автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Синтез оптимальных структур источников магнитного поля электротехнических устройств

На правах рукописи

ДЕРГАЧЕВ Павел Андреевич / 0Л46040

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР ИСТОЧНИКОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Специальность 05.09.01 - Электромеханика и электрические аппараты

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 о ИЮН 2010

Москва-2010

004604015

Работа выполнена в ГОУВПО Московский энергетический институт (технический университет) на кафедре «Электрические и электронные аппараты»

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Курбатов Павел Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Павленко Александр Валентинович

кандидат технических наук,

доцент Шакирзянов Феликс Нигматзянович

Ведущая организация: ОАО «Машиностроительный завод» (г. Электросталь)

Защита состоится "25" июня 2010 г. в ауд. Е 205 в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.157.15 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 13.

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый Совет МЭИ (ТУ)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ)

Автореферат разослан чШ » мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доцент \ Рябчицкий М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В ряде электротехнических устройств: электрических аппаратах, электрических машинах, медицинских приборах и установках для физических исследований, необходимо создавать определенную топографию магнитного поля в объеме рабочей области с высокой точностью. В качестве источников магнитного поля применяются постоянные магниты и катушки с током. Достижение необходимых технических параметров с лучшими экономическими показателями изделия требует решения оптимизационных задач поиска наилучших конструктивных компоновок постоянными магнитами и катушками. Определение таких конструктивных компоновок, иначе оптимальных магнитных структур, относится к обратным задачам стационарного магнитного поля, которые отличаются некорректностью и неоднозначностью решений.

Актуальность гемы. Разработка методического и программного обеспечения для синтеза оптимальных структур источников магнитного поля, используемых в магнитных системах электротехнических устройств для создания и управления магнитным полем, является актуальной задачей, так как позволяет улучшить технико-экономические показатели выпускаемых изделий и осуществить поиск новых более эффективных технических решений, снижающих материалоемкость и повышающих энергоэффективность продукции. Настоятельная необходимость исследований в этой области подтверждается их направленностью на решение практических задач в рамках приоритетных национальных проектов инновационного развития промышленности России.

Целью диссертационной работы было повышение эффективности использования магнитных и электропроводящих материалов в источниках магнитного поля электротехнических устройств с жесткими требованиями к параметрам пространственного распределения магнитной индукции.

Задачи исследования:

1. Разработка методики и программного обеспечения для синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов (смесь магнитотвердых и магнитомягких материалов), создающих заданную топографию магнитного поля в объеме рабочей зоны с максимальной магнитной индукцией для заданных габаритных ограничений.

2. Разработка методики и программного обеспечения для регулирования и настройки однородности магнитного поля в рабочей зоне магнитной системы магниторезонансного томографа (МРТ) на постоянных магнитах с меньшим влиянием на точность настройки погрешностей измерений магнитной индукции, механических люфтов и магнитного гистерезиса, чем в ранее применяемых методиках.

3. Разработка методики и программного обеспечения для синтеза оптимальной геометрии катушек с током магнитных систем МРТ с заданным значением магнитной индукции и наилучшей однородностью поля в рабочей зоне, наиболее полно учитывающие конструктивно-технологические ограничения устройства.

Методы решения поставленных задач. Для решения задач использованы численные методы анализа стационарных магнитных полей, математические методы нелинейного программирования и гармонического анализа теории векторных полей. Экспериментальные исследования осуществлялись с использованием серийной магнитоизмерительной аппаратуры с преобразователями Холла и спектрометрами ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Сформулирована задача и разработана эффективная методика синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов, создающих требуемую топографию магнитного поля в объеме рабочей зоны с максимальной магнитной индукцией в заданных габаритных ограничениях. Методика основана на оригинальных комплексных критериях оптимальности параметров магнитного поля и позволяет определять направления

_______________--_______________ гг„„___—---------------- ___________________ _ с----------

1 II U.ViUi И п -l^i 111 ' > I ИЛ п Ul^n Ui i ( I [Jill ij-ll'l о JJiCMCniaptlblA UUDCIVIOA Л .5

магнитотвердых материалов с учетом нелинейных свойств используемых магнитных материалов.

2. Разработана новая более точная методика настройки магнитной системы МРТ с подвижными полюсными наконечниками, существенно снижающая влияние на результаты настройки погрешностей измерений магнитного поля и неоднозначности регулирования из-за магнитного гистерезиса и механических люфтов. Методика базируется на решении оптимизационной задачи со специальными критериями, снижающими количество локальных экстремумов. Модели влияния положения полюсных наконечников строятся по данным измерений магнитного поля в рабочей зоне МРТ.

3. Разработана методика поэтапного определения оптимальной конфигурации катушек с током магнитных систем МРТ с однородным магнитным полем в рабочей зоне, наиболее полно учитывающая конструктивно-технологические ограничения устройства. Сформулированы три оптимизационных задачи, решаемых последовательно, для которых предложены и обоснованы критерии, обеспечивающие высокую скорость сходимости решения. Первая задача связана с последовательным сжиманием области возможного расположения катушек. Вторая задача относится к исключению малозначимых элементов катушек. Третья задача - поиск оптимальной геометрии катушек при начальных приближениях и ограничениях, полученных на предыдущих этапах.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием строго обоснованных и подтвержденных экспериментальными данными математических, моделей исследуемых объектов. Правильность постановки и решения оптимизационных задач подтверждена результатами решения тестовых задач с известными аналитическими решениями и данными, опубликованными в научных изданиях. Обоснованием достоверности разработанных методик служит также успешное применение их при настройке промышленных магнитных систем МРТ на постоянных магнитах.

Практическая значимость:

1. На основе разработанных методик решения задач синтеза оптимальных магнитных структур источников поля и настройки магнитных систем составлены компьютерные программы, которые ориентированы на использование при проектировании и изготовлении различных магнитных систем электротехнических устройств, где требуется создание заданной топографии магнитного поля с высокой точностью.

2. Разработанная методика и программное обеспечение для настройки магнитной системы МРТ с постоянными магнитами, имеющей магнитную индукцию в рабочей зоне 0,4 Тл, внедрены для промышленного использования в ОАО «Машиностроительный завод», г. Электросталь.

3. Разработанная методика синтеза геометрии катушек с током используется в ООО НЛП «Энергомаг» для проектирования магнитных систем сверхпроводящих МРТ с магнитной индукцией 1,5 Тл.

Личный вклад автора. Разработка критериев оптимальности, формулировка оптимизационных задач, разработка всех представленных в работе методик и программного обеспечения для синтеза магнитных структур и настройки магнитных систем. Разработка методов и алгоритмов решения оптимизационных задач с использованием сфероидальных и секторальных сферических гармоник для уравнения Лапласа на поверхности рабочей области магнитной системы. Выполнение всех представленных в работе расчетов и участие в экспериментальных исследованиях.

Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

XVI. Международная конференция по постоянным магнитам. 17 -20 сентября 2007 г. - Суздаль, 2007 г.;

X. Международная конференция «Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism». 14-17 сентября 2008 г., - Германия, Технологический университет Ильменау, 2008 г.;

XII. Международная конференция «Электротехнические материалы и компоненты». 29 сентября - 4 октября 2008 г., - Крым, Алушта, 2008 г.;

XVII. Международная конференция по постоянным магнитам. 21 -25 сентября 2009 г. - Суздаль, 2009 г.;

Две международных научно-технических конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника электротехника и энергетика» г. Москва: МКРЭЭ - 2006, МКРЭЭ - 2007.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ: из них 2 статьи, 6 тезисов докладов в сборниках трудов международных конференцией.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы из 101 наименования. Основная часть работы изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 71 рисунок и 4 таблицы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Критерии оптимальности, формулировка оптимизационных задач и методика синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов, создающих требуемую топографию магнитного поля в объеме рабочей зоны с максимальной магнитной индукцией в заданных габаритных ограничениях, позволяющая определять направления векторов намагниченности или осей анизотропии в элементарных объемах из магнитотвердых материалов с учетом нелинейных свойств используемых магнитных материалов.

2. Методика настройки магнитной системы МРТ с подвижными полюсными наконечниками, существенно снижающая влияние на результаты настройки погрешностей измерений магнитного поля и неоднозначности регулирования из-за магнитного гистерезиса и механических люфтов.

3. Критерии оптимальности, формулировка оптимизационных задач и методика поэтапного определения оптимальной конфигурации катушек с током для магнитных систем МРТ с однородным магнитным полем в рабочей зоне, наиболее полно учитывающие конструктивно-технологические ограничения устройства.

4. Вычислительные алгоритмы и компьютерное программное обеспечение, реализующие разработанные методики и ориентированные на использование при проектировании и изготовлении магнитных систем.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, изложены цели и задачи диссертационной работы, методы решения поставленных задач. Описаны состав и структура работы, показана научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе выполнен анализ литературы и рассмотрены различные электротехнические устройства, где требуется создание определенной топографии магнитного поля в объеме рабочей области с высокой точностью. Рассмотрены различные устройства, в конструкциях которых используются оптимальные магнитные структуры: линейный двигатель, коаксиальная магнитная муфта, модели вентильных двухстаторного и двухроторного двигателей, а также магнитные системы, создающие высокооднородные поля с высоким значением магнитной индукции. Обоснована необходимость дальнейшего развития методов проектирования оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов.

Проанализированы способы настройки магнитных систем МРТ с постоянными магнитами. Рассмотрены методы шиммирования (повышения однородности магнитного поля в рабочей области), способы построения математического фильтра на основе поверхностных гармоник отклонений напряженности магнитного поля на поверхности рабочей области. Обоснована необходимость разработки методик, снижающих влияние на точность настройки по-

грешностей измерений магнитной индукции и неоднозначностей регулирования.

Для магнитных систем МРТ со сверхпроводящими катушками выделена актуальность создания методики синтеза оптимальной геометрии катушек, учитывающей конструктивно-технологические ограничения устройства. Выделены основные характеристики сверхпроводящих томографов ведущих фирм. Рассмотрены способы и результаты проектирования сверхпроводящих катушек для магнитных систем МРТ.

Во второй главе приведена разработанная методика синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов. Такие структуры предназначены для создания в определенных конструкцией устройства габаритных ограничениях требуемой топографии магнитного поля с максимальной магнитной индукцией. Методика позволяет рассчитывать наи-

rmmima гтлттлоппоттткт nariTrtMrtn гтп» т^т»тмтлгтгтллтч1 чттп лппм птттп^п^>лгг«»тг п г-чтгг»

Л J ■ 1 1 1 * ■ V Ai.Wl.l^CHJViVlAIiyi U WAV Д. ljtl4iVlUl litl "X V1111UU LXi I1J111. wnnju 1 JJ^liilil Li sJ/Jl\s~

ментах магнитной структуры.

Методика синтеза структур построена на основе оптимизационного алгоритма Левенберга-Марквардта. Рассмотрены алгоритм оптимизации и структура программного обеспечения. Предложены специальные критерии оптимальности для получения наилучшего решения и увеличения скорости сходимости.

Работоспособность методики и достоверность полученных результатов подтверждены на тестовых задачах (массивах Халбаха), для которых известно аналитическое решение (рис. 1).

Для плоскопараллельных задач критерий выглядит следующим образом:

ттхр(ф/) = тт-^\;2 (1)

¿=1

где (р. - угол поворота вектора намагниченности в элементарных объемах изменяется в пределах: 0 < о ■< 360° ; j = 1,2,..., m - номер элементарного объема (элемента магнитной структуры); = ¡//¡(ф^) - Я0| /Иа2 - функция, определяющая отклонение напряженности магнитного поля в контрольных точках Я;(Ф.) от значения в центральной или выбранной заранее точке //0; i =

1,2,..., п - номер контрольной точки.

Предложены и подробно рассмотрены две модели гибридных магнитных материалов. Первая модель представляет материал дискретным набором малых элементарных объемов из чередующихся в шахматном порядке магни-тотвердых и магнитомягких материалов. Свойства магнитомягкого материала задаются кривой намагничивания, а магнитотвердого материала - вектором намагниченности с неизменным модулем. Для такой модели задача синтеза магнитной структуры сведена к поиску оптимальных направлений векторов намагниченности в элементарных объемах из магнитотвердого материала.

8

'З'Ш ш

УХ*

да

"От"

""---С.Й'

а) б)

Рис. 1. Результаты решения тестовых задач. Показаны полученные векторы камагниченносга в элементах магнитной структуры: а - однослойная магнитная структура; б-многослойная

магнитная структура

Вторая модель представляет магнитные свойства гибридного материала как эквивалентного однородного изотропного материала с магнитными свойствами, определенными по стандартной методике для протяженного стержня или в замкнутой магнитной цепи. В работе приведены расчетные и экспериментальные магнитные характеристики таких материалов при различных концентрациях составных частей и возможного объемного содержания связующего материала при композиционном исполнении. В этом случае в качестве варьируемых переменных в задаче синтеза магнитной структуры выбраны направления осей анизотропии в выделенных элементарных объемах.

На рис. 2 представлены характеристики гибридных магнитных материалов с различными пропорциями компонентов, полученные расчетным путем в соответствии со стандартной методикой испытаний магнитных материалов для

протяженного стержня в длинном соленоиде. _ __________

В, Тл

-1200 I

-38,47% МРеВ; 38,47% Армко; ¡.

23,07% Немагнитный зазор д • 18,35% ЫйРеВ; 18,35% Армко; | ^ 63,29% Немагнитныбзазор д

Рис. 2. Магнитные свойства различных гибридных материалов

Рассмотрена трехмерная задача поиска оптимального распределения векторов намагниченности в коротком цилиндре, изготовленном из различных магнитных материалов. Для заданной геометрии магнитной структуры требуется найти оптимальные направления векторов намагниченности в элементах структуры, создающих максимально однородное магнитное поле с максимальной напряженностью магнитного поля в сферической рабочей области (см. рис. 3).

Рис. 3. Кольцо конечной длины со сферической немагнитной рабочей областью

Критерий оптимальности в этом случае представлен следующим соотношением:

п

ттЧ^ф., в}) = + + уз;2) (2)

¡=1

где с(ь, в) - углы сферической системы координат, определяющие пространственную ориентацию векторов намагниченности в элементарных объемах или осей основного намагничивания; / = 1,2,...,т - номер элементарного объема;

Ти = (^¡(фу®;) - Яо| /Н02 - функция, определяющая отклонение напряженности магнитного поля в контрольных точках Ядг(фу, от значения в центральной или выбранной заранее точке Н0; 1 = 1,2, ...,п - номер контрольной точки; \|/2[ = ¡//¿¡((р^, /Н02 - функция, определяющая напряженность магнитного поля в контрольных точках в ортогональных главному направлениях; \|/зг = 1/|#0| - функция, введенная для усиления условия поиска максимального значения напряженности магнитного поля. Результаты решения этой задачи для различных материалов представлены на рис. 4.

На рис. 4а кольцо выполнено из постоянных магнитов, где все векторы намагниченности имеют постоянный модуль равный 1000 кА/м и сходящиеся к центру направления. Минимум критерия (2) получен при #0 = 322 кА/ми

максимальном относительном отклонении АН* = |наг(ф^., — Н0| /Н0 = 0,1. На рис. 4б представлена модель кольца, изготовленного из гибридного материала с использованием первой дискретной модели. Показаны только векторы в объемах из постоянных магнитов. Остальные объемы заданы магнитомягким

материалом с нелинейной характеристикой. В этом случае получен минимум критерия (2) при Я0 — 139 кА/м и АН* = ОД. На рис. 4в представлено кольцо, выполненное из гибридного материала с использованием второй непрерывной модели. Показаны векторы намагниченности, которые различаются по модулю и направлению, так как расчет производится по нелинейной магнитной характеристике гибридного материала. В этом случае при оптимизации варьируются направления осей анизотропии. Получено Я0 = 122 кА/м и АН* = 0,05.

б; в) Рис. 4. Векторы намагниченности в кольцевых магнитных структурах: а - структура из постоянных магнитов; б - структура из гибридного магнитного материала (первая модель); в -структура из гибридного магнитного материала (вторая модель)

Рассмотрена модельная задача поиска оптимальной структуры намагниченности ротора электрической машины. В этой задаче требуется в заданных габаритных ограничениях ротора и стального статора создать в зазоре электрической машины (см. рис. 5) синусоидальное распределение по углу напряженности магнитного поля максимальной амплитуды.

Критерий оптимальности сформулирован аналогично (2), но для главной радиальной составляющей напряженности магнитного поля соотношение имеет

вид: \|/1; = |tfji(cpp — #о 1 sin (2гах/т)| /Я02, и других составляющих:

4*2i = l^díOPpl /Я02, V3¿ = 1/|Я0|. Здесь Я0 - максимизируемая амплитуда, т -период по углу. Результаты расчетов оптимального направления векторов на-

магниченности в элементах магнитной структуры ротора из различных материалов представлены на рис. 6, 7, распределение напряженности магнитного поля в немагнитном зазоре показано на рис. 8-10.

Амплитудное значение напряженности магнитного поля в зазоре машины в случае ротора из постоянных магнитов в 1,5 раза больше, чем у ротора из гибридного материала с соотношением: 50% ШБеВ - 50% стали Армко. При этом объем постоянных магнитов в два раза больше, чем у гибридного материала. Присутствие в гибридном материале частиц из магнитомягкого материала увеличивает магнитный поток обмоток статора электрической машины, что приводит к возрастанию электромагнитного момента. Намагничивание роторов из гибридных материалов возможно в меньших магнитных полях. Поэтому применение гибридных материалов может быть экономически выгодно.

032

Рис. 5. Модель электрической машины

Рис. 6. Направления векторов намагниченности в элементах магнитной структуры ротора из

постоянных магнитов В третьей главе представлена разработанная методика настройки магнитной системы МРТ с постоянными магнитами открытого типа с подвижными полюсными наконечниками. Рассмотрена конструкция магнитной системы МРТ с подвижными полюсами (см. рис. 11, 12). Для снижения влияния погрешностей измерений магнитной индукции и неоднозначности регулирования из-за механических люфтов и магнитного гистерезиса предложено предвари-

тельно аппроксимировать данные измерений функциями, априорно удовлетворяющими уравнению Лапласа для составляющих напряженности магнитного поля на сферической или сфероидальной рабочей области.

Рис. 7. Направления векторов намагниченности в элементах магнитной структуры ротора: а - структура из гибридного магнитного материала (первая модель); б - структура из гибридного магнитного материала (вторая модель)

Рис. 8. Распределение напряженности магнитного поля в немагнитном зазоре для ротора из

постоянных магнитов

Рис. 9. Распределение напряженности магнитного поля в немагнитном зазоре для ротора из гибридного магнитного материала (первая модель)

Рис. 10. Распределение напряженности магнитного поля в немагнитном зазоре для ротора из гибридного магнитного материала (вторая модель)

Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах на поверхности сферы выглядит следующим образом:

00 I СО I

и(е'ф)=2 2 е"пф=2 £ ф)' (з) /=0 т=-1 1=0т=-1

где через Угт(0,ф) обозначены сферические гармоники, а через агт - коэффициенты сферических гармоник. Общее решение уравнения Лапласа в сфероидальных координатах на поверхности сфероида записано в виде соотношения:

оо I СО I

"01, Ф)=X Xа[т™е1т"=X X ^ (4)

1=0 т=-[ г=0т=-г

где через 5£т(г(, ф) обозначены сфероидальные гармоники, а через а1т - коэффициенты сфероидальных гармоник.

Рассмотрен алгоритм и программа для прямого и обратного преобразования сферических и сфероидальных гармоник и на их основе построена математическая модель возмущений магнитного поля в рабочей области в зависимости от положения подвижных полюсных наконечников. На рис. 12 представлена схема расположения регулировочных винтов, используемых для перемещения подвижных полюсных наконечников.

Полученная математическая модель для коэффициентов, определяющих функцию регулирования для винтов, записана в обобщенном виде:

МойеКУ) = А,

I + атм (v„);

где А = {а,„} - матрица коэффициентов а1т ■ V = {v01,...,v43} - вектор положений винтов, определяемый углами поворота относительно начального центрального положения; Model - модель регулирования напряженности магнитного поля, то есть зависимости коэффициентов сфероидальных гармоник, как отклонений напряженности магнитного поля от положений винтов.

а) б)

Рис. 11. Магнитная система ортопедического томографа: а - общий вид; б - конструкция подвижных полюсных наконечников

При настройке магнитной системы томографа определяется такое положение винтов, при котором неоднородность напряженности магнитного поля минимальна. Для решения этой оптимизационной задачи составлен следующий критерий:

Птах"г,-1

тт-

2, 2, [(Атд)2 + (/2т,0 т=0 ¡=0

N-114-1

+II [(А.)2 + Ш2 + (лу2]

1=0 ]=0

где /1 ш,1 = ДфтЫ2]; /2т,I = 1гп[Чт(т)2Ъ Рц =

Магнитопровод

Постоянные магниты

Полюсные наконечники

Рабочая область

/4и - дН*и/дц>• = ^'УзлЭФ: ЧшШ = а1т РГШ-, -

значения отклонений напряженности магнитного поля на поверхности рабочей области; функции /1 и /2 являются коэффициентами преобразований Фурье по углу на всех окружностях; 1тах - номер старшей гармоники; Л^ - число изме-

репных точек по г); N и М- число точек, в которых вычисляются производные по г| и ф соответственно.

V4I

W 1 щ

i V22 \ • \

/13 1 V23 * 1 \ V32 \ 1

/ / \

Рис. 12. Схема расположения регулировочных элементов

Сформулирована задача и разработан алгоритм нахождения оптимального положения полюсных наконечников по критерию наилучшей однородности магнитного поля в рабочей области с использованием математической модели возмущений магнитного поля. Методика проиллюстрирована практическими результатами настройки магнитной системы с постоянными магнитами ортопедического МРТ. На рис. 13 представлена картина распределения неоднородности магнитного поля на поверхности сфероида, отклонения показаны искажениями сфероида и линиями уровня.

На рис. 13а показана картина поля на поверхности сфероидальной рабочей области непосредственно после проведения измерений без дополнительной обработки данных. В данном случае присутствуют изгибы линий уровня, что вызвано наличием погрешностей при проведении измерений. В действительности функция неоднородности напряженности магнитного поля, представленная I на рис. 13, имеет плавное распределение, так как для нее должно выполняться уравнение Лапласа. В соответствии с принципом максимума минимальное и максимальное значение этой функции находится на поверхности рабочей области. На рис. 136 представлена картина неоднородности магнитного поля по-I еле применения математического фильтра в виде гармоник уравнения Лапласа. Линии уровня стали плавными и неоднородность напряженности магнитного поля магнитного поля удовлетворяет уравнению Лапласа. На рис. 13в представлена картина неоднородности магнитного поля после проведения оптимизационного расчета и установки новых положений регулировочных винтов. Резуль-

тирующая неоднородность на одном шаге настройки снизилась с 818 ррт до 292 ррт.

Разработанное на основе представленной методики программное обеспечение внедрено на промышленное предприятие для настройки магнитных систем ортопедических томографов.

Рис. 13. Картина неоднородности осевой составляющей напряженности магнитного поля томографа: а - результаты измерений (максимальная неоднородность 809,5 ррт), б - аппроксимация результатов измерений сфероидальными гармониками (максимальная неоднородность 818,2 ррт); в - результаты после одного шага регулирования по данным оптимизационного расчета (максимальная неоднородность 292,1 ррт)

В четвертой главе рассмотрена разработанная методика поэтапного определения оптимальной конфигурации катушек с током в заданных конструк-

тивно-технологических ограничениях для магнитных систем МРТ с однородным магнитным полем в рабочей зоне. Для формирования критериев оптимальности применены секторальные (осесимметричные) гармоники уравнения Лапласа на поверхности сферической рабочей области. Последовательно решаются три оптимизационных задачи: сжатие области расположения катушек, исключение элементов катушек с наименьшим вкладом в создаваемое системой магнитное поле и поиск оптимальной конфигурации поперечных сечений катушек при условии одинаковой плотности тока в них.

Критерий оптимальности для этой задачи идентичен на всех трех этапах оптимизации и выглядит следующим образом:

где /1, = а,(шах[Р,])2; /2 = (Я0 - Н3)2; /3 = шах (Н'г); /4; = RjeH; I - номер гармоники; 1тах - номер высшей гармоники; аг коэффициент гармоники I; шах[Рг] - максимальное значение функции полинома Лежандра на отрезке [—1; 1]; #о ~ текущее значение поля в центре рабочей области; Н3 - заданное значение напряженности магнитного поля; шах (Щ) - максимальное значение неоднородности в ppm; Rjm - внешний радиус j - й катушки; N - число катушек, для которых варьируется внешний радиус. Использование такого критерия позволяет снизить влияния на результат синтеза погрешностей численного расчета параметров магнитного поля, получить непрерывное распределение функций, определяющих неоднородность поля, и уменьшить общее число контролируемых параметров.

В настоящей работе предложена следующая методика синтеза оптимального профиля катушки с током для создания заданной топографии магнитного поля. На первом этапе область, в которой может располагаться катушка, разбивается на достаточно малые дискретные элементы. Затем решается задача поиска оптимального распределения плотности тока в каждом дискретном элементе при условии получения заданной напряженности магнитного поля и максимальной однородности, а также при ограничениях на изменение плотности тока в элементах. После нахождения решения область возможного расположения дискретных элементов катушки сжимается. Для этого последовательно удаляются верхние ряды элементов и производится повторный поиск оптимального распределения плотности тока в дискретных элементах катушки. Сжатие происходит по свободному размеру (в нашем случае по внешнему диаметру). Это необходимо для получения наиболее экономически выгодного решения. Исключение элементов катушки из последующих оптимизационных расчетов принимается исходя из условия получения заданной магнитной индукции и требуемой однородности поля. При снижении однородности или невозможности создать заданную магнитную индукцию процесс сжатия прекращается. Результатом считается последнее удовлетворительное решение. Далее решается задача поиска оптимального профиля из оставшихся после сжатия дискретов. Для этого последовательно исключаются из оптимизационного рас-

Lmax

N

(6)

1=0

i=1

чета дискреты с незначительной плотностью тока относительно остальных дискретов и повторяется оптимизационный расчет поиска оптимального распределения плотности тока в дискретах. Поиск профиля завершается на последней итерации, для которой еще выполняются основные условия (заданная магнитная индукция и необходимая однородность). Полученные на этом этапе профиль катушки и значения плотностей токов в дискретных элементах катушки служат исходными данными для третьего этапа решения задачи - расчета оптимальной геометрии при фиксированной плотности тока. Каждый элемент катушки или группа рядом стоящих элементов заменяется элементом с фиксированной плотностью тока. Ее начальный размер выбирается исходя из результатов предыдущего этапа расчета. На этом этапе варьируется внутренний и внешний диаметр элементов катушки с целью получения максимальной однородности при заданной магнитной индукции в рабочей области. Результат ре-птртлла ппг* гг(=> пари оптимизационной задачи можно использовать для конструирования катушки МРТ.

В качестве примера рассмотрена практическая задача синтеза катушки с внутренним диаметром 1000 мм и длиной 1000 мм (рис. 14). При этом внешний диаметр изменяется свободно. Требуемая магнитная индукция в сферической рабочей области диаметром 100 мм составляет 1,5 Тл. Итоговый результат синтеза описанной магнитной системы показан на рис. 15.

L_lш____

Рис. 15. Результат синтеза катушек при неоднородности 72 ррт

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны метод и на его основе программное обеспечение, выполнен цикл расчетных исследований по синтезу пространственного распределения векторов намагниченности или осей анизотропии в оптимальных магнитных структурах по критерию максимальной однородности и максимальной напряженности магнитного поля и по критерию заданной функции напряженности магнитного поля. Разработанное программное обеспечение применяется для синтеза магнитных структур в электротехнических устройствах с заданной пространственной топографией магнитного поля.

2. Создана и апробирована методика настройки магнитного поля в магнитной системе МРТ с постоянными магнитами с использованием поверхностных сфероидальных гармоник решения уравнения Лапласа и построенной на их основе модели возмущений магнитного поля в зависимости от положения подвижных полюсных наконечников. По методике создано программное обеспечение для настройки магнитных систем МРТ, которое внедрено на промышленном предприятии и применяется для настройки конкретных магнитных систем МРТ томографов с постоянными магнитами и системой подвижных полюсных наконечников.

3. Создана методика и программное обеспечение для синтеза профиля сверхпроводящих катушек для МРТ туннельного типа. Разработанное про-

граммное обеспечение применяется при проектировании магнитной системы сверхпроводящего МРТ туннельного типа с магнитной индукцией в рабочей области - 1,5 Тл.

1. Курбатов П.А., Дергачев П.А. Методика настройки магнитной системы магниторезонансного томографа с помощью подвижных полюсов // Электричество. М., 2010. №4 - С. 36а - 41.

2. Дергачев ПА., Курбатов П.А. Проблемы получения изображений при магниторезонансной томографии // Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2006 г. — С. 98 - 99.

3. Дергачев П.А., Курбатов П.А. Визуализация данных измерений магнитного поля магниторезонансных томографов // Тринадцатая международная научно - техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2007 г. - С. 94.

4. Дергачев П.А., Курбатов П.А. Метод снижения погрешностей измерений параметров магнитного поля при настройке систем с постоянными магнитами магниторезонансных томографов // XVI Международная конференция по постоянным магнитам: Тез. докл. - Суздаль 2007 г. - С.151 - 152.

5. Dergachev P., Kurbatov P. Synthesis of magnetized structures made up of particles of hard and soft magnetic materials // The lOth Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism: Proceedings. - Germany, Ilmenau 2008. - p. 147- 148.

6. Дергачев П.А., Курбатов П.А. Синтез намагниченных структур, составленных из частиц магнитотвердых и магнитомагких материалов // XII Международная конференция «Электромеханика, электротехнологии, электротехнические материалы и компоненты»: Тез. докл. - Крым, Алушта 2008 г. - С. 72.

7. Дергачев П.А., Курбатов П.А. Применение смешанных композиционных материалов для изготовления магнитных систем // Электрические и электронные аппараты: Сб. науч. труд. - ЧТУ, Чебоксары 2008 г. - С. 21 - 31.

8. Дергачев П.А., Курбатов П.А. Применение композиционных намагниченных структур в электрических машинах // XVII Международная конференция по постоянным магнитам: Тез. докл. - Суздаль 2009 г. - С. 160-161.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Подписано в печать <к> • об■ $/Т Зак. Тир. №0

Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

Введение.

1. Оптимальные структуры с постоянными магнитами и катушками с током для создания и управления магнитным полем в электротехнических устройствах.

1.1 Применение пространственных структур с постоянными магнитами в электротехнических устройствах.

1.2 Управление магнитным полем в магнитной системе МРТ с постоянными магнитами открытого типа.

1.3 Создание магнитного поля магнитной системой МРТ со сверхпроводящими катушками.

2. Методика построения оптимальных намагниченных структур электротехнических устройств.

2.1 Постановка задачи синтеза оптимальных намагниченных структур.

2.2 Алгоритм оптимизации для решения обратной задачи.

2.3 Структура программного обеспечения для синтеза оптимальных структур.

2.4 Системы с однородным полем.

2.5 Ротор электрической машины.

2.6 Системы с применением гибридных материалов.

2.7 Сопоставление механических параметров магнитоэлектрических машин, изготовленных из различных материалов.

3. Настройка магнитной системы МРТ с постоянными магнитами.

3.1 Конструкция магнитной системы МРТ с постоянными магнитами.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Сферические гармоники.

3.4 Сфероидальные гармоники.

3.5 Методика настройки однородности магнитного поля магнитной системы томографа с постоянными магнитами.

3.6 Структура программного обеспечения для настройки магнитной системы МРТ.

3.7 Результат настройки магнитной системы с постоянными магнитами открытого типа.

4. Синтез геометрии сверхпроводящих катушек для МРТ туннельного типа

4.1 Постановка задачи.

4.2 Расчет поля, создаваемого катушкой произвольной формы.

4.3 Влияние дискретного разбиения катушек на точность расчета.

4.4 Секторальные сферические гармоники.

4.5 Методика синтеза геометрии катушек.

4.6 Структура программного обеспечения синтеза сверхпроводящих катушек.

4.7 Результаты синтеза сверхпроводящих катушек для магнитной системы МРТ туннельного типа.

В ряде электротехнических устройств: электрических аппаратах, электрических машинах, медицинских приборах и установках для физических исследований, необходимо создавать определенную топографию магнитного поля в объеме рабочей области с высокой точностью. В качестве источников магнитного поля применяются постоянные магниты и катушки с током. Достижение необходимых технических параметров с лучшими экономическими показателями изделия требует решения оптимизационных задач поиска наилучших конструктивных компоновок постоянными магнитами и катушками. Определение таких конструктивных компоновок, иначе оптимальных магнитных структур, относится к обратным задачам стационарного магнитного поля, которые отличаются некорректностью и неоднозначностью решений.

Принцип формирования магнитного поля системой определенным образом ориентированных постоянных магнитов, обладающих минимальными полями рассеяния, был предложен Маллинсоном в 1973 году. На практике такой подход применил Клаус Халбах в 1980-ых годах в магнитной системе для фокусировки пучка элементарных частиц в ускорителе, впоследствии названной его именем. С развитием производства редкоземельных постоянных магнитов, имеющих в диапазоне рабочих полей слабо изменяющуюся намагниченность, этот принцип стали применять и в других системах, в первую очередь в электрических машинах. Это позволяет повысить эффективность использования постоянных магнитов и улучшить технические параметры электрических машин. Однако широкое применение таких магнитных структур сдерживается отсутствием методов и программных средств для их проектирования, а также недостаточной проработкой технологии изготовления. Помимо систем, использующих в качестве источников магнитного поля постоянные магниты, существует большое многообразие конструкций, источниками магнитного поля в которых являются катушки с током. Наряду с обычными проводниковыми материалами для катушек, все шире применяются сверхпроводящие материалы. Обширным применением катушек с током в качестве источников магнитного поля, формирующих их заданную топографию, представляется медицинская магниторезонансная томография (МРТ), установки и приборы для управления потоками заряженных частиц и др. Магнитные системы МРТ с высокой разрешающей способностью создают поля с магнитной индукцией 1,0 - 3,0 Тл и строятся на сверхпроводящих катушках. Проектирование оптимальных конструкций катушек осложнено жесткими требованиями массогабаритных ограничений, санитарными нормами на магнитные поля в зоне работы персонала и требованиями электромагнитной совместимости. Эффективная методика и программное обеспечение синтеза катушек МРТ и других устройств, где используются катушки с током для формирования магнитного поля, должна позволять учитывать возникающие ограничения и требования.

Изготовление магнитных систем, создающих магнитные поля с прецизионной точностью, сопряжено с применением дополнительных регулировочных и подстроечных элементов. Так в магнитных системах МРТ для настройки магнитного поля в рабочей зоне применяются подвижные полюса из магнито-мягкого материала, подстроечные постоянные магниты и стальные пластинки малых размеров. Задача состоит в поиске наилучшего положения регулировочных элементов, обеспечивающих требуемые параметры магнитного поля в уже изготовленной магнитной системе. Исходными данными для решения этих задач служат получаемые в процессе настройки результаты измерений магнитной индукции. Составление математической модели задачи затруднено погрешностями измерений и определением координат регулировочных элементов, влиянием магнитного гистерезиса. Для решения оптимизационных задач регулирования и настройки магнитных систем с неточными исходными данными требуется разработка специальных методик.

Актуальностью темы. Разработка методического и программного обеспечения для синтеза оптимальных структур источников магнитного поля, используемых в магнитных системах электротехнических устройств для создания и управления магнитным полем, является актуальной задачей, так как позволяет улучшить технико-экономические показатели выпускаемых изделий и осуществить поиск новых более эффективных технических решений, снижающих материалоемкость и повышающих энергоэффективность продукции. Настоятельная необходимость исследований в этой области подтверждается их направленностью на решение практических задач в рамках приоритетных национальных проектов инновационного развития промышленности России.

Целью диссертационной работы было повышение эффективности использования магнитных и электропроводящих материалов в источниках магнитного поля электротехнических устройств с жесткими требованиями к параметрам пространственного распределения магнитной индукции.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать методику и программное обеспечение для синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов (смесь магнитотвердых и магнитомягких материалов), создающих заданную топографию магнитного поля в объеме рабочей зоны с максимальной магнитной индукцией для заданных габаритных ограничений.

2. Разработать методику и программное обеспечение для регулирования и настройки однородности магнитного поля в рабочей зоне магнитной системы МРТ на постоянных магнитах, с меньшим влиянием на точность настройки погрешностей измерений магнитной индукции, механических люфтов и магнитного гистерезиса, чем в ранее применяемых методиках.

3. Разработать методику и программное обеспечение для синтеза оптимальной геометрии катушек с током магнитных систем МРТ с заданным значением магнитной индукции и наилучшей однородностью поля в рабочей зоне, наиболее полно учитывающие конструктивно-технологические ограничения устройства.

Методы решения поставленных задач. Для решения задач использованы численные методы анализа стационарных магнитных полей, математические методы нелинейного программирования и гармонического анализа теории векторных полей. Экспериментальные исследования осуществлялись с использованием серийной магнитоизмерительной аппаратуры с преобразователями Холла и спектрометрами ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

В результате выполненной работы были получены следующие новые научные результаты:

1. Сформулирована задача и разработана эффективная методика синтеза оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов и гибридных материалов, создающих требуемую топографию магнитного поля в объеме рабочей зоны с максимальной магнитной индукцией в заданных габаритных ограничениях. Методика основана на оригинальных комплексных критериях оптимальности параметров магнитного поля и позволяет определять направления векторов намагниченности или осей анизотропии в элементарных объемах из магнитотвердых материалов с учетом нелинейных свойств используемых магнитных материалов.

2. Разработана новая более точная методика настройки магнитной системы МРТ с подвижными полюсными наконечниками, существенно снижающая влияние на результаты настройки погрешностей измерений магнитного поля и неоднозначности регулирования из-за магнитного гистерезиса и механических люфтов. Методика базируется на решении оптимизационной задачи со специальными критериями, снижающими количество локальных экстремумов. Модели влияния положения полюсных наконечников строятся по данным измерений магнитного поля в рабочей зоне МРТ.

3. Разработана методика поэтапного определения оптимальной конфигурации катушек с током магнитных систем МРТ с однородным магнитным полем в рабочей зоне, наиболее полно учитывающая конструктивно-технологические ограничения устройства. Сформулированы три оптимизационные задачи, решаемые последовательно, для которых предложены и обоснованы критерии, обеспечивающие высокую скорость сходимости решения. Первая задача связана с последовательным сжиманием области возможного расположения катушек. Вторая задача относится к исключению малозначимых элементов катушек. Третья задача — поиск оптимальной геометрии катушек при начальных приближениях и ограничениях, полученных на предыдущих этапах.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием строго обоснованных и подтвержденных экспериментальными данными математических моделей исследуемых объектов. Правильность постановки и решения оптимизационных задач подтверждена результатами тестовых задач с известными аналитическими решениями и данными, опубликованными в научных изданиях. Обоснованием достоверности разработанных методик служит также успешное применение их при настройке промышленных магнитных систем МРТ на постоянных магнитах.

Практическая значимость:

1. На основе разработанных методик решения задач синтеза оптимальных магнитных структур источников поля и настройки магнитных систем составлены компьютерные программы, которые ориентированы на использование при проектировании и изготовление различных магнитных систем электротехнических устройств, где требуется создание заданной топографии магнитного поля с высокой точностью.

2. Разработанная методика и программное обеспечение для настройки магнитной системы МРТ с постоянными магнитами, имеющей магнитную индукцию в рабочей зоне 0,4 Тл, внедрены для промышленного использования в ОАО «Машиностроительный завод», г. Электросталь.

3. Разработанная методика синтеза геометрии катушек с током используется в ООО Hi 111 «Энергомаг» для проектирования магнитных систем сверхпроводящих МРТ с магнитной индукцией 1,5 Тл.

Личный вклад автора. Разработка критериев оптимальности, формулировка оптимизационных задач, разработка всех представленных в работе методик и программного обеспечения для синтеза магнитных структур и настройки магнитных систем. Разработка методов и алгоритмов решения оптимизационных задач с использованием сфероидальных и секторальных сферических гармоник для уравнения Лапласа на поверхности рабочей области магнитной системы. Выполнение всех представленных в работе расчетов и участие в экспериментальных исследованиях.

Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

XVI. Международная конференция по постоянным магнитам. 17 -20 сентября 2007 г. - Суздаль, 2007 г.;

X. Международная конференция «Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism». 14 - 17 сентября 2008 г., - Германия, Технологический университет Ильменау, 2008 г.;

XII. Международная конференция «Электротехнические материалы и компоненты». 29 сентября - 4 октября 2008 г., - Крым, Алушта, 2008 г.;

XVII. Международная конференция по постоянным магнитам. 21 — 25 сентября 2009 г. - Суздаль, 2009 г.;

Две международных научно-технических конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника электротехника и энергетика» г. Москва: МКРЭЭ - 2006, МКРЭЭ - 2007.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ: из них 2 статьи, 6 тезисов докладов в сборниках трудов международных конференцией.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы из 101 наименований. Основная часть работы изложена на 139 страницах машинописного текста, содержит 71 рисунок и 4 таблицы. Приложение изложено на 5 страницах машинописного текста и содержит 6 рисунков и 1 таблицу.

Заключение

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и экспериментальных исследований получен ряд научных и практических результатов, позволивших создать новые эффективные методики синтеза магнитных систем. Основные научные и практические результаты и выводы:

1. Выполнен критический анализ литературы: по построению и использованию оптимальных магнитных структур из постоянных магнитов; по способам настройки магнитных систем МРТ с постоянными магнитами; по магнитным системам томографов, построенным на основе сверхпроводящих катушек с током. На основе анализа литературы выявлены проблемы синтеза оптимальных структур источников магнитного поля и сформулированы основные задачи.

2. Разработаны метод и на его основе программное обеспечение, выполнен цикл расчетных исследований по синтезу пространственного распределения векторов намагниченности и осей анизотропии в оптимальных магнитных структурах по критерию максимальной однородности и напряженности магнитного поля и по критерию заданной функции напряженности магнитного поля. Сформулированы критерии оптимальности, позволяющие наиболее эффективно решать оптимизационные задачи. Работоспособность методики и критериев оптимальности подтверждают сопоставление результатов решения тестовых задач с их известными аналитическими решениями. Рассмотрены системы с применением гибридного материала. Проведено сопоставление гибридного материала с магнитопластом и спечённым NdFeB при использовании их в роторе магнитоэлектрической машины. Разработанное программное обеспечение применяется для синтеза магнитных структур в электротехнических устройствах с заданной пространственной топографией магнитного поля.

3. Создана и апробирована методика настройки магнитного поля в магнитной системе МРТ с постоянными магнитами с использованием поверхностных сфероидальных гармоник решения уравнения Лапласа и построенной на их основе модели возмущений магнитного поля в зависимости от положения подвижных полюсных наконечников. Сформулирована оптимизационная задача и предложен специальный критерий оптимальности, максимально регуляри-зирующий задачу. Подробно рассмотрены сферические и сфероидальные гармоники решения уравнения Лапласа. По методике создано программное обеспечение для настройки магнитных систем МРТ, которое внедрено на промышленном предприятии и применяется для настройки конкретных магнитных систем МРТ томографов с постоянными магнитами и системой подвижных полюсных наконечников.

4. Создана методика и программное обеспечение для трехэтапного синтеза профиля сверхпроводящих катушек для МРТ туннельного типа. Рассмотрены вопросы точности вычисления напряженности магнитного поля для различного разбиения элементов катушки. Описаны секторальные (осесиммет-ричные) сферические гармоники решения уравнения Лапласа. Предложен критерий оптимальность, использующий секторальные сферические гармоники, позволяющий более эффективно решать задачу оптимизации на всех трех этапах синтеза. Сформулировано три оптимизационных задачи синтеза, профиля катушки, решаемых последовательно и позволяющих найти искомое решение общей задачи. Выполнен сравнительный анализ трехэтапного синтеза с более простым способом, показано превосходство предложенной методики. Разработанное, на основе предложенной методики, программное обеспечение применяется при проектировании магнитной системы сверхпроводящего МРТ туннельного типа с магнитной индукцией в рабочей области - 1,5 Тл.

1. Mallinson J. С. One-sided Fluxes A Magnetic Curiosity? — IEEE Transactions on Magnetics, 1973, Vol. MAG-9, No. 4. - C. 678-682.2. http://en.wikipedia.org/wiki/Halbacharray

2. Halbach K. Design of permanent multipole magnets with oriented rare earth cobalt material. -Nucl. Instr. Meth., 1980, vol. 169. C. 1-10.

3. Ni Mhfochain T. R., Weaire D., McMurry S. M., Coey J. M. D. Analysis of torque in nested magnetic cylinders. J. Appl. Phys., 1999, Vol. 86. - C. 6412-6424.

4. Mallinson J.C., Shute H., Wilton D. One-Sided Fluxes in Planar, Cylindrical and Spherical Magnetized Structures. IEEE Transactions on Magnetics, 2000, Vol. 36.-C. 440-451.

5. Shute H. A., Mallinson J. C., Wilton D. T. One-sided fluxes in elliptical cylinders IEEE Transactions on Magnetics, 2001, Vol. 37. - C. 2966-2969.

6. Shute H. A., Mallinson J. C. Magnetostatic Energy of Structures With Rotating Vector Magnetizations. IEEE Transactions on Magnetics, 2003, Vol. 39, No. 5.-C. 2146-2148.

7. Ibrahim Т., Wang J., Howe D. Analysis and Experimental Verification of a Single-Phase, Quasi-Halbach Magnetized Tubular Permanent Magnet Motor With Non-Ferromagnetic Support Tube. IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

8. Wang J., Wang W., Atallah K., Howe D. Demagnetization Assessment for Three-Phase Tubular Brushless Permanent Magnet Machines. IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

9. Jang S., Choi J., Lee S., Cho H., Jang W. Analysis and Experimental Verification of Moving-Magnet Linear Actuator With Cylindrical Halbach Array. -IEEE transactions on magnetics, 2004, Vol. 40.

10. Jian L., Chau К. Т., Gong Y., Jiang J. Z., Yu C., Li W. Comparison of Coaxial Magnetic Gears With Different Topologies. IEEE transactions on magnetics, 2009, Vol. 45.

11. Choi J., Yoo J. Design of a Halbach Magnet Array Based on Optimization Techniques. — IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

12. Xia C., Li H., Shi T. 3-D Magnetic Field and Torque Analysis of a Novel Halbach Array Permanent-Magnet Spherical Motor. IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

13. Bird J., Lipo T. A. Modeling the 3-D Rotational and Translational Motion of a Halbach Rotor Above a Split-Sheet Guideway. IEEE transactions on magnetics, 2009, Vol. 45.

14. Jang S., Lee S., Cho H.W., Cho S. K. Design and Analysis of Helical Motion Permanent Magnet Motor With Cylindrical Halbach Array. IEEE transactions on magnetics, 2003, Vol. 39.

15. Chen J., Xu C. Design and Analysis of the Novel Test Tube Magnet as a Device for Portable Nuclear Magnetic Resonance. IEEE transactions on magnetics, 2007, Vol. 43.

16. Chen J., Zhang Y., Xiao J. Design and Analysis of the Novel Test Tube Magnet for Portable NMR Device. PIERS ONLINE, 2007, VOL. 3.

17. Zhang X., Mahesh V., Ng D., Hubbard R., Ailiani A., O'Hare В., Benesi A., Webb A. Design, construction and NMR testing of a 1 tesla Halbach Permanent Magnet for Magnetic Resonance. COMSOL Users Conference, 2005.

18. Kumada M., Hirao Y., Iwashita Y., Antokhin E., Endo M., Aoki M., Sugiya-ma E., Bolshakova I., Holyaka R. THREE TESLA MAGNET-IN-MAGNET. EPAC, 2002

19. Курбатов П.А., Кузнецова Е.А., Кулаев Ю.В. Проектирование систем с постоянными магнитами открытого типа для магниторезонансных томографов. Электричество. - М., 2007. №7.

20. Zhang Y., Xie D., Bai В., Yoon H.S., Koh C.S. A Novel Optimal Design Method of Passive Shimming for Permanent MRI Magnet. — IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

21. Lopez H. S., Liu F., Weber E., Crozier S. Passive Shim Design and a Shimming Approach for Biplanar Permanent Magnetic Resonance Imaging Magnets. — IEEE transactions on magnetics, 2008, Vol. 44.

22. Jensen J. H. Minimum-Volume Coil Arrangements for Generation of Uniform Magnetic Fields. IEEE transactions on magnetics, 2002, Vol. 38, No. 6, pp. 3579-3588.

23. Garrett M.W. Thick cylindrical coil systems for strong magnetic fields with field or gradient homogeneities of the 6th to 20th order. J. Appl. Phys., 1967, Vol. 38, pp. 2563-2586.

24. Сергеев В. В., Булыгина Г. И. Магнитотвердые материалы. М.: Энергия, 1980. 224с.

25. Постоянные магниты. Справочник/ Под ред. Ю. М. Пятина. М,: Энергия, 1980. 488.с.

26. Куневич А. В., Подольский А. В. Сидоров И. Н. Ферриты: Энциклопедический справочник. Магниты и магнитные системы. Том 1. Лик, 2004 г.

27. Levenberg К. A method for the solution of certain problems in least squares. Quart. Appl. Math., 1944, Vol. 2, pp. 164-168.

28. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters SIAM J. Appl. Math., 1963, Vol. 11, pp. 431-441.

29. Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization Springer, New York, 1999. -651 p.

30. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T. Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2007. — 1256 p.

31. Тамм И. E. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

32. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев.: Техника. 1974,. - 352 с.

33. Курбатов П.А. Машинный синтез оптимальных магнитных систем каскадного типа. Тр. МЭИ, 1978, вып. 386. - С.104-107.

34. Демирчян К.С., Чечурин B.JI. Машинные расчеты электромагнитных полей: учеб. пособие для электротехн. И энерг. Спец. Вузов. М;: Высш. Шк., 1986.-240 с.

35. Кулаев Ю.В., Курбатов П.А. Автоматизация проектирования систем с постоянными магнитами // Электротехника. М., 1999. №10. - 4с.

36. Толмачев С. Т., Ильченко А. В. О способах учета магнита свойств гисте-резисных материалов. Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1977, № 3, с. 90-98.

37. Курбатов П. А., Щукина Т.И. Расчет распределения намагниченности внутри постоянного магнита по его внешнему полю. --1 Тр. МЭИ, 1976, вып.295, с.115-118.

38. Тозони О. В., Романович С. С. О расчете постоянных магнитов на ЭЦВМ. Изв. вузов. Сер. Электромеханика, 1975,№ 8, с. 818-826.

39. Пеккер. Я. И. Расчет магнитных систем путем интегрирования по источникам поля. Изв. вузов. Сер. Электромеханика, 1969 №6 с.618-623.

40. Пеккер И. И. Расчет магнитных систем методом интегрирования по источникам поля. Изв. вузов. Сер. Электромеханика, №9 1964,с. 10471051.

41. Сараев В. В. Методика расчета систем с редкоземельных магнитами, учитывающая реальные кривые намагничивания материала арматуры. -Тр. МЭИ, 1978, вып.388, с. 34-37.

42. Рабинович Я. Д. Расчет постоянных магнитов на ЭВМ. Изв вузов. Сер. Электромеханика, 1973, № 8, с. 896-903.

43. Коген-Далин В.В., Курбатов П. А. Расчет сложных систем с постоянными магнитами на основе интегральных уравнений. МЭИ, 1980, вып.483. с. 75-80.

44. Коген-Дален В.В., Коняев Ю.А., Курбатов П. А. Расчет магнитных систем с редкоземельными магнитами и ненасыщенной арматурой методом интегральных уравнений Электричество, 1975. №7. с.65-67.

45. Курбатов П.А., Каневский Е. И., Кузнецов Э. В. Расчет поля магнитной фокусирующей системы гребенчатого типа с редкоземельными магнитами на ЭВМ методом интегральных уравнений. Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып.7. с. 55-63.

46. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948. 539 с.

47. Колесников Э. В. Интегральные уравнения для расчетов поля однородно намагниченного постоянного магнита. - Изв. вузов. Сер. Электромеханика,- 1975, №8, с.343-347.

48. Калинин И.И., Михайлов В.В. Жуковский Ю. Г. К расчету трехмерного магнитного поля в линейной неоднородной среде методом вторичных источников. Сер. Электромеханика, 1979, №4, с.318-321.

49. Zaky Safwat G., Robertson Stuart D.T. Integral equation formulation for the Solution of magnetic field problems.- IEEE Trans. Power App. and System, 1973, 92, №2, p. 803-815.

50. Trowbridge С. W. Three-Dimensional Field Computation.- IEEE Trans, on Magnetics, vol. MAG-18, № 1. 1982, p. 293-297.

51. Курбатов П.А., Рослякова E.H. Использование интегральных уравнений для расчета магнитных систем магнитоэлектрических аппаратов и машин. Тр. МЭИ, 1980, вып.483, с.80-83.

52. Курбатов П.А. Упрощенный метод расчета магнитных систем с редкоземельными магнитами с тонкой ненасыщенной арматурой. Электричество, 1976, №12, с. 65-66.

53. Никитенко А.Г. Проектирование оптимальных электромагнитных механизмов. М.: Энергия, 1974, 136 с.

54. Вычислительные методы в электродинамике/ Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977, 485с.

55. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.

56. Алехин В.М., Олейникова JI.B. Интегральные уравнения для кусочно-однородных сред при решении граничных задач электродинамики.' Изв. вузов. Сер. Электромеханика, 1973, №4, с. 123-126.

57. Краснов Н.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И, Интегральные уравнения. М.: Наука, 1976.215с.

58. Метод ГИУ/ Под ред. Т. Круз, Ф. Риддо. М.: Мир, 1976. 207с.

59. Сухоруков В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в проводящих средах. М.: Энергия, 1975. 152 с.

60. Том А., Эйплит К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.: Энергия, 1964. 206 с.

61. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 329 с.

62. Johnson Class, Nedelee I. Claude. On the coupling of boundary integral and finite element methods. Mathematics of Computation, 1980, 35, p. 10631070.

63. Shaw Richard Paul. Coupling boundary integral equation methods to other numerical techniques. Recently Advancements Boundary Elements Methods. London-Plymouth, 1978, p. 137-147.

64. Лунин В.П. Восстановление функции распределения намагниченности по внешнему полю постоянного магнита. В кн.: Методы и приборы автоматического неразрушающего контроля. Рига: Рижский политехи, ин-т. 1980. с. 129-136.

65. Программный комплекс EasyMAG3D, http://www.energomag.com

66. Кулаев Ю.В., Курбатов П.А. Программный комплекс Jump для моделирования электромагнитных процессов // Электротехника. М., 2002. №2. -С. 52-55.

67. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 168 с.75. http://www.python.org76. http://ironpython.codeplex.com77. http://www.ironpython.net

68. Герасимов В.Г., Кулаев Ю.В., Курбатов П.А., Петухов А.Д., Терехов Ю.Н., Фролов М.Г. Магнитные системы с повышенной однородностью поля для ЯМР-томографии. Тр. МЭИ, 1983, вып. 18. - С. 3-16.

69. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, таблицами. /Пер. с англ. под ред. Диткина В.А. и Кармазиной Л.Н. М.:Наука 1979. - 832 с, с ил.

70. Moses Н. Е., The use of vector spherical harmonics in global meteorology and aeronomy. J. Atmospheric Sci., 1974.

71. Hill E. H. The theory of vector spherical harmonics. —Amer. J. Phys., 1953.

72. Гибсон Е.И. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952.

73. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

74. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993.

75. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложение. Гос. издательство физ-мат. лит-ры, 1963.

76. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1—3. М.: Наука, 1965-1967.

77. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

78. Пальцев Б.В. Сферические функции: Учебно-методическое пособие. — М.: МФТИ.-54 с.

79. Driscoll J.R., Healy D.M. Computing Fourier Transforms and Convolutions on the 2-sphere. Advances in Applied Mathematics, 1994, vol. 15, pp. 202250.

80. Muciaccia P.F., Natoli P., Vittorio N. Fast Spherical Harmonic Analysis: A Quick Algorithm for Generating and/or Inverting Full-Sky, High-Resolution Cosmic Microwave Background Anisotropy Maps. Astrophysical Journal, 1997, vol. 488, pp. L63-66.

81. Oh S.P., Spergel D.N., Hinshaw G. An Efficient Technique to Determine the Power Spectrum from Cosmic Microwave Background Sky Maps. Astro-physical Journal, 1999, vol. 510, pp. 551-563, Appendix A.

82. Healy D.M., Rockmore D., ICostelec P.J., and Moore. FFTs for the 2-Sphere: Improvements and Variations. Journal of Fourier Analysis and Applications, 2003, vol. 9, pp. 341-385.

83. Potts D., Steidl G., Tasche M. Fast and Stable Algorithms for Discrete Spherical Fourier Transforms. Linear Algebra and Its Applications, 1998, vol. 275-276, pp. 433-450.

84. Moore S., Healy D.M., Rockmore D., Kostelec P.J., SpharmonicKit. Software at http://www.cs.dartmouth.edu/~geelong/sphere.

85. Healy D.M., Kostelec P.J., and Rockmore D. Towards Safe and Effective High-Order Legendre Transforms with Applications to FFTs for the 2-Sphere. -Advances in Computational Mathematics, 2004, vol. 21, pp. 59-105.

86. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука. 1974.-224 с.

87. Byerly W. Е. Elementary Treatise on Fourier's Series and Spherical, Cylin-dric, and Ellipsoidal Harmonics. With Applications to Problems in Mathematical Physics. William Elwood Byerly, 2007. - 300 p.

88. Hofmann-Wellehof В., Moritz H. Physical Geodesy -Springer, 2005. 403 p.

89. Тихонов A.H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Д.: Наука, 1972. 736 с.

90. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. 720 с.

91. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. — 773 с.