,«(р)=£ # ^"'¡М »

Л С*>

к--^^¿и)£хА^^

/40/

/4Т/

де с истеки л!н 1 /но нез:!ле*них ^укк:11й. Тод! амро-

ксикгщ!/ка до /с9/ посл1 донн!сть р!в1шмь г/.ае вигляд

'.ск1льки результат« теоретичнпх дгсл!дж!нь § 2 пов;истю переноситься на /38/./37/ айо к /3'"/,/'!?/. то ввачаеться, до метод переходу ло /37/,/59/ зб!габ-1'ЬСЯ. Це дае зшгу розв"язувати /42/ при <?!ксованих п..

Розв"язок р!вяяння /42/ шукаеться у вигляд!

де Од, ^ ^•п,- неоэнач'мп коефПиенти. Шдставивпи /43/у /42/, одержимо для знаходаення ¿¡^..систему нелпиГших алгебра-1чних р1впянь.

1

К /44/

Ib

Таким чином, зчдача розв"яяування HIP /42/ звелася до розв"я-зування система /44/. Розв"язки /'13/ пригмаються за центри куль i пикористовуються для знаходчення ix pafliyciB.

НадалГ припускавться, що в облает функцИ К (я, у} и /yjJ

f. /Сп. (*>У> ы(¥>) {•* = ■*.<-)- OTi4i неперервно диференцЫовн! по зм!нн!й «= , Зв1дси виплииае, що нел1н!йн1 опнратори Г""- f Ч^и- {H-i,Jy..J, визнач'лП зг!дно з /&6/, /37/ i так!, що д!ють !з 52. в CCo,i] , е дв1ч1 AH'tiepenuiiioBHHMH за Фреше по зм!нн1Й * u-ufxJ на бупь-якому елемент! ил-.<>•(*.)&CCfylJ^ /tu)-ll£el*t>° , причому Ix д№:;ерен;иали мають вигляд

Г'/^JA /Lfrj- л /45/

К'МА = (*• V, ; /46/

г "fajA ^ = , /47/

KH^h - <(*•?> /4Я/

Мля реал!зацП процосу в i.цок решения ¡эольованях розв"язк!в piB-'яння /36/ за допомогою методу м!н1мальних нев"язок за 1чльберт1в

pocTip Н виберемо n,)ocTip гдонкцН , якому належать Bci

nenepepEHi на [о, J. шункцП. В :'Cix подальших обчисленнях викорис-товуоться норма, до вщповпше простору 4Л Г0/ *J . 1з ь.ихуванням цього умов и близькосяч onepaTopiB Т" , r7ll i Ix шшдних визначи-мо умовами /9/ - /ТТ/.

Каведемо -;ислогн значения величин, то для даного випа; су характеризуют ошнки /9/ - /II i /22/ - /23/. Позначимо:

¡>*X,yii О'Х.г. 0 V

^ (*'?> /49/ ^

= ¡¿и*,» ^Шь ^--[НЫЫ.^Р^]'4

Hexav1 мають Micue умови

И* - V WV - До/ '

/5Т/

Де стал1 при л-? со.

Тод1 для елемента ^, що е одним ¡з розв"язк!в р!вняння /42/, величини ^Кг^п, 7*, 7л, 73 3ri^H0 3 ламами 4.2; 4.4; 4.5; 4.6; 4.7; 4.8 визначаються так:

я

{ , яшо О,

Л якшо

**:>» - „ <с

■ Д8

- 11ох1 пол1Нома

/5?/

/53/ /54/

•л?--г

а:, .

■ 4

-

яйцо

якщо л!« /л-, у, Ну)? О, 0 *

якщо кЦ*'-},*})}*^ 1*1*0,

У/д * <= > /55/

якщо якщо якщо

Ш-

вгнута гункц!я

В-т^-1 ; якщо * ^

^ -1? полном 1-/«"степеня,

1 - М > ^ = ^

&(*:}- Тч-Сэг/ _ )1еВ"ЛзКа_1ЮЛ1ном,

А. визначен1 зг!дно з /49/, а ^ 1 виз,">-

чаютьоя 1з нер!вност1 Фавара * ^

/56/

Причому при р г Л & = ,

^ Л, - «V /57/

^ ^ = ' ^ Ж ^ /5Й/

де О* , ¿V) (из*,-,!пох1дн1 пол!нома ,

Таким чином, одержано вс! компоненти необх1дн! для формулю-вання достатШх умов {снування !зольовшшх розв"язк1в р!вияяь /36/,

/39/ i в!дшукання рад!ус1в куль единост| yctx розв"язк1в цих píb-нянь.

Теорема 4.4. Ilexavi оператори ПЪ i , представлен 1 формулами /3G/, /37/ аоо /39/,/42/, дв!ч1 неперервно диференцИопн! за Фреше в кул! ¿(O-, ■/■) , де _ записаний у вигляд! /43/ наближе-

НИ7 розв"яяок piBHHHHfl /36/, причому ч*'?»), T^f+J, J

визначен! згГпно з /45/ - /48/.

fiexa!-1 на елемент! i^AJдля оператораWWсправедлив! оценки /23/, де та Wn визначен! зМдно з /52/, /55/. Нехай, зреш-

тою, виконуються умови /50/ f /51/.

Тод! справедлив! так! твердкення: . // i

1. Умови блязькост! оператор!п ^ ^ j Т" íu)j TU >uJj

у кул! Sfг^ /■/ при будь-якому >i характеризуются нер1вностями /9/ - /11/ !з функгионалами , 7л. j •

предстачлен! в!дпов!дно сп!вв!дношеннями /57/, /68/ i /53/.

2. ¿ля опеpaTopiH f'fuj^^/u! у кул1 мають Micae оа!нки /25/ - /27/, де^,,»«^ ;мзначен1 зтгяно з /52/, /55/ та /54/.

3. При ^ п~ > & !снуе таке "Ну О t щ0 при

^ ^ кохному 1)0зв"язку гл/*^ р1вняння /42/, знакденому у вигляд! /43/, в1дпов!датиме ¡нтервал //j J с / Я' J , де най.менший додятн!й KapjHb функц! i ъг f , ща при bcíx

система нер!вностей /5/,/о/, де íj ^TVj визначен! зг!цно з /2Ь/ - /27/, a , Суде сум!сна.

4. Р1вняння /33/ у кул! SÍ>,-f-), ,~з 'CtJ , мае 'единий

розв"язок и?(х.), що в1'.дпов!лае набликеному розв"яэку , до

якого зб!гаеться почянаючи з u^xj-irf*) посл1довн!сть / *¿"¿xjjt

побудована sriдно з /2/ ^ля оператора /ЗГ/, причому справедлива . ouíhkb /7/ з Л =

5. Ьлизьк!сть в1дпов!дних розв"язк1в та р1внянь /39/,/42/, по характеризуе апостер!орну оцшку похибки розв"язку.

tHte.) , визначаеться HepiBHicT» /28/. __

Шдставляючи зам!сть tt.'xj yci розв"г,зки t^ni^"0) i

знаходячй в!дпов!д1п 1м ¡нтервали для рад!ус1в . шжна в!до-кромити yci розв"язки р!вняння /36/.

У п"ятому параграф! aiéГ глави йдеться про в{докремлення iso-льованих po3B"H3KÍB Н1У /36/ за умов використання для цього апро-

ксимаЩй'ого методу мехшйчних квадратур та iTepaniiinoro методу мШмальних похибок.

Наведен! вшце теореми дають теоретичне обгрунтування i прак-тичн! рекомедацН щодо Biдокремлення ¡зольованих рог "язк!в функ-"1ональних p!енянь. В резучьтат! задача розв"язуван' я вказаних функц1ональних р!внянь зг^диться ап^ксимашйними методами до задач! знаходження ycix ¡зольованих розв"язк1в систем нелпииних алге-бра!чних i трансцендентних р1вняяь. Cnoci6 розв"ягування таких piB-нянь розглядаеться в наступив глав!.

Глава IУ. В1докремлення та наблитене знаходкеннт ycix {зольованих розв"язк!в систем нел1н1йних алгебраТчпих 1 трансцендентних_ р!внянь. У дак!й главi нлкладено £ S - алгоритм в!до! .земления i уточнения BCtx !зольованих ,лзв"язк1в систем нел1н!йних алгебра!ч-них I трансцендентних р1внянь. У единому иостому параграф! глави 3 с,.ормульован! iioro теоретичн! основи t щ>актичн1 acnt «ти. Розг. л-нуто питания оптгЧзацП обчислань при реал1зац!1 6S - алгоритма на багатопроцесорн1й КОМ та питания точност!.

BS - алгоритм побудований на осчов! методу £ - с!тки. Цей метод, що застосовуеться для розв"язуванн" нелнНйлогп операторного р1вняння з ц!лком неперервним оператором на опуклому компакт!, полягае в такоцу: перетворюючи за допомогою оператора посл1дов н!сть t-к - с!ток компакта I задовольчяхад певним умовам, можна в!докремити !зольован! розв"язки, що належать компакту, i' наблизи-тися до них як завгодно близько,

Отже, розглядаеться система нелШйних р!внянь вигля.цу

{ Ut (y'L^l'-J ' /ЬЭ/

/ Un - Л?"*, . ■ч*)л

да функцПу^Д...,/,, визначен! ! неперервн! в обмежен1й облает!

6п - ВИ( '.рного Д1ЙСНОГО простору £п !з метрикою $> .

Якщо ввести позначення вектора ! вектор-функц1!

, то система /59/ запише.ься в

екв1валентн!й форм!

U ~ tYizj. /со/

Ставиться задача знайти вс! !зольован! розв"язки системи /59/ або /60/ на И - вим!рному амкненому кубов1_

Л ={ й- a±uiil, Л*,*,-^ ,

изначення 6.Т. Зб1жяа посл!довн!сть . точок

простору X називаеться розв"язувальною для оператора Is , ягадо

о (и* Р/и.^) -> ^ при . ,

Теорема 6. Т. Для !снуваяня в облает! К хоча б одного розв"л (ку р!вняшш /60/ необхГдно I достагньо ¡снування для хоча

б одн!е! розв"язувально1 посл!довност! / Я*} .

Шдомо, що вектор-функц1я Р(й) неперервна на обмежен!й, замкнен!й множив! & , р!вном1рно неперервна на н1й. Це означав, що для будь-якого ?->0 знайдеться таке число £(?■) - , що для дов!льно! пари точок ? умови §ыя) г& ¿/^

буде випливати нер!вн!сть

5?(р/и*1 Р/^ ¿Г.

Позначимо А&М ск!нченну с1тку на А що^в!добра:.;а-

еться вектор-функшею Р у ск!нченну - с1тку.£«,г"/^*. Припусти-мо, що чЦ) - вектор-розв"язок системи /59/ або /60/,

тобто Р/^^, Нехай .Л^/з!рка навколо точки и ° , тобто мяокина точок & е с ¡тки, для яких Нехай .

, а'- , де . тод!

£(а>} а')'-

Ця нер}вн!сть, що випливае 1з р!вном1рно! неперервпост! вектор-функцН Р на <?• , е основною при побудов! £5 -алгоритму. 1з не! . випливае, що конному розв"язку й° р!в5шння /СО/ можна поставити /неоднозначно/ у в1дпов!дн!сть посл1довн!сть точок таку,

-с1тц1 в Я ! те м!сце

нер1вн!сть ,-.гм)

Отжа, нехай дано р!вняння /'60/ ! апр!ор! нев!дома л!льк1сть Кого розв"язк!в та м1сця ¡х розташування, в обласн А .

Ирипустимо, що с!тки фу в ббласт! й. ^ побуиованг. Елементи цих с!ток в!дпов!дно позначимо й.^ ! .

Л(К) />7е.к) Г,**>1

^творимо пари =(и~1ч "•£/, так!, що

При кожному К !з даного масива в!дбираемо т1 пари, як! задоволь-няють нер!вност!

/е./

Ягоцо при якому-небудь К так^х пор но буде, то це означав, що в област1 Я розв"яз!ив немае. 1з пар, що задоволышють- умов! /61/, утворимо ланцюжки за таким правилом. Пехай на к ! К + 1

кронах значен! в1лпов1цяо пари

'Год! пар! (;взноситься пара ' У Л, ■щш

яко! будуть виконуватися умови

/г:,,

Цродовкуычи цеи пронес, мохна пооудувати множияи ланцюжк1в, кожн!М

/ — чыг

13 яких буде в1длов1дати своя ¡юсл1дов)!!сть ( гг-с у а конному розв"язку - своя мнокина таких посл1 милостей. Таким чином, оуде зд1йснюаатися в!докргылання ^зольованих розв"язк!в сист^ми /60/. Подальше в!докремлення !зол* гваних розв"язк!в з метою з1ставлення кожному з них едино! розв"язувально! посл1,цовност1 зд!йснюеться за й догомогоп ¡терац!йних матод!в, за умови можливого 1х з-ютосуваш т, що перев1ряеться експериментально, аоо за допомогою достатн!х умов теорем !снування 1 зб1жност1.

Таким чином, суть -алгоритма « застосуванш до система /60/ полягае у генеруванн! ¿к -с1ток на Я , паретворенн! 1х елемент!в за допомогою оператора Р/й) у др* -с!тку ! перев!рц1 умов /61/ - /63/.

Голе .»ними складови.-ли частиками С-Э -алгоритма, що в1дбивають його практичн! аспекти, е так!:

1. Анал1з та звздення р!вняння до вигляду, зручного для засто-сування ££ -алгоритма, в результат! ь^го зд!йснюються так1 екв1-валентн! ператворення р!вняння, як1 заОезпечать воображения вектор-фуикц!ею облает! К в себе [18].

2. Алгоритм-п!цпрограма генерування с!тки в Я .

3. Алгоритм-п!дпрограма обчислення на «£* -с!тг' та генерування } -с!тки.

4. Алггритм-п1Дпрограма перав!рки умови /6Т/, що е одночасно 1 критер!ем зупинки процесу реал! зац!! на ЕОМ -алгоритма.

5. Алгоритм-п!дпрограма перев1рки умов /62/,/63/. Наг-дамо ос-новн! етапи 3 5 -алгоритма.

1. задания або визначення параметЫв /цет^у та розм^р^в/ обтает! Я розв"язк!в система /59/ та характеристики точкост! роз-в"язк1в <Г за нормою нев"язкй й- , що за умови сР~

е критер!ем зупинки -алгоритма або переходу до 1терац1йного

уточнения.

2. Иобудова мажорант £к .

3. Генерування £к (fcj -cítkh, íi воображения за допомогою F/£■) у -с¡тку та записування точок , що задоволь-

няють умов i /61/. У масив M¡ .

4. За точками мчсиву генерування ¿Ktilfa^ -cítkh та записування точок, !Ц0 задоводьняють умов i /61/, у масив .

!). 31етанлення кожнЬЧ napi Ac¿JeMj таких пар

Д'у ^ /j~J> £'«■+ í) , як i разом будуть задовольняти умовам /62/, /63/. BifliSpaHi пари записуються у масив! , зв!льняючи масив

Мх для генерування елемент!в hoboí cítkh.

6. Перевi рка умони //и - FCü.]tt±cf на предмет зупинки £s -алгоритма пбо прове-ення пода.пь^'их обчислень з исключениям !терац1 й— но i о процесу.

и^о.до величин i мае,м!сце теорема.

Тзоремз 6.2. ;ля будьч-яко! п1добласг1 Ü¿kJ , що mícthtb принайми! один розв"я?ок системи /60/ i для центра ¿*-'¿K> яко! ■ справедлива умова Ffü.¿Kj) £ , послаовност! ifé виг>-начаються так:

т. Як'що для gfavjzTvas/uc'-Jd , то

£<(rJ=<*-п.-

2. Як'10 для = I (U¿-i>trj } то

Ъ робот! розгляцаеться питапня про розпаралелювання обчислень при реалгзацП £-S -алгоритма на Оагатопроцесорних ЕОМ. Обгово-рчеться питания про !терац!йне уточнения за допомогою методу Ньютона одержаних насличених розв"язк1в, а такоя про обчислювальну по-хибку, jo оуп; 1В0д:-:уе процес в1докремльНия розв"язк!в.

Глава У. Числова реал!зац!я пронесу виокремлення i нзближено-го знаходчення ycix ¡зольованих розв"язк!в деяких клас}в йункщо-пальних piвнянь. Ця главе mícthtb результата числового експеримен-ту щодо розв 'язування системи нелШиних алгебра!чних i трансцен-дентних р i в нянь та недШП^их i нг ;гральних р!внянь !з степеневою не-л!н!Г1н!стю.

У nponei i числового експерименту розв"язувалися системи виг-' .пялу /59/ гз 3,4,5,6, що малл в!д одного до 9 розв"язк1в, системи Í3 трансцеидентлими доданками, число розв"язк!в яких визна-чалося розм!рами задано! облает! , а також системи р!внянь, число рэзз"язк1в яких змпшяалося залежно bíч, числопих значень параметр!в, чо входили в систему. Наведемо деяк1 з них.

Приклад !. Система piBimHb (J4~¡

/ut = s, Ïfu^ + ûjJfSi'n ¿4i s

розв"язува.лаоь в облает! ú* utiij Hu^SfiZ . 1з точШстю ¿Ö~* за нев"язкою були знайдан! вс1 розв"язки, частину is яких наводимо: "х- Р-З. «t Uju

0,89753945 : 0,13926964 . 0,0176784 . 7,0707934 '

0, & Ü671G7 ; 0,34657559 , ...0,0167579 7,4591877

0,0rö73Ü6Q ;¡ 6,07354292^ .'0,0019175' '65,1882672

Прк;слад:?. При виченн! властявостей динам!чнюс моделей, за- ■ прополованих. В.Ы.Глушдовим, Винякла задача а!дшукання розвиязк1в СИ' стеми язл!п1Йних р!внянь ' '

{¿- bvJr-jbujj ; ; ; / .

4t » я,и*(i-ил)- '':.*;;:

¿*¡ = ихъ)-йл«*, м;. и* = üiUiU-i/j)^ .у'I :.■»>;; y!-;.

при р(зяих ёначоняях параметра C?¿ t в облаотt

I. При йл=ei система мае < роав'язки .

На

Ut

о.о о.о " \ о.о '*'•.",; ! ' о,о

0,45677587 .. 0,83БЭ7с1Ь0 ' 0,456??5Ь7 , 0,83897060

0,70424553' ' . 0,7o4245'53 0,70424563 :; . ' 0,7042465$;:

0,83897661, ■ ; 0,45677586 :'■■>■', : 0,83BS7á¿0 '; ' j 0,45677585V;

2. При Oí , система мае $,роав"язк!в ,М':

0,0 ; ; 0.0 . 0,0 л - i 0,0 * ; .

0,41851631 : 0,839278?! -/; 0,46576937: : 0,858521064

0,43996035 О.С4эУЗУ&э •• 0,43905998 0,84993785

0,85852103 0,41851637 0,83927874. • j; ,0.46576929.. При

система Mas 36 р08в*язк{в. . .:

Ut.

.0,0

'о,03384469 0,04705429

0,80184266

0,0 ^ О,12208721 0,17128676

0,63313858

0,0 'i : 0,43267682. 0,57299700

•'

0,92376962

о.о ** ' :

0,99046848. 0,98675927

0,27810469

0,99046819 0,03381469 О,12208721 0,43267682

. Проводилося багато експеримент1в щодо розв"язування систем не-л!н!йяих алгебра!чних ! трансцевдентних р!внянь, що виникають в ра-

зультат! дискретизац! I нкперершшх задач, зокремя при розв'язуванн! нел!н!йних (нтех'ральмих р1виянь методом вироддепих ядер^тя методом-механ!чпих квадратур. Хеяк! з них ми наведемо ни-Ле. •

Для практично! реал!зац!1 процссу вЦокремлоння 1зольопаних розв"язк!в нел1н!Яних !нтегралышх р!внянь розроблено-в!дпоп!,1ший алгоритм. Наведемо головн1 його етапи.

Т, Шбиравться розм(рн!сть апроксимуючого п!дпростору ! ви-значаеться иаблиуена схема.

2. Копструюегься посл!довн!сть .чпугжсик-ацЬЧних р!вняяь, у да-ному випадку це с лето ми пелЬпйних а.т'гбраЬших 1 трзисцендентяих р!внянь.

3. Оде-рчаня система зводиться до яигляду, зручного для эпсто-сулання &S -алгоритма, за допомого» якого зиаходяться ус! 1зольо-ван! розп"язкл в зчцпнН) облает!.

4. За даними (Ыксованкми «- ! зиярдоншля nf дяоШдними 1м развязками v оОчкслюиться 1 вирачаються через шуханяй рад!ус F /гул! адияоет!/ волячяяи ¡ fy ¿ ->n t Ж.

b. На основ! цях величин складасться система iiopinnocTeíl /Б/, /6/ або « /33/,/34/, з яких утворюиться скалчри! р!внянпн пйшосно т* - , кпрен! jojhx знаходяться <гS" -алгоритмом^

6. Нерев!ряеться сум!сн!сть си стеки нер!вностей /б/./б/ або /33/./34/. Ягецо область сум!сност1 пуста, то зб!дьиуеться п. | пронес повторюеться.

7. Якзо к для кохпого ^ , ио в!дпов!дае тому чи !.ч;гаму п. , Область сум!сност! не пуста, то задача в!докремленнл роэв";1зк!в вг.ажявться реал!зованоп. Як результат яида»/гься для кожного О' сь1Й 1нтервал затечь рад!уса »* кул! елннпст I розв"лзку W(xJ вих!дного ч)!вняння i числова величина «постер!орно! ohíhkii похибки.

Наведений алгоритм <?ункц!энуе в алтоматизовауому речлм!. На!'-. б1льш трудом!стк! пронеси щодо янаходчолня yclx {зольовчних роз-в"язк!в указаних паше систем i скалярних р!внянь, а також генчрувп-яня таких систем реал!зуюгься в яячтоитичному ре»-им! за доггжттчо спе^яльно стпореного алгоритм iчного.i прогрямпого забезпеччння. Наведемо приклпц реал^апП вкаяяного алгоритма.

Ставилася задача в1яокрамитя ус! ¡эольовзн! розв'язки нчл!нН!-ного 1нтетрального г>!внял.чя !з додатн!м у яччдрат! 3 * <1

я-др.лм..............

им = i Д,е-Ч-иЩ+cu++1- Í,

що мае одним ¡з сво!х. точних розв"язк1в функц1ю £'х , тобто ё'Х £15].

■Зам!яа в цьсму р1иняян! функц!й В' ¥ , В1дпов1дно тг -м 1 (ь г-м в!др!зками 1х роз/сладу в ряди Каклорена приводить до апроксимац!йного р!вняння %

и

радв'язак якого зписуетьоя у вигляд! полIнош

Буля огеиерован! I; за доползгою Г? -алгоритма вир!шен! система при 3,4,5,6,7,8. У кожному вииадку. одержано три розв"яз-ки. Так, при п.-е система 1 розв"язки мали вигляд

у* I </

X

р

■= 40ежу.

а?* £ (Я -А%

>(аа)0*>-;ое)- коаф1ц!енти . розкладу пол¡нома

(о»хе+ ахлг+... + Q<rJ1

о,оо1383

а'" =.-о,оо8зз

0,041666 = -0,166667 о?'- 0,500000 = -1,000002 0™.-= 1,000010

а, = 0,001226

а"'- -0,007829 0,039460

а?*

о"'- 0,490510 аг - -1,030485 1,593255

СИ

О, Г- 0,002714

-0,012324

0,057605

-0,206225

0,159860

0,497173 е}?>- -0,507036 = -1,794393

Результата обчислення, величин ^) уЛ) у ) 1 ж, г*, л"

пом!щен! в таблиц!.

Допустим! облает! зм!ни рад!ус!в куль единост! розв"язк!в

мавть вигляд

0,00856 £ Г (и™)* о,] 525

0,0046?* +(4™) £■ 0,109

0,00357 £ 0,332

Тайлиця

Таблиц? результат1в обчаслення характеристик рГвняния

• 1 Í uf. . * Кб 3 ъ

0,0004045 0,0000602 0,001936

ъс*) O.C0369II 0.00485231* + 0.С015950 0.0005676 И*- .0.00138887Л *0.0С08494 .0.0036911^ О.С141859И> " + 0.0136681

0.0022258/- у O.COI4532 О.COI1352 + + 0.CCI3887 0.0С22258 f+ 0.0042881

2.0993320^+ т.зеоохео 2.0981229/"+ 2.5666 889 2.0993320*" -е- 4.0397753 '

Лщ. I.1585055 2.0725672 3.8288153

JU(t) 2.1007973 У"+ 1.3834059 Г+ + I.IÖ0IÜQ5 2.0975553 ^*+ 2.5Ё66882Л-у 2.0734166 2.1007973 f** 4.0496781»'' + 3.8424834

»"п 0.5I38G3I 0.5495837 2.4G0035Q

УП С+) -2.1007973 1.3834059/" * + 0.5I22S3I -2.0975553 V*- 2.5666882** + 0, Si40594 -2Д0Э79?зИ- 4.0496781 V + + 2.4453669

Аналог!ч1Шй числовий експериыент було проведено при наближено-ыу'розв"язанн! методами вироджених ядер та мехая1чних квадратур HIP

■и/л) J- JsSviry btyjafy f- ¿Siksc. .

У виподку методу виродаених ядар в1докреылення розв"язк!в зд!Й-снювалосй при 2. Набллжен! розв"язки у цьому випадку мають ви-гляд

tt'lx-) ~ 0,2505 л - 0,04173 , г 4,9742jc. -0,58952 JT , it*ix)- -5,1937jf- f 0,5S0B4« .

1нтарвали f>jJ aMiib! рад1уса '/' мають вигляд О, С0035 £ 1-^fiJ £ 1,2 0,027 л' t(tji) * т.О 0,0235 < t ^J i 1,85

Иарешт!, буди проведен! чисельн1 експерименти щодо розв"язуван-' 1М задач глобально! оптим1зац!!. Наведемэ 9дин !з приклад!в ц!е! оер!1._ ; ■

Знайти MiHiuyM функц!(uJt у Куб! -Z t £ * •

■ ~ «У - * +

' + иа +-к

В!дпов!дна система р!внянь мае вигляд

Шукана значения м!н!муму функцП -37,7235 у точц!

/►1,1255; -1,75244; 2/.

Числов! експерименти щодо знаходаення ,розв"язк!в систем нел!-И1йяих алгебра!чних ! трансцендентних р!внянь проводилися сум!сно а як(й автор за да щировдачний.

Уо! абчйс.деш» нербх(дн|-дри знаходження !нтервал!в рад!ус!р куль, ад^сдоаялйеь адтррвд.

На закп|чення р#словдаю щру ПЙЙЩ WPPfflY пауковому консультанту академ!ку В.С,Михалевичу за рост-1 Иду увагу до роботи 1 об-говореняя результат^.

Основн) результяти дисертацП илклдися1 у таких роботах.

Г.Бабич М.Д., Иванов В.i). Оценка полном погрешности jipi) решения нелинейных операторных уравнений методом просто.'! "итерами // i ПК и !.?>.- Т967,- 7. 5.- С. 9В8 - Т000.

2. j-эбич М.Д., Иванов В.В. Исследование полно!» погреиности в зпдачах минимизации при наличии ограничений // У1Л:.,~ \969.- gl,

1С. S - 14.

3. Бабич У.Д. Оценка полной погрешности при кииимязацки квадратичного Функционала в каре // JT.Ú- 1970.- £2, X' 3,- С. 300 - 3'2,

4. Бабич М.Д. К оцее.Ге некоторых псевдооперагш.'! // Лйгемптичпс-1'0в обеспечение 39V.- Клев : íín-т кибернетики АЯ УССР, I97Í.-

С. 2CÍ - 270.

5. Бабич М.Д. Анализ точности некоторых итерационных процессов // Оптимизация вичислени4, - (-Сиси ; Ия-т кибернетики ЛИ УССР, 1975.-С. 57- 60.

6. Баоач M.I. Об одном методе решения систем нелинейных уравнений // Вопросы оптимизации вычислений.- Киев : 0-во "Знчпиа" УССР. 1976.- С. 17 - 19.

7. Бабгч К, Д. Исследование вопроса точности в модульном программировании // Сйтииизавдя впчкслоняй и технология программирования.-Киев : ííii-т кибернетики АН УССР, 1978.- С. 14-2].

8. Бабич М.Д., Грнцяк Л.И. О построении реального итерационного процесса решения интагралышх уравнений на ЭВМ // Оптимизация вычислений,- Киев : Кн-т кибернетики АН УССР, 1979.- С. 72 - 79.

9. Оптимизация вычислений fi'ciw.íte некоторых классов уряяяомиЛ/ /'Л.Д.Бабич. П.Н.Ьесарпб, ИЛ. .Lcápa, B.U. Ивэдов.- Слов, J97".- 54с.-/ ¡¡ре пр./ АЛ УССР. Ин-т кяйернотикя; 79-54/.

10. Еайич М.Д., Шевчук Л.5'>. О приближенном регаении.одного класс нелинейных интегрально уравнений //'оптимизация вкчислсний и чио-. ленный анализ.'- Киев : Ии-т кисеуиетики АН УССР, ^¡'<0.- С. 23 - 30.

11. Бабич М.Д., Кмно» В.3., Сергиенко И.В. О некоторых проблемах развития специального математического обеспечения в сетях вычислительных центров.- Киеп, i;>r'G.- 45 о.-/Препр./ЛН УССР, Кн-т кибернетики; 79-54/.

'2. Бабич М.Д., пвинов И. В., ^.снчук Л.Ь. О некоторых принципах создания информационно- оптимизационной системы специального математического обеспечен»!: //УСиМ,- J96r.~ 2.- С. 82 - 0Я.

13. Бабич М.Д., I-евчук Л. ь. Об оптимизации начислений при численном рогаеииа систем нелинейных ураннени11 //!'отодн прикладного программ!! ров пи ия.- Киев : йл-т кибернетики ЛИ УССР, <?>Н.- С. ЯО -

Üü

14. 1аОич t'.. Л., Ывчук Л.Ь. Об одном алгоритма приближенного ре-вейия систем нелинейных уравнений //Кибернетика.- I9B2.- 2,-С. 74 - 79.

!5. Ьабич М.А., ьевчук Л.Ь. О численном решении систем нелинейных уравнений на многопроцессорных SBM //Тр. 5-й Всесоюз. пж-семи-нара "Параллельное вычисления и высокопроизводительные системы".-Киев, 1982.- С.' 05 - 58.

1G. Ьабич М.л. Об одном методе приближенного решения нелинейных интегральных уравнений //Тр. 3-го респ. симиоз. по дифференциальном и интегральным уравнениям,- Одесса, !932,- С. 108 - 109,

17. Ьабич М.Д,, Jiyльская В.А., ¡¿'ев«ук Об оптимизации вычислений при приближенном ранении некоторых млинойнах задач //Тез. докл. 3-й респ. конф. "Вычислительная шгегл-.тика в научно- техническом прогрессе".- Киев : 1'к-т кибернетики АН УССР, 1982,-

С. W9 - 190.

18. Ьаблч К.Д., Уевчук'Л.Б. Об опыте глобального приближенного решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений /Аффективная организация вычислений и численные методы.-

¡(иев : Ил—т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, 1983,- С. 79 - 86.

[9. ьабич М.Д. Об одном подходе к решению нелинейных интегральных уравнений //Тр. респ. конф. "Интегральные уравнения в прикладном моделировании".- Киев, 1983,- С.19 - 20.

20. Бабич М.д.О распараллеливании вычислений при решении сизтем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений //"Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации": Докл. и сообщ. 3-го симпоз.-Таллинн, 1984.- C.I76 - 177.

21. Бабич М.Д. 0 теоремах существования при приближенном решении нелинейных операторных уравнений // Оптимизация алгоритмов программного обеспечения.- Киев : йн-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, 1985,- С.Т2 - 15.

22. Бабй"ч М.Д., Шевчук Л.Ь. О численном_решении одного класса нелинейных интегральных уравнений // Оптимизация численных методов решения задач на ЭВМ.- Киев : Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, 19В6.- С.4 - 6.

23. Бабич М.Д, 0 приближенном решении нелинейных интегральных уравнений и апостериорных оценках погрешности //Тр. респ. конф. "Интегральные уравнения в прикладном моделировании".- Киев, Т986.-' С. 15- -16. , '

24. Бабич М.Д. Аппроксимационно-итера.ционный метод решения не-

линейных операторных и функциональных уравнений в пространстве Гильберта и теоремы существования / Ин-т кибернетики им. В. М. Глу-шкова АН УССР. — Киев, 1986. — Деп. в ВИНИТИ 28.12.86, №8970-В86.

25. Бабич М. Д. Об отделении решении нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Вопросы оптимизации вычислений: Тез. докл. Всесоюз. семинара, Алушта, 6—8 окт. 1987 г. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1987. — С. 17—18.

26. Бабич М. Д., Корниенко Г. М., Шевчук Л. Б. О тестировании программного обеспечения решения одного класса экстремальных задач Ц Тез. докл. 5-й науч. конф. «Методы математического программирования и программное обеспечение». — Свердловск : УрО АН СССР, 1987. — С. 13—14.

27. Бабич М. Д., Шевчук Л. Б. О приближенной схеме решения одного класса нелинейных интегральных уравнений // Пакеты прикладных программ н численные методы. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1988. — С. 61—65.

28. Бабич М. Д. Распараллеливание вычислений при приближенном решении систем нелинейных алгебранчегких и трансцендентных уравнений // Тр. Всесоюз. шк.-семннара «Распараллеливание обработки информации. — Львов, 1989. — С. 169—170.

29. О тестировании алгоритмот решения задач вычислительной математики / М. Д. Бабич, А. И. Березовский, Г1. Н. Бесараб, В. К. Зади-рака // Тез. докл. 6-й науч конф. «Методы математического программирования и программное оЗеспечение». — Свердловск : УрО АН СССР,

1989. — С. 12—13.

30. Бабг'ч М. Д., Ше~чук Л. Б. О приближенном решении некоторых классов трема тьных задач // Чисенные метолы и технология разработки ППП. — Киев : Ин т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР,

1990. — С. 56—61.

31. Бабич М. Д. О приближенном решении одного класса пс* ■,,сл:ы.. интегральных уравнений. — Киев, 1991. — 34 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова; 91-15).

32. Бабич М. Д. Об одном аппроксимационно-итерационном методе решения нелинейных операторных уравнений // Кибернетика. — 1991. — № 1. — С. 21—28.

33. Бл6"ч М. Д. Об отделении и приближенном нахождении квотированных решений нелинейных интегральных уравнений. — Киев, 1992. — 27 с. — (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова; 92-31).

34 Бабич М. Д., Шевчук Л. Б. О приближенном решении нелинейных интегральных уравнений методом механических квадратур / Разработка математического и программного обеспечения ППП и решение задач диекпетной оптимизации. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН Украины. — 1992. — С. 47—51.

П1дп. до дпуку 30.12.92. Формат 60x84/16. Пашр кн.-журн. Офс. друк. Ум. др\гк. арк. 1,63. Ум. фарбо-виб. 1,75. Обл.-вид. арк. 2,0. Тираж 100. Зам. 20 X

Редакц'йно-видавничян ва'дди з пол1граф1чиою дипышцею 1нститутv к;бернетики ¡меш В. М. Глушкоча АН Украши 252207 Кн:в 207, проспект Академика Глушкова, 40