автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка

На правах рукописи

Рудых Дмитрий Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ И ПЕРЕПОЛНЕНИЯ В ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Специальность 05.12.04 Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре динамики электронных систем Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Брюханов Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Витязев Владимир Викторович кандидат технических наук Джиган Виктор Иванович

Ведущая организация

Научно-исследовательский институт радио (НИИР)

Защита диссертации состоится 12 октября 2006 г. на заседании диссертационного совета К451.001.01 при ЗАО "Московский научно-исследовательский телевизионный институт"(МНИТИ) по адресу: 105094, г. Москва, ул. Гольяновская, д. 7а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЗАО МНИТИ

Автореферат разослан « 11» сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук

К.П. Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Методы цифровой обработки сигналов и изображений приобретают всё большую важность. Они не только заменяют классические аналоговые методы во многих традиционных направлениях науки и техники, но и применяются во многих новых областях. Наиболее значимыми причинами развития цифровой обработки сигналов являются: быстрота и эффективность при обработке сигналов и изображений, гибкость и точность при решении самых разнообразных задач, постоянно растущая вычислительная мощность ЭВМ, используемых для обработки.

В настоящее время стремительно развивается теория многомерных цифровых сигналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация. С её помощью обрабатываются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например, массивов, полученных после дискретизации изображений, или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Разработка этой теории стимулируется важными практическими задачами, примерами которых может служить обработка радио- и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, статических и динамических изображений, сигналов в телекоммуникационных системах и т.д.

В этой области значительные исследования выполнили зарубежные ученые Хуанг Т., Шэнкс Д., Даджион Д., Мерсеро Р., Боуз Т., Фахми М., Митра С., Мария Г. и многие другие. Вместе с тем определенный вклад был сделан и отечественными авторами, среди которых можно выделить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В.Г. и Чобану М.К.

В области цифровой обработки изображений, тесно связанной с многомерной цифровой обработкой сигналов, наиболее известными являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича A.B.

Объектом исследования в настоящей работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого порядка. Низкая вычислительная сложность и простота реализации делают данные фильтры особенно привлекательными при проектировании систем, работающих в реальном или близком к реальному масштабах времени.

Несмотря на это, двумерные рекурсивные цифровые фильтры еще недостаточно исследованы. Особенно это касается нелинейных эффектов, возникающих в них при квантовании и переполнении. В связи с этим, тема работы представляется достаточно полезной и актуальной.

Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Исследование статистической модели фильтра;

2. Разработка методики исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров.

3. Нахождение областей в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующих всем возможным типам выходных сигналов, для различного числа уровней квантования.

4. Анализ процессов в автономном и неавтономном рекурсивных цифровых фильтрах с нелинейным сумматором.

Методы исследования основаны на положениях теории многомерных цифровых сигналов и цепей, теории линейной алгебры, комбинаторном анализе, методах математической статистики.

Научная новизна работы:

1. Определен явный вид выражений для дисперсии и математического ожидания шума на выходе линейной статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка. > :

2. Предложена методика исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров малых порядков с учетом характеристики квантователя.

3. Проанализированы возможные типы выходных сигналов для автономных и неавтономных рекурсивных фильтров первого порядка.

4. Для различного числа уровней квантования получены разбиения пространства коэффициентов фильтров на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов.

На защиту выносятся:

1. Статистические характеристики шума на выходе фильтра для случаев квантования результатов сложения и умножения при использовании различных способов квантования и представления чисел.

2. Методика исследования эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах малых порядков.

3. Условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.

4. Типы и характеристики выходных сигналов в неавтономном двумерном фильтре для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.

5. Условия возникновения предельных циклов на выходе автономного фильтра и выходные колебания в неавтономном фильтре в случае произвольного числа уровней квантования. Уравнения границ областей, соответствующих циклам большого уровня.

Практическая ценность работы

Знание рассмотренных в диссертационной работе статистических свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка, позволяет оценить мощность шума квантования на их выходе и выбрать при проектировании и аппаратной или программной реализации фильтров их параметры в соответствии с желаемыми результатами последующей обработки.

Предлагаемая методика помогает прогнозировать нелинейные эффекты, возникающие в автономных и неавтономных фильтрах при квантовании и переполнении. Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации.

Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, условий возникновения в них двумерных предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы как для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая нежелательных эффектов переполнения, так и в качестве автогенераторов двумерных цифровых сигналов с определенными свойствами.

Исследование эффектов квантования и переполнения особенно важно при технической реализации двумерных цифровых фильтров, предназначенных для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы обсуждались на 4-й — 8-й Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (Москва, 2002-2006), VIII, X, XII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2002, 2004, 2006), 7-й Международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» (Харьков, 2001), IV Международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (Владимир-Суздаль, 2001), V, VI Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем»- (Чебоксары, 2003, 2005), V Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике" (Чебоксары, 2004), LVIII-LX Научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 2003-2005), llth-12th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (Scuol/Schuls Switzerland, 2003; Portugal, 2004), 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications (Moscow, 2004).

По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них 6 статей и 14 докладов в материалах всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Она содержит 156 страниц текста и 62 рисунка. Список литературы включает в себя 119 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи, изложены основные положения, выносимые на защиту, показаны научная новизна и практическая ценность диссертационной работы.

В первом разделе исследованы статистические характеристики шума на выходе двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с квантованием результатов сложения и умножения (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка с

квантованием

Для анализа статистических характеристик шума на выходе использованы статистическая модель ошибки квантования и явные выражения для импульсной h(m,n) и переходной g(m,n) характеристик

^--•^strlrHJ •

Влияние эффектов переполнения для данного случая не рассматривается.

При квантовании результатов сложения исследуемая система описывается выражением

х(т,п) = f{ax(m -1, л) + bx(m, п-\) + сх(т -l,n-l) + U (т, п)}, (1)

где /{ } - функция нелинейности квантователя. С учетом шума, вводимого в сумматор, оно принимает вид

х (т, п)=ах(т — \,п)+Ьх(т,п — 1) + сх(т-1,п—\) + и (т, п) + а (т, п),

где х{т,п) - аппроксимированный отсчет, связанный с точным отсчетом выражением

Ах(т,п) = х(т,п)-х(т,п).

Здесь Д х{т,п) - ошибка квантования арифметических операций на выходе фильтра, определяемая выражением

Д х(т, ri) = а А х(т -1, п.) + АД х(т, п — 1) + с А х(гп -1, n -1) + о.(>п,п).

Данное уравнение описывает линейную систему, на входе которой действует сигнал а(тп,п). Поскольку для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, то реакцию такой системы Ах(т,п) на входное воздействие а{т,п) можно получить через линейную свертку импульсной характеристики системы и входного воздействия.

Для случаев округления в прямом и дополнительном кодах и усечения в прямом коде установлено, что дисперсия шума квантования на выходе фильтра определяется согласно выражению

ti ab] |

где СТа - дисперсия шума квантования на входе.

Для случая усечения в дополнительном коде математическое ожидание шума квантования отлично от нуля и равно где ц — шаг квантования. Дисперсия

шума квантования арифметических операций на выходе фильтра определяется согласно выражению

где

\ / 4

Данное выражение характеризует мощность флуктуационной составляющей шума, т.е. мощность самого шума за вычетом мощности постоянной составляющей, амплитуда которой определяется математическим ожиданием шума. В данном случае математическое ожидание отлично от нуля, поэтому мощность шума и его дисперсия не совпадают по величине, а отличаются на постоянную составляющую в квадрате. Математическое ожидание шума квантования арифметических операций на выходе фильтра определяется следующим образом

Таким образом, дисперсия шума квантования на выходе двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка с квантованием результатов сложения для всех способов квантования и при всех кодах описывается одним и тем же выражением, связывающим дисперсии шума источника и выходного шума квантования.

Модель с квантованием результатов умножения учитывает только квантование произведений коэффициентов фильтра с соответствующими отсчетами и не учитывает квантование их суммы. Уравнение, описывающее работу рекурсивного цифрового фильтра первого порядка в этом случае, имеет вид

х(т, л) = /{ах(т -1, и)}+/{/и(т, п -1)}+/{сх(т -1,« -1)}+1/{т, п).

Выражение для ошибки квантования на выходе фильтра определяется следующим образом

Д х(т, п) = аД х(т -1, п) + М х{т, п — 1) + с А х(т -1, п -1) + + а, (т, п) + аг (т, п) + а3 (т, л).

Для случаев округления в прямом и дополнительном кодах и усечения в прямом коде мгновенная мощность шума на выходе фильтра имеет вид

(Ч |1-0 /=Ю к=0 1-0

Дисперсия шума квантования арифметических операций на выходе исследуемой модели задается выражением

Таким образом, в рамках сделанных предположений относительно внесенных шумов, дисперсия на выходе модели с квантованием результатов умножения в три раза превышает дисперсию на выходе модели с квантованием результатов сложения.

Для модели с усечением в дополнительном коде математическое ожидание шума непосредственно у источника отлично от нуля и равно С учетом

этого статистическое усреднение мгновенной мощности по пространству имеет вид

' ' о

где второе слагаемое характеризует постоянную составляющую шума квантования на выходе фильтра, т.е. математическое ожидание шума равно

■ гп„х=3тл (т,п)|„„__.

Таким образом, при усечении в дополнительном коде полная мощность шума квантования с учетом постоянной составляющей в модели с квантованием результатов умножения в три раза больше, чем для случая квантования результатов сложения. При этом дисперсия и математическое ожидание шума на выходе системы также увеличиваются в три раза.

Второй раздел посвящен исследованию нелинейных свойств автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтров. Для исследования фильтров с нелинейным сумматором и квантователем в большинстве случаев используется детерминированный подход. Суть подхода заключается в следующем. Область определения функции нелинейности разбивается на зоны с различными значениями этой функции. Затем путем последовательного перебора возможных переходов системы по этим зонам находятся ограничения на параметры фильтра, соответствующие определенным типам выходных сигналов. В результате пространство коэффициентов фильтра делится на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов.

Следует отметить, что любое начальное условие для двумерной системы первого порядка представляет собой две бесконечные последовательности (х(—1,п) и х(т,—1)), поэтому перебрать все возможные виды начальных условий при анализе выходных сигналов в такой системе нереально. В связи с этим, при исследовании

двумерных систем с произвольными начальными условиями предлагается находить только условия возникновения на выходе фильтра определенных типов выходных сигналов (каждому из них может соответствовать бесконечное число видов выходных сигналов), например, двумерных предельных циклов (ДПЦ). В этом случае при анализе свойств системы достаточно основываться только на определении типов выходных сигналов и аналитическом виде функции нелинейности.

С помощью предложенной методики найдены условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух уровней квантования. Характеристика сумматора фильтра с бинарным квантованием описывается функцией

Для данного случая на рис. 2 представлено разбиение пространства коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов при коэффициенте

Рис. 2. Разбиение пространства коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка с двумя уровнями квантования на области с различными типами выходных

сигналов (с = 0.25)

Здесь каждой области пространства коэффициентов фильтра соответствует определенный тип выходного сигнала, не зависящий от начальных условий и

с =0.25.

несовпадающий с типами сигналов в других областях. Оси координат а и Ь границами данных областей не являются. Границам областей соответствуют типы выходных сигналов, отличные от выходных сигналов в самих областях. Серым цветом выделены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Пунктиром выделена область устойчивости двумерного рекурсивного фильтра без квантования.

Для случая трехуровневого квантования и округления в прямом коде разбиение пространства коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка на области, соответствующие веем возможным типам выходных колебаний при коэффициенте с = 0.25, представлено на рис. 3.

Область существования циклов периода

циклов пеояода 0x2'

Рис. 3. Разбиение пространства коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка с тремя уровнями квантования и округлением в прямом коде (с = 0.25)

Заштрихованная область соответствует области устойчивости двумерного рекурсивного фильтра без квантования. Данные результаты останутся справедливыми и для случая усечения в прямом коде, если произвести преобразования

а'-2а, Ь'=2Ь, с'=2с,

где а', Ь' и с' - коэффициенты фильтра в случае усечения в прямом коде, а, Ь и с — в случае округления. Данное свойство объясняется схожим видом функций нелинейности.

Разбиение пространства коэффициентов двумерного фильтра для случаев большего числа уровней квантования имеет более сложный вид и не может бьггь наглядно представлено графически. В связи с этим, области существования заданных типов выходных сигналов задаются только аналитическими выражениями.

Например, для случая пятиуровневого квантования в прямом коде условия существования циклов периода 1x1 имеют вид

к,а + кгЬ + 2 с> <р„ к,а + к2Ь + с> ф„ • ср., < + кгЬ < ф, кА + кгЬ-с< ф_„ к,а + к2Ь~ 2с<ф_„.

Здесь и кг принимают значения из [-2, -1, 0, 1, 2], ф_„ = -1.5, Ф_, = -0.5, ф, = 0.5, Ф„ = 1.5 - границы перехода между различными зонами функции нелинейности.

Для случая произвольного числа уровней квантования следует рассматривать 4 типа нелинейности сумматора. Следует отметить, что при представлении чисел в прямом коде число уровней квантования нечетное, а в случае использования дополнительного кода — четное.

При произвольном числе уровней квантования и округлении в прямом коде условия возникновения на выходе фильтра ДПЦ периода 1x0 имеют вид

'к,а + кгЬ + к,с > ф„

• ф_, < кф + кгс < ф, -кр-к^Ь-к^-^ ф_„,

где ку, к,, кг принимают значения из [1, 2,...Щ, а <р. - границы перехода между зонами различных значений функции нелинейности. Для ДПЦ с периодом 0x1 остается справедливым данный набор неравенств, с учетом переобозначения а*г*Ь. Это свойство является следствием симметричности коэффициентов а и Ь в уравнении (1) относительно переменных тип.

Область, соответствующая циклам периода 1x1, определяется условиями

'к,а+к2Ь + к„с> ф„

• ф_, < к,а + кгЬ < ф,

— к^а - кгЬ - к}с < ф_„.

Следует отметить, что при существовании на выходе фильтра циклов большого уровня отсчеты выходного сигнала могут принимать только значения ± N и 0.

Набор плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области, соответствующие различным типам выходных сигналов, задается выражением

+ кгЬ + к,с = ф,4.

Здесь к,, к2 и к, принимают значения из [-Л',-Лг + 1,...,-1,0,а кА принимает значения из l-N,—N+

Схожим образом задаются аналитические выражения для случаев усечения в прямом коде, а также округления и усечения в дополнительном коде.

В третьем разделе исследованы нелинейные эффекты в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах. Найдены область режима фильтрации входного сигнала и области, соответствующие двумерным предельным циклам различных периодов. Для случая двухуровневого квантования при коэффициенте с = 0.25 разбиение пространства коэффициентов фильтра имеет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Разбиение пространства коэффициентов двумерного неавтономного рекурсивного

Разбиение пространства коэффициентов двумерного фильтра для случаев большего числа уровней квантования имеет более сложный вид и не может быть наглядно представлено графически. В связи с этим области существования определенных типов выходных колебаний, также как и для автономного случая, задаются только аналитическими выражениями.

Например, область, соответствующая режиму фильтрации системы с четырьмя уровнями квантования, округлением в дополнительном коде и единичным внешним воздействием, определяется выражением

Область существования циклов периода 0x1

Область существования циклов периода 1*0

Область существования циклов периода 0x2

цифрового фильтра с бинарным квантованием (с = 0.25)

'к^а + кгЬ + к3с + ].> 0.5 - 0.5 < к,а + кгЬ + к,с +1 < 0.5 -1.5 < к,а + кгЬ + кгс +1 < -0.5' *,а + £г& + £3с + 1<-1.5

где к,, к2, принимают значения из [-1, 0, 1].

При использовании округления в прямом коде область существования цикла периода 1x0 для случая произвольного числа уровней определяется условиями

к,а +к2Ь + кгс + кл> <рК ■ <р_, < к2Ь + к}с + к1 < (р, -кА-кгЬ-к,с + кА<*<р_ы,

где к2, к3, принимают значения из [1,2,...Л'], а ф(. - границы перехода между зонами различных значений функции нелинейности.

Для ДПЦ с периодом 0x1 остается справедливым полученный набор неравенств, с учетом переобозначения а<г*Ь. Для циклов периода 1x1 набор условий имеет вид

кла + к2Ь + к3с + к л><ры ■ ср_, < кха + к2Ь + кл < <р, - кха - к2Ь - + кл < <р_К,. .

где к,, к2, к3, кл принимают значения из [1,2,.../У]. Следует отметить, что отсчеты выходного сигнала при существовании на выходе фильтра цикла большого уровня могут принимать значения ± N и 0.

Набор плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области, соответствующие различным типам выходных сигналов, задается выражением

к,а + кгЬ + кгс + = ф45.

Здесь к,, к2, к2, к, принимают значения из [-ДО, - /У +1,...,-1,0,1,...ДГ — 1, ДО], а к, принимает значения из [-ДО, -ДО +1,...,-1,1,...ДО-1, ДО]. Аналогичным образом определяются аналитические условия для случаев усечения в прямом коде, а также округления и усечения в дополнительном коде.

В заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

1. Исследована статистическая модель двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка. Найдены выражения для математического ожидания и дисперсии шума на выходе фильтра. Рассмотрены случаи квантования результатов сложения и умножения при использовании различных способов квантования и представления чисел.

2. Установлено, что при квантовании результатов умножения дисперсия и математическое ожидание шума на выходе фильтра возрастают в три раза по сравнению со случаем квантования результатов сложения.

3. Разработана методика исследования эффектов квантования и переполнения в автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах малых порядков.

4. Для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие всем возможным типам сигналов на выходе автономного фильтра. Найдены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Показан пример нахождения области в пространстве коэффициентов, соответствующей заданному типу выходных сигналов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах при округлении и усечении результатов суммирования.

5. Для автономного фильтра проведено обобщение на случай произвольного числа уровней квантования. Получен общий вид уравнений плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов фильтра на области с различными типами выходных сигналов. Найдены области, соответствующие циклам большого уровня. Определены возможные значения отсчетов выходного сигнала при образовании данного типа циклов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

6. Представлена методика исследования эффектов квантования и переполнения в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

7. Для случая бинарного квантования получено разбиение пространства коэффициентов неавтономного двумерного фильтра. Найдены область, соответствующая режиму фильтрации и области, соответствующие предельным циклам различных периодов.

8. Для трех, четырех и пяти уровней квантования рассмотрен случай постоянного внешнего воздействия. Найдена область, соответствующая режиму фильтрации системы. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

9. Проведено обобщение на случай произвольного числа уровней квантования для неавтономного фильтра первого порядка. Получен общий вид уравнения плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области с различными типами выходных сигналов. Найдены области, соответствующие циклам большого уровня. Определены возможные значения отсчетов выходного сигнала при образовании данного типа циклов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ РАБОТ

1. Брюханов Ю.А., Лебедев М.В., Приоров АЛ., Рудых Д.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами И Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 7. С. 635-642.

2. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров A.JI., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого и второго порядков с нелинейным сумматором И Тр. VIII между нар. научн.-техн. конф. «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж, 2002. Т. 1, С. 387-398.

3. Rudykh D.V., Lebedev M.V., Kryashchev V.V., Priorov A.L. Investigation of the two-dimensional first-order recursive digital filters with saturation nonlinearity // Proc. of the 11-th Workshop on «Nonlinear Dynamics of Eletronic Systems» (NDES'2003). Switzerland, 2003. P. 213-216.

4. Рудых Д.В., Приоров А.Л., Малкова T.B. Исследование двумерной цифровой системы первого порядка с нелинейным сумматором // Докл. 6-й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва, 2004. Т. 2, С. 13-15.

5. Rudykh D.V., Lebedev M.V., Priorov A.L. Limit cycles in autonomous two-dimensional first order recursive digital filters with nonlinear adder without quantization // Proc. of the 12th Int. Workshop on «Nonlinear Dynamics of Eletronic Systems» (NDES'2004). Portugal, 2004. P. 292-295.

6. Рудых Д.В. Предельные циклы в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с тремя уровнями квантования // Докл. 7-й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2005). Москва, 2005. Т. 2, С. 471-474.

7. Rudyh D.V., Lebedev M.V., Priorov A.L., Malkova T.V. Limit cycles in autonomous two-dimensional first order recursive digital filters // Proc. of Int. Scientific Conf. «Informatics, Mathematical Modelling and Design in the Technics, Controlling and Education» (IMMD'2004). 2004. C. 164-167.

8. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Шумы квантования арифметических операций на выходе двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка // Тр. X междунар. науч.-техн. конф. «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж, 2004. Т. 1, С. 197-209.

9. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л. Исследование автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с нелинейностью насыщение и заданным числом уровней квантования // Тр. LVTI науч. сессии, посвященной Дню радио. Москва, 2003. Т. 1, С.172-174.

Ю.Рудых Д.В., Приоров А.Л., Лебедев М.В. Исследование областей

" существования двумерных предельных циклов в 'двумерном рекурсивном цифровом фильтре первого порядка для случая произвольного. числа уровней квантования // Докл. 5-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2003). Москва, 2003. Т. 1, С. 81-83.

11. Рудых Д.В., Приоров A.JL, Лебедев М.В. Колебания в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах первого порядка с бинарным квантованием /У Докл. 8-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2006). Москва, 2006. Т. 2, С. 607-610.

12. Рудых Д.В., Приоров А.Л., Манько В.Э. Влияние постоянного внешнего воздействия и начальных условий на двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого порядка с нелинейным сумматором // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. С. 107-112.

13. Рудых Д.В., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Влияние постоянного внешнего воздействия на двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого порядка с различными типами нелинейности сумматора // Сб. науч. тр. 7-й междунар. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». ХТУРЭ. Харьков, 2001. С. 130-131.

14. Приоров А.Л., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Исследование свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров с нелинейным сумматором // Тр. IV междунар. науч.-техн. конф. «Перспективные технологии в средствах передачи информации - ПТСПИ'2001». Владимир: «РОСТ», 2001. С. 238241.

15. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 4. Ярославль, 2003. С-141-148.

16. Рудых Д.В., Лебедев М.В. Предельные циклы в двумерном рекурсивном цифровом фильтре первого порядка для случая бинарного квантования // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 4. Ярославль, 2003. С. 149-156.

17. Рудых Д.В., Приоров А.Л., Лебедев М.В. Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с эффектами конечной разрядности // Матер. IV всерос. науч. конф., посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2003. С. 107-111.

18. Рудых Д.В., Лебедев М.В. Свободные колебания в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с бинарным квантованием // Тр. ХП междунар. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация и связь". Воронеж, 2006. С. 211-220.

19. Лебедев М.В., Балусов И.Л., Рудых Д.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с бинарным квантованием и постоянным внешним воздействием // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. № 5. Ярославль, 2005. С. 178-186.

20. Рудых Д.В., Лебедев М.В. Колебания в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах первого порядка с бинарным квантованием // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. № 5. Ярославль, 2005. С. 259-267.

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Введение

1. Исследование статистической модели эффектов квантования

1.1. Исходные положения

1.2. Квантование результатов сложения

1.3. Квантование результатов умножения

1.4. Краткие выводы

2. Исследование нелинейных свойств автономных фильтров

2.1. Исходные положения

2.2. Бинарное квантование

2.3. Трехуровневое квантование в прямом коде

2.3.1. Округление

2.3.2. Усечение

2.4. Четырехуровневое квантование в дополнительном коде

2.4.1. Округление

2.4.2. Усечение

2.5. Пятиуровневое квантование в прямом коде

2.5.1. Округление

2.5.2. Усечение

2.6. Случай произвольного числа уровней квантования

2.6.1. Округление в прямом коде

2.6.2. Усечение в прямом коде

2.6.3. Округление в дополнительном коде

2.6.4. Усечение в дополнительном коде

2.7. Краткие выводы

3. Исследование нелинейных эффектов в неавтономных фильтрах

3.1. Исходные положения

3.2. Бинарное квантование

3.3. Трехуровневое квантование в прямом коде 103 3.3.1. Округление

3.3.2. Усечение

3.4. Четырехуровневое квантование в дополнительном коде с единичным внешним воздействием и округлением

3.5. Пятиуровневое квантование в прямом коде

3.5.1. Округление

3.5.2. Усечение

3.6. Случай произвольного числа уровней квантования

3.6.1. Округление в прямом коде

3.6.2. Усечение в прямом коде

3.6.3. Округление в дополнительном коде

3.6.4. Усечение в дополнительном коде

3.7. Краткие выводы 139 Заключение 140 Список литературы

В связи с бурным развитием науки и техники большую значимость приобретают методы цифровой обработки сигналов. Их развитие обусловлено несколькими причинами: цифровые методы позволяют более эффективно обрабатывать и анализировать сигналы; при ее применении появляется большая гибкость и, наконец, имеется возможность использовать все более совершенные ЭВМ.

Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Найквист X., Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р., Джури Э. и др. [1-5]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: Котельникова В.А., Цыпкина Я.З., Трахтмана A.M., Ланнэ А.А., Карташева В.Г., Гольденберга JT.M., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [6-35].

Цифровые вычислительные машины и цифровые процессоры стали составной частью систем цифровой обработки сигналов. Процесс проектирования и отладки устройств цифровой обработки сигналов может быть проведен на универсальной ЭВМ с последующей реализацией данного устройства в виде специализированной интегральной микросхемы или спецпроцессора с соответствующим программным обеспечением. Стоимость спецпроцессоров цифровой обработки сигналов постоянно снижается, а быстродействие растет, что способствует внедрению цифровой обработки сигналов в те области, где еще недавно это считалось нецелесообразным. Хорошим примером в данном случае может служить бытовая техника.

Цифровые методы приобрели также первостепенное значение в обработке изображений, которые можно рассматривать как частный случай многомерных сигналов. Планируемый во многих странах переход на цифровое телевидение, широкое использование компьютерных сетей и мультимедиа технологий также способствуют развитию данного направления обработки сигналов. В различных областях науки и техники имеется множество задач, связанных с обработкой изображений. Это, например, анализ и интерпретация аэрофотоснимков и космических снимков в науках о Земле, в метеорологии, астрономии, исследовании природных ресурсов; анализ оптических, рентгеновских, тепловых, радиографических и других изображений в медицинской диагностике, промышленной дефектоскопии, научных исследованиях; анализ изображений и полей, зарегистрированных методами оптической, радио- и акустической голографии и т.д. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [36-40].

Из всех методов, используемых в цифровой обработке сигналов, одним из важнейших является цифровая фильтрация. Этот факт объясняется следующими причинами: наличием эффективных и относительно простых методов построения фильтров; прогрессом в области технологии микросхем с высокой и сверхвысокой степенью интеграции; успехами в части разработки технических средств и программного обеспечения.

Несмотря на указанные достоинства, в цифровых системах при обработке сигналов возникает ряд ошибок, связанных с представлением чисел конечным числом разрядов. Цифровые фильтры оперируют с цифровыми сигналами, которые отличаются от дискретных наличием квантования мгновенных значений, т.е. значения сигнала представляются конечным числом двоичных разрядов. Естественно, это обуславливает необходимость введения некоторого ограничения по точности представления выборок сигнала. Коэффициенты цифрового фильтра также представляются конечным числом двоичных разрядов, что тоже влияет на точность выходного сигнала. Такого рода эффекты называются эффектами конечной разрядности. Эти ошибки помимо погрешностей в выходном сигнале могут приводить к потере устойчивости системы, появлению паразитных сигналов на выходе цифровой системы при отсутствии входного сигнала и другим негативным явлениям [1-4].

Исследовать эффекты конечной разрядности можно двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования и детерминированной модели ошибки квантования. Выбор подхода зависит от цели исследований. С помощью статистического подхода можно определить средний уровень шума квантования на выходе системы и его мощность. Его недостатком является определенная жесткость исходных требований для применения, что не всегда выполняется на практике. Детерминированный подход используется в тех случаях, когда неприменима статистическая модель.

В области цифровой фильтрации следует отметить работы зарубежных и отечественных авторов: Кайзера Д., Каппелини В., Константинидиса А., Эмилиани П., Хэмминга Р., Антонью А., Ланнэ А.А., Гольденберга Л.М., ЛевчукаЮ.П., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А., Мингазина А.Т., Тяжева А.И. и др. [1, 4, 10-11, 13-35, 4157].

В настоящее время быстро развивается теория многомерных цифровых сигналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация. С её помощью обрабатываются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например массивов, полученных после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Разработка этой теории стимулируется важными практическими задачами, к которым относятся, например, обработка радиои гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, обработка изображений и сигналов в телекоммуникационных системах и т.д.

Значительный вклад в развитие многомерных цифровых сигналов и систем внесли зарубежные ученые Хуанг Т., Шэнкс Д., Даджион Д., Мерсеро Р., Боуз Т., Фахми М., Митра С., Мария Г. и многие другие [58-81]. Вместе с тем определенный вклад сделан и отечественными авторами, среди которых можно выделить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В.Г., Чобану М.К. и их школы [82-87]. Некоторый вклад в развитие двумерных цифровых систем внесен и сотрудниками Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова (ЯрГУ) [88-90].

В двумерных фильтрах [92-113] недостаточно изученными являются нелинейные эффекты и эффекты квантования арифметических операций, обусловленные нелинейностью квантователя [62-65, 114-115].

Объектом исследования в диссертационной работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого порядка. Указанные фильтры, в смысле вычислительных затрат на их реализацию, наиболее эффективны, что делает их особенно привлекательными при работе систем в реальном или близком к реальному масштабах времени. Вместе с тем, двумерные фильтры первого порядка исследованы недостаточно. В основном это касается эффектов квантования и переполнения, поэтому тема диссертационной работы представляется актуальной.

Цель исследования:

Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи: исследование статистической модели фильтра; разработка методики исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров; нахождение областей в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующих различным типам выходных сигналов, для различного числа уровней квантования; анализ процессов в автономном и неавтономном рекурсивных цифровых фильтрах с нелинейным сумматором.

Достоверность полученных научных результатов

Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сопоставлением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.

Научная новизна

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: определен явный вид выражений для дисперсии и математического ожидания шума на выходе линейной статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка; предложена методика исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров, с учетом характеристики квантователя; проанализированы возможные типы выходных сигналов автономных и неавтономных фильтров; для различного числа уровней квантования получены разбиения пространства коэффициентов фильтров на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов.

Практическая ценность

Знание рассмотренных в диссертационной работе статистических свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка, позволяет оценить мощность шума квантования на выходе системы и выбрать параметры системы в соответствии с желаемыми результатами.

Предлагаемая методика позволяет исследовать эффекты квантования в автономных и неавтономных двумерных фильтрах с произвольным числом уровней квантования. Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации.

Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, областей существования предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы как для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая эффектов переполнения, так и в качестве двумерных автогенераторов.

Исследование эффектов квантования особенно важно при технической реализации двумерных цифровых фильтров, предназначенных для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Статистические характеристики шума на выходе фильтра для случаев квантования результатов сложения и умножения при использовании различных способов квантования и представления чисел.

2. Методика исследования эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

3. Условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.

4. Типы и характеристики выходных колебаний в неавтономном двумерном фильтре для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.

5. Условия возникновения предельных циклов на выходе автономного фильтра и выходные колебания в неавтономном фильтре в случае произвольного числа уровней квантования. Границы областей, соответствующих циклам большого уровня. i

Апробация

Результаты работы были апробированы на следующих научных и научно-технических семинарах и конференциях:

IV всероссийская научная конференция «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2001.

VII международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2001.

IV международная научно-техническая конференция «Перспективные технологии в средствах передачи информации», Владимир-Суздаль, 2001.

Четвертая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2002.

VIII международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2002.

LVII научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 2002.

IV всероссийская научно-техническая конференция

Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике», Чебоксары, 2002. и

LVIII научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 2003.

V всероссийская научно-техническая конференция «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003.

Пятая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2003.

The 11-th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Scuol/Schuls Switzerland, 2003.

Шестая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2004.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них 6 статей и 14 докладов в материалах конференций.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Она содержит 155 страниц текста и 60 рисунков. Список литературы включает в себя 119 наименований.

Заключение

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Рассмотрена статистическая модель двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка. Определены математическое ожидание и дисперсия шума на выходе фильтра при квантовании результатов сложения и умножения и использовании различных способов квантования и представления чисел.

2. Установлено, что по сравнению со случаем квантования результатов сложения, в случае квантования результатов умножения дисперсия и математическое ожидание шума на выходе фильтра возрастают в три раза.

3. Разработана методика исследования эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

4. Для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие определенным типам и видам движений на выходе автономного фильтра. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Показан пример нахождения области в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующей заданному типу выходных движений. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах при округлении или усечении результатов суммирования.

5. Для автономного двумерного фильтра проведено обобщение на случай произвольного числа уровней квантования. Получен общий вид уравнения плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области различных типов выходных движений. Найдены области, соответствующие циклам большого уровня. Определены возможные значения отсчетов выходного сигнала при образовании данного типа циклов.

Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

6. Разработана методика исследований эффектов квантования и переполнения в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.

7. Для случая бинарного квантования построена бифуркационная диаграмма фильтра. Найдена область, соответствующая режиму фильтрации, а также области, соответствующие двумерным предельным циклам различных периодов.

8. Для трех, четырех и пяти уровней квантования рассмотрен случай постоянного внешнего воздействия. Найдена область, соответствующая режиму фильтрации. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

9. Проведено обобщение на случай произвольного числа уровней квантования для неавтономного двумерного фильтра первого порядка. Получен общий вид уравнения плоскостей, разбивающих пространство коэффициентов на области различных типов выходных движений. Найдены области, соответствующие циклам большого уровня. Определены возможные значения отсчетов выходного сигнала при образовании данного типа циклов. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

1. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

2. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

3. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

4. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

5. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1978.-299 с.

6. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в радиосвязи. М.: Изд. Всесоюзного Энергетического Комитета. МГУ, 1933.

7. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

8. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 560 с.

9. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

10. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.-336 с.

11. Ланнэ А.А. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация, идентификация. Л.: ВАС, 1985. - 240 с.

12. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. М.: Высшая школа, 1982. - 109 с.

13. Гольденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1974. - 160 с.

14. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. JI.M. Гольденберга. М.: Радио и связь, 1982. - 224 с.

15. Гольденберг JI.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

16. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

17. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. - 240 с.

18. Витязев В.В., Соловьев А.Н. Цифровые процессоры обработки сигналов и их применение в технике связи // Электросвязь, 1994. № 5. С. 37-42.

19. Витязев В.В. Новое в цифровой обработке сигналов //Там же. 1998. № 10. С. 48-52.

20. Витязев В.В., Бодров К.А., Иванов С.В. Адаптивная многоскоростная фильтрация узкополосных процессов // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 155160.

21. Витязев В.В., Зайцев А.А. Перспективы использования цифровых банков фильтров в целях сжатия сейсмических сигналов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. Т. 1.С. 160-162.

22. Брюханов Ю.А. Управление динамическим режимом колебательных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1994. - 400 с.

23. Брюханов Ю.А. Вынужденные колебания и частотные свойства цифрового линейного осциллятора // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1994. №9. С. 46-50.

24. Брюханов Ю.А. Частотные свойства цифровых цепей первого порядка //Там же. 1996. № 11. С. 37-41.

25. Брюханов Ю.А. Частотные свойства рекурсивных цифровых цепей второго порядка // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42. №7. С. 836838.

26. Брюханов Ю.А. Частотные свойства нерекурсивных цифровых цепей второго порядка//Радиотехника, 1997. № 12. С. 75-78.

27. Брюханов. Ю.А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения // Изв. вузов. Радиофизика, 2000. Т 43. № 1. С. 59-65.

28. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения // Радиотехника и электроника, 2001. Т 46. № 3. С. 320-323.

29. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в цифровых рекурсивных фильтрах второго порядка с пилообразной нелинейностью //Там же. №5. С. 581-587.

30. Брюханов. Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине // Изв. вузов. Приклад, нелин. динамика, 2002. Т. 10. №6. С.35-41.

31. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по модулю результатов сложения // Радиотехника и электроника, 2002. Т.47. №10. С. 1208-1211.

32. Брюханов Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с округлением // Изв. вузов. Радиофизика, 2003. Т. 46. № 11. С. 990-997.

33. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине после сложения // Радиотехника и электроника, 2003. Т. 48. №5. С. 565-570.

34. Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием. Изв. вузов. Радиофизика, 2001. Т. 44. №11. С. 976-983.

35. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Т. 1, Т. 2. М.: Мир, 1982.

36. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979. - 312 с.

37. Зубарев Ю.Б., Кривошеев М.И., Красносельский И.Н. Цифровое телевизионное вещание. Основы, методы, системы. М.: Науч.-исслед. институт радио (НИИР), 2001. - 568 с.

38. Дворкович В.П., Дворкович А.В., Соколов А.Ю. К ускорению анализа движения при кодировании динамических изображений// Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. 2. С. 103-110.

39. Дворкович А.В., Мингазов И.Д. Методика построения промежуточных кадров видеопоследовательности // Докл. 6-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2004. Т. 2. С. 132-134.

40. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980. - 224 с.

41. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

42. Тяжев А.И. Расчет рекурсивного цифрового фильтра второго порядка // Радиотехника, 1990. № 4. С. 94-96.

43. Тяжев А.И. Борьба с предельными циклами в рекурсивных цифровых фильтрах // Там же. № 10. С. 34-37.

44. Мингазин А.Т. Начальные приближения для синтеза цифровых фильтров с минимальной длиной коэффициентов // Электронная техника. Сер. 10, 1983. № 6. С. 3-8.

45. Мингазин А.Т. Синтез рекурсивных цифровых фильтров при ограниченной разрядности коэффициентов. // Электросвязь, 1987. № 9. С. 58-62.

46. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров при синтезе рекурсивных цифровых фильтров. // Там же, 1989. № 11. С. 53-54.

47. Мингазин А.Т., Зорич А.А. Минимизация шума округления каскадных рекурсивных цифровых фильтров. // Электронная техника, Сер. 10, 1992. № 1-2. С. 37-43.

48. Мингазин А.Т. Синтез передаточных функций цифровых фильтров в области дискретных значений коэффициентов (обзор). // Там же, 1993. № 1-2. С. 3-35.

49. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров с малоразрядными коэффициентами при дополнительных требованиях к виду передаточной функции // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1998. № 2. С. 48-52.

50. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров на основе фазовых цепей с конечной длиной слова коэффициентов. // Докл. 2-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1999. Т. I. С. 112-116.

51. Мингазин А.Т. Синтез каскадных цифровых фильтров с минимальным числом сумматоров в блоках умножения // Там же. С. 122-125.

52. Мингазин А.Т. Распределенная арифметика и мультиплексирование в цифровом фильтре второго порядка с описанием в пространстве состояний. // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. I. С. 158-160.

53. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров в задачах синтеза цифровых КИХ-фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Там же. С. 162-166.

54. Мингазин А.Т. Синтез и анализ цифровых фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. Т. I. С. 85-88.

55. Бондарев Б.Г., Пушкарев Ю.А. Определение переходных процессов в цифровых фильтрах методом пространства состояний // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1987. Т. 30. № 7. С. 85-87.

56. Лавренюк В.Н. Требуемая точность вычислений в адаптивных решетчатых фильтрах // Там же. С. 83-84.

57. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

58. Huang Т. Stability of 2-D recursive filters // IEEE Trans. Audio Electroacoust. V. AU-20,1972. P. 158-163.

59. Shanks J., Treitel S., Justice J., Stability and Synthesis of Two-Dimensional Recursive Filters // Там же. P. 115-128.

60. Mitra S., Sagar A., Pendergrass N. Realizations of two-dimensional recursive digital filters // IEEE Trans. Circuits Syst. V. CAS-22, mar. 1975. P. 177-184.

61. Maria G., Fahmy M.; Limit cycle oscillations in first-order two-dimensional digital filters // Там же. P. 246-251.

62. Chang T. Limit cycles in a two-dimensional first-order digital filter // Там же. V. CAS-24, jan. 1977. P. 15-19.

63. El-Agizi N., Fahmy M. Sufficient conditions for the nonexistence of limit cycles in two-dimensional digital filters // Там же. V. CAS-26, june 1979. P. 402-406.

64. Mertzios B. On the roundoff noise in 2-D state-space digital filtering // Там же. V. CAS-32, feb. 1985. P. 201-204.

65. Bisiacco M., Fornasini E., Marchesini G. On some connections between BIBO and internal stability of two-dimensional filters // Там же. sep. 1985. P. 948-953.

66. Hazra S.N., Reddy M.S. Design of circularly symmetric low-pass two-dimensional FIR digital filters // Там же. V. CAS-33, oct. 1986. P. 10221026.

67. Lin Т., Kawamata M., Higuchi T. Design of 2-D digital filters with an arbitrary response and no overflow oscillations based on a new stability condition // Там же. V. CAS-34, feb. 1987. P. 113-126.

68. Antoniou A., Lu W. Design of 2-D digital filters with rectangular passbands and stopbands // Там же. V. CAS-37, jan. 1990. P. 138-140.

69. Gu G., Shenoi B. A., Zhang C. Synthesis of 2-D linear phase digital filters // Там же. dec. 1990. P. 1499-1508.

70. Angelidis E. A novel method for modeling 2-D FIR digital filters in frequency domain with nonuniform samples // IEEE Trans. Circuits Syst. II. V. CASII-41, july 1994. P. 482-486.

71. Bose T. Stability of the 2-D state-space system with overflow and quantization // Там же. V. CASII-42, june 1995. P. 432-434.

72. Lu W.-S. Order reduction of 2-D FIR filters with applications // Там же. V. CASII-44, dec. 1997. P. 1055-1058.

73. Deng Tian-Bo. Design of Linear-Phase Variable 2-D FIR Filters Using Multidimenshional Array Decomposition // Proc. of the 1-st IEEE Internat. Conf. on Circuits and Systems for Communications. St. Petersburg, 2002. P. 118-121.

74. Roesser R.P. A Discrete State-Space Model for Linear Image Processing // IEEE Trans. Autom. Contr. V. AC-20, feb. 1975. № 1. P. 1-10.

75. Fornasini E., Marchesini G. Algebraic Realization Theory of Two-dimensional Filters, in Variable Structure System, Ruberti A. and Mohler R., Eds. New York: Springer Verlag, 1975 - 182 p.

76. Fornasini E., Marchesini G. State-Space Realization Theory of Two-dimensional Filters // IEEE Trans. Comput. V. C-22, aug. 1976. P. 484-492.

77. Krzysztof G. The Fornasini-Marchesini and the Roesser Model: Algebraic Methods for Recasting // IEEE Trans. Autom. Contr. V. 41. N. 1, jan. 1996. P.107-112.

78. Lu W. On a Lyapunov approach to stability analysis of 2-D digital filters // IEEE Trans, on circuits and systems I: fundamental theory and applications. V. 41. N. 10, oct. 1994. P. 665-669.

79. Derong Liu. Lyapunov stability of two-dimensional digital filters with overflow nonlinearities // Там же. V. 45. No.5, may 1998. P. 574-577.

80. Hinamoto T. 2-D Lyapunov equation and filter design based on the Fornasini-Marchesini second model // Там же. V. 40. № 2, feb. 1993. P. 102-109.

81. Миронов В.Г., Чобану M.K. Проблемы синтеза многомерных цифровых фильтров // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 12-18.

82. Миронов В.Г., Чобану М.К. Проектирование двумерных цифровых фильтров с малой чувствительностью к ошибкам квантования и округления // Там же. С. 24-31.

83. Чобану М.К. Применение полиномов Бернштейна для синтеза многомерных многоскоростных систем // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. И. С. 306-308.

84. Tchobanou М., Mironov V. Design of multi-dimensional filter banks // Proc. the 2-nd Internat. Workshop on Multi-dimensional (nD) Systems NDS-2000. Zielona Gora. Poland, 2000. P. 183-188.

85. Клюшкин В.И., Чобану М.К. Программный комплекс для многоскоростной обработки двумерных сигналов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. Т. II. С. 413-414.

86. Миронов В.Г., Чобану М.К., Барат В.А. Применение вейвлет-преобразования для цифровой обработки одномерных и двумерных сигналов // Там же. С. 415-417.

87. Изотова И.В. Устойчивость решений простейших пространственно-распределенных дискретных уравнений // Моделирование и анализ информационных систем. Сб. науч. тр. Ярославль. Вып. 2. ЯрГУ, 1994. С. 134-147.

88. Изотова И.В. Об устойчивости решений линейных разностных пространственно-распределенных уравнений второго порядка // Там же. Вып. 3. ЯрГУ, 1996. С. 86-100.

89. Стрелков Н.А. О решении одного разностного уравнения // Там же. Вып. 2. ЯрГУ, 1994. С. 103-108.

90. Брюханов Ю.А., Лебедев М.В., Приоров A.JL, Рудых Д.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика, 2006. Т. 49. № 7. С. 635-642.

91. Рудых Д.В., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Динамика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка при трехуровневом квантовании // Сб. науч. труд, молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. С. 101-106.

92. Приоров А.Л., Рудых Д.В. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с двухуровневым квантованием и нелинейным сумматором // Тр. LVI науч. сессии, посвященной Дню радио. М., 2001. Т.2., С. 365-367.

93. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Автономный двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка с несимметричными коэффициентами // Труды. LVII науч. сессии, посвященной Дню радио. Москва, 2003. Т.1., С.239-241.

94. Рудых Д.В., Приоров А.Л., Малкова Т.В. Исследование двумерной цифровой системы первого порядка с нелинейным сумматором// докл. 6-ой междунар. конф. и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения" (DSPA'2004), Москва, 2004. Т.2. С. 13-15

95. Д.В.Рудых. Предельные циклы в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с тремя уровнями квантования», 4-я междунар. конф. и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения" (DSPA'2005), Москва, 2005.

96. Морозов В. А., Хаджи Б. А. О выборе наилучшей группы кодированных ортогональных сигналов в канале множественного доступа при двухуровневом квантовании // Радиотехника и электроника, 2002. Т. 47. № 10. С. 1212-1218.

97. Т. Yamanaka, R. Matsumoto and Т. Nakamoto. Odor recorder for multi-component odor using two-level quantization method // Sensors and Actuators B: Chemical, V. 89,1. 1-2, 2003. P. 120-125.

98. Мясников E.A., Приоров A.JI. Исследование импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка // Докл. науч.-техн. конф. "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация", Воронеж. 1997. С. 10111015.

99. Елагин А. А., Приоров А. Л., Балусов И. Л. Переходная характеристика двумерного цифрового фильтра первого порядка для обработки двумерных сигналов// Тр. V межд. научн.-техн. конф. "Радиолокация, навигация и связь". Воронеж, 1999. Т. 1. С. 402-407

100. Raghuramireddy D., Unbehauen R. Evaluation of the Quantization Error in Denominator-Separable 2-D Recursive Filters // IEEE Trans, on signal proc. V. 39. N. 5, may 1991. P. 1229-1232.