автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Символьные и численные методы в математическом моделировании гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния

На правах рукописи

Беспалысо Евгений Валерьевич

СИМВОЛЬНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ

БЫСТРОВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЕРХПЛОТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ С РЕАЛИСТИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ

СОСТОЯНИЯ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь -2005

Работа выполнена на кафедре общей математики и математической физики Тверского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Цветков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Колдунов доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Севастьянов

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий Объединенного института ядерных исследований г. Дубна

Защите состоится " ^ " ■" 2005 г. в " ^^ на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: Тверь, ул. Желябова, 33. Факс (0822) 32-12-74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке

Тверского государственного университета.

Автореферат разослан " " " М^сЛМС^ в 2ооб г.

" " С? и

Ученый секретарь совета

доктор технических наук, профессор

В.Н. Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества стало в последние десятилетия одним из приоритетных направлений в развитии современной астрофизики. В первую очередь этому способствовали выдающиеся открытия наблюдательной астрономией новых космических объектов, в ряду которых особое место занимают пульсары - быстровращающиеся намагниченные нейтронные звезды. Они по праву рассматриваются как уникальные космические лаборатории для изучения гравитационного взаимодействия и свойств ядерного вещества при очень высоких давлениях и температурах. Проблема фигур равновесия быстровращаюгцейся самогравитирующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации, в решение которой основной вклад внесли выдающиеся математики: Б.Риман, К.Г.Якоби, А.М.Ляпунов. Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Правильная интерпретация и степень информативности наблюдаемых данных, содержащихся в исходящем от них электромагнитном излучении, непосредственно зависят от адекватности и самосогласованности математических моделей этих объектов.

Актуальность математического моделирования конфигураций и эволюции пульсаров в значительной степени обусловлена также проблемой регистрации гравитационных волн. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и в 90-х годах прошлого столетия большого числа миллисекундных пульсаров. Сегодня пульсары являются единственными перспективными источниками монохроматического гравитационного излучения. Особенно важно то, что уверенный приём гравитационных волн от пульсаров будет, по сути, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с электромагнитным и нейтринным каналами, действующими в настоящее время.

Одной из основных проблем при математическом моделировании гравити-рующих, быстровращающихся конфигураций является аналитическое вычисление ньютоновского гравитационного потенциала неоднородных конфигураций с неизвестной поверхностью. Решение этой проблемы представляет собой трудную математическую задачу.

Необходимо отметить, что теория ньютоновского потенциала является бурно развивающимся разделом математической физики. Полученные результаты используются далеко за пределами породившей ее астрономии и геофизики, в частности, во многих разделах чистой математики.

Цели диссертационной работы; построение и исследование математической модели быстровращающейся сверх " 1 еалистически-

ми уравнениями состояния вещества, а именно Бете-Джонсона, Рейда и уравнением состояния идеального вырожденного ферми газа - Оппенгеймера-Волкова. Доказательство в рамках построенной модели существования критических точек (точек бифуркации) по параметрам е = и е = ¿"¿¡ро (01, о3-псшуоси эллипсоида вращения аппроксимирующего реальную поверхность конфигурации; ш-угловая скорость вращения конфигурации; в-гравитационная постоянная; ро-плотность в центре конфигурации) уравнения гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации. Построение и исследование аналитического решения вблизи точек бифуркации при наличии магнитных натяжений.

Для достижения этих целей были построены и реализованы в системе символьной математики МАРЬЕ следующие алгоритмы:

• вычисления ньютоновского гравитационного потенциала,

• решения системы алгебраических уравнений регуляризованным аналогом метода Ньютона,

•нахождения неизвестных параметров псевдоповерхности, аппроксимирующей реальную поверхность конфигурации,

•оценки погрешности метода.

Новые научные результаты, вьшосимые на защиту;

1. Аналитическое представление ньютоновского гравитационного потенциала неоднородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннею точку.

2. Представление потенциала возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внешнюю точку и его конкретное аналитическое представление в квадруполь-ном приближении.

3. Решение уравнения гидростатического равновесия, описывающего быстро-вращающуюся сверхплотную замагниченную конфигурацию.

4. Доказательство существования точек бифуркации по параметрам е и е решений уравнения гидростатического равновесия конфигурации.

5. Результаты исследования полученного кубического уравнения при отсутствии внутренних магнитных напряжений.

6. Результаты исследования полученного кубического уравнения при наличии внутренних магнитных напряжений.

Практическая значимость полученных в диссертации результатов заключается в возможности их непосредственного использования при описании эволюции пульсаров. 1&кже они имеют важное значение при предсказании свойств гравитационного излучения пульсаров, поиски которых в настоящее время интенсивно проводятся на многих гравитационно-волновых детекторах мира.

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются

на использовании апробированных методов математической физики (включая численные методы), положенных в основу разработки математических моделей самогравитирующих конфигураций, рассмотренных в данной диссертации; на применении физически обоснованных исходных данных при построении математических моделей; на сравнении конкретных результатов с частными и предельными случаями, надежно проверенными ранее.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников кафедры ОМиМФ ТвГУ, ЛИТ ОИЯИ, самостоятельно разработал все алгоритмы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в разработку представленных математических моделей и компьютерное моделирование является определяющим.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на V International Congress on Mathematical Modelling (Дубна, 2002);QFTHEP 2004 XVIIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (Санкт-Петербург, 2004) ;I Международном междисциплинарном научном семинаре памяти гл.-корр. РАН С. П. Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках" (Тверь, 2005); на научных семинарах Лаборатории Информационных Технологий, Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований и Тверского государственного университета.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в б публикациях в виде докладов в трудах международных конференций, сообщений ОИЯИ, статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации — 110 страниц машинописного текста, включая 27 рисунков, 12 таблиц и список литературы, содержащий 101 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы ее цели и задачи. Дан краткий обзор известных результатов, касающихся существования точек бифуркации для политроп. Кратко изложены основные понятия, в том числе понятие реалистического уравнения состояния - уравнения состояния, учитывающее сильные межнуклонные взаимодействия частиц ядерной материи. Также изложены основные методы расчета и построения математической модели вращающихся конфигураций. Обоснован выбор для вычислений пакета символьной математики MAPLE.

В первой главе, основываясь на трех фундаментальных принципах 1) со-

хранения массы, 2)закона изменения импульса, 3) закона сохранения энергии, поясняется вывод уравнения гидростатического равновесия в интегральном виде для гравитирующей вращающейся сверхплотной конфигурации. Достаточно подробно разбирается вклад давления в это уравнение. При этом подробно рассмотрены три уравнения состояния ядерного вещества Бете-Джонсона, Рейда, Оппенгеймера-Волкова.

Во второй главе построена математическая модель гравитирующей, быстро-вращающейся сверхплотной конфигурации с использованием уравнений состояния ядерной материи Бете-Джонсона, Оппенгеймера-Волкова, Рейда. В рамках этой модели с помощью символьных и численных расчетов доказано существование критических точек (точек бифуркации) по параметрам сие решений уравнения гидростатического равновесия стационарно вращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности и проведено исследование этих решений.

Уравнение гидростатического равновесия для гравитирующей, стационарно вращающейся, замагниченной конфигурации в постньютоновском приближении можно записать в виде:

* + ео»)-у(»я+»2) = п(рк, + пт, (1)

о

где Ф-гравитационный потенциал конфигурации, Р(р)-давление, П(рдг)-вклад постньютоновских поправок в уравнение гидростатического равновесия, Пт-вклад магнитных напряжений. Конкретный вид функции Р(р) зависит от уравнения состояния ядерного вещества конфигурации. В работе используются численные данные для уравнения состояния ядерной материи Бете-Джонсона (В1), Рейда (Е), Оппенгеймера-Волкова (ОУ). Уравнение (1) представляет интегральное уравнение с подвижной границей в Л3.

В данной главе показано, что параметры конфигурации зависят от выбора уравнения состояния. В частности, при значении е = е* происходит резкое увеличение интенсивности гравитационного излучения (ГИ) конфигурации, при регистрации частоты которого определяется еи появляются аргументы в пользу выбора конкретного уравнения состояния.

Величина постньютоновских поправок | П(рдг) | будет порядка | = 1,26 • 10_3 при ро = 4 • 1014 г/см3. Поэтому ими в уравнении (1) можно пренебречь.

Функцию 9(р) представим в виде отрезка ряда по степеням ^ -1\ :

где Ро-далление в центре конфигурации.

Первые коэффициенты Во, ¿1, ¿2 Для различных уравнений состояния представлены в таблице 1. Они выбраны из условия наилучшего согласия (2) и оцифрованных данных, имеющихся в литературе1. С этой целью была составлена специальная программа.

Таблица 1

OV BJ E

5o 2.487978 2.415387 2.378167

0.791516 1.253114 1.177573

62 -1.696462 -1.162273 -1.200594

Граница искомой конфигурации находится из условия р(х,у,г) = 0. Гравитационный потенциал Ф в (1) явно зависит от формы границы. Поэтому точную конфигурацию поверхности р(х, у, г) — 0 мы заменим псевдограницей <Ш : ь

х\ + х* + х% + X) 2цкх\аг2х^ = 1, форма которой зависит от неизвестных пока

параметров где х% — х2 — яз = а!,аз-полуоси эллипсоида вращения, которые наряду с Z^3k параметризуют <Ш, ¿-максимальная степень многочлена по координатам Хк-

Условие близости точной поверхности и псевдоповерхности 6Ю можно сформулировать введением функции Л:2

1 [ 2<М /п\

= (3)

6D

где а = (1 + ^г-соз2в^ ; е = Весовой множитель ¿т в (3) выбран из соображений удобства вычислений, чтобы интегралы в Л и Ф имели одинаковую структуру. Очевидно, параметр що — Л 4 будет представлять меру погрешности в наших уравнениях при замене точной поверхности конфигурации на <Ш. Условие минимума Л приводит к уравнениям:

1Шапвро С., Ткжольский С. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. 4.1-2. М.: Мир, 1985.

2Masjukoy V.V., Hsvetkov V.P. Nonlinear Effect in Theory of Equilibrium Gravitating, Rapidly Rotating, Magnitized Barotropic Configurations and the Gravitational Radiation from Pulsars //Astron. and Astrophys. Transactions. 1993. V.4. P.41-42.

Представим плотность конфигурации р в виде полинома степени Р: рр —

р

раЪсх1х2хг> где Р-максимальная степень многочлена по координатам х^ В

а,Ь,с

работе8 с использованием рядов БурманагЛагранжа доказана теорема, согласно которой внутренний гравитационный потенциал Ф может быть представлен абсолютно и равномерно сходящимся рядом по коэффициентам Zljk при некоторых ограничениях на коэффициенты разложения, при которых являются полиномами степени Р + з{Ь - 2) + 2 координат Хк- Здесь з номер члена ряда Бурмана-Лагранжа.

После перехода к обобщенным сферическим координатам Л, 0, ¡р со смещением центра координат в точку наблюдения4 х* имеем:

' п 100 . л 1 0,0 ■ /, 1°0/1

хк = хк + акК,а\ =--8т 9 сов ш, а? =--81П0со8ю,аз =--совв.

а ах аа1 а аз

ао = (а1,а2,аз)^,0 < Л < Л.

Согласно выражению для возмущенной эллипсоидальной поверхности 5Б Л находится из уравнения:

р в ^<7 (дх + + оаЯУ ( хз + а3Д)* л-дь-^ь-я+т + и--

= До 4- Ф(Я, <Хк,Хк, 2и,к)>

з з

До = [/ — Г, ¡7 = (Г2 + д)^, Г = 9 = 1-52

/Ь=1 к=1

Элемент объема интегрирования в новых координатах будет равен ¿V' = Д§ , ей! = атВдййф. Дальнейшие вычисления будут основаны на исполь-

зовании варианта теоремы Лагранжа. Воспользовавшись ей, получаем:

Дл+2 = Д*+2 + (Л + 2)£ К+1Ф(Ло)']. (6)

3Цветков В.П., Масюков В.В. Метод рядов Вурмана-Лагранжа в задаче об аналитическом представлении ньютоновского гравитационного потенциала возмущенных эллипсоидальны* конфигураций//ДАН СССР.1990.Т.313,№5.СЛ099-П02.

4Цирулев А.Н., Цветков В.П. Вращающиеся постньютоновские конфигурации однородной намагниченной жидкости, близкие к эллипсоидам. 1,11// Астроном, журнал. 1982. Т.59. С.476-482,666-676.

Учитывая выше сказанное ньютоновский гравитационный потенциал примет вид:

Ф . = -Ge%jdRjMäp{ä£>Xk). (7)

о

Поскольку р является у нас многочленом по R, то интегрирование по Л в (7) дает степенные функции Rh+2, которые на основании (6) легко выражаются через До. В результате, дальнейшим преобразованием (7) находим аналитическое представление Ф для реализации в системе символьных вычислений МАРЬЕ:

ф =-ад+ !>»), (8)

»=1

где Fo значение ньютоновского потенциала при я = 0.

Из (8) следует представление Ф, содержащее все степени координат до Р

р

включительно Ф(Р) = -2ж0роа\ J2 &abczi^з- Вычисление ФаЪс Для значений

а,Ь,с

Р — 4,6,8 и L — 2,4,6 нереально без использования системы символьных вычислений на компьютере.

Поскольку составленная нами программа оказалась большая и сложная, возникает необходимость ее тестирования. Нами были выполнены два теста. Проводился предельный переход е —> 1 к сферически симметричному случаю, который легко рассчитывается по независимой программе. Кроме того, ДФ = 4тг(7р, т.е. действуя на Ф оператором Лапласа мы получаем плотность, умноженную на 4?rG. Оба теста прошли успешно для различных значений L и Р.

Представим 9 и П(т) также в виде многочленов степени Р по координатам

Р Р з

Xi,x2,x3-. 0 = eabcxfx%x$-, П(т) = кт £ кт = sirGpV'

a,b, с а,Ь,с 0 1

где ßo-характерная напряженность магнитного поля в центре конфигурации.

Тогда система уравнений (1),(4) может быть записана в виде системы алгебраических уравнений относительно раьс и ZXJk'

-Фобе + Ko&abc - е(б2а&Ь0 + «WaoMcO = Щт)аЬс, (9)

Фул = 0, ♦< = о,

ГДе =

Коэффициенты, определяющие структуру конфигурации ра¡^ и Zy*, разобьем на симметричные и антисимметричные части относительно оси вращения в виде разложения по степеням параметра X до квадратичного члена включительно:

Pabc ~ ТйМ1ШРа+Ь'с + РЧ»Ъ)сХ2 + p[ab)cX, (10)

(!)«(1)г

(ш)! 2 ZUk = Jîji^y2«+M + ZW)kX +

Здесь и далее обе и ijk являются четными, а вводимые величины удовлетворяют СООТНОШеНИЯМ Симметрии: рЦаЬ)с — РЦЬа)с, Р[аЬ]с = -P[i.o]c,^l(y)fc =

Zl(ji)k,Z[ij]k = ~Z[ji]k-

Симметризируя и антисимметризируя по первым двум индексам систему уравнений (9), получаем новую систему уравнений для определения Р{аЬ)а< Р[аЬ]с! ^(аЬ)с» %{аЪ]с'-

-Ф(оЬ)с + K0Q(ab)c - «(¿2<Ао + hb&co)&co = 0; Ф = 0 (11а)

-Ф|оЬ]с + #b©[ei>]e = fcmn(m)Mc; Ф[у)А = 0. (116)

При выводе (lia) мы отбросили малый член П(т),(01,)с, который приводит только к малой поправке порядка к,п.

Коэффициентами в уравнениях (11а), (lib) являются интегралы Тас, которые

имеют вид lia,2с = е-20 / ^^x'i^'l+ac+i> и* мы будем вычислять численно.

Вычисление этих интегралов и все другие расчеты будем проводить в формате

ю-30.

С физической точки зрения е свободный параметр, а е вычисляемый. Однако из удобства вычислений проще считать е свободным параметром, а е вычисляемым. В результате все параметры конфигурации будут зависеть от е,ро,Ра-

Подставляя (10) в (9), получаем систему уравнений, представляющую многочлен по степеням малого параметра X. Поэтому возможно использовать метод разложения по малому параметру X. В первом приближении положим X = 0 и найдем значения pœ и Za, соответствующие фигуре вращения. В этом приближении ПОЛОЖИМ Ко — КQQ, t = €о-

Двумерные массивы неизвестных в системе (lia) Z&, рас> Ко — Код, е — во обозначим, как ут(тп = 1,2.,.Ni), где Ni = i(P+2)(P+4) + i(I+2)(L+4). При Р = би1 = 2 имеем Ni = 13. В этом случае уравнения (11а) могут быть записаны в векторном виде системы 13 алгебраических уравнений:

/(у,е) = 0, у — (у1,2/2>-">!/1з)- (12)

Вследствие плохой обусловленности матрицы Якоби f'(y,e) = 0 для численного решения полученной системы будем использовать регуляризованный аналог метода Ньютона с параметром регуляризации а = Ю-8. Имеем следующую итерационную схему:

У(п+1)(е) = У(п)(е) - rn[af(v(n){e),e) + J(yt">(e),e)/'(y(n)(e),е)]"1 х

x?(y{n)(e),e)f(VW(e),e) (13)

где n-номер итерации r„-(0.1 < тп < 1) итерационный параметр, /'(j/(n)(e), е) -матрица Якоби, /Vn)(e), е) - транспонированная матрица Якоби. Величина i//2(j/(n)(е),е) = í„(e) представляет собой невязку и определяет точность решения системы уравнений (12), которая в нашем случае составила Ю-30.

Программа расчета по схеме (13) реализовала в рамках того же пакета MAPLE, что и ранее приведенные символьные вычисления ФаЬс. и Ф^. Выбранная схема вычислений оказалась эффективной, т.к. число итераций для каждого значения параметра е не превышало десяти. Графики численных расчетов е, Ко и Р20.Р02 представлены на рисунке 1.

Рис. 1: (а)Зависимость функции Ко от параметра е, кривая 1 соответствует уравнению состояния OV, 2 - R, 3 - BJ. (Ь) Зависимость функции е от параметра е, кривая 1 соответствует уравнению состояния OV, 2 - R, 3 - ВЛ.(с)Зависимость функций 1/1, у4 от параметра е, кривые 1.1, 4.1 соответствуют уравнению состояния OV, 1.2, 4.2-BJ, 1.3, 4.3 - R.

Полученные численные значения ym(e) подставляем в выражение (11b). Тогда выражение (11b) будет содержать только неизвестные Р[аь]с> Z[ij]k- Переведем, как и в предыдущем случае, эти трехмерные массивы в одномерные хт(т = 1,2, ...N2), а также положим xi = р\що = 1. В случае Р = 6 и L = 2 iV2 = 8.

Влияние магнитных напряжений рассмотрим в самой простой модели, когда отличны от нуля два коэффициента П(т)ро]о — ~П(т)[о2]о = показатель скорости уменьшения магнитного поля при удалении от магнитной оси.

Положим г]т = —^ккт, где fe-показатель скорости уменьшения магнитного поля при удалении от магнитной оси. Поскольку система (11b) антисимметрична по первым двум индексам, то она будет содержать только нечетные по X члены. Вначале эту систему будем решать в линейном по X приближении. Она достаточно хорошо описывает состояние конфигурации вдали от критических точек по параметру e¡t и соответственно где определитель при неизвестных хг существенно отличен от нуля. Вблизи е*. необходимо учитывать в (11b) члены

порядка X3. В линейном по X приближении (lib) имеет вид: /Ni

(ХХ({/(е),е)а:р Vp=i

Величины хр,Х рассчитываются аналитически как функции т}т при заданных численных значениях у(е) и ее помощью пакета MAPLE.

Значения е^ находятся из условия Х(е —» е&) -* оо. Проведенные расчеты представлены в таблице 2.

Таблица 2

OV BJ R

0.58673 0.09675 0.59207 0.09684 0.59135 0.09695

Необходимо отметить близость как значений еь так и б* для трех используемых уравнений состояния (ОУ, ВЛ Д). Это указывает на определяющую роль дальнодействующих гравитационных и центробежных сил в возникновении точек бифуркации решений уравнения (1), несмотря на то что характер распределения плотности конфигурации существенно зависит от уравнения состояния.

Линейное приближение применимо в области |е - » гД. При |е - < тД система (14) заменяется на кубическую относительно X систему:

(А?хр)Х + (В*гхРхгхг)Х3 = г)т&11\ 1,Р, г = 1, 2...Аг2 (15)

Здесь по повторяющимся индексам проводится суммирование. С помощью пакета МАРЬЕ нами составлена программа для вычисления коэффициентов и

Взяв в (15) I ф 1, найдем решения хР = хр(е), которые сохраняют свои значения и при е = ек. При |е - > »4»» взяв в (21) I — 1, найдем X — Х(е,г]т), причем X ~ г\т.

При |е - ек\ < г/т подставим X = Х(е,г]т) в (15), и тогда для X получается кубическое уравнение в этой области: а(е-ек)Х+/ЗХ3 = т]т, где а и /? постоянные коэффициенты, значения которых приводятся в таблице 3.

Таблица 3

OV BJ R

a 0.62596 0.41016 0.42876

P 10.8375 2.3442 2.7674

В критических точках е = е^, Хк = Х(вк) = \Пр') > т,е- асимметрия распределения плотности на много порядков больше, чем в линейном приближении. Отметим, что для пульсаров г]т ~ ю-9 - Ю-12.

X — Г)т6ц

Если Г}т = 0, то при е > вк (е < £к) кубическое уравнение имеет одно вещественное решение X — 0, что соответствует аксиальносимметричной конфигурации. Но при е <вк (е > е/ь) уже будут два корня X = 0 (симметричное решение) и X = у ^ (е/с - е) (асимметричное решение). Возникает хорошо известное для нелинейных уравнений динамическое спонтанное нарушение аксиальной симметрии в распределении плотности конфигурации.

Если т]т Ф 0 тогда кубичное уравнение удобно представить в виде /(У) — + /ЗУ3 = 1, где У = 4-, Максимум /(У) достигается при У™,* =

, (е > е^). Графики /(У) представлены на рисунке 2. Таким образом,

V з/ЗД

Рис. 2: Графики функции /(У) при различных значениях е.

можно сделать вывод о том, что при — е| » кубическое уравнение имеет три решения, а при — е| «»Д оно имеет одно решение.

В третьей главе развивается метод представления ньютоновского потенциала конфигурации с поверхностью, близкой к эллипсоидальной, в виде абсолютно сходящихся рядов на основе символьных и численных методов вычисления на компьютере. Все аналитические преобразования приводятся с максимально возможной степенью подробности. Отметим, что вычисление ньютоновского гравитационного потенциала имеет самостоятельный интерес независимо от теории гравитирующих конфигураций.

Задачу вычисления ньютоновского гравитационного потенциала Ф можно разбить на две: отыскание его на внешнюю точку Фои( и задачу отыскания потенциала на внутреннюю точку Ф<п. Ньютоновский гравитационный потенциал Ф при этом удовлетворяет уравнениям: АФ{п = AitGp, ДФ^ = 0.

Для вычисления ньютоновского гравитационного потенциала на внешнюю точку мы воспользовались разработанной программой. Отличие заключалось в том, что нам сейчас известны распределение плотности и коэффициенты, параметризующие возмущенную эллипсоидальную поверхность. В результате работы

программы мы получили выражение для ньютоновского гравитационного потенциала на внутреннюю точку как функцию координат для случая Р = 6, Ь = 2 в случае заданного набора коэффициентов раЬс'

Ф,„(Р = 6,Ь = 2) = -Ср0а?(2.7216 - 1.6191г2 + 0.3540т-4 - 0.1776г6--1.0684®| + 0.2063а;! - 0.0794ж| - 0.3852х!г4 - 0.2954^г2+ +0.5279х!г2), где г2 = х\ + х\.

Неменьший интерес представляет ньютоновский гравитационный потенциал на внешнюю точку, разница заключается в том, что притягиваемая точка находится вне конфигурации. Наиболее эффективный метод нахождения внешнего потенциала - метод разложения по мультипольным моментам.

Внешний потенциал имеет вид Фои1 = -С? / , где 6У' = /Ый^йг'. Раз-

ложив подынтегральную функцию |г^г,| в ряд Тейлора по степеням ^ <1 получаем:

§оиг = -С^Йа^-БаЦ.У, С01

где 2Эа0у = у р^х^ХъХ^ХхсксъАяз"мУльтипольные моменты,

= )' Х1>Х2'Хз - Обезразмеренные координа-

ты Хх = = £,х3 =

Перейдя к сферическим координатам и воспользовавшись, как и ранее, методом разложения в ряд Б урмана-Лагранжа, получаем выражение для ньютоновского гравитационного потенциала на внешнюю точку в виде разложения по мультипольным моментам:

N Р

Фои№,Р,Ь) = (-ро<7) Х^аЬсМа,РлХ а0 7 аЬс

^ оо Цк

»=1 аЬ

(16)

«-1

где ко =а + 0 + 'у + а + а + с, к = /к> +1 + 3 + к, Ф,(й +1) = П(Л + 2- 2г); в

случае а = 1 Ф„ = 1, ^-порядок мультиполя, 0аЬс =

На основе (16) была составлена программа в системе символьных вычислений МАРЬЕ. Распределения плотности, соответствующие трем уравнениям состояния Оппенгеймера-Волкова, Бете-Д жонсонв, Рейда мы брали из второй главы. В итоге было получено выражение для внешнего гравитационного потенциала возмущенной эллипсоидальной конфигурации в квадрупольном приближении

(N = 2) в сферических координатах

*out(N = 2,P = 6,L = 2) = -^(l + _ Зоо* #))+..., (17)

Несложно установить, что <z? = 2*G$y(e)' где ' плотность в центре конфигурации, Ро-давление в центре конфигурации, ¡/(е)-рассчитанные функции параметра сплюснутости е и учитывающие быстроту вращения конфигурации. При изменении угловой скорости вращения функции Pq и ро также будут зависеть от параметра сплюснутости е: Ро = Д»7(е)> Ро = Роох(е). Таким образом, имеем:

7(e) Pooifioo)

D(e)a\ = D(e)

х{е)у(е) litGpoa

: Di(e)K(poa),

где

Dl(e) = D(e)

7(e) ч _ Pooipoo)

<е)у{еУ ~ 27rGpoQ

После проведенных преобразований выражение для внешнего потенциала возмущенной эллипсоидальной конфигурации в квадрупольном приближении (17) примет вид:

ФММ = 2, Р = 6,1 = 2) = (г + в^к^1-3™20^ +....

График функции Б\(е) представлен на рисунке 3, а значения К(р00) приводятся в таблице 4.

Таблица 4

Роо г/см3 К(OV) см2 К{BJ) см2 if(R) см2

4 • 1014 6 • 1014 8 • 1014 1.418 • 10й 1.284 • 10й 1.160-10u 1.911 • 10" 2.379 • 10" 2.636 • 10" 1.200 ■ 1011 1.454 • 10й 1.670 • 10"

Как видно из графика рисунка 3 при е = 1 £>1 обращается в ноль, а с уменьшением параметра е увеличивается , т.е. коэффициент разложения в квадрупольном приближении £>1 монотонно зависит от параметра сплюснутости конфигурации. Таким образом, чем больше сплюснутость е конфигурации, тем существенней вклад квадрупольного члена.

В четвертой главе речь идет об оценке погрешности решения уравнений описывающих, быстровращающуюся гравитирующую конфигурацию.

При численном решении почти неизбежно появляются погрешности трех типов: 1) погрешность задачи, 2) погрешность метода, 3) погрешность округления. Из этих трех типов погрешностей и складывается полная погрешность. Погрешность округления в нашем случае порядка Ю-30, поэтому ею можно пренебречь.

D,

0.2S No

02-

0.15

0.1 —

0.05

0 0,6 0.7 .8 09 1

Рис. 3: Зависимость коэффициентов от параметра е . Кривая 1 соответствует уравнению состояния OV, 2 - BJ, 3 - R.

Обозначив правую часть уравнения гидростатического равновесия через Р(х1,х2,хз), получим новую форму записи данного уравнения F(xь£2,®з) — Const = F(0). Таким образом, погрешность можно представить следующим образом Д = \\F(xx,X2,Xs) — -F(0)|], где F(0) значение F(xi,x2,x3) в нуле, а под нормой ¡|F|| мы понимаем норму в пространстве L? ( совокупность квадратично интегрируемых функций), т.е. \\F\\ = IJ \F\2dV. На основе данной формулы

была составлена программа в системе символьной математики MAPLE. Результаты, т.е. погрешность метода для трех рассматриваемых уравнений состояния, приводятся в таблице 5.

Таблица 5

е A(BJ) MR) A(OV)

1 8.2096 • 10- -2 4.1301 • 10- -2 2.5976 10" l

0.9 7.1863 ■ 10- -2 4.4549 ■ 10" -2 2.3242 10" l

0.8 6.1389 • 10" -2 5.0566 ■ 10" -2 2.0438 io- l

0.7 5.0726 • 10" -2 6.0480 • 10" -2 1.7571 10" l

0.6 4.0090 • 10" -2 7.5423 • 10" -2 1.4653 10" l

в* 3.6836 • 10" -г 8.3675 • 10" -2 1.4531 10" 2

Как видно из таблицы, в случае уравнения состояния BJ и ОУ при увеличении сплюснутости погрешность увеличивается, а в случае уравнения состояния Е при уменьшении е погрешность так же уменьшается.

Получена погрешность на слое имеющего форму сфероида подобного сфероиду с полуосями аьоз и аппроксимирующего поверхность бБ. Мы фиксируем отношение г полуосей слоя и полуосей их,аз. Результаты в виде графиков для всех трех случаев уравнения состояния представлены на рисунке 4.

Таким образом, погрешность в центре нулевая и, приближаясь к границе конфигурации, возрастает до 0.04 - 0.6 в зависимости от уравнения состояния.

Рис. 4: Зависимость послойной погрешности 8 от параметра г, графики соответствуют трем уравнениям состояния Е,ОУ,В1.

Построены графики, иллюстрирующие отклонение плотности от 0 на псевдоповерхности конфигурации SD при различных значениях L для полученных в диссертации значений р, из которых можно сделать вывод о том, что при увеличении L на 2, то есть при L = 4, точность аппроксимации точной поверхности конфигурации увеличивается на несколько порядков в нашем случае. Это показывает высокую точность аппроксимации фигуры реальной конфигурации возмущенной эллипсоидальной поверхностью.

Основные научные результаты:

1. Разработана и реализована программа в системе символьной математики МАРЬЕ для аналитического представления ньютоновского гравитационного потенциала неоднородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннюю точку в виде полинома координат для заданных значений Р и L.

2. Получено представление потенциала возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внешнюю точку в виде разложения по мультипольным моментам, и при помощи системы МАРЬЕ получено его конкретное аналитическое представление в квадруполыюм приближении при фиксированном L.

3. Уравнение гидростатического равновесия, описывающее быстровращающу-юся сверхплотную замагниченную конфигурацию, сведено к системе нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения плотности раьс, полуосей ai,аз и коэффициентов возмущенной эллипсоидальной поверхности Ztj¡,. Полученная система представлена в виде разложения по степеням малого параг метра X ■ Р[20]0 = §(р2сю — Р°2°)' ® нулевом по X приближении симметричная система решена регуляризованным аналогом метода Ньютона. Составлена соответствующая программа в пакете МАРЬЕ. Найдены численные значения коэффициентов разложения плотности и параметры, определяющие форму аппроксимирующей псевдоповерхности, как функции параметра е. Вблизи критических точек исследуемая система уравнений найдена в приближении с точностью до членов X3 и сведена к решению соответствующего кубического уравнения.

4. В линейном по параметру X приближении с помощью символьных и численных расчетов доказано существование точек бифуркации по параметрам е и е решений уравнения гидростатического равновесия конфигурации, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности при т)т = 0.

5. Проведено исследование этих решений при г)т = 0, которое показало, что при е > вк(е < £к) кубическое уравнение имеет одно вещественное решение X = 0, что соответствует аксиально-симметричной конфигурации. Но при е < efc(e > £*) уже будут два корня X = 0 (симметричное решение) и X = J % (в* — е) (асимметричное решение).

6. Проведено исследование полученного кубического уравнения при г)т ф 0, которое показало, что при \ек-е\ » тД кубическое уравнение имеет три решения, а при |efc - е| < »Д оно имеет одно решение. В точке бифуркации е = ек, Хк =

Х(ек) = т-е- асимметрия распределения плотности на много порядков

больше, чем в линейном приближении.

Весь иллюстративный материал диссертации и автореферата был получен с использованием разработанного программного комплекса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Tsvetkov V.P., Bespalko E.V. The analytical Representation of solutions of the integral equation for the spinor amplitude in the curved space-time with help the computer system Maple. V International congress on mathematical modelling. Dubna, 2002.

2. E.Bespalko, S.Miheev, V.Tsvetkov, I.Tfcvetkov. Mathematical model of the rapidly rotating gravitating of superdense neutron configurations// QFTHEP'2004 XVmth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (в печати).

3. Беспалько E.B., Михеев С.А., Пузынин И.В., Цветков В.П.Математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями

состояния//Препринт PI1-2005-35, ОИЯИ. Дубна, 2005; Мат. Моделирование, 2005 (в печати).

4. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Пузынин И.В. Динамическое нарушение аксиальной симметрии плотности быстровращающейся, гравитирующей конфигурации и фазовый переход второго рода. Материалы I Международного междисциплинарного научного семинара памяти чл.-корр. РАН Сергея Павловича Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках". Тверь, 2005, с.28-30.

5. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Пузынин И.В. Математиче-

ское моделирование гравитирующей, быстровращазощейся сверхплотной конфигурации с помощью символьных вычислений и численных методов. Материалы I Международного междисциплинарного научного семинара памяти чл.-корр. РАН Сергея Павловича Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках". Тверь, 2005, с.31-33.

6. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Цирулев А.Н., Пузынин И.В. Вычисление ньютоновского потенциала гравитирующей конфигурации с поверхностью, близкой к сфероиду, с помощью символьных и численных методов// Препринт Р11-2005-121,2005; Вестник РУДН, сер. Прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4, №2,с. 208-219.

Технический редактор А.А. Медведева Подписано в печать 31.10.2005. Формат 60 х 84 /ц. Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл,печ,л. 1,25, Уч.-изд.л. 1,15. Тираж 100 экз. Заказ № 442. Тверской государственный университет, Редакционно-нздательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (0822) 35-60-63.

№21614

РНБ Русский фонд

2006-4 22039

щ

\

Введение

1 Уравнение гидростатического равновесия для гра-витирующей стационарно вращающейся, замагничен-ной конфигурации

1.1 Основное уравнение математической модели быстро-вращающейся намагниченной конфигурации.

1.2 Аналитическое представление вклада давления в уравнение гидростатического равновесия.

2 Математическая модель гравитирующей быстровра-щающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния

2.1 Основные предположения и постановка задачи

2.2 Схема расчетов характеристик модели.

2.3 Обсуждение результатов.

2.4 Регуляризация метода Ньютона и выбор оптимального итерационного параметра.

3 Вычисление ньютоновского потенциала гравитирующей конфигурации с поверхностью близкой к сфероиду

3.1 Постановка задачи.

3.2 Метод рядов Бурмана-Лагранжа при выборе параметров возмущенной эллипсоидаль-# ной поверхности.

3.3 Ньютоновский гравитационный потенциал на внутреннюю точку Фт(Р, Ь).

3.4 Ньютоновский гравитационный потенциал на внешнюю точку Фоиг^, Р,Ь).

3.5 Обсуждение результатов.

4 Оценка погрешности решений уравнений описывающих быстровращающуюся гравитирующую конфигурацию

4.1 Оценка погрешности метода.

4.2 Погрешность аппроксимации поверхности.

4.3 Метод оценки погрешности в линейном приближении

Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества стало в последнее десятилетие одним из приоритетных направлений в астрофизике. В первую очередь этому способствовали открытия наблюдательной астрономии таких космических объектов как пульсары, квазары и компактные рентгеновские источники (рентгеновские пульсары).

В настоящие время наибольший интерес вызывают пульсары. Пульсар-это вращающаяся намагниченная нейтронная звезда, обладающая осью симметрии, наклонной к оси вращения [1-5]. Пульсары были открыты А. Хъюишом и другими в 1968 году [6]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравитирующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации. Изучением данной проблемы занимались такие выдающиеся математики, как К.Г. Яко-би, A.M. Ляпунов и многие другие.

В конце двадцатого века С. Чендрасекхар и другие впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на фигуру равновесия [7, 8]. Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров является сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение, частота которого достигает нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистическая модель таких объектов должна основываться на общей теории относительности

9, 10, 11, 12].

Актуальность математического моделирования сверхплотных конфигураций в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают ее источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [13, 14, 15, 16], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна шестой степени частоты вращения. Важным является то, что уверенный прием гравитационных волн от пульсаров будет, по сути, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с электромагнитным и нейтринным каналами, действующими в настоящее время [17, 18].

Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы времени между импульсами радиоизлучения пульсаров [19, 20, 21]. Подобные "часы"лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системы; проект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабатываться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям ненаучного характера на неопределенный срок. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема конфигурации пульсаров играет очень важную роль. ^ Для расчета и построения математической модели вращающихся конфигураций разработано много методов. Главная трудность заключается в том, что истинная стратификация центрально конденсированной звезды никогда не известна заранее. Ясно, что, если отклонение от сферической симметрии невелико, то можно применить метод возмущений и считать, что влияние вращения сводится к небольшому отклонению от известной сферической модели.

Примерами таких методов являются разложение Клеро-Лежандра, разложение Чандрасекара-Милна и метод квазисфери-щ ческой аппроксимации. Последний еще называют методом двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, применяется разложение первого порядка по параметру V 2) пренебрегается влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.

Однако если уравнение поверхности сильно отличается от сферы, то понадобятся другие методы. Одним из самых эффективных методов расчета является метод согласованного поля, предложенный Острайкером и его сотрудниками. Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели.

Метод заключается в том, что при помощи уравнения:

Ф = Ф (1) где -заданная функция от £>, а ш- доля массы заключенного в цилиндре, задав подходящее пробное распределение плотности найдем функцию Ф0(й,г). Исходя из этой функции и учитывая уравнение: р = р{ Ф), можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности рг(й), г). Подставляя эту плотность в уравнение (1), получим уточненный потенциал $1(0;,^) и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (2) и (1), мы придем к согласованному решению.

Следует отметить, что для уравнения поверхности, сильно отличающегося от сферы, есть и другие подходы - чисто разностная схема, вариационные методы и.д. [22, 23, 24].

В работе [25] была сделана попытка исследовать структуру газовых масс на примере политроп и случая белых карликов численными методами с использованием компьютерных методов.

Политропному случаю соответствует уравнение состояния: где п-политропный индекс, Х-константа пропорциональности зависит от величины энтропии, приходящей на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г и ^(центральная плотность).

В самом общем случае электронное давление ре в белом карлике зависит от плотности р, температуры Т и химического состава. Однако электронный газ в основном объеме белого карлика столь сильно вырожден, что даже при довольно высоких температурах (скажем, Т га 107 К) в большинстве случаев прекрасным приближением является полное вырождение (Т = О К) по крайней мере в том, что касается глобального внутреннего строения звезды. Другими словами, в первом приближении белый карлик можно рассматривать как баротропу, следовательно:

Р = Кр1+™ где /(ж) = х(2х3 - 3)(х2 + 1)5 + 3зт/Г1^, 6 = 9- 106/хе, а це-молекулярный вес электрона. Необходимо отметить, что холодный полностью вырожденный белый карлик можно рассматривать как политропную конфигурацию в предельных случаях низкой плотности (п — 1,5) и высокой (п = 3) [22, 23, 26].

Структура конфигурации в [25] определяется теоремой Гаусса:

1 9 '¿HI) + 1 9 г2 дг \ дг J г2 dfi И ¿(1 - Р2)"= -4TGP, вместе с уравнениями гидростатического равновесия: дР дЪ 2 ^ 2, дР дУ 2 2 дЦ = рдЦ-ршг>л дР дФ д<р ^ дер' здесь Ф-гравитационный потенциал, ^-расстояние от центра масс конфигурации. То есть, чтобы найти строение звезды около центра, плотность р и гравитационный потенциал Ф разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Pi(cos6). Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне 0 < п < 3. При п > 3 метод Джеймса принципиально не применим [22, 23, 25], т.к. при п > 3 становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу.

Джеймс показал, при п < 0,808 на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляется неосесимметрич-ные фигуры равновесия. Если п > 0,808, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет. Реальные конфигурации имеют реалистические уравнения состояния: Бете-Джонсона, Рейда.

Реалистическими уравнениями состояния называют уравнения состояния, учитывающие сильные межнуклонные взаимодействия частиц ядерной материи. Реалистические уравнения состояния удобно рассматривать для двух областей.

Первая область ранр < р < рПис ~ 2.8 • сравнительно хорошо изучена. Равновесная материя состоит из обогащенных нейтронами ядер, образующих кулоновскую решетку, электронов и свободных нейтронов. При возрастании плотности свободные нейтроны обеспечивают все большую долю полного давления. При р ~ рпис начинается деформация и разрушение ядер, т.е. ядра начинают распадаться и сливаться.

При более высоких плотностях, р > рпис, давление определяется, главным образом, нуклонами (преимущественно нейтронами), вступающими в сильные взаимодействия. Помимо нейтронов и небольшого числа протонов и электронов возможно появление других элементарных частиц.

При сверхвысоких плотностях, р > в материи появляется заметное количество гиперонов, и взаимодействие между нуклонами должно рассматриваться с учетом релятивистских эффектов. Надо отметить, что уравнения состояния, полученные до настоящего времени, содержат множество неопределенностей.

В данной работе будут использованы три уравнения состояния:

1.Уравнение состояния Бете-Джонсона(ВЛ) описывает состояния конденсированного вещества при 1.7-10ыр < 3.2-1016, т.е. при сверхвысоких плотностях. Предполагается, что материя содержит нейтроны, протоны и гипероны с массами, не превышающими массу А-резонанса, взаимодействие между которыми описывается модифицированным потенциалом Рейда.

2.У равнение состояния Рейда (И) описывает состояния конденсированного вещества при р > 7 • 1014. Причем основной компонент вещества - нейтроны, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Рейда с мягким кором, приспособленным к ядерной материи.

Для сравнения будет рассмотрено уравнение состояния Оппенге-ймера-Волкова (ОУ), описывающее состояния конденсированного вещества при О < р < оо, причем, основной компонент вещества -нейтроны в этом случае не взаимодействуют между собой, т.е. представляют идеальный невырожденный ферми газ.

Необходимо отметить, что реалистические уравнения состояния представлены в литературе в виде численных данных или графиков зависимости давления от плотности.

Центральная задачи при расчете конфигурации - это задача вычисления ньютоновского гравитационного потенциала на внутреннюю точку.

Эта задача представляет также самостоятельный интерес, а не только в связи с расчетом конфигурации.

Известно, что задача о потенциалах однородного эллипсоида возникла первоначально как предмет теории тяготения. Ее решение позднее нашло применение в различных физических приложениях. Например, формулы для ньютоновского гравитационного потенциала Ф используются в задачах гидродинамике о потенциальном течении несжимаемой идеальной жидкости вокруг эллипсоида, о силе сопротивления, действующей на медленно движущийся в вязкой жидкости эллипсоид, и т.д. Причем в задачах о конфигурациях гра-витирующих систем необходимо аналитическое представление внутреннего потенциала, а в задачах, связанных с описанием движения одной системы относительно другой, - внешнего потенциала, так как потенциал входит в уравнения, определяющие конфигурацию, и в уравнения, описывающие динамику гравитирующих масс.

В теории ньютоновского гравитационного потенциала возникает три типа задач по трем типам симметрии. Наиболее простой случай, когда конфигурация не вращается; тогда она будет иметь сферически симметричную форму. Этот случай наиболее хорошо изучен [27]. Но часто необходимо учитывать вращение, тогда конфигурация будет иметь сферически несимметричную форму [23]. В этом случае мы приходим к необходимости использовать более сложные поверхности, в частности эллипсоидальные, граница которых представляет эллипсоид [28, 29]. Изучением эллипсоидальных фигур равновесия занимались: Маклорен, Якоби, Ляпунов и многие другие.

Разработаны различные методы для нахождения потенциала как на внутреннюю точку, так и на внешнюю. Наиболее известный метод вычисления потенциала эллипсоида - это метод Лагранжа. Но вычисление внешнего потенциала эллипсоида методом Лагранжа представляет известные трудности, главная из которых состоит в том, что область интегрирования зависит от положения притягиваемой точки в пространстве; когда притягиваемая точка находится внутри притягивающего объема, область интегрирования охватывает всю поверхность притягивающего объема.

Для вычисления внешнего потенциала эллипсоида можно воспользоваться теоремой Айвори, в которой говорится о том, что проекции сил притяжения, действующие на одну и ту же точку со стороны двух софокусных эллипсоидов (Е) и (Е') (причем точка лежит вне эллипсоида (Е), а эллипсоид (£") проходит через эту точку) на одну и ту же главную ось соотносятся между собой, как площади сечений эллипсоидов (Е) и (Е') плоскостью, перпендикулярной к выбранной главной оси. Таким образом, данная теорема позволяет найти внешний потенциал эллипсоида почти без вычислений, приводя определение внешнего потенциала одного эллипсоида к определению внутреннего потенциала другого эллипсоида. Также для вычисления внешнего потенциала эллипсоида может пригодиться теорема Маклорена, которая является прямым следствием теоремы Айвори: внешние потенциалы двух софокусных однородных эллипсоидов относятся между собой, как массы этих эллипсоидов. Нельзя не сказать про метод Гауса, позволяющий вычислить потенциал как на внутреннюю точку, так и на внешнюю.

Однако в реальных случаях для неоднородных конфигураций возникает задача, в которой поверхность конфигурации представлю ляет из себя более сложную структуру. В работе [30] предложен метод аппроксимации поверхности псевдоповерхностью, а именно возмущенной эллипсоидальной поверхностью, параметры которой определяются из условия минимума квадрата плотности на этой поверхности. Для этих целей эффективно может быть использован метод разложения в ряд Бурмана-Лагранжа по малому параметру.

Надо отметить, что теория потенциала является бурно развивающимся разделом математической физики. И ее результаты используются далеко за пределами породивших ее астрономии и геофизики - в частности во многих разделах чистой математики. И опубликовано много работ, трактующих теорию потенциала с чисто математических позиций [31, 32, 33].

Ввиду чрезвычайной сложности как аналитических, так и численных расчетов возникает необходимость использования компьютерных методов. Мы воспользовались пакетом символьной и численной математики МАРЬЕ.

Система компьютерной математики МАРЬЕ была выбрана не случайно. В рамках этой системы можно быстро и эффективно выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходным средством графической визуализации и подготовки электронных документов. MAPLE является одним из лидеров среди подобных себе систем, не зря ядро MAPLE используется в ряде других математических систем, например, MATLAB и Mathcard, для реализации в них символьных вычислений [34, 35, 36, 37].

MAPLE- типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

-мощный язык программирования

-редактор для подготовки и редактирования программ -ядро алгоритмов и правил преобразования математических вы-М ражений

-численный и символьный процессор -систему диагностики

-библиотеки встроенных и дополнительных функций -пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Необходимо отметить, что последние реализации MAPLE являются одними из самих надежных систем компьютерной математики. Надежных прежде всего в смысле высокой достоверности полу-^ чения правильных результатов при сложных символьных вычислениях. Это первая система компьютерной математики, успешно прошедшая тестирование на задачах повышенной сложности, предлагаемых для оценки качества подобных систем.

Целью исследования данной диссертации является построение математической модели сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния на основе символьных и численных методов.

Заключение

В диссертационной работе проведено исследование построенной математической модели гравитирующей, быстровращающейся сверхплотной конфигурации с использованием уравнений состояния ядерной материи: Бете-Джонсона, Оппенгеймер-Волкова и Рейда. Разработанная математическая модель позволяет исследовать эволюцию пульсаров, их гравитационное излучение, а также, что представляет наибольший интерес, гравитационное излучение вблизи критических точек. Основной целью данной работы было численное доказательство существования критических точек (точек бифуркации) по параметрам е и е решений уравнения гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации. В результате проведенных исследований были получены следующие результаты:

1. Разработана и реализована программа в системе символьной математики МАРЬЕ для аналитического представления ньютоновского гравитационного потенциала неоднородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннюю точку в виде полинома координат для заданных значений Р и Ь.

2. Получено представление потенциала возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внешнюю точку в виде разложения по мультипольным моментам, и при помощи системы МАРЬЕ получено его конкретное аналитическое представление в квадрупольном приближении при фиксированном Ь.

3. Уравнение гидростатического равновесия, описывающее бы-стровращающуюся сверхплотную замагниченную конфигурацию, сведено к системе нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения плотности раьс, полуосей а1} а3 и коэффициентов возмущенной эллипсоидальной поверхности Zij|c. Полученная система представлена в виде разложения по степеням малого параметра X = рщо = | (ргоо — Ро20) • В нулевом по X приближении симметричная система решена регуляризованным аналогом метода Ньютона. Составлена соответствующая программа в пакете МАРЬЕ. Найдены численные значения коэффициентов разложения плотности и параметры, определяющие форму аппроксимирующей псевдоповерхности, как функции параметра е. Вблизи критических точек исследуемая система уравнений найдена в приближении с точностью до членов X3 и сведена к решению соответствующего кубического уравнения.

4. В линейном по параметру X приближении с помощью символьных и численных расчетов доказано существование точек бифуркации по параметрам е и £ решений уравнения гидростатического равновесия конфигурации, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности при Г)т — 0.

5. Проведено исследование этих решений при г]т = 0, которое показало, что при е > < £и) кубическое уравнение имеет одно вещественное решение X = 0, что соответствует аксиально-симметричной конфигурации. Но при е < е^е > £к) уже будут два корня X = 0 (симметричное решение) и X = е)(асимметричное решение).

6. Проведено исследование полученного кубического уравнения при г)т ф 0, которое показало, что при — е| г)т кубическое 2 уравнение имеет три решения, а при |е* — е\ «С г]т оно имеет одно асимметрия распределения плотности на много порядков больше, чем в линейном приближении. 2 решение. В точке бифуркации е = е*;,

1. Пайнс Д. Пульсары компактные рентгеновские источник: лаборатория для изучения нейтронных звезд и андронного вещества. УФН, 1980, т. 131,с.479-487.

2. Смит Ф.Г. Пульсары. Мир, М., 1979

3. Ostriker J.P., Gunn J.E. On the nature of pulsar. I.Theory// Astrophus.J., 1969, v.57, p.1395-1417.

4. Малов В.Ф. Пульсары. Труды ФИАН (под ред. А.Д. Кузьмина), 1989, т.199,с.83.

5. Дайсон Ф., Тер Хаар Д. Нейтронные звезды и пульсары. М.: Мир, 1973.

6. Hewish A., Bell S.J., Pilkington J.D., Scott P.F., Collins R.A. -Nature,1968,у.217,р.709;УФН,1968,n.95,c.705.

7. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. I.The Maclaurin spheroids and the virial theorem// Astrophys.J., 1965, v.142, p.1513-1518.

8. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. II.The deformedfigures of the Maclaurin spheroids// Astrophys.J., 1966, v.147, p.334-352.

9. Glendenning N. Compact stars . Springer, N.Y., 1997.

10. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция звезд.

11. Паули В. Теория относительности. М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

12. Гинзбург B.JI. О теории относительности. М.: Наука, 1979.

13. Backer D.C., Kulkarn S.R., Heiles С. et al.A millisecond pulsar // Nature, 1982 v. 300, p. 615-618.

14. Ray D.S., Thovsett S.E., Jenet F.A., et al. A survay for millisecond pulsars.//Astroph.J, 1996, v. 470, p 1103-1110.

15. J.H.Taylor, R.N.Manchester, and A.G.Lyne. Catalog of 558 pulsars// The Astrophisical Journal Supplement Series,88:529-568, 1993 October.

16. Manchester R.N., Taylor J.H. Pulsars. San Francisco: Freeman, 1997.

17. Гинзбург B.JI. О некоторых успехах физики и астрономии за последние три года//УФН, 2002, т.172, с.213-219.

18. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

19. Ильин В.Т., Ильясов Ю.П., Иванов Ю.Д. и др. Способ создания и хранения временных интервалов: Авт. свидет. № 915062 // Бюлл. изобр., 1983, №5.

20. Пульсары. Труды ФИАН, 1989, т.199,с.83.

21. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Phusics of Pulsar Magnetosphere. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

22. С.Шапиро, С. Тюкольский. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. 4.1-2, М.: Мир, 1985.

23. Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд. Мир, М., 1982

24. Антонов В.А. Фигуры равновесия. В кн. Итоги науки и техники. Сер. Астрономия, т. 10, 1975.

25. R.A. James, The strukture and stability of ritating gas masses.

26. Зельдович Я.В., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: Изд-во Моск. ун-та 1981.

27. Сретинский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.: Госте-хиздат, 1946, с.316 .

28. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976.•ч

29. Антонов В.А., Тимошкина В.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988.

30. Masjukov V.V., Tsvetkov V.P. Nonlinear Effect in Theory of Equilibrium Gravitating, Rapidly Rotating, Magnitized Barotropic Configurations and the Gravitational Radiation from Pulsars //Astron. and Astrophys. Transactions, 1993, v.4, p. 41-42.

31. Брело M.О. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.

32. Уэрмер Дж. Теория потенциала. М.: Мир, 1980.

33. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории. Новосибирск: Наука, 1985.

34. Дж. Макгрегор, Д. Сайке. Тестирование объектно-ориентированного программного обеспечения, Москва-Санкт-Петербург-Киев:, изд. Dia soft 2002.

35. Потемкин В.Г. MATLAB: Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

36. Heals K.M., Hansen L.M., Rickard K.M., Maple 6. Learning Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

37. Monogan M.B., Geddes K.O., HealK.M., Labahn G., Vorkotter S.M., Maple 6 Programming Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: ФИЗМАТ-ЛИТ,2001.

39. Каулигин Т. Магнитная гидродинамика. Атомиздат, М., 1978.

40. Седракян Д.М. Магнитное поле пульсаров// Астрофизика, 1982,т.18,с.417-422.

41. Мкртчан Г.С., Седаркян Д.М. Магнитное поле пульсара аналог поля намагниченного сверхпроводящего шара// Астрофизика, 1983, т. 19, с.135-138.

42. Цирулев А.Н. Математические модели самогравитирующих конфигураций быстровращающихся нейтронных звезд и полей Янга-Миллса//Диссертация, Тверь 2002.

43. Цветков В.П. Влияние магнитного поля на фигуру равновесия и гравитационное излучение быстровращающейся капли однородной гравитирующей жидкости с учетом эффектов ОТО в постньютоновском приближении//Астрон. журн., 1983, т. 60, с. 114-121.

44. Паркер Е. Космические магнитные поля. В 2-х томах. Мир, т1, М., 1982.

45. Цветков В.П., Масюков В.В. Нелинейная модель малых асимметричных возмущений равновесного распределения плотности быстровращающихся намагниченных политроп// Мат. моделирование, 1995, т.7, №9,с.55-64.

46. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Конфигурации быстровращаю-щейся гравитирующей намагниченной капли однородной жидкости с учетом нелинейных эффектов// Астрон.ж., 1988, т.65, с. 501-506.

47. Поляченко B.JL, Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гра-витирующих систем. Наука, М., 1976.

48. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физико-математическая литература, 2003.

49. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

50. Tsvetkov V.P., Bespalko E.V. The analytical Representation of solutions of the integral equation for the spinor amplitude in the curved space-time with help the computer system Maple. V International congress on mathematical modelling, Dubna, 2002.

51. Г.Репке,А.Григо,К.Сумееши,Х.Шен. Уравнение состояния ядерной материи с учетом легких кластером// Письма в ЭЧАЯ,Том 2, №5(128). ст.25-36.

52. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. С-Пб: Питер, 2004.

53. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

54. Тарасевич Ю. Информационные технологии в математике. М: СОЛОН-Пресс, 2003.

55. Тарасевич Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: Едиториал-УРСС, 2001.

56. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX.C-Пб: Питер. 2001.

57. Дьяконов В. Компьютерная математика. Теория и практика. Нолидж. 2000.

58. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Наука, т.5, М., 1965.

59. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971.

60. Г.С.Саакян. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. М., Наука. 1972.

61. С. Чендрасекар. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1982.

62. Вейнберг С. Гравитация и космология. М., Мир, 1975.

63. Крат В.А. Фигуры равновесия небесных тел. Изд. АН СССР, М.-Л., 1950.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Наука, М., 1973.

65. Лихтенштейн Л. Фигура равновесия вращающейся жидкости. Наука, М., 1965.

66. Цирулев А.H., Цветков В.П. Вращающийся постньютоновские конфигурации однородной намагниченной жидкости, близкие к эллипсоидам. 1,Н.Астроном. ж., 1982 т.59, с.476-482, 666-675.

67. Цветков В.П. Излучение гравитационных волн гравитирую-щими системами в постньютоновском приближении// Астрон. журн., 1984, вып. 4, т. 61, с. 673-676.

68. Цветков В.П. Масюков В.В. Метод рядов Бурмана-Лагранжа в задаче об аналитическом представлении ньютоновского потенциала возмущенных эллипсоидальных конфигураций// ДАН СССР, 1990, Том 313, №, с. 1099-1102.

69. V.V. Masjukov, V.P. Tsvetkov. Astron. and Astrophys. Transactions, 1993, v.4, p. 41-42.

70. E.Bespalko, S.Miheev, V.Tsvetkov, I.Tsvetkov. Mathematical model of the rapidly rotating gravitating of superdense neutron configurations.// QFTHEP'2004 XVIIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory. В печати.

71. Беспалько E.B., Михеев С.А., Цветков В.П., Цирулев А.Н., Пузынии И.В. Вычисление ньютоновского потенциала гравити-рующей конфигурации с поверхностью, близкой к сфероиду, с помощью символьных и численных методов// Препринт Р11-2005-121, 2005.

72. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа,2003.

73. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000.

74. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. X. Сендов. Математический анализ. М.: Наука, 1979

75. Гончаров В.Л. Теория функций комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955.

76. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Метод теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987, с.688.

77. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962.

78. Ермаков В.В., Калиткин H.H. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона. Ж. вычисл. матем. физ.,1981, т. 21, №2, с. 491-497.

79. Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. ЯЫРШ-программа для численного решения задачи Штурма-Лиувиля// Препринт, Р11-87-332, Дубна.

80. Гусев А.А. Комплексные алгоритмы анализа квантовых систем во внешних полях// Диссертация, Дубна, 2004.

81. Воеводин В.В. О методе регуляризации. -ЖВМ и МФ, 1969,2,№3.

82. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. -ЖВМ и МФ, 1966,6,№1.

83. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Изв. вузов. Математика, 1958, т. 5(6), с. 18-31.

84. Жидков Е.П. Пузынин И.В. Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Ж. вы-числ. матем. физ.,1967, т. 7, № 5, с. 1086-1095.

85. Гареев Ф.А. и др. Численное решение задач на собственные значения для интегро-дифференциальных уравнений в теории ядра. Ж. вычисл. матем. физ., 1977, т. 17, № 2, с.407-419.

86. Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Вычисление уровней энергии мезомолекул с помощью непрерывного аналога метода Ньютона//Препринт ОИЯИ Р4-6256Д972.

87. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики//ЭЧАЯ, 1973,т.4,в.1, с. 123-158.

88. Boyadjiev T.L., Zhanlav Т. and Puzynin I.V. Numerical investigation of an eigenvalue problem in the theory of soliton stability//Comm. JINR, P 5-89-423.

89. Gold Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред.Дж.Холл, Дж.Уатт. "МИР", М., 1979.

90. Дымарский A.C. и др. Справочник программиста, т.1, Судпром ГИЗ, Л., 1963.

91. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

92. Винокуров В.А. Два замечания о выборе параметра регуляризации.

93. Александров Л. Регуляризованные вычислительные процессы Ньютона Канторовича. Ж. вычисл. матем. физ.,1971, т. 11, №1, с. 36-43.

94. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Расчет кулоновско-го(ньютоновского)потенциала на внутреннюю точку возмущенных эллипсоидальных конфигураций с учетом высших приближений// Теория квантовых систем с сильным взаимодействием, КГУ, Калинин, 1986, с.83-87.

95. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Пузынин И.В., Цветков В.П. Математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния.//Препринт PI 1-2005-35, ОИЯИ. Дубна, 2005; Мат. Моделирование, 2005.

96. Тиман А.Ф., Трофимов В.М. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968.

97. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

98. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993

99. Винокуров В.А. Интегральные оценки погрешности 1У//ЖВМ и МФ,1976,16,№3.