автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и символьно-численные методы исследования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в постньютоновском приближении

На правах рукописи

Михеев Сергей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАВИТИРУЮЩБЙ БЫСТРОВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЕРХПЛОТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ В ПОСТНЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь - 2006

Работа выполнена на кафедре общей математики и математической физики Тверского государственного университета г

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Цветков Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор K.M. Зингерман

доктор физико-математических наук, профессор JI.A. Севастьянов

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий Объединенного института ядерных исследований г. Дубна

Защита состоится " ¿¿6 " " " 2006 г. в "

на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: Тверь, ул. Желябова, 33. Факс (0822) 32-12-74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан "_" "_" 2006 г.

Ученый секретарь совета

доктор технических наук, профессор

В.Н. Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Благодаря открытию наблюдательной астрономией таких космических объектов как пульсары, квазары, компактные рентгеновские источники, математическое моделирование фигур равновесия самогравитирующей быстровращающейся жидкой капли является в настоящее время одним из приоритетных направлений исследования в современной астрофизике. Данная проблема фигур равновесия долгое время, со времен Ньютона, рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации, решением которой занимались выдающиеся математики: Маклорен, Якоби, Ляпунов и многие другие.

Выдающееся открытие новых космических объектов перевело эту задачу в практическую плоскость, В ряду новых космических объектов особое место занимают пульсары - быстровращаюхциеся намагниченные нейтронные звезды, которые по праву рассматриваются как уникальные космические лаборатории для изучения свойств ядерного вещества, гравитационного взаимодействия и влияние внутреннего магнитного поля при очень высоких давлениях и температурах.

Математическое моделирование конфигураций пульсаров актуально в связи с проводимыми в настоящее время экспериментами по регистрации гравитационного излучения. По современным представлениям быстрые миллисекундные. пульсары с периодом вращения ~ 1 мс являются перспективными источниками монохроматического гравитационного излучения, поскольку имеет место асимметрия распределения масс относительно оси их вращения. И кроме того интенсивность гравитационного излучения пропорциональна 6-ой степени частоты вращения конфигурации. Прием гравитационных волн от пульсаров может открыть канал получения новой информации из космоса наряду с электромагнитными и нейтринными каналами, которые действуют в настоящее время. Что, по сути, будет являться первым шагом к созданию гравитационно-волновой астрономии, Эта задача представляет интерес и для исследования эволюции периода пульсара.

Наиболее важно построить адекватную математическую модель, описывающую все основные свойства рассматриваемых объектов. Поэтому необходимо рассматривать уравнение, описывающее пульсары с учетом релятивистских поправок, которые имеют порядок 20% — 30% от ньютоновского приближения. Но и в ньютоновском приближении остаются далеко не изученными конфигурации с реалистическими уравнениями состояния и уравнениями состояния заданными в виде политроп. В частности не было исследовано аналитическое решение вблизи точек бифуркации их конфигураций.

Отмеченные обстоятельства обуславливают актуальность темы диссертации,

направленной на построение и исследование математических моделей пульсаров с использованием символьно-численных методов.

Цели диссертационной работы; построение и исследование математической модели быстровращающейся гравитирующей сверхплотной несжимаемой конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постныотоновском приближении. Доказательство существования точек бифуркации уравнения гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации по параметрам е = ^ или е = (ах, аз - полуоси эллипсоида вращения, который аппроксими-

рует реальную поверхность конфигурации, и> - угловая скорость вращения конфигурации, С - гравитационная постоянная, ро - плотность несжимаемой конфигурации). Построение и исследование аналитического асимметричного решения вблизи точек бифуркации при отсутствии и наличии внутреннего магнитного поля. Построение и исследование математической модели быстровращающейся гравитирующей сверхплотной несжимаемой конфигурации в ньютоновском приближении с реалистическими уравнениями состояния Бете-Джонсона и Рейда, уравнением состояния Оппенгеймер-Волкова и уравнениями состояния в виде политроп. Доказательство существования точек бифуркации уравнения гидростатического равновесия рассматриваемых конфигураций по параметрам е = ^ или е = (здесь ро - центральная плотность конфигурации). Построение и

исследование аналитического асимметричного решения вблизи точек бифуркации при отсутствии и наличии внутреннего магнитного поля.

Для достижения этих целей были реализованы в системе символьной математики МАРЬЕ следующие построенные алгоритмы:

• алгоритмы представления постньютоновских гравитационных потенциалов на внутреннюю точку возмущенной эллипсоидальной конфигурации (поверхность которой аппроксимирует реальную поверхность конфигурации) в виде полиномов от декартовых координат на основе разложения аналитических функций в ряд БурманагЛагранжа по степеням других аналитических функций,

• алгоритм представления уравнения гидростатического равновесия гравитирующей быстровращающейся сверхплотной жидкой капли в виде системы мо-меитных уравнений для определения неизвестных параметров конфигурации,

• алгоритм решения системы алгебраических уравнений регуляризованным аналогом метода Ньютона,

• алгоритм нахождения неизвестных параметров Лу/с, которые наряду с ах, 03 определяют возмущенную эллипсоидальную поверхность, аппроксимирующую реальную поверхность конфигурации,

• алгоритм оценки погрешности методов решения уравнения гидростатического равновесия.

Методы исследования; методы теорий функций действительного и комплексного переменного, методы теории ньютоновского гравитационного потенциала, численный метод, методы компьютерной алгебры.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитическое представление постныотоновских гравитационных потенциалов однородной возмущенной эллипсоидально!* конфигурации на внутреннюю точку.

2. Решение уравнения гидростатического равновесия, описывающего грави-тируюшую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную конфигурацию с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении методом степенных рядов.

3. Доказательство существования точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия конфигурации в постньютоновском приближении, и исследование полученного кубического уравнения для параметра асимметрии вблизи этих точек.

4. Решение уравнения гидростатического равновесия, описывающего грави-тируюхцую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную конфигурацию в ньютоновском приближении с использованием полиномов наилучшего приближения в пространстве квадратично интегрируемых функций.

5. Доказательство существования точек бифуркации по параметрам е или £ решений уравнения гидростатического равновесия конфигурации в ньютоновском приближении, и исследование полученного кубического уравнения для параметра асимметрии вблизи этих точек.

6. Доказательство существования и оценка для политропных конфигураций с показателем п в ньютоновском приближении критического значения Пк такого, что при п < Пк политропные конфигурации будут иметь точки бифуркации, а при п > Пк не имеют их.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации развивается новый подход к математическому моделированию самогравитирующих конфигураций. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть непосредственно использованы для предсказания свойств монохроматического гравитационного излучения пульсаров, поиски которого в настоящее время интенсивно проводятся на многих гравитационно-волновых детекторах мира. Построенный комплекс программ символьно-численных вычислений и результаты диссертационной работы можно также применить и для исследования эволюции периода пульсара.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов основана на использовании апробированных методов ма-

тематической физики, положенных в основу построения и исследования математических моделей гравитирующих конфигураций; на применении физически обоснованных исходных данных при построении математических моделей; на исследовании точности результатов в зависимости от параметров решаемой задачи; на сравнении полученных результатов с частными и предельными случаями, которые надежно проверены ранее.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников кафедры ОМиМФ ТвГУ, ЛИТ ОИЯИ, самостоятельно разработал все алгоритмы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в разработку и проведение исследований математических моделей, а также вклад в компьютерное моделирование, рассматриваемых объектов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены самим автором.

Апробадия результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на QFTHEP 2004 XVIIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (Санкт-Петербург, 2004);I Международном междисциплинарном научном семинаре памяти гл.-корр. РАН С. П. Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках" (Тверь, 2005); на научных семинарах Лаборатории Информационных Технологий, Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований и Тверского государственного университета; II Международном междисциплинарном научном семинаре памяти гл.-корр. РАН С. П. Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках"(Тверь, 2006); XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006); 10-th workshop on computer algebra (Дубна, 2006).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях в виде статей в журналах, докладов в трудах международных и всероссийских конференций, сообщений ОИЯИ. Из них две в рекомендованных ВАК изданиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации - 134 страницы машинописного текста, включая 24 рисунка, 13 таблиц и список литературы, содержащий 103 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность поставленной проблемы, формулируются ее цели и задачи. Дан краткий обзор некоторых уже известных результатов, касающихся существования точек бифуркации для политроп. Кратко определены некоторые основные понятия. Также изложены основные методы

вычислений и построения математических моделей вращающихся конфигураций. Обоснован выбор пакета символьной математики МАРЬЕ для использования его в вычислениях при решении поставленной проблемы.

В первой главе, основываясь на работе1, поясняется вывод уравнения гидростатического равновесия для гравитирующей быстровращающейся сверхплотной намагниченной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, которое в дальнейшем подробно исследуется для случая однородной конфигурации. Это уравнение, содержащее постньюто-= -А

рос

света), молено записать в виде

новский параметр 7 = (Ро - давление в центре конфигурации, с - скорость

У[Ф + К0р -ет2±+ 7(5Ф3 - ^Р2 + 4(1 - р+

+|^)ег1 + З-^-г! + 8-^-(гх£±))] + 87фзГхК[езгх]Ухр)+ (1) ~ ^(гхЫ) + П(т) = О

где П(т) = — 2(В\7)В), В - напряженность внутреннего магнитного

поля, Х1 — хг — хз — р == Р - распределение давления конфигурации, V = + Ух = ¿в! + V,, = е= гх = ж^х + я2е2, К0 = 2-пс1%а\ » ФО = = 0,Я2 = 0, Хз = 0),

=__1 Г ¿У' -___Г дУ'

Ф~ 21ха\] |г'-гГ 2тга\] Гх|г'-г|'

т 1 {, Ъе о , 1 ~ дУ" {л ч

= ""27ГО^ У _ 5 Яо (и)

Во второй главе построена математическая модель гравитирующей, быстровращающейся, сверхплотной, намагниченной, однородной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постныотоновском приближении. С помощью символьных и численных вычислений для построенной модели доказав но существование точек бифуркации (критических точек) по параметрам е и е решений уравнения гидростатического равновесия стационарно вращающейся гравитирующей сверхплотной намагниченной несжимаемой конфигурации, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения давления и проведено исследование этих решений. В этой главе уравнение (1), описывающее гравитирующую, быстровращающу-юся, сверхплотную, намагниченную, однородную конфигурацию, было решено

1 Цветков В.П. Релятивистские эффекты в теории гравитирующих быстровращающихся сверхплотных конфигураций// Письма в ЭЧАЯ в печати, препринт Р2-2006-132, 2000.

методом приближения всех членов уравнения (1) полиномами от координат Хк, к = 1,2,3 нужной степени, с последующим приравниванием коэффициентов полученного полинома при соответствующих степенях, т. е. было построено асимптотически точное в центре конфигурации решение, которое может быть аналитически продолжено до границы конфигурации.

Уравнение (1) явно зависит от формы границы р(х,у,г) = 0. Поскольку эта

граница имеет сложный вид, затрудняющий аналитические вычисления, то мы

заменим ее возмущенной эллипсоидальной поверхностью : х\ + х\ + х\ + ь . .

/с£2X3 = 1» форма которой зависит от неизвестных параметров 2цк-> Ь -максимальная степень многочлена по координатам х^.

Условие близости точной поверхности и 5В можно сформулировать введением функции Л:

Л = Р)

гя

Очевидно, параметр що = А* будет представлять меру погрешности в наших уравнениях при замене точной поверхности конфигурации на Условие минимума Л приводит к уравнениям:

ф _ дА п ® дА(Яцк = 0) _ п ф дА(г^к = 0)

Распределение давления конфигурации р будем аппроксимировать полино-

р

мом от координат степени Р: р — раЪс^\^2хЬ

а,Ь,с

При решении задачи наибольшую сложность для аналитических вычислений представляют в (1) вычисления ньютоновского Ф и постныотоновских Фз, гравитационных потенциалов на внутреннюю точку.

В работе2 с использованием рядов Бурмана-Лагранжа доказана теорема, согласно которой внутренний гравитационный потенциал Ф в общем случае неоднородной и в частности однородной конфигурации может быть представлен абсолютно и равномерно сходящимся рядом по коэффициентам Zijk при некоторых ограничениях на коэффициенты разложения, при которых являются полиномами степени Р 4- — 2) + 2 координат Хк- Здесь 5 номер члена ряда Бурмана-Лагранжа. Таким образом

Р+в(Л-2)+2

Ф = Фойс«?®а®| (4)

а,Ь,с

2Цветков В.П., Масюков В.В. Метод рядов Бурмана-Лагранжа в задаче об аналитическом представлении ныогчшовского гравитационного потенциала возмущенных эллипсоидальных конфигураций//ДАН СССР, 1990, Т. 313, №5, с. 1099-1102.

Следуя указанной работе, переходя к "анизотропным обобщенным сферическим координатам "Л, 6, ip со смещением центра координат в точку наблюдения хк

' , 1 °0 . а 1 Go . 1 do .

Хи = х^ + c¿kR> »i =--sm в cos tp. a.2 =--sm в cos tp, ссз =--cos 0,

aa% aai a <23

0= Qsm2^cosV+^|sin20smV+^|cos2^, (5)

о0 = (а1,а2,а3)з,0<Л<Я,

имеем аналитичесхше представления постньютоновских гравитационных потенциалов, реализованные в системе символьной математики MAPLE в виде полиномов от координат Хк'

P+s(L~ 2)+2

Фз = ФзвЬс®?®2®з (6а)

а,Ь,с

P+s<£-2)+2

1х5= £ i =1,2 (6Ь)

о,Ь,е

Здесь - дельта символ Кронекера.

Будем считать, что функцию П(т) можно с достаточной степенью точности

аппроксимировать градиентом от некоторой функции координат Хк, которую

р

мы приближаем полиномом степени Р П(т) = kmV J2 П(т)аьсх1^2хз> кт =

а,Ь,с

&7rQpoa'¿ 1 Во - характерная напряженность магнитного поля в центре конфигурации. Учитывая последнее равенство, (4), (6а), (6Ъ) мы можем все члены уравнения (1) представить в виде полиномов.от декартовых координат На основе вышесказанного нами составлен комплекс программ который (1) представляет в виде

H¡o'p)(xux2tX3) = 0t H¡°'P)(xltx i — 1,2,3 (7)

a¡b,c

Таким образом система уравнений, определяющая все неизвестные параметры конфигурации, будет состоять из уравнений (3) и уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов (7) к нулю. Отметим, что для фигур вращения р — p(xl + х^х%) члены (1) стоящие не под градиентом обращаются в ноль, за исключением П(то), которым в наших допущениях для фигур вращения можно пренебречь. В этом случае (1) мы можем представить в виде одного скалярного уравнения.

Коэффициенты, определяющие структуру конфигурации, представим в виде разложения по степеням малого параметра асимметрии X до квадратичного

ВКЛЮЧИТеЛЬНО раЬс = ^^Ро+Ь.с + РЧ*Ь)сХ2 + Р[аЪ]сХ, Zijk ~ Z*+J,b +

Z\(,ij)kX2 + Z[ij]kX, где Pi(ab)c = Pl(ba)o Р[аЬ]о = ~Р[ЧС' Zl(ij)k = Zl(ji)k> =

'--^(iiJA:) P[20)0=l-

Тогда (3), (7) будет представлять собой систему уравнений, содержащую степени малого параметра X. Поэтому возможно использовать, метод разложения по малому параметру X. При этом (3), (7) фактически распадается на две системы: симметричную, содержащую только четные степени X и асимметричную, содержащую только нечетные степени параметра асимметрии.

В первом приближении положим X — 0. Двумерные массивы неизвестных в системе (3), (7) pac, Zik, KQ — Ко о, е = ео обозначим, как ymt (т — 1,2...Ni), где Nx = ¿(P + 2)(Р + 4) + + 2)(L + 4). При Р = 4и£ = 4 имеем jVi = 12. В этом случае уравнения (3), (7) могут быть записаны в векторном виде системы 12 нелинейных алгебраических уравнений: f(y,e) = 0, у = (г/ьу2»—»У«)-Вследствие плохой обусловленности матрицы Якоби /'(у, е) = 0 для численного решения полученной системы мы использовали регуляризованный аналог метода Ньютона, итерационная схема которого имеет вид

y^1)(e) = yW(e)-Tn[a/J(yW(e)1e) + 7(yW(e))e)/(yW(e))e)]-1x ;

x/(y(n)(e),e)f(y^(e),e) (8)

где п - номер итерации г„ - итерационный параметр (0.1 -С гп < 1), / (у(пЧе)>е) - транспонированная матрица Якоби. Величина \//2(у(п)(е),е) представляет собой невязку и определяет точность решения системы уравнений, которая в нашем случае составила 10~15.

Графики найденных функций е, Ко от е представлены на рисунке 1.

Численные значения ут(е) мы подставляем в (3), (7), и далее решаем антисимметричную систему в линейном по X приближении, достаточно хорошо описывающим состояние конфигурации вдали от критических точек по параметру efe. Трехмерный массив неизвестных мы также перевели в одномерный х,п,т — 1,2, .„N:2 (в случае Р — 4 и L — 4, N2 = 6). В линейном по X приближении (3), (7) имеет вид: Л£(у(е), е)хрХ = VmSn, =Р[го)о = 1» Vm — -\kkmsin2ct, а - угол наклона магнитной оси к оси вращения конфигурации. Здесь и далее по повторяющимся индехссам проводится суммирование.

Влияние магнитных напряжений мы рассматриваем в самой простой модели, когда отличны от нуля два коэффициента П(т)[го]о — —П(т)[ог]о = к- показатель скорости уменьшения магнитного поля при удалении от магнитной оси.

Рис. 1: На первом слева рисунке приводится зависимость функции е от параметра е, на втором слева рисунке приводится зависимость функции Ко от параметра е; кривые 1 соответствуют значению 7 = 0, 2 - 7 = 0.01, 3 - 7 = 0.03, 4 - 7 = 0.06, 5-7 = 0.1,6-7 = 0.12

Рис. 2: Зависимость величины от параметра 7

Значения е* для различных значений параметра 7 находятся из условия х Х{е —» efe) —+ 00 и приводятся в таблице 1.

Таблица 1; Значения параметров е и е в точках бифуркации для различных ___ _значений параметра 7. __

7 = 0 7 = 0.01 7 = 0.03 7 = 0.06 7= 0.09 7 = 0.12

еь Ek 5.83 - Ю-1 9.36 • 10~2 5.57- Ю-1 9.04 • Ю-2 5.33 • Ю-1 8.70 • 10"2 5.21 • ИГ» 8.57 • Ю-2 5.15- Ю-1 8.72 • 10"2 5.12 - Ю-1 9.01 • 10~2

На рисунке 2 приведен график зависимости от 7.

Из графика рисунка 2 видно, что в критической точке угловая скорость конфигурации будет уменьшаться при увеличении центрального давления этой конфигурации для фиксированной центральной плотности, то есть при увеличении 7 от ноля до 7тт = 5.83 • Ю-2. Для 7 = 7тг?» £к принимает значение £кт1П — 8.57 • 10~2. При 7 > 7,тип происходит увеличение параметра е в точке бифуркации несжимаемой конфигурации.

Линейное приближение не применимо в области \е — < т/пг. В этой области систему (3), (7) необходимо решать с точностью до X3 включительно. Тогда (3), (7) примет вид: (А\хр)Х + (В[*гхрх&г)Х3 = г)т6ц} 1,р,Ьг — 1,2...N2, «1 = Р[20]0 = 1.

2

При I Ф 1, находим решения хр = хр(е). В области |е — ед,| г)т находим, при

2

I = 1, X = Х(е,7]т) ~ Г)т. В области |е — е^| < для параметра асимметрии X получается кубическое уравнение

а(е-ек)Х + 0Ха = т?т, (9)

здесь а и 0 постоянные коэффициенты, значения которых приведены в таблице 2.

Таблица 2: Значения коэффициентов а и — /? для различных 7.

7 = 0 7 = 0.01 7 = 0.03 7 = 0,06 7 = 0.09 . 7 = 0.12

а -0 2.74 • Ю-1 1.52 • Ю-2 2.49 • 10"1 2.22 • 10~2 2.94 • Ю-1 2.53 • 10~2 4.62 • 10"1 2.44 • Ю"2 7.40 • Ю-1 2.33 • Ю-2 1.14 2.30 • 10~2

Из (9) и данных таблицы 2 следует, что при отсутствии магнитного поля в точке бифуркации возникает хорошо известное для нелинейных уравнений динамическое спонтанное нарушение аксиальной симметриии в распределении давления конфигурации.

При наличии магнитных напряжений в точках е = еь происходит ветвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения давления конфигурации. Необходимо отметить, что величина параметра асимметрии X в области |е — < Т}^ будет на много порядков больше, нежели в области |е - е*| » тД. •

В критических точках е = имеем Хк — Х(еь) = ) •

В этой главе также проведена оценка погрешности решений уравнений описывающих гравитруюгцую, быстровращающуюся, сверхплотную конфигурацию.

Порядок допущенной погрешности при решении поставленной задачи определяется величиной 72. А погрешность округления в нашем случае порядка 10~1В, поэтому ей мы можем пренебречь.

Погрешность метода решения Д мы вычисляли в метрике пространства квадратично интегрируемых функций. Отметим, что основной вклад в конфигурацию вносят параметры, соответствующие фигуре вращения. В палеете МАРЬЕ была составлена программа для вычисления А, значения которой для различных значений 7 приводится в таблице 3.

Таблица 3: Погрешность метода решения задачи для различных значений 7.

е А (7 = 0.01) А(7 «= 0.03) Д(7 = 0,06) А (7 = 0.09) Д(7 = 0.012)

1 0.8 0.6 efc 1.04 • 10"4 3.53-Ю"5 2.76 • 10~б 2.74 ■ 10~б 9.30 • 10~4 3.71 • 10~4 2.31 • 10"4 2.37-10"4 3.77 • Ю-3 1.73 • 10~3 7.95 • Ю-4 8.65 • 10~4 8.71 • 10~3 4.35 -10"3 1.65 «Ю-3 1.86- Ю-3 1.60-10~2 8.48 • 10~3 2.97 • 10~3 3.30 • Ю-3

Как: и следовало ожидать, наиболее точные решения мы получили при малых значениях параметра 7. Отметим, что в случае 7 = 0 решение (1), (3) находится точно. Результаты, полученные для однородной конфигурации в ньютоновском приближении, совпадают с результатами, полученными классическими методами.

В третьей главе было решено уравнение гидростатического равновесия, описывающее гравитирукяцую, стационарно вращающуюся, намагниченную, неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении. Это уравнение удобно записать в виде

2 Р ' ф + ©(р) — "тгО^2 + у2) + пт =зо, ©(,)==у^, * = (10)

о

Здесь р - распределение плотности искомой конфигурации, которое мы будем

р

аппроксимировать полиномом от декартовых координат Xk' Р — J2 РаЬс^Хх^х3»

а,Ь, с

vn,n = nm.

В работе3 для решения (10) и определения границы конфигурации используется метод представления всех членов уравнения гидростатического равновесия, описывающих конфигурацию, полиномами координат степени Р и последующим приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях, который мы бу-деи называть методом степенных рядов (СР - метод), В этой главе для решения (10) наряду с методом СР будет применяться метод аппроксимации всех членов уравнения гидростатического равновесия полиномом наилучшего приближения координат Xk степени Р в Li (пространстве квадратично интегрируемых функций) (ПНП - метод), точность решения которого, как минимум, на порядок выше, чем точность СР - метода.

Для вычислений мы использовали численные данные для уравнений состояния ядерной материи Бете-Джонсона (BJ), Оппенгеймера-Волкова (OV), Рейда (R), а так же уравнения состояния в виде политроп со значениями их показателя

'Беспалько Б.В., Михеев С.А,, Пузынин И.В., Цветков В.П. Гравитирующая быстровраща-

ющаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния. Мат. Моде-

лирование 2006, т 118, №3, с. 103-119.

п. Как будет показано, параметры конфигурации зависят от выбора уравнения состояния, что является критерием для их отбора. В частности, при значении е — ¿к происходит резкое увеличение интенсивности гравитационного излучение (ГИ) конфигурации, при регистрации частоты которого определяется £к и появляются аргументы в пользу выбора конкретного уравнения состояния.

Функцию 0(р) представим в виде многочлена от —

и, соответственно, ее легко можно будет записать в виде полинома от координат Хк-

Коэффициенты ¿о, ¿1, ¿2 выбираются из условия наилучшего приблилсения числовых данных или степенной функции (для политроп) для рассматриваемых уравнений состояния и (11) в метрике ¿2. Для уравнений состояния (В.1), (Е), (ОУ), эти коэффициенты приводятся в таблице 4, а для политроп они могут быть вычислены по формулам (12):

Таблица 4: Коэффициенты многочлена, аппроксимирующего функцию, определяющую влияние давления на конфигурацию с уравнениями состояния Оппенгеймер-Волкова, Бете-Джонсона и Рейда

(ОУ) (В!) (Н)

¿0 2.25 1.64 2.02

¿1 1.44 2.72 1.98

¿2 -0.80 1,08 -0.04

х 4п(п+1)(?г + 2) 4п(п + 1)(4тг-7)

0 ~ (2п + 1)(3п +1)' 1 ~ (2п + 1)(3п + 1) '

л 20п(п2 -1) (п-1)(2п-1) Г_п_

2 (2п+1)(Зп + 1)' 0 (2гг + 1)(3п -{-1) у тг + 2 К }

Здесь Л0 погрешность аппроксимации в ¿2 на отрезке [0,1] функции &(р) многочленом второй степени по плотности р.

Точную границу р(х,у,г) = 0 мы аппроксимировали возмущенной эллипсоидальной поверхностью Условие близости точной поверхности и 5П можно

сформулировать введением функционала Л = г^х f р2<К1. Условие минимума Л

0 <я>

приводит к уравнениям аналогичным (3), и далее мы их также будем обозначать

(3).

Таким образом, систему уравнений (10), (3) запишем в виде

#(®х,® 2>®3) = 0, = 0, Ф<, = 0; н = 1,2, (13)

. Рт

#(жь«2,®з) = #аЬсЯ?а;§®§, Рт — тах{Р + в(Ь — 2) + 2,2Р}, а + Ы-с>0

а,Ь,С

Далее мы аппроксимировали функцию Н(хх,х2,13) полиномом ^(гх.жз^з) наилучшего приближения в £з степени Р. Мы получили систему уравнений для определения коэффициентов ^а1ь1С1 полинома Р(х1,х2,хз). Но из (13) следует, что Рв1б1в1 = 0. В результате уравнение #(£1,2:2,23) = 0 сводится к системе моментных уравнений, т. е. (13) будет иметь вид

= Фу* = 0, = 0; ¿1 = 1,2, (14)

х>

Ят

И{хих2,хг) = ^Наъсх1х\х1> Рт = тах{Р + «(£-2) + 2,2Р}, а+Ь+с>0

а,Ь,с

Левые части уравнений (14) вычисляются аналитически с использованием комплекса программ, составленного в пакете МАРЬЕ.

Представив раьс, в виде разложения по степеням малого параметра асимметрии X до квадратичного включительно: раЪс = (|)1(|)|/9а+ь'с РН*ъ)сХ +

Р[аЬ)СХ, 2ук = + 2ц{])кХ2 + 2{ч]кХ (Рх(аЬ)с = Р1(Ьа)с, Р[аЬ)е = ~Р[Ьа]о

2Цхз)к — = 0120)0=1)> мы применим для решения (14) метод

разложения по малому параметру X.

Для решения (14) в нулевом по X приближении был применен регуляризо-ванный аналог метода ньютона (8), и были найдены коэффициенты, соответствующие фигуре вращения. Графики численных расчетов е, Ко представлены на рисунке 3.

Далее (14) была решена в линейном по X приближении, достаточно хорошо описывающим состояние конфигурации вдали от точки бифуркации. Найденные значения е* и ем для конфигураций с уравнениями состояния (В^, (Л) и некоторых политропиых конфигураций представлены в таблице 5. Мы показали, что для уравнения состояния (ОУ) ветвления решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации нет.

Таблица 5: Значения параметров е и е в точках бифуркации для _рассматриваемых уравнений состояния. _

т (Н) (ОУ) п= 1 п = 1.052 п= 1.111

ек ек. 4.29 • 10"1 7.67- 1СГ2 6.24 < Ю-1 4.02 • 10~2 — 5.75 • 10"1 4.39 • 10~2 7.07 • Ю-1 3.30-Ю"2 8.77-Ю-1 1.50-Ю"2

В случае уравнений состояния заданных в виде политроп при решении системы (14) нами было найдено п* = 1.148 такое, что при п < щ конфигурации

Рис. 3: На первом слева рисунке приводится зависимость функции е от параметра е, на втором слева рисунке приводится зависимость функции Ко от параметра е; кривые 1 соответствуют уравнению состояния ОУ, 2 - В.1, 3 - II, 4 - политропе с показателем п = 1, 5 - с п = 1.052, б - с п = 1.111. Жирными точхсами на кривых изображены значения е — е(е^), найденные в точках бифуркации для соответствующих уравнений состояния.

будут иметь точки бифуркации, а при п> пк критических точек конфигураций нет. На рисунке 4 приводится график зависимости е^ от показателя политропы п.

0.08 a¡

0.06 0.04 ■ \

0.02 п \ \

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 4: Зависимость функции ек от параметра п.

Для политроп впервые найдена зависимость критического значения параметра Ек в точке бифуркации от показателя политропы п, которая показывает efc(nfc) = 0. Из этого следует, что для случая ¡n — пд-| <§: 1 даже медленные пульсары могут находиться вблизи точек бифуркации их конфигураций. Зависимость е*.(п) ведет себя не монотонно: для п € [0,0.749] значение е* будет достаточно медленно уменьшаться, при n е [0.749,0.876] будет увеличиваться, а при п £ [0.876, пк] значение £к достаточно быстро уменьшиться до ноля (e¡t(n = 0.749) = 5.20 • Ю-2, £*.(п = 0.876) = 5.55 • Ю-2).

Вблизи ек необходимо учитывать в (14) члены порядка X3. Проведенные нами

расчеты свели задачу о существовании точек бифуркации в (14) к вопросу о вещественных решениях кубического уравнения для физической области значений параметров конфигурации (9). Значения коэффициентов а и /3 для некоторых рассмотренных уравнений состояния ядерной материи конфигурации приведены в таблице б.

Таблица 6: Значения коэффициентов а и /? для рассматриваемых уравнений

(BJ) (R) (OV) п = 1 п= 1.052 п= 1.111

а Р 4.31 • Ю-1 5.01 • 10"2 1.43-Ю"1 1.01. ю-1 —• 1.33 • 10"1 1.06 • 10"3 1.58-10"1 3.63 • ю-1 1.79-10"1 1.24

Погрешность Д метода решения уравнения гидростатического равновесия (10) для гравитирующей, быстровращающейся, сверхплотной, неоднородной конфигурации в ньютоновском приближении, вычисленная в метрике пространства Lz, для некоторых рассмотренных уравнений состояния приводится в таблице 7.

Таблица 7: Погрешность метода решения уравнения гидростатического _ равновесия для рассматриваемых уравнений состояния._

е Д (BJ) Д (OV) Д(п = 1) Д(п = 1.052) Д(п= 1.111)

1 0.8 0.7 е* 5.06 • 10~3 3.60 • ю-3 2.90 • Ю-3 1.55 • 10~3 2.37 • 10~3 2.12 • 10"3 2.03 • 10"3 4.77 • 10~б 6.12 • 10~5 7.89 • Ю-6 1.28 • Ю-4 1.77-10"4 1.92 • 10~4 2.16-10"4 2.14 • 10~4 3.68 • 10~4 3.75 • 10"4 4.01 • 10"4 3.67 -КГ4

Основные научные результаты;

1. Разработан и реализован комплекс программ в системе символьной математики МАРЬЕ для аналитического представления постныотоновских гравитационных потенциалов в случае неоднородной и в частности однородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннюю точку в виде полинома координат для заданных значений степеней полиномов, аппроксимирующих распределение давления, плотности и функцию, представляющую возмущение эллипсоидальной поверхности конфигурации.

2. Разработан и реализован комплекс программ в системе МАРЬЕ для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую

быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, с учетом релятивистских

поправок в первом постньютоновском приближении, методом разложения по сте-

пеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения давле-

ния относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру

приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до'кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

3. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию с учетом релятивистских поправок в первом постныотоновском приближении при различных значениях постныотоновского параметра 7, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения давления конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации.

. 4, Разработан и реализован комплекс программ в системе MAPLE для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитируюхцую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, методом разложения по степеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения плотности относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

5, Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении для реалистических уравнений состояния Бете-Джонсона и Рейда, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации. - •

6. Доказано существование и проведена оценка для политропных конфигураций в ньютоновском приближений критического значения такого, что при значениях показателя политропы меньше критического политропные конфигурации будут иметь точки бифуркации, а при значениях больше критического нет.

Приведенные результаты исследования гравитирующей быстровращагощей-ся сверхплотной конфигурации указывают на достижение всех поставленных в диссертационной работе целей.

Основные результаты диссертации опубликованы в

научных изданиях рекомендованных ВАК:

1. Ееспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Цирулев А.Н., Пузынин И.В. Вычисление ньютоновского потенциала гравитирующей конфигурации с поверх-

ностыо, близкой к сфероиду, с. помощью символьных и численных методов// Препринт Р11-2005-121, 2005; Вестник РУДН, сер. Прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4, №2,с. 208-219.

2. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Пузынин И.В., Цветков В.П. Гравитирующая быстровращающаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния. Мат. Моделирование 2006, т 118, №3, с. 103-119.

В других изданиях:

3. E.Bespalko, S.Miheev, V.Tsvetkov, I.Tsvetkov. Mathematical model of the rapidly rotating gravitating of superdense neutron configurations// QFTHEP'2004 XVIIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Moskow, 2005, c. 318-321.

4. Беспалько E.B., Михеев C.A., Пузынин И.В., Цветков В.П. Математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния// Препринт Р11-2005-35, ОИЯИ. Дубна, 2005.

5. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Пузынин И.В. Динамическое нарушение аксиальной симметрии плотности быстровращающейся, гравитирующей конфигурации и фазовый переход второго рода. Материалы I Международного междисциплинарного научного семинара памяти чл.-корр. РАН Сергея Павловича Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках". Тверь, 2005, с. 28-30.

6. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П., Пузынин И.В. Математическое моделирование гравитирующей, быстровращающейся сверхплотной конфигурации с помощью символьных вычислений и численных методов. Материалы I Международного междисциплинарного научного семинара памяти чл.-корр. РАН Сергея Павловича Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках". Тверь, 2005, с. 31-33.

7. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Пузынин И.В., Цветков В.П. Ньютоновские гравитирующие быстровращающиеся сверхплотные намагниченные конфигурации с реалистическими уравнениями состояния вблизи точек бифуркации.// XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов., Москва, Издательство РУДН, 2006, с. 59.

8. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Цветков В.П. Точки бифуркации нелинейных уравнений, описывающих сверхплотные гравитирующие конфигурации в релятивистской области значений их параметров.// Материалы II Международного междисциплинарного научного семинара памяти чл.-корр. РАН Сергея Павловича Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках". Тверь, 2006, с. 64-66.

Технический редактор Н.М. Петрив. Подписано в печать 16.11.06. Формат 60 х 84 Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 779 Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение

1 Уравнение гидростатического равновесия для быст-ровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации

1 1 Уравнение, описывающее математическую модель быстровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок . . 13 1.2 Уравнение равновесия быстровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении

2 Математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вычисление ньютоновского и постньютоновских гравитационных потенциалов на внутреннюю точку

2.3 Расчет параметров модели несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении.

2.4 Оценка погрешности решения уравнений, описывающих несжимаемую гравитирующую быстровраща-ющуюся конфигурацию в первом постньютоновском приближении.

2.5 Регуляризованный аналог метода Ньютона и оптимальный итерационный параметр.

3 Математическая модель гравитирующей быстровра-щающейся намагниченной сверхплотной конфигурации в ньютоновском приближении

3.1 Постановка задачи.

3.2 CP-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию.

3.3 ПНП-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию.

Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества является в последнее время одним из приоритетных направлений в астрофизике. В первую очередь этому способствовали открытия наблюдательной астрономии таких космических объектов, как квазары, компактные рентгеновские источники (рентгеновские пульсары). Но наибольший интерес в настоящее время вызывают пульсары - вращающиеся намагниченные нейтронные звезды, ось симметрии которых является наклонной к их оси вращения [1, 2, 3, 4, 5].

Пульсары были открыты А. Хъюишом и другими в 1968 году [6]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравити-рующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации. Изучением данной проблемы занимались такие выдающиеся математики, как Якоби К.Г., Ляпунов A.M. и многие другие. В конце двадцатого века Чандрасекар С. и другие впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на фигуру равновесия [7, 8].

Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров являются сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение с частотой, достигающей нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистическая модель таких объектов должна основываться на общей теории относительности [9, 10, 11, 12].

Как правило, звезды обладают магнитным полем, динамическое влияние которого относительно невелико. Но оно может быть важным для установления закона вращения, меридиональной циркуляции, химического перемещения, что сильно влияет на эволюцию звезды. Еще более важна роль магнитного поля в различных проявлениях звездной активности: образования хромосферы, короны и звездного ветра, вспышек, нетеплового нагрева, появления мощных ультрафиолетовых избытков в спектрах звезд. Кроме того, для усиления магнитного поля динамомеханизмами роль вращения является определяющей, что указывает на тесную связь магнитного поля с вращением.

Актуальность математического моделирования сверхплотных конфигураций в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают ее перспективным источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [13, 14, 15, 16], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна шестой степени частоты вращения. Важным является то, что уверенный прием гравитационных волн от пульсаров будет, пожалуй, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с нейтринным и электромагнитным каналами, которые действуют в настоящее время [17, 18].

Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы времени между импульсами радиоизлучения пульсаров [19, 20, 21]. Подобные "часы"лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системы; проект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабатываться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям ненаучного характера на неопределенный срок. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема конфигурации пульсаров играет очень важную роль.

Для расчета и построения математической модели вращающихся конфигураций разработано много методов. Главная трудность заключается в том, что истинная стратификация центрально конденсированной звезды никогда не известна заранее. Ясно, что если отклонение от сферической симметрии невелико, то можно применить метод возмущений и считать, что влияние вращения сводится к небольшому отклонению от известной сферической модели.

Примерами таких методов являются разложение Клеро-Лежандра, разложение Чандрасекара-Милна и метод квазисферической аппроксимации. Последний еще называют методом двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, применяется разложение первого порядка по параметру v 2) пренебрегается влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.

Однако если уравнение поверхности сильно отличается от сферы, то понадобятся другие методы. Одним из самых эффективных методов расчета является метод согласованного поля, предложенный Острайкером и его сотрудниками. Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели.

Метод заключается в том, что при помощи уравнения: где j-заданная функция от cD, а и- доля массы заключенного в цилиндре, задав подходящее пробное распределение плотности po(u,z), найдем функцию Фо(а),2:).

Исходя из этой функции и учитывая уравнение: можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности pi(u,z). Подставляя эту плотность в уравнение (1), получим уточненный потенциал и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (2) и (1), мы придем к согласованному решению.

Следует отметить, что для уравнения поверхности, сильно отличающейся от сферы, есть и другие подходы - чисто разностная схема, вариационные методы и.д. [22, 23, 24].

В работе [25] была сделана попытка исследовать структуру газовых масс на примере политроп и случая белых карликов численными методами с использованием компьютерных методов в основном (ньютоновском) приближении.

Политропному случаю соответствует уравнение состояния:

Ф = Ф(р;Я

1) р = р{ Ф),

2)

Р = Кр1+*, где п - политропный индекс, К - константа пропорциональности зависит от величины энтропии, приходящей на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г и /^(центральная плотность).

В самом общем случае электронное давление ре в белом карлике зависит от плотности р, температуры Т и химического состава. Однако электронный газ в основном объеме белого карлика столь сильно вырожден, что даже при довольно высоких температурах (скажем, Т « 107 К) в большинстве случаев прекрасным приближением является полное вырождение (Т = О К) по крайней мере в том, что касается глобального внутреннего строения звезды. Другими словами, в первом приближении белый карлик можно рассматривать как баротропу, следовательно:

P = af(x), *=(£)', где f(x) = х{2х3 - 3){х2 + 1)1 + 3sinh^x, Ь = 9 • 10V, а /V молекулярный вес электрона. Необходимо отметить, что холодный полностью вырожденный белый карлик можно рассматривать как политропную конфигурацию в предельных случаях низкой плотности (п = 1.5) и высокой (п = 3) [22, 23, 24, 25, 26].

Структура конфигурации в [25] определяется теоремой Гаусса:

II o^+ii. г2 дг \ дг J г2 дц

1 . ,92Ф , „ вместе с уравнениями гидростатического равновесия:

ЭР № 2 /-, 2ч дР <9Ф 22 dH = %~puJrfi дРд Ф здесь Ф-гравитационный потенциал, ^-расстояние от центра масс конфигурации. То есть, чтобы найти строение звезды около центра, плотность р и гравитационный потенциал Ф разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Pi(cosd). Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне О < п < 3. При п > 3 метод Джеймса принципиально не применим [22, 23, 24, 25], т.к. при п > 3 становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу.

Джеймс показал, при п < 0.808 на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляется неосесимметрич-ные фигуры равновесия. Если п > 0.808, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет. Реальные конфигурации имеют реалистические уравнения состояния: Бете-Джонсона, Рейда.

Уравнения состояния ядерной материи называются реалистическими, если они учитывают сильные межнуклонные взаимодействия частиц ядерной материи. Реалистические уравнения состояния удобно рассматривать для двух областей.

Первая область pdnp < р < рпис ы 2.8 ■ Ю14^? сравнительно хорошо изучена. Равновесная материя состоит из обогащенных нейтронами ядер, образующих кулоновскую решетку, электронов и свободных нейтронов. При возрастании плотности свободные нейтроны обеспечивают все большую долю полного давления. При р ~ рпис начинается деформация и разрушение ядер, т.е. ядра начинают распадаться и сливаться.

При более высоких плотностях, р > рпис, давление определяется, главным образом, нуклонами (преимущественно нейтронами), вступающими в сильные взаимодействия. Помимо нейтронов и небольшого числа протонов и электронов возможно появление других элементарных частиц.

При сверхвысоких плотностях, р > Ю12^- в материи появляется заметное количество гиперонов, и взаимодействие между нуклонами должно рассматриваться с учетом релятивистских эффектов. Надо отметить, что уравнения состояния, полученные до настоящего времени, содержат множество неопределенностей.

В данной работе будут использованы следующие реалистические уравнения состояния:

1.Уравнение состояния Бете-Джонсона(В<1) описывает состояния конденсированного вещества при 1.7-10ир < 3.2-1016, т.е. при сверхвысоких плотностях. Предполагается, что материя содержит нейтроны, протоны и гипероны с массами, не превышающими массу А-резонанса, взаимодействие между которыми описывается модифицированным потенциалом Рейда.

2.Уравнение состояния Рейда(R) описывает состояния конденсированного вещества при р > 7 • 1014. Причем основной компонент вещества - нейтроны, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Рейда с мягким кором, приспособленным к ядерной материи.

Для сравнения будет рассмотрено уравнение состояния Оппенге-ймер-Волкова (OV), описывающее состояния конденсированного вещества при 0 < р < оо, причем основной компонент вещества - нейтроны в этом случае не взаимодействуют между собой, т.е. представляют идеальный невырожденный ферми газ. Кроме того, будут рассмотрены политропные конфигурации для различных значений показателя п.

Как известно, уравнение состояния ядерного вещества связывает давление Р, плотность, температуру Т и химический состав звезды. Символически это можно записать следующим образом:

Р = Р(р,Т,Л1,Л2,.).

Однако в случае холодных белых карликов или нейтронных звезд температура фактически всюду равна нулю и, следовательно, всюду s = 0. В силу этого уравнение состояния можно взять в виде

Р = Р(р).

Необходимо отметить, что реалистические уравнения состояния представлены в литературе в виде численных данных или графиков зависимости давления от плотности.

Точные решения уравнения Эйнштейна в настоящее время получены лишь для малого количества частных случаев. Для реальных систем, какими являются релятивистские гравитирующие быстро-вращающиеся звезды, получить точные решения, по-видимому, не представляется возможным. Поэтому на данный момент лишь математическое моделирование этих систем с тонким анализом допускаемых упрощений и приближений является основой для связи между наблюдательной астрономией и теорией.

Для пульсаров (пока единственных наблюдаемых нейтронных звезд) естественным приближением является постньютоновское приближение, общая схема которого хорошо изучена [27,28,29,30].

В этой работе метод постньютоновских разложений применяется к нейтронным звездам: сделан конкретный выбор параметров разложения и постньютоновских потенциалов, учтено магнитное поле, постньютоновские уравнения для рассматриваемой системы выписаны явно [31, 32], составлен комплекс программ символьно-численных вычислений для решения этих уравнений, и проведено их решение для несжимаемой конфигурации при различных значениях отношения центрального давления к плотности энергии в центре этой конфигурации. Альтернативная схема постньютоновских разложений для релятивистских самогравитирующих звезд развита Чандрасекаром [33], однако без учета магнитного поля.

Ввиду чрезвычайной сложности как аналитических, так и численных расчетов возникает необходимость использования компьютерных методов [34, 35, 36, 37, 38, 39]. Мы воспользовались пакетом символьной и численной математики MAPLE.

Система компьютерной математики MAPLE была выбрана не случайно. В рамках этой системы можно быстро и эффективно выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходным средством графической визуализации и подготовки электронных документов. MAPLE является одним из лидеров среди подобных себе систем. Ядро MAPLE используется в ряде других математических систем, например, MATLAB и Mathcard, для реализации в них символьных вычислений [40, 41, 42, 43].

MAPLE - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

-мощный язык программирования -редактор для подготовки и редактирования программ -ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений

-численный и символьный процессор -систему диагностики

-библиотеки встроенных и дополнительных функций -пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Необходимо отметить, что последние реализации MAPLE являются одними из самых надежных систем компьютерной математики. Надежных прежде всего в смысле высокой достоверности получения правильных результатов при сложных символьных вычислениях. Это первая система компьютерной математики, успешно прошедшая тестирование на задачах повышенной сложности, предлагаемых для оценки качества подобных систем.

Целью исследования данной диссертации является построение с использованием символьно-численных методов математической модели гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в несжимаемом случае с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, а также использование полиномов наилучшего приближения в пространстве квадратично интегрируемых функций для математического моделирования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния Бете-Джонсона (BJ) и Рейда (R), уравнением состояния Оппенгеймер-Волкова (OV), уравнениями состояния в виде политроп с наиболее интересующими нас значениями их показателя п [22, 44].

Заключение

В диссертационной работе построена и исследована математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении в случае несжимаемого уравнения состояния ядерной материи этой конфигурации для различных значений параметра 7. Также построена и исследована математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с использованием уравнений состояния в виде политроп и реалистических уравнений состояния Бете-Джонсона, Оппенгеймер-Волкова, Рейда в ньютоновском приближении на основе аппроксимации аналитических функций, входящих в уравнение гидростатического равновесия, полиномом наилучшего приближения в Ь2.

Построенная математическая модель пульсаров позволяет исследовать их эволюцию и гравитационное излучение. Наибольший интерес представляет возможность изучения гравитационного излучения вбдизи точек бифуркации. Основной целью диссертационной работы было численное доказательство существования критических точек по параметрам е и £ решений уравнения гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации в случае р = const с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, а также без учета релятивистских поправок в случае реалистических уравнений состояния и политроп. В результате проведенных исследований были получены следующие результаты

1. Разработан и реализован комплекс программ в системе символьной математики MAPLE для аналитического представления постньютоновских гравитационных потенциалов в случае неоднородной и в частности однородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннюю точку в виде полинома координат для заданных значений степеней полиномов, аппроксимирующих распределение давления, плотности и функцию, представляющую возмущение эллипсоидальной поверхности конфигурации.

2. Разработан и реализован комплекс программ в системе MAPLE для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, методом разложения по степеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения давления относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

3. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении при различных значениях постньютоновского параметра 7, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения давления конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации.

4. Разработан и реализован комплекс программ в системе MAPLE для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, методом разложения по степеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения плотности относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

5. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении для реалистических уравнений состояния Бете-Джонсона и Рейда, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации.

6. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении для уравнений состояния, заданных в виде политроп, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации. Доказано существование и проведена оценка для политропных конфигураций в ньютоновском приближении критического значения такого, что при значениях показателя политропы меньше критического политропные конфигурации будут иметь точки бифуркации, а при значениях больше критического нет.

1. Пайнс Д. Пульсары, компактные рентгеновские источники: лаборатория для изучения нейтронных звезд и андронного вещества. УФН, 1980, т.131,с.479-487.

2. Смит Ф.Г. Пульсары. Мир, М., 1979

3. Ostriker J.P., Gunn J.E. On the nature of pulsar. I.Theory// Astrophus.J., 1969, v 57, p.1395-1417.

4. Малов В.Ф. Пульсары. Труды ФИАН (под ред. А.Д. Кузьмина), 1989, т.199,с.83.

5. Дайсон Ф., Тер Хаар Д. Нейтронные звезды и пульсары. М.: Мир, 1973.

6. Hewish A., Bell S.J., Pilkington J.D., Scott P.F., Collins R.A. -Nature,1968,у.217,р.709;УФН,1968,n.95,c.705.

7. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. I.The Maclaurin spheroids and the virial theorem// Astrophys.J., 1965, v.142, p.1513-1518.

8. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. II.The deformedfigures of the Maclaurin spheroids// Astrophys.J., 1966, v.147, p.334-352.

9. Glendenning N. Compact stars . Springer, N.Y., 1997.

10. Зельдович Я В., Новиков И Д. Строение и эволюция звезд.

11. Паули В. Теория относительности. М.: Наука Гл. ред. физ -мат. лит., 1991.

12. Гинзбург B.JI. О теории относительности. М.: Наука, 1979.

13. Backer D.C., Kulkarn S.R., Heiles С. et al.A millisecond pulsar // Nature, 1982 v. 300, p. 615-618.

14. Ray D.S., Thovsett S.E., Jenet F.A., et al. A survay for millisecond pulsars.//Astroph.J, 1996, v. 470, p 1103-1110.

15. J.H.Taylor, R.N.Manchester, and A G.Lyne. Catalog of 558 pulsars// The Astrophisical Journal Supplement Series,88:529-568, 1993 October.

16. Manchester R.N., Taylor J.H. Pulsars. San Francisco: Freeman, 1997.

17. Гинзбург B.JI. О некоторых успехах физики и астрономии за последние три года//УФН, 2002, т.172, с.213-219.

18. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

19. Ильин В.Т., Ильясов Ю.П., Иванов Ю.Д. и др. Способ создания и хранения временных интервалов: Авт. свидет. № 915062 // Бюлл. изобр., 1983, №5.

20. Пульсары. Труды ФИАН, 1989, т.199,с.83.

21. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Phusics of Pulsar Magnetosphere. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

22. С. Шапиро, С. Тюкольский. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. 4.1-2, М.: Мир, 1985.

23. Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд. Мир, М., 1982

24. Антонов В.А. Фигуры равновесия. В кн. Итоги науки и техники. Сер. Астрономия, т. 10, 1975.

25. R.A. James, The strukture and stability of ritating gas masses.

26. Зельдович Я.В., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: Изд-во Моск. ун-та 1981.

27. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Наука, т.1., М., 1965.

28. Вейнберг С. Гравитация и космология. Мир, М., 1975.

29. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. Физмат-гиз, М., 1961.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Наука, М., 1973.

31. Цветков В.П. Излучение гравитационных волн гравитиру-ющими системами в постньютоновском приближении// Аст-рон.журн.,1984, вып.4, т.61, с.673-676.

32. Цветков В.П., Цирулёв А.Н. Релятивистские поправки к гравитационному излучению быстровращающихся намагниченных нейтронных звезд// Астроном.ж., 1987, т.64, с.1117-1120.

33. Chandrasekhar S. The post-Newtonian equations of hydrodynamics in general relativity// Astrophys.J., 1965, v.142, p.1488-1512.

34. Голоскоков Д.П. "Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. С-Пб: Питер, 2004.

35. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

36. Тарасевич Ю. Информационные технологии в математике. М: СОЛОН-Пресс, 2003.

37. Тарасевич Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: Едиториал-УРСС, 2001.

38. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX.C-Пб: Питер. 2001.

39. Дьяконов В. Компьютерная математика. Теория и практика. Нолидж. 2000.

40. Дж. Макгрегор, Д. Сайке. Тестирование объектно-ориентированного программного обеспечения, Москва-Санкт-Петербург-Киев:, изд. Dia soft 2002.

41. Потемкин В.Г. MATLAB: Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

42. Heals К.М., Hansen L.M., Rickard К.М., Maple 6. Learning Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

43. Monogan M.B., Geddes K.O., HealK.M., Labahn G., Vorkotter S.M., Maple 6 Programming Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

44. Г. Репке, А. Григо, К. Сумевши, X. Шен. Уравнение состояния ядерной материи с учетом легких кластеров// Письма в ЭЧАЯДЪм 2, №5(128). ст.25-36.

45. Цветков В.П. Релятивистские эффекты в теории гравитирутощих быстровращающихся сверхплотных конфигураций// Письма в ЭЧАЯ в печати, препринт Р2-2006-132, 2006.

46. Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1982.

47. Беспалъко Е.В., Михеев СЛ., Пузынин И.В., Цветков В.П. Гравитирующая быстровращающаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния. Мат. моделирование, 2006, т. 118, №3, с. 103-119.

48. Каулигин Т. Магнитная гидродинамика. Атомиздат, М., 1978.

49. Седракян Д.М. Магнитное поле пульсаров// Астрофизика, 1982,т.18,с. 417-422.

50. Мкртчан Г.С., Седракян Д.М. Магнитное поле пульсара аналог поля намагниченного сверхпроводящего шара// Астрофизика, 1983, т.19, с.135-138.

51. Цирулев А.Н. Математические модели самогравитирующих конфигураций быстровращающихся нейтронных звезд и полей Янга-Миллса//Диссертация, Тверь 2002.

52. Цветков В.П. Влияние магнитного поля на фигуру равновесия и гравитационное излучение быстровращающейся капли однородной гравитирующей жидкости с учетом эффектов ОТО в постньютоновском приближении//Астрон. журн., 1983, т. 60, с. 114-121.

53. Паркер Е. Космические магнитные поля. В 2-х томах. Мир, т1, М., 1982.

54. Цветков В.П., Масюков В.В. Нелинейная модель малых асимметричных возмущений равновесного распределения плотности быстровращающихся намагниченных политроп// Мат. моделирование, 1995, т.7, №9,с. 55-64.

55. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Конфигурации быстровращающейся гравитирующей намагниченной капли однородной жидкости с учетом нелинейных эффектов// Астрон.ж., 1988, т.65, с. 501-506.

56. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гра-витирующих систем. Наука, М., 1976.

57. Уиттекер Э.Р., Ватсон Дж. H. Курс современного анализа. Т.1. М.:Физматгиз, 1962.

58. Цветков В.П. Масюков В. В. Метод рядов Бурмана-Лагранжа в задаче об аналитическом представлении ньютоновского потенциала возмущенных эллипсоидальных конфигураций.// ДАН СССР, 1990, Т. 313, №5, с. 1099-1102.

59. Masjukov V.V., Tsvetkov V.P. Nonlinear Effects in Theory of Equilibrium Gravitating, Rapidly Rotating, Magnetized Barotropic Configurations and the Gravitational Radiation from Pulsars. Astron. and Astrophys. Transactions, 1993, v.4, p. 41-42.

60. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков B.H. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа,2003.

61. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000.

62. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. X. Сендов. Математический анализ. М.: Наука, 1979.

63. Сретинский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.: Госте-хиздат, 1946, с.316 .

64. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976.

65. Антонов В.А., Тимошкина В.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988.

66. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Расчет кулоновского (ньютоновского) потенциала на внутреннюю точку возмущенных эллипсоидальных конфигураций с учетом высших приближений// Теория квантовых систем с сильным взаимодействием, КГУ, Калинин, 1986, с.83-87.

67. Цирулев А.Н., Цветков В.П. Вращающиеся постньютоновские конфигурации однородной намагниченной жидкости, близкие к эллипсоидам. 1,11. Астроном, ж., 1982. Т.59, с. 476-482, 666675.

68. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971.

69. Гончаров B.JI. Теория функций комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955.

70. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Метод теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987, с.688.

71. Градштейн, И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962.

72. Беспалько Е.В. Символьные и численные методы в математическом моделировании гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния//Диссертация, Тверь 2005.

73. Ермаков В.В., Калиткин Е.Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981, Т.21, №2, с. 419-497.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976, с. 496-513.

75. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

76. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993

77. Винокуров В.А. Интегральные оценки погрешности IV//ЖВМ и МФ,1976,16,№3.

78. Воеводин В.В. О методе регуляризации. -ЖВМ и МФ, 1969,2, №3.

79. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. ЖВМ и МФ,1966,6,№1.

80. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Изв. вузов. Математика, 1958, т. 5(6), с. 18-31.

81. Жидков Е.П. Пузынин И.В. Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Ж. вы-числ. матем. физ.,1967, т. 7, № 5, с. 1086-1095.

82. Гареев Ф.А. и др. Численное решение задач на собственные значения для интегро-дифференциальных уравнений в теории ядра. Ж. вычисл. матем. физ., 1977, т. 17, № 2, с.407-419.

83. Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П Вычисление уровней энергии мезомолекул с помощью непрерывного аналога метода Ньютона//Препринт ОИЯИ Р4-6256Д972.

84. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики//ЭЧАЯ, 1973,т.4,в.1, с. 123-158.

85. Boyadjiev T.L., Zhanlav Т. and Puzynin I.V. Numerical investigation of an eigenvalue problem in the theory of soliton stability//Comm. JINR, P 5-89-423.

86. Gold. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред.Дж.Холл, Дж.Уатт. "МИР", М., 1979.

87. Дымарский А.С. и др. Справочник программиста, т.1, Судпром ГИЗ, Л., 1963.

88. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

89. Винокуров В.А. Два замечания о выборе параметра регуляризации.

90. Александров JL Регуляризованные вычислительные процессы Ньютона Канторовича. Ж. вычисл. матем. физ.,1971, т. 11, №1, с. 36-43.

91. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Наука, т.5, М., 1965.

92. Г.С. Саакян. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. М., Наука. 1972.

93. Крат В.А. Фигуры равновесия небесных тел. Изд. АН СССР, М.-Л., 1950.

94. Лихтенштейн Л. Фигура равновесия вращающейся жидкости. Наука, М., 1965.

95. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. М : Физико-математическая литература, 2003.

96. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

97. Tsvetkov V.P., Bespalko E.V. The analytical Representation of solutions of the integral equation for the spinor amplitude in the curved space-time with help the computer system Maple. V International congress on mathematical modelling, Dubna, 2002.