автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Определение трансформант возмущающего потенциала с применением циркулянтных матриц

РГБ ОД

^ <0;)|1 V;)--' На правах рукописи

МИХАЛШЩН МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНОЗОРМАНТ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА С ПРИМЕНЕНИЕМ ЦИРКУЛЯНТНЫХ МАТРИЦ

05.24.01 Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Сибирской государственной геодезической академии Научный руководитель: член-корреспондент СО МАН ВШ, доктор технических наук, профессор . В.В.БУЗУК

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Т.В.БОРДОВИЦЫНА

кандидат технических наук, доцент Т.А.ПАНАЕВ

Ведущая организация: Московский государственный университет геодезии и картографии

Защита состоится 19 октября 1995 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 064.14.01 при Сибирской государственной геодезической академии по адресу: 630108, Новосибирск-108, ул. Плахотного, 10, СГГА, ауд. N 403.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГГА.

Автореферат разослан " **'" июня 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

В.А.Середович

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Одной из основных задач геодезии является задача определения внешнего гравитационного поля и физической поверхности Земли с учетом их изменяемости во времени. В свяаи с этим гравитационное поле и физическую поверхность Земли рассматривают как слояную динамическую систему. Определение основной, не изменяющейся во времени и отнесенной к какой-либо начальной эпохе составляющей этой динамической системы является предметом фундаментальной теории М. С.Злодейского. Статическая составляюгиа гравитационного поля Земли модет быть описана математическими моделями, которые т будем в дальнейшем рассматривать.

•Математические модели статической составляющей гравитационного поля Земли представляют интегральными операторами, рядами сферических Функций, системами точечных масс. При построении математических моделей для определения характеристик статической части гравитационного поля Земли на ограниченных территориях часто используются методы интерполяции и аппроксимации, в тон числе обобщенные методы аппроксимации (метод средней квадратической коллокадаи (СКК) и вариационный метод регуляризации).

При вычислении характеристик гравитационного поля Зеили необходимо обрабатывать большое количество измерений, Что создает проблемы вычислительного характера, в частности большие затраты времени работа ЭВМ. Разработка методик, позволяющих сократить вреыя обработки геодезических данных, является актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1) разработать методику, позволяющую сократить время вычисления значения трансформанты возмущающего потенциала в какой-либо точке;

2) составить алгоритм, реализующий эту методику и апробировать его на модельных данных.

НОВИЗНА РАБОТЫ:

1) предложена методика приближенного определения степени изотропности и однородности случайных полей трансформант

возмущаюцего потенциала с использованием преобразования £и-

пера;

2) выполнено определение параметров модели ковариационной функции возмущачцего потенциала комбинированным методом (методом нагыеньапк квадратов и методом наименьших модулей);

3) разработана методика, козволяющая определять возиуща-йэдй потенциал и его трансфзрмачты по измерениям, заданным в углах равномерной треугольной сетки;

4) составлен алгоритм, реализующий формирование ковариационной матрицы измерений в клеточке-циркулннтной форш к позволяющий сократигь время ее обрад;кия по сравнению со временем оСрацзнля обычной и клеточно-теплицевой матрицами;

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ЕЫНОСКШЕ НА ЗАЩИТУ:

1) ызтодккг формирования ковариационной матрицы измерений в клеточно-цяр^/лянтной форме (с использованием однородных измерений, расположешщх в узлах равномерной треугольной сетки);

2) реализация катода средней квадрагической коллокации с исподьзсзаькен «зтодикй формирования и обращения клеточ-яо-циркуллнтной ковариационной" матрицы измерений при вычислении трансфоршкт во8ыущаыцего потенциала (аномалий силы тяжести к аномалий высоты).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: основные результаты исследований докладывались на 37-43 научно-технических конференциях НИИГАиКа, семинарах кафедра Астрономии и гравиметрии. Основное содержание работы отражено в грех публикациях.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех разделов, закпоченкя и списка литературы. Общий объем работ 117 страниц машинописного текста, отпечатанного через полтора интервала, четырех рисунков, 10 таблиц. Список литературы включает 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируется цель работы, отмечается новизна и содержание результатов, выносимых на защиту.

В первом и втором разделах рассмотрены математические модели возмущающего потенциала силы тяжести и его трааофор- _ мант.

В первом разделе рассмотрены подели, построенные на основании физических теорий в их историческом развитая. В табл. 1 приведена сводка рассмотренных в этой главе ьнгесгоз моделирования гравитационного потенциала Земли (ГПЗ) и его трансформант, основанных на физических теориях.

В моделях 01.1 и 01.2 потенциал тяготения определяется из решения прямой задачи теории потенциала возмущдада мя, •когда объем тела, его фориа и закон распределения плотшюта известны. Параметрами код ели 61.1 являются гравятащхтгя постоянная Г и функция плотности б планеты. Здесь г - раос-тояние от текущей точки тела х до точки, в которой определяется потенциал силы тасэсти. Применение модели 61.1 &га прзктвческюго определения потенциала силы тяжести Зешн 2®г-руднево ввиду того, что, в общем случае, вид функции пеэз-ности неизвестен. №>дзвь 61.2 применяется для вычислена! нормального потенциала код ели Земли в виде уровенного эжеэ-соида вращения на основании теорем Стокса. Здесь 5а - пышность масс эллипсоида; а.Ь - большая и калая полуось злгет-соида.

В сороковых годах 20-го века Ы.СМ&мгоденсхкй создал строгую теорию определения внешнего потенциала сшш тязвзстн Земли И и ее физической поверхности в единой системе геодезических координат, относительно исходного эллипсоида во астроншо-геодезическим и гравиметрическим измерениям, ш-полненным на поверхности Земли. В настоящее время ностраегш моделей Земли и внешнего гравитационного потенциала осжШ1-вается на теории Молод©некого.

Параметрами модели 62 является граничные условия ГШ), веданные в точках и на поверхности Зеыли (значение потезщгэ-

ла - для задачи Дирихле; производная по нормали к граничной поверхности - для задачи Неймана; линейная комбинация потенциала и его производной - для смешанной задачи). Здесь Р(В) - оператор, представляющий функцию Грина для соответствующих краевых задач. Функция Грина зависит от геометрии'поверхности, на которой ёвдаш граничные значения. Поэтому для ее нахождения необходимо наличие топографических карт.

Таблица 1

Модели характеристик гравитационного потенциала Земли и его трансформант, построенные на основании физических теорий

Входные данные Вид моделей Выходные данные

Модели потенциала тяготения, получаемые из решения прямой задачи теории потенциала

5 V

бэ 4 а2Ь 01.2= Уэ = — л Г бэ — . 3 г Уэ

Модели, основанные на методе Грина

82: 4* V - - ДО £(М) -Р(Э) с1б. б V

Модели, основанные на решении интегрального уравнения Молоденского М.С

Де т=£тп(Де), с = Е 4п(Дг). п=0 п=0 Оз: СО со £, = £ л = £ ипСДг). п=0 п=0 т С, % л

Модель 6з возмущающего потенциала Т, высот квазигеоида С,

составляющих уклонений отвесных линии ^ и п получена из решения основного интегрального уравнения, составленного М.С.

Молоденским. При этом, в качестве краегого условия додшы быть известны на физической поверхности Земли смешанные аномалии силы тяжести Л?. Приближения То, ф соЕпадгют с формулой Стокса, а г,о и по - с формула*™ Венинг-Мейнесз. Накболь-шую поправку к моделям Стокса и Венинг-Мейнеса дает учет приближений Т1, 41, «1, щ. Другие виды моделей получены В.В.Вроварсм, М.И.Юркиной, М.И.Марычем, Г.Морнцем из реаения основного интегрального уравнения М.С. Молоденского.

Модели 5э содержат интегральные операторы, что требует наличия непрерывных измерений на граничной поверхности, а так как измерения практически дискретны, то определение значений параметров гравитационного поля Земли выполняют методами численного интегрирования.

Во втором разделе рассмотрена модели возмущающего потенциала и его трансформант, основанные на ресении краевых задач методом гармонического анализа, принципах интерполяции и аппроксимации. Эти .методы в - общем взде представлены в табл. 2.

Наибольшее распространение при моделировании внешнего гравитационного потенциала Земли и его трансформант получил гармонический анализ ( модель 64). В этом методе вначале по измеренным на земной поверхности значениям каиоя-гибо трансформанты 9 (например, аномалиям силы тяжести или аномалиям высоты) определяются соответствующие гармонические коэффициенты Эшп. Ьпп. Затем строят модель 64 соответствующей трансформанты. После запуска искусственных спутников Земли (ИСЗ) гармонические ютэффицкенты гравитационного потенциала Земли получаются по результатам дальномерных радиотехнических, лазерных и доплеровских измерений из анализа возмущений орбит спутников. Детальность создаваемых по данным ИСЗ моделей 04 (максимальная степень учитываемых сферических гармоник) должна соответствовать разрешимости влияния возмущающего гравитационного потенциала Земли на изменение параметров орбит.

Модель 84 позволяет, используя существующие связи между коэффициентами разложения по сферическим функциям различных грансформалт возмущающего потенциала, получить соотзетствую-

т> модели ((А) возмущавшего потенциала, аномалий снш п-жосп. высот квазигеоида в составляющих уклонений отвеса. Здеса Р1(9), Рг(9) - интегральные операторы, определяющие гармонические коэффициенты соответствующей кадета вовмудаю-ввго потенциала или его трансформант. р,9,Л - сферические кзсрдкнаты точки А, в которой определяются значения г(А); а - большая полуось земного эллипсоида или средний радиус планеты.

Таблица 2

Модели характеристик ГОЗ и его траясфорыант, построенные на основе применения гармонического анализа, принципах ин-т®ршдации и аппроксимации

Вход-ЕШ аш- Вид моделей Выходные данные

Шделя, основанные на разложении в ряд по сферически» функциям gnm. brmi

9 Чгеп a^m-FiO?); bren-F2(f); О /в ч^1 П G4: f (А) - С I- £ (anm cos ШХ + n«0 4 р i юО

+ bna sin rax) Pnm(cos8) f(A)

Модели, основанные на представлении геопотенциала точечкглгл ыассаыи

Вк П Eií 65: V - V2 + f L — k-1 Pk V

Модели, основанные на методах интерполяции и аппрохсшации алгебраическими полиномами

f (а) n i Se: Pk(x) - Е »i -х1 1-0 f(x)

¿B Модели, основанные на вариационном методе регуляризации и методе средней квадратичес-кой кодлокащш T fig t, i. TI

&?: S =» Asy (Луу + аР-1)"1 Y

При определении гармонических коэффициентов модели G4 по интегральным операторам Fi(ç), Fz(f) необходимо иметь непрерывную исходную информацга на всей поверхности планеты, что практически не выполняется, так как приходится использовать исходную информации в виде дискретных измерений и применять методы численного интегрирования. С увеличением количества используемых измерений при построении модели G4 возникают проблемы вычислительного характера.

Модели представления потенциала притяжения V суммой мульгиполей п-го порядка были пред лоте вы Дж. Мадавеллом. в настоящее время в основном определяют мультиполе кулевого порядка, что соответствует модели G3 системы потенциалов точечных масс. Для этих моделей характерно то, что внешнее гравитационное поле Земли (представленное в виде разлскения по сферическим функциям) аппроксимируется протяжением конечного числа специально подобранных масс ггк в глубине Земли. Здесь V2 - система двух точечных масс, учитывающих основную ассиметрию Земли относительно экватора; рк - расстояние мед-ду точкой, в которой определяется потенциал, и точкой, в которой находится точечная масса гг^. Tait как положение точечных масс неизвестно, то для этих моделей они определяется подбором.

Применение модели G5 системы точечных масс позволяет сократить время вычисления V по сравнению с моделью разложения в ряд по сферическим функциям.

Модели Gg, оснозанше на методах интерполяции и гппрок-симации функции f 00 с использованием алгебраических полиномов Рк(х) степени к, применяются для построения «оделен &g, 4 на отдельных участках эем::ой поверхности. Здесь f(a) -входные данные: значения функции в узловых течках. Часто значения функции f(x) мезду узловыми точками определяют при помощи сплайнов.

Для определения параметров 3i полинома, аппроксимирующего функцию на участке земной поверхности, используют регрессионный анализ. В том случае, когда задача является некорректной, т.е. не удовлетворяет трем требованиям: решение существует; оно единственно; устойчиво, используют прэдло-

яенный А.Н.Тихоновым метод регуляризации решения.

Обобщением аппроксимгционного подхода в физической геодезии является метод коллокации Г. Морица, позволяющий оперировать разнородной измерительной информацией. Развитие коллокации Ю.М. Нейманом с позиций теории решения некорректно поставленных задач привело к созданию вариационного метода регуляризации, позволяющего преодолевать таске проблемы, связанные с вычислительной неустойчивостью. Модель (З7 базируется на вариационном методе регуляризации, если а=1, то вариационный метод регуляризации совпадает с методом средней квадратической коллокации. Здесь а - параметр регуляризации. Матрица Азу и Луу можно определить, если известен вид воспроизводящего ядра того гильбертова пространства, элементом которого является функция Т. Здесь Лду - матрица значений вза:ашосопряженЕых функций вектора Б определяемой и вектора У известных значении трансформакт возмущающего гравитационного потенциала Т; Луу - матрица значений автосопряженных функций вектора У известных значений трансформант возмущающего гравитационного потенциала Т. >

В качестве модели воспроизводящего ядра используется модель ковариационной функции воз:,!ущзгсцего гравитационного потенциала Т. Глобальные и локальные ковариационные функции получаются на основе анализа спектра поля (в частотной области) либо на основе изучения ковариаций. Чаще всего используются ковариационные функции К(Х1,Х2) однородных и изотропных случайных полей, которые зависят только от расстояния между точками XI и хг-

Во всех рассмотренных моделях необходимо иметь непрерывные измерения на всей граничной поверхности. Ввиду того, что измерения неравномерно распределены по поверхности Земли, вначале определяют глобальную составляющую какой-либо функции гравитационного поля Земли по ее сглаженным значениям, а затем - региональные и лекальные составляющие этой функции на отдельных участках земной поверхности.

Региональные и локальные составляющие определяют, используя различные методы, в зависимости от видов и густоты имеющейся исходной информации на исследуемых участках земной.

поверхности. Если на этих участках имеется информация о значениях различных трансформант возмущдощего потенциала ( аномалий силы тяжести, аномалий высоты и других трансформант), то применяют обобщенные методы аппроксимации, позволяющие получать значение возмущающего потенциала или любой его трансформанты. При этом возникает проблема обращения матрицы Луу высокого порядга. Для решения этой задачи К.К. Чернинг предложил методику последовательного использования исходной информации для "чистой кодлокации". В более общем виде эта методика разработана Ю.М. Нейманом. Сущность этой методики состоит в том, что сначала определяется глобальная составляющая модели гравитационного потенциала Земли, затем - региональная составляющая методом СКК, при этом вектор У содержит значения измерений, сглаженные (на каждом этапе) по трапециям определенного размера, яа которые разбивается регион. Локальную составляющую вычисляют методом СКК, но при этом вектор У формируется по остаточным измеренным значениям (в центральной трапеции), из которых последовательно исключаются глобальная и региональная составляющие. Однако число измерений и в такой локальной области метет оставаться Есе же большим. Для сокращения времени обращения матрицы высокого порядка К. Эрен прэдгазш метод, основачнкй «а таком выборе точек измерений, что обращаемая матрица Луу принимает блоч-но-теплицеву форму.

В третьем разделе рассмотрены наиболее используемые модели ковариационных функций, способы определения их параметров на оснсЕе изучения козариаций, описаны условия изотропности случайного поля и предложен метод определения степени изотропности и однородности поля. В этой главе такяе предложено располагать исходные данные в узлах треугольной сетки, что позволяет применить блочно-цирк/лянтпые матрица. Такой метод дает возможность сократить время обращения матрицу и объем оперативной памяти по сравнению с использованием теп-лицевых матриц. Здесь же приведена модифицированная нами схема Халецкого и разработанной алгоритм обращения клетсч-но-циркулянтной матрицы Дуу. а также результаты экспериментальных исследований по вычислению значений трансформант

возмущающего потенциала с использованием клеточно-циркулянт-ных матриц.

Использование моделей ковариационных функций Джордана или Чернинга-Раппа для формирования матриц Ауу предполагает однородность и изотропность полей, кз значений которых составляется вектор'измерений. В работах Ю.М.Неймана показано, что необходимым и достаточным условием изотропности случайного поля является условие равенства степенных дисперсий коэффициентов разложения в ряд по сферическим функциям. При статистической проверке локального поля на однородность и изотропность считают, что в случае соблюдения условия изотропности частичные корреляции в различных направлениях для одинаковых расстояний должны совпадать. Коваркацию для фиксированного расстояния вычисляют как среднее из произведения центрированных значений поля, находящихся друг от друга ка этом расстоянии.

Для сравнения частичных корреляций мы не можем использовать критерии, базирующиеся на зачоне нормального распределения случайных величин. Если предположить, что центрированные значения паля £ подчиняются нормальному закону, то кривая распределения коэффициента корреляции отличается от кривой нормального распределения. Фивер предложил преобразование, связывзюЕзе коэффициент корреляции К с некоторой величиной Ъ\ К = 1(1 1. Распределение величины Ъ с возрастанием п (Числа пар узловых точек) быстро приближается к нормальному с дисперсией б2=1/(п-3).

Преобразование Фишера применяют для сравнения коэффициентов корреляции в независимых частичных совокупностях, при этом выясняют, взяты ли эти совокупности из одной общей совокупности или существенно отличаатся от нее. Если две частичные совокупности взяты кз одной и той зг.е общей совокупности, то разность значений Ъ\ и Т.% этих частичных совокупностей будет иметь нормальное распределение с дисперсией 62-Зг1+б22.

В этом случае предполагают, что гипотеза о совпадении частичных корреляций не отвергается (при 5 X уровне значи-

мости), если выполняется условие:

| ЪХ - 12 I < 2 б, (1)

>{ы предлагаем использовать это свойство преобразования Фишера для проверки попарного совпадения частичных корреляций К1 (гО, Кг(Г1), ... (для каждого расстояйия п) для различных направлений. Можно проверить совпадение частичных корреляций (в смысле условия (93)) К1(гО с КгСгч), К1(Г1) с Кз(г1). Кг(г1) с Кз(Г1) и т.д. О степени изотропности случайного поля можно судить по скалярной величине

Ь = Из/Ио, (2)

где N3 - количество совпадений частичных корреляций для всех расстояний.

Н0 - сбздае количество совпадешь и несовпадений частичных корреляций для всех расстояний.

Для проверки однородности поля необходимо вычислить корреляциии в разных частях района и сравнить аналоги ..*ым образом, используя преобразование Фишера.

Оценки параметроз модели ковариационной функции предлагается определить при помощи регрессионного анализа.

Для получения клеточно-циркулянтной матрицы Луу измеренные значения У поля Г(х) зададим в узлах равномерной треугольной сетки, которая представляет собой систему узловых точек, являющихся вершинами равносторонних треугольников (рис.1).

Вектор У содержит только ближайшие к точке э узловые точки. Для получения клеточно-циркулянтной матрицы Луу произведена специальная нумерация узлов треугольной сетки (рис.2), при этом точка с номером О (ближайиая к з) не включается в вектор У.

Узлы треугольной сетки

******** ******** ******** ******** ******** ********

* * * * *.* * * ********

Рис.1

Соответствующая нумерации рис. 2 матрица АвЛуу имеет вид

Ai.i А1.2 А2.1 А2.2

Am. 1 Ащ. 2

Al.m A2.n1

Ащ.ш

(3)

где m - количество клеток клеточно-циркулянтной матрицы; Ai.i, А1.2, •••, Ail. 12, •••. Am.ni - циркулянты (клетки раз-мэром 6*6 элементов) имеющие вид:

Ai.i-

d hi tj hz hi d hi ti ti hi d • h2 ti hi ti h2 ti

S1 hi

hi tf

hi ti h2 ti hi

51

Al.2=

hi tl t-2 h3 t-2 tl ti hi tl t-2 ПЗ t2

£2 P1 P1 t1 t2 113

h3 t2 tl hi tl t2

t.2 h3 t2 tl hi tl

tl t2 h3 t2 tl hi

где d = K(ri.i) = K(r2.2> = hi- K(n.2) = K(n.e) =

h2= K(ri. 4) = К(Г1.14) =

ha= K(n. 10)= К(г2.ц) = tl- K(n.3) - K(n.s) = t2= K(ri,9) = К(Г1.ц) = K(rj. j) - значение ковариационной функции для расстояния Ti.j между узлами i и j сетки.

Обращение клеточно-циркулянтной матрицы А аналогично обращению обычной матрицы с той разницей, что производятся операции не над элементами, а над блоками Ац. i2- Для обра-

щения клеточно-циркулянтной ковариационной матрицы А=Луу использован метод Халецкого вычисления матрицы А-1 при помощи разложения матрицы А на нижнюю треугольную матрицу В и верхнюю треугольную матрицу б. Вначаче вычисляются матрицы В и 6, затем вспомогательная матрица У из выражения 8У=Е и матрица 0=А-1 из выражения Б0=У.

Нумерация узлов треугольной сетки в локальном районе

* * * * 37* * * * *

* * 19* 25* 31* 20* * *

* 42* 36* 7* 13* 8* 26* 38* *

* 33* 18* 1* 2* 14* 32* *

.Б

* 24* 12* 6* 0* 3* 9* 21* *

* 35* 17* 5* 4* 15* 27* *

* 41* 29* 11* 16* 10* 33* 39* *

* * 23* 34* 28* 22* * *

* * * * 40* * * * *

Рис. 2

Все действия выполняются только с циркулянтными матрицами. Циркулянтные матрицы обладают следующими свойствами: суша двух циркулянтных матриц, произведение двух циркулянт-ных матриц, произведение циркулянтной матрицы на число, матрица обратная к невырожденной циркулянтной матрице являются циркулянтными матрицами.

Циркулярную матрицу С=Ац. 12 размером п*п представляют в виде:

С = п"1 ?* сИае(Рс) ?. ' (4)

Здесь

Г-Н ехр(2 -к -1 -(к1-1) • (к2-1)/п>| | (5)

является матрицей дискретного преобразования Фурье (к1=1,2,...,п; ке=1,2,...,п);

Р*=|| ехр(- 2 -к -1 -(к1-1) "(кг-!)/!!)!! (6)

представляет собой сопряженную матрицу дискретного преобразования Фурье; где 1 - мнимая единица;

с - первый столбец циркулянткой матрицу С; сЦае(Рс) - диагональная матрица, элементы которой совпадают с элементами вектора Г-с.

Обратная циркулянгная матрица вычисляется по формуле:

с-1 = п г* [сиа^с)]-1 г. (7)

Перечисленные свойства циркулянтных матриц позволяют произвести модификацию схемы Халецкого. Например, вместо блоков (1<3<1), определяемых в схеме Халецкого по формуле

М

Зои = (В^Г1 (Ал.! - Е (Вл.к Gk.il (8)

к=1

можно вычислять диагональные блоки

¿133^.1)= ((Иае(РЬ1.^))"1 (сЛае(Раа.!) -

3-1

Е (сИае(РЬ1>к)*<11аг(Рдк. 1))). (9)

к=1

Здес» Лi.l. 1 - первые столбцы цнркулянтных матриц

Aj.it В,, ю

Все вычисления с циркулярными матрицами сводятся к операциям над диагональными матрицами. Это значительно уменьшает число операций и объем памяти при проведении расчетов на ЭВМ.

Выполненные экспериментальные исследования покааывшт, что для небольших значений N преимущества при использовании метода клеточно- циркулянтных матриц по сравнению с сбданш методом незначительно. Расчеты показывают, что для N>100 его преимущество становится заметным. Если быстродействие составляет 10е оп/сек, то время вычисления составит 5.5 и 54 секунды соответственно для клеточно- циркудянтной и сбшной матриц для 300 узловых точек, а для 400 узловых точек - 12.3 секунды и 2 минуты 9 секунд соответственно. Отнесение Ь/Ьс примерно равно 10. При использовании равномерной вряшугоаь-пой (или круговой); сетки в работе К. Зрэна отпоиениэ Ь/^ примерно равно 4 для сетки 20*20 узлов. Здесь I, 1с - время вычисления с использованием обычшх, кг« <ч-но-теплицевых, клеточно-циркулянтных матриц. Для вьтшутих сеток это соотношение увеличивается, например, для сетки 10*36 узлов отношение ^т равно 5, а для сетки 5*72 уздюв отношение ^т равно 8.

Для практической реализации методики вычисления внесений трансформант возмущающего гравитационного потенциала 3©шш (сигналов б) в локальном районе методом средней квадраатэс-кой коллокации с использованием клеточш-цирку лянтнкх цгэр&ц составлен комплекс программ на языке Паскаль. Лагш»йсзаа схема, реализующая данную методику, приведена на рнс. 3.

В качестве измеренных данных выбирались две моде.щ да>-малий высоты 4, которые вычислялись при помощи раалозюйш в ряд по сферическим функциям и считались безошибочньиа.

Модель <¿21 формировалась как модель для плоской аппроксимации, среднее значение аномалии высоты модели составило 4.833 м, а дисперсия центрированного поля - 0.0498 м2.

Логическая схема, реализующая методику вычисления значений трансформант возмущающего гравитационного потенциала Земли методом средней квадратической коллокации с использованием циркулянтных матриц

формирование модели поля трансформанты возмущающего гравитационного потенциала в узлах треугольной сетки

формирования ковариаций модели поля трапсформанты для различных расстояний и определение степени однородности и изотропности этого поля

вычисление параметров модели ковариационной функции

г-4-

формирование и обращение клеточно-циркулянгнои ковариационной матрицы измерений

выбор точки, в которой вычисляются значения сигналов 5 и формирование вектора измерении У

г-6- 1

—1д-

коэффициенты С™, Эпщ разложения в ряд по сферическим функциям возмущающего потенциала

г-2Д-

файл, содержащий значения поля в узлах треугольной сетки

_3д--

файл, содержащий значения ковариаций поля

_4д-

файл, содержащий значения параметров ковариационной функции

-5д-г

файл, содержащий значения обратной ковариационной матрицы измерений

формирование вваимоковариа-ционной матрицы Азу и вычисление значений сигналов э методом средней квадратической коллокации или вариационным методом регуляризации.

6д-1-

файл, содержащий значения вектира измерений

Г

->131

•7д-

значения сигнала б

Рис. 3

Модель dz2 формировалась как модель для сферической аппроксимации примерно в том же районе, что и модель dzl, однако шаг сетки бнл выбран равным 0.01 радиан. Среднее значение аномалии высоты модели dz2 составило -0.563 м, дисперсия центрированного поля имеет значение 6.9565 м2. Степень изотропности поля для модели dzl равна 0.24, а для модели dz2 -0.52.

Для плоской аппроксимации применялась модель КФ Джордана, а для сферической - модель Чернинга-Раппа.

Степень однородности поля аномалий высоты dzl составила 0.50, а степень однородности поля dz2 - 0.35.

Следует отметить, что полученные значения степени однородности и изотропности необходимо рассматривать как приближенные евиду того, что для юс вычисления выбирались лиаь 3 направления и 4 района соответственно.

Оценка параметра (характеристического расстояния ji) ковариационной функции Джордана для поля аномалий высоты модели dzl составила около 12.65 км.

Вычисление значений сигналоз s производилось в "чти контрольных точках, которые были выбраны в различных частях районов. Ввиду того, что узловая сетка является регулярной, матрицу Луу достаточно было сформировать и обратить один раз для данного локального района, а затем использовать эту обратную матрицу для вычисления сигнала s в любой точке района (при этом необходимо лишь формировать вектор измерений У из ближайших узловых точек). В контрольных точках вычислялись значения сигнала (аномалий высоты и аномалий силы тяжести) методом средней квадратической коллокации, которые сравнивались со значениями сигнала в этих же контрольных точках, вычисленных разложением в ряд по сферическим функциям.

Среднее квадратическое отклонение измеренных значений аномалий высоты от вычисленных составило (для модели dzl) 0.0157 м.

Для модели dz2 среднее квадратическое отклонение измеренных значений аномалий высоты от вычисленных получилось равным 0.0776 м. Среднее квадратическое отклонение значений ACT, вычисленных по коэффициентам, от значений, вычисленных

методом СКК, составило 0.887 мГал.

Для модели dz2 были проведет вычисления с увелквяюы вектора измерений (аномалий высоты) до 42-х элементов. Среднее квадратическое отклонение измеренных значений в контрольных точках от вычисленных при увеличении вектора V уменьшилось и для ааситяий высоты получилось равным 0.0483 м, для аномалий силы тяжести - 0.642 мГаа. Включение большего числа точек не всегда ведет к уменьшению среднего квадра-тичаского отклонения. № выбирали районы, где степень изотропности составляла 0.3, 0.2, и в этом случае увеличение вектора Y вело к увеличению среднего квадратического откло-юш.

Кз точность вычисления значений сигнала s существенное вещие оказывает число обусловленности матрицы Дуу. В частности, для района dz2 число обусловленности матрицы Ауу (часго Тодда) примерно равно 2.0-Ю11, а для модели dz2 -1.1'Ю5. Использование вариационного метода регуляризации позволяет снизить число обусловленности. Например, при ис-Еоаазовшии «»-0.5 (принимая Дуу-ЛуунхЕ) число обусловлеа-Еоота снизилось до 7.2-Ю2 для dzl и до 6.7-102 - для dz2. Поэтсау при обработке реальных данных, содержащих ошибки ка-шр®нкй, целесообразно использовать вариационный метод регу-дарвзации, позволяющий снизить число обусловленности матрицы Ауу и получить более точные значения сигналов s, чем при использовании метода СКК. При этом параметр регуляризации мог-ш подбирать по минимуму отклонений измеренных и вычисленных значений в контрольных точках простым численным перебором. В sîom случае увеличивается количество обращений матрицы Луу. Использование описанной выше методики обращения клетот-по-циркулянтных матриц позволит значительно сократить время раЗоты ЗШ.

В Э8зш>чении приведены следующие основные результат, полученные в диссертации:

1) рассмотрены методы построения статических моделей ос-Eoessot трансфориант возмущающего потенциала. Отмечена целе-ооаЭразность используемого в настоящее время способа разбие-ES2 8юдели (ввиду большого объема исходных данных) на гло-

бальные, региональные, локальные составляющее, причем для формирования глобальных и региональных моделей могло использовать интегральные операторы (имея на входе аномалии силы тяжести, сглаженные по равновелика трапециям); разложение в ряд по сфертеским функциям (по надезшо определенным значениям коэффициентов); систему точечных масс. В легальных районах, где имеется сетка значений ACT (и густота этой сетки позволяет получить решения с определенной точностью), можно использовать интегральные модели. В районах мирового океана, где в основном известны аномалии высоты, получав!ие из аль-тюлетрических измерений, целесообразно использовать обобщенные методы аппроксимации (метод СКК и вариационный метод регуляризации) , позволяющие получить значение любой трачсфор-манты по аномалиям высоты;

2) предложен способ приближенного вычисления степени однородности и изотропности локального поля измерений при по-ьюзда преобразования Фшера;

3) предложено использовать в локальных районах равномерную треугольную сетку однородных измерений, кеторзл позволяет получать (при использовании модели однородной и изотопной ковариационной функции в методе СКК) ковариационную .матрицу измерений в клетечно-циркулянтной форме;

4) разработан алгоритм формирования и обращения клеточ-но-циркулянтной матрицы измерений методом Халедкого. Проведены расчеты, показывающие степень снижения затрат времени ЭВМ по сравнению с затратах™ времени на обращение сбычной и клеточно-теплицевой матриц;

5) разработаны методика и комплекс программ вычисления трансформант на ограниченной территории при помощи метода СКК с использованием клеточно-циркулянтной ковариационной матрицы измерений. Методика и комплекс программ используются в учебном процессе, при дипломном проектировании и выполнении научно-исследовательских работ.

Основные положения диссертации отражены в публикациях: 1.Михалицын М.М. Определение значений аномалий силы тяжести анизотропного поля с использованием изотропной ковариационной функции// Медвуз, сб. Вопросы математического моде-

лирования в прикладных задачах. Новосибирск. НИИГАиК. -1930. С. 76-82.

2.Михадицын М.Ы. Вычисление трансформант возмущающего гравитационного потенциала с использованием циркулянтных матриц// Межвуз. сб. Вопросы математического моделирования в прикладных задачах. Новосибирск. НИИГАиК. -1991. С. 69-78.

3.Михадицын М.М. О выборе модели ковариационной функции гравитационного поля с помощью регрессионного анализа// Ка-учно-техн. сб. по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Исследования в области геодезии, фотограмметрии и картографии. -М.: ЦНИИГАиК. -1994. -С. 11-14.

4.Бузук В.В. .Михалицын М.М. Методы формирования статических моделей гравитационного поля Земли / CITA. -Новосибирск, 1995, 25с.: Библ. 47 назв. -Рус. -Рукопись деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК Об.04.S5r., N 591-гд 95.

б.Михалицын М.М. Вычисление трансформант возмущающего гравитационного потенциала Земли вариационным методом регуляризации с использованием циркулянтных матриц / СГГА. "Новосибирск, 1995, 11с.: Библ. 11 назв. -Рус. -Рукопись деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 06.04.95г., N 590-гд 95. .

9К9 Подписано в печать 7 июня 1995 г.

Объем 1.4 печ.л., 1.3 уч.-изд.л. Заказ Тираж 100

630108, Новосибирск, 108, Шахотного.8, РИО, ИИ СГГА