автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Разработка алгоритмов построения сплайнов на основе дельта-преобразований второго порядка для интерполяции кривых и поверхностей в компьютерной графике

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИЗВЕСТНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

1.1. Постановка задачи интерполяци.

1.2. Задача построения кривых в машинной графике.

1.3. Представление пространственных форм в машинной графике.

1.4. Классическое решение. Полиномиальная интерполяция.

1.5. Многочлен Лагранжа.

1.6. Интерполяционная формула Ньютона.

1.7. Интерполяция кусочно-полиномиальными сплайнами.

1.8. Интерполяция В-сплайнами.

1.9. Полигональные сетки.

1.10. Поверхности вращения.

1.11. Заметающие поверхности.

1.12. Параметрические поверхности.

1.12.1. Поверхности Кунса.

1.12.2. Кусочные поверхности.

1.13. Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ИНТЕРПОЛЯЦИИ НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Дельта-преобразования второго порядка и постановка задачи построения сплайна.

2.2.0 существовании и единственности решения задачи построения сплайна на основе дельта-преобразования второго порядка.

2.3. Алгоритм интерполяции на основе дельта-преобразований второго порядка.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМА НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ В МАШИННОЙ ГРАФИКЕ.

3.1. Алгоритмизация интерполяции кривых кубическими сплайнами для экспериментов.

3.2. Алгоритмизация интерполяции кривых кубическими В-сплайнами для экспериментов.

3.3. Алгоритмизация интерполяции кривых кубическими многочленами Эрмита для экспериментов.

3.4. Алгоритмизация интерполяции кривых на основе дельта-преобразований второго порядка для экспериментов.

3.5. Алгоритмизация интерполяции кривых параболическими сплайнами для экспериментов.

3.6. Сравнение методов интерполяции гладких кривых.

3.7. Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1. Алгоритмизация интерполяции поверхностей интерполяционными бикубическими сплайнами для экспериментов.

4.2. Алгоритмизация интерполяции поверхностей интерполяционными бикубическими поверхностями Эрмита для экспериментов.

4.3. Алгоритмизация интерполяции поверхностей интерполяционными бикубическими В-сплайнами для экспериментов.

4.4. Алгоритмизация интерполяции поверхностей на основе дельта-преобразований второго порядка для экспериментов.

4.5. Сравнение рассматриваемых методов интерполяции гладких поверхностей.

4.6. Выводы.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ И ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСАХ.

5.1. Система компьютерного ультразвукового эхоэнцефалоскопа

5.2. Устройство для измерения электрического сопротивления изоляции.

5.3. Система полиграфического мониторинга человека-оператора.

5.4. Выводы.

Актуальность темы. При выполнении физико-технических и других математических расчетов, в которых необходимо строить функциональные зависимости на протяженных интервалах, выгодно заменять вычисляемую функцию приближенной формулой, т.е. подобрать некоторую функцию, которая достаточно близка к искомой и просто вычисляется.

В общем случае, если задана функция, то это означает, что любому допустимому значению аргумента соответствует вполне определенное ее значение. Замена приближенной функцией искомой удобна тем, что нахождение значений функции для любого допустимого или всех требуемых значений независимой переменной может быть очень трудоемким. Например, функция может быть определена как решение сложной задачи, или функция измеряется в дорогостоящем эксперименте, который невозможно повторить. Для более эффективного решения данной задачи можно вычислить небольшую таблицу ее значений, а нахождение всех других значений функции при большом числе значений аргумента осуществлять с использованием интерполяции [24].

Класс практических задач и областей, в которых решаются проблемы интерполяции, постоянно расширяется [59]. Математическое решение задач интерполяции смыкается с компьютерной графикой, так как современные технические системы реализуются с использованием компьютеров и информационных технологий, и остро стоит вопрос оперативного отображения интерполируемой графической информации на экранах мониторов, компактного хранения интерполируемой информации в памяти компьютера.

Необходимость интерполяции возникает при обработке метеорологических данных, которые, как правило, измеряются каждый час или чаще (каждые 10-15 минут). В чрезвычайных ситуациях, при обработке большого объема данных о каких-либо аномальных метеорологических 4 процессах (ураганах, атмосферных фронтах, смерчах) необходимо заполнение интервалов между отдельными выборками. При выполнении наиболее опасных маневров посадки и взлетов воздушных судов также большое значение имеет метеорологическая обстановка. Поэтому, любой современный аэропорт имеет хорошо оснащенную и дорогостоящую метеорологическую станцию. При этом, все изменения в метеорологической обстановке, собранные с метеорологических датчиков, расположенных в зоне аэропорта, должны быть немедленно обработаны и переданы диспетчеру аэропорта. Это типичные задачи интерполяции.

Обработка данных о сейсмической активности отдельных участков земной поверхности, получаемых с разных сейсмических станций с целью предупреждения землетрясений, также требует решения задачи интерполяции, так как все измерения производятся через строго определенные промежутки времени.

В астрономии, при измерении распределения температуры поверхности Солнца, анализируют так называемые солнечные пятна. Как известно, изменения магнитных полей солнечных пятен приводят к магнитным бурям на Земле и сильно влияет на распространение радиоволн и жизнедеятельность человека.

Решение задачи интерполяции требуется и в медицине, при ультразвуковой томографии головного мозга, при обработке данных о распределении температуры, электрических потенциалов и других параметров на теле человека. Задача актуальна при осуществлении длительного мониторинга биологических параметров человека, например, для точной и достоверной оценки влияния различных лекарственных средств [22,33,61,62,65].

В работе птицефабрик важную роль играет показатель выводимости цыплят. Для этого в инкубаторах должны соблюдаться специальные режимы температуры и влажности. Поэтому, важно знать, как распределяется тепло и влага внутри инкубатора, и своевременно реагировать на изменения. Важен контроль над распределением тепла и в печах для хлебобулочных изделий. Вообще, представление распределения температур (одномерное или многомерное) важно в любых печах, особенно в доменных.

Необходимость интерполяции существует в системах реального времени при контроле большого числа параметров, например, на ядерных электростанциях, в электрических сетях при переходных режимах. Такая же проблема возникает в системах распознавания перемещающихся с большой скоростью целей, когда на принятие решения требуется очень маленькое время (миллисекунды).

Все выше перечисленные области применения интерполяции связанны с обработкой всё больших объемов информации. В то же время, при реализации интерполируемых функций при построении изображений в компьютерной графике с учетом современных требований к уменьшению задержки обрабатываемой информации при выводе на экран и к повышению частоты смены кадров, размеров и сложности изображения возникают проблемы, связанные с необходимостью существенного уменьшения вычислительной трудоемкости используемых алгоритмов интерполяции [1,4,53,55]. Поэтому, постоянно ищутся новые, более компактные в реализации, требующие меньших вычислительных ресурсов и просто более легкие для освоения методы и способы восстановления и интерполяции.

На сегодняшний день наибольшее распространение получили методы, основанные на кусочно-полиномиальной интерполяции (В-сплайны и их производные). Однако, с повышением гладкости интерполирующей кривой значительно возрастает трудоемкость программирования и время для вычислений промежуточных точек.

В связи с изложенным выше, данная работа посвящена разработке алгоритмов интерполяции, основанных на дельта-преобразованиях второго порядка, которые обладают несомненными достоинствами - простотой и малой вычислительной трудоемкостью при реализации.

Объект исследования. В настоящей работе выполняется разработка высокопроизводительных алгоритмов построения интерполяционных сплайнов на основе дельта-преобразований второго порядка; исследуется возможность и целесообразность применения этих алгоритмов для интерполяции кривых и поверхностей в компьютерной графике.

Цель исследования. Разработка и исследование алгоритмов интерполяции кривых и поверхностей на основе дельта-преобразований второго порядка.

В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи:

• разработка алгоритма интерполяции кривых, основанного на дельта-преобразованиях второго порядка;

• разработка алгоритма интерполяции поверхностей, основанного на дельта-преобразованиях;

• обоснование принципов построения интерполирующей функции на основе дельта-преобразований;

• разработка программных моделей алгоритмов интерполяции кривых и интерполяции поверхностей, основанных на дельта-преобразованиях второго порядка;

• экспериментальные исследования результатов работы программных моделей алгоритмов интерполяции кривых и интерполяции поверхностей и их сравнительный анализ с существующими методами.

Методы проведения исследований .

При выполнении настоящей работы использовался математический аппарат теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка, теории численных методов, теории дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии и теории рядов.

Научный результат:

• разработан высокопроизводительный алгоритм интерполяции кривых, основанный на дельта-преобразованиях второго порядка и характеризующийся возможностями комплексного обеспечения низкой вычислительной трудоемкости, расчетной независимости производных в узлах интерполяции, качественной отработки скачкообразных изменений первой производной, высокой локальности;

• разработан высокопроизводительный алгоритм интерполяции поверхностей, основанный на дельта-преобразованиях;

• обоснованны принципы построения интерполирующей функции на основе дельта-преобразований;

• обоснована возможность обеспечения существенно большей скорости построения сплайнов на основе разработанных алгоритмов по сравнению с известными алгоритмами интерполяции (в зависимости от сравниваемого метода для кривой в максимальном пределе (при количестве интерполируемых точек, существенно большем количества узлов) от 2 до 10 раз, для поверхности от 10 до 19 раз).

Основные положения, выносимые на защиту:

• алгоритм интерполяции кривых, основанный на дельта-преобразованиях второго порядка;

• алгоритм интерполяции поверхностей, основанный на дельта-преобразованиях второго порядка.

• обоснование принципов построения интерполирующей функции на основе дельта-преобразований;

Практическая ценность.

Разработанные в диссертационной работе высокопроизводительные алгоритмы интерполяции могут быть использованы для увеличения размера изображения и повышения частоты смены кадров в компьютерной графике, в мультимедийных приложениях, при отображении окружающего пространства в различного рода симуляторах и тренажерах; в системах реального времени, связанных с обработкой и отображением большого объема интерполируемых данных, при дефиците вычислительных ресурсов, в частности, в медицине, метеорологии, системах контроля электрических сетей, ядерных электростанций и т.д.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается теоретическим обоснованием, программными реализациями предлагаемых алгоритмов, вычислительными экспериментами, а также, применением разработанных алгоритмов интерполяции для решения практических задач, что подтверждается актами использования и внедрения результатов работы.

Реализация. Результаты работы использованы в рамках работ, выполненных в НКБ «Миус» при разработке ультразвукового компьютерного эхоэнцефалографа, устройства для измерения электрического сопротивления изоляции (уменьшение временных затрат для формирования изображения приблизительно в 1,5-2,5 раза по сравнению с самыми быстрыми из рассматриваемых алгоритмов), а также системы полиграфического мониторинга человека-оператора (уменьшение временных затрат для формирования изображения приблизительно в 10 раза по сравнению с самыми быстрыми из рассматриваемых алгоритмов). На систему полиграфического мониторинга человека-оператора получен патент [54].

Апробация.

Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях:

• Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности», Таганрог, 1999;

• 4-я всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и образовании», Рязань, 1999;

• 4-я всероссийская научная конференция с международным участием молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения», Таганрог, 2001;

• 5-я всероссийская научная конференция с международным участием молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения», Таганрог, 2002;

• Международная научная конференция "Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем", Таганрог, 2002;

• ХЬ международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс ", Новосибирск, 2002;

• Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности», Таганрог, 2002;

По итогам работы выпущены 15 публикаций, среди них 5 статей и 1 патент.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы, включающего 73 наименований и 3-х приложений на 62 страницах.

5.4. Выводы

1. Применение алгоритма интерполяции на основе дельта-преобразований, для отображения укрупненного участка эхограммы, характеризуется сокращением затрат на решение этой задачи как минимум в 1,5 раза по сравнению с ближайшими рассматриваемыми алгоритмами.

2. Применение алгоритма интерполяции на основе дельта-преобразований, для отображения карты среза головного мозга характеризуется сокращением временных затрат для этой цели как минимум в 2,5 раза по сравнению с ближайшими из сравниваемых алгоритмов.

3. Применение алгоритма интерполяции на основе дельта-преобразований для отображения графиков изменения сопротивления в многоканальной системе измерения электрического сопротивления изоляции, позволило снизить затраты в 1,7 раза по сравнению с ближайшими рассматриваемыми алгоритмами и высвободить время для решения других задач.

4. Применение алгоритма интерполяции на основе дельта-преобразований для отображения термограммы поверхности кожи головы, позволило сократить затраты в 10 раз по сравнению с наиболее быстрым из сравниваемых алгоритмов и освободить ресурсы для оценки результатов измерений и для измерения энцефалограммы пациента.

5. Обобщая выше сказанное, можно заключить, что предлагаемый метод позволяет существенно уменьшить время, затрачиваемое на визуализацию данных, и высвободить вычислительные ресурсы для других параллельно решаемых задач. Предлагаемый метод представляет несомненный интерес для многих приложений, в которых появляется дефицит вычислительных ресурсов, и где требуется использование высокопроизводительных алгоритмов построения сплайн функций.

Заключение

Основными научными результатами диссертационной работы являются разработанные на основе дельта-преобразований второго порядка алгоритмы интерполяции кривых и поверхностей.

Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан алгоритм интерполяции кривых на основе дельта-преобразованиий второго порядка.

2. Разработаны алгоритмы интерполяции поверхностей на основе дельта-преобразованиий второго порядка.

3. Обосновано принципы построения интерполирующей функции на основе дельта-преобразований;

4. Разработаны программные модели алгоритмов интерполяции кривых и поверхностей, основанные на дельта-преобразованиях второго порядка.

5. Проведены экспериментальные исследования применения разработанных алгоритмов интерполяции кривых и поверхностей с использованием программных моделей, и выполнен сравнительный анализ с известными методами. Для случая, когда количество точек интерполяции существенно превосходит количество узлов интерполяции, разработанные алгоритмы требуют в максимальном пределе для кривой приблизительно в 2-10 раз меньше вычислительных затрат (в зависимости от сравниваемого метода) и для поверхности в 10-19 раз меньше. Данный случай характерен для задач интерполяции в компьютерной графике.

6. Показана возможность эффективной интерполяции кривых на основе дельта-преобразований второго порядка в системе компьютерного ультразвукового эхоэнцефалоскопа, а также в устройстве измерения электрического сопротивления изоляции (уменьшение временных затрат для формирования изображения приблизительно в 1,5-2,5 раза по сравнению с самыми быстрыми из рассматриваемых алгоритмов).

7. Показана возможность эффективной интерполяции поверхностей на основе дельта-преобразований второго порядка в системе полиграфического мониторинга человека-оператора (уменьшение временных затрат для формирования изображения приблизительно в 10 раза по сравнению с самыми быстрыми из рассматриваемых алгоритмов).

8. Проведенные в работе исследования показали, что разработанный метод интерполяции позволяет существенно уменьшить время, затрачиваемое на визуализацию данных, и высвободить вычислительные ресурсы для других, параллельно решаемых, задач, а также может использоваться по своим характеристикам в широком спектре приложений. Предлагаемый метод представляет несомненный интерес для многих приложений, в которых появляется дефицит вычислительных ресурсов, и где требуется использование высокопроизводительных алгоритмов построения сплайн функций.

1. Адаме Дж., Роджерс Д. Математические основы машинной графики. - М.: Мир, 2001.-604 с.

2. Альберг Дж.,Нильсон Э., Уолли Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972.-320 с.

3. Бессонов JI.A. Линейные электрические цепи. Учебное пособие для электротехнич. и радиотехнич. специальн. вузов. М.: Высшая школа, 1974.-320 с.

4. Боресков A.B., Шикин Е.В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1995. - 287 с.

5. Бородянский Ю.М., Бородянский М.Е., Газдиев P.M., Шляхтин С.А. Модуль преобразования аналоговых сигналов для систем автоматизированного контроля. //Наука производству. 2000. - № 9.

6. Бородянский Ю.М., Кравченко П.П. Восстановление отраженного сигнала в компьютерном ультразвуковом эхоенцефалоскопе. //Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения. -Таганрог, 2002;

7. П.Бородянский Ю.М., Кравченко П.П. Построение поверхностей сплайнами на основе дельта-преобразований второго порядка. //Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применению. -Таганрог, 2002;

8. Бородянский Ю.М., Кравченко П.П. Сплайн функции на основе дельта-преобразований второго порядка и возможности их применения в технических системах. // Отдел депонирования ВИНИТИ, ТРТУ -Таганрог, 2002, Деп. в ВИНИТИ 06.11.2002, №1924-В2002.

9. Бородянский Ю.М. Особенности интерполяции на основе дельта-преобразований второго порядка. Материалы ХЬ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс ", Новосибирск, 2002.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов -13-е изд., исправленное. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 544 с.

11. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 214 с,

12. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1975.-283 с.

13. Вычислительные системы: Сб. науч. тр. №147 Интерполяция и аппроксимация сплайнов. Новосибирск, 1992. - 102 с.

14. Вычислительные системы: Сб. науч. тр. №154. Сплайны и их приложения. Новосибирск, 1995. - 160 с.

15. Вычислительные системы: Сб. науч. тр. №159. Сплайн-функции и их приложения. Новосибирск, 1997. - 228 с.

16. Гитис Э.И., Пискунов Е.А. Аналого-цифровые преобразователи: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоиздат, 1981. - 360 с.

17. Гнездицкий В.В. Вызванные потенциалы мозга в клинической практике. -Таганрог: Издательство ТРТУ, 1997. 252с.

18. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

19. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.

20. Дельта-модуляция. Теория и применение / М.Д. Венедиктов, Ю.П. Женевский, В.В. Марков, Г.С. Эйдус, М.: Связь, 1976. - 272 с.

21. Денисенко А.Н., Стеценко O.A. Теоретическая радиотехника. 4.1. Детерминированные сигналы (методы анализа). М.: Изд-во стандартов, 1993.-215 с.

22. Димидович Б.П, и Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970.-664с.

23. Дифференциальная геометрия./ Ред. A.C. Феденко, Минск: Изд-во ун-та, 1982.-256 с.

24. Дубровин Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения Т.1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.: Эдиториал УРССД998. - 366 с.

25. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для ПЭВМ. М.: Наука, 1989. - 239 с.

26. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций. М.: Наука,1980. - 352 с.

27. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

28. ЗЗ.Зенков JI.P. Клиническая электроэнцефалография. Таганрог: Издательство ТРТУ, 1996. - 358 с.34.3ернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. Л.: Энергия, 1972.-816 с.

29. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. -Л.: Наука, 1991.- 127 с.

30. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

31. Каргашин А.Ю. Сплайн аппроксимация и ее применение в задачах машинной графики и робототехнике. М.: Наука, 1981. 28 с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 720 с.

33. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. Уч. пособие. -М.: Изд-во МФТИ,1995. 176 с.

34. Кравченко П.П. О дельта-модуляции на основе вторых разностей и оптимизированного переходного процесса //Электронное моделирование. 1986. №2.

35. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации: Монография. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1997.- 198 с.

36. Кравченко П.П. Патент РФ №1112552 на изобретение «Дельта-модулятор». Приоритет 20.04.83 г. Зарегистрирован в Государственном реестре изобретений 22.11.93 г.

37. Кравченко П.П., Хусаинов Н.Ш. Разработка методов компрессии аудио и видеоинформации для использования в системах видеоконференцсвязи. //Электронный интернет-журнал " PITIS".- 2002. № 1 -(http://pitis.tsure.ru)

38. Краснов M.JT. Векторный анализ. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1978.- 159 с.

39. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 448 с.

40. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

41. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Учеб. пособие.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 120 с.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -456 с.

43. Меньшиков Г.Г. Двоичная аппроксимация: основы теории, применение к вопросам передачи сообщений. Л.: ЛЭИС, 1968. - 322 с.

44. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие /Иванов В.В. Киев: Наукова думка, 1986. - 584 с.

45. Методы электрических измерений / Учебное пособие для вузов/ Под ред. Э.И. Цветкова. Л.: Эноргоатомиздат, 1990. - 288 с.

46. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. - 399 с.

47. Патент РФ №2201130. Система мониторинга человека-оператора. / Бородянский Ю.М., Бородянский И.М., Ольшанская Е.Г., Сурженко И.Ф., Хало П.В. / Бюлл. изобрет., 2003, №9.

48. Плис А.И., Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996.-240 с.

49. Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990.-382 с.

50. Попов Б.А., Треслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ. Справочник. Киев: Наукова думка, 1984. 599 с.

51. Семенков О.И. Основы автоматизации и проектирования поверхностей с использованием базисных сплайнов. Минск: Наука и техника, 1987. -167 с.

52. Сплайн-функции в экономико-статистических исследованиях./Ред. Б.Б. Розин, Новосибирск: Наука, 1987. - 205 с.

53. Стил Р. Принципы дельта-модуляции /Под ред. В.В.Маркова. М.: Связь, 1979.-368 с.

54. Физика визуализации изображений в медицине: Т1, Пер. с англ. /Ред. С. Уэбб, М.: Мир, 1991.-408 с.

55. Физика визуализации изображений в медицине: Т2, Пер. с англ. /Ред. С. Уэбб,-М.: Мир, 1991.-410 с.

56. Цвицинский И.В., Чернов Б.Н. Алгоритмы аппроксимации и изображения кривых линий и поверхностей. Кишенев: Штиинца, 1979. - 102 с.

57. Циммерман Ф. Клиническая электрокардиография М.: БИНОМ, 2000. 448 с.

58. Цифровая осцилография /Под ред. A.M. Беркутова и Е.М. Прошина. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 217 с.

59. Шилейко А.В. Цифровые модели. M.-JL: Энергия, 1964. 112 с.

60. Математическая теория оптимальных процессов /Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., М.: Наука, 1969. 384 с.

61. Бородянский Ю.М., Кравченко П.П., Таранов А.Ю. Интерполяция сплайнами на основе дельта-преобразований второго порядка. //Известия ТРТУ. Спец. выпуск "Материалы XL VIII научно-технической конференции" №1(20), Таганрог, ТРТУ, 2003;