автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики гравитационного и дилатонного полей

На правах рукописи УДК 519 6, 517 9, 531 51

Воронцова Елена Геннадьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГРАВИТАЦИОННОГО И ДИЛАТОННОГО ПОЛЕЙ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2007

003069289

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-матсматическ"-. наук, профессор

ГС Шаров

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор доктор технических наук

В П Цветков И М Гостев

Ведущая организация - Лаборатория информационных технологий Объединенного института ядерных исследований

Защита состоится 25 мая 2007 г в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 212 263 04 в Тверском государственном университете по адресу 170000, Тверь, ул Желябова, 33

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу 170000, Тверь, ул Володарского, 44 а

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 23 04 2007 г на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу http //university tversu ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан nSt_" asifzjL.g. 2007 г

Ученый секретарь совета

доктор технических наук, профессор

В Н Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Дилатонная гравитационная модель возникла около 20 лет назад как следствие теории струн и отличается от общей теории относительности (ОТО) А Эйнштейна наличием дополнительного скалярного поля — поля дилатонов Появление данной модели обусловлено тем, что хотя ОТО подтверждена экспериментально, однако экспериментальным ограничениям удовлетворяет также и ряд гравитационных моделей, обобщающих теорию Эйнштейна К их появлению привели многочисленные не решенные окончательно вопросы и трудности экспериментальной проверки теории К таковым относятся проблемы, связанные с предсказанными в ОТО черными дырами, а также космологические проблемы плоскостности, однородности Вселенной, начальной сингулярности, параметров динамики Вселенной и другие

В связи с изложенным, возникает актуальная проблема математического моделирования динамики связанной системы дилатонно-го и гравитационного полей, которому посвящена данная диссертационная работа Она включает следующие задачи описание тяготения центрально-симметричного массивного тела, оценка параметров гравитационного поля и отличия от их аналогов в решении Шварц-шильда, анализ возможных наблюдательных проявлений, позволяющих экспериментально отличить предсказания дилатонной модели от предсказаний ОТО, включение материи в действие дилатонной гравитации, описание эволюции однородной и изотропной Вселенной, классификация полученных решений фридмановского типа и определение космологических параметров

Эволюция дилатонного и гравитационного полей, а также полей материи описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, полученных при варьировании действия дилатонной модели Так как аналитическое решение данной системы встречает большие трудности и возможно в частных случаях, то в общей постановке задачи требуется привлечение более широкого набора методов математического моделирования, включая численные методы

Цель работы

Целью данной работы является разработка математической модели, позволяющей выполнить исследование параметров динамики дилатонного и гравитационного полей и установить их зависимости от

начальных условий Целью работы также является описание на основе дилатонной модели тяготения центрально-симметричного массивного тела и эволюции однородной и изотропной Вселенной, сравнение результатов исследования с последними данными наблюдательной астрономии и предсказаниями ОТО

Методы исследования

В работе применяются численные и аналитические методы вывода, преобразования и решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику дилатонного и гравитационного полей, оценок асимптотических свойств их решений и соответствующих физических проявлений

Основные результаты работы

1 Разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей с включением материи Исследование на модели осуществляется в различных режимах с выдачей результатов по всем параметрам динамики в графической и цифровой формах, что обеспечивает проведение полного анализа динамики полей непосредственно в процессе вычислительного эксперимента

2 С помощью моделирования центрально-симметричных решений уравнений дилатонной модели (решений шварцшильдовского типа) исследовано поле тяготения массивного тела и установлено, что в отличие от ОТО в дилатонной гравитации исчезает горизонт черной дыры при наличии дилатонного поля

3 Получены прогнозные оценки измеримых параметров для таких явлений как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца, найдены ограничения на допустимые параметры дилатонной модели, полученные на основе экспериментальных данных

4 Определены с помощью численных экспериментов параметры (масштабный фактор, параметр замедления и др ), характеризующие динамику расширения однородной и изотропной Вселенной, в том числе с пылевидной материей

5 Получены космологические решения с нетривиальными параметрами динамики решения описывающие расширение Вселенной с ускорением, а также решения без начальной сингулярности в виде сверхплотного сжатия

Научная новизна и теоретическая значимость

Разработанная математическая модель является вкладом в теорию и методы математического моделирования таких процессов, как динамика дилатонного и гравитационного полей, описывающих тяготение центрально-симметричного массивного тела и эволюцию Вселенной как целого Она позволила впервые получить центрально-симметричные решения в пустоте, не имеющие горизонта черной дыры при наличии дилатонного поля Для этих решений впервые в рамках дилатонной модели исследованы такие наблюдательные проявления, как смещение перигелия и гравитационное отклонение луча света с оценкой экспериментальных ограничений на допустимые параметры модели Найдены новые космологические решения и их классификация в дилатонной модели, включающей пылевидную материю Получен более широкий чем в ОТО спектр космологических решений с нетривиальными особенностями

Практическая значимость

Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель построена как практический инструмент по оцениванию и исследованию параметров динамики дилатонного и гравитационного полей

Установленные моделированием ограничения и условия на допустимые параметры динамики могут составить основу при выполнении астрофизических исследований с применением компьютерных технологий

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на использовании апробированных численных и аналитических методов исследования, на применении физически обоснованных исходных данных, на сравнении результатов с экспериментальными данными и сравнении результатов численных расчетов с известными в частных случаях точными решениями Полученные в дилатонной модели решения являются обобщениями известных в ОТО решений и переходят в них в пределе, когда дилатонное поле исчезает

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях "Математические модели сложных систем"(г Тверь, 1999 г), "Ма-

тематическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем"(г Тверь, 1999 г), XV международной конференции QFTHEP 2000 (г Тверь, 2000 г), V конференции молодых ученых и специалистов (г Дубна, 2001 г), XVIII международной конференции QFTHEP 2004 (г Санкт-Петербург, 2004 г)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 12 работ, среди них 2 — в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России Список работ приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения Полный объем диссертации — 88 страниц машинописного текста, включая 10 рисунков, 1 таблицу и список литературы, содержащий 108 наименований

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования, приводится обзор научных работ по дилатонной гравитации

В первой главе работы выведена система уравнений дилатонной модели с помощью варьирования действия

S = Sgü^ix), Ф(х) 1 + Sm[g^(x),ipa{x)] (1)

по компонентам метрики д^„{х) и по полю дилатонов ф{х) — скалярному полю, введение которого приводит к обобщению ОТО Второе слагаемое в (1) описывает поля материи фа{х)

Гравитационная часть действия имеет вид

Sg =-k J y/¡g\e-W [Л + 4(V<¿)2 + Л] (Г+1Х (2)

Здесь х°, х1, , хп — координаты на псевдоримановом многообразии jMi,„ размерности D = п + 1 (п пространственных координат и одна временная) с метрикой ds2 = g^dx^ dxv, /х, v = 0,1, , n, g = det||<^y|| — определитель метрики, R — скалярная кривизна

Множитель к в действии (2) имеет вид к = 1/(2с7) Константа 7 (при п — 3) связана с ньютоновской гравитационной постоянной G

соотношением 7 = 8ttG/c4 Л — константа, являющаяся аналогом космологической постоянной в общей теории относительности (ОТО) Действие (2) переходит в действие ОТО, если положить ф(х) = const Второе слагаемое в (1) имеет вид

Sm = lf ea*Lm^Mdn+1x, (3)

где Lm — лагранжиан материи, с — скорость света, а — константа

Уравнения, описывающие эволюцию (движение) гравитационного и дилатонного полей в данной модели, выводятся из принципа наименьшего действия с помощью варьирования действия (1) по гравитационному полю д^ и по полю дилатонов ф

Система уравнений, определяющая эволюцию полей <7М„ и ф(х) в дилатонной гравитации, выглядит следующим образом

- \{R + А) д^ + 2ф^ - д^ [2ф* - 2(V^)2] = -уе^+^Т^, R + A + А{ф-\ - (Уф)2) = -aje(a+2^Lm

(4)

Проведенный анализ системы уравнений (4) показывает, что она не равносильна системе ОТО, так как содержит уравнение, отсутствующее в ОТО из-за отсутствия переменной ф(х) Указаны условия, при которых система (4) переходит в уравнения Эйнштейна при ф{х) = const

Вторая глава посвящена исследованию на основе дилатонной модели поля тяготения симметричного массивного тела Для этого ищем центрально-симметричные решения уравнений (4) дилатонной модели с действием (2) (решения шварцшильдовского типа), подставляя метрику центрально-симметричного многообразия A4iin

ds2 = e2a«cft2 - eWdr2 - rW, dn2 = dOi + cos20\d0 2 + + cos261 соь20п^9пЛ

2 (5)

в систему уравнений (4) при = 0, Ьт = 0 (в пустоте) После вычисления тензора Я^, Я и преобразований уравнения (4) для метрики (5) сводятся к нелинейной системе обыкновенных дифференци-

альных уравнений

а" + а'2 - а'/З' + (п - 1 )а'/г = 2а'ф',

а" + а'2 - а'(3' - (п - 1 )0'/г = 2</>" - 2(3'ф',

¡3'- а'+ (п- 2)(е2? — 1)/г + 2ф' = 0, ^

а" + а'2 - а'/З' + ^ [(а' - /?')г + ^(1 - е2")] = 2<^'2

Решения шварцшильдовского типа рассматриваются отдельно для различных размерностей (п = 1, п — 2, п > 3) Для случая п > 3 (при Л = 0) решения получены в параметрическом виде

е2а = е2а°

<т_

1 /К I I IА-

, г = Г0—

MV(n-2) > (?)

Здесь параметр <т = га', используются следующие обозначения

^-(п-1) 40(1-д)' Л±- 2К(п — 2)

Полученное семейство решений (7) содержит два параметра параметр г о, являющийся аналогом гравитационного радиуса и параметр <2, характеризующий интенсивность дилатонного поля В случае обращения последнего параметра в нуль найденное решение переходит в известное решение Шварцшильда

ds~

= (l - 7) dt2 - (l - 7) 1 dr2 - r2(d9i + cos2 M022), (8)

которое описывает черную дыру (область пространства-времени, в которой гравитационное поле настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть эту область) с гравитационным радиусом гд

Замечательным свойством найденных решений шварцшильдовского типа (7) в дилатонной гравитационной модели, является то, что решения, описывающие черную дыру, существуют только при Q = 0, ф = const Это означает, что присутствие в этих решениях нетривиального дилатонного поля ф ф const приводит к исчезновению горизонта черной дыры

Рис 1 Зависимость е2а и е2^ от г для решений (7)

Для решений (7) зависимость метрических коэффициентов е2а и е2/з от радиальной координаты г при п = 3 и различных значениях параметра Q исследована численными методами и показана на рис 1 Для значений Q > 0 физически допустимым решениям соответствует интервал <т £ (0, а+) и интервал значений координаты г от 0 до оо Величины е2а и е2/3, определяемые выражениями (7), ограничены и обращаются в нуль лишь в центре г — 0 При Q —> +0 функция /?(г) имеет максимум в виде острого пика в окрестности г = Го, но горизонт черной дыры возникает лишь при Q = 0 (рис 1)

В случае Q < 0 для физических решений интервалу значений 0 < сг < оо соответствуют значения г G (го, оо) При этом в пределе г —> г0 4- 0 величина е2а стремится к константе |dT+/<T_|1/if, а е2/3

ОД const

стремится к бесконечности с асимптотикои е р ~-

г -г0

Эту слабую особенность метрики нельзя трактовать как горизонт черной дыры ввиду конечности времени (радиального) падения в точку г = г о с точки зрения внешнего наблюдателя

Геометрический и физический смысл описанных выше решений исследуется с помощью геодезических линий с уравнениями

сРх» _ dxxdxv „ ds2 ds ds

Эти линии являются траекториями движения материальных точек в данном гравитационном поле (рассматриваются времениподобные и светоподобные геодезические)

Решения шварцшильдовского типа позволяют сделать анализ некоторых наблюдательных проявлений дилатонной гравитационной модели, в частности, смещение перигелия и отклонение светового луча вблизи массивного тела и сравнить их с соответствующими результатами ОТО и экспериментальными данными

Для анализа наблюдательных проявлений данной дилатонной модели в решениях шварцшильдовского типа рассматривается более подробно предел г —> оо, отвечающий слабому гравитационному полю В частности, в данном пределе метрические коэффициенты решений (7) имеют асимптотику

е~2а ~ 1 +р+ (1 - С})р2 + (1 - <Э)(1 - ЩО)ръ,

е-2* ~ 1 _ (1 _ 2<Э) р + §(1 - С?)р2 + 2(1-д)(1-2(¿)р\ Р ~ г ^

Здесь размерность п = 3, параметр гд — 2га\о+\А+ |<т_|л~ играет роль гравитационного радиуса в дилатонном решении (7)

Проведенный анализ показывает, что в дилатонной гравитационной модели важнейший наблюдательный параметр теории — сдвиг перигелия Ав в ведущем порядке по малым параметрам определяется выражением

тг(3 - 40) тг(3 - 4д) гд С| а(1-е*)

Здесь С в — угловой момент единицы массы пробной частицы, а небольшая полуось и эксцентриситет орбиты (эллипса) Выражение (9) отличается множителем 1 — от аналогичного выражения в ОТО Используя теоретическое и экспериментальные значения угла смещения перигелия Меркурия можно получить следующие ограничения для параметра С) —0 001 <<3<0 001

Указанные значения согласуются с ограничениями, полученными из экспериментальных данных по отклонению светового луча при прохождении его вблизи солнечного диска Анализ показывает, что в дилатонной гравитации указанное отклонение имеет вид

эд

АО — "Т ~~ — 2\ ^ (9)

Ад ~ (2 - 2<2)5 +

7Г(~Й+ 4 - + (8 ~ 12д)

где 5 — отношение гд к прицельному параметру Это выражение в линейном по 5 приближении отличается от своего аналога в ОТО множителем 1 — Данные последних наблюдений с помощью радиоинтерферометров с большой базой приводят к следующим ограничениям для параметра <3 —0 0002 < <3 < 0 0002

Сравнение двух приведенных здесь оценок позволяет сделать вывод, что данные по эффекту отклонения светового луча налагают более жесткие ограничения на возможные значения параметра С}, чем данные по смещению перигелия Меркурия

В третьей главе дилатонная модель с космологической константой Л и пылевидной материей приложена к описанию эволюции Вселенной как целого С помощью численных и аналитических методов найдены и исследованы космологические решения для однородной и изотропной Вселенной Рассмотрены три модели с М\,п = йх где Б? — п-мерная сфера (замкнутая модель), — псевдосфера (открытая модель), £>о = Д™ — плоское пространство (плоская модель) Многообразие характеризуется масштабным фактором а(£), в случае к = 1 фактор а — радиус сферы Метрика на многообразии = # х задана в виде

с/«2 = Л2-а2(^)[(^1)2+с|(х1)(^2)2+ +с\( х1) ■■ с1(хп~1)(<1хп)2},

Для решения поставленной задачи в §§31-34 рассматривается дилатонная гравитационная модель с действием (2) (без описывающего материю слагаемого 5т), а затем, в §3 5 исследуются космологические решения с пылевидной материей Последнее означает, что компоненты тензора энергии-импульса материи имеют вид

Параграф 3 6 посвящен возможным наблюдательным проявлениям рассматриваемой модели, в частности, анализу космологических параметров, соответствующих найденным решениям с физическим значением размерности п — 3

Подстановка метрики (10) в уравнения дилатонной гравитации (4) приводит к системе уравнений

(10)

СОБХ, к = 1, 1, к = 0, совЬя, к = — 1

-п- + 2ф = 7—е2^,

а * V

—а — (п — 1)а + + 2аф = О, (11)

а

п{п _ + 4^2 _ 4п— = Л + 2-у—е2^

аг а ап

Последнее уравнение играет роль уравнения связи в системе (11)

Для случая плоской вселенной (А = 0) решение уравнений (11) получено аналитически и имеет вид

a(t) = а0

th(v^VT/2)

±1Д/п

Л> о,

Щ\/Лт/2)+2у/пЛ/1Д1

цявыГ* л = °> <12>

±1/у/п

tg(y^Ar/2)

Л < О

.tg(,/=S r/2)+2Vc:nS/IA|.

Здесь Д = 27е0С — константа, г = ±(f — t0) = \t — i0| Соответствующая зависимость для дилатонного поля следует из выражения е2ф = Саап~1 Данные решения переходят в решения для случая = 0 в пределе Д —> 0

Эволюцию во времени масштабного фактора а = а (г) для решений (12) при различных значениях А иллюстрирует рис 2 Здесь и ниже размерность п = 3, сплошные линии соответствуют решениям с пылевидной материей при значении )Д) = 1, пунктирные линии — решениям без материи (Д = 0)

На рис 2а представлены решения, которые подобно решениям Фридмана в ОТО имеют начальную сингулярность (обращение масштабного фактора в ноль) с асимптотическим поведением

а ~ const т1/^, е2ф ~ const r_1+v/?\ г +0 (13)

При этом показатель степени 1 ¡у/п — 1/л/Ъ немного отличается от своего аналога 2/3 для решений Фридмана с пылевидной материей Решения с особенностью (13), называемой ниже сингулярностью типа "0", имеют место при всех значениях к, А и е0

Однако в отличие от ОТО в дилатонной гравитационной модели при всех значениях к, А и £q имеются космологические решения, подобные показанным на рис 2Ь и рис 2а при Л < 0 Начало или

а

Ь

2

1 5

05

0

0

О

2 3 4 5 6

1

0

2 3 4 5 6

т

Рис 2 Эволюция масштабного фактора для решений (12) при к = 0, п = 3 с |Д| = 1 (сплошные линии) и /2 = 0 (пунктирные линии)

конец эволюции для них означает обращение а и ф в бесконечность за конечное время т с асимптотикой

Такую особенность мы будем называть сингулярностью типа "оо"

В случае пространств с кривизной к = ±1 при Л = 0, ТД1/ = 0 получены решения системы (11) в параметрической форме

Здесь р = ф/ф'2, рг = Р2 = Са,ф0 — константы Время t

связано с параметром р дифференциальным уравнением, численное интегрирование которого позволяет исследовать эти решения

В случаях пространств с к = ±1 и Л ф 0, = 0 и к — ±1, ф 0 при любых значениях Л мы используем численное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (11), так как явные аналитические решения имеются лишь в отдельных случаях В частности, в присутствии пылевидной материи ф 0) урав-

а ~ const r~1/v/", е2ф ~ const т ->• + 0 (14)

а = Са\p-pi\ \р-р2\ ^J^+v

у/п, P-Pi

нения (11) после замены е2ф = аап были сведены к системе

аъ аъ аа /-^сл

с1ии т2 -к(п- 1) П) /—г-—-——. „ -Г

— =---- ± — ^/пи>2 — кп(п — 1) 4- Аа1 4- цюатр

т а а

Здесь ¡1 = 27^0 — константа, характеризующая плотность материи

Для решения данной системы уравнений применялись различные схемы численного интегрирования, в частности, схемы с правой и центральной разностной производной При сопоставлении с приведенными выше точными решениями (при к = 0 или Л = 0) были исследованы погрешность этих методов в зависимости от шага сетки На основании этого был сделан выбор в пользу схемы с правой разностной производной, показавшей устойчивость и стабилизацию результатов численных расчетов при уменьшении шага интегрирования /г (в примерах ниже Н = 0 001)

Существенно усложняет решение нелинейной системы уравнений (15) наличие запрещенной области п-ш2 — кп(п — 1) + Аа2 + цыаф < 0 трехмерного фазового пространства атф в которой подкоренное выражение отрицательно Численные расчеты показывают, что в точках касания интегральных кривых системы (15) данной запрещенной области меняется знак перед корнем в (15)

Численные расчеты выполнены в пакете МАТЬАВ Их результаты, в частности, эволюция масштабного фактора а(Ь) при к = 1 и к = — 1 представлены соответственно на рисунках 3 и 4

Рис 3 иллюстрирует зависимость а = а(£) при к = 1 и различных значениях параметров Л и /х для решений с начальной особенностью типа "0" (13) с а ~ Ат1^ при т 0 и А = 1 для всех интегральных кривых (существуют не показанные здесь решения с начальной сингулярностью типа "оо") Как видим, при возрастании как значения Л (рис За), так и значения (1 — 2^£о (рис ЗЬ) темп расширения вселенной замедляется Подобный эффект наблюдается и при к — 0 (рис 2а), но при к = 1 существуют (зависящие от А) критические значения Асг ~17и^сг~41 При Л > Лст или /х > расширение сменяется сжатием с финальной сингулярностью типа "0"

Характерный вид интегральных кривых а = а(Ь) при к = —1, п = 3 (открытая модель) представлен на рис 4 для начальной сингулярности а ~ Ат1!^ типа "0" (а) и начальной сингулярности а ~ Лг-1^ типа "оо" (Ь) Всюду положено А — 1

а а

Рис 3 Эволюция масштабного фактора а(¿) при к — 1 а) в зависимости от Л при /л — О Ь) в зависимости от ц при Л = О

Рис 4 Эволюция а(<) при к = —1, тг = 3, и различных значениях /л и Л

При к = — 1 решения слабо зависят от значения параметра /х (плотности пылевидной материи) три линии с/х = 0, /х = 5и/х = 20 при Л = 0 весьма близки на рис 4а и практически совпадают на рис 4Ь В то же время зависимость от Л существенна все решения

при Л < 0 имеют конечное время жизни, при Л = 0 — асимптотику а ~ т, а при Л > 0 — асимптотику а ~ у/т (т оо)

В § 3 4 для случая = 0 была проведена исчерпывающая классификация найденных космологических решений для различных значений к = 0, ±1 (пространственной кривизны) и Л

Таблица 1 Типы космологических решений при Т/м/ = О

Л < 0 Л = 0 Л > 0

к = 1 0 —^ оо 0 -> оо 0 -»• оо 0 —> а ~ аоч/т 0 -V 0

А; — 0 0 оо оо —а ~ аот~1!^п а = ао, ф = 0о 0 а ~ а0т оо —а — ао а = ао, ф — 5у/Кт 0 —> а ~ ао

к = -1 оо —> оо а ~ т —ь оо 0 -> оо оо —>■ а ~ г а = г, ф = фо 0 -¥ а ~ т оо —» а ~ аоу/т а ~ г —> а ~ ас^/г 0 —► а ~ ао-у/г

Символы "О" и "оо" описывают соответственно особенности типа "О" (13) и "оо" (14) в начале или конце эволюции В случае — О решений системы (11) симметричны относительно замены Ь —— Ь

Для сопоставления полученных в рамках дилатонной модели решений с космологическими решениями ОТО и имеющимися на сегодняшний момент наблюдательными данными в § 3 б проведен анализ следующих космологических параметров Н(1) = а(£)/а(£) — параметра Хаббла, д(1) = — а(£) а(1)/а2(1) — параметра замедления и П(£) = \ipi~t)/Н2(£) — параметра плотности материи

В ОТО значения данных параметров позволяют установить, какая из трех моделей Фридмана (открытая, замкнутая или плоская) реализуется Однако, в дилатонной гравитации существует более широкий чем в ОТО спектр космологических решений (см рис 2-4, табл 1), и выбор типа модели (значения к) не определяется однозначно даже при известных д, Н, П и Л, а зависит от выбора ветви решения и величины е2^ (интенсивности дилатонного поля) В дилатонной гравитационной модели возможны решения с отрицательными значениями параметра замедления q при любых А Это согласуется с появившимися в последнее время свидетельствами об отрицательном значении q (это означает, что расширение Вселенной происходит с ускорением), полученными из анализа наблюдений за сверхновыми с большими красными смещениями

В Приложении приведен текст программы для численного решения системы уравнений космологической эволюции в дилатонной модели, выполненной с помощью пакета МАТЬАВ

Выводы:

1 Разработана дилатонная гравитационная модель, применимая для описания центрально-симметричного поля тяготения массивного тела Соответствующие решения шварцшильдовского типа (центрально-симметричные решения в пустоте) обобщают известное в ОТО решение Шварцшильда, обладают рядом его свойств, однако, в отличие от решения Шварцшильда, найденные решения не имеют горизонта черной дыры при наличии дилатонного поля

2 Для решений шварцшильдовского типа исследованы такие наблюдательные проявления, как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца Получены оценки для наблюдательных проявлений модели и соответствующие экспериментальные ограничения на параметр <5, связанный с интенсивностью дилатонного поля

3 В рамках дилатонной модели, включающей пылевидную материю, найден полный набор космологических решений, описывающих эволюцию однородной и изотропной Вселенной На основании их анализа можно сделать вывод о существовании в дилатонной гравитации более широкого чем в ОТО спектра решений Найденные космологические решения обладают нетривиальными особенностями, такими, как отсутствие начальной сингулярности в виде сверхплотного сжатия, но с начальным состоянием (14), а также расширение Вселенной с ускорением при различных значениях А

Перечисленные результаты обеспечивают выполнение исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей и описание на основе дилатонной модели тяготения центрально-симметричного массивного тела и эволюции однородной и изотропной Вселенной

Основные публикации по теме диссертации

|1] Воронцова Е Г , Лосенкова Р А , Шаров ГС О конической особенности аксиалъпосимметричных решений уравнений Эйнштейна/ / Применение функционального анализа в теории приближений Сб науч тр Тверь, 1998, с 194-202

[2] Воронцова Е Г , Шаров Г С Классификация космологических решений фридмановского типа в дилатонной гравитации// Труды I конф -семинара молодых ученых "Математические модели сложных систем" Тверь, 2000 Выи 3, с 131-137

[3] Воронцова Е Г , Шаров Г С, Многомерные космологические решения фридмановского типа в дилатонной гравитации// Теор мат физика 2000 Т 123, №1, с 163-176, hep-th/9904127

[4] Воронцова Е Г Исследование решений шварцшилъдовского типа в дилатонной гравитации с помощью пробных частиц// Труды конференции "Математическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем" Тверь, 2000, с 127-133

[5] Воронцова Е Г, Шаров Г С Решения шварцшилъдовского типа в 2+1-мерной дилатонной гравитации// Применение функционального анализа в теории приближений Сб науч тр Тверь, 2001, с 28-31

[6] G Sharov, Е Vorontsova Black hole vanishing m superstring-mspired dilaton gravitational model// Proceedings of the XVth International Workshop "QFTHEP2000" M , 2000, p 394-398, hep-th/0101004

[7] Воронцова E Г Некоторые классы решений в дилатонной гравитации// Труды V научной конференции молодых ученых и специалистов Дубна, 2001, с 132-134

[8] Воронцова ЕГО ньютоновском пределе в дилатонной гравитации// Применение функционального анализа в теории приближений Сб науч тр Тверь, 2002, с 122-124

[9] G Sharov, E Vorontsova Quasielliptic orbits in dilaton gravity in Newtonian limit// Proceedings of the XVIIIth International Workshop "QFTHEP2004" M , 2005, p 262-265

[10] Воронцова E Г , Шаров Г С Решения шварцшилъдовского типа в дилатонной гравитации// Теор мат физика 2005 Т 145, №1, с 134-144

[11] Воронцова Е Г , Шаров Г С Квазиэллиптические орбиты в дилатонной гравитации// Вестник ТвГУ, Сер Прикладная математика 2005 Вып 2, с 74-78

[12] Воронцова Е Г, Шаров Г С Отклонение светового луча массивным телом в дилатонной гравитации/ / Вестник ТвГУ, Сер Прикладная математика 2006 Вып 4 [21], с 114-119

Технический редактор Н М Петрив Подписано в печать 13 04 2007 Формат 60 х 84 '/,6 Услпечл 1,25 Тираж 100 экз Заказ № 179 Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес Россия, 170000, г Тверь, ул Желябова, 33 Тел РИУ (4822) 35-60-63

Введение 1

Глава Дилатонная гравитационная модель 13

§1.1. Основные понятия 13

§ 1.2. Вывод уравнений эволюции

Глава Поле тяготения центрально-симметричного массивного тела 21

§ 2.1. Введение 21

§ 2.2. Решения при п = 23

§2.3. Решения шварцшильдовского типа при п = 24

§2.4. Решения шварцшильдовского типа при п > 3, Л = 26

§2.5. Ньютоновский предел и квазиэллиптические орбиты 32

§ 2.6. Отклонение светового луча вблизи солнечного диска

Глава Эволюция однородной и изотропной

Вселенной в дилатонной модели 43

§3.1. Введение 43

§3.2. Плоская модель: к = 46

§3.3. Пространства с кривизной к = ± 1, Л = 49

§ 3.4. Пространства с кривизной к = ±1, Л ф 54

§ 3.5. Решения с пылевидной материей (Т^ ф 0) 60

§ 3.6. Анализ космологических параметров 69

В настоящем диссертационном исследовании рассматривается дила-тонная гравитационная модель, которая возникла около 15 лет назад на стыке общей теории относительности и теориин — молодого перспективного направления в теоретической физике и математике, имеющего целью описание всех физических взаимодействий.

В основе появившейся в начале XX века общей теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна [1] - [3] лежал революционный для того времени принцип, устанавливавший на количественном уровне связь между геометрическими свойствами пространства-времени и таким физическим явлением, как тяготение. А именно, явление тяготения массивных тел и связанное с ним гравитационное поле были в данной теории поставлены в зависимость от степени искривленности пространства-времени (пространственно-временного многообразия).

ОТО остается до сих пор наиболее совершенной теорией гравитационных явлений, обобщающей теорию тяготения И. Ньютона на случай сильных полей и высоких скоростей гравитирующих тел. Возможности экспериментальной проверки ОТО на данный момент включают наблюдение особенностей движения планеты Меркурий, находящейся в наиболее сильном в масштабах Солнечной системы гравитационном поле, а также наблюдение эффектов в сильных гравитационных полях вне Солнечной системы: в активных ядрах галактик, в звездных скоплениях, пульсарах, черных дырах. Многочисленные эксперименты в данном направлении подтвердили справедливость предсказаний ОТО, в частности, предсказанные данной теорией гравитационное смещение частоты излучения, смещение перигелия Меркурия и периастрия пульсаров в двойных системах, угловое отклонение положения звезд вблизи диска Солнца хорошо ложатся в рамки погрешностей наблюдений [4] И

Общая теория относительности предсказывает существование таких удивительных образований как черные дыры [8] — массивные объекты, чрезвычайно сильное гравитационное поле которых не позволяет покинуть их поверхность никакому физическому телу, в том числе и фотону.

Одно из самых впечатляющих достижений ОТО было связано с космологией — наукой о происхождении и эволюции нашей Вселенной как целого. А именно, в начале 1920-х годов А. А. Фридманом [9] были получены точные решения уравнений ОТО в рамках предположений об однородности и изотропности Вселенной в больших масштабах. Эти решения имели нестационарный характер, то есть описывали расширение или сжатие Вселенной. Через несколько лет Э. Хаббл на основе анализа наблюдений доказал, что Вселенная расширяется в соответствии с предсказаниями Фридмана. Однако этот замечательный результат породил массу вопросов и проблем, в частности касающихся начала расширения Вселенной — Большого Взрыва. Неизбежна ли сингулярность (сверхплотное сжатие вещества) в начале Большого Взрыва? Что лежит на оси времени до Большого Взрыва? Почему средняя плотность материи в Метагалактике (видимой части Вселенной) близка к критической, а Вселенная — близка к плоской и однородной в больших масштабах?

Многочисленные не решенные окончательно вопросы, а также трудности экспериментальной проверки теории привели к появлению большого числа гравитационных моделей, обобщающих ОТО Эйнштейна или предлагающих альтернативные подходы к описанию тяготения. В эйнштейновской теории гравитационное поле имеет тензорный характер, и в его роли выступает метрический тензор четырехмерного пространственно-временного многообразия М. 1,з с координатами ц = 0,1,2,3, с метрикой ds2 = g^(x)dx^dxu (1) и со связностью, согласованной с метрикой. В альтернативных теориях предлагались различные обобщения данного подхода: связность более общего вида, в частности, с ненулевым тензором кручения [1]; введение дополнительного скалярного поля (скалярно-тензорные теории гравитации) [10]-[12]; введение дополнительной метрики (биметриче-ские теории); теории с дополнительными измерениями, развивающие идеи Т. Калуцы и О. Клейна [13], [14] и др. Многие из этих теорий оказались несостоятельными, но тем не менее ряд из них при соответствующем выборе параметров удовлетворяет набору требований, налагаемых экспериментом на теорию гравитации [4]. Поэтому необходимы дальнейшие исследования гравитационных моделей, обобщающих ОТО или выступающих как альтернативные.

Основной мотивировкой для создания таких моделей было естественное стремление создать теорию, объединяющую все физические взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Как известно А. Эйнштейн до конца жизни безуспешно пытался решить проблему объединения гравитации и электромагнетизма [15].

Первые успехи на этом пути были достигнуты в 60-х годах — У. Глэ-шоу, С. Вайнбергом и А. Саламом была предложена единая теория электромагнитных и слабых взаимодействий [16]-[18]. В ходе дальнейшего продвижения по пути включения в единую теорию гравитационного и сильного взаимодействий (построения теории Великого объединения) было выдвинуто немало интересных и плодотворных идей, приведших по мере их развития к появлению новых теорий и направлений в теоретической физике.

Несомненно, самым ярким примером такого нового бурно развивающегося направления является теория струн [19]-[22]. За три десятилетия ее существования эта теория, имеющая целью дать ответы на самые глубокие вопросы о природе фундаментальных взаимодействий, разрослась до уровня крупного самостоятельного раздела в физике и математике.

Сразу после своего возникновения теория струн развивалась как теория адронов — элементарных частиц, участвующих в сильных взаимодействиях. Основная идея данной теории состояла в замене точечной частицы на релятивистскую струну — одномерный протяженный физический объект (линию), действие для которого пропорционально площади поверхности заметаемой струной при движении в пространстве Минковского [23]. Упомянутая поверхность называется мировой поверхностью релятивистской струны. Такой характер движения струны является аналогом динамики свободной материальной точки, действие которой пропорционально длине мировой линии.

В отличие от остальных вариантов квантовой теории поля, описывающих точечные объекты, теория струн оперирует протяженными объектами — релятивистскими струнами, характеризуемыми постоянной плотностью энергии 7 (этот параметр имеет также физический смысл натяжения струны), и их мировыми поверхностями. Топологически релятивистская струна может, в частности, быть открытой — гомеоморфной отрезку или замкнутой — гомеоморфной окружности.

Первоначально открытая струна выступала в качестве модели мезона — частицы, образованной парой кварк-антикварк, связанной сильным взаимодействием. При этом струна с натяжением у служила моделью данного взаимодействия. Эта модель основывалась на том, что квантовая хромодинамика (теория, наиболее адекватно описывающая сильные взаимодействия) предсказывает струноподобный характер распределения соответствующего силового поля [24] при достаточно больших расстояниях между кварком и антикварком в мезоне или тремя кварками в барионе.

В дальнейшем развитии этого направления [19] - [22] стала доминировать высказанная впервые в работе Дж. Шерка и Дж. Шварца [25] идея рассматривать теорию струн не как теорию адронов, а как более фундаментальную теорию, объединяющую все взаимодействия вплоть до гравитационного, возникавшего в низкоэнергетическом пределе такой струнной теории.

Рассмотрим более детально наиболее важные с этой точки зрения аспекты теории струн. Если мировая поверхность струны в пространстве Минковского R1,n произвольной размерности D = n + 1 задана параметризацией Х^сг0,^1), = 0,1,.,п, то действие для релятивистской струны можно записать в следующем виде, предложенном A.M. Поляковым [26]:

S=-\j ^^^d<r°da\ (2)

Здесь = diag (1; -1; —1;----1) — метрический тензор пространства

Минковского, ha/3, а,(3 = 0,1 — вспомогательный метрический тензор на мировой поверхности; везде ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, скорость света с = 1.

Действие Полякова (2) инвариантно: а) по отношению к преобразованиям Пуанкаре в пространстве Минковского R1,n, б) по отношению к произвольным невырожденным гладким заменам параметров а01 на мировой поверхности га = a^V1), J = det\\daa/да^\\ ф 0; (3) и обладает конформной или вейлевской инвариантностью относительно преобразований

Kiз e2+Wha0. (4)

Действие (2) на классическом уровне эквивалентно действию Нам-бу-Гото [23] S = —jf л/—det \ \ga0\\ d2a, где gap = r^f^f^ - индуцированная метрика на мировой поверхности.

Для квантования открытых и замкнутых бозонных струн действие Полякова (2) оказалось более удобным. Данная процедура квантования [19], [27]-[29], сопровождается возникновением различных аномалий (нарушений симметрий классического действия на квантовом уровне) и приводит к ряду нестандартных особенностей, таких как наличие тахиона в спектре состояний струны и размерность пространства-времени D = 26, необходимая для отсутствия состояний с отрицательной нормой. Именно с этим связано введение произвольной размерности D пространства Минковского. Для фермионной или спиновой струны [30], [31], а также для развитой на ее основе модели суперструны [32], [33] (обладающей особым видом симметрии между бозонными и ферми-онными полями струны) соответствующая критическая размерность D = 10.

Проблему лишних измерений предполагается решить посредством их компактификации1 на (D — 4) - мерное компактное многообразие с характерным планковским масштабом ip = \JHG/c3 ~ 10~33 см.

Основным критерием при выборе вариантов развития теории является необходимость устранения упомянутых аномалий. В частности, хЭта идея была выдвинута еще в работах Т. Калуцы и О. Клейна [13], [14]. на этом пути удалось установить глубинную связь между теорией (су-пер)струн и ОТО А. Эйнштейна — теорией гравитации. А именно, если рассматривать струну А. М. Полякова (2) не в пространстве Минковского Д1'" а в произвольном п + 1 - мерном многообразии М i „ с псевдоримановой метрикой (1) д^и(Х), то соответствующее обобщение действия (2) будет иметь вид s = ~ljda°da\ (5)

Действие (5) как и (2) инвариантно относительно конформного преобразования (4) внутренней (двумерной) метрики hap на классическом уровне, однако при квантовании выражения (5) возникает конформная аномалия [19], [34] пропорциональная Rlxl,(X) — тензору Риччи многообразия M.i,n. Следовательно, условием устранения этой аномалии является равенство R^ = 0, эквивалентное уравнению Эйнштейна в пустоте

Rplv - = 0. (6)

Здесь R = Кцид^ — скалярная кривизна.

Простейшее возможное обобщение действия (5) связано с наличием на многообразии Mi,n антисимметрического тензорного поля В^(Х) (при этом BUp = —By,v) и скалярного поля ф, что и приводит к появлению двух следующих дополнительных слагаемых в действии [19]

7)

Здесь е01® — антисимметричная тензорная плотность с компонентами б01 = -е10 = 1; е00 = £и = 0; R^(h) — "двумерная" скалярная кривизна на мировой поверхности, определяемая ее внутренней метрикой hap(<7), h = det ||^а/з||. За скалярным полем ф[Х) (точнее, за частицей отвечающей данному полю) закрепилось название "дилатон", от латинского слова, означающего "растяжение". Как мы увидим ниже, изменение значения ф в ряде случаев действительно можно интерпретировать как изменение пространственных масштабов в з

Действие 5в (7) как и S является конформно-инвариантным, однако выражение S<f> инвариантно лишь относительно частного случая вейлевских преобразований (4) с ф = const. Тем не менее в работах Е. С. Фрадкина и А. А. Цейтлина [35] - [38] в ходе квантования суммарного действия (5), (7) S + Sb + Яф были найдены в низшем (в разложении по I/7) нетривиальном приближении следующие обобщающие (6) условия сокращения конформной аномалии:

R^ ~ + \Н£хН„кХ = 0; = 0; (8) ^ЛФ*» ~ ФМ ~R~ HXnvHXKV = 0.

Здесь Ttll = дТ/дх11] — соответствующая ковариантная производная, Ямка = Вцк^х + + Нетривиальным моментом оказалось то, что система уравнений (8) может быть получена как уравнения Эйлера-Лагранжа в теории с действием [19], [37]:

S =-к J VW\e~2<t> (Я + ЧЖ + ^ЯМ1/А#dDx, (9) где g = det Цд^Ц. Данное действие переходит в гравитационную часть действия общей теории относительности

S = -kJ y/\g\RdDx (10) в случае равенства ф = const, = const для дополнительных полей дилатона и В

Действие (9), интерпретируемое как низкоэнергетический или длинноволновый предел взаимодействий безмассовых мод в теории струн [19], поставило перед исследователями ряд вопросов, связанных с его физической интерпретацией. Самые важные из них: может ли действие (9) выступать как обобщение гравитационной части действия ОТО, и каковы физические проявления дополнительных полей ф и В^и.

Модель (9) с Вци = 0, называемую дилатонной гравитационной моделью, можно рассматривать как вариант скалярно-тензорной теории гравитации. Скалярно-тензорные теории гравитации рассматривались многими авторами как вариант модификации ОТО, в частности, широкую известность получила скалярно-тензорная теория, рассмотренная в работах [10], [11] (теория Бранса-Дикке), с действием

S = J Vе?Д + (I67r/c4)L - ыф,{ф'*/ф) d4®, (11) где L — лагранжиан материи, ф — скалярное поле иш - некоторая безразмерная константа.

Дилатонная гравитационная модель с действием (9) привлекла усиленное внимание исследователей в силу ряда причин. В частности, введение дилатона делает нетривиальной двумерную (точнее 1 + 1-мерную) гравитацию2. Двумерная дилатонная гравитация рассматривалась в большом числе работ [39]-[41]. Одна из основных целей этих исследований — разработка на примере данной "игрушечной" модели подходов к квантованию гравитации. В двумерной гравитации были получены решения описывающие подобие черной дыры.

Ряд работ [42] - [44] был посвящен 2+1 - мерной дилатонной модели. Она существенно богаче нетривиальными решениями чем эйнштейновская гравитация той же размерности.

Естественно, дилатонная модель (9) заинтересовала большое число исследователей в плане ее возможных приложений в области космологии [45] - [47] с целью решить ряд упоминавшихся выше проблем: плоскостности, однородности Вселенной, космологической сингулярности и других. Заметим, что уже давно, в частности, в работах А. Д. Линде [48] - [53] для решения этих проблем привлекалось дополнительное скалярное поле ф(х) с потенциалом У(ф) в действии (10) для обеспечения режима инфляции или экспоненциального раздувания Вселенной. Возможности использования для этой цели дилатонного поля ф(х) рассматривались в работах [54]-[60].

В работе [61] изучается предел слабого поля в струнно-дилатонной гравитации, выводятся поправки к ньютоновскому потенциалу и рассматриваются возможные астрофизические приложения полученных результатов.

В целом ряде работ [55]-[57], [62]-[67] исследовались возможности получения космологических решений в дилатонной гравитационной модели в рамках 3 + 1 - метрики Фридмана-Робертсона-Уокера с различными вариантами компактификации остальных D — 4 измерений (подробно см. в главе 3 диссертации).

Однако эти исследования оставили открытыми множество вопро

2Напомним, что действие (10) ОТО в случае является топологическим инвариантом поверхности М\,\ и уравнения (6) обращаются в тождество [3]. сов, касающихся дилатонной гравитационной модели. В частности, какие из космологических проблем она способна решить, а какие — неспособна? Возможна ли (и при каких условиях) стабилизация дилатона ф -» const в современную эпоху с соответствующим переходом дилатонной модели в ОТО? Существуют ли несингулярные решения в дилатонной космологии и как классифицировать эти решения? Как в дилатонной гравитации модифицируются известные решения ОТО, в частности решение Шварцшильда? Сохраняется ли при этом ньютоновский предел при слабых гравитационных полях для этих решений? Каковы возможные наблюдательные проявления, позволяющие экспериментально отличить предсказания дилатонной модели от предсказаний ОТО? К каким ограничениям на параметры это приводит?

Решению этих и других проблем посвящена настоящая диссертационная работа, в центре внимания которой находится дилатонная гравитационная модель с гравитационной частью действия в форме (9):

Ниже мы полагаем В= 0 и рассматриваем вслед за рядом авторов [44] слагаемое, пропорциональное А = const.

В работах [37], [62], [68], [69] константа А имела смысл дефицита центрального заряда и зависела от размерности D пространства.

Однако в дальнейшем данная константа рассматривалась как свободный параметр модели — аналог А-члена (космологической постоянной) в эйнштейновской теории гравитации. В этом последнем случае постоянная Л выступает и в настоящей работе.

Целью работы является разработка математической модели, позволяющей выполнить исследование параметров динамики дилатонного и гравитационного полей; описание на основе дилатонной модели тяготения центрально-симметричного массивного тела и эволюции однородной и изотропной Вселенной, сравнение результатов исследования с последними данными наблюдательной астрономии и предсказаниями

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

12)

ОТО.

В первой главе рассматривается дилатонная гравитационная модель, включающая действие (12) и действие полей материи. С помощью варьирования действия по гравитационному полю д^„ и по полю дилатонов ф выведены уравнения, описывающие эволюцию (движение) гравитационного и дилатонного полей в данной модели с учетом материи. Изучена структура этих уравнений и их связь с уравнениями ОТО.

Вторая глава посвящена исследованию поля тяготения центрально-симметричного массивного тела с помощью решений шварцшильдов-ского типа (центрально-симметричных решений в пустоте) для различных размерностей (п = 1, п = 2, п > 3).

Для случая размерности п > 3 получено двухпараметрическое семейство решений, в котором один из параметров является аналогом гравитационного радиуса, а другой параметр характеризует интенсивность дилатонного поля. В случае обращения последнего параметра в нуль найденное решение переходит в решение Шварцшильда.

Найденные решения шварцшильдовского типа в дилатонной гравитационной модели обладают свойством исчезновения горизонта черной дыры в случае присутствия в этих решениях нетривиального дилатонного поля. Геометрический и физический смысл полученных решений исследуется с помощью геодезических линий.

Для решений шварцшильдовского типа проведен анализ таких наблюдательных проявлений дилатонной гравитационной модели, как смещение перигелия и отклонение светового луча вблизи массивного тела. Для этого рассматривается предел г оо, отвечающий слабому гравитационному полю.

Проведено сравнение полученных результатов с соответствующими результатами ОТО и экспериментальными данными, что позволяет получить оценку для значений параметра, характеризующего интенсивность дилатонного поля.

В третьей главе для описания эволюции однородной и изотропной Вселенной исследуется класс космологических решений фридманов-ского типа с космологической константой А и пылевидной материей для случая произвольной размерности.

Для плоской модели решение получено аналитически. Для пространств с ненулевой кривизной используется численное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений так как явные аналитические решения имеются лишь в некоторых отдельных случаях, в частности, при равных нулю значениях Л и плотности пылевидной материи. В § 3.4 для случая отсутствия материи была проведена исчерпывающая классификация найденных космологических решений для различных значений пространственной кривизны и космологической константы.

Для сопоставления полученных в рамках дилатонной модели решений с космологическими решениями ОТО и имеющимися на сегодняшний момент наблюдательными данными в § 3.6 проведен анализ космологических параметров.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей с включением материи. Исследование на модели осуществляется в различных режимах с выдачей результатов по всем параметрам динамики в графической и цифровой формах, что обеспечивает проведение полного анализа динамики полей непосредственно в процессе вычислительного эксперимента.

2. С помощью моделирования центрально-симметричных решений уравнений дилатонной модели (решений шварцшильдовского типа) исследовано поле тяготения массивного тела и установлено, что в отличие от ОТО в дилатонной гравитации исчезает горизонт черной дыры при наличии дилатонного поля.

3. Получены прогнозные оценки измеримых параметров для таких явлений как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца; найдены ограничения на допустимые параметры дилатонной модели, полученные на основе экспериментальных данных.

4. Определены с помощью численных экспериментов параметры (масштабный фактор, параметр замедления и др.), характеризующие динамику расширения однородной и изотропной Вселенной, в том числе с пылевидной материей.

5. Получены космологические решения с нетривиальными параметрами динамики: решения описывающие расширение Вселенной с ускорением, а также решения без начальной сингулярности в виде сверхплотного сжатия.

В работе применяются численные и аналитические методы вывода, преобразования и решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику дилатонного и гравитационного полей, оценок асимптотических свойств их решений и соответствующих физических проявлений.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что разработанная математическая модель является вкладом в теорию и методы математического моделирования таких процессов, как динамика дилатонного и гравитационного полей, описывающих тяготение центрально-симметричного массивного тела и эволюцию однородной и изотропной Вселенной.

Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель построена как практический инструмент по оцениванию и исследованию параметров динамики дилатонного и гравитационного полей. Установленные моделированием ограничения и условия на допустимые параметры динамики могут составить основу при выполнении астрофизических исследований с применением компьютерных технологий.

Результаты диссертации опубликованы 12 работах [70]-[81].

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях "Математические модели сложных систем" (г. Тверь, 1999 г.), "Математическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем" (г. Тверь, 1999 г.), XV международной конференции QFTHEP 2000 (г. Тверь, 2000 г.), V конференции молодых ученых и специалистов (г. Дубна, 2001 г.), XVIII международной конференции QFTHEP 2004 (г. Санкт-Петербург, 2004 г.).

Заключение

В диссертационной работе разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей и показана применимость дилатонной модели для описания центрально-симметричного поля тяготения массивного тела, а также эволюции Вселенной как целого.

Для этих целей выведены уравнения эволюции гравитационного и дилатонного полей с помощью варьирования действия (1.1) по гравитационному полю и по полю дилатонов ф. Полученная система уравнений (1.20), как показал ее анализ, не равносильна системе ОТО, так как содержит уравнение, описывающее эволюцию ф(х). Исследована проблема включения материи в дилатонную гравитацию. Указаны условия, при которых система (1.20) переходит в уравнения Эйнштейна при ф = const.

Найденные во второй главе решения шварцшильдовского типа (2.21) (центрально-симметричные решения в пустоте) обобщают известное в ОТО решение Шварцшильда (2.1), обладают рядом его свойств, в частности, являются асимтотически плоскими при г -> оо, и содержат параметр го, являющийся аналогом гравитационного радиуса.

Однако, в отличие от решения Шварцшильда, полученное семейство решений (2.21) содержит (кроме го) параметр Q, характеризующий интенсивность дилатонного поля в соответствии с соотношением (2.18) ф'(г) = Qa'(r). При Q -У 0 найденное решение (2.21) переходит в решение Шварцшильда (2.1).

Замечательным свойством найденных решений шварцшильдовского типа (2.21) в дилатонной гравитационной модели, является то, что решения, описывающие черную дыру, существуют только при Q — О, (ф = const), а наличие нетривиального дилатонного поля ф ф const приводит к исчезновению горизонта черной дыры.

Для решений шварцшильдовского типа (2.21) исследованы такие наблюдательные проявления, как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца. Получены оценки для наблюдательных проявлений модели и соответствующие экспериментальные ограничения на параметр Q\ \Q\ < 0.0002. Эта оценка определяется наиболее жестким из имеющихся на данный момент экспериментальных ограничений — ограничением на постньютоновского параметры, определяемым углом отклонения луча, проходящего вблизи диска Солнца. Точность измерения данного угла за последние годы была улучшена на несколько порядков за счет использования космических радиоинтерферометров с большой базой. Полученная оценка значения параметра параметра Q для Солнца тем не менее не позволяет судить о возможных значениях этого параметра и соответствующих градиентах дилатонного поля ф(х) для других аст-рономичеких объектов.

В главе 3 описана эволюция Вселенной как целого в рамках дилатонной модели, включающей пылевидную материю. Для этой модели найдены и исследованы космологические решения фридмановского типа — решения, описывающих эволюцию однородной и изотропной Вселенной для трех различных значений знака к кривизны пространственной части. На основании их анализа, включающего как аналитические, так и численные методы, можно сделать вывод о существовании в дилатонной гравитации более широкого чем в ОТО спектра решений.

В частности, среди найденных космологических решений имеются обладающие начальной сингулярностью (3.24) в виде сверхплотного сжатия с а ~ \t - to]1^ (похожая сингулярность с несколько иным показателем степени присутствует в решениях Фридмана), но в то же время существуют и решения без сверхплотного сжатия, но с начальным состоянием (3.25) а ~ \t — t^Y"1^. Последняя особенность, не существующая у решений ОТО, описывает сверхбыстрое расширение (или сжатие) масштабного фактора до бесконечности и названа в работе сингулярностью типа "оо".

Космологические решения, описывающие инфляцию или экспоненциальное раздувание Вселенной на ранних стадиях эволюции, в дилатонной гравитации можно получить лишь с помощью введения потенциала У(ф) в лагранжиан теории (12). Такая же ситуация имеет место в ОТО.

Среди полученных в работе космологических решений особо отметим те, которые описывают расширение Вселенной с ускорением (другими словами, с отрицательным параметром замедления q — —аа/а2), что соответствует полученным в последнее время оценкам q на основе наблюдений за сверхновыми с большими красными смещениями [104] -[108]. В ОТО такие решения существуют лишь при положительных значениях Л-члена, в то время как в дилатонной гравитации решения с q < 0 существуют при всех значениях Ли к.

1. Л.Д. Ландау, И.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука. 1984.

2. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Т. 1,2,3. М.: Мир. 1977.

3. B. Б. Брагинский. Экспериментальная проверка теории относительности. М.: Знание. 1977.

4. B. А. Ацюковский. Экспериментальные основы теории относительности. М.: Издательство МПИ. 1990.

5. C. Will. The confrontation between general relativity and experiment // Living Rev. Rel. 9. 2006. V. 3; gr-qc/0510072.

6. C. Will. Was Einstein right? Testing relativity at the centenary // Annalen Phys. 2005. V. 15. P. 19-33; gr-qc/0504086. И.Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр. М.: Наука. 1986. А. А. Фридман. Мир как пространство и время. М.: Наука. 1965.

7. С. Brans, R. Н. Dick е. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation // Phys. Rev. 1961. V. 124. N. 3. P. 925-935.

8. R. H. Dicke. The solar oblateness and the gravitational quadrupole moment // Astrophys. J. 1970. V. 159, P. 1-24. P. Дикке. Гравитация и Вселенная. М.: Мир. 1972.

9. Т. Kaluza. On the problem of unity in physics. Sitz. Preuss. Akad. Wiss. 1921. V. Kl. P. 966.

10. O. Klein. Quantum theory and five-dimensional theory of Relativity // Z. Phys. 1926. V. 37. P. 895-906.

11. А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 3,4. М.: Наука. 1967.

12. S. Glashow, S. Weinberg. Breaking chiral symmetry // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. P. 224-227.

13. S. Weinberg. Nonabelian gauge theories of the strong interactions // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. P. 494-497.

14. A. Salam. Gauge unification of fundamental forces / / Rev. Mod. Phus. 1980. V. 52. P. 525-538.

15. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. Т. 1,2. М.: Мир. 1990.

16. Б.М. Барбашов, В. В. Нестеренко. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат. 1987. JT. Бринк, М. Энно. Принципы теории струн. М.: Мир. 1991.

17. A. Ю. Морозов. Теория струн — что это такое? // Усп. физ. наук. 1992. Т. 162. N. 8. С. 83-176.

18. Т. Goto. Relativistic quantum mechanics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model // Prog. Theor. Phys. 1971. V. 46. N. 5. P. 1560-1569. M. Кройц. Кварки, глюоны и решетки. М.: Мир. 1983.

19. J. Scherk, J. Н. Schwarz. Dual models for nonhadrons // Nucl. Phys.

20. B. 1974. V. 81. N. 1. P. 118-144.

21. A. M. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings // Phys. Lett.

22. B. 1981. V. 103. N. 2. P. 207-210; Quantum geometry of fermionic strings // Phys. Lett. B. 1981. V. 103. N. 2. P. 211-213.

23. Brink, H. B. Nielsen. A simple physical interpretation of the critical dimension of space-time in dual models // Phys. Lett. B. 1973. V. 45. N. 2. P. 332-337.

24. P. Ramond. Dual theory for free fermion // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 2415-2418.

25. A. Neveu, J.H. Schwarz. Factorizable dual model of pions // Nucl. Phys. B. 1971. V. 31. N. 1. P. 86-112.

26. F. Gliozzi, J, Scherk, D. Olive. Supergravity and the dual spinor model // Phys. Lett. B. 1976. V. 65. N. 2. P. 282-288; Supersymmetry, supergravity theories and the spinor dual model // Nucl. Phys. B. 1976. V. 122. N. 2. P. 253-290.

27. M. B. Green, J. H. Schwarz. Supersymmetrical dual string theory // Nucl. Phys. B. 1981. V. 181. N. 3. P. 502-530; Nucl. Phys. B. 1982. V. 198. N. 2. P. 252-268.

28. B. 1981. V. 106. P. 63-68.

29. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. On quantized string models // Annals. Phys. 1982. V. 143. P. 413-447.

30. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. Effective field theory from quantized strings /1 Phys. Lett. B. 1985. V. 158. P. 316-322. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. Quantum strings theory effective action /1 Nucl. Phys. B. 1985. V. 261. P. 1-27.

31. C. G. Callan, S.B. Giddings, J. A. Harvey, A. Strominger. Evanescent black holes // Phys. Rev. D. 1992. V. 45. P. 1005-1009; hep-th/9111056.

32. G. W. Gibbons, M. J. Perry. The Physics of 2-d Stringy Spacetimes // Int. J. Mod. Phys. 1992. Dl. P. 335-354; hep-th/9204090.

33. H. Pelzer, T. Strobl. Generalized 2D dilaton gravity with matter fields /1 Class. Quant. Grav. V. 15. P. 3803-3825; gr-qc/9805059.

34. M. Cadoni. The dualities of 3D dilaton gravity // Phys. Rev. D. 1996. V. 54. P. 7378-7385; gr-qc/9606048.

35. K.C.K. Chan, R. B. Mann. Static charged black holes in (2 -f 1) dimensional dilaton gravity // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. P. 63856393; gr-qc/9404040.

36. K. Maeda. Attractor in a superstring model: The Einstein theory, the Friedmann universe, and inflation // Phys. Rev. D. 1987. V. 35. P. 471-479;

37. A. R. Liddle, R. G. Moorhouse, A. B. Henriques. Early cosmology and the dilaton and H field of superstring theory // Nuc. Phys. B. 1989. V. 311. P. 719-738.

38. А.Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука. 1981. 275 стр.

39. А.Д. Линде. Квантовое рождение раздувающейся Вселенной // ЖЭТФ. 1984. Т. 87. Вып. 2(8). С. 369-374 А.Д. Линде. Раздувающаяся Вселенная // УФН. 1984. Т. 144. N. 2. С. 177-214.

40. А.Д. Линде. Самовосстанавливающаяся Вселенная. М.: Наука. 1987. 23 стр.

41. J. Ellis, К. Enqvist, D.V. Nanopoulos, M. Quiros. Evolution with temperature and the possibility of inflation from the superstring in four dimensions // Nucl. Phys. B. 1986. V. 277. P. 231-252.

42. K. Maeda, M.D. Pollock. On inflation in the heterotic superstring model // Phys. Lett. B. 1986. V. 173. P. 251-256.

43. K. A. Olive. Inflation // Phys. Rept. 1990. V. 190. P. 307-403.

44. S. Capozziello, G. Lambiase Newtonian limit of string-dilaton gravity j I Int. J. Mod. Phys. D. 2003. V.12. P. 843-852; gr-qc/0301053.

45. R. Easther, K. Maeda, D. Wands. Tree-level string cosmology // Phys. Rev. D. 1996. V. 53. P. 4247-4256; hep-th/9509074.

46. S. Behrndt, S. Forste. String-Kaluza-Klein cosmology // Nuc. Phys. B. 1994. V. 430. P. 441-459; hep-th/9403179.

47. E.J. Copeland, A. Lahiri, D. Wands. Low energy effective string cosmology // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. P. 4868-4880; hep-th/9406216.

48. E. J. Copeland, R. Easther, D. Wands. Vacuum fluctuations in axion-dilaton cosmologies // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. P. 874-888; hep-th/9701082.

49. T. Barreiro, B. de Carlos, E.J. Copeland. Stabilizing the dilaton in superstring cosmology // Phys. Rev. D. 1998. V. 58. 083513; hep-th/9805005.

50. C.G. Callan, D. Friedan, E.J. Martinec, M.J. Perry. Strings in background fields // Nuc. Phys. B. 1985. V. 262. P. 593-609.

51. C. Lovelace. Strings in curved space // Phys. Lett. B. 1984. V. 135. P.75-77; Stability of string vacua. 1. A new picture of the renormalization group // Nuc. Phys. B. 1986. V. 273. P. 413-467.

52. E. Г. Воронцова, P. А. Лосенкова, Г. С. Шаров. О конической особенности аксиальносимметричных решений уравнений Эйнштейна // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 1998. С. 194-202.

53. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Классификация космологических решений фридмановского типа в дилатонной гравитации // Труды I конф.-семинара молодых учёных "Математические модели сложных систем". Тверь. 2000. Вып. 3. С. 131-137.

54. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Многомерные космологические решения фридмановского типа в дилатонной гравитации // Теор. мат. физика. 2000. Т. 123. N 1. С. 163-176; hep-th/9904127.

55. Е. Г. Воронцова. Исследование решений шварцшилъдовского типа в дилатонной гравитации с помощью пробных частиц // Труды конференции "Математическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем". Тверь. 2000. С. 127-133.

56. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Решения шварцшилъдовского типа в 2+1-мерной дилатонной гравитации // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 2001. С. 28-31.

57. G. Sharov, Е. Vorontsova. Black hole vanishing in superstring-inspired dilaton gravitational model // Proceedings of the XVth International Workshop "QFTHEP2000". Москва. 2000. P. 394-398; hep-th/0101004.

58. Е.Г. Воронцова. Некоторые классы решений в дилатонной гравитации // Труды V научной конференции молодых ученых и специалистов. Дубна. 2001. С. 132-134.

59. Е. Г. Воронцова. О ньютоновском пределе в дилатонной гравитации // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 2002. С. 122-124.

60. G. Sharov, Е. Vorontsova. Quasielliptic orbits in dilaton gravity in Newtonian limit // Proceedings of the XVIIIth International Workshop "QFTHEP2004". Москва. 2005. P. 262-265.

61. E. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Решения шварцшильдовского типа в дилатонной гравитации // Теор. мат. физика. 2005. Т. 145. N. 1. С. 134-144.

62. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Квазиэллиптические орбиты в дилатонной гравитации // Вестник ТвГУ, Сер. Прикладная математика. 2005. Вып. т. С. 74-78.

63. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Отклонение светового луча массивным телом в дилатонной гравитации // Вестник ТвГУ, Сер. Прикладная математика. 2006. Вып. К®4 21]. С. 114-119.

64. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков А. Т. Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука. 1979. 523 стр.

65. A. A. Tseytlin. Cosmological solutions with dilaton and maximally symmetric space in string theory // Int. J. Mod. Phys. D. 1992. V. 1. P. 223-245; hep-th/9203033.

66. M. Gasperini, G. Veneziano. Inflation deflation and frame-independence in string cosmology // Mod. Phys. Lett. A. 1993. V. 8. P. 3701-3714; hep-th/9309023.

67. M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble. Cosmic strings // Rept. Prog. Phys. 1995. V. 58. P. 477-562; hep-ph/9411342.

68. A. Vilenkin. Gravitational field of vacuum domain walls and strings // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 852-857; Cosmic strings // Phys. Rev. D. 1981. V. 24. P. 2082-2089.

69. Г. С. Шаров. Многомерные космологические решения фридмановского типа // Теор.мат. физ. 1994. Т. 101. N. 3. С. 458-466.

70. R. С. Myers. New dimensions for old strings // Phys. Lett. B. 1987. V. 199. P. 371-376.

71. M. Mueller. Rolling radii and a time-dependent dilation // Nuc. Phys. B. 1990. V. 337. P. 37-48.

72. G. Veneziano. Scale factor duality for classical and quantum strings // Phys. Lett. B. 1991. V. 265. P. 287-294.

73. A. A. Tseytlin, C. Vafa. Elements of string cosmology // Nuc. Phys. B. 1992. V. 372. P. 443-466, hep-th/9109048; A. A. Tseytlin. Dilaton, winding modes and cosmological solutions // Class. Quantum Grav. 1992. V. 9. P. 979-1000, hep-th/9112004.

74. E. Witten. On string theory and black holes // Phys. Rev. D. 1991. V. 44. P. 314-324.

75. S. Kar. Stringy black holes and energy conditions // Phys. Rev. D. 1997. V. 55. P. 4872-4879, hep-th/9604047.

76. A. A. Tseytlin. Duality and dilaton // Mod. Phys. Lett. A. 1991. V. 6. P. 1721-1732.

77. M. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 832 стр.

78. С.К. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.

79. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.

80. С. Вайнберг. Первые три минуты: Современный взгляд на происхождение Вселенной. М.: Энергоиздат. 1981. 261 стр.

81. Д. Шама. Современная космология. М.: Мир. 1973. 252 стр.

82. И. Д. Новиков. Эволюция Вселенной. М.: Наука. 1979.

83. О. Lahav, A.R. Liddle. The Cosmological parameters 2005 // 26 pages, Article for The Review of Particle Physics 2006, astro-ph/0601168.

84. Ю.С. Владимиров, H.B. Мицкевич, Я. Хорски. Пространство, время, гравитация. М.: Наука. 1984. 208 стр.

85. A. G. Riess at al. Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant // Astron. J. 1998. V. 116. P. 1009-1038, astro-ph/9805201.

86. N. Bahcall, J.P. Ostriker, S. Perlmutter, P.J. Steinhardt. The cosmic triangle: revealing the state of the universe // Science. 1999. V. 284. P. 1481-1488, astro-ph/9906463.

87. C. Deffayet, G. Dvali, G. Gabadadze. Accelerated universe from gravity leaking to extra dimensions // Phys. Rev. D. 2002. V. 65. 044023, astro-ph/0105068.

88. J.L. Tonry at al. Cosmological results from high-z supernovae // Astrophys. J. 2003. V. 594. P. 1-24, astro-ph/0305008.