автореферат диссертации по строительству, 05.23.16, диссертация на тему:Совершенствование методов гидродинамического моделирования неустановившегося движения воды в руслах рек

На правах рукописи

ЧЕРКЕЗОВ Роман Игоревич

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РУСЛАХ РЕК

Специальность: 05.23.16 —Гидравлика и инженерная гидрология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г 5 ДПР 2013

Москва, 2013

005057699

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства» (ФГБОУ ВПО МГУП) на кафедре гидравлики.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ханов Нартмир Владимирович

доктор технических наук, начальник отдела Центра гидравлических исследований ОАО НИИЭС Беликов Виталий Васильевич

Ведущая организация:

кандидат технических наук, профессора заведующий кафедрой комплексного использования водных ресурсов МГУП Раткович Лев Данилович

ГНУ Всероссийский научно-исследовательский институт гидротехники и мелиорации им. А.Н. Костякова (ВНИИГиМ) Россельхозакадемии

Защита состоится «13» мая 2013 года в на заседании диссертационного

совета Д.220.045.02 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет природообустройства» (МГУП) по адресу: 127550, г.Москва, ул. Прянишникова, д. 19, ауд. 201/1. ;

Тел./факс 8(499) 976-10-46; E-mail: mailbox@msuee.ru ■: .. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУП.

Автореферат разослан« » ^JClWCcfl^ 2013 г. .

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенных печатью) просим направлять по адресу: 127550, г.Москва, ул. Прянишникова,'д. 19, ученому секретарю диссертационного совета Д.220.045.02: ^; ' '

Ученый секретарь

диссертационного совета V ' - и. М. Евдокимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований

В настоящее время, как в России, так и за ее пределами, исключительно актуальна задача автоматизации управления и мониторинга водными ресурсами. Рост количества гидротехнических сооружений определяет потребность в такой автоматизации, что, в свою очередь, вызывает повышение требований к точности моделирования и прогнозирования процессов, связанных с движением воды в руслах рек.

Используемые в настоящее время модели для таких расчетов, как правило, прибегают к значительному упрощению моделируемых процессов, вследствие чего зачастую нет возможности добиться удовлетворительных результатов при их применении на практике.

Наиболее изученным в данном направлении подходом является использование одномерной модели, в которой неустановившееся движение воды в русле математически описывается в виде системы уравнений Сен-Венана. Этому вопросу посвящены многочисленные работы как отечественных, так и зарубежных авторов. При этом основное внимание в большинстве работ уделяется решению прямой задачи: как рассчитать уровни и расходы воды на заданном участке, если известны гидравлические и морфометрические характеристики русла.

Однако, как показывают исследования, при попытках применить указанный подход на практике, достигаемые результаты не всегда оказываются достаточно точными.

В силу данных обстоятельств, ставится вопрос о решении обратной задачи — задачи определения характеристик русла по приближенно известным решениям системы дифференциальных уравнений.

В последнее время для решения различных математических и технических задач все чаще используются искусственные нейронные сети. Поскольку нейронные сети обладают рядом преимуществ по сравнению с другими математическими вычислительными моделями — помехоустойчивостью, адаптивностью, обучаемостью, обобщающей способностью и т. д., — исследование возможности их применения к решению обратных задач гидродинамического моделирования русел рек является актуальной задачей.

Цели и задачи исследования

Главная цель диссертации заключается в разработке нового подхода к решению обратных задач гидродинамического моделирования русел рек.

Основные задачи, которые при этом возникают:

-Анализ теоретических разработок в области моделирования и прогнозирования движения воды в руслах рек, теоретических и практических исследований обратных задач гидродинамики и способов их решения, а также применения нейросетевых алгоритмов в гидрологии.

-Разработка подхода к решению задачи определения пространственных характеристик (морфометрических и гидравлических), основанного на использовании нейронных сетей, который позволял бы формировать схемы решения данной задачи для различных рек.

-Проведение экспериментальных исследований по разработанной методике на основании данных наблюдений за движением воды в реках.

-Оценка точности полученных результатов и их сравнение с результатами применения других методов и натурными наблюдениями.

Объектом исследования работы являются методы расчета гидрологических пространственно-временных характеристик. Предметом исследования — применение нейросетевых алгоритмов для вычисления гидравлических и морфометрических характеристик русел рек.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- Сформулированы нейросетевые постановки задач определения гидравлических и морфометрических характеристик русел рек на основании обратной задачи гидродинамического моделирования неустановившегося движения воды в руслах рек.

- На основании сформулированных нейросетевых постановок задач и процедур регуляризации разработана численная схема решения обратных задач, использующая нейронные сети, предназначенная для определения гидродинамических характеристик.

- Предложены различные процедуры регуляризации получаемого решения, позволяющие наложить определенные ограничения на получаемое решение, которые учитывали бы физические особенности русла и обеспечивали бы этому решению требуемые свойства, в частности, его устойчивость и монотонность.

- Для экспериментальной проверки разработанного метода создана программа для ЭВМ, реализующая вычисления согласно разработанной схеме. Данная программа для выполнения наиболее вычислительно сложных задач может использовать графические процессоры (GPU) для распараллеливания и ускорения расчетов, используя при этом технологию NVIDIA CUD А.

Практическая ценность

Полученная схема решения обратных задач гидродинамического моделирования позволяет производить автоматизированное моделирование и прогнозирование процессов, протекающих в руслах рек, а также корректировку режима работы гидротехнических сооружений (например, попусков ГЭС) на основании прогнозируемых для того или иного режима уровней воды. Практическое применение результатов работы обеспечит существенное сокращение затрат, связанных с организацией детализированных по длине расчётного участка натурных измерений основных характеристик русла.

Достоверность полученных результатов обоснована достаточно хорошей точностью соответствия между прогнозируемыми и реально фиксируемыми значениями для различных участков рек за некоторые годы (в качестве примера: прогноз для участка р. Волги от Волгоградской ГЭС до с. Верхнелебяжье за 1978 г. после обучения нейронной сети на данных за период с 1967 по 1977 гг.).

Методы исследования: теоретический анализ и расчетные эксперименты с применением натурных данных.

На защиту выносится методика восстановления морфометрических и гидравлических характеристик русел рек, предназначенных для расчета неустановившегося движения воды в руслах рек.

Публикации. Основные положения работы опубликованы в 6 печатных работах, в том числе 3 публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора состоит в выявлении перспективности использования нейронных сетей для решения различных гидрологических и гидравлических задач, разработке гибридного нейросетевого метода решения обратной задачи гидродинамического моделирования, формулировке процедур регуляризации для данной задачи, а также создании программы для ЭВМ, позволяющей оперативно воспроизводить требуемые вычисления.

Структура и объем диссертации. Диссертация, общим объемом в 108 страниц, состоит из введения, четырех глав, общего заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи работы, определены объект и предмет исследования, показана научная новизна и практическая ценность работы, а также рассмотрена структура и краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе представлен аналитический обзор информационных источников о современных работах в областях знания, которые непосредственно связаны с поставленными перед автором задачами. Тут рассматриваются источники по следующим темам:

1. Физическое и математическое моделирование неустановившегося движения воды в реках.

2. Решение обратных задач математического моделирования применительно к неустановившемуся движению воды в реках.

3. Применение нейронных сетей, в частности, при решении задач, связанных с гидрологическими проблемами.

Рассматривая вопросы моделирования движения воды в открытых руслах и методам решения задач, связанных с неустановившимся движением воды в реках, необходимо в первую очередь упомянуть таких ученых, как Г. П. Калинин, О. Ф. Васильев, Л. В. Кучмент и В. И. Корень, которые заложили фундамент для исследований в области математического моделирования неустановившегося движения воды в реках и методов гидрологических расчетов и прогнозов.

Существует множество работ, посвященных использованию уравнений гидродинамики для описания движения воды в открытых руслах и методам решения таких уравнений. Различные уравнения гидродинамики и методы их численного и аналитического решения описываются в работах О. М. Белоцерковского, В. Е. Зализняка, Н. В. Погорелова, А. Ю. Семенова, Г.И. Марчука, Д. Поттера, П. Роуча и др. авторов. В исследованиях М. С. Грушевского, А. В. Романова, В. В. Беликова показано, что система уравнений Сен-Венана, описывающих неустановившееся движение воды в открытых руслах в рамках одномерной модели, имеет большую практическую ценность для гидрологических расчётов и прогнозов.

В монографии А. В. Романова рассмотрена система уравнений Сен-Венана и их интегральные аналоги, а также методы численного решения этих уравнений. Также в этом исследовании показана актуальность обратных задач, которая связана с отсутствием достоверных данных измерений, позволяющих получить характеристики русел рек. Решение обратной задачи гидродинамического моделирования, с другой стороны, позволяет восстанавливать требуемые гидравлические и морфометрические характеристики.

Хотя нейронные сети — молодое направление науки, публикации об использовании нейронных сетей в гидрологии были уже в девяностые годы. В последнее время число таких публикаций возросло. В качестве примера эффективного применения нейронных сетей можно привести исследование К. Hsu, S. Sorooshian, Н. V. Gupta, X. Gao и В. Imam, в котором были использованы

многомерные искусственные нейронные сети (MANN) для предсказания величины дождевого стока. В работах F. Anetil и D. G. Таре рассматривается применение нейросетевого метода с вейвлетной предобработкой для предсказания паводков на один день вперед по данным наблюдений. В исследовании A. Joorabchi, Н. Zhang и М. Blumenstein рассматривается построение прогноза наводнений с использованием нейронной сети для одной из крупнейших рек Австралии— Фицрой. Есть также примеры использования искусственных нейронных сетей для предсказания уровней в реке Шинг Мун в Гонконге. Кроме того, в работе С. Rajanayaka, S. Samarasinghe и D. Kulasiri рассматривается использование нейронных сетей для решения обратных задач, возникающих при оценке характеристик грунтовых вод.

В последнее время разработано довольно много современных систем гидродинамического моделирования и прогнозирования. Некоторые из них — универсальные системы, некоторые используются для конкретных рек или их участков. В качестве примеров зарубежных разработок можно привести работы Гидрологического Инженерного центра (Hydrological Engineering Centre, USA); программы серии MIKE, созданные Датским гидрологическим институтом (DHI). Среди отечественных программных систем в данной области можно назвать программный комплекс RIVER, разработанный в Вычислительном центре Российской академии наук (ВЦ РАН) и НИИ энергетических сооружений (НИИЭС) коллективом авторов — В. В. Беликовым, А. Н. Милитеевым и др.; в Ставропольском государственном университете Н. В. Вандиной и Е. А. Семенчиным разработана программа Calculation of Flow Characteristics (COFC).

Основной вывод, полученный на основе проведенного анализа, заключается в том, что среди методов, использующих ограниченное количество исходных данных, наилучшие результаты прогноза паводков и половодья показывают методы, включающие в себя решение обратных задач, нейросетевые методы и комбинированные методы, применяющие нейросетевые компоненты, линейные компоненты и компоненты, построенные на основе учета физических законов.

Вторая глава посвящена рассмотрению постановки обратных задач гидродинамического моделирования для определения пространственно-временных характеристик русел рек. Чаще всего для описания движения воды в реке используется модель, основанная на системе уравнений Сен-Венана (СУСВ), которая позволяют рассчитать гидродинамические характеристики реки достаточно точно и детально в случае, если параметрические функции самого СУСВ тоже вычислены достаточно точно. В качестве параметрических функций СУСВ выступают морфометрические и гидравлические характеристики русел

рек. Прямое вычисление таких характеристик чрезвычайно сложно, особенно сложно вычисление гидравлических характеристик.

Уравнения Сен-Венана могут быть записаны в следующем виде:

где

х — координата вдоль главного русла в м,

I — время;

q(x,t) — боковой приток - отток воды на единицу длины;

g — ускорение свободного падения;

К(х,Н) — пропускная способность русла (модуль расхода воды);

Н(х,1)—уровень воды;

£(>,/) —расход воды;

Л(х,0 = Р(х,Н(х,0) — площадь живого сечения как функция от координаты пути х и времени;

Р(х,Н) —площадь живого сечения как функция от координаты и уровня воды.

Прямая задача моделирования на основании системы уравнений Сен-Венана заключается в том, чтобы определить значения Н(х, I) и ()(х,0 как функций координаты и времени при наличии заданных параметрических функций Р(х,Н) или В(х, Ъ), К(х,Н), а также начальных и граничных условий на Я и

Обратная задача заключается в восстановлении параметрических функций Р(х,Н), В(х,И), К(х,Н) по информации о величинах Н(х,1), £)(х,1) и д(х,1).

Так как измерения #(*,/),заданы с большим шагом по времени и расстоянию, решение обратной задачи на основе СУСВ является сложной задачей. Решения таких обратных задач становится возможным при переходе от дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям.

Уравнение (2) может быть сведено к интегральному уравнению путем интегрирования по х от 0 до и по I за некоторый период от Г, до Тг. Если подставить вместо функции А(х,1) функцию Р(х,Н(хЛ)) и принять Г/=/„ Т2=1,ч, то можно записать:

(1)

(2)

В рамках рассматриваемой постановки обратной задачи правая часть уравнения (3) составлена из известных величин, а величины П(х, ¡¡) и H(x,tl+I) известны только в точках xt,j = \,N. При переходе от интеграла к интегральным суммам по точкам xj, данное уравнение может быть заменено уравнением:

fjPJ(.F(xJ,H(xJ,tl))-F(xJ,H(xJ,tl))) = AWl, (4)

>i

где AWj— изменение объема воды, которое определяется правой частью уравнения (3): ДWt = (Q(0,tl)-Q(L,tl) + Q„p(tl))At, pt — коэффициенты интегральной суммы. Например, при использовании формулы трапеций ps = Х,л Xj~l .

Выражение (4) задает систему из Z уравнений относительно функции F(x,H). Эта система может быть решена приближенно при помощи линейного разложения по базисным функциям.

Для решения обратной задачи на основе уравнения (1) нужно обладать известными значениями Q, однако задача поставлена таким образом, что известными считаются только Q во входном и замыкающем створах. Приближенное решение уравнения неразрывности (2) позволяет получить приближенное значение Q также и в промежуточных пунктах. Значение Q может быть приближенно вычислено по формуле:

о о L

1 L

где Е(0 = —¡[F(x, H(x,l + At)) - F{x, H(x,t))]dx-(Q(0,t)-Q(L,t) + Qnp(l)),

о

F(x, H) — приближенно восстановленная функция F(x,H),

X— некоторая точка на отрезке [0,L\,

Q(X,t) — приближенное значение Q в точке Хв момент времени t.

Уравнение (1) может быть сведено к интегральному уравнению путем интегрирования по х от 0 до L и по t за некоторый период времени от 7] до Т2. В результате после некоторых преобразований приходим к следующему уравнению:

rl(I?(xM,H(xl,tm.xM.tj)2 +K\xM,H(xM,t))Q(xM,tj)2) = H(x„t)-H(xM,t) '

где К'(х ,Н)=К'2(Х ,Н),Г, =Х'+[~Х' ,i = l,N-l,j = lZ

Если функции Н, Q, А известны, то выражение (6) задает функциональные уравнения относительно функции К'(х,Н), которая, в свою очередь, задает

определенную гидравлическую характеристику русла, и по которой может быть легко получена К (х ,Н).

Для успешного решения обратной задачи необходимо построить математическую модель учета бокового притока. Это обусловлено тем, что при определении характеристик русла реки требуется контролировать изменение объема воды между входным и замыкающим створом исследуемого участка. В ходе решения задачи составляется дисбаланс расходов воды между входным и замыкающим створами, который затем сравнивается с изменением объема воды. В случае если величина такого изменения сравнима с объемами воды в не учитываемом притоке, точность полученных результатов кардинально снижается. Чем полнее построенная модель бокового притока учитывает все особенности конкретного рассматриваемого участка, тем больше будет возможность получения точных пространственно-временных характеристик русла.

Возможный вид математической модели учета бокового притока сильно зависит от целей использования данной модели, от участка реки и наличия исходных данных. Для решения обратных задач, как правило, достаточно простых моделей учета бокового притока. В работах А. В. Романова показано, что для крупных рек, таких как Нижняя Волга и средний Иртыш подходит простейшая линейная модель бокового притока-оттока:

где с — некоторая константа, которая подбирается на основе анализа многолетних данных.

Такая простота модели объясняется тем, что в данном случае большая часть притока-оттока определяется потерями стока вследствие затопления поймы с началом половодья. Расчеты по гидрометрическим данным показывают, что величина коэффициента с слабо зависит от объема воды в начальном створе, что позволяет принять значение с постоянным и рассчитать как среднюю величину коэффициента за несколько лет.

Существующие методы решения обратных задач для моделей, основанных на системе уравнений Сен-Венана, построены на возможности аппроксимации функций, задающих характеристики русел рек в виде линейной комбинации некоторого набора базисных функций от х и Н. Такой подход позволяет свести приближенное решение интегральных уравнений к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Будем искать решение в виде линейной комбинации некоторых базисных функций от х и Н с неизвестными коэффициентами.

(7)

м

где С1к(х,Н) — заданные базисные функции, М— их количество, щ — неизвестные коэффициенты.

Подставив данную линейную комбинацию в уравнение (4), получим систему уравнений, матричный вид которой следующий:

\Уи = АУ (9)

Здесь IV— матрица СЛАУ, и— вектор коэффициентов, а А V— вектор правых частей.

Таким образом, если исходить из условия минимума среднеквадратиче-ской ошибки, приходим к решению в следующем виде:

5и = 1У'АУ, (10)

где 5 = 1УТУУ — симметричная и неотрицательно определенная матрица.

Поскольку обратные задачи гидрологии рек обычно оказываются некорректными, сведение к такому решению приводит к плохо обусловленным матрицам. Поэтому уравнение (10) необходимо регуляризировать, для чего матрица 5 заменяется на матрицу 5=5+аС, где С— регуляризирующая матрица, а а — параметр регуляризации. В простейшем случае С представляет собой единичную матрицу.

Система уравнений на основании (6) аналогичным образом приводится к матричному виду, и ее решение также производится с обязательным применением регуляризации.

Подводя итоги, следует отметить, что описанный во второй главе подход позволяет восстановить характеристики русел рек, с помощью которых возможно осуществить расчет и прогноз неустановившегося движения воды. Преимуществом такого подхода является относительная простота реализации и изученность процедур регуляризации и решения систем линейных уравнений, высокая скорость работы этих алгоритмов. Недостатком таких алгоритмов является то, что они мало учитывают нелинейный и нестационарный характер гидродинамических процессов в реке. Они также могут оказаться чувствительны к выбору модели учета бокового притока. В то же время, как показывает опыт применения такого подхода на реальных речных системах, описанный в работах А. В. Романова, достигаемый результат обладает довольно неплохой точностью.

В третьей главе рассматривается подход к решению обратной задачи с применением нейросетевых алгоритмов.

Разработанные нейросетевые алгоритмы решают задачи нейросетевой аппроксимации членов уравнений Сен-Венана — площади поперечного сечения, ширины и пропускной способности русла. При решении обратной задачи опи-

санным выше методом возникает несколько подзадач аппроксимации, для решения которых были разработаны нейросетевые алгоритмы решения.

Суть данного подхода в следующем: для каждой вычисляемой характеристики формируется и обучается нейронная сеть, которая впоследствии аппроксимирует ту или иную характеристику. Значения величин, получаемых на выходе нейронной сети, участвуют в разностной схеме, соответствующей одному из уравнений Сен-Венана, что позволяет производить настройку нейронной сети таким образом, чтобы значения, формируемые на ее выходе, наилучшим образом удовлетворяли требуемым соотношениям.

На вход нейронной сети подаются два значения: координата х и динамическая величина уровня воды Н(х,0.

На выходе нейронной сети формируется значение, соответствующее восстанавливаемой характеристике: площади живого сечения Р(х,1), ширине русла В(х,Н) или величине К'(х,Н), обратной квадрату пропускной способности русла К.

Нейронная сеть, используемая в предлагаемом алгоритме, представляет собой полносвязную многослойную сеть прямого распространения (рис. 1).

(в данном случае указана характеристика Р, для остальных восстанавливаемых характеристик создаются аналогичные сети). Точки между обозначениями нейронов подразумевают, что количество слоев может варьироваться, так же как и количество нейронов в каждом слое

Топология нейронной сети (число слоев и количество нейронов в каждом слое) подбирается экспериментально таким образом, чтобы ошибка в результате проверки обученной нейронной сети на тестовой выборке была минимальной.

Рассмотрим следующую схему обучения нейронной сети, которая аппроксимирует площадь живого сечения русла (рис. 2).

аппроксимирующей величину живого сечения русла

Полный функционал оптимизации выглядит следующим образом:

Е = Ea + R, (11)

где Е0 — функционал от ошибки выходов сети, а R — регуляризационный член.

Функцию Е0 представим в виде:

Е0 = = ¿(ДК(0- AQ(t№2, (12)

/=i /=1

где А V(t) — суммарное изменение объема воды на рассчитываемом участке, вычисленное на основании выходных сигналов нейронной сети, AQ(t) — расход воды на рассчитываемом участке, вычисленный на основании измеренных значений.

Формула для расчета AV(t) выглядит так:

&V(t) = f1^(.F(x„t)-F(xl,t-At)), (13)

где N— общее число водпостов на рассматриваемом участке, /?,— коэффициенты в интегральной сумме.

Величина AQ(t) в свою очередь выражается следующим образом:

&Q{t) = Q(^t)-Q(Lj) + Qnp„„Jt)\ (14)

где Q(t,L)— величина расхода воды в конечной точке участка, Q(t,0) — величина расхода воды в начальной точке участка, Q„pmm(t) — величина расхода на приток (отток) на данном участке.

В качестве функции активации нейронной сети выбрана обычная для нейросетевых решений логистическая функция — сигмоид:

/<*>=7Г^' (15)

1 + е

поскольку она обладает рядом свойств: непрерывная дифференцируемость, нелинейность, наличие зон насыщения.

Обучение нейронной сети, т.е. настройка ее весовых коэффициентов, производится путем минимизации Е как функции от весовых коэффициентов W по алгоритму обратного распространения ошибки, при этом правило изменения весов может задаваться стандартными методами оптимизации, например, методом градиентного спуска. В данном исследовании также хорошо зарекомендовал себя метод Trust Region (доверительных интервалов), который хорошо сочетается с описанными ниже методиками регуляризации.

При помощи регуляризации в схему определения искомых характеристик вводятся дополнительные ограничивающие условия. Например, для задачи определения морфометрических характеристик целесообразно ввести ограничения, которые бы учитывали геометрические особенности русла.

Конкретный вид регуляризационного члена R зависит от выбора ограничивающих условий. Для решения задачи определения живого сечения русла предлагается следующий вид регуляризационного члена:

(fj

S4

d2F дхдН

(16)

где (^¡^¡^■¡^^¿О— коэффициенты, определяющие вклад каждого отдельного слагаемого в формуле (16), а 52.5j.5j— функции, которые «налагают штрафы» за некорректность значений своих аргументов. Конкретный вид этих функций определяется из следующих условий: их значения должны были велики в случае отсутствия физического смысла в значении аргумента, а вклад в общую функцию регуляризации Я был значителен при единичных значениях коэффициентов а.

В общем случае процедура регуляризации сложности нейронной сети записывается в виде:

¥(»)=£,(*)+(17) В формуле (17): — функция риска, Е, (Л) — стандартная оценка качества обучения сети, которая при использовании правила обучения обратного распространения ошибки представляется среднеквадратичной ошибкой выходов, Ее{$) — штраф за сложность.

Пусть ЦжЦ — норма вектора весовых коэффициентов сети, которая вводится в качестве функции от весовых коэффициентов, штрафующей за сложность нейросетевой модели. В нашем случае £с(й) = ||»|| = ^м-^ , где —все множе-

/еС1

ство коэффициентов нейронной сети.

Коэффициент к в формуле (17) соответствует коэффициенту а1 в формуле

(16).

Слагаемое сг21 представляет собой регуляризирующую процеду-

II \8Н ) о

ру, штрафующую за отрицательную вторую производную площади по глубине. С точки зрения физики исследуемого процесса эта процедура означает, что при увеличении глубины площадь сечения может только возрастать, но не уменьшаться. На рис. 3 показаны примеры случаев положительных и отрицательных р

значений —в некой точке А. Из рисунка видно, что форма русла б) физиче-дН

ски невозможна, поэтому за значения Р, которые обуславливают такое значение

производной, вводится штраф в виде особой зависимости от —.

дН

Функция записывается в следующем виде:

[ 0, г>0

■ *(*)=_!__0.5,г < 0 О»)

Ее график при А=1 показан на рис. 4.

Вывод других функций, входящих в регуляризационную функцию, описан в тексте диссертации.

Метод восстановления пропускной способности русла аналогичен методу, который был применен для площади живого сечения. Здесь мы приведем только общую схему (рис. 5) и формулу для регуляризационного члена (19), детальное описание которого приведено в тексте диссертации.

, н

д"'р п

А

/

® 777777

а)

А\ая2

<о

777777'

б)

Рис. 3. Изображение поперечного сечения русла в случаях а) положительной и б) отрицательной второй производной площади живого сечения русла

Рис. 4. График функции ^(г) (18) при А=1

0, г<Т

(19)

[(1 + е-^-г>)

-0.5,2 > Т

решающей задачу определения пропускной способности русла

В Четвертой главе приводятся результаты применения изложенного подхода для определения гидравлических и морфометрических временных и пространственных характеристик по имеющемуся массиву данных по р. Волге.

Для исследования был выбран участок р. Волги ниже Волгоградского гидроузла до с. Верхнелебяжье, упрощенная схема которого показана в диссертации. Чтобы учесть влияние бокового притока-оттока, потери воды на заданном участке рассматривались как линейная функция от Q(0,t). Анализ гидрометрических данных за период с 1967 по 1977 годы показал, что величина коэффициента пропорциональности практически очень мало зависит от величины расхода и равняется приблизительно 0,03.

Стоит отметить, что если пытаться решить задачу определения искомых характеристик без применения регуляризации, то решение теряет устойчивость и монотонность по Я в ряде точек русла. Введение процедуры регуляризации позволяет удовлетворить всем предъявляемым к аппроксимируемым характеристикам требованиям, в том числе, сделать найденные решения устойчивыми и монотонными. В качестве примера на рис. 6 приведен график полученной зависимости при расчете ширины русла без использования процедуры регуляризации.

Сероглазовка, без регуляризации

Н, см

Рис. 6. Пример потери устойчивости для водпоста «Сероглазовка» при вычислении зависимости ширины русла от уровня воды без использования процедуры регуляризации

В то же время, применение регуляризации действительно обеспечивает устойчивость и монотонность получаемым решениям, что демонстрируется расчетом той же зависимости, в котором использовалась процедура регуляризации (рис. 7).

Сероглазовка

Ь, м

20000 т---

18000

16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

-2600

-2400 -2200 -2000 -1800 -1600

Н, см

Рис. 7. Зависимость ширины русла от уровня воды для водпоста «Сероглазовка» при восстановлении характеристики с использованием процедуры регуляризации

и 9):

Графики вычисленных величин выглядят следующим образом (рис. 8

р, м2

50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

-2600

-1800 -1600

Сероглазовка

-2400 -2200 -2000 Н, см

Рис. 8. Зависимость площади живого сечения русла от уровня воды для водпоста «Сероглазовка»

0,022

0,017

0,012

0,007

0,002

-25

Енотаевка

Рис. 9. График зависимости коэффициента шероховатости (п) от абсолютного уровня воды (Н) для водпоста «Енотаевка»

При наличии восстановленных пространственных параметров русла у нас появляется возможность применить полученные результаты для моделирования движения воды и, в частности, составления прогноза уровней воды для каждого

водпосга на некоторый период времени с некоторой фиксированной заблаго-временностью.

Для того чтобы рассчитать неустановившееся движение воды в русле реки, необходимо решить прямую задачу гидродинамического моделирования на основании системы уравнений Сен-Венана. Задача численного интегрирования этих уравнений подробно рассматривается в ряде как отечественных, так и зарубежных работ.

На рис. 10 приведены результаты сравнения прогноза (с фиксированной заблаговременностью 3 дня), полученного путем решения системы уравнений Сен-Венана (прямая задача) на основании вычисленных величин площади сечения и модуля расхода воды, с реальными измеренными данными за 1978 г.

Енотаевка

Н, см

Ъ номер дня

Рис. 10. Сравнение прогноза уровня воды на 1978 г. с реально измеренными данными для водпоста «Енотаевка»

Рассмотрим теперь оценки погрешности результатов прогноза с помощью гибридной нейросетевой модели по Нижней Волге (табл. 1).

Таблица 1. Результаты прогноза с помощью гибридной нейросетевой модели по Нижней Волге с различными периодами заблаговременности Д

Пункт Расстояние сг Период заблаго- 5 100%5/сг

до устья (Н) временности [м] [%]

[м] [сутки]

Волгоград 600 1,86 1 0,12 6,7

Волгоград 600 1,86 6 0,14 7,6

Красноармейск 586 1,9 2 0,06 3,2

Красноармейск 586 1,9 6 0,10 5,1

Светлый Яр 561 1,88 2 0,17 8,9

Светлый Яр 561 1,88 6 0,17 8,9

Каменный Яр 542 1,72 2 0,15 8,9

Каменный Яр 542 1,72 6 0,17 9,9

Черный Яр 465 1.74 2 0,22 13

Черный Яр 465 1.74 2 0,25 14

Енотаевка 392 1.61 3 0,13 8,0

Енотаевка 392 1.61 6 0,15 9,2

Сероглазовка 249 1.50 4 0,17 11,2

Сероглазовка 249 1.50 6 0,17 11,4

При расчетах использовались следующие формулы, определяющие 5,ст,<тД.

Чі&'-Я (20)

<7 = ,-,,4

\n-\tt П^ (21)

Таким образом, в результате расчета уровней воды согласно разработанному подходу погрешности для всех водомерных постов не только не превышают допустимые, но и в большинстве случаев значительно меньше их.

Подводя итог, можно сделать вывод о том, что получаемые предлагаемым методом аппроксимации морфометрических и гидравлических характеристик русла рек позволяют осуществлять моделирование движения воды в реках и прогнозирование уровня воды на основании прямого решения системы уравнений Сен-Венана с достаточно хорошей точностью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над диссертацией достигнуты следующие научные и практические результаты:

1. В ходе анализа современных источников по вопросам, связанным с гидродинамическим моделированием движения воды в реках, выявлен ряд сложностей в применении прямых методов для расчета неустановившегося движения воды, а также отсутствие надежных способов прогнозирования, которые могли бы выдавать прогнозы с достаточной точностью.

2. Установлена значимость обратных задач гидродинамического моделирования на основании системы уравнений Сен-Венана для расчетов и прогнозов неустановившегося движения воды, так как они позволяют использовать в качестве исходных данных в основном только данные наблюдений за водным режимом, без детальных измерений характеристик русел и их последующей калибровки. Показана необходимость регуляризации этих задач, обусловленная их некорректностью.

3. На основании анализа источников впервые показана перспективность применения нейросетевых подходов для решения различных гидрологических и гидродинамических задач. Нейронные сети все чаще применяются для быстрого и эффективного решения таких задач.

4. Теоретически и на практике обосновано расширение физического смысла гидродинамических характеристик, участвующих в расчете неустановившегося движения воды в реках на основании системы уравнений Сен-Венана. Это обусловлено тем, что процедура вывода этих уравнений основана на ряде допущений и упрощений, в частности, не учитывается наличие рукавов и извилистость русла, так же как и возможность выхода воды на пойму.

5. Сформулированы различные модели учета бокового притока-оттока. Поскольку схема решения составляется на основании дисбаланса между изменением объема воды во входном и замыкающем створах, в случае, если ве-

личина этого дисбаланса сравнима с изменением объема вследствие притока-оттока, неучтенность этого фактора может сильно исказить получаемое решение. Показано, что для большинства крупных рек в качестве такой модели можно взять простую линейную зависимость между Qnp — расходом воды на приток-отток и Q(0) — расходом воды в начальном створе; либо между Qnp и суммой Q(0) + Q(L), где Q(L) — расход воды в замыкающем створе.

6. Впервые разработан гибридный нейросетевой метод для восстановления как морфометрических, так и гидравлических характеристик русла реки. Сформулирована нейросетевая постановка задачи, приведены схемы для расчетов площади живого сечения F и гидравлической характеристики К , обратной квадрату пропускной способности русла.

7. Впервые разработаны способы регуляризации решения, позволяющие наложить специфические ограничения на получаемое решение, что позволяет выделить из спектра возможных решений то решение, которое лучше удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям, в том числе важнейшим требованиям устойчивости и монотонности.

8. Впервые реализована программа расчета характеристик, спроектированная на основании разработанного нейросетевого метода решения с использованием выведенных процедур регуляризации. При этом реализована возможность переноса расчета наиболее вычислительно сложных и ресурсоемких задач на графический процессор (GPU), использующий передовые технологии распараллеливания и ускорения вычислений, в частности технологию NVIDIA CUDA. Это позволило на порядок снизить скорость расчетов обратной задачи. Примерное время обучения одной нейронной сети при решении обратной задачи по массиву данных за 10 лет составляет 10 минут.

9. Разработанный метод опробован на реальных данных: была разработана программа численного гидродинамического моделирования и проведен расчет пространственно-временных характеристик участка р. Волги ниже Волгоградского гидроузла по данным за 1967-1978 гг., а также составлен прогноз уровня воды с фиксированной заблаговременностью для нескольких водомерных постов. Проведенные эксперименты показали, что погрешность расчета неустановившегося движения воды, построенного на основании решения обратной задачи гидродинамического моделирования, описанного в диссертации, значительно ниже средней погрешности расчетов, проведенных по иным методам.

Публикации по теме диссертации:

1. Черкезов, Р. И. Решение систем линейных уравнений на нейронных сетях с ускорением / Р. И. Черкезов, Д. В. Пантюхин // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Труды 48-й научной конференции МФТИ, Часть 1 Факультет Радиотехники и Кибернетики. — Москва, 2005. — С. 185-186.

2. Черкезов, Р. И. Оценка качества дактилоскопических отпечатков при помощи нейронной сети / Р. И. Черкезов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Труды 49-й научной конференции МФТИ, Часть 1. Радиотехника и Кибернетика. — Москва, 2006. — С. 159-160.

3. Черкезов, Р. И. Сравнение оценок качества изображений лиц человеком и машиной / Р. И. Черкезов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Труды 50-й научной конференции МФТИ, Часть 1. Радиотехника и Кибернетика. — Москва. — 2007. — С. 203—205.

4. Черкезов, Р.И. Нейросетевой метод решения обратных задач гидродинамического моделирования на примере определения характеристик Волги ниже Волгоградского гидроузла / Р. И. Черкезов, Д. В. Штеренлихт, Н. В. Ханов // Природообустройство. — 2012 — № 3. — С. 91-95.

5. Черкезов, Р. И. Регуляризация обратной задачи гидродинамического моделирования при расчете гидравлических характеристик русел рек с помощью нейронных сетей / Р. И. Черкезов, М. А. Червоненкис, Н. В. Ханов // Мелиорация и водное хозяйство. — 2012. — № 5. — С. 26-29.

6. Черкезов, Р. И. Регуляризация обратной задачи при гидродинамическом моделировании речного стока с применением нейронных сетей / Р. И. Черкезов // Международный научный журнал. — 2012.— № 5. — С. 77— 82.

Подписано в печать «08» апреля 2013г. Тираж 100 экз. Усл.п.л. 1,0 Заказ № 58 Отпечатано в типографии «Реглет» 119606, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»

(ФГБОУ ВПО МГУП)

На правах рукописи

04201356080

Черкезов Роман Игоревич

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РУСЛАХ РЕК

Специальность 05.23.16 - Гидравлика и инженерная гидрология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор

Н. В. Ханов

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ ПО ВОПРОСАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РЕКАХ, РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ В ГИДРОЛОГИИ....................................................................8

1.1. Исследования по моделированию неустановившегося движения воды в реках..............................................................................................................................9

1.2. Исследования способов решения обратных задач математического моделирования неустановившегося движения воды в реках................................11

1.3. Применение нейронных сетей при решении гидрологических задач.........12

1.4. Современные системы прогнозирования наводнений..................................16

1.5 Выводы..............................................................................................................20

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РЕКАХ...................................22

2.1. Постановка обратной задачи...........................................................................23

2.2. Исходные данные для обратных задач...........................................................24

2.3. Переход к интегральным уравнениям............................................................25

2.4. Учет бокового притока.....................................................................................28

2.5. Существующие методы решения обратной задачи......................................31

2.6. Выводы..............................................................................................................38

ГЛАВА 3. НЕЙРОСЕТЕВОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РЕКАХ....................................................................................40

3.1. Метод аппроксимации морфометрической характеристики русла — площади живого сечения...........................................................................................41

3.2. Использование регуляризации для решения задачи определения морфометрических характеристик...........................................................................46

3.3. Метод аппроксимации гидравлической характеристики русла — пропускной способности русла................................................................................55

3.4. Использование регуляризации для решения задачи определения гидравлических характеристик.................................................................................59

3.5. Выводы..............................................................................................................60

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ГИБРИДНОГО НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ ДЛЯ НИЖНЕЙ ВОЛГИ...........62

4.1. Физические и географические особенности..................................................66

4.2. Восстановление морфометрических характеристик русла..........................68

4.3. Восстановление гидравлических характеристик русла................................78

4.4. Прогнозирование неустановившегося движения воды на основании восстановленных характеристик русла....................................................................84

4.5. Сравнение результатов использования нейросетевого подхода с расчетом на основании линеаризации интегральных уравнений..........................................92

4.6. Выводы..............................................................................................................94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................................96

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.....................................................99

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований

В настоящее время, как в России, так и за ее пределами, исключительно актуальна задача автоматизации управления и мониторинга водными ресурсами. Рост количества гидротехнических сооружений определяет потребность в такой автоматизации, что, в свою очередь, вызывает повышение требований к точности моделирования и прогнозирования процессов, связанных с движением воды в руслах рек.

Используемые в настоящее время модели для таких расчетов, как правило, прибегают к значительному упрощению моделируемых процессов, вследствие чего зачастую нет возможности добиться удовлетворительных результатов при их применении на практике.

Наиболее изученным в данном направлении подходом является использование одномерной модели, в которой неустановившееся движение воды в русле математически описывается в виде системы уравнений Сен-Венана. Этому вопросу посвящены многочисленные работы как отечественных, так и зарубежных авторов. При этом основное внимание в большинстве работ уделяется решению прямой задачи: как рассчитать уровни и расходы воды на заданном участке, если известны гидравлические и морфометрические характеристики русла.

Однако, как показывают исследования, при попытках применить указанный подход на практике, достигаемые результаты не всегда оказываются достаточно точными.

В силу данных обстоятельств, ставится вопрос о решении обратной задачи — задачи определения характеристик русла по приближенно известным решениям системы дифференциальных уравнений.

В последнее время для решения различных математических и технических задач все чаще используются искусственные нейронные сети. Поскольку нейрон-

ные сети обладают рядом преимуществ по сравнению с другими математическими вычислительными моделями — помехоустойчивостью, адаптивностью, обучаемостью, обобщающей способностью и т. д., — исследование возможности их применения к решению обратных задач гидродинамического моделирования русел рек является актуальной задачей.

Цели и задачи исследования

Главная цель диссертации заключается в разработке нового подхода к решению обратных задач гидродинамического моделирования русел рек.

Основные задачи, которые при этом возникают:

- Анализ теоретических разработок в области моделирования и прогнозирования движения воды в руслах рек, теоретических и практических исследований обратных задач гидродинамики и способов их решения, а также применения нейросетевых алгоритмов в гидрологии.

- Разработка подхода к решению задачи определения пространственно-временных характеристик (морфометрических и гидравлических), основанного на использовании нейронных сетей, который позволял бы формировать схемы решения данной задачи для различных рек.

- Проведение экспериментальных исследований по разработанной методике на основании данных наблюдений за движением воды в реках.

- Оценка точности полученных результатов и их сравнение с результатами применения других методов и натурными наблюдениями.

Объектом исследования работы являются методы расчета гидрологических пространственно-временных характеристик. Предметом исследования — применение нейросетевых алгоритмов для вычисления гидравлических и морфометрических характеристик русел рек.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- Сформулированы нейросетевые постановки задач определения гидравлических и морфометрических пространственно-временных характеристик русел рек на основании обратной задачи гидродинамического моделирования неустановившегося движения воды в руслах рек.

- На основании сформулированных нейросетевых постановок задач и процедур регуляризации разработана численная схема решения обратных задач, использующая нейронные сети, предназначенная для определения гидродинамических характеристик.

- Предложены различные процедуры регуляризации получаемого решения, позволяющие наложить определенные ограничения на получаемое решение, которые учитывали бы физические особенности русла и обеспечивали бы этому решению требуемые свойства, в частности, его устойчивость и монотонность.

- Для экспериментальной проверки разработанного метода создана программа для ЭВМ, реализующая вычисления согласно разработанной схеме. При этом, данная программа для выполнения наиболее вычислительно сложных задач может использовать графические процессоры (GPU) для распараллеливания и ускорения расчетов, используя при этом технологию NVIDIA CUDA.

Практическая ценность

Полученная схема решения обратных задач гидродинамического моделирования позволяет производить автоматизированное моделирование и прогнозирование процессов, протекающих в руслах рек, а также корректировку режима работы гидротехнических сооружений (например, попусков ГЭС) на основании прогнозируемых для того или иного режима уровней воды. Практическое применение результатов работы обеспечит существенное сокращение затрат, связанных с организацией детализированных по длине расчётного участка натурных измерений основных характеристик русла.

Достоверность полученных результатов обоснована достаточно хорошей точностью соответствия между прогнозируемыми и реально фиксируемыми значениями для различных участков рек за некоторые годы (в качестве примера: прогноз для участка р. Волги от Волгоградской ГЭС до с. Верхнелебяжье за 1978 г. после обучения нейронной сети на данных за период с 1967 по 1977 гг.).

Методы исследования: теоретический анализ и расчетные эксперименты на основании натурных данных.

На защиту выносится методика восстановления морфометрических и гидравлических характеристик русел рек, предназначенных для расчета неустановившегося движения воды в руслах рек.

Публикации. Основные положения работы опубликованы в 6 печатных работах, в том числе 3 публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора состоит в выявлении перспективности использования нейронных сетей для решения различных гидрологических и гидравлических задач, разработке гибридного нейросетевого метода решения обратной задачи гидродинамического моделирования, формулировке процедур регуляризации для данной задачи, а также создании программы для ЭВМ, позволяющей оперативно воспроизводить требуемые вычисления.

Структура и объем диссертации. Структура и объем диссертации. Диссертация, общим объемом в 108 страниц, состоит из введения, четырех глав, общего заключения и списка использованной литературы.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХИНФОРМАЦИОННЫХ

ИСТОЧНИКОВ ПО ВОПРОСАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В РЕКАХ, РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ В ГИДРОЛОГИИ

В данной диссертационной работе рассматриваются вопросы, которые в основном связаны с тремя областями знания:

1. Физическое и математическое моделирование неустановившегося движения воды в реках.

2. Решение обратных задач математического моделирования применительно к неустановившемуся движению воды в реках.

3. Применение нейронных сетей, в частности, при решении задач, связанных с гидрологическими проблемами.

Поэтому прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению задач, поставленных перед автором при выполнении данной работы, необходимо было сделать анализ современных информационных источников по данной тематике.

Кроме того, поскольку главная цель данного исследования — представить новый метод определения морфометрических и гидравлических характеристик русла реки, которые впоследствии позволяют выполнять прогнозирование хода уровней воды, также необходимо рассмотреть некоторые существующие на данный момент системы моделирования и прогнозирования гидрологических явлений.

В последующих разделах первой главы будет проведен краткий обзор современных работ по указанным выше темам.

1.1. Исследования по моделированию неустановившегося

движения воды в реках

Первыми крупными отечественными исследователями в области моделирования движения воды в открытых руслах и методам решения задач, связанных с неустановившимся движением воды в реках, были такие ученые, как Г. П. Калинин, Л. В. Кучмент и В. И. Корень [18; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28]. Их работы послужили фундаментом для последующих работ в области математического моделирования неустановившегося движения воды в реках и методов гидрологических расчетов и прогнозов.

Различные вопросы, связанные с моделированием данного процесса, подробно изложены в монографии М. С. Грушевского [15], в которой детально рассматривается одномерная модель неустановившегося движения воды, математически выраженная в виде системы уравнений Сен-Венана. В этой работе в основном описываются вопросы решения прямой задачи моделирования, в которой по определенным заранее морфометрическим и гидравлическим характеристикам русла реки, а также граничным условиям рассчитываются ход уровней воды и расходы для заданного участка.

Среди современных источников одним из самых полных в области построения математических моделей на основе физических уравнений и решения этих уравнений численными методами является коллективная работа В. Е. Селезнева, В. В. Алешина, С. Н. Прялова [43]. Хотя она посвящена более широкому кругу вопросов, проблемы, связанные с моделированием рек, в ней описаны достаточно подробно. Здесь строится математическая модель рек и каналов с открытым не-разветвленным руслом, выводится уравнение Сен-Венана. В этой монографии детально рассмотрены вопросы моделирования открытых каналов и рек с разветвленным руслом. Для каждой из рассматриваемых моделей строится соответствующая ей разностная модель и изучаются различные варианты задания для нее

граничных условий. Исследуются вопросы устойчивости таких моделей и выводятся условия устойчивости. Предлагается метод решения соответствующих разностных схем и рассматриваются вопросы практической реализации построенных моделей и алгоритмов. Рассматривается скорость сходимости методов при уменьшении шага сетки. В работе показано, что в большинстве практических случаев задача решения разностных схем является корректной и разностные схемы могут успешно применяться на практике для расчетов установившегося и неустановившегося течения. Отмечается, что отрицательной особенностью разностных моделей является размывание фронтов физических процессов. Это явление объясняется наличием так называемой схемной вязкости [40; 41]. Рассматриваются методы, позволяющие решить проблемы размывания фронтов, — использование так называемых «лагранжевых частиц». Эти методы используют нефиксированную сетку, ячейки которой — частицы, перемещающиеся со скоростью жидкости. Показывается, что такой подход может быть применен для однородных жидкостей и, в большинстве практических случаев, он дает хороший результат.

Ряд вопросов, связанные с моделированием задач гидравлики открытых потоков, рассматриваются в работах В. В. Беликова [4; 5; 6]. В этих работах показывается, что при исследовании такого рода задач зачастую целесообразно применение численного моделирования на основании уравнений Сен-Венана.

В работе А. В. Романова [33] рассматриваются уравнения Сен-Венана и их интегральные аналоги, а также методы численного решения этих уравнений. Описывается метод решения уравнения Сен-Венана с помощью схемы Лакса - Венд-роффа.

Кроме того, вопросам численного моделирования и его применения для решения уравнений Сен-Венана при исследовании движения воды в открытых руслах посвящены также работы [1; 7; 8; 9; 10; 14; 20].

В трудах Е. А. Семенчина и Н. В. Вандиной [44; 45; 46] рассматриваются численные и аналитические методы решения уравнений Сен-Венана, в частности, рассматривается решение этих уравнений методом расщепления и методы прогнозирования параметров волнового потока, определения пропускной способно-

сти русла в зоне возможного затопления, основанные на решении системы уравнений Сен-Венана.

Среди работ иностранных авторов по данной теме стоит упомянуть работу М. Н. СЬаиёЬгу [65], в которой описывается движение воды, как установившееся, так и неустановившееся, рассмотрен ряд современных методов численного анализа процессов, связанных с неустановившимся движением воды, а также разработанные компьютерные программы, реализующие описанные алгоритмы.

В работе "\У. \Уи [93] рассматриваются различные модели описания движения воды в русле (как одномерные, так и двухмерные). Приводятся различные методы моделирования движения воды, например, метод проекции, метод вихря и функции тока и др.

1.2. Исследования способов решения обратных задач математического моделирования неустановившегося движения воды в реках

Впервые задачу определения геометрических и гидравлических характеристик речного русла путем решения обратной задачи сформулировали отечественные ученые В. И. Корень и Л. С. Кучмент[22; 23; 24].

Постановка обратной задачи математического моделирования движения воды в реках зак�