автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Синтез и применение конформных отображений для расчета электромагнитных полей

- 1 ~ " /

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукрриси

Майоров Юрий Александрович

СИНТЕЗ И ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

специальность: 05.09.05 - Теоретические основы

электротехники

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -д.т.н., профессор М.А.Шакиров

Санкт-Петербург - 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.....................................................................................................5

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ....................................15

1.1. Принцип фундаментальной области..................................................15

1.2. Представление отображения через потенциал искусственного поля..................................................................................18

1.3. Расчет искусственного поля с помощью схемной модели фундаментальной области.........................................................................20

1.4. Вычисление производных синтезированного конформного отображения...............................................................................................28

1.5. Синтез конформного преобразования ©(г):Дг-»А»

области электромагнита.............................................................................30

1.6. Решение проблемы констант интеграла Кристоффеля-Шварца г((о):До--»Аг на основе синтеза (о(г):02->Пт..............................................35

1.7. Выводы................................................................................................39

ГЛАВА 2. КАСКАДНЫЙ СИНТЕЗ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ..................................................................40

2.1. Принцип многокаскадного синтеза конформных отображений.......40

2.2. Двухкаскадный синтез отображения торцевой зоны гидрогенератора.........................................................................................42

2.3. Вычисление производных при каскадном синтезе конформного отображения односвязных областей.........................................................48

2.4. Сравнение однокаскадного и двухкаскадного синтеза конформных отображений...............................................................................................50

2.5. Выводы................................................................................................52

ГЛАВА 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ...........53

3.1. Основные соотношения для определения индуктивностей и сил с помощью конформных отображений........................................................53

3.2. Расчет поля электромагнита с одним витком при однокаскадном синтезе отображения..................................................................................54

3.3. Расчет магнитных полей при двухкаскадном синтезе отображения...............................................................................................58

3.4. Выводы................................................................................................61

ГЛАВА 4. ОДНОКАСКАДНЫЙ СИНТЕЗ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ.......................................62

4.1. Особенности конформных преобразований двусвязных областей .. 63

4.2. Представление отображения £>2->До через потенциал искусственного поля..................................................................................64

ГГ

4.3. Расчет комплексного потенциала Ж2 искусственного поля в Дгобласти...................................................................................................66

4.4. Определение конформной инварианты..............................................68

4.5 Реализация отображения со(г):Ц;->Д0 и определение его производной...............................................................................................69

4.6. Иллюстрация точности алгоритма.....................................................70

4.7. Отображение воздушного зазора явнополюсной машины с эксцентриситетом при гладким статоре....................................................75

4.8. Выводы................................................................................................77

ГЛАВА 5. ДВУКАСКАДНЫЙ СИНТЕЗ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ.......................................78

5.1. Двухкаскадный синтез конформных отображений

двусвязных областей..................................................................................78

5.2. Синтез конформного отображения области воздушного зазора

явнополюсной машины с учетом зубчатости статора и ротора...............80

5.2.1.Выравнивание зубчатого статора. Построение 2(2°): 1У'0 -»£)/.......80

5.2.2. Выравнивание ротора. Построение отображения двусвязной области

©(z): Дгзазор-»Ао-зазор (рис.5.2Дв).......................................................89

5.3. Двухкаскадный синтез конформного отображения воздушного зазора турбогенератора ТВВ-320..........................................................................92

5.4. Выводы................................................................................................94

ГЛАВА 6. РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В

ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ........................................................................95

6.1. Магнитное поле линейных токов в концентрическом Дэ-кольце .... 95

6.2. Электромагнитная сила, действующая на ток в концентрическом Dffl-кольце....................................................................................................96

6.3.Примеры расчета ЭМС в равномерном воздушном зазоре...............100

6.4. Виток с током в воздушном зазоре явнополюсной машины с гладким статором.......................................................................................102

6.5. Виток с током в воздушном зазоре явнополюсной машины с зубчатым статором.....................................................................................104

6.6. Индуктивные сопротивления обмоток турбогенератора ТВВ-320... 105

6.7. Выводы................................................................................................107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................................109

Список использованных источников........................................................112

Приложение 1.............................................................................................121

Приложение 2.............................................................................................128

Приложение 3.............................................................................................131

Приложение 4.............................................................................................132

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Сложность устройств современного электротехнического оборудования, рост электромагнитных нагрузок и непрерывно повышающиеся требования к точности расчета электротехнических устройств ставят задачу совершенствования и поиска новых эффективных алгоритмов расчета электромагнитных полей, в том числе плоскопараллельных, рассматриваемых в теории электрических машин и аппаратов [1-3,13,17, 25, 41, 43,44]. Известно, что расчет широкого класса таких полей в ряде случаев наиболее эффективно может быть выполнен с помощью методов функций комплексного переменного [4, 5, 7, 14, 18, 22, 33, 39, 40, 100-107]. Этим объясняется повышенный интерес к этим методам как в общих курсах теории полей и ТОЭ, так и в спецкурсах для магистров и аспирантов [10, И, 21, 26,32, 34,48,49, 59,60, 63, 66, 70, 80, 99].

Литература, посвященная теории конформных отображений и ее приложениям, весьма обширна и насчитывает многие сотни названий. Наибольшее число работ посвящено методам приближенных отображений одпосвязных областей. Отображение строится, как правило, в виде рядов Тейлора или полиномов ортогональных на контуре или внутри области. При этом используются вариационные методы, основанные на экстремальных свойствах функций, преобразующих заданные области на круг. С представлением отображений в виде степенных рядов связан метод Мелен-тьева, разработанный для случая графического задания границ, а также метод, основанный на применении функций Грина. Известны также попытки сведения задачи о построении отображений к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода [36]. Ряд авторов решают задачу конформного отображения методами электромоделирования на электропроводящей бумаге, в том числе для определения констант интеграла Кристоф-феля-Шварца [76]. Очевидно электромоделирование не может обеспечить достаточно высокой точности построения отображающей функции. В [8, стр.173] приводятся формулы (аналогичные выражениям Кристоффеля-Шварца) для отображения на кольцо двусвязных областей, границами ко-

торых являются многоугольники. Формулы содержат специальные функции типа тета-функций Якоби [71, 98]. Как и выражения Кристоффеля-Шварца, эти формулы страдают "большим недостатком", заключающимся в "трудности определения входящих в эти формулы констант ..., причем здесь к числу неизвестных констант прибавляется еще параметр области, т.е. отношение радиусов окружностей, ограничивающих кольцо". Остроту проблемы подчеркнул П.Ф.Фильчаков: "... в большинстве работ ... рассматриваются отображения эллипса, квадрата и еще нескольких простейших контуров, а более сложные примеры встречаются редко" [79]. Эта ситуация имеет место и в настоящее время, о чем свидетельствует отсутствие каких-либо указаний на возможность построения универсальной методики. И по сей день сохраняют смысл слова М.В.Келдыша: "Фактическое построение конформного отображения одной области на другую представляют собой иногда весьма трудную задачу

В связи с этим на кафедре ТОЭ рассматривается новое направление, предложенное д.т.н. М.А.Шакировым [87], в основе которого лежит идея преобразования сложных областей с использованием известных отображений более простых (фундаментальных) областей. Отображение строится с применением интегральных схемных моделей фундаментальных областей. Тем самым реализуется важнейший методологический принцип теоретической электротехники, отличающий ее от других дисциплин, - переход к схемам замещения, моделирующих сложные процессы и явления в электротехнических устройствах, а также процедуры их расчета. Развитие этих идей применительно к конформным преобразованиям сложных областей и созданию на их основе простых и доступных для инженеров эффективных алгоритмов анализа полей - актуальная задача теоретической электротехники. С ней связана тематика настоящей работы.

Целью работы является разработка новых эффективных численно-аналитических методов построения конформных отображений сложных односвязных и двусвязных областей для выполнения многовариантного анализа электромагнитных полей.

Задачи исследования:

- разработка общей (универсальной) методики построения схемных моделей для синтеза конформных отображений сложных областей, одно-связных и двусвязных;

- создание метода многокаскадного синтеза конформных отображений, т.е. синтеза отображений по частям, когда вначале строится отображение упрощенной области, которая далее используется как базовая для синтеза более сложной области и т.д. (для односвязных и двусвязных областей);

- построение алгоритмов анализа электромагнитных полей, сил и моментов с применением синтезированных конформных отображений (для односвязных и двусвязных областей).

Методы исследования, использованные в работе, базировались на теории функции комплексного переменного и теории электромагнитного поля.

Новые научные результаты:

1. Метод синтеза конформных отображений односвязных и двувяз-ных областей на основе принципа фундаментальной области с использованием схемных моделей.

2. Многокаскадный синтез конформных отображений односвязных и двусвязных областей.

3. Методология использования синтезированных отображений для расчета электромагнитных полей, сил и моментов.

4. Программное обеспечение для синтеза конформных отображений сложных односвязных и двусвязных областей.

5. Программное обеспечение для расчета электромагнитных полей, сил и моментов с применением синтезированных конформных отображений (для односвязных и двусвязных областей).

Диссертация, кроме введения включает шесть глав, заключение, список литературы и 4 приложения; содержит ... рисунков и ... таблиц. Список использованных источников включает 107 наименований.

В первой главе изложены две центральные идеи предлагаемого метода синтеза конформного отображения сложной односвязной области. Метод иллюстрируется на примере построения отображения области электромагнита в виде 10-угольника. Показана возможность представления отображения ©(УкД-^Д, через промежуточный параметр - комплексный потенциал 1¥/ произвольного искусственного поля. Для определения Ж/ в Д-области используется вспомогательное отображение более простой фундаментальной области (ФО), охватывающей Д-область так, что ее граница лишь частично совпадает с границей Д-области. Обе идеи реализуются следующей формулой синтеза: построение конформного отображения а?(г).Д-^Д, на основе вспомогательного конформного отображения более простой (фундаментальной) области через комплексный потенциал искусственно поля Щ?. В заключительной части показано, как синтезированное отображение может быть использовано для решения проблемы определения констант интеграла Кристоффеля-Шварца для многоугольных областей.

Во второй главе В отличие от предыдущей преобразование со(2):Д-»Д0 для односвязных областей строится каскадно в результате последовательного применения нескольких вспомогательных отображений более простых областей. Принцип многокаскадного синтеза иллюстрируется на примере отображения областей электромагнита и торцевой зоны гидрогенератора. Приведены сравнения временных затрат на синтез отображений при использовании однокаскадного и двухкаскадного алгоритмов.

В третьей главе рассматриваются особенности применения синтезированных отображений, в том числе каскадно синтезированных отображе-

к/ ^ ^

нии, для расчета магнитных полей и электромагнитных сил в областях, окруженными идеальными магнитопроводами или идеальными магнитными экранами (>Ьжрана=оо). Приводятся примеры расчета поля, индуктивностей и электромагнитных сил в электромагните и торцевой зоне гидрогенератора.

В четвертой главе рассматривается синтез конформных отображений двусвязных областей на До-кольцо при условии, что одна из границ Ог-области допускает ее преобразование в прямую или окружность с помощью выражения в аналитической форме, тогда как другая граница области произвольна. В качестве ФО используется односвязная область. Метод иллюстрируется на примере синтеза отображения воздушного зазора между явнополюсным ротором с эксцентриситетом и гладким статором.

Глава 5 логически завершает рассматриваемую в работе методологию синтеза конформных преобразований: в ней снимаются ограничения на геометрию границ двусвязных областей. Ключевой идеей является предварительное преобразование заданной сложной области в промежуточную с круговой границей и использованием односвязной ФО. Практически искомое отображение реализуется на основе преобразования ФО, которое синтезируется на основе преобразования более простой ФОь которое в свою очередь может быть синтезировано на основе преобразования еще более простой ФО2 и т.д. Метод подробно иллюстрируется на примере синтеза отображения зазора явнополюсной машины. Приводится также пример синтеза отображения зубчатого воздушного зазора турбогенератора ТВВ-320 с расчетом коэффициента Картера.

В шестой главе значительное внимание уделено рассмотрению особенностей анализа магнитных полей в двусвязных областях в связи с применением аппарата специальных тета-функций [14]. Приведена справочная таблица формул для расчета полей и электромагнитных сил в концентрическом До-кольце, необходимая для проведения электромагнитных расчетов в сложных двусвязных областях. Достоверность формул подтверждена на модельных задачах, решенных также с использованием формул Б.Хега [84].

Достоверность и точность разработанных методов синтеза конформных отображений и их применений для анализа полей гарантируется корректным использованием аппарата конформных преобразований и высокой адекватностью результатов численных экспериментов на

модельных задачах с результатами аналитических решений этих задач и данными, опубликованными в литературе. Используется также прием проверки алгоритма решением одной и той же сложной задачи различными путями его применения, исключающими повторение ошибок.

Практическая ценность работы заключается

- в устранении препятствий на пути применения метода функций комплексного переменного для расчета электромагнитных полей в одно-связных и двусвязных областях сложной конфигурации;

- в наглядности и физичности схемной интерпретации основных всех процедур синтеза конформных отображений односвязных и двусвязных областей;

- в эффективности применения синтезируемых отображений для ускоренного многовариантного анализа электромагнитных полей, сил и моментов электротехнических устройств;

- в создании базы модельных задач и контрольных примеров, которые могут быть использованы при практической реализации разработанной в работе методологии расчета электромагнитных полей.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы обсуждались:

- на НУт конференции студентов СПбГТУ 1994г.;

- на IV Международной научно-методической конференции "Высокие интеллектуальные технологии образования и науки". СПбГТУ, 1997;

- на Н/т конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах", 16-17.06.97. СПбГТУ, 1997;

- на Н/т конференции в рамках двадцать шестой недели науки СПбГТУ, 24-29.11.97. СПбГТУ, 1997;

- на V Международной научно-методической конференции "Высокие интеллектуальные технологии образования и науки" 30-31.01.98. СПбГТУ, 1998;

- на Н/т конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" 25-26.06.98. СПбГТУ, 1998.

- на 52 н/т конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУТ (25 ян�