автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Математическое моделирование переменного гравитационного поля Земли

государственный комитет российской федерации

по высшему образованию

сибирская государственная геодезическая академия

На правах рукописи

Вовк Игорь Георгиевич

УДК 528.22:519.67

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

05.24.01 Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОСИБИРСК 19 9 4

Работа выполнена в Сибирской Государственной Геодезической Академии

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор МАШИМОВ ЛШ. технических наук, профессор

доктор доктор

ЛЕБЕДЕВ С. В. технических наук, профессор ПАНКРУШИН В.К.

Ведущая организация : Производственное объединение „Инжгеодезия"

Защита диссертации состоится

_1995 г.

' ^ .часов на заседании специализированного совета

) по присуждению ученой степени доктора наук

в Сибирской Государственной Геодезической Академии по адресу : 630108, Новосибирск, 108, ул. Плахотного, 10, СГГА в аудитории №

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан

об« ¿utia/vd

-199¿f

rt.

/ , Ученый секретарь специализированного совеуа (WÍK. СЕРЕДОВИЧ)

9К9 Подписано в печать 14 декабря 1991 г. Объем 2.2 печ. лист. 2,1 уч.-изд. листа. Заказ 74. Тираж 100.

" 630108, г. Новосибирск, 108, Плахотного, 8, КПЛ СГГЛ.

- 3 -

1. ОЛцая характвриспзка работы

Актуальность темы. Задача изучения фигуры Земли и ее внепшего гравитационного поля всегда занимала центральное место в исследованиях по геодезии . Работы Лапласа , Клеро , Ньютона , Гзусса, Стокса и других великих ученых заложили фундамент для резениа задачи изучения внешнего гравитационного поля Земли . Наиболее затаые фундаментальные результаты получены М.С.Молоденским, ■ соадавпим теор5,жз определения фигуры Земли и еэ внешнего гравитационного поля и указавшим ка кеобходймость оценки и учета их временных изменений .

Возрастание требований к точности систем координат , изучение движений земной коры , деформаций инженерных сооружений и другие задачи обуславливают необходимость изучения планетарных, региональных и локальных простракственно-времекых изменений гравитационного поля л создание пространственно-временной граакта-ционной модели, адекватной внешнем/ гравитационному полз Земли на филированную эпоху. Математические модели переменного гравитационного поля являются составной частьп новых информационных' систем и технологий и находят применение в физической, космической, з5когэк и прикладной геодезии, в геофизике и многих других областях науки и техники . Этими обстоятельствами и определется актуальность теш исследований .

Научная проблема. Исследование космоса, изучение Земли как-планеты, создание .новых .информационно-измерительных систем и геоинформационнкх технологий и другие задачи требуют все более точных и подробных сведений о гравитационном

поле Земли', его эволюции и взаимосвязи с другими геофизическими полями и потоками энергии, поступающими из недр Земли и Космоса.

, Наиболее точные данные о гравитационном поле Земли получают по результатам геофизических измерений на • дискретном множестве точек ее поверхности . Эти данные получены в разные моменты времени и представляй гравитационное поле в исследуемой точке на момент измерений . Лтобы подучить информации о состоянии-грави- < тационного поля Земли в некоторую фиксированную эпоху,эти данные необходимо привести' к этой эпохе и по ним определить математическую модель гравитационного поля, адекватную реальному, гравитационному полю Земли, характеру его развертывания в пространстве и времени. Таким образом,мы подходим к проблеме математического моделирования переменного гравитационного поля Земли.

Многробразие задач, требующих данных о переменном гравитационном поде Земли, находит отражение в созданий различных математических моделей гравитационного поля в виде интегральных и дифференциальных уравнений, рядов- по ортонормированным системам, наборов точечных масс, мультиполей и т.д. Как правило , все эти модели ориентированы на определение планетарного гравитационного поля Земли. Их использование для описания регионального или локального гравитационного поля с необходимой для многих пркложейий точностью и детальностью затруднено из-за отсутствия исходных данных необходимой'точности и подробности для всей планеты ,

Таким образом, создание математических - моделей переменного гравитационного поля. Земли, адекватных; планетарному , региональному и локальному гравитационному полю , представляет современ-

ную научную проблему , необходимость репения которой диктуется требованиями современной науки и техники.

Цель работы. Сформулированная научная проблема обосновывает главную цель исследований как разработку тагам методов математического моделирования'планетарного,регионального и локального переменного гравитационного поля Земли, которые бы обеспечили наиболее широкий , экономически целесообразный спектр их приложений и позволили бы эффективно , в соответствии с требованиями практики, управлять точностью и детальностью математических моделей.

При строительстве и эксплуатации инженерных объектов и разработке месторождений полезных ископаемых возникают, так называемые, техногенные вариации силы тяжести. Необходимость метрологического обеспечения новых прецеэконных измерительных систем, создаваемых при строительстве и эксплуатации крупных инженерных объектов , требует оценки вариаций гравитационного поля, вызванных техногенными геодкначическкми процессами. Поэтому второй целью данной работы служит разработка метода моделирования техногенных вариаций силы тяжести в окрестности водохранилищ, рудных карьеров и т.д.

Все астрономо-геодезическке измерения выполняются в переменном гравитационном поле Земли. Установление зависимости результатов измерений от временных изменений гравитационного поля, моделирование резудьтагов измерений в переменном поле силы тяжести составляют третью цель данной работы.

Наконец, последней, четвертой целью работы является решение

прикладных задач, связанных с математическим моделированием временных изменений гравитационного поля, оценкой и учетом влияния временных изменений силы тяжести на результаты измерений.

Достижение сформулированных целей потребовало выполнения теоретических исследований, необходишх для обоснования и. разработки метода моделирования планетарного, регионального и локального гравитационных полей и других геофизических полей, математического моделирования техногенных вариаций гравитационного по-, ля и результатов измерений в переменном поле силы тяжести ,а также решения ряда прикладных задач.

Научная значимость и новизна работы состоит в рассмотрен™ гравитационного поля Земли как элемента единой динамической системы Космос-Земля-физические поля,с непрерывно изменяющимися параметрами, в обосновании и разработке метода моделирования планетарных, региональных и локальных полей на основе единого алгоритма, в разработке методов моделирования техногенных вариаций гравитационного поля и результатов измерений в переменном поле силы тяжести, решении ряда новых прикладных задач.

Основные научные результаты .полученные автором:

- разработан, обоснован и исследован метод математического моделирования физических полей Земли, заданных в сферической трапеции;

- разработан и обоснован итерационный метод . сферического гармонического анализа физических полей Земли, дискретно заданных на сфере;

- разработан метод математического моделирования техногенных

вариаций силы тяжести в окрестности водохранилищ и рудных карьеров;

- разработаны методы математического моделирования результатов измерений в переменном поле силы тяжести;

- разработан, обоснован и исследован метод оценки влияния техногенных вариаций силы тяжести на положение отвесов плотин ГЭС.

Совместно С к.т.н.,доц.Канупшным В.Ф. и доц.Суздалевым A.C. разработан метод локального ковариационного анализа физических полей Земли, основанный на результатах их сферического гармонического анализа.

Совместно с доц.Суздалевым A.C. выполнены исследования по оценке весовых коэффициентов частотной характеристики оператора сглаживания в зависимости от формы и размеров области сглаживания.

Результаты теоретических исследований использованы при решении прикладных задач, их совокупность представляет новое направление в геодезии, связанное с разработкой и созданием геоинформационных систем и новых информационно-вычислительных техно-.логий.

Практическая ценность работы состоит з разработке и исследовании методов математического моделирования:

-планетарного,регионального и локального переменного гравитационного поля Земли на основе единого алгоритма сферического гармонического анализа;

- техногенных изменений локального гравитационного поля Земли в окрестности водохранилищ и рудных карьеров;

-результатов геодезических измерений в переменном поле силы тяжести.

Основные практические результаты работы,полученные автором:

- метод математического моделирования планетарного, регионального и локального переменного гравитационного поля Земли по результатам сферического гармонического анализа;.

- метод моделирования техногенных -вариаций гравитационного поля в окрестности водохранилищ и рудных карьеров, алгоритмы и программы переданы для использования в институт геофизики Грузинской АН, получен акт внедрения;- негоды моделирования результатов геодезических измерений

в переменном поле силы тяжести.

Совместно с доц.Суздалевям A.C. выполнена оценка влияния техногенных вариаций силы тяжести на положение отвесов шготипа Саяно-Шупекской ГЭС, алгоритмы и программы переданы для использования в АСУ ГО ГЕС, получен акт внедрения.

Совместно с к.т.н., доц.Костыной Ю.Г. разработаны алгоритмы и программы для моделирования геофизических полей, заданных в сферической трапеции. Эти алгоритмы и программы применены для .моделирования рельефа и переданы для использования в' ЮМ прикладной геодезии (получен акт внедрения), а также в в/ч 62728 и в ЦКП 280 (получен акт внедрения).

Совместно с к.т.н., доц. Дзоковым В.П. и доц.Суздалевым A.C. выполнена оценка влияния вариаций гравитационного шля, вызванных океаническими приливами, на результаты геометрического ниве-■КфОЕазпгя. Азгоритма и nporpaiäü переданы для кспольеогаази в 110

- 9 -

"Дальаэрогеодеэия", цолучен акт внедрения.

Результаты исследований используются в учебном процессе,при выполнении дипломных работ и кандидатских диссертаций. Получены справки о внедрении в учебный процесс.

По результатам исследований совместно с д.т.н., проф. Бузуком В.В.,к.т.н. .доц.Костыной Ю.Г., к.т.н.,доц.Канушиным В.Ф. и доц.Суздалевым A.C. опубликовано учебное пособие "Исследование гравитационного поля и фигуры Земли". Совместно с доц.Суздалевым A.C. опубликовано учебное пособие "Математическое моделирование задач прикладной геодезии".

Реализация результатов исследований. Основные научные и практические результаты передают для использования в научные и производственные организации.

Метод математического моделирования геофизических полей, заданных в сферической трапеции,применен для аппроксимации рельефа и включен в . систему крупномасштабного картографирования Этот же метод передан для использования в в/ч 62728 и в ЦКП 280.

Метод построения пространственно-временной модели техногенных вариаций гравитационного поля передан для использования в институт геофизики Грузинской АН.

Метод оценки влияния техногенных вариаций силы тяжести на положение отвесов плотин ГЭС передан для использования в АСУ ТП Саяно-Шушенской ГЭС.

Метод оценки вариаций гравитационного поля,вызванных океаническими приливами, и анализ их влияния на результаты геометрического нивелирования передан для использования в ПО "Дальаэро-

геодезия".

Использование результатов исследований в учебном процессе подтверждается изданием учебных пособий СИ], С2б].

Эти результаты получены при выполнении хоздоговорных и госбюджетных НИР, в соответствии с планом НИР института.

1. Разработка автоматизированных систем создания и обновления топографических карт и планов. Хоздоговорная НИР, N ГР 79034200, Новосибирск, 1984 год.

2. Усовершенствование комплекса программ для математического моделирования рельефа дна океана и континентального шельфа. Госбюджетная НИР, N ГР 81018865, Новосибирск, 1985 год.

3. Гармонический анализ геофизических полей в океане. Гос' бюджетная НИР по комплексной программе "Человек и окружающая

среда", N ГР 81062388, Новосибирск, 1990 год.

4. Оценка вариаций силы тяжести в окрестности водохранилища Ингури ГЭС. Госбюджетная НИР, N ГР 0186.0135015, Новосибирск, 1986 год.

5. Разработка и исследование методов учета погрешностей исходных данных при наблюдениях за деформациями уникальных сооружений С АЭС и ГЭС ). Методика оценки и учета влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты наблюдений за положением отвесов плотин ГЭС. Хоздоговорная НИР, N ГР 0186.0019695, Новосибирск, 1987 год.

6. Оценка вариаций гравитационного поля, вызванных океаническими приливами, и анализ их влияния на результаты геометрического нивелирования в условиях восточного побережья полуостро-

- и -

ва Камчатка. Хоздоговорная НИР, N ГР 0188.0006584, Новосибирск, 1989 год.

На защиту выносятся следущие положения:

1.Обоснована и практически реализована возможность применения сферического гармонического анализа для моделирования геофизических полей на участке сферы в виде трапеции.

2.Имеется возможность повышения точности моделирования дискретно данных геофизических полей,которая реализуется применением итерационного метода сферического гармонического анализа.

3.Оперативная и заблаговременная оценка величины и характера пространственно-временных изменений гравитационного поля может быть получена по результатам математического моделирования геодинамических процессов.

4.Повышение качества и надежности выявления полезной информации из геодезических измерений достигается применением методов математического моделирования влияния изменений гравитационного поля на результаты измерений.

Апробация работы. Результаты исследований обсуждались на следующих совещаниях и конференциях.

1. Всесоюзная конференция по исследованию и освоению ресурсов Мирового океана. Владивосток, 1976 год.

2. VII Всесоюзное совещание по изучению современных движений земной коры. Львов, 1977 год.

3. VII Междуведомственное совещание по изучению современных движений земной коры на геодиначических полигонах. Ашхабад, 1979 год.

4. Всесоюзная конференция " Изучение Земли как планеты методами астрономии, геодезии и геофизики ", посвященной 100- летию академика А.Я.Орлова. Киев, 1980 год.

• -125. IX Междуведомственное совещание по изучению современных движений земной коры. Петропавловск-Камчатский, 1981 год.

6. Всесоюзная научно-техническая конференция " Проблемы автоматизации топографо-геодезических работ ". Новосибирск, 1981 год.

7. VIII Всесоюзное совещание по изучению современных движений земной коры. Кишинев, 1982 год.

8. Всесоюзная конференция "Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами". Львов, 1984 год.

9. Всесоюзная конференция "Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодинамики и астрономии". Киев, 1988 год.

10.Симпозиум КАПГ по изучению современных движений' земной коры. Дагомыс, Воронеж, 1988 год.

11.Всесоюзная конференция "Повышение эффективности определения осадок инженерных сооружений и геодинамических . исследований". Воронеж, 1988 год.

12.IX съезд ВАГО, Новосибирск, 1990 год.

'13. Всесоюзное совещание по изучению непршшвных изменений силы тяжести. Москва, 1980-91 гг. (ежегодно).

Публикации: по результатам исследований-опубликовано 54 работы, из них 40 - с соавторами. Общий объем публикаций составляет 478 машинописных страниц или около 30 печатных листов.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения,

списка использованных литературных источников, включающего 239 наименований (из них 25 - на иностранных языках), приложения. Результаты исследований изложены на 236 страницах, включая 26 таблиц, 28 рисунков.

2. Содержание диссертационной работы

Во введении дана обпщя характеристика работы, сформулированы задачи и определены цели исследований.

В первом разделе излагаются общие вопросы математического моделирования гравитационного поля Земли.

Гравитационный потнциал V и вектор силы тяжести в представлены в виде суммы

Первые слагаемые в этих формулах определяют потенциал и силу тяжести как функции координат в эпоху го и представляют переменное гравитационное поле Земли, . стационарное во времени, а вторые - определяют изменения потенциала и силы тяжести в точке Р за время 1:-1о.

Если при решении различных задач точность определения гравитационного поля в относительной мере не превышает Ю-5, то вторыми слагаемыми в формулах (1) можно пренебречь.

При определении в эпоху го потенциала и силы тяжести как функции координат обычно полагают, что

выбирая U(P,xo) так, чтобы квадратом KF.to) можно было пренебречь, а

W = W (P.t) = Wi (P,t0) + W2 (P,t-to), S = г (P,t) = gi(P,i0) + £2 (P,t-io).

(1)

Wi(P,to) = U(P,to) + T (F,t0), 5i(p,xo) = T(P,To) + Щ (P,to),

(2) (3)

т(Р,хо) = ёгаЗ и(Р,т:о).

(4)

Представление (2) условно и зависит от принципа определения функции и(Р,то), которая соответствует некоторой простой модели Земли, близкой к реальной Земле, и представляет фигуру, внутреннее строение и гравитационное поле Земли в общем виде, без учета многих деталей.

Наиболее , широко в качестве модели Земли используется

эллипсоид вращения, который получил название Нормальной или Стандартной Земли. Соответствующие Нормальной Земле гравитационный потенциал и сила тяжести называются нормальным потенциалом и нормальной силой тяжести.

Значение нормального потенциала находят по формуле

Ы , » / и ч2п ш2 „'

и(г,В) = — {1 - Е - 12п Р2п(31пВ)} + - ггСозгВ, (5)

г 1 п=1 Л г > 1 2

а значение нормальной силы тяжести по формуле.

С ПИ г <» ( И ч2п -. „ \

г(г,В)=|— [1-Е (2п+1)^—]1гп Р2п(31пВ)]- ы2гСозВ|51п(В-Ф).(6)

В формулах (5), (6) обозначено:

г,В - геоцентрический радиус и широта исследуемой точки;

¡2п " гармонические коэффициенты;

и - угловая скорость вращения Земли;

ПИ - геоцентрическая гравитационная постоянная;

В-Ф - разность геодезической и геоцентрической широт.

В целом параметры Нормальной Земли и ее гравитационного поля определены с такой точностью, что при решении многих 'задач их

можно считать заданными.

После определения нормальной составляющей гравитационного поля и других геофизических полей задача сводится к определению их аномальной части. Применительно к гравитационному полю эта задача состоит в определении возмущающего потенциала, аномалии силы тяжести и их изменений во времени.

Математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом и поэтому никогда не бывает ему тождественна, не представляет всех его свойств и особенностей. Это обстоятельство порождает множественность математических моделей для одного и того же моделируемого объекта.

Математические модели геофизических полей можно условно разделить на два классз: статистические или аппроксимационные и концептуальные или имитационные. Первые получают в результате формальной интерпретации экспериментальных данных по принципу "черного ящика", а вторые - на основании гипотез относительно механизма возникновения изучаемых геофизических полей, характера взаимодействия между переменными, принципов сбора и подготовки исходных данных и т.д.

Построение концептуальных моделей геофизических полей, как правило, требует знания внутреннего строения Земли и математических моделей процессов и явлений, которые сопровождаются возникновением геофизических полей.

В геодезии при моделировании гравитационного поля наибольшее распространение получили аппроксимационные модели.

Примерами математических моделей стационарных анс-

мальных геофизических полей могут служить разложения возмущающего потенциала к аномалий силы тяжести в ряды по сферическим функциям. Наряду со сферическими могут быть использованы функции Ламе, выборочные функции, тригонометрические функции и другие полные ортонормированные системы функций.

Однако на практике большее распространение получила система сферических функций. Нормальный потенциал и нормальную силу тяжести чаще всего представляют в виде суммы первых сферических гармоник ( формулы (5)и(6)).

Представление аномальных стационарных геофизических полей Земли в виде суммы сферических гармоник оказывается удобным для создания планетарных моделей. Поскольку, как показывает практика гармонического анализа, с увеличением числа суммируемых гармоник возрастают вычислительные трудности, а точность аппроксимации увеличивается незначительно, постоянно ведутся исследовав— по улучшению аппроксимации не-только планетарных геофизических полей, но и отнесенных к отдельным районам Земли. При этом оказывается полезным выделение из регионального поля некоторой фоновой составляющей, определение которой осуществляется путем нахождения региональной нормальной формулы геофизического поля. Такое разделение стационарного аномального геофизического поля на планетарную, региональную и локальную составляющие обеспечивает лучшие возможности для геофизической интерпретации поля, описания детальности его структуры и повышает точность моделирования за счет создания многоуровневой, иерархической структуры математических моделей. .

Математические модели гравитационного поля Земли разрабатываются и применяются при решении различных задач геодезии, астрономии, геофизики и геодинамики. Наиболее значительный вклад при этом сделан выдающимися учеными: М.С.Молоденским, И.Д.Конго-ловичем, В.Ф.Еремеевым, М.И.Юркиной, В.В.Броваром, Л.П.Пеллкне-ном,■ Н.П.Грушинским, М.У.Сагитовым, Ю.Н.Нейманом, М.М.Машимовым, Г.А.Мещеряковым, К.В.Холшевниковым, Б.П.Шимбиревым, Р.Ралпом, У.Каулой,Г.Морицем.

Постановку и решение отдельных задач выполнили: С.В.Лебедев, В.А.Бываев, М.С.Петровская, А.Н.Марченко, В.В.Бузук, О.М.Остач, Г.З.Демьянов, В.Ф.Канушин.Ю.Г.Костына, А.С.Суздалев,' Л.В.Огородова, А.П.Юзефович.

Построение математических моделей стационарных аномальных геофизических полей оказывается недостаточным для изучения динамики Земли, изменений ее фигуры и гравитационного поля.

Для решения этих задач требуется изучение временных изменений геофизических полей, разработка и построение математических моделей геодинамических процессов, обуславливающих их изменения.

Причиной временных вариаций гравитационного поля являются геодинамические процессы и явлеюи космического, тектонического, геологического, техногенного и другого происхождения. Поэтому изучение временных вариаций гравитационного поля и фигуры Земли неотделимо от изучения различных геодинамических процессов и явлений.

Задача математического моделирования геодинамкческих процессов и явлений заключается в нахождений одного или нескольких

уравнений вида

В = В(РД,П,7). (7)

В формуле (7)0- вектор тех параметров и функций модели, гаэторые доступны управлению, V - вектор параметров и внешних функций, накладывающих ограничения на область использования (применения) модели. Поскольку любая математическая модель дает лиеш приближенное описание действительности, то в зависимости от поставленной задачи для описания одного и того же геодинамического процесса могут быть использованы различные модели вида ( 7 ). Для геодезии наиболее важными яеляются такие модели, которые могут быть применены для решения различных прикладных задач.

Разнородные геодинамические процессы совместно проявляются в изменениях гравитационного поля и фигуры Земли. Разделить их влияние удается не всегда. Сложность геодинамических процессов, недостаточность информации о них и неоднозначность этой информации в большинстве случаев не позволяют в явном виде аналитически выразить зависимость от них вариаций гравитационного поля.

Эти обстоятельства приводят к необходимости использования для изучения временных изменений гравитационного поля вычислительного эксперимента, то есть воспроизведение на ЭВМ изучаемого явления, его развертывание во времени и пространстве во взаимосвязи с другими процессами и явлениями.

Фундаментальные исследования временных вариаций гравитационного поля выполнены: Ю.Д.Буланже, Н.Н.Парийским, М.С.Моло-денским, В.Ф.Еремеевым, М.И.Юркиной, Я.С.Яцкивом, М.М.Машимовым, Р.Биро, Б.П.Перцевым, С.С.Ивановым,В.В.Ероваром, Л.П.Пеллиненом.

Постановка и исследование отдельных проблем, связанных с изучением изменений гравитационного поля Земли во времени, выполнены: Г.И.Коротаевым, Н.П.Есиковым, О.М.Остачем, П.Д.Двули-том, А.Ш.Файтельсоном, Л.И.Волгиной, В.к.панкрушиным, В.В.Еузу-ком, В.М.Паншшм, В.О.Канушикш, А.Н.Соловицким, А.С.Суздалэвым, А.Н.Кокогошшкм, Л.В.Огородозой, А.П.Юзефовкчем и др.

Математическое моделирование временных изменений гравитационного поля выполняется иди в результате явного определения аналитических моделей геодинамических процессов, или по результатам обработки повторных геофизических измерений. Возможность и необходимость выбора метода моделирования диктуется объективными обстоятельствами: экономическими, информационными, техническими, сферой применения и другими.

Во втором разделе диссертации дано теоретическое обоснование и исследование метода математического моделирования переменного стационарного гравитационного поля Земли. Метод позволяет распространить классическое представление планетарного гравитационного поля Земли в виде ряда Фурье по сферическим функциям на поле,заданное в сферической "¿апецки [4,6,11,14]. Это достигается благодаря сохранения свойства ортогональности классических ортогональных многочленов при линейном преобразовании их аргумента.

Поэтому все формулы и алгоритмы классического сферического гармонического анализа оказываются справедливыми не только при изучении планетарных полей, но и для полей, заданных в сферической трапеции &■>.

Поле в сферической трапеции Ли представляется в виде ряда

В формулах (8), (9) функции Рпт(и)созту, Рпт(и)51гап7 орто-нормированы в сферической трапеции.

Ограничивая бесконечный ряд (8) и учитывая в частичной сумме различные гармоники, будем получать в области Дм различные математические модели поля (и, V).

На практике моделирование поля <Ки,У) по формулам (8), (9) затруднено невозможностью аналитического интегрирования при вычислении коэффициентов (9), Поэтому коэффициенты апт, Ьпш вычисляют, применяя методы численного интегрирования. Наибольшее распространение получили метод Неймана, основанный на использовании квадратур Гаусса, и метод интегральных сумм, предложенный И.Д.Жонголовичем. Применительно к вычислению коэффициентов (9) для поля <Ни,У), заданного в сферической трапеции, формулы метода Неймана имеют вид:

5> (и,у) - Е Е (апт собшу + Ьпп^гапу) Рпт(и) (8) п=0 т=0

с коэффициентами

где С* -Мо -

веса квадратур Гаусса,'

степень, которой ограничен ряд (8),

(Чк, - синусы широт и долготы узлов квадратурной формулы. Формулы метода интегральных сумм И.Д.Жонголовича

апт Ьпт

ЗпО

}-

25Ш шй

4Ш

О ь _ Г Соз тУз X £ Фптк Е <!>ко \ - /.

к=1 о=1 1 Э1П тУз '

2В О п -— £ ФпОк £ ,

4Я к=1 з=1

Чк+1

Фпюк = I Рпт(и) с!и ,

Чк

3 =

(11)

V] + У3+1

- константы, определяющие число слагаемых в интегральных суммах,

Фкз - средние интегральные значения функции Ф(и,У) в ячейке (к,з).

Использование численного интегрирования при вычислении ко-эффицинтоз обуславливает смешивание гармоник разных частот. Для ослабления этого эффекта необходимо выполнить фильтрацию изучаемого поля. На практике фильтрацию осуществляют, сглаживая эмпирические данные по ячейкам стандартных размеров. Размеры ячеек в

радианах можно оценивать из условия

4я

= -, (12)

2(Но+1)

или по предложенной В.М.Нейманом формуле

5° - Г° Л , (13)

где г° - радиус нулевой корреляции остаточного поля, полученного после удаления иа исходного поля всех гармоник до степени N0. Обе формулы дают практически одинаковый ревультат.

Подробное описание программ для моделирования поля <¡>(11,V) нз ЭВМ дано в работе СИЗ. Эти программы получены в результате переработки оригинальных программ из кандидатской диссертации автора "Оценка точности гармонических коэффициентов аномалий силы тяжести".

Вычислительные эксперименты, выполненные для поля рельефа и аномалий силы тяжести, заданных в трапециях различных размеров, показали, что точность моделирования ограничена и достигает минимума при

/КТ '

N0 = /--1 . (14)

/ 2

где КТ - количество исходных точек в исследуемой области. Сред-неквадратическая (6) и абсолютная (Д) погрешности при всех п <. N0 удовлетворяют неравенству

Д < (4,5 + 1п п) • б . (15)

Погрешность моделирования гравитационного поля обусловлена:

- ошибками машинной арифметики;

- сглаживанием поля;

- некорректностью задачи суммирования рядов Фурье с эмпири-

<

■ ческими коэффициентами;

- ограничением ряда;

- дискретностью и неравномерностью исходных данных;

- несовпадением пунктов измерений с узлами кубатурных формул.

Эти погрешности условно разделим на две группы. В первую

группу отнесем ошибки машинной арифметики и сглаживания поля, т.е. ошибки, связанные с реализацией вычислений на ЭВМ, а во вторую - остальные, связанные с технологией математического моделирования.

Исследование погрешностей первой группы выполнено в разделе 2. В результате исследований установлено, что погрешности машинной арифметики по абсолютной величине пренебрегаешь С8]. Для оценки влияния сглаживания поля на результаты моделирования исследована зависимость частотной характеристики оператора сглаживания от формы и размеров области сглаживания.

В настоящее время считается, что частная характеристика есть функция только степени сферической гармоники и площади ячейки сглаживания и не зависит от порядка э и формы ячейки. В реферируемой работе предложен метод моделирования частотной характеристики, основанный на определении всех значений 8пт поочередно для сферических гармоник степени г, порядка з с единичной амплитудой при их сглаживании по ячейкам заданной формы и размеров. Анализ значений весовых коэффициентов частотной характеристики для гармоники степени г,порядка б показал, что их величина при г«п, превосходит остальные,при размерах ячейки сглаживания 10° х 10°, примерно в 100 раз, а длл ячеек сглаживания 5° х

5°- почти в 1000 раз. Это обстоятельство позволяет в частотной характеристике оператора сглаживания по ячейкам 5° х 5° и мельче ограничиваться учетом только главного весового коэффициента при n=r, m=s.

В таблице 1 для сферических гармоник, степень и порядок которых кратен 5, приведены значения главного весового коэффициента частотной характеристики, полученные по результатам моделирования. Сравнение данных из колонок 2, 3 и 5 показывает зависимость частотной характеристики от степени s сферической гармоники, формы и размеров ячейки сглаживания. Сопоставление данных колонок 3 и 4 показывает зависимость частотной характеристики от смешивания . гармоник.

Сравнивая одноименные гармоники планетарного поля и поля,

созданного в сферической трапеции,получим систему уравнений:

anm \ ™ „ ( ßrsnm ^ ( Trsnm t

u } = Е Е Ars { } + Brs { } (16)

bnm ' r=0s=0 Brsnm ' , v Örsnm ' ,

где а, ß, r, 5 - коэффициенты разложения планетарных сферических функций Prs(Sinq>)Cos(sA), PrsCSinqOSinfsA) по системе функций PnmiujCosrnV^nmiujSinmV, ортонормированных в области Дш. Уравнения (16) устанавливают связь между коэффициентами ArS,Brs планетарного поля F(?,A) и коэффициентами amn. Ьпт этого же поля, полученными по результатам гармонического анализа в Дм.

Выполняя в рядах по сферическим функциям 'суммирование в ограниченном диапазоне частот, получим спектроэональные математические модели поля, которые позволяют осуществить его разделение на составные части разнородного генетического происхождения.

Табяща 1

Результаты моделирования частотной характеристики оператора простого сглаживания

Сглаживание по элементарным ячейкам Сглахиваккэ по круговым областям..

отдельные гармоники сумма гармоник при N - 30 - -

г 3 ячейка ячейка равновеликие Д<?и=Д\и=5и пятиградусная пятгтрадус-рзвновеликая ные яченки

1 2 3 4 5

0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

5 0 0.9811 0.9815 0.9315 0.9313

10 0 0.9324 0.9289 0.9289 0.9353

15 0 0.8576 0.8500 0.8500 0.8632

20 0 0.7623 0.7338 0.7383 0.7710

25 0 0.6557 0.6777 0.6777 0.6554

30 0 0.5484 0.5523 0.5623 0.Б523

5 5 0.9827 0.3811 0.9814

10 5 0.9490 0.9325 0.9325

15 5 0.8876 0.8578 0.8572

20 5 0.8033 0.7627 0.7574

25 5 0.7023 0.6535 0.6558

30 5 0.5917 0.5370 0.4965

10 10 0.9352 0.9321 0.9321

15 10 0.8890 0.8577 0.8575

20 10 0.8185 0.7630 0.7053

25 10 0.7293 0.6541 0.6576

30 10 0.6285 0.5415 0.5717

15 15 0.8310 0.8665 0.8560

20 15 0.8058 0.7625 0.7626

25 15 0.7307 0.6357 0.6734

30 15 0.6416 0.5425 0.4977

20 20 0.7657 0.7539 0.7593

25 20 0.7055 0.6543 0.6480

30 20 0.6301 0.5424 0.5929

25 25 0.6560 . 0.6494 0.6542

30 2.5 0.5951 0.5393 0.5270

30 30 0.5394 0.4262 0.5323

Выбор диапазона частот (спектрального окна) выполняют либо аксиоматически, либо по результатам анализа физических объектов, генерирующих поле.

В третьем разделе рассмотрено решение прикладных задач при моделировании стационарного аномального гравитационного поля по результатам гармонического анализа и исследованы погрешности, связанные с технологией моделирования.

Некорректность задачи суммирования рядов по сферическим функциям с приближенными коэффициентами обуславливает необходимость использования регуляризирующих алгоритмов [53. Если ряд по сферическим функциям сходится к изучаемой функции, то погрешность им из-за ограничения ряда убывает с ростом Л,а погрешность бы суммы из-за ошибок отдельных слагаемых увеличивается. Поэтому нмееет смысл выбрать значение М, удовлетворяющим условию Циы11 + Н5ы11 = т!п . (17)

Более сложные методы регуляризации основаны на использовании регуляриаирущих множителей

1

Кп = - , , (13)

1 + ссАп

где Ап - собственные числа рассматриваемой краевой задачи. Действие регуляризирувщих множителей при суммировании рядов Фурье эквивалентно действия фильтра, подавляющего аддитивный пум, с частотной характеристикой

Рс(п)

ц(п) ----—-— (19)

<г;п(п) + Рн(п) ,

гдо Р,,(п), Ри(п) - сшшразы&.'е плотности шзюохп сглтлча и ку-

ма. Полагая моделируемое поле однородным и изотропным, в работах

Морица и Неймана предложено выбрать

Кп----(20)

0п * йп

где 0П, с1п - степенные дисперсии на частоте п изучаемого поля и пума. Эта формула вполне согласуется с формулой (19). Трудность оценки ¡?п по формуле (20) вынуждает вернуться к формуле (18), определяя в ней а путем вариантных расчетов. Такие расчеты были выполнены [5] для двух вариантов определения стабилизирую!цкх множителей

п(п+!) л 3

1 -

ЙЫ*- ( ггн" » ехр ^

(N+1)(N+2)

п (п+1) (N+1)(N+2)

(21)

Анализ результатов вычислений показал, что применение стабилизи-руЕщих множителей (21) при N < 31 на 15-20Х повисает точность моделирования поля.

Сук»'л 5Гм, неучитываемых при суммировании членов пяда по сферическим функциям, удовлетворяет полученной К. 13. ХотевикчоЕКМ оценке

шах||5ГыII й 0 К"3'8 , (22)

а орздкекайдрзткчесвое ввачений 11 м 11 оценивается по федоуле

о с? Г1 г» г* ; о

'"И £ Е Вгт ) » >"-' Пщ • &?>)

п=К+1 т=0 п-К+1

- 28 -

Аппроксимируем степенные дисперсии функций

Оп < Сп3, п > N (24)

и, определяя константы С и Б по результатам статистического анализа эмпирических данных, после суммирования (23) получаем численные значения бп2 • Для суммирования в (23) целесообразно кс^ пользовать дзета-функций Римана 2(э) и вычисления вести по фср-кухэ

к

б5 = г(э) - Е Пп • (25)

п=0

Оценки б2ы поля еысот кзазигеоида и аномалий силы тяжести, выполненное по этой формуле [?], совпали с результата:«:, полученными Л.П.Пеллпнепом.

Объективным следствием применения методов численного интегрирования для вычисления гармонических коэффициентов служит необходимость определения гипотетически значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул по имеющимся эмпирическим дачным. Поэтому погрешность моделирования поля будет оцениваться относительно гипотетических значении в узлах. В действительности, необходимо получить модель поля, обеспечивающую наилучшую аппроксимация не только по отношения к узлам кубатурных формул, но и по отношению ко всему множеству имеющихся данных. Решение этой задачи осуществляет итерационный метод гармонического анализа поля, дискретно заданного на сфере Ш. Основные этапы этого метода следующие.

На первом этапе выбирается правило (алгоритм) определения гипотетических значений- исследуемого поля в узлах кубатурных формул и определяются эти значения.

На втором этапе вычисляются значения гармонических коэффициентов до степени N.

На третьем этапе осуществляется моделирование поля в пунктах, где имеются эмпирические данные.

На четвертом этапе оцениваются разности Д мелщу исходными эмпирическими данными и результатами моделировании.

На пятсм этапе осуществляется корректировка гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул путем применения выбранного на первом этапе правила к вычисленным на четвертом этапе разностям Д.-Далее вычисления повторяются по откорректированным -данным.

После выполнения первых двух итераций появляется возможность оценить качество процесса путем сравнения значений критериев точности моделирования, полученных из первой и второй итераций. Если погрешность моделирования увеличивается, то это свидетельствует о расходимости процесса итерации и требует внесения изменений в алгоритм вычислений, что может быть выполнено или изменением степени N разложения в ряд, или изменением алгоритма (см. этап 1) вычисления гипотетических значений исследуемого поля в узлах кубатурных формул. Если погрешность моделирования убывает, то этапы 1-5 повторяются циклически, пока в двух последних итерациях значения критериев точности отличаются между собой больше, чем на заданную величину.

Экспериментальное применение этого метода показало, что ошибки моделирования уменьшаются на 50Х и более.

Полученную модель поля можно интерпретировать как региональную модель, а соответствующие ей отклонения от исходных эмпирических данных - как аномалии изучаемого поля второго уровня. Разделим исследуемую область на части и выполним в каждой из них моделирование аномалий второго уровня. Полученную модель будем рассматривать как региональную модель второго уровня, а соответствующие ей отклонения от эмпирических данных - как аномалии третьего уровня. Таким образом, может быть построена иерархическая система математических моделей изучаемого поля, позволяющая изучать местные особенности полей, ограничиваясь невысокими степенями N в рядах по сферическим функциям.

Результаты планетарного гармонического анализа однородных и изотропных геофизических полей позволяют определить взаимные и аатокозариацЕонныз функции по формулам

СОУ(Ф) - ||Рп(Соэф)I|-1 L КпРп(Созф), (26)

П=0

п

Kn " Е a"nm + brm b"nrn), (27)

m=0

тгде штрихами отмечены гармонические коэффициенты поди U к поля U".B реферируемой работе показана возмокность использования зткх формул для геофизических полей, заданных п сферической трапеции, что позволяет получить ковариационные функции в изучаемой области, используя невысокие степени сферически гармоник. Сравнение ковариаций, вычисленных традиционным статистически»! методом к по фор^лулам (26), (27) для полн аномалий силы тяжести и рельефа,

заданных в одной я той же области, практически подтвердило сделанный вывод.

Полученные результаты показывают практическую целесообразность и эффективность применения изложенного метода для моделирования переменного стационарного гравитационного поля Зеяли и для решения прикладных задач.

При реализации алгоритма моделирования возникает необходимость вычисления функций Опт. определяющих интегралы от полиномов Лежандра Pnm(x).

В диссертации приведены полученные автором [23, [33 рекуррентные формулы для вычисления интегралов от полинома Ленендра.

В четвертом разделе рассматриваются вопросы математического моделирования временных изменений гравитационного поля [153. Вариации гравитационного поля обусловлены геодинамичесииш процессами космического, геологического, поверхностного и техногенного происхождения.

Геодинамические процессы космического происхождения возбуждаются динамикой системы Солнце-Земля-Луна. Глазными среди них являются неравномерность вращения Земли и лунно-солнечные приливы.

Вектор мгновенной угловой скорости Земли

Ы = 0) (И1, 02, <">з)- (28)

Функции Mi, as характеризуют коордипаты мгновенного полиса, а функция «з - мгновенную скорость вращения Земли. Изменение скорости ¡вращении 8 сига обуславливает изменение центробежной си-;:•■< л деформации (фигуры эемли, так что

Б = В (ед.а.е), а = а (ь>з). е = е (<>>з) ,

где а,е - большая полуось и эксцентриситет эллипсоида, применяемого в качестве математической модели Земли. В настоящее время Еариации силы тяжести из-за изменений шз оцениваются величиной порядка 10~9м.с._г.

Изменения силы тяжести из-за движений полюса, по оценке Н.Н.Парийского, составляют ± 4-10~8м.с.~г.

Приливные возмущения гравитационного поля представляют моделью вида

<» ГМ г г \к П(Р) = Е -J РкССоэ 6),

к=2 К

(30)

на практике удерживая в бесконечной сумме не более двух пергых слагаемых. Полагая Землю абсолютно твердой и недеформируемой, вертикальную б£п и горизонтальную составляющие приливной вариации силы тяжести оценивают по формулам

• б£п(Р) = -

ЗЯ(Р)

"аГ

= - Е к=2

ГМ

К

Г \к-1

(т)

Рк(Соэ 0) =

= - Е б^пк п=2

6&в(Р) - -

ая(р)

г йй

= - Е

к=2

(31)

ш

(т)

к-1

За

РкССоз й) =

Е б&зк к=2

(32)

а

г

В действительности, Земля деформируется под действием приливных сил. В рамках статической теории приливов вариации

вгп(Р)]' • [ 5е-пк(Р)1

\ = £ м (33)

(Р)] к=2 ( 5еЕк(Р)] ,

где - ■ эемноприливные параметры.

Вариации гравитационного поля, связанные с внутренней динамикой Земли, обусловлены гравитационной дифференциацией вещества, разнообразны}.® физико-хш,шческими процессами в недрак Земли и т.д. Для оценки этих вариаций необходимы данные о плотности вещества как функции координат и времени

5 = 5(РЛ) = 5(х,у,гД) . (34)

На основе экспериментальных данных и разнообразных гипотез о внутреннем строении Земли построен ряд математических моделей, в которых Земля представляется состоящей, по крайней мере, из трех геосфер: земной .коры, мантии и ядра. Внутри геосфер плотность 5(Р,1) изменяется медленно и плавно, а при переходе через границы - скачкообразно. Границы геосфер не остаются неизменными, они перемещаются относительно друг друга и относительно центра мз:с Земли. Чем глубже расположена геосфера, тем ниже точность и меньше надежность информации об этих изменениях.

Процессы, происходящие на поверхности Земли, генерируют вариации гравитационного поля, связанные с изменениями положения земной поверхности относительно центра ее масс. К таким процессам относят атмосферные, приливные, иеостатической компенсации, эрозии, денудации, осадконакопления, вулканические, эвстатичес-

кие колебания уровня океана, техногенные и т.д. Диапазон соответствующих им изменений положения поверхности Земли широк: от нескольких сантиметров за тысячелетие до десятков и сотен метров в год. Наиболее быстрыми и значительными по амплитуде среди них являются техногенные, приливные и вулканические процессы.

Основной характеристикой гравитационного поля Земли служит потенциал силы тяжести, главную часть которого составляет потенциал притяжения

5(МД)

УСР.Ю = ПИ-йх ;

X г (35)

г = |РМ| .

Из этой формулы следует, что изменения У(РД) обусловлены изменениями плотности вещества 5(М,1) в области х и/или изменением границ области X. Следовательно, для математического моделирования изменений У(Р,1;) необходимо знать закономерности изменения функции 5(МД) и границ области X или иметь эмпирические данные об изменении У(РД).

Практически интегрирование в (35) приходится выполнять численными методами, аппроксимируя область X набором п элементарных ячеек, в каждой из которых плотность 5 - величина постоянная. Вследствие этого, непрерывная функция 5(МЛ) аппроксимируется п -мерным вектором, так что

У(РД) - Е Wk(P,t) , к=1

е(РД) =

Ь'к(РД) =

ехк £ук |

ВсСР.и ЫРД) ЫРД)

п

= Е

к=1

- П-бк

|РМ|

£хк (РД) гук (РД) £гк (РД)

5к И -озф йт 6 к

| М-к I С*Е ,

I '

(36).

Ук

где (1, V - направляющие косинусы внешней нормали Нк к поверхности 6к элементарной ячейки X , ф - угол между п и РН. Функции СозфД,ц,у в формулах (36) можно интерпретировать как плотность слоя, распределенного на б.

Модель простого слоя эффективно можно использовать при моделировании вариаций гравитационного поля, вызванных деформациями водной поверхности морей и океанов атмосферными процессами и приливами. Амплитуды деформаций в исследуемой области Б невелики и поэтому приближенно можно оценить плотность возмушэощего слоя функцией

Ф(Н,ф,Л,Т) = (на?,фД,Т) - Н(И,фД,То)^ . (37)

Тогда

Ф

W = f И— ds, s Irl

( Бх ^ ( гх \ (33)

Ё = | gy

Sz

Когда данные об изменении функции 5(11, t) и границ области х отсутствуют, временные вариации гравитационного поля оценивают по результатам повторных измерений, полагая, что их совокупность можно представить в виде модели

û + s = F(X,W), (39)

где и,£ - векторы истинных значений и ошибок соответственно, X -вектор параметров модели, W - гравитационный потенциал, F - оператор преобразования. Вследствие конечномерности системы (39) потенция W может быть найден лишь приближенно. Точность' и эффективность решения будет определяться качеством исходных данных и дополнительными условиями, накладываемы;,и на решение и исходные данные.

Другой подход к моделированию переменного" гравитационного поля 'основан на явном аналитическом описании поля

W = W Cx.V.t) . (40)

где x,t - координаты и время, V - вектор параметров модели. Задача заключается в определении V по экспериментальным данным о гравитационном поле как функции

V = V(x,t). (41)

Наиболее простое решение получается, если переменное гравитационное поле представить разложением в ряд по ортонормированием системе функций, так как параметры такой модели - коэффициенты разложения в ряд - будут только функциями времени[12,13]. Основы

теории этого метода моделирования изложены в рззделах 2 и 3 реферируемой работы.

Численные эксперименты по оценке пространственно-временных вариаций поля выполнены для техногенных процессов в районах крупных водохранилищ, рудных карьеров и для процессов, связанных с деформациями водной поверхности морей и океанов [16,24].

Алгоритмы и программы, разработанные автором, применены для оценки вариаций гравитационного поля в окрестности водохранилищ Красноярского, Саяно-Шушенского, Токтогульского и Ингури, Соко-ловско-Сарбайского рудного карьера. Эти оценки показали, что возмущения гравитационного, потенциала достаточно велики ( они вызывают смещение уровенных поверхностей на несколько десятков миллиметров ) и медленно убывают с удалением от возмущающей массы, а вариации вектора силы тяжести могут достигать несколько единиц 1СГ5м.с-2.

Точность алгоритмов и программ оценивалась по выполнению условий

^У 32У

+ /г-^- = О

Эх2 Зу2 Зг2

= О, Р^ т,

32У а2у

ар 4яГ5, Р6 х *

(42)

где X - область, в которой сосредоточена переменная масса воды. Результаты вычислений с "двойной точностью", показали, что невыполнение условий (42) по абсолютной величине не превосходит

Ю-14. Погрешность результатов вычислений из-за аппроксимации области t системой элементарных параллелепипедов зависит от размеров параллелепипедов и удаления точки P(x,y,z) от переменной массы. Результаты исследований показали, что при удалении точки P(x,y,z) от переменной массы на 100 и более метров и при размерах элементарных параллелепипедов, не превышающих 125м, погрешность оценки вариаций вектора силы тяжести составила Ю'^м.сГ2, при удалении точки P(x,y,z) на 500 и более метров - не превышает 5 -10"7m.c."z.

Колебания поверхности морей и океанов относительно геоида вызываются атмосферными процессами, геологическими процессами, приливами в водной среде, изменением климата и различаются размерами охватываемой ими территории, амплитудами колебаний и продолжительностью существования.

Климатические колебания уровня океана связаны о сезонными изменениями и с потеплением или похолоданием климата на Земле. Пр амплитуде сезонные колебания достигают одного метра, а колебания из-за похолодания или потепления климата около 1 см в год. Изменения уровня, связанные с геологическими процессами проявля-•ются в виде волн "цунами",звстатических колебаний при изменении объема океанических впадин и колебаний, вызванных изменением ротационного режима Земли. Количественно оценку амплитуды этих колебаний уровня относительно геоида дать затруднительно, так как одновременно с ними происходят и изменения геоида.

Атмосферные процессы на поверхности морей и океанов проявляются в виде ветровых волн, сгонно-нагонкых явлений и бароста-

тических колебаний уровня. Вблизи побережий эти процессы могут вызывать изменения уровня на 1-2 метра, охватывать территория в десятки тысяч квадратных километров и существовать длительнее время.

Приливные колебания уровня зависят от условий распространения приливных волн, в открытом океане достигают 1-2 метров, вблизи побережий - 10-15 метров.

Таким образом, наиболее значимые колебания уровня океана обусловлены атмосферными и приливными процессами. Эти и?мененкя уровня океана обуславливают изменения потенциала и силы тяжести. Оценка этих вариаций, основанная на модели простого слоя, получена по данным об изменении топографии Саргассова моря за один месяц. Несмотря на то, что изменения топографии Саргассова моря не превышают по амплитуде 0,5 метра, обусловленные ими вариации потенциала влекут смещения уровенных поверхностей на 1-2 мм даже при удалении исследуемой точки на 1000 км от побережья.

В пятом разделе решены прикладные задачи геодезии в переменном поле силы тяжести. Сначала получены математические модели, устанавливающие зависимость результатов геодезических измерений от вариации вектора силы .тяжести.

Пусть в точке Р выполняется измерение направления PQ, орт которого

So = f sinZ cosA, slnZ sinA, cosZ > - f ct,8,T> , (43)

и нивелирное превышение 1

dH - - - I 3s . (44)

T

. - 40 -

Пусть изменение гравитационного поля сопровождается вариацией вектора силы тяжести

бё - -с ■ (45)

орт которого

Вёо - <- е,, -ц, -с,у ■ (46)

При этих условиях изменения БА горизонтального направления, зенитного расстояния вектора РЦ и нивелирного превышения БЬ в зависимости от вектора Её определится [27] по формулам

3£. - оси

51пОА = - СОБ!! , (47)

|зтг| |э1пг1|

01 = агссозг - агссоБ21, (48)

5&Г Зз ^хйх + Еуйу + , „

. № = - - = - . (49)

Г г

Эти зависимости позволяют создавать математические модели, имитирующие результаты геодезических измерений в переменном поле силы тяжести

А = А ( х.у.г.ех.Бу.ЕгЛ ) ,

г = г ( х,у,г,2х,еу,егЛ ) . (во)

Ь = Ь ( х.у.г.Ех.Еу.ггЛ ) .

В реферируемой работе изложена процедура имитационного математического моделирования результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести. Трасса нивелирования представлялась замкнутым полигоном с периметром 18км. Вариации силы тяжести генерировались изменением уровня водохранилища. В результате на практике была отработана технология моделирования

зависимости результатов геометрического нивелирования от изменений гравитационного поля, получена численная оценка этой зависимости и обоснован вывод о необходимости учета изменений результатов нивелирования из-за вариаций силы'тяжести, возникающих в результате накопления или сброса воды в водохранилище[17-19], С21]. ,

Зависимость результатов геометрического нивелирования ,от вариаций гравитационного поля, вызванных океаническими приливами, оценена для нивелирного .полигона периметром около "00км, расположенного на полуострове Камчатка [23],[25]. • Траектория нивелирования определялась по рабочим материалам ' производственного объединения "Дальаэрогеодезия". Из-за ограниченности вычислительных ресурсов при оценке вариаций силы тяжести учитывались. приливы только Охотского и Берингова морей. Математическое моделирование приливов осуществлялось на основе модели Швидер-ского.

Результаты вычислительного эксперимента показали, что вариации превышении в ходе "прямо"' и в ходе "обратно" на отдельных линиях хорошо согласуются мэжду собой, по абсолютной величине не превосходят 5мм, в замкнутом полигоне•вариации превышений по абсолютной величине около 1мм. •• ,

Зависимость результатов измерений от вариаций гравитационного поля.необходимо исследовать и при наблюдениях за деформациями инженерных сооружении. Такое исследование выполнено для оценки влияния вариаций силы-тяжести,на положение системы прямых и обратных отвесов плотин ГЭС [223. Математическая модель, ими-

- -

тирующая изменение координат точки Ц отвеса РА из-за вариаций поля силы тяжести при изменениях уровня водохранилища, получена в явной аналитической форме

где ех(А,ДН),

ву(а.лн).

ЫА.ДН)

нилища,

Ь - длина отвеса,

1 - расстояние точки Ц от точки крепления отвеса. 'Математическая модель (51) была практически использована на Сая-но-Шушенской ГЭС. Она вошла составной частью в математическое и программное обеспечение АСУ ТП ГЭС, получен акт внедрения.

Вычислительный эксперимент, выполненый для Саяно-Шушенской ГЭС показал, что вариации положения отвесов из-за сезонных изменений уровня Саяно-Шушенс-кого водохранилища могут достигать в плане 0.7мм.

Оценка и учет вариаций гравитационного поля -необходимы на пунктах, где выполняются гравиметрические измерения.Такая оценка выполнена для гравиметрического полигона института геофизики Академии наук Грузии, расположенного в окрестности водохранилища Ингури ГЭС. Исходные данные для построения гравитационной математической модели водохранилища предоставлены'лабораторией гравиметрии института геофизики. Для вычислений использована технология оценки вариаций силы тяжести, изложенная в разделе 4, ад-

1 1 Ех(А,ДН)1

--— { , 51)

ЫА.ДН) Ь ^ £у(А,ДН)]

вариации координат вектора силы тяжести - в точке А, где сосредоточена масса отвеса, при изменении на ДН метров уровня водохра-

горитм вычислений определяется формулами (36). Оценка вариаций выполнена для шести пунктов и трех эпох наблюдения при уровнях водохранилища 410м, 418.5м, 498.5м. На трех исследуемых пунктах вариации силы тяжести, при уровне 498.5м заметно (в 2 - 5 раз) превзошли ошибки результатов измерений. Это обстоятельство свидетельствует о необходимости.учета этих вариаций при анализе повторных гравиметрических измерений. Математическая модель для оценки.вариаций поля силы тяжести в окрестности Ингури ГЭС передана для использования в лабораторию гравиметрии института геофизики Академии наук Грузии, получен акт внедрения.

3. Заключение

Современные задачи науки и техники поставили перед геодезией новую задачу по изучению переменного гравитационного поля Земли как элемента единой динамической системы Земля - Космос -геофизические поля. В решении -этой фундаментальной задачи важным этапом является разработка математической модели переменного гравитационного поля Земли. Объективные причины обуславливают множественность математических моделей переменного гравитационного поля^ Среди них необходимо выбрать ту, которая наилучшим образом обеспечивает решение поставленных практикой прикладных задач. Поэтому, наряду с моделированием гравитационного поля, необходимо разрабатывать технологию решения конкреткых прикладных задач в - рамкак принятой модели переменного гравитационного поля Земли. /

На основании полученных в данной работе теоретических исследований, выполненных вычислительных экспериментов, разработан-

них технологий решения прикладных задач, можно сформулировать следующие основные результаты и выводы.

1. Разработанный метод сферического гармонического анализа геофизических полей, заданных в сферической трапеции, позволяет получить единую технологию моделирования планетарных, региональных и локальных геофизических полей, обосновать единый метод для определения взаимных и автоковариационных функций этих полей, установить зависимость между параметрами математических моделей.

2. Предложена и практически реализована методика оценки точности программного обеспечения, используемого для моделирования геофизических полей. Решение этой задачи является одним из основных этапов исследования адекватности математической модели к Моделируемого объекта и оценки точности результатов моделирования По результатам выполненного вычислительного эксперимента установлено, что погрешность моделирования геофизических полей, обусловленная ошибками машинной арифметики, не превосходит по абсолютной величине Ю-11.

3. Для оценки погрешности моделирования геофизических-полей, обусловленной ограничением бесконечных рядов по сферическим функциям, предложено использовать дзета - функцию Римана. Выполнена оценка для поля аномалий силы тяжести и высот квазигеоида. Результаты хорошо согласуются о оценками, полученными А.П. Пелли неном.

4. Разработана технология численного определения частотной хэ рактеристики оператора сглаживания и выполнен вычислительный эксперимент; в результате которого установлена зависимость ре-

' ' ' " ' ' '' " 45 " '

»1 . " д ' ' . ' . . , ' ' ,

зультатов сглаживания геофизических полей от формы и размеров ячейки сглаживания. Применение разработанной технологии открывает возможность использования ' ячеек сглаживания разнообразной формы и размеров.при гармоническом анализе геофизических полей и их математическом моделировании.

5.'Теоретически обоснован и исследован итерационный метод гармонического анализа, геофизического поля дискретно заданного на сфере. Этот метод позволяет получить математическую модель изучаемого поля с наименьшей погрешностью относительно исходных данных, неравномерно распределенных в- исследуемой области и не совпадающих, С узлами кубатурных формул. Разработана технология и-выполнен вычислительный эксперимент, результаты которого показали, что выигрыш в точности, по сравнению с традиционными методами гармонического анализа, может достигать. 50% и более.

6. Гармонический анализ временных вариаций геофизических полей позволяет установить зависимость гармонических коэффициентов от времени и,' следовательно, его результаты могут быть использованы для моделирования изменений геофизических полей, во' времени.-

7. Рассмотрены основные источники вариаций гравитационного поля Земли. Разработан метод математического моделирования техногенных вариаций гравитационного поля Земли в окрестности водохранилищ и рудных карьеров.' Выполнен вычислительный эксперимент для оценки' вариаций силы тяжести и гравитационного потенциала в окрестности Соколовско-Сарбайского железорудного карьера и водохранилищ Красноярской, Саяно-Шушенской и Ингури ГЭС.. .

Установлено, что при изменении уровня воды в водохранилищах

вариации вектора силы тяжести достигают несколько единиц 10~5м.с72. Учет вариаций силы тяжести при обработке повторных гравиметрических измерений повышает качество наблюдений и способствует правильной интерпретации вариаций силы тяжести.

8. Разработаны математические модели зависимости результатов измерений направлений и нивелирных превышений от вариаций гравитационного поля. Выполнен вычислительный эксперимент, по результатам которого оценены вариации направлений. При £х= Еу=£г= 10"5мс."2 диапазон изменений зенитных расстояний составляет ±0,3", горизонтальных направлений - ± 1,7", изменяясь синусоидально

в зависимости от азимута направления. С ростом г от 0 до Л/2 вариации горизонтальных направлений убывают, а вариации зенитных расстояний практически не изменяются.

9. Разработана технология математического моделирования результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести. Выполнен вычислительный эксперимент по оценке влияния вариаций силы тяжести, вызванных изменением уровня воды в водохранилище на результаты геометрического нивелирования. Анализ результатов эксперимента показал, что на отдельной станции вариации превышений невелики и по абсолютной величине не превосходят 0,1мм, однако, на отдельных участках трассы вариации могут накапливаться. При выполнении повторных циклов нивелирования зависимость измеренных превышений от динамики гравитационного поля проявляется в несовпадении между собой результатов нивелирования разных циклов. Учет этого фактора повышает надежность и качество результатов нивелирования.

10. Выполнен вычислительный эксперимент для оценки влияния вариаций гравитационного поля, вызванных приливами Охотского и Берингова морей, на результаты геометрического нивелирования на полуострове Камчатка. Эксперимент выполнялся на производственных материалах, предоставленных. производственным объединением "Дальаэрогеодезия". Оценка выполнена для нивелирного полигона, составленного из 4 линий 1 и 2 классов и имеющего периметр около 700км. По линии полигона вариации силы тяжести достигают несколько сотен единиц 10~8м.с72. Разность превышений, вычисленных для отдельных звеньев в ходе "прямо" и "обратно", не превысила по абсолютной величине 5мм, а в замкнутом полигоне - '1.2мм.

11. Разработана математическая модель для изучения влияния вариаций силы тяжести на результаты наблюдений га пл=ноеьиг смещениями плотин ГЭС пс системам прямых и ииратных отвесов. Выполнен вычислительный эксперимент в условия:: Саяно-Шушенской ГЭС, в результате которого установлено что изменение полилений отвесов в -лане достигает 0.7мм.

Непосредствен!; з автором разработаны: метод гармонического анализа геофизических полей, заданных в сферической трапеции; итерационный метод гармонического анализа полей дискретно заданных на сфере; метод оценки частотной характеристики операторов преобразования исходных данных; метод моделирования переменного гравитационного поля по результатам гармонического анализа геофизических полей, информация о которых получена по результатам повторных циклов наблюдений; метод моделирования техногенных вариаций гравитационного потенциала и силы тяжести в окрестности

водохранилищ и рудных карьеров; метод моделирования результатов геометрического нивелирования в переменном поле, силы тяжести; .метод математического моделирования влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты угловых измерений и геометрического нивелирования; метод оценки влияния вариаций силы тяжести на результаты наблюдений за плановыми смещениями плотин ГЭС.

При непосредственном участии автора выполнены исследования по разработке технологии оценки точности-результатов гармонического анализа геофизических полей,разработаны технологии математического моделирования результатов астрономо-геодезических измерений в переменном поле силы тяжести, технология оценки и учета влияния вариаций вектора силы тяжести на результаты наблюдений за плановыми смещениями плотин, метод оценки взаимных и автоковариационных функций геофизических полей.Проведены вычислительные эксперименты по оценке влияния приливов Берингова и Охотского морей на результаты геометрического нивелирования на полуострове Камчатка, по оценке вариаций гравитационного поля в окрестности водохранилищ и рудных карьеров, по оценке влияния вариаций силы тяжести на положение прямых й обратных отвесов плотин ГЭС, по моделированию поля аномалий силы тяжести и рельефа местности.

Автор принимал непосредственное участие в разработке алгоритмов, составлении и отладке программ, реализующих разработанные методы и технологии. Полученные результаты внедрены в производственном объединении "Дальаэрогеодезия", АСУ Саяно-Шушенской ГЭС, институте геофизики Грузинской академии наук, НИИ прикладной геодезии, используются в учебном процессе и при подготовке

- 49 -

аспирантов и соискателей [11, 26].

Таким образом, в диссертации теоретически обоснованы и практически реализованы методы математического моделирования переменного гравитационного поля Земли, получены решения прикладных задач в.переменном -гравитационном поле Земли, выполнены вычислительные эксперименты, наглядно демонстрирующие возможности раз'работа иных методов.- Следовательно,,цели исследования достигнуты и поставленные задачи решены. .

Сснслнао содержанка дяссертацзш опубликовано в следующих работах .I.Bobk. И.Г. Итерационный метод гармонического анатаза дискретно

заданного скалярного поля на сфере/'/Изв. вузов.-1986.N1-C.73-78 2-Вовк И.Г.-Алгоритмы .и программы для вычислений интегральных значений сферических функций//Тр.НИИГАиК.-Т.26.-1972.-С.21-30. З.Есвк И.Г. Алгоритмы для гармонического анализа скалярных полей/;

Межвуз. сб'. /НИИГАиК. - Т. 9(49). -1980. - С. 82-101. 4-Вовк И;Г.-, Костына Ю.Г. Об аппроксимации рельефа рядом Фурье

по системе ортогональных функций//Изв.вузов.-1981.-N4.-С.19-25. б.Вовк И.Г., Рзльченко В.Ф.О., Костына Ю.Г.Об суг,мировании рядов, Фурье с. приближенными коэффициентами//Межвуз.сб./НИИГАиК. -Т.9(49).-1980.-С.116-123. ' -.

б.Вовк И.Г., Представление геопотенциала и вывод его параметров на основе гармонического анализа в .сферической трапеции// Тез. докл. на Всесоюз.конф."Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами".-Львов,1984. -С. 4.

7.Вовк И.Г., Мирошников А.Л.О точности представления внешнего гравитационного потенциала и силы тяжести разложением в ряд по сферическим функциям//Тр.II Орлов.конф."Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодинамики и астрономии". -Киев,-1988.-С.59-61.

8.Вовк И.Г., Суздалев A.C. Исследование точности выполнения на ЭВМ сферического гармонического анализа. Геодезия и картог-рафия/Д!атериалы VIII съезда BATO.-М.,1987.-С.38-41.

9-Вовк И.Г., Алабугин A.A. Гармонический анализ геофизических полей по дискретным данным, произвольно расположенным на сфе-рея//Межвуз.об./НИИГАиК.Т. -1989.-С.99-104.

Ю.Вовк И.Г., Суздалев АС., Канушин В.Ф. Локальный ковариационный анализ физических полей Земди//Геодезия и картография,-1986.-N3 -С.16-20.

11.Исследование гравитационного поля и фируры Земли:Учеб.пособие/ Авт. ВовкИ.Г., БузукВ.В., Канушин В. Ф., КостынаЮ.Г., Суздалев A.C.; НИИГАиК.-1987, 78 с .

12.Вовк И.Г., Бузук В.В. Об изучении изменения высоких гармоник гравитационных полей на геодинамических полигонах//"Современ-ные движения земной коры".-Киев,1980.-С.127-129.

13.Вовк И.Г.,Бузук В.В. Гармонический анализ изменения геофизических полей на геодинамических полигонах//"Современные движения и деформации земной коры на геодинамических полигонах. -М. Д983.-С. 146-148.

14.Представление геопотенциала разложением, в ряд по сферическим функциям до -высоких порядков/Авт. ВовкИ.Г., БузукВ.В., Канушин В.Ф., Суздалев A.C.;Тез.докл.всесоюз.конф."Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами".-Львов,1984.-С.3-4.

15-Вовк И.Г.Некоторые вопросы геодинамики и физической геодезии// Геодезия и картография.-1986.-N7.-С 73-78.

16.BOBK И.Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища//Геодезия и картография.-1982.-N9..-С. 12-15.

17.Вовк И.Г. Влияние вариаций поля силы тяжести на результаты геометрического нивелирования/АН СССР.-М., 1982.-С. 41-47.

18-Вовк И.Г. Интерпретация результатов высокоточного нивелирования вблизи водохранилищэ//Геодезия и картография.-1983. -N8.-C. 18-20.'

19.Вовк И.Г. Математическое моделирование результатов геометри- • ческого нивелирования в переменном поле силы тяжести//Теэ. докл., VIII всесоюз.совещ. по изучению соврем.движений зем.коры.-Кишинев, 1982.

20.Вовк И.Г. Неприливные вариации силы тяжести в окрестности ■ рудного месторождения//"Повторные гравиметрические наблю-

; дениЯ"/АН СССР.-М., 1984.-С. 72-75.

21.Вовк И.Г.. Математическое моделирование результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести//Изв. вузов.-1984,-В.З.-С. 72-75.-

22.Вовк И.Г., Суздалев A.C. Влияние техногенных вариаций силы тяжести на положение ответов плотин ГЭС//Геодезия и картография.-1990.-N2.-С. 14-16.

23.ВовкИ.Г., Дюков В.П. .Суздалев A.C. Математическое моделирование вариаций гравитационногопотенциала при океанических приливах//Межвуз.сб./НИИГАиК.-1989.-С.95-98.

24-Вовк И.Г., Дюков В.П. 0 влиянии изменения уровня моря на элементы фигуры Земли. Астрономия и геодезия. Томск,1989. -N15.-С. 153-154.

25.Вовк И.Г., Суэдалев A.C., Горбанъ В.М. Оцёнка влияния океа-■ ничеоглх приливов на результаты геометрического нивелирования/Лез. докл. IX съезда ВАГО, АН СССР. 1990.

26-Вовк И."., Суздалев A.C. 'математическое моделирование задач прикладной геодезии: Учеб.пособие/НИИГАиК,-1990.-С. 58.

27.Врвк И.Г. Математическое моделирование результатов угловых измерений в переменном поле силы тяжести//Геодезия и картография. -1992. -N2. -С. 8-11.