автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Стохастический резонанс и фильтрация сигналов в нелинейных радиотехнических системах

004607269

На правах рукописи

ДОМБРОВСКИЙ АЛЕКСЕЙ НИКОДИМОВИЧ

СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 АВГ 2010

Москва-2010

004607269

Работа выполнена на кафедре основ радиосхемотехники Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Решетняк Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Рухадзе Анри Амвросьевич доктор технических наук, доцент Тумковский Сергей Ростиславович

Защита состоится «23» сентября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.06 в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу:

109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ (ТУ)

Автореферат разослан «23» июля 2010 г.

Ведущая организация:

Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., профессор

Н.Н. Грачев

Проблема выделения слабых сигналов на фоне помех и в настоящее время остаётся актуальной. Количественной мерой устойчивого приёма сигналов служит отношение сигнал-шум, которое должно превышать определённое значение (порядка нескольких десятков децибел). Основные принципы приёма сигналов при наличии шума были получены в основном для линейных радиотехнических систем. Гармонические составляющие сигнала и шума проходят через линейную систему независимо друг от друга, а при переходе через нелинейную систему они взаимодействуют между собой. Диссертация имеет прямое отношение к вопросу взаимодействия сигнала и шума, который в настоящее время исследован недостаточно.

При приёме сигналов интенсивность внешнего шума довольно часто имеет тот же порядок величины, что и интенсивность внутреннего шума. Однако в задачах радиолокации отражённый сигнал представляет собой сумму полезного сигнала от исследуемого объекта и случайного сигнала в результате отражения от неровной земной поверхности (особенно в случае локации объектов на морской поверхности). Аналогичные условия возникают при локации в условиях дождя, снегопада или сильной облачности. При этом интенсивность внешнего шума существенно превосходит интенсивность внутреннего шума. Отсюда задача исследования взаимодействия сигнала и внешнего шума в нелинейной системе при пренебрежении внутренним шумом в данной системе имеет практическое значение. В диссертации эта проблема исследуется в нелинейных электрических цепях с туннельными диодами.

Повышенный интерес к данной проблеме вызвал открытый двадцать лет назад в оптической бистабильной системе [1] эффект стохастического резонанса (СР). На вход нелинейной системы [1] подавались гармонический сигнал и шум. На выходе системы измерялась зависимость отношения сигнал-шум от интенсивности шума П на входе. Было

установлено, что зависимость

аномальным

образом, т.е. имеет локальный максимум при некоторой интенсивности Д) входного шума так, как изображено на рис. 1.

Рис. 1

В данной нелинейной системе имеется потенциальный барьер и, следовательно, средняя частота vKp(D) переходов через барьер под действием шума, называемая в литературе частотой Крамерса. Наблюдаемый максимум при интенсивности Dq, соответствовал равенству частоты сигнала и vKp(D0). Именно поэтому данный эффект получил название

«стохастического резонанса». Он указал, что между шумом и сигналом существует корреляция и в подобных системах, могут возникнуть благоприятные условия для выделения слабых сигналов на фоне помех. Аналогичные результаты были получены в работе [2]. Кроме [1,2] существовали также теоретические работы [3,4], в которых были даны объяснения этого явления для малых амплитуд сигнала. По эффекту СР имеются подробные обзорные работы [5,6].

При анализе СР взаимодействие сигнала и шума описывается следующим ланжевеновским или стохастическим дифференциальным уравнением:

^ + W'(71) = AsC0S(C0st) + m, (1)

dt

где J] - физическая величина на выходе бистабильной системы, содержащая сигнальную и шумовую компоненты; W(t]) - нелинейная характеристика

4

бистабилыгой системы, называемая потенциалом; А1 соз(й)/) и ¿,(() -сигнал и шум на входе системы. Обычно при теоретическом описании СР рассматривается симметричный бистабильный потенциал вида

Г(л) = -аг|2/2 + Ьг14/4.

Цель диссертации - двоякая. Во-первых провести детальное исследование эффекта СР для более сложных потенциальных функций как в системе первого порядка, так и в системе второго порядка. Под порядком системы подразумевается порядок стохастического дифференциального уравнения, описывающего систему. Во-вторых, исследовать нелинейные системы на предмет получения эффекта стохастической фильтрации (СФ),

т.е. выходного отношения сигнал-шум, превышающего входное Л^ .

Для решения этой проблемы в литературе имелись заделы. Так в теоретических работах [7,8] указывалось на возможность получения эффекта СФ, а в [9] был выполнен численный анализ уравнения (1) и найдены параметры, при которых реализуется данный эффект.

Новизна диссертации заключается в том, что процессы взаимодействия сигнала и шума впервые экспериментально исследуются в нелинейных электрических цепях с двумя и большим числом туннельных диодов.

Диссертация содержит вводную главу, три основные главы, заключение, список литературы и два приложения. В водной главе дана постановка задачи, определена цель исследования. В ней также кратко приведены основные теоретические подходы в анализе указанной проблемы и доказывается, что проходящие через линейную электрическую систему сигнал и шум не взаимодействуют между собой.

В первой главе проведены исследования нелинейных электрических цепей первого порядка. Схема установки с двумя туннельными диодами ТТ)1 и ТБ2 в параллельных ветвях изображена на рис.2.

\ / с

ТО1

-к-

ТО2

-м-

Рис.2

На входе системы действовал источник напряжения е(() = А; С05(й)/) + , создаваемый генератором сигнала и шума. Под выходом системы понималось напряжение и на ёмкости С, которое подчиняется уравнению

+«=(#), (2)

т

где 1(и) = ¡¿¡(Е + и)~ - и) - общая В АХ системы туннельных диодов, и) - В АХ отдельного туннельного диода, Е - постоянное напряжение смещения, - сопротивление нагрузки с учётом внутренних сопротивлений генераторов сигнала и шума. Вид ВАХ /(и) устанавливался в результате прямых измерений.

Уравнение (2) при делении на постоянную времени ЯНС совпадает с (1). При этом потенциальная функция с точностью до произвольной постоянной имеет вид

щи)=±![т+и/я„]с1и. о)

Для того, чтобы убедиться в правильности проводимых измерений, их результаты сперва были сопоставлены с теорией СР [10]. Были выбраны два одинаковых туннельных диода АИ301В. Общая ВАХ 1{и) данной системы диодов при Е = 0.5В была измерена и представлена на рис.3, а соответствующая ей и) при С = 15нФ и Ян = 125Ом на рис.4.

•0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

и ,В

Рис.З Рис.4

При выборе одинаковых диодов /(и) является нечётной функцией переменной и и хорошо описывается зависимостью вида 1(и) = -\Л\и + Ви\ где 5510"2Ом"1, В = 0.06 АВ~2. При этом

потенциальная функция имеет вид

^(м) = _£мЧ-и4, а = -(\А\-—),Ь = -. (4) 2 4 С С

Для >|Л| 1 потенциал (4) становится бистабильным, т.е. имеет два устойчивых положения равновесия в точках = ±-/а / Ъ, разделённых

2

потенциальным барьером с высотой = а /46 .Таким образом, выбранная электрическая схема оказалась практически идеальной для исследования эффекта СР.

Отношение сигнал-шум Б / N как на входе, так и на её выходе определялось по формуле

А2 \£ I2

мш V,) 2Д/

где А5 - амплитуда сигнала, N(/2) - спектральная плотность шума на частоте сигнала, - среднее значение нескольких практически одинаковых

амплитуд гармоник шума слева и справа от частоты сигнала, |Д/"| -расстояние между частотами в спектре.

Результаты измерений выходного отношения сигнал-шум в зависимости от спектральной плотности шума на входе ЫЫр при А5 = 50мВ

и = ЮкГц представлены на рис.5 в виде точек. Сплошной кривой на этом рисунке представлена аналогичная теоретическая зависимость [10].

N 10',В * с

Рис.5

Видно, что эксперимент и теория [10] линейного отклика на сигнал (TJIO) хорошо согласуются между собой в области не очень малых Ninp.

Расхождение в области малых Njnp объясняется нарушением условий применимости ТЛО. Положение локального максимума действительно соответствует совпадению \кр с частотой сигнала. Таким образом, методика

измерения отношения S / N оказалась правильной.

Подбором числа и типа туннельных диодов можно в широких пределах изменять вид потенциала W(u). Так, если в каждую из параллельных ветвей с диодами TD1 и TD2 поместить диоды ГИ304Б и АИ301В, то нелинейная система будет иметь симметричный потенциал, но с тремя устойчивыми положениями равновесия и двумя барьерами практически одинаковой высоты. В такой системе также было обнаружено явление CP, но в более яркой форме по сравнению с системой, имеющей один потенциальный барьер. В нелинейной системе с тремя туннельными диодами (в одной ветви

диод АИ301В, а в другой - последовательно включённые АИ301В и ГИ304Б) потенциал IV(и) несимметричен, имеет три устойчивых положения равновесия, но различные по высоте барьеры. Проведённые здесь исследования позволили обнаружить явление двойного СР (наличие двух локальных максимумов на кривой рис.5).

В диссертации большое внимание уделялось также коэффициенту передачи по отношению сигнал-шум

который характеризует фильтрующие свойства нелинейной системы, а его обратное значение совпадает с коэффициентом шума.

Было установлено, что во всех случаях реализации эффекта СР коэффициент передачи д < 1. Таким образом, с точки зрения выделения слабого сигнала на фоне помех данный эффект оказался малоинтересным. Типичная зависимость д от Мтр для системы с бистабильным потенциалом

и указанных ранее значений А1 к приведена на рис.6.

N , 10'.В "с

Рис.6

Однако в литературе имелись теоретические работы [7-9], в которых указывалось на возможность достижения значений д > 1. Так в [9], с помощью мощной ЭВМ был промоделирован процесс взаимодействия сигнала и шума, который описывается безразмерным уравнением (2) с моностабильным потенциалом, и найдены параметры, для которых д > 1. Поэтому оказалось возможным экспериментальным путём убедиться в

наличии эффекта СФ. Как следует из (4) потенциал 1¥(и) является моностабильным, если /?н <| Л |-1, а при Ки =| А он принимает критический вид IV(и) = Ьи4 /А.

При фиксированной интенсивности входного шума ^¡пр =2-10~*В2с и для трёх частот сигнала = 15, 100, 500кГц бьши измерены зависимости q от амплитуды сигнала А3, которые представлены на рис.7. На этом же рисунке точками изображены результаты численного моделирования [9] уравнения (1) с параметрами, соответствующими условиям эксперимента и /¡—15кГц. Видно, что эксперимент хорошо согласуется с результатами [9] и подтверждает наличие эффекта СФ в случае потенциала критического вида.

А,, В

Рис.7

Таким образом, удалось впервые построить реальный, нелинейный, активный фильтр, в котором отношение сигнал-шум на выходе превышает аналогичное отношение на его входе.

Во второй главе диссертации взаимодействие сигнала и шума исследуется в нелинейной электрической цепи второго порядка, которая была реализована путём добавления индуктивности Ь в ветвь, содержащую сопротивление нагрузки и источник е{1). Все эксперименты были выполнены для схемы с двумя одинаковыми туннельными диодами АИ301В

и Е = 0.5В. При этом общая ВАХ 1(и) имеет вид изображённый на рис.3, а потенциал W(u) - симметричен и определён формулой (4). Уравнение для напряжения на ёмкости имеет вид

LC^- + [RHC + LI'(u)]~ + W'(и) = eft) (5)

at at

и описывает колебательные процессы с нелинейным коэффициентом трения

Г(и)Л\ + -^-Г(и)]. (6)

ь КИ с

Из (6) следует, что при Ь \ А |<< ЯНС коэффициент трения практически постоянен в широкой области изменения переменной и. Сравнивая данное значение с со0 = аИИ / Ь - собственной частотой

колебаний вблизи одного из двух устойчивых положений равновесия, можно заметить, что колебательные процессы будут передемпфированы. В случае обратного неравенства Ь \ А ¡> Я^С коэффициент Г(и) становится отрицательной величиной и в системе происходит «раскачка» собственных колебаний. При этом сопротивление нагрузки Ян должно быть меньше или порядка порогового значения Ь \ А | / С. Именно эти два случай исследованы в диссертации.

В первом случае были выбраны параметры: /?я= 1250м, С = \5нФ, Ь = 5.2мкГн. В зависимости от амплитуды сигнала Аг в бистабильной системе наблюдались как линейный, так и нелинейный режимы эффекта СР. Для значений А!, меньших установленного в работе порогового значения 0.14В, наблюдался линейный режим эффекта СР с классическими условиями его возникновения (частота сигнала совпадает с частотой Крамерса). С ростом А1 взаимодействие сигнала и шума принимает существенно нелинейный характер. Как показали исследования, для А3 > 0.14В наблюдавшийся ранее эффект СР при малых

Ав может исчезнуть в случае больших А3 и, наоборот, возникнуть на другой частоте при его отсутствии в случае малых А3. Таким образом, исследования позволили сделать вывод, что при реализации нелинейного режима СР, его условия возникновения обязательно должны учитывать амплитуду сигнала, которая играет большую роль в процессе возникновения СР. Измеренные коэффициенты передачи Ц указали на то, что для выбранных параметров цепи эффект СФ не наблюдается.

Во втором случае была исследована цепь второго порядка при

С = \нФ, Ь = ОЛмГн и Яи =| А . Здесь потенциальная функция принимает критический вид 1¥(и) = Ьг14 / 4. Для выбранных параметров коэффициент трения отрицателен в области | и |< 0.55, т.е. на дне потенциальной ямы. При отсутствии внешних воздействий безразмерное уравнение (5) для критического потенциала совпадает с известным в литературе уравнением Ван-дер-Поля. Здесь любые малые возмущения напряжения и вызывают развитие автоколебаний релаксационного типа. При выключенных и закороченных генераторах сигнала и шума данные колебания действительно наблюдались на осциллографе. Их вид, а также фазовый портрет предельного цикла представлены на рис. 8 и 9, из которых видно, что автоколебания имеют период Та = 5мкс и частоту /0 = 200кГц.

и

0.6' 0.4. 0.2 т т 2 40 ■ > .

2 4 6 8 -0¡1 -0.4 -¿2 о^/о 4 0 3

•0.4- 1. М К с / -20 у/ и,в

•о.в.

Рис.8 Рис.9

В диссертации измерялось выходное отношение Б / N для четырёх сигнальных частот /,=50, 100, 150, 200кГц. Это отношение с ростом входной интенсивности шума Nтр монотонно убывало по величине,

т.е. показывало своё нормальное поведение. Однако коэффициент передачи <7 вёл себя аномально и его значения для определённых параметров превышали единицу. Ниже, как более информативные, приводятся зависимости # от величины амплитуды сигнала при фиксированной

интенсивности входного шума — 2В2с. Они представлены на рис.10.

Рис.10 Рис.11

Видно, что для выбранных параметров в системе второго порядка эффект СФ наблюдается в более яркой форме. По сравнению с цепью первого порядка коэффициент передачи д увеличился до значения

д «1.7 -г 1.8 для частоты /г = /а. При дальнейшем росте /г коэффициент д уменьшается. Из рис.10 также следует, что существует оптимальная амплитуда сигнала для достижения максимальных q при заданном Nтр. Справедливо также обратное утверждение: при заданной амплитуде сигнала А, существует оптимальная интенсивность входного шума для достижения наибольших д.

Основную причину возникновения эффекта СФ можно понять, рассматривая зависимости спектральной интенсивности выходного шума Nou,(fs) на частоте сигнала от ею амплитуды As, представленные на рис.11. Видно, что с ростом As происходит подавление интенсивности выходного шума на частоте сигнала и достижение насыщения при больших As. Основное отличие этих кривых от полученных для цепи первого порядка заключается в наличии локальных максимумов, которые определяют пороговые значения As, начиная с которых происходит подавление выходного шума. Существование пороговых значений As можно связать с наличием на фазовой плоскости устойчивого предельного цикла автоколебаний.

Эффект СФ, реализованный для определённого набора параметров системы, может наблюдаться и для другого набора параметров, оставляющего неизменным безразмерные коэффициенты уравнения (5). Это утверждение было проверено путём прямых измерений и показало, что для частоты сигнала fs = 40кГц и определённом выборе других параметров интегральное по спектру отношение сигнал-шум на входе можно уменьшить в 5 раз по сравнению с аналогичным отношением для частоты fs = ЮОкГц. При этом коэффициент передачи q остаётся одним и тем же.

В третьей главе проведено обобщение теории [10], применимой к электрическим цепям первого порядка, на случай электрических цепей второго порядка и выполнено сравнение с экспериментальными результатами. Рассматривались нелинейные системы, которые описываются следующим уравнением

^ + r2^ + V\u) = h- cos (o>st) + y(t) (7)

с постоянным коэффициентом трения Г = RH/ L. Уравнение (7) совпадает с (5) при V(u) = rW{u), h = AsILC, y(t) = Z¿t)¡LC, где Щи) определён формулой (4) и для RH >| A f1 имеет вид бистабильной потенциальной функции.

Для малых времён корреляции случайной силы y(t) для неё можно принять модель «белого» шума:

<y(t)y(t + T)>=2sS(z), £ =

где £ - интенсивность белого шума.

Было показано, что при выполнении условий на частоту úJs и амплитуду As сигнала, на спектральную плотность Nmp входного шума, которые имеют вид

©i <Г, As <щаСЬГ, Ninp > Г(А,/щ)2, (8)

где Wq и cOq - точка устойчивого равновесия и частота собственных колебаний вблизи неё, уравнение (7) эквивалентно следующему кинетическому уравнению

8t 8t v 5 J8u 8u{ J ди) '

где /(и, l)du - вероятность обнаружить систему с напряжением в интервале (u,u + du) в момент времени t, в = £ / Г.

В отличие от известной теории [10], в которой учитывалась только первая производная по времени в левой части уравнения (9), здесь необходимо было учесть и вторую производную. Поскольку решение (9) в [11] искалось в виде ряда по определённым базисным функциям, то обобщение теории заключалось в определении коэффициентов данного ряда, которые подчинялись обыкновенным дифференциальным уравнениям уже не

первого, а второго порядка. Окончательные результаты обобщённой теории можно найти в работе [11] и в виду их громоздкости они здесь не приводятся.

Сравнение теории и эксперимента проводилось для электрической цепи, общая ВАХ /(ы) которой изображена на рис.3, с параметрами Я,, =1250.м, С = \5нФ, Ь-5.2мкГн. Этим параметрам соответствуют следующие значения фигурирующих в теории величин: а = 5-105с-1, Ь = 4Л06с~1В~2, со0 = 5-10®с"1 и щ =0.45. Заметим,

что в рабочей области напряжений и коэффициент трения Г ~ 2.4 -107 с 1 и практически постоянен (для и = 2и0 его значение увеличивается всего на 20%).

Была выбрана амплитуда сигнала Д, = 50мВ и рассмотрены его две частоты /,=10кГц и / =Ю0кГц. Оценки показали, что первые два

условия (8) выполнены, а третье условие нарушается при < 2 • 10 9 В2с. Для указанных параметров задачи результаты обобщенной теории [11] для отношения (Я/Ы)оШ в зависимости от представлены на рис.12

сплошными линиями для двух частот сигнала, а экспериментальные значения изображены на этом рисунке в виде точек. Расхождение теории и эксперимента при малых Ытр объясняется нарушением третьего условия (8).

Рис.12 16

Если для низкой частоты совпадение теории с экспериментом можно считать удовлетворительным, то для /3 ~ 100кГц между ними наблюдается заметное отличие, но с одинаковым качественным поведением. Данное отличие объясняется неприменимостью модели белого шума (время корреляции шума в 2-3 раза превышает характерное время задачи Г~1), а также слабой нелинейной зависимостью коэффициента трения Г(и).

В заключении к диссертации обсуждаются дальнейшие пути исследования процессов взаимодействия сигнала и шума в нелинейных системах и приводятся положения выносимые на защиту.

1. Применение электрических схем с двумя и большим числом туннельных диодов даёт возможность в широких пределах варьировать вольт-амперную характеристику системы диодов и соответствующий ей потенциал. Впервые исследованы системы, потенциал которых имеет три устойчивых положения равновесия. Установлено, что в случае двух одинаковых по высоте потенциальных барьеров наблюдается усиленный эффект стохастического резонанса, а в случае разных по высоте барьеров - двойной стохастический резонанс.

2. Проведённый эксперимент показал, что существующая теория линейного отклика на сигнал, в рамках которой объясняется эффект стохастического резонанса в бистабильных системах, справедлива только в области низких частот и амплитуд сигнала.

3. Классическое условие возникновения эффекта стохастического резонанса (совпадение частоты сигнала с частотой Крамерса) справедливо в нелинейных системах первого порядка и для небольших амплитуд сигнала. В нелинейных системах второго порядка указанное условие нарушается, так как стохастический резонанс реализуется в зависимости от величины амплитуды сигнала.

4. В электрических цепях первого и второго порядков с потенциалом критического вида впервые экспериментальным путём обнаружен эффект

стохастической фильтрации сигналов. Более яркое проявление эффекта стохастической фильтрации в цепи второго порядка по сравнению с эффектом в цепи первого порядка объясняется наличием на фазовой плоскости устойчивого предельного цикла, соответствующего самовозбуждающимся автоколебаниям в системе второго порядка. 5. Развитая теория линейного отклика на сигнал в системах второго порядка с постоянными и умеренными по величине коэффициентами затухания удовлетворительно описывает эффект стохастического резонанса для низких сигнальных частот и приводит только к качественному согласию в области высоких частот сигнала.

Основные результаты диссертации обсуждались на НТК МИРЭА, семинарах ИОФ РАН, физического факультета МГУ и опубликованы в следующих работах [11-18].

Результаты диссертации использованы при выполнении НИР Р-26 и Р-39 на кафедре ОРСТ Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета), в учебном процессе по дисциплине «Теория электрических цепей» кафедры ОРТЗИ Московского государственного технического университета гражданской авиации, а также в учебном процессе по дисциплинам «Идентификация и техническая диагностика» и «Управление эксплуатацией средств автоматизации создания ВВТ» на кафедре АСБУиЗНПРО Военной академии РВСН им. Петра Великого.

ЛИТЕРАТУРА

1. McNamara В., Wiesenfeld К., Roy R. Observation of stochastic resonance in a ring laser. Phys. Rev. Lett. 1988. v.60. №25. p.2626-2629.

2. Дыкман М.И. и др. Стохастический резонанс в пассивной полностью оптической системе. Письма в ЖЭТФ, 1991, т.53, вып.4, с.182-185

3. Benzi R., Sutera S., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance. J. Phys. A., 1981, v,14,№.ll, p.L453-L457.

4. Reshetnyak S.A., Kharchev S.M., Shelepin L.A. Asymptotic solutions in Landau theory for second order phase transitions. Proceedings of the Lebedev Physics Institute Academy of Sciences of the USSR, 1986, v.173, p.121-147.

5. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance. Rev. of Mod. Phys., 1998, v.70, №1, p.223-287.

6. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка. УФН, 1999, т.169, №1, с.7-38.

7. Карташов В.М., Решетняк С.А., Третьяков Т.Н., Щеглов В.А. Численное моделирование стохастического резонанса. Кр. сообщ. по физике. ФИАН, 2000, №9, с. 19-24.

8. Решетняк С.А., Третьяков Г.Н., Щеглов В.А. Аномальный коэффициент передачи отношения сигнал-шум при стохастическом резонансе. Кр. сообщ. по физике ФИАН, 2001, №5, с.12-17.

9. Hanggi P., Inchiosa М.Е., Fogliatti D., Bulsara A.R. Nonlinear stochastic resonance: The saga of anomalous output-input gain. Phys. Rev. E., 2000. v.62, №5, p.6155-6163.

10. Решетняк C.A., Щеглов В.А. О стохастическом резонансе с точки зрения фильтрующих свойств бистабильной системы. Квантовая электроника, 2003, т.ЗЗ, №2, с.142-148.

11. Домбровский А.Н., Котов А.Ф., Третьяков Г.Н., Решетняк С.А. О стохастическом резонансе на сопротивлении нагрузки в электрической

цепи с туннельным диодом. Сб. тр. 53-й НТК МИРЭА, часть 3, 2004, с.33-37.

12. Домбровский А.Н., Щеглов ВА., Решетняк С.А. К теории фильтрации сигналов в бистабильной колебательной системе с умеренной диссипацией. Квантовая электроника, т.35, №11, 2005, с.1033-1038.

13. Домбровский А.Н., Котов А.Ф., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. О характерных временах релаксации в проблеме стохастической фильтрации сигналов. Сб. тр. 54-й НТК МИРЭА, 2005, с.43-47.

14. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Стохастический резонанс и фильтрация сигналов в нелинейной электрической системе второго порядка. Радиотехника, №9,2007, с.19-25.

15. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Экпериментальная проверка теорий стохастического резонанса и фильтрации сигналов в электрической цепи с двумя туннельными диодами. Научный вестник МИРЭА, 2008, №2(3), с.21-28.

16. Домбровский А.Н., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. К вопросу о стохастической фильтрации сигналов в нелинейной системе второго порядка. Сб. тр. 57-й НТК МИРЭА, 2008, с.34-40.

17. Домбровский А.Н., Решетняк СЛ. Исследование стохастического резонанса в электрический схемах с несколькими туннельными диодами. Известия вузов. Радиофизика, 2008, т. LI, №9, с.1-11.

18. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. О стохастической фильтрации сигналов в нелинейных электрических системах. Радиотехника и электроника, 2009, т.54, №11, с.1369-1371.

Подписано в печать:

20.07.2010

Заказ № 3956 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВОДНАЯ ГЛАВ А.

1. Постановка задачи и цель диссертации.

2. Коэффициент передачи отношения сигнал-шум для линейной электрической системы.

3. О механизме взаимодействия сигнала и шума в нелинейной системе.

4. Стохастический резонанс в рамках теории линейного отклика на сигнал.

ГЛАВА 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИГНАЛА И ШУМА В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

1. Введение.

2. Схема нелинейной электрической цепи первого порядка.

3. Описание экспериментальной установки.

4. Сравнение экспериментальных результатов с теорией линейного отклика на сигнал.

5. Стохастический резонанс в симметричной системе с тремя устойчивыми положениями равновесия.

6. Система с несимметричной потенциальной функцией и тремя устойчивыми положениями равновесия.

7. Исследование взаимодействия сигнала и шума в симметричной системе с моностабильным потенциалом. Эффект стохастической фильтрации.

ГЛАВА II.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИГНАЛА И ШУМА В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1. Введение.

2. Схема исследуемой нелинейной электрической цепи второго порядка.

3. Стохастический резонанс в бистабильной системе со слабой нелинейностью коэффициента трения.

4. Стохастический резонанс в бистабильной системе с нелинейным коэффициентом трения.

5. Моностабильный потенциал критического вида. Эффект стохастической фильтрации.

ГЛАВА III.

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА НА СИГНАЛ В БИСТАБИЛЬНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ С УМЕРЕННОЙ ДИССИПАЦИЕЙ.

1. Введение.

2. Кинетическое уравнение для небольших коэффициентов трения.

3. Анализ кинетического уравнения для сигналов с малыми амплитудами.

4. Отношение сигнал-шум и его коэффициент передачи.

5.Сравнение теории с экспериментом.

ЗАКЛЮЧЕР1ИЕ.

Основные результаты диссертации обсуждались на научно-технических конференциях МИРЭА, на семинарах ИОФ РАН, на физическом факультете МГУ и опубликованы в работах [79-86].

В заключении считаю своим приятным долгом, выразить глубокую благодарность научному руководителю - профессору Решетняку С.А. за постановку задачи, постоянное руководство работой, помощь при подготовке эксперимента, обсуждение полученных результатов, ценные замечания, что в немалой степени способствовало успешному завершению поставленной работы, а так же сотрудникам МИРЭА - профессору Котову А.Ф. и доценту Королёву А.Н. за полезные обсуждения результатов работы и сделанные критические замечания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённое в диссертации исследование показало, что электрические цепи с несколькими туннельными диодами являются весьма удобным инструментом для анализа процессов взаимодействия сигнала и шума в нелинейных системах. Эти простые и компактные цепи не требуют использования интеграторов, умножителей сигнала и других громоздких аналоговых устройств, которые применяются для моделирования стохастических дифференциальных уравнений, лежащих в основе анализа исследуемых процессов.

Взаимодействие сигнала и шума удобно анализировать, а также классифицировать с помощью определённой потенциальной функции тесно связанной с экспериментально измеряемой ВАХ системы нелинейных элементов. В электрических схемах на рис. 1.2 и 2.4 нелинейные элементы TD1 и TD2 можно рассматривать, как элементы состоящие из нескольких туннельных диодов. В случае одинаковых TD1 и TD2 потенциал W(u) является чётной функцией переменной и, поэтому нелинейную систему можно назвать симметричной и несимметричной в случае разных TD1 и TD2. Путём соответствующего подбора числа туннельных диодов, определяющих нелинейные элементы TD1 и TD2, а также напряжения смещения и сопротивления нагрузки можно в широких пределах варьировать потенциалы W(u) и проводить исследования в нелинейных системах различного типа.

Так, использование симметричной электрической схемы первого порядка с двумя туннельными диодами позволило установить границы применимости линейной теории [27,38] отклика бистабильной системы на сигнал. Экспериментальное исследование системы с бистабильным потенциалом показало, что классическое условие возникновения эффекта CP, когда частота Крамерса совпадает с частотой сигнала, справедливо только в нелинейных системах первого порядка и для малых амплитуд сигнала As. С ростом As данный эффект может исчезнуть либо появится на другой частоте сигнала. Это является следствием сложности нелинейного механизма взаимодействия сигнала и шума. Для его объяснения существующих на сегодняшний день теорий недостаточно.

В случае симметричной электрической цепи первого порядка с моностабильным потенциалом критического вида результаты эксперимента хорошо согласуются с данными [24] её численного моделирования и подтверждают наличие эффекта СФ, при котором S/N на выходе цепи превышает S/N на ее входе. Поскольку рассматриваемые системы являются открытыми, то эффект СФ не противоречит второму началу термодинамики. Он объясняется падением спектральной плотности выходного шума на частоте сигнала с ростом его амплитуды и, так как все остальные параметры системы остаются при этом постоянными, то является следствием только нелинейного взаимодействия сигнала и шума. Присутствующий в цепи источник постоянного напряжения формирует определённого вида потенциал взаимодействия, т.е. его роль в проявлении эффекта СФ является опосредованной.

Использование электрических цепей первого порядка с числом туннельных диодов больше двух впервые позволило обнаружить эффект СР и его исследовать в случае симметричного трёхямного потенциала. Экспериментально наблюдаемый локальный максимум отношения S/N в зависимости от входной интенсивности шума является более пологим по сравнению со случаем двухямного потенциала. При этом эффект СР возникает даже для времени корреляции входного шума, большего динамического времени релаксации системы. В случае несимметричного трёхямного потенциала впервые был обнаружен двойной СР, обусловленный наличием потенциальных барьеров разной высоты.

Исследование симметричной электрической цепи второго порядка с моностабильным потенциалом критического вида также указывает на существование эффекта СФ, при котором коэффициенты передачи отношения S / N более высоки по сравнению с аналогичным эффектом в цепи первого порядка. Его более яркое проявление в данной цепи связано с тем, что цепь при отсутствии внешних воздействий обладает устойчивым предельным циклом, который соответствует самовозбуждающимся автоколебаниям, возникающим из-за отрицательности коэффициента трения вблизи дна потенциальной ямы. Указанный эффект наиболее ярко проявляется при условии близости частоты сигнала и частоты автоколебаний системы. В теории неравновесных фазовых переходов [31-35] устойчивые предельные циклы называются аттракторами. Путём соответствующего подбора параметров электрической цепи явление СФ может реализоваться при разных входных отношениях 5 / N.

Таким образом, в диссертации приведены реальные электрические схемы, в которых возникает эффект СФ, т.е. осуществляется стохастическая фильтрация сигналов. Данные схемы могут служить основой для построения других совершенных нелинейных систем с точки зрения получения высоких коэффициентов передачи отношения Для их построения необходимы более детальные исследования механизма возникновения СФ и, в первую очередь, теоретические исследования, основанные на анализе уравнений типа Фокера-Планка для плотности вероятности процесса. Вполне возможно, что высокие коэффициенты передачи могут быть получены при рассмотрении нескольких связанных нелинейных систем. Существование эффекта СР в связанных нелинейных системах экспериментально доказано в работе [75]. В [76] найден отклик на сигнал цепочки связанных бистабильных элементов с учётом воздействия на неё шума, который существенно превосходит отклик одного элемента. В результате теоретического исследования [77] сделан вывод, что пространственная селективная связь между нелинейными элементами усиливает эффект СР. Такой же вывод сделан в случае системы связанных пороговых элементов типа триггеров в [78], т.е. предпосылки для решения проблемы стохастической фильтрации сигналов в этом направлении имеются.

Ниже приводятся положения, выносимые на защиту диссертации:

1. Применение электрических схем с двумя и большим числом туннельных диодов даёт возможность в широких пределах варьировать вольт-амперную характеристику системы диодов и соответствующий ей потенциал. Впервые исследованы системы, потенциал которых имеет три устойчивых положения равновесия. Установлено, что в случае двух одинаковых по высоте потенциальных барьеров наблюдается усиленный эффект стохастического резонанса, а в случае разных по высоте барьеров — двойной стохастический резонанс.

2. Проведённый эксперимент показал, что существующая теория линейного отклика на сигнал, в рамках которой объясняется эффект стохастического резонанса в бистабильных системах, справедлива только в области низких частот и амплитуд сигнала.

3. Классическое условие возникновения эффекта стохастического резонанса (совпадение частоты сигнала с частотой Крамерса) справедливо в нелинейных системах первого порядка и для небольших амплитуд сигнала. В нелинейных системах второго порядка указанное условие нарушается, так как стохастический резонанс реализуется в зависимости от величины амплитуды сигнала.

4. В электрических цепях первого и второго порядков с потенциалом критического вида впервые экспериментальным путём обнаружен эффект стохастической фильтрации сигналов. Более яркое проявление эффекта стохастической фильтрации в цепи второго порядка по сравнению с эффектом в цепи первого порядка объясняется наличием на фазовой плоскости устойчивого предельного цикла, соответствующего самовозбуждающимся автоколебаниям в системе второго порядка.

5. Развитая теория линейного отклика на сигнал в системах второго порядка с постоянными и умеренными по величине коэффициентами затухания удовлетворительно описывает эффект стохастического резонанса для низких сигнальных частот и приводит только к качественному согласию в области высоких частот сигнала.

1. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. - М.: Наука, 1976, 494с.

2. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1961, 558с.

3. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. — М.: Наука, 1982, 608с.

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989, 656с.

5. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. -М.: Наука, 1981, 640с.

6. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный приём сигналов. -М.: Сов. радио, 1975, 704с.

7. Робинсон Ф.Н.Х. Шумы и флуктуации в электронных схемах и цепях. — М.: Атомиздат, 1980, 255с.

8. Справочник по радиолокации. Под ред. М. Скольника Том1. М.: Сов. радио, 1976, 455с.

9. McNamara В., Wiesenfeld К., Roy R. Observation of stochastic resonance in a ring laser. Phys. Rev. Lett. 1988. v.60. №25. p.2626-2629.

10. Дыкман М.И. и др. Стохастический резонанс в пассивной полностью оптической системе. Письма в ЖЭТФ, 1991, т.53, вып.4, с. 182-185

11. Benzi R., Sutera S., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance. J. Phys. A., 1981, v. 14, №. 11, p.L453-L457.

12. Reshetnyak S.A., Kharchev S.M., Shelepin L.A. Asymptotic solutions in Landau theory for second order phase transitions. Proceedings of the Lebedev Physics Institute Academy of Sciences of the USSR, 1986, v. 173, p. 121-147.

13. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance. Rev. of Mod. Phys., 1998, v.70, №1, p.223-287.

14. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер J1. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка. УФН, 1999, т. 169, №1, с.7-38.

15. Климонтович Ю.Л. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс. УФН, т. 169, №1, с.39-47.

16. Langevin P. Recombinaison et mobilités des ion dans les gas; Chapitre3. La Recombinaison des ions. Ann. Chim. Phys., 1903, v.28, p.433-530.

17. Chandrasekhar S. Stochastik Problems in Physics and Astronomy. Rev. Mod. Phys., 1943, v.15, No.l, p. 1-89.

18. Лебедев В.Л. Случайные процессы в электрических и механических системах. М.: Физматгиз, 1958, 352с.

19. Обрезков Г.В., Разевиг В.Д. Методы анализа срыва слежения. М.: Сов. радио, 1972,240с.

20. Обрезков Г.В., Первачев C.B. Срыв слежения в системе с астатизмом второго порядка. Автоматика и телемеханика, 1966, т.З, с.48-54.

21. Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. О вероятности срыва слежения в системе с фильтром второго порядка. Радиотехника и электроника, 1980, т.25, №11, с.2301-2308.

22. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions. Physica (The Hague), 1940, v.7, p.284-304.

23. Понтрягин Л., Андронов А., Витт А. О стохастическом рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ, 1933, т.З, вып.4, с.168-180.

24. Hanggi P., Inchiosa М.Е., Fogliatti D., Bulsara A.R. Nonlinear stochastic resonance: The saga of anomalous output-input gain. Phys. Rev. E., 2000. v.62, №5, p.6155-6163.

25. Карташов B.M., Решетняк C.A., Третьяков Г.Н., Щеглов В.А. Численное моделирование стохастического резонанса. Кр. сообщ. по физике. ФИАН, 2000, №9, с. 19-24.

26. Решетняк С.А., Третьяков Г.Н., Щеглов В.А. Аномальный коэффициент передачи отношения сигнал-шум при стохастическом резонансе. Кр. сообщ. по физике ФИАН, 2001, №5, с. 12-17.

27. Решетняк С.А., Щеглов В.А. О стохастическом резонансе с точки зрения фильтрующих свойств бистабильной системы. Квантовая электроника, 2003, т.ЗЗ, №2, с.142-148.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976, ч.1, 584с.

29. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощение звука вблизи точек фазового перехода второго рода. ДАН СССР, 1954, т.96, с.469-472.

30. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматиз, 1958, 408с.

31. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980, 404с.

32. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979,512с.

33. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов в плазме. М.: Наука, 1980, 373с.

34. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. -М.: Наука, 1977, 552с.

35. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.: Мир, 1973, 280с.

36. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М.: Наука, 1985, 478с.

37. Белоусов А.П., Каменецкий Ю.А. Коэффициент шума. М.: Радио и связь, 1981, 111с.

38. Risken Н. The Fokker-Plank equation. Berlin, Springer—Verlag, 1984, 454p.

39. Hu G., Haken H., Ning C.Z. A study of stochastic resonance without adiabatic approximation. Phys. Lett. A, 1992, v. 172, №1,2, p.21-28.

40. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974, 431с.

41. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979,399с.

42. Решетняк С.А., Харчёв С.М. Асимптотические методы в теории линейных кинетических уравнений. ТМФ, 1981, т.49, № 1, с. 131 -139.

43. Решетняк С.А., Шелепин JI.A. Квазистационарные распределения в кинетике. -М.: ИПО «Автор», 1996, 295с.

44. Карташов В.М., Котов А.Ф., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. Обобщённая частота Крамерса для бистабильных систем. Сб. тр. 49-НТК МИРЭА, 2000, с.52-57.

45. Fauve S., Heslot F. Stochastic resonance in a bistable system. Phys. Lett. A, 1983, v.97, №1-2, p.5-7.

46. Melnikov V.I. Schmitt trigger: A solvable model of stochastic resonance. Phys. Rev. E, 1993, v.48, №4, p.2481-2489.

47. Smythe J., Moss F., McClintock P.V.E. Observation of a Noise-Induced Phase Transition with an Analog Simulator. Phys. Rev. Lett., 1983, v.51, №12, p. 10621065.

48. Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Pochini M., Santucci S. Analog simulation of underdamped stochastic systems driven by colored noise: Spectral densities. Phys. Rev. A, 1988, v.37, №8, p.3058-3066.

49. Debnath G., Zhou Т., Moss F. Remarks on stochastic resonance. Phys. Rev. A, 1989, v.39, №8, p.4323-4326.

50. Dykman M.I., Luchinsky D.G., McClintock P.V.E., Stein N.D. Stochastic resonance for periodically modulated noise intensity. Phys. Rev. A, 1992, v.46, №4, p.R1713-R1716.

51. Регельсон Л.М., Кузнецов A.B., Пятибратов А.П. Импульсная техника.- М.: Изд. МГУ, 1967, 480с.

52. Mantegna R.N., Spagnolo В. Stochastic resonance in a tunnel diode. Phys. Rev. E, 1994, v.49, №3, p.R1792-R1795.

53. Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise Enhanced Stability in a Unstable System. Phys. Rev. Lett., 1996, v.16, №4, p.563.

54. Mantegna R.N., Spagnolo В., Trapanese M. Linear and nonlinear experimental regimes of stochastic resonance. Phys. Rev. E, 2000, v.63, №1, p. 1-8.

55. Карташов B.M., Котов А.Ф., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. К вопросу выделения слабого сигнала на фоне помех. Сб. тр. 48-НТК МИРЭА, 1999, с.14-17.

56. Карташов В.М., Котов А.Ф., Решетняк С.А., Филимонов Ю.С. Исследование стохастического резонанса в электрической цепи с туннельным диодом. Письма ЖТФ, 2000, т.26, вып.5, с.67-75.

57. Степаненко И.П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем М.: Энергия, 1977, 671 с.

58. Нефёдов В.И. Основы радиоэлектроники. — М.: Высшая школа, 2000, 399с.

59. Гинзбург С.А., Пустовойт М.А., Геращенко О.В. Подавление шума динамической системы внешним шумом и периодическим сигналом. Письма ЖЭТФ, 2001, т.73, № 11-12, с.672-676.

60. Gingl Z., Makra P., Vajtai R. High signal-to-noise ratio gain by stochastic rezo-nanse in a double well. Fluctuation fnd Noise Lett., 2001,v.l, No.3,p. L181-L188.

61. Makra P., Gingl Z., Kish L.B. Signal-to-noise ratio gain in non-dinamical and di-namical bistable stochastic resonator. Fluctuation and Noise Lett., 2002, v.2, No.3, p. L147-L155.

62. Makra P., Gingl Z., Fulei T. Signal-to-noise ratio gain in stochastic resonators driven by coloured noises. Fhys. Lett., 2003, v.317, No.3-4, p. L228-L232.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.-М.: Наука, 1965, 203 с.

64. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы,- М.: Наука, 1983, 172с.

65. Stocks N.G., Stein N.D., Мс Clintock P.V.E. Stochastic resonance in monostable systems. J.Phys. A.,1993,v. 26, No.7, p. L385-L390.

66. Dykman M.T., Luchinsky D.G., Mannella R., Mc Clintock P.V.E. , Stein N.D., Stocks N.G. Nonconventional Stochastic Resonance. J.Phys. A.,1993,v. 70, No. 1-2, p. L479-L499.

67. Kaufman R., Luchinsky D.G., Mc Clintock P.V.E., Soskin S.M. , Stein N.D. High-frequency stochastic resonance in SQUIDs. Phys. Lett. A, 1996, v.220, No.4-5, p. L219-L221.

68. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Santucci S. Stochastic Re-sonanse in Bistable Systems. Phys. Rev. Lett., 1989, v. 62, No.4, p. 349-352.

69. Gammaitoni L., Menichella-Saetta E., Santucci S, Marchesoni F., Presilla C. Periodically time-modulated bistable systems: . Stochastic Resonanse. Phys. Rev. A., 1989, v. 40, No.4, p. 2114-2119.

70. Hanggi P., Jung P., Zebre C., Moss F. Can colored noise improve stochastic resonance? J. Stat. Phys., 1993, No. 1-2, p.25-47.

71. Alfonsi L., Gammaitoni L., Santucci S., Bulsaga A.R. Intrawell stochastic resonance versus interwell stochastic resonanct on underdamped bistable systems. Phys. Rev. E., 2000, v. 62, No. 1, p.299-302.

72. Jung P., Hanggi P. Resonantly driven Brownian motion Basic concepts and exact results. Phys. Rev. A., 1990, v. 41, No. 6, p. 2977-2988.

73. Kang Y.M., Xu J.X., Xie Y. Observing stochastic resonance in an underdamped bistable Duffing oscillator by the method of moments. Phys. Rev. E., 2003, v. 68, No. 3,p. 036123-1 036123-8.

74. Zhang Xue-Juan. Stochastic resonance in second-order autonomous systems subjected only to white noise. J. Phys. A., 2001, v. 34, No.49, p. 10859-10868.

75. Rowe A.C.H., Etchegoin P. Experimental observation of stochastic resonance in a linear electronic array. Phys. Rev. E, 2001, v.64, №3, p.031106(4).

76. Решетняк C.A. Усиленный отклик на сигнал в ансамбле взаимодействующих бистабильных элементов. ЖТФ, 2000, т.70, вып.З, с. 1-5.

77. Von Haeften В., Deza R., Vlio H.S. Enhancement of stochastic resonance in distributed system due to a selective coupling. Phys. Rev. Lett, 2000, v.84, №3, p.404-407.

78. Krawiecki A., Sukienncki A., Kosinski R.A. Stochastic resonance and noise-enhanced order with spatiotemporal periodic signal. Phys. Rev. E, 2000, v.62, №6, p.7683-7689.

79. Домбровский A.H., Щеглов B.A., Решетняк C.A. К теории фильтрации сигналов в бистабильной колебательной системе с умеренной диссипацией. Квантовая электроника, т.35, №11, 2005. р.1033-1038.

80. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Стохастический резонанс и фильтрация сигналов в нелинейной электрической системе второго порядка. Радиотехника, №9, 2007. р. 19-25.

81. Домбровский А.Н., Котов А.Ф., Третьяков Г.Н., Решетняк С.А. О стохастическом резонансе на сопротивлении нагрузки в электрической цепи,с туннельным диодом. Сборник трудов 53-й НТК МИРЭА, часть 3 М., 2004. р.33-37.

82. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Стохастический резонанс и фильтрация сигналов в нелинейной электрической системе второго порядка. Радиотехника, №9, 2007, с. 19-25.

83. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Экпериментальная проверка теорий стохастического резонанса и фильтрации сигналов в электрической цепи с двумя туннельными диодами. Научный вестник МИРЭА, 2008, №2(3), с.21-28.

84. Домбровский А.Н., Решетняк С.А., Третьяков Г.Н. К вопросу о стохастической фильтрации сигналов в нелинейной системе второго порядка. Сб. тр. 57-й НТК МИРЭА, 2008, с.34-40.

85. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. Исследование стохастического резонанса в электрический схемах с несколькими туннельными диодами. Известия вузов. Радиофизика, 2008, т. LI, №9, с. 1-11.

86. Домбровский А.Н., Решетняк С.А. О стохастической фильтрации сигналов в нелинейных электрических системах. Радиотехника и электроника, 2009, т.54, №11, с.1369-1371.