автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Структурно-параметрический синтез резистивно-емкостных элементов с распределенными параметрами со структурой слоев вида R-CG-NR

УДК 621.372.54.061

и

V

ФИЛИППОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕЗИСТИВНО-ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ СО СТРУКТУРОЙ СЛОЕВ ВИДА И-СС^К

Специальность:

05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и технике)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 2 ДЕК 2010

Ижевск 2010

004615445

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ижевский государственный технический

университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ушаков Петр Архипович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Мурынов Андрей Ильич,

Ижевский государственный технический

университет

кандидат технических наук, доцент Меркулов Анатолий Игнатьевич, Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева

Ведущая организация: ФГУП «Федеральный научно-

производственный центр по радиоэлектронике и информационным технологиям им. В.И. Шимко», г. Казань

Защита диссертации состоится 16 декабря 2010 г. в 16-00 часов на

заседании диссертационного совета Д 212.065.06 при Ижевском

государственном техническом университете (426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, д. 7).

Отзыв на автореферат, заверенный печатью организации, просим выслать по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ижевского государственного технического университета, с авторефератом - на сайте ИжГТУ: http://www.istu.ru.

Автореферат разослан " Э " ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами (в дальнейшем, RC-ЭРП) представляют собой конструкции на основе системы чередующихся слоев (полосок) материалов, в которых проводящие и/или резистивные слои разделены диэлектрическими слоями (или двойными заряженными слоями с электронной или ионной проводимостью).

В период становления микроэлектроники в середине прошлого столетия вопросами анализа RC-ЭРП в виде однородных или неоднородных по ширине пленочных и полупроводниковых структур занимались такие известные отечественные и зарубежные ученые как Агаханян Т.М., Колесов Л.Н., Попов В.П., Рожап-ковский Р.В., Дмитриев В.Д., Меркулов А.И., Ghausi M., Kelly J., Castro P., Happ W., Walton A., Moran P., Burrow N. и др. Однако ограниченность применения RC-ЭРП в основном частотно-избирательными устройствами и отсутствие методов синтеза RC-ЭРП с заданными характеристиками не позволили этой элементной базе успешно конкурировать с цифровыми фильтрами.

Интерес к RC-ЭРП в последнее время заметно возрос в связи с работами Гильмутдинова А.Х., Потапова A.A. и Ушакова П.А., направленными на разработку фрактальных радиосистем, так как в этих работах показано, что конструктивная основа в виде многослойной резистивно-емкостной среды является одной из наиболее перспективных для создания радиоэлементов, имеющих дробно-степенную зависимость входного импеданса от частоты (фрактальные элементы). Кроме того, в отличие от цифровых устройств, устройства на RC-ЭРП работают в режиме реального времени.

Фрактальные элементы используются и для задания порядка выполнения операций интегрирования и дифференцирования в ПИД-регуляторах дробного порядка, высокую эффективность которых в системах автоматического управления в различных областях техники показали в своих работах A. Oustaloup, I. Petras, В.М. Vinagre и др.

Применение в системах и устройствах аналоговой обработки сигнал»» RC-ЭРП в виде интегральных пленочных или полупроводниковых элементов позволяет использовать новые принципы обработки фрактальных сигналов в режиме реального времени, улучшить массогабаритные и эксплуатационные характеристики систем и устройств.

Анализ и синтез конструкций многослойных RC-ЭРП с различными конструктивными и технологическими неоднородностями стал возможен благодаря применению метода конечных распределенных элементов, предложенного и разработанного Гильмутдиновым А.Х. и развитого затем Ушаковым П.А. Заметным шагом в решении задачи синтеза RC-ЭРП явилось использование эволюционного проектирования, в частности генетического алгоритма (ГА) поисковой оптимизации при синтезе конструкции RC-ЭРП.

Однако применение этих методов для RC-ЭРП, имеющих сравнительно простые структуры слоев (вида R-C-0: резистор - диэлектрик - идеально проводящая обкладка), не дает существенного расширения диапазона реализуемых ими параметров частотных характеристик. Поэтому для создания RC-ЭРП с более широким спектром возможных применений и диапазоном реализуемых параметров необхо-

3

¿ J

димо использовать более сложные по структуре резистивно-емкостные среды (например, со структурой слоев вида Я-С-ЫЯ: резистор - диэлектрик - резистор).

Существующие в настоящее время математические модели, используемые при анализе и синтезе ЯС-ЭРП, дают результаты, которые при их практической реализации не подтверждаются или заметно изменяются. Поэтому для внедрения новых элементов в системы и устройства обработки информации необходима разработка адекватных математических моделей, отражающих как неидеальности электрофизических свойств материалов, так и конструктивно-технологические ограничения, накладываемые на конструкцию выбранным способом изготовления.

Все это приводит к увеличению размерности задачи анализа и синтеза, усложнению поверхности целевой функции, ухудшению сходимости применяемых алгоритмов поисковой оптимизации и заметному увеличении требований к ЭВМ.

Поэтому повышение эффективности проектирования, обеспечиваемого за счет разработки и совершенствования методов анализа и синтеза нового класса ЯС-ЭРП, разработки комплекса программ проектирования, обладающего необходимым набором математических моделей, для реализации потенциальных возможностей ЯС-ЭРП представляется своевременной и актуальной задачей.

Предметом исследования в настоящей работе являются многослойные двумерные резистивно-емкостные элементы со структурой слоев вида Я-СО-МЯ (резистор - диэлектрик с потерями - резистор).

Объект исследования - методы анализа двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-ЫЯ и методы структурно-параметрического синтеза их конструкций по заданным импедансным или передаточным частотным характеристикам.

Целью работы является повышение эффективности проектирования двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ по заданным частотным характеристикам.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Сравнение реализационных возможностей существующих элементов на основе многослойных резистивно-емкостных сред, анализ методов расчета их частотных характеристик, анализ методов, алгоритмов и программ синтеза этих конструкций для выбора путей повышения эффективности проектирования ЯС-ЭРП.

2. Обоснование и разработка математической модели двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, учитывающей конструктивно-технологические ограничения.

3. Разработка программы анализа двумерной модели ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-ЫЯ и экспериментальная проверка адекватности математической модели.

4. Разработка методики и алгоритмов структурно-параметрического синтеза конструкций ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-ЫЯ по заданным частотным характеристикам на основе генетического алгоритма. I

5. Исследование и оптимизация алгоритмов анализа и синтеза ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-ЫЯ для повышения их эффективности.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Разработана математическая модель двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, учитывающая конструктивно-технологические ограничения.

2. Проведена оптимизация алгоритма анализа ЯС-ЭРП со структурой слоев вида

я-св-ш.

3. Разработан новый способ кодирования информации о конструктивных параметрах ЯС-ЭРП.

4. Предложены механизмы адаптивного изменения параметров генетического алгоритма в процессе структурно-параметрического синтеза конструкции ЯС-ЭРП.

5. Разработан многофункциональный программно-методический комплекс синтеза и исследования синтезированных двумерных ЯС-ЭРП с различными структурами слоев.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей в работе применяются системный анализ конструкций и моделей ЯС-ЭРП, методы теории электрических цепей, методы теории вероятностей и математической статистики, методы оптимизации, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, теория множеств. Для проверки точности и достоверности результатов синтеза проводилось имитационное моделирование с применением пакетов программ схемотехнического моделирования и физическое моделирование на толстопленочных образцах ЯС-ЭРП.

Достоверность результатов работы подтверждается использованием известных положений фундаментальных наук, корректностью разработанных математических моделей, сходимостью разработанных численных методов, хорошей согласованностью полученных теоретических результатов с результатами имитационного моделирования, с данными эксперимента, а также с результатами исследований других авторов.

Теоретическая значимость и практическая ценность полученных результатов:

1. Теоретические исследования доведены до инженерных методик, рекомендаций, алгоритмов и прикладных программно-методических комплексов анализа и синтеза ЯС-ЭРП, позволяющих разработчикам электронной аппаратуры реально воспользоваться широкими функциональными возможностями ЯС-ЭРП для улучшения электрических и эксплуатационных показателей разрабатываемых устройств, находить новые пути и схемные конфигурации для более эффективного решения задач обработки информации.

2. Разработана математическая модель двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-ЫЯ, параметры которой могут настраиваться с учетом потерь в диэлектрическом слое, конечной проводимости материалов обкладок и контактных площадок, с учетом конструктивных ограничений, определяемых принятой технологией изготовления.

3. Предложенные пути увеличения скорости сходимости и механизмы адаптации генетических алгоритмов, используемые при синтезе ЯС-ЭРП, позволили повысить эффективность структурно-параметрического синтеза конструкций ЯС-ЭРП и расширить диапазон реализуемых ими параметров.

4. На основе двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Сй-ЫЯ можно реализовать элементы с показателем дробностепенной зависимости входного импеданса от частоты в диапазоне от 0,03 до 0,97.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научно-технических конференциях «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства», г. Ижевск, 2006, 2007 гг.; на Одиннадцатой международной конференции-семинаре но мик-

ро/нанотехнологиям и электронным приборам «ЕОМ-2010», г. Новосибирск, 2010 г.

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 8 работ, в том числе: в трудах научно-технических конференций - 2; в трудах международной конференции-семинара - 1; в международном сборнике научных трудов - 1; в сборнике депонированных статей - 2; в изданиях, согласно перечню ВАК - 1; свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ - 1.

Использование результатов диссертации и пути дальнейшей реализации. Результаты работы использовались при выполнении:

1. Государственного контракта на выполнение НИОКР по проекту «Проведение поисковых научно-исследовательских работ по направлению «Новые и возобновляемые источники энергии» в рамках мероприятия 1.2.1 Программы», проводимому в рамках Мероприятия 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» Направления 1 «Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий» Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы».

2. Государственного контракта на выполнение НИОКР по проекту «Проведение поисковых научно-исследовательских работ по направлению «Производства топлив и энергии из органического сырья» в рамках мероприятия 1.2.1 Программы», проводимому в рамках Мероприятия 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» Направления 1 «Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий» Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы».

3. Госбюджетной фундаментальной НИР ТП 10-1 «Теоретические основы повышения надежности систем передачи данных широкополосных сигналов за счет использования сигналов с фрактальной размерностью» в соответствии с тематическим планом НИР ИжГТУ по заданию Рособразования.

4. В виде прикладных программно-методических комплексов синтеза ЯС-ЭРП в ОАО «Ижевский мотозавод «Аксион-холдинг», г. Ижевск, при разработке изделий электронной техники.

5. В виде методик, рекомендаций анализа и синтеза ЯС-ЭРП используются в учебно-научной деятельности ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» при чтении лекций, проведении практических и лабораторных занятий по дисциплинам учебного плана направления подготовки 551100 - «Проектирование и технология электронных средств». Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ с учетом конструктивно-технологических ограничений.

2. Оптимизированный алгоритм расчета ^-параметров двумерных ЯС-ЭРП.

3. Способ кодирования информации о конструктивных параметрах двумерных однородных ЯС-ЭРП.

4. Алгоритмы реализации генетических операторов с учетом выбранного способа кодирования.

5. Механизмы самоадаптации генетического алгоритма, повышающие эффективность и надежность алгоритма структурно-параметрического синтеза двумерных ИС-ЭРП.

6. Программное обеспечение анализа и структурно-параметрического синтеза двумерных 11С-ЭРП с различными структурами слоев.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 97 наименований, и приложения. Работа содержит 76 рисунков, 13 таблиц. Объем работы составляет 129 страниц, включая приложение на 10 страницах.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности проблемы, описываются объект и предметы исследования, формулируются цель и задачи диссертационной работы, определены методы исследования, дается краткое содержание диссертации по главам, приведены основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту.

В первой главе даны общие понятия об элементах на основе резистивно-емкостных сред. Проведен анализ конструктивных вариантов ЯС-ЭРП, пригодных для создания элементов с дробно-степенной зависимостью входного импеданса от частоты (фрактальных импедансов). Наиболее простой и всесторонне исследованной является конструкция ЯС-ЭРП со структурой слоев вида 11-С-0. Однако создание на ее основе востребованных в настоящее время элементов с фрактальным импедансом ограничено в связи с небольшим диапазоном реализуемых фрактальных размерностей.

НС-ЭРП со структурой слоев вида Я-С-Ык, при такой же конструктивной сложности, имеет гораздо больше возможностей по настройке параметров и реализации заданных частотных характеристик благодаря введению дополнительного слоя N11. А выполнение этой конструкции в виде двумерного элемента еще больше расширяет его функциональные возможности.

Наиболее общей математической моделью известных в настоящее время 11С-ЭРП, является система дифференциальных уравнений, описывающая электрические процессы в резистивных слоях КС-ЭРГ1. Для сложной конфигурации структуры 11С-ЭРП аналитическое решение краевой задачи практически невозможно. Поэтому вместо аналитического решения системы дифференциальных уравнений используются: электрические схемы замещения ЯС-ЭРП, численные методы и физическое моделирование.

Достоинством применения схемотехнических моделей является то, что их можно проанализировать с помощью известных программ схемотехнического моделирования или выполнить анализ на основе макета схемы. Физическое моделирование на основе пленочного прототипа экономически целесообразно лишь для проверки адекватности других моделей.

Существующие идеализированные модели дают достаточно грубую оценку характеристик ЯС-ЭРП, изготовленных одним из существующих методов интегральной технологии. Поэтому, для получения адекватных результатов анализа и синтеза, необходима разработка более точных моделей, параметры которых учитывали бы электрофизические характеристики используемых при изготовлении ЯС-ЭРП материалов и конструктивно-технологические ограничения, определяемые

7

принятой технологией изготовления. Например, модель ЯС-ЭРП, в которой учитывались бы потери в диэлектрическом слое и конечная проводимость обкладок и контактных площадок, может быть представлена в виде Я-СС^Я-линии.

В настоящее время анализ одномерных и двумерных, однородных и неоднородных ЯС-ЭРП осуществляется с помощью метода конечных распределенных элементов (МКРЭ), который характеризуются высокой точностью и простотой реализации. Однако применение этого метода возможно лишь в том случае, если найдены аналитические выражения для параметров конечных распределенных элементов (КРЭ) как многополюсников.

Использование МКРЭ позволяет рассматривать конструкцию ЯС-ЭРП в виде иерархической структуры, на нижнем уровне которой расположены КРЭ различных видов. При этом синтез конструкции заключается в нахождении такой комбинации КРЭ и их взаимосвязей между собой, которая обеспечивает заданные частотные (или временные) характеристики ЯС-ЭРП.

В настоящее время для этой цели используют генетические алгоритмы, которые хорошо зарекомендовали себя также при синтезе топологий фрактальных антенн, при разработке системы коммутации в БИС и др. Однако усложнение моделей и конструктивных вариантов ЯС-ЭРП требует совершенствования генетических алгоритмов, используемых при синтезе ЯС-ЭРП, для повышения вероятности получения требуемого результата и скорости сходимости синтеза многослойных ЯС-ЭРП.

Анализ существующих программных продуктов синтеза ЯС-ЭРП показывает, что они,, как правило, являются узкоспециализированными, рассчитанными на небольшое количество моделей, обладают ограниченными возможностями анализа результатов синтеза. Поэтому для повышения эффективности проектирования ЯС-ЭРП необходима разработка более совершенного программного продукта, использующего настраиваемые математические модели ЯС-ЭРП, эффективные алгоритмы поиска решения при наличии большого числа варьируемых переменных и сложной поверхности отклика целевой функции.

В заключение главы формулируются основные задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели работы.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию математической модели ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, разработке алгоритма и программы анализа ЯС-ЭРП и проверке адекватности и точности результатов анализа.

Известно, что диэлектрические пленки, формируемые толсто- или тонкопленочными методами, имеют достаточно несовершенные структуры, которые характеризуются заметными диэлектрическими потерями. Проводящие материалы, из которых изготавливаются обкладки и контакты к резистивным слоям ЯС-ЭРП, как правило, характеризуются удельными проводимостями, далекими от идеальных.

Анализ конструктивных вариантов ЯС-ЭРП, изготовленных по толсто- или тонкопленочной технологии, показал, что в областях сопряжения контактных площадок с резистивными слоями неизбежно возникают так называемые «концевые» элементы (концевые емкости и/или концевые резисторы), которые обычно не учитываются в существующих математических моделях ЯС-ЭРП.

В частности, для учета емкостного эффекта, возникающего между контактными площадками к резистивным слоям, расположенными друг над другом, предлагается использовать двумерный конечный распределенный элемент, структура которого показана на рисунке 1.

Рисунок 2 - Схема замещения К.С-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-КЯ с концевыми резисторами Ки, Я12

Рисунок I - Фрагмент сечения ЯС-ЭРП со структурой слоев вида К-СО-^К вблизи контактных площадок (а)\ структура конечного распределенного элемента для учета влияния концевой емкости (б); схема замещения (в). - сопротивление, учитывающее

неидеальность контактной площадки На рисуике 2 показана схема замещения ЯС-ЭРП, учитывающая наличие в конструкции концевых резисторов. Таким образом, в качестве основы математической модели двумерного 11С-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-ЫЯ предлагается использовать Я-Сй^Я-линию, а учет конструктивно-технологических ограничений производить заменой КРЭ в области контактов специальным КРЭ со структурой слоев вида «неидеальный проводник - резистор - диэлектрик с потерями - резистор - неидеальный проводник» (рисунок 1, б).

Для получения аналитических выражений ¿--параметров одномерного однородного (ОО) КРЭ со структурой слоев вида Я-СО-ЫК сделан переход от электродинамической модели системы с распределенными параметрами к равноценной ей модели в виде лестничной цепи на элементах с сосредоточенными параметрами (рисунок 3), переменными состояния в которой являются токи и напряжения.

Получено общее решение дифференциального уравнения второго порядка, описывающее распределение токов и напряжений эквивалентной электрической схемы КРЭ в установившемся режиме. На этой основе найдены аналитические выражения коэффициентов матрицы проводимости КРЭ как четырехполюсника.

Рисунок 3 - Схема замещения участка однородной К-ССгЫЯ-линии

Для проверки корректности полученных аналитических выражений использовано сравнение частотных характеристик ¿-параметров КРЭ с характеристиками его электрического эквивалента, созданного в программе схемотехнического моделирования на ЯС-элементах с сосредоточенными параметрами (названного в работе Брше-моделыо).

Сходимость частотных характеристик ¿-параметров разработанной 8р1се-модели к частотным характеристикам у-параметров КРЭ,- вычисленных на основе аналитических выражений, с ростом числа звеньев 8р1сс-мбдели, доказывает, что

полученные аналитические выражения точно описывают поведение идеализированного КРЭ.

Получены аналитические выражения ^-параметров 00 КРЭ со структурой слоев вида О-Я-СО-ЫЯ-О, характерной для участков ЯС-ЭРП перекрытых материалом контактных площадок.

Найдены коэффициенты матрицы проводимости двумерных однородных (ДО) КРЭ со структурой слоев вида Я-С0-1^Я на основании схемы замещения, состоящей из четырех 00 КРЭ с такой же структурой слоев.

Разработан алгоритм вычисления у-параметров двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, который включает в себя следующие этапы: формирование глобальной матрицы проводимости на основании вычисленных ^-параметров ДО КРЭ в соответствии со схемой замещения, произвольный фрагмент которой

изображен на рисунке 4; учет граничных условий, заключающийся в объединении узлов; исключение внутренних узлов путем понижения порядка глобальной матрицы.

Разработана универсальная программа анализа ДО ЯС-ЭРП, включающая настраиваемую модель ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, изменением параметров которой можно учесть влияние потерь в материале диэлектрического слоя и влияние «концевых» емкостей в конструкции.

Программа позволяет в удобной графической форме выбирать схему включения ЯС-ЭРП и задавать рисунок топологии обоих резистивных слоев двумерного ЯС-ЭРП, получать результаты анализа в виде частотных характеристик коэффициента передачи или входного импеданса.

Для проверки корректности модели ДО КРЭ со структурой слоев вида Я-Св-КЯ разработана схема замещения в виде двумерной Брке-модели. На основе сравнения характеристик Брюс-модели, полученных в программе схемотехнического моделирования, и характеристик, вычисленных с помощью разработанной программы анализа, показана корректность работы программы.

Заслуживает внимания тот факт, что время анализа ЯС-ЭРП с помощью разработанной программы, при сетке конечных элементов 4x4, составило 0,3 е., а время анализа его схемотехнической модели, состоящей примерно из 17 ООО ЯС-элементов с сосредоточенными параметрами, составило 832,2 с.

С помощью разработанной программы проведена оценка влияния параметров разработанной математической модели ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-ЫЯ на частотные характеристики ЯС-ЭРП. Показано, что наличие сопротивления утечки в слое диэлектрика Н < ЮОЯ (Н - параметр модели, Я - сопротивление резистивного слоя), последовательных потерь в > 10~2Я (в - параметр модели) и при сопротивлении материала контактной площадки Р > 10~'Я (Р - параметр модели) изменяет не только параметры, но и характер анализируемых частотных характеристик ЯС-ЭРП.

Для проверки адекватности результатов работы программы анализа был спроектирован экспериментальный элемент с фрактальным импедансом на основе ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-С-ЫЯ по требованиям к ФЧХ входного импеданса: <рс = 36,5° ± 2,5° в диапазоне рабочих частот 2,5 декады и изготовлен по тол-

1ооиэ|т ЛоокрэГ 1 оохрэ|] й 8

6 8 с * 8 п 4 ^ 8

]оои>э[] оокрэ£ оохга|] ГТ

§ 8 8 J щ [8 ц 8

]ООВ"Э[ ]оок?э[ ]оош[

Рисунок 4 - Фрагмент схемы замещения двумерного ЯС-ЭРП

стопленочной технологии (рисунок 5). Он состоит из двух одинаковых ЯС-ЭРП, соединенных между собой определенным образом.

Графики ФЧХ входного импеданса 30-ти образцов представлены на рисунке 5, б. На рисунке 5, в показаны графики ФЧХ входного импеданса: кривая 1 - рассчитанные по аналитическому выражению, кривая 2-е помощью программы анализа для идеализированной модели ЯС-ЭРП, кривая 3-е помощью программы анализа для модели ЯС-ЭРП с учетом концевых емкостей при Н = 103Я, в = 10~3Я,

а>Я С

Рисунок 5 - Фрактальный элемент на основе ЯС-ЭРП: а - фотоизображение экспериментального толстопленочного ЯС-ЭРП (1 - верхний резистивный слой, 2 - диэлектрический слой, 3 -контактные площадки); б - графики ФЧХ входного импеданса образцов; в - графики ФЧХ входного импеданса, полученные математическим моделированием

Результаты сравнения показывают, что ФЧХ идеализированной модели ЯС-ЭРП с сеткой конечных элементов 5x40 с погрешностью не более 1% совпадает с ФЧХ, вычисленной на основе аналитического выражения, но заметно отличается от ФЧХ, измеренных на экспериментальных образцах. После настройки параметров модели, полученная ФЧХ полностью укладывается в поле рассеяния ФЧХ экспериментальных образцов. Таким образом, доказана адекватность результатов работы программы анализа при соответствующем выборе параметров модели ЯС-ЭРП.

В третьей главе рассмотрены вопросы реализации генетического алгоритма, применительно к объекту исследования - двумерному ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-КЯ, разработана программа структурно-параметрического синтеза ЯС-ЭРП и проведена оптимизация параметров генетического алгоритма по скорости сходимости.

Поскольку для такого ЯС-ЭРП ДО КРЭ имеет большее число параметров и более высокий порядок матрицы проводимости, то потребуется дополнительный объем памяти и увеличится сложность алгоритмов генетических операций. Для устранения этих недостатков предложен новый способ кодирования информации о структуре и параметрах двумерного ЯС-ЭРП, использующий теоретико-множественный подход.

В соответствии с методом конечных распределенных элементов множество прямоугольных областей разбиения ЯС-ЭРП можно представить как

Ях= {<31, «2, - а,,... а„} - хе{ф,к} , (1)

где с1/е - конечные элементы, на которые разбивается площадь ЯС-ЭРП, к - конечные элементы, образуемые проводящими контактами к резистивным слоям по

периметру RC-ЭРП, « =

, N| - количество областей разбиения

[/V, -Л^, для 5с. и +Н2), для

по длине ЯС-ЭРП, Л^ - количество областей разбиения по ширине ЯС-ЭРГ1, 5к е Р , где Р с: - подмножество областей, расположенных по периметру рези-стивных слоев Я и 1Ч1Я двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СС-ЫЯ. При этом формируется одна хромосома для площади ЯС-ЭРП вида

ч =

(¥А)„ [ЬАЬХ1

(¿>М):

(bAbi\N,

(pAbX2i (ЬАЬХ22 -

и вторая хромосома контактных площадок вида

Ши (ЬА\г ••• (*АЦ

(¿АХ, (hA): (¿A),, М foU, (¿А).

NiN,

Ь,Ь2Ь,еВ = {0,1}

/12 )гг

L

(*>аЦ (&aL,

е 5 = {0,1}

(3)

/41 V 1 3/42

где каждая строка матрицы соответствует генам одной из сторон прямоугольного ЯС-ЭРП. В формулах (2) и (3) индексы битовых переменных соответствует: I -слою Я, индекс 2 - слою С, а индекс 3 - слою МЯ.

Функция отображения множества Бф на множество Еф запишется в виде:

, ,,, если г = £ = '

0, если г = Null / = {1,2},

(4)

а функция обратного отображения - в виде:

Л

dfe

'■Г.

= {1.2},

(5)

, если bi = L SO, если b: = Null

здесь L - наличие материала соответствующего слоя, Null - его отсутствие.

Принцип кодирования информации о конструкции ЯС-ЭРП пояснен на рисунке 6.

III 111 111 111 111

III III 111 111 111

III 111 000 000 111

111 111 111 111 111

111 001 001 III 100

0000010000000000011I

00000000001юооооооо

Рисунок 6 - Иллюстрация принципа кодирования информации о конструкции двумерного КС-ЭРП со структурой слоев вида К-СС)-НЯ. а - конструкция ЯС-ЭРП, разбитая на КЭ; 6 - конечный элемент; в - хромосома г - хромосома Ек

В предложенном методе требуемый объем памяти для хранения информации о структуре и параметрах RC-ЭРП зависит только от числа конечных элементов и не зависит от сложности синтезируемой топологии.

С учетом предложенного метода кодирования разработаны алгоритмы выполнения генетических операций кроссинговера и мутации.

Поскольку хромосомы родительских особей представляют собой двумерные массивы бинарных чисел, то алгоритм кроссинговера реализует двухточечный кроссинговер в двумерном представлении, в котором случайным образом выбираются две точки по каждой координате массива: начальный номер строки и длина строки, начальный номер столбца и высота столбца.

Оператор мутации действует как операция «исключающее ИЛИ» над битами. Если бит в векторе мутации установлен в «1», то бит хромосомы в соответствующей позиции инвертируется. Число мутируемых генов определяется вектором мутации М, который задается на каждом шаге алгоритма исходя из настроек вероятностей мутации.

M = btb2b3, ЪхЪгЬгеВ = {Ъ,\),

b\ = 1, если rand>pRU иначе Ь\ = 0, (6)

62=1, если rand> рс, иначе Ь2 = О, 63=1, если rand> рю, иначе Ь} = О, где rand - случайное число в диапазоне [0; \\,ряирю~ вероятность мутации соответственно верхнего и нижнего резистивного слоя, рс — вероятность мутации диэлектрического слоя.

Разработана программа синтеза конструкций RC-ЭРП, в которой можно использовать пять различных моделей RC-ЭРП, уменьшена трудоемкость формирования начальной популяции, при сохранении результатов синтеза также сохраняются настройки синтеза, предусмотрена возможность экспорта результатов расчета ¿-параметров, АЧХ и ФЧХ для использования в других программах.

Определены оптимальные значения вероятностей выполнения генетических операторов мутации и скрещивания резистивных слоев. Использование оптимальных значений позволяет сократить время синтеза более чем в 4 раза по сравнению с наихудшим сочетанием значений вероятностей.

Четвертая глава посвящена разработке методов повышения эффективности алгоритмов анализа и синтеза RC-ЭРП.

Известно, что порядок нумерации узлов схемотехнической модели RC-ЭРП влияет на расположение элементов в матрице проводимости. В используемом ранее алгоритме построчной нумерации узлов большое число элементов располагаются далеко от главной диагонали, что не позволяет использовать компактные схемы хранения матрицы.

В данной работе при формировании матрицы проводимости применен алгоритм, основанный на алгоритме упорядочения Катхилла-Макки в сочетании с профильной схемой хранения матрицы. При этом время расчета ¿-параметров для RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR с размером сетки 30x30 уменьшилось в 22 раза по сравнению с алгоритмом, использующим построчную нумерацию узлов, а выигрыш по потребляемой памяти составил 7,5 раз.

Одной из серьезных проблем, возникающих при использовании генетических алгоритмов, является преждевременная сходимость, когда все особи становятся похожими друг на друга еще до того, как найдено решение задачи. Описанная си-

туация очень часто возникает на стадии завершения синтеза, когда целевая функция близка к экстремуму, при этом дальнейший поиск решения существенно замедляется.

Для решения данной проблемы разработаны механизмы самоадаптации ГА: самоадаптирующийся оператор мутации, динамический выбор размера сетки, динамический выбор размера площади действия генетических операторов, динамическое изменение области анализируемых частот.

Самоадаптация оператора мутации, заключается в проведении дополнительных операций мутации, если потомки оказываются идентичны родителям.

Динамическое изменение размеров сетки конечных элементов в процессе синтеза реализует идею последовательного уточнения решения при увеличении размеров сетки от минимально допустимого до такого, при котором обеспечивается заданная точность решения. В настройках программы синтеза устанавливается несколько пороговых значений функции фитнесса, при достижении которых происходит увеличение размера сетки в т раз без изменения синтезированной на текущий момент топологии слоев ЯС-ЭРП. Использование такого алгоритма позволяет существенно сократить время на нахождение области экстремума целевой функции.

Учитывая, что в программах анализа и синтеза ЯС-ЭРП расчет частотных характеристик и их визуализация производится на нормированной оси частот, то существует возможность смещать границы рабочего диапазона без изменения синтезированной топологии, изменяя только удельные параметры материалов слоев. Алгоритм динамического изменения области анализируемых нормированных частот без изменения ширины рабочего диапазона заключается в следующем. При длительном отсутствии улучшений значения функции фитнесса осуществляется поиск области нормированных частот, в котором скорость синтеза наибольшая. Для этого все частоты текущего диапазона умножаются на коэффициенты из возрастающего или убывающего ряда значений.

Опыт использования программы синтеза показал, что изменение топологии ЯС-ЭРП крупными фрагментами сильнее изменяет частотную характеристику, чем изменение топологии мелкими фрагментами. Поэтому на ранних стадиях синтеза, когда значение функции далеко от оптимума, целесообразно площади областей действия генетических операторов делать максимально крупными. По мере уменьшения функции фитнесса резкие изменения топологии могут привести к выходу решения из области, близкой к оптимальной. Исходя из этого, следует площади областей действия генетических операторов уменьшать до минимально возможного значения.

В алгоритме динамического изменения площади мутации размеры области мутации по горизонтали Мх и вертикали Му определяются в соответствии с выражениями:

Мх = сеИ(к*-Х), Му = сеИ(кх ■ У), , (7)

где А'и У- размер сетки конечных элементов соответственно по горизонтали и вертикали;

5 - настраиваемый коэффициент пропорциональности, принимающий значения от 0,0 до 1,0;

к - коэффициент, характеризующий отклонение частотной характеристики ЯС-ЭРП от целевой функции, определяемый выражением

к =

т

(8)

где ц>1 - значение частотной характеристики в точке ¿; щф\ - значение целевой функции в точке

Применение «островной» модели ГА, позволяет уменьшить вероятность попадания в локальные экстремумы и увеличить скорость сходимости алгоритма. Это обеспечивается за счет создания банка заменяемых особей, которые вводятся в. популяцию по мере вырождения генофонда.

Улучшен алгоритм выбора места действия генетических операторов, который, в отличие от существующего, учитывает постоянное изменение топологии рези-стивных слоев в процессе синтеза. Это позволяет более точно определить наиболее чувствительные области топологии к различным участкам функции разности требуемой и полученной частотных характеристик и уменьшить время синтеза на заключительных стадиях эволюции.

Структура модернизированного алгоритма синтеза представлена на рисунке 7.

^ Начало

Настройка параметров С, ць п. г2, т|, _Тг.пь 6ь Та_

_Создание начальной популяции

___Расчет целевой функции Р,_

Генерация банка особей

С - вероятность кроссинговера; Ц] - вероятность мутации рези-ставного слоя Я;

цз - вероятность мутации реэи-стивного слоя N11; Г|, гг, т|,Т| - настройки опции динамического изменения области нормированных частот, где Т| - порог срабатывания опции; пь бь Тг - настройки островной модели ГА, где п> - количество островов, 5) - граница функции фитнесса для окончания синтеза островов, Т] - порог проведения миграции;

N - число циклов не приводящих к улучшению функции фитнесса;

Рисунок 7 - Блок-схема модернизированного генетического алгоритма

Реализация предложенных методов повышения эффективности программы синтеза двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-МЯ позволила увеличить скорость работы программы при синтезе ЯС-ЭРП на сетке конечных элементов 20x20 в 11,5 раз! Разработанные механизмы самоадаптации ГА на завершающих стадиях эволюции позволили расширить диапазон реализуемых значений уровней постоянства ФЧХ входного импеданса двумерных 11С-Э1РП на 10° в частотном диапазоне 2 декады.

а б в

Рисунок 8 - Результат структурно-параметрического синтеза элемента с фрактальным импедансом на основе двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR:a - вид на слой R; б - вид на слой NR; в - вид ФЧХ входного импеданса синтезированного элемента в окне анализа частотных

характеристик

На рисунке 8 приведен результат структурно-параметрического синтеза элемента с фрактальным импедансом на основе RC-ЭРП по требованиям к ФЧХ входного импеданса.

III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Главным результатом диссертационной работы является решение важной научно-технической задачи - повышение эффективности проектирования пассивных электронных компонентов на основе многослойных резистивно-емкосгных сред (двумерных RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR) для расширения возможностей устройств обработки информации.

Основные выводы по работе можно сформулировать в виде следующих положений:

1. Обоснована и разработана математическая модель двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, отражающая как неидеальности электрофизических свойств материалов слоев, так и конструктивно-технологические ограничения, накладываемые на конструкцию выбранным способом изготовления.

2. Разработаны алгоритм и программа анализа двумерных RC-ЭРП, позволяющие, за счет применения эффективных приемов работы с разреженными матрицами, увеличить скорость анализа по сравнению с существующими программами как минимум на порядок.

3. Предложены методы увеличения скорости сходимости и адаптационные механизмы генетического алгоритма на заключительных стадиях эволюции, кото-

рые позволили увеличить скорость синтеза в 11,5 раз (при сетке конечных элементов 20x20) по сравнению со скоростью синтеза не модернизированных алгоритмов.

4. Разработана универсальная программа структурно-параметрического синтеза двумерных RC-ЭРП, использующая настраиваемую математическую модель RC-ЭРП, метод конечных распределенных элементов и усовершенствованный генетический алгоритм. С помощью разработанной программы получены конструкции фрактальных элементов на основе двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, реализующих постоянство ФЧХ входного импеданса от 2° до 88° в пределах двух частотных декад, что на 10° больше, чем достигнутые результаты с помощью существующих программ.

IV. СПИСОК РАБОТ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Научные статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Филиппов, A.B. Математические модели RC-элементов с распределенными параметрами со структурой слоев вида R-CG-NR / К.В. Краснопёрое, П.А. Ушаков,

A.B. Филиппов. // Вестник ИжГТУ, № 2, 2008. С. 54 - 57.

Свидетельства

2. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010612900. «Программа синтеза конструкции резистивно-емкостных элементов с распределенными параметрами». Правообладатель: Филиппов Андрей Владимирович. Авторы: Филиппов Андрей Владимирович, Ушаков Петр Архипович, Краснопёрое Константин Васильевич. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 28 апреля 2010 г.

Работы, опубликованные в других изданиях

3. Филиппов, A.B. Исследование активного RC-фильтра на основе идеального транскондуктивного усилителя и RC-элемента с распределенными параметрами / К.В. Красноперов, М.В. Маскарин, A.B. Филиппов, П.А. Ушаков // Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства: Труды III научно-технической конференции (Ижевск, 14-15 апреля 2006 г.). -Ижевск: Изд-во ИжГТУ. - 2007. С. 18 - 23.

4. Филиппов, A.B., Синтез активных RC-фильтров на основе неоднородных RC-элементов с распределенными параметрами / К.В. Красноперов, A.B. Филиппов // Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства: Труды IV научно-технической конференции с международным участием (Ижевск, 17-19 мая 2007 г.). - Ижевск: Изд-во ИжГТУ. - 2008.

5. Филиппов, A.B. Исследование влияния положения и формы контакта к NR-слою RC-элемента с распределенными параметрами со структурой слоев R-C-NR на характеристики активного RC-фильтра / К.В. Красноперов, А.И. Нистюк,

B.П. Тарануха, П.А. Ушаков, A.B. Филиппов; Ижевский гос. техн. ун-т. - Ижевск, 2008. - 8 с. - Дел. в ВИНИТИ 28.08.08, № 733-В2008.

6. Филиппов, A.B. Разработка алгоритмов и программ анализа и синтеза активных RC-фильтров на основе RC-элементов с распределенными параметрами со структурой слоев R-C-NR / К.В. Красноперов, А.И. Нистюк, В.П. Тарануха,

II.А. Ушаков, А.В. Филиппов; Ижевский гос. техн. ун-т. - Ижевск, 2008. -11с.-Деп. в ВИНИТИ 28.08.08, № 734-В2008.

7. Филиппов, А.В. Исследование влияния неидеальности проводящего слоя двумерного RC-элемента с распределенными параметрами на характеристики активного RC-фильтра на его основе / К.В. Красноперое, П.А. Ушаков, А.В. Филиппов // Синтез* анализ и диагностика электронных цепей: международный сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, вып. 6, 2008. - С. 127-131.

8. Filippov A.V. Research of fractal thick-film elements frequency responses. / Ushakov P.A., Maksimov C.O., - 11-th International conference and seminar on mi-cro/nanotechnologies and electron devices proceedings. - Novosibirsk: NSTU, 2010. - c. 165- 167.-pic.

В редакции автора

Подписано в печать 08.11.10. Усл. печ. л. 1,16. Заказ №405. Тираж 100 экз.

Издательство Ижевского государственного технического университета Ошечатано в типографии Издательства ИжГТУ. 426069, Ижевск, Студенческая, 7

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.:.

Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОВ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ РЕЗИСТИВНО-ЕМКОСТНЫХ СРЕД.

1.1 Краткая характеристика элементов на основе резистивно-емкостных сред.

1.1.1 Общие понятия об элементах на основе резистивно-емкостных сред

1.1.2 Анализ конструктивных вариантов ЯС-ЭРП, пригодных для создания элементов с фрактальным импедансом.

1.2 Обзор математических моделей, используемых для анализа и синтеза КС-ЭРП.

1.3 Методы анализа КС-ЭРП.

1.4 Методы синтеза КС-ЭРП и их программная реализация.

1.5 Выводы.

Глава 2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И КОНЦЕПЦИИ АНАЛИЗА КС-ЭРП СО СТРУКТУРОЙ СЛОЕВ ВИДА К-СО-Ж.

2.1 Обоснование математических модели КС-ЭРП со структурой слоев видаК-СО-М1.

2.1.1 Предварительные замечания.

2.1.2 Учет потерь в диэлектрике.

2.1.3 Учет конструктивных ограничений.

2.2 Разработка математической модели ДО КС-ЭРП со структурой слоев вида К-Св-Ш.

2.2.1 Вывод уравнений Я-СО-М^-линии.

2.2.2 Вывод выражений коэффициентов У-матрицы Я-СО-МЯ-линии (ОО КРЭ).

2.2.3 Оценка корректности выражений у-параметров с помощью Брюе-модели.

2.2.4 Вывод выражений коэффициентов у-параметров КРЭ с учетом концевых емкостей.

2.2.5 Формирование У-матрицы ДО КРЭ.

2.3 Разработка программы анализа КС-ЭРП.

2.3.1 Разработка алгоритма анализа КС-ЭРП.

2.3.2 Разработка пользовательского интерфейса программы анализа.

2.4 Оценка корректности математической модели К-СО-ЫК.

2.4.1 Проверка корректности работы программы и выбор числа конечных элементов по заданной точности вычислений.

2.4.2 Оценка влияния параметров модели КС-ЭРП со структурой слоев видаК-Св-Ж.

2.5 Экспериментальная проверка адекватности результатов работы программы анадиза. лл/.:;.^.;.„.;.„.

2.6 Выводы.

Глава 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ И ПРОГРАММЫ СИНТЕЗА Б1С-ЭРП СО СТРУКТУРОЙ СЛОЕВ ВИДА К-СО-М! .:.„.

3.1 Генетические алгоритмы.

3.1.1 Предварительные замечания.

3 VI .2 Основные понятия.

3.1.3 Рекомендации по разработке генетических алгоритмов синтеза.66 3.2ГРазработка ГА.

3.2.1 Разработка способа кодирования информации о конструктивных параметрах ЫС-ЭРП.

3.2.2 Выбор типов и разработка алгоритмов генетических операторов.

33 Разработка программы синтеза;.:.:.

3.4 Оптимизация параметров ГА.

3.4.1 Исследование влияния значений вероятностей мутации резистивных слоев и вероятности кроссинговера.

3:5 Выводы.:.

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПУТЕЙ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ. АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЯС-ЭРП.

4.1 Оптимизация алгоритмов анализа.88 ч

4.1.2 Профильный метод.:.

4.1.3 Разработка алгоритма нумерации узлов.91.

4.2 Методы совершенствования генетического алгоритма синтеза ЯС-ЭРП

4.2.1 Использование самоадаптации оператора мутации.95;

4.2.2 Использование островной модели ГА.■.:.;.

4.2.3 Использование динамического изменения размера сетки

4.2.4 Использование динамического изменения области анализируемых частот .:.:.:.

4.2.5 Использование динамического изменения площади мутации

4.2.6 Выбор места действия операторов:.

4.3 Исследование возможностей программы синтеза по реализации заданных уровней постоянства фазы ФЧХ входного импеданса

4.4 Выводы

Актуальность темы. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами (в дальнейшем, RC-ЭРП) представляют собой конструкции на основе системы чередующихся слоев (полосок) материалов, в которых проводящие и/или резистивные слои разделены диэлектрическими слоями (или двойными заряженными слоями с электронной или ионной проводимостью).

В период становления микроэлектроники в середине прошлого столетия вопросами анализа RC-ЭРП в виде однородных или неоднородных по ширине пленочных и полупроводниковых структур занимались такие известные отечественные и зарубежнь1е ученые, как Агаханян Т. М., Колесов JI. Н., Попов В. П., Рожанковский Р. В., Дмитриев В. Д., Меркулов А. И., Ghausi М., Kelly J., CastroP., Нарр W., Walton A., Moran P., Burrow N. и др. Однако ограниченность применения RC-ЭРП в основном частотно-избирательными устройствами и отсутствие методов синтеза RC-ЭРП с заданными характеристиками не позволили этой элементной базе успешно конкурировать с цифровыми фильтрами.

Интерес к RC-ЭРП в последнее время заметно возрос в связи с работами Гильмутдинова А. X., Потапова А. А. и Ушакова П. А., направленными на разработку фрактальных радиосистем, так как в этих работах показано, что конструктивная основа в виде многослойной резистивно-емкостной среды является одной из наиболее перспективных для создания радиоэлементов, имеющих дробно-степенную зависимость входного импеданса от частоты (фрактальные элементы).

Фрактальные элементы используются и для задания порядка выполнения операций интегрирования и дифференцирования в ПИД-регуляторах дробного порядка, высокую эффективность которых в системах автоматического управления в различных областях техники показали в своих работах Oustaloup A., Petras I., Vinagre В. М. и др.

Применение в системах и устройствах аналоговой обработки сигналов КС-ЭРП в виде интегральных пленочных или полупроводниковых элементов позволяет использовать новые принципы обработки фрактальных сигналов в режиме реального времени, улучшить массогабаритные и эксплуатационные характеристики систем и устройств.

Анализ и синтез конструкций многослойных КС-ЭРП с различными конструктивными и технологическими неоднородностями стал возможен благодаря применению метода конечных распределенных элементов, предложенного и разработанного Гильмутдиновым А. X. и развитого затем Ушаковым П. А. Заметным шагом в решении задачи синтеза КС-ЭРП явилось использование эволюционного проектирования, в частности, генетического алгоритма (ГА) поисковой оптимизации при синтезе конструкции КС-ЭРП.

Однако применение этих методов для КС-ЭРП, имеющих сравнительно простые структуры слоев (вида К-С-О: резистор — диэлектрик - идеально проводящая обкладка), не дает существенного расширения диапазона реализуемых ими параметров частотных характеристик. Поэтому для создания КС-ЭРП с более широким спектром возможных применений и диапазоном реализуемых параметров необходимо использовать более сложные по структуре резистивно-емкостные среды (например, со структурой слоев вида К-С-МЯ: резистор - диэлектрик — резистор).

Существующие в настоящее время математические модели, используемые при анализе и синтезе КС-ЭРП, дают результаты, которые при их практической реализации не подтверждаются или заметно изменяются. Поэтому для внедрения новых элементов в системы и устройства обработки информации необходима разработка адекватных математических моделей, отражающих как неидеальности электрофизических свойств материалов, так и конструктивно-технологические ограничения, накладываемые на конструкцию выбранным способом изготовления.

Все это приводит к увеличению размерности задачи анализа и синтеза, усложнению поверхности целевой функции, ухудшению сходимости применяемых алгоритмов поисковой оптимизации и заметному увеличению требований к ЭВМ.

Поэтому повышение эффективности проектирования, обеспечиваемого за счет разработки и совершенствования методов анализа и синтеза нового класса ЯС-ЭРП, разработки комплекса программ проектирования, обладающего необходимым набором математических моделей, для реализации потенциальных возможностей ЯС-ЭРП представляется своевременной и актуальной задачей.

Предметом исследования в настоящей работе являются многослойные двумерные резистивно-емкостные элементы со структурой слоев вида Я-Сй-ИЯ (резистор — диэлектрик с потерями — резистор).

Объект исследования - методы анализа двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-МЯ и методы структурно-параметрического синтеза их конструкций по заданным импедансным или передаточным частотным характеристикам.

Целью работы является повышение эффективности проектирования двумерных ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ по заданным частотным характеристикам.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Сравнение реализационных возможностей существующих элементов на основе многослойных резистивно-емкостных сред, анализ методов расчета их частотных характеристик, анализ методов, алгоритмов и программ синтеза этих конструкций для выбора путей повышения эффективности проектирования ЯС-ЭРП.

2. Обоснование и разработка математической модели двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, учитывающей конструктивно-технологические ограничения.

3. Разработка программы анализа двумерной модели ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-КЯ и экспериментальная проверка адекватности математической модели.

4. Разработка методики и алгоритмов структурно-параметрического синтеза конструкций ЛС-ЭРПсо структурой слоев вида Я-Св-ЫК по заданным частотным характеристикам на основе генетического алгоритма.

5. Исследование и оптимизация алгоритмов анализа и синтеза ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЪЖ для повышения их эффективности.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей в работе применяются системный анализ конструкций и моделей ЯС-ЭРП, методы теории электрических цепей, методы теории вероятностей и математической статистики, методы оптимизации, числешше методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, теория множеств. Для проверки точности и достоверности результатов синтеза проводилось имитационное моделирование с применением пакетов программ схемотехнического моделирования и физическое моделирование на толстопленочных образцах ЯС-ЭРП.

Первая глава посвящена обзору конструкций и математических моделей двумерных резистивно-емкостных элементов с распределенными параметрами (ЫС-ЭРП). Проведен обзор и дана краткая характеристика методов расчета параметров ЯС-ЭРП как многополюсных элементов электрических цепей с точки зрения возможности их использования в программах автоматизированного проектирования ЯС-ЭРП. Дано современное состояние решения вопросов синтеза конструкций ЫС-ЭРП по заданным частотным характеристикам. Намечены пути повышения эффективности существующих алгоритмов синтеза и круг задач, решение которых позволит создать необходимую теоретическую и алгоритмическую базу для создания специализированного программного обеспечения проектирования двумерных ЯС-ЭРП.

В главе 2 проведено обоснование математической модели ЯС-ЭРП со структурой слоев вида К-Св-М^. Получены выражения коэффициентов У-матриц одномерных конечных распределенных элементов ЫС-ЭРП со структурой слоев вида Разработан алгоритм формирования гло бальной матрицы двумерных однородных конечных распределенных элементов. Разработаны алгоритм и программа анализа ЯС-ЭРП. Проведена проверка точности и адекватности результатов работы программы с помощью схемотехнического моделирования и сравнения с экспериментальными данными.

В главе 3 реализована методика проектирования генетических алгоритмов применительно к' новому объекту исследования — двумерному 11С-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫК. Разработана программа синтеза ЯС-ЭРП. Проведена оптимизация параметров генетического алгоритма по скорости сходимости.

В главе 4 проведена оптимизация алгоритмов анализа и синтеза ЯС-ЭРП. Проведена модернизация генетического алгоритма с целью повышения эффективности поиска решения. Разработан алгоритм нумерации узлов, позволяющий существенно уменьшить объем требуемой памяти и повысить скорость вычисления ^-параметров ЯС-ЭРП. На защиту выносятся:

1. Математическая модель двумерного ЫС-ЭРП со структурой'слоев вида Я-Св-М^ с учетом конструктивно-технологических ограничений.

2. Оптимизированный алгоритм расчета ^-параметров двумерных ЯС-ЭРП.

3. Способ кодирования информации о конструктивных параметрах двумерных однородных ИС-ЭРП.

4. Алгоритмы реализации генетических операторов с учетом выбранного способа кодирования.

5. Механизмы самоадаптации генетического алгоритма, повышающие эффективность и надежность алгоритма структурно-параметрического синтеза двумерных ЯС-ЭРП.

6. Программное обеспечение анализа и структурно-параметрического синтеза двумерных ЯС-ЭРП с различными структурами слоев.

Основные выводы по работе можно сформулировать в виде следующих положений:

1. Обоснована и разработана математическая модель двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-КЯ, отражающая как неидеальности электрофизических свойств материалов слоев, так и конструктивно-технологические ограничения, накладываемые на конструкцию выбранным способом изготовления.

2. Разработаны алгоритм и программа анализа двумерных ЯС-ЭРП, позволяющие за счет применения эффективных приемов работы с разреженными матрицами увеличить скорость анализа по сравнению с существующими программами, как минимум, на порядок.

3. Предложены методы увеличения скорости сходимости и адаптационные I механизмы генетического алгоритма на заключительных стадиях эволюции, которые позволили увеличить скорость синтеза в 11,5 раз (при сетке конечных элементов 20x20) по сравнению со скоростью синтеза не модернизированных алгоритмов.

4. Разработана универсальная программа структурно-параметрического синтеза двумерных ЯС-ЭРП, использующая настраиваемую математическую модель ЯС-ЭРП, метод конечных распределенных элементов и усовершенствованный генетический алгоритм. С помощью разработанной программы получены конструкции фрактальных элементов на основе двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-КЯ, реализующих постоянство ФЧХ входного импеданса от 2° до 88° в пределах двух частотных декад, что на 10° больше, чем достигнутые результаты с помощью существующих программ.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Разработана математическая модель двумерного ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-СО-ЫЯ, учитывающая конструктивно-технологические ограничения.

2. Проведена оптимизация алгоритма анализа ЯС-ЭРП со структурой слоев вида Я-Св-ИЯ.

3. Разработан новый способ кодирования информации о конструктивных параметрах ЯС-ЭРП.

4. Предложены механизмы адаптивного изменения параметров генетического алгоритма в процессе структурно-параметрического синтеза конструкции ЯС-ЭРП.

5. Разработан многофункциональный программно-методический комплекс синтеза и исследования синтезированных двумерных ЯС-ЭРП с различными структурами слоев.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей в работе использовались: системный анализ конструкций и моделей ЯС-ЭРП, методы теории электрических цепей, методы теории вероятностей и математической статистики, методы оптимизации, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, теория множеств. Для проверки точности и достоверности результатов синтеза проводилось имитационное моделирование с применением пакетов программ схемотехнического моделирования и физическое моделирование на толстопленочных образцах ЯС-ЭРП.

Достоверность результатов работы подтверждается использованием известных положений фундаментальных наук, корректностью разработанных математических моделей, сходимостью разработанных численных методов, хорошей согласованностью полученных теоретических результатов с результатами имитационного моделирования, с данными эксперимента, а также с результатами исследований других авторов.

Теоретическая значимость и практическая ценность полученных: результатов:

1. Теоретические исследования' доведены< до инженерных методик, рекомендаций, алгоритмов и прикладных программно-методических комплексов анализа и синтеза RC-ЭРП, позволяющих разработчикам электронной аппаратуры реально воспользоваться широкими функциональными возможностями RC-ЭРП для улучшения электрических и эксплуатационных показателей разрабатываемых устройств, находить новые пути, и схемные конфигурации- для более эффективного решения задач обработки информации.

2. Разработана математическая модель двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, параметры которой могут настраиваться с учетом потерь в диэлектрическом слое, конечной проводимости материалов обкладок и контактных площадок, с учетом конструктивных ограничений, определяемых принятой технологией изготовления.

3. Предложенные пути увеличения скорости сходимости и механизмы адаптации генетических алгоритмов, используемые при синтезе RC-ЭРП, позволили повысить эффективность структурно-параметрического синтеза конструкций RC-ЭРП и расширить диапазон реализуемых ими параметров.

4. На основе двумерных RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR'можно реализовать элементы с показателем дробностепенной зависимости входного импеданса от частоты в диапазоне от 0,03 до 0,97.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научно-технических конференциях «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства», г. Ижевск, 2006, 2007 гг.; на одиннадцатой международной конференции-семинаре по микро/нанотехнологиям и электронным приборам «EDM-2010», г. Новосибирск, 2010 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Гильмутдинов, А. X. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: анализ, синтез и применение Текст. / А. X. Гильмутдинов. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2005. — 350 с.

2. Гильмутдинов, А. X. Пленочные резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: конструкции, применение, перспективы Текст. / А. X. Гильмутдинов, П. А. Ушаков. Датчики и системы. 2003. № 7. С. 63-70.

3. Нарр, W. W. Distributed parameter circuit design techniques Text. / W. W. Happ, P. S. Castro. Proc. Nat. Electronics Conf. V. 17. 1961. P. 45.

4. Guzinski, A. An active filter with a distributed RGC-line Text. / A. Guzinski. International Journal of Electronics. 1976. V. 40. № 4. P. 409.

5. Красноперов, К. В. Математические модели RC-элементов с распределенными параметрами со структурой слоев вида R-CG-NR Текст. / К. В. Красноперов, А. В. Филиппов. Вестник Ижевского государственного технического университета №2 2008 г. - С. 93—96.

6. Нигматуллин, Р. Ш. Электролитический дробно-дифференцирующий и интегрирующий двухполюсник Текст. / Р. Ш. Нигматуллин, В. А. Белавин // Труды КАИ, Радиотехника и электроника, Вып.82, Казань, 1964. С. 58-65.

7. Nathan, A. Distributed RC Impedances of Constant Phase Text. / A. Nathan, R. K. Even // IEEE Transactions on Circuit Theory, no. 3, 1973. Pp. 153 — '154.

8. Печенкин, А. Ю. Решение задачи синтеза резистивно-емкостных элементов со структурой слоев вида R-C-G-0 Текст. : Автореферат дисс. на соискание уч. степени канд. техн. наук. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2006. — 18 с.

9. Дудыкевич, Ю. Б. Оптимизация функций цепи с сосредоточенными и распределенными RC-параметрами методом конфигураций Текст. / Ю. Б. Дудыкевич, Р. В. Рожанковский // Отбор и передача информации. Киев: Наукова думка. 1971. Т.29. С. 38 41.

10. Гильмутдинов, А. X. Расчет электрических и геометрических параметров пленочных распределенных RC-элементов Текст. : Учебное пособие / А. X. Гильмутдинов, П. А. Ушаков ; Под ред. Р. Ш. Нигматуллина. Казань: Изд-во Казан, авиац. ин-та, 1990. — 80 с.

11. Гильмутдинов, А. X. Введение в теорию и расчет ARC-цепей с распределенными параметрами Текст. : Учебное пособие / А. X. Гильмутдинов, П. А. Ушаков. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 1997.- 70 с.

12. Bowen, С. R. Modelling the 'universal' dielectric response in heterogeneous materials using microstructural electrical networks Text. / C. R. Bowen, D. P. Almond // Materials Science and Technology. 2006. Vol. 22. No. 6. P. 719 -724.

13. Panteny, S. The Frequency Dependent Permittivity and AC Conductivity of Random Electrical Networks Text. / S. Panteny, R. Stevens, C. R. Bowen // Ferroelectrics, 319. 2005. - P. 199 - 208.

14. Васильев, А. С. А-матрицы однородных распределенных RC-структур Текст. / А. С. Васильев, В. В. Галицкий // Радиотехника, т. 24, № 6, 1969. -С. 33-39.

15. Protonotarios, Е. N. Delay and rise time of arbitrary tapered RC-transmission lines Text. / E.N. Protonotarios, O. Wing. IEEE Internat. Conv. Record. 1965, pt.7, p. 1-6.

16. Попов, В. П. Четырехполюсные параметры активных RC-линий Текст. / В. П. Попов // Радиотехн. и электроника, т. 19, №12, 1974. С. 2570 - 2576.

17. Popov, V. P. RC Transmission Line with Nonlinear Controlled Parameters-Small-Signal Characteristics Text. / V. P. Popov, T. A. Bickart // IEEE Trans, on Circuits and Systems, v. CAS-21, NO. 2, March 1974. P.268 - 270.

18. Колесов, JI. H. Введение в инженерную микроэлектронику Текст. / JI. Н. Колесов. М.: Сов. Радио. - 1974. - 280 с.

19. А. с. 1708128 СССР, МКИ Н 03h 7/06. RC-структура с распределенными параметрами Текст. / П. А. Ушаков, А. X. Гильмутдинов (СССР). Зарегистрировано в Гос. реестре изобретений СССР 22.09.1991 г.

20. Рожанковский, Р. В. Анализ цепей с поверхностно-распределенными RC-параметрами- методом разделения переменных Текст. / Р. В. Рожанков-ский/ — В кн.: Отбор и передача информации, Киев: Наукова думка, 1969, вып. 21, с. 3-10.

21. Tanaka, О. Two dimensional analysis of Bessel RC lines Text. / O. Tanaka, Y. Hattori // IEEE Trans. Circuit Theory, no. 9, 1971. Pp. 572-573.

22. Walton, A. J. Two Dimensional Analysis of Tapered Distributed RC Networks Using Finite Elements Text. / A. J. Walton, B. J. Marsden, P. L. Moran, N. G. Burrow // IEE Proceedings-G, 127, 1980, N1, p. 34-40.

23. Печенкин, А. Ю. Разработка математических моделей и программы анализа одномерных RC-элементов с распределенными параметрами типа

24. R-C-G-0 Текст. / А. Ю. Печенкин, П. А. Ушаков. Ижевский гос. техн. ун-т. - Ижевск, 2006. — 25 е.: ил. - Библиогр.: 6 назв. — Рус. - Деп. в ВИНИТИ 23.03.2006 № 302-В2006.

25. Печенкин, А. Ю. Синтез топологии резистивно-емкостных функциональных элементов с помощью генетического алгоритма Текст. / А. Ю. Печенкин, П. А. Ушаков // Материалы конференции «Электроника и инфор-матика-2005». М.: 2005. - С. 196.

26. Гладков, JI. А. Генетические алгоритмы Текст. : Учебное пособие / Л. А. Гладков, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. 2-е изд. - М: Физматлит, 2006. -С. 320

27. Гильмутдинов, А. X. Фрактальные элементы, устройства и методы обработки информации: состояние и перспективы Текст. / А. X. Гильмутди-нов, А. А. Потапов, П. А. Ушаков.

28. Панченко, Т. В. Генетические алгоритмы: учебно-методическое пособие Текст. / Т. В. Панченко ; под ред. Ю. Ю. Тарасевича. Астрахань : Издательский дом «Астраханский университет», 2007. — 87 [3] с.

29. Стариков, А. Генетические алгоритмы — математический аппарат. Электронный ресурс. URL: http://basegroup.ru/library/optimization/gamath/

30. Емельянов, В. В. Теория и практика эволюционного моделирования Текст. / В. В. Емельянов, В. М. Курейчик, В. В. Курейчик. М.: Физматлит, 2003.

31. Малышева, И. А. Технология производства интегральных микросхем Текст. / И. А. Малышева. М.: Радио и связь, 1991. - 344 с.

32. Бондаренко, О. Е. Конструктивно-технологические основы проектирования микросборок Текст. / О. Е. Бондаренко, JI. М. Федотов. М.: Радио и связь, 1988. - 136 с.

33. Парфенов, О. Д. Технология микросхем Текст. : Учебное пособие / О. Д. Парфенов. М.: Высшая школа. 1986. - 320 с.

34. Carson, J. A. Effect of dielectric losses on the performance of evaporated thin-film distributed RC notch Filters Text. / J. A. Carson, С. K. Campbell, P. L. Swart, F. J. Vallo. IEEE Journal of Solid-State Circuit, v. SC-6, № 3, 1971, pp. 120-124.

35. Showalter, R. E. A distributed RC network model with dielectric loss Text. / R. E. Showalter, С. H. Snyder. IEEE Trans. Circuits and Syst. 1986. 33, N 7, c. 707-710.

36. Койков, С. H. Анализ зависимости потерь в конденсаторах от параметров импульсного напряжения Текст. / С. Н. Койков, В. Ф. Болдырев, О. JI.

37. Мезенин. // Электрон. Техника. Сер. 5. Радиодетали и радиокомпоненты. — 1981. Вып. 2.-С. 9-12.

38. Попов, В. П.,Основы теории цепей Текст. : Учебное пособие для вузов / В. П. Попов. М.: Высш. шк., 1985. - 496 с.

39. Лебедев, Б. К. Трассировка в коммутационном блоке на основе генетических процедур Текст. / Б. К. Лебедев // Перспективные информационные технологии и информационные системы. Таганрог: ТРТУ, 2000. — Вып. 1. -С. 23-38.

40. Tamotsu, N. Evolutionary Generation of Microwave Line-Segment Circuits by Genetic Algorithms Text. / N. Tamotsu, I. Tatsuo // IEEE Transactions on microwave theory and techniques, vol. 50, no. 9, September, 2002. P. 2048-2055.

41. Altshuler, E. E. Design of a Vehicular Antenna for GPS/IRIDIUM Using a Genetic Algorithm Text. / E. E. Altshuler, E. Edward // IEEE Transaction on Antennas and propagation, V. 48, № 6, 2000. P. 968 972.

42. Гриченко, С. H. Поисковая оптимизация Электронный ресурс. // Электронное издание «Системная энциклопедия», 2002, http://www.ipi.ac.ru/sysen/

43. Растригин, Л. А. Статистические методы поиска Текст. / Л. А. Растри-гин. М.: Наука, 1968. - 256 с.

44. Дегтерев, А. С. Обобщение генетических алгоритмов и алгоритмов схемы МИВЕР Электронный ресурс. / А. С. Дегтерев, Ф. В. Канашкин, А. Д. Сумароков // Электронный журнал «Исследовано в России», 2004, http://zhurnal.ape.relarn.rU/articles/2004/l 53 .pdf

45. Батищев, Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач Текст. : Учеб. пособие. / Д. И. Батищев ; под ред. Я. Е. Львовича. — Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1995. 78 с.

46. Батищев, Д. И. Глобальная оптимизация с помощью эволюционно-генетических алгоритмов Текст. / Д. И. Батшцев, JI. Н. Скидкина, Н. В. Трапезникова // Межвуз. сборник, ВГТУ, Воронеж, 1994. — С. 56 — 63.

47. Курейчик, В. В. Эволюционные, синергетические и гомеостатические методы принятия решений Текст. Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001.

48. Половинкин, А. И. Основы инженерного творчества Текст. : Учебное пособие для студентов втузов / А. И. Половинкин. — М.: Машиностроение, 1988.-368 с.

49. Вермишев, Ю. X. Методы автоматического поиска решений при проектировании сложных технических систем Текст. / Ю. X. Вермишев. — М.: Радио и связь, 1982. — 152 с.

50. Курейчик, В. М. Генетические алгоритмы Текст. : Учебник для' вузов /

51. B. М. Курейчик. Таганрог, Изд-во ТРТУ, 1998. - 118 с.

52. Малюков, С. П. Построение моделей эволюций для решения задач на графах Текст. / С. П. Малюков, С. А. Обжелянский // Применение генетических алгоритмов при разработке магнитных головок. № 4 (12). 2002.1. C. 56-64.

53. Holland, J. Н. Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Application to Biology, Control, and Artificial Intelligence Text. / J. H. Holland. USA: University of Michigan, 1975.

54. Goldberg, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning Text. / D. E. Golberg. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989.

55. Скурихин, A. H. Генетические алгоритмы Текст. / A. H. Скурихин // Новости искусственного интеллекта, М. № 4. 1995. С. 6-46.

56. Handbook of Genetic Algorithms Text. / Edited by D. D. Lawrence, Van Nostrand Reinhold, New York, 1991, 385 p.

57. Гильмутдинов, А. X. Выбор методов анализа и синтеза RC-элементов с распределенными параметрами и устройств на их основе для специализированной САПР Текст. / А. X. Гильмутдинов, В. А. Иванцов, П. А. Ушаков // Радиотехника, № 2, 2008. С. 65-73.

58. Норенков, И. П. Информационная поддержка наукоемких изделий. CALS-технологии. Текст. / И. П. Норенков, П. К. Кузьмик. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2002. 320 с.

59. Комарцова, JI. Г. Нейрокомпьютеры Текст. / JI. Г. Комарцова, А. В. Максимов ; под ред. Н. И. Баканова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -320 с.

60. Blickle, Т. A Comparison of Selection Schemes used in Genetic Algorithm Текст. / Т. Blickle, L. Thiele. 1995, 2nd Edition.

61. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий Текст. / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. М.: Наука, 1976.-278 с.

62. Джорж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений Текст. / А. Джорж, Дж. Лю : [пер. с англ.]. М.: Мир, 1984 - 333 е., ил.

63. Уоткинс, Д. С. Основы матричных вычислений Текст. / Д. С. Уоткинс : [пер. с англ.]. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006 - 664 е.: ил.

64. Martin, R. S. Symmetric decomposition of positive definite band matrices. In Handbook of automatic computation Text. / R. S. Martin, J. H. Wilkinson ; edited by J. H. Wilkinson and C. Reinsch. Vol. 2, Springer Verlag, 1971.

65. Cuthill, E. Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices Text. / E. Cuthill, J. McKee I I Proc. 24th Nat. Conf. Assoc. Comput. Mach., ACM Publ., 1967, pp. 157-172.

66. Jennings, A. A compact storage scheme for the solution of symmetric linear simultaneous equations Text. / A. Jennings. Comput. J. 9, 1966, pp. 281—285

67. Камалетдинов, А. Г. Моделирование, анализ и параметрический синтез широкополосных фазовращающих пленочных RC-элементов с распределенными параметрами Текст. : Дисс. на соискание уч. степени канд. техн. наук. Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева. 155 с.

68. Потапов, А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации Текст. / А. А. Потапов. -М.: Логос, 2002. 664 с.

69. Потапов, А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. Текст. / А. А. Потапов. М.: Университетская книга, 2005. — 848 с.

70. Mandelbrot, В. В. Fractals: Forme, Chance and Dimension Text. / В. B. Mandelbrot. San-Francisco: Freeman, 1977. - 365 p.

71. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения Текст. / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.