Спектральный метод анализа и синтеза систем со случайной структурой

Рыбаков, Константин Александрович

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Спектральный метод анализа и синтеза систем со случайной структурой

кандидата физико-математических наук: Рыбаков, Константин Александрович
город: Москва
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Спектральный метод анализа и синтеза систем со случайной структурой»

Автореферат диссертации по теме "Спектральный метод анализа и синтеза систем со случайной структурой"

На нравах рукоииои

РЫБАКОВ Константин Александрович

СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре «Математическая кибернетика» Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент И.Л. Сотскова

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.А. Бухалев

доктор физико-математических наук,

профессор

Д.Л. Ревизников

Ведущая организация: Московский государственный технический

университет гражданской авиации

Защита состоится " 3 " марта 2006 г. в 12 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты.

Автореферат разослан " 27 " января 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные задачи управления техническими объектами, позволяющие учитывать случайные факторы, различные режимы функционирования, скачкообразные внешние воздействия или возможный отказ элементов, приводят к необходимости описания их математических моделей различными уравнениями на разных интервалах времени, т.е. использовать модели систем со случайной структурой, или стохастические мультиструктурные системы.

Примерами систем со случайной структурой могут служить системы управления сближением летательных аппаратов, системы поиска и захвата информационного сигнала в задачах навигации и управления полетом летательных аппаратов, системы комбинированного наведения на цель, а также системы управления с возможными нарушениями и отказами.

Причины, приводящие к изменению структуры системы, могут иметь различный характер, например, выход из строя одной из подсистем, перерывы при поступлении информации в контуре управления, адаптация к условиям внешней среды, скачкообразно изменяющиеся помехи, которые могут являться результатом естественных или искусственных внешних воздействий, превышение координатами вектора состояния заданных пороговых значений и т.д.

Область применения систем со случайной структурой не исчерпывается задачами управления летательными аппаратами. Эти системы являются математическими моделями мультирежимных стохастических систем автоматического управления, для которых характерно скачкообразное изменение отдельных параметров или структуры, т.е. совокупности элементов и связей между ними.

Можно выделить два основных направления в исследовании систем со случайной структурой. Первое направление, берущее начало в работах А.Н. Скляревича, связано с определением моментных характеристик вектора состояния динамической системы с возможными нарушениями, например, в задачах теории надежности. А второе, более общее, заключается в нахождении плотности вероятности вектора состояния как наиболее полной вероятностной характеристики. В основе второго подхода лежит модель систем с поглощением и восстановлением реализаций случайного процесса, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа, синтеза и фильтрации стохастических систем управления со случайной структурой, а также стохастических . Второй

БИБЛИОТЕКА I

подход представляется предпочтительнее с точки зрения решения прикладных задач, и поэтому составляет методологическую и теоретическую базу исследования, основы которой были заложены в 70-е годы В.М. Артемьевым, В.А. Бухалевым и И.Е. Казаковым. В последствии новые задачи и методы анализа рассматривались в работах Т.А. Авериной, В.А. Ганэ, А А. Лобатого, В.Л. Степанова, V. Kontorovitch и др., а различные задачи синтеза оптимального управления изучали А Arapostathis, M.K. Ghosh и S.I. Marcus.

Тем не менее, следует подчеркнуть, что существующие методы анализа систем со случайной структурой, как правило, сводятся либо к определению моментных характеристик вектора состояния, либо к аппроксимации неизвестной плотности вероятности с последующим сведением задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности.

Задачи синтеза оптимального управления стохастическими системами с фиксированной структурой достаточно полно исследованы. Так, необходимые условия оптимальности были получены в работах В.И. Аркина, С.Ф. Морозова, Б.Е. Федунова, N.U. Ahmed, K.L. Тео и др. Достаточные условия оптимальности управления стохастическим системами и системами управления ансамблем траекторий при неполной информации о состоянии получены A.B. Пантелеевым, а в работах М.М. Хрусталева доказаны достаточные условия оптимальности в задаче управления стохастическими системами при неполной информации о состоянии, в том числе для стохастических систем с возможностью обрыва траекторий. Здесь следует отметить, что в основе доказательства достаточных условий оптимальности для перечисленных задач оптимального управления лежит принцип расширения, развитый в работах В.И. Гурмана и В.Ф. Кротова.

В то же время для систем со случайной структурой задачи синтеза оптимального управления при неполной информации о векторе состояния не рассматривались, а методы синтеза в литературе практически не описаны, за исключением классической задачи синтеза оптимального управления линейными системами и квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества.

Таким образом, разработка новых методов анализа и синтеза систем управления со случайной структурой является актуальной задачей и для ее решения предлагается использовать единый подход, основанный на формализме спектральной формы математического описания систем управления, предложенной в конце 60-х годов В В. Семеновым для анализа линейных

нестационарных детерминированных систем управления и примененной в последствии И.Л. Сотсковой для разработки спектрального метода анализа нелинейных стохастических систем с фиксированной структурой.

Цель работы состоит в создании новых методов анализа и синтеза систем со случайной структурой, основанных на спектральной форме математического описания систем управления.

Методы исследования. В работе использованы методы линейной алгебры, теории многомерных матриц, функционального анализа, теории случайных процессов и спектральной теории систем управления.

Научная новизна работы заключается в следующих результатах:

— предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа (обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова), позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой;

— разработан спектральный метод анализа систем со случайной структурой, а именно найден спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова - уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев, найдены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания, сформирована методика решения задачи анализа;

— поставлена задача синтеза оптимальных систем со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния и доказаны достаточные условия оптимальности в этой задаче;

— получены соотношения для определения оптимального управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния, как частный случай рассмотрена задача оптимального в среднем управления;

— найдены соотношения для определения оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью линейными системами со случайной структурой и квадратичным функционалом качества;

— разработан спектральный метод синтеза оптимальных в среднем систем со случайной структурой, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана, сформирована методика решения задачи синтеза;

- для решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой спектральным методом разработаны алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения в базисах обобщенных полиномов и функций Лагерра, полиномов и функций Эрмита.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, вносят вклад в развитие методов анализа и синтеза систем со случайной структурой и теорию оптимального управления системами со случайной структурой, дополняют спектральную теорию систем управления.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке новых алгоритмов анализа и синтеза систем со случайной структурой, основанных на спектральной форме математического описания систем управления, которые достаточно просто реализуются на современных вычислительных машинах, и в разработке специализированного алгоритмического и программного обеспечения для решения указанных задач с применением ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-образовательном семинаре «Проблемы математической кибернетики» центра исследования устойчивости и нелинейной динамики при институте машиноведения РАН и кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института (государственного технического университета) под руководством академика В.М. Матросова и на следующих научных конференциях: на втором международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (Москва, 2002 г.), на одиннадцатом международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2002 г.), на четвертой международной конференции «Компьютерное моделирование 2003» (Санкт-Петербург, 2003 г.), на двенадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003 г.), на восьмой международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на третьей международной конференции «Авиация и космонавтика — 2004» (Москва, 2004 г.), па международной конференции «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)» (Минск, 2005 г.), на второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.).

Материалы диссертации были использованы при выполнении научно-исследовательской работы по госбюджетной теме «Развитие методов нелинейного анализа в классической небесной механике», раздел «Программное обеспечение новых методов анализа и синтеза динамических систем и тестирующих обучающих систем», и вошли в отчеты по ним за 2002, 2003 и 2004 годы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 127 наименований. Основной текст содержит 163 страницы, включая 26 рисунков, приложения занимают 33 страницы.

Во введении содержится обзор современного состояния теории систем со случайной структурой, обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их теоретическая и практическая ценность, описана структура диссертации.

В первой главе рассматривается задача анализа систем со случайной структурой. В разделе 1.1 дана постановка задачи анализа систем со случайной структурой, описываемых уравнением Ито

где X € К" - вектор состояния; к = 1,2,.... N - номер структуры, N — число структур; t 6 Т = [to, ¿1] — промежуток времени функционирования системы, моменты времени to и t\ заданы; f^(t,x): Т х R" —> К" — вектор-функция размера п, х) : Т х R" —» K"xs - матричная функ-

ция размера п х s; W(t) - s-мерный стандартный винеровский процесс, не зависящий от начального состояния Ло = X(io), задаваемого ненормированными плотностями вероятности <$\х) такими, что выполняется условие

Предполагается, что дискретный случайный процесс смены структуры K(t) : Т —> {1,2,..., ./V}, характеризующий правую часть уравнения (1), удовлетворяет условию Р{K{t + At) = г \ K(t) = к, X(t) = х) —

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

dX(t) = /<*> (t, X(t))dt + <г<*> (i, X{t))dW{t)

(1)

= \krit, х)Аг + о(Д<), к ф г, ГДР функция Аж) : Т х К" —> [0, +оо) задает интенсивность перехода из структуры к в структуру г. Характер поведения траекторий случайного процесса X(£) в моменты смены структуры определяется заданными нормированными условными плотностями восстановления реализаций дкг{1,х | х).

Задача анализа систем со случайной структурой состоит в определении ненормированных плотностей вероятности ф^{Ь,х) вектора состояния по заданному уравнению системы (1), ненормированным плотностям вероятности ф^\х) начального состояния Хо, интенсивностям переходов и условным плотностям восстановления реализаций дкг{Ь.х | х).

Для записи обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, служащих для определения ненормированных плотностей вероятности предложена векторно-операторная форма:

Щ^- = Аф(1,х), ф(10,х) = ф0(х), Ф(Ь,х)\х=±00 = 0, (2)

где фЦ,х) = [¿«М ... фМ(1,х)]г, ф0(х) = [ф£\х) ... ф^}{х)]т, Л = = [-^кг]кг=1 ~ матрица операторов, определяемых выражением

Аккф<к\1,х) = [/<*>(«,*)<£<*>(г,*)] +

+ \ £ х)фЮ{1, *)] - Е \кг{1, х)ф<к>Ц, X),

1,]=1 1 3 Г=1,Г фк

Лкгф{г)(г,х) = JХгк(г,х)ф{г}(1,х)дгкЦ,х I х)<1х, Н"

в котором д^У, г) = £ ^гЧь х)> к, г = 1,2,..., ЛГ, к ф г.

т=1

Кроме того, в разделе 1.1 приведены известные соотношения для нахождения вероятностей активности структур системы, а также взвешенных и условных моментных характеристик вектора состояния.

В разделе 1.2 даны определения спектральных характеристик функций и линейных операторов. Так, спектральной характеристикой функции времени и вектора состояния 6 (Т х К"; т(Ь)р(х)) называется многомерная матрица Н{п + 1,0) размерности (п + 1) с элементами

гп = (Фо, Ч, ■ ■ ■, ¿п, I, х), х))щТхЯ„л^)р(х)у

где ¿o- Ч,... ,г„ = 0.1,2,..., {е(г0. h,.... гп, t, tn=0 - ортонормиро-

ванный базис пространства (Т х Ж"; r(t)p(x)) функций времени и вектора состояния, квадратично интегрируемых с весом r(t)p(x). При этом предполагается, что функции базисной системы {e(¿o, ¿1,... ,in,t, ,iln=o порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем {?(«o,í)}~=o и .,,„=<) пространств L2(T;r(í)) и Ь2 (К";р{х)) соответственно, а функции системы {р(ц,... ,in,x)}™ в свою очередь образованы всевозможными произведениями функций базисных систем {pi(ii,zi)}£L0, ■••, {Pn(in, хп)}™=0 пространств L2 (R; pi(xi)), ..., L2 (R; рп(хп)) соответственно, р{х) = рг(ц) ■ ■ ■ рп{хп).

Аналогично определяются спектральные характеристики функций времени и функций вектора состояния. В этом случае используются базисные системы {<7(¿o>í)}~=o и {р(ч, ■ ■ ■, rc)}íf,...:¿„=o соответственно.

Спектральной характеристикой линейного оператора Л: Дд С С L2 (Г х R"; r(t)p(x)) —► Ь2(Т х R"; r{t)p(x)) называется многомерная матрица А(п + 1, гг + 1) размерности 2(п + 1) с элементами

a'o'i ínjoj'i-Jn = (Фо, Ч, ■ ■ ■ i ¿ni t, х), Ae(jo,jl, ■ ■ ■ ,jn> ¿i £))L2(TxR"-,T(t)p(x))'

где ¿o, ч, - • •, in,jo,ji, ■ ■ ■, jn = 0,1,2,...

Доказан ряд свойств спектральных характеристик функций и линейных операторов, а именно утверждение о связи спектральной характеристики функции времени и вектора состояния h(t, х) и ее сечения h(x) при t = t' €Т, утверждения о представлении в спектральной форме математического описания тождественного оператора, композиции линейных операторов и обратного оператора. Доказано утверждение, устанавливающее связь между спектральными характеристиками функции h(t,x), линейного оператора Л и образа функции h(t,x), т.е. функции w(t,x) = Ah(t,x); утверждения о представлении частных производных функций времени и вектора состояния:

а) производной по времени с учетом значения функции в момент to;

б) производных первого порядка по координатам вектора состояния;

в) производных второго порядка по координатам вектора состояния.

На основании доказанных свойств и утверждений получен спектральный аналог уравнения (2) — уравнения обобщенных характеристических функций, которые представляют собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются коэффициенты разложения искомых ненормированных плотностей вероятности ф^к\ь.х) в ряд по функциям базисной системы

{е(го, ¿1...., гп, Ь, ж)}^ 0. В матричной форме эта система уравнений записывается в виде

' Р1(п + 1, п + 1) ■ Ф{1)(п + 1,0)- Ап(п + 1, п + 1) • Ф^О» + 1,0) — ...—

- А1Лт(гг + 1,гг + 1) • Ф<">(п +1,0) =

= г(«ь)-д(1,0;«о)®Ф?>(п.О),

< ... (3)

Р\п + 1, п + 1) ■ Ф<*>(п +1,0)- Ат(п + 1,п + 1) ■ Ф<х>(п + 1,0) - ... -

- Аш(п + 1, п + 1) • Ф^>(п + 1,0) = = г(^)-д(1,0;<о)®ФГ>(".0),

где Р\п+ 1,т1+ 1) - спектральная характеристика оператора дифференцирования по времени с учетом значения функции в начальный момент; Акг{п + 1) п + 1) ~ спектральные характеристики линейных операторов Лкг, входящих в уравнение (2), Ф^(п + 1,0) — спектральные характеристики искомых функций х), Фдк\п, 0) - спектральные характеристики функций ф'р(х), к, г = 1,2,..., АГ; 0; ¿о) — вектор значений функций базисной системы {<?(го, при Ь = ¿о- Здесь следует отметить, что спектральные характеристики Акк(п + 1, п + 1) выражаются через спектральные характеристики операторов дифференцирования первого и второго порядков по координатам вектора состояния и операторов умножения на функции ¡¡к){Ь,х), и Хкг^,х), г,з = 1,2,... ,п, к,г = 1,2,... кфг.

Приведен алгоритм решения уравнений (3) как для общего случая систем со случайной структурой (с использованием операций агрегатирования и декомпозиции многомерных матриц), так и для ряда частных случаев: для систем с двумя структурами, для систем с однонаправленными переходами между структурами и для систем, переходы в которых возможны только между соседними структурами.

Далее введено понятие спектральных характеристик линейных функционалов. Так, спектральной характеристикой линейного функционала УУ : £>уу С Ь2 (К"; р(х)) —> К называется многомерная матрица И^(0, п) размерности п с элементами

-и = (рО'ь • • • .¿п, х), ги{х))

где ji,... .jn = 0.1,2,..., w(x) - такая вещественнозначная функция, что

W/i(х) = J w{x)h(x)dx, h{x) € Dw.

Доказано утверждение, устанавливающее связь между спектральными характеристиками функций времени вида ho(t) = Wh(t, х) и спектральными характеристиками линейного функционала W и функции h(t,x), с помощью которого получены соотношения для нахождения вероятностей активности структур системы, взвешенных и условных моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания систем управления.

Сформирована методика решения задачи анализа систем со случайной структурой, а именно указаны этапы, необходимые для нахождения спектральным методом ненормированных плотностей вероятности х) по заданному уравнению системы (1), ненормированным плотностям вероятности фд^(х) начального состояния Xq, интенсивностям переходов Xkr{tix) и условным плотностям восстановления реализаций qkr{t,x \ х).

При практических расчетах на ЭВМ предлагается использовать баг-зисные системы с конечным числом функций, или, иными словами, усекать спектральные характеристики функций и линейных операторов до некоторого заданного порядка. Отметим, что методика вычисления погрешности расчета, которая является следствием усечения спектральных характеристик, приведена в работах Н.Д. Егупова, C.B. Лапина, В.В. Семенова, И.Л. Сотсковой и др.

В разделе 1.3 с помощью предложенного метода и разработанного алгоритмического и программного обеспечения решена задача анализа релейной следящей системы управления, подверженной случайному внешнему воздействию, с учетом возможного разрыва обратной связи, а также задача анализа системы поиска и захвата информационного сигнала.

Вторая глава посвящена синтезу оптимальных систем со случайной структурой. Раздел 2.1 содержит постановку задачи синтеза оптимального управления при неполной информации о векторе состояния для системы, описываемой уравнением Ито

dX(t) = f{k)(t,X(t),u{k)(t))dt + a{k}(t,X(t),u^(t))dW(t), (4)

где u^ G U^ CI' - вектор управления структурой с номером к, fW(t,x.u) : Т x R" x U^ -* R", a<k>(t, х, и) : Т x R" х {/<*> R"**, а остальные обозначения такие же, как и в уравнении (1).

При управлении используется информация о времени и о величине т первых координат вектора состояния, 0 < т < п, т.е. X = = [*(!) *(2)]Т, и<*>(*) = «<*> (1.Х{1}(1)), где Х{1) = [Х1Хг... Хт}Т е Кт,

В этом случае уравнение (2) представляется следующим образом:

Щг- = А(«*(Ц)М*)> <М>,*) = <Ао(*), *ми±во = о, (5)

где ф{1,х) = ... ф0(х) = [^(я) ... ф{0"\х)У, А =

= [Лкг] к Г=1 — матрица операторов, задаваемых выражением

-[/,»((,*,«<><»(<,*)] +

«,7=1 N

~ £ *кг(1,х)ф<к\1,х),

ЛкгФ{г){Ь,х) = J \гк(г,х)ф<т)(г,х)дтк(Ъх\х)с1х, н»

в котором д®[$,х,и) = к, г = 1,2,..., Ы, к ф г.

Г=1

На множестве функций </>(£, х) = х)... ф^ЦЬ, х)] и и(Ь, =

= ¡У1){р, 1(1)) ... удовлетворяющих уравнению (5), опреде-

лен функционал качества

3 (ф0(х),фЦ,х),и(г,х{1})) = <1

= J ! Ш{1,ф{1,х),и(ь,хт))бх<11 + в{ф{1 ь!)), ^

«о Н"

где ф(р, х),и) : Т х Е" х II —> К - ограниченная функция, II =

и®

Х.-.ХС/^, а : 5 —> Ж - ограниченный функционал, ¡У =

= {(^(х) = ... - множество допустимых плотностей

вероятности вектора состояния. Функция ш(1,ф(1,х),и) и функционал 0(ф) заданы, €

Рассматриваются две задачи оптимального управления. Первая состоит в определении функций ф*(Ь,х) и и* £(1)), доставляющих минимум функционалу (б) при заданной функции фо(х) £ ^ а вторая, более

общая, заключается в нахождении оптимальной синтезирующей функции и* (t, X(i), ф(х)) : Т х Кт х $ —► U для определения оптимального управления при любой функции фо{х) €

В разделе 2.2 на основе принципа расширения В Ф. Кротова и с использованием методики, предложенной A.B. Пантелеевым для стохастических систем с фиксированной структурой, доказаны достаточные условия оптимальности в задачах поиска оптимального управления и оптимальной синтезирующей функции. На основе этих условий получены соотношения для определения оптимального управления. Рассмотрены предельные случаи информированности и найдены соотношения для синтеза оптимального программного управления (тп = 0) и оптимального управления с полной обратной связью (тп = п).

В разделе 2 3 рассмотрена задача синтеза оптимального в среднем управления, т.е. при условии, что функционал (6) записывается в виде

J (фо(х), ф(Ь, х), u(t, £(!))) = ti

= J J(t, x, и (t, x^^(t,x)dxdt + J вт(х)ф(11,х)йх,

to Rn R"

U>(t,X,U) = [^(i,*,!^)) ... U>^(t,X,uW)]r,

в(х) = [0<1>(х) ... 0W(z)]T,

где функции (t, x, u^) и в^{x) заданы, к = 1,2,..., N.

В частности, показано, что для функций х) и u*(t, хщ) справедливы соотношения

i,j=i * J

дх.

X ф*^ (t, х{2) 1я(1)) dx{2) |, ^

дф*(г,х)

dip(t,x)

в которых ф*^ (¿,т(2) I х(1)) = I J ф*{к){1,х)<1х{2), ф(г,х) =

Цп-т

= [фМ&х) ... , аг)| , — — матрица операторов, сопря-

женных по отношению к операторам Акт'-

ЛГ

' 3 т=1,гфк

к»

где А, г = 1,2,..., ЛГ, А ^ г.

В предельных случаях информированности получены соотношения, аналогичные уравнениям стохастического принципа максимума для стохастических систем с фиксированной структурой (т = 0), и обобщенные уравнения Беллмана (пг = п).

Далее, в разделе 2.4 рассмотрен частный случай, когда уравнение (4) является линейным, т.е.

<гх(«) = (л<*>(г)Х(г) + £<*>(«) и<*>(г) + с{к){1))м + £>«(*)<лу(0, (9)

где (7^(4), - матрицы размера га х п, п х д, п х 1,

ПХ8 соответственно, а функционал (7) - квадратичным по координатам вектора состояния:

7 (ф0(х),ф(г,х).и(г,х{1))) = «о и»

1 * Г

х фМ(Ь,х)<И<1х + - V / хт1{{к)хф(к)(1ъх)йх,

2 ... 7

(Ю)

где — неотрицательно определенные симметрические мат-

рицы размера п х п, — положительно определенная симметриче-

ская матрица размера 9x9. Предполагается, что ограничения на управление отсутствуют, те. С/« = Ш", функции Хкг(Ь,х) не зависят от х и | х) = 6(х - х).

Установлено, что при т = 0 задача (8) сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы N(n2 + Ъп + 4)/2 обыкновенных дифференциальных уравнений, а при т = п необходимо и достаточно решить задачу Коши для системы N(п2 + 3п + 2)/2 обыкновенных дифференциальных уравнений.

В разделе 2.5 для решения задачи (8) с использованием спектральной формы математического описания систем управления доказано утверждение о представлении частной производной функции времени и вектора состояния по переменной t с учетом значения функции в момент ii и утверждение, позволяющее находить спектральные характеристики функций вида /i(!) (i, X(i)) = W(2)/i(i, x) по известным спектральным характеристикам линейного функционала W(2) : Dwm С L2 (R"~m; P(2) (^(2))) —► R и функции h(t, х), где р(2) (х(2)) = pm+i(xm+i) ■ ■ ■ р„(хп). При этом для представления функции h(i) (t, £(!)) используется базисная система

пространства Ь2 (Т х Кт;т{£)рщ (а:(1))), функции которой порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем

(Р1(»1,®1)}™=0, •••. {Рт(«т,Ят)}~ =0' Рт (®(1)) = Рг(Х1) ■ ■ ■ Рт(хт)- Для представления линейного функционала >У(2) применяется базисная система {р(2) (гт+1, ...,гп, х(2)) гп=0 пространства Ь2 (Кп_т; р(2) (х(2))), функции которой порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем {рт.н(*т+1,ят+1)}~+1=о> •••> {Рп(гп,хп)}^=0- Кроме того, установлена связь между спектральными характеристиками функций времени и вектора состояния и спектральной характеристикой их произведения (с помощью спектральных характеристик множительного звена).

В результате получен спектральный аналог задачи (8):

io,ii,...,im=0

Щ{к\т+1,0)

Ut{k)(m + 2,0) =

f/2 (m+1,0)

(И)

t/;<fc)(m+ 1,0)

где и*^к\т + 1,0) — спектральная характеристика координаты с номером I функции и*^ , I = 1,2,----д, а 11*^(т + 2,0) - многомерная

матрица размерности т + 2, построенная посредством агрегатирования

многомерных матриц U^k\m+ 1,0), U^(m + 1,0), ..., Uq^k\m + 1,0),

k = 1,2,...,JV;

' P\n + 1, n + 1) • Ф*<1>(п + 1,0)- Au(n + 1, n + 1) • + 1,0) - ... -

- Aw{n + 1, n + 1) • Ф+ 1,0) =

= г(£о)-9(1,0;£о)®Ф^(п,0), < ... (12) Р((п + 1, n + 1) • ФфДО(п + 1,0) — - Am{n + 1,n + 1) • Ф*<1>(п + 1,0) - ... —

- ANN(n + 1, n + 1) • Ф*М(п + 1,0) =

= T(t0)-q(l,0;to)®$f)(n,0),

где наряду с обозначениями, использовавшимися при записи системы уравнений (3), через Ф*^(п + 1,0) обозначены спектральные характеристики функций 4>*W(t,x), k = l,2,...,N;

' -[PÉ(n+ 1,п+1)]т-ф<1>(п+ 1,0) -~L(n+ 1,п + 1) ■Ф<1>(п + 1,0) + + A*n (n + 1, n + 1) • ФW(n + 1,0) + ...+ + Ajri(n + l,n+l)-»W(n+l,0) = = П<х>(п + 1,0)+ r(ti) ■ g(l, 0; t\) ® ©«(n, 0),

(13)

- [P*(n + 1, n + 1)]T • ФW(n +1,0)- L{n + 1, n + 1) • ФW(n + 1,0) + + A'1N(n + 1, re + 1) • Ф<% +1,0) + ...+ + Á¡fN{n + 1,n + 1) • Ф+1,0) = = ßW(n + 1,0)+ r(ti) ■ q{ 1,0;íj) ® e^fn, 0),

где L(n+1, n+1) — спектральная характеристика оператора умножения на логарифмическую производную весовой функции t(í); А*к{п + l,n+ 1) — спектральные характеристики линейных операторов А*к, Ф+ 1,0) — спектральные характеристики функций х), П<*>(n + 1,0) и 0)

- спектральные характеристики функций uj^(t:x) и в^Цх) соответственно, к, г = 1,2,..., ÍV; <7(1,0; íj) — вектор значений функций базисной системы {д(М)}~=0 при t — ti.

В отличие от (3), в уравнениях (12) и (13) спектральные характеристики Акк(п + 1, п + 1) и Акк(п + 1, п + 1) зависят от многомерной матрицы U*^(m + 2,0), которая в свою очередь зависит от спектральных характеристик Ф*<*>(п +1.0) и ¥к'>(п + 1,0); спектральная характеристика

+ 1,0) также зависит от {/*<*> (m + 2,0). В частности, зависимость U*(k\m + 2.0) от <И*>(п + 1,0) и Ф^(тг + 1,0) найдена для систем, описываемых уравнением (9) с функционалом качества (10).

Таким образом, уравнения (11)—(13) представляют собой замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются коэффициенты разложения функций 4>*^(t,x) и ip^it. х) в ряд по функциям базисной системы {e(io, ц,____in,t, х)}^ и коэффициенты разложения функций хц)) в ряд но функциям базисной системы {е(1) (г0, ii,...,im,t, х(1)) jm=Q, l = l,2,...,q,k=l,2,...,N.

Сформирована методика решения задачи синтеза оптимальных в среднем систем со случайной структурой, а именно указаны этапы, необходимые для нахождения спектральным методом функций х)

и u*№(t, £(!)) но заданному уравнению системы (4), ненормированным плотностям вероятности ф^\х) начального состояния Xq, интенсивно-стям переходов Xkr{t,x), условным плотностям восстановления реализаций qkr(t,x | х) и функционалу качества (7).

Для решения задачи (11)—(13) предлагается переход от системы нелинейных алгебраических уравнений к соответствующей задаче безусловной оптимизации с последующим применением методов нулевого порядка, например, метода случайного поиска или метода конфигураций.

Как и в случае анализа систем со случайной структурой спектральным методом, при практических расчетах на ЭВМ предлагается использовать базисные системы с конечным числом функций, т.е. усекать спектральные характеристики функций, линейных операторов и линейных функционалов до некоторого заданного порядка.

В разделе 2.6 приведены примеры синтеза оптимального управления в случае нелинейного по плотности вероятности функционала качества, оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью линейной системой с квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества, а также пример синтеза оптимального управления линейной системой с полной и неполной обратной связью с помощью разработанного метода, основанного на спектральной форме математического описания систем управления.

В третьей главе описывается программное обеспечение спектрального метода анализа и синтеза систем управления Spectrum. В разделе 3.1 дана краткая характеристика системы Spectrum, описаны ее основные возможности. Раздел 3.2 посвящен описанию одного из главных модулей этой

системы — диалоговому формирователю алгоритма вычислений в спектральной области, а в разделе 3.3 перечислены классы задач теории управления, которые можно решать спектральным методом с использованием системы Spectrum.

В заключении кратко перечислены результаты, полученные в диссертационной работе.

Приложение 1 содержит необходимые сведения из теории многомерных матриц, в частности, основные понятия и определения, способ представления многомерных матриц, операции над многомерными матрицами и их свойства.

Алгоритмическое обеспечение спектрального метода описано в приложении 2, а именно приведен вывод рекуррентных соотношений для вычисления спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения, а также спектральных характеристик множительного звена относительно обобщенных полиномов Лагерра, функций Лагерра, полиномов Эрмита и функций Эрмита.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основным итогом диссертационной работы является разработка спектральных методов анализа и синтеза систем со случайной структурой. Это выражается в следующих результатах.

1. Предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа (обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмого-рова), позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой.

2. Разработан метод анализа систем со случайной структурой, основанный на спектральной форме математического описания систем управления, а именно получен спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова - уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев: для систем с двумя структурами, для систем с однонаправленными переходами между структурами и для систем, переходы в которых возможны только между соседними структурами. Получены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания. Сформирована методика решения задачи анализа.

3. Доказаны достаточные условия оптимальности в задаче управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния.

4. Найдены соотношения для определения оптимального управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния для общего случая минимизируемого функционала. Рассмотрены предельные случаи информированности.

5. Найдены соотношения для определения оптимального в среднем управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния. Рассмотрены предельные случаи информированности.

6. Получены соотношения для определения оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью для линейных систем со случайной структурой в случае квадратичного функционала качества.

7. Разработан метод синтеза оптимального в среднем управления для систем со случайной структурой, основанный на спектральной форме математического описания, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана. Сформирована методика решения задачи синтеза.

8. Разработано и внедрено в учебный процесс кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института (государственного технического университета) программное обеспечение спектрального метода Spectrum, предназначенное для решения задач анализа и синтеза систем управления различных классов, в том числе систем со случайной структурой

9. С помощью разработанного алгоритмического и программного обеспечения решены следующие прикладные задачи: задача анализа релейной следящей системы управления^ подверженной случайному внешнему воздействию, с учетом возможного разрыва обратной связи; задача анализа системы поиска и захвата информационного сигнала; задача оптимальной стабилизации одномерной и двумерной систем с двумя структурами при неполной информации о векторе состояния

ш-изт"3*"

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритм анализа многомерных стохастических непрерывно-дискретных систем спектральным методом. , // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвуз. сб. науч. тр. - М.: МИРЭА, 2003. - с. 81—89. J

2. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Анализ систем с переменной струк- ^ турой в классе обобщенных характеристических функций. // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2003, № 11. I

3. Рыбаков К А., Сотскова И.Л. Синтез оптимальных систем с неременной структурой при неполной информации. // Электронный журнал 1 «Труды МАИ». - 2003, № 13.

4. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектральных преобразований Spectrum. // Электронный журнал «Труды МАИ». — 2003, № 14.

5. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях 1 изменения времени и фазовых координат. // Электронный журнал «Труды i МАИ». - 2004, № 16. j

6. Рыбаков К.А. Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управ- > ления. // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2005, К« 18.

7. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектрального метода 1 анализа и синтеза систем управления. // Теоретические вопросы вычис- ' лительной техники, программного обеспечения и информационных технологий в муниципальном хозяйстве: Межвуз. сб. науч. тр. - М.: МИРЭА,

2005. - с. 37-41.

8. Рыбаков К.А. Оптимальное управление системами со случайной 1 структурой при неполной информации о состоянии. // Труды конф. «Про- ' блемы управления и приложения (техника, производство, экономика)». —

Т. 2. - Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2005. - с. 144—149. /

9. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л Спектральный метод анализа нелинейных систем управления со случайной структурой. // Авиакосмическое I приборостроение. — 2006, № 2. )

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Рыбаков, Константин Александрович

Введение

1 Анализ систем со случайной структурой

1.1 Постановка задачи анализа.

1.2 Спектральный метод анализа систем со случайной структурой

1.3 Примеры анализа систем со случайной структурой спектральным методом.

2 Синтез систем со случайной структурой

2.1 Постановка задачи синтеза оптимального управления

2.2 Достаточные условия оптимальности

2.3 Синтез оптимального в среднем управления

2.4 Синтез оптимальных линейных систем

2.5 Спектральный метод синтеза оптимального управления системами со случайной структурой.

2.G Примеры синтеза оптимальных систем со случайной структурой

3 Программное обеспечение спектрального метода анализа и синтеза систем управления

3.1 Назначение и основные возможности.

3.2 Диалоговый формирователь алгоритма вычислений в спектральной области.

3.3 Классы решаемых задач.

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Рыбаков, Константин Александрович

Современные задачи управления техническими объектами, позволяющие учитывать различные режимы функционирования, скачкообразные внешние воздействия или возможный отказ элементов, приводят к необходимости описания их математических моделей различными уравнениями на разных интервалах времени, т.е. использовать модели систем с переменной структурой, или мультиструктурные системы.

Примерами систем с переменной структурой могут служить системы управления сближением летательных аппаратов [108], системы управления посадкой спускаемого аппарата, снабженного парашютной системой, в турбулентной атмосфере [10], системы поиска и захвата информационного сигнала в задачах навигации и управления полетом летательных аппаратов [29], системы комбинированного наведения на цель [42], а также системы управления с возможными нарушениями и отказами [11,87,88,110-118].

Причины, приводящие к изменению структуры системы, могут иметь различный характер, например, выход из строя одной из подсистем, перерывы при поступлении информации в контуре управления [42], адаптация к условиям внешней среды [108], скачкообразно изменяющиеся помехи [19], являющиеся результатом естественных или искусственных внешних воздействий, превышение координатами вектора состояния заданных пороговых значений [28] и т.д.

Область применения систем с переменной структурой не исчерпывается задачами управления летательными аппаратами, эти системы являются математическими моделями мультирежимных систем автоматического управления, для которых характерно скачкообразное изменение отдельных параметров или структуры, т.е. совокупности функциональных элементов и характера связей между ними [26].

Таким образом, разработка новых методов анализа и синтеза систем управления с переменной структурой является актуальной задачей.

Теория детерминированных систем с переменной структурой начала развиваться в конце 50-х годов прошлого столетия. В большинстве работ того периода рассматривались системы с ограничением па координаты вектора состояния и кусочно-линейные системы второго порядка со скалярными управлением и регулируемой величиной [107], а базовым методом исследования был метод фазовой плоскости в координатах ошибки и ее производных. Основные результаты этой теории изложены в работах С.В. Емельянова и его учеников [26,102].

В 70-е годы начался следующий этап, для которого характерны исследования существенно нелинейных систем с нелинейными поверхностями переключения и векторным управлением. Наиболее эффективным методом управления детерминированными системами с переменной структурой служит преднамеренное введение скользящих режимов, позволяющее произвести декомпозицию исходной задачи на подзадачи меньшей размерности. Применение скользящих режимов в системах с переменной структурой развивалось В.И. Уткиным [106,107]. В настоящее время разрабатываются методы синтеза оптимального управления нелинейными системами с переменной структурой [53,112,127].

Более общим классом систем, математическая модель которых позволяет учитывать случайные воздействия, являются стохастические системы с переменной структурой. Модель стохастической системы с переменной структурой имеет конечное число структур, переключение между которыми происходит в случайные моменты времени. Прежде всего, следует отметить, что в отличие от детерминированных систем с переменной структурой переход между структурами в стохастической системе может происходить не только при достижении координатами вектора состояния заданной поверхности переключения (такой тип переключения называется сосредоточенным переходом), но и при любом значении координат вектора состояния с вероятностью, зависящей в общем случае от времени и текущего значения этих координат (распределенный переход). Стохастические системы с распределенными переходами называются системами со случайной структурой.

Целью настоящей диссертации является разработка новых методов анализа и синтеза систем со случайной структурой, основанных на спектральной форме математического описания систем управления.

Остановимся на обзоре существующих методов решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой. Можно выделить два основных направления вероятностного анализа. Первое направление, берущее начало в работах А.Н. Скляревича [87,88] и продолженное впоследствии Ф.А. Скляревичем [89], связано с определением моментпых характеристик вектора состояния динамической системы с возможными нарушениями, например, в задачах теории надежности. А второе, более общее, заключается в нахождении плотности вероятности вектора состояния и плотности вероятности перехода, как наиболее полных вероятностных характеристик вектора состояния. В основе второго подхода лежит модель систем с поглощением и восстановлением реализаций случайного процесса, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа, синтеза и фильтрации стохастических систем управления с переменной структурой как при распределенных переходах, так и при сосредоточенных [5,7,29], а также стохастических логико-динамических систем [6].

Применение скользящих режимов в стохастических системах также имеет место [113], но, как показано в [31], анализ подобных систем можно свести к анализу мультиструктуриых систем с сосредоточенными переходами.

В связи с вышесказанным второй подход представляется более предпочтительным с точки зрения решения прикладных задач, и поэтому составляет методологическую и теоретическую базу исследования, основы которой были заложены в 70-е годы В.М. Артемьевым [5,6], В.А. Бухале-вым [12-15] и И.Е. Казаковым [28,30,32].

Для нахождения плотности вероятности вектора состояния системы управления со случайной структурой необходимо интегрировать систему обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова [5,28-31,108,120]. Методы анализа систем со случайной структурой, основанные на интегрировании обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, аналогичны методам анализа стохастических моноструктурных систем (систем с фиксированной структурой) [20,55,83,104] и, следовательно, обладают всеми их достоинствами и недостатками. Аналитические методы применимы лишь в исключительных случаях. Из приближенных методов наиболее простым является метод гауссовской аппроксимации, однако он наименее точен, т.к. в отличие от моиоструктурных стохастических систем даже в случае линейной модели объекта данный метод не дает точного результата [2,31]. Основное распространение получили методы, в основе которых лежит представление неизвестной плотности вероятности в виде ряда по ортогональным функциям (метод ортогонального разложения [28], методы аиализа с использованием семиинвариантов и квазимомептов [108]). Эти методы позволяют перейти от уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова к системе обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно большой размерности, численное интегрирование которой требует значительных временных затрат.

В качестве альтернативы обобщенным уравнениям Фоккера-Планка-Колмогорова можно с помощью преобразования Фурье свести задачу к решению обобщенных интегро-дифференциальных уравнений B.C. Пугачева [28,31], неизвестными в которых являются характеристические функции вектора состояния. Данный метод удобно применять в случае негладких локальных статистических характеристик вектора состояния - коэффициентов сноса и диффузии. Уравнения B.C. Пугачева имеют меньший порядок, тем не менее, аналитические методы решения к ним в общем случае также не применимы.

Другой подход основан на численном интегрировании обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова с использованием методов, разработанных для классических уравнений [33,104,109,114]. Однако подобные методы имеют очевидные ограничения на размерность вектора состояния исследуемой системы.

Методы решения классических уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова подробно рассмотрены в работах [20,36,104,115,124-126].

Для определения плотности вероятности вектора состояния также можно применять метод статистического моделирования [2,3,45,55,83], но для достижения приемлемой точности требуется значительный объем вычислений.

В настоящей диссертации предлагается новый подход к решению задачи вероятностного анализа, основанный на формализме спектрального метода [93-98,123], позволяющий перейти от системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе линейных неоднородных алгебраических уравнений и получить решение в явном виде. Общая характеристика спектрального метода и основные этапы его развития будут приведены ниже.

Рассмотрим задачи и методы синтеза оптимального управления системами со случайной структурой. В работах [5,30] рассматривалась задача синтеза оптимального управления с полной обратной связью на ограниченном интервале изменения времени с учетом смены структуры в случае линейного по плотпости вероятности функционала качества, т.е. оптимального в среднем управления. А в [116-118] изучалась та же задача, по на полубесконечном промежутке изменения времени, а также с эргодическим критерием качества управления. Однако на практике не всегда есть возможность измерения всех координат вектора состояния, кроме того, рассмотрение случая, когда функционал качества является линейным по плотности вероятности вектора состояния, сужает класс возможных решаемых задач.

В настоящей работе получены новые достаточные условия оптимальности в задаче управления нелинейной системой со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния, основанные на принципе расширения В.Ф. Кротова [23,37]. При выводе соотношений для оптимального управления используется методика, предложенная А.В. Пантелеевым для моноструктурных детерминированных и стохастических систем, а также систем управления ансамблем траекторий [47,48,50,82]. Другая форма условий оптимальности для моноструктурных систем была получена М.М. Хрусталевым [52,76]. Результаты [47,48,50,76,82] обобщаются на класс систем со случайной структурой.

Полученные соотношения позволяют найти оптимальное управление с неполной обратной связью, т.е. в случае, когда управление зависит от времени и части координат вектора состояния, причем функционал качества управления в общем случае является нелинейным по плотности вероятности вектора состояния, как частный случай рассмотрен синтез оптимального в среднем управления. Также проанализированы предельные случаи информированности о векторе состояния и найдены соотношения для синтеза оптимального программного управления и управления с полной обратной связью.

Наряду с этим решена задача синтеза оптимальных линейных систем со случайной структурой и квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества как при отсутствии информации, так и при наличии полной информации о векторе состояния.

Существующие методы решения задачи сиитеза стохастических систем с фиксированной структурой применимы лишь в частных случаях [35,110,119], а для систем со случайной структурой подобные методы в литературе практически не описаны, за исключением синтеза оптимального управления линейными системами и квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества при точных и неточных измерениях. В связи с этим для решения задачи синтеза оптимального управления мультиструктурными системами предлагается новый метод, так же как и для задачи вероятностного анализа, основанный на спектральной форме математического описания систем управления.

С помощью спектрального преобразования, соотношения для определения оптимального управления, а именно система обобщенных уравнений Фоккера-Плапка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана, сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, решение которой осуществляется либо итерационными методами [46], либо методом сведения к эквивалентной задаче безусловной оптимизации с последующим применением методов нулевого порядка, например, случайного поиска или конфигураций [49].

Спектральный метод анализа и синтеза линейных детерминированных и стохастических систем управления был разработан в конце 60-х годов В.В. Семеновым [77,78,86], а затем обобщен па нелинейные системы [85]. Предпосылкой развития спектрального метода явились исследования иод руководством В.В. Солодовиикова в области аналитических самонастраивающихся нестационарных систем и применение метода ортогональных спектров как обобщения частотного метода [92].

В основе спектрального метода лежит представление сигналов совокупностью коэффициентов разложения их в ряд Фурье по полной ортонор-мированной системе функций, заданной в общем случае па нестационарном отрезке. Базовые понятия метода — нестационарные спектральные характеристики (спектральные характеристики функций), нестационарные спектральные плотности (спектральные характеристики математического ожидания и ковариационной функции случайного процесса) и нестационарные передаточные функции (спектральные характеристики линейных операторов). Теория спектрального метода и ее приложения нашли свое отражение в монографиях В.В. Семенова и В.В. Солодовникова [93-95], В.В. Солодовиикова, А.Н. Дмитриева и Н.Д. Егупова [91], а также С.В. JIaи пина и Н.Д. Егупова [41].

Дальнейшее развитие спектрального метода связано с решением задачи вероятностного анализа многомерных стохастических систем с фиксированной структурой. В работе [79] введено понятие обобщенной характеристической функции — нестационарной спектральной характеристики плотности вероятности вектора состояния стохастической системы, однако для получения уравнения обобщенной характеристической функции как спектрального аналога уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова спектральное преобразование применялось только по координатам вектора состояния, и, таким образом, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогичный подход был применен для синтеза оптимального управления нелинейными стохастическими системами [80]. В работах И.Л. Сотсковой [96,97] для вывода уравнения обобщенной характеристической функции спектральное преобразование применялось и по координатам вектора состояния, и по переменной времени, что позволило свести уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова к линейному алгебраическому тензорному уравнению и получить решение в явном виде, а в [123] приведено обоснование данного метода и вывод как дифференциального, так и алгебраического уравнения обобщенной характеристической функции. В работе [51] был предложен подход, использующий спектральных метод, для решения задачи синтеза оптимальных стохастических систем с неполной обратной связью, в частности, были получены спектральные аналоги уравнений стохастического принципа максимума и уравнения Беллмана. Кроме того, И.Л. Сотсковой и автором настоящей диссертации разработаны спектральные методы анализа логико-динамических и непрерывно-дискретных стохастических систем как частного случая стохастических систем с переменной структурой [63,64,99,100].

Использование спектральной формы математического описания позволяет формализовать процесс решения задач анализа и синтеза в случае различных областей изменения времени и координат вектора состояния [62,98]. При решении задач анализа или синтеза стохастических систем управления с ограниченными областями изменения времени и координат вектора состояния используется алгоритмическое обеспечение спектрального метода для нестационарных конечных отрезков [84,93-95]. В случае неограниченных областей предлагается использовать обобщенные полиномы и функции Лагерра, ортогональные в пространстве 1>2([0, +оо)), а также полиномы и функции Эрмита, ортогональные в пространстве /^(К) [69].

В диссертационной работе получены алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения (нестационарных передаточных функций дифференцирующего, интегрирующего и усилительного звеньев соответственно), а также спектральных характеристик множительного звена (трехмерных нестационарных передаточных функций множительного звена), определенных относительно системы обобщенных полиномов и функций Лагерра, полиномов и функций Эрмита для решения различных прикладных задач теории управления с использованием спектральной формы математического описания систем в случае полубесконечиых или бесконечных промежутков изменения времени и координат вектора состояния, в частности, для решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой. Выбор базисных функций определяется условиями конкретной задачи, но в рассматриваемом контексте полипомы или функции Эрмита удобно применять при спектральном преобразовании по координатам вектора состояния, а для переменной времени целесообразно применять обобщенные полиномы или функции Лагерра, если промежуток изменения времени не ограничен.

При численном расчете систем управления спектральным методом можно использовать как полиномы, так и функции Эрмита для бесконечных интервалов измеиеиия координат вектора состояния, и обобщенные полиномы или функции Лагерра для полубесконечных интервалов изменения времени с последующим сравнением результатов, что является одним из методов контроля правильности и точности расчетов [95].

Спектральный метод является более универсальным по сравнению с другими методами, основанными на ортогональных разложениях, например, методом моментов [111], представлением плотпости вероятности рядами Грама-Шарлье или Эджворта [108], поскольку соотношения для решения задач анализа и сиитеза спектральным методом, во-первых, представляют собой алгебраические уравнения, а во-вторых, они инвариантны к выбору базисных систем и их свойствам.

В первую очередь, спектральный метод ориентирован на применение цифровых вычислительных машин, поэтому наряду с развитием спектральной теории разрабатывалось и совершенствовалось соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение. В семидесятых годах для расчета систем управления использовались пакеты подпрограмм спектрального метода, написанные на языках Алгол-60 и Фортран [95], а в начале восьмидесятых были заложены принципы построения САПР динамики систем управления с диалоговыми формирователями программ, ее основу составили система элементарных алгоритмов динамического расчета, ориентированная на предметную область теории управления, и система специализированных алгоритмов динамического расчета, предназначенная для решения конкретных прикладных задач [81]. В частности, были разработаны модули элементарных и специализированных алгоритмов динамического расчета спектрального метода на языках программирования Алгол-60, Фортран и PL/1 [72]. В начале девяностых появилась система СПЕКТР для расчета систем управления спектральным и частотным методами, а также методом моделирования [16]. Особенностью данного программного обеспечения является задание системы управления с помощью структурных схем, что обеспечивает наглядность и простоту решения задач анализа. Другой подход использован в системе ИКС-АЛГОРИТМ [17], в основе которой лежит ввод формул в директивном режиме на ограниченном языке, ориентированном на применение библиотеки подпрограмм спектрального метода. Однако все описанные программные средства не отвечают современным требованиями, предъявляемым к программному обеспечению, более того, они разрабатывались для устаревших в настоящее время операционных систем и вычислительных машин, поэтому возникла необходимость в разработке нового программного обеспечения спектрального метода. В настоящее время на кафедре «Математическая кибернетика» Московского авиационного института В.В. Рыбиным разработаны расширения математических пакетов MathCAD, VisSim+MathCAD, Matlab, Maple и Mathematica для анализа линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления при детерминированных или случайных воздействиях в спектральной форме математического описания [73-75]. В рамках диссертационной работы создано программное обеспечение Spectrum, прежде всего ориентированное на решение задач анализа и синтеза многомерных нелинейных стохастических систем с фиксированной и случайной структурой [56].

Научная новизна работы заключается в следующих результатах: предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа — обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой; разработай спектральный метод анализа систем со случайной структурой, а именно найден спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова — уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев, найдены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания, сформирована методика решения задачи анализа; поставлена задача синтеза оптимальных систем со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния и доказаны достаточные условия оптимальности в этой задаче; получены соотношения для определения оптимального управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния, как частный случай рассмотрена задача оптимального в среднем управления; найдены соотношения для определения оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью линейными системами со случайной структурой с квадратичным функционалом качества; разработан спектральный метод синтеза оптимальных в среднем систем со случайной структурой, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана, сформирована методика решения задачи синтеза; для решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой спектральным методом разработаны алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения в базисах обобщенных полиномов и функций Лагерра, полииомов и функций Эрмита.

Результаты, полученные в диссертационной работе, вносят определенный вклад в развитие методов анализа и синтеза систем со случайной структурой и теорию оптимального управления системами со случайной структурой, дополняют спектральную теорию систем управления.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на научно-образовательном семинаре «Проблемы математической кибернетики» центра исследования устойчивости и нелинейной динамики при институте машиноведения РАН и кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института под руководством академика В.М. Мат-росова и на следующих научных конференциях: на втором международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ», Москва, июнь 2002 г.; на одиннадцатом международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта, сентябрь 2002 г.; на четвертой международной конференции «Компьютерное моделирование 2003», Санкт-Петербург, июнь 2003 г.; па двенадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Владимир, июль 2003 г.; на восьмой международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении», Санкт-Петербург, июнь 2004 г.; на третьей международной конференции «Авиация и космонавтика - 2004», Москва, ноябрь 2004 г.; на международной конференции «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)», Минск, май 2005 г.; на второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, июнь 2004 г.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ [50,58,59,64,66, 68,69], две работы находятся в печати [60,71]. Часть материалов вошла в отчеты о иаучно-исследовательской работе по госбюджетной теме «Развитие методов нелинейного анализа в классической небесной механике» за 2002, 2003, 2004 годы, раздел «Программное обеспечение новых методов анализа и синтеза динамических систем и тестирующих обучающих систем».

Программное обеспечение Spectrum используется в учебном процессе кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института для проведения расчетных, лабораторных и курсовых работ по курсам «Теория автоматического управления» и «Спектральная теория систем управления».

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

Заключение диссертация на тему "Спектральный метод анализа и синтеза систем со случайной структурой"

Заключение

1. Предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа — обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой.

2. Разработан метод анализа систем со случайной структурой, основанный на спектральной форме математического описания систем управления, а именно получен спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова — уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев: для систем с двумя структурами, для систем с однонаправленными переходами между структурами и для систем, переходы в которых возможны только между соседними структурами. Получены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания. Сформирована методика решения задачи анализа.

7. Разработан метод синтеза оптимального в среднем управления для систем со случайной структурой, основанный на спектральной форме математического описания, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмапа. Сформирована методика решения задачи синтеза.

9. С помощью разработанного алгоритмического и программного обеспечения решены следующие прикладные задачи: задача анализа релейной следящей системы управления, находящейся под действием случайной помехи, с учетом возможного разрыва обратной связи; задача анализа системы поиска и захвата информационного сигнала; задача оптимальной стабилизации одномерной и двумерной систем с двумя структурами при неполной информации о векторе состояния.

Библиография Рыбаков, Константин Александрович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах. // УМН. — 19G7, т. XX1., вып. 6 (138). - с. 201-260.

2. Аверина Т.А. Метод Монте-Карло для анализа динамики нелинейных систем со случайной структурой. // Идентификация систем и задачи управления SICPRO'03. II Международная конференция, Москва. 2003: Тр. конф. М.: ИПУ, 2003. - с. 2106-2121.

3. Аверина Т.А. Статистический анализ систем с переменной структурой управления. // Идентификация систем и задачи управления SICPRO'04. Ill Международная конференция, Москва. 2004: Тр. конф. М.: ИПУ, 2004. - с. 490-501.

4. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. — М.: Мир, 1973. — 312 с.

5. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. — Минск: Вышэйшая школа, 1979. — 160 с.

6. Артемьев В.М., Ганэ В.А., Степанов B.JI. Управление в системах с разделением времени. — Минск: Вышэйшая школа, 1982. — 223 с.

7. Артемьев В.М., Наумов А.О., Степанов B.JI. Оптимальная фильтрация процесса случайной структуры при функционально заданной обратной связи в канале наблюдения. // Изв. АН. ТиСУ. 2000, № 1. -с. 44-50.

8. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

9. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. 382 с.

10. Борисов А.В. Предварительный анализ распределения состояний специальных управляемых систем случайной структуры. // Изв. АН. т ТиСУ. 2005, № 1. - с. 48-62.

11. Ф 11. Буравлев А.И., Казаков И.Е. Модель надежности самовосстанавливающейся системы со случайной структурой. // Изв. АН. ТиСУ. — 2001, № 1. с. 45-47.

12. Бухалев В.А. Анализ точности динамических систем со случайной структурой, описываемой условной марковской цепью. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976, № 2. - с. 179-186.

13. Бухалев В.А. Синтез управления марковским объектом со случайной структурой. // АиТ. 1979, № 8. - с. 49-58.

14. Бухалев В.А. Распознавание, оценивание и управление в системах со ф случайной скачкообразной структурой. — М.: Наука, 1996. — 288 с.

15. Бухалев В.А., Казаков И.Е. Адаптивная фильтрация сигналов при случайных интенсивностях изменений структуры динамической системы. // АиТ. 1984, № 2. - с. 66-71.

16. Виноградов В.И. СПЕКТР — интегрированная проблемно-ориентированная система моделирования. // Информатика. Автоматизация проектирования. М.: ВИМИ, 1992, вып. 2-3. - с. 50-56.

17. Галанина Е.Н. Инструментальные средства обеспечения этапа алгоритмизации расчета систем управления спектральным методом.• // Информатика. Автоматизация проектирования. — М.: ВИМИ, 1992,вып. 2-3. с. 57-60.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

19. Ганэ В.А., Куклев Е.А., Степанов B.JI. Системы управления при скачкообразных воздействиях. — Минск: Наука и техника, 1985. — 216 с.

20. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. 526 с.

21. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их став тистический анализ. — М.: Наука, 1965. — 524 с.

22. Гришин В.Н., Дятлов В.А., Милов JT.T. Модели, алгоритмы и устройства идентификации сложных систем. — JL: Энергоатомиздат, 1985. — 104 с.

23. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. — М.: Наука, 1985. 288 с.

24. Деврой JL, Дьерфи JT. Непараметрическое оценивание плотности. Li-подход. М.: Мир, 1988. - 408 с.

25. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. — Ижевск: РХД, 2002. 260 с.

26. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

27. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

28. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука, 1977. - 416 с.

29. Казаков И.Е. Стохастические системы со случайной сменой структуры. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989, № 1. - с. 5878.

30. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. — М.: Наука, 1980. — 384 с.

31. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. М.: Физматлит, 1993. — 272 с.

32. Казаков И.Е., Лобатый А.А. Вероятностный анализ сенсорного автомата. // АиТ. 1986, № 3. - с. 74-79.

33. Калиткин Н.Н., Алынин А.В., Алынина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. — М.: Физматлит, 2005. — 224 с.

34. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

35. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1984. — 256 с.

36. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. — М.: Наука, 1974. — 232 с.

37. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 446 с.

38. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. — М.: Наука, 1985. — 376 с.

39. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. — М.: Физматгиз, 1960. 471 с.

40. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. 736 с.

41. Лапин С.В., Егупов Н.Д. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 496 с.

42. Лысенко Л.Н., Нгуеи Танг Кыонг. Теоретические и прикладные аспекты синтеза мультиструктурных схем рекуррентной обработки информации в навигационных системах летательных аппаратов. // Изв. АН. ТиСУ. 1997, № 6. - с. 38-48.

43. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

44. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физ-матлит, 2002. - 320 с.

45. Никитин Н.Н. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений при наличии поглощающих границ. // АиТ. 1988, № 5. - с. 71-80.

46. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 558 с.

47. Пантелеев А.В. Условия оптимальности управления пучками траекторий динамических систем при неполной информации о состоянии. // Дифференциальные уравнения. — 1988, т. 24, № 5. — с. 810—818.

48. Пантелеев А.В. Достаточные условия оптимальности управления непрерывными стохастическими системами по неполному вектору состояния. // Изв. вузов. Математика. 1990, т. 342, № 11. - с. 50-61.

49. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 2005. — 544 с.

50. Пантелеев А.В., Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. — М.: Издательство МАИ, 1992. — 192 с.

51. Пантелеев А.В., Сотскова И.Л. Приближенный метод синтеза оптимальных стохастических систем при неполной информации. // Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах: Межвед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1993. - с. 135-142.

52. Плотников М.Ю., Хрусталев М.М. Условия глобальной оптимальности стратегий управления диффузиониыми процессами с возможностью обрыва траекторий при неполной информации о состоянии. // Изв. АН. ТиСУ. 2005, № 1. - с. 40-47.

53. Потапенко Е.М. Анализ и синтез системы управления с переменной структурой. // Изв. АН. ТиСУ. 1996, № 3. - с. 47-50.

54. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. — М.: Издательство МАИ, 1996. 744 с.

55. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990. - 632 с.

56. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектральных преобразований Spectrum. // Электронный журнал «Труды МАИ». — 2003, № 14.

57. Рыбаков К.А. Алгоритмическое и программное обеспечение спектральных преобразований Spectrum. // Авиация и космонавтика — 2004. III Международная конференция, Москва. 2004: Тез. докл. -М.: МАИ, 2004. с. 38.

58. Рыбаков К.А. Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2005, № 18.

59. Рыбаков К.А. Спектральный метод синтеза оптимальных систем управления со случайной структурой. // Математическое моделирование и краевые задачи. II Всероссийская научная конференция, Самара. 2005: Тез. докл. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2005. - с. 219-221.

60. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа многомерных стохастических логико-динамических систем. // Нелинейный динамический анализ. II Международный конгресс, Москва. 2002: Тез. докл. М.: МАИ, 2002. - с. 196.

61. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритм анализа многомерных стохастических непрерывно-дискретных систем спектральным методом. // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвуз. сб. науч. тр. М.: МИРЭА, 2003. - с. 81-89.

62. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа многомерных стохастических систем с переменной структурой. // Компьютерное моделирование 2003. IV Международная конференция, Санкт-Петербург. 2003: Тез. докл. — СПб.: Нестор, 2003. — с. 192-193.

63. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Анализ систем с переменной структурой в классе обобщенных характеристических функций. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2003, № 11.

64. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Синтез оптимальных систем с переменной структурой при неполной информации. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2003, № 13.

65. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2004, № 16.

66. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных систем управления со случайной структурой. // Авиакосмическое приборостроение, (статья принята к опубликованию в № 2 2006 г.)

67. Рыбин В.В. Разработка и применение пакетов расширения MLSYSM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2003, № 13.

68. Рыбин В.В. Разработка и применение пакета расширения SpektrSM пакета Simulink СКМ Matlab. // Электронный журнал «Труды МАИ». 2003, № 13.

69. Рыбин В.В. Разработка и применение пакета расширения SpektrSM системы VisSim+Mathcad. // Электронный журнал «Труды МАИ». — 2004, № 17.

70. Савастюк С.В., Хрусталев М.М. Оптимизация стохастических систем диффузионного типа с ограничениями на процесс управления-наблюдения. // АиТ. 1991, № 7. - с. 89-96, № 8. - с. 94-100.

71. Семенов В.В. Спектральный метод анализа нестационарных стохастических систем. // Изв. вузов. Приборостроение. — 1970, т. XIII, № 2. — с. 37-42.

72. Семенов В.В. Уравнение обобщенной характеристической функции вектора состояния систем автоматического управления. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. — Саратов: СПИ, 1977, вып. 2. с. 3-36.

73. Семенов В.В. Синтез алгоритмов управления нелинейными системами при случайных воздействиях с ограниченным составом точных измерений. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1978, вып. 3. - с. 3-20.

74. Семенов В.В. Принципы организации математического обеспечения САПР динамики систем управления с диалоговыми формирователями программ. // Переработка информации в задачах управления: Тем. сб. науч. тр. М.: МАИ, 1980. - с. 4-14.

75. Семенов В.В., Пантелеев А.В. Достаточные условия оптимальности управления ансамблем траекторий нелинейных динамических систем. // Дифференциальные уравнения. — 1985, т. 21, № 4. — с. 628-636.

76. Семенов В.В., Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления. — М.: Издательство МАИ, 1993. 312 с.

77. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления JTA спектральным методом. — М.: МАИ, 1984. — 84 с.

78. Семенов В.В., Сивцов В.И. Обобщение спектрального метода анализа нестационарных систем па конечных интервалах времени на нелинейные системы. // Изв. вузов. Приборостроение. — 19G9, т. XII, № 12. -с. 63-68.

79. Семенов В.В., Солодовников В.В. Спектральный анализ линейных систем с переменными параметрами на конечных нестационарных интервалах времени. // АиТ. 1968, № И. - с. 14-23.

80. Скляревич А.Н. Надежность систем с накоплением нарушений. — Рига: Зинатне, 1969. — 210 с.

81. Скляревич А.Н., Скляревич Ф.А. Линейные системы с возможными изменениями. — Рига: Зинатне, 1985. — 296 с.

82. Скляревич Ф.А. Метод анализа линейных объектов с изменяющимся режимом при зависимости воздействий от длительности режима. // АиТ. 1985, № 10. - с. 49-55.

83. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. — Киев: Нау-кова думка, 1972. 175 с.

84. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. — М.: Машиностроение, 1986. — 440 с.

85. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. - 336 с.

86. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральный метод расчета нестационарных систем управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1975. 272 с.

87. Солодовников В.В., Семенов В.В., Петель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы. — М.: Машиностроение, 1979. — 664 с.

88. Сотскова И.Л. Семантическая модель анализа стохастических систем управления ЛА. // Семантическое программирование в автоматизированном проектировании систем управления летательными аппаратами: Тем. сб. науч. тр. М.: МАИ, 1985. - с. 59-68.

89. Сотскова И.Л. Применение аппарата обобщенной характеристической функции к анализу стохастических систем управления ЛА. // Задачи стохастического управления: Тем. сб. науч. тр. — М.: МАИ, 1986. — с. 71-78.

90. Сотскова И.Л. Исследование корректности краевых задач для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе обобщенных характеристических функций. // Новые задачи оптимизации авиационных систем: Тем. сб. науч. тр. М.: МАИ, 1989. - с. 26-33.

91. Сотскова И.Л. О спектральной форме представления задачи анализа логико-динамических систем. / МАИ. Деп. в ВИНИТИ. - 21.08.97, № 2427. - 12 с.

92. Татарский В.И. Распространение воли в турбулентной атмосфере. — М.: Наука, 1967. 548 с.

93. Теория систем с переменной структурой. / Под ред. Емельянова С.В. М.: Наука, 1970. - 592 с.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. 288 с.

95. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. — М.: Советское радио, 1977. 488 с.

96. Уилкиисон Дж., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. — 389 с.

97. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. — М.: Наука, 1974. — 272 с.

98. Уткин В.И. Системы с переменной структурой: состояние проблемы, перспективы. // АиТ. 1983, № 9. - с. 5-25.

99. Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С. Системы управления конечным положением в условиях противодействия среды. — М.: Наука, 1989. 272 с.

100. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. — М.: Физмат-лит, 2004. 398 с.

101. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

102. Шайкин М.Е. Бескоординатный подход к методу моментов в теории многомерных стохастических систем. // АиТ. 2002, № 5. — с. 81-91.

103. Cassandras C.G., Pepyne D.L., Wardi Y. Optimal control of a class of hybrid systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. 2001, v. 46, no. 3. -p. 398-415.

104. Chang K.Y., Wang W.J. Robust covariance control for perturbed stochastic multivariable system via variable structure control. // Systems к Control Letters. 1999, v. 37, no. 5. - p. 323-328.

105. Di Paola M., Soft A. Approximate solution of the Fokker-Planck-Kolmo-gorov equation. // Prob. Engng. Mech. 2002, v. 17, no. 4. - p. 369-384.

106. Fok J., Guo В., Tang T. Combined Hermite spectral-finite difference method for the Fokker-Planck equation. // Mathematics of computation. 2001, v. 71, no. 240. - p. 1497-1528.

107. Ghosh M.K., Arapostathis A., Marcus S.I. Optimal control of switching diffusions with application to flexible manufacturing systems. // SIAM J. Control Optim. 1993, v. 31, no. 6. - p. 1183-1204.

108. Ghosh M.K., Arapostathis A., Marcus S.I. A note on an LQG regulator with Markovian switching and pathwise average cost. // IEEE Trans. Automat. Contr. 1995, v. 40, no. 11. - p. 1919-1921.

109. Ghosh M.K., Arapostathis A., Marcus S.I. Ergodic control of switching diffusions. // SIAM J. Control Optim. 1997, v. 35, no. 6. - p. 19521988.

110. Kontorovitch V. Pontryagin equations for non-linear dynamic systems with random structure. // Nonlinear Analysis. — 2001, v. 47, no. 3. — p.1501-1512.

111. Liberzon D., Brockett R.W. Spectral analysis of Fokker-Planck and related operators arising from linear stochastic differential equations. // SIAM J. Control Optim. 2000, v. 38, no. 5. - p. 1453-1467.

112. Morrison K. Spectral approximation of multiplication operators. // New York Journal of Mathematics. 1995, no. 1. - p. 75-96.

113. Semenov V.V., Sotskova I.L. The spectral method for solving Fokker-Planck-Kolmogorov equation for stochastic control system analysis. // Proc. of 2nd IFAC symposium on stochastic control. Preprints, part 1.- 1986. p. 131-136.

114. Shizgal B.D. Spectral methods based on nonclassical basis functions: the advection-diffusion equation. // Computers h Fluids. — 2002, v. 31. — p. 825-843.

115. Ulyanov S.V., Feng M., Ulyanov V.S., Yamafuji K., Fukuda Т., Arai F. Stochastic analysis of time-variant nonlinear dynamic systems. // Prob. Engng. Mech. 1998, v. 13, no. 3. - p. 183-226.

116. Wei G.W. A unified approach for the solution of the Fokker-Planck equation. // J. Phys. A: Math. Gen. 2000, v. 33, - p. 4935-4953.

117. Xu X., Antsaklis P.J. Optimal control of switched systems based on parameterization of the switching instants. // IEEE Trans. Automat. Contr.- 2004, v. 49, no. l.-p. 2-16.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00