автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и исследование устойчивости сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций

Никонов Василий Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ ГРАВИТИРУЮЩИХ СКАЛЯРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Тверь - 2011

4845228

Работа выполнена на кафедре математических методов современного естествознания Тверского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук доцент

А.Н. Цирулёв

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Евгений Александрович Гребеников доктор физико-математических наук профессор

Виктор Павлович Цветков

Ведущая организация:

Объединенный институт ядерных исследований (Дубна)

Защита состоится «13» мая'2011 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете но адресу: 170002, г. Тверь. Садовый пер., д. 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, д. 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы «12» апреля 2011 г. на официальном сайте Тверского государственного университета но адресу:

http://uiiiversity.tversu.ru/aspirants/abstracts/ Автореферат разослан «12» апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук доцент

С.М. Дудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации обусловлена той важнейшей ролью, которую играют скалярные поля в современной физической картине мира. Модели физики элементарных частиц, космологические теории эволюции ранней Вселенной, а также математические модели некоторых наблюдаемых гравитирующих систем в астрофизике не в состоянии обойтись без включения на фундаментальном или феноменологическом уровне скалярного ноля: бозон Хиггса, инфлатон, аксион, модель холодной темной материи и т.д. В настоящее время скалярные поля не обнаружены явно ни в одной из теорий, но если они существуют в природе на фундаментальном уровне, то одним из наиболее перспективных экспериментальных указаний на их существование является именно темная материя, присутствие которой во Вселенной надежно установлено. Взаимодействие темной материи с частицами, составляющими обычное вещество, или отсутствует, или имеет сечение ниже предела точности экспериментов, т. е. частицы или поле, составляющие темную материю, участвуют заметным образом только в гравитационном взаимодействии. В связи с этим вещественное скалярное поле рассматривается как наиболее перспективная основа для описания темной материи, поскольку вследствие нейтральности вещественного скалярного ноля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом является чисто гравитационным. Поэтому интерпретация наблюдений в галактической и субгалактической астрономии требует построения адекватных математических моделей гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени.

В более общем плане математическое моделирование самогравитиру-ющих скалярно-иолевых конфигураций непосредственно связано с вопросом о том, какова роль гравитации среди трех других фундаментальных взаимодействий в микромире. Математическое моделирование самограви-тирующих конфигураций, построенных из нелинейных скалярных полей, позволит лучше понять пределы применимости современной теории гравитации в микромире, а также осознать совместную роль всех фундаментальных взаимодействий в макроэволюции Вселенной.

Диссертация посвящена решению принципиальных и практически значимых задач, относящихся к одной из важнейших проблем современного естествознания — математическому моделированию экзотических гравитирующих конфигураций, проявляющих себя на галактическом и субгалактическом уровнях, с целью распознавания их природы (совре-

менное состояние исследований отражено в обзорах 1 2 3 ).

Цель работы — построение математических моделей статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций, исследование с их помощью характеристик как наблюдаемых, так и предполагаемых гравитирующих объектов галактического и субгалактического уровня, а также исследование устойчивости относительно линеаризованных возмущений.

Достижение поставленной цели требует решения ряда промежуточных математических задач: развитие новых математических методов исследования гравитирующих конфигураций (в том числе, развитие метода обратной задачи), получение модельных аналитических и численных решений полной системы уравнений Эйнштейна, классификация решений по геометрическим и топологическим типам, редукция линеаризованной самосогласованной задачи устойчивости для гравитирующих скалярпо-полевых конфигураций к одному стационарному уравнению Шредннгсра для квазипормальпых мод с приведенным эффективным потенциалом, разработка программ для математического моделирования гравитирующих скалярных конфигураций специального вида.

Основные методы исследования

В работе используется метод структурных уравнений ti ортонормиро-вапной тетраде, аналитические методы анализа симметрии и преобразований для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи для полевых дифференциальных уравнений с неизвестным потенциалом, методы асимптотического и топологического анализа решений; применяется система аналитических вычислений MAPLE и вычислительная среда Fortran с реализованными апробированными численными методами и алгоритмами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Интегральные формулы метода обратной задачи для математического моделирования статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций.

'Broiinikov К.A., Fabris J.C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 06. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

2Новиков И.Д., Кардашев H.C., Шацкий A.A. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.

3Berti E.f Cardoso V., Starmets А.О. Quasinorinal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 26. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).

2. Вывод явных формул эффективного потенциала в линеаризованной задаче устойчивости гравитирующих скалярных конфигураций.

3. Математические модели сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций.

4. Комплекс программ для численного моделирования топологических гсонов.

Научная новизна

1. В работе развит метода математического моделирования — метод обратной задачи — для статических сферически-симметричных скаляр-пых конфигураций, заключающийся в получении нового решения уравнения гравитации в виде квадратурных формул для метрических функций и скалярного поля.

2. Построение новых математических моделей скалярных конфигураций новыми методами, когда в основе моделей лежат точные решения уравнения гравитационного ноля, полученные методом обратной задачи.

3. При построении математических моделей гравитирующих скаляр-пых конфигураций в диссертации развит новых подход исследования устойчивости, заключающийся в том, что метрические и полевые возмущения взаимно индуцируют друг друга, т. е. считаются зацепленными друг с другом в нестационарной линеаризованной и самосогласованной системе уравнений Эйнштейна для возмущений на фоне известного статического решения.

4. Для радиальных возмущений в математических моделях скалярных конфигураций задача устойчивости редуцирована к одному волновому уравнению, на основе метода обратной задачи получен явный вид формул для выражения эффективного потенциала.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов базируется на использовании строгих аналитических и численных математических методов исследования, апробированных методов математического моделирования. Полученные результаты удовлетворяют принципу соответствия, совпадая с известными ранее при предельных переходах в соответствующие области значений параметров, в частности, при переходе к вакуумным конфигурациям.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что общее решение обратной задачи и метод редукции уравнений

Эйнштейна, который может быть применён для широкого класса само-гравитирующих систем физических полей, имеют общетеоретическое и методологическое значение в математическом моделировании гравитиру-ющих систем. Построенные на основе решения обратной задачи математические модели, в частности, частицеподобные, являются вкладом в теорию гравитирующсго скалярного поля, моделирующего темную материю и возможные, экзотические объекты субгалактической астрономии.

Практическая значимость результатов диссертации обусловлена тем, что они позволяют вычислить параметры наблюдаемых объектов на основе построенных математических моделей. Возможно и целесообразно использование полученных в работе результатов при планировании наблюдательных экспериментов и интерпретации данных в области астрономии, в том числе в рамках проектов поиска экзотических гравнтирую-щих объектов на галактических и субгалактических масштабах.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались п обсуждались па международных научных конференциях «Синергетика в естественных пауках» (ТвГУ, Тверь, 2007), «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (МГУ, Москва, 2009), на Второй Российской школе-конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010), а также на научных семинарах механико-математического факультета МГУ и математического факультета ТвГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] - [3| опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а |4|, |5) — в трудах международных конференций.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 99 наименований. Диссертация изложена на 106 страницах, включает 39 рисунков и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи, определены практическая

значимость и научная новизна, кратко изложено содержание диссертации и проведен обзор научных работ в области исследования.

Глава 1 посвящена точной математической формулировке проблемы сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности. Всюду в диссертации использована геометрическая система единиц

рассматриваются общие принципы, на которых основывается теория гравитирующих скалярных полей, минимально связанных с гравитацией, обсуждаются общие свойства системы и вводится необходимая далее терминология. Параметр е = ±1 вводится для унификации действия в математических моделях с положительным и отрицательным (фантомное поле) кинетическим членом в лагранжиане скалярного поля, У(ф) — потенциал самодействия скалярного поля. Статические скапярпыс конфигурации возможны только в случае равновесия между отталкивающим самодействием скалярного поля и гравитационным притяжением к центру конфигурации; в частности, чтобы пространственные компоненты поля энергии-импульса обеспечивали (как обычное давление в жидкой среде) отталкивание па пространственной бесконечности, величина кинетического члена в лагранжиане должна превосходить по абсолютной величине значение потенциала для обычного скалярного поля и, наоборот, быть меньше для фантомного.

В разделе 1.2 на основе метода структурных уравнений Картана, нолученьг явные выражения для компонент формы связности и кривизны для метрики

в которой сохранена калибровочная свобода, допускающая произвол в выборе одной из метрических функций. Функции А, В и С зависят только от координат 4 и г. Получены явные выражения для компонент тензорного поля энергии-импульса скалярного поля. Получен явный вид связанной системы уравнений Эйнштейна и уравнения Клейна-Гордона с произвольным потенциалом самодействия поля.

йз2 = А2сИ2 - ВЧт2 - С2(с1в2 + 8щ2б V),

(1)

В разделе 1.3 введена характеристическая функция

инвариантная относительно координатных преобразований, не затрагивающих угловых координат. Далее рассматриваем только статические решения, для которых метрические функции Л, В и поле ф являются функциями от С = С (г). Для статических калибровок, например С = г, пространство-время не покрывается одной координатной картой. Для стационарных калибровок, например координат типа Крускала, можно обойтись одной картой, но при этом метрическая функция С будет явно зависеть от времени.

Характеристическая функция используется для классификации математических моделей гравитирующих скалярных конфигураций, определяя геометрический тип конфигурации но наличию пулей, асимптотическому поведению на бесконечности и в центре конфигурации. При /(С) > О, С € К+ имеем или регулярное решение, если /(0) = 1 и Лф{Ч))/йС — 0, или голую сингулярность, если /(С) —» +ос при С —» 0. Если /(С*) = 0 при некотором С* > 0, и при этом (1С ф 0, (I//(1С ф 0 на гиперповерхности С = С*, то эта гиперповерхность является горизонтом событий. Если ¿С = 0, с///(1С — 0 на гиперповерхности С = С*, причем /(С*) = 0, то эта гиперповерхность является горловиной кротовой норы или топологической особенностью геона, гомеоморфной К х КР2 .

Развит метод редукции полной связанной системы, который приводит к выделению уравнений для функции / и поля ф:

Эти уравнения будем называть характеристическими, они инвариантны относительно выбора калибровочных (координатных) условий на метрические функции метрики (1).

В разделе 1.4 развит метод обратной задачи, когда заданным считается не потенциал, а поле или метрические функции; решение обратной задачи даёт возможность получать результаты и формулировать теоремы, относящиеся, в некотором смысле, сразу ко всем возможным потенциалам. В диссертации найдено общее решение системы уравнений (3) -

(4), которое позволяет по заданной функции поля восстановить характеристическую функцию и потенциал самодействия скалярного поля по формулам

р 00 р \ ~-3тп1^-4с1С+ /О^С) , (5)

где

¿С, а = С + 1(1-е?)<1С. (7) с с

Полученные формулы инвариантны относительно выбора калибровочных условий. В решении (о) - (7) постоянная Л отлична от нуля для космологических решений с асимптотикой пространства-времени (анти) де Сит-тсра.

В разделе 1.5 изучаются калибровочные (координатные) условия различных типов. В общем случае для полного определения метрики д необходимо вычислить функции Е, С} и / по формулам (5) - (7), а затем наложить координатные условия па метрические функции А, В, С н решить уравнение (2) относительно С. Подробно рассмотрены два варианта естественного выбора калибровочных условий, а именно С — г и В — 1/А, которые часто используются на практике. Кроме того, подробно рассмотрены координаты типа Крускала с калибровочными условиями А = В, С = С(г2 - Р).

В случае наиболее распространенной калибровки С = г (координаты типа Шварцшильда) метрические функции в метрике (1) принимают вид

А2 = /сВ2 = 1//, С = г.

В разделе 1.6 изучены и продемонстрированы особенности техники математического моделирования с использованием метода обратной задачи, получены двухпараметрические семейства точных решений для кротовых нор, чёрных дыр и голых сингулярностей с классическим и фантомным скалярным полем.

В разделе 1.7 получены в аналитическом виде и классифицированы все возможные решения связанной системы уравнений Эйнштейна при отсутствии самодействия поля. Известные ранее результаты получены

методом обратной задачи, более простым с технической точки зрения, и конструктивно проявляющим отсутствие других решений.

В главе 2 изучается линеаризованная и самосогласованная задача устойчивости гравитирующих скалярных конфигураций для чисто радиальных возмущений скалярного поля.

В разделе 2.1 получены динамические уравнения для радиальных возмущений в линейном приближении. Метрические функции и поле представлены в виде

А = A0(r) + xa,(t, г), В = Ba(r) + xbi(t, г),

С = Со (г) + xcj(t, г), ф = фп{г) + х 01 (i, г),

где Ло(г), Д)(г), Со(г) и <po(r) — функции статического решения полной связанной системы уравнений Эйнштейна, а\(t, г), bi(t, г), Cj(i, г) и ç>i(i, г) — возмущения, предполагаемые малыми, х — параметр малости.

В разделе 2.2 подробно рассматривается линеаризованная нестационарная самосогласованная система уравнении Эйнштейна для возмущенных гравитирующих скалярных конфигураций в случае конкретного (практического) выбора координатного условия С (г) = г.

В разделе 2.3 задача устойчивости для радиальных возмущений скалярного поля редуцирована к задаче Коши для одного волнового уравнения

где U — эффективный потенциал, г* — черепашья координата, определяемая преобразованием г* = f (e~F/f) dr. На основе квадратурных формул метода обратной задачи получен явный вид эффективного потенциала для радиальных возмущений скалярного ноля:

+

-1 ли. Ofa2F

[ гг \ аг) аг атг

В общем случае задача устойчивости скалярной конфигурации сводится к исследованию частотного спектра квазниормальпых мод 1фг) = ф(ш, г)сш1 в задаче для стационарного уравнения Шрединге-ра:

44 + {u2-U)i> = 0, #л>,7-*) A±eTiu""\ r*->±oo. ar*

В разделе 2.4 на основе результатов предыдущего раздела исследована устойчивость черных дыр относительно радиальных флуктуаций скалярного поля. В частности, доказана устойчивость асимптотически плоских вакуумных черных дыр относительно флуктуаций скалярного поля с произвольным потенциалом самодействия, удовлетворяющим условию d2V(0)/d(f>2 > 0 (новизна результата заключается именно в произвольности потенциала). Используя полученную в работе явную формулу для эффективного потенциала (8) применяем известный критерий устойчивости: если эффективный потенциал U положительно определен (т.е. не принимает отрицательных значений) и квадратично интегрируем на R, то устойчивость гарантирована. Заметим, что отрицательность U в некоторой области вне горизонта событий не является достаточным условием для существования квазинормальных моде Imw < 0, поэтому исследование устойчивости в общем случае требует явного решения спектральной задачи.

Глава 3 посвящена построению конкретных аналитических и численных математических моделей па основе развитых в диссертации методов, а также исследованию эффективных потенциалов радиальных возмущений скалярного поля для конкретных гравитирующих конфигураций.

В разделе 3.1 создан комплекс программ и построена математическая модель асимптотически плоского сферически-симметричного скалярного топологического геона без горизонта событий с физически выделенным потенциалом самодсйствия и заданной топологией пространства-времени.

Вид потенциала У{ф) является входным параметром для математической модели и комплекса программ. Схема взаимодействия программных модулей представлена па Рис. 1.

Требование аналитичности решения на бесконечности накладывает ограничения на вид У(ф). Анализируя в системе символьных вычислений Maple асимптотику в нуле и на бесконечности с помощью рядов, выбираем потенциал

который допускает решение из класса топологических гсопоа и является физически оправданным. Уравнения связанной системы масштабно инвариантны относительно преобразования V = V)i2. С = C//J, т — r/ji, поэтому далее полагаем ц = 1.

Рис. 1: Схема взаимодействия программных модулей.

Используется калибровка В = 1/А. В результате редукции связанной системы уравнений для потенциала (9) получим

С"-Ф'2С = О, (10)

г i2

С'Ь--ф'2С-^ + ^-2ЬСУ = 0, (И)

+ + 6ЬФ¥ = °- (12)

Здесь и далее используются обозначения Ъ = В2, dC/dr = С .

Требования гладкости и невырожденности метрики на топологической особенности, а также требование вещественной аналитичности асимптотически плоской метрики на бесконечности, дают граничные условия для трех неизвестных функций Ь, С и ф:

0)=0, С^0) = 0, ф^0)= 0, (13)

Ъ = 1 + 0(1/г), С = г + 0(1), ф = 0(1/г). (14)

Имеем краевую задачу (10) - (14) на полупрямой для системы пятого порядка с двумя особыми точками г = 0 и г = оо.

Представим неизвестные функций рядами в особых точках, подставим ряды с неопределенными коэффициентами вместо С, b и ф в уравнения (10) - (12). Коэффициенты рядов зависят от пяти произвольных параметров а, р, Гц, s, ф0. В пакете символьных вычислений Maple создан программный модуль, где последовательно решается (рекуррентно

по порядку разложения) система уравнений относительно коэффициентов рядов для их выражения через пять указанных параметров. Разложения в окрестности особой точки г — 0 имеют вид

с - , + VV2 - 17а'У + 6*У +у v .

3s2<p'o ЗяУ 2 b = (15)

14sV + 3s2p1 + б ,,з з * = 6 ,sV + 3 ф°г +

Разложения в окрестности особой точки г = оо имеют вид C = r + + +

ь = 1 + £ + + + (1б)

г г^ г5

1 О. -Гц

Ф = р-тт—гг+ •■• •

2 у6!2- рАгл

В разработанном программном модуле разложения (15) - (16) получены до порядков г""0 и г10 соответственно с целью проверки сходимости рядов I! различных областях значении параметров и достижения необходимой точности граничных условий при численном решении уравнений.

После приведения системы (10) - (12) к нормальной форме и перехода к конечному отрезку [п, rj], r1 > 0, получаем спектральную краевую задачу для системы однородных дифференциальных уравнений пятого порядка. Для решения задачи применен метод стрельбы из граничных точек с последующей сшивкой решений посредством минимизации целевой функции в промежуточной точке до значения точности 10~15. В среде Fortran созданы программные модули для решения задачи Коши методом Рупге-Кутты при выстрелах слева и справа и для сшивки решения в промежуточной точке за спет минимизации квадратичной невязки неизвестных функций. Этот метод позволяет явно учесть спектральный характер задачи, особенно в случаях, когда спектр предполагается дискретным: при отсутствии дополнительной симметрии для сшивки пяти неизвестных функций С, С, Ь, ф, ф необходимо иметь как минимум пять свободных параметров для варьирования условий в граничных точках П , г2.

Существует единственное, с точностью до одновременного изменения знака у ф, ф0 и р, решение, соответствующее значениям параметров

а = 0.983, р = 0.898, г0 = 1.475, s = 1.941, ф'0 = 0.924.

Для таких гравитирующих полей как калибровочные поля Стандартной Модели, характерно существование бесконечного спектра. Отсутствие возбуждаемых мод в нашем случае оправдывает предположение о чисто гравитационном, почти упругом и, следовательно, сверхслабом взаимодействии топологических геонов с другими частицами.

В разделе 3.2 построена математическая модель гравитирующей скалярной конфигурации на основе двухпараметрического семейства точных решений с положительным кинетическим членом. Семейство решений включает голые сингулярности, частицеподобные конфигурации и чёрные дыры. Параметры модели: тп — шварцшильдова масса, а и Ь, а < Ь — определяют интенсивность скалярного поля.

При условии е = 1, положим

г , 4а4 , 4 (а/Ь)* е — I — -г-,-гг = 1--л > Ь > а, а > 0.

Сл + 4Ь4 (С/Ъ)А + 4

Метрические функции и ф, , /, V задаются формулами (5) - (7) : а2 . „/ 2Ь2 а2\ „ „ , „

Г 4а4 | ~2 [ а4(4Ь4 - а4) 2(ЬН - 3т)(64 - а4) /~\1_С4 + 4М/ \1_ 3 Ь8 + 3 Ъ*С +

а4(4Ь4 — а4)С2 ( (С + Ъ\ {С-Ь\\ Н(ЬН-6тп)С2\

+ Г*8 (—) ~ аГС'ё (—) ) + 4Ьз } '

(1С Г С \ С4 + 4Ь4

2Ь4 \ 2

- , 1, /С2 — 2ЬС + 2Ь2\

(С + Ъ\ (С-Ь

— arctg I —-— 1 — arctg

\ ь J b

Разложение функции / в ряд в окрестности точки С = 0

_ Ь(а4тс - 6mb3) а4тг(3а47г - 4а4 + 16Ь4 - 36mb3)C2 3

f ~ 3(64 - а4)С + + 48Ь2(Ь4 - а4)2 + ( j'

демонстрирует поведение в зависимости от соотношения параметров a, bum. Связанная система уравнений инвариантна относительно преобразования С = C/b, т = тп/b, a = а/Ь, F = Vb2. Не теряя общности

положим & = 1, тогда регулярное решение возникает при а4 = 6т/тг, черная дыра — при а4 < 6т/тг, голая сингулярность — при а4 > бтп/тт. В регулярном случае условие а < 1 приводит к ограничению пг сверху: тп < тг/6.

Графики потенциала V, характеристической функции / и радиуса горизонта событий г* при различных значениях варьируемых параметров представлены на Рис. 2 и Рис. 3.

Ф

Рис. 2: Потенциал У(ф) при а = 0.93 , значения тп приведены и единицах массы ц = а'тг/6 регулярного решения (сплошная чёрная линия). На вставке показано поведение при малых значениях ф.

Рис. 3: Слева: характеристическая функция / при а = 0.93, значения тп приведены в единицах массы ¡1 = а47г/6 регулярного решения (сплошная чёрная линия). Справа: радиус горизонта событий г* = г*(т,а), г*(0.6,0) = 1.2 (Шварцшильд), г*(0.6,1-Ю"10) ~ 0.1001.

В разделе 3.3 численно исследованы эффективные потенциалы конкретных решений двухпараметрического семейства, полученного в преды-

дущем разделе, для статической калибровки С (г) = г. Все конфигурации обладают свойством положительности потенциала самодействия на пространственной бесконечности и имеют область отрицательных значений. Показано, что они могут быть основой реалистических математических моделей гравитирующих субгалактических объектов. Построены графики характеристических функций и эффективных потенциалов при различных значениях варьируемых величин.

В разделе 3.4 построена математическая модель для описания галактического гало по данным астрономических наблюдений.

Параметры модели: г = а — внешняя граница сферического галактического кора (начало плоского участка ротационной кривой), г = Ь — внешняя граница гало темной материи (конец плоского участка ротационной кривой), V — скорость движения вещества вокруг центра галактики в единицах скорости света с, М — полная гравитационная (шварцшиль-дова) масса галактики в единицах масс солнца А/0 .

Метрическая функция А2(г) на расстояниях, соответствующих «плоскому участку» ротационной кривой, удовлетворяет уравнению 2v2/r = (1А2/(1г. Величина V2 на «плоском участке» ротационной кривой близка к постоянной и имеет порядок 10~7 - 10 6 . Скалярное поле изменяется по логарифмическому закону. Определяющие функции конфигурации, полученные из (7), имеют вид

А2(г) = 2ь21п {г/а) + А2(а),

Я = л/Ср{а) + (г2 - а2) А2(а) + 2у2 (г21п (г/а) - г2 + а2), се = (А2(а) + V2 (21п (г/а) - 1)) гД?.

Уравнения, связывающие параметры системы, приводятся к виду

1 - 2цМ/Ь = 2 V21п (Ь/а) + А2{а), е^4 = 1, <?(&) = Ь - 3цМ,

где ц = СМ0/(с2/3) и 0,478 • 10~16, /3 = 3,086 • 1021 см = 1кпк.

Параметры а и « определяются астрономическими наблюдениями с хорошей точностью. Свободным параметром модели можно выбрать массу галактики М или радиус гало темной материи Ь, свободный параметр будет определен астрономическими наблюдениями, а второй — из уравнений. Результаты вычислений, приведенные в Таблице 1, находятся в хорошем согласии с наблюдениями (с учетом достижимой точности).

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Таблица!. Наблюдаемые и вычисленные параметры галактик.

Галактика у/с а, КПК м, в ед. М0 Ь, КПК

N 4565 0,8-10 3 4 0.6- 1012 1,0 - ю12 1,5-1012 44,8 74,8 112,5

ИвС 3198 0,5-10 3 4 0,6-1012 1,0-1012 1,5-1012 114.7 191,2 286.8

М 31 0,8 ■ 10 3 6 1,0-1012 1,5-1012 2,0- 1012 74,6 112,0 149,4

1. Разработан новый метод, математического моделирования, основанный на развитии метода обратной задачи; в частности, получены интегральные формулы для вычисления метрических функций и потенциала самодействия нелинейного скалярного поля по заданной полевой функции.

2. Получены явные формулы эффективного потенциала в линеаризованной задаче устойчивости, полученные с помощью метода обратной задачи; доказана устойчивость асимптотически плоских вакуумных черных дыр относительно вакуумных радиальных флуктуацпй скалярного поля с произвольным потенциалом самодействия.

3. Построена математическая модель сферически-симметричной гравитнрующей скалярной конфигурации в асимптотически плоском пространстве-времени; в основе модели лежит двухиараметрическое семейство точных решений уравнении Эйнштейна.

4. Построена математическая модель топологического гсона с реалистичным потенциалом самодействия скалярного поля, комплекс программ для численного моделирования топологических геонов.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Журналы, рекомендованные ВАК

[1] Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля// Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2007, №5(33], с. И - 20.

[2] Никонов В.В., Цирулев А.Н. Квазинормальные моды и устойчивость сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций// Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2010, №28, с. 103 - 115.

[3] Nikonov V.V., Tchemarina Ju.V., Tsirulev A.N. A two-paramcter family of exact asymptotically flat solutions t.o the Einstein-scalar field équations// Class. Quant. Grav., 2008, V.25, 138001.

Материалы международных конференций

[4] Никонов В.В. Символьные и численные методы исследования гравитирующих нолей// Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции, ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 19 - 22, 2007, с. 185 - 188.

[5] Никонов В.В., Цирулев А.Н. Статические конфигурации гравитирую-щего сферически-симметричнго скалярного поля// Материалы международной конференции «Современные проблемы математики механики и их приложений» к 70-летию академика В.А. Садовничсго, МГУ, Москва, Россия, Март 30 - Апрель 2, 2009, с. 229 - 230.

Другие публикации

[6] Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией R х R#RP3// Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2006, №4[21|, с. 106 - 113.

[7| Никонов В.В. Устойчивость сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций// Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Вторая Российская школа-конферпция для молодых ученых: Тезисы докладов, ТвГУ, Тверь, Россия, Декабрь 8 - 12, 2010, с. 44.

Формат 60x84 1/16. Бумага кссрокспая. Усл.псч.л. 1,2. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ОАО «ТВЗ» 170003, г.Тверь, Петербургское ш., 45-6

Введение

ГЛАВА 1. Общие принципы математического моделирования гравитирующих скалярных конфигураций

1.1 Действие и динамические уравнения.

1.2 Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций

1.3 Характеристические уравнения и характеристическая функция

1.4 Обратная задача для гравитирующих скалярных конфигураций

1.5 Выбор координат.

1.6 Примеры математических моделей.

1.7 Безмассовое скалярное поле. Классификация решений

ГЛАВА 2. Исследование устойчивости относительно малых радиальных возмущений

2.1 Динамические уравнения для возмущений в линейном приближении

2.2 Выбор калибровочных условий.

2.3 Постановка и редукция задачи устойчивости.

2.4 Устойчивость вакуумных черных дыр относительно флуктуаций скалярного поля.".

ГЛАВА 3. Численное моделирование гравитирующих скалярных конфигураций 72 3.1 Численное моделирование топологического геона

3.2 Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений.

3.3 Аналитическое и численное исследование эффективных потенциалов конкретных решений.

3.4 Вычисление параметров математической модели галактического гало по данным наблюдений

Вряд ли я погрешу против истины, утверждая, что черные дыры — это самые совершенные макроскопические объекты во Вселенной. Ведь для их построения достаточно понятий о времени и пространстве.

Субраманъян Чандрасекар [1]

Диссертация посвящена математическому моделированию и исследованию устойчивости статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности.

Актуальность работы обусловлена той важнейшей ролью, которую играют скалярные поля в современной физической картине мира. Стандартная Модель физики элементарных частиц, расширенные альтернативные теории физики высоких энергий, космологические теории эволюции ранней Вселенной, а также математические модели некоторых наблюдаемых гравитирующих систем в астрофизике ие в состоянии обойтись без включения на фундаментальном или феноменологическом уровне скалярного поля или мультиилетов скалярных нолей: бозон Хиггса, ннфлатоп, аксион, модель холодной темной материи и т. д. В данной диссертации рассматривается широкий круг вопросов, связанных с потребностью математического моделирования посредством вещественного скалярного поля новой формы материи неизвестной природы, проявляющей себя на галактических масштабах, которая названа темной материей. В настоящее время скалярные поля не обнаружены явно ни в одной из теорий, но если они существуют в природе на фундаментальном уровне, то одним из наиболее перспективных экспериментальных указании на их существование является именно темная материя, присутствие которой во Вселенной надежно установлено [2, 3, 4,' 5]. Взаимодействие темной материи с частицами, составляющими обычное вещество, или отсутствует, или имеет сечение ниже предела точности экспериментов, т. е. частицы или поле, составляющие темную материю, участвуют заметным образом только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом является чисто гравитационным, поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как наиболее перспективная основа для описания темной материи [6, 7, 8, 9]. В современной космологии гравитационная фрагментация темной материи объясняет механизмы образования галактик, черных дыр в центрах галактик и, возможно, других гравитирую-щих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому интерпретация наблюдений в галактической и субгалактической астрономии требует построения адекватных математических моделей гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени.

В более общем плане математическое моделирование самогравитирую-щих скалярно-полевых конфигураций непосредственно связано с вопросом о том, какова роль гравитации среди трех других фундаментальных взаимодействий в микромире. С одной стороны, для решения поставленного вопроса в настоящее время предприняты многочисленные попытки построения самосогласованной квантовой теории гравитации [10], а также попытки радикального расширения общей теории относительности, например, в рамках теории струп, однако эти направления в диссертации не рассматриваются. С другой стороны, может быть более интересна узкая формулировка данного вопроса [11]: до каких масштабов в микромире работает классическая, т. с. не квантовая, общая теория относительности, изначально предназначенная для макроскопического описания пространства-времени. Вещественное скалярное поле допускает естественное классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки поля как источника гравитации в микромире не возникает. При этом нелинейность как гравитации, так и поля, а также частицеподобный (в частности, солитонный) характер конфигурации, обусловленный именно равновесием притягивающего гравитационного взаимодействия и отталкивающего самодействия скалярного поля, не позволяют сделать заключение о пренебрежимо малом вкладе гравитации в энергию взаимодействия, как это обычно делается в квантовой теории поля. Кроме того, прямая геометрическая интерпретация поля при условии минимальности взаимодействия с гравитацией, приводит к естественной и однозначной математической постановке задач. В последние десятилетия физика элементарных частиц как наука о микромире, и космология как наука о Вселенной, неуклонно сближаются. Различными методами они отвечают на одни и те же вопросы: какой материей наполнена Вселенная сегодня и какие процессы, происходившие между элементарными частицами в ранней Вселенной, привели к современному состоянию. Таким образом, можно надеяться, что математическое моделирование са-могравитирующих конфигураций, построенных из нелинейных скалярных полей, позволит лучше понять пределы применимости современной теории гравитации в микромире, а также осознать совместную роль всех фундаментальных взаимодействий в макроэволюции Вселенной.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций в рамках общей теории относительности, выделение из них классов математических моделей, способных описывать как наблюдаемые, так и предполагаемые гравитирующие объекты галактической и субгалактической астрофизики, а также исследование их устойчивости относительно линеаризованных возмущений. Основное внимание в диссертации уделено асимптотически плоским математическим моделям с нетривиальной геометрией и топологией, которые описывают как скалярные черные дыры и регулярные частицеподобные конфигурации, так и экзотические объекты типа кротовых нор и топологических гсонов.

Основные задачи, которые возникли и были решены в процессе достижения поставленной цели, являются актуальными прикладными задачами современной математической физики. К ним относятся, в частности, развитие новых математических методов исследования гравитирующих конфигураций (в том числе, развитие метода обратной задачи), получение модельных аналитических и численных решений полной системы уравнений Эйнштейна, классификация решений по геометрическим и топологическим типам, редукция линеаризованной самосогласованной задачи устойчивости для гравитирующих скалярно-полевых конфигураций к одному стационарному уравнению Шредингера для квазинормальных мод с приведенным эффективным потенциалом.

Структура и объем диссертации: работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 99 наименований. Диссертация изложена на 106 страницах, включает 39 рисунков и одну таблицу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построены и исследованы математические модели статических, асимптотически плоских, сферически-симметричных самогравити-рующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности, а также изучены вопросы их устойчивости относительно радиальных возмущений в линейном приближении.

Получены следующие основные результаты:

1. Получено общее решение в виде квадратурных формул обратной задачи для полной системы статических сферически-симметричных уравнений Эйнштейна для скалярного поля, позволяющее по заданной полевой функции найти метрику и потенциал самодействия. На этой основе проведена классификация возможных типов решений, которые, включают в себя чёрные дыры, кротовые норы, частицеподобные решения с тривиальной топологией, голые сингулярности и топологические геоны.

2. Построен класс математических моделей гравитирующих скалярных конфигураций с положительным па бесконечности потенциалом самодействия скалярного поля.

3. Для реалистического потенциала самодействия нолная система уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля в асимптотически плоском пространстве-времени редуцирована к спектральной краевой задаче на полупрямой для системы обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка с двумя особыми точками регулярного типа. На основе численного решения задачи построен одпопараметрический класс математических моделей скалярных топологических геонов.

4. Исследована устойчивость статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций относительно радиальных (монопольных) линеаризованных возмущений соответствующего скалярного поля в рамках самосогласованной задачи, в которой фоновая геометрия не статична и учитываются индуцированные метрические возмущения, вызванные флуктуациями скалярного поля.

1. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 276 с.

2. Salmi V. Dark matter and dark energy // Lect. Notes Phys. 2004. Vol. 653. Pp. 141 180. (arXiv: astro-ph'0403324).

3. Terner M. Dark matter and dark energy: the critical questions // Hubble's Science Legacy: Future Optical/Ultra,violet Astronomy from Space. 2003. Vol. 291. Pp. 253-272. (arXiv: astro-ph 0207297).

4. Bento M.C., Bertolami O., Sen A. A. The revival of the unified dark energy dark matter model // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. 083519 (arXiv: astro-ph 0407239).

5. Hinshow G. First year WMAP observation: the angular power spectrum // Astrophys. J. Suppl. 2003. no. 148. Pp. 135-152. (arXiv: astro-ph 0302217).

6. Spergel D. N., Steinhardt P. J. Observational Evidence for Self-Interacting Cold Dark Matter // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. Pp. 3760-3763.

7. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Quintessence and scalar dark matter in the Universe // Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. P. L75-L81.

8. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Further analysis of a cosmological model with quintessence and scalar dark matter // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 63. 063506.

9. Matos Т., Urena-Lopez L. A. On the Nature of Dark Matter // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. Vol. 13. P. 2287-2291.

10. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 160 с.

11. Марков М.А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 468-480.

12. Volkov M.S., Galt'tsov D.V. Gravitating non-Abelian solutions and black holes with Yang-Mills fields // Phys. Rep. 1999. Vol. 319. Pp. 1-83. (arXiv: hep-th 9810070).

13. Tsirulev A.N. Gravitational fields with Yang-Mills curvature // Proc. 15th Int. Conf'. High Energy Physics and Quantum Field Theory. 2001. Pp. 382384.

14. Tsirulev A.N. Curvature decomposition and the Einstein-Yang-Mills egua-tions // Part. Nucl. JINR. 2004. Vol. 1, no. 12(119). Pp. 99-102.

15. Hcrrera L., Santos N.O., Wang A. Shearing Expansion-free Spherical Anisotropic Fluid Evolution // Phys.Rev. D. 2008. Vol. 78. 084026 (arXiv: gr-qc 0810.1083).

16. Bechmann O., Lechtenfeld O. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field // Class. Quant. Grav. 1995. Vol. 12. Pp. 14731482. (arXiv: gr-qc 9502011).

17. Dennhardt H., Lechtenfeld O. Scalar deformations of Schwarzschild holes and their stability // Int. J. Mod. Phys. A. 1998. Vol. 13. Pp. 741-764. (arXiv: gr-qc 9612062).

18. Bronnikov K.A., Fabris J.C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

19. Bronnikov К.A., Shikin G.N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons // Gravitation&Cosmology. 2002. Vol. 8. Pp. 107-116. (arXiv: gr-qc 0109027).

20. Bronnikov K.A., Chernakova M.S. Charge black holes and unusual worm-holes in scalar-tensor gravity // Gravitation&Cosmology. 2007. Vol. 13. Pp. 51-55. (arXiv: gr-qc 0703107).

21. Armendariz-Picon C. On a class of stable, traversable Lorentzian worm-holes in classical general relativity // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. 104010 (arXiv: gr-qc 0201027).

22. Hochberg D., Visser M. Geometric wormhole throats // Proc. Haifa Workshop «The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities», Haifa, Israel. 1997. June 29 - July 3. Pp. 249-295. (arXiv: gr-qc 9710001).

23. Hochberg D., Visser M. The null energy condition in dynamic wormholcs // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. Pp. 746-749. (arXiv: gr-qc 9802048).

24. Волобуев И.В., Малышенко В.О. Точные решения типа кротовых пор в системах Эйнштейна-Янга-Миллса с дополнительными измерениями пространства-времени // Фунд. прикл. матем. 1998. Т. 1. С. 233 -244.

25. Morris M.S., Torn K.S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. Pp. 1446-1449.

26. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 402 с.

27. Friedman J.L., Schleich К., Witt D.M. Topological censorship // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. Pp. 1486-1489. (arXiv: gr-qc 9305017).

28. Louko J. Single-exterior black holes // Lect. Notes Phys. 2000. Vol. 541. Pp. 188-202. (arXiv: gr-qc 9906031).

29. Louko J., Marolf D. Inextendible Schwarschild black hole with a single exterior: How thermal is the Hawking radiation // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58. 024007 (arXiv: gr-qc 9802068).

30. Louko J., Whiting B.F. Hamiltonian thermodynamics of the Schwarschild black hole // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. Pp. 5583-5599. (arXiv: gr-qc 9411017).

31. Louko J., Mann R.B., Marolf D. Geons with spin and charge // Class. Quant. Grav. 2005. Vol. 22. Pp. 1451-1468. (arXiv: gr-qc 0412012).

32. Morris M.S., Torn K.S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. Pp. 395-402.

33. Frolov V.P., Novikov I.D. Physical effects in wormholes and time machine // Phys. Rev. D. 1990. Vol. 42. Pp. 1057-1065.

34. Krasnikov S. Evaporation induced traversability of the Einstein-Rosen wormhole // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 73. 084006 (arXiv: gr-qc 0507079).'

35. Хуснутдинов H.P. Квазиклассические кротовые норы с гладкой горловиной // ТМФ. 2004. Т. 138. С. 297-318.

36. Wheeler J.A. Geons // Phys. Rev. 1955. Vol. 97. Pp. 511-536.

37. Wheeler J.A. Geometrodynamics. New York: Academic Press, 1962.

38. Ernst Jr. F.J. Variational calculations in geon theory // Phys. Rev. 1957. Vol. 105. Pp. 1662-1664.

39. Ernst Jr. F.J. Linear and toroidal geons // Phys. Rev. 1957. Vol. 105. Pp. 1665-1670.

40. Brill D.R., Hartle J.B. Method of the self-consistent field in general relativity and its application to the gravitational geon // Phys. Rev. 1964. Vol. 135. Pp. B271-B278.

41. Misner C.W., Wheeler J.A. Classical physics as geometry // Ann. Phys. 1957. Vol. 2. Pp. 525-603.

42. Fuller R.W., Wheeler J.A. Causality and multiply connected space-time // Phys. Rev. 1962. Vol. 128. Pp. 919-929.

43. Sorkin R.D. Introduction to topological geons // Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy. 1985.-May 12-22. Pp. 249-270.

44. Regge T., Wheeler J.A. Stability of a Schwarzschild singularity // Phys. Rev. 1957. Vol. 108. Pp. 1063-1069.

45. Zerilli F.J. Gravitational field of a particle falling in a Schwarzschild geometry analysed in tensor harmonics // Phys. Rev. D. 1970. Vol. 2. Pp. 2141-2160.

46. Chandrasekhar S. On the equations governing the perturbations of the Schwarzschild black hole // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1975. no. 343. Pp. 289-298.

47. Persides S. On the radial wave equation in Schwarzschild space-time //J. Math. Phys. 1973. no. 14. Pp. 1017-1021.

48. Nollert H.P., Price R.H. Quantifying excitations of quasinorrnal mode systems // J. Math. Phys. 1999. no. 40. Pp. 980-1010. (arXiv: gr-qc 9810074).

49. Berti E., Cardoso V., Starinets A.O. Quasinorrnal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 26. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).

50. Kokkotas K.D., Schmidt B.G. Quasi-Normal Modes of Stars and Black Holes // Living Rev. Relativity. 1999. no. 2. Pp. 1-72. (www.livingreviews.org).

51. Cardoso V., Lemos J.P.S., S. Yoshida. Quasinormal modes of Schwarzschild black holes in four and higher dimensions // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 69. 044004 (arXiv: gr-qc 0309112).

52. Zhidenko A. Quasi-normal modes of Schwarzschild-de Sitter black holes // Class. Quant. Grav. 2004. no. 21. Pp. 273-280. (arXiv: gr-qc 0307012).

53. Barack L. Late time dynamics of scalar perturbations outside black holes. II. Schwarzschild geometry // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. 044017 (arXiv: gr-qc 9811028).

54. Cho H.T. Black hole quasinormal modes using the asymptotic iteration method // Class. Quant. Grav. 2010. no. 27. 155004 (arXiv: gr-qc 0912.2740).

55. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией R х R#RP3 // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2006. № 4(21). С. 106-113.

56. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2007. № 5(33). С. 11-20.

57. Nikonov V.V., Tchemarina Ju.V., Tsirulev A.N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations //' Class. Quant. Grav. 2008. Vol. 25. 138001.

58. Никонов В.В., Цирулев А.Н. Квазинормальные моды и устойчивость сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2010. № 28. С. 103-115.

59. Никонов B.B. Символьные и численные методы исследования гра-витирующих полей // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. 2007. С. 185-188.

60. Никонов В.В. Устойчивость сферически-симметричных гравитирую-щих скалярных конфигураций // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Вторая Росийская школа-конфернция для молодых ученых: Тезисы докладов. 2010. С. 44.

61. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.

62. Аладьев В.З. Системы компьютерной алгебры. Maple. Искусство программирования. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006. 792 с.

63. Артёмов И.Л. Fortran. Основы прораммнрования. М.: Диалог-МИФИ, 2007. 304 с.

64. Немнюгин С., Стесик О. Фортран в задачах и примерах. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 320 с.

65. Kardashev N.S., Novikov I.D., Shatskiy A.A. Astrophysics of Worm-holes // Int. Jour, of Modern Phys. D. 2007. Vol. 16. Pp. 909-926. (arXiv: astro-ph 0610441v2).

66. Новиков И.Д., Кардашев Н.С., Шацкий А.А. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор /'/ Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.

67. Проект «РадиоАстрон». URL: http://www.asc.rssi.ru/radioastron.

68. Проект «Миллиметрон». URL: http: //www. asc. rssi . ru/millimetron.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

70. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. М.: Наука, 1969.

71. Wyman М. Static spherically symmetric scalar field in general relativity // Phys. Rev. D. 1981. Vol. 24. Pp. 839-841.

72. Фролов В.П., Новиков И.Д. Физика черных дыр. М.: Наука, 1991.

73. Торн К.С., Прайс Р.Х., МакДональд Д.А. Чёрные дыры: мембранный подход. М.: Мир, 1988.

74. Новиков И.Д., Фролов В.П. Чёрные дыры во Вселенной // УФН. 2001. Т. 171, № 3. С. 307-324.

75. Фишер И.З. Поле скалярного мезона с учетом гравитационных эффектов // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. С. 636-640. (arXiv: gr-qc 9911008).

76. Bronnikov К.A. Scalar-tensor theory and scalar charge // Acta Phys. Pol. 1973. Vol. 4. Pp. 251-266.

77. Ching E.S.C. Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes // Phys. Rev. D. 1996. Vol. 54. Pp. 3778-3791. (arXiv: gr-qc 9507034).

78. Gleiser R.J., Dotti G. Instability of the negative mass Schwarzschild naked singularity // Class. Quant. Grav. 2006. no. 23. Pp. 5063-5078. (arXiv: gr-qc 0604021).

79. Bilic N. Tupper G.B., Viollier R.D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous Chaplygin gas // Phys. Lett. B. 2002. Vol. 535. Pp. 17-21. (arXiv: astro-ph 0111325).

80. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy /,/ Phys. Rev. D. 2005. Vol. 70. 043520 (arXiv: gr-qc 0502084).

81. Visser M. Lorentzian wormholes: from Einstein to Hawking // AIP Press. 1995.

82. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and transversable wormholes // Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. Pp. 3843-3864. (arXiv: gr-qc 0003025).

83. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Мир, 1989.

84. Liddle A.R., Lyth D.H. Cosmological inflation and large-scale structure // Camb.Univ.Press. 2000.

85. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unifed dark matter in scalar field cosmologies // Mod. Phys. Lett. A. 2007. Vol. 22. Pp. 2893-2907. (arXiv: astro-ph 0703259).

86. Bertacca D., Bartolo N., Diaferio A., Matarrese S. How the scalar field of unified dark matter models can cluster // JCAP. 2008. (arXiv: astro-ph 0807.1020).

87. Dowker F., Surya S. Topology change and causal continuity // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58. 124019 (arXiv: gr-qc 9711070).

88. Lemos J.P.S. Three dimensional black holes and cylindrical general relativity // Phys. Lett. B. 1995. Vol. 353. Pp. 46-51. (arXiv: gr-qc 9404041).

89. Smith W.L., Mann R.B. Formation of topological black holes from gravitational collapse // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. Pp. 4942-4947. (arXiv: gr-qc 9703007).

90. Vanzo L. Black holes with unusual topology // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. Pp. 6475-6483. (arXiv: gr-qc 9705004).

91. Birmingham D. Topological black holes in anti-de Sitter space // Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. Pp. 1197-1205. (arXiv: hep-th 9808032).

92. Klemm D., Moretti V., Vanzo L. Rotating topological black holes // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. Pp. 6127-6137. (arXiv: gr-qc 9710123).

93. Einasto J. Dark Matter. 2009. (arXiv: astro-ph 0901.0632).

94. Roberts M.S., Whitehurst R.N. The rotation curve and geometry of M31 at large galactocentric distances // Astroph. J. 1975. Vol. 201. Pp. 327-336.

95. Gilmore G., Wilkinson M.I., Wyse R.F.G. The observed properties of dark matter on small spatial scales // Astroph. J. 2007. Vol. 663. Pp. 948-959. (arXiv: astro-ph 0703308).

96. Costa S.S. Relations between the modified Chaplygin gas and a scalar field. (arXiv: gr-qc 0802.4448).

97. Matos T., Guzman F.S. On the Space Time of a Galaxy // Class. Quant. Grav. 2001. Vol. 18. Pp. 5055-5064. (arXiv: gr-qc 0108027).

98. Matos T., Vazquez A., Magana J. 4>2 as dark matter // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2009. Vol. 393. Pp. 1359-1369. (arXiv: astro-ph 0806.0683).