автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез рекурсивных цифровых фильтров методами оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации

На правах рукописи

ЩЕГОЛЬСКИЙ Игорь Анатольевич

СИНТЕЗ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ МЕТОДАМИ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (отрасль: информация и информационные системы, энергетика, экономика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск-2004

Работа выполнена на кафедре "Автоматика и системы управления" Омского государственном университете путей сообщения (ОмГУПСа).

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

кандидат технических наук, доцент Когут Алексей Тарасович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор Гончаров Валерий Иванович кандидат технических наук, доцент Бойченко Иван Валентинович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится " 19 " мая 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.269.06 при Томском политехническом университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета.

Автореферат разослан

апреля

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.269.06

М.А. Сонькин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В состав современных вычислительных устройств, обрабатывающих информацию технологических процессов, часто входят блоки программно или аппаратно реализованных цифровых фильтров (ЦФ). По виду разностного уравнения ЦФ делятся на рекурсивные и нерекурсивные. По виду переходного процесса рекурсивные ЦФ являются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а нерекурсивные - с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).

Методы проектирования КИХ фильтров достаточно хорошо разработаны и рассмотрены в работах Голда Б., Рэйдера Ч., Рабинера Л., Кайзера Д., Ремеза Е.Я., Хемминга Р.. Они основаны на теории рядов Фурье, методах линейного программирования, задачах чебышевской аппроксимации. Методы синтеза рекурсивных фильтров приведены в работах Брофи Ф., Салазара А., Штейглица К., Дечки А., Бандлера Д., Рабинера Л.. Типовые БИХ фильтры обычно проектируются по аналоговым фильтрам с использованием билинейного преобразования. Наиболее универсальными методами расчета таких фильтров можно считать оптимизационные алгоритмы, которые минимизируют согласно некоторому критерию функцию ошибки, между заданной и полученной характеристикой фильтра.

Одним из общих методов расчета коэффициентов цифровых фильтров является алгоритм минимизации ошибки, который при различных

значениях параметра-показателя степени р соответствует другим оптимизационным методам. В качестве оптимизационной процедуры, применяемой при реализации алгоритма можно использовать любой метод минимизации вещественной функции нескольких переменных. Наиболее распространенным, обладающим высокой скоростью сходимости, является метод Ньютона. Однако он разрабатывался в предположении, что функционал является унимодальным и начальная точка поиска находится вблизи искомого решения. Функция ошибки в алгоритме может являться неунимодальной относительно некоторых искомых коэффициентов фильтра, что еще в большей степени усложняет задачу выбора начального приближения. Недостатком метода является также его вычислительная сложность, т.к. на каждом шаге поиска необходимо производить обращение квадратной матрицы. В связи с этим на практике вместо алгоритма Ньютона используют квазиньютоновские процедуры ДФП (Давидона-Флетчера-Пауэлла), Мак-Кормика, Фиакко и Мак-Кормика, Гольдфарба, Гринстада, Пирсона, Бройдена и др.

Теоретически минимум функционала ошибки в алгоритме Ь2р стремится к нулю, следовательно, для его реализации можно применять процедуры нахождения корня уравнения. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения включает только первую производную целевой функции, поэтому скорость его сходимости может оказаться недостаточно высокой.

Необходимо разработать такие оптимизационные алгоритмы для определения коэффициентов фильтров, которые основаны на методе Ньютона поиска корня уравнения, но имеют по сравнению с ним большую область и скорость сходимости за счет использования матрицы вторых производных целевой функции и не включают трудоемкую операцию обращения этой матрицы. Получить такие алгоритмы оптимизации можно на основе методики полиномиальной аппроксимации, в которой при линеаризации учитываются высшие члены ряда Тейлора.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка алгоритмов синтеза цифровых рекурсивных минимальнофазовых фильтров по заданной амплитудной частотной характеристике с помощью методов оптимизации, включающих вторую производную целевой функции, но имеющих меньшие вычислительные затраты и лучшие показатели сходимости по сравнению с классическими.

Задачи исследования.

Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи:

1) разработка методов безусловной оптимизации функций нескольких переменных с применением полиномиальной аппроксимации;

2) проведение сравнительного анализа предлагаемых методов;

3) построение рекуррентного алгоритма определения коэффициентов цифровых фильтров на основе алгоритмов второго порядка;

4) экспериментальное исследование алгоритма и программы синтеза фильтров;

5) разработка методики и рекомендаций по синтезу цифровых рекурсивных фильтров.

Методы исследования. Теоретическое исследование проводилось с применением методов оптимизации, теории матриц и цифровой обработки сигналов. Моделирование осуществлялось на ЭВМ с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений MatLab.

Результаты, выносимые на защиту:

1) методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе полиномиальной аппроксимации;

2) результаты сравнения классических оптимизационных схем с разработанными методами полиномиальной аппроксимации;

3) алгоритм и результаты синтеза цифровых рекурсивных фильтров.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) получены алгоритмы безусловной оптимизации функций' нескольких переменных на основе полиномиальной аппроксимации;

2) определены свойства алгоритмов оптимизации, области и скорости их сходимости;

3) разработан алгоритм и программа расчета цифровых БИХ фильтров методом минимизации с применением полиномиальной аппроксимации.

Практическая ценность.

Разработаны алгоритм, программа и методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров на основе оптимизационных методов полиномиальной аппроксимации, имеющих меньшую сложность и более широкую область допустимых значений начальных приближений искомых параметров, чем у существующих методов.

Реализация результатов работы.

Результаты работы используются в ФГУП "Омский научно-исследовательский институт приборостроения" при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам "Математические основы теории систем" и "Передача данных в информационно-управляющих системах" для студентов специальности 2101 -Управление и информатика в технических системах. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР "Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах" (1995 г. № ГР 01.9.30001868, 1996-1999 г.г. № ГР 01.9.60000794), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения.

Апробация работы.

Основной материал диссертации представлен в научных докладах, которые обсуждались на 1-й, Н-й и Ш-й международных конференциях "Динамика систем, механизмов и машин " (ОГТУ, Омск, 1995г., 1997г., 1999г.); международной научно-технической конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (ИИТПМ, Омск, 1997г.), Всероссийской

конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" и научно-техническом семинаре "Синтез цифровых фильтров" (ОФИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, 2003г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 статей, 3 тезиса докладов и оформлено 4 отчета по НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 145 страниц текста, 96 рисунков, 20 таблиц, список литературы из 106 наименований на 9 страницах, 10 страниц приложений с текстами программ и актами о внедрении результатов диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности исследуемой проблемы, определяются цели, методы, задачи исследования, дается краткое содержание работы.

В первой главе рассматриваются способы описания цифровых фильтров и методы их расчета.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой рассчитывают чаще всего одним из следующих методов: взвешивания с помощью окна, частотной выборки, расчета оптимальных фильтров.

Для синтеза рекурсивных или БИХ фильтров используют подходы, основанные на расчете аналоговых фильтров (А. Эванс, Т. Паркс, Ф. Брофи, А. Салазар) или на методах оптимизации (К. Штейглиц, А. Дечки, Д. Бандлер, Л. Рабинер, Б. Голд). Проектирование по аналоговым фильтрам производится с использованием дифференциального уравнения, импульсной характеристики или передаточной функции. Из оптимизационных методик можно выделить процедуры линейного программирования, минимизации среднеквадратической ошибки, минимизации ошибки.

В методе минимизации ошибки составляется целевая функция

где L - количество точек дискретизации; - значение частота в к-ой точке;

- заданная амплитудная частотная характеристика фильтра;

полученная амплитудная частотная характеристика фильтра;

X - вектор неизвестных коэффициентов фильтра;

р - целое положительное число.

Функция (1) минимизируется для получения оптимального вектора коэффициентов фильтра X.

Типовые зависимости функции ошибки аппроксимации Б(Х) от неизвестных коэффициентов х, приведены на рис.1. Неунимодальный характер зависимостей приводит к тому, что классические методы оптимизации при неудачном выборе начальной точки не сходятся к минимуму целевой функции или вообще расходятся. Один из лучших оптимизационных алгоритмов-метод Ньютона характеризуется значительной вычислительной сложностью, т.к. для его реализации необходимо производить обращение матрицы вторых производных целевой функции. В связи с этим были разработаны методы полиномиальной аппроксимации, имеющие более простую вычислительную схему и лучшие показатели сходимости по сравнению с классическими градиентными алгоритмами при минимизации таких функций.

Зависимость функции ошибки от коэффициентов БИХ фильтра

Рис.1

Во второй главе приведены расчетные соотношения для методов полиномиальной аппроксимации, проведено сравнение разработанных методов как между собой, так и с классическими алгоритмами оптимизации, получены аналитические оценки скорости сходимости методов полиномиальной аппроксимации.

Разложение функции ошибки аппроксимации заданной частотной характеристики фильтра Р(Х) в линейный отрезок ряда Тейлора относительно произвольной точки имеет вид:

Р(Х*,)-Р(Ха)+ УР^ДХ, (2)

где V F(Xd) - градиент F(X) точке Xd;

В предположении, что целевая функция является гладкой, заменим разность значений функции по формуле

F(Xd+l)-F(Xd) = -hF(Xd). (3)

Тогда из (2) получим

AX = -hF(Xd) VF(Xd)+, (4)

где h - шаг (скаляр);

V F(Xd)+ - вектор-столбец, псевдообратный к вектору градиента V F(Xd)T. Из равенства (4) следует выражение для поиска следующего приближения к решению

Xd+1 = Xd-hF(Xd) VF(Xdr. (5)

В общем случае величина шага h не является постоянной, поэтому заменив на получим расчетную формулу для метода полиномиальной аппроксимации первого порядка

Xd+1=Xd- hd+, F(X„) VF(Xd)+. (6)

Для вывода методов второго порядка разложим целевую функцию в квадратичный отрезок ряда Тейлора

F(Xd+1) = F(Xd)+ VF(Xd)TAX+ i ДХТ V2F(Xd)AX, (7)

где V 2F(Xd) - матрица Гессе в точке Xd.

Выражение (7) нелинейно относительно ДХ. Для его линеаризации необходимо разность ДХ заменить некоторым известным значением SXd+|. При такой замене можно получить три разных формы записи уравнения (7):

F(Xd+i) = F(Xd) + V F(Xd)T ДХ + ISXd+lT V2F(Xd)AX; F(Xd+i) = F(Xd) + V F(Xd)T AX + Í5Xd+1T V2F(Xd)5Xd+l;

F(Xd+1) = F(Xd) + VF(Xd)T5Xd+1 + Í5Xd+lT V2F(X„)AX. (10)

В форме (8) заменили одну из разностей при второй производной F(X), в форме (9) обе разности при второй производной были заменены на 5Xd+i, в форме (10) заменили как разность при первой, так и при второй производной

целевой функции. По аналогии с выводом формулы (6) из выражений (8)-(10) можно получить три формы метода второго порядка:

Ха+1 = Х<1-у(1мР(Ха)(УР(Х,)т+ 1бХа+,т У2Р(Ха))+; (П)

Х<ц.| = X,)- Ра+1 (Р(Х<|) + ^5Х<1+1Т У2Р(Ха) 5Ха-ц) V Р(Ха)+; (12)

Ха+1 = Ха-^+1(Р(Ха)+ УР(Ха)т8Ха+1)(^5Ха+1т У2Р(Х„))+, (13)

где Уа+|, Ра+1, - шаги методов.

Для реализации вычислительных схем необходимо найти способ, по которому определяется значение вектора 8Х<1+1 в формах (11)—(13). Одним из возможных подходов является замена

5Ха+1=Х'(|+.-Ха, (14)

где - некоторое известное значение;

Ха - значение, полученное на d-ой итерации.

Вектор Х'а+1 можно определить, например, по методу первого порядка (6). В этом случае вычислительная схема будет двухступенчатой. На первой ступени определяется методом первого порядка, а затем

применяется одна из форм второго порядка (11)-(13) для нахождения уточненного значения

Другим способом определения неизвестного вектора в формулах (11) - (13) является замена

бХа+1 = Х<1 - Х<м, (15)

где Ха и Х<м - значения, полученные на (1-й и ^-1)-й итерациях соответственно.

В этом случае вычислительная схема будет двухшаговой. На первой итерации для получения вспомогательной точки можно воспользоваться алгоритмом первого порядка (6), а затем продолжать поиск минимума целевой функции по одной из форм (11) - (13) с учетом выражения (15).

Известно, что наибольшее локальное уменьшение значения целевой функции происходит в направлении вектора антиградиента. В форме (13) направление спуска не включает градиент целевой функции. Поэтому сходимость методов, основанных на этой форме, будет неудовлетворительной и их можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Сравнение других методов полиномиальной аппроксимации было проведено на тестовых примерах. Так на рис. 2 представлен график функции

(16)

и ее линии уровня.

График функции Б(Х)

Рис.2

Из рисунков видно, что данная функция является неунимодальной с ярко выраженным глобальным минимумом. Вид областей сходимости при минимизации этой функции методами полиномиальной аппроксимации первого и второго порядков приведен на рис.3. Области сходимости алгоритмов Ньютона, двухступенчатого алгоритма ПА второго порядка на основе первой формы, градиентного, ПА первого порядка представлены на рис. 4.

Области сходимости алгоритмов ПА

Рис.3

1 - ПА1; 2 - ПА2 на основе первой формы; 3 - ПА2 на основе второй формы

Области сходимости алгоритмов для F(X)

Рис.4

1-градиентный метод; 2-ПА1; 3- Ньютона; 4 - ПА2

Из рисунков видно, что область сходимости алгоритмов ПА оказывается шире по сравнению с классическими методами. Метод полиномиальной аппроксимации второго порядка, реализованный по первой форме, имеет самую широкую область сходимости.

Графики сходимости методов оптимизации по координатам Х| и х2 для функции (16) из начальной точки X = (-1,8; 1,8) приведены на рис. 5.

Рис.5

1-градиентный метод; 2-метод ПА1; 3- Ньютона; 4-метод ПА2

Процесс поиска решения во многом зависит от заранее заданной точности, с которой это решение должно быть найдено. На рис.6 приведены зависимости количества итераций и времени вычислений от логарифма точности вычислений eps.

Зависимость количества итераций и времени вычислений от точности

Мерз) 1_5, 4 2 -^(ерз) 2.

Рис.6

1-градиентный метод; 2-ПА1; З-Ньютона; 4-ПА2

Проведенные эксперименты показали преимущество методов ПА над классическими алгоритмами при минимизации многоэкстремальных функций, функционалов, имеющих точки перегиба, а также функций, имеющих плохо обусловленную матрицу Гессе вблизи точки минимума. Преимущество алгоритмов ПА проявляется в увеличении области и скорости сходимости к оптимуму. Наиболее эффективным среди методов полиномиальной аппроксимации является двухступенчатый алгоритм второго порядка, реализованный по первой форме (11).

Аналитически показано, что метод полиномиальной аппроксимации первого порядка (6) имеет квадратичную скорость сходимости, а методы второго порядка (11)-(12) -третий порядок сходимости.

В третьей главе рассмотрен алгоритм определения коэффициентов цифровых рекурсивных фильтров, основанный на методе минимизации и градиентных процедурах полиномиальной аппроксимации.

Целевая функция, представляющая ошибку аппроксимации амплитудной характеристики ЦФ, имеет вид (1).

Амплитудная фазовая частотная характеристика ЦФ Ще^Х) зависит как от частоты w, так и от неизвестного вектора параметров фильтра X

где N - порядок фильтра (М<Ы); X = (хо, Х|,... Хм. хм+|,... Хм+ы)-

Для поиска вектора неизвестных X, минимизирующего функционал ошибки аппроксимации (1) методом ПА первого порядка, необходимо получить производную от функции Р(Х) по X:

=2 р¿(¡н^^ъ}|)2"-1 т^ж. (18)

3|H(ejwk,X)|

Для определения величины —1-- используем замену

5xj

е-""" = cos(w i) +j sin(w i).

(19)

Полагая M=N, получим выражение для АФЧХ М М

£xj COS(-wi) + j^Tx; sin(-wi)

H(e*w,X) = —-----

M M

1 + Z XM+! c0s(-w i) + j£ XM+i sin(-Wi) i=l i=l Используя обозначения

M M

P(w) = Xxi cos(~w0. Q(w) = X xi sin(-w i), i=0 i=0

(20)

(21)

M M

R(w) =l + XxM+i cos(-wi), S(w) =£xM+isin(-wi), (22) i=l ¡=1

модуль |H(e|W,X)| запишем следующим образом

|H(e>w,X)| =

_[ Р (w) + Q (w)

R (w) + S (w)

(23)

Неизвестные компоненты вектора X от Хо до Хм находятся в числителе дробно-рациональной функции H(e'w), поэтому для них производная от выражения (23) имеет вид:

д | H(ejw, X) | _ P(w)cos(i w) - Q(w)sin(i w)

5x i L'

((P2(w) + Q2(w))(R2(w) + S2(w)))2

(24)

Для неизвестных знаменателя вектора X от xM+i до xm+n производная

равна

д| H(eJW,X)|_((P2(w) + Q2(w))2(S(w)sin((i-M)w)-R(w)cos((i-M)w)

_ = 5

(R2(w)+S2(w))2

Таким образом, используя выражение (1) для целевой функции, выражения (18), (24), (25) для производной целевой функции и формулу (6) метода полиномиальной аппроксимации первого порядка, можно реализовать алгоритм определения коэффициентов ЦФ. Для применения оптимизационных процедур ПА второго порядка необходимо найти вторую производную целевой функции (1). Эта процедура приведена в третьей главе диссертационной работы.

Графическая схема определения коэффициентов ЦФ приведена на рис.7. В первом блоке вводятся исходные данные: показатель степени р в выражении для целевой функции; количество точек дискретизации L АФЧХ ЦФ; порядок фильтра N; начальное приближение к решению Хо; АФЧХ H(e|w); максимальное количество итераций iter; длина шага h метода ПА; точность поиска решения eps. Затем происходит определение очередного приближения к решению методом полиномиальной аппроксимации. Процесс поиска заканчивается, когда разность между значениями искомого вектора на текущей и предыдущей итерациях становится меньше заданной точности eps или количество проведенных итераций i совпадает с предельно заданным значением iter. В восьмом блоке проверяется условие устойчивости и минимальнофазовости полученного фильтра. Для определения устойчивости синтезированного фильтра ищутся корни знаменателя его передаточной функции. Корни, расположенные вне круга единичного радиуса на комплексной плоскости, заменяются на их зеркальные отображения, расположенные внутри единичного круга. Таким образом, без изменения амплитудной характеристики фильтра он становится устойчивым. Если фильтр является неминимальнофазовым, то отображению внутрь круга единичного радиуса подлежат те корни числителя передаточной функции, которые лежат вне данного круга. Ели рассчитанный фильтр был неустойчивым или неминимальнофазовым, то flagl устанавливается в единицу. При этом в блоке 10 возможно задать значение флага flag2. Если введенное значение flag2 равно нулю, то процесс уточнения коэффициентов фильтра продолжается, в противном случае на экран дисплея выводятся найденные значения коэффициентов ЦФ.

В соответствии с приведенным алгоритмом была составлена программа расчета, с помощью которой синтезированы ЦФ разных типов.

^ Начало )

т

з_у

Определение нового приближения к решению XI методом ПА

Формирование флага на основе проверки условия устойчивости и минимальнофазовости ЦФ

I

^ Конец ^

Рис.7 ГСА определения коэффициентов ЦФ

Для иллюстрации на рис.8 приведены графики амплитудных частотных характеристик заданных и синтезированных фильтров нижних и верхних частот.

При расчете коэффициентов фильтров значение параметров метода расчета было следующим:

р=1; L=20; N=4; h=l; eps=0,001.

Частотные характеристики ФНЧ и ФВЧ

Рис.8

Были построены экспериментальные зависимости времени вычислений и ошибки аппроксимации от порядка фильтра N количества точек дискретизации L, степени р, точности eps при расчете типовых рекурсивных фильтров методами полиномиальной аппроксимации.

На основе полученных зависимостей сформулированы следующие рекомендации по расчету ЦФ методами оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации:

1. Для уменьшения времени вычислений лучше использовать на начальных итерациях метод ПА2, а затем переходить на метод ПА1.

2. Так как показатель степени р в методе не оказывает существенного влияния на точность аппроксимации заданной АЧХ фильтра, то рекомендуется выбирать р равным 1.

3. Увеличение количества точек дискретизации L ведет к уменьшению ошибки аппроксимации. При расчете большинства фильтров следует выбирать L в пределах от 30 до 40.

4. Точность аппроксимации заданной характеристики зависит от точности оптимизационной процедуры. С увеличением точности методов оптимизации уменьшается ошибка аппроксимации, но растет время, необходимое для получения решения. Для уменьшения суммарных вычислительных затрат рекомендуется выбирать значение eps в диапазоне от 0,001 до 0,0001.

В четвертой главе приведены результаты внедрения разработанных алгоритмов и программ в комплекс по моделированию систем цифровой

обработки сигналов, разрабатываемый в "Омском НИИ приборостроения". Рассчитаны эталонные многополосные фильтры, приведены их временные и частотные характеристики.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении приведены листинги программ синтеза цифровых рекурсивных фильтров, а также акты о внедрении результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Рассмотрены математические модели и методы проектирования цифровых фильтров. Наиболее общими методами синтеза фильтров с произвольными частотными характеристиками являются алгоритмы минимизации, основу которых составляют оптимизационные процедуры. Показано, что зависимости функционала ошибки аппроксимации АЧХ от коэффициентов фильтра являются в общем случае неунимодальными функциями. Применение эффективных классических методов оптимизации для определения коэффициентов фильтра сопряжено со значительными вычислительными затратами и требует задания близких к решению начальных значений.

2. Предложено использовать для синтеза цифровых фильтров рекуррентные алгоритмы оптимизации, полученные на основе' методики полиномиальной аппроксимации, позволяющей сократить объем вычислений и учитывать квадратичные члены разложения целевой функции в ряд Тейлора.

3. Получены одна форма алгоритма полиномиальной аппроксимации первого порядка и три возможные формы второго порядка, из которых работоспособными являются только две. На основе предложенных форм алгоритмов разработаны двухступенчатые и многошаговые процедуры поиска решения.

4. Проведен сравнительный анализ вычислительных схем полиномиальной аппроксимации путем моделирования, на основе которого был выбран наилучший метод, а именно двухступенчатая процедура второго порядка, реализованная по первой форме. Получено аналитическое доказательство сходимости разработанных методов и оценена их скорость.

5. Приведено сравнение на тестовых примерах алгоритмов полиномиальной аппроксимации с классическими, методами Ньютона и наискорейшего спуска. Определен класс функций, для которых разработанные методы имеют лучшие показатели по области и скорости сходимости.

6. Приведен алгоритм синтеза цифровых минимальнофазовых рекурсивных фильтров, получены расчетные формулы для производных целевой функции, необходимые для реализации оптимизационных процедур данного алгоритма. Рассмотрено влияние параметров метода расчета на время вычислений и ошибку аппроксимации заданной частотной характеристики фильтра. Приведены рекомендации по выбору этих параметров при расчете БИХ фильтров с произвольной частотной характеристикой.

7. Составлена программа с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений Ма^аЬ по расчету коэффициентов рекурсивных цифровых фильтров на основе заданных частотных характеристик, которая используется в ФГУП "Омский научно-исследовательский институт приборостроения" при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов

8: Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам "Математические основы теории систем" и "Передача данных в информационно-управляющих системах" для студентов специальности 2101 - Управление и информатика в технических системах.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Щегольский И.А. Построение алгоритмов безусловной оптимизации на основе линейной аппроксимации //Совершенствование устройств подвижного состава, электрификации, автоматики и связи железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. /Омская гос. акад. путей сообщения. Омск, 1997. С.115-121.

2. Щегольский И.А. Определение вектора спуска в задачах условной оптимизации //Совершенствование устройств подвижного состава, электрификации, автоматики и связи железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. /Омская гос. акад. путей сообщения. Омск, 1998, С. 65-68.

3. КогутА.Т., Малютин А.Г., Симаков А.А., Щегольский И.А. Класс методов поиска оптимальных моделей и характеристик экономических объектов /Тезисы докладов научно-технической конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 1997. С. 90.

4. Когут А.Т., Малютин А.Г., Щегольский И.А. Применение квадратичной аппроксимации в задачах параметрической идентификации и оптимизации // Информатика и процессы управления: Межвузовский сборник научных статей. /Красноярский гос. техн. ун-т. Красноярск, 1997. С. 44-48.

5. Когут А.Т., Симаков А.А., Щегольский И.А. Анализ сходимости и оценка точности квадратичных алгоритмов решения задач оптимизации //Проблемы электромагнитного влияния и надежность функционирования систем передачи информации на железнодорожном транспорте: Межвуз. темат. сб. научн. тр. /Омская гос. акад. путей сообщения. Омск, 1998. С.64-68.

6. Когут А.Т., Симаков А.А., Щегольский И.А. Исследование свойств некоторых алгоритмов оптимизации средствами моделирования /Тезисы докладов научно-технической конференции "Железнодорожный транспорт Сибири: проблемы и перспективы". Омск, 1998. С 112.

7. Когут А.Т., Симаков А.А., Щегольский И.А. Построение процедур условной оптимизации в задачах управления на основе квадратичной аппроксимации /Материалы П-й международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин". Омск, 1997. С.65-66.

8. Когут А.Т., Щегольский И.А. Алгоритмы оптимизации на основе псевдообратных матриц /Материалы 1-й международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин". Омск, 1995. Кн.З. С.66.

9. Малютин А.Г., Симаков А.А., Щегольский И.А., Цемент Ю.Е. Применение квадратичной аппроксимации в задачах моделирования и синтеза систем //Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов ж.д. транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. /Омская гос. акад. путей сообщения. Омск, 1997. С.9-12.

10. Малютин А.Г., Симаков А.А., Щегольский И.А. Некоторые технические приложения полиномиальной, аппроксимации при реализации систем управления /Материалы Ш-й международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин". Омск, 1999. С. 332-333.

11. Малютин А.Г., Симаков А.А., Тихонова Н.А., Щегольский И.А. Решение некоторых задач управления методами полиномиальной аппроксимации /Тезисы докладов Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 2003. С. 130.

Типография ОмГУПС Заказ 25. Тираж 100 экз. 644046, Омск, пр. К. Маркса, 35.

N8-8 162

Введение.

1. Цифровые фильтры и методы их расчета.

1.1. Математические модели цифровых фильтров.

1.2. Методы расчета цифровых фильтров.

1.2.1. Проектирование КИХ фильтров.

1.2.2. Проектирование БИХ фильтров.

1.3. Постановка задачи исследования.

1.4. Выводы.

2. Методы оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации.

2.1. Вывод расчетных формул.

2.2. Сравнительный анализ вычислительных схем.

2.3. Исследование свойств алгоритмов на тестовых примерах.

2.4. Анализ сходимости алгоритмов.

2.5. Выводы.

3. Алгоритмы определения коэффициентов БИХ фильтров.

3.1. Вывод расчетных формул.

3.2. Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации первого и второго порядков.

3.3. Влияние параметров метода расчета на время вычислений и ошибку аппроксимации ЦФ.

3.4. Рекомендации по расчету ЦФ.

3.5. Выводы.

4. Проектирование рекурсивных фильтров для системы адаптивной обработки сигналов.

4.1 Синтез эталонных фильтров.

4.2 Выводы.

В состав современных вычислительных устройств, обрабатывающих информацию технологических процессов, часто входят блоки программно или аппаратно реализованных цифровых фильтров. По виду переходного процесса ЦФ делятся на КИХ (с конечной импульсной характеристикой) и БР1Х (с бесконечной импульсной характеристикой) фильтры. По виду разностного уравнения КИХ фильтры называют нерекурсивными, а БРГХ фильтры рекурсивными.Методы проектирования KPDC фильтров достаточно хорошо разработаны и рассмотрены в работах Голда Б./21/, Рэйдера Ч./22/, Рабинера Л./63/, Кайзера Д./23/, Ремеза Е.Я./62/, Хемминга Р./80/. Они основаны на теории рядов Фурье, методах линейного программирования, задачах чебышевской аппроксимации. Методы синтеза рекурсивных фильтров приведены в работах Брофи Ф., Салазара А./92/, Штейглица К./106/, Дечки А./105/, Бандлера Д./89/, Рабинера Л./63/. Типовые БИХ фильтры обычно проектирз^ются по аналоговым фильтрам с использованием билинейного преобразования. Наиболее универсальными методами расчета таких фильтров можно считать оптимизационные алгоритмы /62/, которые минимизируют согласно некоторому критерию функцию ошибки между заданной идеальной и полученной реальной характеристикой фильтра.Одним из общих методов расчета коэффициентов цифровых фильтров является алгоритм минимизации L2p ошибки, который при различных значениях параметра-показателя степени р соответствует другим оптимизационным методам /62/. В качестве оптимизационной процедуры, применяемой при реализации алгоритма L2p, можно использовать любой метод минимизации вещественной функции нескольких переменных. Наиболее распространенным, обладающим высокой скоростью сходимости, является метод Ньютона. Однако данный метод разрабатывался в предположении, что функционал является унимодальным и начальная точка поиска находится вблизи искомого решения. Функция ошибки в алгоритме Ьгр в общем случае является неунимодальной относительно искомых коэффициентов фильтра, к тому же достаточно сложно подобрать начальную точку вблизи оптимума, также недостатком метода является его вычислительная сложность, т.к. на каждом шаге поиска необходимо производить обращение квадратной матрицы и на практике вместо алгоритма Ньютона используют квазиньютоновские процедуры ДФП (Давидона-Флетчера-Пауэлла) /81/, Мак-Кормика /100/, Фиакко и Мак-Кормика /79/, Гольдфарба, Гринстада, Пирсона, Бройдена /94/ и др.Теоретически минимум функционала ошибки в алгоритме Ьгр стремиться к нулю, следовательно, для его реализации можно применять процедуры нахождения корня уравнения. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения включает только первую производную целевой функции, поэтому скорость его сходимости может оказаться недостаточно высокой.Необходимо разработать такие оптимизационные алгоритмы для определения коэффициентов фильтров, которые основаны на методе Ньютона поиска корня уравнения, но имеют по сравнению с ним большую область и скорость сходимости за счет использования матрицы вторых производных целевой функции и не включают трудоемкую операцию обращения этой матрицы. Получить такие алгоритмы оптимизации можно на основе методики полиномиальной аппроксимации, в которой при линеаризации учитываются высшие члены ряда Тейлора /33/.Цель работы: разработка алгоритмов синтеза цифровых рекурсивных минимальнофазовых фильтров по заданной амплитудной частотной характеристике с помощью методов оптимизации, включающих вторую производную целевой функции, но имеющих меньшие вычислительные затраты и лучшие показатели сходимости по сравнению с классическими.Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи: 1) разработаны методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных с применением полиномиальной аппроксимации; 2) построен рекуррентный алгоритм определения коэффициентов цифровых фильтров на основе алгоритмов второго порядка; 3) проведен сравнительный анализ разработанных методов между собой и с классическими алгоритмами оптимизации; 4) составлена программа синтеза цифровых фильтров и приведены рекомендации по их расчету.Научная новизна работы заключается в следующем: 1) получены алгоритмы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе методики полиномиальной аппроксимации; 2) определены свойства алгоритмов и область их применения; 3) разработан алгоритм и программа расчета цифровых БИХ фильтров методом минимизации с применением методики полиномиальной аппроксимации.Для решения поставленных задач использовались методы оптимизации, теория матриц и цифровой обработки сигналов. Моделирование примеров проводилось на ЭВМ с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений MatLab.Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР "Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах" (1995 г. J№ FP 01.9.30001868, 1996-1999 г.г. № ГР 01.9.60000794), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения (ОмГУПС).Результаты работы используются в Федеральном Государственном Унитарном предприятии "Омский научно-исследовательский институт приборостроения" при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам "Математические основы теории систем" и "Передача данных в информационно-управляющих системах" для студентов специальности 2101 - Управление и информатика в технических системах. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами, приведенными в приложении.На защиту выносятся: 1) методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе методики полиномиальной аппроксимации; 2) результаты сравнения классических оптимизационных схем с разработанными методами полиномиальной аппроксимации; 3) алгоритм и результаты синтеза цифровых рекурсивных фильтров.Результаты диссертации обсуждались на 1-й, П-й и 111-й международных конференциях "Динамика систем, механизмов и машин " (ОГТУ, Омск, 1995г., 1997г., 1999г.); международной научно-технической конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (ИИТПМ, Омск, 1997г.), Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" и научно-техническом семинаре "Синтез цифровых фильтров" (ОФИМ им. Л. Соболева СО РАН, Омск, 2003г.).По теме диссертации опубликовано 5 статей, 5 тезисов докладов и оформлено 4 отчета по НИР. Диссертационная работа состоит из четырех глав и приложения.В первой главе рассмотрены методы проектирования рекурсивных и нерекурсивных фильтров, представлены расчетные формулы для реализации этих методов. Даны рекомендации по использованию методов синтеза цифровых фильтров.Во второй главе показаны недостатки классических методов оптимизации, получены формулы алгоритмов полиномиальной аппроксимации, проведен сравнительный анализ на тестовых примерах различных методов оптимизации. Показана область применения алгоритмов полиномиальной аппроксимации.В третьей главе приведен алгоритм синтеза рекурсивных фильтров.Рассчитаны типовые цифровые фильтры методом минимизации L2p ошибки с применением алгоритмов оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации. Приведены зависимости ошибки аппроксимации и времени определения коэффициентов фильтра от параметров фильтра, метода Ьгр, точности оптимизационной процедуры. Представлены частотные характеристики синтезированных фильтров.В четвертой главе приведены результаты внедрения разработанных алгоритмов и программ в комплекс по моделированию систем цифровой обработки сигналов, разрабатываемый в "Омском НИИ приборостроения".Рассчитаны эталонные многополосные фильтры, приведены их временные и частотные характеристики.В заключении отображены основные результаты и выводы по диссертационной работе.В приложении приводятся акты внедрения результатов работы и тексты программ на языке MatLab.

4.2 Выводы

1. Рассмотрено устройство цифровой обработки сигналов и аппаратно-программный комплекс для его отладки. Приведено описание цифрового сигнального процессора фирмы Analog Devices, составляющего основу устройства. В отладочном комплексе выделен блок эталонного фильтра, коэффициенты которого предполагается определять методами оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации.

2. Приведено сравнение метода Давидона-Флетчера-Пауэлла с алгоритмом полиномиальной аппроксимации первого порядка при проектировании типовых идеальных фильтров нижних, верхних частот, полосового фильтра и цифрового дифференциатора. Показано увеличение области и скорости сходимости метода первого порядка по сравнению с алгоритмом Давидона-Флетчера-Пауэлла.

3. Представлены коэффициенты и амплитудно-фазо-частотные характеристики многополосных фильтров, рассчитанные двухступенчатым методом полиномиальной аппроксимации по характеристикам идеальных фильтров. Приведены спектры сигналов с выхода эталонного фильтра отладочного комплекса, полученные от предприятия ФГУП "Омский научно-исследовательский институт приборостроения".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержанием настоящей работы является проектирование цифровых БИХ фильтров методами оптимизации с помощью разработанных алгоритмов полиномиальной аппроксимации, реализованных по многошаговой и двухступенчатой схеме. По содержанию работы можно сделать следующие выводы:

1. Рассмотрены математические модели и методы проектирования цифровых фильтров. Наиболее общими методами синтеза фильтров с произвольными частотными характеристиками являются алгоритмы минимизации, основу которых составляют оптимизационные процедуры. Показано, что зависимости функционала ошибки аппроксимации АЧХ от коэффициентов фильтра являются в общем случае неунимодальными функциями. Применение эффективных классических методов оптимизации для определения коэффициентов фильтра сопряжено со значительными вычислительными затратами и требует задания близких к решению начальных значений:

2. Предложено использовать для синтеза цифровых фильтров рекуррентные алгоритмы оптимизации, полученные на основе методики полиномиальной аппроксимации, позволяющей сократить объем вычислений и учитывать квадратичные члены разложения нелинейной целевой функции в ряд Тейлора.

3. Получены одна форма алгоритма полиномиальной аппроксимации первого порядка и три возможные формы второго порядка, из которых работоспособными являются только две. На основе предложенных форм алгоритмов разработаны двухступенчатые и многошаговые процедуры поиска решения.

4. Проведен сравнительный анализ вычислительных схем полиномиальной аппроксимации путем моделирования, на основе которого был выбран наилучший метод, им является двухступенчатая процедура второго порядка, реализованная по первой форме. Аналитически подтверждена сходимость разработанных методов и оценена скорость их сходимости.

5. Приведено сравнение на тестовых примерах алгоритмов полиномиальной аппроксимации с классическими методами Ньютона и наискорейшего спуска. Определен класс функций, для которых разработанные методы имеют лучшие показатели по области и скорости сходимости.

6. Приведен алгоритм синтеза цифровых минимальнофазовых рекурсивных фильтров, получены расчетные формулы для производных целевой функции, необходимые для реализации оптимизационных процедур данного алгоритма. Рассмотрено влияние параметров метода расчета на время вычислений и ошибку аппроксимации заданной частотной характеристики фильтра. Приведены рекомендации по выбору этих параметров при расчете БИХ фильтров с произвольной частотной характеристикой.

7. Составлена программа с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений Ма1:ЬаЬ по расчету коэффициентов рекурсивных цифровых фильтров на основе заданных частотных характеристик, которая используется в ФГУП "Омский научно-исследовательский институт приборостроения" при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов

8. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам "Математические основы теории систем" и "Передача данных в информационно-управляющих системах" для студентов специальности 2101 — Управление и информатика в технических системах.

1. Автоматизация исследований процедур идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.)/ Омский гос. ун-т. путей сообщения; Руководитель КогутА.Т. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.9.90000516. Омск, 1999. 77с.

2. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование /А. Антонью. Пер. с англ. под ред. С.А.Понырко. — М.: Радио и связь, 1983.-320с.

3. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. М.: Мир, 1982. - 490с.

4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. Пер с англ. — М.: радио и связь, 1988. 128с.

5. Бард И. Нелинейное оценивание параметров / И. Бард. — М.:Статистика, 1979.-340с.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. М.:Наука, 1973.—631с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. — М.:Наука, 1976.—351с.

8. Брунченко A.B. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / A.B. Брунченко, Ю.Т. Бутыльский, Л.М. Гольденберг. Под ред. Л.М.Гольденберга. -М.:Радио и связь, 1982.-224с.

9. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р.Богнера, А.Константинидиса. М.:Мир, 1976.-216с.

10. Верешкин А.Е. Линейные цифровые фильтры и методы их реализации (анализ ошибок квантования по уровню) / А.Е. Верешкин, В.Я. Катковник. -М.:Сов. радио, 1973-152с.

11. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000.-300с.

12. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие / Е.А.Волков. — М.: Наука, 1987.-248с.

13. Галямичев Ю.П. Синтез активных RC-цепей. Современное состояние и проблемы / Ю.П. Галямичев, A.A. Ланнэ и др. Под ред. A.A. Ланнэ. — М.:Связь, 1975.-296с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.:Наука, 1988. — 548с.

15. Ганшин Г.Р. Методы оптимизации и решения уравнений / Г.Р. Ганшин. — М.: Наука, 1987.- 126с.

16. Гилл Ф. Численные методы условной оптимизации / Ф. Гилл, У. Мюррей. Пер. с англ. под ред. A.A. Петрова. — М.: Мир, 1977. 290с.

17. Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Пер с англ. М.:Мир, 1985.-509с.

18. Гольденберг Л.М. Цифровые фильтры / JI.M. Гольденберг и др. — М.:Связь, 1974.-160с.

19. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Справочник / JI.M. Гольденберг и др. — М.:Радио и связь, 1985—312с.

20. Гольденберг JI.M. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие / JI.M. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. — М.:Радио и связь, 1990.— 256с.

21. Гоулд Б. О синтезе цифровых фильтров / Б. Гоулд, К. Джордан. ТИИЭР, т.56, №10, 1968.

22. Гоулд Б. Методы расчета цифровых фильтров в частотной области / Б. Гоулд, Ч. Рэйдер. ТИИЭР, т.55, №2, с. 19-43, 1967.

23. Гоулд Б. Цифровая обработка сигналов: с прил. работы Д.Кайзера «Цифровые фильтры» / Б. Гоулд, Ч. Рэйдер. Пер. с англ. под ред. А.М.Трахтмана. М.:Сов. радио, 1973-367с.

24. Данскин Дж. М. Теория максимина / Дж. М. Данскин. Пер. с англ. под ред. И.Н.Коваленко. М.:Сов. радио, 1970.-200с.

25. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 664с.

26. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.:Наука, 1967.- 560с.

27. Демьянов В.Ф. Введение в минимакс7 В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. — М.:Наука, 1972-367с.

28. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLAB / В.П. Дьяконов. М.:Физматлит, 1993.-112с.

29. Дэннис Дж. Численные : методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. Пер. с англ. М. — Мир, 1988.- 440с.

30. Каппешни В. Цифровые фильтры и их применение / В. Каппешни, А.Дж. Константинидис, П. Эмилиани. Пер. с англ. под ред. Н.П.Слепова. — М.:Энергоатомиздат, 1983—360с.

31. Когут А.Т. Класс методов поиска оптимальных моделей и характеристик экономических объектов / А.Т. Когут, A.F. Малютин, A.A. Симаков, И.А. Щегольский / В кн.: Проблемы оптимизации и экономические приложения, ОмГУ, Омск, 1997. С. 90.

32. Когут А.Т. Применение квадратичной аппроксимации в задачах параметрической идентификации и оптимизации А.Т. Когут, А. Г. Малютин,

33. И.А. Щегольский // Информатика и процессы управления: Межвузовский сборник научных статей. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997. С. 44-48.

34. Когут А.Т. Алгоритмы оптимизации на основе псевдообратных матриц /

35. A.Т. Когут, И.А. Щегольский // Материалы 1-й международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин", — 1995 года. Омск, 1995. Кн.З. С.66.

36. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том 1. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. — М.:Наука, 1976 —304с.

37. Кунцман Ж. Численные методы / Ж. Кунцман. Пер. с франц. под ред. Д.П.Костомарова. -М.: Наука, 1979. 160с.

38. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование / Г.П. Кюнци,

39. B. Крелле. Пер. с нем. под ред. Г.А. Соколова. — М.: Сов. радио, 1965.-303 с.

40. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. М.:Наука, 1978.-280с.

41. Ланнэ A.A. Оптимальный синтез линейных электрических цепей / A.A. Ланнэ. М.: Связь, 1969.-293с.

42. Ланнэ A.A. Оптимальный синтез линейных электронных схем / A.A. Ланнэ 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Связь, 1978-ЗЗбс.

43. Лахно В.И. Цифровые фильтры. Учебное пособие / В.И. Лахно. — Харьков :ХАИ, 1982.-39с.

44. Линейное и нелинейное программирование / Под ред. проф. И.Н.Ляшенко. Киев:Вища школа, 1975.-369с.

45. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация / Г. Лэм. Пер с англ. М.:Мир,1982.-592с.

46. Мизин И.А. Цифровые фильтры: (Анализ, синтез, реализация с использованием ЭВМ) / И.А. Мизин, A.A. Матвеев. М.:Связь, 1979.-241с.

47. Моделирование систем идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.)/ Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель Когут А.Т. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.9.80000111. Омск, 1997.-90 с.

48. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем / H.H. Моисеев. М.: Наука, 1971. - 424с.

49. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. Пер. с англ. под ред. С.Я.Шаца. М.:связь, 1979.-416с.

50. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболт. М.:Мир, 1975.-420с.

51. Пантелеев A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах / A.B. Пантелеев. М.: Высшая школа, 2002. - 544с.

52. Пелед А. Цифровая обработка сигналов: Теория, проектирование, реализация / А. Пелед, Б. Лиу. Пер. с англ. А.И.Петренко. Киев:Вища школа, 1979.-263с.

53. Полак Э. Методы оптимизации. Единый подход / Э. Полак. — Пер. с англ. под ред. Л.А. Вателя. М.: Мир, 1974. - 376с.

54. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. — М.:Наука, 1983.—384с.

55. Применение средств автоматизации в задачах идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.)/ Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель КогутА.Т. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.9.90000673. Омск, 1998. 56 с.

56. Пухов Г.Е. Оптимизация и синтез структуры трансверсального фильтра / Г.Е. Пухов, A.A. Златкин. Киев:Наук. думка, 1985.-224с.

57. Пшеничный Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 318 с.

58. Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. Пер. с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. — М.:Мир, 1978.-848с.

59. Рабинер Л.Р. Цифровая обработка речевых сигналов / Л.Р; Рабинер, Р.В. Шафер. М.:Радио и связь, 1983-320с.

60. Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации. Отчет о НИР (промежут.)/ Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель Когут А.Т. № FP 01.9.60000794; Инв. № 02.90.70000842. Омск, 1996. 81 с.

61. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 1 / F. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. — 350с.

62. Рекурсивные фильтры на микропроцессорах / Под ред. А.Г.Остапенко -М.:Радио и связь, 1988.-126с.

63. Рубан А.И. Методы оптимизации / А.И. Рубан. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976-319с.

64. Рубан А.И. Оптимизация систем / А.И. Рубан. — Томск: Изд-во Томского унта, 1984—197с.

65. Самарский A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. — М.: Наука, 1989.-432с.

66. Сейдж Э.П. Оптимальное управление системами / Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт. — М.:Радио и связь, 1982.-392с.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1 / В.И. Смирнов. — М.:Наука, 1974.-480с.

68. Современная теория фильтров и их проектирование / Под ред. Г.Темеша и С.Митра. — М.:Мир, 1977—560с.

69. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации / А.Г.Сухарев, A.B. Тимохов, В.В. Федоров.-М.:Наука, 1986.-328с.

70. Теория автоматического управления / Под ред. A.B. Нетушило.— М.:Высшая школа, 1968 424с.

71. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Трауб. Под ред А.Х.Сухарева. М.:Мир,1985.-263с.

72. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума / Д. Дж. Уайлд. Пер. с англ. под ред. A.A. Фельдбаума. М.: Наука, 1967. - 267с.

73. Уидроу Д. Адаптивная обработка сигналов / Д. Уидроу, С. Стирнз. Пер. с англ. -М.:Радио и свяхь, 1989.-440с.

74. Федоров В.В. Численные методы максимина / В.В. Федоров. — М.:Наука, 1979.-278с.

75. Фиакко А. Нелинейное программирование (методы последовательной безусловной минимизации) / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. Пер. с англ. под ред. Е.Г. Голынтейна. М.: Мир, 1972. - 238с.

76. Хемминг Р. Цифровые фильтры / Р. Хемминг Пер с англ. под ред. А.М.Трахтмана. М.:Сов.радио, 1980-224с.

77. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. Под ред. M.JI. Быховского. М.: Мир, 1975. - 534с.

78. Христиан Э. Таблицы и графики по расчету фильтров / Э.Христиан, Е. Эйзенман. Пер. с англ. под ред. А.Ф.Белецкого. М.:Связь, 1975.-408с.

79. Цифровые фильтры и устройства обработки сигналов на интегральных микросхемах / Под ред. Б.Ф.Высоцкого. — М.:Радио и связь, 1984.-216с.

80. Цыпкин ЯЗ. Основы теории автоматических систем / ЯЗ. Цыпкин. -М.:Наука, 1977.-548с.

81. Чуа JI.O. Машинный анализ электронных схем / JI.O. Чуа, Пен-Мин Лин. -М.:Энергия, 1980.-640с.

82. Щегольский И:А. Определение вектора спуска в задачах условной оптимизации / И.А. Щегольский // В сборнике "Совершенствование устройств подвижного состава, электрификации, автоматики и связи железнодорожного транспорта". — Омск.:ОмГАПС, 1998.

83. Avriel М. Nonlinear Programming : Analysis and Methods. New Jersey.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1976. 322p.

84. Bandler J.W., Bardakjian B.J. Least pth Optimization of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 5, 1973.

85. Beale E.M.L. A Derivation of Conjugate Gradients, in: Numerical Methods for Non-Linear Optimization. N.Y.: Academic Press, 1972. pp. 39-43.

86. Box G., Draper N.R. Evolutionary Operation. Wiley, 1969.

87. Brophy F., Salazar A.C. Recursive Digital Filter Synthesis in the Time Domain, IEEE Trans, on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Vol. 22, No. 1, 1974.

88. Daniels R.W. Approximation Methods for the Design of Passive, Active and Digital filters, McGraw-Hill, 1974.

89. Dixon L.C.W., Quasi-Newton Algorithms Generate Identical Points, Math. Prog., 2(3), 383-387 (1972).

90. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Vol 1. Unconstrained Optimization. N.Y.: Wiley, 1980. 560p.

91. Fletcher R., Reeves C.M. Function Minimization by Conjugate Gradients, Computer J., 7, 149-154 (1964).

92. Gibbs A.J. The Design of Digital Filters. Australian Telecommunication Research, 4, No. 1,1970.98.! Herrmann O. Design of Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase, Electronics Letters, 6, No. 11, 1970.

93. Hofstetter E., Oppenheim A., Siegel J. On Optimum Nonrecursive Digital Filters. Proc. Ninth Allerton Conf. on Circuit Theory, 789-798,1971.

94. McCormik G.P. Methods of Conjugate Directions versus Quasi-Newton methods, Math. Prog., 3(1), 101-16 (1972).

95. Murray W. Numerical methods for Unconstrained Optimization. London: Academic Press, 1972.

96. Powell MJ.D. An Efficient Method for Finding the Minimum of Function of Several Variables Without Calculating Derivatives. Computer J;, 7, 155— 162,1964.

97. Rabiner L.R. The Design of Finit Impulse Response Digital Filters Using Linear Programming Techniques, Bell System Techniques J., 51, No. 6, 1972.

98. Shanno D.F., Phua K.H. Matrix Conditioning and Nonlinear Optimization. Math. Prog., 14, 149-160(1978).

99. Deczky A.G. Synthesis of recursive Digital Filters using the Minimum P-Error Criterion, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No.4, 257-263 (Oct. 1972).

100. Steiglitz K. Computer-Aided Design of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 18, 123-129 (1970).