автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Технология моделирования объектов экономики с использованием дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

На правах рукописи

Фунг Тхе Бао

ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ ЭКОНОМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Специальность 05.13.^8 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск-2013

5 Л ДШ

005542761

Работа выполнена на кафедре «Автоматизированные системы» ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет»

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Казаков Александр Леонидович,

доктор физико-математических наук, профессор Боровский Андрей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры Информатики и кибернетики ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права» Тарасян Владимир Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Мехатроники ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения» Институт математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

Защита состоится «¿3 » декабря 2013 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.070.07 при Байкальском государственном университете экономики и права по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Карла. Маркса, д. 24, корп. 9, зал заседаний ученого совета БГУЭП.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права» по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, БГУЭП, корпус 2, аудитория 101.

Объявление о защите и автореферат размещены «¿2» ноября 2013 года на официальном сайте ВАК Минобрнауки РФ (www.vak.ed.gov) и на официальном сайте Байкальского государственного университета экономики и права (www.isea.ru).

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, БГУЭП, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.070.07.

Автореферат разослан «¿2.» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

¿¡&Г Т.И. Ведерникова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Использование математических методов — важнейшее направление совершенствования систем управления в экономике. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния различных факторов на результаты деятельности, повышению точности прогнозирования.

Применение математических методов в управлении запасами принято связывать с появившимся в начале XX века работами Ф. Харриса и Р. Уилсона, в которых исследовалась простейшая оптимизационная модель EOQ (Economic Order Quantity) для определения экономически наиболее выгодного размера заказа при детерминированном спросе. Р. Уилсоном (Wilson) в его работах была выведена группа формул, относящихся к EOQ, которая в англоязычной литературе носит его имя. В данной идеальной модели предполагается, что запасы мгновенно пополняются в тот момент, когда их уровень падает до нуля. К сожалению, данная модель не всегда применима на практике из-за упрощенности и условности рассмотренных параметров.

С середины 1960-х годов применение математических методов в управлении запасами продолжило интенсивно развиваться. Можно отметить следующих авторов: Дж. Букан, Э. Кенигсберг, Е.А. Хруцкий, О. Уайт, Г.Б. Рубальский, В.А. Сакович, Ю.А. Беляев., О.Д. Проценко, А.П. Долгов, В.Б. Иванов, В.Ю. Рыжиков, И.И. Сидоров, В.И. Сергеева, М. Кристофер, Г.Н Решетникова., Г.Л. Бродецкий, М.Н. Григорьев и др. Были описаны различные методы и модели управления запасами и получены формулы Уилсона для детерминированных моделей размера партии и их обобщения; модели управления запасами при случайном спросе с непрерывным и периодическим контролем уровня запасов; модели управления запасами в стохастической постановке, в которых требовалось определить допустимый уровень дефицита с точки зрения эффективного функционирования склада (вероятность бездефицитной работы склада) и т. д.

Перечисленные модели управления запасами в большинстве являются дискретными, что оправдано предположением о дискретности поставок. Однако такие модели управления запасами не всегда точно описывают реальную экономическую систему. Причина этого заключается в том, что возможны ситуации, в которых поставки осуществляются непрерывным образом. Это происходит тогда, когда пропускная способность транспортного канала ограничена и поставки осуществляются малыми партиями или если речь идет о трубопроводном транспорте, технология функционирования которого предполагает непрерывность поставок. Особняком стоят поставки электроэнергии, для которых дискретизация невозможна, а также практически отсутствует возможность для создания запасов. В данных случаях рассмотрен ряд моделей функционирования товарного склада, в которых поставки осуществляются непрерывно, при этом математическое описание производится с помощью аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений (Ordinary Differential Equations, ODE). Построению и исследованию моделей управления запасами в непрерывной постановке на основе обыкновенных (стохастических)

дифференциальных уравнений посвящены работы В.А. Колемаева, Б.С. Решетниковой, В.А. Саковича, А.Н. Стерлиговой и др.

Одной из существенных проблем современной математической теории управления запасами является то, что большинстве существующих моделей не учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией, например, между подачей заявки и ее выполнением, время задержки, требуемое для пополнения запаса при его нехватке в системе и т. д. Между тем, наличие такой задержки необходимо принимать во внимание в большинстве реальных экономических систем.

Работы по математическому моделированию системы управления запасами с учетом запаздывания имеются, но их довольно мало. Можно указать, например, работы Е.В. Чаусовой, Ю.И. Дорофеева и A.A. Никульченко, О.О. Мухиной и В.И. Смагина. В них при построении моделей учитывают время задержки поставок, однако сами модели являются дискретными.

Непрерывные модели, в которых учитывается эффект запаздывания, представляется уместным строить с использованием аппарата дифференциальных уравнений с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом. В настоящее время многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, биологии, физики и т.д. описываются с помощью моделей на основе таких уравнений. Построению и исследованию моделей различных объектов и систем на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Можно отметить следующих авторов: Мышкис А.Д., Беллман Р., Эльсгольц Л.Э., Колесов Ю.С., Кук K.JL, Хейл Дж., Красовский H.H., Меркин Д.Р., Долгий Ю.Ф. и Тарасян B.C. и т.д., однако в теории управления запасами подобные модели не получили пока распространения.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки математических моделей управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно. При этом их математическое описание производится с помощью аппарата дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка методов математического моделирования системы управления запасами с учетом запаздывания и инструментальных средств его поддержки на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) анализ существующих математических моделей управления запасами;

2) построение моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздыванием в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно;

3) исследование построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на устойчивость;

4) разработка численных методов и программного комплекса, предназначенного для исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания;

5) апробация результатов работы при решении прикладных задач управления запасами товаров народного потребления двух основных типов (продовольственных и непродовольственных).

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются системы управления запасами, в которых поставки осуществляются непрерывно и учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией. Предмет исследования - математические модели управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, численные методы и инструментальные средства поддержки их исследования.

Методы исследования. При проведении диссертационного исследования применялись методы математического моделирования, аналитические и численные методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики. Для реализации программной системы использована среда разработки МАТЬАВ.

Научная новизна. Научная новизна исследования состоит в следующем.

1. Предложен новый подход к построению моделей управления запасами: модели управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно, а не дискретно, как в большинстве существующих моделей управления запасами.

2. Построены оригинальные модели управления запасами с учетом запаздывания в непрерывной постановке на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка, отвечающие различным экономическим ситуациям.

3. Определены ограничения на входящие параметры, при выполнении которых построенные модели устойчивы, установлены случаи, когда введение запаздывания в моделях управления запасами оказывает положительное влияние на устойчивость.

4. Предложен авторский алгоритм численного исследования построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе метода шагов, отличающийся от известного тем, что предусматривает учет ограничений на величину скачка второй производной.

5. Разработан оригинальный программный комплекс, отличительными особенностями которого является охват специфичного круга задач, связанных с численным исследованием непрерывных моделей управления запасами с учетом запаздывания, простота и удобство интерфейса. Программный комплекс создан в среде МАТЬАВ.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается несколькими параметрами: корректностью выбора условий для построения моделей и исходных данных

для проведения численного эксперимента; согласованностью экспериментальных и теоретических данных; высокой точностью результатов численных расчетов, сочетанием численных методов исследования моделей с аналитическими.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем:

1. Разработан подход к построению специальных математических моделей для решения задач управления запасами, в первую очередь, в сфере торговли, а также в других областям экономики.

2. Создан программный комплекс, позволяющий решать прикладные задачи соответствующего класса.

Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Моделирование систем», «Вычислительная математика» и «Системный анализ». Получен акт о внедрении результатов кандидатской диссертационной работы в учебный процесс ФГБОУ ВПО «ИрГТУ».

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XII Прибайкальская школа-семинар молодых ученых «Моделирование, оптимизация и информационные технологии» (Иркутск, 2012 г.); Межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем» (Иркутск, 2012 г.); XVII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2012 г.); Всероссийская молодежная научно-практическая конференция «Малые Винеровские чтения» (Иркутск, 2013 г.); вторая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем» (Иркутск, 2013 г.); III Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2013 г.); X Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013 г.); XVIII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2013 г.).

Результаты диссертационного исследования неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры Автоматизированных систем Иркутского государственного технического университета (рук. к. т. н., доцент C.B. Бахвалов).

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 11 научных работах, из них 3 статьи в изданиях, входящих в Перечень ВАК: «Вестник ВСГТУ», «Вестник ИрГТУ». Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013660315 (2013 г.).

Личный вклад. Все выносимые на защиту результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из

введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Объем работы составляет 126 страниц, 40 рисунков и 7 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована его цель и задачи, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов, изложены основные научные положения, выносимые на защиту, приведена структура и краткий обзор содержания работы.

В главе 1 приведен обзор основной теории управления запасами: определения термина «запасы», классификация запасов по различным основаниям и роль управления им в работе любого предприятия различной организационной структуры на основе анализа литературных источников. Приведены основная классификация моделей управления запасами и стратегия управления запасами. Проведен анализ существующих моделей управления запасами, на основе которого сделаны следующие выводы.

Существующие модели управления запасами в большинстве являются дискретными, что оправдано предположением о дискретности поставок. Таким моделям управления запасами посвящены работы Ю.А. Беляева, Дж. Букана, Г.Л. Бродецкого, А. П. Долгова и др., однако они не всегда достаточно точно описывают реальную экономическую систему. Причина этого заключается в том, что возможны ситуации, в которых поставки осуществляются непрерывным образом. Таким образом, существует объективная необходимость в построении моделей управления запасами в непрерывной постановке. Моделям управления запасами в непрерывной постановке посвящены работы В.А. Колемаева, Б.С. Решетниковой, В.А. Саковича, А.Н. Стерлиговой и др., хотя они пока и не получили широкого распространения. Возможно, что причина этого заключается в том, что в них не учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией, которое необходимо принимать во внимание в большинстве реальных систем. Этот недостаток затрудняют применение известных непрерывных моделей управления запасами на практике.

С целью решения данной проблемы автором предложен новый подход к построению моделей управления запасами на основе применения математического аппарата дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

В главе 2 сделан обзор теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и методам их исследования посвящены работы А.Д. Мышкиса, Р. Беллмана, К. Кука, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца, H.H. Красовского, Ю.Ф. Долгого и B.C. Тарасяна и др. Рассмотрены аналитические и численные методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: метод шагов и метод Рунге-Кутты, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений, в том числе, метод D-разбиения. При этом, в частности, сделан следующий вывод:

Для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом второго порядка решение является дважды кусочно-дифференцируемой функцией, при этом первая производная непрерывна, а вторая, вообще говоря, имеет разрывы первого рода. Однако в системах управления запасами в ряде случаев необходимо, чтобы запас не испытывал резких колебаний, в частности, чтобы была непрерывна и вторая производная. К сожалению, выполнение данного требования возможно только для очень узких классов решений.

Для преодоления указанных трудностей автором предложена модификация стандартного алгоритма (метода шагов) численного исследования дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом, предусматривающая учет ограничений на величину скачка второй производной.

В главе 3 построены математические модели управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно, а не дискретно, отвечающие различным экономическим ситуациям. В первом случае предполагается, что функции возмущения в системе управления запасами являются постоянными. При этом модели управления запасами построены на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка с постоянными коэффициентами. Во втором случае предполагается, что функции возмущения в системе управления запасами являются переменными. При этом модели управления запасами построены на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка с переменными коэффициентами. Соответственно различным экономическим ситуациям автором были рассмотрены три разновидности спроса в системе управления запасами: постоянный спрос, периодические колебания спроса и случайные колебания спроса.

Выполнено исследование моделей на устойчивость. Проведены вычислительные эксперименты, в результате которых определено влияние входящих параметров на свойство устойчивости системы, и установлены случаи, когда введение запаздывания в модели оказывает положительное влияние на поведение системы.

Далее приводится обзор основных моделей, которые рассмотрены в диссертации.

Ранее предложена математическая модель однономенклатурной системы управления запасами (поставками) в непрерывной постановке на основе дифференциальных уравнений (Ordinary Differential Equations, ODE)1. При этом рассматривается два способа регулирования поставок: 1) поставки пропорциональны с обратным знаком текущему запасу («модель АО»); 2) поставки пропорциональны с обратным знаком текущему запасу и скорости его изменения («модель ВО»), Первый случай приводит к ODE второго порядка без диссипативного члена:

1 Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов систем / В.А. Колемаев. — М.: Юнити-Дана, 2005. — 295 с.

у'(0 + а0у(0 = -х\1) («модель АО»), (1)

второй случай - к уравнению:

/(О + а0у'(0 + «,>•(/) = —х'(/) («модель ВО»), (2)

здесь х{{) - интенсивность расхода ресурса (скорость изменения спроса), >>(/) -текущий его запас (причем отрицательное значение у(?) означает дефицит), а0, <я, - положительные константы.

Автором модели АО и ВО были усложнены за счет введения временного промежутка между моментом подачи заявки и моментом ее реализации, что, отметим, характерно для большинства реальных экономических систем. Построены модели управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Первый случай приводит к уравнению:

у"(/) + а0у(1 - г,) = -х'([) («модель А»), (3)

второй случай - к уравнению:

У(0 + а0у'(1 - г,) + а,>'(/ -т2) = -*'(/) («модель В»), (4) где а0,а1гтх,т2 - положительные константы. Здесь предполагается, что величина запаздывания реакции системы на изменение запаса т2 и на скорость его изменения тх, вообще говоря, может быть различной.

Теперь для модели В будем рассматривать три случая, отвечающие различным экономическим ситуациям.

1. Величина запаздывания реакции системы как на изменение размера запаса, так и на скорость его изменения, одинакова:

>>"(/) + а0у'(1 -т) + «,>>(? - г) = *'(/) («модель В1»). (5)

2. Величина запаздывания в производной нет, но она имеется в последнем слагаемом:

у"(0 + а0у'и) + а1уи-т) = х'0) («модель В2»), (6)

3. Величина запаздывания имеется только в производной функции:

у"^) + а0у'(Г-т) + а1у(1) = хХО («модель ВЗ»), (7)

При исследовании построенных моделей на устойчивость были рассмотрены три вида наличия спроса в системе управления запасами.

Модель управления запасами с учетом запаздывания при постоянной функции спроса, т. е. лг'(/) = 0. Исследование на устойчивость было проведено методом О-разбиения, определены области значений параметров, при которых построенные модели при постоянной функции спроса устойчивы (неустойчивы). В результате исследования установлено, что модель А является неустойчивой при любом запаздывании, а модели В1-ВЗ могут быть асимптотически устойчивыми при определенных значениях параметров а0,ах и г. Поскольку для целей эффективного управления запасами наибольший интерес представляют асимптотически устойчивые модели, подробное исследование проводились только для моделей ВО-ВЗ.

Проведен вычислительный эксперимент, результаты которого, во-первых, подтвердили правильность проведенных теоретических выкладок; во-вторых,

позволили определить, какая из моделей ВО-ВЗ с точки зрения квадратичного интегрального критерия качества является наилучшей при различных значениях входящих параметров. Наиболее интересным из них является вывод о том, что модель В1 (с двумя запаздываниями) при некоторых значениях параметров может оказаться наилучшей из рассмотренных моделей, хотя обычно считается, что запаздывание отрицательно влияет на устойчивость.

Модель управления запасами с учетом запаздывания при периодической функции спроса, т. е. х'(?) = -а + ср), где а,со,(р в свою очередь являются амплитудой, частотой и фазой периодических колебаний спроса.

Полученные условия устойчивости для моделей ВО-ВЗ в данном случае также справедливы. Определены резонансные частоты для моделей ВО-ВЗ, при которых амплитуды колебаний достигают максимума. Очевидно, что резонансные частоты обладают свойством дефицита в системе управления запасами.

Выполнен вычислительный эксперимент для моделей ВО-ВЗ, в результате которого определены влияния частоты со и запаздывания г на амплитуду и период, определяемые в стационарном режиме, на время переходного процесса и интегральные оценки, которые являются оценками качества управления системы. Полученные резонансные частоты, при которых интегральная оценка будет наименьшей в результате вычислительного эксперимента для моделей ВО-ВЗ, совпадают с величинами резонансных частот, которые определены теоретически. На рис. 1 представлены наиболее интересные результаты расчетов для моделей ВО (пунктирные кривые), ВЗ

Рис. 1. Траектории решений для моделей ВО, ВЗ

Основной вывод, который был сделан в рассматриваемом случае, заключаются в том, что наличие колебаний спроса не оказывает влияния на область устойчивости модели управления запасами с учетом запаздывания, однако частота периодических колебаний спроса оказывает сильное влияние на поведение системы; существует случай, когда запаздывание оказывает положительное влияние на поведение системы с точки зрения ее устойчивости (рис. 1, г).

Модель управления запасами с учетом запаздывания и случайной функции спроса, т.е. х'(0 = —¿¡(t), где £(t) - случайный процесс, описывающий скорость изменения спроса в системе, т.е. в данном случае рассматриваются стохастические дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

Было исследовано влияние характеристик случайного процесса £(t) на устойчивость модели. Рассмотрены два наиболее естественных с точки зрения предметной области случая: интенсивность расхода продукта ^(i) является 1 Непрерывной случайной величиной, распределенной по нормальному закону; 2)периодической функцией при наличии случайного сдвига по фазе, т. е. подчиняется следующему закону:

- a cos(cot + у/), (8)

где а - амплитуда колебания спроса, Ц/ - случайная величина (например, распределенная по нормальному закону).

Проведен вычислительный эксперимент для моделей В1-ВЗ, в результате которого установлено, что случайная функция не оказывает влияния на область устойчивости решения построенных моделей, однако заметно влияют на продолжительность и характер переходного процесса (обычно - отрицательно).

Модели управления запасами с малыми возмущениями коэффициентов. Для полноты рассмотрим два случая: первый - когда в системе управления запасами отсутствует запаздывание, второй - когда оно имеется.

Первый случай. Пусть модель описывается дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами без диссипативного члена:

y\t) + (1 + £g(t))y(t) = 0 («модель типа АО»), (9)

где 0<<?<1 - некоторый параметр, a |g(f)|<l - периодическая функция периода Т. Уравнение, записанное в такой форме, называется уравнением Хилла. Выполнено исследование решения уравнения (9) на устойчивость для различных g(t). Рассмотрен также случай, когда g(t) не является периодической. В частности, построен пример «почти периодической» функции g(t), для которой модель будет асимптотически устойчивой Фазовая траектории уравнения (9) в этом случае приведена на рис. 2.

Рис. 2. Фазовая траектория модели устойчивой модели типа АО с малыми возмущениями

Второй случай. Были рассмотрены уравнение

у"( 0 + а0 {1)у{1 - т) = 0 («модель А1») (10)

и более сложное уравнение

у"(0 + а0у'(0 + а, (0у(! - г) = 0 («модель В'2 »), (11)

где 0<а, <а1(/)<а* ограниченная кусочно-непрерывная функция, а0 -некоторая константа. Было установлено, что любое решение уравнения (10) в данном случае неустойчиво. На рис. 3 представлено решение в случае, когда а0(0 = 1 + £СО8(й#). 0<£<1.

а) при г = 0,01, £ = 0,4, Г = 2 б) при т = 0,05, е = 0,5,7" = 2,8

Рис. 3. Траектория решения для модели А1

Из рис. 3 можно видеть, что на некоторых локальных отрезках времени амплитуда колебаний заметно уменьшается, однако максимальное значение амплитуды с течением времени возрастает.

Выполнено исследование модели В'2 на устойчивость, получено, что в отличие от модели А1 модель В'2 с периодическими коэффициентами может быть устойчивой при некоторых значениях входных параметров, следовательно, вполне пригодна для использования.

Основой численного алгоритма стали метод шагов и методы Рунге-Кутты, при этом, в отличие от стандартной схемы метода шагов, в использованной алгоритме предусмотрена возможность контроля величины скачка второй производной для того, чтобы избежать резких изменений величины запаса. При нарушении заданных ограничений параметры системы управления запасами могут быть скорректированы. Указанные ограничения для

моделей В1-ВЗ имеют вид:

| <рк \кт) + а0(рк \кт -т) + ах(рк (кг-г) |< е\ (В 1)

| срк \кг) + а0срк \кт) + ахсрк {кг - т) |< е; (В2)

| срк \кт) + а0(рк \кт - т) + ахсрк (,кт) \<е, (ВЗ),

где £ >0 - заданная константа, a (pk(t) - решение на к-м шаге. Рассмотрен простейший (<p0(t) = const) пример для модели В1, который показывает, как

работают указанные ограничения.

В главе 4 представлено описание программного комплекса для численного исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания в среде MATLAB.

В качестве основы реализации программного комплекса выполнено комплексное численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и графическое представление его результатов, определение оценки качества управления динамических систем.

В рамках программного комплекса разработаны следующие модули:

• модуль «ГМУЗ» - головной модуль программного комплекса задает требуемый режим численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания и организует взаимосвязь программных моделей;

• модуль «МВИД» предназначен для ввода исходных данных для численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания;

• модуль «МРДФ» предназначен для решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом;

• модуль «МРО» предназначен для определения величин, характеризующих оценки качества управления;

• модуль «МООР» предназначен для отображения результатов в виде графиков, а также записи расчетов в файлах.

В главе 5 построенные автором модели и программный комплекс применяются для решения прикладных задач управления запасами товаров народного потребления двух основных типов (продовольственных и непродовольственных).

Задача управления запасами продовольственных и непродовольственных товаров заключается в том, что необходимо прогнозирование спроса, регулирование объема товарного запаса на складе, определение значений параметров для улучшения качества процесса управления.

Исходные данные взяты во вьетнамской акционерной компании Хами, занимающейся продажей ореха кешью в провинции Бинь Фыок, и во вьетнамской акционерной компании Пико, являющейся одной из ведущей компаний Вьетнама в области торговли сотовыми телефонами в г. Ханой.

Одним из основных факторов, определяющим величину спроса на товар, является его цена. В качестве исходных данных взяты объемы продаж (объемы спроса) соответствующих его цен в зависимости от времени (дней) за 2012 г.

Задача управления запасами продовольственных и непродовольственных

товаров на примере продажи ореха кешью и сотового телефона. Для решения данной задачи требуется определять функции скорости изменения спроса от рыночной цены. При этом предполагается, что скорость изменения спроса £>'(/) определяется рыночной ценой товара в текущий момент времени

скоростью изменения его цены Р'Ц), а также рыночной ценой товара в некоторый предшествующий момент времени t-т:

2'(0 = ^(0 + 5Р(?-т) + СР'(0, где А,В,С - коэффициенты, подлежащие определению (их значения были найдены с использованием метода наименьших квадратов). Наиболее адекватной в данном случае оказалась модель, в которой запаздывания в производной нет, но оно имеется в искомой функции (модель В2): У(0 + а0у'(г1) + ахуЦ - т) = £>'(/).

Выполнено численное исследование модели для двух случаев с помощью разработанного программного комплекса, результаты которого показали достоверность теоретических исследований автора. Определены значения параметров для улучшения качества процесса управления. На рис. 4 показано поведение запаса кешью при различных параметров ах.

Из рис. 4 видно, что величина запаса не является асимптотически устойчивой (это связано с влиянием сезонности производства). На рис. 5 показаны графики поведения запаса ореха кешью у{?) (непрерывная линия) и поведения запаса ореха кешью = уф-ус{?) (прерывистая линия),

очищенного от влияния ус(?) сезонности производства. Видно, что функция ух (?) асимптотически устойчива.

4

■11111181...

РЧ

а) при д, = 3

б) при а, = 5 Рис. 4. Поведение запаса кешью

* ШЯШШШЯНЯЯШШШЯШШШЯЯЯШШЯ-

уСО'ЯСО: |-у(0

\ ' ..........................!.......

1 А. | !

1 || \ { Г ""г......т...... Г

I / у ч- \ '""1 / \ / \ / \у К / \ / ^ \ / Г

у....

__________________

Рис. 5. Поведение запаса кешью и запаса кешью у,(?), очищенного от влияния сезонности производства

45709

В отличие от спроса на орехи, спрос на сотовые телефоны определяется прежде всего ценой, а не сезонными факторами. Такая система может быть асимптотически устойчивой при определенных значениях параметров.

Таким образом, результаты решения задачи управления запасами продовольственных и непродовольственных товаров на примере продажи орехов кешью и сотовых телефонов, показали достоверность теоретических исследований авторов и возможность применения построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания для решения прикладных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Предложен новый подход к построению моделей управления запасами в непрерывной постановке с учетом запаздывания.

2. Построены оригинальные модели управления запасами на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, отвечающие различным экономическим ситуациям.

3. Определены ограничения на входящие параметры, при выполнении которых построенные модели устойчивы; установлены случаи, когда введение запаздывания в моделях управления запасами оказывает положительное влияние на устойчивость.

4. Предложен авторский алгоритм численного исследования построенных моделей на основе метода шагов, отличающийся от известного тем, что предусматривает учет ограничений на скачок второй производной.

5. Разработан оригинальный программный комплекс, отличительными особенностями которого является охват специфичного круга задач, связанных с численным исследованием непрерывных моделей управления запасами с учетом запаздывания.

6. Проведена проверка работоспособности построенных моделей управления запасами и достоверности теоретических исследований автора. С использованием разработанного программного комплекса решены прикладные задачи управления запасами орехов и сотовых телефонов для двух вьетнамских компаний.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Издания, входящие в Перечень ВАК РФ:

1. Фунг Т.Б. Математическая модель управления запасами (поставками) с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, A.JI. Казаков, A.A. Лемперт // Вестник ИрГТУ. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2012. - № 4 (63). - С. 131-137.

2. Фунг Т.Б. О моделировании процесса управления запасами с учетом запаздывания для двух видов товаров народного потребления / Т.Б. Фунг, A.A. Лемперт // Вестник ИрГТУ. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2013. - № 9 (80). -С. 43-52.

/

3. Фунг Т.Б. Исследование устойчивости моделей управления запасами в непрерывной постановке / Т.Б. Фунг, A.A. Лемперт // Вестник ВСГУТУ. -Улан-Удэ : Изд-во ВСГУТУ, 2013. - № 4 (43). - С. 5-14.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

4. Фунг Т.Б. Программная система для исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, А.Л. Казаков, A.A. Лемперт // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013660315 от 30 октября 2013 г. / Федеральная служба по интеллектуальной собственности. -2013.

Прочие издания:

1. Фунг Т.Б. Математическая модель управления запасами на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / А.Л. Казаков, Т.Б. Фунг / Моделирование, оптимизация и информационные технологии : мат-лы XII Прибайкальской школы-семинара молодых ученых (Иркутск, 19-24 марта, 2012 г.). - Иркутск : ИДСТУ СО РАН, 2012. - С. 24.

2. Фунг Т.Б. О модели управления запасами в непрерывной постановке с учетом запаздывания и случайных колебаний спроса / Т.Б. Фунг, A.A. Лемперт / Малые Винеровские чтения : тр. Всерос. науч.-практ. конф. (Иркутск, 23-24 марта, 2013 г.). - Иркутск : ИрГТУ, 2013. - С.71-79.

3. Фунг Т.Б. О непрерывной модели управления запасами со случайными колебаниями спроса / Т.Б. Фунг / Малые Винеровские чтения : мат-лы Всерос. Молодежной науч.-практ. конф. (Иркутск, 23-24 марта, 2013 г.). - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2013. - С. 70.

4. Фунг Т.Б. Построение и численное исследование математической модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, А.Л. Казаков / Информационные и математические технологии в науке и управления : тр.

XVII Байкальской Всерос. конф. (Иркутск, 30 июня - 09 июля, 2012 г.). -Иркутск : ИСЭМ СОРАН, 2012. - Т. 1. - С. 125-132.

5. Фунг Т.Б. Программная система для численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, A.A. Лемперт / Информационные и математические технологии в науке и управления : тр.

XVIII Байкальской Байкальской Всерос. конф. (Иркутск, 01-09 июля, 2013 г.). -Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2013. - Т. 2. - С.145-151.

6. Фунг Т.Б. Программная реализация для численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, И.О. Верхозина // Управление большими системами : тр. X Всерос. школы-конф. молодых ученых. (Уфа, 5-7июня, 2013 г.). - Уфа : УГАТУ, 2013. - Т. 1. - С. 34-37.

7. Фунг Т.Б. Численный метод решения задачи управления запасами с учетом запаздывания и его программная реализация / Т.Б. Фунг / Математика и ее приложения в современной науке и практике : тр. III Междунар. науч.-практ. конф. студентов и аспирантов (Курск, 11-13 апреля, 2013 г.). - Курск : ЮЗГУ, 2013. - С. 411—416.

Подписано в печать 21.11.2013. Формат 60 х 90 / 16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Зак. 179. Поз. плана Юн. Лицензия ИД № 06506 от 26.12.2001 Иркутский государственный технический университет 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201452865

ФУНГ ТХЕ БАО

ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ ЭКОНОМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, КАЗАКОВ А.Л.

Иркутск - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................................................................................4

Глава 1. Обзор существующих математических моделей управления запасами 15

1.1. Краткий обзор теории управления запасами.............................................15

1.2. Существующие модели управления запасами...........................................19

Вывод по первой главе.......................................................................................29

Глава 2. О дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.......30

2.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в чем сложность............................................................................................................30

2.2. Решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов....................................................................................................33

2.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом Рунге-Кутты....................................................................35

2.4. Метод исследования устойчивости решения дифференциального

уравнения с запаздывающим аргументом.........................................................37

Вывод по второй главе.......................................................................................40

Глава 3. Построение и исследование математической модели управления запасами с учетом запаздывания...........................................................................42

3.1. Построение моделей управления запасами с использованием дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.......•...............43

3.2. Исследование на устойчивость модели управления запасами с учетом запаздывания и постоянной функцией спроса..................................................46

3.3 Периодические колебания спроса в модели управления запасами...........55

3.4 Случайные колебания спроса в модели управления запасами..................60

3.5 Исследование модели управления запасами с малыми переменными функциями возмущения.....................................................................................68

3.6 Алгоритм численного исследования построенных моделей управления

запасами с учетом запаздывания на основе метода шагов..............................78

Вывод по третьей главе......................................................................................83

Глава 4. Программный комплекс для численного исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания.......................................................84

4.1. Общее описание программного комплекса................................................84

4.2. Реализация алгоритма численного исследования построенных моделей управления запасами на основе метода шагов в программном комплексе.....85

4.3. Реализация численного метода Рунге-Кутты в программном комплексе 86

4.4. Программная структура, его особенности.................................................88

Вывод по четвертной главе................................................................................97

Глава 5. Прикладные задачи..................................................................................98

5.1 Управление запасами непродовольственных товаров на примере ореха

кешью..................................................................................................................98

5.2. Управление запасами непродовольственных товаров на примере телефонов..........................................................................................................107

Вывод по пятой главе.......................................................................................112

Заключение...........................................................................................................114

Список литературы..............................................................................................115

Введение

Актуальность исследования. Использование математических методов -важнейшее направление совершенствования систем управления в экономике. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния различных факторов на результаты деятельности, повышению точности прогнозирования.

Применение математических методов в управлении запасами принято связывать с появившимся в начале XX века работами Ф. Харриса и Р. Уилсона, в которых исследовалась простейшая оптимизационная модель EOQ (Economic Order Quantity) для определения экономически наиболее выгодного размера заказа при детерминированном спросе. Р. Уилсоном (Wilson) в его работах была выведена группа формул, относящихся к EOQ, которая в англоязычной литературе носит его имя [131, 132]. В данной идеальной модели предполагается, что запасы мгновенно пополняются в момент, когда их уровень падает до нуля. К сожалению, данная модель не всегда применима на практике из-за упрощенности и условности рассмотренных параметров.

С середины 1960-х годов применения математических методов в управлении запасами продолжают интенсивно развиваться. Можно отметить следующих авторов: Дж. Букан, Э. Кенигсберг [18, 126], Хруцкий Е.А. [114], О. Уайт [103], Рубальский Г.Б. [91], Сакович В.А. [94], Беляев Ю.А. [11], Проценко О.Д [83], Долгов А.П. [ 35], Иванов В.Б. [44], Рыжиков В.Ю. [92, 93], Сидоров И.И. [96], Чаусова Е.В [117, 118], Кристофер М. [60], Решетникова Г.Н [88], Бродецкий Г.Л. [17], Григорьев М.Н. [28] и др.

Ими описаны различные методы и модели оптимального управления запасами, которые приобрели характер классических результатов: формулы Уилсона для детерминированных моделей размера партии и их обобщения [11, 18, 94 и др.]; модели управления запасами при случайном спросе с непрерывным и периодическим контролем уровня запасов [17, 91, 93]; модели управления запасами в стохастической постановке, в которых требовалось определить допус-

тимый уровень дефицита с точки зрения эффективного функционирования склада, как вероятность бездефицитной работы склада [18, 35 и др.] и т.д.

Существует целый ряд моделей для управления запасами, где выделяется основной параметр, на основании которого и составляется модель. В качестве основного параметра модели может быть размер заказа, интервал между поставками и другие. В [94, 97, 98] описаны модели управления запасами с фиксированным размером заказа и модель управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами. М.Г. Гасратовым [25] создана модель управления запасами, учитывающая рыночную среду, в которой конкурирует несколько фирм. В данной модели применяется математический аппарат теории игр, который позволяет анализировать принятие решения экономическими субъектами в ситуациях, когда на результат этих решений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими субъектами.

Таким образом, указанными авторами разработаны различные методы и модели управления запасами, предназначенные для ресурсов различного характера и предприятий различной организационной структуры. Однако, как показали проведенные исследования, многие проблемы в управлении запасами все еще остаются нерешенными и мало исследованными.

Перечисленные модели управления запасами в большинстве являются дискретными, что оправдано предположением о дискретности поставок. Однако такие модели управления запасами редко точно описывают реальную экономическую систему. Причина этого заключается о том, что возможны ситуации, в которых поставки осуществляются непрерывным образом. Это происходит тогда, когда пропускная способность транспортного канала ограничена и поставки осуществляются малыми партиями или если речь идет о трубопроводном транспорте, технология функционирования которого предполагает непрерывность поставок. Особняком стоят поставки электроэнергии, для которых дискретизация невозможна, а также практически отсутствует возможность для создания запасов. В данных случаях уместным

представляется математическое описание системы с применением аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений (Ordinary Differential Equations, ODE). Построению и исследованию моделей управления запасами в непрерывной постановке на основе обыкновенных (стохастических) дифференциальных уравнений посвящены работы [53, 88, 94 и др.].

Одной из существенных проблем современной математической теории управления запасами является то, что большинстве существующих моделей не учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией, например, между подачей заявки и ее выполнением, время задержки, требуемое для пополнения запаса при его нехватке в системе и т.д. Между тем, наличие такой задержки необходимо принимать во внимание в большинстве реальных экономических систем (указывали еще Дж. Букан и Э. Кенигсберг [18, 126 и др.]).

Работы по математическому моделированию системы управления запасами с учетом запаздывания имеются, но их довольно мало. Среди них можно указать, например, работы Е. В. Чаусовой [116, 117], Ю.И. Дорофеева и A.A. Никульченко [36], О.О. Мухиной и В.И. Смагина [71]. В них при построении моделей учитывают время задержки поставок, однако сами модели являются дискретными.

Непрерывные модели, в которых учитывается эффект запаздывания, представляется уместным строить с использованием аппарата дифференциальных уравнений с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом (Delay Differential Equation, DDE) [10, 74, 122 и др.].

В настоящее время многочисленные задачи теории автоматического регулирования [90], техники [123], биологии [23, 37, 54, 55,], физики [69] и т.д. описываются с помощью моделей такого рода. Так, транспортное запаздывание обычно возникает в системах, в которых вещество, энергия или сигналы передаются на существенные расстояния [122]. Технологическое запаздывание может встречаться в химико-технологических процессах [29], в теплоэнергетике [80]. Построению и исследованию моделей различных

объектов и систем на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Можно отметить следующих авторов: Мышкис А.Д. [72, 73 и др.], Беллман Р. [10], Эльсгольц Л.Э. [122], Колесов Ю.С. [54, 55], Кук К.Л. [10], Хейл Д.[113], Красовский Н.Н.[58], Меркин Д.Р. [69], Долгий Ю.Ф. [33, 34], Тарасян B.C. [99, 100] и т.д., однако в теории управления запасами подобные модели не получили пока распространения.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки математических моделей управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно. При этом их математическое описание производится с помощью аппарата дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются системы управления запасами, в которых поставки осуществляются непрерывно и учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией. Предмет исследования - математические модели управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, численные методы и инструментальные средства поддержки их исследования.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка методов математического моделирования системы управления запасами с учетом запаздывания и инструментальных средств его поддержки на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. анализ существующих математических моделей управления запасами;

2. построение моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздыванием в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно;

3. исследование построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на устойчивость;

4. разработка численных методов и программного комплекса, предназначенного для исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания;

5. апробация результатов работы при решении прикладных задач управления запасами товаров народного потребления двух основных типов (продовольственных и непродовольственных).

Методы исследования. При проведении диссертационного исследования применялись методы математического моделирования, аналитические и численные методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики. Для реализации программной системы использована среда разработки МАТЬАВ.

Научная новизна. Научная новизна исследования состоит в следующем.

1. Предложен новый подход к построению моделей управления запасами: модели управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно, а не дискретно, как в большинстве существующих моделей управления запасами.

2. Построены оригинальные модели управления запасами с учетом запаздывания в непрерывной постановке на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка, отвечающие различным экономическим ситуациям.

3. Определены ограничения на входящие параметры, при выполнении которых построенные модели устойчивы, установлены случаи, когда введение запаздывания в моделях управления запасами оказывает положительное влияние на устойчивость.

4. Предложен авторский алгоритм численного исследования построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе метода шагов,

отличающийся от известного тем, что предусматривает учет ограничений на величину скачка второй производной.

5. Разработан оригинальный программный комплекс, отличительными особенностями которого является охват специфичного круга задач, связанных с численным исследованием непрерывных моделей управления запасами с учетом запаздывания, простота и удобство интерфейса. Программный комплекс создан в среде МАТЬАВ.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается несколькими параметрами: корректностью выбора условий для построения моделей и исходных данных для проведения численного эксперимента; согласованностью экспериментальных и теоретических данных; высокой точностью результатов численных расчетов, сочетанием численных методов исследования моделей с аналитическими.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем.

1. Разработан подход к построению специальных математических моделей для решения задач управления запасами, в первую очередь, в сфере торговли, а также в других областям экономики.

2. Создан программный комплекс, позволяющий решать прикладные задачи соответствующего класса.

Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Моделирование систем», «Вычислительная математика» и «Системный анализ». Получен акт о внедрении результатов кандидатской диссертационной работы в учебный процесс ФГБОУ ВПО «ИрГТУ».

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- XII Прибайкальская школа-семинар молодых ученых «Моделирование,

оптимизация и информационные технологии» (Иркутск, 2012г.).

- Межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем - 2012» (Иркутск, 2012г.).

- XVII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2012г.).

- Всероссийская молодежная научно-практическая конференция «Малые Винеровские чтения» (Иркутск, 2013г.).

- Вторая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем-2013» (Иркутск, 2013г.).

- III Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2013г.).

- X Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013г.).

- XVIII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2013г.). Результаты диссертационного исследования неоднократно докладывались

на научных семинарах кафедры Автоматизированных систем Иркутского государственного технического университета (рук. д.т.н., профессор JI.B. Массель, к.т.н., доцент C.B. Бахвалов).

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 11 научных работах, из них 3 статьи в изданиях, входящих в Перечень ВАК: «Вестник ВСГТУ», «Вестник ИрГТУ»