автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Регрессионные модели мегарельефа и гравитационных полей планет

На правах рукописи

Дьяков Владислав Иванович

ГТ5 ОД

Ь5 [JCJ

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ МЕГАРЕЛЬЕФА И ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ

ПЛАНЕТ

Спстттяаость 05.13.16

Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиям

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

¡Ст*

А

Ульяновск - 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном техническом университете

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Валеев С.Г.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор Андреев A.C.

д.т.н., профессор Ярушхина Н.Г.

Ведущая организация: Государственный астрономический

институт им. П.К.Штернберга МГУ

Защита состоится 15 марта 2000 г. в 14 часов в ауд.211 на заседании диссертационного совста ,ЦР 064.21.29 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г.Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского госиднпственного технического ^'ниВ'-^ситета

Автореферат разослан «_» февраля 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор „ YJ^ В.Р.Крашениппиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последние годы в связи с освоением околоземного пространства, многочисленными шусками космических аппаратов, расширением круга задач народнохозяйственного, научного оборонного значения, решаемых с их помощью, проявляется устойчивый интерес к проблеме точнения математических моделей мегарельефа и гравитационных полей (МГП) планет Солнечной системы.

С этой целью основные усилия исследователей были направлены на повышение точности и бъема измерительных данных, а также максимальное увеличение порядка разложения атематичесхих моделей, представляемых разложениями по сферическим функциям.

Большой вклад в развитие вопросов обработки астроинформации внесли отечественные ченые (Аким Е.Л., Грушинский H.1I., Сагитов М.У., Бровар В.В., Чуйкова H.A., Кислкж B.C., алеев С.Г., Гаврилов И.В., Дума A.C., Жонголович И.Д. и др.). Различные аспекты проблемы ценивания параметров математических моделей МГП рассмотрены в большом числе научных убликаций. При этом особое внимание уделяется обработке наземной и спутаиковой »формации о земной поверхности. Эти результаты, а также новые данные детальной съемки г дельных участков поверхности планеты, полученные с помощью искусственных спутников емля, послужили основой для создания глобальной аналитической модели рельефа Земли и яда новых глобальных и региональных карт рельефа различного масштаба.

Важной вычислительной процедурой при обработке наземной и космической информация вляется этап оценивания параметров математических моделей, используемых при описании ельефа и гравитационных полей планет. Здесь чаще всего исследователь сталкивается с роблсмами построения математический модели по измерениям, полученным из наземных абяюдений, аэрокосмическими или космическими средствами, и выбора корректного пгоритма обработки данных, совмещая требования к точности и надежности результатов и озможности, обеспечиваемые выборкой данных, методами прикладной математической гатистнки и компьютерными технологиями.

Существующие в настоящее время модели геометрических фигур и гравитационных полей ланет земной группы (в частности, для Земли, Луны, Венеры) являются продуктом волюционного процесса накопления информации, а также результатом применения различных втодов обработки астроинформации. С полной уверенностью можно сказать, что сейчас г, ракгике сложился определенный подход к оцениванию параметров математической модели, а меино, применение до определенного порядка разложения традиционного метода наименьших вадратов (МНК). Отсутствие системного подхода к задаче, возрастающие требования практики

возможности методологии, основанной на статистическом моделировании, ставят под омнетис применение МНК. Выдвигается ряд критических замечаний в адрес стандартного одхода: 1) ограничен круг применяемых мер качества модели; 2) принятая модель МГП соличество и вид параметров) принимается жестко фиксированной; 3) не учитывается ишижноаъ нарушения предположений МНК. Условия применения МНК в рассматриваемой вдаче точного восстановления математического описания рельефа и гравитационного поля ланет могут нарушаться. В соответствии с теорией это приводит к значительным случайным и астематическим ошибкам и понижению точности прогноза из-за наличии в модели, в первую чередь, незначимых по t - критерию слагаемых, в результате чего оценки параметров не называются наилучшими линейными оценками.

R силу сказянттого, рягемятривяемяо я диссертационной работе задача математического писания оптимальными структурами рельефа и гравитационных полей планет является ктуальной.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи азработки, исследования и реализации метода представления мегарельефа и гравитационных

полей планет оптимальными математическими структурами на основе статистическс (регрессионного) моделирования, компьютерных технологий и современных планетных дани для повышения эффективности моделей и точности оцениваемых характеристик рельефа гравитациопиых полей Земли, Луны и Венеры.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка функционального наполнения и оболочки специализировали автоматизированной системы, обеспечивающей эффективное решение проблемы адекватное моделей рельефа и гравитационных полей планет на уровне точности измерений, объем используемой информации и предусматривающей решение задач большой размерное: построение разложений по сферическим функциям, сечений и карт изолиний рельефа характеристик гравитационного поля.

2. Построение и численное исследование внешних критериев оптимальное математических структур, описывающих мегарельеф и гравитационное поле.

3. Модификация и численное исследование методов структурной идентификации применении к задачам построения моделей МГП.

4. Разработка и численный анализ моделей мегарельефа для Земли и Луны:

- построение стандартных моделей мегарельефа и анализ нарушений основн предположений (ОП) схемы Гаусса - Маркова; - поиск оптимальных математических струкг описывающих рельеф, и анализ их эффективности; - построение и сравнительный анал сечений и карт изолиний рельефа для стандартных и оптимальных разложений.

5. Разработка и численный анализ моделей гравитационных полей для Земли а Веперы:

- построение стандартных моделей гравитационного поля и исследование нарушений О - поиск оптимальных математических структур, описывающих гравитационное поле, исследование кх эффективности; - построение и анализ сечений и карт изолин гранитациошшго ноля для стандартных и оптимальных разложений.

Методы исследований

В диссертационной работе используются методы математического моделироваш непрерывной и дискретной оптимизации, численные методы, методы теории вероятностей математической (прикладной) статистики, а также методы объектно - ориентированно программирования.

Научная новизна работы

1. На основе РМ - подхода и компьютерных технологий разработана автоматизирована система научных исследований (АСНИ), являющаяся программной реализацией мето. представления МГП планет оптимальными математическими структурами.

2. В качестве критериев оптимальности моделей МГП впервые предложены и исследовш внешние меры, основанные на контрольных выборках: Од- случайная ошибка прогноза, ¡Д систематическая ошибка прогноза, - коэффициент множественной корреляции р контрольной выборки.

3. Ы^ асьсзе чьеленль^.-. *¿^А^олжи ¿¿рц^и^чтитсльнссть применен модифицированного метода пошаговой регрессии в качестве основной процедуры мете представления МГП планет оптимальными математическими структурами.

4. На основе статистического подхода впервые показано, что стандартные математическ модели гравитационных полей Земли и Венеры, а также мегарельефа Земли, обремени ошибками, порожденными невыполнением ОП схемы Гаусса - Маркова. Показано, что моде мегарельефа Луны 40-го порядка, построенная по космическим данных проекта «Клементин в отличие от модели, построенной по наземным данным, практически не содерж взаимозависимых гармоник разложения, но тем не менее обременена щумовы составляющими.

5. Впервые на основе внешних мер доказана высокая эффективность применения Р] подхода для получения математических моделей МГП планет (на примере Земли, Луны

Венеры): - повышение в несколько раз точности прогнозирования (в случайном отношении до 4 раз); - снижение размерности моделей до 40%, позволяющее сократить вычислительные затраты при моделировании и применении моделей.

б. Для использованных данных по рельефу и гравитационным аномалиям Земли впервые получены оптимальные математические разложения по сферическим функциям, соответствующие глобальные гипсометрические карты и карты гравитационного поля. В рамках возможностей вычислительной техники, ограничивших до 40-го порядка разложения по мегарельефу Луны и объем измерительной информации до 30 ООО при том же порядке разложения по гравитационному полю Венеры, аналогичные результаты получены для естественного спутника Земли и второй по удалению от Солнца планеты.

Практическая ценность работы

1. Разработаны метод и программная система (АСНИ) получения эффективных (по точности и размерности) математических моделей МГЦ. АС1ГИ может применяться без модификаций для построения оптимальных разложений но сферическим функциям (в рамках задач МНК) до 40-45 порядков. Более высоких порядков разложения на основе МНК можно достичь путем наращения технических возможностей вычислительных средств, включая применения суперкомпьютеров и транспьютеров. Повышение требований к быстродействию и объему памяти при увеличении порядка разложения вызвано применением схем МНК, однако при отказе от их использования и, следовательно, от точности характеристик исчезнет возможность обнаруживать и устранять шумовые гармоники разложений.

2. Введение в практику моделирования МГЛ контрольных выборок в соответствии с методическими рекомендациями позволит по внешним критериям опималыюсти дискриминировать конкурирующие модели, алгоритмы структурно - параметрической идентификации (СПИ) и сценарии обработки с их использованием.

3. Предложенный (в методе представления МГП планет оптимальными математическими структурами) в качестве основного алгоритма СПИ модифицированный метод пошаговой регрессии в силу очевидных его достоинств (учет нарушения ОП по избыточности разложения и взаимозависимости гармоник в условиях слабой и средней степени мультиколлинеарности, многокритериальность поиска, использование схемы Хаусхольдера) может широко применяться для математического моделирования МГП.

4. Разработанные стандартные и оптимальные модели МГП большой размерности, глобальные гипсометрические карты Земля, Лупы, карты вариаций ускорений силы тяжести на поверхности Земли и карты лучевых ускорений гравитационного поля Венеры помимо самостоятельного интереса (по Земле и отчасти по Луне) иллюстрируют эффективность РМ-подхода, дают сравнительную оценку случайных и систематических ошибок, порожденных избыточностью разложения и в ряде случаев взаимозависимостью гармоник.

Практическая значимость проведенных исследований подтверждена актами о внедрении результатов работы н Московском государственном университете геодезии и картографии, Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга МГУ, в 29 НИИ МО РФ (г.Москва).

Реализация результатов диссертации

Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты использованы в научно -исследовательских проектах при обработке данных по рельефу и гравитационному полю Земли, выполненных в рамках грантов Министерства общего и профессионального образования по фундаментальной геодезии (тема: «Исследование фигур и гравитационных полей Земли и планет методом статистического (регрессионного) моделирования»), межвузовской научно -технической программы «Геоинфокад», в Государственном астрономическом институте им. П.К.Штенберга при обработке данных по эквирельефу Земли, а также в рамках государственной научно - технической программы «Космические исследования. Астрономия»

по разделу «Спектральные характеристики гравитационных полей планет» (тек Статистическое (регрессионное) моделирование мегарельефа и гравитационных полей планет

Разработанное программное обеспечение применяется в учебном процессе Ульяновске государственного университета при изучении дисциплин «Статистическое регрессионн моделирование» и «Практикум на ЭВМ» по учебному направлению «Прикладная математик информатика» экономико - математического факультета.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались обсуждались на следующих симпозиумах, конференциях и семинарах:

1) Международная конференция «Результаты и перспективы исследования плане (г.Ульяновск, 1997);

2) Всероссийская конференция с международным участием «Проблемы совремеиН' радиоастрономия» (г. Санкт - Петербург, 1997);

3) Российско - американский микросимпозиум по планетологии (г.Москва, 1995);

4) Всероссийская конференция «Информационно - управляющие системы специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данны (г.Махачкала, 1996);

5) Международная научно - техническая конференция «220 лет геодезическо! образованию в России» (г. Москва, 1999);

6) Всероссийская конференция с международным участием «Компьютерные мето; небесной механики -95» (г. Санкт-Петербург, 1995);

7) Научно - техническая конференция (.Фундаментальные проблемы математики механики» (г.Ульяиовск, 1996г.).

Кроме этого результаты диссертации докладывались на конференциях профессор«! преподавагельскохо состава Ульяновского государственного технического университета П9? 1995,1996, 1997,2000).

Личное участие автора состоит

к формировании алгоритмов структурной идентификации;

- в. исследовании альтернативных сценариев поиска оптимальных структур;

- в проектировании АСНИ и ее программной реализации;

- в проведении исследований эффективности разработанной программной систем решении задач представления мегарельефа и 1равитационных полей планет и анали подученных результатов.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, которые включают в себя Т] статьи в журнале «Известия вузов (серия: геодезия и аэрофотосъемка)» и тринадцать работ трудах международных, российских, региональных и университетских конференций.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы четырех приложений. Основное содержание изложено на 170 страницах, включая 15 рисунков 10 таблиц. Список литературы включает 70 наименований использованных литературш источников. Объем приложений - 40 стражи. Приложения содержат основные результат расчетов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании, реализации и апробации результатов работы, структуре диссертации.

Глава 1. Приводится обзор математических моделей описания рельефа Земли, Луны и гравитационного поля Земли, Венеры. Рассматриваются модели, построенные отечественными и зарубежными исследователями по наземным и спутниковым данным. Показано, что при достигнутой точности наблюдений применение традиционного метода обработки (МНК) не позволяет получить модель, детально описывающую тонкую структуру объекта.

При изучении физической поверхности планеты ее рельеф представляется обьгшо в виде разложения по сферическим или выборочным функциям достаточно высоких порядков. Высота h записывается с помощью полиномов и присоединенных функций Лежандра по аргументам А и (3 как функция в виде ряда

N д _

h(qU)= Z Zl0™cosm?-+ SnmsmmXjp„m(smc?), (1)

n=0m=0

где (sin<p) - нормированные по Каула присоединенные полиномы Лежандра, C^.S^,-аормированные гармсничсскпс коэффициенты, подлежащие определению, N - порядок разложения.

Такое представление может быть сделано, если мы знаем из наблюдений определенные с достаточной точностью абсолютные высоты и углпвьте координаты зяаяителтоп? числа течек, рквцемерно распределенных на поверхности небесного тела.

Выражение для потенциала планеты при представление его в виде разложения в ряд по сферическим функциям имеет вид:

íM Í 1:0 n fRV1 ]

U(r,q>A) = — 1+ХХ Н (С ГВ71 eos т), + Snm sin mX)Pnm (sin cp) i, (2)

r [ п=2т=<ДГ-/ J

где ívl - масса планеты, f - гравитационная постоянная планеты, R - средний экваториальный радиус, r,t¡),X - сферические координаты текущей точки внешнего пространства, P^ísirup) -присоединенные функции Лежандра, C^.S^ - коэффициенты сферических функций.

На основе анализа, проведенного а главе 1, сделаны следующие выводы.

1. Для практического применения РМ-подхода в задачах моделирования МГП планет требуется создание программного продукта в виде специализированной автоматизированной системы.

2. При построении математических моделей, как мегарельефа, гак и гравитационного поля алаиет, используются" стандартные методы оценннания гармонических коэффициентов: численное интегрирование или метод наименьших квадратов. В качестве основного критерия для дискриминации моделей берется стандартная ошибка аппроксимации модели наблюдениям без привлечения альтернативных мер качества.

3. Модели мегарельефа и 1равитационного поля не являются «экономичными». Их зашумленность приводит, помимо понижения точности прогноза, к большим затратам машинного времени для их определения и неудобствам при использовании. Практически нигде не ставится задача поиска оптимальных структур таких моделей при заданном порядке разложения.

4. Актуальной является задача выбора оптимального порядка разложения но сферическим функциям. На практике чаще всего в качестве критерия используется стандартная ошибка

аппроксимации модели по наблюдениям, которые, как правило, понижается при увеличен! порядка разложения.

5. Актуальной также является задача поиска метода структурной идентификаци позволяющего дискриминировать конкурирующие между собой описания.

6. Основной задачей является исследование эффективности РМ-подхода при разработ математических моделей МГП планет.

Глава 2. Приводится краткий обзор по методологии РМ, рассматриваются схемы обрабоп данных при большой размерности. Описываются критерии оптимальности (внутренние внешние), позволяющие оценить точность математического разложения, рассматривают процедуры РМ и вычислительные алгоритмы МНК для задач большой размерност структурная схема метода получения эффективных (по точности и размерност математических моделей МГП.

Основная модель регрессионного анализа (РА) представляется в виде:

У = Хр + е, (3

где Y - вектор наблюдений; X - регрессионная матрица; ($ - вектор неизвестных параметров; г вектор флуктуации (ошибок).

В форме (3) можно представить прямые и косвенные наблюдения в астрометрии и небесн« механике, в частности, описываемые выражениями (1) и (2).

Модель (3) считается неизвестной как по структуре, под которой понимается состав размерность модели, так и по параметрам - элементам вектора ¡} . Тогда под задачей пар метрического оценивания понимается задача нахождения по результатам наблюден! оптимальных оценок -г'^, а под задачей структурной к^-н^н^пг.гщки - ладамй >ш<\0жд5ни>1 опт

маяьной структуры модели.

С помощью численных экспериментов по данным, описывающим рельеф Земли, получе следующая эмпирическая формула для определения оптимального порядка разложения сферическим функциям:

' 5 125 ЫоГ/

где п - количество наблюдений. -1 - оптимальное отиптгккг ойьема кпятглпкт

илр( ......

подвыборки (п^) к объему всей выборки, Мор( - оптимальный порядок разложения.

При реализации РМ-подхода алгоритм обработки данных по МГП может быть прсдставл в следующем виде (рис. 1), где 1 - загрузка таблицы экспериментальных данных (ТЭД); 2 логическое условие варианта расчета (рельеф или гравитация?); 3 - логическое условие д данных но ме1 арельефу — еидержиг ли риресеионная матрица (нункт 1) единичный столбе соответствующий параметру Р0 или были ли при разложении учтены весовые характеристик; 4 и 5 - методы обработки; 6 - есть ли выбросы?; 7 - чистка ТЭД; 8 - можно ли примени внешний критерий?; 9 - методы обработки; 10 - оптимальная структура моде;; соответствующая иолиой выборке; 11 - выбор процента деления исходной выбор наблюдений на модельную и контрольную части; 12 - методы обработки; 13 - оцтимальн структура модели, соответствующая модельной выборке; 14 — сравнение двух оптимальш структур; 15-расчет оптимального порядка разложения; 16 - определение интервала для |\1я 17 - методы обработки; 18 - проверка условия внешней точности; 19 - выбор глобально критерия качества модели; 20 - 26 - методы обработки; 27 - выбор метода идентификации; 21 все ли слагаемые в модели значимы?; 29 - отсутствует ли эффект мультиколлинеарности?;

Начало

12. ПР или ОПХ

Г

13. ^mod

Рис. 1 Структура этапов РМ

30 - вьшолнеггы ли другие предположения РА-МНК?; 31 - дальнейшие исследования; 32 -метод обработки; 33 - этап прогноза или картирования; 34 - 35 - прогноз по меридиану, параллели и площадке соответственно. В структурной схеме используются следующие методы обработки: ПП - полный перебор, МР - множественная регрессия .гаи исходной модел:;, ИХ преобразование Хаусхольдера, ПР - пошаговая регрессия (алгориш включения с исключением), ОПХ - оптимальное преобразование Хаусхольдера; СПА - случайный поиск с адаптацией, СПВ - случайный поиск с возвратом, ГО - гребневое оценивание.

Отметим основные этапы структурной схемы метода представления МГП планет оптимальными математическими структурами:

• пункт 1 - преобразование исходных данных (разложение по сферическим функциям);

5 пункты с 4 по 7 - выявление аномальных наблюдений в выборке данных для исключении при построении моделей;

• пункты с 8 по 14 - выявление оптимального процента деления неходкой выборки данных на модельную и контрольную части;

• пункты с 15 по 18 - выявление оптимального процента разложения по сферическим функциям;

• пункты с 19 по 27 - выбор глобального критерия качества и метода структурной идентификации для оцепивания параметров оптимальной модели, соответствующей оптимальному порядку разложения;

• пункты с 28 по 32 - анализ соблюдения других предположений РА-М11К и методы адаптации в случае их нарушений;

• пункты с 33 по 36 - получение выходных характеристик моделей (прогноз) в виде отдельных значений, сечений или гинсометричесхих карт.

Разработанная автоматизированная система является специализированной системой, реализующей стратегию статистического (регрессионного) моделирования лля решения ряда астрономических и геодезических (плаяетодезических) задач по расчету рельефа л гравитационных полей планет Солнечной системы. Основное ее назначение - получение регрессионных моделей процессов или явлений с последующим их использованием дня прогноза выходных характеристик (откликов) и реализация некоторых функций управления в

интерактивном (дисплейном) и пакетном режимах работы. Необходимость наличия подобно] АСНИ порождается большими затруднениями при выполнении подобных работ, требующи: как многовариантности расчетов, так и применения различных методов оценки параметров ] структурной идентификации с анализом остатков при выбранном сценарии проверю соблюдения предположений МНК. В основном режиме моделирования АСНИ обладае следующими возможностями:

- построение моделей в виде разложения по сферическим функциям п - го порядка и ш ой степени;

- реализация методов структурной идентификации;

- автоматизация процесса обработки при различных порядках разложения;

- построение и анализ графиков "остаток-отклик", "остаток-регрессор" с целью проверк: выполнения предположений регрессионного анализа;

- проверка выполнения предположения о нормальном распределении нормированны остатков;

- определение автокорреляции остатков по критерию Дарбина-Уотсона;

- защита от непредусмотренных попыток ее применения;

- поддержка дружественного предметно - ориентированного интерфейса пользователем.

Система реализована на языке программирования Watcom С/С++ v. 10.

Глава 3. Проводится численный анализ эффективности применяемых статистически критериев качества (внутренних и внешних) и методов структурной идентификации для поиск оптимальной математической модели.

Для оценки внешней адекватности модели (точности прогноза) используются контрольны точки. В этом случае исходная выСюрка делится на обучающую и контрольную. По перво выборке строится модель или множество моделей; по второй - выполняется оценка е адекватности или дискриминация по статистикам - внешним мера;.;.

Предлагаемые внешние меры основываются на анализе расхождений между прогнозом ^ и известным наблюденным значением У для объектов, не участвовавших в получении модели.

При этом мера

(5)

служит характеристикой систематической оышокн, ооусловленной в сощем смысле методо; обработки, а статистика

°д=-¿)7(п-р) > (6)

- характеристикой случайной ошибки.

Мера

ЕСу.-УХК-У)

^-г^ а

где у; - прогноз для контрольных точек, рассматривается как мера линейной связи межа прогнозом и наблюдением: чем выше тем лучше модель соответствует наблюдения»

Численно доказана эффективность применения внешних мер оптимальности при построении математических моделей МГП планет.

Численно анализировались следующие методы и алгоритмы структурной идентификации: пошаговая регрессия (метод включения с исключением), случайный поиск с адаптацией, случайный поиск с возвратом, полный перебор, оптимальное преобразование Хаусхольдера.

Указанные методы в той или иной мере модифицированы. Наиболее существенная модификация осуществлена в методе пошаговой регрессии.

Модифицированный метод пошаговой регрессии. В основе данного метода лежит модернизированный алгоритм метода включения с исключением. Алгоритм основан на последовательном включении переменных п модель в порядке их значимости по критерию уменьшения суммы квадратов, а также на внутренних и внешних критериях оптимальности.

В алгоритме также предусмотрен режим последовательного включения всех регрессоров в модель в порядке их значимости для оценки влияния регрессоров на зависимую переменную.

Данный метод позволяет исключать из модели неинформативные и дублирующие факторы, которые ухудшают прогноз модели у. Дисперсия прогноза определяется формулой

Эу, =а2х[(хтхГх,+Д2, (8)

где X - детерминированная матрица, X, - вектор элементов матрицы X.

Заметим, что в случае расширения модели первое слагаемое возрастает, тогда как дисперсия систематической ошибки Д2 может вести себя по-разному: уменьшаться при г,ведении существенного (пропущенного) фактора и пе меняться или возрастать при добавлении неинформативного.

Выводы. Применение внутренних критериев качества недостаточно для дискриминации конкурирующих между собой математических структур. Модели, предназначенные для прогноза, должны анализироваться с помощью внепших мер, позволяющих реально оценить и сравнить между собой структуры. Из методов структурной идентификации наиболее приемлемым является модифицированный метод пошаговой рецессии.

Глава 4. Посвящена вариантам численной реализации регрессионного моделирования и анализу полученных результатов при представлении физической поверхности Земли и Луны оптимальными структурами при разложении в ряд по сферическим функциям (1). Проведен сравнительный анализ полных и оптимальных моделей на основе статистических критериев, с привлечением графической информации и построением глобальных гипсометрических карт.

Исследуется эффективность АСНИ при решении задач восстановления мегарельефа Земли и Луны на основе современных данных. Результаты обработки отражают преимущество РМ -подхода над стандартным методом.

Оптимизация модели рельефа Земли проводилась с учетом стратегии, предложенной в главе 2. Использование эмпирической формулы (4) позволило определить интервал для поиска оптимального порядка с применением внешних мер качества. Исходная выборка случайным образом делилась на две части: модельную и контрольную для вычисления внешних критериев. Было произведено четыре случайных эксперимента для полных (табл. 1) и оптимальных (усеченных) моделей (табл. 2), содержащих меньшее число гармоник, чем в соответствующих полных структурах, на 30-40%.

Таблиц

Внешние критерии качества для полных моделей мегарельефа Земли при разложении 11

сферическим функциям

ЯЛ <тД |Д|

пптпшг к ки

N Вариант расчета

Меры

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

3 0,51 0,55 0,55 0,51 1,38 1,31 1,33 1,34 1,07 1,069 1,077 1,1

4 0,65 0.67 0.67 0.64 1,21 1,16 1,18 1,19 0,922 0,917 0,932 0,9

5 0,8 0,81 0,8 0,79 0,96 0,92 0,95 0,95 0,731 0,724 0,738 0,/

6 0.82 0.83 0,83 0,81 0,92 0,89 0,91 0,92 0,702 0,675 0,679 0,6'

7 0,85 0,86 0,86 0,85 0.84 0,81 0,82 0,84 0,621 0,613 0,617 о,б:

8 0,86 0,87 0,87 0,86 0,83 0,79 0,81 0,82 0,62 0,593 0,602 0,6

9 0,87 0.88 0,88 0.87 0,79 0,77 0,77 0,78 0,577 0,569 0,564 0,5'

10 0,89 п о 0,9 0,89 0,74 Л п*} V, / 0,72 0,74 0,537 0,526 0.514 0.5:

11 0,9 0,9 0,91 0,9 0,73 0,71 0,71 0,71 0,525 0,508 0,503 0,5(

12 0,9 0,91 0,91 0,91 0,73 0,7 0,7 0,7 0,513 0,488 0,486 0,4

13 0,91 0,91 0,92 0,91 0.71 0,69 0,69 0,69 0,501 0,47 0,472 0,4'

14 0,92 0,92 0,92 0,92 0,69 0,68 0,67 0,68 0,479 0,458 0,448 0,4'

15 0,92 0,92 0,93 0,92 0,69 0,69 0,67 0,68 0,47 0,452 0,435 о.4:

16 0,92 0,92 0,93 0,92 0,69 0,69 0,66 0,69 0,461 0,449 0,424 0,4';

17 0,93 0,93 0,94 0,93 0,69 0,66 0,65 0,67 0,458 0,457 0,428 о,4:

18 0.93 0.93 0.94 0.93 0.7 0,67 0,66 0,67 0,45 0,439 0,423 0,4;

19 0.93 0.94 0.94 0.94 0,72 Г) 67 0,67 0,68 0.435 0,395 л лщ УЛи! Л А/ \J.4K

20 0,93 0,94 0,94 0,94 0,74 0,69 0,72 0,7 0.43 0,394 0,417 0,3$

21 0,94 0,94 0,94 0,94 0,73 0,71 0,74 0,71 0,436 0,397 0,405 0.3*

22 0,94 0.94 0,94 0,94 0,75 0,75 0,77 0,75 0,427 0,396 0,399 0,3$

23 0,94 0,94 0,94 0,94 0,83 0.78 0,81 0,8 0,425 0,393 0,397 0,3$

24 0,94 0,94 0,94 0,93 0,88 0,85 0,89 0,88 0,403 0,404 0,408 0,4(

25 П О од О о л. Г* П 07 Л лл \iyJZ/ у)у7 / 0,404 0,399 0,41

26 0,93 0,93 0,93 0,93 1,09 1,04 1.09 1,05 0,425 0,419 0,414 0.4С

27 0,91 0,93 0,93 0,92 1,34 1,16 1,23 1,27 0,458 0,422 0,423 0.43

28 0,89 0,89 0,87 0,9 1,73 1,78 1,88 1,56 0,515 0,5 0,514 0,47

29 0,86 0,83 0,79 0,9 2,5 2,99 3,07 1,94 0,568 0,57 0,622 0,49

30 0,75 0,82 Г» ПС \JyfO Л 01 Г Л^ 5,ио 4 4,54 3,98 0,786 0,637 0,681 0,64

Таблица 2

Внешние критерии качества для оптимальных моделей мегарельефа Земли при разложении по сферическим функциям

Меры

ЯД <тД 1Д1

Порядок N

Вариант расчета

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

3 0,51 0,55 0,55 0,51 1,38 1,31 1,33 1,34 1,06 1,06 1,07 1,06

4 0,65 0,67 0,67 0,64 1,21 1,16 1,18 1,19 0,919 0,917 0,931 0,934

5 0,8 0,81 0,8 0,79 0,96 0,92 0,95 0,95 0,725 0,724 0,736 0,742

6 0,82 0,83 0,83 0,81 0,92 0,89 0,9 0,92 0,7 0,68 0,682 0,7

7 0,85 0,86 0,86 0,85 0,84 0,8 0,81 0.84 0,619 0,616 0,619 0,64

8 0,86 0,87 0,87 0,86 0,82 0,79 0,8 0,82 0,6 0,596 0,606 0,624

9 0,87 0,88 0,88 0,87 0,79 0.76 0,77 0,78 0,575 0,571 0,576 0,59

10 0,89 0,9 0,9 0,89 0,75 0,72 0,73 0,74 0,535 0,537 0,53 0,555

11 0,89 0,9 0,9 0,89 0,74 0,72 0,72 0,72 0,522 0,52 0,521 0,524

12 0,9 0,9 0,9 0,9 0,74 0,7 0,71 0,71 0,51 0,511 0,505 0,511

13 0,91 0,91 0,91 0,9 0,71 0,69 0,7 0,7 п лое 0,49 0,496 [_0,49о

14 0,92 0,91 0,92 0,91 0,67 0,66 0,67 0,47 0,471 0,463 0,472

15 0,92 0,92 0,92 0,91 0,67 0,67 0,65 0,67 0,466 0,467 0,45 0,467

16 0,92 0,92 0,92 0,92 0,66 0,66 0,64 0,68 0,455 0,46 0,439 1М61_

17 0,93 0,93 0,93 0,92 0,66 0,64 0,63 0,66 0,451 0,455 0,427 0,454

18 0,93 0,93 0,93 0,93 0,67 0,64 0,63 0,65 0,444 0,437 0,421 0,441

19 0,93 0,93 0,94 0,93 0,67, 0,65 0,62 0,65 0,433 0,435 0,416 0,436

20 0,93 0,93 0,94 0,93 0,68 0,65 0,64 0.65 0,425 0,43 0,418 0,431

21 0,93 № 0,93 0,93 0,67 0,68 0,7 0,64 0,434 0,44 0,452 0,415

22 0,93 0,93 0,94 0,93 0,67 0,67 0,65 0,67 0,422 0,432 0,413 П 3

23 0,93 0,93 0,93 0,93 0,7 0,68 0,68 0,68 0,425 0,434 0,411 0,419

24 0,93 0,93 0,94 0,93 0,72 0,68 0,67 0,69 0,44 0,431 0,422 0,421

25 0,93 0,92 0,93 0,92 0,72 0,73 0,71 0,72 0,436 0,447 0,426 0,436

26 0,93 0,92 0,93 0,92 0,73 0,75 0,74 0,72 0,427 0,456 0,437 0,423

27 0,93 0,92 0,93 0,92 0,76 0,78 0,75 0,75 0,442 0,485 0,434 0,433

28 0,91 0,91 0.91 0.92 0 87 л Я4 о Я5 л к О ¿17.< п Л€\Г \jy-r ¡3

29 0,9 0,91 0,91 0,91 0,89 0,86 0,87 0,82 0,464 0,488 0,477 0,475

30 0,91 0,91 0,9 0,91 0,93 0,91 0,91 0,83 0,497 0,486 0,462 0,462

Как следует из таблиц, оптимальным по стА представляется примерно восемнадцатый порядок разложения, характеризуемый по табл. 2 максимальным значением коэффициента корреляции между прогнозом и наблюдениями Ял =0.93, а также наименьшими значениями

случайных (егл =0.63-0.67 км) и систематических ошибок (|Д| =0.421-0.444 км). На основании

этого логично считать, что оптимальная структура модели восемнадцатого порядка, полученная методом пошаговой регрессии по полной выборке, обладает наиболее "достоверной" прогностической ценностью.

В настоящий момент наиболее полной и подробной моделью мсгарельефа Луны являе модель 70 порядка разложения в ряд по сферическим функциям, полученная в Лаборато{ ракетного движения (JPL USA) по программе "Клементина". Сложность построения подроби моделей рельефа Луны обусловлена в первую очередь большим числом подлежап определению коэффициентов разложения (5041). Поэтому достигнуть оптимального поря; разложения при используемой нами компьютерной технике не представляется в данный moms возможным. В работе исследовались математические модели сорокового порядка разложен содержащие 1681 подлежащих оцениванию параметров. Анализ моделей (полных оптимальных) проводился с учетом, как внутренних, так и внешних критериев оптимальное а также с привлечением графической информации. На рис.2 приведена глобалы гипсометрическая карта мегарельефа Луны, соответствующая оптимальной модели 40 поряд полученной методом пошаговой регрессии. При сравнении рассматриваемых изолиний изолиниями, полученными по модели, не содержащей шумовых гармоник, обнаруживают расхождения в их положении до 5-10° градусов.

350 300 250 200 150 100 50 О

Рис.2 Карта высот рельефа Луны, полученных по оптимальной модели 40 порядка. Изолинии высот проведены через 0,5 км.

Выводы. 1. Стандартные модели, обладая наименьшей внутренней ошибкой с оказываются наихудшими по внешней точности ай. Следовательно, порядковая дисперс!

ошибок ст2 не может быть использована для выбора порядка разложения, а применение полнь разложений ведет к ухудшению прогностических свойств модели.

2. Оптимальные по I - статистике модели, полученные методом пошаговой регрессии, ! содержат шумовых гармоник, что приводит к повышению точности прогноза с использование этих моделей в 4 - 5 раз.

3. Оптимальные по I — статистике модели, полученные методом пошаговой регрессия основе оптимальных порядков разложения, по сравнению с оптимальными моделями п] неоптимальных порядках разложения имеют точность прогноза в 1,4 раза лучше последних.

Глава 5. Посвящена вариантам численной реализации РМ-подхода и анализу полученны результатов применительно к описанию гравитационного поля Земли и Венеры отимадьным структурами при разложении в ряд по сферическим функциям (2). Осуществлено сравнен« полных и ошимальиых моделей на основе многокритериальной концепции. Построен глобальные карты вариаций аномалий силы тяжести и лучевых ускорений.

Исследуется эффективность АСНИ при решении задач восстановления гравитационно! поля Земли и Венеры на основе современных данных, в частности, полученных по программ

«Магеллан». Впервые для гравитационных полей планет показана перспективность применения РМ - подхода.

Модель гравитационного поля Земли оптимизировалась по алгоритму, предложенному в главе 2. Интервал для поиска оптимального порядка определялся по формуле (4). Результаты расчеГов с применением внешних мер качества показали, что оптимальным по ол представляется примерно десятый порядок разложения, характеризуемый максимальным значением коэффициента корреляции между прогнозом и наблюдениями =0.73, а также наименьшими значениями случайных (Од=12.7-13.2 п^а1) и систематических ошибок (|д| =8.92-9.45 т£а1). На рис.3 приведена карта значений аномалий силы тяжести на поверхности Земли, соответствующая оптимальной модели 10-го порядка.

-оо-о.:

000—г-

С ( 4__,. ____- лУ-- -- •

Рис.3 Карта аномалий силы тяжести Земли, полученная с использованием оптимальной модели 10-го порядка. Изолинии проведены через 5 т£а1.

По гравитационному полю Венеры достигнуть оптимального порядка разложения при используемой нами компьютерной технике не представляется в данный момент возможным. Поэтому исследовались математические модели сорокового порядка разложения.

Выгоды !. Стандартные модели гравитационных полей содержат малозначимые и незначимые гармоники разложения; обладая наименьшей внутренней ошибкой о, модели окззываются наихудшими по внешней точности с..

2. Оптимальные по I - статистике модели, полученные методом пошаговой регрессии, не содержат шумовых гармоник, что приводит, как и для моделей рельефа, к повышению точности прогноза с их использованием и 4 5 раз.

3. Значительная коррелированность параметроз внутри моделей, как для полных, так и оптимальных разложений вносит искажение в значения гармоник моделей. Вследствии этого наблюдаются существенные расхождения как в оп^чкях гтэля\?ртг>ор. тV■1 тяг? т.; в оценках прогноза моделей.

4. Оптимальные по I - статистике модели гравитационного поля, полученные методом пошаговой регрессии на основе оптимальных порядков разложения, по сравнению с оптимальными моделями неоптимальных порядков разложения имеют несколько более высокую точность прогноза.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. На основе РМ-подхода и нового способа построения моделей мегарельефа и фавитадионных нолей планет разработана автоматизированная система научных исследовании, обеспечивающая автоматизацию процесса вычисления и сокращение времени по сравнению с поиском оптимальных структур путем применения автономно работающих процедур.

2. Путем вычислительных экспериментов показана предпочтительность применения для оценки качества модели внешних мер, а именно, меры точности прогноза СТд, вместо обычно используемой внутренней меры - стандартной ошибки О.

Модели, оптимальные по t-статистике, обеспечивают повышение в несколько раз точности прогноза по сравнению с моделями, оптимальными по внутренней мере о.

3. Исследована эффективность методов структурной идентификации при решении зада1; большой размерности. Показано, что модифицированный алгоритм пошаговой регрессн* обеспечивает достаточно близкие значения к результатам метода полного перебора.

4. Найдена оптимальная стратегия обработки, позволяющая повысить точность прогноза пс сравнению с другими рассмотренными стратегиями и традиционной методикой обработка рассматриваемых массивов данных по рельефу и гравитационным полям планет.

5. На основе коррект¥той математической обработки достигнуто сокращение размерности математических моделей до 40% за счет устранения незначимых и дублирующих слагаемых показано, что точность прогноза по оптимальным моделям (оптимального порядка' увеличивается в 4-5 раз по сравнению с точностью прогноза по полным моделям.

6. Усовершенствована методика построения глобальных гипсометрических и гравиметрических карт Земли, Луны и Венеры, а также непосредственно карта для Земли.

7. Экспериментально подтверждена эффективность РМ-подхода для решения новой по его применению задачи построения гравитационных полей планет.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Опыт обработки траекторпых измерений допплеровских эффектов, выполненных rio проекту «Магеллан», методом регрессионного моделирования // Тез. докл. кенф. «Koí.ínLlOTepHue методы небесной ме:™:::::: - 95». - С.-П5.: Кзд. ИТА IVUI. 1995.-с. 51-53.

2. Valeev S.G., Dyakov V.l. То the problem of regression modelling application while investigating gravity field restoration of planets // Abstracts of papers submitted to the 22 Russian -American microsimposium on planetology. - Moscow, 1995. - p.

3. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Проблемы восстановления гравитационного поля Венеры // Тез. докл. XXX и. - т. конф. УлГТУ. - Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1996. - с. 109.

4. Вачеев С.Г., Дьяков В.И. Технологии компьютерной обработки космической информации большой размерности /7 Тез. докл. Всероссийской научно - технической конференции «Информационно — управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных». - Махачкала: ИПЦ ДГУ. 1996. -с. 55.

5. Вачеев С.Г., Дьяков В.И. Программное обеспечение для задач МНК большой размерности // Ученые записки Ульяновского государственного университета «Фундаментальные проблемы математики и механики». - Ульяновск, Изд.: УГУ, 1996, - вып.2, -с. 13-14,

6. Валеев С.Г., Дьякоз В.И. Описание мегарельефа Земли оптимальными разложениями по сферическим функциям// Тез. докл. XXXI н. - т. конф. УлГТУ. - Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1997. - с. 46.

7. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Автоматизированная система обработки данных большой размерности // Тез. докл. конф. «Проблемы современной радиоастрономии». - С.-Пб.: Изд. ИПА РАН, 1997.- т.2 - с. 237 - 238.

8. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Математические модели гравитационного поля Земли // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». -

\ Г__________ \f\f\n , ЛЛ л

J JlbÄilUiJtK, C-.^ti — ЧJ.

9. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Статистический анализ стандартных и оптимальных моделей рельефа Земли // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». - Ульяновск, 1997. - с. 48 - 50.

10. Дьяков В.И. Определение оптимального порядка разложения по сферическим функциям // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». -Ульяновск, 1997. - с. 50 - 51.

11. Дьяков В.И. Алгоритм оптимизации моделей рельефа и гравитационного поля планет // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». -Ульяновск, 1997. - с. 51 - 52.

12. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Автоматизированная система для моделирования мегарельефа и гравитационных нолей нланет // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». - М., 1998, - № 4-5. - с. 45 - 49.

13. Валеев С.Г., Дьяков В.И. О возможности уточнения модели гравитационного поля Земли // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». - М., 1998, - № 4-5. - с. 98-103.

14. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Оптимизация математических моделей эквивалентного рельефа Земли // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». - М., 1998, -№ 4-5.-с. 3-22.

15. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Статистические модели рельефа и гравитационных полей планет // Тез. докл. Международной научно - технической конференции «220 лет геодезическому образованию в России». - М.: Изд. МИИГАиК, 1999. - с. 21.

16. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Модели мегарельефа Луны по данным космической программы «Клементина» // Вестник УлГТУ. - Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1999. - с. 90-92.

Дьяков Владислав Иванович Регрессионные модели мегарельефа и гравитационных полей планет

Автореферат

Подписано в печать 11.02.2000. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ.л, 2,79. Уч.-шдл. 2,50. Тираж 100 экз. Заказ^'-Г &

Ульяксзский государственный технический университет, 437027, Ульяновск, Сев.Венец, 52. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев.Венец, 32.

Введение.

1. Математические модели рельефа и гравитационных полей планет

1.1. Мегарельеф и гравитационное поле Земли.

1.2. Модели глобального рельефа Луны.

1.3. Модели гравитационного поля Венеры.

1.4. Задачи исследования.

2. Математическое и программное обеспечение при статистическом моделировании

2.1. Методология регрессионного моделирования.

2.2. Критерии эффективности.

2.3. Математическое разложение по сферическим функциям.

2.4. Вычислительные схемы МНК для задач большой размерности.

2.5. Методы идентификации оптимальных структур в условиях большой размерности.

2.6. Сценарии моделирования.

2.7. Прогнозирование и картирование по изолиниям.

2.8. Метод поиска оптимальных регрессионных моделей мегарельефа и гравитационных полей планет.

2.9. Автоматизированная система научных исследований (АСНИ).

2.9.1. Структура АСНИ.

2.9.2. Функциональное наполнение АСНИ.

2.9.3. Оболочка АСНИ.

3. Численный анализ эффективности алгоритмов

3.1. Внешний критерий для моделей рельефа и гравитационного поля.

3.1. Эффективность критериев.

3.2. Эффективность методов структурной идентификации.

4. Статистические модели мегарельефа

4.1. Математические модели рельефа Земли.

4.2. Гипсометрические карты поверхности Земли.

4.3. Математические модели рельефа Луны.

4.4. Гипсометрические карты поверхности Луны.

5. Статистические модели гравитационного поля

5.1. Математические модели гравитационного поля Земли.

5.2. Карты вариаций ускорений силы тяжести на поверхности Земли.

5.3. Математические модели гравитационного поля Венеры.

5.4. Карты лучевых ускорений внешнего гравитационного поля Венеры.

В последние годы в связи с освоением околоземного пространства, многочисленными запусками космических аппаратов (КА), расширением круга задач народнохозяйственного, научного и оборонного значения, решаемых с их помощью, проявляется устойчивый интерес к проблеме уточнения математических моделей мегарельефа и гравитационных полей (МГП) планет Солнечной системы.

С этой целью основные усилия исследователей были направлены на повышение точности и объема измерительных данных, а также максимальное увеличение порядка разложения математических моделей, представляемых разложениями по сферическим функциям.

Большой вклад в развитие вопросов обработки астроинформации внесли отечественные ученые (Аким E.JL, Грушинский Н.П., Сагитов М.У., Бровар В.В., Чуйкова H.A., Кислюк B.C., Валеев С.Г., Гаврилов И.В., Дума A.C., Жонголович И.Д. и др.). Различные аспекты проблемы оценивания параметров математических моделей МГП рассмотрены в большом числе научных публикаций. При этом особое внимание уделяется обработке наземной и спутниковой информации о земной поверхности. Эти результаты, а также новые данные детальной съемки отдельных участков поверхности планеты, полученные с помощью искусственных спутников Земли, послужили основой для создания глобальной аналитической модели рельефа Земли и ряда новых глобальных и региональных карт рельефа различного масштаба.

Важной вычислительной процедурой при обработке наземной и космической информации является этап оценивания параметров математических моделей, используемых при описании рельефа и гравитационных полей планет. Здесь чаще всего исследователь сталкивается с проблемами построения математической модели по измерениям, полученным из наземных наблюдений, аэрокосмическими или космическими средствами, и выбора корректного алгоритма обработки данных, совмещая требования к точности и надежности результатов и возможности, обеспечиваемые выборкой данных, методами прикладной математической статистики и компьютерными технологиями.

Существующие в настоящее время модели геометрических фигур и гравитационных полей планет земной группы (в частности, для Земли, Луны, Венеры) являются продуктом эволюционного процесса накопления информации, а также результатом применения различных методов обработки астроинформации. С полной уверенностью можно сказать, что сейчас в практике сложился определенный подход к оцениванию параметров математической модели, а именно, применение до определенного порядка разложения традиционного метода наименьших квадратов (МНК). Как показано в [13], отсутствие системного подхода к задаче, возрастающие требования практики и возможности методологии, основанной на статистическом моделировании, ставят под сомнение применение МНК. Выдвигается ряд критических замечаний в адрес стандартного подхода: 1) ограничен круг применяемых мер качества модели; 2) принятая модель МГП (количество и вид параметров) принимается жестко фиксированной; 3) не учитывается возможность нарушения предположений МНК. Условия применения МНК в рассматриваемой задаче точного восстановления математического описания рельефа и гравитационного поля планет могут нарушаться. В соответствии с теорией это приводит к значительным случайным и систематическим ошибкам и понижению точности прогноза из-за наличии в модели, в первую очередь, незначимых по I - критерию слагаемых, в результате чего оценки параметров не оказываются наилучшими линейными оценками.

На основании этого в диссертационной работе используется методология регрессионного моделирования (РМ) [13], где методы оценивания и поиска оптимальных структур могут применяться для обеспечения требуемых свойств оценок (состоятельности, несмещенности, эффективности) в соответствии с возможностями, порождаемыми конкретной выборкой данных. Дополнительными этапами РМ относительно стандартной методологии являются: 1) оценка адекватности модели наблюдениям и поиск ее оптимальной структуры (структурная идентификация); 2) проверка соблюдения предположений МНК; 3) адаптация вычислительной схемы к нарушению условий применения МНК с помощью набора приемов оценивания и структурной идентификации; 4) использование набора мер (критериев) качества моделей с включением и многокритериальной концепции. В рамках данного подхода корректность любого элемента системы (выборки, модели, метода оценивания параметров, меры качества, набора предположений и пр.) может быть подвергнута сомнению в целесообразности его использования. Наличие специального программного обеспечения - системы обработки информации - позволяет автоматизировать процесс вычисления и анализа.

На основе РМ в диссертационной работе получены оптимальные оценки параметров и структуры математических моделей, описывающих рельеф Земли и Луны, а также гравитационное поле Земли и Венеры по наблюдениям, предоставленным ГАИШ (г. Москва) и полученным HACA по программам "Magellan" и "Clementine".

Актуальность работы заключается в решении одной из основных задач, стоящих перед астрометрией - задачи математического описания рельефа и внешнего гравитационного поля планет; данная информация оказывается незаменимой при решении разнообразных геофизических, астрометрических и небесномехани-ческих задач.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи разработки, исследования и реализации метода представления мегарельефа и гравитационных полей планет оптимальными математическими структурами на основе статистического (регрессионного) моделирования, компьютерных технологий и современных планетных данных для повышения эффективности моделей и точности оцениваемых характеристик рельефа и гравитационных полей Земли, Луны и Венеры.

Научная новизна работы определяется следующим:

1. На основе РМ - подхода и компьютерных технологий разработана автоматизированная система научных исследований (АСНИ), являющаяся программной реализацией метода представления МГП планет оптимальными математическими структурами.

2. В качестве критериев оптимальности моделей МГП впервые предложены и исследованы внешние меры, основанные на контрольных выборках: алслучайная ошибка прогноза, |Д| - систематическая ошибка прогноза, Кл-коэффициент множественной корреляции для контрольной выборки.

3. На основе численных экспериментов показана предпочтительность применения модифицированного метода пошаговой регрессии в качестве основной процедуры метода представления МГП планет оптимальными математическими структурами.

4. На основе статистического подхода впервые показано, Что стандартные математические модели гравитационных полей Земли и Венеры, а также мегарельефа Земли, обременены ошибками, порожденными невыполнением ОП схемы Гаусса - Маркова. Показано, что модель мегарельефа Луны 40-го порядка, построенная по космическим данных проекта «Клементина», в отличие от модели, построенной по наземным данным, практически не содержит взаимозависимых гармоник разложения, но тем не менее обременена шумовыми составляющими.

5. Впервые на основе внешних мер доказана высокая эффективность применения РМ-подхода для получения математических моделей МГП планет (на примере Земли, Луны и Венеры): - повышение в несколько раз точности прогнозирования (в случайном отношении до 4 раз); - снижение размерности моделей до 40%, позволяющее сократить вычислительные затраты при моделировании и применении моделей.

6. Для использованных данных по рельефу и гравитационным аномалиям Земли впервые получены оптимальные математические разложения по сферическим функциям, соответствующие глобальные гипсометрические карты и карты гравитационного поля. В рамках возможностей вычислительной техники, ограничивших до 40-го порядка разложения по мегарельефу Луны и объем измерительной информации до 30 ООО при том же порядке разложения по гравитационному полю Венеры, аналогичные результаты получены для естественного спутника Земли и второй по удалению от Солнца планеты.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Автоматизированная система научных исследований (АСНИ), реализующая стратегию статистического (регрессионного) моделирования для персональных компьютеров (ПК).

2. Оптимальные оценки параметров разложений рельефа и гравитационного поля планет по сферическим функциям.

3. Оптимальные структуры соответствующих математических моделей.

4. Глобальные гипсометрические карты рельефа Земли и Луны на основе оптимальных разложений.

5. Глобальные карты вариаций ускорений силы тяжести на поверхности Земли и лучевых ускорений внешнего гравитационного поля Венеры.

Практическая значимость результатов заключается в том, что:

1. Разработаны метод и программная система (АСНИ) получения эффективных (по точности и размерности) математических моделей МГП. АСНИ может применяться без модификаций для построения оптимальных разложений по сферическим функциям (в рамках задач МНК) до 40-45 порядков. Более высоких порядков разложения на основе МНК можно достичь путем наращения технических возможностей вычислительных средств, включая применения суперкомпьютеров и транспьютеров. Повышение требований к быстродействию и объему памяти при увеличении порядка разложения вызвано применением схем МНК, однако при отказе от их использования и, следовательно, от точности характеристик исчезнет возможность обнаруживать и устранять шумовые гармоники разложений.

2. Введение в практику моделирования МГП контрольных выборок в соответствии с методическими рекомендациями позволит по внешним критериям опимальности дискриминировать конкурирующие модели, алгоритмы структурно - параметрической идентификации (СПИ) и сценарии обработки с их использованием.

3. Предложенный (в методе представления МГП планет оптимальными математическими структурами) в качестве основного алгоритма СПИ модифицированный метод пошаговой регрессии в силу очевидных его достоинств (учет нарушения ОП по избыточности разложения и взаимозависимости гармоник в условиях слабой и средней степени мультиколлинеарности, многокритериальность поиска, использование схемы Хаусхольдера) может широко применяться для математического моделирования МГП.

4. Разработанные стандартные и оптимальные модели МГП большой размерности, глобальные гипсометрические карты Земли, Луны, карты вариаций ускорений силы тяжести на поверхности Земли и карты лучевых ускорений гравитационного поля Венеры помимо самостоятельного интереса (по Земле и отчасти по Луне) иллюстрируют эффективность РМ-подхода, дают сравнительную оценку случайных и систематических ошибок, порожденных избыточностью разложения и в ряде случаев взаимозависимостью гармоник.

Практическая значимость проведенных исследований подтверждена актами о внедрении результатов работы в Московском государственном университете геодезии и картографии, Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга МГУ, в 29 НИИ МО РФ (г.Москва).

Апробация исследований. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих симпозиумах, конференциях и семинарах: Российско - американский микросимпозиум по планетологии (г.Москва, 1995); Всероссийская конференция с международным участием «Компьютерные методы небесной механики - 95» (г. Санкт - Петербург, 1995); Всероссийская конференция «Информационно - управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных» (г.Махачкала, 1996); Научно - техническая конференция «Фундаментальные проблемы математики и механики» (г.Ульяновск, 1996г.); Международная конференция «Результаты и перспективы исследования планет» (г.Ульяновск, 1997); Всероссийская конференция с международным участием «Проблемы современной радиоастрономии» (г. Санкт - Петербург, 1997); Международная научно - техническая конференция «220 лет геодезическому образованию в России» (г. Москва, 1999);.

Кроме этого результаты диссертации докладывались на конференциях профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1994, 1995, 1996, 1997,2000).

Публикации По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, которые включают в себя три статьи в журнале «Известия вузов (серия: геодезия и аэрофотосъемка)» и тринадцать работ в трудах международных, российских, региональных и университетских конференций.

Первая глава начинается с краткого обзора математических моделей описания рельефа Земли, Луны и гравитационного поля Земли, Венеры. Рассматриваются модели, построенные отечественными и зарубежными исследователями по материалам анализа наземных и спутниковых данных. Показано, что при достигнутой точности наблюдений применение традиционного метода обработки (МНК) не позволяет получить модель, детально описывающую тонкую структуру объекта.

На основе анализа, проведенного в главе 1, сделаны следующие выводы.

1. Для практического применения РМ-подхода в задачах моделирования МГП планет требуется создание программного продукта в виде специализированной автоматизированной системы.

2. При построении математических моделей, как мегарельефа, так и гравитационного поля планет, используются стандартные методы оценивания гармонических коэффициентов: численное интегрирование или метод наименьших квадратов. В качестве основного критерия для дискриминации моделей берется стандартная ошибка аппроксимации модели наблюдениям без привлечения альтернативных мер качества.

3. Модели мегарельефа и гравитационного поля не являются «экономичными». Их зашумленность приводит, помимо понижения точности прогноза, к большим затратам машинного времени для их определения и неудобствам при использовании. Практически нигде не ставится задача поиска оптимальных структур таких моделей при заданном порядке разложения.

4. Актуальной является задача выбора оптимального порядка разложения по сферическим функциям. На практике чаще всего в качестве критерия используется стандартная ошибка аппроксимации модели по наблюдениям, которая, как правило, понижается при увеличении порядка разложения.

5. Актуальной также является задача поиска метода структурной идентификации, позволяющего дискриминировать конкурирующие между собой описания.

6. Основной задачей является исследование эффективности РМ-подхода при разработке математических моделей МГП планет.

Во второй главе приводится краткий обзор по методологии РМ, рассматриваются схемы обработки данных при большой размерности. Описываются критерии оптимальности (внутренние и внешние), позволяющие оценить точность математического разложения, рассматриваются процедуры РМ и вычислительные алгоритмы МНК для задач большой размерности, структурная схема метода получения эффективных (по точности и размерности) математических моделей МГП.

С помощью численных экспериментов по данным, описывающим рельеф Земли, получена эмпирическая формула для определения оптимального порядка разложения по сферическим функциям.

Приводится описание автоматизированной системы научных исследований (АСНИ), реализующей стратегию статистического (регрессионного) моделирования для решения ряда астрономических и геодезических (планетодезических) задач по расчету рельефа и гравитационных полей планет Солнечной системы. Основное ее назначение - получение регрессионных моделей процессов или явлений с последующим их использованием для прогноза выходных характеристик (откликов) и реализация некоторых функций управления в интерактивном (дисплейном) и пакетном режимах работы.

В третьей главе проводится численный анализ эффективности применяемых статистических критериев качества (внутренних и внешних) и методов структурной идентификации для поиска оптимальной математической модели.

Численно анализировались следующие методы и модифицированные алгоритмы структурной идентификации: пошаговая регрессия (метод включения с исключением), случайный поиск с адаптацией, случайный поиск с возвратом, полный перебор, оптимальное преобразование Хаусхольдера.

Результаты показали, что применение внутренних критериев качества недостаточно для дискриминации конкурирующих между собой математических структур. Модели, предназначенные для прогноза, должны анализироваться с помощью внешних мер, позволяющих реально оценить и сравнить между собой структуры. Из методов структурной идентификации наиболее приемлемым является модифицированный метод пошаговой регрессии.

Четвертая глава посвящена вариантам численной реализации регрессионного моделирования и анализу полученных результатов при представлении физической поверхности Земли и Луны оптимальными структурами при разложении в ряд по сферическим функциям. Проведен сравнительный анализ полных и оптимальных моделей на основе статистических критериев, с привлечением графической информации и построением глобальных гипсометрических карт.

Исследовалась эффективность АСНИ при решении задач восстановления мегарельефа Земли и Луны на основе современных данных. Результаты обработки отражают преимущество РМ - подхода над стандартным методом.

Пятая глава посвящена вариантам численной реализации РМ-подхода и анализу полученных результатов применительно к описанию гравитационного поля Земли и Венеры оптимальными структурами при разложении в ряд по сферическим функциям. Осуществлено сравнение полных и оптимальных моделей на основе многокритериальной концепции. Построены глобальные карты вариаций аномалий силы тяжести и лучевых ускорений.

Исследовалась эффективность АСНИ при решении задач восстановления гравитационного поля Земли и Венеры на основе современных данных, в частности, полученных по программе «Магеллан». Впервые для гравитационных полей планет показана перспективность применения РМ - подхода.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Основное содержание изложено на 155 страницах, включая 18 рисунков и 16 таблиц. Список литературы включает 84 наименований использованных литературных источников. Объем приложений - 36 страниц. Приложения содержат основные результаты расчетов.

Выводы. 1. Стандартная модель гравитационного поля Земли двадцать четвертого порядка содержит до 60% малозначимых и незначимых гармоник разложения; обладая наименьшей внутренней ошибкой ст, модель оказывается наихудшей по внешней точности ад. Следовательно, порядковая дисперсия ошибок ст не может быть использована для выбора порядка разложения, а применение полных разложений ведет к ухудшению прогностических свойств модели.

2. Оптимальная по 1 - статистике модель гравитационного поля Земли, полученная методом пошаговой регрессии на основе двадцать четвертого (неоптимального) порядка разложения, не содержит шумовых гармоник, что привело к повышению точности прогноза с использованием этой модели в 4 - 5 раз. Из внутренних критериев (ст, II, Б) только Р - критерий сигнализирует о повышении точности при сокращении размерности: уменьшению ошибки стд оптимальной модели по сравнению с полным разложением соответствует возрастание значения Б - критерия.

3. Значительная коррелированность параметров внутри моделей, как для полных, так и оптимальных разложений вносит искажение в значения гармоник моделей. Вследствии этого наблюдаются существенные расхождения как в оценках параметров Земли, так и в оценках прогноза моделей, рассмотренных в разделе 5.2.

4. Оптимальная по I - статистике модель гравитационного поля Земли, полученная методом пошаговой регрессии на основе десятого (оптимального) порядка разложения, по сравнению с оптимальной моделью двадцать четвертого неоптимального) порядка разложения имеет несколько более высокую точность прогноза.

Результаты, содержащиеся в данном разделе, отражены в работах [16,18,24,83].

5.2 Карты вариаций ускорений силы тяжести на поверхности Земли

Для проверки качества прогноза моделей, полученных в разделе 5.1, были построены гипсометрические карты, соответствующие оптимальной модели 10 порядка (рис. 5.2.1) и разностям остаточных аномалий силы тяжести между полной моделью 24 и оптимальной 10 порядка разложения (рис.5.2.2). Как было показано в разделе 5.2 полные модели содержат не только дублирующие параметры, но и «шумовую» составляющую, достигающую 50%. Естественно все это отражается в оценках прогноза данных моделей, которые показаны на соответствующих картах.

Рис. 5.2.1 Карта аномалий силы тяжести Земли, полученная с использованием оптимальной модели 10 порядка. Изолинии проведены через 5 ш§а1.

Рис. 5.2.2 Остаточные значения аномалий силы тяжести между полной (24 порядок) и оптимальной (10 порядок) моделями. Изолинии проведены через 5 mgal.

5.3. Математические модели гравитационного поля Венеры

Запуск КА "Magellan" обеспечил новую веху в истории изучения гравитационного поля Венеры. Все ранее полученные модели [3,65,66,68,79,84] в пределах их ограниченного разложения сравнивались между собой достаточно хорошо. С привлечением новых данных модели стали приобретать все более и более детальный вид. В работах исследователей Jet Propulsion Laboratory (California Institute of Technology) [76] проведена работа по комбинации более современных данных слежения за КА "Pioneer Venus" и "Magellan" с целью получения новых уточненных моделей гравитационного поля Венеры сорокового и шестидесятого порядка разложения.

Представим значения лучевых ускорений G с помощью полиномов и присоединенных функций Лежандра по аргументам ф и X как функцию в виде ряда:

G(p,q>,A.) =

GM N n fR\2

Snm Pn+l,m (sin фХп - Ш + l) + 8, (5.3.1)

2 j / -* R n=0m=0\ P J где S^ =(CnmCosmX + SnmSinmX).

Традиционная методология для определения коэффициентов сферических характеризуется двумя положениями: 1) структура модели обработки данных (количество и вид гармоник) принимается «жестко» заданной; 2) оценивание параметров модели выполняется по одной из вычислительных схем метода наименьших квадратов (МНК). Как уже отмечалось в [13], применение стандартного МНК приводит к оценкам, которые не являются наилучшими линейными оценками в силу несоблюдения условий применения этого метода.

При исследовании гравитационного поля Венеры методом статистического (регрессионного) моделирования в работе решались следующие задачи: 1) статистический анализ моделей с жестко заданной структурой для различных порядков разложения по массиву данных, возможному для обработки на используемых компьютерах; 2) получение и анализ оптимальных структур; 3) изучение влияния переопределенности структуры на значения параметров разложения и ее прогностические свойства.

Наблюдательный материал. Исходная информация была собрана в JPL в виде значений лучевых ускорений внешнего гравитационного поля Венеры по программе «Magellan». В работе использовался массив данных, состоящий из 30760 значений лучевых ускорений.

Статистический анализ стандартной модели. Оценка параметров и анализ стандартной модели (5.3.1) проводились с помощью одной из схем МНК-схемы ортогонального преобразования Хаусхольдера. При этом рассматривались модели до сорокового порядка разложения из-за ограниченных ресурсов вычислительной техники. Гармонические коэффициенты Сш, S^ разложения находились из решения переопределенной системы 30760 линейных уравнений. гармоник С nm, S ^ при известных Gk,9k Дк,рк nm ряда точек

Одновременно с гармоническими коэффициентами определялись внутренние критерии (табл. 5.3.1): средние квадратические ошибки (а) аппроксимации исходных высот с помощью разложения данной степени Ы, коэффициент множественной корреляции (Я), критерий Фишера (Б), а также парные коэффициенты корреляции между оцениваемыми параметрами (гу), частные значения X - критерия Стьюдента. Эти статистики позволяют дискриминировать конкурирующие разложения в рамках определенных допущений.

Стандартная ошибка аппроксимации убывает достаточно плавно, достигая 0.0025 мм/сек.2 при N = 40.

Значения Гу между некоторыми гармониками достигали 0.9. При этом модель сорокового порядка содержала 60% незначимых (уровень значимости а = 0.05) параметров. При аналитическом анализе остатков было выявлено несоблюдение предположения о нормальности распределении. Ряд основных предположений можно проверить, используя график зависимости прогнозируемых значений лучевых ускорений <3 от нормализованных остатков (е1 / а) (рис. 5.3.1).

Рис. 5.3.1 График зависимости прогнозируемых высот У от нормализованных остатков (е| / а)

В частности, по внешнему виду графика на рис. 5.3.1 также можно сделать вывод о некотором нарушении условия нормальности: за пределами полосы ±3а присутствуют точки, которые в дальнейшем можно было бы вывести из выборки. Данный прием, как и для ранее описанных разложений, довольно трудно реализуем, так как большая часть выбросов может быть обусловлена неполной адекватностью самой модели, и наоборот - грубые ошибки могут привести к ошибочному заключению о пересмотре модели. Для выявления взаимных корреляций между наблюдениями или ошибками использовался критерий Дарбина - Уотсона; его значение составило 0.15. Это означает, что для уровня значимости ос = 0.05 присутствует автокорреляция первого порядка.

Оптимальная структура. Оценивание гармонических коэффициентов и поиск оптимального набора по X - критерию проводились методом пошаговой регрессии. Все полученные модели содержали только значимые составляющие. Критическое значение ^статистики бралось равным 1.645. Внутренние критерии для каждого порядка разложения приведены в табл. 5.3.1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработана и исследована на эффективность автоматизированная система научных исследований, реализующая системный РМ-подход к задаче построения оптимальных моделей мегарельефа и гравитационных полей планет и обеспечивающая высокую степень их адекватности и эффективности.

Основными результатами диссертационной работы являются следующие.

1. На основе РМ-подхода и нового способа построения моделей мегарельефа и гравитационных полей планет разработана автоматизированная система научных исследований, обеспечивающая автоматизацию процесса вычисления и сокращение времени по сравнению с поиском оптимальных структур путем применения автономно работающих процедур.

2. Путем вычислительных экспериментов показана предпочтительность применения для оценки качества модели внешних мер, а именно, меры точности прогноза Стд, вместо обычно используемой внутренней меры - стандартной ошибки а.

Модели оптимальные по ^статистике, обеспечивают повышение в несколько раз точности прогноза по сравнению с моделями, оптимальными по внутренней мере а.

3. Исследована эффективность методов структурной идентификации при решении задач большой размерности. Показано, что модифицированный алгоритм пошаговой регрессии обеспечивает достаточно близкие значения к результатам метода полного перебора.

4. Найдена оптимальная стратегия обработки, позволяющая повысить точность прогноза по сравнению с другими рассмотренными стратегиями и традиционной методикой обработки рассматриваемых массивов данных по рельефу и гравитационным полям планет.

5. На основе корректной математической обработки достигнуто сокращение размерности математических моделей до 40% за счет устранения незначимых и дублирующих слагаемых; показано, что точность прогноза по оптимальным моделям (оптимального порядка) увеличивается в 4-5 раз по сравнению с точностью прогноза по полным моделям.

6. Усовершенствована методика построения глобальных гипсометрических и гравиметрических карт Земли, Луны и Венеры, а также непосредственно карта для Земли.

7. Экспериментально подтверждена эффективность РМ-подхода для решения новой по его применению задачи построения гравитационных полей планет.

Работа выполнялась в соответствии с планами НИР кафедры «Прикладной математики и информатики» Ульяновского государственного технического университета.

Разработанное программное обеспечение применяется в учебном процессе Ульяновского государственного университета при изучении дисциплин «Статистическое регрессионное моделирование» и «Практикум на ЭВМ» по учебному направлению «Прикладная математика и информатика» экономико -математического факультета.

Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в Московском государственном университете геодезии и картографии при обработке данных по рельефу и гравитационного поля Земли в рамках грантов Министерства общего и профессионального образования по фундаментальной геодезии (тема: «Исследование фигур и гравитационных полей Земли и планет методом статистического (регрессионного) моделирования»), межвузовской научно - технической программы «Геоинфокад», в Государственном астрономическом институте им.П.К.Штенберга (г.Москва) при обработке данных по эквирельефу Земли и в 29 НИИ МО РФ (г.Москва).

1. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: металлургия, 1968. - 227 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Статистическое исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. -488 с.

3. Аким Е. Л., Власова З.П., Чуйко И.У. Определение динамического сжатия Венеры по измерениям траектории движение ее первых искусственных спутников Венере -9, 10. Доклады академии наук СССР, 1978, 240, с 556-559.

4. Антамошкин А.Н. О решении задачи целочисленного программирования методом случайного поиска // Материалы V научн. конф. по математике и механике. Томск: ТГУ, 1975. - с. 88.

5. Антамошкин А.Н. Оптимизация функционалов с булевыми переменными / Под ред. Л.А. Растригина. Томск: Изд. ТГУ, 1987. - 102 с.

6. Атлантический океан, справочная карта. Масштаб 1: 20 ООО ООО М.: ГУГК, 1981.

7. Атлас мира. Австралия и Океания, физическая карта. Масштаб 1:30 000 000. М.: ГУГК, 1981.

8. Атлас мира. Америка, физическая карта. Масштаб 1:25 000 000. М.: ГУГК, 1977.

9. Атлас мира. Африка, физическая карта. Масштаб 1:30 000 000. М.: ГУГК, 1977.

10. Атлас мира. Западная Европа, физическая карта. Масштаб 1:15 000 000. М.: ГУГК, 1977.

11. Бородюк В.П. Статистические методы математического описания сложных объектов. М.: Изд. МЭИ, 1981. - 91 с.

12. Валеев С.Г. Вычислительные аспекты регрессионного анализа с позиций непрерывной и дискретной (булевой) оптимизации // Тез. докл. 4-го Всес.совещания. Применения случайного поиска. Кемерово: Изд. обл. научно-тех. о-ва, 1985.-с. 27-29.

13. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. М.: Наука, 1991.-272 с.

14. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Автоматизированная система для моделирования мегарельефа и гравитационных полей планет // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». М., 1998, - № 4-5. - с. 45 - 49.

15. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Автоматизированная система обработки данных большой размерности // Тез. докл. конф. «Проблемы современной радиоастрономии». С.-Пб.: Изд. ИПА РАН, 1997.- т.2 - с. 237 - 238.

16. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Математические модели гравитационного поля Земли // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». Ульяновск, 1997. - с. 41 - 43.

17. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Модели мегарельефа Луны по данным космической программы «Клементина» // Вестник УлГТУ. Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1999.-с. 90-92.

18. Валеев С.Г., Дьяков В.И. О возможности уточнения модели гравитационного поля Земли // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». М., 1998, - № 4-5. - с. 98 - 103.

19. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Описание мегарельефа Земли оптимальными разложениями по сферическим функциям// Тез. докл. XXXI н. т. конф. УлГТУ. -Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1997. - с. 46.

20. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Оптимизация математических моделей эквивалентного рельефа Земли // Журнал «Известия вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». М., 1998, -№ 4-5. - с. 3 - 22.

21. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Проблемы восстановления гравитационного поля Венеры // Тез. докл. XXX н. т. конф. УлГТУ. - Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1996. -с. 109.

22. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Программное обеспечение для задач МНК большой размерности // Ученые записки Ульяновского государственного университета «Фундаментальные проблемы математики и механики». -Ульяновск, Изд.: УГУ, 1996, вып.2, - с. 13 - 14.

23. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Статистические модели рельефа и гравитационных полей планет // Тез. докл. Международной научно технической конференции «220 лет геодезическому образованию в России». - М.: Изд. МИИГАиК, 1999. - с. 21.

24. Валеев С.Г., Дьяков В.И. Статистический анализ стандартных и оптимальных моделей рельефа Земли // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». Ульяновск, 1997. - с. 48 - 50.

25. Валеев С.Г., Кадырова Г.Р. Эксперная система для решения астронометрических задач прогноза // Тез. докл. конф. «Проблемы современной радиоастрономии» С.-Пб.: Изд. ИПА РАН, 1997. - т2 - С. 233-234.

26. Валеев С.Г., Шамарин М.Г. Численный анализ эффективности регрессионных процедур // Тез. докл. Всес. Семинара «Прикладные аспекты управления сложными системами» М.: Изд. Всес. научно-техн. о-ва, 1983. - с. 238.

27. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.-447 с.

28. Вучков И., Бояджиева JL, Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ / Пер. с болг.; Под ред. Ю.П. Аддера. М.: Финансы и статистика, 1987. -239 с.

29. Гаврилов И.В., Кислюк B.C., Дума A.C. Сводная система селенодезических координат 4900 точек лунной поверхности. Киев.: Наукова думка, 1977.- 172 с.

30. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. М.: Наука, 1976, 511 с.

31. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

32. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973. - 392 е.; 2-е изд. - М.: Финансы и статистика. - Кн. 1. - 1986. - 365 е.; Кн. 2. - 1987.-349 с.

33. Дубровский A.C. , Чиканов Ю.А. Гармонический анализ рельефа Луны //Астрон. Вестник. 1979. -13, № 2, с. 82-86.

34. Дубровский A.C., Чиканов Ю.А. Лунный эллипсоид //Астрон. Циркуляр. 1978. № 985. С 7-8.

35. Дьяков В.И. Алгоритм оптимизации моделей рельефа и гравитационного поля планет // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». Ульяновск, 1997. - с. 51 - 52.

36. Дьяков В.И. Определение оптимального порядка разложения по сферическим функциям // Тез. докл. Международной конференции «Результаты и перспективы исследования планет». Ульяновск, 1997. - с. 50-51.

37. Жонглович И.Д. Внешнее гравитационное поле Земли и фундаментальные постоянные, связанные с ним. Тр. ин-та Теор. Астрон. АН СССР, 1952, вып. 3, 126 с.

38. Ивахненко А.Г., Зайченко Ю.П., Дмитриев В.Д. Принятие решений на основе самоорганизации. М.: Советское радио, 1976. - 275 с.

39. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. -М.: Радио и связь, 1987. 120 с.

40. Карта рельефа поверхности фундамента Евразии, М. 1:15 ООО ООО, Гл. ред. В.В.Белоусов, Зам. Гл. ред. Н.Я. Кунин, В.Б. Мазур, Б.К. Оксистый, М.И. Островский, ИФЗ АН СССР, МинГео СССР, 1987.

41. Кислюк B.C. Геометрические и динамические характеристики Луны. Киев, Наукова думка, 1988 -163 с.

42. Лбов Г.С. Выбор эффективной системы зависимых признаков // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1965. - Вып. 19. -с. 21-34.

43. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. -Новосибирск: Наука, 1981. 160 с.

44. Лоунсон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Пер. с англ.; Под ред. Х.Д. Икрамова. — М.: Наука, 1986. 230 с.

45. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Минск: ИМ АН БССР, 1982. -Вып. 35.- 130 с.

46. Сборник науных программ на Фортране / Пер с англ.; Под ред. Л.И. Ганиной. М.: Статистика, 1974. - Вып. 1. - 316 с.

47. Сборник научных программ на Фортране //Пер. с англ.; Под ред. Л.И. Ганиной. М.: Статистика, 1974. Вып. 1. -316 с.

48. Себер Д. Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ.; Под ред. М.Б.Малютова. М.: Мир, 1980. - 450 с.

49. Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966 г. Под ред. К. Лунквиста и Г. Вейса. М.: Мир 1969, 277 с.

50. Структурная карта поверхности фундамента платформенных территорий СССР, Масштаб 1: 5 000 000. Гл. ред. В.В. Семенович, Я.И. Ровнин, Н.В. Неволин и др. МинГео СССР, МинГео РСФСР, 1982.

51. Тектоническая карта дальневосточных морей и сопредельных территорий. Масштаб 1: 2 500 000. Ред. -сост. В.В. Харакинов, Главморнефтегаз, ВПО Сахалинморнефтегазпром, отчет № 1-84- 39 2.07.84.

52. Тектоническая карта. Охотоморской регион. M 1: 1 500 ООО. Сост. В.В. Харакинов, В. А. Бабошина, A.A. Терещенкова. Главморнефтегаз, ВПО Сахалинморнефтегазпром. Сахалин НИПИнефтегаз, отчет № 1-84-39, вып.5. 1984.

53. Уилкинсон Дж., Райнис С. Справочник алгоритмов на языке Алгол: Линейная алгебра //Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1977. 389 с.

54. Физическая карта СССР. Масштаб 1: 8 ООО ООО М.: ГУГК, 1979.

55. Хьюбер П. Робастность в статистике / Пер. с англ.; Пол ред. И.Г. Журбенко. -М.: Мир, 1984.-304 с.

56. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982. - 320 с.

57. Чугунов И.Г. Карты краевой зоны Луны по наблюдениям покрытий звезд Луной. Казань, Казан, ун-т 1976.- 50 с.

58. Чуйкова H.A. Геометрическая фигура Луны, представленная в виде разложения по сферическим и выборочным функциям // Астрономия 1975, т.52, № 6, с 1279-1292.

59. Чуйкова H.A. О представительности разложения геометрической фигуры Луны по сферическим и выборочным функциям. //Астрономия 1975, т. 55, № 3, с 617-627.

60. Чуйкова H.A., Грушинский А.Н., Максимова Т.Г. Гармонический и статистический анализ эквивалентного рельефа Земли и его изостатическое компенсация. //Труды ГАИШ т.65 с 51 85. М.: МГУ, 1997.

61. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980. - 512 с.

62. Щербаков A.M. Гармонический анализ рельефа Земли по сферическим функциям до 30-го порядка и степени. //Физика Земли 1983 №11. - с 15-27.

63. Ananda М.Р., Sjogren W.L., et al. A low-order global gravity field of Venus and dynamical implications. J. Geophys. Res. 85, p. 8303-8318.

64. Anderson J.D., L. Efron The mass and dynamical oblateness of Venus. Bull. Amer. Astron. Soc. 1, 1969, 231.

65. Balmino G., Lambeck K., Kaula W. A spherical harmonic analysis of the Earth's topography //J. Geophys. Pes, 1973,78 № 2, p. 478-481.

66. Bills B. G., Kiefer W.S., Jones R.L. Venus Gravity: A Harmonic Analysis //J. Geophys. Res.- 1987 V.92, №8.10, p.10335-10351.

67. Bills B., Ferrari A. A harmonic analysis of lunar topography. Icarus, 1977, V 31, №2, p. 244-259.

68. Ellis J. Large scale state estimation algorithms for DSN tracking station Location determination //J. Astron. Sci. 28(1), p. 15-30.

69. Gaposhkin E.M., Lambeck K. 1969 Smithsonian Standart Earth (II),SAO Special Report, 1970, №315, p. 95.

70. Gaposhkin E.M., Williamson M.R., Kozai K., Mendes G. Smithsonian Institution Standart Earth II. Spec. Rept. SAO, 1973, № 353, p. 233-308.

71. Gudas C.L. Development of the lunar topography in to spherical harmonics // Icarus.- 1963. V.2. - № 5/6. - P. 423-439.

72. Hofsommer D.J., Potters-Albeda G.C. F. E., Poters M.L. Rept. № R344, Math. Center at Amsterdam, 1959.

73. I-degree gridded elevations /bathymetry for the world by Scripps Institution of Oceanography (SIO) // Russian Academy of Sciences, World Data Center. B for Solid Earth Physics.

74. Kanopliv A.S., Borderies N.J., Chodas P.W. Venus Gravity and Topography: 60Th degree and order model // Geophys. Res.- 1993, v.20, №21, p. 2403-2406.

75. Lee W.H.K., Kaula W.N. A Spherical Harmonic Analysis of the Earth's Topography. -J. Geophys. Res., 1967, V. 72 №2, p. 753-758.

76. Mills G.A., Sudbury P.V. Absolute coordinates of lunar features, III // Ibid.-9, №3. p. 538-561.

77. Phillips R.G., Sjogren W.L., et al. Gravity Field of Venus; a preliminary analysis //Science. 1979., V. 205.

78. Prey A. Abh.Ges. Wiss. Goettinen, Math.- Phys. KI. (N.S., 1922)

79. Smith D. E., Zuber M.T., Neumann G.A. , Lemoine F.G. The topography of the Moon from the Clementine LIDAR //J. Geophys. Res, 1995, № 15.p. 27-35.

80. Valeev S.G. Regression and optimization // Abstracts of the Tenth Prague Conference on information theory, statistical decision functions and random processes. Prague: Czech. Acad. Of Sciences, 1986. - P. 168 - 169.

81. Valeev S.G., Dyakov V.I. To the problem of regression modelling application while investigating gravity field restoration of planets // Abstracts of papers submitted to the 22 russian american microsimposium on planetology. - Moscow, 1995. - p.

82. Williams B.G., Mottinger N.L. Venus Gravity Field: Pioneer Venus Orbiter Navigation Results //Icarus №56. p. 578-589.