автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез оптимального по быстродействию управления в нелинейных электроприводах

СУРКОВ Александр Викторович

На правах рукописи

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОПРИВОДАХ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 9 ЛЕН 2010

Тула 2010

004616684

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Сухинин Борис Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Макаров Николай Николаевич

кандидат технических наук, доцент Струков Константин Валерьевич

Ведущая организация: ОАО «Центральное конструкторское

бюро аппаратостроения», г. Тула

Защита состоится « » декабря 2010 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300012, г. Тула, ГСП, просп. Ленина, д. 92, корп. 9, ауд. 101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, просим направлять на имя ученого секретаря совета.

Автореферат разослан « $ » ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных условиях рыночных отношений исключительное значение приобретает эксплуатация производственного электрооборудования и, в частности, систем автоматического управления промышленными электроприводами в режимах, близких к предельным возможностям, и построение систем наилучших (оптимальных) по какому-либо техническому или экономическому критерию. Особое место среди такого класса систем занимают системы, оптимальные по быстродействию, функционирование которых обеспечивается релейными (разрывными) управлениями. Сокращение продолжительности переходных процессов при регулировании многих технологических объектов повышает производительность агрегатов, что позволяет получить значительный экономический эффект. По мере уменьшения времени изготовления выпускаемой продукции проблема синтеза релейных систем, оптимальных по времени управления электротехническими объектами становится все более актуальной.

Неослабевающий интерес к релейным управлениям (работы Я.З. Цыпкина, В.А. Олейникова, Ю.А. Борцова, Б.В. Сухинина, В.И. Карпова и др.) объясняется тем, что такие системы обладают рядом замечательных свойств: инвариантность к внешним возмущениям и низкая чувствительность к параметрическим возмущениям. Известно, что возмущающие воздействия, приложенные к объекту и не превышающие по модулю соответствующих релейных управлений, не вызывают отклонений фазовых координат объекта (работы М.В. Меерова, C.B. Емельянова, Е.А. Барбашина, В.И. Уткина и др.). Следствием реализации в релейной системе бесконечно большого коэффициента усиления с помощью конечных управляющих воздействий является снижение установившейся ошибки и повышение точности до оптимального значения. Известно также, что только релейный закон управления может обеспечить идеальное воспроизведение любого допустимого входного воздействия (работы A.A. Фельдбаума, A.A. Павлова, Н.В. Фалдина, A.C. Клюева и др.), причем слежение за входным сигналом происходит в скользящем режиме. К достоинствам релейных систем следует также отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации.

С теоретической точки зрения оптимальные по быстродействию системы существенно нелинейны, трудности анализа и синтеза которых широко известны. Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов прошлого столетия. Особенно интенсивно она стала развиваться после того, как было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, известное как принцип максимума Л.С. Понтрягина, появление которого повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. Были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения, теорема о числе переключений (об п интервалах) и

другие, являющиеся фундаментальными для решения задач оптимального управления.

В 60-х гг. начиная с работ A.M. Летова, Р. Калмана, A.A. Красовского и многих других существенное развитие получила теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). В последние годы A.A. Колесниковым разработана синергетическая теория управления.

Однако, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу релейных систем, оптимальных по быстродействию, практическое применение полученных в них результатов весьма ограничено. Это объясняется серьезными затруднениями, возникающими при решении задач оптимизации и последующей реализации оптимальных законов управления.

Анализ литературы, посвященной указанной теме, показал, что в настоящее время не существует законченных аналитических методов исследования и проектирования релейных оптимальных систем управления нелинейными объектами. Существующие методы синтеза оптимальных по быстродействию систем не позволяют успешно преодолевать указанные трудности.

В связи с вышеизложенным разработка достаточно простого и эффективного метода, который успешно позволяет решать задачи синтеза релейных оптимальных по быстродействию систем управления для нелинейных электроприводов высокого порядка, является актуальной задачей.

Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись при финансовой помощи Министерства науки, высшей школы и технической политики РФ по программе "Университеты России", по гранту № 09-0899016 «Разработка методов математического моделирования в новой технологии аналитического конструирования оптимальных регуляторов по критериям точности для систем наведения и слежения за подвижными объектами» в рамках регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований. Результаты исследований используются в научно-исследовательской работе по государственному контракту №02.740.11.0477 от 19 ноября 2009 г. по теме: "Создание энергосберегающей оптимальной системы управления электроприводом для промышленных объектов и объектов спецтехники".

Целью работы является решение важной научно-технической задачи, состоящей в разработке метода и алгоритма синтеза релейных оптимальных по быстродействию регуляторов для нелинейных электроприводов, гарантирующих высокое качество процесса управления и обеспечивающих техническую реализуемость управляющих устройств. К одной из основных целей данной работы относится также решение практических вопросов, связанных с применением полученных результатов для разработки эффективных систем управления конкретными типами электроприводов, имеющих широкое распространение в народном хозяйстве.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовалась теория дифференциальных уравнений, методы теории оптимального управления, методы линейной и нелинейной теории автоматического регулирования, теории матриц. При исследовании электромеханических систем применялись методы обобщенной теории электрических машин. При рассмотрении конкретных систем широко использовалось цифровое моделирование.

Основные положения, защищаемые в диссертации:

- метод синтеза оптимальных по быстродействию систем управления, позволяющий создавать комплексы алгоритмов оптимального управления и соответствующие им структурные схемы систем оптимального по быстродействию управления электроприводами;

- декомпозиция задачи быстродействия многомерных нелинейных систем на шх п однотипных задач, позволяющая решить задачу оптимального быстродействия в многомерных системах;

- утверждение о количестве эквивалентных управлений вида

11' ~ -51£П(Ч;1) дЛЯ некоторого класса нелинейных систем (осциллирующие, многомерные), с линейно входящими управлениями;

- методы аналитического определения функций переключений оптимальных по быстродействию управлений, позволяющие осуществить аналитическое конструирование оптимальных регуляторов;

- методы и способы реализации квазиоптимальных управлений с нелинейными обратными связями, позволяющие получить простые структуры систем управления;

- новые алгоритмы оптимального управления бесколлекторным двигателем постоянного тока.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами теоретических результатов, аналитическим решением конкретных примеров, результатами цифрового моделирования и данными экспериментальных исследований синтезированных систем.

Научная новизна состоит в создании на базе единого подхода метода аналитического конструирования оптимальных по быстродействию регуляторов для класса нелинейных электромеханических объектов с линейно входящими управлениями и обладающих точностью воспроизведения заданных траекторий и низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов. На основе предложенного метода в работе получены следующие новые результаты:

1. Доказано утверждение о количестве эквивалентных управлений вида =-51§п(у() для некоторого класса оптимальных по быстродействию

нелинейных многомерных систем высокого порядка.

2. Предложен метод синтеза оптимальных релейных систем, основанный на использовании доказанной теоремы о количестве интервалов

управлений и принципа декомпозиции задачи АКОР многомерных нелинейных систем на однотипные подзадачи определения эквивалентных управлений.

3. Исследованы свойства функционального уравнения и функций переключения оптимальных по быстродействию регуляторов.

4. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности по быстродействию для осциллирующих и неосциллирующих объектов (в том числе и нелинейных).

5. Решена задача структурного синтеза оптимальных по быстродействию законов управления нелинейными объектами высокой размерности.

6. На основе предложенного метода АКОР по критерию быстродействия разработаны прикладные методики синтеза оптимальных быстродействующих управлений для бесколлекторного двигателя постоянного тока и получены новые структуры оптимальных автоматических систем. Предложен способ управления быстродействующим бесколлекторным двигателем постоянного тока и следящая система для его осуществления. Новизна предложенного метода синтеза оптимальных по быстродействию электроприводов, построенных на базе вентильных синхронных двигателей переменного тока, и его схемная реализация подтверждена патентом на изобретение российского образца №2354036 от 27.04.2009.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложен единый методологический подход к синтезу оптимальных по быстродействию систем управления нелинейными электроприводами.

Практическая значимость работы состоит в прикладной направленности разработанного метода и методик. Для получения законов оптимального управления требуются небольшие затраты времени и объем аналитических выкладок. Параметры синтезированных законов оптимального управления достаточно просто и в общем виде выражаются через параметры объекта управления. Данное обстоятельство создает предпосылки для выявления общих свойств, присущих структурам релейных систем управления электроприводами, что представляет большой интерес для практических приложений.

Результаты диссертации могут быть использованы инженерами в различных отраслях промышленности при проектировании оптимальных по быстродействию электроприводов.

Реализация результатов. Работа выполнена в Тульском государственном университете (ТулГУ) на кафедре электротехники и электрооборудования (ЭиЭО) и в ней нашли отражение результаты исследований, проведенных автором по гранту № 09-08-99016 «Разработка методов математического моделирования в новой технологии аналитического конструирования оптимальных регуляторов по критериям точности для систем наведения и слежения за подвижными объектами» в

рамках регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований. В работе нашли отражение и результаты исследований по государственному контракту №02.740.11.0477: "Создание

энергосберегающей оптимальной системы управления электроприводом для промышленных объектов и объектов спецтехники".

Полученные результаты внедрены в практику проектирования систем управления электроприводом в ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения» г. Тулы, а также применяются в учебном процессе на кафедре ЭиЭО ТулГУ, о чем свидетельствуют соответствующие акты.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на международных конференциях "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ" (Смоленск, 2001; С.-Пб., 2003; Кострома, 2004; Казань, 2005); на международных конференциях и Российской научной школы "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий. Москва-Сочи (2002 - 2003, 2005 - 2008 гг.); на всероссийских научно-практических конференциях «Системы управления электротехническими объектами», Тула, ТулГУ (2002, 2005, 2007, 2010 гг.); на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ в 2007 -2010 гг.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 печатных работ, из них 5 статьей в изданиях, включённых в перечень ВАК. Получен один патент на изобретение и одно положительное решение на выдачу патента.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов по результатам исследований, библиографического списка из 88 наименований и приложения. Основная часть работы изложена на 127 страницах. Работа содержит 30 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставится научная задача, в рамках которой выполняются данные исследования, формулируются цель и основные задачи работы, приводятся положения, определяющие ее структуру и методы исследования.

В первом разделе определяется класс объектов оптимизации, приводится обобщенное математическое описание исследуемого класса нелинейных электромеханических объектов управления (ЭМО), формулируются задачи аналитического конструирования регуляторов ЭМО, обосновывается подход к их решению с использованием теории замкнутых релейных систем.

Особенность рассматриваемых ЭМО состоит в том, что обобщенное математическое описание систем типа "управляемый преобразователь -двигатель" содержит нелинейности полиномиального вида. Кроме того, если учесть, что в следящих системах с ЭМО практически любые сигналы имеют конечные максимальные значения (зону ограничения или насыщения), то

становится понятным, что системы рассматриваемого класса существенно нелинейны.

Анализ литературных источников и проведенный анализ математических моделей различных типов электродвигателей дает основание утверждать, что с достаточной точностью реальные объекты в электромеханике, энергетике и т.д. можно описать обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением возмущенного движения (по терминологии A.M. Ляпунова):

X(t) = A(X) + B(X)-U(t), (1)

где Хе R" - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А(Х) = А| • Х + А2(Х) - матрица-столбец с элементами а;(Х) = а^Х!,х2,...,хп), i = l,2,...,n представляющими собой нелинейные функции от составляющих вектора состояния объекта; В(Х) = В[+В2(Х) - матрица с элементами-функциями Ьу(х,,х2,...,хп),

i = l,2,...,n ; j = l,2,...,m также нелинейного вида; Ue Rm - вектор

управляющих воздействий. Нелинейные характеристики объекта управления принимаются однозначными, а многомерные объекты (1) предполагаются управляемыми, причем вектор управления U(t), компоненты которого являются кусочно-непрерывными функциями, принадлежит замкнутому множеству:

Um={up:up(t)e[-Upmax,Upmax],p = 1.2,...,rn}, (2)

как правило, предполагается, что tipmax = 1.

С учетом высказанных предположений цель работы можно сформулировать математически как решение следующей задачи АКОР релейных систем управления: на множестве допустимых управлений (2) требуется найти закон обратной связи U(t) = Fj[X(t)], образующий совместно с исходным нелинейным объектом (1) устойчивую замкнутую систему, доставляющую минимум не зависящему от управляющего сигнала функционалу

т

J=jF0(X)dt, F0(X) = 1 (3)

о

при переводе объекта управления из начсиыюго положения Xj(0) = х10, х2(0) = х20,..., хп(0) = хп0 в конечное нулевое.

Сформулированная задача АКОР является обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с разрывным управлением, решение которой относится к центральной проблеме современной теории автоматического управления - проблеме оптимизации в "большом" (A.A. Красовский, A.A. Колесников).

Известные методы синтеза оптимальных нелинейных систем имеют фундаментальную значимость, как в теоретическом, так и в практическом

отношении. Они, с одной стороны, имеют не только важное самостоятельное значение, но и создают методическую базу для проникновения в малоисследованную еще область синтеза оптимальных релейных систем управления широко распространенными нелинейными объектами. С другой, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем, обусловленные кусочным постоянством выходного сигнала релейного элемента.

В данной работе процедуру решения задачи АКОР по критерию быстродействия для нелинейных объектов управления предлагается упростить на основе использования особенностей и свойств функций переключения оптимальных релейных регуляторов.

Как известно, общее решение задачи АКОР можно получить методами Р. Беллмана или Л.С. Понтрягина в следующем виде:

U =-sign [У (X)], (4)

где Ч, = [\у1(Х),\у2(Х),...,\|;т(Х)]т- вектор функций переключения регулятора. (signT)7 = (signy1,signy2>--->s'£n4'ni) причем lF = О пересечение поверхностей переключения (разрыва).

Дальнейшее стандартное решение задачи подразумевает подстановку управления (4) в уравнения Беллмана или гамильтониана, что приводит к необходимости решать либо нелинейное уравнение Беллмана в частных производных, либо нелинейную двухточечную краевую задачу.

Поскольку такие решения представляют известные математические трудности, то в диссертации предложено сформулировать задачу следующим образом. Разработать методы и алгоритмы получения решений задачи аналитического синтеза функций переключения релейных систем: найти функцию переключения Ч'(Х), стоящую под знаком sign в оптимальном управлении (4), которое при наличии ограничения (2), переводит объект (1) из произвольного начального Х(0) = Х0 в нулевое конечное состояние Х(Т) = 0 с минимальным значением критерия (3).

Такой подход, во-первых, избавляет от необходимости повторного решения задачи и позволяет использовать важный результат решения задачи методами Р. Беллмана или Л.С. Понтрягина. заключающийся в том, что для релейной системы функция переключения существует. Во-вторых, позволяет воспользоваться принципом декомпозиции задачи на ряд однотипных подзадач существенно меньшей сложности и тем самым легко получить искомое решение аналитически.

Реализация выбранного подхода к синтезу нелинейных систем предполагает решение следующих задач.

Задача исследования 1; установить некоторые новые свойства функций переключения оптимальных релейных систем, позволяющих упростить решение задачи быстродействия.

Задача исследования 2: на основе предлагаемого подхода разработать метод и алгоритмы получения решений задачи быстродействия для нелинейных систем высокого порядка.

Задача исследования 3: проверить метод на известных примерах систем оптимального быстродействия.

Задача исследования 4: разработать оптимальные по быстродействию регуляторы для бесколлекторного двигателя постоянного тока на основе синхронного двигателя. Провести исследования оптимального по быстродействию бесколлекторного двигателя постоянного тока.

Во втором разделе излагаются теоретические основы предлагаемого подхода синтеза оптимальных релейных алгоритмов управления для многомерных нелинейных объектов.

Для решения задачи АКОР по критерию быстродействия предлагается использовать скорость проникновения, то есть проекцию вектора относительной скорости изображающей точки на нормаль к пересечению поверхностей переключения = 0 с учетом уравнений объекта:

4* = в • X = вА + вви. (5)

Здесь строки матрицы С={5Ч//ЭХ} размерности шхп являются градиентами функций у,(Х). Уравнение (5) является основным функциональным уравнением, учитывающим свойства объекта (1) и его каналы управления, и может быть использовано для определения функции переключения и, следовательно, оптимального управления объектом.

Уравнение (5) лежит в основе предлагаемого метода АКОР по критерию быстродействия и дает возможность провести декомпозицию задачи, то есть составить функциональные уравнения для функций переключения каждого управляющего воздействия и, таким образом, решить весьма трудную задачу оптимального управления многомерным объектом высокого порядка и, следовательно, преодолеть "проклятие размерности" Р. Беллмана.

Из уравнения (5) следует, что для ¡-той поверхности переключения У;(Х) = С $ А + С;Ви- + □¡Ви] ■ и(,

где О^гасКу;), и'; =[иьи2,...и; = 0,...,итр, Ц? =[0Д...,и; =1,...,оГ, причем и = О"; +ЬТ"- и;, т.е. вектор столбец и" содержит только одно ненулевое значение в ¡-той строке, равное единице. По отношению к ¡-тому управлению последнее уравнение можно представить в виде:

ч^(Х) = агх = А(х,и';)+фКХ)-и;, (6)

где

^(Х,и';) = С;(А+Ви';), Ф|(Х) = С|Ви", (7)

и1=-81ёп[у;(Х)]. (8)

Для объекта управления (1) можно составить ш функциональных уравнений (6) и определить функции переключения каждого управления. В дальнейшем для сокращения записи будем опускать индекс ! в уравнениях

(6) - (8) и рассматривать функциональное уравнение (6) только для одного канала управления.

Согласно уравнениям (6) - (8), управление (8) переводит объект (1) из произвольного начального состояния Х(0) = Х0 на многообразие 1|/(Х) = О или эквивалентный ему на данном интервале объект (6) из \|/(Х0) = ф0 на у = 0, причем дальнейшее движение объекта будет происходить по многообразию у = 0. Из литературы известно, что при = 0 теоретически должно наступить оптимальное сингулярное (особое, вырожденное, а по методу В.И. Уткина - эквивалентное) управление и =— Г(Х,и')/<р(Х). Вследствие неидеалыюсти характеристики реле и неизбежного запаздывания в системе на практике тождество = 0 никогда не выполняется (переключение всегда происходит после пересечения изображающей точкой поверхности = 0). При этом в соответствии с формулой (8) знак оптимального управления будет изменяться с высокой частотой, зависящей от инерционных свойств объекта и всегда практически присутствующей, неидеальности характеристики реле. Таким образом, при = 0 вместо сингулярного режима с управлением и = -ДХ)/ф(Х) в общем случае наступит скользящий режим с и = ~[| ДХ) |/ф(Х)]- sign[f(X)] и средним значением и^, = -Г(Х)/ф(Х).

Исследование частных случаев проекции движения объекта (1) на подпространство у в соответствии с уравнением (6) приводит к следующим выводам.

• Для перевода объекта (1) или эквивалентного ему на данном интервале объекта (6) из начального состояния \|/0 на многообразие ц/ = 0 при ф(Х)>0 с минимальным значением функционала (3) и ограничении на управляющий сигнал |и(1:)| 51 необходимо и достаточно оптимального управления

и=-51Еп(1КХ)). (9)

• Для оптимального по быстродействию управления осциллирующим объектом необходимо, чтобы коэффициенты ДХ,и') и ф(Х) основного функционального уравнения для функции переключения (2.5) удовлетворяли условию

|Г(Х)|>Ф(Х)>0 (10)

Если при этом |Г(Х)| = ф(Х), то управление (9) будет оптимально по критерию быстродействия для неосциллирующих систем. Для осциллирующих систем необходимо [ ^ (X) | > ф,(Х) и достаточно условия | ^ (X) | = ф] (X) в момент окончания текущего и начала следующего интервала.

Отмеченные выводы позволяют обосновать более простой в применении и эффективный метод синтеза оптимальных управлений по критерию быстродействия для нелинейных систем.

Уравнения (6) и (8) определяют множество допустимых законов управления, обеспечивающих перевод объекта (1) из произвольного начального состояния в окрестность многообразия 1|/(Х) = 0. С целью выбора законов управления, удовлетворяющих требуемым условиям, в работе исследуются некоторые свойства функций переключения оптимального управления (8), главными из которых являются:

1. Свойства функционального уравнения.

- Функция переключения Ч<(Х) может быть определена из функционального уравнения (6) при известных составляющих Г(Х, Ь") и Ф(Х).

-При известной матрице коэффициентов в(Х) = ..,§„)

оптимальное управление (8) для объекта (1) по критерию (10) при ограничении (2) определяется интегрированием уравнения (6): у(Х) = |Ъ(Х)- Х- сИ + С, где = сц//сх,; С - постоянная интегрирования.

- Один из коэффициентов матрицы в функционального уравнения (6) можно принять равным единице.

- Для того чтобы управление (8) было оптимальным по критерию (3), функция ф(Х) должна быть положительно определенной.

2. Инвариантные преобразования.

- Функцию переключения \у(Х) можно умножать на любую

положительно определенную функцию Ф(Х,Х,и).

- Правую часть функционального уравнения (6) можно умножать на любую положительно определенную функцию Ф(Х,Х,и).

3. Быстродействующие режимы осциллирующих систем.

Для оптимального по быстродействию управления осциллирующим объектом необходимо, чтобы коэффициенты Г(Х,и') и ф(Х) основного функционального уравнения (6) удовлетворяли условию

К(Х,и')|>Ф(Х)>0, (13)

которое обеспечивает отсутствие скользящих режимов.

- Если условие (13) имеет вид строгого неравенства, то эквивалентного управления при 1|/(Х) = 0 не возникает, так как в противном случае необходимо потребовать выполнения неравенства |и2|>1, что невозможно по условию задачи. Таким образом, после первого переключения »у(Х) не остается равной нулю и поэтому сжатия фазового пространства не происходит, что свидетельствует о колебательном характере процесса управления.

- Для того чтобы в результате действия управления (8) в осциллирующей системе (1) при ф(Х)>0 функция переключения Ц)(Х) стала и оставалась равной нулю, достаточно выполнения условия |Г(Х,и')|=ф(Х), начиная с момента времени, когда \у(Х) = 0 и ЧЧХ) = 0.

- Для осциллирующих объектов сжатие фазового пространства наступает не после первого переключения, а через несколько переключений в зависимости от показателя колебательности системы.

- Как только при очередном переключении будет выполняться условие сжатия фазового пространства систем, оптимальных по быстродействию | Г(X, и') |= ф(Х), возникает разрывное эквивалентное управление

и2 =н%1[Г(х2,х3,...,хп,и')]. (14)

- При применении последовательно (п-1) раз равенства (13) можно записать: | и„ | = [ иц_! |= ... = | и2 [ = |и| = I, а последнее эквивалентное управление ип = ~51§п(хп) переводит объект (1) по линии переключения в начало координат.

4. Быстродействующие режимы неосциллирующих систем.

Для оптимального по быстродействию управления неосциллирующими

объектами необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ДХ,и') и

ф(Х) основного функционального уравнения (6) удовлетворяли условию

|«Х,и')|=Ф(Х). (15)

- При выполнении условия (15) скользящего режима не возникает.

- В момент первого переключения размерность пространства состояний объекта регулирования скачкообразно уменьшается на единицу.

- С момента первого переключения возникает разрывное эквивалентное управление ц2 = -51£п[т(х2,хз,...,ха,и')].

- При применении последовательно (п -1) раз равенства (15) получим:

I чп | = | ип_! | =... = | и2 | = | и |= 1, причем последнее эквивалентное управление ип =-sign(xn) переводит объект (1) по линии переключения в начало координат. Рассмотренные и доказанные свойства функционального уравнения (6) и функции переключения оптимального управления приводят к следующим выводам.

- Для оптимального по быстродействию управления неосциллирующими объектами на ¡-том интервале необходимо и достаточно знака равенства в выражении (13).

- Для оптимального по быстродействию управления осциллирующими объектами на ¡-том интервале необходимо, чтобы левая часть выражения (13) была больше средней части при совершении колебательных движений объекта в окрестности многообразия \уДХ) = 0 и достаточно

превращения неравенства (13) в равенство с момента окончательного сближения с многообразием (X) = 0.

В работе рассмотрены вопросы устойчивости оптимальных по быстродействию систем.

Для асимптотической устойчивости в целом по Ляпунову объекта (1) на каждом интервале движения от ij/i0 до уДХ) = 0 необходимо и достаточно выполнения условия | f(X,U')|=<p(X) в моменты переключения реле на многообразии \|/(Х) = 0.

Проведенные исследования одного из интервалов движения объекта (1) от ц/0 до у(Х) = 0 позволили сформулировать и доказать утверждение о количестве эквивалентных управлений для исследуемого класса нелинейных и осциллирующих объектов:

• Если объект управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1) n-го порядка, то для оптимального по быстродействию управления (8) необходимо и достаточно не более п интервалов управлений U; = -sign(v|/;), а знаки при смене интервалов должны чередоваться (п -1) раз.

— Для осциллирующих объектов некоторые интервалы управлений будут иметь несколько чередующихся по знаку интервалов максимального значения управления.

- Для неосциллирующих объектов п интервалов управлений U; = -sign^) равны п интервалам максимального значения управления теоремы A.A. Фельдбаума.

Доказанное утверждение о количестве эквивалентных управлений легко обобщается и на многомерные объекты.

Рассмотренные в работе свойства функций переключения и утверждение о количестве эквивалентных управлений позволяют предложить различные методы поиска оптимальных управлений объекта (1). Методы синтеза функций переключения оптимальных регуляторов основаны на получении для заданного объекта (1) с ш каналами управления основного функционального уравнения (5). Далее осуществляется декомпозиция многомерной задачи на ш однотипных задач. Затем в соответствии с утверждением о количестве интервалов управлений осуществляется декомпозиция каждой из m задач на п однотипных задач определения соответствующих функциональных уравнений и функций переключения для каждого интервала движения системы. На последнем этапе в соответствии с функциональным уравнением (6) все функции переключения объединяются в общую функцию переключения каждого из m управлений, и записывается окончательное решение для многомерного управления объектом.

В третьем разделе в качестве примера рассматривается методика решения задачи быстродействия для неосциллирующих объектов л-ного порядка с полиномиальными нелинейностями: ¿¡ = РДХ), i = l,2,...,(n-1),

xu =Fn(X)+u, |u|<l. На основе утверждения о количестве эквивалентных управлений функция переключения последнего интервала v|/n = х„. Решая задачу последовательно от предпоследнего интервала к первому функции переключения определяют из уравнений

5x¡ oxi+1 Эхп_1 ox„

например, методом степенных рядов и записывают решение: u = -sign(\^1). Применяя данную методику для объекта, состоящего из трех последовательно включенных интеграторов, получим:

Хэ ? Зх,х, х,х, +—+ х,х: + — 2 J 2 2

X, X,

и=—51§П<{ Х, + Х2 + Х2 + Х2+ —+

И 3

Моделированием установлено совпадение переходных процессов с известным из литературы и найденным управлением (с точностью до членов степенного ряда третьей степени).

На конкретных практических примерах электроприводов: нелинейного, осциллирующего, многомерного осциллирующего (с двумя управлениями), показываются особенности предлагаемых аналитических методов. Все примеры раздела (до пятого порядка) выбирались из условия возможности сравнения получаемых решений с решениями, известными из литературы.

Рассмотрим, например, методику решения задачи оптимального быстродействия для системы автоматического управления нейтральным объектом с помощью сервомотора постоянной скорости:

X] = х2, х2=и, ¡и(0|<1 (16)

Будем искать решение, начиная с первого интервала. Составляем основное функциональное уравнение (6) для данной задачи: У = ёг +й2 ■ х2. В соответствии со свойством 1 выбираем = 1. В силу уравнений объекта (16) функциональное уравнение (6) принимает вид: Н» = Г(Х) + ф(Х)-и = х2+g2u. Здесь Г(Х) = х2, ср(Х) = ■ Согласно условию быстродействия (свойство 6), для рассматриваемой задачи | х2 |= %г > О и функциональное уравнение (6) приобретает вид:

у = х2+|х2|-и. (17)

Перепишем (17) в силу уравнений объекта: = х,+1 х2 | х2. Интегрируя ф, получим

, IХ2 ['Х2 • Г IХ2 1-х? ,1

\^(х1,х2) = X) ———- и закон управления и = -зщп

+ -

полностью совпадающий с известным.

Рассмотрим пример синтеза быстродействующего управления нелинейным электроприводом постоянного тока с нагрузкой, нелинейно зависящей от частоты вращения, или с внутренней нелинейной обратной

связью в виде "отсечки" по скорости, введенной для ограничения этой координаты

Х1=Х2, х2=-х2 + и(0 (18)

Воспользуемся уравнением (17), справедливым для определения оптимальных быстродействий любых систем второго порядка рассматриваемого класса, и подставим в него уравнения объекта (18):

Ч/ = х,-(1+х,|х2|-х^)+|х2|-х2. (19)

Разделим правую часть (19) на положительно определенную величину 1+ X! | х2 |-х2:

* = 'Х2,И' 2- (20) 1 + х, |х2 |-х5

Интегрированием выражения (20) с учетом условия для поверхности переключения в начале координат: чЧх1 —> 0,х2 —> 0) —» 0, определяем

1 1—|х2[ + х| 1 2х25^п(х2)-1 1 4 1 . , .

и управление и = -б'^п^) , также совпадающее с известным управлением.

Рассмотренные примеры наглядно показывают, что предлагаемый метод аналитического конструирования регуляторов по критерию быстродействия на основе использования свойств функции переключения не требует решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, двухточечной краевой задачи, исключает определение фазовых траекторий методом фазовой плоскости и выгодно отличается от известных способов простотой применения. Предложенный метод позволяет относительно просто решать сложные задачи оптимального управления, а также легко проверить любое управление на оптимальность с помощью доказанных достаточных условий.

Эффективность и простота предлагаемого метода АКОР по критерию быстродействия показывается, в том числе, и на примере методики синтеза систем управления нелинейными осциллирующими объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями Дюффинга: Х! = Х2, х2=-х1-х!+и, М<1.

Для упрощения решения и реализации регулятора предлагается использовать условие быстродействия для неосциллирующих объектов. Подставляя в (17) уравнения объекта и интегрируя, получим квазиоптимальный по быстродействию закон управления (оптимальный по критерию обобщенной работы)

(V У2 хМ 1

х,+ у+у+тН^1' {21)

и = = -sign

]

В работе показано, что линия переключения, построенная в соответствии с выражением (21), практически совпадает с линией переключения для первого полвитка, известной из литературы (A.C. Клюев, A.A. Колесников) и рассчитанной по достаточно сложной процедуре с помощью ЭВМ.

В четвертом разделе метод АКОР по критерию быстродействия, основанный на утверждении о количестве эквивалентных управлений применяется для поиска оптимальных управлений бесколлекторного двигателя постоянного тока на основе трехфазного синхронного двигателя. Это нелинейный объект управления с двумя управляющими воздействиями ud и uq:

+ +Х-L-a.-iq =ud;

dt

di„

•¡R-iq + X-L-^+L-co-id + M-If-co = uq;

(22)

J

"dt""

m,.. =-m„

где Я —активное сопротивление обмотки статора двигателя, Ь —коэффициент индукции по продольной оси двигателя, А. — коэффициент явнополюсности, I - момент инерции вращающихся масс, М - коэффициент взаимоиндукции между обмоткой статора и ротора, шн - момент нагрузки на валу двигателя, Кр - коэффициент передачи редуктора привода, ¡л и ¡ч - токи двигателя по продольной и поперечной осям соответственно, иа и ич — напряжения

питания двигателя по продольной и поперечной осям соответственно, о -угловая скорость двигателя.

Для объекта (22) получены оптимальные по быстродействию законы управления: = ит-^(и^-к-; иа = ит-и£п(ишад-к-¡а) -

системы

-sign

со

d = um-sign(ud3aA-k-id); регулирования тока М-If' 2 3-M-If

-'— (О +--L

Чзад

двигателя (момента)

ДЛЯ

и

2-U„

3- М- If • А,- L

4iJ

4- J- U„

•sign(iq)

для системы

max ' " wmax

регулирования скорости двигателя и предложен способ управления бесколлекторным двигателем постоянного тока и следящая система для его осуществления, защищенные патентом №2354036 от 27.04.2009.

Заключение

В диссертационной работе решена научно-техническая задача анализа и синтеза оптимальных по быстродействию систем управления электроприводами, имеющая большое практическое значение для интенсификации производства и повышения качества выпускаемой продукции. Решение указанной задачи, заключающееся в разработке метода

структурно-алгоритмического синтеза и технической реализации оптимальных по быстродействию систем управления для некоторого класса нелинейных электромеханических объектов с линейно входящими управляющими воздействиями, обладающих низкой чувствительностью к параметрическим и координатным возмущениям, позволяет существенно улучшить показатели качества синтезируемых систем, а также значительно сократить сроки проектирования и объемы последующей экспериментальной доводки систем управления.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Разработан метод структурно-алгоритмического синтеза и технической реализации оптимальных по быстродействию систем управления нелинейными электромеханическими объектами, обладающих низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов. Метод является основой решения формулируемых задач АКОР по критерию быстродействия для нелинейных объектов.

2. Предложен подход к определению количества интервалов и эквивалентных оптимальных релейных управлений для каждого интервала переходного процесса нелинейных автоматических систем. Сформулировано и доказано утверждение о количестве эквивалентных управлений для некоторого класса нелинейных систем.

3. С единой позиции, базирующейся на основном функциональном уравнении и свойствах функции переключения оптимального управления нелинейными объектами, изложены теоретические принципы построения оптимальных быстродействующих систем, позволяющие преодолеть "проклятие размерности" Беллмана.

4. Решена задача структурного синтеза оптимальных по быстродействию законов управления нелинейными объектами высокой размерности. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности по быстродействию для осциллирующих и не осциллирующих (в том числе и нелинейных) объектов.

5. Эффективность и аналитическая простота применения разработанного метода, методик, способов конструирования различных оптимальных регуляторов показана на многочисленных примерах, в том числе и при решении актуальной задачи синтеза и исследования оптимального следящего привода с бесколлекторным двигателем постоянного тока. Для получения законов оптимального управления, синтезируемых аналитически, требуются сравнительно небольшие затраты времени и объем математических выкладок.

6. Выполненный в • диссертации комплекс теоретических и экспериментальных исследований нашел практическое применение при создании опытно-промышленных образцов систем управления электроприводами с вентильным двигателем для радиолокационных станций, а также в учебном процессе Тульского государственного университета.

Внедрение разработанных систем оптимального управления не требует

больших затрат и позволяет получить ощутимый экономический эффект.

Список публикаций по теме диссертации

1. Сурков, A.B. Свойства функции переключения оптимальных регуляторов [Текст] / В.В. Сурков, Б.В.Сухинин, A.B. Сурков, В.И. Ловчаков // ММТТ-14, Сборник трудов Межд. науч. конф. - Смоленск, 2001. Том 2. С. 59-60.

2. Сурков, A.B. Система управления гироприводами, построенными на базе трехстепенных электрических машин [Текст] / А.Э. Соловьев, В.П. Карпухин, A.B. Сурков // Известия вузов. - Тула: ТулГУ, 2002. С. 133 -134.

3. Сурков, A.B. Критерий оптимальности релейных систем [Текст] / Б.В. Сухинин, Е.И. Феофилов, A.B. Сурков // Материалы межд. науч. конф. -Москва-Сочи, 2002. С. 6 - 7.

4. Сурков, A.B. Вентильный двигатель с последовательным возбуждением [Текст] / A.B. Сурков, В.Е. Дубальский, Б.В. Сухинин // Материалы межд. науч. конф. - Москва-Сочи, 2002. С. 4.

5. Сурков, A.B. Подход к синтезу оптимальных управлений нелинейными многомерными объектами [Текст] / А.Э. Соловьев, Б.В. Сухинин, A.B. Сурков // Материалы межд. науч. конф. - Москва-Сочи, 2003. С. 17.

6. Сурков, A.B. Оптимальные по быстродействию управления в электромеханических системах [Текст] / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, В.И. Ловчаков, A.B. Сурков // ММТТ-16, Сборник трудов Межд. науч. конф. -С.-Пб., 2003. С. 51-52.

7. Сурков, A.B. К вопросу о критерии качества систем, оптимальных по точности [Текст] / A.B. Сурков, А.Ю. Егоров, В.В. Сурков // ММТТ-17, Сборник трудов Межд. науч. конф. - Кострома, 2004. С. 10.

8. Сурков, A.B. Аналитическое конструирование оптимальных по быстродействию систем [Текст] / Б.В. Сухинин, A.B. Сурков // Известия вузов. Вып. 3. Серия: Проблемы управления электротехническими объектами. — Тула: ТулГУ, 2005. С. 119 — 121.

9. Сурков, A.B. Достаточные условия устойчивости оптимальных по быстродействию систем [Текст] / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, Е.И. Феофилов, A.B. Сурков // ММТТ-14. Сборник трудов Межд. науч. конф. -Казань, 2005. С. 95 - 96.

10. Сурков, A.B. Аналитическое конструирование оптимального по точности регулятора для нелинейного следящего электропривода [Текст] / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков // Инфо - 2007, Материалы межд. науч. конф. - Сочи, 2007. С. 81 - 83.

11. Сурков, A.B. Критерий точности в задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов [Текст] / В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, A.B. Сурков // Вести высших учебных заведений Черноземья. Липецк: ЛГТУ, 2006. №2(4). С.64 -71.

12. Сурков, A.B. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов многомерных объектов [Текст] / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков Н СУЭТО-4., Системы управления электротехническими объектами. Вып. 4.-Тула, 2007. С. 124-127.

13. Сурков, A.B. Оптимальный по точности моментный вентильный двигатель [Текст] / В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, A.B. Сурков, А.Ю. Егоров // Инфо - 2008, Материалы межд. науч. конф. - Сочи, 2008. С.270-271.

14. Сурков, A.B. Учет упругих связей в оптимальной по точности системе управления электроприводом [Текст] / Б.В. Сухинин, A.B. Сурков, Д.В. Козлов, C.B. Москвин // Инфо - 2008, Материалы межд. науч. конф. -Сочи, 2008. С.172-174.

15. Сурков, A.B. Способ управления вентильным двигателем и следящая система для его осуществления [Текст] / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, А.Ю. Егоров, А.Н. Домнин, A.B. Сурков // Патент №2354036, 27.04.2009.

16. Сурков, A.B. Решение задач быстродействия с помощью степенных рядов. [Текст] / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин // Вестник Тульского государственного университета. Серия: Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 5. - Тула: ТулГУ, 2010. С. 189 -193.

17. Сурков, A.B., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Количество интервалов управлений оптимальных по быстродействию систем [Текст] / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков // Известия вузов. Вып. 1 — Тула: ТулГУ, 2010. С. 138-148.

18. Сурков, A.B. Способ управления вентильным двигателем и следящая система для его осуществления [Текст] / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, АЛО. Егоров, А.Н. Домнин, A.B. Сурков // Положительное решение на выдачу патента на изобретение. Заявка №2009131225/07(043664). Дата подачи заявки 17.08.2009.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 26.04.2010 г. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 эю. Заказ 024

Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.

1.1 Структура силового электропривода.

1.2 Математическое описание электромеханических систем.

1.3 Электропривод с бесколлекторным двигателем постоянного тока

1.4 Нелинейности электромеханических следящих систем.

1.5 Обобщенное математическое описание электромеханических систем и задача управления.

1.6 Методы синтеза и анализа оптимальных по быстродействию систем.

1.7 Допустимые воздействия на оптимальные системы с разрывным управлением.

Постановка задачи.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПО

БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1 Основное функциональное уравнение для функций переключения оптимальных регуляторов.

2.2 Свойства основного функционального уравнения и функций переключения оптимальных регуляторов.

2.3 Устойчивость оптимальных режимов.

2.4 Количество интервалов управлений оптимальных по быстродействию систем.

Выводы.

3 СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ.

3.1 Методика синтеза быстродействующих регуляторов.

3.2 Синтез функций переключения в системах второго порядка

3.3 Синтез функций переключения в системах третьего порядка

3.4 Синтез функций переключения в системах высокого порядка. . 98 Выводы.

4 СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ БЕСКОЛЛЕКТОРНОГО ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

4.1 Описание бесколлекторного двигателя постоянного тока как объекта управления.

4.2 Синтез оптимального по быстродействию регулятора тока (момента) бесколлекторного двигателя постоянного тока.

4.3 Синтез быстродействующего регулятора скорости бесколлекторного двигателя постоянного тока.

Подавляющее большинство производственных машин и аппаратов, а также объектов спецтехники оснащается электрическими приводами (ЭП), являющимися силовыми элементами замкнутых электромеханических систем (ЭМС). Ядром большого числа исполнительных механизмов в различных отраслях производства является управляемые ЭМС с разнообразными электрическими двигателями (постоянного тока, асинхронными, синхронными, вентильными, линейными). Интенсификация производства, повышение качества выпускаемой продукции на основе внедрения передовых технологий, современных машин и механизмов ведет к ужесточению требований к электроприводу, на который возлагается задача осуществления сложных перемещений рабочих органов механизмов по заданным траекториям с предельными точностью и быстродействием. Указанные перемещения могут быть произведены только под контролем соответствующих систем управления (СУ).

На современном этапе проектирования систем управления достижению предельных показателей функционирования электропривода постоянного или переменного токов препятствуют следующие их особенности как объектов управления (ОУ).

При синтезе алгоритмов оптимального управления регуляторов необходимо учитывать как нелинейность характеристик двигателей, так и нестабильность параметров указанных характеристик в процессе функционирования ЭМС, а также действие большого числа дестабилизирующих, возмущающих факторов, информация о которых является, как правило, неполной. Примерами таких ЭМС являются: приводы наведения вооружения зенитных установок, электроприводы антенн радиолокационных станций, работающих в условиях флуктуаций моментов нагрузки, моментов трения, шумов в сигнале управления и нестабильности параметров систем, изменяющихся в процессе эксплуатации.

Из современной теории нелинейной динамики и теории оптимизации известно, что только в классе нелинейных моделей и управлений можно добиться существенного повышения качества динамических и установившихся процессов в ЭМС, в том числе в отношении их точности и быстродействия. В известном уникальном справочнике [23] по ТАУ, подготовленным группой отечественных ученых под руководством A.A. Красовского синтез оптимальных управлений нелинейными объектами отнесен к основной проблеме современной ТАУ (СТАУ). Однако, как отмечает A.A. Колесников в своей широко известной монографии "Синергетическая теория управления" [18] ".ситуация в этой области приняла в настоящее время угрожающий и, по всем признакам, кризисный характер". Авторы справочника [23] отмечают, что ".в развитии СТАУ с точки зрения практики далеко не все обстоит благополучно. Классическую ТАУ в основном создавали инженеры для инженеров. СТАУ создают в основном математики для инженеров и во все большей мере математики для математиков. Последнее с точки зрения практики вызывает определенное беспокойство. Главное негативное влияние на практическое внедрение методов СТАУ оказывает масса оторванных от практических потребностей и возможностей работ и даже направлений, интересных в математическом отношении, но бесплодных в отношении современных приложений". A.A. Колесников отмечает "Другими словами, в СТАУ "математическое содержание" во многом подавляет физическое начало, которое фактически отсутствует в самой формулировке основной задачи управления и, что особенно важно, в подходах к ее решению. И только в последнее время в работе академика A.A. Красовского [24] была поставлена проблема создания "физической теории управления".

Из сказанного следует актуальность разработки прикладной теории оптимального по быстродействию управления и методов исследования нелинейных систем управления объектами.

Настоящая диссертация посвящена разработке относительно простого, "инженерного" метода оптимального по быстродействию управления нелинейными электроприводами. Необходимость разработки указанного метода возникла при решении ряда задач синтеза высокоточных быстродействующих следящих приводов. Однако рассматриваемые в работе теоретические вопросы характерны не только для данных систем. Они являются общими и весьма актуальны для СТАУ.

Известно, что оптимальные по быстродействию системы являются разрывными. Разрывность управления приводит к тому, что правая часть дифференциальных уравнений движения в системе также претерпевает разрывы.

Здесь необходимо сказать об одном чисто техническом аспекте применения систем с разрывными управлениями. В настоящее время с целью повышения быстродействия все чаще и чаще используются электрические безынерционные исполнительные устройства, построенные на базе силовых электронных элементов, которые могут функционировать исключительно в ключевом режиме. Поэтому, даже если применяются непрерывные алгоритмы, управляющее воздействие будет сформировано в виде высокочастотного разрывного сигнала, средняя составляющая которого равна желаемому непрерывному управлению. В такой ситуации представляется более естественным использовать алгоритмы, заранее ориентированные на разрывный характер управляющих воздействий.

Охарактеризуем трудности, которые возникают при попытке воспользоваться свойствами разрывных управляющих воздействий для построения систем автоматического управления электроприводами (ЭП), рассмотренными в разделе 1, где проводится анализ математических моделей ЭП различных типов. Особенность рассматриваемых ЭП состоит в том, что обобщенное математическое описание систем типа "управляемый преобразователь - двигатель" содержит нелинейности полиномиального вида.

Таким образом, для ЭП, представленных указанными моделями, возникла необходимость решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) по критерию быстродействия. Решение указанной задачи, являющейся нелинейной многомерной задачей Летова -Калмана, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения электромеханических объектов и практически важную задачу.

Синтез" нелинейных систем методами АКОР сопряжен со значительными математическими трудностями, связанными с отсутствием, за редким исключением, общих аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Так, например, применение метода динамического программирования Р. Беллмана предполагает решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которое практически осуществимо для объектов не выше третьего порядка. Применение принципа максимума A.A. Понтрягина приводит к необходимости решать нелинейную двухточечную краевую задачу. Для объектов высокого порядка применяется метод синтеза A.A. Красовского по критерию обобщенной работы, но его использование встречает определенные трудности при синтезе оптимальных по быстродействию управлений. Синергетическая теория управления A.A. Колесникова носит "эвристический" характер и не решает проблемы быстродействующих управлений.

Поэтому задача разработки методов синтеза оптимальных по быстродействию нелинейных систем, функционирующих в условиях неопределенности, представляет особый научный и практический интерес и является центральной не только в теории ЭМС, но и в современной теории оптимального управления.

Принятая в диссертации концепция, основанная на применении функций переключения оптимальных регуляторов, позволяет, с одной стороны, выяснить свойства функций переключения и, с другой стороны, -указать класс систем, для которых оптимальные управления могут быть выписаны однозначно. Для такого класса и рассматривается далее метод построения систем оптимального по быстродействию управления.

В разделе 2 излагаются теоретические основы синтеза оптимальных по быстродействию алгоритмов управления. Для реализации предлагаемого подхода необходимо иметь условия возникновения режимов быстродействия, которые в известной нам литературе не рассматривались. С математической точки зрения задача сводится к определению области притяжения к многообразию пересечения поверхностей разрыва. Предлагаемые решения сформулированы в терминах теории оптимального управления и получены в результате обобщения классических положений (теоремы A.A. Фельдбаума, A.A. Красовского) на разрывные системы, когда речь идет не об отдельных движениях, а о множестве траекторий из некоторой области на поверхностях разрыва.

Большое внимание в работе уделяется разработке простого, инженерного метода синтеза систем управления, оптимальных по критерию быстродействия, которые составляют раздел 3. На основе таких фундаментальных понятий, как функция и поверхность переключения, скорость проникновения поверхности переключения, устойчивость систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями рассмотрены примеры задач оптимизации различных объектов: нелинейного, осциллирующего, многомерного осциллирующего (с двумя управлениями), третьего, четвертого и пятого порядков. Все примеры раздела выбирались из условия возможности сравнения получаемых решений с известными из литературы. Рассмотренные примеры показывают, что разработан новый инженерный метод решения относительно сложных задач оптимального по быстродействию управления, причем с помощью предлагаемой прикладной теории легко проверить любое управление на оптимальность с помощью доказанных достаточных условий.

В отличие от задач быстродействия в классической постановке, когда оптимальное управление не всегда носит релейный характер, в предлагаемом методе оптимальное управление остается всегда релейным, что 1 обеспечивается скользящим режимом движения фазовой точки по границе области с эквивалентным непрерывным управлением.

В четвертом разделе основные положения прикладной теории синтеза оптимальных по быстродействию управлений применяются для поиска управления нелинейным бесколлекторным двигателем постоянного тока.

Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись при финансовой помощи Министерства науки, высшей школы и технической политики РФ по программе "Университеты России", гранту № 09-08-99016 «Разработка методов математического моделирования в новой технологии аналитического конструирования оптимальных регуляторов по критериям точности для систем наведения и слежения за подвижными объектами» в рамках регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований. Результаты исследований использовались в научно-исследовательской работе по государственному контракту № 02.740:11.0477 от 19 ноября 2009 г. по теме: "Создание энергосберегающей оптимальной системы управления электроприводом для промышленных объектов и объектов спецтехники".

Автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую благодарность своим соавторам многих научных работ, научному руководителю д.т.н., проф. Сухинину Борису Владимировичу за консультации, существенно обогатившие содержание диссертационной работы.

ВЫВОДЫ:

1. Предложен метод, основанный на применении теоремы об п интервалах управлений. Метод носит аналитический характер, он не требует решения двухточечной краевой задачи или определения фазовых траекторий методом фазовой плоскости и выгодно отличается от известных методов простотой применения (на уровне инженерных требований).

2. Предложена инженерная методика проверки любого известного управления на оптимальность, например, по быстродействию. Становится возможным проверять получаемые решения с точки зрения устойчивости и быстродействия переходных процессов. Для применения методики необходим минимум сведений: математическое описание объекта и закон управления, претендующий на оптимальность.

3. Эффективность применения метода и методик доказана путем сравнения получаемых оптимальных управлений с известными решениями. Показано, что переходные процессы рассматриваемых объектов от полученных управлений и от известных из литературы практически полностью совпадают.

4. Точные аналитические методы и методики основаны на возможности аналитического интегрирования функциональных уравнений с учетом уравнения объекта для определения функций переключения на каждом интервале движения. Показано, что точные законы оптимального управления достаточно громоздки, особенно оптимальные по быстродействию, и их определение часто наталкивается на трудности математического плана, связанные с аналитическим интегрированием функциональных уравнений.

5. Приближенные методы и методики основаны на интегрировании в общем случае (п-1) функционального уравнения самой системой оптимального управления. Точность приближения зависит от точности определения средствами вычислительной техники в общем случае (п — 1) констант интегрирования функциональных уравнений и может быть сделана сколь угодно высокой. Показано, что переходные процессы в системах с приближенными и точным законами оптимального управления практически одинаковы, однако структура приближенного закона управления часто бывает проще, чем точного.

6. Предложено определять несколько приближенных оптимальных управлений для одного и того же объекта, используя те или иные свойства функционального уравнения и функции переключения, с целью выбора наиболее приемлемого по условиям поставленной задачи закона оптимального управления (например, с точки зрения быстродействия, практической реализации, наличие или отсутствие скользящих режимов и т.д.).

7. При поиске оптимального быстродействующего управления рекомендовано стремиться к получению схемы регулятора, содержащего два блока обратных связей: линейных ОС и нелинейной ОС, причем блок линейных ОС получать точно таким же, как и при проектировании системы управления по критерию обобщенной работы А. А. Красовского по отношению к выходной координате.

4 СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ БЕСКОЛЛЕКТОРНОГО ДВИГАТЕЛЯ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

В данном разделе осуществляется аналитическое конструирование оптимальной по быстродействию конкретной электромеханической системы: вентильного электропривода на основе синхронного двигателя. Отличительной особенностью рассматриваемого привода является наличие нелинейностей типа произведения координат объекта, а также существенно нелинейных статических характеристик привода.

4.1 Описание бесколлекторного дигателя постоянного тока как объекта управления

Переходные процессы вентильного электропривода на основе синхронной машины при токе возбуждения If = const и синусоидальном изменении напряжения на обмотках статора характеризуются следующей математической моделью [7, 60]: d dt

А. • L ■ со ■ iq =ud;

R-L + X-Ldl dt

L-ro-id +M-If -o) = uq; w- dco dt тэм =-mH; m эм -.[M-If.iq-L.(l-A,)-id.iq]; d(P 1Л — = Kn -co dt p ud =(2/3)-[ua -cos(u) + ub -cos(u-p) + uc -cos(u + p)]; uq = (2/3)-[ua -sin(u) + uB -sin(u-p) + uc -sin(u + p)]5 id = (2/3) • [iA -cos(u) + iB • cos(u - p) + ic -cos(u + p)]; iq = (2/3) ■ [iA • sin(u) + iB ■ sin(u - p) + ic • sin(u + p)],

4.1)

4.2)

4.3) где Я - активное сопротивление обмотки статора двигателя, Ь - коэффициент индукции по продольной оси двигателя, А, - коэффициент явнополюсности, I - момент инерции вращающихся масс,

М - коэффициент взаимоиндукции между обмоткой статора и ротора, шн - момент нагрузки на валу двигателя, Кр - коэффициент передачи редуктора привода, ^ и - токи двигателя по продольной и поперечной осям соответственно, ис1 и ич-напряжения питания двигателя по продольной и поперечной осям соответственно, со - угловая скорость двигателя, и - угол поворота ротора синхронного двигателя, и = |со & + и0 > ф - угол поворота выходного вала привода, р = 120 0. Постоянные величины и параметры объекта (4.1) на базе синхронного генератора ГАБ-2-Т/230 приведены в табл. 4.1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена научно-техническая задача анализа и синтеза оптимальных по быстродействию систем управления электроприводами, имеющая большое практическое значение для интенсификации производства и повышения качества выпускаемой продукции. Решение указанной проблемы, заключающееся в разработке прикладной теории и методологии структурно-алгоритмического синтеза и технической реализации оптимальных по точности воспроизведения заданных траекторий движения и быстродействию систем управления для некоторого класса нелинейных электромеханических объектов с линейно входящими управляющими воздействиями, обладающих низкой чувствительностью к параметрическим и координатным возмущениям, позволяет существенно улучшить показатели качества синтезируемых систем, а также значительно сократить сроки проектирования и объемы последующей экспериментальной доводки систем управления.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Разработана прикладная теория структурно-алгоритмического синтеза и технической реализации оптимальных по быстродействию систем управления нелинейными электромеханическими объектами, обладающих низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов. Теория является основой решения формулируемых задач АКОР по критерию быстродействия для нелинейных объектов.

2. Предложен подход к определению количества интервалов и эквивалентных оптимальных релейных управлений для каждого интервала переходного процесса нелинейных автоматических систем. Сформулировано и доказана утверждение о количестве эквивалентных управлений для некоторого класса нелинейных систем.

3. С единой позиции, базирующейся на основном функциональном уравнении и свойствах функции переключения оптимального управления I нелинейными объектами, изложены теоретические принципы построения оптимальных 'быстродействующих систем, позволяющие преодолеть "проклятие размерности" Беллмана.

4. Предложен метод синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов. Метод носит аналитический характер, он не требует решения двухточечной краевой задачи или определения фазовых траекторий методом фазовой плоскости и выгодно отличается от известных методов простотой применения (на уровне инженерных требований).

5. Предложена инженерная методика проверки любого известного управления на оптимальность по быстродействию. Для применения методики необходим минимум сведений: математическое описание объекта и закон управления, претендующий на оптимальность.

6. Решена задача структурного синтеза оптимальных по быстродействию законов управления нелинейными объектами высокой размерности. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности по быстродействию для осциллирующих и не осциллирующих (в том числе и нелинейных) объектов.

7. Эффективность и аналитическая простота применения разработанных методов, методик, способов конструирования различных оптимальных регуляторов показана на многочисленных примерах, в том числе и при решении актуальной задачи синтеза и исследования оптимального следящего привода четвертого порядка с вентильным двигателем. Для получения законов оптимального управления, синтезируемых аналитически, требуются сравнительно небольшие затраты времени и объем математических выкладок.

8. Выполненный в диссертации комплекс теоретических и экспериментальных исследований нашел практическое применение при создании опытно-промышленных образцов систем управления электроприводами с вентильным двигателем в ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения» г. Тулы и в учебном процессе Тульского государственного университета. Внедрение разработанных систем оптимального управления не требует больших затрат и позволяет получить ощутимый экономический эффект.

1. Аверин, С.И. Системы управления следящими приводами антенных установок. Текст. / С.И. Аверин, A.B. Садовой, Б.В Сухинин. М.: Высшая школа, 1989. - 256 с.

2. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости. Текст. / Е.А. Барбашин М.: Наука, 1967. - 223 с.

3. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова. Текст. / Е.А. Барбашин М.: Наука, 1970. - 240 с.

4. Беллман, Р. Динамическое программирование. Текст. / Р Беллман М.: Иностр. лит., 1960. - 232 с.

5. Болтянский, В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования. Текст. / В.Г. Болтянский Изв. АН СССР, серия математическая, т. 28, № 3, 1964, стр.481 514.

6. Бор-Раменский, А.Е. Быстродействующий электропривод. Текст. / А.Е. Бор-Раменский, Б.Б. Воронецкий, В.А. Святославский М.: Энергия, 1969. - 168 с.

7. Горев, A.A. Переходные процессы синхронной машины. Текст. / A.A. Горев М.: ГЭИ, 1950

8. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. Текст. / В.И. Гурман М.: Наука, 1977.

9. Зайцев В.Ф. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Текст. / В.Ф. Зайцев М.: Физматлит, 2003.

10. Иванов В.А., Фалдин H.B. Теория оптимальных систем автоматического управления. Текст. / В.Ф. Зайцев М.: Наука, 1981. - 336 с.

11. Калман, Р. Очерки по математической теории систем. Текст. / Р. Калман, М. Арбиб, П. Фалб М.: Мир, 1971.-400 с.

12. Катулев, A.B. Современный анализ критериев в задачах оптимизации. Текст. / A.B. Катулев М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

13. Квакернак, X. Линейные оптимальные системы управления. Текст. / X. Квакернак, Р.Сиван М.: Мир, 1977. - 650 с.

14. Клюев, A.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. Текст. / A.C. Клюев, B.C. Карпов М.: Энергоатомиздат, 1990. - 176с.

15. Клюев, A.C. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. Текст. / A.C. Клюев, A.A. Колесников М.: Энергоиздат, 1982. - 240 с.

16. Ковач, К.П. Переходные процессы в машинах переменного токаТекст. / К.П. Ковач, И. Рац / Пер. с нем. M.;JI.: Госэнергоиздат, 1963. - 744 с.

17. Колесников, A.A. Синергетическая теория управления. Текст. / A.A. Колесников М.: Энергоатомиздат, 1994.- 344 с.

18. Колесников, A.A., Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. Текст. / A.A. Колесников, А.Г. Гельфгат М.: Энергоатамиздат, 1993. - 304 с.

19. Колесников, A.A. Синтез оптимальных нелинейных систем управления на ЭЦВМ. Текст. / A.A. Колесников, В.Н. Горелов, Г.А. Штейников -Таганрог: ТРТИ, 1975. 177 с.

20. Копылов, И.П. Математическое моделирование электрических машин. Текст. / И.П. Копылов М.: Высшая школа, 1994. - 318 с.

21. Красовский, A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. Текст. / A.A. Красовский М.: Машиностроение, 1969. - 240 с.

22. Красовский, A.A. Справочник по теории автоматического управления. Текст. / A.A. Красовский и др. М.: Наука, 1987.

23. Красовский, A.A. Проблемы физической теории управления. Текст. / A.A. Красовский // Автоматика и телемеханика, 1990, №11, с.3-28.

24. Красовский, A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. Текст. / A.A. Красовский М.: Наука, 1973.-558 с.

25. Красовский, H.H. К теории аналитического конструирования регуляторов. Текст. / H.H. Красовский, A.M. Летов Автоматика и телемеханика, 1962, № 6, с. 713 - 719.

26. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления. Текст. / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман М.: Наука, 1973. - 448 с.

27. Кузин, Л.Т. Основы кибернетики Текст. / Л.Т. Кузин М.: Энергия, 1973. - 504 с.

28. Куропаткин, П.В. Оптимальные и самонастраивающиеся системы. Текст. / П.В. Куропаткин Л.: Госэнергоиздат. - 1975. - 303 с.

29. Летов, A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. Текст. / A.M. Летов Автоматика и телемеханика, 1962, № 11, с. 405 - 413.

30. Летов, A.M. Математическая теория процессов управления. Текст. / Летов A.M. М.: Наука, 1981.-256 с.

31. Мееров, М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. Текст. / М.В. Мееров М.: Наука, 1967. - 424 с.

32. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.2.:Синтез регуляторов и теорияоптимизации систем автоматического управления. Текст. / Под. ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000. - 736 с.

33. Олейников, В.А. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами. Текст. / В. А. Олейников В кн.: Автоматическое управление и регулирование в различных областях народного хозяйства. - Куйбышев: КПП, 1971, с. 13-17.

34. Олейников, В.А. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности Текст. / В.А. Олейников Л.: Недра, 1982. 216 с.

35. Олейников, В.А. Асимптотические свойства фазовых траекторий и особые управления в оптимальных быстродействиях. Текст. / В.А. Олейников, P.A. Борисенко В кн.: Вопросы теории систем автоматического управления. - JL: ЛГУ, 1974, вып. 1, с. 15-17.

36. Олейников, В.А. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами. Текст. / В.А. Олейников, Т.М. Смирнов -Автоматика и телемеханика, 1970, № 12, с. 167-170.

37. Павлов, A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. Текст. / A.A. Павлов М.: Наука, 1966. - 390 с.

38. Сухинин, Б.В. Патент №2154295. Способ автоматического управления в системе с люфтом и следящая система для его осуществления. Текст. / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, В.И. Ловчаков Опубл. 10.08.2000, Бюл. № 22.

39. Сурков, A.B. Патент №2354036. Способ управления вентильным двигателем и следящая система для его осуществления. Текст. / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, А.Ю. Егоров, А.Н. Домнин, A.B. Сурков -Опубл. 27.04.2009, Бюл. № 12.

40. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. Текст. / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко М.: Наука, 1983. - 392 с.

41. Портер, В.А. Обзор теории полиномиальных систем. Текст. / В.А. Портер //ТИИЭР. -1976. Т. 64. - с.23-30.

42. Пупков, К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. Текст. / К.А. Пупков, В.И. Капалин, A.C. Ющенко М.: Наука, 1976. -448 с.

43. Рей, У. Методы управления технологическими процессами. Текст. / У. Рей-М.: Мир, 1983.- 368 с.

44. Рудаков, В.В. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. Текст. / В.В. Рудаков, И.М. Столяров, В.А Дартау. Ленинград: Энергоатомиздат, 1987. - 134 с.j

45. Садовой, A.B. Синтез и исследование оптимальных по точности систем управления электроприводами с низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов: Дис. д-ра техн. наук. Текст. / A.B. Садовой - Днепродзержинск, 1992. - 501 с.

46. Садовой, A.B. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами Текст. / A.B. Садовой, Б.В. Сухинин, Ю.В. Сохина. -Киев: ИСИМО, 1996. 298 с.

47. Сейдж, Э.П. Оптимальное управление системами. Текст. / Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт М.: Радио и связь, 1982. - 392 с.

48. Слежановский, О.В. Системы подчиненного регулирования электроприводов переменного тока с вентильными преобразователями. Текст. / О.В. Слежановский, JI.X. Дацковский, И.С. Кузнецов и др. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 256 с.

49. Сурков, A.B. Система управления гироприводами, построенными на базе трехстепенных электрических машин. Текст. / А.Э. Соловьев, В.П. Карпухин, A.B. Сурков //Тула: Известия ТулГУ, 2002. С. 133-134.

50. Сю, Д. Современная теория автоматического управления и ее применение. Текст. / Д. Сю, А. Мейер М.: Машиностроение, 1972. -544 с.

51. Сурков, A.B. Аналитическое конструирование оптимальных по быстродействию систем. Текст. / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин // Известия Тульского государственного университета. Вып 3. Серия: Проблемы управления электротехническими объектами. С. 1.19-121.

52. Сурков, В.В. Исследование широтно-импульсного принципа управления в системе автоматического регулирования скорости вентильного двигателя: Дис. канд. техн. наук. Текст. / В.В. Сурков - Москва, 1977. -179 с.

53. Сухинин, Б.В. Нелинейные системы управления электроприводами и их аналитическое конструирование. Текст. / Б.В. Сухинин, В.И. Ловчаков, В.В. Сурков//Тула: ТулГУ, 1999. 180 с.

54. Сурков, A.B. Критерий оптимальности релейных систем. Текст. / Б.В. Сухинин, Е.И.Феофилов, A.B. Сурков //Материалы межд. конф. И

55. Российской научи, шк. Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и лазерных технологий. Часть 6. — М.: Радио и связь, 2002. С.6-7.

56. Уонхэм, Д. Оптимальное релейное управление при квадратичном показателе качества. Теоретические методы расчетов. Текст. / Д. Уонхэм, С. Джонсон Труды американского общества инженеров механиков. Серия Д. Пер. с англ. - М.: Мир, 1964. № 1, с. 145 - 156.

57. Уткин, В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. Текст. / В.И. Уткин М.: Наука, 1981. - 367 с.

58. Фалдин, Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления. Текст. / Н.В. Фалдин Тул. политехи, ин-т. Тула, 1990.- 100 с.

59. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. Текст. / Р.П. Федоренко М.: Наука, 1978. - 486 с.

60. Фельбаум, A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. Текст. / A.A. Фельбаум -М.: Наука, 1966. 624 с.

61. Фишбейн, В.Г. Расчет систем подчиненного регулирования вентильного электропривода постоянного тока. Текст. / В.Г. Фишбейн М.: Энергия, 1971. - 136 с.

62. Цыпкин, Я.3. Релейные автоматические системы. Текст. / Я.З. Цыпкин -М.: Наука, 1974. 576 с.

63. Цыпкин, Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. Текст. / Я.З. Цыпкин М.: Гостехиздат, 1955. - 456 с.

64. Янушевский, Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. Текст. / Р.Т. Янушевский М.: Наука, 1973. - 464 с.

65. Jameson, A. Jr. Cheap Control of the Time-invariant Regulator. Text. A. Jameson and R.E. O' Malley Appl. Math. Opt., 1975, vol. 1, № 4, pp. 337354.

66. Johnson, C.D., Singular solutions in problems at optimal control, Advances in control systems. Text. / C.D. Johnson Theory and applications, v.'2, Acad. Press, 1965.

67. Kessler, С. Uber die Vorausberechnung optimal abgestimmterTeKCT. / Regelungstechnik, 1954,1 12, s/274-281; 1955, 1 1, s.16-22; 1 2, s.40-49.

68. Kessler С. Das summetrische Optimum. Text. / C. Kessler -Regelungstechnik, 1958, 1 11, s.366-400.

69. Leeper, J.L. Optimal control of nonlinear singleinput systems. Text. / J.L. Leeper, R.J. Mulhailand IEEE Trans. Automat Contr., 1972, 17, 3, 401-408.

70. O' Malley, R.E. Singular perturbations and singular arcs. Text. / R.E. O' Malley and A. Jr. Jameson IEEE Trans., 1975, vol. AC-20, pp. 218-226.

71. Rhoten, R.P. Optimal regulation of nonlinear plants. Text. / R.P. Rhoten, R.J. Mulhalland Int. J. Contr. 1974,19, 4, 707-718.

72. Zhang, Y. Optimal regulation of non-linear systems Text. / Y. Zhang, J. Gao // Int. J. Contr. 1989. 50. № 3. P. 993-1000.

73. Сурков, A.B. Количество интервалов управлений оптимальных по быстродействию систем Текст. / A.B. Сурков, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков // Известия вузов. Вып. 1 Тула: ТулГУ, 2010. С. 138 - 148.