автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Олемская Маргарита Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на факультете прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Овсянников Дмитрий Александрович

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Жабко Алексей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация: Российский Государственный Педагогический

университет имени А.И. Герцена

Защита состоится /С^^г"^ 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д.212.Й2.50 аЬ защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.50, доктор физико-математических наук,

профессор Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем|,1. Процесс построения математических моделей при решении научных и инженерных задач часто приводит к необходимости использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательное изучение содержательных моделей заставляет учитывать, например, предшествующие состояния системы, уточнять математические модели и переходить к исследованию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Систематическая разработка теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ведется с середины прошлого века. Исследованием таких уравнений занимались В.И. Зубов, А.Д. Мышкис, Л.Э.Эльсгольц, Р. Беллман. Математический аппарат дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на сегодняшний день достаточно развит, хотя и сложен для широкого применения. Теория дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, к сожалению, развита недостаточно, и область применения известных методов решений ограничена. Это становится препятствием для построения эффективных математических моделей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки методов решения и изучения свойств решений таких уравнений.

В работе рассматриваются явления связанные с процессами, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. В качестве важного практического примера можно привести задачу создания изомерного нейтронного ускорителя. В основе физической модели лежит представление о взаимодействии нейтронного газа со средой, состоящей из вещества, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Состояние квазистационарного равновесия такого взаимодействия может быть описано дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом, содержащим отклонения обоих знаков:

¿у1й(е)д(е) " с1с}(е + т})д(е + т}) »

-3---2. --Т-+ + + + =

ае ае

>*0 /*0 где аргумент е — энергия (е > 0), функция д(е) имеет физический смысл плотности столкновений на интервал энергии, коэффициенты уравнения ¿г (е), с у (е) — неотрицательные функции, пропорциональные сечениям неупругих процессов перехода из энергетического состояния е + т, в состояние е (при } < 0, ту- < О, при

У>0, Ту >0) с носителями, расположенными на энергетическом интервале [0,оо), коэффициенты с}(е) пропорциональны первому моменту неупругого рассеяния. Неотрицательная функция у,0(е) с носителем на интервале [0,оо) —первый момент

упругого рассеяния. Неотрицательная функция $(е) задает на интервале [0, со) распределение по энергии постоянно функционирующего источника нейтронов.

Необходимо отметить, что модели подобных физических явлений исследованы недостаточно. Построение математических моделей таких процессов является важной самостоятельной задачей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки эффективных математических моделей подобных процессов. В работе исследуется математическая модель указанных явлений, в основе которой лежит дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Цели и содержание поставленных задач

Целью работы является исследование математических моделей, базирующихся на дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом, в частности, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия.

Задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

1) получить представление решений для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) исследовать методы нахождения решений и представить условия существования положительных решений;

3) получить представление решений для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака, изучить свойства и методы нахождения решений.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, методы численного анализа.

Результаты, выносимые на защиту

Для математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, получены следующие результаты:

1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;

3) необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;

4) доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые и являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. Необходимо особо отметить возможность представления решений для определенного класса дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, которые на сегодняшний день недостаточно изучены.

Практическая значимость работы определяется также тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений. Полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», СПбГУ (С-Петербург, 2005); на Международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, СПбГУ (С-Петербург, 2005); на XXXVII международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ (С-Петербург, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (в том числе одна статья в журнале, входящем в Список ВАК), список которых приведен в конце автореферата. |

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом 89 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, включающего 78 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сделан краткий обзор литературы по теме, сформулированы цели работы, научная новизна, теоретическая и практическая ценность, основные результаты.

В первой главе вводятся основные определения и обозначения (параграф 1.1), формулируется начальная задача, рассматривается метод, который используется для представления решений. В параграфе 1.2 описана математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров, которая приводит к необходимости исследовать линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене (9). Для рассматриваемого уравнения решается задача нахождения положительного решения на интервале

В параграфе 13 сформулирована начальная задача для исследуемых уравнений. Рассматривается система из п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака

где IV, М — целые положительные числа, х(') — характеристическая функция интервала [0,+оо), а 1 — матрицы размерности пхп с вещественными компонентами, т>0 — вещественное число, 1X0 — вектор-функция, заданная и ограниченная на интервале [0,+оо), непрерывная на интервалах [Лгс, (к + 1)т), к & О.

Решается следующая начальная задача 1: найти абсолютно непрерывную вектор-функцию и(/), являющуюся решением уравнения (1) на интервале [0, + °о) и принимающую в точке + 0 значение г0 (вектор размерности п).

Для получения решений исследуемого класса уравнений в диссертации используется метод представления решений в пространствах последовательностей, который описан в параграфе 1.4. Основная идея метода состоит в следующем: система дифференциальных уравнений (1) заменяется бесконечной системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с присоединенной системой краевых условий, которая также является уравнением в банаховом пространстве (условия непрерывности решения в точках кх,к £ 1).

Во второй главе диссертации получено представление решений, исследованы свойства и методы нахождения решений для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака (1) с начальной задачей 1. Результаты второй главы используются в третьей главе для исследования линейного дифференциального

[О,оо).

(1)

уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, лежащего в основе математической модели, описывающей распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия.

В параграфе 2.1 сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве 1р последовательностей векторов (теорема 1 и теорема 2).

Рассмотрим вектор-функцию f (/) уравнения (1) и определим вектор-функцию F(x) со значениями в пространстве \р последовательностей векторов F(jc) = {f0(x),f,(*), ...,fk(x),...}, где компоненты f,(х) определяются следующим образом ft(x)=f(&T + x), хе[0,т). Предполагается, что функция f(f) непрерывна в точках ki, к > 0 справа, функция F(x) со значениями в пространстве \р последовательностей векторов непрерывна на интервале [0, г] и lim F(x) = F(x), F(t)€Tp.

jr-vi-0 и

Рассмотрим бесконечную матрицу

А--

ч а1 Я2 ■ • а N 0 0 . 0 \

а-| а» а, . .. а* 0 .. 0

а-2 a-i ао • aAi-l aN .. 0 ...

0 0 0 ■■ а _м а-Л/+| .. aN ...

Полагаем, что каждому элементу матрицы А соответствует матричная клетка размера их л. Конструкция матрицы А такова: коэффициенты уравнения (1) выписываются в строку, начиная с минимального значения ■] = —М, далее эта строка сдвигается на единицу, матрица А получается отчеркиванием по вертикали от а0 полученной таблицы, свободные места при этом заполняются нулями. Бесконечная матрица А, действующая на вектор-элемент пространства, задает ограниченный линейный оператор в пространстве 1р (1 £ р й -ко)

последовательностей векторов.; Будем называть матрицу А матрицей представления.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с матрицей А в пространстве :

dx

= AZ(X) + F(x), х е [0,т).

(2)

Ограниченность линейного оператора, |заданного матрицей А, дает возможность представить решение уравнения (2) в интегральной форме

' ' 'Г '

г(х) = ехр(Ах)^ + ]ехр(Л(х-5))^(5)<&-

о I

Формулируемая далее основная теорема 1 устанавливает связь между решениями уравнений (1) и (2). Пусть Е — бесконечная единичная матрица, 5 — бесконечная матрица правостороннего сдвига, т.е. 5" имеет поддиагональ единичных клеток размерности п х п под главной диагональю, остальные элементы — клеточные нули. Пусть Г| — вектор (г) е 1^), имеющий первой компонентой г0, остальные компоненты — нули.

Теорема 1. Пусть вектор-функция Р(х) \р (1 :< р £ -но) непрерывна на интервале [0, т]

со значениями в пространстве

F(T)= limF(x), F(T)el,. Пусть Z(x) — вектор-функция в пространстве \pt имеющая представление

X

Z(x) = ехр(Лх) % + |ехр(/4(дг - s)) F(s)ds, (3)

о

где вектор Ç — решение в пространстве ïp уравнения

X

(£-5ехр(^т))^ = г| + 5 Jexp(/4(t - s))F(s)ds. (4)

о

Тогда функция и(/), определяемая на интервале [О, + оо) как

u(f) = zk(x), k = — , х = t - kz (здесь Tk(x) — к-я компонента вектора Z(x) ), LxJ

непрерывна на интервале [О, + оо) и на интервалах [fcr, (к + 1)т), к à 0 удовлетворяет уравнению (1).

Уравнение (4) будем называть краевыми условиями или краевой задачей. Теорема 1 определяет достаточные условия, при которых решение начальной задачи 1 может быть представлено в виде интегральной формулы Коши (3). Теорема 2 дает необходимые условия представления.

В параграфе 2.2 приведен пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов для систем уравнений с запаздывающим аргументом.

Теорема 1 дает способ нахождения решений уравнения (1): для этого необходимо решить в пространстве \р уравнение (4). Наиболее простым

оказывается случай, когда ¡£ехр(Лт))^ < 1. Вектор Ç в этом случае представляется рядом Неймана

( '

¡; = ]Г(5ехр(Лт))' ц + s \exp(A(x-s))F(s)ds . (5)

ч о )

В параграфе 2.3 представлены достаточные условия (теорема 3) выполнения неравенства ¡5ехр(Лт)|^ <1 и разрешимости краевой задачи в пространстве ïp

последовательностей векторов.

Теорема 3. Если выполнено какое-либо из условий:

± II

<0, \< р< +оо;

N

M

где К = N + М, — + — = 1, то при соответствующем значении р выполнено Р Ч

неравенство ¡5ехр(/4т) <1, и уравнение (4) имеет решение представляемое рядом Неймана (5).

Здесь |]а;| — подчиненные нормы матриц рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (1) в конечномерном пространстве.

В общем случае, т.е. при наличии опережения и запаздывания, для систем уравнений с отклоняющимся аргументом для рассматриваемой начальной задачи 1 условия теоремы 3 могут не выполняться, но применение подстановки

и(0 = ехр(Х.0рх(<), Л.^0, (6)

позволяет в ряде случаев получить систему уравнений, для которой эти условия будут выполнены. В параграфе 2.4 рассмотрен вопрос применения подстановки (6) и описан класс систем уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям разрешимости краевой задачи в пространстве ограниченных

последовательностей векторов (теорема 4). Подстановка (6) приводит уравнение (1) к виду

¿в^яд(* + ту)р1(Г + ху)-Я.р,1(0 + в-"Г(0. (7)

Пусть Ак — матрица представления, соответствующая уравнению (7). Сформулируем теорему, гарантирующую возможность решения уравнения (4) с применением подстановки (6).

N

Теорема 4. Если выполнено условие j|a0|+ < X, то

о

|5^ехр(/1хт)|[ц < 1, и уравнение (4) имеет решение, представимоерядом Неймана:

»'ft % = Х(5ехР(Лхт))4 ц + S fexp(Ax{%-s))Fk(s)ds *=о V о

В параграфе 2.5 исследуется свойство гладкости решений системы уравнений (1) в определенных предположениях о функции f (t).

В параграфе 2.6 показано, что решения исходной задачи имеют конечномерные приближения и описана процедура их получения. На практике имеет смысл говорить о приближенном нахождении вектора на интервалах [О, ит], т.е. заменить бесконечномерную краевую задачу конечномерной и выяснить условия, при которых последовательность решений конечномерных задач сходится к решению задачи бесконечномерной. Пусть Ап — матрица, составленная из первых п компонент первых п строк и и столбцов матрицы А, вектор Fn (jc) — первые п компонент вектора F(x). Можно сформулировать следующую конечномерную

задачу: найти решение уравнения ^ = A Z (х) + F„ (х), имеющее интегральное

dx

представление

X

Z„(x) = exp(4,*)!U + fexp(4,(x-s))F,,(j)ds, о

где вектор £,„ удовлетворяет следующей системе краевых условий

(ЕП-Sm cxp(A^Mn =r) + S„ Jexp(y4n (т - s)) F n(s)ds.

о

Эта задача соответствует следующей конечномерной задаче для исходной системы уравнений с отклоняющимся аргументом: найти решение

du N

дифференциального уравнения —- = ^ ayu„(/ + v') + fB(i) на интервале [0, их] в

предположении, что коэффициенты системы уравнений aj тождественно обращаются в ноль вне интервалов Aj = [0, m] ri [0, m — jx\, j — l,N, функция f„(/) тождественно равна нулю вне интервала [О»7"]' Решение u „(f) удовлетворяет начальному условию u„(0) = z0 и условиям непрерывности в точках Ат,Л = 1,и-1, ия(Ат-0) = и„(Ь + 0).

Можно сформулировать следующее основное утверждение.

1Л

Теорема 6. Пусть выполнены условия:

а) функция F(x) со значениями в пространстве \р (1 й р < +оо) последовательностей векторов непрерывна на интервале [0,т] и F(x) - lim F(x), F(x)el , при p = +oo компоненты вектор-функции F(x) равномерно по x, хе [0,т], стремятся к нулю;

б) выполнены условия теоремы 3, обеспечивающие выполнение неравенств

JexpU^cl, ||ехр(Лт^<1 .

Тогда sup||Z„(jc)-Z(x)||j —> 0, н, считая, что un(t) = 0 вне [0,их],

sup |м„(О-ы(г)|->0.

<€{0,«о) Я"*»

В случае выполнения условий, сформулированных в теореме 3, имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных задачи, т.е. от пары г, (значение решения в точке +0) и функции F, (л:) (из указываемого теоремой 1 класса функций). Доказательство этого факта представлено в параграфе 2.7.

В третьей главе диссертации рассматривается линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, лежащее в основе математической модели, описывающей распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия. В главе доказана сходимость конечномерных приближений решений и представлены условия существования положительных решений исследуемых уравнений. При получении результатов этой главы используется сведение с помощью линейного преобразования рассматриваемого класса уравнений к уравнению, не содержащему отклонения аргумента в дифференциальном члене, что дает возможность использовать результаты, полученные во второй главе диссертации.

В параграфе 3.1 рассматривается линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента, в том числе и в дифференциальном члене,

du d N I N

-7Г = -Г + + + £сд(Г + т/>(* + т/)+ /(/), (8)

at at j^-u, j=-m

j*0 j

где N,M — целые положительные числа, %(/) — характеристическая функция интервала [0,-ко), bj,Cj — вещественные числа, т>0 — вещественное число, /(f) — функция заданная и ограниченная на интервале [0,+оо), непрерывная на интервалах [Ат,(к + 1)т), &>0i

: И

Решается следующая начальная задача 1 для уравнения (8): найти абсолютно непрерывную функцию u(t), являющуюся решением уравнения (8) на интервале [О, + оо) и принимающую в точке + 0 значение z„.

Пусть матрицы В и С составлены из коэффициентов bj и су уравнения (8)

по тому же правилу, что и матрица представления А. Тогда уравнению (8) соответствует следующее дифференциальное уравнение представления в пространстве 1р (1 < р <, -Н») последовательностей:

ДЕ-ВЩ,)

ах

где F(x)=l/"(Ат + х)}4г0> xg[0,t). Применим подстановку

Z(x) - (B-B) V(x), х е [0,т). Для вектор-функции Z(x) уравнение представления в пространстве последовательностей имеет вид уравнения (2) с матрицей представления А = С(Е - В)'1.

Следующая теорема дает достаточные условия реализации такого представления и возможности применения теоремы 6 для получения конечномерных приближений решения рассматриваемой начальной задачи 1 для уравнения (8).

Теорема 7. Пусть выполнены условия:

а) функция F(x) со значениями в пространстве 1р(1<,р< +°о) последовательностей непрерывна на интервале [0, г) и

lim F(x) = F(z), F(t) e / при p = оо компоненты вектор-функции F(x)

равномерно по x е[0,т) стремятся к нулю;

б) существует X. > 0, которое с применением подстановки u(t) = ехр(Х/)p(t) обеспечивает выполнение неравенства ||; <1.

Тогда для нормы Ах имеет место оценка ЦлД <1^1, + )< и &ля

рассматриваемого представления решений выполнены условия теоремы 1 с матрицей представления Ах.

Если, кроме того, существует \>0, которое с применением подстановки u(t) = exp(A.i) p(t) обеспечивает выполнение неравенств

¡вА <1.

тогда для рассматриваемого представления решений с матрицей представления Ах выполнены условия теорем Змб, дающих конечномерные приближения начальной задачи 1 для уравнения (8).

Здесь Вх, Сх —матрицы, построенные по тем же правилам, что и матрицы В, С для уравнения (8), после применения подстановки u(t) = ехр(Х/) pit). Матрица Ах имеет вид А^^С^Е - ~ХЕ(Е- Вк)~1.

В параграфе 3.2 сформулированы достаточные условия существования положительного решения уравнений, содержащих отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и получена их реализация в пространстве последовательностей (теорема 9); в ходе доказательства получена оценка границ применимости теоремы.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента

2>A(' + V) «(' + */) + /(') = (!-?)"(')> (9)

at dt

J'O

где r(t)= Mt + ij)u(t + xj) и _ dr(kx + 0) ^ точках fa.fc^o, у —

/Л*.' dt dt

J* о

вещественное число и у е (0,1), х(0 — характеристическая функция интервала [О,-ко), bjCj — вещественные положительные числа, N,M — целые положительные числа, т>0 — вещественное число, /(f) — положительная функция, непрерывная на интервалах [Ат, (к + 1)т), A: SO, ограниченная на интервале [0,+оо), е — вещественный параметр. Решается задача нахождения положительного решения такого уравнения на интервале [0, + °о).

Пусть вектор-функция F(x) определяется как F(x) =у~'{/(kt + x)}ii0,x е [0, z); строка коэффициентов матрицы представления А определяется следующим образом: а0=у~1(1-у), aj = —¿j, у е [-М, jV],у * 0, Матрица С составлена из коэффициентов Cjjy,(ye(0,l)) выражения для /-(/) по тому же правилу, что и

матрица А. Определим матрицу Ас = А(Е + еС)-1 и вектор Yc (х) = (£ + е C)Ze (jc), х е [0, т], где Zt (х) — решение уравнения

dx

Функция Z0(x) — положительное решение начальной задачи 1 для уравнения (9) при s = 0. Сформулируем теорему, описывающую положительные решения начальной задачи 1 для уравнения (9) при малых значениях е .

Теорема 9. Пусть числа удовлетворяют следующим условиям

N -( N \ у е (0,1), bj SO, j е [- М, jV] и выполнено условие ^iaJ= у"1 1 - у - bj > 0.

Положительная функция F(x) со значениями в пространстве /„ непрерывна на интервале [0,т) и F(т) = lim F(x), F(t)el . Кроме того, ¡Cl <1 и

положительная функция /(f) на всем интервале [0,+ао) удовлетворяет условию f(t) >= 6 > 0 (где Ô некоторая постоянная).

Тогда существует е0 > 0 такое, что для любого j е | < е0 уравнение (9) имеет положительное решение представленное в пространстве в виде ряда:

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по результатам диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. ОлемскаяМ.В. О представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргументов в пространстве последовательностей векторов // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й межвузовской научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 89-92.

2. ОлемскаяМ.В. О конечномерных приближениях решений дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, представленных в пространстве последовательностей // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2006. Вып. 2. С. 46-54.

3. ОлемскаяМ.В. Об описании класса систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, представленных в пространстве последовательностей векторов и имеющих специальное решение И Процессы управления и устойчивость: Тр. 37-й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов. СПб., 10-13 апреля 2006 г. / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 71-75.

4. Олемская М.В., Олемской Ю.В. О положительных решениях дифференциального уравнения, содержащего отклонения аргумента в дифференциальном члене II Устойчивость и процессы управления: Тр. междунар. конференции / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л.А. Петросяна. СПб.: СПБГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 1. С. 219-225.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 17.10.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ № 436/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение.

Глава 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Метод представления решений в пространствах последовательностей

Глава 2 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ.

2.1 Представление решений в пространстве последовательностей векторов.

2.2 Пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов.

2.3 Достаточные условия разрешимости краевой задачи.

2.4 Использование подстановки.

2.5 Сглаживание решений с ростом аргумента.

2.6 Конечномерные приближения решений систем уравнений.

2.7 Непрерывная зависимость решений от начальных данных.

Глава 3 ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, СОДЕРЖАЩЕЕ ОТКЛОНЕНИЯ АРГУМЕНТА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ ЧЛЕНЕ.

3.1 Конечномерные приближения для уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене.

3.2 Положительные решения уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене.

Актуальность темы

Процесс построения математических моделей при решении научных и инженерных задач часто приводит к необходимости использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательное изучение содержательных моделей заставляет учитывать, например, предшествующие состояния системы, уточнять математические модели и переходить к исследованию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Систематическая разработка теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ведется с середины прошлого века. Исследованием таких уравнений занимались В.И. Зубов, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Р. Беллман. Математический аппарат дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на сегодняшний день достаточно развит, хотя и сложен для широкого применения. Теория дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, к сожалению, развита недостаточно, и область применения известных методов решений ограничена. Это становится препятствием для построения эффективных математических моделей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки методов решения и изучения свойств решений таких уравнений.

В работе рассматриваются явления связанные с процессами, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. В качестве важного практического примера можно привести задачу создания изомерного нейтронного ускорителя. В основе физической модели лежит представление о взаимодействии нейтронного газа со средой, состоящей из вещества, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Состояние квазистационарного равновесия такого взаимодействия может быть описано дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом, содержащим отклонения обоих знаков: ~ Ъ —-,-1,Ь](е + х])Ч{е + х]) + *(е) = Ч{е), ие 7=д//> ае }=м> где аргумент е — энергия (е > 0), функция д(е) имеет физический смысл плотности столкновений на интервал энергии, коэффициенты уравнения 6у(е), с1 (е) — неотрицательные функции, пропорциональные сечениям неупругих процессов перехода из энергетического состояния е + Х] в состояние е (при у < 0, гу < 0, при ; > 0, ту > 0) с носителями, расположенными на энергетическом интервале [0,оо), коэффициенты с] (е) пропорциональны первому моменту неупругого рассеяния. Неотрицательная функция ул0(е) с носителем на интервале [0,а>) — первый момент упругого рассеяния. Неотрицательная функция ^(е) задает на интервале [0,а>) распределение по энергии постоянно функционирующего источника нейтронов.

Необходимо отметить, что модели подобных физических явлений исследованы недостаточно. Построение математических моделей таких процессов является важной самостоятельной задачей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки эффективных математических моделей подобных процессов. В работе исследуется математическая модель указанных явлений, в основе которой лежит дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Путь, который необходимо пройти от реального объекта или системы (ситуации, явления, процесса и т.д.) до предсказания его будущего состояния и прогноза поведения, сам является предметом для изучения. Основные этапы, вопросы и проблемы, роль математики и математического моделирования на этом пути рассмотрены многими авторами [1, 10, 11, 28, 35, 39, 52, 60, 62, 69]. Достаточно полное представление о математических моделях в различных областях естествознания можно получить из работ [13, 33, 61, 68]. Во многих приложениях предполагается, что будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим, а система подчиняется уравнению, содержащему переменные состояния и скорости их изменения. Таким образом, математическая модель принимает форму обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные вопросы, которые здесь возникают, — это существование и единственность решений, свойства и поведение решений, устойчивость решений. Получить ответы на эти вопросы помогают работы [2, 30, 56, 58, 74]. Следующий шаг заключается в нахождении решения, численным методам, которые при этом используются, посвящены книги [3, 9, 24, 52].

Однако часто это лишь первое приближение к истинной ситуации. Более реалистичная модель вынуждает обратиться к исследованию более сложных уравнений — дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. История развития, вопросы и проблемы теории таких уравнений описаны в работах [36, 38, 40, 68]. Особенно интенсивно в последние десятилетия разрабатывалась теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которые нашли многочисленные приложения в механике, физике, технике, экономике, биологии и особенно в теории автоматического регулирования. Вот лишь небольшая часть работ, в которых представлены результаты, связанные с этим классом уравнений [4, 5, 6, 8, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 29, 32, 57, 59, 61, 64, 66, 68, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78].

Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями с опережающим аргументом затрагивались в работах [20, 37, 47, 48, 49, 50, 51, 75]. Отставание в изучении уравнений этого класса можно объяснить, в том числе и небольшим количеством физических задач, математической моделью которых являются дифференциальные уравнения с опережающим аргументом. В диссертации рассматривается модель процессов, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия. Для описания этого явления и моделей процессов использовались материалы [16, 27, 31, 53, 54, 55, 63, 65]. В основе одной из возможных математических моделей этого процесса лежит дифференциальное уравнение с запаздывающим и опережающим аргументом, которым является энергия.

Для поиска решения в диссертации используется метод представления решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в пространствах последовательностей векторов [45, 46, 48]. Метод позволяет построить эффективный вычислительный алгоритм поиска решения, описать процедуру получения конечномерных приближений решений. Доказательство возможности представления решений в пространствах последовательностей и построения решений осуществляется с использованием математического аппарата теории функционального анализа и теории матриц [7, 14,19, 25, 26, 67, 72].

Цели и содержание поставленных задач

Целью работы является исследование математических моделей, базирующихся на дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом, в частности, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия.

Задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

1. получить представление решений для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2. исследовать методы нахождения решений и представить условия существования положительных решений;

3. получить представление решений для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака, изучить свойства и методы нахождения решений.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, методы численного анализа.

Объект и предмет исследования. Основными объектами исследования, выполненного в диссертации, являются дифференциальные уравнения, лежащие в основе математических моделей изучаемых процессов:

• линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене,

• система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Предметом исследований являются методы решения указанных классов дифференциальных уравнений с начальной задачей, формулируемой специальным образом, и свойства получаемых решений.

Результаты, выносимые на защиту

Для математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, получены следующие результаты:

1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;

3) необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;

4) доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые и являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. Необходимо особо отметить возможность представления решений для определенного класса дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, которые на сегодняшний день недостаточно изучены.

Практическая значимость работы определяется также тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений. Полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», СПбГУ (С-Петербург, 2005); на Международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, СПбГУ (С-Петербург, 2005); на XXXVII международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ (С-Петербург, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (в том числе одна статья в журнале, входящем в список ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом 89 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, включающего 78 наименований.

Заключение

В ходе исследования математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, выполненного в диссертации, получены следующие результаты:

1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;

3) необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;

4) доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Все перечисленные результаты получены впервые и являются новыми.

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1) полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров;

2) практическая значимость работы определяется тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений;

3) полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.

1. Андрианов С.Н., Едаменко Н.С. Моделирование динамических систем (на примере задач физики пучков). СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 169 с.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 632 с.

4. Бекларян Л.А. Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом как бесконечномерная динамическая система // Сб. научн. тр. МАИ «Качественные методы теории дифференциальных уравнений и их приложения». М.: МАИ, 1991. С. 5-22.

5. Бекларян Л.А. К теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1994. Т. 49, Вып. 6, С. 193-194.

6. Бекларян Л.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию // Матем. Заметки. 1998. Т. 63, Вып. 4, С. 483^93.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1969. 368 с.

8. Беллман Р., КукК.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

9. БерезинИ.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: в 2 т. М.: Физматгиз, 1959. Т.1 -464 е.; Т.2-620 с.

10. Ю.Блехман И.И., МышкисА.Д., ПановкоЯ.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1969. 328 с.

11. П.Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.

12. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

13. Вольтерра Вито. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 288 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 475 с.

15. Гребенщиков Б.Г., ЛожниковА.Б. Стабилизация системы содержащей постоянное и линейное запаздывание // ДУ. 2004. № 8. С. 1126-1128.

16. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. 320 с.

17. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов A.B. Методы исследования систем с последействием. Л.: 1984. Деп. ВИНИТИ, №2103-84. 239 с.

18. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. 320 с.

19. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов, сер. мат. 1958. №6. С. 86-95.

20. Зубов В.И. Колебание в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 631 с.

21. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 336 с.

22. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

23. Канторович Л.В., АкиловГ.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

24. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

25. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

26. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-воМГУ, 1984.264 с.

27. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГТТИ, 1959.212 с.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

29. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983.416 с.

30. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом // ДУ. 1969. Т.5, № 4. С. 648-656.

31. МарриДж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. 397 с.

32. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985. Т.5 1248 с.

33. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун. М.: Мир, 1979. 279 с.

34. Мышкис А.Д. Общая теория линейных уравнений с запаздывающим аргументом//УМН. 1949. Т. 4, Вып 5. С. 99-141.

35. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

36. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. Т. 32, Вып. 2. 1977. С. 173-202.

37. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, 1994. 192 с.

38. Петров Ю.В. Многократное ускорение нейтронов в инверсно заселенной среде //ЖЭТФ. 1972. Т. 63, Вып. 3(9). С. 753-760.

39. Петров Ю.В. Изомерный нейтронный ускоритель // Материалы IX зимней школы. Л.: ЛИЯФ, 1975. С. 619-635.

40. Петров Ю.В. Физика исследовательских реакторов (ВВР-М и ПЖ) и ускорение нейтронов: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук Л., 1884.40 с.

41. ПинниЭ. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.248 с.

42. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // ИАН СССР (матем.). 1942. Т. 6, № 3. С. 115-134.

43. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 332 с.

44. Прасолов A.B. Аналитические и численные исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1995. 148 с.

45. Прасолов A.B. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во СПб. Госуниверситета экономики и финансов, 2000. 247 с.

46. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

47. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2005. 320 с.

48. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

49. Смолин Ю.Н. Экспоненциальная устойчивость периодических дифференциальных уравнений с запаздываниями // ДУ. 2004. № 10. С. 1333-1341.

50. Уваров В.Б. Асимптотические свойства распределения нейтронов по энергиям при замедлении их в бесконечной среде // ЖВММФ. 1967. Т. 7, №4. С. 836-851.

51. Уваров В.Б. Асимптотические свойства решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДУ. 1968. Т. 4, №4. С. 659-663.

52. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. КрейнаМ.: Наука, 1972. 544 с.

53. ХейлДж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984. 421 с.

54. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Петрозаводский гос.университет, 1996. 432 с.

55. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Физматгиз, 1959. 388 с.

56. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // ДУ. 1965. Т. 1, № 1. С. 102-116.

57. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

58. Эльсгольц Л.Э., НоркинС.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М: Наука, 1971. 296 с.

59. Kharitonov V.L., Zhabko А.Р. Luapynov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems //Automatic. 2003. No 39. P. 15-20.

60. Wang Genqiang. Existence theorem of periodic solutions for a delay nonlinear differential equation with piecewise constant arguments // J.Math.Anal.and.Appl. 2004. Vol. 298, Nol. P. 298-307.

61. Wei Jiang. Eigenvalue and stability of singular differential delay systems // J.Math.Anal.and.Appl. 2004. Vol. 297, Nol. P. 305-316.