автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Математическое моделирование переменного гравитационного поля земли в геодезии

На правах рукописи УДК 528.22:519.67

Вовк Игорь Георгиевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ В ГЕОДЕЗИИ

05.24.01 "Геодезия"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Сибирской государственной геодезической академии.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Каленицкий А.И.; доктор технических наук Бровар Б. В.;

доктор физико-математических наук, профессор Бордовицина Т. В.

Ведущая организация - Московский государственный университет

геодезии и картографии.

Защита состоится 2.4 1997г. в _

на заседании диссертационного совета Д 064.14.01 в Сибирской государственной геодезической академии (СГГА) по адресу: 630108, г.Новосибирск, 108, ул. Плахотного, 10, СГГА, ауд. 403.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГГА.

Автореферат разослан

1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета ■ Середович В. А.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача изучения фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля всегда занимала центральное место в исследованиях по геодезии. Работы Лапласа, Клеро, Ньютона, Гаусса, Стокса и других великих ученых заложили фундамент для решения задачи изучения внешнего гравитационного поля Земли. Наиболее важные фундаментальные результаты получены М.С.Молоденским, создавшим теорию определения фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля и указавшим на необходимость оценки и учета их временных изменений.

Возрастание требований к точности систем координат, изучение движений земной коры, деформаций инженерных сооружений и другие задачи обуславливают необходимость изучения планетарных, региональных и локальных пространственно-временых изменений гравитационного поля и создание пространственно-временной гравитационной модели, адекватной внешнему гравитационному полю Земли на фиксированную эпоху. Математические модели переменного гравитационного поля являются составной частью новых информационных систем и технологий и находят применение в физической, космической, высшей и прикладной геодезии, в геофизике и многих других областях науки и техники. Этими обстоятельствами и определяется актуальность темы исследований.

Научная проблема. Исследование космоса, изучение Земли как планеты, создание новых информационно-измерительных систем и геоинформационных технологий и другие задачи требуют все более точных и подробных сведений о гравитационном поле Земли, его эволюции и взаимосвязи с другими геофизическими полями и потоками энергии, поступающими из недр Земли и Космоса.

■ Наиболее точные данные о гравитационном поле Земли получают по результатам геофизических измерений на дискретном множестве точек ее поверхности. Эти данные, полученные в разные моменты времени, и представляют гравитационное поле в исследуемой точке на момент измерений. Чтобы представить гравитационное поле Земли в виде функции координат и времени, необходимо определить математическую модель гравитационного поля адекватную реальному гравитационному полю.

Многообразие задач, требующих данных о переменном гравитационном поле Земли, находит отражение в создании различных мате-

матических моделей планетарного гравитационного поля в виде интегральных и дифференциальных уравнений, рядов по ортонормирован-ным системам функций, наборов точечных масс, мультиполей и т.д. Зависимость гравитационного поля Земли от времени в этих моделях игнорируется. Для описания регионального или локального гравитационного поля применение таких моделей не эффективно,

Таким образом, создание математических моделей переменного гравитационного поля Земли, как функций координат и времени, адекватных планетарному, региональному и локальному гравитационному полю, представляют современную научную проблему, в теоретической и прикладной геодезии.

Цель работы. Сформулированная научная проблема обосновывает цель исследований как разработку методов' математического моделирования планетарного, регионального и локального переменного гравитационного поля Земли в виде явной функции координат и времени для применения в геодезии.

О с н о в н ы'е . задачи исследований. Для достижения сформулированной цели необходимо решение следующих задач:

1) теоретически обосновать и разработать метод моделирования гравитационных полей, заданных на части поверхности сферы, в виде явной функции координат и времени;

2) теоретически обосновать и разработать метод математического моделирования гравитационных полей по исходным данным, заданным дискретно в исследуемой области;

3) теоретически обосновать и разработать метод математического моделирования эволюции гравитационных полей во времени;

4) разработать методы математического моделирования гравитационных полей, генерируемых техногенными геодинамическими процессами в районе водохранилищ и рудных ' карьеров и изменениями топографии морской'поверхности; ' '

5) применить результаты научных исследований для решения прикладных задач.

Фактический материал и методы исследований. Исходными материалами служили данные, предоставленные производственным объединением "Дальаэрогеоде-зия", инженерно-геодезической службой Саяно-Шушенской ГЭС, НИИ прикладной геодезии, институтом геофизики АН Грузии, в/ч 62728, ЦКП-280, результаты личных исследований, выполненных с примене-

нием дифференциального и интегрального исчисления, сферического гармонического анализа, матричной алгебры, специальных функций, теории вероятностей, математической статистики и методов математического моделирования.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Решение многих задач астрономии, геодезии и геофизики связано с созданием математических моделей переменного гравитационного поля Земли, определенных или на всей поверхности Земли, или на отдельных ее участках. Практически единственной моделью переменного планетарного гравитационного поля Земли в виде явной функции координат служит его разложение в ряд по сферическим функциям. Построение таких моделей для участков земной поверхности в виде сферических трапеций возможно вследствие взаимно однозначного отображения сферической трапеции на сферу с "выколотыми" полюсами и "разрезом" по одному из меридианов и сохранения свойства ортогональности сферических функций при линейном преобразовании их аргументов.

2. Построение математических моделей переменных гравитационных полей по исходным данным, заданным в конечном множестве точек и произвольно распределенным в исследуемой области, осуществляется итерационным методом сферического гармонического анализа под условием минимума нормы разности вектора исходных данных и вектора результатов моделирования. Сходимость итерационного процесса оценивается эмпирически по величине нормы разности вектора исходных данных и вектора результатов моделирования.

3. Гармонические коэффициенты переменных гравитационных полей - функции времени. В функциональном пространстве 12 гармонические коэффициенты можно интерпретировать как фазовые координаты, ' характеризующие состояние гравитационного поля в момент времени I. Это обеспечивает возможность моделирования эволюции гравитационного поля вектор-функцией, модуль и направление которой в любой фиксированный момент времени определяются фазовыми координатами.

4. Геодинамические процессы техногенного и естественного происхождения генерируют гравитационные поля, для явного определения которых необходимо разработать специальные математические модели. Существование таких моделей обеспечивает возможность

исследования влияния таких гравитационных полей на результаты астрономо-геодезических измерений на геодинамических полигонах, при наблюдении за движениями и деформациями инженерных сооружений и решении других задач.

5. Измерения, выполненные в переменном гравитационном поле Земли, относятся к различным системам отсчета гравитации и времени. Математическое моделирование влияния переменного гравитационного поля на результаты измерений дает информацию для редуцирования измерений в единую систему отсчета гравитации и времени и тем самым позволяет повысить качество и надежность геодезической информации.

Новизна работы. Личный вклад.

Предметом диссертации является содержание нового научного направления в теоретической и прикладной геодезии. Основные научные разработки являются новыми. Новизну исследований отражают следующие результаты:

' 1) обоснован и реализован новый конструктивный метод математического моделирования гравитационных и других физических полей, как функций координат и времени. При этом впервые доказана возможность применения сферического гармонического анализа для функций, областью определения которых служит сферическая трапеция; предложены и обоснованы математические модели эволюции гравитационных и других физических полей в пространственно-временной области их определения; гармонические коэффициенты интерпретированы как фазовые координаты, что обеспечило возможность построения математических моделей эволюции гравитационных и других геофизических полей в фазовом пространстве;

2) для гравитационных полей, заданных в конечном множестве точек, произвольно распределенных в области определения, предложен новый конструктивный метод моделирования, основанный на итеративном отображении множества исходных данных на множество узлов кубатурной формулы, применяемой для вычисления гармонических коэффициентов, под условием минимума нормы разности вектора исходных данных и вектора результатов моделирования;

3) разработаны методы математического моделирования авто- и взаимных ковариационных функций по результатам гармонического анализа гравитационных полей, заданных в сферической трапеции;

4) разработаны и реализованы методы математического моделирования изменений гравитационных полей, вызванных геодинамическими процессами техногенного и естественного происхождения. Вы-

полнены вычислительные эксперименты для оценки изменений гравитационных полей при строительстве и эксплуатации водохранилищ и рудных карьеров, при изменении топографии морской поверхности;

5) получены математические модели зависимости результатов измерений от изменений гравитационных полей, которые применены для решения научных и практических задач.

Автор с 1976 года являлся научным руководителем и ответственным исполнителем работ, выполняемых в соответствии с планом НИР института и договорами с различными организациями. Диссертация отражает результаты этих НИР. Разработки, выполненные лично автором, позволили получить все отмеченные новые результаты.

Практическая значимость результатов состоит:

1) в доведении результатов исследований до практического применения, что подтверждается девятью актами и справками о внедрении;

2) в решении новых прикладных задач, требующих данных о переменном гравитационном поле Земли;

3) в применении математических моделей гравитационных полей на производстве и при подготовке специалистов.

Лично автором разработаны метод математического моделирования гравитационных полей Земли, заданных в сферической трапеции, метод моделирования техногенных гравитационных полей в районе водохранилищ и рудных карьеров, математические модели зависимости результатов измерений от изменений гравитационного поля.

Совместно с доц. Суздалевым A.C. оценено влияние техногенных изменений силы тяжести на положения отвесов плотины Саяно-Шушенс-кой ГЭС.

Совместно с доц. Костыной Ю. Г. разработаны алгоритмы и программы для моделирования геофизических полей, заданных в сферической трапеции.

Совместно с доц. Суздалевым A.C. и доц. Дюковым В.П. выполнена оценка влияния изменений гравитационного поля, вызванных океаническими приливами, на результаты геометрического нивелирования.

Реализация результатов исследований. Основные научные и практические результаты переданы для использования в научные и производственные организации.

Метод математического моделирования геофизических полей, заданных в сферической трапеции, применен для апроксимации рельефа и включен в систему крупномасштабного картографирования (см. акт внедрения N1). Этот же метод передан для использования в в/ч 62728 и ЦКП-280 (см.акт N 3 и справку N 2).

Метод построения пространственно-временной модели техногенного гравитационного поля передан для использования в институт геофизики Грузинской АН (акт внедрения N 4).

Метод оценки влияния техногенных вариаций силы тяжести на положения отвесов плотин ГЭС передан для использования в АСУ ТП Саяно-Шушенской ГЭС (см. акт внедрения 5 и акт 6).

Метод оценки вариаций гравитационного поля, вызванных океаническими приливами, и анализ их влияния на результаты геометрического нивелирования передан для использования в ПО "Дальаэроге-одезия" (см. акт внедрения 7).

Использование результатов исследований в учебном процессе подтверждается актом о внедрении 8 и справкой 9.

Все перечисленные результаты получены при выполнении НИР:

1) разработка автоматизированных систем создания и обновления топографических карт и планов; хоздоговорная НИР, ГР 79034200, Новосибирск,1984г;

2) усовершенствование комплекса программ для математического моделирования рельефа дна океана и континентального шельфа. Госбюджетная НИР, ГР 81018865, Новосибирск, 1985г;

3) гармонический анализ геофизических полей в океане; госбюджетная НИР по комплексной программе "Человек и окружающая среда", ГР 81062388, Новосибирск, 1990г;

4) разработка автоматизированной системы местных особенностей гравитационного поля и фигуры Земли; оценка вариаций силы тяжести в окрестности Ингури ГЭС: Отчет о НИР/НИИГАиК; Руков. И.Г.Вовк. -И ГР 0186.0135015; Инв.N0 287.00100033. -Новосибирск. -1986. Отв.исп. И.Г.Вовк;

5) разработка и исследование методов учета погрешностей исходных данных при наблюдениях за деформациями уникальных сооружений (АЭС и ГЭС). Методика оценки и учета влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты наблюдений за положением отвесов плотин ГЭС; хоздоговорная НИР, ГР 0186.0019695, Новосибирск, 1987г;

6) оценка вариаций гравитационного поля, вызванных океаническими приливами и анализ их влияния на результаты геометричес-

кого нивелирования в условиях восточного побережья полуострова Камчатка. Хоздоговорная НИР, ГР 0188.0006584, Новосибирск, 1989г.

Апробация работы. Результаты исследований обсуждались на следующих научных совещаниях и конференциях:

1) всесоюзная конференция по ¿¿следованию и освоению ресурсов Мирового океана. Владивосток, 1976г;

2) VII всесоюзное совещание по изучению современных движений земной коры. Львов, 1977г;

3) VII междуведомственное совещание по изучению современных движений земной коры на геодинамических полигонах. Ашхабад, 1979г; . ...

4) всесоюзная конференция "Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезии и геофизики", посвященная 100-летию академика А.Я.Орлова. Киев, 1980г;

5) IX междуведомственное совещание по изучению современных движений земной коры. Петропавловск-Камчатский, 1981г;

6) всесоюзная научно-техническая конференция "Проблемы автоматизации топографо-геодезических работ". Новосибирск, 1981г;

7) VIII всесоюзное совещание по изучению современных движений земной коры. Кишинев, 1982г;

8) всесоюзная конференция "Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами". Львов, 1984г;

9) всесоюзная конференция "Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодинамики и астрономии". Киев, 198бг;

10) симпозиум КАПГ по изучению современных движений земной коры. Дагомыс, Воронеж, 1988г;

11) всесоюзная конференция "Повышение эффективности определения осадок инженерных сооружений и геодинамических исследований". Воронеж, 1988г;

12) IX съезд ВАГ0. Новосибирск, 1990г; -

13) международная конференция "Сферы применения GPS-техноло-гий". Новосибирск, 1995г;

14) всесоюзные совещания по изучению неприливных изменений силы тяжести в ИФЗ АН СССР, Москва, 1980-91гг (ежегодно).

Публикации: по результатам исследований опубликовано 54 работы, из них 40 - с соавторами. Общий обьем публикаций составляет 478 машинописных страниц или около 30 печатных листов.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка использованных литературных источников, включающих 240 наименований (из них 25 - на иностранных языках), приложения. Результаты исследований изложены на 236 страницах, включая 26 таблиц, 28 рисунков.

2. Содержание диссертационной работы

Во введении дана общая характеристика работы, сформулированы задачи и определены цели исследований.

В первом разделе излагаются общие вопросы математического моделирования гравитационного поля Земли.

Гравитационный потенциал V/ и вектор силы тяжести g представлены в виде суммы

И = V (Р. « = (Р.Т0) + (РД-т0), _ _ (1) ё = В (Р.Ю = 81 (Р. Т0) + ёг (Р.1;-т0).

Первые слагаемые в этих формулах определяют потенциал и силу тяжести как функции координат в эпоху т0 и представляют переменное гравитационное поле Земли, стационарное во времени, а вторые - определяют изменения потенциала и силы тяжести в точке Р за время 1-т0.

Если при решении различных задач точность определения гравитационного поля в относительной мере не превышает 10~5, то вторыми слагаемыми в формулах (1.) можно пренебречь.

При определении в эпоху- т0 потенциала и силы тяжести, как функции координат, обычно полагают, что

1МР.Т0) = и(Р,т0) + Т (Р.т0).. (2)

в! (Р.т0) - ТГ(Р.То) + (Р.т0). (3)

выбирая и(Р,т0) так, чтобы квадратом Т(Р,т0) можно было пренебречь, а

К(Р.т0) - Бгай и(Р,т0).

(4)

Представление (2) условно и зависит от принципа определения функции ЩР.То), которая соответствует некоторой простой модели Земли, близкой к реальной Земле. Наиболее широко в качестве модели Земли используется эллипсоид вращения, который получил название Нормальной или Стандартной Земли. Соответствующие Нормальной Земле гравитационный потенциал и сила тяжести называются нормальным потенциалом и нормальной силой тяжести.

Значение нормального потенциала находят по формуле

т ( и (и V \

и(Г.В) = — 1 - I I-1 12п Р2П (БШВ) \ + - г2СозгВ, (5)

г V П=1 V г ) ) 2

а значение нормальной .силы тяжести по формуле

( т Г м Г И Л2П п А

К(г,В)=< — 1-1 (2п+1)I — |12пР2п(31пВ) - (/гсоэв Бес(В-Ф). (6) V г2 1 П = 1 V г ) * )

В формулах (5), (6) обозначено:

г, В - геоцентрический радиус и широта исследуемой точки;

12п - гармонические коэффициенты;

ш - угловая скорость вращения Земли;

Ш - геоцентрическая гравитационная постоянная;

В-Ф - разность геодезической и геоцентрической широт.

В целом параметры Нормальной Земли и ее гравитационного поля определены с такой точностью, что при решении многих задач их можно считать заданными.

После определения нормальной составляющей гравитационного поля и других геофизических полей задача сводится к определению их аномальной части. Применительно к гравитационному полю эта задача состоит в определении возмущающего потенциала, аномалии силы тяжести и их изменений во времени.

Математические модели геофизических полей можно условно разделить на два класса: статистические или аппроксимационные и концептуальные или имитационные. Первые получают в результате формальной интерпретации экспериментальных данных по принципу "черного ящика", а вторые - на основании гипотез относительно меха-

низма возникновения изучаемых геофизических полей, характера взаимодействия между переменными, принципов сбора и подготовки исходных данных и т.д.

Построение концептуальных моделей геофизических полей, как правило, требует знания внутреннего строения Земли и математических моделей процессов и явлений, которые сопровождаются возникновением геофизических полей.

В геодезии при моделировании гравитационного поля наибольшее распространение получили аппроксимационные модели. Примерами математических моделей аномальных геофизических полей, как явных функций координат, могут служить разложения возмущающего потенциала и аномалий силы тяжести в ряды по сферическим функциям.

Представление аномальных стационарных геофизических полей Земли в виде суммы сферических гармоник оказывается удобным для создания планетарных моделей. Поскольку, как показывает практика гармонического анализа, с увеличением числа суммируемых гармоник возрастают вычислительные трудности, а точность аппроксимации увеличивается незначительно, постоянно ведутся исследования по улучшению аппроксимации планетарных, региональных и локальных геофизических полей Земли. При этом оказывается полезным выделение из регионального поля некоторой фоновой составляющей, определение которой осуществляется путем нахождения региональной нормальной формулы геофизического поля. Такое разделение аномального геофизического поля на планетарную, региональную и локальную составляющие обеспечивает лучшие возможности для геофизической интерпретации поля, описания детальности его структуры и повышает точность моделирования за счет создания многоуровневой, иерархической структуры математических моделей.

Математические модели гравитационного поля Земли разрабатываются и применяются при решении различных задач геодезии, астрономии, геофизики и геодинамики в работах отечественных и зарубежных ученых: М.С.Молоденского, И.Д.Жонголовича, В.Ф.Еремеева, М.И.Юркиной, В.В.Бровара, Л.П.Пеллинена, Н.П.Грушинского, М. У. Сагитова, Ю.М.Неймана, М.М.Машимова, Г.А.Мещерякова, К. В. Холшевникова, Б.П.Шимбирева. Р.Раппа, У.Каулы, Г.Морица, С.В.Лебедева, В.А.Бывшева, М.С.Петровской, А.Н.Марченко, В. В.Бузука. О.М.Остача, Г.В.Демьянова, В.Ф.Канушина, Ю. Г.Костыны, А. С. Суздалева, Л.В.Огородовой, А. П.Юзефовича и других.

Построение математических моделей стационарных аномальных геофизических полей оказывается недостаточным для изучения динамики Земли, изменений ее фигуры и гравитационного поля.

Причинами временных вариаций гравитационного поля являются геодинамические процессы и явления космического, тектонического, геологического, техногенного и другого происхождения. Поэтому изучение временных вариаций гравитационного поля и фигуры Земли неотделимо от изучения различных геодинамических процессов и явлений.

Задача математического моделирования геодинамических процессов и явлений заключается в нахождении одного или нескольких уравнений вида

й = С(Р. ^и.У). (7)

В формуле ( 7 ) и - вектор тех параметров и функций модели, которые доступны управлению, V - вектор параметров и внешних функций, накладывающих ограничения на область использования (применения) модели. Поскольку любая математическая модель дает лишь приближенное описание действительности, то (в зависимости от поставленной задачи) для описания одного и того же геодинамического процесса могут быть использованы различные модели вида (7). Для геодезии наиболее важными являются такие модели, которые могут быть применены для решения различных прикладных задач.

Разнородные геодинамические процессы совместно проявляются в изменениях гравитационного поля и фигуры Земли. Разделить их влияние удается не всегда. Сложность геодинамических процессов, недостаточность информации о них и неоднозначность этой информации в большинстве случаев не позволяют в явном виде аналитически выразить зависимость от них вариаций гравитационного поля.

Эти обстоятельства приводят к необходимости использования для изучения временных изменений гравитационного поля вычислительного эксперимента, то есть воспроизведения на ЭВМ изучаемого явления, его развертывания во времени и пространстве во взаимосвязи с другими процессами и явлениями.

Исследования временных вариаций гравитационного поля выполнены отечественными и зарубежными учеными: Ю. Д. Буланже, Н.Н.Па-рийским, М.С.Молоденским, В.Ф.Еремеевым, М.И.Юркиной, Я.С.Яцки-вом, М.М.Машимовым, Р.Биро, Б.П.Перцевым, С.С.Ивановым, В.В.Бро-

варом, Jl. П.Пеллиненом, Г.И.Коротаевым, Н. П. Есиковым, О.М.Оста-чем, П.Д.Двулитом, А.Ш.Файтельсоном, А.И.Волгиной. В.К.Панкруши-ным, В.В.Бузуком, В.М.Панин™. В. Ф. Канушиным, А.Н. Соловицким, А. С. Суздалевым, А.Н.Конопихиным, Л.В.Огородовой, А.П.Юзефовичем и др.

Математическое моделирование временных изменений гравитационного поля выполняется или в результате явного определения аналитических моделей геодинамических процессов, или по результатам обработки повторных геофизических измерений. Возможность и необходимость выбора метода моделирования диктуется объективными обстоятельствами: экономическими, информационными, техническими, сферой применения и другими.

Во втором разделе диссертации дано теоретическое обоснование и исследование метода математического моделирования переменного гравитационного поля Земли как явной функции координат. Метод позволяет распространить классическое представление планетарного гравитационного поля Земли в виде ряда Фурье по сферическим функциям на поле,заданное в сферической трапеции /1-4/. Это достигается вследствие взаимно-однозначного отображения сферической трапеции на сферу с "выколотыми" полюсами и "разрезом" по одному из меридианов. Поэтому все формулы и алгоритмы классического сферического гармонического анализа оказываются справедливыми не только при изучении планетарных полей, но и для полей, заданных в сферической трапеции Дш.

Поле в сферической трапеции Лш представляется в виде ряда

со п

ф (u. V) = I I (anm Cos mv + bnm Sin mv) Pnm(u) (8) n=o m=o

с коэффициентами

an™ \ , +1 2Л r Cos mv

„ = T" / ; 4KU.V) Pnm(u) )áUÚV. (9)

bnm J 4л: -1 о \ Sin mv

В формулах (8),(9) функции Pnm(u)Cos mv , Pnm(u)Sln mv op-тонормированы в сферической трапеции.

Ограничивая бесконечный ряд (8) и учитывая в частичной сумме различные гармоники, будем получать в области Лш различные математические модели поля i|i(u, V).

На практике моделирование поля ip(u,V) по формулам (8), (9) затруднено невозможностью аналитического интегрирования при вычислении коэффициентов (9). Поэтому коэффициенты anm, bnra вычисляют, применяя методы численного интегрирования. Наибольшее распространение получили метод Неймана, основанный на использовании квадратур Гаусса, и метод интегральных сумм, предложенный И. Д. Жонголовичем. Применительно к вычислению коэффициентов (9) для поля ip(u.V). заданного в сферической трапеции, формулы метода Неймана имеют вид:

anm л 1 %+1 2N0 f Cos mV-л

bnra * 4H0 k.t 1ш0 I Sin mV3i

где Ck - веса квадратур Гаусса,

N0 - степень, которой ограничен ряд (8), (uk_ V.,) - синусы широт и долготы узлов квадратурной формулы. Формулы метода интегральных сумм И. Д. Жонголовича

апш \ 2Sin mp Q J; _ t Cos uÑ3

í = - 1 Фпшк 2 {

bnm > 4зш1 k=1 d = 1 V sm mv3

^n 0

2P Q h _

2 Фпок 2 Ifcj

k=i j = i

(11)

где uk + 1

Фпшк = I Pnm (U) du , u„

h

2

b ♦

Q, L - константы, определяющие число слагаемых в интегральных суммах.

1}^;)-средние интегральные значения функции т|)(и, V) в ячей-ке(к,3). Использование численного интегрирования при вычислении коэффициентов обуславливает смешивание гармоник разных частот. Для ослабления этого эффекта необходимо выполнить фильтрацию изучаемого поля. На практике фильтрацию осуществляют, сглаживая эмпирические данные по ячейкам стандартных размеров. Размеры ячеек в радианах можно оценивать из условия

4я

Б2 = -, (12)

2 (М0+1)2

или по предложенной Ю.М.Нейманом формуле

Б0 = г° /л . (13)

где г0° - радиус нулевой корреляции остаточного поля, полученного после удаления из исходного поля всех гармоник до степени Обе формулы дают практически одинаковый результат.

Подробное описание программ для моделирования поля т|)(и, V) на ЭВМ дано в работе /3/ . Эти программы получены в результате переработки оригинальных программ из кандидатской диссертации автора "Оценка точности гармонических коэффициентов аномалий силы тяжести".

Вычислительные эксперименты, выполненные для поля рельефа и аномалий силы тяжести, заданных в трапециях различных размеров, показали, что точность моделирования ограничена и достигает минимума при • -

/КТ

N0 = /— - 1 , (14)

где КТ - количество исходных точек в исследуемой области.

Среднеквадратическая б и абсолютная Д погрешности при всех п < N0 удовлетворяют неравенству

А < (4,5 + Ш п) • б . (15)

/

Погрешность моделирования гравитационного поля обусловлена:

- ошибками машинной арифметики;

- сглаживанием поля;

- некорректностью задачи суммирования рядов Фурье с эмпирическими коэффициентами;

- ограничением ряда;

- дискретностью и неравномерностью исходных данных;

- несовпадением пунктов измерений с узлами кубатурных формул.

В результате исследований установлено, что погрешности машинной арифметики по абсолютной величине пренебрегаемы /5/. Для оценки влияния сглаживания поля на результаты моделирования исследована зависимость частотной характеристики оператора сглаживания от формы и размеров области сглаживания.

В настоящее время считается, что частотная характеристика есть функция только степени сферической гармоники и площади ячейки сглаживания и не зависит от порядка з и формы ячейки. В реферируемой работе предложен метод моделирования частотной характеристики, основанный на определении всех значений 6пт поочередно для сферических гармоник степени г, порядка з с единичной амплитудой при их сглаживании по ячейкам заданной формы и размеров. Анализ значений весовых коэффициентов частотной характеристики для гармоники степени г,порядка э показал, что их величина при г=п, з=ш превосходит остальные,при размерах ячейки сглаживания 10° х 10° , примерно в 100 раз, а для ячеек сглаживания 5°х 5°-почти в 1000 раз.Это обстоятельство позволяет в частотной характеристике оператора сглаживания по ячейкам 5° х 5° и мельче ограничиваться учетом только главного весового коэффициента при п=г, т=Б. В таблице 1 для сферических гармоник, степень и порядок которых кратен 5, приведены значения главного весового коэффициента частотной характеристики, полученные по результатам моделирования. Сравнение данных из колонок 2, 3 и 5 показывает зависимость частотной характеристики от степени э сферической гармоники, формы и размеров ячейки сглаживания. Сопоставление данных колонок 3 и 4 показывает зависимость частотной характеристики от смешивания гармоник.

Таблица 1

Частотные характеристики оператора простого сглаживания

отдельные гармоники сумма гармоник по круговым

при N = 36 областям

г ячейка ячейка равновеликие а 1|)° = —

Дф° =АХ° пятиградусная пятиградус- Г

=5° равновеликая ные ячейки

1 2 3 4 5

0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

5 0 0.9811 0.9815 0.9815 0.9819

10 0 0. 9324 0.9289 0.9289 0.9353

15 0 0.8576 0.8500 0.8500 0.8632

20 0 0.7628 0.7388 0.7388 0.7710

25 0 0.6557 0.6777 0.6777 0.6654

30 0 0.5484 0.5623 0.5623 0.5529

5 5 0.9827 0.9811 0.9814

10 5 0.9490 0. 9325 0.9325

15 5 0.8876 0.8578 0.8572

20 5 0. 8033 0. 7627 0.7574

25 5 0.7023 0. 6536 0. 6558

30 5 0.5917 0.5370 0.4965

10 10 0. 9352 0. 9321 0.9321

15 10 0.8890 0. 8577 0.8575

20 10 0.8186 0.7630 0.7653

25 10 0.7296 0.6541 0.6576

30 10 0.6285 0.5415 0.5717

15 15 0.8610 0.8665 0.8560

20 15 0.8058 0.7625 0.7626

25 15 0.7307 0.6357 0.6734

30 15 0.6416 0.5425 0.4977

20 20 0.7657 0.7599 0.7593

25 20 0.7055 0. 6543 0.6480

30 20 0.6301 0.5424 0. 5929

25 25 0.6560 0.6494 0.6542

30 25 0.5951 0.5398 0.5270

30 30 0.5394 0. 4262 0. 5323

Сравнивая одноименные гармоники планетарного поля и поля, заданного в сферической трапеции, получим систему уравнений:

Эпт ) = I £ Агз I агЗПП ) + Вгз ( УгЗПт \ . (16)

Ьпт > г=0 й=0 I ргвпп ) I 5гзпт )

где а. ß, Y- 5 - коэффициенты разложения планетарных сферических функций Prs(Sin<p) Cos(sX), Ргз (Slntp) Sin(sX) по системе функций Pnm(u) CosmV, Pnra(u) SlnmV_ ортонормированных в области Дш. Уравнения (16) устанавливают связь между коэффициентами Агз, Вгз планетарного поля F(<p,X) и коэффициентами anm, bnra этого же поля, полученными по результатам гармонического анализа в Дш.

Выполняя в рядах по сферическим функциям суммирование в ограниченном диапазоне частот, получим спектрозональные математические модели поля. Выбор диапазона частот (спектрального окна) выполняют либо аксиоматически, либо по результатам анализа физических объектов, генерирующих поле.

В третьем разделе рассмотрено решение прикладных задач при моделировании стационарного аномального гравитационного поля по результатам гармонического анализа и исследованы погрешности, связанные с технологией моделирования.

Некорректность задачи суммирования рядов по сферическим функциям с приближенными коэффициентами обуславливает необходимость использования регуляризирующих алгоритмов /6/. Если ряд по сферическим функциям сходится к изучаемой функции, то погрешность и„ из-за ограничения ряда убывает с ростом N, а погрешность 5Н суммы из-за ошибок отдельных слагаемых увеличивается. Поэтому имеет смысл выбрать значение N, удовлетворяющим условию

II и„ и + II S„ II = min . (17)

Более сложные методы регуляризации основаны на использовании регуляризирующих множителей

1

Rn = - . (18)

1 + а Х„

где Хп - собственные числа рассматриваемой краевой задачи.

Действие регуляризирующих множителей при суммировании рядов Фурье эквивалентно действию фильтра, подавляющего аддитивный шум, с частотной характеристикой

Рс (п)

Н(п) =- , (19)

Рс (п) + Рш (п)

где Рс(п),Рш(п) -спектральные плотности мощности сигнала и шума.

Полагая моделируемое поле однородным и изотропным, в работах Морица и Неймана предложено выбрать

0П

йп = - . (20)

Да + С1„

где Бп, <3П - степенные дисперсии на частоте п изучаемого поля и шума.

Эта формула вполне согласуется с формулой (19). Трудность оценки Еп по формуле (20) вынуждает вернуться к формуле (18). определяя в ней а путем вариантных расчетов. Такие расчеты были выполнены /6/ для двух вариантов определения стабилизирующих множителей

п(п+1) ^

Нн' - I 1 -

R„" = ехр

(N+l)(N+2)

П(П+1) (N+1HN+2)

(21)

Анализ результатов вычислений показал, что применение стабилизирующих множителей (21) при N < 31 на 15-20% повышает точность моделирования поля.

Сумма 5fH. неучитываемых при суммировании членов ряда по сферическим функциям, удовлетворяет полученной К. В. Холшевниковым оценке

max||5fJ1 < С Г3/2 . (22)

а среднеквадратическое значение

2 ю " б„ = I I

п = N +1 т = 0

|5fN|| оценивается по формуле ~ 2

(А2

"•"■lim +

Дпт )

= I

D„

(23)

п = N + 1

Аппроксимируем степенные дисперсии функций

2 -з

Бп < Сп , п > N (24)

и, определяя константы С и Б по результатам статистического анализа эмпирических данных, после суммирования (23) получаем численные значения б„2 . Для суммирования в (23) целесообразно /7/ использовать дзета-функцию Римана Z(s) и вычисления вести по формуле

N

2

б2 = -2 Вп . (25)

N

п = о

Объективным следствием применения методов численного интегрирования для вычисления гармонических коэффициентов служит необходимость определения гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул по имеющимся эмпирическим данным. Поэтому погрешность моделирования поля будет оцениваться относительно гипотетических значений в узлах. В действительности, необходимо получить модель поля, обеспечивающую наилучшую аппроксимацию не только по отношению к узлам кубатурных формул, но и по отношению ко всему множеству имеющихся данных. Решение этой задачи осуществляет итерационный метод гармонического анализа поля, дискретно заданного на сфере /8/.

На первом этапе выбирается правило (алгоритм) определения гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул и определяются эти значения. На втором этапе вычисляются значения гармонических коэффициентов до степени N. На третьем этапе осуществляется моделирование поля в пунктах, где имеются эмпирически е данные. На четвертом этапе оцениваются разности А между исходными эмпирическими данными и результатами моделирования. На пятом этапе осуществляется корректировка гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул путем применения выбранного на первом этапе правила к вычисленным на четвертом этапе разностям Д. Далее вычисления повторяются по откорректированным данным.

После выполнения первых двух итераций появляется возможность оценить качество процесса путем сравнения значений критериев точности моделирования, полученных из первой и второй ите-

раций. Если погрешность моделирования увеличивается, то это свидетельствует о расходимости процесса итераций и требует внесения изменений в алгоритм вычислений, что может быть выполнено или изменением степени N разложения в ряд, или изменением алгоритма (см. этап 1) вычисления гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул. Если погрешность моделирования убывает, то этапы 1-5 повторяются циклически, пока в двух последних итерациях значения критериев точности отличаются между собой больше, чем на заданную величину.

Экспериментальное применение этого метода показало, что ошибки моделирования уменьшаются на 50% и более.

Полученную модель поля можно интерпретировать как региональную модель, а соответствующие ей отклонения от исходных эмпирических данных - как аномалии изучаемого поля второго уровня..Разделим исследуемую область на части и выполним в каждой из них моделирование аномалий второго уровня. Полученную модель будем рассматривать как региональную модель второго уровня, а соответствующие ей отклонения от эмпирических данных - как аномалии третьего уровня. Таким образом, может быть построена иерархическая система математических моделей изучаемого поля, позволяющая изучать местные особенности полей, ограничиваясь невысокими степенями N в рядах по сферическим функциям.

Результаты планетарного гармонического анализа однородных и изотропных геофизических полей позволяют определить взаимные и автоковариационные функции по формулам

00

СОУ(\|!) = I Кп РП(С03Ц)), (26)

п=0

л

Кп = I

т

где штрихами отмечены гармонические коэффициенты полей и' и и".

В реферируемой работе показана возможность использования этих формул для геофизических полей, заданных в сферической трапеции, что позволяет получить ковариационные функции в изучаемой области, используя невысокие степени сферических гармоник /9/. Сравнение ковариаций, вычисленных традиционным статистическим методом и по формулам (26), (27) для поля аномалий силы тяжести

(З'пГЛ а"пш + Ь'пт Ь"пт), (27)

= 0

и рельефа, заданных в одной и той же области, практически подтвердило сделанный вывод.

Полученные результаты показывают практическую целесообразность и эффективность применения изложенного метода для моделирования переменного гравитационного поля, как явной функции координат, и для решения прикладных задач.

При реализации алгоритма моделирования возникает необходимость вычисления функций Фпт, определяющих интегралы от полиномов Лежандра Рпт(х). В диссертации приведены полученные автором /10/, /11/ рекуррентные формулы для вычисления интегралов от полинома Лежандра.

В четвертом разделе рассматриваются вопросы математического моделирования временных изменений гравитационного поля /12/. Вариации гравитационного поля обусловлены геодинамическими процессами космического, геологического, поверхностного и техногенного происхождения.

Геодинамические процессы космического происхождения возбуждаются динамикой системы Солнце-Земля-Луна. Главными среди них являются неравномерность вращения Земли и лунно-солнечные приливы.

Вектор мгновенной угловой скорости Земли

ш = ш (о)}, Шг, (1)3). (28)

Функции , о)2 характеризуют координаты мгновенного полюса, а функция ш3 - мгновенную скорость вращения Земли. Изменение скорости вращения Земли обуславливает изменение центробежной силы и деформации фигуры Земли, так что

I = Ё (ш3, а, е), а = а (0)3), е = е (0)3) ,

-(29)

где а, е - большая полуось и эксцентриситет эллипсоида, применяемого в качестве математической модели Земли.

В настоящее время вариации силы тяжести из-за изменений .о3 оцениваются величиной порядка 10~9м.с."2. Изменения силы тяжести из-за движений полюса, по оценке Н.Н.Парийского, составляют ± 4-10~8м.с."2.

Приливные возмущения гравитационного поля представляют моделью вида

Й(Р)= I к = 2

ш и

К

РК(Соз д),

(30)

на практике удерживая в бесконечной сумме не более двух первых слагаемых. Полагая Землю абсолютно твердой и недеформируемой, вертикальную 5gn и горизонтальную бgs составляющие приливной вариации силы тяжести оценивают по формулам

«& (Р) = - 2 к = 2

(Р) =

00 к = 2

ПЛ

т

К

Пк-1

. и I

г И

Рк(С0Б д) = - I бgnk, к = 2

к_1 (3

— Рк(С0Б д) = - 2 5gsk.

к = 2

аз

(31)

(32)

В действительности. Земля деформируется под действием приливных сил. В рамках статической теории приливов вариации

б®, (Р) 5§3(Р)

" * бк

к = 2

5gnк (Р.) бgsk (Р)

(33)

где бк - земноприливные параметры.

Вариации гравитационного поля, связанные с внутренней динамикой Земли, обусловлены гравитационной дифференциацией вещества, разнообразными физико-химическими процессами в недрах Земли и т.д. Для оценки этих вариаций необходимы данные о плотности вещества, как функции координат и времени

б = б(Р, г) = 5(х,у,ъ, П

(34)

На основе экспериментальных данных и разнообразных гипотез о внутреннем строении Земли построен ряд математических моделей, в которых Земля представляется состоящей, по крайней мере, из трех геосфер: земной коры, мантии и ядра. Внутри геосфер плотность б(Р, ^ изменяется медленно и плавно, а при переходе через границы - скачкообразно. Границы геосфер не остаются неизменными, они перемещаются относительно друг друга и относительно центра масс Земли.

Процессы, происходящие на поверхности Земли, генерируют вариации гравитационного поля, связанные с изменениями положения земной поверхности относительно центра ее масс. К таким процессам относят атмосферные, приливные, изостатической компенсации, эрозии, денудации, осадконакопления, вулканические, эвстатические колебания уровня океана, техногенные и т.д. Диапазон соответствующих им изменений положения поверхности Земли широк: от нескольких сантиметров за тысячелетие до десятков и сотен метров в год. Наиболее быстрыми и значительными по амплитуде среди них являются техногенные, приливные и вулканические процессы.

Основной характеристикой гравитационного поля Земли * служит потенциал силы тяжести, главную часть которого составляет потенциал притяжения

5 (М, Ь)

У(Р. г) = г//;-йх .

т Г (35)

Г = |РМ| .

Из этой формулы следует, что изменения У(Р, I;) обусловлены изменениями плотности вещества б(М, 1;) в области т и/или изменением границ области т. Следовательно, для математического моделирования изменений У(Р,Ю необходимо знать закономерности изменения функции 5(М,Ю и границ области т или иметь эмпирические данные об изменении У(РЛ).

Практически интегрирование в (35) приходится выполнять численными методами, аппроксимируя область т набором п элементарных ячеек, в каждой из которых плотность 5 - величина постоянная. Вследствие этого, непрерывная функция 5(МЛ) аппроксимируется п -мерным вектором, так что

п

У(Р. П = I \ (Р, г) к = 1

Е(РД)

ёх (Р. 1) /

п

gy (Р, 1) ■ = I

(Р. 1) > , к = 1

ё*к (Р. « ёУк (Р.ь) (Р, г)

а

г к

(Р.г) = — бк я соБф йх , 2 бК

ох к ёук ёгк

1

- Г5к Я-

би _

1РМ1

Хк

йс

ЙТ .

где X, ¡1, V - направляющие косинусы внешней нормали пк к поверхности бк элементарной ячейки т . ф - угол между п и РМ. Функции СобфД, ¡1, V в формулах (36) можно интерпретировать как плотность слоя, распределенного на поверхности б.

Модель простого слоя эффективно можно использовать при моделировании вариаций гравитационного поля, вызванных деформациями водной поверхности морей и океанов атмосферными процессами и приливами /13/. Амплитуды деформаций в исследуемой области Б невелики и поэтому приближенно можно оценить плотность возмущающего слоя функцией

Ф№,Ф,Х,Т)

Н№,фЛ.Т) - ВД.фА.То

(37)

Тогда

¥

Г Я — йз.

. и

ё =

ф

-г "Та.

сЗэ .

(38)

V

к

Когда данные об изменении функции 5(М,t) и границ области х отсутствуют, временные вариации гравитационного поля оценивают по результатам повторных измерений.

При этом в представлении его разложением в ряд по сферическим функциям необходимо гармонические коэффициенты рассматривать функциями времени и поле в пространственно-временной области определения моделировать функцией /12/, /14/

f(х,у,t) =11 (anm(t) cos my + bnm(t) sin rny}Pnm(sln x). (39)

Фиксируя в формуле (39) значение 1=Тк, получаем в исследуемой области математическую модель поля в этот момент времени, а фиксируя координаты х.у - математическую модель эволюции поля в точке с этими координатами.

В функциональном пространстве с базисом из сферических функций изучаемое поле моделируется вектор-функцией /15/

Г = f(t) = { anm(t),bnm(t) } |T(t) I = { IS ( anmZ(t)+ bnra2(t))1/2}

r0(t) =

anm(t)

I r (t)

b„m(t)

lr(t)

(40)

n Ш

где f0(t) - орт вектора f(t).

Когда начало вектора f помещено в фиксированную точку пространства, конец этого вектора, при изменении скаляра t, описывает в пространстве некоторую кривую, уравнение которой и представляет математическую модель эволюции поля. Взаимное положение векторов f(t) и F(t+T) найдем по формуле

f(t) • f(t+T) q(t.x)= - • (41)

If(t)| • [Г(t+т)I

которая определяет косинус угла между векторами f(t) и f(t+x) и характеризует изменение направления вектора f(t) за время т.

Формулы (40), (41) определяют математическую модель эволюции поля, как явную функцию времени.

Численные эксперименты по оценке пространственно-временных вариаций поля выполнены для техногенных процессов в районах крупных водохранилищ /16/, рудных карьеров /17/ и для процессов, связанных с деформациями водной поверхности морей и океанов /13/.

Эти эксперименты показали, что возмущения гравитационного потенциала достаточно велики (они вызывают смещение уровенных поверхностей на несколько десятков миллиметров) и медленно убывают с удалением от возмущающей массы, а вариации вектора силы тяжести могут достигать несколько единиц 10"5м.с"2.

Точность алгоритмов и программ оценивалась по выполнению условий

a2v 32v 32v

Зх2 Эу2 6z2

a2v a2v 32V

ах2 6 У2 3zZ

= О, ? £ т.

-4jtfö, Ре т

(42)

где т - область, в которой сосредоточена переменная масса воды.

Результаты вычислений с "двойной точностью", показали, что невыполнение условий (42) по абсолютной величине не превосходит 10~14. Погрешность результатов вычислений из-за аппроксимации области т системой элементарных параллелепипедов зависит от размеров параллелепипедов и удаления точки Р(х,у,z) от переменной массы. Результаты исследований показали, что при удалении точки Р(х, у,z) от переменной массы на 100 и более метров и при размерах элементарных параллелепипедов, не превышающих 125м, погрешность оценки вариаций вектора силы тяжести составила 10~5м.с~2., при удалении точки Р(х, у, z) на 500 и более метров - не превышает 5-10"7м.с. ~2.

Колебания поверхноти морей и океанов вызываются атмосферными и геологическими процессами, приливами в водной среде.

изменением климата и различаются размерами охватываемой территории. амплитудами колебаний и продолжительностью существования.

Климатические колебания уровня океана связаны с сезонными изменениями и с потеплением или похолоданием климата на Земле. По амплитуде сезонные колебания достигают одного метра, а колебания из-за похолодания или потепления климата около 1 см в год. Изменения уровня, связанные с геологическими процессами проявляются в виде волн "цунами", эвстатических колебаний при изменении объема океанических впадин и колебаний, вызванных изменением ротационного режима Земли.

Атмосферные процессы на поверхности морей и океанов проявляются в виде ветровых волн, сгонно-нагонных явлений и баростати-ческих колебаний уровня. Вблизи побережий эти процессы могут вызывать изменения уровня на 1-2 метра, охватывать территорию в десятки тысяч квадратных километров и существовать длительное время.

Приливные колебания уровня зависят от условий распространения приливных волн, в открытом океане достигают 1-2 метров, вблизи побережий - 10-15 метров.

Таким образом, наиболее значимые колебания уровня океана обусловлены атмосферными и приливными процессами. Эти изменения уровня океана обуславливают изменения потенциала и силы тяжести. Оценка этих вариаций, основанная на модели простого слоя .получена по данным об изменении топографии Саргассова моря за один месяц. Несмотря на то, что изменения топографии Саргассова моря не превышают по амплитуде 0,5 метра, обусловленные ими вариации потенциала влекут смещения уровенных поверхностей на 1-2 мм даже при удалении исследуемой точки на 1000 км от побережья.

В пятом разделе решены прикладные задачи геодезии в переменном поле силы тяжести. Сначала получены метема-тические модели, устанавливающие зависимость результатов геодезических измерений от вариации вектора силы тяжести.

Пусть в точке Р выполняется измерение направления Ра, орт которого

Б0 = { з11й совА. э1пг эША, соэг } = { а. р. К) (43) и нивелирное превышение

ЙН = - - g аэ . (44)

*

Пусть изменение гравитационного поля сопровождается вариацией вектора силы тяжести - •

5й = { gx.gy.gz}. (45)

орт которого

йо = {- -П. -V ■ (46)

При этих условиях изменения БА горизонтального направления, Бг зенитного расстояния вектора РО. и нивелирного превышения БЬ

в зависимости от вектора 5g определится /18/ по формулам

( - ап ) соэг.

б1ПБА = --(47)

(а2+р2)1/2 [(а-Чсозг1)г+(Р-псоз21)2]1/г

Ш = агссоэг - агссовг^ (48)

№ _ _ ^ 55 = _ + ёУйУ + (49)

К К

Эти зависимости позволяют создавать математические модели, имитирующие результаты геодезических измерений в переменном поле силы тяжести,

А = А ( х.у) , г = г ( х,у,2.ёх,ёу) , (50)

Ь = ]1 (.Х.у.г^х^у^д ) .

В реферируемой работе изложена процедура имитационного математического моделирования результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести. Трасса нивелирования

представлялась замкнутым полигоном с периметром 18км. Вариации силы тяжести генерировались изменением уровня водохранилища. В результате на практике была отработана технология моделирования зависимости результатов геометрического нивелирования от изменений гравитационного поля, получена численная оценка этой зависимости и обоснован вывод о необходимости учета изменений результатов нивелирования из-за вариаций силы тяжести, возникающих в результате накопления или сброса воды в водохранилище /19-21/.

Зависимость результатов геометрического нивелирования от вариаций гравитационного поля, вызванных океаническими приливами, оценена для нивелирного полигона периметром около 700км, расположенного на полуострове Камчатка /22/. Трасса нивелирования определялась по рабочим материалам производственного объединения "Дальаэрогеодезия". При оценке вариаций силы тяжести учитывались приливы только Охотского и Берингова морей. Математическое моделирование приливов осуществлялось на основе модели Швидерского.

Результаты вычислительного эксперимента показали, что вариации превышений в ходе "прямо" и в ходе "обратно" на отдельных линиях хорошо согласуются между собой, по абсолютной величине не превосходят 5мм, в замкнутом полигоне вариации превышений по абсолютной величине около 1мм.

Зависимость результатов измерений от вариаций гравитационного поля необходимо исследовать и при наблюдениях за деформациями инженерных сооружений. Такое исследование выполнено для оценки влияния вариаций силы тяжести на положение системы прямых и обратных отвесов плотин ГЭС /23/. Математическая модель, имитирующая изменение координат точки 0. отвеса РА из-за вариаций поля силы тяяйсти при изменениях уровня водохранилища, получена в явной аналитической форме

где gx(А, Н),(А,Н)_ gz(А,Н) - вариации координат вектора силы тяжести в точке А, где сосредоточена масса отвеса, при уровне водохранилища Н метров,

1 - расстояние точки 0. от точки крепления отвеса.

ёх (А, Н) - gx (А, Н0) 1

ву(А.Н) - ву(А.Но) (А,Н) (А,Н0)

(51)

Математическая модель (51) была практически использована на Саяно-Шушенской ГЭС. Она вошла составной частью в математическое и программное обеспечение АСУ ТП ГЭС, получен акт внедрения.

Вычислительный эксперимент, выполненный для Саяно-Шушенской ГЭС показал, что вариации положения отвесов из-за сезонных изменений уровня Саяно-Шушенского водохранилища могут достигать в плане 0.7мм.

Оценка и учет вариаций гравитационного поля необходимы на пунктах, где выполняются гравиметрические измерения. Такая оценка выполнена для гравиметрического полигона института геофизики академии наук Грузии, расположенного в окрестности водохранилища Ин-гури ГЭС. Исходные данные для построения гравитационной математической модели водохранилища предоставлены лабораторией гравиметрии института геофизики. Для вычислений использована технология оценки вариаций силы тяжести, изложенная в разделе 4, алгоритм вычислений определяется формулами (36). Оценка вариаций выполнена для шести пунктов и трех эпох наблюдения при уровнях водохранилища 410. Ом, 418.5м, 498.5м. На трех исследуемых пунктах вариации силы тяжести, при уровне 498.5м заметно (в 2 - 5 раз) превзошли ошибки результатов измерений. Это обстоятельство свидетельствует о необходимости учета этих вариаций при анализе повторных гравиметрических измерений. Математическая модель для оценки вариаций поля силы тяжести в окрестности Ингури ГЭС передана для использования в лабораторию гравиметрии института геофизики Академии наук Грузии, получен акт внедрения.

3. Заключение

Современные задачи науки и техники поставили перед геодезией новую задачу по изучению переменного гравитационного поля Земли, как функции координат и времени. В решении этой фундаментальной задачи важным этапом является разработка математической модели переменного гравитационного поля Земли. Объективные причины обуславливают множественность математических моделей переменного гравитационного поля. Среди них необходимо выбрать ту, которая наилучшим образом обеспечивает решение поставленных практикой прикладных задач. Поэтому, наряду с моделированием гравитационного поля, необходимо разрабатывать технологию реше-

ния конкретных прикладных задач в рамках принятой модели переменного гравитационного поля Земли.

На основании изложенных в данной работе теоретических исследований, ■ выполненных вычислительных экспериментов, разработанных технологий решения прикладных задач можно сформулировать следующие основные результаты и выводы.

1. Теоретически обоснован и реализован метод математического моделирования гравитационных полей, заданных в сферической трапеции, основанный на их представлении рядами Фурье по системе сферических функции. Это позволило получить единую технологию моделирования планетарных, региональных и локальных полей и эффективно использовать хорошо развитый математический аппарат сферического гармонического анализа.

При этом предложена и практически реализована технология оценки точности программного обеспечения, используемого при моделировании физических полей, методика оценки бесконечной суммы не учитываемых членов ряда Фурье, основанная на использовании дзета-функции Римана, технология определения частотной характеристики операторов сглаживания исходной информации по ячейкам различной формы и размеров.

2. Предложен конструктивный метод моделирования скалярных полей, заданных в конечном множестве точек области исследования. Этот метод основан на итеративном отображении множества исходных данных на множество узлов кубатурной формулы под условием минимума эвклидовой нормы разности вектора исходных донных и вектора результатов моделирования. Выполненные вычислительные эксперименты показали, что выигрыш в точности, по сравнению с традиционными методами моделирования скалярных полей по результатам их гармонического анализа, может достигать 50%. Этот метод передан для применения в НИИ прикладной геодезии, ЦКП 280 и в/ч 62723 (получены акты внедрения).

3. Для моделирования эволюции гравитационных полей во времени предложено использовать вектор-функцию, модуль и направление которой в фиксированный момент времени определяются по результатам гармонического анализа изучаемого поля, отнесенного к этому же моменту времени. Алгоритмы моделирования определяются формулами (39), (40), (41). Гармонические коэффициенты интерпретируются как фазовые координаты точки,положение которой в фазовом пространстве характеризует состояние гравитационного поля в мо-

мент времени %. При изменении гармонических коэффициентов во времени эта точка в фазовом пространстве описывает кривую линию (фазовую траекторию). Уравнение этой линии и представляет математическую модель эволюции поля во времени.

4. Разработаны математические модели переменных гравитационных полей, генерируемых техногенными геодинамическими процессами, связанными со строительством и эксплуатацией водохранилищ и рудных карьеров. Выполнен эксперимент по моделированию таких переменных гравитационных полей в районах Саяно-Шушенского, Красноярского и Ингури. - водохранилищ и в районе Соколовско-Сорбайскогс рудного карьера. Математическая модель переменного гравитационного поля Саяно-Шушенского водохранилища применена при решении задачи оценки влияния этого поля на результаты наблюдений за плановыми смещениями плотины Саяно-Шушенской ГЭС (получен акт внедрения). Метод оценки и программная документация переданы для использования в НИИ прикладной геодезии и на Саяно-Шушенскую ГЭС. Оценка изменений гравитационного поля в районе Ингури-водохранилища использована для редуцирования результатов гравиметрических измерений в фиксированную систему отсчета гравитации и времени. Метод моделирования и программная документация переданы для использования в институт геофизики АН Грузии (получен акт внедрения).

5. Разработаны математические модели для редуцирования результатов измерений направлений и превышений в единую систему отсчета гравитации и времени. Эти модели использованы при выполнении имитационного моделирования результатов геодезических измерений в переменном поле с целью получения информации для редуцирования результатов измерений в единую систему отсчета гравитации и времени.

Для нивелирного полигона на полуострове Камчатка ' выполнено математическое моделирование зависимости результатов геометрического нивелирования от изменений гравитационного поля, создаваемых приливами Охотского и Берингова морей (получен акт внедрения).

Непосредственно автором разработаны: метод гармонического анализа геофизических полей, заданных в сферической трапеции; итерационный метод гармонического анализа геофизических полей, дискретно заданных на сфере; метод оценки частотной характеристики операторов преобразования исходных данных; метод моделирования переменного гравитационного поля по результатам гармони-

ческого анализа, метод моделирования техногенных вариаций гравитационного потенциала и силы тяжести в окрестности водохранилищ и рудных карьеров; метод моделирования результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести; метод математического моделирования влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты угловых измерений и геометрического нивелирования; метод оценки влияния вариаций силы тяжести на результаты наблюдений за плановыми смещениями плотин ГЭС.

При непосредственном участии автора выполнены исследования: по разработке технологии оценки точности результатов гармонического анализа геофизических полей; технологии математического моделирования результатов астрономо-геодезических измерений в переменном поле силы тяжести; технологии оценки и учета влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты наблюдений за плановыми смещениями плотин ГЭС; метода оценки взаимных и автоковариационных функций геофизических полей; проведены вычислительные эксперименты по оценки влияния приливов Берингова и Охотского морей на результаты геометрического нивелирования на полуострове Камчатка; по оценке вариаций гравитационного поля в окрестности водохранилищ и рудных карьеров; по оценке влияния вариаций силы тяжести на положения прямых и обратных отвесов плотин ГЭС; по моделированию поля аномалий силы тяжести и рельефа местности. •

Автор принимал непосредственное участие в разработке алгоритмов, составлении и отладке программ, реализующих разработанные методы. Полученные результаты внедрены в производственном объединении "Дальаэрогеодезия". АСУ Саяно-Шушенской ГЭС, институте геофизики Грузинской академии наук. Научно-исследовательском институте прикладной геодезии, используются в учебном процессе.

Таким образом, вынесенные на защиту научные положения полностью обоснованы и практически реализованы, сформулированные задачи решены и, следовательно, цель исследования - разработка методов математического моделирования переменного гравитационного поля Земли и их практическое использование - достигнуты.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. ВовкИ.Г., Костына Ю.Г. Об аппроксимации рельефа рядом Фурье по системе ортогональных функций // Изв. ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка,- 1981.- Вып.- 4. С.19-25.

2. Вовк И*Г. Представление геопотенциала и вывод его параметра на основе гармонического анализа в сферической трапеции // Тез. докл. на Всесоюз. конф. "Исследов. гравитацион. поля и природ. ресурсов Земли косм, средствами".- Львов,- 1984. - С. 4.

3. Исследование гравитационного поля и фигуры Земли/ В.В. Бузук, И.Г. Вовк, Ю.Г. Костына, A.C. Суздалев: Учеб. пособие / НИИГАиК, 1987.- 78 с.

4. Бузук В.В., Вовк И.Г., Канушин В.Ф., Суздалев А.С. Представление геопотенциала разложением в ряд по сферическим функциям до высоких порядков// Тез. докл. Всесоюз. конф."Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами".- Львов, 1984.- С. 3-4.

5. Вовк И.Г., Суздалев А.С. Исследование точности выполнения на ЭВМ сферического гармонического анализа. Геодезия и картография// Науч. тр. ВАГО,- М., 1987.- С.38-41.

6. Вовк И.Г., Ральченко В. Ф., Костына Ю.Г. О суммировании рядов Фурье с приближенными коэффициентами// Межвуз. сб. / НИИГАиК.

- 1980,- С. 116-122.

7. Вовк И.Г., Мирошников А.Л. О точности представления внешнего грвитационного потенциала и силы тяжести разложением в ряд по сферическим функциям// Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодинамики и астрономии".- Киев. 1988,- С. 59-61.

8. Вовк И.Г. Итерационный метод гармонического анализа дискретно заданного скалярного поля на сфере// Изв. ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка,- 1986,- Вып.1.-С.73-78.

9. Вовк И.Г., Канушин В.Ф., Суздалев A.C. Локальный ковариационный анализ физических полей Земли// Геодезия и картография.-1986. -N3.- С.16-20.

10. Вовк И.Г. Алгоритмы и программы для вычислений интегральных значений сферических функций// Тр.НИИГАиК .-1972. -Т.26.

- С.21-30.

И. Вовк И.Г. Алгоритмы для гармонического анализа скалярных полей// Межвуз. сб./ НИИГАиК. - 1980,- С. 92-100.

12. Вовк И.Г. Некоторые вопросы геодинамики и физической геодезии// Геодезия и картография.- 1986.-N 7,- С. 9-11.

13. Вовк И.Г., Дюков В.П. О влиянии изменения уровня моря на элементы фигуры Земли// Астрономия и геодезия,- Томск, 1989. -N15,- С. 151-153.

14. Бузук В.В., Вовк И.Г. Гармонический анализ изменений геофизических полей на геодинамических полигонах// Современ. движения и деформации зем. коры на геодинам, полигонах.- М., 1983.-С.146-147.

15. Вовк И.Г., Суздалев A.C. Геоспутниковые технологии и переменное гравитационное поле Земли// Тез. докл. Междунар. конф. "Сферы применения GPS-технологий".- Новосибирск,1995.- С.16-18.

16. Вовк И.Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища//Геодезия и картография.-1982.-N9.-С.12-15.

17. Вовк И.Г., Горленко Н.М. Неприливные вариации силы тяжести в окрестности рудного месторождения//Повтор. гравиметр, измерения.- М., 1984,- С. 78-79.

18. Вовк И. Г. Математическое моделирование результатов угловых измерений в переменном поле силы тяжести// Геодезия и картография,- 1993,- N2,- С. 8-10.

19. Вовк И.Г. Влияние вариаций поля силы тяжести на результаты геометрического нивелирования//Повтор. гравиметр, набл.- М., 1982,- С.41-47.

20. Вовк И.Г. Интерпретация результатов высокоточного нивелирования вблизи водохранилища//Геодезия и картография.- 1983.-N3. - С. 18-20.

21. Вовк И.Г. Математическое моделирование результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести// Изв. ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка.- 1984. - Вып.3.- С. 72-75.

22. Вовк И.Г., Суздалев А.С., Горбань В.М. Оценка влияния океанических приливов на результаты геометрического нивелирования //Тез.докл. IX съезда ВАГО, АН СССР,- Новосибирск,1990.- С.37-38.

23. Вовк И.Г., Суздалев А.С. Влияние техногенных вариаций силы тяжести на положение отвесов плотин ГЭС// Геодезия и картография. - 1990,- N2.- С. 14-16.

24. Вовк И.Г., Суздалев A.C. Математическое моделирование задач прикладной геодезии: Учеб. пособие/ НИИГАиК, 1990,- 58с.