автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка



На правах рукописи

Балусов Игорь Леонидович

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Специальность 05.12.04 Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 о ДЕК 2009

Владимир - 2009

003487286

Работа выполнена на кафедре динамики электронных систем Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

кандидат технических наук, доцент Приоров Андрей Леонидович

доктор технических наук, профессор Бернюков Арнольд Константинович

кандидат технических наук Меньшиков Борис Николаевич

ОАО «Ярославский радиозавод»

Защита диссертации состоится « в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.025.04 при Владимирском государственном университете по адресу: 600000, г. Владимир, ул. Горького, д. 87, ВлГУ, корп. 3 , ауд. 3 Тел./факс: (4922)479-960

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВлГУ. Автореферат разослан

Отзывы на реферат, заверенные печатью, просьба отправлять в адрес ученого секретаря диссертационного совета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

А.Г. Самойлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В различных областях науки и техники существуют задачи, которые предусматривают цифровую обработку многомерных массивов данных. Это, например, анализ и обработка аэрофото- и космических снимков, геофизические исследования земной коры, компьютерная томография, анализ оптических, тепловых, рентгеновских, радиографических изображений в медицине, промышленной дефектоскопии, системы технического зрения и множество других важных научно-практических задач. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры (одномерные и многомерные) способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, в цифровой обработке изображений и видеопоследовательностей. Возрастающая сложность задач, увеличение объемов данных стимулирует активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов.

Для обработки двумерных сигналов можно использовать как фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), так и фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). БИХ-фильтры обладают существенным преимуществом относительно КИХ-фильтров - для достижения тех же частотных свойств, они требуют меньшего объема вычислений. При равных вычислительных затратах БИХ-фильтры в частотной области обладают более узкими переходными полосами от области пропускания до области подавления. При этом, чем ближе к нулю полином в знаменателе частотной характеристики, тем более динамично она изменяется. В связи с этим очень важна проблема устойчивости БИХ-фильтров.

Частотные свойства системы во многом определяют возможность ее применения для решения конкретной задачи обработки сигналов и изображений. В задачах синтеза одними из основных условий являются ограничения на свойства фильтра в частотной области. В первую очередь интерес представляют такие параметры указанных фильтров, как полоса пропускания по каждой из частот, линия среза, количество и амплитуды пульсаций амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). В процессе исследования системы возникает также и обратная задача - определить влияние параметров системы на частотную избирательность. Частотные свойства одномерных рекурсивных систем второго порядка хорошо изучены. В зависимости от коэффициентов, эти системы могут быть фильтрами верхних, нижних частот, полосовыми или режекторными.

Методика, впервые использованная для исследования двумерного фильтра первого порядка, может быть применена и для исследования двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка. Визуальное представление решения задачи для двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в общем случае для восьми независимых коэффициентов затруднено, поэтому при исследовании также могут применяться дополнительные ограничения на параметры фильтра, например, различные виды симметрии его коэффициентов.

Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров в пространственной области необходимо для изучения динамики цифровых систем. Любой входной сигнал можно представить в виде суперпозиции двумерных единичных импульсов, и тогда, для случая линейной фильтрации, выходной сигнал будет являться суперпозицией импульсных характеристик. Таким образом, результат воздействия двумерного фильтра на сигнал можно оценивать, анализируя его импульсную характеристику.

В соответствии с вышеперечисленным, исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях является сложной и актуальной задачей цифровой обработки сигналов.

Целью работы является аналитическое получение и анализ характеристик двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

1. Анализ методов определения устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка и выбор наиболее эффективного.

2. Изучение возможности стабилизации параметров неустойчивого рекурсивного фильтра.

3. Анализ амплитудно-частотной характеристики фильтра второго порядка, классификация типов фильтров данной системы, нахождение ограничений на коэффициенты системы для существования полученных типов фильтров.

4. Получение импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в аналитическом виде и ее анализ.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались современные методы цифровой обработки двумерных сигналов и изображений, методы математического анализа, теории функций комплексной переменной, дифференциальной геометрии в пространстве, теории матриц. Широко использовалось также компьютерное моделирование.

Научная новизна работы. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

1. В результате анализа амплитудно-частотной характеристики двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка проведена классификация типов фильтров: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных.

2. Получена аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координат пульсаций, резонансных частот.

3. Получено два возможных варианта диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений. Проведена классификация типов фильтров.

4. Получен аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами.

5. В результате анализа импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка получены условия существования колебаний вдоль осей, условия для обеспечения сходимости импульсной характеристики.

Практическая ценность работы

1. Получены удобные в использовании выражения для тестирования устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. Предложен алгоритм стабилизации коэффициентов фильтра.

2. Полученные аналитические выражения на коэффициенты двумерного фильтра позволяют определять тип, линию среза, амплитуду и координаты пульсаций фильтра, не переходя в частотную область.

3. Полученная импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов при исследовании явлений, обусловленных эффектами квантования, а также анализировать рассеивающую способность двумерных фильтров в цифровой обработке изображений.

На защиту выносятся:

1. Аналитические выражения для классификации типов фильтров двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных.

2. Аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координаты пульсаций, резонансных частот.

3. Возможные варианты диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений; полученная классификация типов фильтров.

4. Аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами, результаты анализа импульсных характеристик такого фильтра с ограничениями на его коэффициенты.

Внедрение результатов работы

Результаты исследований по теме диссертации внедрены в научно-

исследовательские работы и в учебный процесс Ярославского

государственного университета им. П.Г. Демидова. Материалы

диссертационной работы внедрены также в работу ОАО «Гипроприбор-Инвест» г. Ярославль.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических семинарах и конференциях: 1-й, 2-й, 3-й, 11-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения», DSPA, г. Москва, 1998 г., 1999 г., 2000 г., 2009 г.; 2-й, 3-й, 4-й, 5-й международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации», ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1996-1999 гг.; 3-й, 4-й, 5-й международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 1997-1999 гг.; LXIII научной сессии, посвященной Дню Радио, Москва, 2008 г.; 2-й, 3-й Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары,

1997 г., 1999 г.; Международной научно-технической конференции «Современные методы цифровой обработки сигналов в системах измерений, контроля, диагностики и управления», «ОС-98», Минск,

1998 г.; а также на ряде региональных конференций.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 60 научных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 статьи в рецензируемых журналах, 5 статей в сборниках трудов и 50 материалов научных конференциям, в том числе российского и международного уровней.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы, включающего 120 наименований, и приложения. Общий объем диссертации составляет 171 страницу машинописного текста. Работа содержит 65 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи, изложены основные положения, выносимые на защиту, показаны научная новизна и практическая ценность диссертационной работы.

В первом разделе представлено математическое описание исследуемого двумерного рекурсивного цифрового фильтра (системы) второго порядка, приведено его разностное уравнение: У(»1, "г) = •*(")> ■«2) - Ку(п\ -1, п2) - bm у{пх, п2 -1) - Ьх | у{пх -1,.п2 -1) -

~Ь20у{п[-1,п2)-Ьпу{щ ~2,п2-V)-buy{nx-1,л2-2)- . (1) -b02y(n],n2-2)-b22y(nl-2,n2-2) Данный фильтр обладает свойством линейности - подчиняется принципу суперпозиции, а также, он инвариантен к сдвигу - сдвиг входной последовательности приводит к соответствующему сдвигу

выходной последовательности. Оба эти свойства независимы друг от друга и позволяют изучить свойства фильтра безотносительно к конкретным характеристикам входного сигнала. Такой фильтр называется линейным инвариантным к сдвигу фильтром (ЛИС-фильтром).

Передаточная функция исследуемого фильтра (1) имеет следующий

вид:

= +601-21 +£Ц-Г'-21 +62о-Г2 +ьйг=г2 +

, (, _-1_-2 , и .-2.-1 ,1 -2 чт-1 ^

12~1 -2 +Й21-! -2 + Ь22~) -2 Л • Частотную характеристику (ЧХ) найдем, сделав подстановку г, = е-"3' ,г2 = ет , тогда

//(еЛ ^г } = р _ {Ьке-М + Ьмв-М + ь1ое-Ащ + Ьюе-Я«г +

Структурная схема двумерного рекурсивного цифрового фильтра

фильтра второго порядка

Любой переходный процесс в выходном сигнале, вызванный изменениями во входном множестве, должен быть ограниченным по своей протяженности, и установившееся поведение фильтра (т.е. отклик при больших значениях я, и и2) должно быть предсказуемым. Проблема устойчивости рекурсивных фильтров сводится к наложению требований на коэффициенты фильтра Ьк^2 таким образом, чтобы при ограниченном

входном сигнале \х(пх,п2)\< Р выходной сигнал удовлетворял неравенству \у{п\,п2)\ <Q, то есть его импульсный отклик /;(«,,л2) описывался неравенством:

£Е1а(и1."2)|<°°. (4)

где Р и О - положительные числа. Данный критерий устойчивости называется критерием ограниченного входа и ограниченного выхода (ОВОВ). Иными словами, необходимым и достаточным условием устойчивости указанного фильтра является абсолютная суммируемость его импульсного отклика.

Практическая применимость критерия (4) ограничена. При использовании его для проверки фильтра на устойчивость необходимо вычислять бесконечные суммы. Простое усечение суммы неприемлемо, поскольку усеченная сумма всегда будет ограниченной. Более того, требуется, чтобы импульсный отклик был известен. Однако алгоритмы синтеза фильтров обычно позволяют получить либо коэффициенты разностного уравнения, либо передаточную функцию фильтра. Поэтому желательно иметь возможность определить устойчивость фильтра непосредственно по коэффициентам или по передаточной функции.

Тесты на устойчивость в результате выполнения выдают ответ: либо «фильтр устойчив», либо «фильтр неустойчив». Для разработчика фильтра такое положение дел не всегда удобно, так как возникает задача изменения коэффициентов фильтра для достижения устойчивости при сохранении заданных в условиях синтеза параметров, то есть нужно стабилизировать полученный в результате синтеза фильтр. Кроме того, для обеспечения «запаса» устойчивости необходимо выбирать коэффициенты не на границе устойчивости, а в некотором отдалении от нее.

Тест на устойчивость, использующий спектральное разложение на множители, позволяет стабилизировать коэффициенты. Приведен алгоритм стабилизации начального фильтра с коэффициентами Ьк] кг.

Однако в процессе стабилизации коэффициенты фильтра изменяются, что сказывается на его характеристиках. Поэтому процедуры оптимизации начального массива Ьк[ ^ должны пошагово корректировать

коэффициенты так, чтобы АЧХ фильтра менялась незначительно. Итак, тест на устойчивость, использующий спектральное разложение на множители, обладает следующими преимуществами: не налагает ограничений на коэффициенты и порядок фильтра и позволяет изменить коэффициенты первоначально неустойчивого фильтра для достижения устойчивости. Главным же недостатком теста является то, что он чересчур громоздкий и выполняется длительное время, так как использует дискретное преобразование Фурье и рекурсивную процедуру оптимизации.

Рассмотрен также табличный метод определения устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра, получены условия устойчивости для двумерного фильтра второго порядка в виде 4-х неравенств, 2-х полиномов второй степени и 2-х полиномов четвертой степени. Продемонстрирован алгоритм стабилизации параметров,

приведены АЧХ и импульсный отклик фильтра до и после процедуры стабилизации.

В результате анализа методом проверки на устойчивость с использованием матрицы Шура-Кона задача сводится к тестированию одномерных функций. Условия устойчивости получены в виде 4-х неравенств, 1-го полинома четвертой степени и 1-го полинома восьмой степени. Преимуществом данного метода относительно метода, использующего спектральное разложение на множители, является большая скорость вычисления. Количество условий для тестирования меньше, чем в табличном методе, но степень тестируемого полинома выше, что усложняет тест. Серьезным недостатком является отсутствие возможности стабилизации коэффициентов фильтра.

В результате проведения сравнительного анализа трудоемкости выполнения тестов устойчивости для двумерных фильтров второго порядка получено, что общее количество условий в табличном методе больше, чем количество условий, полученных в результате применения метода Шура-Кона, но при этом, наибольшая степень полинома равна 4, в то время как в методе Шура-Кона она равна 8, что является решающим фактором в выборе метода для тестирования устойчивости. Для фильтров порядка N, получено, что общее количество условий в табличном методе, всегда в N раз больше, чем количество условий устойчивости, полученных в результате применения метода Шура-Кона, но при этом, наибольшая степень полинома в табличном методе при увеличении порядка фильтра растет быстрее, чем в методе Шура-Кона.

В качестве рекомендации для практического использования можно отметить, что при тестировании двумерных рекурсивных цифровых фильтров до третьего порядка включительно удобнее применять табличный метод, а при тестировании фильтров более высоких порядков -метод Шура-Кона.

Во втором разделе исследованы частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем второго порядка.

Методика исследования основана на том, что АЧХ двумерного фильтра представляется поверхностью в трехмерном пространстве (со,,со2,#), имеющей свои экстремальные точки. В качестве исследуемой поверхности используется квадрат модуля ЧХ. Для анализа поведения поверхности в окрестностях экстремальных точек применяется аппарат дифференциальной геометрии в пространстве.

Квадрат модуля ЧХ двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка (1) будет иметь следующий вид:

//(со,, ш2) = |Я(е>|,еуо>2)| =1//(т,,®2) =

= 1/([1 - (Й10СО5Ю, + 601 С050>2 + ¿20 00820), + Ь02 С05 2щ, + Ьи С08(ш, +0),) + + ¿|2 008(00, + 2ю2) + 621 со5(2й), + со,) + Ъ22 соз(2со, + 2ы2))]2 + + [брешей, + Ьт вШСО, + Ь20 81п 2с0, + ¿>02 8ш2й>2 +6П 51П(сй, + С02) + + Ъп $1п(сО| + 2ш,) + Ь2181п(2й), + со2) + Ъ22 зт(2со, + 2со,)]2)

(5)

В общем случае при восьми независимых коэффициентах фильтр может иметь пульсации как в области пропускания, так и в области подавления. Кроме того, невозможно представить визуально области параметров, в которых фильтр обладает свойствами ФНЧ, ФВЧ и других типов фильтров, так как пространство коэффициентов такого фильтра восьмимерное.

В результате исследования АЧХ двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами определены области параметров для получения двумерных монотонных фильтров верхних и нижних частот.

В случае ФНЧ максимальное подавление входного сигнала будет осуществляться на частоте (л, л), определим его количественно:

А™ =20 У

¿1-^1

аъ +Ь3-с}

где

«1 = ¿10 + ¿11 + ¿12 ¿1 = '"¿01 "¿02 С, = 620 +¿21 +¿22

аЪ = ¿10 " ¿11 + ¿12 ¿3 = 1 + ¿01 - ¿02 С3 = ¿20 - ¿2! + ¿22

В случае ФВЧ максимальное подавление входного сигнала будет осуществляться на частоте (0, 0), а количественно:

0шах=201ё|

-Ь,

-а,-с, ,

Определены области параметров для получения немонотонных двумерных фильтров нижних (рис. 2) и верхних частот (рис. 3), получены уравнения для нахождения величины и координат максимальной пульсации через коэффициенты фильтра.

Рис. 2. ЛЧХ двумерного ФНЧ с пульсациями в области подавления

Рис. 3. АЧХ фильтра верхних частот с пульсациями в области подавления

Селектирующие свойства одномерных цифровых фильтров нижних и верхних частот принято характеризовать частотой среза, соответствующей затуханию АЧХ на уровне 3 дБ. Для двумерного случая введено понятие линии среза, точки которой имеют координаты , (ос2). Получено уравнение линии среза для фильтра нижних частот:

где

Ат]х + Са>сг + 25сос1Шс2 = /?,

Л? =(Ь,-а|-с1)2, А = 2с](Ь1-а1~с[) + (а1+2с1)1,

(6)

а2 =Ь0] +ьи +ь2] ь2 =1-^10 "Ао

С = 2с2(6, -а1 - с,) + (а2 + 2с2) ,

25 = (6, - а, - с, )И + 2(а, + 2с, )(д2 + 2с2), [с2 = Ь02 + Ьп + Ъг И = Ьи +2 (Ьи +Ь21) + 4Ь22. Получено уравнение линии среза двумерного рекурсивного цифрового ФВЧ в виде:

А((йс, - тс)2 + С(<ос2 - тс)2 + 2Я(©С, - л)(й)с2 - ж) = Яг,

(7)

где

Я1=2(а3+Ь3-с3)2-(Ь,-а1-с[)2.

Двумерность АЧХ рекурсивных цифровых фильтров второго порядка позволяет реализовать фильтры с АЧХ, аналогов которым нет в одномерном случае. В качестве примера можно привести лопастные фильтры (РАМ-фильтры), которые удовлетворяют следующим условиям:

1) лопастной фильтр по частоте со] пропускает частоты, лежащие в области | ¡в, |< а| со, ¡, и задерживает частоты, лежащие вне этой области;

2) лопастной фильтр по частоте со2 пропускает частоты, лежащие в области | а), |> а | со21, и задерживает частоты, лежащие вне этой области.

Найдены ограничения на параметры для получения лопастных фильтров, ориентированных по осям со, и со2 (рис. 4).

Рис. 4. АЧХ двумерного рекурсивного лопастного фильтра по частоте а>2 Проведена классификация двумерных полосовых (Г1Ф) и режекторных фильтров (РФ), определены резонансные частоты.

Под диагональным режекторным фильтром понимаем фильтр, у которого области пропускания существуют в точках (л,я), (0,0) и (-л, ж) частотной плоскости, причем обязательно разделенные областями подавления (рис. 5). При этом возможны два различных варианта: первый - максимум АЧХ в точке (0,0), и второй - максимум АЧХ в точке (л,ж).

Рис. 5 АЧХ двумерного диагонального режекторного фильтра Под осевым режекторным фильтром понимаем фильтр, у которого области пропускания существуют в точках (я,0), (0,0), (0,-тг), (—7г,0), (0, л:) и разделены между собой областями подавления (рис. 6).

«У» "1 «,/«

Рис. 6. АЧХ двумерного осевого режекторного фильтра 12

Под диагональным полосовым фильтром понимаем фильтр, у которого области пропускания существуют только на диагоналях со, =ш, и ш,=-а)г частотной плоскости, причем на интервале однозначности существует только одна область пропускания на каждой из диагоналей (рис. 7).

На основе полученных ограничений на коэффициенты могут быть синтезированы двумерные цифровые БИХ-фильтры с заданными частотными свойствами. При этом возможно синтезировать фильтр с экстремумом в заданной точке, с определенной линией среза и определенным уровнем подавления высоких и/или низких частот.

Рис. 7. АЧХ двумерного диагонального полосового фильтра

Предлагаемый метод синтеза двумерных БИХ-фильтров предполагает задание их частотных свойств в следующем виде:

1) Задается положение экстремума в точке ш^). Для этого соответствующие частные производные приравниваются к нулю:

с?/(щ°,а>°) 0; 5/(со?,(о°) р 3(0, дю 2

2) Задаются параметры уравнения эллипса (6) или (7) линии среза, либо линии уровня (для величины, отличной от 1 /л/2); А, С, В,Я. Более того, использованное предположение о справедливости приближения линии уровня среза справедливо при «п,сос2«я, поэтому

необходимо, чтобы характерный параметр радиуса эллипса Я = п

также был много меньше п, при этом п лучше выбирать близким к 1.

3) Задаются значения характерных параметров А./; устанавливающих взаимную значимость между точностью задания линии уровня и подавлением на высоких и/или низких частотах.

4) Учитываются дополнительные линейные равенства, связанные с типом симметрии, максимальным уровнем подавления сигнала.

Для того чтобы найти значения коэффициентов, применяется алгоритм нелинейной оптимизации, минимизирующий функцию

Кк ' аг8 тш

1

(Эй),

+ Х

9ш,

+ 1:

/м

Лщ)

1сО]

Таким образом, удается синтезировать фильтр, удовлетворяющий изложенным выше требованиям в частотной области. В точке экстремума будет максимум или минимум в зависимости от выбранных констант Л,С,В,Я. Выбор констант А, определяет взаимную важность точного задания положения экстремумов, линии уровня и подавления на высоких частотах.

Приведены примеры обработки изображений, искаженных различными типами помех, демонстрирующие высокую эффективность применения двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка для восстановления изображений. В качестве критерия применяется модифицированный универсальный индекс качества (УИК-М).

Алгоритм вычисления метрики УИК-М состоит в том, что к эталонному и оцениваемому изображениям применяется одноуровневое вейвлет-разложение с использованием вейвлета Добеши 9/7. В результате вейвлет-преобразования каждое изображение разбивается на 4 частотные подобласти: ЬЬ, ЬН, НЬ и НН. Затем вычисляются значения УИК для каждой подобласти: УИКц., УИКш, УИКШ. и УИКШ, соответственно. Итоговое значение критерия УИК-М с учетом весовых коэффициентов, отражающих разную чувствительность зрения к указанным диапазонам вейвлет-коэффициентов, вычисляется по следующей формуле:

УИК-М=0,5779-УИК^+0,1707-УИКц)+0,1582-УИКш.+0,0932-УИКнн

В третьем разделе исследованы частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем второго порядка с различными вариантами симметрии коэффициентов. Исследованы ФНЧ, ФВЧ, полосовые и режекторные фильтры. Аналитически найдены области их существования. Результаты представлены в графическом виде.

Установлено, что накладывание условий симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка делает невозможным синтез такого класса фильтров, как лопастные. Рассмотрены диагональные и недиагональные виды симметрии коэффициентов фильтров.

Двумерная рекурсивная цифровая система второго порядка с симметричными коэффициентами (вариант симметрии №1) определяется выражением

у{т,п) = Ь^у(т -1 ,п) + Ьту{т,п -1) + Ьпу{т -1 ,п -1) +

(о)

+ Ь20у(т - 2,/?) + Ь02у(т,п - 2) + х{т, л), где х(т,п) и у(т,п) - входной и выходной двумерные сигналы соответственно, а - коэффициенты (параметры) системы. Ее

передаточная функция записывается следующим образом:

1

1 °10-| 01 ~2 11"! -2 °20-1 02 ~ 2 1

(9)

Здесь 60] =й10 =а, 620 = Ьй2=Ь,Ьи=с, остальные коэффициенты равны нулю. При таком выборе возможен синтез ФНЧ, ФВЧ, режекторных и полосовых фильтров.

Условия устойчивости для рассматриваемого варианта симметрии коэффициентов можно записать в виде:

с < 1 - 7а - 2Ь, с<1 + 2а-26, •с>2Ь-\, с >-26-1, с < 1 + 26.

Варианты симметрии №2-4 характеризуются следующим выбором коэффициентов:

№2: 62, = 610 = а, Ь20 = 1 ,Ьп = с, Ьг2 = Л00 = Ь, остальные коэффициенты равны нулю;

№3: 621 =А10 =а, Ьп =60, =6, Ьп =с, Ь22 =600 =Ь20 =1, остальные коэффициенты равны нулю;

№4: 60] =6,0 = а, Ьп = 621 =Ь,Ьи = с, Ь00 = 1, остальные коэффициенты равны нулю. Возможен синтез двумерных фильтров нижних частот, верхних частот и осевого режекторного. В случаях №2 и №3 синтезируется устойчивый двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка, но его частотные свойства не позволяют применить данный фильтр для обработки изображений.

Все другие варианты выбора диагональной симметрии коэффициентов, а также все виды недиагонапьной, не позволяют обеспечить стабильность рекурсивных фильтров даже вблизи точки начала координат в пространстве значений коэффициентов (а,Ь,с).

Для вариантов симметрии №1 и №4 в пространстве параметров получены аналитические ограничения на коэффициенты, соответствующие

фильтрам нижних и верхних частот, получены аналитические ограничения на коэффициенты для отсутствия у ФНЧ и ФВЧ пульсаций амплитудно-частотной характеристики. Получено также уравнение линии среза.

Области параметров фильтров различных типов приведены в графическом виде, что дает возможность выбора коэффициентов внутри области устойчивости и на достаточном удалении от ее границ и позволяет не использовать процедуры стабилизации.

На рис. 8 приведено сечение области существования ФНЧ и ФВЧ с пульсациями в полосе подавления плоскостью с=0.15. Фигура ABCDE соответствует области устойчивости фильтра, фигура AMG - области существования ФНЧ с пульсациями в полосе подавления, AHN - области существования ФВЧ с пульсациями в полосе подавления. Линии АК|_ AL, соответствуют максимальной пульсации -30 дБ, а линии АК2, AL2 --15 дБ.

немонотонными АЧХ плоскостью с=0.15

Четвертый раздел посвящен аналитическому вычислению и анализу импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка, называемой также функцией рассеяния точки (PSF -point spread function) и характеризует степень и тип воздействия фильтра на исходное изображение. Она представляет собой реакцию фильтра на входное воздействие в виде двумерного единичного импульса. Важность определения ИХ состоит в том, что любой входной сигнал можно представить в виде суперпозиции двумерных импульсов, и для случая линейной фильтрации выходной сигнал будет являться суперпозицией импульсных характеристик.

Вторая важная функция в пространственной области - переходная характеристика (ПХ) - это реакция фильтра на двумерный единичный скачок. Знание ПХ позволяет определить длительность переходных процессов при обработке двумерных сигналов и изображений.

Разностное уравнение (1) представим в виде:

у(п + 2,/я + 2) = ау(п + 2,т +1) + Ьу{п + \,т + 2) +

+ су(п +1, т + 1) + dy(n + 2,т) + еу(п,т + 2) + (10)

+ Jy(n, т + 1) + gy(n + 1, т) + hy(n, т) + х(п + 2, т + 2) где из соображений удобства произведена следующая замена:

1= ¿00. а = ¿01. </ = ¿02'

ь = = ¿10. с = ¿11' / = ¿,2.

е - ¿20- СУ ~ í> ¿21. И = ¿22

Полученное аналитическое выражение для ИХ может быть представлено в следующей форме:

r+s+p+q+ ¡+l=/l к

i+P f „\Ч+1

u

где

У = 2~

к

т - к

т-кYт—к J к Р

Vlí. ..Л Í1L 1 1.V 1 /Л

2 к-т

х

Ч

2 к-т I

\-кЧ-\-к

При п = 0 или т = 0 ИХ превращается в ИХ одномерного фильтра второго порядка. Если обнулить коэффициенты ¿(¿02), /(Ь12), е(Ь20), g(b2l), КЬ22), получим выражение для двумерной импульсной характеристики фильтра первого порядка.

Представление ИХ в виде многократных сумм вполне объяснимо, поскольку является решением разностного пространственно-распределенного уравнения с правой частью в виде дельта-функции. Такое представление сильно усложняет подробный анализ и лишь в редких случаях эти суммы удается свернуть. Тем не менее, полученное выражение для импульсной характеристики можно применять при вычислении ее компьютерными методами.

Присутствие большого количества радикалов в импульсной характеристике говорит о разнообразии колебательных движений в системе, имеющих различные направления и характер в зависимости от соотношений коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда все радикалы - комплексно-сопряженные величины, следовательно, корни квадратных уравнений удобно представить в экспоненциальной форме

Уг, з = Piе

±'?>2

4е 4е ,

Ро =~~Г. (PQ^arctg^-^-l,

4dh Рг= jr.

<р2 = arctg

4dh f1'

•1,

У4.5 = PA?

±ip4

4 ag

Pa = 2~' с

<Pa = arctg

4ag

1.

Импульсную характеристику удается выразить через периодические функции в явном виде:

h(n,m) = 4'W £ yW - W - х

^aj r+s+p+q+j+ы,, \b) \f) \c) \d ) _ (12) к

x cos[q>0 (s - r) + cp2(p- У) + Ф4 (/-?)] При наложении дополнительных условий на коэффициенты фильтра

' b f с'

импульсная характеристика может быть представлена следующим образом:

( 2е\"

h{п, т) = I - — I («, т) cos <р0п + у2 (п>т) s'n <Ро п }>

откуда следует, что вдоль оси п будут наблюдаться модулированные колебания с частотой <р„.

На двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка наложим требование симметрии коэффициентов (вариант №1). Импульсная характеристика в этом случае имеет вид:

.а 1 ь „, а с

(13)

а{п,т,к,р,1) =

- т - кY А

А + p+1-n

п — р — 1

п + т-2к

Ограничимся рассмотрением частного случая с=2й, тогда импульсная характеристика принимает вид:

h(n, т) =

п + т

n+ITl /J + /7I + 1

X, Xf

, - И 4d

где х]л = 1 + ^1 + — .

На осях п, т выражение (13) представляет собой импульсную характеристику одномерной цепи второго порядка.

Рассмотрим случай 4\d\«a2. Импульсная характеристика преобразуется к виду:

h(n,m) ■

При этом динамика системы определяется только одним коэффициентом а, импульсная характеристика достаточно быстро затухает на осях и еще быстрее на диагонали, если 4\а\<1.

Рассмотрим случай 4d<-a. Теперь корни хи являются комплексно сопряженными. Их удобно представить в экспоненциальной форме:

Х1.2 = Р е±'9>

И т

где р = 2. -Чг и <р = -arctgJ-—1-1, тогда с учетом комплексности корней

\а Ь

jc/ 2 импульсная характеристика примет вид: (п + т

h{n,m) =

V п

/

оепаГ"И'г"п(и+,я+1)ф.

sin ф

Принципиальным отличием импульсной характеристики от ранее рассмотренных случаев является колебательный характер за счет осциллирующего сомножителя, причем частота колебаний определяется аргументом корней. Импульсная характеристика представляет собой затухающую волну, распространяющуюся вдоль направления (п=т), амплитуда каждого гребня которой факториально спадает при приближении к осям. Если а<0, процесс становится еще и знакопеременным, и для сходимости импульсной характеристики необходимо выполнение условия | d\ < 0.25, \ а \ < 1.

В случае разделимого двумерного цифрового фильтра второго порядка рассмотрим три варианта соотношений между коэффициентами.

1. Если коэффициенты фильтра удовлетворяют следующему условию:

4\d\«a2, 4\e\«b2, то импульсную характеристику в нулевом приближении можно представить в форме: h(n,m) = b"am. ИХ экспоненциально спадает вдоль осей нити динамика фильтра определяется двумя параметрами а и Ь.

2. Гораздо более интересен вид импульсной характеристики при следующем соотношении коэффициентов: 4d<-a} ,4e<-b2. В этом случае ИХ имеет вид:

h(n,m) = (sgna) (ßgnb) \d 2 ф---

sin sin

^n „ .......Щ"

где (з, = агс^-^-1, <р2 = огс^-^-М .

Колебания будут происходить в двух взаимноперпендикулярных направлениях - вдоль оси пи тс частотами <р! и ср2 соответственно.

3. Возможен случай, когда вдоль одного направления наблюдаются колебания, а вдоль другого происходит лишь экспоненциальное затухание, как, например:

I/ ч m\r, . V» sin(n + \)(рх

h(n,m) = а иг (sgn b) -.

sin ipx

Ha коэффициенты наложены следующие условия: 4\d\«a2 , 4e<~b2.

Последнее выражение описывает колебательный процесс, распространяющийся с частотой (p¡ в направлении одной оси, в то время как вдоль второй оси процесс спадает экспоненциально (рис. 9).

Проведенные исследования импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка направлены на то, чтобы по возможности ближе подойти к аналитическому решению задач анализа двумерных рекурсивных цифровых фильтров или даже частично их решить в пространственной области.

Рис. 9. Импульсная характеристика с колебаниями в направлении одной оси и экспоненциальным затуханием вдоль второй оси

В Приложении приведены критерии устойчивости одномерных рекурсивных цифровых фильтров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Посредством табличного метода получены условия устойчивости для двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в виде 4-х неравенств, 2-х полиномов второй степени и 2-х полиномов четвертой степени. Рассмотрен алгоритм коэффициентов фильтра для достижения устойчивости при сохранении заданных в условиях синтеза параметров.

2. В результате проведения сравнительного анализа трудоемкости выполнения тестов устойчивости для фильтров второго порядка, получено, что общее количество условий в табличном методе больше, чем количество условий, полученных в результате применения метода Шура-Кона. При этом, наибольшая степень полинома равна 4, в то время как, в

методе Шура-Кона она равна 8, что является решающим фактором в выборе метода для тестирования устойчивости.

3. В результате исследования АЧХ двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами определены области параметров для получения монотонных ФНЧ и ФВЧ, а также ФНЧ и ФВЧ с пульсациями. Получены также уравнения линий среза и определена величина подавления входного сигнала.

4. Найдены ограничения на параметры, позволяющие получить лопастные фильтры, ориентированные по осям со, и со2. Проведена классификация и определены области параметров полосовых и режекторных фильтров, определены резонансные частоты.

5. Разработан алгоритм синтеза двумерных цифровых фильтров второго порядка, учитывающий полученные в работе ограничения на коэффициенты фильтра и позволяющий получить двумерный фильтр с заданными свойствами, такими как: положение экстремумов, линия среза, подавление высоких (для ФНЧ и ПФ) и низких (для ФВЧ) частот, тип симметрии коэффициентов.

6. Получены два возможных варианта выбора диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для синтеза стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений.

7. Установлено, что с практической точки зрения более приемлемым для обработки изображений является вариант симметрии №1. В этом случае возможно получение не только осевых РФ, но и диагональных РФ и диагональных ПФ.

8. Области параметров фильтров различных типов приведены в графическом виде, что дает возможность выбора коэффициентов внутри области устойчивости и на достаточном удалении от ее границ, и позволяет не использовать процедуры стабилизации.

9. Получено. аналитическое выражение для импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с 8-ю независимыми параметрами. Подробно рассмотрены частные случаи импульсной характеристики указанного двумерного фильтра, выделены области, в которых ИХ имеет колебательный характер, получены условия сходимости, а также указаны параметры, от которых зависит знакопеременность ИХ.

10. Полученная импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка при исследовании явлений, обусловленных эффектами квантования.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Хрящев В.В. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами // Цифровая обработка сигналов. 2008. № 3. С. 49-55.

2. Приоров А.Л., Балусов И.Л., Хрящев В.В. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества // Радиотехника. 2008. № 12. С. 23-28.

3. Балусов И.Л., Приоров A.J1., Елагин А. А, Судаков A.A. Пространственные переходные процессы в двумерных цифровых фильтрах первого порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 1999. Т. 6, № 1, С. 51-53.

4. Приоров А.Л., Тарасов В.Л., Балусов И.Л., Мясников Е.А. Исследование модели двумерного цифрового фильтра первого порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 1997. Т. 4, С. 73-76.

5. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Классификация типов фильтров, получаемых на базе двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка // Сб. науч. тр. ЯрГУ: Современные проблемы радиофизики и электроники. 1998. С.148-154.

6. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной области // Матер, первой межд. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'98). 1998. Т. 3, С. 213-220.

7. Тарасов В.Л., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Двумерные цифровые рекурсивные системы второго порядка с позиций анализа их частотных свойств // Матер. 2-й всеросс. науч.-техн. конф. "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем". Чебоксары. 1997. С. 32-33.

8. Балусов И.Л., Калинин С.А., Приоров А.Л. Исследование частотных свойств двумерного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами // Докл. науч.-техн. конф. "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация". Воронеж. 1997. С. 999-1005.

9. Мясников Е.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Функция рассеяния точки двумерного цифрового фильтра первого порядка // Тез. докл. 3-й межд. конф. "Теория и техника передачи, приема и обработки информации". ХТУРЭ. Харьков-Туапсе. 1997. С. 84-85.

10. Ванюшенков A.B., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Реализация двумерных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой методом пространства состояний // Актуальные проблемы физики: сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ. 1997. С. 156-160.

11. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Елагин A.A. Анализ некоторых типов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка //

Актуальные проблемы физики: сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ. 1997. С. 149-155.

12. Балусов И.Л., Михальченков С.М., Приоров А.Л. Частотные свойства двумерных цифровых систем второго порядка с симметричными коэффициентами // Тез. докл. 2*-й межд. конф. "Теория и техника передачи, приема и обработки информации". ХТУРЭ. Харьков-Туапсе. 1996. Ч. 1.С. 42-«.

13. Елагин A.A., Судаков A.A., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Исследование переходных процессов в двумерных цифровых БИХ-фильтрах первого порядка // Докл. 2-ой межд. конф. и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва. 1999. Т. 3, С. 637-641.

14. Елагин A.A., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Функция рассеяния точки двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами // Тез. докл. 4-й межд. конф. "Теория и техника передачи, приема и обработки информации". ХТУРЭ. Харьков. 1998. С. 536. ;

15. Елагин A.A., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Анализ импульсных характеристик некоторых типов двумерных рекурсивных цифровых фильтров для обработки изображения // Тр. IV межд. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж. Изд-во "Истоки" НИИ Связи, 1998. Т-И, С. 624-631.

16. Елагин A.A., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Характеристики двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в пространственной области // Матер, межд. науч.-техн. конф. "Современные методы цифровой обработки сигналов в системах измерения, контроля, диагностики и управления" "ОС-98". Минск. 1998. С. 231-235.

17. Балусов И.Л., Елагин A.A., Судаков A.A. Анализ импульсной характеристики двумерной цифровой рекурсивной системы второго порядка // Матер. 3-й всеросс. науч.-техн. конф. "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем". Чебоксары. 1999. С. 275-277.

18. Балусов И.Л., Елагин A.A., Судаков A.A. Исследование импульсной характеристики двумерных цифровых рекурсивных фильтров второго порядка // Докл. 2-й межд. конф. и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва. 1999. Т. 3, С. 630-634.

19. Балусов И.Л., Елагин A.A., Приоров А.Л. Свойства двумерного цифрового фильтра второго порядка с симметрией коэффициентов и с характеристикой сумматора типа насыщения //Докл. 3-ой межд. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применения" (DSPA'2000). М. 2000. Т. 2, С. 293-296.

20. Балусов И.Л., Елагин A.A., Приоров А.Л. Оценка пространственных переходных процессов в двумерных цифровых фильтрах с использованием переходной характеристики // Актуальные проблемы физики: сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ. 1999. С. 83-88.

21. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного фильтра второго порядка // Тр. LX1II науч. сессии, посвящ. Дню Радио. Москва. 2008. С. 146-147.

22. Балусов И.Л. Некоторые частные случаи импульсной характеристики двумерного цифрового рекурсивного фильтра второго порядка // Докл. 11-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2009). М. 2009. Т. 2, С. 598-601.

23. Балусов И.Л. Обработка изображений двумерными цифровыми фильтрами второго порядка // Вестник ЯрГУ. Серия «Физика. Радиотехника. Связь». 2008. С. 119-121.

Подписано в печать 26.11.2009 Формат 60*84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДВУМЕРНЫЙ РЕКУРСИВНЫЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА. УСТОЙЧИВОСТЬ.

1.1. Математическое описание двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка.

1.2. Основные теоремы для определения устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров.

1.3. Проверка устойчивости и стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием спектрального разложения на множители.

1.4. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом.

1.5. Стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом.

1.6. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием матриц Шура-Кона.

1.7. Сравнительный анализ табличного метода определения устойчивости и метода Шура-Кона.

1.8. Краткие выводы.

2. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка.

2.1.1. Методика исследований.

2.1.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с монотонными АЧХ.

2.1.3. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с пульсациями в области подавления.

2.1.4. Определение линии среза для двумерных рекурсивных фильтров верхних и нижних частот.

2.1.5. Лопастной фильтр.

2.1.6. Диагональный режекторный фильтр.

2.1.7. Осевой режекторный фильтр.

2.1.8. Диагональный полосовой фильтр.

2.1.9. Подавление высокочастотных или низкочастотных составляющих спектра.

2.1.10. Синтез фильтров с заданными частотными свойствами.

2.2. Примеры обработки изображений полученными типами двумерных рекурсивных цифровых фильтров.

2.2.1. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества.

2.2.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот.

2.2.3. Двумерный рекурсивный диагональный полосовой фильтр.

2.2.4. Двумерный рекурсивный осевой режекторный фильтр.

2.2.5. Двумерный диагональный режекторный фильтр.

2.3. Краткие выводы.

3. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С

СИММЕТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

3.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №1.

3.1.1. Двумерные рекурсивные цифровые ФНЧ и ФВЧ второго порядка.

3.1.2. Диагональный режекторный фильтр.

3.1.3. Осевой режекторный фильтр.

3.1.4. Диагональный полосовой фильтр.

3.2. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Варианты симметрии №2 и №3.

3.3. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №4.

3.4. Краткие выводы.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО РЕКУРСИВНОГО

ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА В

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ.

4.1. Вводные замечания.

4.2. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в общем виде.

4.3. Предельные случаи импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка.

4.4. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами.

4.5. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с тремя независимыми коэффициентами.

4.6. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного разделимого цифрового фильтра второго порядка.

4.7. Краткие выводы.

Актуальность темы

В различных областях науки и техники существуют задачи, которые предусматривают цифровую обработку многомерных массивов данных. Это, например, анализ и обработка аэрофото- и космических снимков, геофизические исследования земной коры, компьютерная томография, анализ оптических, тепловых, рентгеновских, радиографических изображений в медицине, промышленной дефектоскопии, системы технического зрения и множество других важных научно-практических задач [1—5]. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, в цифровой обработке изображений и видеопоследовательностей.

Возрастающая сложность задач, увеличение объемов данных стимулирует активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов. Значительный вклад в развитие теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли труды Гоулда и Рейдера, Гольденберга [6-7]. Дальнейшее развитие цифровой обработки сигналов нашло отражение в трудах Рабинера, Даджиона, Мерсеро, Ярославского, Оппенгейма, Шафера, Антонью, Хэмминга, Претта, Карташева, Гольденберга, Витязева [1-3, 8-15].

Обработка многомерных сигналов имеет некоторые особенности, иногда весьма существенные, которые отличают ее от одномерной обработки. Во-первых, многомерная обработка оперирует со значительно б большими объемами данных, что увеличивает затраты на их обработку, хранение и анализ. Во-вторых, математические методы описания многомерных систем не отличаются той завершенностью и законченностью, которая характерна для одномерных систем. В-третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование с одной стороны приобретает гибкость, а с другой стороны большую сложность, несвойственную одномерным системам. В общем случае одномерные методы обработки [6, 8-10, 13-14, 16] не обобщаются до многомерных, что приводит к необходимости разработки новых и модификации существующих алгоритмов. Поэтому развитие теории многомерных цифровых систем невозможно без применения современного математического аппарата [17—26] и мощных вычислительных средств [27] (ЭВМ общего назначения и специализированных сигнальных процессоров).

Быстрое развитие цифровой обработки сигналов привело к появлению большого количества новых терминов, большинство из которых англоязычные. В публикациях на русском языке часто используется калька с английского, при этом написание слов бывает самым разнообразным. Поэтому прилагаются усилия по некоторой унификации терминологии [28, 29]

Для обработки двумерных сигналов можно использовать как фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), так и фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). В настоящее время широкое распространение получили методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, основанные на КИХ-фильтрах. Опубликовано множество работ, отличающихся различными подходами к теме вейвлетов [30-33]. В то же время вейвлет-фильтры могут быть построены и на основе БИХ-фильтров. Исследованию свойств и методов синтеза БИХ вейвлет-фильтров посвящена практически только одна статья Ваттерли [34], что обусловлено меньшей изученностью свойств и большей сложностью БИХ-фильтров.

БИХ-фильтры обладают существенным преимуществом относительно КИХ-фильтров — для достижения тех же частотных свойств, они требуют меньшего объема вычислений. При равных вычислительных затратах БИХ-фильтры в частотной области обладают более узкими переходными полосами от области пропускания до области подавления. При этом, чем ближе к нулю полином в знаменателе частотной характеристики, тем более динамично изменяется частотная характеристика. В связи с этим очень важна проблема устойчивости БИХ-фильтров. Первыми работами по исследованию устойчивости двумерных рекурсивных систем были работы Шэнкса, обобщающие одномерные теоремы на двумерный случай [35, 36]. Более удобные для практического применения результаты приведены в работах Хуанга, Бауэра, Янга и др. [37-42].

Частотные свойства системы во многом определяют возможность ее применения для решения конкретной задачи обработки сигналов и изображений. В задачах синтеза одними из основных условий являются ограничения на свойства фильтра в частотной области. В первую очередь интерес представляют такие параметры указанных фильтров, как полоса пропускания по каждой из частот, линия среза, количество и амплитуды пульсаций амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). В процессе исследования системы возникает также и обратная задача — определить влияние параметров системы на частотную избирательность.

Частотные свойства одномерных рекурсивных систем второго порядка хорошо изучены [16]. В зависимости от коэффициентов, эти системы могут быть фильтрами верхних или нижних частот, полосовыми или режекторными фильтрами. Методика, впервые использованная для исследования двумерного фильтра первого порядка [43-46], может быть применена и для исследования двумерных рекурсивных фильтров второго порядка. Визуальное представление решения задачи для двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в общем случае для восьми независимых коэффициентов затруднено, поэтому при исследовании также могут применяться дополнительные ограничения на параметры фильтра, например, различные виды симметрии коэффициентов [50, 56, 58, 62, 64, 65].

Исследование двумерных цифровых фильтров в пространственной области необходимо для изучения динамики цифровых систем. Любой входной сигнал можно представить в виде суперпозиции двумерных единичных импульсов, и тогда для случая линейной фильтрации выходной сигнал будет являться суперпозицией импульсных характеристик. Таким образом, результат воздействия цифрового фильтра на сигнал можно оценивать, анализируя его импульсную характеристику.

В двумерном случае, по сравнению с одномерным, нахождение импульсной и переходной характеристик является более сложной задачей. Во-первых, это связано с тем, что не существует общего алгоритма решения двумерных разностных уравнений, во-вторых - даже двумерное z-преобразование не является столь эффективным, как в одномерном случае. В пространственной области двумерные цифровые фильтры первого порядка исследовались в работах [66-71]. Повышение порядка цифрового фильтра сильно усложняет получение и анализ пространственных характеристик в аналитическом виде, в связи с этим для более наглядного представления результатов имеет смысл использовать ограничения на коэффициенты фильтра, не понижающие его порядок [72, 82].

В соответствии с вышеперечисленным, исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях является сложной и актуальной задачей цифровой обработки сигналов.

Целью работы является аналитическое получение и анализ характеристик двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

- анализ методов определения устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка и выбор наиболее эффективного;

- изучение возможности стабилизации параметров неустойчивого рекурсивного фильтра;

- анализ амплитудно-частотной характеристики фильтра второго порядка, классификация типов фильтров данной системы, нахождение ограничений на коэффициенты фильтра для существования полученных типов фильтров;

- получение импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в аналитическом виде и ее анализ.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались современные методы цифровой обработки двумерных сигналов и изображений, методы математического анализа, теории функций комплексной переменной, дифференциальной геометрии в пространстве, теории матриц. Широко использовалось также компьютерное моделирование.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных в работе результатов подтверждается неоднократной проверкой методами математического моделирования, а также сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы. Результаты работы нашли применение в исследовании эффектов квантования в двумерном рекурсивном цифровом фильтре второго порядка [83-101].

Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

- в результате анализа амплитудно-частотной характеристики двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка проведена классификация типов фильтров: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных;

- получены аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координаты пульсаций, резонансных частот;

- получено 2 возможных варианта диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений, проведена классификация типов фильтров;

- найден аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами;

- в результате анализа импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка получены условия существования модулированных колебаний вдоль осей, условия для обеспечения сходимости ИХ.

Практическая значимость.

1. Получены удобные в использования выражения для тестирования устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. Предложен алгоритм стабилизации коэффициентов фильтра.

2. Аналитические выражения на коэффициенты двумерного фильтра позволяют определять тип, линию среза, амплитуду пульсаций фильтра не переходя в частотную область.

3. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов таких фильтров при исследовании явлений, обусловленных эффектами квантования, а также анализировать рассеивающую способность двумерных фильтров в цифровой обработке изображений.

Основные положения, выносимые на защиту:

- аналитические выражения для классификации типов фильтров двумерного цифрового фильтра второго порядка: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных;

- аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координаты пульсаций, резонансных частот;

- возможные варианты диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений, классификация типов фильтров;

- аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка, результаты анализа импульсных характеристик такого фильтра с ограничениями на его коэффициенты.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на следующих научно-технических семинарах и конференциях:

1-й, 2-й, 3-й, 5-ой, 6-ой, 11-й международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применения", DSPA, г. Москва, 1998 г., 1999 г., 2000 г., 2003 г., 2004 г., 2009 г.

2-й, 3-й, 4-й, 5-й международной конференции "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1996 г.,1997 г., 1998 г., 1999 г.

3-й, 4-й, 5-й международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж., 1997 г., 1998 г., 1999 г.

LXIII научной сессии, посвященной Дню Радио. Москва, 2008 г. 2-й, 3-й Всероссийской научно-технической конференции "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем", Чебоксары, 1997 г., 1999 г. Международной научно-технической конференции

Современные методы цифровой обработки сигналов в системах измерений, контроля, диагностики и управления" "ОС-98", Минск, 1998 г., 1999 г.

Областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Современные проблемы естествознания. Физика", Ярославль, 1997 г., 1999 г.

Межвузовской региональной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов, Государственный технический университет, Ярославль, 1997 г. Региональной научно-технической конференции, посвященной 55-летию Ярославского государственного технического университета, 1999 г.

Межвузовской научно-технической конференции "Современные научно-технические проблемы совершенствования и направления развития вооружения ПВО", Ярославский зенитный ракетный институт ПВО, Ярослаль, 1999 г.

13

- Юбилейной научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук на пороге XXI века», посвященной 30-летию ЯрГУ., Ярославль, 2000 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 60 научных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК («Радиотехника», «Цифровая обработка сигналов»), 2 статьи в рецензируемом журнале «Моделирование и анализ информационных систем», 1 статья в рецензируемом журнале Вестник ЯрГУ Серия «Физика. Радиотехника. Связь», 1 статья в сборнике научных трудов ЯрГУ «Современные проблемы радиофизики и электроники», 4 статьи в сборнике научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов ЯрГУ «Актуальные проблемы физики» и 50 докладов на научных конференциях российского и международного уровней.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников, содержащего 120 наименований, и 1 приложения. Она изложена на 171 странице машинописного текста, содержит 65 рисунков и 4 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных можно выделить следующие результаты:

1. Используя табличный метод, получены условия устойчивости для двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в виде 4-х неравенств, 2-х полиномов второй степени и 2-х полиномов четвертой степени. Рассмотрен алгоритм коэффициентов фильтра для достижения устойчивости при сохранении заданных в условиях синтеза параметров.

2. В результате проведения сравнительного анализа трудоемкости выполнения тестов устойчивости для фильтров второго порядка, получено, что общее количество условий в табличном методе больше, чем количество условий, полученных в результате применения метода Шура-Кона, но при этом, наибольшая степень полинома равна 4, в то время как, в методе Шура-Кона она равна 8, что является решающим фактором в выборе метода для тестирования устойчивости.

3. В результате исследования АЧХ двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами определены области параметров для получения монотонных ФЕЯ и ФВЧ, а также ФНЧ и ФВЧ с пульсациями. Получены уравнения линий среза и определена величина подавление входного сигнала.

4. Найдены ограничения на параметры, позволяющие получить лопастные фильтры, ориентированные по осям coj и со2. Проведена классификации и определены области параметров полосовых и режекторных фильтров, определены резонансные частоты.

5. Разработан алгоритм синтеза двумерных цифровых фильтров второго порядка, учитывающий полученные в работе ограничения на коэффициенты фильтра и позволяющий получить фильтр с заданными свойствами, а именно: положение экстремумов, линия среза, подавление высоких (для ФНЧ и ПФ) и низких (для ФВЧ) частот, тип симметрии коэффициентов.

6. В результате исследования получены 2 возможных варианта выбора диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений.

7. С практической точки зрения более приемлемым для обработки изображений является вариант симметрии №1. В этом случае возможно получение не только осевых РФ, но и диагональных РФ и диагональных ПФ фильтров.

8. Области параметров фильтров различных типов приведены в графическом виде, что дает возможность выбора коэффициентов внутри области устойчивости и на достаточном удалении от ее границ и позволяет не использовать процедуры стабилизации.

9. Получено аналитическое выражение для импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. Подробно рассмотрены частные случаи ИХ двумерного цифрового фильтра второго порядка, выделены области, в которых ИХ имеет колебательный характер, получены условия сходимости, а также указаны параметры, от которых зависит знакопеременность ИХ.

10. Полученная импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка при исследование явлений, обусловленных эффектами квантования.

Таким образом, достигнута цель работы - аналитически получены и проанализированы характеристики двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях.

1. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

2. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.: Сов. радио, 1979. 312 с.

3. ПрэттУ. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. Т. 1, -312 с.

4. ГонсалесР., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. - 1072 с.

5. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений / Под ред. Ю.Б. Зубарева и В.П. Дворковича. М.: Международный центр научно-технической информации, 1997. - 212 с.

6. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

7. Гольденберг Л.М. Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры М.: Связь, 1974.-160 с.

8. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978. 848 с.

9. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

10. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. -М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

11. Гольденберг Л.М. Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985. — 323 с.

12. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993.-240 с.

13. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

14. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980.-224 с.

15. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

16. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: учеб. пособ. / 2-е изд., перераб. и доп. — Ярославль. ЯрГУ, 2005. 154 с.

17. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Пер. с англ. М.: Мир, 1965. -276 с.

18. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982. 256 с.

19. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969. - 176 с.

20. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. - 294 с.

21. Воеводин В.В. Линейная алгебра. -М.: Наука, 1980.-400 с.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М.: Наука, 1988. - 548 с.

24. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел // Пер. с нем. М.: Наука, 1978. - 430 с.

25. Потемкин В.Г. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений на основе разложения сингулярного пучка матриц // Вестник Российской транспьютерной ассоциации. 1994. № 2 (13). С. 5-18.

26. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. - 832 с.

27. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: Питер, 2002. 608 с.

28. Грибунин В.Г. Глоссарий по цифровой обработке сигналов.- СПб. 28 с.

29. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2, С. 133-158.

30. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 464 с.

31. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

32. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

33. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. -М.: ДМК, 2005. 304 с.

34. Herley С., Vetterli М. Wavelets and recursive filter banks // IEEE Trans. Image Processing. 1993. V. 41, № 8. P. 2536-2556.

35. Shanks J.L., Treital S., Justice J.H. Stability and synthesis of two dimensional recursive filters // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. V. 20, P. 115-208.

36. Justice J.H., Shanks J.L. Stability criterion for N-dimensional digital filters // IEEE Trans. Automatic control. 1973. AC-18, No. 3, P. 284-286.

37. Huang T.S. Stability of 2-D recursive filters // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. No 6. P. 158-163.

38. Bauer P. A simple stability criterion for nonlinear multi-dimensional (M-D) direct form digital filters // ISCAS'89. IEEE. 1989. V. 2, P. 1091-1094.

39. Yang X., Unbehauen R. New stability test algorithm for two-dimensional digital filters // IEEE Transaction on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. 1998. No. 7. P. 739-741.

40. Изотова И.В. Об устойчивость решений простейших пространственно-распределенных дискретных уравнений // Моделирование и анализ информационных систем: Сб. науч. тр. Вып. 2. ЯрГУ. Ярославль. 1994. С. 134-147.

41. Изотова И.В. Об устойчивости решений линейных разностных пространственно-распределенных уравнений второго порядка // Моделирование и анализ информационных систем: Сб. науч. тр. Вып. 3. ЯрГУ. Ярославль. 1996. С. 86-100.

42. O'Connor В.Т., Huang Th.S. Stability of general two-dimensional recursive filters // ШЕЕ Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1978. ASSP-26, No. 6. P. 550-560.

43. Брюханов Ю.А., Приоров A.JI., Мясников E.A., Калинин С.А. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем первого порядка // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1995. № 4. С. 26-30.

44. Приоров А.Л., Тарасов В.Л., Балусов И.Л., Мясников Е.А. Исследование модели двумерного цифрового фильтра первого порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 1997. Т. 4, С. 73-76.

45. Калинин С.А., Мясников Е.А., Приоров А.Л. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка // Направления развития систем и средств радиосвязи. Воронеж. 1996. Т.3, С. 1114-1117.

46. Тарасов В.Л., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Частотная избирательность двумерного цифрового фильтра первого порядка // Тез. докл. 3-й межд. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации», ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1997. С. 86-87.

47. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Автономный двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка с несимметричными коэффициентами // Тр. LVIII науч. сессии, посвященной Дню Радио. Москва. 2003. Т. 1, С. 239-241.

48. Лебедев М.В., Рудых Д.В. , Балусов И.Л. Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка // Сб. науч. тр.молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 4. Ярославль, 2003.1. С. 141-148.

49. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Малкова Т.В., Балусов И.Л. Нелинейныесвойства автономного двумерного рекурсивного цифрового фильтравторого порядка // Матер. V всерос. науч.-техн. конф. «Динамиканелинейных дискретных электротехнических и электронных систем».

50. Чебоксары, 2003. С. 217-218.

51. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Хрящев В.В. Частотные свойствадвумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка ссимметричными коэффициентами // Цифровая обработка сигналов.2008. №3. С. 49-55.

52. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Классификация типов фильтров,получаемых на базе двумерной рекурсивной цифровой системывторого порядка // Сб. науч. тр. ЯрГУ: Современные проблемырадиофизики и электроники. 1998. С. 148-154.

53. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Исследование двумерных рекурсивныхцифровых фильтров второго порядка в частотной области // Матер.первой межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение»

54. DSPA'98). 1998. Т. 3, С. 213-220.

55. Лебедев М.В., Балусов И.Л., Рудых Д.В. Динамика двумерногорекурсивного цифрового фильтра второго порядка при бинарномквантовании // Докл. 5-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов иеё применение». (DSPA'03). Москва, 2003. Т. 1, С. 65-67.

56. Калинин С.А., Балусов И.Л. Исследование частотных свойствдвумерной нерекурсивной цифровой системы второго порядка // Юб.сб. тр. каф. радиофизики ЯрГУ. 1998. С. 155-160.

57. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Динамика двумерногорекурсивного цифрового фильтра второго порядка при бинарномквантовании // Докл. 6-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов иее применение» (DSPA'04). Москва, 2004. Т. 2, С. 7-9.153

58. Приоров АЛ., Тарасов В.Л. Исследование двумерных рекурсивных цифровых ФНЧ и ФВЧ второго порядка // Докл. науч.-техн. конф. «Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация». Воронеж. 1997. С. 1006-1011.

59. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Елагин А.А. Анализ некоторых типов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка // Актуальные проблемы физики: сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ. 1997. С. 149-155.

60. Балусов И.Л., Михальченков С.М., Приоров A.JL, Дрязжин В.Н.

61. Частотные свойства двумерных цифровых систем второго порядка ссимметричными коэффициентами // Сб. тез. обл. науч. конф.студентов, аспирантов и молодых ученых, ЯрГУ, 1997. С.43-44.

62. Балусов И.Л., Михальченков С.М., Приоров А.Л. Частотные свойствадвумерных цифровых систем второго порядка с симметричнымикоэффициентами // Тез. докл. 2-й межд. конф. «Теория и техникапередачи, приема и обработки информации». ХТУРЭ. Харьков

63. Туапсе. 1996. Ч. 1.С. 42-43.

64. Богословский А.В., Загузова Н.Д., Пахольчак З.Д. Двумернаярежекторная однопараметрическая (3x3) и (4х4)-фильтрация сосвойствами осевой симметрии // Радиотехника. 2008. № 1. С. 3—11.

65. Балусов И.Д., Приоров А. Л., Елагин А.А., Судаков А.А.

66. Пространственные переходные процессы в двумерных цифровыхфильтрах первого порядка // Моделирование и анализинформационных систем. 1999. Т. 6, № 1. С. 51-53.

67. Елагин А.А., Судаков А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Исследованиепереходных процессов в двумерных цифровых БИХ-фильтрах первогопорядка // Докл. 2-й межд. конф. и выставки «Цифровая обработкасигналов и ее применения». Москва. 1999. Т. 3, С. 637-641.

68. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Переходная характеристикадвумерного цифрового фильтра первого порядка для обработкидвумерных сигналов // Тр. V межд. науч.-техн. конф. «Радиолокация,навигация, связь». Воронеж. 1999. С. 402-407.

69. Елагин А.А., Судаков А.А., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Реакциядвумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка наединичный скачок // Сб. тез. обл. науч. конф. студентов, аспирантов имолодых ученых «Современные проблемы естествознания. Физика».

70. Ярославль. 1999. С. 44-45.

71. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Функция рассеяния точкидвумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка ссимметричными коэффициентами // Тез. докл. 4-й межд. конф.

72. Теория и техника передачи, приема и обработки информации».

73. ХТУРЭ. Харьков. 1998. С. 536-537.

74. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Анализ импульсныххарактеристик некоторых типов двумерных рекурсивных цифровыхфильтров для обработки изображения // Тр. IV межд. науч.-техн. конф.

75. Радиолокация, навигация, связь». Воронеж. Изд-во "Истоки" НИИ

76. Связи, 1998. T-II, С. 624-631.

77. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Характеристики двумерныхрекурсивных цифровых фильтров второго порядка впространственной области // Матер, межд. науч.-техн. конф.

78. Современные методы цифровой обработки сигналов в системахизмерения, контроля, диагностики и управления» «ОС-98». Минск.1998. С. 231-235.156

79. Балусов И.Л., Елагин А.А., Судаков А.А. Исследование импульсной характеристики двумерных цифровых рекурсивных фильтров второго порядка // Докл. 2-й межд. конф. и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва. 1999. Т. 3, С. 630-634.

80. Балусов И.Л. Использование двумерных нерекурсивных систем второго порядка в обработке изображений и двумерных сигналов // Докл. 11-й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2009). Москва. 2009. Т. 2, С. 601-604.

81. Балусов И.Л. Динамика двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка // Сб. тез. юбилейной науч. конф. «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук на пороге XXI века», поев. 30-летию ЯрГУ. 2000. Ярославль. ЯрГУ. С. 35.

82. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Импульсная характеристика двумерногорекурсивного фильтра второго порядка // Тр. LXIII науч. сессии,посвященной Дню Радио. Москва. 2008. С. 146-147.

83. Балусов ИЛ. Некоторые частные случаи импульсной характеристикидвумерного цифрового рекурсивного фильтра второго порядка // Докл.11.й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение»

84. DSPA-2009). М. 2009. Т. 2, С. 598-601.

85. Лебедев М.В. Исследование эффектов квантования и переполнения вдвумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка ссимметричными коэффициентами // Дис. канд. техн. наук М., 2007.- 169 с.

86. Приоров АЛ., Елагин А.А., Балусов И.Л. Динамика двумернойцифровой системы первого порядка с нелинейным сумматором // Тез.докл. V межд. конф. «Нелинейные колебания механических систем».

87. Нижний Новгород. 1999. С. 190-191.

88. Балусов И.Л., Елагин А.А., Приоров А.Л. Свойства двумерногоцифрового фильтра второго порядка с симметрией коэффициентов и схарактеристикой сумматора типа насыщения // Докл. 3-й межд. конф.

89. Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'2000). М.2000. Т. 2, С. 293-296.

90. Рудых Д.В., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Динамика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка при трехуровневом квантовании // Сб. науч. труд, молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. Ярославль. 2001. С. 101-106.

91. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Системы обработки двумерных сигналов с учетом эффектов квантования // Докл. межд. конф. по телекоммуникациям (ICC2001). СПб. 2001. С. 19-23.

92. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого и второго порядка с нелинейным сумматором // Тр. 8-й межд. науч.-техн. конф. «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж. 2002. Т. 1, С. 387-398.

93. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Колебания в автономных двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с двумя уровнями квантования // Тр. LX науч. сессии, посвященной Дню Радио. Москва. 2005. Т. 2, С. 216-218.

94. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка с постоянным внешним воздействием // Тр. межд. науч.-практ. конф. «Информационные средства и технологии». Москва, 2005. Т. 1, С. 123-126.

95. Балусов И.Л. Обработка изображений двумерными цифровыми фильтрами второго порядка // Вестник ЯрГУ. Серия «Физика. Радиотехника. Связь». 2008. С. 119-121.

96. Приоров А.Л., Балусов И.Л., Хрящев В.В. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества // Радиотехника. 2008. № 12. С. 23-28.

97. Балусов И.Л., Лукашевич Ю.А., Пачкунов А.В. Анализ качества обработки изображений двумерными цифровыми КИХ-фильтрами // Тез. докл. per. науч.-техн. конф., посвящ. 55-летию Яросл. гос. техн. ун-та. 1999. С. 107.

98. Ekstrom М.; Woods J. Two dimensional spectral factorization with applications in recursive digital filtering // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. April 1976. No. 2. P. 115-128.

99. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1978.-299 с.

100. Ш.Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука. М.: Техносфера, 2004. 365 с.

101. Арляпов С.А., Бухтояров С.С., Саутов Е.Ю., Хрящев В.В.

102. Модифицированный критерий оценки качества восстановленныхизображений. Докл. 8-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва. 2006. Т. 2, С. 413-416.

103. Recommendation ITU-R ВТ.500-11, Methodology for the subjective assessment of the quality of television pictures. ITU-T. 2002.

104. Приоров АЛ., Апальков И.В., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2007. - 235 с.

105. Wang Z, Bovik A. A universal image quality index // ШЕЕ Signal Processing Letters. 2002. V. 9, № 3. P. 81-84.

106. Пб.Арляпов C.A., Приоров A.JI., Хрящев B.B. Модифицированный критерий оценки качества восстановленных изображений // Цифровая обработка сигналов. 2006. № 2. С. 27-33.

107. Taubman D., Marcellin М. JPEG 2000: image compression fundamentals, standards and practice. Boston: Kluwer, 2002. 773 p.

108. Приоров A.JI. Двумерные цифровые сигналы и системы: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2000. - 168 с.

109. Приоров A.JI., Ганин А.Н., Хрящёв В.В. Цифровая обработка изображений: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2001. - 218 с.

110. Брюханов Ю.А., Приоров А.Л. Цифровые фильтры: уч. пособ. -Ярославль: ЯрГУ, 2002. 288 с.