автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций

кандидата физико-математических наук
Соловьёв, Дмитрий Александрович
город
Тверь
год
2012
специальность ВАК РФ
05.13.18
цена
450 рублей
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций»

Автореферат диссертации по теме "Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций"

На правах рукописи УДК 519.0, 517.9

Соловьёв Дмитрий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГРАВИТИРУЮЩИХ ЗАРЯЖЕННЫХ СКАЛЯРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Тверь 2012

005047919

005047919

Работа выполнена на кафедре математических методов современного естествознания Тверского государственного университета.

Научный руководитель: Цирулев Александр Николаевич

доктор физико-математических наук доцент декан математического факультета

Официальные оппоненты: Севастьянов Леонид Антонович

доктор физико-математических наук профессор профессор кафедры систем телекоммуникаций РУДН

Цветков Виктор Павлович доктор физико-математических наук профессор профессор кафедры общей математики и математической физики ТвГУ

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий

Объединенного института ядерных исследований (Дубна)

Защита состоится 16 ноября 2012 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу 170002, г. Тверь, Садовый пер., д. 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, д. 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 28 сентября 2012 г. на сайте ВАК и официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http: //university, tversu.ru/aspirants / abstracts /

Автореферат разослан 15 октября 2012 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета доктор физико-математических наук доцент

Зингерман К.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы связана с тем, что роль материальных скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, свсрхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактичсской астрономии. С другой стороны, математическое моделирование частицс-подобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицсподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частице-подобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические гсоны, точечноподобные черные дыры и изо-

тройные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т.д.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактичсских масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически-плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.

Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории гравитирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций; развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла; классификация и характсризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.

Основные методы исследования

В диссертации принципиальным образом использованы следующие методы: метод структурных уравнений Картана для вывода и редукции уравнений Эйнштейна, аналитические методы симметрийного анализа, метод обратной задачи для уравнения Клейна-Гордона с неизвестным потенциалом, методы асимптотического и топологического анализа решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для аналитических расчетов используется система символьных вычислений Maple и вычислительная среда Fortran Power Station 6.0 в сочетании с реализованными в этих системах алгоритмами и численными методами решения систем дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Развитие метода обратной задачи для математического моделирования статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций,

2. Исследование скалярного поля,

3. Математические модели сферически-симметричной гравитирую-щей скалярной конфигурации с зарядом,

4. Комплекс программ для численного моделирования.

Научная новизна

1. В работе развит метод математического моделирования — метод обратной задачи — для статических сферически - симметричных скалярных конфигураций, заключающийся в получении нового решения уравнения гравитации в виде квадратурных формул для метрических функций и скалярного поля.

2. Построены новые математические модели скалярных конфигураций новыми методами, когда в основе моделей лежат точные решения уравнения гравитационного поля, полученные методом обратной задачи.

3. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

4. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

основывается на применении строгих аналитических и численных методов математического моделирования, строгих результатов математического анализа, дифференциальной геометрии и математической физики, а также на проверке принципа соответствия, т. е. на совпадении новых результатов с полученными ранее при предельных переходах к соответствующим значениям параметров.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов включает в себя, во-первых, новые теоретические результаты в методе обратной задачи для гравитирующего скалярного поля, объединение общетеоретической формулировки проблемы и строгой математической постановки задач. Во-вторых, некоторые частные результаты, такие как общее решение обратной задачи и метод редукции уравнений Эйнштейна для заряженных конфигураций, которые могут быть применены для широкого класса гравитирующих систем физических полей, также имеют

теоретическое и методологическое значение в математическом моделировании гравитирующих систем. Построенные на основе решения обратной задачи математические модели гравитирующих скалярно - полевых конфигураций также являются вкладом в астрофизические и теоретико-полевые исследования гравитирующих систем субгалактичсской астрономии и микромира.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в тесной связи рассматриваемых проблем с наблюдениями и экспериментами в современной астрофизике. В частности, полученные результаты могут быть полезны в подготовке наблюдательных экспериментов в области астрономии, а также в интерпретации полученных результатов в рамках российских проектов, ориентированных на поиск экзотических астрофизических объектов в галактиках. Значительная часть результатов диссертации используется в образовательных программах магистратуры по направлению «Математика и компьютерные науки» и аспирантуры по специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных научных конференциях «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики» (РУДН, Москва, 2010), «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2011), на конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (РГСУ, Москва, 2011), а также на научных семинарах математического факультета ТвГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] — [3] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а [4] — [8] — в трудах международных и всероссийских конференций.

Структура и объём диссертации

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43 рисунка и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи, определены практическая значимость и научная новизна, кратко изложено содержание диссертации и проведен обзор научных работ в области исследования 2' 3 ).

Глава 1 посвящена точной математической формулировке проблемы сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности. В диссертации использована геометрическая система единиц (G = 1, с = 1).

В разделе 1.1 вводится используемая метрика пространства-времени и ортонормированный базис векторных полей

ds2 = A2di2 - B2dr2 - С2(dO2 + sin2 в dip2), (1)

В разделе 1.2 на основе метода структурных уравнений Картана получены явные выражения для компонент формы связности и кривизны для метрики (1), в которой сохранена калибровочная свобода, допускающая произвол в выборе одной из метрических функций. Функции А, В и С зависят только от координат (иг.

В разделе 1.3 введено полное действие

E = ГО

где S — скалярная кривизна, V(<j>) — потенциал самодействия скалярного поля ф, £ = ± 1 — знак кинетического члена вводится для унификации действия в математических моделях с положительным и отрицательным (фантомное поле) кинетическим членом в лагранжиане скалярного поля, J- — тензор электромагнитного поля,

Сф = ~(s (d<t>, d4>) - 2У(ф)), Сет = - (Г, Т) ,

угловые скобки ( , ) обозначают скалярное произведение относительно метрики д,

(dф, <Щ = gij д,ф д}ф = ф2а) - ф2}, {Т, F) = Т,^ .

'Bronnikov К.A., Fabris J.С. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 98. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

2Новиков П.Д., Кардашев H.С., Шацкий А.А. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.

3Berti Е., Cardoso Y., Starinets А.О. Quasinormal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 20. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).

Рассматриваются общие принципы, на которых основывается теория гра-витирующих скалярных полей, минимально связанных с гравитацией, обсуждаются общие свойства системы и вводится необходимая далее терминология. Статические скалярные конфигурации возможны только в случае равновесия между отталкивающим самодействисм скалярного поля и гравитационным притяжением к центру конфигурации; в частности, чтобы пространственные компоненты поля энергии - импульса обеспечивали (как обычное давление в жидкой среде) отталкивание на пространственной бесконечности, величина кинетического члена в лагранжиане должна превосходить по абсолютной величине значение потенциала для обычного скалярного поля и, наоборот, быть меньше для фантомного.

В разделе 1.4 получены явные выражения для компонент тензорного поля энергии-импульса скалярного поля и получен явный вид связанной системы уравнений Эйнштейна и уравнения Клейна-Гордона с произвольным потенциалом самодействия поля. Приведены тождества Бианки.

В нашем случае полная система уравнений Эйнштейна и уравнения поля содержит только три независимых уравнения, так как одно из уравнений Эйнштейна является следствием остальных уравнений в силу тождества Бианки и консервативности тензора энергии-импульса.

В разделе 1.5 изложены с необходимой общностью известные результаты о геодезических в статическом сферически - симметричном пространстве-времени. Рассмотрено движение пробных частиц по геодезическим определяется уравнениями Эйлера- Лагранжа. Решено уравнение геодезических ^и = 0 (и — 4-скорость) для трех случаев: круговая времениподобная орбита (С/1 =0), сложное движение (II1 ф 0, II3 ф 0) и радиальная геодезическая (II3 = 0). Найдены первые интегралы системы, эффективный потенциал и условие существования круговых орбит

Кя = ^ (к + . (3)

Г" 4' А НА

± - ± > о, или £ - — > 0, или АС - А'С> 0, (4)

причем равенство достигается при к = 0, т. с. для фотонной орбиты.

В разделе 1.6 описана взаимосвязь параметров устойчивых орбит с внутренним радиусом аккреционных дисков и особенности наблюдения таких конфигураций.

В главе 2 изучается метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом.

В разделе 2.1 рассмотрены прямая и обратная задача, описывающая состояние заряженной гравитирующей скалярной конфигурации, в зависимости от се внутренних параметров и окружения.

Для метрики сферически симметричного пространства-времени

dr2

ds2 = e2Ffdt2 - у " r\d92 + sin2 в V), (5)

введена характеристическая функция / = — (dr,dr) и получена система уравнений только для неизвестных функций /, ф.

„2

rf + /(l+£<A2)-l + 2rV + \ = 0, (6)

ф' Л , , п~2т/ «Л .V

+ = (7)

Получено общее решение обратной задачи в следующем виде

/(г) = e~2FA, A(r) = 2г2/ Я^рЛ eFdr (8)

,. Г 3

F(r) = -ejfi2rdr, Q(r) = r+J 1 - e^l - Jj dr, (9)

где тн А — постоянные интегрирования. Общий метод получения точных решений из решения (8) — (9) обратной задачи заключается в следующем: подставляя в квадратуру произвольную кусочно - гладкую и монотонную функцию, получим метрические функции /(г) и e2F, а затем найдем потенциал V(r). При отсутствии скалярного поля, т.е. при ф = 0 и 1^(0) = 0

получается метрика Рейсснсра-Нордстрема: / = 1 — + а если положить q = 0, то метрика Шварцшильда / = 1 —

г

В разделе 2.2 находятся интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны. Выбрана схема регуляризации интегралов, входящих в эти формулы так, чтобы интервал интегрирования был [г, оо), а произвольные постоянные были равны космологической постоянной А и шварцшильдовой массе т, измеряемой на бесконечности. Найдено решение для потенциала самодсйствия

nr) = ^(l-3/ + £,V2/ + 2e-^-^). (10)

В разделе 2.3 выполняется расчет общего решения при ином задании координат, удобных для описания решений типа топологических гсонов или кротовых нор.

ds2 = Adt2 - - r2 (de2 + sin26> dip2) , (11)

Z(r) = Г+ f(l -eF)dr, (12)

Г

Ф; = yj-er((/r , Q(i) = e + 292/ ^ , (13)

>1(0 = 2r2/di - ^ , /(0 = , (14) í r 0

= ¿ - ^ - "ёИ + ^ - Í) ' (15)

В разделе 2.4 описаны и классифицированы решения с классическим скалярным полем при наличии и отсутствии заряда у гравитирующей конфигурации. Метод характеризации возможных решений основан на метрической функции /, которая называется характеристической функцией. В сферически-симметричном пространстве-времени метрическая функция г определена инвариантно. Функция / это скалярный квадрат со знаком минус 1-формы dr, / = ~{dr,dr), поэтому он тоже инвариантен, в отличие от метрической функции А = fe2F.

Решение представляет собой голую сингулярность, если / положительна для всех г > 0, /(0) ф 0, и К (инвариант Кречмана) расходится при г = 0, черную дыру, если / = 0 на некотором радиусе rh > 0 (с дополнительным условием dr|г=г ф 0, если необходимы другие координаты), и /(г) положительна для всех г > rh\ 1—форма dr изотропна на некоторой гиперповерхности г = rh необходимой для горизонта событий или регулярное решение и слабое регулярное решение характеризующиеся условиями когда /, V и К, ограничены на [0, оо) а также ф{г) класса С2 на [0, со) или, соответственно, ф(г) класса С2 на (0, оо) и класса С1 на [0, оо). Эта классификация непосредственно следует из приведенного выше общего решения и может быть описана более подробно в зависимости от поведения функции поля ф или, эквивалентно, £ вблизи г = 0. Типичное поведение общих решений иллюстрируется на Рис. 1.

В случае q ф 0 существует аналогичная классификация и у нас есть один из следующих типов решений: голая сингулярность, черная дыра с двумя горизонтами или экстремальная черная дыра, внешний горизонт событий совпадает с его внутренним горизонтом Коши; черная дыра с одним горизонтом событий, если вклад скалярного поля преобладает над плотностью энергии; экзотическое решение, которое выглядит как черная дыра, для которого горизонт вырождается в центральной точке, так что

Рис. 1: Слева: конфигурации без заряда (черная дыра, регулярное решение, голая сингулярность). Справа: конфигурации с зарядом (черные дыры, голая сингулярность).

/(0) = А(0) = 0. Решение последнего типа будет называться точечнопо-добпая черная дыра. Очевидно, что оно может получаться только путем тонкой настройки распределения скалярного поля параметрами т и q.

В разделе 2.5 приводятся расчеты наблюдаемых параметров конфигураций, таких как удельный момент импульса и циклическая частота обращения. Для метрики (5) и решения (8) — (9) имеем (при к = 1)

С = г, А2 = ¡е2р , (А2)' = (/' + 2*7) є"1,

Ґ = єгф'2,

Г = Цг~ 2*7 -

тогда ненулевые компоненты 4-скорости круговой орбиты примут вид

(с/0)2 =

/

«=

гГ/ + г/'/2

(16)

/-пР/-г/'/2 4 / — г 7*7 — г/'/2

а условие существования круговых орбит (4) можно переписать в форме

2//г - 2*7 -Г > 0

20-3ше_р 0

д ^ Зт. (17)

Связь между удельным моментом импульса и радиусом орбиты имеет вид

3 = г

гер/

1/2

[<5 - Зт " • <18>

В заключение найден явный вид циклической частоты обращения, а так же радиальная скорость частиц, падающих в центр конфигурации

2 I I Г____II - .ЛТП _

(19)

(А2У /_ 2Г д - Зт р (С2)' г2® г3 Є '

= % = -¿е-/.

(20)

Глава 3 посвящена построению частных аналитических и численных математических моделей с классическим скалярным полем на основе развитых в диссертации методов.

В разделе 3.1 описаны методы численного моделирования, применяемые в данной работе и приведена последовательность расчетов (Рис. 2).

В левой части блок-схемы представлены программные модули для вычисления метрической (характеристической) функции /(г) и потенциала самодействия V. Вначале задастся кусочно - гладкая функция eF: на некотором наборе конечных отрезков [0, ri], [ri, Гг],... [rk-i, т>] эта функция аппроксимируется кубическими сплайнами, а на оставшемся сегменте [гд:,оо) она аппроксимируется рядом по убывающим отрицательным степеням г, причем в точках r\,.. .г^ функция дважды непрерывно дифференцируема. Из нее последовательно находятся характеристическая (метрическая) функция f(r) и потенциал самодействия У{ф). В промежуточных расчетах функции Q и ф'(г) вычисляются аналитически (что, очевидно, всегда выполнимо) в системе Maple, тогда как следующие по порядку модули для вычислений функций /(г) и ф(г) реализованы как в виде программы в Maple, так и в виде программы численного интегрирования в среде Fortran, поскольку аналитическое интегрирование не всегда возможно. При численном интегрировании таблица значений характеристической функции имеет вид линейной комбинации / = а + т- /З + q2 • 7, где т, q — произвольные параметры массы и заряда, а а, /3,7 — конкретные числа, соответствующие данному значению г. Далее в комплекс программ входят модули для численных расчетов функций V(r), г(ф) и, наконец, У(ф). Значения потенциала (как V(r), так и У(ф)) представляются линейными комбинациями с теми же параметрами, что и характеристическая функция /.

В правой части блок-схемы представлены модули для расчетов эффективного потенциала для кругового орбитального движения массивной пробной частицы в окрестности скалярной конфигурации и параметров орбит, в частности, радиуса последней устойчивой орбиты (ISCO).

В разделе 3.2 описано общее решение - решение которое получается без какой-либо тонкой настройки параметров с "окружающими" решениями того же типа. Рассмотрено семейство решений которое содержит слабые регулярные решения, а не обычные. Это семейство решений аналитически простое и наглядно иллюстрирует ключевые свойства статических самогравитирующих скалярных конфигураций.

Для построения математической модели гравитирующей скалярной конфигурации, обладающую аналитической простотой и, в то же время,

Рис. 2: Блок-схема последовательности расчетов и взаимодействия модулей комплекса программ.

достаточным набором свободных параметров, выбирается функция ер, которая является интегральной характеристикой распределения интенсивности ф'2 и полностью определяет вторую метрическую функцию / . Этот выбор должен учитывать указанные выше характеристики функции ер (монотонность, ограниченность, положительность, непрерывную диффсрснцирусмость), а в остальном является произвольным.

В разделе 3.3 рассмотрено семейство решений общего вида, уделяя основное внимание черным дырам с интенсивным скалярным полем вблизи горизонта событий. Если параметр интенсивности скалярного поля а приближается к 1, обеспечивая доминирование скалярного поля как источника гравитации вблизи горизонта событий, то вблизи предельного нижнего значения массы, где обеспечена близость черной дыры (вне горизонта) к регулярной конфигурации, радиус горизонта очень медленно возрастает от нулевого значения (соответствующего на графике регулярной конфигурации).

В разделе 3.4 описаны модели при наличии у конфигурации заряда.

В разделах 3.5 и 3.6 подробно описаны новые конфигурации, полученные из модели, такие как точечноподобные черные дыры и изотропные голые сингулярности.

В разделе 3.7 сделаны общие замечания о полученных результатах.

0.8 /Г

0.6 - / //*

0.4 / /

-а = 0.5

0.2 --- а = 0.8 .......а= 1.0

5 -а = 0.5

---а = 0.8

.......а = 1.0

-е- з

Рис. 3: "Скалярное поло" о7 является строго монотонной функцией (ег —» 1 снизу, когда г —> оо) и однозначно определяет соответствующее полевую функцию О.

г г

Рис. 4: Слева: Относительные положения £(г) (толстая непрерывная кривая) и горизонтальных линий, обозначающих различные значения массы 3т с т такими же, как и на правом рисунке, определяют тип основного решения. Закрашенный регион соответствует отрицательным значениям функции £ — 3т в интеграле (8). Справа: Характеристическая функция /(г) для (слабого) регулярного решения, черной дыры (точечная линия), и голой сингулярности (пунктирная линия) с а = 0.8. Точка г = г/,, /(г&) = 0, показывает горизонт событий.

Таблица 1. Параметры последней устойчивой орбиты скалярной черной дыры, близкой к регулярной конфигурации.

а = 0.99

Масса Удельный момент Радиус последней

черной дыры импульса частицы устойчивой орбиты

ТО г ' 13СО

0.3712502 0.00007 0.00012

0.37127 0.01098 0.00837

0.37130 0.05131 0.01928

0.37140 0.42067 0.05650

0.37100 3.71677 0.39377

г ф

Рис. 5: Функция потенциала V{r) и \'(ф). Три значения т соответствуют: голой сингулярности (т = 0.35 < а/2, штриховая кривая), слабое регулярное решение (т = а/2) и черная дыра (пунктирная кривая). Вставка показывает поведение на пространственной бесконечности (при больших значениях г или, что то же самое, для малых значений ф).

0.8 0.6

0.4

0.2

2 4 6 8 10 "0 5 10 15 20

Г г

Рис. 6: Характеристики точечноподобной черной дыры с масштабным фактором а = 1. На вставке показаны детали того, как выполнено условие (<3(0)=3т). На правой панели показан эффективный потенциал для разных значений 3. Точка перегиба г ~ 4.968 для (т, ,/) = (0.208,2.928) указывает на БСО. Для черной дыры Шварцшильда с той же массой радиус г/^со равен 6т = 1.248.

Глава 4 посвящена построению частных аналитических и численных математических моделей с фантомным скалярным полем. Произведена классификация и анализ типов решений. Приведены примеры конфигураций для черной дыры, топологических геонов и кротовых нор.

В разделе 4.1 описаны методы исследования фантомного поля и преобразовано решение из раздела 2.3, явно учитывающее геометрию и топологию таких конфигураций, как кротовые норы и топологические гсоны.

В разделе 4.2 рассмотрены конфигурации без заряда.

При отсутствии заряда (д = 0) формулы, определяющие метрику и поле, принимают следующий вид

Рис. 7: Возможные типы функции На правых ветвях кривых асимптотика

одинакова и имеет вид г = £ + b + о(1), £ ~^ • На левых ветвях кривых, т. с. при £ —> —ос, г ~ а\£\к (к > 1) на кривой 1, г = — а£ + 6 + о(1) (а > 0) на кривой 2 и г = 6+ о(1) на кривой 3. Кривая 4 удовлетворяет условию г(0) = 0 и определяет сингулярные черные дыры и голые сингулярности.

ОС

/(£,«) A = 2r2l(z,a), f = r*A, (21)

i

Сделана следующая классификацию возможных решений:

I. Кротовые норы и регулярные черные дыры. К данному классу относятся, в частности, решения с асимптотикой

г = -а£ + Ь_£ + -^ + о(Г2) , f -» -оо, а^О, bGR, с^О, (22)

причем если с = 0, то d ^ 0 и т. д.

II. Топологические геоны. Так называются фактормногообразия М/Z2, где М — кротовая нора, симметричная относительно горловины, а группа Z2 порождена изомстрией f —» —Мы получим симметричную кротовую нору и топологический геон тогда и только тогда, когда г(£) — четная функция и а = 0 (при этих условиях функции г2 , /(£,0) и А(£) также четные).

III. Сингулярные черные дыры и голые сингулярности. К данному классу относятся решения, определяемые радиальной функцией, удовлетворяющей условию г(0) = г0 = 0. Поскольку Г> 0, то г = о(£) при ( -> 0 + 0 и интеграл /(£, а) расходится. Отсюда сразу следует, что при о ^ 0 решения представляют собой голые сингулярности, а при а > 0 — черные дыры с сингулярностью в центре.

В разделе 4.3 описаны заряженные топологические геоны.

Решение (11) — (15) представляет симметричную конфигурацию с изомстрией £ —¥ —£ тогда и только тогда, когда г(£) четная функция и в подынтегральном выражении в (14) стоит нечетная функция, поскольку

только при этих условиях метрическая функция четная. Очевидно, это возможно при единственном значении постоянной а,

ос

« = 2<Z2/f, (23)

о

так что формулы, определяющие такую конфигурацию, можно записать в виде

зо i

w{Ç,q)=f(l-?f)dÇ, A = 2r2I(Ç,q). (24) i о

Если 1(0, q) ^ 0, то удаленный наблюдатель видит обычную черную дыру, у которой, однако, под горизонтом событий вместо сингулярности находится горловина кротовой норы, а за ней - зеркально симметричная область пространства-времени.

Наиболее значимый интерес представляет вопрос о том, насколько велико может быть отношение заряда к массе. В метрике Рейсснсра-Нордстрема физически осмысленные решения — черные дыры — возникают при q/m ^ 1 (при q/m > 1 — голые сингулярности), т. с. при нереально больших значениях массы, если полагать, что q ограничено снизу величиной порядка заряда электрона. В нашем случае справедлива оценка

ЭО ОС

Ç + rQ>r(0,te( 0, оо) => a = 2q*fd4 < 2ç2/-^-

J г2 j(t + r0)2 r„

о о

поэтому

q 3q 3q „ q Л g2 b\

m a + b 2q2/r0 r0 ^ r2 r0 J

Из последнего неравенства следует, что отношение q/m может быть сделано сколь угодно большим посредством подходящего выбора величин q/r0 и &/г0, причем выбор параметра b позволяет варьировать размер гсона г0. Для электрона q ~ 10~34 см, m ~ 10~55 см (в геометрических единицах) и неравенство q/m ^ 1021 достигается, например, при b = 0 и r0 ~ 10~14 см. Гсоны с такими параметрами заведомо существуют, поскольку выполняется достаточное условие q ^ г0/\/2-

В разделах 4.4 приведены конкретные решения для черной дыры и двух типов кротовых пор.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Найдены интегральные формулы, представляющие общее решение обратной задачи для сферически-симметричных статических заряженных скалярно-полевых конфигураций, которые позволяют по данной функции поля найти метрику и потенциал самодействия посредством прямого аналитического или численного интегрирования.

2. Построена и исследована математическая модель заряженной скалярной гравитирующей конфигурации с произвольным потенциалом самодействия. Дана полная характеризация всех возможных типов конфигураций по заданной топологии пространства-времени, знаку кинетического члена в лагранжиане скалярного поля и поведению полевой функции вблизи центра конфигурации.

3. Разработан комплекс программ для аналитических и численных расчетов в рамках построенной модели конкретных гравитирующих скалярных конфигураций.

4. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

5. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций. Показано, что у скалярных черных дыр, близких к регулярным конфигурациям, такие наблюдаемые параметры как радиус внутреннего края аккреционного диска и орбитальная частота могут принимать значения, на порядки отличающиеся от соответствующих значений для вакуумных черных дыр той же массы, что позволяет различить эти конфигурации в астрономических наблюдениях.

0. Классифицированы и охарактеризованы конфигурации с фантомным скалярным полем. Изучены условия существования и свойства заряженных топологических геонов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ Журналы, рекомендованные ВАК

1. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н. Устойчивые круговые орбиты вблизи гравитирующих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2010, №37 4[19], с. 29 - 41.

2. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н., Чемарина Ю. В. Математические модели гравитирующих конфигураций с фантомным скалярным полем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2011, №35 4[23], с. 7 - 18.

3. Solovycv D. A., Tsirulcv A. N. General properties and exact models of static selfgravitating scalar field configurations // Class. Quant. Grav., 2012, V.29, 055013.

Материалы международных и всероссийских конференций

4. Соловьев Д. А. Математические модели гравитирующих конфигурация скалярных полей // Шестые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции, ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 22 - 25, 2010, с. 02 -СО.

5. Соловьев Д. А. Устойчивость круговых орбит аккреционного диска вблизи гравитирующих скалярных конфигураций при наличии фантомного скалярного поля // Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции, ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 14 - 17, 2011, с. 105 - 109.

6. Соловьев Д. А., Цирулев А.Н. Точные математические модели сферически-симметричных заряженных самогравитирующих конфигураций скалярных полей // Материалы международной конференции «Современные проблемы гравитации,космологии и релятивистской физики» РУДН, Москва, Россия, Июнь 27 - Июль 3, 2010, с. 96 - 97.

7. Соловьев Д. А. Математические модели заряженных кротовых нор и топологических гсонов // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки РГСУ, Москва, Россия, Сентябрь 23 - 25, 2011, с. 333 - 344.

8. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н. Круговые орбиты в окрестности скалярных черных дыр // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Вторая Российская школа-конференция для молодых ученых: Тезисы докладов, ТвГУ, Тверь, Россия, Декабрь 8 - 12, 2010, с. 50.

Отпечатано ООО «Документ-Центр» г. Тверь, б-р Радищева д. 29 тел. (4822) 35-99-73 Печать офсетная, бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 550

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Соловьёв, Дмитрий Александрович

Введение

ГЛАВА 1. Принципы математического моделирования сферически -симметричных заряженных гравитирующих скалярных конфигураций

1.1 Метрика, ортонормированный базис, связность и кривизна

1.2 Действие и динамические уравнения.

1.3 Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени

1.4 Дифференциальные законы сохранения (свернутые тождества Бианки).

1.5 Орбитальные движения вблизи гравитирующих скалярных конфигураций

1.6 Наблюдение орбитальных движений.

ГЛАВА 2. Метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом.

2.1 Прямая и обратная задачи.

2.1.1 Прямая задача.

2.1.2 Обратная задача.

2.2 Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны.

2.3 Интегральные формулы обратной задачи в других координатах

2.4 Асимптотически плоские конфигурации с классическим скалярным полем

2.5 Круговые и последние устойчивые орбиты.

ГЛАВА 3. Математические модели асимптотически плоских конфигураций с классическим скалярным полем

3.1 Численное моделирование.

3.2 Решение общего типа без заряда.

3.3 Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям

3.4 Заряженные конфигурации.

3.5 Точечноподобные черные дыры.

3.6 Изотропные голые сингулярности.

3.7 Общие замечания о полученных результатах.

ГЛАВА 4. Математические модели конфигураций с фантомным скалярным полем

4.1 Фантомное скалярное поле.

4.2 Конфигурации без заряда.

4.3 Заряженные топологические геоны.

4.4 Черные дыры и кротовые норы с фантомным полем.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Соловьёв, Дмитрий Александрович

В диссертации в рамках общей теории относительности рассматриваются сферически-симметричные статические гравитирующие скалярные поля с минимальной связью и с учетом электрического заряда, а также исследуются орбитальные движения вблизи таких конфигураций. Математическое моделирование гравитирующих скалярно - полевых конфигураций содержит в себе все основные этапы построения и исследования математической модели: качественное описание модели, корректную математическую постановку задачи с наложением дополнительных условий, обеспечивающих существование и единственность решения при фиксированных параметрах, редукцию и решение уравнений, аналитическое и численное исследование решений, выявление новых эффектов и объектов в семействах решений, изучение связи характеристик модели с наблюдениями и экспериментом и т. д.

Качественные характеристики всех рассматриваемых в диссертации моделей основываются на одной и той же физической картине: классическое (т. е. не квантовое), вообще говоря, нелинейное вещественное скалярное поле сферически-симметрично концентрируется вокруг центра таким образом, что силы гравитации уравновешиваются отталкиванием, вызванным самодействием скалярного поля, образуя статическую конфигурацию. Кроме того, в общем случае в центре конфигурации расположен электрический заряд, который может существенно, иногда радикально, влиять на ее параметры. Такие конфигурации описываются самосогласованной системой уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; здесь и далее под уравнением Клейна-Гордона подразумевается динамическое уравнение для скалярного поля с произвольным потенциалом самодействия. Пространство-время статической скалярной конфигурации с необходимостью должно быть асимптотически - плоским или иметь асимптотику пространства- времени (анти) де Ситтера.

Актуальность работы связана с тем, что роль скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, сверхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактической астрономии [8, 9, 10, 11].

В настоящее время успешно запущен и приведен в рабочий режим на-земно-космический интерферометр «Радиоастрон» [12, 13, 14], состоящий из сети наземных радиотелескопов и космического радиотелескопа, установленного на российском космическом аппарате «Спектр-Р». На самых коротких длинах волн аппарат может достичь предельного разрешения, которое составит около 7 угловых микросекунд, что в три раза меньше, чем диаметр сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики. Поэтому аппарат «Спектр - Р», в принципе, способен разглядеть детали ее поверхности. Разрешение, достигнутое с помощью проекта «Радиоастрон», позволит изучать окрестности сверхмассивных черных дыр в активных галактиках, черные дыры в нашей Галактике, осуществить изучение природы темной материи и поиск кротовых нор и других экзотических объектов субгалактической астрономии. Следующим этапом в экспериментальных исследованиях будет проект «Миллиметрон» (аппарат «Спектр-М»), включающий космическую обсерваторию миллиметрового, субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов со сверхвысокой чувствительностью [15]. В список научных задач космической обсерватории «Миллиметрон» входит изучение релятивистских стадий эволюции звезд с образованием черных дыр звездных масс, изучение структуры и эволюции сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики и поиск новых видов астрономических объектов.

С другой стороны, математическое моделирование частицеподобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире [16, 17, 18, 19, 20, 21]. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицеподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частицеподобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические геоны, точечноподобные черные дыры и изотропные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т. д.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактических масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически-плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.

Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории грави-тирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций: развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; классификация и ха-рактеризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.

Структура и объем диссертации: работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43

Заключение диссертация на тему "Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построены и исследованы математические модели заряженных статических асимптотически плоских гравитирующих скалярно-полевых конфигураций, обладающих сферической (центральной) симметрией, с минимальной связью в рамках ОТО, а также изучены вопросы орбитального движения пробных частиц вокруг этих объектов в связи с выделением характеристических свойств, отличающих их от соответствующих вакуумных конфигураций. Проведен общий анализ заряженных и нейтральных статических сферически-симметричных конфигураций реалистических самогравитирующих скалярных полей с произвольным потенциалом самодействия.

В итоге работы были получены следующие основные результаты:

1. Найдены интегральные формулы, представляющие общее решение обратной задачи для сферически-симметричных статических заряженных скалярно-полевых конфигураций, которые позволяют по данной функции поля найти метрику и потенциал самодействия посредством прямого аналитического или численного интегрирования.

2. Построена и исследована математическая модель заряженной скалярной гравитирующей конфигурации с произвольным потенциалом самодействия. Дана полная характеризация всех возможных типов конфигураций по заданной топологии пространства-времени, знаку кинетического члена в лагранжиане скалярного поля и поведению полевой функции вблизи центра конфигурации.

3. Разработан комплекс программ для аналитических и численных расчетов в рамках построенной модели конкретных гравитирующих скалярных конфигураций. С его помощью получены конкретные двухпараметри-ческие семейства заряженных и нейтральных скалярных гравитирующих конфигураций всех известных типов (черные дыры, голые сингулярности, регулярные решения, кротовые норы, топологические геоны), а также обнаружены новые типы частицеподобных конфигураций — изотропные голые сингулярности и точечноподобные черные дыры.

4. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

5. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций. Показано, что у скалярных черных дыр, близких к регулярным конфигурациям, такие наблюдаемые параметры как радиус внутреннего края аккреционного диска и орбитальная частота могут принимать значения, на порядки отличающиеся от соответствующих значений для вакуумных черных дыр той же массы, что позволяет различить эти конфигурации в астрономических наблюдениях.

6. Классифицированы и охарактеризованы конфигурации с фантомным скалярным полем. Изучены условия существования и свойства заряженных топологических геонов.

Библиография Соловьёв, Дмитрий Александрович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Matos T., Guzman F. S. On the space time of a galaxy // Class. Quant. Grav. - 2001. - Vol. 18. - Pp. 5055 - 5064. - (arXiv: gr-qc 0108027).

2. Matos T., Vazquez A., Magana J. 4>2 as dark matter // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2009. — Vol. 393. — Pp. 1359 1369. — (arXiv: astro-ph 0806.0683).

3. Bento M. C., Bertolami O., Sen A. A. The revival of the unified dark energy dark matter model // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70. - 083519 (arXiv: astro-ph 0407239).

4. Sahni V. Dark matter and dark energy // Led. Notes Phys.— 2004.— Vol. 653,- Pp. 141 180,- (arXiv: astro-ph 0403324).

5. Terner M. Dark matter and dark energy: the critical questions // Hub-ble's Science Legacy: Future Optical/Ultraviolet Astronomy from Space. — 2003. Vol. 291. - Pp. 253 - 272. - (arXiv: astro-ph 0207297).

6. Bilic N., Tupper G. B., Viollier R. D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous chaplygin gas // Phys. Lett. B. — 2002. — Vol. 535. Pp. 17 - 21. - (arXiv: astro-ph 0111325).

7. Einasto J. Dark matter // Astroph. J. — 2009. — (arXiv: astro-ph 0901.0632).

8. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unifed dark matter in scalar field cosmologies // Mod. Phys. Lett. A. 2007. - Vol. 22. - Pp. 2893 - 2907. -(arXiv: astro-ph 0703259).

9. Matos T., Urena-Lopez L. A. Quintessence and scalar dark matter in the universe // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17.- P. L75-L81.

10. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Further analysis of a cosmological model with quintessence and scalar dark matter // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — 063506.

11. Matos Т., Urena-Lopez L. A. On the nature of dark matter // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - Vol. 13. - P. 2287-2291.

12. РадиоАетрон. Проект «радиоастрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru / radioastron.

13. Кардашев H. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, основные параметры и испытания // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 11 - 18.

14. Кардашев Н. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, наземный сегмент и основные направления научных исследований // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 19 - 30.

15. Миллиметрон. Проект «миллиметрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru/millimetron.

16. Wheeler J. A. Geons // Phys. Rev. 1955. - Vol. 97. - Pp. 511 - 536.

17. Wheeler J. A. Geometrodynamics. — New York: Academic Press, 1962.

18. Уилер Д. Гравитация, нейтрино и Вселенная. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 402 с.

19. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени, — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. — 160 с.

20. Марков М. А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - С. 468-480.

21. Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности. — М.: Наука, 1969.

22. Bronnikov К. A. Scalar-tensor theory and scalar charge // Acta Phys. Pol 1973. - Vol. 4. - Pp. 251 - 266.

23. Wyman M. Static spherically symmetric scalar field in general relativity // Phys. Rev. D. 1981. - Vol. 24. - Pp. 839 - 841.

24. Bechmann 0., Lechtenfeld 0. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field // Class. Quant. Grav.— 1995.— Vol. 12.— Pp. 1473 1482,- (arXiv: gr-qc 9502011).

25. Dennhardt H., Lechtenfeld 0. Scalar deformations of schwarzschild holes and their stability 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1998. - Vol. 13. - Pp. 741- 764. (arXiv: gr-qc 9612062).

26. Bronnikov K. A., Dehnen H., Melnikov V. N. Regular fantom black holes // Gen.Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0611022).- 2007,- no. 39.-Pp. 973 987.

27. Bronnikov K. A., Chernakova M. S. Charge black holes and unusual worm-holes in scalar-tensor gravity // Grav. Cosmol. — 2007. — Vol. 13. — Pp. 51- 55. (arXiv: gr-qc 0703107).

28. Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. Spherically symmetric gravitating scalar fields, the inverse problem and exact solutions // Grav. Cosmol. — 2008. — no. 15.- Pp. 94 95.

29. Bronnikov K. A., Fabris J. C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

30. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н. Устойчивые круговые орбиты вблизи гравитируюгцих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2010. — № №37 419. — С. 29 41.

31. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Математические модели гравитируюгцих конфигураций с фантомным скалярным полем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика — 2011. — № №35 423. — С. 7 18.

32. Solovyev D. A., Tsirulev А. N. General properties and exact models of static selfgravitating scalar field configurations // Class. Quant. Grav. — 2012. № V. 29 055013 doi:10.1088/0264-9381/29/5/055013. - C. 17.

33. Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры. Maple. Искусство программирования. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006.— 792 с.

34. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании, — М.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.

35. Артёмов И. Л. Fortran. Основы прораммирования. — М.: Диалог-МИФИ, 2007.- 304 с.

36. Немнюгин С., Стесик О. Фортран в задачах и примерах,— СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 320 с.

37. Никонов В. В. Символьные и численные методы исследования гра-витирующих полей // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. — 2007. — С. 185 188.

38. Kardashev N. S., Novikov I. D., Shatskiy A. A. Astrophysics of worm-holes // Int. Jour, of Modern Phys. D.- 2007,- Vol. 16,- Pp. 909 -926,- (arXiv: astro-ph 0610441v2).

39. Новиков И. Д., Кардашев Н. С., Шацкий А. А. Многокомпонентная вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. — 2007. Т. 177. - С. 1017 - 1023.

40. Tsirulev А. N. Gravitational fields with yang-mills curvature // Proc. 15th Int. Conf. High Energy Physics and Quantum Field Theory2001.— Pp. 382 384.

41. Tsirulev A. N. Curvature decomposition and the einstein-yang-mills egua-tions // Part. Nucl. JINR. 2004. - Vol. 1, no. 12(119).- Pp. 99 - 102.

42. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 276 с.

43. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

44. Hawking S. W., Ellis G. F. R. Large scale structure of space-time // Cambridge: Cambridge University Press. — 1973.

45. Abramowicz M. A., Jaroszynski M., Kato S. Leaving the isco: the inner edge of a black-hole accretion disk at various luminosities // (arXiv: astro-ph/1003.3887). — 2005.

46. Ghez A. M., Salim S., Hornstein S. D. Stellar orbits around the galactic center black hole. // Astrophys. J. (arXiv: astro-ph/0306130). — 2005.— no. 620. Pp. 744 - 757.

47. Barret D. Kluzniak W., Olive J. F. On the high coherence of kilo-hz quasi-periodic oscillations // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0412420). 2005. - no. 357. - Pp. 1288 - 1294.

48. Barret D., Olive J. F., Miller M. C. Supporting evidence for the signature of the innermost stable circular orbit in rossi x-ray data from 4u1636-536 // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0101312).-07. no. 376. - Pp. 1139 - 1144.

49. Spergel D. N., Steinhardt P. J. Observational evidence for self-interacting cold dark matter // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - Pp. 3760 - 3763.

50. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur signification physique. 1902. - Pp. 49 - 52.

51. Гончарский A. В., Черепащук A. M., Ягола A. Г. Некорректные задачи астрофизики // M.: Наука. — 1985.

52. Fisher I. Z. Scalar mesostatic field with regard for gravitational effects // Zh.Èksper. Teoret. Fiz. (arXiv:gr-qc/9911008). 1948.- no. 18.-Pp. 636 - 640.

53. Bergmann O., Leipnik R. Space-time structure of a static spherically symmetric scalar field 11 Phys. Rev. 1957. - no. 107,- Pp. 1157 - 1161.

54. Azrez-Ainou M. Selection criteria for two-parameter solutions to scalar-tensor gravity // Gen. Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0912.1722). — 2008.— no. 42. Pp. 1427 - 1456.

55. Bronnikov K. A., Shikin G. N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons // Grav. Cosmol. — 2002. — Vol. 8. — Pp. 107 116. - (arXiv: gr-qc 0109027).

56. Фролов В. П., Новиков И. Д. Физика чёрных дыр, — М.: Наука, 1991.

57. Новиков И. Д., Фролов В. П. Чёрные дыры во вселенной // УФН.— 2001. Т. 171, № 3. - С. 307 - 324.

58. Bizon P. Gravitating solitons and hairy black holes // Acta Phys. Polon. B. 1994. - Vol. 25. - Pp. 877 - 898. - (arXiv: gr-qc 9402016).

59. Никонов В. В., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2007. — № 5(33). — С. 11 — 20.

60. Bekenstein J. D. Black holes: classical properties, thermodynamics, and heuristic quantization // Cosmology and Gravitation. Atlantisciences, France. 2000. - Pp. 1 - 85. - (arXiv: gr-qc 9808028).

61. Vanzo L. Black holes with unusual topology // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56. Pp. 6475 - 6483. - (arXiv: gr-qc 9705004).

62. Martinez C., Troncoso R. Electrically charged black hole with scalar hair // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. - (arXiv: astro-ph 064007 8pp).

63. Mayo A. E., Bekenstein J. D. No hair for spherical black holes: charged and nonminimally coupled scalar field with self-interaction // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 54. - Pp. 5059 - 5069. - (arXiv: astro-ph 9602057).

64. Penrose R. Naked singularities // Ann. N. Y. Acad. Set. 2Ц.— 1973. — C. 125 134.

65. Nikonov V. V., Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the einstein-scalar field equations // Class. Quant. Grav. 2008. - Vol. 25.- 138001.

66. Torres D. F. Accretion disc onto a static non-baryonic compact object // Nucl. Phys. В (arXiv:hep-ph/0201154). 2002,- no. 626,- Pp. 377 -391.

67. McClintock J. E., Narayan R., Davis S. W. Measuring the spins of accreting black holes // Class. Quantum Grav. — 2011. — no. 28. — P. 114009.

68. Schunck F. E., Mielke E. W. General relativistic boson stars // Class. Quantum Grav. (arXiv:astro-ph/0801.0307). 2003. - no. 20. - Pp. R301 - R356.

69. Visser M. Lorentzian wormholes: from einstein to hawking // AIP Press. — 1995.

70. Morris M. S., Torn K. S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels // Am. J. Phys. 1988. - Vol. 56. - Pp. 395 - 402.

71. Morris M. S., Torn K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Phys. Rev. Lett.— 1988.— Vol. 61.— Pp. 1446 1449.

72. Sakellariadou M. Production of topological defects at the end of inflation // Lect. Notes Phys. 2008. - no. 738. - Pp. 359 - 392.

73. Sorkin R. D. Introduction to topological geons // Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy. 1985. - May 12 - 22. - Pp. 249 - 270.

74. Sorkin R. D. On the relation between charge and topology // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1977.— no. 10(5).— Pp. 717 -725.

75. Ernst J. F. J. Linear and toroidal geons // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 105,- Pp. 1665 1670.

76. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy // Phys. Rev. D. — 2005. Vol. 70. - 043520 (arXiv: gr-qc 0502084).

77. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and transversable wormholes // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17. - Pp. 3843 - 3864. -(arXiv: gr-qc 0003025).

78. Хуснутдинов Н. Р. Квазиклассические кротовые норы с/(падкой горловиной // ТМФ. 2004. - Т. 138. - С. 297 - 318.

79. Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Сферически-симметричные топологические геоны // Вестник ТвГУ, серия Прикладная математика, — 2007. № 17(45). - С. 59 - 68.

80. Dowker F., Surya S. Topology change and causal continuity // Phys. Rev. D. 1998. - Vol. 58. - 124019 (arXiv: gr-qc 9711070).

81. Hochberg D., Visser M. Geometric wormhole throats // Proc. Haifa Workshop «The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities», Haifa, Israel. 1997. - June 29 - July 3. - Pp. 249 - 295. - (arXiv: gr-qc 9710001).

82. Louko J., Mann R. В., Marolf D. Geons with spin and charge // Class. Quant. Grav.- 2005,- Vol. 22,- Pp. 1451 1468,- (arXiv: gr-qc 0412012).