автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Разработка метода автоматизированного исследования стохастических систем управления

ОБНИНСКИП ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ

На правах рукописи

УДК 621.039.58'68

МАКАРЕНКОВ Александр Михайлович

РАЗРАБОТКА МЕТОДА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность! 06.13.07 -

Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технически наук

Обнивсх - 1993

Работа выполнена в Обнинском институте атомной энергетики.

Научный руководитель« - доктор технических наук,

профессор Трофимов А.И.

Официальные оппоненты» - доктор технических наук,

профессор Острейковский В.А.

- кандидат технических наук, Малахов H.A.

Ведущая организация« АО Калужский турбинный завод

Защита состоится 2 июля 1993 года в часов на заседании специализированного Совета К 064.27.01 в Обнинском институте атомной энергетики по адресу« Калужская область, г.Обнинск, ИАТЭ.

Отзывы на автореферат /в двух экземплярах, заверенных печатью/ просим высылать по адресу« 249020, г.Обнинск Калужской обл.. ИАТЭ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАТЭ.

Автореферат разослан •_!_" ^К^нй 19ЭЗ г_

—Ученый Секретарь-

специализированного Совета, кандидат технических наук /f 1(1/ А.И.Перегуда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Разработка вероятностных методов, позволяющих эффективно решать задачи анализа и оптимизации качества систем, идентификации и оценивания их состояния, а также синтеза оптимального управления является одним из основных направлений в статистической теории автоматических систем. В настоящее время методы решения перечисленных задач хорошо развиты применительно к детерминированным системам, работающим в условиях случайных возму-дений. Что касается более общего класса систем - стохастических систем - то здесь эти методы разработаны еще недостаточно и по этой причине мало применяются в инженерной практике. Под стохасти-' ческюш системами понимаются системы управления со случайными параметрами, к которым может быть отнесено большинство реальных систем управления.

Разработка вероятностных методов в упомянутом выше смысле невозможна без получения адекватных математических моделей стохастических систем и решения задачи анализа. Следует также отметить, что характерной чертой методов описания и анализа стохастических систем является их относительная сложность по сравнению с теми же методами для детерминированных систем, что ведет к необходимости применения ЭВМ. Таким образом, актуальной становится задача разработки современных машинных методов анализа стохастических систем, соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Предлагаемая работа посвящена проблеме математического моделирования, анализа и автоматизированного исследования стохастических систем. Целы) работы является разработка метода автоматизированного исследования стохастических систем управления с доведением его до уровня инженерной методики, реализованной в программном комплексе.

Для достижения сформулированной цели ставятся следущие задачи исследования!

1. Разработать методику построения математического описания стохастических систем при условии, что все входные сигналы системы являются нестационарными случайными процессами, а сама система содержит как случайные тах и детерминированные переменные параметры-

2. Разработать инженерную методику анализа реальных стохастических систем.управления.

3. Разработать алгоритмическое и программное обеспечение для автоматизированного исследования стохастических систем.

4. Провести теоретическое и экспериментальное исследование реальной стохастической системы, в качестве которой рассматривается электрогидравлический привод вибрационного стенда для испытаний элементов конструкций ядерных энергетических установок (ЯЭУ). Построить математическую модель електрогидравлического вибрационного привода (ЭГВП) в классе стохастических систем.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработан новый метод описания и анализа стохастических систем, основанный на структурном подходе и использовании разложений временных характеристик сигналов и систем по базису ортогональных функций. Получено математическое описание на основе дискретных спектральных характеристик для типовых моделей стохастических систем и разработаны алгоритмы их статистического анализа.

На основе предлагаемого метода разработан оригинальный программный комплекс, предназначенный для автоматизированного исследования стохастических систем.

Получен ряд математических моделей ЭГВП, учитывающих влияние различных случайных факторов ва его работу при имитации случайных вибрационных'нагружений. Проведен статистический анализ серийного вибрационного стенда, построенного на основе ЭГВП.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные методики моделирования и анализа стохастических систем управления, а также построенный на их основе программный комплекс, использованы при проведении статистического исследования ЭГВП, входящего в состав опытной алект-рогидравлической вибрационной испытательной установки. Эта установка является частью разработанной в Калужском филиале МГТУ им. К.Э.Баумана многоцелевой системы управления виброиспытаниями изделий машино- и приборостроения. Целью исследования была оценка влияния случайного изменения коэффициента передачи цепи главной электрической обратной связи ЭГВП на статистические характеристики его выходного сигнала. Результаты исследования включены в научно-технический отчет ипроектную документацию.

Разработанный программный комплекс для автоматизированного исследования стохастических систем управления внедрен на ряде предприятий г.Калуги.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ»

I) методика построения математического описания стохастичес-

ких систем с использованием ортогональных разложений!

2) методика анализа стохастических систем управления;

3) алгоритмическое и программное обеспечение для автоматизированного исследования стохастических систем;

4) математические модели ЭГВП в классе стохастических систем и результата их исследования.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ. Проведенные с помощью разработанного метода статистические исследования конкретных конструкция испытательных стендов на основе ЭГВП включены в конструкторскую документацию и отчеты по НИР.

Результаты работы неоднократно докладывались на научно-технических конференциях по проблемам виброиспытания изделий машино- и приборостроения.

Основное содержание работы отражено в 3-х статьях и 2-х науч-но-техничвсютх отчетах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Работа изложена на 240 страницах, в том числе основного текста 145 страниц, 42 страницы рисунков, 15 страниц таблиц, библиографический список из 154 наименований на 16 страницах и приложения на 22 страницах.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ.

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность работы, определяется ее цель и кратко излагается ее содержание.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ приводится аналитический обзор состояния проблемы анализа стохастических систем, выявляются недостатки существующих методов анализа и формулируется постановка задачи исследования. Предлагается новый метод описания и анализа систем управления с сосредоточенными случайными параметрами, основанный на использовании ортогональных разложений.

Математической моделью процессов,-протекающих в стохастических системах автоматического управления, являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Наиболее строгие и законченные результаты по исследованию таких систем получены в настоящее время для сравнительно частного случая линейных систем, когда изменения коффяциентов - гауссовы белые шумы. При произвольных спектрах случайных процессов в стохастических системах точное решение задачи анализа не получено.

В большинстве работ, посвящеяшх исследованию стохастических

систем, недостаточное внимание уделяется вопросам разработки удобных форм описания и эффективных алгоритмов анализа, мало предлагается инженерных методов расчета этих систем. Исследования стохастических систем часто выполняются при предположениях, ограничивающих возможность практического применения полученных результатов, например, сигналы в системе представляются в виде физически нереализуемого белого шума, случайные процессы считаются стационарными а т.п.

Общим недостатком большинства методов описания и анализа стохастических систем является их относительная сложность, в то же время, в работах Е.А.Федосова а Г.Г.Себрякова в конце 60-х годов был предложен достаточно конструктивный подход, основанный на представлении стохастической системы управления в виде структурной схемы, на которой выделены случайные коэффициенты усиления и звенья, составляющие детерминированную часть системы. Анализ проводился частотным методом в основном для установившихся режимов робота системы управления с детерминированной стационарной линейной частью в предположении, что все сигналы в системе представляют собой стационарные гауссовы процессы, либо - белый шум. В результате анализа определялись математические ожидания и одномерные спектральные плотности сигналов в различных точках структурной схемы системы управления.

В настоящее время быстро развиваются методы расчета и проектирования систем управления, основанные на использовании ортогональных разложений сигналов и динамических характеристик систем. Совокупности коффициентов Фурье -раз лаке кий, описывающие временные характеристики систем, сигналы ели статистические характеристики сигналов рассматривают как их дискретные спектральные характеристики (СХ) в отличие от непрерывных частотных характеристик, основой которых является интеграл Фурье. Поэтому такая форма описания систем и сигналов была названа спектральной.

В терминах спектральных методов под обобщенным спектром сигнала *:(«.) понимают совокупность коэффициентов Фурье с" - ( с*, с*, ... , с", ... )т этого сигнала, относительно выбранной ортонормиро-ванной системы функций »(«•) (не обязательно тригонометрической)!

______(и—---"

х(1) - £ с1 » »т(Ос* .

\>» Л

В последние годы спектральные метода интенсивно развиваются

как в плане использования различных ортогональных Оазисов, так и широты охвата современных задач теории систем, фильтрации, передачи, обработки и сжатия информации, построения цифровых систем различного назначения. Применение спектральной формы описания сигналов и систем позволяет перейти от исследования самих сигналов к рассмотрению координат (совокупности коэффициентов разложения или СХ) этих сигналов относительно выбранного базиса. Операции над функциями заменяют действиями над числами; последние легко реализуются на ЭВМ. Такой подход приводит к "алгебраизации" методов решения задач расчета и проектирования.

Необходимо обратить внимание еще на одно обстоятельство, являющееся немаловажным с алгоритмической и программной точек зрения. В последнее десятилетие интенсивно разрабатывается аппарат быстрых алгоритмов, который особенно важен в теории и практике цифровой обработки сигналов. Этот аппарат органически связан с обобщенной спектральной теорией и может быть успешно использован для расчета спектральных характеристик сигналов в ортогональных базисах. Например, для расчета спектральных характеристик сигналов в базисах, порожденных тригонометрической системой, полиномами Чебышева и функциями Уолша, можно пользоваться алгоритмами быстрого преобразования Фурье (НПЗ) и Фурьо-Уолша. Это приводит к большой экономичности расчетов.

Указанные факторы« алгебраизация основных положений теории сигналов и систем; возможность использования хорошо разработанного аппарата алгоритмов быстрых преобразований; применимость для описания и расчета широкого класса математических моделей позволяет говорить о высокой эффективности применения спектрального метода для решения вопросов исследования и проектирования систем автоматического управления.

Исходя из вышеизлогенного ставится задача разработки метода исследования систем управления со случайными параметрами и нестационарной детерминированной линейной частью, базирующегося на принципах спектральной теории и использующего структурный подход. Эта задача включает в себя разработку спектральной формы описания стохастических систем и построение алгоритмов их статистического анализа.

Структурный подход, позволяющий представить математическую модель системы управления в виде совокупности линейных операторов, соединенных прямыми и обратными связями, широко применяется в тео-

рии автоматического управления и хорошо согласуется с описанием систем в виде функциональных схем. Этот подход позволяет представить случайные параметры исследуемой системы в виде случайных коэффициентов усиления, стоящих в прямой цепи и в цепи обратной связи.

Таким образом, стохастическая система управления с сосредоточенными случайными и детерминированными параметрами может быть представлена в виде структурной схемы, на которой выделены случайные коэффициента усиления ксл(ъ) и звенья составляющие детерминированную часть системы. Детерминированные звенья описывются в общем случае линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами!

I

• \ «я

где y(t) и *(<-)- соответственно входной и выходной сигналы звена; »„(*-) и ь (t) - детерминированные переменные коэффициенты.

РЛ

Любой случайный коэффициент усиления ь (О на структурной схеме может быть представлен, в свою очередь, в виде детерминированного коэффициента усиления *(<-) с параллельной цепью, содержащей элемент умножения на случайную функцию времени «(*-).■

Рассматривая случайный коэффициент как нестационарный случайный процесс можно сказать, что детерминированный коэффициент усиления представляет собой функцию времени математического ожидания этого процесса, а сигнал, поступающий извне на элемент умножения -центрированный нестационарный случайный процесс. Такое разделение составляющих случайного коэффициента усиления упрощает составление уравнений для определения статистических характеристик сигналов.

Как показывает практика, большинство реальных стохастических систем может быть сведено к одной из двух типовых схем« со случайным коэффициентом усиления в цепи-обратной связи и со случайным коэффициентом усиления в прямой цепи. Эти схемы приведены соответственно на рис.1 и рис.2.

Следует отметить, что в обоих случаях параметрическое- возму-

щение приложено к блоку умножения в отличие от обычного возмущения, прикладываемого к блоку сумматора. Таким образом, внешний нестационарный случайный процесс с нулевым средним значением а(о можно рассматривать как мультипликативную помеху.

Предположим, что входной сигнал у(<.) есть нестационарный гауссов случайный процесс с математическим ожиданием ™ (О и авто-

■корреляционной функцией "у^, Сигнал <*(1) представляет собой нестационарный гауссов случайный процесс с нулевым средним значением и автокорреляционной функцией Статистическая связь между сигналами у(ь) и «(1) выражается взаимной корреляционной функцией куо,(«'1«ьж)- Для сигнала х(ъ) требуется определить математическое окидание т^(ь) и автокорреляционную функцию

и (Ъ .1 ). * * у 1 г'

Представление стохастической системы в виде структурной схемы позволяет легко записать уравнения для определения сигналов во всех точках схемы. Для этого осуществляется переход от дифференциальных уравнений, описывающих детерминированные звенья е(1), к эквивалентным интегральным уравнениям вида»

т т

х(1) + | К>(1,т)х(т)йт - | Ку(ъ,т)у(-С)ат , о о

где ядра к^.т) и к^(ъ,т) определяются как

' о а т 5 С ;

о, ъ 5 т 5 т ,

где

*.<«••*> " I "Штт тт- [ '>.<*> <1-т>п" ] »•

к»о Т

" t -Штг [ ьк(т) ] •

к-о

Использование интегральных уравнений в некоторых отношениях является более целесообразным, чем дифференциальных. Например, интегральное уравнение содержит в себе полную постановку задачи и не требует, в отличие от дифференциального, задания дополнительных условий (начальных или граничных). Важным является и тот факт, что в интегральных уравнениях переход от одной переменной ко многим является естественным. Отсюда следует, что теоретическое обоснование постановок и методов решения одномерных задач, описываемых интегральными уравнениями, непосредственно обобщается на случай многих измерений. В терминах же дшМвренциальных уравнений переход от одной переменной к нескольким равносилен переходу от описания явлений и процессов обыкновенными дифференциальными уравнениями к описанию уравнениями в частных производных, что является принципи-

альным усложнением, приводит к новым постановкам задач и требует разработки новых методов для их обоснования и решения.

Применение операции осреднения по ансамблю реализаций случайных процессов к уравнениям, определявдим сигналы на структурной схеме, позволяет записать уравнения для определения статистических характеристик этих сигналов. При этом моменты выше второго порядка раскладываются на моменты первого и второго порядков, используя известное свойство гауссовых процессов. Такое разложение можно использовать только при условии нормализуемости случайного процесса звеном ЕО-).

Известно, что для того, чтобы при прохождении сигнала через линейное звейо имел место эффект нормализации необходимо, чтобы спектр этого сигнала был шире полосы пропускания звена. В рассматриваемом случае умножитель находится внутри замкнутой системы. Операция перемножения значительно обогащает и расширяет спектр перемножаемых процессов, по' этой причине спектр процесса на входе звена ) всегда шире полосы пропускания этого звена.

Такши образом, для схемы рис.1 получается следующая система уравнений, определяющих статистические характеристики всех сигналов«

х«' » ж' ахх 1 »"

К

ха

о

т т

о о

т

»„«•> - | т)[»у(т)- "хв(т)]<1т,

гте ) ~ взаимная дисперсия, определяемая из уравнения для

"РИ условии 1.; к*(ъ.т) - ядро интегрального

о

уравнения, соответствующее элементу E(t), охваченному отрицательной' обратной связью через звено k(t) на рис.1.

Описание стохастической системы интегральными уравнениями позволяет воспользоваться аппаратом матричного представления интегральных ограниченных операторов в ортогональных базисах, т.е. ввести спектральную форму описания динамических систем относительно ортогонального Оазиса

«(t) - | к - i.ä—* « £o.Ti J",

где *>k(t) - элементы системы ортонормировавных функций, а "т" -знак транспонирования.

В частности, для стохастической системы рис.1 мокко записать следующую систему матричных уравнений»

Ч

* с " Я II - С уу - С УГ _ (с'")*

11 с " л т - с ув с " , ■,

¿Г* - <г т«)тс"аа г

я С - Ая(с"уа - г m v с"00),

я С хх - А"с"ее(А")Тг

м с * ■ _ m er . А"(С у - С

а С ,а - А* (л* - с CT ш аа с

ft

где с - квадратные матрица СХ соответствующих корреляционных

ш а

функций; 2 " и с ок* - транспонированные квадратные матрицы СХ элементов умножения на функции »^(ъ) и «,О1О,0-) (°,аа - дисперсия

с *

сигнала «(«.))» с - вектор-столбцы СХ соответствующих дисперсий. Матрица а* (разложение ядра к* (г., т} по базису »(М* *(*.)) определяется как а" - а£е + (ск)га] , где (с*)*- квадратная матрица СХ звена к(i)г а - СХ элемента е(1)» х - единичная матрица.

Символом | | обозначена операция . умноаения функций двух

переменных в спектральной области. • Необходимость введения этой операции обусловлена тем, что построение спектрального аналога уравнения для определения приводит к появлению матриц

СХ с размерностью больше двух, что ставит проблему физической реализуемости,вычислительного алгоритма на распространенных типах

ЭВМ из-за чрезмерных требований к объему оперативной памяти.

Матрица а представляет собой СХ относительно базиса »(t)х»(t) нестационарного детерминированного линейного элемента e(t).

Представление систем управления в виде структурных схем значительно облегчает нахождение СХ как систем в целом, так и их элементов. Это объясняется тем, что структурная схема состоит из коночного набора звеньев, называемых элементарными, а их СХ в распространенных базисах уже найдены. Элементарными являются такие звенья структурных схем, как интегратор, дифференцирующее звено, множительное звено, сумматор и звено запаздывания.

Правила, позволяющие определять СХ- системы в целом по СХ отдельных элементов, составляют аппарат структурных преобразований. Аппарат структурных преобразований, основанный на спектральной форме описания стационарных и нестационарных звеньев, аналогичен аппарату структурных преобразований, основанному на описании стационарных звеньев передаточными функциями.

Из вышеприведенных рассуждений вытекает общая методика определения СХ детерминированного элемента e(t), который, в свою очередь, также представляется в виде структурной схемы«

1) находят СХ л. всех звеньев, составляющих элемент E(t);

2) преобразуют схему элемента e(t) так, чтобы образовались соединения! последовательное, параллельное и с обратной связык

3) рассчитывают СХ элемента E(t).

Для построения структурной схемы элемента е(ъ), первоначально заданного дифференциальным уравнением, может быть использован известный в теории аналогового моделирования систем метод последовательного понижения порядка производной, называемый методом непосредственного преобразования или общим методом программирования АВМ для уравнений, разрешенных относительно старшей производной. Аналогичную структурную схему можно построить и для элемента е(t), описываемого системой дифференциальных уравнений в форме Коши, либо дифференциальными уравнениями с запаздыванием. _Таким_образом,_используя приведенную методику-удается—избежать достаточно сложной процедуры перехода от дифференциального уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с целью нахождения СХ элемента E(t). Коэффициенты дифференциального урав-н ния при этом могут быть заданы не только аналитически, но и в

виде таблиц, содержащих дискретные отсчеты функций времени. Операции разложения ядер интегрального уравнения по базису #^)х»(ъ) также исключаются, а при необходимости можно определить и нестационарную импульсную переходную функцию элемента е (ь ), используя двумерное обратное быстрое преобразование.

■ Полученная система матричных уравнений представляет собой математическое описание на основе спектрального метода для типовой стохастической системы со случайным коэффициентом усиления в цепи обратной связи. С использованием аналогичной методики получено описание в спектральной форма для типовой схемы со случайным коэффициентом усиления в прямой цепи.

Из приведенной выше системы уравнений легко получить матричное уравнение для определения СХ математического ожидания выходного сигнала системы!

с"* . (i - а"а*с °~ж)-1а*(сл' - А*С*а), а также рекуррентную формулу для расчета СХ автокорреляционной функции выходного сигнала!

с":» - А" (В * {с""*СЯао,}ж)(А*)Т.

где 1 - номер приближения, а матрица в определяется как

а и я т и т / я л \

в - с уу - с ^ - (с + (2 х)тс 00 с " + {с »"(С х0,)т] .

В качестве нулевого приближения удобно взять

с*"" = а*с,уу(а*)т, что эквивалентно "выключению" параметрического возмущения на структурной схеме рис.1. Алгоритм анализа приведен на рис.3.

Полученные выше матричные уравнения могут быть легко решены на распространенных типах ЭВМ методом последовательных приближений с использованием стандартных подпрограмм матричной алгебры. Для перехода от сигналов и функций к их спектральным характеристикам и обратно, удобно использовать алгоритмы бптрых преобразований, соответствующие выбранному базису. В качестве ортогонального базиса монет быть выбран базис тригонометрических функций, функций Уолша и т.д.

Следует отметить, что алгоритмы, реализующие спектральные методы, в принципе' обладают вычислительной устойчивостью, поскольку используемые в них магрично-операторные уравнения эквивалентны интегральным уравнениям 2-го рода, задача нахождения решения которых принадлежит к числу корректно поставленных задач.

По сравнению с применяемыми в настоящее время методами анализа стохастических систем предлагаемый метод имеет следующие преимущества:

- анализ проводится без упрощающих допущений о стационарности как самих случайных сигналов так и детерминированной части системы;

- математическое описание на основе дискретных спектральных характеристик позволяет одинаково легко решать как прямую так и обратную задачу анализа, т.е. имеется возможность определять как характеристики выходных сигналов по характеристикам входных так и наоборот, а также дает базу для решения задач синтеза и оптимизации;

- метод изначально ориентирован на использование ЭВМ. Задача статистического анализа сводится к решению системы матричных уравнений, что дает возможность создавать эффективные алгоритмы с высокой степенью распараллеливания процесса вычислений.

Следует отметить, что для негауссовых сигналов возможно получение кумулянтного описания стохастической системы.

В качестве примера использования описанного метода в главе рассматривается анализ двух типовых стохастических систем. Рузуль-татом анализа являются математические ожидания, дисперсии и корреляционные функции нестационарных случайных выходных сигналов этих систем. Дан пример оценки влияния характеристик случайного параметра на математическое ожидание и дисперсию этих сигналов.

Для оценки точности вычисления статистических характеристик сигналов спектральным методом в заключении главы выполнен расчет простой стохастической системы этим методом и его результаты сравниваются с результатами, полученными для этой же системы расчетом по теоретическим формулам и методом статистических испытаний путем осреднения численного решения дифференциального уравнения системы. Сравнение показывает, что расхождение результатов не превышает 10м с учетом того, что расчет спектральным методом, дает значительна более полные результаты за меньшее время.

_ВТОРАЯ ГЛАВАпосвящена практическому применению теоретических

положений первой главы. В ней рассматривается проблема моделирования и анализа в классе стохастических систем ЭГВП вибрационных стендов, предназначенных для механических испытаний изделий машиностроения, в том числе - элементов конструкций ЯЭУ. Рассматривается задача автоматизации исследования стохастических систем й

описывается разработанный для этой цели программный комплекс. На примере статистического анализа конкретной конструкции ЭГВП дается инженерная методика моделирования и анализа стохастических систем.

В начале Ьлавы приводится обзор ряда вибрационных испытательных установок ведущих зарубежных фирм, которые либо специально разрабатывались для испытаний элементов конструкций ЯЭУ, либо являются универсальными и могут среди прочего использоваться для этого.

Основной целью вибрационных испытаний ЯЭУ является, прежде всего, обеспечение требуемого уровня безопасности эксплуатации при воздействии внешних и внутренних неблагоприятных факторов. Такими факторами для ЯЭУ атомных электростанций являются, например, сейсмические воздействия, газовые взрывы внутри установки, прямое попадание самолета и т.п. Для мобильных ЯЭУ, например судовых и космических, неблагоприятными являются, соответственно, воздействие морской качки и вибрационные воздействия со стороны ракеты-носителя. Практически все реальные вибровоздействия представляют собой нестационарные случайные процессы.

Успешное решение проблемы точной имитации реальных вибрационных воздействий при стендовых испытаниях в значительной мере определяется качеством проектирования самого испытательного стенда. Качественноо проектирование стенда, в свою очередь, невозможно без наличия ого адекватного формального описания (математической модели) и разработки соответствующих методов расчета.

Основу любого электрогидравлического стенда составляет ЭГВП. Существует большое разнообразие конструкций ЭГВП и, соответственно, их математических моделей. Эти модели, как правило, строятся в предположена, что на вход ЭГВП подается детерминированный сигнал и что параметры ЭГВП являются постоянными величинами. Однако на практике, особенно когда требуется обеспечить как можно более точную имитацию реальных вибровоздействий, возникает потребность в более полной модели, которая позволила бы анализировать работу ЭГВП как при случайных входных сигналах, так и при случайных изменениях параметров самого ЭГВП. Другими словами, в такой модели ЭГВП рассматривается как стохастическая система управления с переменными сосредоточенными параметрами.

Как правило, в основе конструкции ЭГВП лежит электрогидравлический следящий привод, который состоит из электронного усилителя-сумматора, электрогидравлического усилителя типа "сопло- заслонка-

золотник", гидроцилиндра и датчика перемещения штока гидроцилиндра, образующего електрическую отрицательную обратную связь на вход электронного усилителя.

В качестве базовой для построения математической модели ЭГВП в классе стохастических систем была выбрана обобщенная детерминированная модель, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений. На ее основе строится ряд математических моделей ЭГВП в классе стохастических систем, позволяющих учитывать влияние следующих случайных факторов!

1) изменение модуля объемной упругости рабочей жидкости вследствие изменения содержания газовой фазы;

2) изменение вязкости рабочей жидкости вследствие изменения температуры*

3) изменение характеристик нагрузки ЭГВШ

4) изменение коэффициента передачи цепи электрической обратной связи.

Перед обсуждением (на примере статистического анализа конкретной конструкции ЭГВП) инженерной методики моделирования и анализа стохастических систем в главе рассматривается проблема автоматизации исследования стохастических систем управления.

Метод исследования стохастических систем, изложенный в первой главе, предполагает два этапа« вывод матричных уравнений и их решение с использованием ЭВМ.

Вывод уравнений требует выполнения аналитических преобразований и получаемые матричные уравнения являются уникальными для каждой анализируемой системы. Алгоритм вывода является простым и базируется в основном на формальных правилах разложения моментных функций высоких порядков на моментные функции первого и второго порядков, перехода от функций к их спектральным характеристикам и алгебраических преобразований.

Второй этап исследования заключается в получении численного решения матричных уравнений, выведенных на первом этапе. Для решения этой задачи разработан программный комплекс для автоматизированного исследования стохастических систем управления. Комплекс ^включает в себя интерпретатор матричных операций, средства графического представления результатов вычислений и программу-монитор. Структура и схема взаимодействия программ комплекса представлена на рис.4.

Интерпретатор матричных операций мсаь (Матричный КАЛькулягор)

является основным компонентом рассматриваемого программного комплекса и предназначен для выполнения подмножества операций, встречающихся при расчете систем управления спектральным методам. К таким операциям относятся» прямое и обратное быстрые преобразования, служащие как для вычисления спектральных характеристик функций, заданных во временной области, так и дяя восстановления э^их функций по их спектральным характеристикам; автоматическое формирование операционных матриц интегрирования, дифференцирования и умножения, с помощью которых строится спектральная характеристика нестационарного линейного элемента е(ъ) с использованием аппарата структурных преобразований; набор операций матричной алгебры, включающий сложение, вычитание, умножение, обращение и транспонирование. В качестве ортонормированного базиса медь использует базис функций Уолша.

Интерпретатор построен по принципу виртуальной стековой машины, программа для которой записывается на простом языке с использованием постфиксной формы выражений. Виртуальная стековая машина содержит 1000 стеков до 1000 матриц в каждом стеке. Выбор стека в качестве основной динамической структуры данных позволяет использовать бесскобочную форму записи выражений и безадресный формат команд, что значительно упрощает интерпретатор.

В настоящее время программный комплекс реализован на оес—совместимой персональной ЭВМ "Электроника МС0585", занимает около 250 Кбайт на кестком диске и требует не более 56 Кбайт оперативной памяти при использовании в расчетах 32-х членов разложения. Полный анализ стохастической системы, сводимой к одной из типовых схем, занимает около 20 минут машинного времени. При этом используются готовые программы на языке медь, комплекс разрабатывался как переносимый, поэтому мокет Сыть легко адаптирован для машин другого типа, например для хвм-совместимых.

В заключении главы рассматривается пример анализа ЭГВП, коэффициент передачи цепи электрической обратной связи которого испытывает случайные флуктуации под.воздействием внешних дестабилизирующих факторов. ЭГВП работает в составе ■электрогидравлической испытательной установки и предназначен для создания нестационарных случайных вибровоздействий с заданными статистическими характеристиками. Задачей анализа является определение математического ожидания и нестационарной корреляционной функции выходного сигнпл-: ЭГВП при задашшх статистических характеристиках входного сигнялз

и случайного коэффициента.

ЭГВП описывается системой дифференциальных уравнений базовой модели и его структурная схема после несложных преобразований может быть приведена к типовой схеме стохастической системы рис.1. Это дает возможность описать ЭГВП в спектральной области системой матричных уравнений для этой типовой схемы.

Статистический анализ ЭГВП сводится, таким образом, к решению системы прл заданных ».у(<.), куу(1,,<-,)» с

целью определения т^ъ) и к,,, Точнее, в систему подставля-

ются СХ соответствующих статистических характеристик, а по полу-

м ii

ченным СХ с * и с хх приближенно восстанавливаются требуемые статистические характеристики выходного сигнала.

Для определения спектральной характеристики д* удобно применить аппарат структурных преобразований и общую методику определения СХ а элемента е(«.), изложенную в первой главе.

Совершенно аналогично может быть решена задача анализа ЭГВП, имеющего случайный коэффициент передачи электронного усилителя. В этом случае структурная схема ЭГВП приводится к типовой схеме рис.2, а его математическое описание дается соответствующей системой матричных уравнений.

Исходя из вышеизложенного вытекает следующая инженерная методика анализа стохастических систем»

1) стохастическая система представляется в виде структурной схемы на которой выделяются случайные коэффициенты усиления и линейные элементы (в том числе нестационарные), составляющие лете оминированную часть схемы;

2) с помощью структурных преобразований исходная схема стохастической системы приводится к одной из типовых схем для которых уже получены описания на основе дискретных СХ>

3) с использованием операционных матриц (интегрирования, умножения и т.п.) и аппарата структурных преобразований вычисляются

СХ всех детерминированных линейных элементов;____

-4) на-основе спектрального ошсания система записывается программа статистического анализа на входном языке интерпретатора медь (либо используется ухе готовая), реализующая соответствуйте алгоритм»

Б) выполняется расчет с использованием рассмотренного вше комплекса программ для автоматизированного исследования стохастических систем управления.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена экспериментальной проверке теоретически! положений, изложенных в первой главе, и достоверности результатов статистического анализа конкретной конструкции ЭГВП, выполненного во второй главе.

В качестве физического объекта исследования выбран ЭГВП, входящий в состав опытной электрогидравлической вибрационной установки производства Горьковского автомобильного завода. ЭГВП в эксперименте рассматривается как стохастическая система с одним случайным параметром. В качестве такого параметра выступает случайный коэффициент передачи цепи электрической обратной связи.

Опытная электрогидравлическая вибрационная установка входит в состав многоцелевой системы управления виброиспытаниями, разработанной в Калужском филиале МГТУ им. Н.Э.Баумана. Система реализована на базе микро-ЭВМ "Квант-4С" и имеет модульную структуру. На основе типовых модулей этой системы была собрана экспериментальная установка для статистического исследования ЭГВП в классе стохастических систем.

В ходе эксперимента на вход ЭГВП подается электрический сигнал, представляющий собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. С помощью специального электронного устройства задается случайный закон изменения коэффициента передачи цепи электрической обратной связи по положению исполнительного органа ЭГВП. Статистические характеристики этого случайного изменения коэффициента передачи также задаются. В качестве выходного сигнала ЭГВП выступает перемещение штока поршня гидроцилиндра, которое представляет собой случайную функцию времени. Статистические характеристики выходного сигнала ЭГВП определяются экспериментально и сравниваются с теми, которые были вычислены теоретически с помощью спектрального метода исследования стохастических систем. На основании сравнения теоретических и экспериментальных данных делается вывод о том, несколько математичесьая модель ЭГВП, рассмотренная во второй главе, соответствует реальному ЭГВП.

Полученные экспериментальные данные вполне удовлетворительно согласуются с теоретическими расчетами« качественное совпадение практически полное, а расхождение теоретических и экспериментальных оценок статистических характеристик выходного сигнала (математического отдания, дисперсии, нестационарной автокорреляционной функции) не превышает 10?«.

основные вывода.

1. Разработан метод описания и анализа стохастических систем, основанный на структурном представлении и использовании разложений временных характеристик сигналов и систем по базису ортогональных функций. Метод обеспечивает»

- проведение анализа без упрощапцих допущений о стационарности как самих случайных сигналов, так и детерминированной части системы;

- получение математического описания стохастической системы на основе дискретных спектральных характеристик, которое позволяет одинаково легко решать как прямую так и обратную задачу анализа, т.е. имеется возможность определять как статистические характеристики выходных сигналов по характеристикам входных, так и наоборот, а также дает базу для решения задач синтеза и оптимизации;

- сокращение времени вычисления статистических характеристик нестационарных случайных сигналов в любой точке исследуемой системы.

Метод изначально ориентирован на использование ЭВМ. Задача статистического анализа сводится к решению системы матричных уравнений, что дает возможность создавать эффективные алгоритмы с высокой степенью распараллеливания процесса вычислений.

2. Разработана инженерная методика анализа стохастических систем управления, которую отличает»

- простота получения модели конкретной стохастической системы;

- наглядность представления исходных данных и получаемых результатов.

3. Получено математическое описание на основе дискретных спектральных характеристик для типовых моделей стохастических систем и разработаны алгоритмы их статистического анализа. Большинство реальных стохастических систем управления может быть сведено к одной из этих типовых моделей, что позволяет значительно упростить задачу анализа.

4. На основе предложенного метода разработан оригинальный -программный комплекс,-предназначенный для -автоматизированного"исследования стохастических систем управления. Комплекс обеспечивает»

- описание модели стохастической системы на специальном алгоритмическом языке; •.

- легкость вычисления громоздких матричных формул»

- наглядность представления исходных данных и результатов вычислений.

Программный комплекс отличает универсальность, гибкость и простота использования.

б. Получен ряд математических моделей ЭГВП, учитывающих влияние на его работу различных случайных факторов. Проведен статистический анализ серийного виброиспытательного стенда, построенного на основе ЭГВП.

G. Выполнено экспериментальное исследование ЭГВП. входящего в состав опытной электрогидравлической вибрационной установки. ЭГВП в эксперименте рассматривается как стохастическая система о одним случайным парше трон. Полученные экспериментальные ■ данные хорошо согласуются с теоретическими расчетами, проведенными по предложенной методике.

Основные материалы диссертации изложены и опубликованы в работах»

1. Макаренков A.M.,Егупов Н.Д. Математическое описвние и статистический анализ каналов связи в классе стохастических систем //Техника средств связи. Серия ТПС.-1992.-Вып.8.-с.20-32.

2. Макаренков A.M., Трофимов А.И., Егупов Н.Д. Об учете воздействия случайных вибраций на датчики линейных ускорение/Измерительная техника.-1993.

3. Макаренков A.M., Трофимов А.И., Егупов Н.Д. Математическое описание а статистический анализ электрогидравличесих стендов для вибрационных испытаний приборов//Измерительная техника.-1993.

4. Мэкаренков A.M. Математическое описание и автоматизированное исследование и проектирование систем управления со случайными паракетрада//Отчет о НИР КФ (ЯГУ им.Н.Э.Баумана. Шифр темы 0К-П5-01-86» н ГР 0I.86.0I32769.-a.,1990.

б. Макаренков A.M. {Математическое описание .и статистический анализ одного класса стохастических систем//Отчет о НИР КФ МГТУ Ш4.Н.Э.Баумана. Шифр теш 0К-П5-О1-9О» N ГР 01.90.0124576.-М.,1993.

Рио.1. Структурная схема типовой стохастической системы со случайным коэффициентом усиления в цепи обратной связи

ЫО)

Ш)

т

Рис.2. Струтггуркая схеиа типовой стохастической системы со случайным коэффициентом усиления в прямой цепи

Рис.3. Блок-схема алгоритма статистического штлизя

Графопостроитель M

Рис.4. Схема бгаимодсйстбия компонентоб программного конл/JtKca