автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами

На правах рукописи

□ОЗОВЗ131

Лебедев Михаил Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ И ПЕРЕПОЛНЕНИЯ В ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С СИММЕТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 05 12 04 Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 МАЙ 2007

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре динамики электронных систем Ярославского государственного университета им. П Г Демидова

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Брюханов Юрий Александрович

Официальные оппоненты

доктор технических наук Джиган Виктор Иванович

кандидат технических наук, доцент Чобану Михаил Константинович

Ведущая организация ОАО «Ярославский радиозавод»

Защита диссертации состоится 28 мая 2007 г на заседании диссертационного совета К451 001 01 при ЗАО "Московский научно-исследовательский телевизионный институт" (МНИТИ) по адресу 105094, г Москва, ул Гольяновская, д 7а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЗАО МНИТИ

Автореферат разослан « 28» апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, к

кандидат технических наук I К П Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Методы цифровой обработки сигналов [риобретают все большую важность Они не только заменяют классические залоговые методы в традиционных направлениях науки и техники, но и фименяются во многих новых областях Наиболее значимыми причинами развития шфровой обработки сигналов являются быстрота и эффективность при обработке и зализе сигналов и изображений, гибкость и точность при решении самых 1азнообразных задач, постоянно растущая вычислительная мощность ЭВМ, 1С пользуемых для этого

В настоящее время стремительно развивается теория многомерных цифровых :игналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация С её помощью врабатываются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например, массивов, полученных после дискретизации изображений, или )езульгатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков Разработка этой теории сшмулируется важными практическими задачами, примерами которых может служить обработка радио- и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, статических и динамических изображений, сигналов в телекоммуникационных системах и т д

В этой области значительные исследования выполнили зарубежные ученые Хуанг Т, Шэнкс Д , Даджион Д , Мерссро Р , Боуз Т , Фахми М , Митра С , Мария Г и многие другие Вместе с тем определенный вклад был внесен и отечественными авторами, среди которых можно выделить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В Г и Чобану М К

В области цифровой обработки изображений, тесно связанной с многомерной цифровой обработкой сигналов, наиболее известными являются работы Прэтта У, Ярославского Л П , Зубарева Ю Б , Дворковича В П и Дворковнча А В

Объектом исследования в настоящей работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка Низкая вычислительная сложность и простота реализации делают данные фильтры особенно привлекательными при проектировании систем, работающих в реальном или близком к реальному масштабах времени

Несмотря на это, двумерные рекурсивные цифровые фильтры еще недостаточно исследованы Особенно это касается нелинейных эффектов, возникающих в них при квантовании и переполнении В связи с этим, тема работы представляется достаточно полезной и актуальной

Делью диссертационной работы является исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи 1 Исследование статистической модели фильтра второго порядка в общем случае

2 Разработка методики исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами

3 Нахождение областей в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующих всем возможным типам выходных сигналов, для различного числа уровней квантования

4 Анализ процессов в автономном и неавтономном рекурсивных цифровых фильтрах с нелинейным сумматором

Методы исследования основаны на положениях теории многомерных цифровых сигналов и цепей, теории линейной алгебры, комбинаторном анализе, методах математической статистики

Научная новнзна работы:

1 Определен явный вид выражений для дисперсии и математического ожидания шума на выходе линейной статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка

2 Предложена методика исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами с учетом характеристики квантователя

3 Проанализированы возможные типы выходных сигналов для автономных и неавтономных рекурсивных фильтров второго порядка

4 Для различного числа уровней квантования получены разбиения пространства коэффициентов фильтров на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов

На защиту выносятся:

1 Статистические характеристики шума на выходе фильтра для случаев квантования результатов сложения и умножения при использовании различных способов квантования и представления чисел

2 Методика исследования эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами

3 Условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования

4 Типы и характеристики выходных сигналов в неавтономном двумерном фильтре для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования

5 Условия возникновения предельных циклов на выходе автономного фильтра и выходные колебания в неавтономном фильтре в случае произвольного числа уровней квантования Уравнения границ областей, соответствующих циклам большого уровня

Практическая ценность работы

Знание рассмотренных в диссертационной работе статистических свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка позволяет оценить

мощность шума квантования на их выходе и выбрать при проектировании и аппаратной или программной реализации фильтров их параметры в соответствии с желаемыми результатами последующей обработки

Предлагаемая методика помогает прогнозировать нелинейные эффекты, возникающие в автономных и неавтономных фильтрах при квантовании и переполнении Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации

Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, условий возникновения в них двумерных предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы как для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая нежелательных эффектов переполнения, так и в качестве автогенераторов двумерных цифровых сигналов с определенными свойствами

Исследование эффектов квантования и переполнения особенно важно при технической реализации двумерных цифровых фильтров, предназначенных для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени

Часть результатов диссертационной работы использована при реализации программно-алгоритмического продукта цифровой обработки изображений "PicLab", который уже несколько лет используется как в научной, так и в учебной деятельности в ЯрГУ и в Санкт-Петербургском государственном университете телекоммуникаций им M А Бонч-Бруевича

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы обсуждались на 4-й - 9-й Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (Москва, 2002-2007), VIII, X, XII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2002, 2004, 2006), 7-й Международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» (Харьков, 2001), V Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике" (Чебоксары, 2004), LVHI-LX Научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 2003-2005), 1 Ith - 12th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (Scuol/Schuls Switzerland, 2003, Portugal, 2004), 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications (Moscow, 2004), IV Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им П Г Демидова, Ярославль, 2003

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК («Известия вузов Радиофизика»), 4 статьи в сборниках научных трудов и 11 докладов на всероссийских и международных научных конференциях

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы Она содержит 173 страницы машинописного текста, 86 рисунков и 11 таблиц Список литературы включает в себя 99 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи, изложены основные положения, выносимые на защиту, показаны научная новизна и практическая ценность диссертационной работы

В первом разделе исследованы статистические характеристики шума на выходе двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с квантованием результатов сложения и умножения (рис 1)

второго порядка с квантованием

Для анализа статистических характеристик шума на выходе двумерного фильтра использованы статистическая модель ошибки квантования и явное выражение для импульсной характеристики

Кп,т) = X

] V"/ Vя/

к

ИЛГГГГгКГГ тл

а = УоУ[У?У&Уз • Уо,=

(1

Влияние эффектов переполнения для данного случая не рассматривается

При квантовании результатов сложения исследуемая система описывается выражением

где /{*} - функция нелинейности квантователя С учетом шума, вводимого в сумматор, оно принимает вид

где х{т,п) - аппроксимированный отсчет, связанный с точным отсчетом выражением

Здесь Дх{т,п) - ошибка квантования арифметических операций на выходе фильтра, которая определяется выражением

Данное уравнение описывает линейную систему, на входе которой действует сигнал а (т,п) Поскольку для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, то реакцию такой системы Ах(т,п) на входное воздействие а(т,п) можно получить через линейную свертку импульсной характеристики системы и входного воздействия

Для случаев округления в прямом и дополнительном кодах и усечения в прямом коде установлено, что дисперсия шума квантования на выходе фильтра ст^ определяется согласно выражению

х(т, п) = f{ax(m -1, п) + bx(m, п -1) + сх(т -1, л -1) + dx{m - 2, л) + ех(т, п - 2) + fx(m -1, л - 2) + + gx(m- 2, л -1) + hx(m - 2,п - 2) + 1/(т,п)}

(1)

х (т,п) = f{ax(m-\,n) + bx(,m,n-l) + cx(m-\,n-l) + + dx(m-2,n) + ex(m,n-2) + Jx(m-l,n-2) + + gx(m — 2,n-l) + lvc(m-2,n-2) + U(m,n) + a(m,n)}

Д x(m, n) = x (m, n) - x(m, n)

Ax(m, л) = /{аДх(т -1, л) + ЬАх(т, п -1) + с&х(т -1, л -1) + + d&x(m - 2, л) + е&х(т, л - 2) + f&x(m -1, л - 2) + + g&x(m - 2, л -1) + hAx(m - 2, л - 2) + V(m, л) + а(т, л))

Л+/>0

I

+ 9 + J+I = n к

Гаак(-ЬУ+{-

где Оц - дисперсия шума квантования на входе

Для случая усечения в дополнительном коде математическое ожидание шума квантования отлично от нуля и равно т^=-д/2, где д - шаг квантования Дисперсия шума квантования арифметических операций на выходе фильтра определяется согласно выражению

о1х=(Ахг)-т1,

где

(Ах

о у^+'ао

Данное выражение характеризует мощность флуктуационной составляющей шума, т е мощность самого шума за вычетом мощности постоянной составляющей, амплитуда которой определяется математическим ожиданием шума В данном случае математическое ожидание отлично от нуля, поэтому мощность шума и его дисперсия не совпадают по величине, а отличаются на постоянную составляющую в квадрате Математическое ожидание шума квантования арифметических операций на выходе фильтра определяется следующим образом

Л2

\к+120

Таким образом, дисперсия шума квантования на выходе двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с квантованием результатов сложения для всех способов квантования и при всех кодах описывается одним и тем же выражением, связывающим дисперсии шума источника и выходного шума квантования

Модель с квантованием результатов умножения учитывает только квантование произведений коэффициентов фильтра с соответствующими отсчетами и не учитывает квантование их суммы Уравнение, описывающее работу рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в этом случае, имеет вид

х(т, п) = /{ах(т -1, п)) + /{Ьх(т, п-1)} + /{сх{т -1, п -1)) + /{Л(т-2,п)} + /{ех{т,п-2)}+/{/х(т-1,п-2)} + + /{г*(т-2,л-1)} + /{Лх(т-2,л-2)} + 1/(л1,л)

Выражение для ошибки квантования на выходе фильтра определяется следующим образом

х(т,п) = ах(т-\,п) + Ьх(т,п-1) + сх(т -1, л -1) + + (£с{т-2,п) + ех(т,п-2) + у*(т-1,л-2) + + gx(m-2,n-l) + hx(m-2,n-2) + Щm,n) + + а[ (т,п) + а2 (т, п) + аъ (т,п) + ог4 (т, п) + + а, (т, п) + я6 (т, п) + ог7 (т, п) + сг8 (т, п)

Для случаев округления в прямом и дополнительном кодах и усечения в прямом коде мгновенная мощность шума на выходе фильтра имеет вид

8 т п т п

(Д х2(т,п)} = = 8

,=1 к^01=0 к = 01=0

Дисперсия шума квантования арифметических операций на выходе исследуемой модели задается выражением

к-иго

Г+5 + р + д + J + l = n

п-к / Г\}+Р /

^ 7

Таким образом, в рамках сделанных предположений относительно внесенных шумов, дисперсия на выходе модели с квантованием результатов умножения в 8 раз превышает дисперсию на выходе модели с квантованием результатов сложения

Для модели с усечением в дополнительном коде математическое ожидание шума непосредственно у источника отлично от нуля и равно та= -ц!2 С учетом этого статистическое усреднение мгновенной мощности по пространству имеет вид

' ' *-(-/> о М+'^о У

где второе слагаемое характеризует постоянную составляющую шума квантования на выходе фильтра, т е математическое ожидание шума равно

= 8т \ ]Гй(/М)

Таким образом, при усечении в дополнительном коде полная мощность шума квантования с учетом постоянной составляющей в модели с квантованием результатов умножения в 8 раз больше, чем для случая квантования результатов

сложения При этом дисперсия и математическое ожидание шума на выходе системы также увеличиваются в 8 раз

Второй раздел посвящен исследованию нелинейных свойств автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами Для исследования фильтров с нелинейным сумматором и квантователем используется детерминированный подход Суть подхода заключается в следующем Область определения функции нелинейности разбивается на зоны с различными значениями этой функции Затем путем последовательного перебора возможных переходов системы по этим зонам находятся ограниченич на параметры фильтра, соответствующие определенным типам выходных сигналов В результате пространство коэффициентов фильтра делится на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов

Следует отметить, что любое начальное условие для двумерной системы второго порядка представляет собой четыре бесконечные последовательности (*(-1,л), (4-2./1), (х(т,-1) и х(т,-2)), поэтому перебрать все возможные виды начальных условий при анализе выходных сигналов в такой системе нереально В связи с этим, при исследовании двумерных систем с произвольными начальными условиями предлагается находить только условия возникновения на выходе фильтра определенных типов выходных сигналов (каждому из них может соответствовать бесконечное число видов выходных сигналов), например, двумерных предельных циклов (ДПЦ) В этом случае при анализе свойств системы достаточно основываться только на определении типов выходных сигналов и аналитическом виде функции нелинейности

В случае симметричных коэффициентов движения в автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка описываются разностным уравнением

х(т,п) — /(а(х(т —1,п) + х(т—2,п)) +

+ Ь{х{т,п -1) + х{т,п - 2)) + (2)

+ с{х(т -\,п -1) + х(т - 2,п - 2»)

с ненулевыми начальными условиями

Элементарной функцией нелинейности двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами является характеристика сумматора с бинарным квантованием Изучение системы в этом вырожденном состоянии является необходимым начальным шагом при исследовании ее нелинейных свойств Основные закономерности, полученные в этом случае, легко переносятся на случай большего количества уровней квантования и произвольных начальных условий.

Структурная схема исследуемой системы представлена на рис 2

Рис 2 Структурная схема двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами

Здесь тип- дискретные переменные, принимающие значения от -2 до бесконечности, а, Ь и с - независимые коэффициенты фильтра, г„~' и гп~1 -задержки по переменным тип соответственно Функция / описывает нелинейные свойства сумматора Входное воздействие 11(т,п) равно нулю

С помощью предложенной методики найдены условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух уровней квантования

Характеристика сумматора системы с бинарным квантованием описывается функцией

м-\\ г>'\ га

-1, х<0

Участки характеристики, соответствующие л: > 0 и х < 0, назовем зонами I и -I соответственно Рассмотрим методику анализа нелинейных колебаний в автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным видом начальных условий

В пространстве коэффициентов системы определим области, соответствующие двумерным предельным циклам различных периодов и областей с постоянным сигналом на выходе

Исходя из уравнения (2) и определения данного ДПЦ, найдем область существования цикла периода 1x0

х{т, п) = / {а{х{т -1, п) + д:(от - 2,и))+Ь(х(т, п -1) + п - 2))

+ с (х(т -1, п -1) + х(т - 2, п - 2))) х(т, п) = х(т -1, л) = х(т - 2, п)

Согласно (3) отсчет х(т,п) может принадлежать одной из двух зон функции нелинейности Рассмотрим каждый случай отдельно Пусть х(т,п)е зонеI, те

х(т, п) = /(а(х(т -1,п) + х(т - 2, и)) + Ь(х(т, п -1) + х(т, п - 2))

+ с(х(т -1, п -1) + х(т - 2, и - 2))) х(т, п) = х(т -1, п) = - 2, и) = 1,

что равносильно выражению

1 = /(д(1 +1) + />(х(/и, я -1) + х(т, п - 2)) + с(дг(« -1, п -1) + лг(от - 2, я - 2)»

Следовательно, согласно (3) имеем

2а + Ь(х(т,п - 1) + х(т,п - 2)) + с(х(т - 1,п - 1) + х(т - 2,п - 2» > О

Отсчеты х(т,п — 1), х{т,п-2), х(т-1,п-1) и х(т-2,п-2) также могут принимать одно из двух значений Для каждого из них получим набор условий на коэффициенты фильтра, соответствующие различным значениям данных отсчетов (табл 1)

Таблица 1

Условия на коэффициенты фильтра, соответствующие различным значениям отсчетов х(т,п-1), х{т,п-2), д-(/л-1,п-1) и х{т-2,п-2), при х(т, п) 6 зоне I, для цикла периода 1 хО

№ Возможные значения переменных Усчовия на коэффициенты

х(т, п -1) + + х{т,п-2) х(/я — 1, и — 1) + + х(т-2,п-2)

1 -2 -2 2а-2Ь — 2с>0

2 -2 0 2а-2Ь>0

3 -2 2 2а-2Ь + 2с>0

4 0 -2 2а-2с>0

5 0 0 2а >0

6 0 2 2а + 2с > 0

7 2 -2 2а + 26 - 2с > 0

8 2 0 2а + 26 > 0

9 2 2 2а + 26 + 2с > 0

При их выполнении, если х(т-1,п) и х(т - 2,п) принадлежат зоне I функции нелинейности, то и х(т,п) для любых значений переменных тип будет

принадлежать той же зоне На плоскости коэффициентов фильтра (а, Ь) при фиксированном коэффициенте с = 0 25 данным ограничениям соответствует выделенная область 2 на рис 3

Вследствие симметричности функции (3) случаю х(т,п)е зоне -I соответствует такой же набор неравенств, как и в предыдущем случае В связи с этим разбиение пространства коэффициентов фильтра сохраняет вид, показанный на рис 3

Установлено, что для ДПЦ с периодом 0x1 остается справедливым полученный набор неравенств, вследствие симметричности коэффициентов а и Ь в уравнении (1) относительно переменных т и и, и замена /и —> л соответствует замене а—>Ь На плоскости коэффициентов (а,Ь) при с = 0 25 данным циклам на выходе фильтра соответствует выделенная область 1 на рис 3

второго порядка с двумя уровнями квантования на области с различными типами выходных

сигналов (с = 0 25)

Найдем условия на коэффициенты фильтра, соответствующие ДПЦ периода 1x1 Согласно определению данного ДПЦ и уравнению (2), справедлива система уравнений

1х{т,п) = /(а(лс(ш-1,п) + х(т- 2,п)) + Ь(х(т,п-1) + х(т,п-2))

+ с(х(т -1, п -1) + х (т - 2, п - 2))) х(т,п) = х(т-1,п — 1) = х(т - 2,я - 2) 13

Пусть х(т,п)в зоне!,тогда

х(т, п) = / (а(х(т -\,п) + х(т-2,п))+Ь(х(т, п-1) + х(т, п- 2)) + 2с) х(т, п) = х(т-\,п-\) = х(т-2,п-2) = 1,

что равносильно выражению

1 = /(а(х(т -1, п) + х(т - 2, л)) + Ь(х{т,п-1) + х(т, и - 2)) + 2с)

Следовательно, согласно (3) имеем

а(х(т -1 ,п) + х(т - 2,п)) + Ь{х(т,п - 1) + х(т,п - 2)) + 2с >0,

что равносильно набору условий на коэффициенты фильтра, приведенному в табл 2

Таблица 2

Условия на коэффициенты фильтра, соответствующие различным значениям отсчетов х(т, п -1), х(т, п- 2), х(т -1, п) и х(от - 2, п), х(т, и) 6 зоне I для цикла периода 1х 1

Возможные значения переменных Условия нэ

№ х(т-1,п) + х(т,п — 1) + коэффициенты

+ х(т - 2, п) + х(т,п- 2)

1 -2 -2 - 2а - 2£> + 2с > 0

2 -2 0 -2а + 2с>0

3 -2 2 - 2а + 26 + 2с > 0

4 0 -2 -2Ь + 2с>0

5 0 0 2с >0

6 0 2 26 + 2с > 0

7 2 -2 2а -2Ь+ 2с >0

8 2 0 2а + 2с > 0

9 2 2 2а + 26 + 2с > 0

На плоскости (а,Ь) при с =0 25 этим условиям соответствует выделенная область, показанная на рис 3

Вследствие симметричности функции нелинейности (3), набор условий и разбиение плоскости (а,Ь) для случая х(т,п)6 зоне -I сохраняются неизменными В отличие от циклов периодов 1x0 и 0x1 для ДПЦ с таким периодом любой ненулевой отсчет последовательностей начальных условий приводит к образованию диагонали аналогичных отсчетов на выходе фильтра

Следует отметить, что если один из коэффициентов фильтра больше единицы, а два других лежат в интервале между -0 25 и 0 25, на выходе возникает ДПЦ с периодом, зависящим от того, какой именно из коэффициентов, превосходит единицу В случае а>1 - это ДПЦ периода 1x0, если Ь> 1 - цикл периода 0x1, условию с > 1 соответствует ДПЦ периода 1x1

Движения, соответствующие остальным областям пространства коэффициентов, не подходят под определение ДПЦ

В общем случае для однозначного определения типа движений на выходе фильтра с двумя уровнями квантования необходимо определить значения отсчета х(т,п) для всех возможных комбинаций отсчетов х(т-1,п), х(т-2,п), х(т,п-1), х{т,п — 2), х(т-1,п-\) и х(т — 2,п-2) При функции нелинейности (3) число таких комбинаций равно 27 Однако вследствие симметричности характеристики сумматора их число сокращается до 13.

Уравнения плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов фильтра на области определенных типов движений, представлены в табл 3

Таблица 3

Уравнения плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов фильтра

№ Уравнение № Уравнение

1 а = 0 8 а-с-0

2 6 = 0 9 Ь-с-0

3 с = 0 10 а+Ь+с=0

4 а + £ = 0 11 а+Ь-с=0

5 а + с = 0 12 а-Ь+с=0

6 Ь + с = 0 13 а-Ь-с=0

7 а-Ь = 0

Общий вид бифуркационной диаграммы двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами при коэффициенте с- 0 25 представлен на рис 3 Здесь каждой выделенной области пространства коэффициентов соответствует определенный тип движения, независящий от начальных условий

Таким образом, предложена методика, позволяющая находить в пространстве коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами и бинарным квантованием области, соответствующие заданным типам движений С ее помощью определены области двумерных предельных циклов различных периодов Найдены аналитические условия на коэффициенты фильтра, соответствующие каждому из двумерных предельных циклов Построена бифуркационная диаграмма системы Теоретические результаты подтверждены компьютерным моделированием

Следует отметить, что рассмотренные типы движений являются паразитными для двумерных рекурсивных цифровых фильтров, основанных на исследуемых системах Вместе с тем автономная система может использоваться для генерации колебаний различных периодов Предложенная методика успешно применена для исследования эффектов переполнения и квантования на случаи большего количества уровней квантования в двумерных цифровых системах второго порядка

Для случая трехуровневого квантования и округления в прямом коде разбиение пространства коэффициентов двумерною рекурсивного цифрового фильтра второго порядка на области, соответствующие всем возможным типам выходных колебаний при коэффициенте с = 0 25, представлено на рис 4

Область существования циклов периода

существования шгклов периода 0x2

Рис. 4. Разбиение пространства коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с тремя уровнями квантования и округлением в пркмом коде (с = 0.25)

Заштрихованная область соответствует области устойчивости двумерного рекурсивного фильтра без квантования. Данные результаты останутся справедливыми и для случая усечения в прямом коде, если произвести преобразования

а'- 2а , Ь'- 2Ь, с'-2с,

где а\ Ь' не' - коэффициенты фильтра в случае усечения в прямом коде, а, Ь и с - в случае округления. Данное свойство объясняется схожим видом функций нелинейности.

Разбиение пространства коэффициентов двумерного фильтра для случаев большего числа уровней квантования имеет более сложный вил и не может быть наглядно представлено графически. В связи с этим, области существования заданных типов выходных сигналов задаются только аналитическими выражениями. Например, для случая пятиуровневого квантования в прямом коде условия существования циклов периода 1x1 имеют вид

к,а + кф + 4с > <рп к,а + кф + 2с > (р„ <р_, < к^а + кф < </>! к^а + кф — 2 с < к,а + кф - 4с < (р и

Здесь Л, и кг принимают значения из [-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4], (р_„=-15, ф, =-05, Ф, = 0 5, ф„ = 1 5 - границы перехода между различным! зонами функции нелинейности

Для случая произвольного числа уровней квантования необходимо рассматривать 4 типа нелинейности сумматора Следует отметить, что при представлении чисел в прямом коде число уровней квантования нечетное, а в случае использования дополнительного кода - четное

При произвольном числе уровней квантования и округлении в прямом коде условия возникновения на выходе фильтра ДПЦ периода 1x0 имеют вид

к1а+к2Ь + к3с>(?// (р_, < кгЬ + к3с < ф, -к1а-к,Ь-к3с< ф_„,

где кг, к3 принимают значения из [1,2, ЛГ], а ф, - границы перехода между зонами различных значений функции нелинейности Для ДПЦ с периодом 0x1 остается справедливым данный набор неравенств, с учетом переобозначения Это свойство является следствием симметричности коэффициентов а и Ь в уравнении (1) относительно переменных тип

Область, соответствующая циклам периода 1x1, определяется условиями

■ ф_, < к^а + к2Ь < ф, -кр-кгЬ-кгс< ф.„

Следует отметить, что при существовании на выходе фильтра циклов большого уровня отсчеты выходного сигнала могут принимать только значения ± Л' и 0

Набор плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области, соответствующие различным типам выходных сигналов, задается выражением

кха + кгЬ + к3с = фt

Здесь к,, кг и кг принимают значения из \_-N-N +1, ,-1,0,1, N-I, Щ, а А4 принимает значения из [—Л^,—N +1, ,—1,1, N -1, ТУ]

Схожим образом задаются аналитические выражения для случаев усечения в прямом коде, а также округления и усечения в дополнительном коде

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ РАБОТ

1 Брюханов Ю А , Лебедев М В , Приоров A Л, Рудых Д В Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами // Изв вузов Радиофизика 2006 Т 49, №7 С 635-642

2 Лебедев М В Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с тремя уровнями квантования // Докл 9-ой межд конф «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2007) Москва, 2007 Т 2, С 502-505

3 Рудых Д В, Лебедев М В, Приоров А Л, Балусов И Л Двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого и второго порядков с нелинейным сумматором // Тр VIII межд научн -техн конф «Радиолокация, навигация и связь» Воронеж, 2002 Т 1,С 387-398

4 Rudykh D V , Lebedev М V , Kryashchev V V , Priorov A L Investigation of the two-dimensional first-order recursive digital filters with saturation nonlinearity // Proc of the 11-th Workshop on «Nonlinear Dynamics of Eletromc Systems» (NDES'2003) Switzerland, 2003 P 213-216

5 Rudykh D V , Lebedev M V , Pnorov A L Limit cycles in autonomous two-dimensional first order recursive digital filters with nonlinear adder without quantization U Proc of the I2th Int Workshop on «Nonlinear Dynamics of Eletromc Systems» (NDES'2004) Portugal, 2004 P 292-295

6 Rudyh D V , Lebedev M V , Priorov A L, Malkova T V Limit cycles in autonomous two-dimensional first order recursive digital filters II Proc of Int Scientific Conf «Informatics, Mathematical Modelling and Design in the Technics, Controlling and Education» (IMMD'2004) 2004 С 164-167

7 Рудых Д В , Лебедев М В , Приоров А Л , Балусов И Л Шумы квантования арифметических операций на выходе двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка // Тр X межд науч -техн конф «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж, 2004 Т 1,С 197-209

8 Рудых Д В, Лебедев М В, Приоров А Л Исследование автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с нелинейностью насыщение и заданным числом уровней квантования // Тр LVII науч сессии, посвященной Дню радио Москва, 2003 Т 1, С 172-174

9 Рудых Д В, Приоров А Л, Лебедев М В Исследование областей существования двумерных предельных циклов в двумерном рекурсивном цифровом фильтре первою порядка для случая произвольного числа уровней квантования // Докл 5-й межд конф «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2003) Москва, 2003 Т 1,С 81-83

10 Рудых Д В , Приоров А Л, Лебедев М В Колебания в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах первого порядка с бинарным квантованием // Докл 8-й межд конф «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2006) Москва, 2006 Т 2, С 607-610

11 Лебедев M В., Рудых Д В, Балуеов И.Л Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка // Сб. науч тр молодых ученых, аспирантов и студентов Вып 4 Ярославль, 2003 С 141-148

12 Рудых Д В, Лебедев M В Предельные циклы в двумерном рекурсивном цифровом фильтре первого порядка для случая бинарного квантования // Сб науч тр молодых ученых, аспирантов и студентов Вып 4 Ярославль, 2003 С 149-156

13 Рудых Д В , Лебедев M В Свободные колебания в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с бинарным квантованием // Тр ХП межд науч -техн конф «Радиолокация, навигация и связь» Воронеж, 2006 С 211-220

14 Рудых Д В, Лебедев M В Колебания в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах первого порядка с бинарным квантованием // Сб науч тр молодых ученых, аспирантов и студентов Вып № 5 Ярославль, 2005 С 259-267

15 Рудых Д В , Приоров А Л , Лебедев M В Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с эффектами конечной разрядности // Матер IV всерос науч конф, посвященной 200-летию Ярославско1 о государственного университета им П Г Демидова Яросл гос ун-т Ярославль, 2003 С 107-111

16 Лебедев M В, Балуеов И Л, Рудых Д В Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с бинарным квантованием и постоянным внешним воздействием // Сб науч тр молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып № 5 Ярославль, 2005 С 178-186

Подписано в печать 27 04 07 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,5 Тираж 100 экз

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул Советская, 14

Введение

1. Исследование статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с учетом эффектов квантования

1.1. Исходные положения

1.2. Квантование результатов сложения

1.3. Квантование результатов умножения

1.4. Краткие выводы

2. Исследование нелинейных эффектов в автономных двумерных рекурсивных фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами

2.1. Исходные положения

2.2. Динамические процессы в фильтрах с бинарным квантованием

2.3. Динамика фильтра с трехуровневым квантованием в прямом коде

2.3.1. Фильтр с округлением

2.3.2. Фильтр с усечением

2.4. Динамика фильтра с четырехуровневым квантованием в дополнительном коде

2.4.1. Фильтр с округлением

2.4.2. Фильтр с усечением

2.5. Динамика фильтра с пятиуровневым квантованием в прямом коде

2.5.1. Фильтр с округлением

2.5.2. Фильтр с усечением

2.6. Динамические процессы в фильтрах с произвольным числом уровней квантования

2.6.1. Фильтр с округлением в прямом коде

2.6.2. Фильтр с усечением в прямом коде

2.6.3. Фильтр с округлением в дополнительном коде

2.6.4. Фильтр с усечением в дополнительном коде 99 2.7. Краткие выводы

3. Исследование нелинейных эффектов в неавтономных двумерных рекурсивных фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами при единичном входном воздействии

3.1. Исходные положения

3.2. Реакция фильтра с бинарным квантованием

3.3. Реакция фильтра с трехуровневым квантованием в прямом коде

3.3.1. Фильтр с округлением

3.3.2. Фильтр с усечением

3.4. Реакция фильтра с четырехуровневым квантованием в дополнительном коде

3.4.1. Фильтр с округлением

3.4.2. Фильтр с усечением

3.5. Реакция фильтра с пятиуровневым квантованием в прямом коде

3.5.1. Фильтр с округлением

3.5.2. Фильтр с усечением

3.6. Реакция фильтра с произвольным числом уровней квантования

3.6.1. Фильтр с округлением в прямом коде

3.6.2. Фильтр с усечением в прямом коде

3.6.3. Фильтр с округлением в дополнительном коде

3.6.4. Фильтр с усечением в дополнительном коде

3.7. Краткие выводы 155 Заключение 157 Список литературы

В самых различных областях науки и техники все чаще возникают задачи, связанные с обработкой изображений. Важные практические задачи, примерами которых может служить обработка радио-и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, статических и динамических изображений (цифровое телевидение, цифровое видео) стимулируют активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов. Развитие этой теории обусловлено несколькими причинами: высокая эффективность цифровых методов позволяет лучше обрабатывать и анализировать сигналы; при ее применении появляется большая гибкость, имеется возможность использовать все более совершенные вычислительные средства. Методы цифровой обработки сигналов не только заменяют классические аналоговые методы во многих традиционных областях науки и техники, но и применяются во многих новых областях.

Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р., Джури Э. и др. [1-6]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: Цыпкина ЯЗ., Трахтмана A.M., Ланнэ A.A., Карташева В.Г,, Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [7-33].

Цифровые ЭВМ и цифровые процессоры стали составной частью систем цифровой обработки сигналов. Процесс проектирования и отладки устройств цифровой обработки сигналов может быть проведен на универсальной ЭВМ с последующей реализацией данного устройства в виде специализированной интегральной микросхемы с соответствующим программным обеспечением. Стоимость процессоров цифровой обработки сигналов постоянно снижается, а быстродействие растет, что способствует внедрению цифровой обработки в те области, где еще недавно это считалось нецелесообразным. Хорошим примером в данном случае может служить бытовая техника.

При обработке изображений, которые можно рассматривать, как частный случай многомерных сигналов, цифровые методы также приобрели первостепенное значение. В различных областях науки и техники имеется множество задач, связанных с обработкой изображений. Это, например, анализ и интерпретация аэрофотоснимков и космических снимков Земли в метеорологии, астрономии, исследовании природных ресурсов; анализ оптических, рентгеновских, тепловых, радиографических и других изображений в медицинской диагностике, промышленной дефектоскопии, научных исследованиях; анализ изображений и полей, зарегистрированных методами оптической, радио- и акустической голографии и т.д. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича A.B. [3438].

Из всех методов, используемых при цифровой обработке сигналов, одним из важнейших является цифровая фильтрация. Этот факт объясняется следующими причинами: наличием эффективных и относительно простых методов построения цифровых фильтров; прогрессом в области технологии микросхем с высокой и сверхвысокой степенью интеграции; успехами в части разработки технических средств и программного обеспечения.

Несмотря на указанные достоинства, в цифровых системах при обработке сигналов возникает ряд ошибок, связанных с представлением чисел конечным числом разрядов. Цифровые фильтры оперируют с цифровыми сигналами, которые отличаются от дискретных сигналов наличием квантования мгновенных значений, т.е. значения сигнала представляются конечным числом двоичных разрядов. Коэффициенты цифрового фильтра также представляются конечным числом двоичных разрядов, что тоже влияет на точность выходного сигнала. Таким образом, это обуславливает необходимость введения некоторого ограничения по точности представления выборок сигнала. Кроме того, ввиду конечной разрядности регистров сумматора в цифровом фильтре квантуются и результаты арифметических операций. Такого рода эффекты называются эффектами конечной разрядности. Эти ошибки помимо погрешностей в выходном сигнале могут приводить к потере устойчивости системы, появлению паразитных сигналов на выходе цифровой системы при отсутствии входного сигнала и другим негативным явлениям [1-4,42,44,46].

Исследование эффектов конечной разрядности производится двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования и детерминированной модели ошибки квантования. Выбор подхода зависит от цели исследований. Статистический подход гораздо проще детерминированного. С его помощью можно определить средний уровень шума квантования на выходе системы и его мощность. Недостатком статистического подхода является определенная жесткость исходных требований для его применения, что не всегда выполняется на практике [21].

Детерминированный подход сложнее статистического, но он используется в тех случаях, когда неприменима статистическая модель. В рамках детерминированного подхода также возможно использование статистических свойств системы.

В области цифровой фильтрации следует отметить работы зарубежных и отечественных авторов: Кайзера Д., Каппелини В., Константинидиса А., Эмилиани П., Хэмминга Р., Антонью А., Ланнэ A.A., Гольденберга Л.М., Левчука Ю.П., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А., Мингазина А.Т., Тяжева А.И. и др. [4, 10-54].

В настоящее время быстро развивается теория многомерных цифровых сигналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация. Здесь обработке подвергаются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например, массивов, полученных после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Разработка этой теории стимулируется важными практическими задачами, к которым относятся, например, обработка радио-и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, обработка изображений и сигналов в телекоммуникационных системах, в космонавтике, ядерной физике, медицине и т.д.

Значительный вклад в развитие многомерных цифровых сигналов и систем внесли зарубежные ученые Хуанг Т., Шэнкс Д., Даджион Д., Мерсеро Р., Боуз Т., Фахми М., Митра С., Мария Г. и многие другие [55-63]. Вместе с тем определенный вклад сделан и отечественными авторами, среди которых можно выделить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В.Г., Чобану М.К. и их школы [64-66]. Определенный вклад в развитие двумерных цифровых систем внесен и сотрудниками Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова (ЯрГУ) [67-84].

В области двумерной цифровой фильтрации за последние три десятилетия проведены значительные исследования. Разработаны методы синтеза двумерных цифровых фильтров рекурсивного и нерекурсивного типов, создан аппарат исследования устойчивости таких фильтров (в рекурсивном случае), найдены алгоритмы их эффективной реализации [5567,69-89,97-99].

Задачу реализации двумерных цифровых фильтров часто решают в пространстве состояний [54,60-61]. Данный метод ранее применялся в основном только для одномерных систем, и использование накопленного материала для реализации двумерных систем позволило получить ряд преимуществ по сравнению с другими методами реализации. Наиболее часто в пространстве состояний рассматриваются модель Россера, а также первая и вторая модели Форназини-Маркезини [63]. Для исследования устойчивости фильтров, реализованных в пространстве состояний, часто применяют критерий Ляпунова [61].

Вместе с тем, в двумерных цифровых фильтрах недостаточно изученными являются нелинейные эффекты и эффекты квантования арифметических операций, обусловленные нелинейностью сумматора и нелинейностью квантователя соответственно [56-61].

Объектом исследования в настоящей работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка. Указанные фильтры, в смысле вычислительных затрат на их реализацию, наиболее эффективны, что делает их особенно привлекательными при работе систем в реальном или близком к реальному масштабах времени. Вместе с тем, двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка исследованы недостаточно. Особенно это касается эффектов конечной разрядности в них, поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Цель исследования

Целью диссертационной работы является исследование нелинейных явлений, обусловленных эффектами переполнения и квантования в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- Исследование статистических характеристик шума квантования арифметических операций на выходе фильтра при использовании различных способов квантования и представления чисел;

- разработка методики анализа нелинейных колебаний в автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным видом начальных условий;

- анализ свойств фильтра с двух-, трех-, четырех- и пятиуровневым квантованием, с дальнейшим обобщением на случай произвольного числа уровней квантования;

- разработка методики анализа нелинейных колебаний в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка при постоянном внешнем воздействии с произвольным видом начальных условий;

- исследование реакции фильтра с малым числом уровней квантования на постоянное единичное входное воздействие с дальнейшим обобщением на случай произвольного числа уровней квантования;

- создание программного комплекса для подтверждения результатов расчетов.

Достоверность полученных научных результатов

Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.

Научная новизна

Разработана методика анализа нелинейных колебаний в автономных и неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами с произвольным видом начальных условий и произвольным количеством уровней квантования;

- исследованы нелинейные свойства таких фильтров с учетом эффектов переполнения и квантования;

- получено разбиение пространства параметров фильтра на области, соответствующие различным типам сигналов на выходе системы для малого числа уровней квантования и произвольного вида начальных условий;

- создан программный комплекс для подтверждения результатов исследования.

Практическая ценность

Исследование эффектов конечной разрядности важно при технической реализации двумерных фильтров, особенно в случае использования их для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени. С помощью полученных статистических характеристик исследованной системы можно оценить мощность и дисперсию шума квантования на выходе фильтра и выбрать при проектировании аппаратной или программной реализации параметры фильтра в соответствии с желаемыми результатами.

Предлагаемая методика помогает прогнозировать нелинейные эффекты, возникающие в автономных и неавтономных фильтрах при квантовании и переполнении. Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации.

Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, условий возникновения в них двумерных предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая нежелательных эффектов переполнения и квантования. Использовать их в качестве автогенераторов двумерных цифровых сигналов с определенными свойствами, а также служить базой для реализации на их основе более сложных многомерных цифровых устройств.

Часть результатов диссертационной работы использована при реализации программно-алгоритмического продукта цифровой обработки изображений "РюЫаЬ", который уже несколько лет используется как в научной, так и в учебной деятельности в ЯрГУ и Санкт-Петербургском университете телекоммуникаций им. М.А. Бонч-Бруевича. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

- Разработка методики анализа нелинейных колебаний в автономных и неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным типом начальных условий.

- Анализ свойств фильтра с двух-, трех-, четырех- и пятиуровневым квантованием.

- Разбиение пространства параметров фильтра на характерные зоны, соответствующие различным типам фильтров при малом количестве уровней квантования.

- Обобщение результатов на случай произвольного числа уровней квантования.

- Разбиение пространства параметров фильтров с малым количеством уровней квантования на области, соответствующие определенным двумерным предельным циклам.

Апробация

Результаты работы обсуждались на следующих научных и научно-технических семинарах и конференциях:

4-я - 7-я международные конференции и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва, 2002-2005.

10-я международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь", Воронеж, 2004.

ЫУ, ЬУТ-ЬУШ научные сессии, посвященные Дню радио, Москва, 2002-2005.

Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии», Москва, 2005.

Научно-техническом семинаре «Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания», Самара, 2005.

11

5-я - 7-я всероссийские научно-технические конференции "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем". Чебоксары, 2003- 2005.

1-st - 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. St. Petersburg, 2002. Moscow, 2004.

The 11 -th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Scuol/Schuls Switzerland, 2003.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 научных работах, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК («Известия вузов. Радиофизика»), 4 статьи в сборниках научных трудов и 11 докладов на всероссийских и международных научных конференциях.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, трех приложений, заключения, списка литературы, содержащего 99 наименований. Основное содержание работы изложено на 169 страницах машинописного текста, в ней содержится 86 рисунков и 11 таблиц.

Заключение

1. Исследована статистическая модель эффектов квантования двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами.

2. Разработана методика анализа нелинейных колебаний в автономных фильтрах с произвольным видом начальных условий.

3. Для случая двухуровневого квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на зоны, соответствующие определенным видам колебаний на выходе фильтра. В пространстве коэффициентов фильтра получены области существования конкретных типов предельных циклов. Методами анализа и компьютерным моделированием определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов.

4. Установлено, что при трехуровневом квантовании и нелинейности сумматора типа насыщение с округлением и усечением результатов сложения в прямом коде бифуркационные диаграммы системы похожи, что обуславливается видом характеристики сумматора. Разница состоит в том, что пространство параметров системы при усечении делится плоскостями, сдвинутыми относительно начала координат в два раза дальше, чем при округлении.

5. Несимметричность характеристики квантователя при использовании дополнительного кода приводит к тому, что границы разбиения пространства параметров сдвигаются относительно начала координат и усложняется разбиение. Установлены зависимости возможных колебаний на выходе фильтра от величины параметра с. Несмотря на относительную простоту модели фильтра, некоторые результаты, полученные для бинарного и трехуровневого квантования, являются основой для обобщения на случаи начальных условий общего вида и произвольного числа уровней квантования.

6. Для случаев четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие определенным типам движений на выходе фильтра. Найдена область, соответствующая режиму фильтрации системы. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Показан пример нахождения области в пространстве коэффициентов, соответствующей заданному типу выходных движений. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

7. Проведено обобщение полученных результатов на случаи произвольных начальных условий и произвольного числа уровней квантования. Найдены аналитические условия на параметры системы, описывающие уравнения плоскостей, разделяющих бифуркационный портрет на области, соответствующие различным типам выходных движений.

8. Разработана методика анализа эффектов квантования и переполнения в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным видом начальных условий при постоянном внешнем воздействии.

9. Для случая двухуровневого квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра. Установлено, что внешнее воздействие увеличивает количество возможных видов сигналов, усложняя разбиение пространства параметров системы.

10. Установлено, что при трехуровневом квантовании и нелинейности сумматора типа насыщение с округлением и усечением результатов сложения в прямом коде бифуркационные диаграммы системы похожи, а так же пропорционально значению внешнего воздействия происходит увеличение количества и объем областей, соответствующих различным выходным движениям.

11. Несимметричность характеристики квантователя при использовании дополнительного кода приводит к тому, что границы разбиения пространства параметров сдвигаются относительно начала координат и усложняется разбиение.

12. Для случаев четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие определенным типам движений на выходе фильтра. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов.

13. Проведено обобщение полученных результатов на случаи произвольных начальных условий и произвольного числа уровней квантования.

14. Установлено, что постоянное внешнее воздействие усложняет разбиение пространства параметров системы, увеличивая количество различных видов выходных движений. По сравнению с автономным случаем, добавляются новые виды выходных сигналов. Области существования двумерных предельных циклов сужаются и смещаются от начала координат пропорционально значению внешнего воздействия.

15. Разработан программный комплекс для подтверждения результатов исследования.

16. Результаты расчетов подтверждены компьютерным моделированием на базе программного комплекса.

1. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

3. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

4. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

5. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

6. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1978.-299 с.

7. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

8. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 560 с.

9. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

10. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. М.: Высшая школа, 1982. - 109 с.

11. Ланнэ A.A. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.-336 с.

12. Ланнэ A.A. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация, идентификация. Л.: ВАС, 1985. - 240 с.

13. Гольденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1974.- 160 с.

14. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л.М. Гольденберга. М.: Радио и связь, 1982. - 224 с.1АП

15. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

16. Гольденберг JI.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

17. Витязев В.В. Новое в цифровой обработке сигналов // Там же. 1998. № 10. С. 48-52.

18. Витязев В.В., Бодров К.А., Иванов С.В. Адаптивная многоскоростная фильтрация узкополосных процессов // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 155160.

19. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. -240 с.

20. Витязев В.В., Соловьев А.Н. Цифровые процессоры обработки сигналов и их применение в технике связи // Электросвязь, 1994. № 5. С. 37-42.

21. Брюханов Ю.А. Управление динамическим режимом колебательных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1994. - 400 с.

22. Брюханов Ю.А. Вынужденные колебания и частотные свойства цифрового линейного осциллятора // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1994. №9. С. 46-50.

23. Брюханов Ю.А. Частотные свойства цифровых цепей первого порядка //Там же. 1996. №11. С. 37-41.

24. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения // Радиотехника и электроника, 2001. Т46. № 3. С. 320-323.

25. Брюханов Ю.А. Частотные свойства нерекурсивных цифровых цепей второго порядка//Радиотехника, 1997. № 12. С. 75-78.

26. Брюханов. Ю.А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения // Изв. вузов. Радиофизика, 2000. Т 43. № 1. С. 59-65.

27. Брюханов Ю.А. Частотные свойства рекурсивных цифровых цепей второго порядка // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42. №7. С. 836-838.

28. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в цифровых рекурсивных фильтрах второго порядка с пилообразной нелинейностью //Там же. №5. С. 581-587.

29. Брюханов. Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине // Изв. вузов. Приклад, нелин. динамика, 2002. Т. 10. №6. С.35-41.

30. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине после сложения // Радиотехника и электроника, 2003. Т. 48. №5. С. 565-570.

31. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по модулю результатов сложения // Радиотехника и электроника, 2002. Т.47. №10. С. 1208-1211.

32. Брюханов Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с округлением // Изв. вузов. Радиофизика, 2003. Т. 46. №11. С. 990-997.

33. Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием. Изв. вузов. Радиофизика, 2001. Т. 44. №11. С. 976-983.

34. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

35. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Т. 1, Т. 2. М.: Мир, 1982.

36. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений// В.П. Дворкович, A.B. Дворкович, Ю.Б.Зубарев и др.; Под редакцией Ю.Б. Зубарева и A.B. Дворковича. М.: МЦНТИ. 1997.-216 с.

37. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений// В.П. Дворкович, A.B. Дворкович, Ю.Б.Зубарев и др.; Под редакцией

38. Ю.Б. Зубарева и A.B. Дворковича. Изд. Второе, перераб. И доп. М.: HAT. 1997.-256 с.

39. Зубарев Ю.Б., Кривошеее М.И., Красносельский И.Н. Цифровое телевизионное вещание. Основы, методы, системы. М.: Науч.-исслед. институт радио (НИИР), 2001. - 568 с.

40. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980.-224 с.

41. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

42. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров в задачах синтеза цифровых КИХ-фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Там же. С. 162-166.

43. Мингазин А.Т. Синтез и анализ цифровых фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. T. I. С. 85-88.

44. Мингазин А.Т. Начальные приближения для синтеза цифровых фильтров с минимальной длиной коэффициентов // Электронная техника. Сер. 10, 1983. № 6. С. 3-8.

45. Мингазин А.Т., Зорич A.A. Минимизация шума округления каскадных рекурсивных цифровых фильтров. // Электронная техника, Сер. 10, 1992. №1-2. С. 37-43.

46. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров при синтезе рекурсивных цифровых фильтров. // Там же, 1989. № U.C. 53-54.

47. Мингазин А.Т. Синтез рекурсивных цифровых фильтров при ограниченной разрядности коэффициентов. // Электросвязь, 1987. № 9. С. 58-62.

48. Мингазин А.Т. Синтез передаточных функций цифровых фильтров в области дискретных значений коэффициентов (обзор). // Там же, 1993. № 1-2. С. 3-35.

49. Мингазин А.Т. Синтез каскадных цифровых фильтров с минимальным числом сумматоров в блоках умножения // Там же. С. 122-125.

50. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров с малоразрядными коэффициентами при дополнительных требованиях к виду передаточной функции // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1998. № 2. С. 48-52.

51. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров на основе фазовых цепей с конечной длиной слова коэффициентов. // Докл. 2-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1999. Т. I. С. 112-116.

52. Мингазин А.Т. Распределенная арифметика и мультиплексирование в цифровом фильтре второго порядка с описанием в пространстве состояний. // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. I. С. 158-160.

53. Тяжев А.И. Расчет рекурсивного цифрового фильтра второго порядка // Радиотехника, 1990. № 4. С. 94-96.

54. Тяжев А.И. Борьба с предельными циклами в рекурсивных цифровых фильтрах // Там же. № 10. С. 34-37.

55. Бондарев Б.Г., Пушкарев Ю.А. Определение переходных процессов в цифровых фильтрах методом пространства состояний // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1987. Т. 30. № 7. С. 85-87.

56. Mitra S., Sagar A., Pendergrass N. Realizations of two-dimensional recursive digital filters // IEEE Trans. Circuits Syst. V. CAS-22, mar. 1975. P. 177-184.

57. Dudgeon D., Mersereau R., Merser R., Multidimensional Digital Signal Processing. , 1995.-408 p.

58. Maria G., Fahmy M.; Limit cycle oscillations in first-order two-dimensional digital filters // Там же. P. 246-251.

59. Chang T. Limit cycles in a two-dimensional first-order digital filter // Там же. V. CAS-24, jan. 1977. P. 15-19.

60. Mertzios В. On the roundoff noise in 2-D state-space digital filtering // Там же. V. CAS-32, feb. 1985. P. 201-204.

61. El-Agizi N., Fahmy M. Sufficient conditions for the nonexistence of limit cycles in two-dimensional digital filters // Там же. V. CAS-26, june 1979. P. 402-406.

62. Lu W.-S. Order reduction of 2-D FIR filters with applications // Там же. V. CASII-44, dec. 1997. P. 1055-1058.

63. Bose T. Stability of the 2-D state-space system with overflow and quantization // Там же. V. CASII-42, june 1995. P. 432-434.

64. Krzysztof G. The Fornasini-Marchesini and the Roesser Model: Algebraic Methods for Recasting // IEEE Trans. Autom. Contr. V. 41. N. 1, jan. 1996. P.107-112.

65. Миронов В.Г., Чобану М.К. Проблемы синтеза многомерных цифровых фильтров // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 12-18.

66. Миронов В.Г., Чобану М.К. Проектирование двумерных цифровых фильтров с малой чувствительностью к ошибкам квантования и округления // Там же. С. 24-31.

67. Чобану М.К. Применение полиномов Бернштейна для синтеза многомерных многоскоростных систем // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. II. С. 306-308.

68. Приоров А.Л., Ганин А.Н., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений: Учеб. пособие. Ярославль. Яросл. гос. ун-т, 2001.- 218 с.

69. Приоров A.JL, Тарасов B.JI. Исследование двумерных рекурсивных цифровых ФНЧ и ФВЧ второго порядка // Докл. науч.-техн. конф. "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация". Воронеж, 1997. С. 1006-1010.

70. Приоров A.JT. Двумерные цифровые сигналы и системы: Учеб. пособие. Ярославль. Яросл. гос. ун-т, 2000. 168 с.

71. Брюханов Ю.А., Приоров A.JL, Мясников Е.А., Калинин С.А. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем первого порядка // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1995. №4. С. 26-30.

72. Priorov A.L., Lukashevich Y.A., Image Processing Based on Two-Dimensional First Order Digital Filters // Proc. of the 1-st IEEE Internat. Conf. on Circuits and Systems for Communications. St. Petersburg, 2002. P. 130-133.

73. Балусов И.JI., Калинин С.А., Приоров А.Л. Исследование частотных свойств двумерного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами // Там же. С. 999-1005.

74. Лукашевич Ю.А., Судаков A.A., Приоров А.Л. Синтез двумерных цифровых фильтров с использованием линии среза // Там же. Т. 2. С. 297-300.

75. Приоров А.Л. Лукашевич Ю.А. Применение двумерных цифровых фильтров первого порядка для обработки изображений // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. Т. 2. С. 295-297.

76. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной области // Матер. 1-й межд. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. 3. С. 213-220.

77. Лебедев М.В. Преобразование сигналов с помощью двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка // Докл. 7-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2005. Т. 2. С. 467-471.

78. Elagin A., Priorov A. Quantisation effects in 2-d first-order recursive digital filters // Proc. of the 2000 Internat. Symp. of Nonlinear Theory and its Applications. NOLTA 2000. Dresden, 2000. V.l. P. 185-188.

79. Волков Д.Б., Приоров А.Л., Елагин А.А. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с двухуровневым квантованием // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. 3. С. 58-60.

80. Лебедев M.B., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка с постоянным внешним воздействием. // Тр. межд. науч.-техн. конф. «Информационные средства и технологии» М. 2005 Т. 1, С. 123-126.

81. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л. Предельные циклы в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с тремя уровнями квантования // Труды международной науч.-техн. конф. «Информационные средства и технологии» М. 2005 Т. 1, С. 139-142.

82. Liu D., Mitchel A. Stability analysis of state-space realizations for two-dimensional filters with overflow nonlinearities // IEEE Trans, on circuts and systems-I: fundamental theory and applications. 1994. V. 41, № 2. P. 127-137.

83. Tzafestas S., Kanellakis A., Theodorou N. Two-dimensional digital filters without verflow oscillations and instability due to finite word length // Там же. N. 9, sep. 1992. P. 2311-2317.

84. Bose Т., Trautman D. Two's compliment quantizations in two-dimensional state-space digital filters // Там же. 1992. V. 40, № 10. P. 2589-2592.

85. El-Agizi N., Fahmy M. Two-dimensional digital filters with no overflow oscillations // IEEE Trans, on acoustic, speech and signal processing. V. ASSP-27. N. 5, oct. 1979. P. 465-469.

86. Werter M. J. Suppression of limit cycles in the first-order two-dimensional direct form digital filter with a controlled rounding arithmetic // IEEE Trans, on signal processing. V. 40. N. 6, june 1992. P. 1599-1601.

87. Burns W., Yao S., Cliping Noise Loss in the One-Bit Autocorrelation Spectral Line Receiver//Radio Sci. V. 4, 1969. P. 431-436.

88. Cooper B. Correlations with Two-Bit Quantization // Aust. J. Phys., V. 23, 1970. P. 521-527.

89. D'Addario, L., Thompson A., Schwab F. and Granlund J. Complex Cross Correlators with Three-Level Quantization Design Tolerances // Radio Sci. V. 19, 1984. P. 931-945.

90. Kulkarni, S.R., Heiles C. How to Obtain the True Correlation From a Three-Level Digital Correlator//Astron. J. V. 85, 1980. P. 1413-1420.

91. Thompson A.R., Moran J.M., Swenson Jr. G.W. Interferometry and Synthesis in Radio Astronomy. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley and Sons. New York, 1986. - 568 p.

92. Морозов В. А., Хаджи Б. А. О выборе наилучшей группы кодированных ортогональных сигналов в канале множественного доступа при двухуровневом квантовании // Радиотехника и электроника, 2002. Т. 47. № 10. С. 1212-1218.

93. Ogorzalek M. Complex behavior in digital filters // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992. V. 2. N. l.P. 11-29.

94. Лебедев М.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с тремя уровнями квантования // Докл. 9-ой межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2007). Москва, 2007. Т. 2, С. 502-505.

95. Брюханов Ю.А., Лебедев М.В., Приоров А.Л., Рудых Д.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 7. С. 635-642.