автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций

На правах рукописи УДК 519.0, 517.9

Соловьёв Дмитрий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГРАВИТИРУЮЩИХ ЗАРЯЖЕННЫХ СКАЛЯРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Тверь 2012

005047919

005047919

Работа выполнена на кафедре математических методов современного естествознания Тверского государственного университета.

Научный руководитель: Цирулев Александр Николаевич

доктор физико-математических наук доцент декан математического факультета

Официальные оппоненты: Севастьянов Леонид Антонович

доктор физико-математических наук профессор профессор кафедры систем телекоммуникаций РУДН

Цветков Виктор Павлович доктор физико-математических наук профессор профессор кафедры общей математики и математической физики ТвГУ

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий

Объединенного института ядерных исследований (Дубна)

Защита состоится 16 ноября 2012 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу 170002, г. Тверь, Садовый пер., д. 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, д. 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 28 сентября 2012 г. на сайте ВАК и официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http: //university, tversu.ru/aspirants / abstracts /

Автореферат разослан 15 октября 2012 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета доктор физико-математических наук доцент

Зингерман К.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы связана с тем, что роль материальных скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, свсрхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактичсской астрономии. С другой стороны, математическое моделирование частицс-подобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицсподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частице-подобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические гсоны, точечноподобные черные дыры и изо-

тройные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т.д.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактичсских масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически-плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.

Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории гравитирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций; развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла; классификация и характсризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.

Основные методы исследования

В диссертации принципиальным образом использованы следующие методы: метод структурных уравнений Картана для вывода и редукции уравнений Эйнштейна, аналитические методы симметрийного анализа, метод обратной задачи для уравнения Клейна-Гордона с неизвестным потенциалом, методы асимптотического и топологического анализа решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для аналитических расчетов используется система символьных вычислений Maple и вычислительная среда Fortran Power Station 6.0 в сочетании с реализованными в этих системах алгоритмами и численными методами решения систем дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Развитие метода обратной задачи для математического моделирования статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций,

2. Исследование скалярного поля,

3. Математические модели сферически-симметричной гравитирую-щей скалярной конфигурации с зарядом,

4. Комплекс программ для численного моделирования.

Научная новизна

1. В работе развит метод математического моделирования — метод обратной задачи — для статических сферически - симметричных скалярных конфигураций, заключающийся в получении нового решения уравнения гравитации в виде квадратурных формул для метрических функций и скалярного поля.

2. Построены новые математические модели скалярных конфигураций новыми методами, когда в основе моделей лежат точные решения уравнения гравитационного поля, полученные методом обратной задачи.

3. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

4. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

основывается на применении строгих аналитических и численных методов математического моделирования, строгих результатов математического анализа, дифференциальной геометрии и математической физики, а также на проверке принципа соответствия, т. е. на совпадении новых результатов с полученными ранее при предельных переходах к соответствующим значениям параметров.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов включает в себя, во-первых, новые теоретические результаты в методе обратной задачи для гравитирующего скалярного поля, объединение общетеоретической формулировки проблемы и строгой математической постановки задач. Во-вторых, некоторые частные результаты, такие как общее решение обратной задачи и метод редукции уравнений Эйнштейна для заряженных конфигураций, которые могут быть применены для широкого класса гравитирующих систем физических полей, также имеют

теоретическое и методологическое значение в математическом моделировании гравитирующих систем. Построенные на основе решения обратной задачи математические модели гравитирующих скалярно - полевых конфигураций также являются вкладом в астрофизические и теоретико-полевые исследования гравитирующих систем субгалактичсской астрономии и микромира.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в тесной связи рассматриваемых проблем с наблюдениями и экспериментами в современной астрофизике. В частности, полученные результаты могут быть полезны в подготовке наблюдательных экспериментов в области астрономии, а также в интерпретации полученных результатов в рамках российских проектов, ориентированных на поиск экзотических астрофизических объектов в галактиках. Значительная часть результатов диссертации используется в образовательных программах магистратуры по направлению «Математика и компьютерные науки» и аспирантуры по специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных научных конференциях «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики» (РУДН, Москва, 2010), «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2011), на конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (РГСУ, Москва, 2011), а также на научных семинарах математического факультета ТвГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] — [3] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а [4] — [8] — в трудах международных и всероссийских конференций.

Структура и объём диссертации

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43 рисунка и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи, определены практическая значимость и научная новизна, кратко изложено содержание диссертации и проведен обзор научных работ в области исследования 2' 3 ).

Глава 1 посвящена точной математической формулировке проблемы сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности. В диссертации использована геометрическая система единиц (G = 1, с = 1).

В разделе 1.1 вводится используемая метрика пространства-времени и ортонормированный базис векторных полей

ds2 = A2di2 - B2dr2 - С2(dO2 + sin2 в dip2), (1)

В разделе 1.2 на основе метода структурных уравнений Картана получены явные выражения для компонент формы связности и кривизны для метрики (1), в которой сохранена калибровочная свобода, допускающая произвол в выборе одной из метрических функций. Функции А, В и С зависят только от координат (иг.

В разделе 1.3 введено полное действие

E = ГО

где S — скалярная кривизна, V(<j>) — потенциал самодействия скалярного поля ф, £ = ± 1 — знак кинетического члена вводится для унификации действия в математических моделях с положительным и отрицательным (фантомное поле) кинетическим членом в лагранжиане скалярного поля, J- — тензор электромагнитного поля,

Сф = ~(s (d<t>, d4>) - 2У(ф)), Сет = - (Г, Т) ,

угловые скобки ( , ) обозначают скалярное произведение относительно метрики д,

(dф, <Щ = gij д,ф д}ф = ф2а) - ф2}, {Т, F) = Т,^ .

'Bronnikov К.A., Fabris J.С. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 98. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

2Новиков П.Д., Кардашев H.С., Шацкий А.А. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.

3Berti Е., Cardoso Y., Starinets А.О. Quasinormal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 20. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).

Рассматриваются общие принципы, на которых основывается теория гра-витирующих скалярных полей, минимально связанных с гравитацией, обсуждаются общие свойства системы и вводится необходимая далее терминология. Статические скалярные конфигурации возможны только в случае равновесия между отталкивающим самодействисм скалярного поля и гравитационным притяжением к центру конфигурации; в частности, чтобы пространственные компоненты поля энергии - импульса обеспечивали (как обычное давление в жидкой среде) отталкивание на пространственной бесконечности, величина кинетического члена в лагранжиане должна превосходить по абсолютной величине значение потенциала для обычного скалярного поля и, наоборот, быть меньше для фантомного.

В разделе 1.4 получены явные выражения для компонент тензорного поля энергии-импульса скалярного поля и получен явный вид связанной системы уравнений Эйнштейна и уравнения Клейна-Гордона с произвольным потенциалом самодействия поля. Приведены тождества Бианки.

В нашем случае полная система уравнений Эйнштейна и уравнения поля содержит только три независимых уравнения, так как одно из уравнений Эйнштейна является следствием остальных уравнений в силу тождества Бианки и консервативности тензора энергии-импульса.

В разделе 1.5 изложены с необходимой общностью известные результаты о геодезических в статическом сферически - симметричном пространстве-времени. Рассмотрено движение пробных частиц по геодезическим определяется уравнениями Эйлера- Лагранжа. Решено уравнение геодезических ^и = 0 (и — 4-скорость) для трех случаев: круговая времениподобная орбита (С/1 =0), сложное движение (II1 ф 0, II3 ф 0) и радиальная геодезическая (II3 = 0). Найдены первые интегралы системы, эффективный потенциал и условие существования круговых орбит

Кя = ^ (к + . (3)

Г" 4' А НА

± - ± > о, или £ - — > 0, или АС - А'С> 0, (4)

причем равенство достигается при к = 0, т. с. для фотонной орбиты.

В разделе 1.6 описана взаимосвязь параметров устойчивых орбит с внутренним радиусом аккреционных дисков и особенности наблюдения таких конфигураций.

В главе 2 изучается метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом.

В разделе 2.1 рассмотрены прямая и обратная задача, описывающая состояние заряженной гравитирующей скалярной конфигурации, в зависимости от се внутренних параметров и окружения.

Для метрики сферически симметричного пространства-времени

dr2

ds2 = e2Ffdt2 - у " r\d92 + sin2 в V), (5)

введена характеристическая функция / = — (dr,dr) и получена система уравнений только для неизвестных функций /, ф.

„2

rf + /(l+£<A2)-l + 2rV + \ = 0, (6)

ф' Л , , п~2т/ «Л .V

+ = (7)

Получено общее решение обратной задачи в следующем виде

/(г) = e~2FA, A(r) = 2г2/ Я^рЛ eFdr (8)

,. Г 3

F(r) = -ejfi2rdr, Q(r) = r+J 1 - e^l - Jj dr, (9)

где тн А — постоянные интегрирования. Общий метод получения точных решений из решения (8) — (9) обратной задачи заключается в следующем: подставляя в квадратуру произвольную кусочно - гладкую и монотонную функцию, получим метрические функции /(г) и e2F, а затем найдем потенциал V(r). При отсутствии скалярного поля, т.е. при ф = 0 и 1^(0) = 0

получается метрика Рейсснсра-Нордстрема: / = 1 — + а если положить q = 0, то метрика Шварцшильда / = 1 —

г

В разделе 2.2 находятся интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны. Выбрана схема регуляризации интегралов, входящих в эти формулы так, чтобы интервал интегрирования был [г, оо), а произвольные постоянные были равны космологической постоянной А и шварцшильдовой массе т, измеряемой на бесконечности. Найдено решение для потенциала самодсйствия

nr) = ^(l-3/ + £,V2/ + 2e-^-^). (10)

В разделе 2.3 выполняется расчет общего решения при ином задании координат, удобных для описания решений типа топологических гсонов или кротовых нор.

ds2 = Adt2 - - r2 (de2 + sin26> dip2) , (11)

Z(r) = Г+ f(l -eF)dr, (12)

Г

Ф; = yj-er((/r , Q(i) = e + 292/ ^ , (13)

>1(0 = 2r2/di - ^ , /(0 = , (14) í r 0

= ¿ - ^ - "ёИ + ^ - Í) ' (15)

В разделе 2.4 описаны и классифицированы решения с классическим скалярным полем при наличии и отсутствии заряда у гравитирующей конфигурации. Метод характеризации возможных решений основан на метрической функции /, которая называется характеристической функцией. В сферически-симметричном пространстве-времени метрическая функция г определена инвариантно. Функция / это скалярный квадрат со знаком минус 1-формы dr, / = ~{dr,dr), поэтому он тоже инвариантен, в отличие от метрической функции А = fe2F.

Решение представляет собой голую сингулярность, если / положительна для всех г > 0, /(0) ф 0, и К (инвариант Кречмана) расходится при г = 0, черную дыру, если / = 0 на некотором радиусе rh > 0 (с дополнительным условием dr|г=г ф 0, если необходимы другие координаты), и /(г) положительна для всех г > rh\ 1—форма dr изотропна на некоторой гиперповерхности г = rh необходимой для горизонта событий или регулярное решение и слабое регулярное решение характеризующиеся условиями когда /, V и К, ограничены на [0, оо) а также ф{г) класса С2 на [0, со) или, соответственно, ф(г) класса С2 на (0, оо) и класса С1 на [0, оо). Эта классификация непосредственно следует из приведенного выше общего решения и может быть описана более подробно в зависимости от поведения функции поля ф или, эквивалентно, £ вблизи г = 0. Типичное поведение общих решений иллюстрируется на Рис. 1.

В случае q ф 0 существует аналогичная классификация и у нас есть один из следующих типов решений: голая сингулярность, черная дыра с двумя горизонтами или экстремальная черная дыра, внешний горизонт событий совпадает с его внутренним горизонтом Коши; черная дыра с одним горизонтом событий, если вклад скалярного поля преобладает над плотностью энергии; экзотическое решение, которое выглядит как черная дыра, для которого горизонт вырождается в центральной точке, так что

Рис. 1: Слева: конфигурации без заряда (черная дыра, регулярное решение, голая сингулярность). Справа: конфигурации с зарядом (черные дыры, голая сингулярность).

/(0) = А(0) = 0. Решение последнего типа будет называться точечнопо-добпая черная дыра. Очевидно, что оно может получаться только путем тонкой настройки распределения скалярного поля параметрами т и q.

В разделе 2.5 приводятся расчеты наблюдаемых параметров конфигураций, таких как удельный момент импульса и циклическая частота обращения. Для метрики (5) и решения (8) — (9) имеем (при к = 1)

С = г, А2 = ¡е2р , (А2)' = (/' + 2*7) є"1,

Ґ = єгф'2,

Г = Цг~ 2*7 -

тогда ненулевые компоненты 4-скорости круговой орбиты примут вид

(с/0)2 =

/

«=

гГ/ + г/'/2

(16)

/-пР/-г/'/2 4 / — г 7*7 — г/'/2

а условие существования круговых орбит (4) можно переписать в форме

2//г - 2*7 -Г > 0

20-3ше_р 0

д ^ Зт. (17)

Связь между удельным моментом импульса и радиусом орбиты имеет вид

3 = г

гер/

1/2

[<5 - Зт " • <18>

В заключение найден явный вид циклической частоты обращения, а так же радиальная скорость частиц, падающих в центр конфигурации

2 I I Г____II - .ЛТП _

(19)

(А2У /_ 2Г д - Зт р (С2)' г2® г3 Є '

= % = -¿е-/.

(20)

Глава 3 посвящена построению частных аналитических и численных математических моделей с классическим скалярным полем на основе развитых в диссертации методов.

В разделе 3.1 описаны методы численного моделирования, применяемые в данной работе и приведена последовательность расчетов (Рис. 2).

В левой части блок-схемы представлены программные модули для вычисления метрической (характеристической) функции /(г) и потенциала самодействия V. Вначале задастся кусочно - гладкая функция eF: на некотором наборе конечных отрезков [0, ri], [ri, Гг],... [rk-i, т>] эта функция аппроксимируется кубическими сплайнами, а на оставшемся сегменте [гд:,оо) она аппроксимируется рядом по убывающим отрицательным степеням г, причем в точках r\,.. .г^ функция дважды непрерывно дифференцируема. Из нее последовательно находятся характеристическая (метрическая) функция f(r) и потенциал самодействия У{ф). В промежуточных расчетах функции Q и ф'(г) вычисляются аналитически (что, очевидно, всегда выполнимо) в системе Maple, тогда как следующие по порядку модули для вычислений функций /(г) и ф(г) реализованы как в виде программы в Maple, так и в виде программы численного интегрирования в среде Fortran, поскольку аналитическое интегрирование не всегда возможно. При численном интегрировании таблица значений характеристической функции имеет вид линейной комбинации / = а + т- /З + q2 • 7, где т, q — произвольные параметры массы и заряда, а а, /3,7 — конкретные числа, соответствующие данному значению г. Далее в комплекс программ входят модули для численных расчетов функций V(r), г(ф) и, наконец, У(ф). Значения потенциала (как V(r), так и У(ф)) представляются линейными комбинациями с теми же параметрами, что и характеристическая функция /.

В правой части блок-схемы представлены модули для расчетов эффективного потенциала для кругового орбитального движения массивной пробной частицы в окрестности скалярной конфигурации и параметров орбит, в частности, радиуса последней устойчивой орбиты (ISCO).

В разделе 3.2 описано общее решение - решение которое получается без какой-либо тонкой настройки параметров с "окружающими" решениями того же типа. Рассмотрено семейство решений которое содержит слабые регулярные решения, а не обычные. Это семейство решений аналитически простое и наглядно иллюстрирует ключевые свойства статических самогравитирующих скалярных конфигураций.

Для построения математической модели гравитирующей скалярной конфигурации, обладающую аналитической простотой и, в то же время,

Рис. 2: Блок-схема последовательности расчетов и взаимодействия модулей комплекса программ.

достаточным набором свободных параметров, выбирается функция ер, которая является интегральной характеристикой распределения интенсивности ф'2 и полностью определяет вторую метрическую функцию / . Этот выбор должен учитывать указанные выше характеристики функции ер (монотонность, ограниченность, положительность, непрерывную диффсрснцирусмость), а в остальном является произвольным.

В разделе 3.3 рассмотрено семейство решений общего вида, уделяя основное внимание черным дырам с интенсивным скалярным полем вблизи горизонта событий. Если параметр интенсивности скалярного поля а приближается к 1, обеспечивая доминирование скалярного поля как источника гравитации вблизи горизонта событий, то вблизи предельного нижнего значения массы, где обеспечена близость черной дыры (вне горизонта) к регулярной конфигурации, радиус горизонта очень медленно возрастает от нулевого значения (соответствующего на графике регулярной конфигурации).

В разделе 3.4 описаны модели при наличии у конфигурации заряда.

В разделах 3.5 и 3.6 подробно описаны новые конфигурации, полученные из модели, такие как точечноподобные черные дыры и изотропные голые сингулярности.

В разделе 3.7 сделаны общие замечания о полученных результатах.

0.8 /Г

0.6 - / //*

0.4 / /

-а = 0.5

0.2 --- а = 0.8 .......а= 1.0

5 -а = 0.5

---а = 0.8

.......а = 1.0

-е- з

Рис. 3: "Скалярное поло" о7 является строго монотонной функцией (ег —» 1 снизу, когда г —> оо) и однозначно определяет соответствующее полевую функцию О.

г г

Рис. 4: Слева: Относительные положения £(г) (толстая непрерывная кривая) и горизонтальных линий, обозначающих различные значения массы 3т с т такими же, как и на правом рисунке, определяют тип основного решения. Закрашенный регион соответствует отрицательным значениям функции £ — 3т в интеграле (8). Справа: Характеристическая функция /(г) для (слабого) регулярного решения, черной дыры (точечная линия), и голой сингулярности (пунктирная линия) с а = 0.8. Точка г = г/,, /(г&) = 0, показывает горизонт событий.

Таблица 1. Параметры последней устойчивой орбиты скалярной черной дыры, близкой к регулярной конфигурации.

а = 0.99

Масса Удельный момент Радиус последней

черной дыры импульса частицы устойчивой орбиты

ТО г ' 13СО

0.3712502 0.00007 0.00012

0.37127 0.01098 0.00837

0.37130 0.05131 0.01928

0.37140 0.42067 0.05650

0.37100 3.71677 0.39377

г ф

Рис. 5: Функция потенциала V{r) и \'(ф). Три значения т соответствуют: голой сингулярности (т = 0.35 < а/2, штриховая кривая), слабое регулярное решение (т = а/2) и черная дыра (пунктирная кривая). Вставка показывает поведение на пространственной бесконечности (при больших значениях г или, что то же самое, для малых значений ф).

0.8 0.6

0.4

0.2

2 4 6 8 10 "0 5 10 15 20

Г г

Рис. 6: Характеристики точечноподобной черной дыры с масштабным фактором а = 1. На вставке показаны детали того, как выполнено условие (<3(0)=3т). На правой панели показан эффективный потенциал для разных значений 3. Точка перегиба г ~ 4.968 для (т, ,/) = (0.208,2.928) указывает на БСО. Для черной дыры Шварцшильда с той же массой радиус г/^со равен 6т = 1.248.

Глава 4 посвящена построению частных аналитических и численных математических моделей с фантомным скалярным полем. Произведена классификация и анализ типов решений. Приведены примеры конфигураций для черной дыры, топологических геонов и кротовых нор.

В разделе 4.1 описаны методы исследования фантомного поля и преобразовано решение из раздела 2.3, явно учитывающее геометрию и топологию таких конфигураций, как кротовые норы и топологические гсоны.

В разделе 4.2 рассмотрены конфигурации без заряда.

При отсутствии заряда (д = 0) формулы, определяющие метрику и поле, принимают следующий вид

Рис. 7: Возможные типы функции На правых ветвях кривых асимптотика

одинакова и имеет вид г = £ + b + о(1), £ ~^ • На левых ветвях кривых, т. с. при £ —> —ос, г ~ а\£\к (к > 1) на кривой 1, г = — а£ + 6 + о(1) (а > 0) на кривой 2 и г = 6+ о(1) на кривой 3. Кривая 4 удовлетворяет условию г(0) = 0 и определяет сингулярные черные дыры и голые сингулярности.

ОС

/(£,«) A = 2r2l(z,a), f = r*A, (21)

i

Сделана следующая классификацию возможных решений:

I. Кротовые норы и регулярные черные дыры. К данному классу относятся, в частности, решения с асимптотикой

г = -а£ + Ь_£ + -^ + о(Г2) , f -» -оо, а^О, bGR, с^О, (22)

причем если с = 0, то d ^ 0 и т. д.

II. Топологические геоны. Так называются фактормногообразия М/Z2, где М — кротовая нора, симметричная относительно горловины, а группа Z2 порождена изомстрией f —» —Мы получим симметричную кротовую нору и топологический геон тогда и только тогда, когда г(£) — четная функция и а = 0 (при этих условиях функции г2 , /(£,0) и А(£) также четные).

III. Сингулярные черные дыры и голые сингулярности. К данному классу относятся решения, определяемые радиальной функцией, удовлетворяющей условию г(0) = г0 = 0. Поскольку Г> 0, то г = о(£) при ( -> 0 + 0 и интеграл /(£, а) расходится. Отсюда сразу следует, что при о ^ 0 решения представляют собой голые сингулярности, а при а > 0 — черные дыры с сингулярностью в центре.

В разделе 4.3 описаны заряженные топологические геоны.

Решение (11) — (15) представляет симметричную конфигурацию с изомстрией £ —¥ —£ тогда и только тогда, когда г(£) четная функция и в подынтегральном выражении в (14) стоит нечетная функция, поскольку

только при этих условиях метрическая функция четная. Очевидно, это возможно при единственном значении постоянной а,

ос

« = 2<Z2/f, (23)

о

так что формулы, определяющие такую конфигурацию, можно записать в виде

зо i

w{Ç,q)=f(l-?f)dÇ, A = 2r2I(Ç,q). (24) i о

Если 1(0, q) ^ 0, то удаленный наблюдатель видит обычную черную дыру, у которой, однако, под горизонтом событий вместо сингулярности находится горловина кротовой норы, а за ней - зеркально симметричная область пространства-времени.

Наиболее значимый интерес представляет вопрос о том, насколько велико может быть отношение заряда к массе. В метрике Рейсснсра-Нордстрема физически осмысленные решения — черные дыры — возникают при q/m ^ 1 (при q/m > 1 — голые сингулярности), т. с. при нереально больших значениях массы, если полагать, что q ограничено снизу величиной порядка заряда электрона. В нашем случае справедлива оценка

ЭО ОС

Ç + rQ>r(0,te( 0, оо) => a = 2q*fd4 < 2ç2/-^-

J г2 j(t + r0)2 r„

о о

поэтому

q 3q 3q „ q Л g2 b\

m a + b 2q2/r0 r0 ^ r2 r0 J

Из последнего неравенства следует, что отношение q/m может быть сделано сколь угодно большим посредством подходящего выбора величин q/r0 и &/г0, причем выбор параметра b позволяет варьировать размер гсона г0. Для электрона q ~ 10~34 см, m ~ 10~55 см (в геометрических единицах) и неравенство q/m ^ 1021 достигается, например, при b = 0 и r0 ~ 10~14 см. Гсоны с такими параметрами заведомо существуют, поскольку выполняется достаточное условие q ^ г0/\/2-

В разделах 4.4 приведены конкретные решения для черной дыры и двух типов кротовых пор.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Найдены интегральные формулы, представляющие общее решение обратной задачи для сферически-симметричных статических заряженных скалярно-полевых конфигураций, которые позволяют по данной функции поля найти метрику и потенциал самодействия посредством прямого аналитического или численного интегрирования.

2. Построена и исследована математическая модель заряженной скалярной гравитирующей конфигурации с произвольным потенциалом самодействия. Дана полная характеризация всех возможных типов конфигураций по заданной топологии пространства-времени, знаку кинетического члена в лагранжиане скалярного поля и поведению полевой функции вблизи центра конфигурации.

3. Разработан комплекс программ для аналитических и численных расчетов в рамках построенной модели конкретных гравитирующих скалярных конфигураций.

4. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

5. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций. Показано, что у скалярных черных дыр, близких к регулярным конфигурациям, такие наблюдаемые параметры как радиус внутреннего края аккреционного диска и орбитальная частота могут принимать значения, на порядки отличающиеся от соответствующих значений для вакуумных черных дыр той же массы, что позволяет различить эти конфигурации в астрономических наблюдениях.

0. Классифицированы и охарактеризованы конфигурации с фантомным скалярным полем. Изучены условия существования и свойства заряженных топологических геонов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ Журналы, рекомендованные ВАК

1. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н. Устойчивые круговые орбиты вблизи гравитирующих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2010, №37 4[19], с. 29 - 41.

2. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н., Чемарина Ю. В. Математические модели гравитирующих конфигураций с фантомным скалярным полем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2011, №35 4[23], с. 7 - 18.

3. Solovycv D. A., Tsirulcv A. N. General properties and exact models of static selfgravitating scalar field configurations // Class. Quant. Grav., 2012, V.29, 055013.

Материалы международных и всероссийских конференций

4. Соловьев Д. А. Математические модели гравитирующих конфигурация скалярных полей // Шестые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции, ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 22 - 25, 2010, с. 02 -СО.

5. Соловьев Д. А. Устойчивость круговых орбит аккреционного диска вблизи гравитирующих скалярных конфигураций при наличии фантомного скалярного поля // Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции, ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 14 - 17, 2011, с. 105 - 109.

6. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н. Точные математические модели сферически-симметричных заряженных самогравитирующих конфигураций скалярных полей // Материалы международной конференции «Современные проблемы гравитации,космологии и релятивистской физики» РУДН, Москва, Россия, Июнь 27 - Июль 3, 2010, с. 96 - 97.

7. Соловьев Д. А. Математические модели заряженных кротовых нор и топологических гсонов // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки РГСУ, Москва, Россия, Сентябрь 23 - 25, 2011, с. 333 - 344.

8. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н. Круговые орбиты в окрестности скалярных черных дыр // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Вторая Российская школа-конференция для молодых ученых: Тезисы докладов, ТвГУ, Тверь, Россия, Декабрь 8 - 12, 2010, с. 50.

Отпечатано ООО «Документ-Центр» г. Тверь, б-р Радищева д. 29 тел. (4822) 35-99-73 Печать офсетная, бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 550

Введение

ГЛАВА 1. Принципы математического моделирования сферически -симметричных заряженных гравитирующих скалярных конфигураций

1.1 Метрика, ортонормированный базис, связность и кривизна

1.2 Действие и динамические уравнения.

1.3 Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени

1.4 Дифференциальные законы сохранения (свернутые тождества Бианки).

1.5 Орбитальные движения вблизи гравитирующих скалярных конфигураций

1.6 Наблюдение орбитальных движений.

ГЛАВА 2. Метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом.

2.1 Прямая и обратная задачи.

2.1.1 Прямая задача.

2.1.2 Обратная задача.

2.2 Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны.

2.3 Интегральные формулы обратной задачи в других координатах

2.4 Асимптотически плоские конфигурации с классическим скалярным полем

2.5 Круговые и последние устойчивые орбиты.

ГЛАВА 3. Математические модели асимптотически плоских конфигураций с классическим скалярным полем

3.1 Численное моделирование.

3.2 Решение общего типа без заряда.

3.3 Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям

3.4 Заряженные конфигурации.

3.5 Точечноподобные черные дыры.

3.6 Изотропные голые сингулярности.

3.7 Общие замечания о полученных результатах.

ГЛАВА 4. Математические модели конфигураций с фантомным скалярным полем

4.1 Фантомное скалярное поле.

4.2 Конфигурации без заряда.

4.3 Заряженные топологические геоны.

4.4 Черные дыры и кротовые норы с фантомным полем.

В диссертации в рамках общей теории относительности рассматриваются сферически-симметричные статические гравитирующие скалярные поля с минимальной связью и с учетом электрического заряда, а также исследуются орбитальные движения вблизи таких конфигураций. Математическое моделирование гравитирующих скалярно - полевых конфигураций содержит в себе все основные этапы построения и исследования математической модели: качественное описание модели, корректную математическую постановку задачи с наложением дополнительных условий, обеспечивающих существование и единственность решения при фиксированных параметрах, редукцию и решение уравнений, аналитическое и численное исследование решений, выявление новых эффектов и объектов в семействах решений, изучение связи характеристик модели с наблюдениями и экспериментом и т. д.

Качественные характеристики всех рассматриваемых в диссертации моделей основываются на одной и той же физической картине: классическое (т. е. не квантовое), вообще говоря, нелинейное вещественное скалярное поле сферически-симметрично концентрируется вокруг центра таким образом, что силы гравитации уравновешиваются отталкиванием, вызванным самодействием скалярного поля, образуя статическую конфигурацию. Кроме того, в общем случае в центре конфигурации расположен электрический заряд, который может существенно, иногда радикально, влиять на ее параметры. Такие конфигурации описываются самосогласованной системой уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; здесь и далее под уравнением Клейна-Гордона подразумевается динамическое уравнение для скалярного поля с произвольным потенциалом самодействия. Пространство-время статической скалярной конфигурации с необходимостью должно быть асимптотически - плоским или иметь асимптотику пространства- времени (анти) де Ситтера.

Актуальность работы связана с тем, что роль скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, сверхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактической астрономии [8, 9, 10, 11].

В настоящее время успешно запущен и приведен в рабочий режим на-земно-космический интерферометр «Радиоастрон» [12, 13, 14], состоящий из сети наземных радиотелескопов и космического радиотелескопа, установленного на российском космическом аппарате «Спектр-Р». На самых коротких длинах волн аппарат может достичь предельного разрешения, которое составит около 7 угловых микросекунд, что в три раза меньше, чем диаметр сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики. Поэтому аппарат «Спектр - Р», в принципе, способен разглядеть детали ее поверхности. Разрешение, достигнутое с помощью проекта «Радиоастрон», позволит изучать окрестности сверхмассивных черных дыр в активных галактиках, черные дыры в нашей Галактике, осуществить изучение природы темной материи и поиск кротовых нор и других экзотических объектов субгалактической астрономии. Следующим этапом в экспериментальных исследованиях будет проект «Миллиметрон» (аппарат «Спектр-М»), включающий космическую обсерваторию миллиметрового, субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов со сверхвысокой чувствительностью [15]. В список научных задач космической обсерватории «Миллиметрон» входит изучение релятивистских стадий эволюции звезд с образованием черных дыр звездных масс, изучение структуры и эволюции сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики и поиск новых видов астрономических объектов.

С другой стороны, математическое моделирование частицеподобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире [16, 17, 18, 19, 20, 21]. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицеподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частицеподобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические геоны, точечноподобные черные дыры и изотропные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т. д.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактических масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически-плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.

Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории грави-тирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций: развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; классификация и ха-рактеризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.

Структура и объем диссертации: работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построены и исследованы математические модели заряженных статических асимптотически плоских гравитирующих скалярно-полевых конфигураций, обладающих сферической (центральной) симметрией, с минимальной связью в рамках ОТО, а также изучены вопросы орбитального движения пробных частиц вокруг этих объектов в связи с выделением характеристических свойств, отличающих их от соответствующих вакуумных конфигураций. Проведен общий анализ заряженных и нейтральных статических сферически-симметричных конфигураций реалистических самогравитирующих скалярных полей с произвольным потенциалом самодействия.

В итоге работы были получены следующие основные результаты:

1. Найдены интегральные формулы, представляющие общее решение обратной задачи для сферически-симметричных статических заряженных скалярно-полевых конфигураций, которые позволяют по данной функции поля найти метрику и потенциал самодействия посредством прямого аналитического или численного интегрирования.

2. Построена и исследована математическая модель заряженной скалярной гравитирующей конфигурации с произвольным потенциалом самодействия. Дана полная характеризация всех возможных типов конфигураций по заданной топологии пространства-времени, знаку кинетического члена в лагранжиане скалярного поля и поведению полевой функции вблизи центра конфигурации.

3. Разработан комплекс программ для аналитических и численных расчетов в рамках построенной модели конкретных гравитирующих скалярных конфигураций. С его помощью получены конкретные двухпараметри-ческие семейства заряженных и нейтральных скалярных гравитирующих конфигураций всех известных типов (черные дыры, голые сингулярности, регулярные решения, кротовые норы, топологические геоны), а также обнаружены новые типы частицеподобных конфигураций — изотропные голые сингулярности и точечноподобные черные дыры.

4. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

5. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций. Показано, что у скалярных черных дыр, близких к регулярным конфигурациям, такие наблюдаемые параметры как радиус внутреннего края аккреционного диска и орбитальная частота могут принимать значения, на порядки отличающиеся от соответствующих значений для вакуумных черных дыр той же массы, что позволяет различить эти конфигурации в астрономических наблюдениях.

6. Классифицированы и охарактеризованы конфигурации с фантомным скалярным полем. Изучены условия существования и свойства заряженных топологических геонов.

1. Matos T., Guzman F. S. On the space time of a galaxy // Class. Quant. Grav. - 2001. - Vol. 18. - Pp. 5055 - 5064. - (arXiv: gr-qc 0108027).

2. Matos T., Vazquez A., Magana J. 4>2 as dark matter // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2009. — Vol. 393. — Pp. 1359 1369. — (arXiv: astro-ph 0806.0683).

3. Bento M. C., Bertolami O., Sen A. A. The revival of the unified dark energy dark matter model // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70. - 083519 (arXiv: astro-ph 0407239).

4. Sahni V. Dark matter and dark energy // Led. Notes Phys.— 2004.— Vol. 653,- Pp. 141 180,- (arXiv: astro-ph 0403324).

5. Terner M. Dark matter and dark energy: the critical questions // Hub-ble's Science Legacy: Future Optical/Ultraviolet Astronomy from Space. — 2003. Vol. 291. - Pp. 253 - 272. - (arXiv: astro-ph 0207297).

6. Bilic N., Tupper G. B., Viollier R. D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous chaplygin gas // Phys. Lett. B. — 2002. — Vol. 535. Pp. 17 - 21. - (arXiv: astro-ph 0111325).

7. Einasto J. Dark matter // Astroph. J. — 2009. — (arXiv: astro-ph 0901.0632).

8. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unifed dark matter in scalar field cosmologies // Mod. Phys. Lett. A. 2007. - Vol. 22. - Pp. 2893 - 2907. -(arXiv: astro-ph 0703259).

9. Matos T., Urena-Lopez L. A. Quintessence and scalar dark matter in the universe // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17.- P. L75-L81.

10. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Further analysis of a cosmological model with quintessence and scalar dark matter // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — 063506.

11. Matos Т., Urena-Lopez L. A. On the nature of dark matter // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - Vol. 13. - P. 2287-2291.

12. РадиоАетрон. Проект «радиоастрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru / radioastron.

13. Кардашев H. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, основные параметры и испытания // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 11 - 18.

14. Кардашев Н. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, наземный сегмент и основные направления научных исследований // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 19 - 30.

15. Миллиметрон. Проект «миллиметрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru/millimetron.

16. Wheeler J. A. Geons // Phys. Rev. 1955. - Vol. 97. - Pp. 511 - 536.

17. Wheeler J. A. Geometrodynamics. — New York: Academic Press, 1962.

18. Уилер Д. Гравитация, нейтрино и Вселенная. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 402 с.

19. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени, — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. — 160 с.

20. Марков М. А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - С. 468-480.

21. Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности. — М.: Наука, 1969.

22. Bronnikov К. A. Scalar-tensor theory and scalar charge // Acta Phys. Pol 1973. - Vol. 4. - Pp. 251 - 266.

23. Wyman M. Static spherically symmetric scalar field in general relativity // Phys. Rev. D. 1981. - Vol. 24. - Pp. 839 - 841.

24. Bechmann 0., Lechtenfeld 0. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field // Class. Quant. Grav.— 1995.— Vol. 12.— Pp. 1473 1482,- (arXiv: gr-qc 9502011).

25. Dennhardt H., Lechtenfeld 0. Scalar deformations of schwarzschild holes and their stability 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1998. - Vol. 13. - Pp. 741- 764. (arXiv: gr-qc 9612062).

26. Bronnikov K. A., Dehnen H., Melnikov V. N. Regular fantom black holes // Gen.Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0611022).- 2007,- no. 39.-Pp. 973 987.

27. Bronnikov K. A., Chernakova M. S. Charge black holes and unusual worm-holes in scalar-tensor gravity // Grav. Cosmol. — 2007. — Vol. 13. — Pp. 51- 55. (arXiv: gr-qc 0703107).

28. Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. Spherically symmetric gravitating scalar fields, the inverse problem and exact solutions // Grav. Cosmol. — 2008. — no. 15.- Pp. 94 95.

29. Bronnikov K. A., Fabris J. C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

30. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н. Устойчивые круговые орбиты вблизи гравитируюгцих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2010. — № №37 419. — С. 29 41.

31. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Математические модели гравитируюгцих конфигураций с фантомным скалярным полем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика — 2011. — № №35 423. — С. 7 18.

32. Solovyev D. A., Tsirulev А. N. General properties and exact models of static selfgravitating scalar field configurations // Class. Quant. Grav. — 2012. № V. 29 055013 doi:10.1088/0264-9381/29/5/055013. - C. 17.

33. Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры. Maple. Искусство программирования. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006.— 792 с.

34. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании, — М.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.

35. Артёмов И. Л. Fortran. Основы прораммирования. — М.: Диалог-МИФИ, 2007.- 304 с.

36. Немнюгин С., Стесик О. Фортран в задачах и примерах,— СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 320 с.

37. Никонов В. В. Символьные и численные методы исследования гра-витирующих полей // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. — 2007. — С. 185 188.

38. Kardashev N. S., Novikov I. D., Shatskiy A. A. Astrophysics of worm-holes // Int. Jour, of Modern Phys. D.- 2007,- Vol. 16,- Pp. 909 -926,- (arXiv: astro-ph 0610441v2).

39. Новиков И. Д., Кардашев Н. С., Шацкий А. А. Многокомпонентная вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. — 2007. Т. 177. - С. 1017 - 1023.

40. Tsirulev А. N. Gravitational fields with yang-mills curvature // Proc. 15th Int. Conf. High Energy Physics and Quantum Field Theory2001.— Pp. 382 384.

41. Tsirulev A. N. Curvature decomposition and the einstein-yang-mills egua-tions // Part. Nucl. JINR. 2004. - Vol. 1, no. 12(119).- Pp. 99 - 102.

42. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 276 с.

43. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

44. Hawking S. W., Ellis G. F. R. Large scale structure of space-time // Cambridge: Cambridge University Press. — 1973.

45. Abramowicz M. A., Jaroszynski M., Kato S. Leaving the isco: the inner edge of a black-hole accretion disk at various luminosities // (arXiv: astro-ph/1003.3887). — 2005.

46. Ghez A. M., Salim S., Hornstein S. D. Stellar orbits around the galactic center black hole. // Astrophys. J. (arXiv: astro-ph/0306130). — 2005.— no. 620. Pp. 744 - 757.

47. Barret D. Kluzniak W., Olive J. F. On the high coherence of kilo-hz quasi-periodic oscillations // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0412420). 2005. - no. 357. - Pp. 1288 - 1294.

48. Barret D., Olive J. F., Miller M. C. Supporting evidence for the signature of the innermost stable circular orbit in rossi x-ray data from 4u1636-536 // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0101312).-07. no. 376. - Pp. 1139 - 1144.

49. Spergel D. N., Steinhardt P. J. Observational evidence for self-interacting cold dark matter // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - Pp. 3760 - 3763.

50. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur signification physique. 1902. - Pp. 49 - 52.

51. Гончарский A. В., Черепащук A. M., Ягола A. Г. Некорректные задачи астрофизики // M.: Наука. — 1985.

52. Fisher I. Z. Scalar mesostatic field with regard for gravitational effects // Zh.Èksper. Teoret. Fiz. (arXiv:gr-qc/9911008). 1948.- no. 18.-Pp. 636 - 640.

53. Bergmann O., Leipnik R. Space-time structure of a static spherically symmetric scalar field 11 Phys. Rev. 1957. - no. 107,- Pp. 1157 - 1161.

54. Azrez-Ainou M. Selection criteria for two-parameter solutions to scalar-tensor gravity // Gen. Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0912.1722). — 2008.— no. 42. Pp. 1427 - 1456.

55. Bronnikov K. A., Shikin G. N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons // Grav. Cosmol. — 2002. — Vol. 8. — Pp. 107 116. - (arXiv: gr-qc 0109027).

56. Фролов В. П., Новиков И. Д. Физика чёрных дыр, — М.: Наука, 1991.

57. Новиков И. Д., Фролов В. П. Чёрные дыры во вселенной // УФН.— 2001. Т. 171, № 3. - С. 307 - 324.

58. Bizon P. Gravitating solitons and hairy black holes // Acta Phys. Polon. B. 1994. - Vol. 25. - Pp. 877 - 898. - (arXiv: gr-qc 9402016).

59. Никонов В. В., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2007. — № 5(33). — С. 11 — 20.

60. Bekenstein J. D. Black holes: classical properties, thermodynamics, and heuristic quantization // Cosmology and Gravitation. Atlantisciences, France. 2000. - Pp. 1 - 85. - (arXiv: gr-qc 9808028).

61. Vanzo L. Black holes with unusual topology // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56. Pp. 6475 - 6483. - (arXiv: gr-qc 9705004).

62. Martinez C., Troncoso R. Electrically charged black hole with scalar hair // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. - (arXiv: astro-ph 064007 8pp).

63. Mayo A. E., Bekenstein J. D. No hair for spherical black holes: charged and nonminimally coupled scalar field with self-interaction // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 54. - Pp. 5059 - 5069. - (arXiv: astro-ph 9602057).

64. Penrose R. Naked singularities // Ann. N. Y. Acad. Set. 2Ц.— 1973. — C. 125 134.

65. Nikonov V. V., Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the einstein-scalar field equations // Class. Quant. Grav. 2008. - Vol. 25.- 138001.

66. Torres D. F. Accretion disc onto a static non-baryonic compact object // Nucl. Phys. В (arXiv:hep-ph/0201154). 2002,- no. 626,- Pp. 377 -391.

67. McClintock J. E., Narayan R., Davis S. W. Measuring the spins of accreting black holes // Class. Quantum Grav. — 2011. — no. 28. — P. 114009.

68. Schunck F. E., Mielke E. W. General relativistic boson stars // Class. Quantum Grav. (arXiv:astro-ph/0801.0307). 2003. - no. 20. - Pp. R301 - R356.

69. Visser M. Lorentzian wormholes: from einstein to hawking // AIP Press. — 1995.

70. Morris M. S., Torn K. S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels // Am. J. Phys. 1988. - Vol. 56. - Pp. 395 - 402.

71. Morris M. S., Torn K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Phys. Rev. Lett.— 1988.— Vol. 61.— Pp. 1446 1449.

72. Sakellariadou M. Production of topological defects at the end of inflation // Lect. Notes Phys. 2008. - no. 738. - Pp. 359 - 392.

73. Sorkin R. D. Introduction to topological geons // Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy. 1985. - May 12 - 22. - Pp. 249 - 270.

74. Sorkin R. D. On the relation between charge and topology // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1977.— no. 10(5).— Pp. 717 -725.

75. Ernst J. F. J. Linear and toroidal geons // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 105,- Pp. 1665 1670.

76. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy // Phys. Rev. D. — 2005. Vol. 70. - 043520 (arXiv: gr-qc 0502084).

77. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and transversable wormholes // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17. - Pp. 3843 - 3864. -(arXiv: gr-qc 0003025).

78. Хуснутдинов Н. Р. Квазиклассические кротовые норы с/(падкой горловиной // ТМФ. 2004. - Т. 138. - С. 297 - 318.

79. Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Сферически-симметричные топологические геоны // Вестник ТвГУ, серия Прикладная математика, — 2007. № 17(45). - С. 59 - 68.

80. Dowker F., Surya S. Topology change and causal continuity // Phys. Rev. D. 1998. - Vol. 58. - 124019 (arXiv: gr-qc 9711070).

81. Hochberg D., Visser M. Geometric wormhole throats // Proc. Haifa Workshop «The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities», Haifa, Israel. 1997. - June 29 - July 3. - Pp. 249 - 295. - (arXiv: gr-qc 9710001).

82. Louko J., Mann R. В., Marolf D. Geons with spin and charge // Class. Quant. Grav.- 2005,- Vol. 22,- Pp. 1451 1468,- (arXiv: gr-qc 0412012).