автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Сравнительный анализ методов пространственной интерполяции на основе Чернобыльских выпадений

РГ6 од

- 1 ЯНВ 1996

На правах рукописи

САВЕЛЬЕВА-ТРОФИМОВА Елена Александровна

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

МЕТОДОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ НА ОСНОВЕ ЧЕРНОБЫЛЬСКИХ ВЫПАДЕНИЙ

Специальность: 05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (ядерная энергетика, защита окружающей среды и населения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва — 1995 г.

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской Академии Наук

Научные руководители: - доктор физико-математических на}

проф. Болыпов Л.А.

- кандидат физико-математических I Каневский М.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических на>

Трощиев В.Е.

кандидат физико-математических и Мелихова Е.М.

Ведущая организация — Радиевый институт им.В.Г.Хлопина

часов на засе-

Защита состоится 199{Г г. в//

дании .Диссертационного Совета Д.200.43.01 при Институте проблем безопасного развития атомной энергетики РАН по адресу: 113191, Москва, Б.Тульская ул., 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИБРАЭ РАН. Автореферат разослан "1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Калантаров В.Е.

Актуальность темы диссертации

Современные информационные технологии, такие как компьютерные модели (КМ) с дружественным интерфейсом, Географические Информационные системы (ГИС), системы поддержки и принятия решений, экспертные системы и другие обеспечивают мощные средства для анализа экологических проектов, моделирования окружающей среды, подготовки и представления результатов для последующего принятия решений. Одной из важнейших частей экологического моделирования (моделирования окружающей среды), является анализ пространственно распределенных и зависящих от времени данных. Различные исходные данные (с различной корреляционной структурой, собранные на различных по однородности сетях мониторинга, с различными статистическими характеристиками) требуют использования разнообразных математических методов, выбор которых зависит от предварительного анализа исходных данных и конечных целей исследования. Использование плохо подобранного метода может привести к существенным ошибкам анализа и, как следствие, к принятию неправильного решения.

Существует огромное количество методов пространственной интерполяции, каждый из которых имеет свои преимущества и свои недостатки. Неоднократно делались попытки сравнения различных методов интерполяции с использованием, как правило искусственных исходных данных и разных критериев оценки. Существенно, что в результате сравнения лучшими признавались разные методы. Выбор метода существенно зависит от количества и качества исходных данных, а также целей анализа: глобальные оценки, карты принятия решений, сравнение результатов моделирования и измерений и т.п.

Актуальность диссертационной работы определяется тем, что к настоящему времени собран, систематизирован и оформлен в виде баз данных обширный материал по последствиям Чернобыльской аварии. Опубликовано большое количество карт, как у нас в стране, так и за рубежом. Однако анализ представительности данных и сети мониторинга, пространственной корреляционной структуры выпадений, кросс-валидация методов, с помощью которых обрабатываются данные и готовятся карты, не проводились. Одна из причин такого положения — масштабы экологической катастрофы, сложность и пятнистость радиоактивного загрязнения на разных масштабах (10 4-106 м).

Ряд фундаментальных современных достижений геостатистики й теории фракталов позволяют разработать новую методологию анализа, обработки и представления данных экологического мониторинга, имеющих сложную пространственную структуру.

Использование для сравнения реальных данных по Чернобыльским выпадениям, имеющихся на различных масштабах от метров (отдельные населенные пункты) до десятков и сотен километров (региональные масштабы) дает возможность изучения пригодности различных методов для разномасштабных данных. Обилие данных позволяет выбирать для сравнения работы различных методов данные с различными корреляционными структурами, различными по однородности сетями мониторинга, и в результате выработать рекомендации по проведению анализа.

Комплекс работ по разработке методологии и анализу данных радиоэкологического мониторинга, кросс-валидация традиционных и геостатистических методов, фрактальное моделирование с использованием реальных радиоэкологических данных проводится впервые.

Цель работы

Основная цель диссертационной работы состояла в

1. проведении последовательного геостатистического анализа реальных данных по радиоактивному загрязнению поверхности;

2. проведении сравнительного анализа методов пространственной интерполяции на реальных данных, имеющих различные статистические и корреляционные характеристики;

3. разработке новых методов и алгоритмов анализа пространственно распределенных данных, базирующихся на фрактальной теории;

4. компьютерной реализации ряда традиционных и геостатистических методов пространственной интерполяции.

Достоверность полученных результатов базируется на корректном использовании алгоритмов и предварительном тестировании программных продуктов.

Научная новизна

1. В работе впервые приведены примеры последовательного геостатистического анализа реальных данных Чернобыльских выпадений.

2. Проведен фрактальный анализ сети радиоэкологического мониторинга.

3. Проведена кросс-валидация традиционных и геостатистических методов с использованием реальных радиоэкологических данных на масштабах от десятков метров до сотен километров.

4. Разработан новый алгоритм фрактального моделирования мелкомасштабной структуры для произвольных пространственно распределенных данных.

Практическая ценность работы

Разработанная методология анализа, обработки и представления фостранственно распределенных данных может быть использована 1ля любых пространственно распределенных экологических данных. Методология может быть использована, как полностью, так и любая »тдельно взятая часть,например: анализ сети мониторинга, или пространственный структурный анализ, или подбор параметров метода штерполяции.

Полученные при проведении кросс-валидации методов рекомендации могут быть использованы для анализа произвольных данных.

Разработанные алгоритмы и математическое обеспечение являют-:я основой нового поколения пространственных интегрированных систем для поддержки принятия решений.

Работа является разделом гранта РФФИ N94-02-03832-a "Комплекс фундаментальных исследований по анализу тяжелых аварий на АЭС 1ля окружающей среды и человека".

Разработанная методология и программное обеспечение являют-:я частью международного проекта INTAS "Soil polluttion: cartography, isks, decision support systems".

Защищаемые положения

1. Методологию проведения анализа пространственно распределенных данных радиоэкологического мониторинга.

2. Проведение анализа кластерности (неоднородности) сети радиоэкологического мониторинга с помощью вычисления фрактальной размерности и анализа ячеек Лирихле.

3. Последовательный геостатистический анализ Чернобыльских выпадений, включающий: статистический и корреляционный анализ данных, кросс-валидацию и сравнение методов пространственной интерполяции, используя различные способы представления относительных ошибок, вычисление и анализ глобальных параметров метода, анализ ошибок на независимость и нормальное распределение, представление карт результатов и к ним карт ошибок.

4. Новый метод стохастического моделирования данных: последовательный условный фрактальный генератор мелкомасштабной структуры.

Апробация работы

Материалы диссертации обсуждались на семинарах лаборатории Системных исследований Института проблем Безопасного Развития Атомной Энергетики и докладывались на следующих конференциях:

1. 4 ежегодная международная научно-техническая конференция Ядер ного общества (Нижний Новгород, Россия, 1993).

2. Международный симпозиум по очищению и восстановлению ра-диоактивнозагрязненных областей в Европе (Антверпен, Бельгия, 1993).

3. СОМЕТТ семинар "Геостатистика и загрязнение окружающей среды" (Рим, Италия, март 1994).

4. Ежегодная конференция международного общества по математической геологии (Мон Тремблан, Квебек, Канада, октябрь, 1994).

Публикации

б

По теме диссертации опубликовано 9 научных работ — 7 статей и I тезиса докладов.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключе-1ия, трех приложений и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и формулируются основные цели работы.

Первая глава посвящена обзору литературы по теории и прак-:ическому использованию методов пространственной интерполяции. 1оказано широкое распространение геостатистических методов в раз-1ичных областях (от рудного дела до анализа синдрома случайных 1етских смертей).

Обзор теории представляет собой подробное описание использу-эщихся в настоящее время методов пространственной интерполяции, ;оторые можно разбить на следующие классы.

1. Традиционные методы пространственной интерполяции, детерминистические методы. При использовании этих методов предполагается, что анализируемые данные представляют собой значения некоторой детерминистической функции, которую и требуется найти, чтобы знать значения на всей исследуемой области.

2. Геостатистические методы отличаются тем, что рассматривают поле данных, как реализацию некоторого случайного процесса, что позволяет использовать при оценке статистические характеристики процесса. Геостатистические методы имеют разработанную методику анализа корреляционной структуры данных и ее включения в модель оценки. Геостатистические методы обеспечивают кроме оцененного значения оценку ошибки интерполяции.

3. Методы стохастического и фрактального моделирования. Эти методы получили в последнее время большое теоретическое развитие, но пока мало используются на практике для анализа данных. Моделирование отличается от других методов анализа тем, что предоставляет не единственную модель числовых результатов, а альтернативный набор моделей с одинаковыми глобаль-

ными статистическими характеристиками. Это позволяет проводить анализ на пространственную неопределенность.

Многие методы стохастического моделирования, разрабатывались геостатистиками и опираются на принципы геостатистики. Эти методы используют некоторые типы геостатистической оценки (например индикаторный кригинг, модель ковариации), как средство для определения статистического распределения данных или их корреляционной структуры.

Фрактальное моделирование базируется на новой фрактальной геометрии, характеризующей объект по степени его детерминистического или статистического самоподобия.

Во второй главе представлена методология и проведен последовательный геостатистический анализ для 3 различных областей (г.Чернобыль, Гомельская обл., ФРГ) подвергнувшихся загрязнению в результате Чернобыльской аварии. Данные по загрязнению взяты из Центрального Банка Данных ИБРАЭ и REM BANKa (Испра, Италия). Эти данные собраны на различных пространственных масштабах и обладают различной корреляционной структурой.

Анализ проведен в соответствии с выработанной методологией и может быть разбит на следующие подпункты:

1. Анализ сети мониторинга. Анализ сети является важной частью анализа, так как все интерполяционные методы зависят от расположения исходных точек вокруг оцениваемой. Описаны два способа выявления особенностей сети (кластерных образований и разреженностей) — вычисление фрактальной размерности сети мониторинга и гистограмма площадей областей влияния точек сети (площадей ячеек Дирихле). Оба метода позволяют выявить наличие особенностей (фрактальная размерность меньше 2, несколько пиков или длинные хвосты у гистограммы площадей полигонов), но только гистограмма дает возможность определить характер особенности (кластерное образование или разреженность). Оба метода показывают относительно хорошую однородность сети мониторинга ФРГ и наличие особенностей (кластеры) в сети Гомельской области и Греции.

2. Исследование возможности улучшения представительности данных с помощью декластеризации, модификации сети мониторинга. В работе проведено два вида декластеризации — ячеечная

(на область натягивается регулярная прямоугольная сетка, и из каждой ячейки случайным образом выбирается одна точка) и по Журнелю (тоже натягивается сетка, но в каждой ячейке все точки берутся с весовым коэффициентом обратно-пропорциональным числу точек в ячейке). Последний метод позволяет выбрать наилучшее число ячеек декластеризации. Это осуществляется с помощью вычисления среднего для различных сеток — наилучшее число ячеек декластеризации соответствует минимальному значению среднего.

На примере сети мониторинга Греции показано, что после декластеризации по 100 ячейкам (а декластеризация Журнеля дает оптимальное число ячеек 176) фрактальная размерность возросла с 0.92 (сеть со всеми исходными точками) до 1.53. Улучшение характеристик сети при декластеризации Греции показывает и метод анализа сети с помощью полигонов Лирихле (рис. 1).

Площади областей влияния

Греция, csl37, REM BANK

1£] «а

120 ЬЮО

I во

5 во i

20

о

Рис. 1: Гистограммы площадей ячеек Дирихле для Греции

» ШС» ГПчИй fcrs8 я-век й»И. 1QQ »4 BCW fl»».

В 625 ячее« д»я. Y//A 300 «"век ае*. 1£00 ае*.

. Статистический анализ исходных данных. Целью этого анализа является определение функции распределения исходных данных. Некоторые методы требуют нормальности распределения дан-

ных. Лля проверки соответствия нормальному распределению используются такие характеристики, как асимметричность, характеризующая степень искажения данных относительно оси симметрии, проходящей через среднее и эксцесс, являющийся основной характеристикой, определяющей степень соответствия данных нормальному распределению (чем ближе эксцесс к 0, тем лучше данные ложатся на кривую нормального распределения). В работе проведен статистический анализ и представлены его результаты.

4. Структурный анализ данных проводится с помощью полувари-ограммы,

1 ЩЬ)

* + Л) = ШЩ ? " 2(Х* + Л)}2'

где Л — вектор, разделяющий пары точек, а ЛГ(Л) — число пар точек, разделенных вектором Л. Вычисление значений полува-риограмм для различных Л и их представление в виде графика позволяют делать выводы о характере пространственной корреляции данных.

Например, по полувариограмме для Гомельской области (рис. 2) видно, что данные явно скоррелированы до расстояния 80км, а дальше могут считаться некоррелированными.

Проведен также анализ изотропности корреляционной структуры данных (рис. 3). Видно, что для ФРГ до расстояния 200 км корреляция может считаться изотропной, а на больших расстояниях наблюдается явная анизотропия. Построены математические модели пространственной корреляционной структуры.

После предварительного анализа данных проводится кросс-вали-дация методов. Из базы данных изымается точка и оценивается значения в ней с использованием всех остальных точек. Эта процедура повторяется для всех точек базы данных. Проведение кросс-валида-ции позволяет вычислять значения ошибок оценки, сравнивать методы по степени совпадения оценок известным значениям, проводить анализ ошибок на независимость и нормальность распределения. Кросс-валидация проводилась для некоторых методов из описанных в первой главе — линейный интерполятор с весовыми коэффициентами об-

Полу-вариограммы Гомельская обл, «3137, ИАЦ БАНК

■ И" »чепвримрмт, ва~, ■■ ♦ ■ сферическая мод»пь

Рис. 2: Полу-вариограмма Гомельской области

Полу-вариограммы ФРГ, сз137, ИЕМ ВАЖ

О | < ........... 1 } .... *-1

а 100 200 ЗОО "»00 500 600

Ь(~и)

—о гоааусо« —90 граадсо« 1

Рис. 3: Полувариограммы для ФРГ по взаимно-перпендикулярным

направлениям

ратно-пропорциональными квадрату расстояний между точками, метод мультиквадратичных уравнений, обычный кригинг с различными входными параметрами методов (радиус поиска, число учитываемых соседних точек). В работе показано, как влияют параметры оценки на результат. Примером могут служить Гомельская область и ФРГ. Для Гомельской области при больших значениях радиуса поиска оценки стремятся сравняться со средним значением (см. рис. 4,5).

Метод обратных квадратов (рлоиска= 20) Гомельская область

\ |

| | -------------

\ >.

...................-.......¡ь . | • ; . | | ■ 1 ■ 7 -

а --------------

Рис. 4: Результат кросс-валидации, Гомельская обл., метод обратных квадратов, радиус поиска 20км

Сопоставление с вариограммой (рис. 2) для этого региона, позволяет заметить, что такое поведение оценки появляется, когда радиус поиска превосходит радиус корреляции, полученный при анализе корреляционной структуры. Для ФРГ подобного поведения оценок нет (рис. 6), а у вариограммы (рис. 3) нет радиуса корреляции. Таким образом для выбора оптимальных параметров этих методов очень важно предварительно провести корреляционный анализ.

Для выбранных данных была проведена интерполяция на регулярную прямоугольную сетку. Основной целью этих вычислений было показать, что получаются совершенно различные результаты (рис. 7,8) Эти результаты сложно сравнивать между собой, если не были про-

Рис. 5: Результат кросс-валидации, Гомельская обл., метод обратных квадратов, радиус поиска 200км

Метод обратных

15 10

35

к

Но

т щ

525 «

>20

пгав (рл.=400км)

1 ! | ¿у/

............: .........1............

1 I- -ЦТ* •

] * • I •1/1 - •

• * 1 г 1 1

• * \ * ! Г

- * « • *

! \

■ !

15 20 25 30 измерен*«» значения

35 40

Рис. 6: Результат кросс-валидащш, ФРГ, метод обратных квадратов, радиус поиска 400км

ведены анализ данных и кросс-валидация методов, можно определить разве что: какой метод дает большее число оценок превышающих оценки другого, в каких областях это происходит и т.п.. Такие оценки конечно полезны, но не позволяют сделать вывод, какой из методов дает более достоверную оценку.

Рис. 7: Гомельская обл., интерполяция на регулярную сетку, обычный

кригинг

После окончательного выбора метода и его параметров можно строить карту для принятия решения. Представление результатов должно содержать ожидаемую ошибку интерполяции.

Третья глава посвящена описанию последовательного условного фрактального генератора мелкомасштабной структуры выпадений.

Любую процедуру моделирования можно разбить на два этапа:

1. Моделирование новой сети мониторинга.

2. Моделирование значений в новых точках.

При моделировании новой сети ставились два условия: использовать, как входные данные набор произвольно распределенных по поверхности точек; при моделировании новых точек устранять кластер-

ные образования и делать ее более однородной. Для реализации первого условия построение начинается с триангуляции Делоне, которая возможна для любого нерегулярного набора данных. Для реализации второго условия вычисляется предел допустимого расстояния между точками не принадлежащими кластеру — это расстояние, которое было бы между точками, если бы они были распределены равномерно по изучаемой области. Далее проводится анализ всех построенных на первом шаге треугольников. Все треугольники, у которых все длины :торон не меньше критического расстояния, порождают новую точку :ети.

Для иллюстрации работы генератора выбрана Юго-Восточная часть ФРГ, самая загрязненная и с самым нерегулярным распределением точек область этой страны. Выполнено 3 шага генерации точек и троведен анализ сетей после каждого из них. На рис. 9 представлены гистограммы площадей полигонов для всех сетей. По нему хорошо зидно, как с каждым шагом генерации, гистограмма становится уже.

Процесс генерации сети не связан ни с каким конкретным методом тространственной интерполяции. Для полученной сети по Юго-Вос-сочной части ФРГ были рассчитаны значения с помощью различных штерполяционных методов. Это тоже можно считать генератором, ю только он не является ни последовательным, ни фрактальным. Эти вычисления проводились только для сравнения методов.

Описан также и процесс моделирования значений в новых точках. Используется последовательный подход, то есть на п-ом шаге генера-хии используются все точки, сгенерированные на предыдущих п — 1 вагах. Здесь важно отметить, что исходная информация (распреде-тение точек измерения в пространстве и их значения) сохраняются и 1рисутствуют на всех этапах моделирования. Значение в каждой но-юй точке определяется как среднее от значений в вершинах родитель-:кого треугольника плюс случайное смещение. Случайное смещение — юрмально распределенная добавка с нулевым средним и дисперсией О, определяемой по формуле

Ю = КЬН. (1)

Здесь Ь — среднее расстояние от новой точки до вершин треуголь-шка, Н — фрактальная экспонента процесса, К — произвольная кон-:танта, которая регулирует колебание случайного значения вокруг шнейного тренда. Значение Я предварительно определяется по по-чувариограмме исходных данных, предполагая, что они представля-

Рис. 8: Гомельская обл., интерполяция на регулярной сетке, метод обратных квадратов, радиус поиска 200км

Гисторгамма площадей ячеек Дирихле

ЮгоБосточ. часть ФРГ,генер. новых гоч.

;

.д. А

I исходим» дан — 1ый цаг гсн^р 2оа наг г»нвр ЕзШ Зиа «аг гвнвр ]

Рис. 9: Гистограмма площадей ячеек Дирихле для сетей, полученных с использованием генератора

ох собой фрактальное Броуновское движение. Наклон регрессионной фямой log — log графика вариограммы равен 2Н.

Фрактальное моделирование позволяет отражать вариабельность 1анных, тогда как все интерполяционные методы производят сгла-кивание данных (локальное усреднение). Кроме того моделирование (беспечивает много реализаций одного фрактального процесса.

На рис. 10 и 11 приведены гистограммы и вариограммы в сравне-1ии с исходными данными и результатами, полученными с помощью »бычных интерполяционных методов. Видно, что их характер в целом :охраняется, то есть новые точки могут характеризовать изучаемую юверхность.

Нормированные гистограммы Юго-Восточная часть ФРГ.сз137лодели

ГЗЯ ис«сдн»|> <т С—'* мрмгммг сшзк»

j.y?'JCP»fl.M— п в Я ива.

Рис. 10: Гистограммы значений для сети, полученной с помощью генератора и моделирования значений в новых точках

Приложение 1 содержит основные формулы статистического и сорреляционного анализа, а также основные математические модели юлувариограмм.

В приложении 2 приведено описание программного обеспечения, I именно стандартной для всех программ структуры входных данных I описания основных программ: статистический анализ, корреляци-энный анализ, несколько методов интерполяции, построение триангу-

ляции Делоне и ячеек Дирихле, последовательный фрактальный генератор.

В приложении 3 собраны картинки, иллюстрирующие процесс проведения анализа данных и полученные результаты.

В заключении приведены основные результаты работы и сделаны выводы, которые кратко могут быть сформулированы в следующих пунктах.

1. Разработана методология анализа пространственно распределенных данных, которая включает:

• анализ сети мониторинга;

• анализ данных;

(1) статистический анализ;

(2) анализ корреляционной структуры (вариография);

• анализ методов — кросс-валидация;

(1) анализ результатов кросс-валидации;

(2) анализ ошибок;

• построение карт для принятия решений.

В работе было показано, что пропуск любого из пунктов предложенной методологии может привести к неправильным результатам. Предложенная методология применима к любым пространственно распределенным данным.

2. Проведен последовательный геостатистический анализ Чернобыльских выпадений на различных масштабах (Гомельская область, ФГР и г.Чернобыль). Показана эффективность использования reo статистических методов для пространственной интерполяции последствий радиоэкологических катастроф.

3. Проведено сравнение методов пространственной интерполяции. Геостатистические методы отражают пространственную структуру выпадений, обеспечивают оценку точности интерполяции. Использование детерминистических методов с хорошо выбранными параметрами (используя предварительно проведенный корреляционный анализ данных) дают неплохие результаты в случае отсутствия анизотропии корреляционной структуры данных.

4. Разработан новый условный псевдо-фрактальный генератор для моделирования мелкомасштабной структуры включающий генерацию новой представительной сети мониторинга и моделирования значений в новых точках с использованием фрактальной теории. Показано,что его использование также требует проведения предварительного статистического и корреляционного анализа данных, анализ же сети включен в алгоритм генерации новых точек.

Алгоритм генерации новых точек, являющийся первым шагом работы генератора имеет следующие достоинства:

(1) в состав сети на каждом шаге кроме сгенерированных включены и исходные точки сети, что позволяет использовать для принятия решений не только полученные результаты, но и реальные исходные значения. Получающаяся однородность и подробность новой сети практически не уступает регулярной сетке;

(2) является универсальным и не связан ни с каким методом интерполяции;

(3) может быть использован при моделировании поверхностей и явлений с заданными ограничениями.

Публикации по теме диссертации:

1. Каневский М.Ф., Краюшкин И.Е., Коптелова Н.А., Мартынен-ко Е.Д., Воробьев В.А., Чернов С.Ю., Савельева Е.А. Разработка прикладных интегрированных систем в радиоэкологии, сб. Проблемы безопасного развития атомной энергетики, Москва, Наука, 1993, стр. 165-195.

2. M.Kanevsky, R.Arutyunyan, L.Bolshov, I.Linge, E.Savel'eva, T.Haas Spatial data analysis of Chernobyl fallout. l.Preliminary results. Preprint NSI-23-93, Moscow, 1993.

3. M.Kanevsky, R.Arutyunyan, L.Bolshov, I.Linge, E.Savel'eva, T.Haas Spatial analysis of Chernobyl fallout. 2.Monitoring network description. 3.Univariate statistics and declustering. 4.Cross-validation. Preprint NSI-1-94, Moscow, 1994.

4. Арутюнян Р.В., Большое Л.А., Каневский М.Ф., Линге И.И., Савельева Е.А. Сравнительный анализ методов пространственной интерполяции на основе Чернобыльских выпадений. Препринт NSI-26-94, Москва, 1994.

5. Савельева Е.А., Каневский М.Ф. Обработка и анализ данных радиационного мониторинга (интерполяция, геостатистика, фракталы). Сб. рефератов 4 ежегодной международной научно-технической конференции Ядерного Общества "Ядерная энергия и безопасность человека", 28 июня - 2 июля 1993, Нижний Новгород, стр.138-140.

6. M.F.Kanevsky, R.V.Arutyunyan, L.A.Bolshov, I.I.Linge, E.A.Savel'eva Spatial structure analysis of radioactive-contaminated areas: interpolations, geostatistics, fractals. Book of abstracts of International Symposium on Remedation and Restoration of Radioactive-contaminated Sites in Europe, 11-15 October 1993, Antverpen, Belgium, p.58.

7. C.Flamm, M.Kanevsky, E.Savelieva Non-regular lag variography and mull method mapping to determination of origin of heavy metals. Case study on Geneva heavy meta! survey, Switzerland. Papers and Extended Abstracts for Technical Programs of International Association for Mathematical Geology Annual Conference, October 3-5 1994, Mont Tremblant, Quebec, Canada, p.128-133.

8. Каневский М.Ф., Арутюнян P.B., Большое Л.А., Демьянов В.В., Савельева Е.А., Хаас Т. Геостатистический подход к анализу Чернобыльских выпадений. Известия АН Энергетика, N3, стр.3446, 1995.

9. Каневский М.Ф., Савельева Е.А. Некоторые подходы к анализу сети мониторинга пространственно распределенных данных. Препринт NSI-25-95, Москва, 1995.

Полу-вариограммы ФРГ Юго-Восгок с®137

'ис. 11: Полувариограммы для сети, полученной с помощью генератора и моделирования значений в новых точках