автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели источников гравитационного поля и космологические модели в постримановых пространствах

На правах рукописи

БАБУРОВА Ольга Валерьевна

МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПОСТРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре физики для естественных факультетов государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский педагогический государственный университет"

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Владимир Чеславович

Официальные оппонситы:

доктор физико-математических наук, Профессор Игнатьев Юрий Геннадиевич

доктор физико-математических наук, профессор Кречет Владимир Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится "16" июня 2006 г. в Ц часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская Набережная, 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета. Отзывы на работу просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д.42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры паблюдаемой части Вселенной.

Однако, современные достижения наблюдательной космологии1 привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность бариопной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в два раза, по плотности положительной энергией вакуума определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.

Трудности классической теоретической космологии и наблюдательные космологические данные ставят новые проблемы, решение которых многие авторы видят в построении различных моделей гравитационного взаимодействия в пространствах с более сложной, чем пространство Римана, геометрической структурой: в пространстве Римана-Картана с кривизной и кручением и в общем аффинно-метрическом пространстве с кривизной, кручением и неметричностью, в частности, в пространстве Вейля-Картана с неметричностью вейлевского типа. В космологических моделях, построенных в пространстве Римана-Картана, решается проблема начальной космологической сингулярности либо за счет использования источника в виде идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе2, либо за счет вкладов от квадра-

'Riess G. at al. //Astrophys. J. 2001. V. 560. P. 560 (astro-ph/0104455).

2 Traut man A. //Nature (Phys. Sei.). 1973. V. 242. N 114. P. 7-8.

тччцых лагранжианов3, либо за счет учета квантовых добавок в эффективное действие4. В других работах проводилось построение космологических моделей в общем аффинно-метрическом пространстве и в пространстве Вейля-Картана5, В указанных работах, а также во многих других, в качестве источников гравитационного поля фигурирует, как правило, обычная идеальная жидкость или идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе. Некоторыми авторами7 использовалась конформная теория гравитации для объяснения ряда современных наблюдательных данных.

Построение космологических моделей в пространстве-времени, обладающем свойствами, более общими, чем свойства пространства Римана, оформилось как новое направление исследований, получившее название "нериманова космология"8. Данное направление исследований автор предпочитает называть "постриманова космология". В зависимости от того, какие конкретные свойства пространства-времени используются для объяснения наблюдательных космологических данных, уместно говорить о построении тех или иных постримановых моделей пространства-времени.

Причиной возможных отклонений от римановой структуры и появления пост-рималовых свойств у пространства-времени могут служить материальные среды, обобщающие обычную идеальную жидкость и идеальную спиновую жидкость Вейс-секхоффа-Раабе на наличие более сложных внутренних степеней свободы. В связи с этим актуальным является построение моделей таких обобщенных сред. К ним относятся построенные автором модели: модель релятивистской идеальной цветовой жидкости с учетом спин-цветового взаимодействия, каждая частица которой обладает спином и неабелевым цветовым зарядом; модель идеальной спин-дилатациошгой жидкости, частицы которой наделены спином и дилатационным зарядом; модель идеальной гипермоментной жидкости (предложенная позднее также другими авторами9), частицы которой наделены внутренним гипермоментом.

Взаимодействие указанных моделей жидкостей с геометрией пространства-времени таково, что при наличии идеальной цветовой жидкости возникает модель пространства-времени с постримановой структурой Римана-Картана, идеальная спин-ди-

sMinkevich A.V. //Phys. Lett.1980. V. SOA. P. 232-234.

1 Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. //Phys. Letters. 1985. V. B162. P. 92-96.

s Кречет В.Г., Садовников Д.В.//Известия высш. учебн. завед. Физика. 1998. Т. 41, N5, С. 39-50.

"Minkevich A.V., Garkun A.S. //Class. Quantum Grav. 2000. V. IT. P. 3043-3051.

7Pervushin V., Proskurin D. //Гравитация и космология (Grav. & Cosraol.) 2002. V. 8. Suppl. N 1. P. 161-167 (gr-qc/0106006).

«Puetzfeld D. //Mew Astron. Rev. 2005. V. 49. P. 59-64 (gr-qc 0404119)

8Obukhov Yu.N., Treeguerres R. //Phye. Lett. A. 1993. V. 184. P. 17-22.

латационная жидкость приводит к постримановой модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана, в то время как идеальная гипермомеятная жидкость приводит к постримановой модели общего аффиняо-метрического пространства.

В Главе 1 свойства геометрии Вейля-Картана обосновываются, исходя из идей калибровочной теория поля. Требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с естественными физическими требованиями позволяет построить содержательную физическую теорию поля в ее классическом аспекте. В Главе 1 на основании общих принципов теории калибровочных полей с использованием I и П теорем Нетер развивается калибровочная теория поля, ковариантная относительно группы Пуанкаре-Вейля, представляющей собой расширение группы Пуанкаре с включением группы Вейля растяжений (дилатаций) пространства. Рассмотрение этой группы связано с тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной масштабной инвариантности теории, которая в математическом смысле эквивалентна требованию инвариантности относительно группы дилатаций.

Калибровочное поле, соответствующее подгруппе дилатаций, названо дилатаци-онным полем. Это поле описывается вектором Вейля. Его напряженность представляет собой тензор сегментарной кривизны, который появляется в теории наряду с тензором кривизны и тензором кручения. Источником дилатационного поля является дилатационный ток внешних полей. Результатом построенной теории является обнаружение структуры тетрадных коэффициентов, а именно того, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующие локализованной подгруппе трансляций (t-поле), локализованной подгруппе Лоренца (r-поле) и локализованной подгруппе дилатаций (d-поле). Показало, что геометрической основой гравитационного поля должно являться постриманово пространство Вейля-Картаиа с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа. Выяснена общая структура лагранжиана гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана и получены соответствующие уравнения гравитационного поля.

Один из фундаментальных методов построения математических моделей состоит в использовании вариационных принципов, адекватных изучаемым моделям10. Построение моделей гравитационного взаимодействия в нространетве-времени с по-стримановыми геометрическими свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римапа) вариационных формализмов. Если вариационный форма-

10Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. -М.: Наука. Физматлит, 1997. 316 с.

лизм в пространстве Римана-Картана, а также в общем аффинно-метрическом пространстве достаточно хорошо развиты, то построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана до последнего времени не уделялось достаточного внимания. Уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана как правило получались как частный случай уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на нёметричность условия Вейля. Однако, полученные таким способом уравнения в общем случае не совпадают с вариационными уравнениями, получаемыми при наложении условия Вейля до вариациопной процедуры, если предположить, как это полагает автор, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус вне всякой зависимости от аффипно-метрической теории гравитации. Поэтому в Главе 2 диссертационной работы значительное внимание уделено развитию вариационного формализма именно в пространстве Вейля-Картана.

Для проверки правильности полученных достаточно сложных выражений вариационных уравнений были использованы как аналитические методы, связанные с проверкой выполнения дифференциальных тождеств для каждого слагаемого в лагранжиане, так и система символьных вычислений CARTAN11, модифицированная и доработанная автором с той целью, чтобы с ее помощью можно было производить вычисления в пространстве Вейля-Картана. Для этой цели к системе CARTAN с использованием методов функционального и процедурного программирования добавлен большой набор новых функций и переменных, позволяющих вычислять связность, тензор кривизны, тензор Риччи и другие геометрические величины в пространстве Вейля-Картана как в координатном, так и в неголономном ортогональном базисах. Сама исходная система CARTAN позволяет использовать вычислительную систему Mathematica для символьных вычислений тензорной алгебры только в пространстве Римана-Картана. Краткое описание модифицированной системы CARTAN и пример ее использования приведен в Приложении А.

Другим фундаментальным методом построения математических моделей является использование аналогий10 между изучаемым объектом и другим объектом, за-копы поведения которого до определенной степени изучены. В Главе 3 развивается с использованием вариационных методов гидродинамическая аналогия между системой взаимодействующих кварков и глюонов (кварк-глюонной плазмой) и идеальной цветовой жидкостью, каждая частица которой обладает спиновым моментом и

"Soleng Н.Н. In: Relativity and Scientific Computing - Computer Algebra, Numerics, Visualization. Berlin: Springer, 1996. P. 210-230.

неабелевым цветовым зарядом. В релятивистской теории подобный источник гравитационного поля порождает геометрию Римана-Картана. Начатый первоначально Аморимом12 релятивистский вариант данной модели был обобщен автором с целью учета спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римана-Картана. Позднее модель цветовой жидкости строилась в работах Шоке-Врюа13, а сравнительно недавно Джакивом с соавторами14.

Автором разработана вариационная модель данного типа жидкости с учетом дополнительного взаимодействия сшш-хромомагнитного типа. В данной модели явно учитывается пространственноподобная природа спина, используя условие Френкеля. На основе формализма внешних форм строится лагранжева плотность жидкости, выводятся уравнения цветового поля в пространстве Римана-Картана, находится тензор энергии-импульса жидкости. Важность получения правильного выражепия для тензора энергии-импульса идеальной цветовой жидкости связано также с тем, что знание этого выражения позволяет из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана-Картана вывести гидродинамическое уравнение типа Эйлера движения спиновой цветовой жидкости в неабелевом цветовом калибровочном поле и находящейся в пространстве Римана-Картана. Гравитационное поле порождается тензорами энергии-импульса и спинового момента, а цветовое поле порождается током цветового заряда частиц жидкости, поэтому задача является самосогласованной.

Как следствие найденного для цветовой жидкости уравнения типа Эйлера выводятся обобщенное уравнение эволюции спина типа Баргмана-Мишеля-Телегди15 в пространстве Римана-Картана, а также обобщенное уравнение типа Вонга16 движения частицы со спином и цветовым зарядом. На основании построенной в Главе 3 модели можно сделать вывод о том, что на частицу в кварк-глюонной плазме действуют силы четырех типов: обобщенная на цветовое поле сила Лоренца, порождаемая неабелевым цветовым зарядом; обобщенная на цветовое поле сила типа Штерна и Герлаха, градиентная по напряженности цветового поля; сила Матиссона, - отражающая взаимодействие спина частицы с кривизной пространства^времени; и сила "трансляционного" типа, отражающая взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени.

"Amorim R. //Phys. Rev. D. 1986. V. 33. P. 2796-2799.

13Choquet-Bruhat Y. //C. R. Acad. Sei. Paris. 1992. V. 314. P. 87-91.

"Bistrovic В., Jackiw R_, Li H., Pi S.-Y. //Phys. Rev. D. 2003. V. 67. P. 025013-23 (hep-th/0210143).

15Barginan V., Michel L., Telegdi V.L. //Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 435-436.

"Wong S.K. //Nuovo Cim. 1970. V. 65. P. 689-694.

Вместе с другими исследователями, автор развивает точку зрения о том, что возможные отклонения от римановой структуры и появление постримановых свойств у пространствагвремени, в частности, возникновение постримановой космологии, долж-пы быть обусловлены существованием материи с указанными выше внутренними степенями свободы, которая заполняет пространство-время, генерирует его структуру и взаимодействует с этой структурой. В качестве такой материи В.Г. Кречетом и В.Н. Мельниковым17 было рассмотрено гравитационное взаимодействие, источником которого является идеальная жидкость с параметрами, обладающими трансформационными свойствами относительно прямого произведения группы Лоренца и группы дилатаций. Это вводит в пространстве Вейля поле, источником которого служила величина е+р- Автором в качестве источников постримановых свойств пространства-времени предложено рассматривать идеальную спин-дилатационную жидкость, вариационная модель которой была построена автором и изложена в п. 4.1 Главы 4. Талсже для этой цели автором наряду с другими исследователями18 предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в аффинно-метрическом пространстве.

Идея о существовании во Вселенной темной (несветящейся) материи была высказана еще в 30-х годах прошлого века Цвикки19. Но сущность темной материи до настоящего времени не выяснена. Такером и Вангом20 была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена связанным с масштабной симметрией новым типом гравитационного заряда (названным "зарядом Прока"), при помощи которого осуществляется короткодействующее взаимодействие типа Прока. Это взаимодействие наиболее адекватным образом описывается на фоне пространства-времеци Вейля-Картана. Независимо автором была предложена гипотеза о том, что темная материя может быть смоделирована в виде идеальной спин-дилатационной жидкости.

В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатациопной жидкостью, автором построена модель однородной изотропной Вселенной, в которой выводится обобщенное уравнение Фридмапа-Леметра. Доказывается, что при определенных условиях па параметры гравитационного лагранжиана данное уравнение имеет несингулярное решение, указывающее на существование максимальной плотности вещества во Вселенной.

17Кречет В.Г., Мельников В.Н.//Известия высш. учебн. завед. Физика. 1991. N2. С. 147-150.

18Obukhov Yu.N., Vlachyneky E.J., Esser W. and Hehl F.W. //Phys. Rev. D. 1997. V. 56. N 12. P. 7769-7778 (gr-qc/9705039).

"Zwicky F. //Helve. Phys. Acta. 1933. V. 6. P. 110-127.

20Tucker R.W., Wang C. Clase. Quantum Grav. 1998. V. 15. P. 933-954.

Построенная автором космологическая модель описывает несингулярную эволюцию Вселенной, которая начинается со стадии инфляции (для сверхжесткого уравнения состояния материи), затем проходит фридмановскую стадию (эру преобладания излучения и эру преобладания вещества), которая соответствует расширению с замедлением, и завершается постфридмановской стадией "второй инфляции", в которой расширение происходит с ускорением. При этом в модели имеются две точки перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует переходу от стадии инфляции к стадии Фридмана, а вторая соответствует началу расширения с ускорением. Полученное автором обобщенное уравнение Фридмана-Леметра позволяет моделировать различные стадии эволюции Вселенной, в частности, переход от инфляционной стадии эволюции Вселенной к ее фридмановской стадии. Это представляется интересным в свете тех проблем, с которыми сталкивается решение данной задачи в современной инфляционной космологии21,22. Расчет модели произведен методами численного интегрирования на основании алгоритма, приведенного в Приложении В. Результаты представлены в виде графиков.

Цель работы состоит в построении калибровочной модели пространственно-временного многообразия с геометрией Вейля-Картана и процедурой локализации относительно группы Пуанкаре-Вейля; выяснении общей структуры лагранжиана гравитационного ноля в пространстве Вейля-Картана и получении соответствующих уравнений гравитационного поля; в построении моделей источников пострима-новой структуры пространства-времени в виде моделей сред с внутренними степенями свободы, таких как идеальная спиновая цветовая жидкость, идеальная спин-дилатационная жидкость и идеальная гипермоментная жидкость; в развитие вариационного формализма первого порядка в тетрадном представлении теории гравитации, а также в формализме внешних форм для нелинейных лагранжиапов, в том числе в пространстве Вейля-Картана; в изучении условий существования плоских волн кручения; в доказательстве существования в пространстве Вейля-Картана топологических инвариантов типа Эйлера; в построении в пространстве Вейля-Картана космологической модели однородной изотропной вселенной, заполненной моделирующей темную материю спин-дилатационной жидкостью и физическим вакуумом, описываемым космологической постоянной.

Научная новизна определяется следующими результатами:

• Построена модель прострапстна-времени со структурой Вейля-Картана на осно-

21 Журавлев В.М., Червон C.B. //ЖЭТФ. 2000. Т. 118. С. 259-272 (gr-qc/9907057).

"Chervon S.V. //Gen. Relat. Gravit. 2004. V. 36. P. 1547-1553.

ве калибровочного принципа, с процедурой локализации относительно группы Пуанкаре-Вейля. Результатом является выяснение структуры тетрадных коэффициентов, которые оказываются зависящими от калибровочных полей подгруппы трансляций, подгруппы Лоренца и подгруппы дилатаций. Показано, что геометрической основой построенной модели является постриманово пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа, при этом калибровочное поле подгруппы дилатаций (дилатационное поле) описывается вектором Вейля. Источником дилатационного поля является дилатационный ток внешних полей. Выяснена общая структура лагранжиана гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана и получены соответствующие уравнения гравитационного поля.

Развит вариационный формализм первого порядка, на языке внешних форм Э. Картана для нелинейных лагранжианов в постримановых моделях пространства-времени, в основе которого лежит доказанная лемма и выведенная формула, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа.

Выяснено условие существования плоских волн кручения в модели гравитационного взаимодействия с произвольными квадратичными лагранжианами, заключающееся в наличии дополнительного ограничения на константы квадратичного лагранжиана, физический смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части кручения должны иметь нулевую массу покоя.

На основании вариационных методов в формализме внешних форм доказано существование в пространстве Вейля-Картана топологического инварианта типа Эйлера; установлено, что обобщенная форма Эйлера в этом пространстве может быть представлена как внешний дифференциал от выражения типа Черна— Саймонса.

В рамках гидродинамического подхода к описанию кварк-глюояной плазмы построена релятивистская вариационная модель и предложено действие идеальной спиновой цветовой жидкости, взаимодействующей с неабелевым цветовым полем Янга-Миллса с учетом спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римала-Картана; найдено выражение для канонического тензора энергии-импульса жидкости, на основе которого получены классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга на

случай цветовой группы ££/(3) и учитывающие также наличие спипа частицы; произведен вывод уравнения изменения вектора спина частицы, обобщающего уравнение Баргмана-Мишеля-Тслсгди.

Введены в рассмотрение новые типы идеальной жидкости — спин-дилатацион-ная жидкость и гипермоментная жидкость. Построена модель, предложено действие, найден тензор энергии-импульса спин-дилатациопной жидкости и получено гидродинамическое уравнение движения типа Эйлера. На основании этого уравнения доказано, что тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры.

Построена модель и предложено действие гипермоментной жидкости с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента частиц жидкости. Получено соответствующее гидродинамическое уравнение движения типа Эйлера и доказано, что движение гипермоментной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана.

Предложенная в пространстве Вейля-Картана модель темной материи в виде идеальной спин-дилатационной жидкости позволила построить несингулярную модель однородной и изотропной вселенной с космологической постоянной, описывающей физический вакуум, и получить обобщенное уравнение Фридмана-Леметра.

Доказано, что при определенных условиях на параметры гравитационного лагранжиана данное обобщенное уравнение Фридмана—Леметра имеет решение, несингулярное в начальный момент развития вселенной, что указывает на существование максимальной плотности вещества во вселенной. В начальной стадии развития вселенной для сверхжесткого начального уравнения состояния материи найдено решение типа инфляции. Установлено существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует выходу из стадии инфляции на фридмаповскую стадию эволюции вселенной, а вторая соответствует концу фридмановской стадии и началу стадии расшире-

ния с ускорением, что качественно правильно отражает современные представления об эволюции Вселенной.

Научно-практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Построенные в ней модели жидкостей с внутренними степенями свободы могут найти применение при описании поведения сред с усложненными характеристиками. Так, модель идеальной спиновой цветовой жидкости нашла свое применение в работах A.C. Вшивцева и В.Б. Фортова с сотрудниками23 при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы деконфаймента, на основании которой было проведено обобщение гидродинамической модели Ландау множественного рождения ад-ронов, явным образом учитывающей структуру вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков. Данная модель также может найти применение в современной калибровочной теории дисклипаций и дислокаций24, в которой калибровочные группы вращений и трансляций используются для описания дефектов кристаллов. Найденные топологические инварианты в пространстве Вейля-Картана могут найти свое применение при анализе топологических проблем в теории поля, в частности, при исследовании вопроса о существовании топологических солитонов25. Модели иде-альпой спин-дилатационной жидкости и идеальной гипермоментной жидкости могут найти применение нри построении астрофизических и космологических моделей. Моделирование темной материи в виде снин-дилатационной идеальной жидкости может оказаться полезным при моделировании астрофизических явлений в галактиках. Построенная на основе данных представлений несингулярная космологическая модель качественно правильно описывает особенности эволюции Вселенной в соответствии с современными наблюдательными данными.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Калибровочная модель пространства-времени со структурой Вейля-Картана на основе локализации группы Пуанкаре-Вейля; доказательство, что тетрадные коэффициенты в модели определяются калибровочными полями подгрупп трансляций, Лоренца и дилатаций.

2. Вариационный формализм первого порядка в формализме внешних форм на

23Вшивцев A.C., Кандауров В.П., Перегудов Д.В., Фортов В.Е. //Изв. высш. учебн. эавед. Физика. 1997. N 6. С. 32-36.

24Гузев М.А., Мясников В.П. //Изв. Акад. наук. Механика жидкости и газа. 1993. N 4. С. 25-29.

25Рыбаков Ю. П., Сашок В. И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения: Учеб. пособие. - М.: Изд-во РУДН, 2001.

основе доказанной леммы о правиле коммутации вариации р-формы и сопряжения Ходжа.

3. Условие существования плоских волн кручения в модели с произвольными квадратичными гравитационными лагранжианами, означающее равенство нулю квантов бесследовой части кручения.

4. Доказательство существования топологического инварианта типа Эйлера в пространстве Вейля-Картана.

5. Релятивистская вариационная модель идеальной спиновой цветовой жидкости в пространстве Римана-Картана; уравнения движения частицы с неабелевым цветовым зарядом, обобщающие уравнения Вонга и учитывающие спин частицы; уравнение изменения вектора спина частицы, обобщающее уравнение Баргмана-Мишеля-Тслегди; классификация сил, действующих на частицу в кварк-глюонной плазме.

6. Модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана; гидродинамическое уравнение движения жидкости типа Эйлера; теорема о том, что тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени.

7. Модель идеальной гипермоментной жидкости; теорема о том, что движение гипермоментной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана.

8. Модель темной материи в виде спин-дилатационной жидкости; несингулярная модель однородной и изотропной вселенной с космологической постоянной в пространстве Вейля-Картана, заполненном спип-дилатационной жидкостью; вывод в рамках данной модели обобщенного уравнения Фридмана-Леметра.

9. Различные несингулярные решения обобщенного уравнения Фридмана-Лемет-ра, в частности, решение типа инфляции. Доказательство существования в космологической модели двух точек перегиба функции масштабного фактора: точки выхода из стадии инфляции на стадию Фридмана и точки начала стадии расширения с ускорением.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением современных математических методов: вариационных методов на многообразиях, внешнего дифференциального исчисления, современных методов тензорных вычислений на компьютерах, методов численного интегрирования. Построенная космологическая модель и получепные результаты подтверждаются современными данными наблюдательной космологии.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзных и Российских гравитационных конференциях (с 6-й, Москва, 1984 г. по 12-ю, Казань, 2005), на Всесоюзном совещании "Гравитация и электромагнетизм" (Минск, 1987 г.), на Международной конференции памяти К. Ланцоша (Северная Каролина, США, 1993 г.), на 14-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (С1114, Флоренция, 1995 г.), на 19-ом Техасском симпозиуме по релятивистской астрофизике и космологии (Париж, 1998 г.), на Международной школе-семинаре "Квантовая гравитация и суперструпы" (Дубна, 2002), на XII Международной конференции по избранным проблемам современной физики, посвященная 95-летию со дня рождения Д.И. Блохинцева (Дубна, 2003 г.), на Международной конференции "Гравитация, космология и релятивистская астрофизика" (Харьков,

2003 г.), на Международной конференции "Физические интерпретации общей теории относительности" (Москва, 2003 г.), па XXIV, XXV, XXVI Международных школах-семинарах по фундаментальным проблемам физики высоких энергий и теории поля (Протвино, 2001, 2002, 2003 гг.), на XVIII Международной школе-семинаре по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Санкт-Петербург, 2004 г.), на Боголю-бовской конференции "Проблемы теоретической и математической физики" (Дубна,

2004 г.), на 4-ом Международном симпозиуме "Квантовая теория и симметрии" (Варна, 2005 г.), на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию со дня рождения К.П. Станюковича (Москва, 2006 г.), на семинаре "Физика высоких энергий" кафедры теоретической физики физического факультета МГУ им М.В. Ломоносова, на семинаре Российского гравитационного общества (МГУ).

Личный вклад автора. Результаты научных исследований, включепные в диссертацию, выполнены лично автором, либо при его непосредственном, а в ряде работ при его определяющем участии в выборе направления и объекта исследования, методов вычислений и проведении самих расчетов.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 26 основных работ в отечественных и зарубежных изданиях.

Структура и объем. Диссертация изложена на 232 страницах и состоит из Введения, пяти глав, Заключения, списка цитированной литературы из 321 наименования и двух Приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Построение модели пространства-времени Вейля—Картана на основе калибровочного принципа

В Главе 1 строится модель пространства-времени со структурой Вейля-Картана на основе калибровочного принципа, применяя к группе Пуанкаре-Вейля VW идеи, развитые для группы Пуанкаре Кибблом28 и другими авторами27, а также учитывая первые попытки построения калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля28,29. Под группой PW понимается группа преобразований пространства-времени:

6х* = х> - ех* та' = ~{шт Мт + еЪ + акРк)х*,

Мт= -iJj , D = х1-^ , Рк = - ¿¿А , (1.1)

с коммутационными соотношениями

¡Mm , Jtf„] = Cm'„ м, , [ilfm , Р*] = ЛгЛЛ ,

[Ph,Pi] = 0, ,öj=0, [Р* , ¿] = Ль , [¿.¿]=0.

В группе VW преобразования из группы Пуапкаре (4-вращепия и трансляции) дополнены растяжениями (дилатациями) пространства^времени.

В пространстве-времени может быть выбрана специальная система координат х', в которой компоненты метрического тензора равны: gxj = , ß — const,

где gff - компоненты метрического тензора пространства Минковского. Вводится произвольная криволинейная система координат {х^(х')} : dx' —h'^dx1*, = д^х'.

Предполагается, что в пространстве-времени существует некоторое спинорное поле ф (преобразующееся под действием группы VW: 6фА = шт1^вфв + еыфА, где w - вес поля фА), действие которого равно J — fn (dx) £, С =■ \f\9\ L(tpA, РкфА, 9ij)-

28Kibble T.W.B. //J. Math. J'hys. 1961. V. 2. P. 212-221.

"Фролов Б.Н. Пуанкаре калибровочная теория гравитации. М.: МПГУ, "Прометей", 2003. 160 с.

28Charap J.M., Tait W. //Ггос. Roy. Soc. 1974. V. A.340. P. 249-262. MKasuya M. //Nuovo Cim. 1975. V. 28B. P. 127-137.

Если построена теория поля ф, инвариантная относительно преобразований группы Т>У\?, то тогда согласно теореме Нетер существуют законы сохранения энергии-импульса полного (орбитального и спинового 5*то) момента Мкт, а также полного (орбитального и собственного .7*) дилатационного тока Д*.

Первопачальпо параметры {и1} = {ыт, е, а*} преобразований группы (1.1) предполагаются постоянными во всем пространстве-времени. Калибровочный принцип требует, чтобы была построена теория, инвариантная относительно расширения группы РУ\? до группы РН'(х), параметры которой уже являются произвольными функциями координат пространства-времени {и!*(х)}. При этом выясняется, что величина 0 становится произвольной функцией ¡3(х).

Теория строится на основании четырех постулатов.

Постулат 1 (принцип локальной инвариантности). Интеграл действия

3= [ (¿х) С(фА, РкфА, А*, РкА* р(х), Рк/3(х)) , (1.2)

Jn

где лагранжева плотность С описывает поле фА, взаимодействие поля фА с дополнительным калибровочным полем и свободное поле А^, инвариантен относительно локализованной группы Т'И'(х), под действием которой калибровочное поле испытывает преобразование вида

<5Л* = + Я^О^ , (1.3)

где и и 5 - некоторые матричные функции.

Постулат 2 (возможность независимого существования калибровочного поля). Полная лагранжева плотность С физической системы аддитивно зависит от локально инвариантной лагранжевой плотности £0 свободного калибровочного поля: С = Со + гДе

Со = Со^,РкА^Р(х),РкР(х)), = ¿^ = 0.

Постулат 3 (принцип минимальности калибровочного взаимодействия). В лагранжевой плотности взаимодействия Сф материального поля фА с калибровочными полями присутствуют производные только от материального поля фА. Тем самым выполняется условие

_п дС* - п

8РкА* и » дРк0

Постулат 4 (принцип наименьшего действия). Уравнения полей фА, и 0(х) реализуют экстремум интеграла действия (1.2), описывающего поле фА, взаимодействие поля фА с полями /3(х) и свободное поле А1*.

Принятые постулаты позволяют применить первую и вторую теоремы Э. Нетер и достаточны для того, чтобы определить структуру лагранжевой плотности С и вид матричных функций I/, 5. Данную проблему решают следующие две доказанные теоремы. Введем дифференциальный оператор А1Я:

Мп - {МтАв , МД , МкА„} , Я — {т, 0, к} , (1.4)

объединяющий операторы полного момента, полного дилатационного тока и сдвига: МтЛв - ЛЛ + /¡в Мт , МАв = т5А + 6АЪ, МкАв = &вР* • (1-5) Также представим калибровочное поле А* как совокупность трех компонент:

А^ — {А™, Аа, Ад} ,

где А™ - калибровочное поле, соответствующее подгруппе 4-вращений (г -поле), Аа - калибровочное поле подгруппы дилатаций ((¿поле), а А* - калибровочное поле подгруппы трансляций (¿-поле) группы Пуанкаре-Вейля.

Теорема 1.1. Существует калибровочное поле со структурой преобразования (1.3) под действием локализованной группы РУ\?(х) и существуют функция калибровочных полей 2 и матричные функции калибровочных полей и и 5 такие, что лагранжева плотность

ОафА,13(х)), (1.6)

образованная из инвариантной относительно нелокализованной группы РУУ лагранжевой плотности Ь(фА, РкфА) путем замены дифференциального оператора Рк на оператор калибровочной производной

Ц, = -А»Мп , (1.7)

где оператор Мк задан в виде (1.4), удовлетворяет принципу локальной инвариантности относительно локализованной группы ■рУУ(х). При этом справед лива формула: А£ =

При доказательстве теоремы выясняется явный вид калибровочной производной:

Оа-фА = - А™1тАвув + хиАафА, (1.8)

П^А = = д„УрА - АтиТтАп-фв + гиА^фА, (1.9)

где введены обозначения

=Л %Уак, Уак = = Ака+ А?1тк, х1 - Аахк, (1.10)

= (И-^ = 21 , = (У~1ук , Ат„ = Н%Ата, А„ = . (1.11)

Найденные матрицы и и 5 определяют правила преобразования для Н"^:

<5/1°„ = - ЕЛа„ - , (1.12)

При геометрической интерпретации теории величины Ы'а отождествляются с тетрадными потенциалами. Тем самым при локализации группы Пуанкаре-Вейля "Р\У{х) (как и при локализации группы Пуанкаре), тетрадные потенциалы Л,р0 не являются калибровочными полями, в отличие от традиционно принятого противоположного мнения24'26, так как согласно (1.12) они преобразуются тензорным образом в отличие от калибровочных полей Л™, Д, и Акоторые преобразуются относительно 7>Н;(х) нетензорным образом, как и следует для истинных калибровочных иолей.

Введем величину

С-аъ = -2h\h\aa,x]hTb] = 2h\h\dixffT] (1.13)

и образуем калибровочно инвариантные напряженности калибровочных полей:

F™ab = ЩАмЛц + ЛТСаЬ - Спт,АпаА1 , (1.14)

Fab = 2h\adWAb] + А-С'аЪ , (1.15)

Fcab = С\ь + 2/„c[ayl"j + 2А;Л; , (1.16)

Qa = -g^DaUbc = -h"a s^drübc - 2дЬсА*а1гЬс = -h"aд^дьс + 8Ла . (1.17)

Теорема 1.2 (структура лагранжиана свободного калибровочного поля). Принципу локальной инвариантности удовлетворяет лагранжева плотность

■foi» 6> Qa, 9аЬ, ß{x)) , (1-18)

где Lq представляет собой скалярную функцию, образованную из напря-женностей калибровочных полей (1.14)—(1.17).

В основе геометрической интерпретации теории лежит отождествление калибровочной производной (1.9) и ковариантной производной на пространственно-временном многообразии. Тогда величина (1.14) становится тензором кривизны, величина (1.15) - тензором сегментарной кривизпы Вейля, величина (1.16) становится тензором кручения, величина (1.13) - объектом неголономности, а величина (1.17) - тензором немстричности, причем именно вейлевского типа. В результате па пространственно-временном многообразии возникает структура пространства Вейля-Картана. Получены общие (для произвольного лагранжиана (1.18)) уравнения гравитационного поля, источниками которых являются тензор энергии-импульса, полный момент и полный дилатационный ток внешнего поля ф.

Выписан также калибровочно инвариантный лагранжиан гравитационного поля общего вида, имеющий несколько отличительных особенностей. Во-первых, он обобщает квадратичный лагранжиан пуанкаре-калибровочной теории гравитации. Во-вторых, данный лагранжиан при сохранении калибровочной инвариантности допускает наличие ненулевой массы у кванта векторного поля неметричности Вейля, а тем самым и у дилатационного калибровочного поля. Это обстоятельство говорит о том, что калибровочное поле, вводимое при локализации группы масштабных преобразований, не является электромагнитным полем (в отличии от первоначальной идеи Вейля), а полем другой природы30. Наличие массы у поля Вейля может сыграть положительную роль в интерпретации современных наблюдательных данных на основе использования постримановых космологических моделей (Глава 5). Наконец, рад слагаемых с полем ¡}{х) в данном лагранжиане имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут играть определяющую роль при спонтанном нарушении масштабной инвариантности и образовании масс частиц.

2. Вариационный формализм в постримановых пространствах

В Главе 2 построены вариационные формализмы в постримановых пространствах, используемые для построения моделей пространства-времени с постримановыми геометрическими структурами, а также моделей источников гравитационного поля, порождающих эти постримановые структуры.

В п. 2.1 развит вариационный тетрадный формализм в общем аффинно-метри-ческом пространстве Г), в котором метрика и связность полностью независимы. При тетрадном описании в касательном пространстве каждой точки многообразия

^Utiyama В.. //Progress of Theor. Phys. 1973. V. 50. P. 2080-2090.

М вводится неголономиый базис еа — где матричные функции №а и об-

ратные к ним Л^ц называются тетрадными коэффициентами, или тетрадами. Базис {е„} в пространстве ¿4(3, Г) преобразуется с помощью общей линейной группы 64(д, Я), параметры которой могут быть выбраны произвольно в каждой точке. Базис касательного пространства не может быть выбран калибровочно инвариантным, компоненты метрического тензора касательного пространства д^ь являются функциями координат пространства-времени и при проведении вариационной процедуры варьируются наряду с тетрадными коэффициентами.

В пространстве £4(9, Г) заданы тензоры кривизны кручения и немет-

ричности (Э114^ = VИспользуются следующие три неэквивалентные свертки тензора кривизны: тензор Риччи = Я"аа13, тензор Нац = И?0тензор сегментарной кривизны — К'ааф, а также свертки тензоров кручения и неметричности.

С помощью указанных тензоров может быть образована общая квадратичная лагранжева плотность Са аффинно-метрической теории гравитации (АМТГ). Полная лагранжева плотность теории равна С — Но + А», где Д„ - лагранжева плотность источников гравитационного поля. Вариационные уравнения поля в АМТГ получены независимым варьированием С. по неголономным коэффициентам связности (Г-уравнение), по тетрадным коэффициентам (/»-уравнение) и по компонентам метрического тепзора касательного пространства дл (д-уравпение).

Интеграл действия в АМТГ обладает инвариантностью относительно группы общих преобразований координат и относительно преобразований локальной группы Си(д, Я), что приводит к существованию двух дифференциальных тождеств. Следствием этих тождеств является то, что только два из трех уравнений поля независимы: Г-уравнение и /г-уравнение или Г-уравнение и ^-уравнение,

В п. 2.2 развивается тетрадный вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана С №4, под которым понимается связное четырехмерное ориентированное дифференцируемое многообразие, наделенное метрикой с лоренцевой сигнатурой и связностью, подчиняющейся условию Вейля: VмдаЬ — С}аЬц = (1/4)до!><2А1, — 9аьОаЬ1г- Вектор носит название вектора Вейля.

В вариационпом формализме условие Вейля будем учитывать в полном лагранжиане с помощью неопределенных множителей Лагранжа А^о», подвергая варьированию интеграл действия с лагранжевой плотностью

. ' С = Со+ + А"^ ((Г м - ^С^) , АмоьЗаЬ = о, по связности, тетрадам и метрике. Антисимметричная часть и след Г-уравнения, а

также Л-уравнение не содержат множителей Лагранжа и представляют собой искомые уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана.

В п. 2.3 с помощью развитой вариационной техники доказывается существование обобщенного тождества Гаусса-Вонне в пространстве Вейля-Картана.

Теорема 2.3. Интегральная величина

JM<?xV4{R2- (Ял + Raß)(R0a + Rßa) + Raß^aß) , (2.1)

взятая по ориентированному четырехмерному многообразию A4 без границ, снабженному дифференцируемой структурой Вейля-Картана, не зависит от выбора метрики и связности на многообразии и является топологическим инвариантом.

Ранее было известно, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Ри-мана (так называемое тождество Ланцоша) и в пространстве Римана-Картана, но не выполняется в общем аффинно-метрическом пространстве. Автором доказано, что данная теорема выполняется также и в пространстве Вейля-Картана.

В п. 2.4 изложен формализм внешних форм в постримановых пространствах. В этом формализме в качестве базиса используется кобазис 1-форм ва (а = 1,2,3,4), а в качестве операторов - оператор дуализации Ходжа (звездочка Ходжа *), оператор внешнего произведения л и оператор свертки (внутреннего произведения) j. Последние две операции подчиняются правилу антидифференцирования Лейбница. Используются также 4-форма объема Т) и вспомогательные доля 3-форм г}а, 2-форм riaß, 1-форм T}aß~t и 0-форм rjaß^x со свойствами,

Г)а = еа\г1 = *ва , T)„ß = ёр\г/а = *(&а Л 6ß) ,

Vctßy = e-tlVuß = *(ßaA&ß А в.,) , TjaßyX = exj Tjaß^ = *(Pa A 0g А в., А вх) .

В п. 2.5 доказывается Лемма вариационного исчисления в формализме внешних форм, определяющая правило коммутации варьирования и оператора Ходжа.

Лемма. Пусть Ф и Ф - произвольные р-формы, определенные на n-мерном многообразии. Тогда имеет место следующее вариационное соотношение для коммутатора вариации <5 от р-формы и операции * дуального сопряжения Ходжа:

Фл<5*Ф = <5Фл*Ф + л *ф(-1)р(п-1)+*+10" л * (*ф л л *ф) +

+6в°Л +(-1)р(п~-1)+'+1*(*УЛба)Л*ф) . (2.2)

В пп. 2.6 и 2.7 на языке внешних форм развивается вариационный формализм и выводятся уравнения гравитационного поля в модели пространства-времени с геометрической структурой Вейля-Картана. Лагранжева плотность выбрана в виде

Со = 2/о (¿тг0^ л г?/ - Лт; +1 а 7г."» л + ¿>1 га л *7; + +02 (та л ЗД л *(Т" л 0а) + ез (Га л 0а) л *(Г" л + -К(2Л*Й + С<2Л<ГЛ*7;)+Л<^Л (Яор-^дсфО) . (2.3)

Здесь /о = 1/(2эг) («е = 8x6), Л - космологичекая константа, А, £>ь й. £>з, С ~ константы взаимодействия, а Л"*5 - 3-форма множителей Лагранжа.

Варьирование осуществляется независимо по 1-форме связности (Г-уравнение) и по базисным 1-формам (5-уравнение). Источником ^-уравнения является каноническая 3-форма знергии-импульса. Источником Г-уравнения в случае, когда пространство заполнено спиновой материей с дилатационным зарядом (Глава 4), будет 3-форма спин-дилатационного момента. Г- и ^-уравнения апализируются в Главе 5.

В п. 2.8 развитый вариационный формализм применен для доказательства существования в пространстве Вейля-Картана топологических инвариантов типа Понт-рягина и Эйлера. Под топологическим инвариантом на многообразии М понимается существование интеграла вида ¡м П, где П - некоторая 4-форма.

Доказано, что в пространстве Вейля-Картана существуют две формы Понтря-гина: Пс = Т&Ц Л тги, и Пуу ~ Л Иаа. Первую из этих форм можно назвать "сохраняющей объем" формой Понтрягина, а вторую - "дилатационная" формой Понтрягина. Также в этом пространстве существует форма Эйлера £ = т/'£р71%Л71рд.

Далее доказывается, что формы Понтрягина и Эйлера в пространстве Вейля-Картана могут быть представлены как внешние дифференциалы от соответствующих выражений типа Черна-Саймонса: Пуу = йСу/, Су? — |<Э Л 7Zaa,

пс = сЮс , Сс = г^, л Щ - |п6а] л ГК] а п"ч ,

£ = се = г!% (п% л г", - |п л v, л г',) -

С каждой из таких форм связано существование так называемых "топологических зарядов", которые могут проявлять себя в квантовой теории поля и физике топологических солитонов25.

3. Модель идеальной спиновой цветовой жидкости

В Главе 3 построена модель идеальной спиновой цветовой жидкости как одного из возможных источников постримановой структуры пространства-времени, а именно, геометрической структуры Римана-Картана. Подобная гидродинамическая классическая модель может служить альтернативным квантовой хромодинамике описанием кварк-глюоппой плазмы, которая может образовываться на ралшей стадии эволюции Вселенной, а также в недрах коллапсирующихся звезд. При этом система взаимодействующих кварков и глюонов представляется классически как идеальная жидкость, частицы которой наделены спином и дополнительным внутренним квантовым числом - неабелевым цветовым зарядом, порождающим классическое (не квантовое) цветовое калибровочное поле Янга-Миллса.

Данная модель строится в формализме внешних форм Картана. Под пространством Римана-Картана С4 понимается связное 4-мерное ориентированное дифференцируемое многообразие Ai с метрическим тензором д индекса 1 с компонентами g¡¿t,, линейной связностью Г, 4-формой объема r¡, 2-формой кривизны 7Z% — | А вл

и 2-формой кручения Та = А 0° , Т%с = -21>ф В Í4 1-форма связности П,

совместна с метрикой: &g,j, = 0.

Элемент жидкости обладает: 1) 1-формой скорости *и = иав" = д(й, ■ • •), причем »«Ли = —77, что означает обычное условие д(и, и) = —1; 2) тензором спина Sai = фк1аьф\ 3) неабелевым цветовым зарядом Jm = ф1тф. Здесь ф - 0-форма и ф - сопряженная ей 0-форма, которые преобразуются по представлению прямого произведения группы Лоренца и цветовой группы SU(3), а Маь и 1т - генераторы соответствующих представлений этих групп. Величины, характеризующие жидкость, усреднены по элементу жидкости (элементарному 3-объему V), представляющему собой статистическую квазизамкнутую систему.

4-форма лагранжевой плотности жидкости имеет вид

С fluid = L fluid Т) = -£(п,з,ф,ф)г) + пфйф А и — xnJmF™ A *S +

+nAi(*u Л и + r¡) + пи Л dA2 + п\3и Ads + nC(ea]S) Л и .

Здесь е - плотность внутренней энергии, s - энтропия на частицу жидкости, п -концентрация, вычисленные в собственной системе отсчета. В качестве независимых переменных, описывающих динамику идеальной жидкости, рассматриваются п, s, ф, ф а и. Налагаемые на независимые переменные связи учтены при помощи неопределенных множителей Лагранжа Аь А2, А3 и С". Второе слагаемое представляет собой

кинетический член, в котором D означает операцию внешнего ковариантного дифференцирования по отношению к обеим калибровочным группам (группе Лоренца и цветовой группе SU(3)): Dij> = ¿ф+^ГаЬМаъ'ф+А,п1тф, где А"1 - 1-форма потенциала калибровочного цветового поля.

Слагаемое с константой связи х описывает возможные спиновые поляризационные хромомагнитные эффекты. Здесь Т™ обозначает 2-форму напряженности пеа-белева калибровочного цветового поля Т™ = dAm + \c^qAp /\Aq — |Л вь, где с/*, - структурные константы группы 5(7(3).

4-форма полной лагранжевой плотности источника гравитационного поля равна

Anaiier = C-Slvii + £ fie Id , -C/ieM = — Л *Tm = ——F"1ibF^V ,

где 9mn = — а а - константа связи.

Вариационная процедура основана на полученной автором мастер-формуле (Глава 2), дающей правило коммутации вариационного оператора S и оператора дуали-зации Ходжа (звездочки Ходжа) * для произвольной р-формы. Уравнение цветового поля получается варьированием ¿-matter по 1-форме потенциалов Ат и дополняется уравнением эволюции неабелева заряда:

D(a *Тт + XnJm *S) = nJmu , и Л DJm = -xcJnJpF* Л , (3.1)

где S = \SabQ" А О'1. К этим уравнениям следует добавить тождество Бианки для цветового поля: DP™ — 0.

В вариационном формализме теории возникают следующие нетеровские токи: каноническая 3-форма энергии-импульса спиновой цветовой жидкости в цветовом поле и 3-форма спина:

+§ (ШГ") (e„J *Гт)) ,

А а fi^matter 1 _ с*а

= ~wT = 2nSbU-

Здесь введены динамический импульс и эффективная энергия элемента жидкости = - («с + XubJmFmbc) ,

= еоV + XJm?™ Л * (^Sabd* Л в*) , £0 = ^ ■

Данные нетеровские токи удовлетворяют дифференциальным тождествам

£>£„ = (еа]Ть) АХЬ- (еа\К%) Л Дьс , ЯД^ = -в[а Л,

из которые выводится гидродинамическое уравнение движения (р - давление):

МАЙ(та + = - (е<,]Т') Л + и -

Л в^и - (е^Г") Л + х(е«.| У).Г" Л/т*5, (3.2)

которое представляет собой обобщение па идеальную спиновую цветовую жидкость известного гидродинамического уравнения Эйлера.

Данное гидродинамическое уравнение движения жидкости позволяет путем перехода к нулевому давлению получить уравнение движения одной частицы со спином и цветовым зарядом во внешнем неабелевом цветовом поле в пространстве С/*:

и Л 1>7га = -ШГ") Л + хШ V).?™ А Зт --^Я'ЧЛ^м-^Г^Лтгь. (3.3)

Первое слагаемое в правой части этого уравнения обобщает силу Лоренца на случай неабелева калибровочного поля. Второе слагаемое является хромомагнитным аналогом силы Штерна и Герлаха, действующей на магнитный момент в электромагнитном поле и обязанной своим происхождением дополнительной потенциальной энергии магнитного момента в магнитном поле31. Третье слагаемое в правой части уравнения представляет собой силу Матиссона, возникающую вследствие взаимодействия спина частицы с кривизной пространства, а четвертое слагаемое есть "трансляционная" сила, которая отражает взаимодействие кручения пространства с динамическим импульсом частицы и появление которой характерно для пространства {/4- Уравпепие движения жидкости следует дополнить законом изменения спина частицы, которое представим в виде

и Л ОБ,* = 2щаищт) - 25[д(хЧь]с А ТтЗт + цад) , (3.4)

и законом изменения цветового заряда частицы (3.1).

Уравнения (3.3), (3.1), (3.4) представляют собой уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом при наличии спин-хромомагнитного взаимодействия. Эти уравнения обобщают известные уравнения Вонга32 на случай цветовой группы

"Багров В.Г., Бордовицын В.А. //Изв. высш. учебн. завед. Физика. 1980. N 2. С. 67-76.

Б.К. //Киото Сип. 1970. V. 65. Р. 689-694.

i?i/(3) и учитывают наличие спина частицы, приводящее к возможному взаимодействию спина с хромомагнитной составляющей цветового поля, а также к дополнительному влиянию на движение частицы гравитационного поля, описываемого геометрией пространства Римана-Картана.

Введем в рассмотрение вектор Тамма-Паули-Любаньского спина частицы а" = f^SbcUd , <т = \jvaea, где Т]аЬЫ - компоненты антисимметричного тензора Леви-Чивита (4-формы объема rf). Для данного вектора автором получено обобщение уравнений Баргмана-Мишеля-Телегди33 и Тамма34:

и Л Da" = -ЛхП'ь Л F^Jm + Ш"ьт,) - (3.5)

Л Jmu - ^{хпи Л F" Jm + ад) --ХШЮГ" AJm*S + Л S,ju + (еь\Г ) Л ад] .

описывающее изменения вектора спина частицы с цветовым зарядом, движущейся во внешнем неабелевом цветовом неоднородном поле в пространстве Римана-Картана.

Если сравнить найденные классические уравнения движения частицы и спина с уравнениями, возникающими как предельный случай соответствующих квантовых уравнений, которые выводятся с использованием методов квантовой теории поля, то можно сделать вывод, что полученные уравнения движения в своей "главной" части (без слагаемых, содержащих градиентные по полю вклады), совпадают с уравнениями движения, выведенными на основе метода континуального интегрирования, в том числе и для струнного действия35.

Уравнение Баргмана-Мишеля-Теллегди и уравнение Лоренца движения частицы в квантовой электродинамике не содержат градиентных слагаемых благодаря процедуре их вывода для постоянных полей. Однако, при последовательном выводе классических уравнений движения частиц, а также уравнений движения для спина и изосппна из квантового уравнения Дирака с учетом внешних полей, с использованием метода В. П. Маслова и его развитии, то, как оказывается, слагаемые такого типа возникают в уравнениях движения36. Отсюда вытекает, что построенная автором модель, в которой эти слагаемые возникает на классическом уровне, позволяет продемонстрировать уже на классическом уровне нетривиальные квантовые эффекты.

"Bargman V., Michel L., Telegdi V.L. //Phys. Нет. Lett. 1959. V. 2. P. 435-436.

34Iamm I. //Z. Phys. 1929. V. 55. P. 129-138.

"Ирошшжов Г.С. //ЯФ. 1986. T. 44. G. 1554-1564.

36Белов В.В., Маслов В.П. //ДАН СССР. 1990. Т. 311. С. 849-853.

Важным обстоятельством здесь является тот факт, что жидкость Вейссенхоффа-Раабе как классическая модель жидкости отражает свойства именно вторично квантованного фермионного поля.

4. Модель идеальной спин-дилатационной жидкости

Построение модели идеальной спин-дилатационной жидкости изложено в п. 4.1 Главы 4. Каждая частица жидкости наделена кроме спина также дилатационным зарядом, связанным с вейлевской симметрией относительно группы дилатаций. Согласно гипотезе автора данный тип жидкости может быть использован при создании космологической модели темной материи (Глава 5).

Наличие в пространстве спин-дилатационной жидкости в качестве источника гравитационного поля приводит к модели пространства-времени, наделенной геометрической структурой пространства Вейля-Картана, под которым понимается пространство, наделенное 2-формами кривизны и кручения, с метрикой индекса 1, не согласованной со связностью Г1^, и удовлетворяющую условию Вейля

-ОдаЬ = Яаь = \gabQ , О. = д^Оы, = <Э»0° , (4.1)

где Оаь - 1-форма неметричности, £2 - 1-форма Вейля.

С каждым элементом жидкости связал материальный репер, реализованный в виде 1-форм 1Р (р = 1,2,3,4) и дуальных им 3-форм 1д, подчиненных условию 1Р Л — ¿¡¡г). Движение элемента жидкости подчинено условию Френкеля, выраженному на языке внешних форм в виде Зрд1рЛ*и — 0 , йу'Ли = 0. В случае спин-дилатационной жидкости спиновая переменная жидкости Вейссенхоффа обобщается и возникает новая динамическая переменная, связанная с группой Пуанкаре-Вейля и названная автором тензором дилатон-спина: = 3"я + \6Р3, = , 3 = где 3 -удельный (на одну частицу жидкости) дилатационный заряд элемента жидкости.

Мерой внутреннего движения, содержащегося в элементе жидкости, является величина обобщающая соответствующую внутреннюю переменную спиновой жидкости Вейссенхоффа: Щ,г) = благодаря которой элемент жидкости обладает внутренней кинетической энергией, описываемой 4-формой Е =

4-форма лагранжевой плотности идеальной спин-дилатационной жидкости равна

Сциы = -е(п,а,Брд,3)г} + ^пЗр1р?рг) + пиГ\<11р + пти/\(1з +п\(*и Ли + Г]) + пхя^1р Аш + «СрЗУ Л и .

Уравнения движения жидкости и уравнения изменения тензора дилатон-сшша получаются варьированием Сц^а по независимым переменным п, я, Зрд, Л, и, Iя и множителям Лагранжа А, х'> Ср> у и т, с помощью которых учитываются связи в модели. При этом 3-формы 1Р рассматриваются как функции от Iя. Как следствие получаем уравнение изменения тензора спина в пространстве Вейля-Картана:

+ сиь + £>сьисиа = 0 ,

обобщающее аналогичное уравнение для жидкости Вейссенхоффа в пространстве Римана—Картапа. Используя полученные уравнения, убеждаемся, что лагранжева плотность жидкости пропорциональна гидродинамическому давлению: Сциы — рт].

В модели возпикают следующие нетеровские токи, являющиеся источником гравитационного поля. При варьировании по базисным 1-формам ва возникает каноническая 3-форма энергии-импульса:

= ^г1 = РПа + (с + р)иаи + пд^&цъРи .

Здесь удельная плотность энергии е содержит также дополнительную энергию взаимодействия, обусловленного наличием дилатационного заряда у элемента жидкости. Метрическая 4-форма энергии-импульса возникает при варьировании по метрическому тензору даь:

= = (рдор + (е + р)и"ие + пЗ^У'иА г,.

ода,з 4 '

3-форма спин-дилатационного момента возникает следующим образом:

¿Г, = = Ъа + 1^ „ = + \ж0 .

В пространстве Вейля-Картана лагранжиан материи обладает инвариантностью относительно группы общих преобразований координат и локальной инвариантностью относительно группы Пуанкаре-Вейля, что приводит согласно теоремам Петер к существованию дифференциальных тождеств:

= (е„\Та) ЛЕ„- ШП"Р) Л Л - \{г„\<3)сг"а ,

+ Iе) л^ = в[а л' DJ = eaЛ^£c,-c

Первое из этих тождеств представляет собой закон квазисохранепия канонической 3-формы энергии-импульса и приводит к полученному автором уравнению движения

идеальной спин-дилатационной жидкости в виде обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера:

u a d{ira + zus) = ^r¡s„\dp - ^n{e + p)qa - (ё„}та) a (тгл + и -

-|(e„JК*0) Л Safiu + ^(e.jK^) A Ju .

Следствием этого уравнения является закон сохранения энергии вдоль линий тока жидкости, важный для космологических приложений модели (Глава 5):

de = dn . (4.2)

n 4

Другими следствиями являются следующие утверждения.

1) Движение пробной частицы без спина и дилатационного заряда в пространстве Вейля—Картапа CW¿ совпадает с движением этой частицы в пространстве Римана, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства CW4.

2) Движение пробной частицы со спином и дилатационным зарядом в пространстве Вейля-Картана C\Vi совпадает с движением этой частицы в пространстве Римапа-Картана, метрический тензор и тензор кручения которого совпадают с метрическим тензором и тензором кручения пространства CW4, если выполняются условия:

i) поле Вейля является замкнутой формой, dQ — 0;

ii) дилатационный заряд частицы равен нулю, J — 0.

3) Проявления нетривиальной вейлевской структуры пространства-времени (когда 1-форма Вейля Q пе замкнута) могут быть обнаружены только при помощи пробпых частиц, обладающих дилатационным зарядом.

5. Модель идеальной гипермоментной жидкости

Построение модели идеальной гипермоментной жидкости изложено в п. 4.2 Главы 4. Каждая частица такой жидкости наделена внутренней характеристикой - тензором гипермомепта: Jab = Jab + \SabJ > Jab = Sab + J(ab) , 9°ьJab = 0, частными случаями которого являются тензор спина жидкости Вейссенхоффа и тензор дилатон-спина спин-дилатационной жидкости. Модель подобной жидкости впервые предложена автором, а затем независимо другими исследователями. В качестве источника гравитационного поля данная жидкость приводит к модели пространства-времени, наделенного геометрическими свойствами общего аффинно-метрического пространства

(Li,g).

Существенной особенностью модели, построенной автором (в отличие от других моделей этого типа жидкости) является то, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор гипермомента, а только его бесследовая часть: 3РЯ1РА*и = 0, 3РЧ1Ч Ли = 0.

4-форма лагранжевой плотности жидкости имеет вид

С/1Ш — -е(п,з,Яч)т)+^пЗР1иЛ1101°+пиЛс11р + птиЛ(1э +п\(*и Аи + т)) + пх^^р А*и + пСрРд!" А и .

Уравнения движения жидкости и уравнение изменения тензора гипермомента получаются варьированием по независимым переменным п, в, Зря, и, V и множителям Лагранжа Л, V?. т< X4! Ср> с помощью которых учитываются связи, налагаемые в модели на независимые переменные. В модели возникает нетеровский ток 3-формы энергии-импульса

= ^Г2 = № + (е +рКи + пд^3%иьи ,

служащий одним из источников гравитационного поля. Другим источником является ток, связанный с тензором гипермомента.

Как следствие уравнений движения показано, что в случае, когда = 0, но 3 ф 0, то движение гипермоментной жидкости подчиняется гидродинамическому уравнению типа Эйлера:

иЛ Ь = ^т)ёа\<1р+ Л Зи ,

я

где £) - внешний ковариантный дифференциал по отношению к римановой (Леви-Чивита) 1-форме связности. Из этого уравнения при исчезающем давлении р вытекает соответствующее уравнение для движения частиц, имеющее следствие:

В пространстве (£4, д) движение материи без гипермомента совпадает с движением в пространстве Римана У4, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства (Ь^д).

Важным следствием этого утверждения является понимание того, что частицы и среды без гипермомента не подвержены влиянию возможной постримановой структуры пространства-времени и поэтому с их помощью невозможно детектировать эту структуру.

6. Некоторые следствия моделей постримановой структуры пространства-времени

Модель пространства-времени с геометрической структурой Римана-Картана Щ характеризуется наряду с кривизной также кручением. В формализме внешних форм в пространстве í/4 общий квадратичный лагранжиан гравитационного поля строится как сумма линейного лагранжиана Эйнштейна-Картана и всех членов, квадратичных по неприводимым компонентам кривизны и кручения, в следующем виде37:

6 (0 (0 3 (О а) С = foRfß Аг\£ + ¿Ai Kaß Л * nj + ¿X< Та А * Т„ . (6.1)

>=1 >=1

Здесь /0 = 1/(2ав) (ж = 8jtG/c4), a A¡, xi - константы взаимодействия. Индекс (г) пробегает по всем неприводимым (относительно группы Лоренца) компонентам 2-формы кривизны и 2-формы кручепия.

В п. 5.1 Главы 5 исследуются условия существования плоских волн кручения в модели с лагранжиапом (6.1). Основные результаты состоят в доказательстве следующих утверждений.

Лемма 5.1. Плоская волна кручения имеет следующую структуру 2-формы кручения: след и псевдослед равны пулю, бесследовая часть зависит от двух произвольных функций t и s запаздывающего аргумепта и и имеет вид: 'р0 = t(u)el А в2 + s(u)в1 А в\

Теорема 5.1. Уравнения поля теории гравитации с квадратичным лагранжианом (6.1), для которого /о 0, допускают решение в виде плоских

волн метрики и кручения в пространстве Uiy если и только если

я R

а) метрика пространства Щ подчиняется уравнению 1Ьф= 0, где Haß -тензор Риччи связности пространства Римана;

б) выполняется условие /о + Xi = 0 на константы исходного лагранжиана (6.1), в противном случае тензор кручения плоской волны равен нулю.

Проведение возникающих при доказательстве громоздких вычислений существенно упрощалось при использовании системы GRG38, позволяющей производить символьные вычисления в формализме внешних форм в пространстве Римана-Картана.

"Hehl F. W., MeCrea J. L., Mielke E. W. and Neéman Yu. //Phys. Rcp. 1995. V. 258. P. 1-171.

38Zhytnikov V.V. GRG: Computer Algebra System for Differential Geometry, Gravitation алс! Field Theory. Version 3.1. Moscow, 1992.108 p.

В п. 5.2 Главы 5 рассматривается предложенная автором модель эволюции Все-лспной со спин-дилатационной темной материей. Для этого в п. 5.2.1 исследуются Г-и б-уравнения модели гравитационных взаимодействий, порождаемой заполняющей пространство спин-дилатационной жидкостью (см. Главу 2). В Г-уравнении выделяется симметричная и антисимметричная части, причем антисимметричная часть после разложения 2-формы кручения на неприводимые компоненты сводится к следующим уравнениям.

Для 1-формы следа кручения Т получаем связь с 1-формой Вейля:

2(1-а + 2й)

1-форма псевдоследа V связана с 1-формой спина Паули-Любаньского о\

(1 - 4в1 - 4й - 12Оз)Т = аепст . Для 2-формы бесследовой части кручения получаем уравнение:

а —

asn (s^iiyö3 Лв7 + \vßVß<^ •

Полученные уравнения показывают, что если спин источника гравитационного поля равен нулю, то из всех неприводимых частей кручения в пространстве Вейля-Картана отличен от нуля только след кручения.

Свертка симметричной части Г-уравнения приводит к волновому уравнению для 1-формы Вейля:

*d*dQ + m4!Q = — nJ *и , т* =* 16-+ ,-V .-,

2Л А 4Л(1 — Qi + 2ß2)

которое показьгвает, что поле Вейля Q, в отличие от поля Максвелла, обладает ненулевой массой покоя а имеет короткодействующую природу.

Симметричная часть Г-уравнения позволяет вычислить неопределенные множители Лагранжа А^, которые в общем случае не обращаются в нуль как следствие уравнений поля. Отсюда из общих положений вариационного исчисления вытекает, что модели пространства-времени будут различны в случаях, если налагать условие Вейля на неметричность до получения вариационных уравнений поля (то есть первоначально исходить из пространства Вейля-Картана) или если первоначально исходить из геометрической структуры общего аффинно-метрического пространства и только затем уже после варьирования налагать условие Вейля, как это обычно принято. Автор придерживается точки зрения, что геометрическая структура

Вейля-Картана является фундаментальной и условие Вейля должно накладываться на структуру модели пространства-врсмепи первоначально.

В п. 5.2.2 исследуется 0-уравпение в однородном и изотропном пространстве с метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ) с масштабным фактором a(i). В этом случае единственной неисчезающей компонентой 1-формы следа кручения будет Т4 = Ti{t). Тогда на основе выполнения уравнений поля показывается, что тензор спина жидкости с необходимостью должен быть равен нулю и жидкость из спин-дилата-ционной становится дилатационпой жидкостью. Кроме того, в случае метрики ФРУ для 1-формы Вейля будет выполняться равенство dQ = 0.

Разлагая 0-уравнение на риманову и постримапову части, представляем его в виде эффективного уравнения Эйнштейна в пространстве Римана:

Rep -\з<>р Я= аз((е0 + ре)"<т"р + ре9„Р) , (6.2)

r я

где Rap, R есть, соответственно, тензор Риччи, скалярная кривизна пространства Римана, ее и ре- плотность энергии и давление эффективной идеальной жидкости:

(„\2 /п\2 { JN \ 2

где ет = Л/ее и pv = —Л/ае - плотность энергии и давление вакуума с уравнением состояния ev = —pv > 0.

В остальной части п. 5.2 строится однородная и изотропная космологическая модель эволюции Вселенной, заполненной темной материей, моделируемой идеальной дилатационной жидкостью с уравнением состояния р = js, 0 < 7 < 1. В основе модели лежит вытекающее из (6.2) обобщенное уравнение Фридмана-Леметра (ФЛ)

бет)")- «">

Для метрики ФРУ интегрирование закона сохранения энергии (4.2) дает е a3'l+7' = £7 = const, £j > 0. Кроме того, полагаем к — 0 в соответствии с современными наблюдательными данными, которые показывают, что Вселепная пространственно плоская в космологических масштабах. Тогда уравнение ФЛ и еще одна компонента уравнения (6.2) будут иметь вид

I = (ее + Зре) = ~ (eva6 - |(1 + + 2s) . (6.5)

Из этих уравнений видно, что влияние дилатационной темной материи наиболее существенно на ранней стадии развития вселенной. В случае а « 1, 0 < 7 < 1 существует экстремум, соответствующий минимуму a(t),

/ааэ ( JN

00 "Щ) '

так как в этом случае вследствие (6.5) имеем:

/а\ аз/ 3(1 — 7) £ \ „

Точки перегиба функции a(t) определяются из (6.5), решая уравнение ä = 0. Дапное уравнение имеет два корня: один из них ai очень мал по величине, а второй а2 имеет большую величину. Их значение равны

01 VTTStJ > '»"(Н^гЧ •

Следовательно, существует две точки перегиба функции a(t). В силу 7 < 1, первая точка перегиба имеет место вблизи минимума ао масштабного фактора. Затем вплоть до второй точки перегиба 02 имеем а < 0, что соответствует расширению с замедлением, которое происходит до конца фридмановской стадии. Точка перегиба аз соответствует концу стадии Фридмана, когда фридмановское расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением. Это означает начало стадии второй инфляции, что соответствует современным наблюдательным данным.

Для второй точки перегиба получаем условие: е = ev/(l + З7). Для нерелятивистской холодной материи (7 = 2/3) это условие приводит к соотношениям:

п 2 о о _ е о _ £v зя2

"ata — I S'cdm — - > "Л--. Stot — „ •

о Stot Etot о7ГСг

что находится на границе современных наблюдательных данных,

ПЛ = 0.66 ± 0.06 , ncdmfto = 0-17 ±0.02, (6.6)

при Но — 100 Ло = 65 ктп s"1 Мрс~г. Тем самым предсказывается, что темная материя в современную эпоху является холодной и нерелятивистской, что также соответствует современным данным39.

39Spergel D. N-, Steinhardt Р. J. 2000. Phys. Rev. Lett. V. 84. Р. 3760-3763 (astro-ph/9909386).

Согласно построенной модели эволюция Вселенной начинается со стадии сверхжесткого состояния темной материи с уравнением состояния р = fe, 7 = 1. В этом случае уравнение ФЛ имеет вид

и может быть точно проинтегрировано с решением

а = amin(coshV3Ai)V3 , ^ = ^ - .

Данное решение описывают инфляционную стадию расширения Вселенной. Таким образом, также и для случая 7=1 существует минимальное значение масштабного фактора. Отметим, что сверхжесткое уравнение состояния Д1я источника гравитационного поля возникает в некоторых моделях инфляции, например, в киральной нелинейной сигма модели, развиваемой C.B. Червопом40.

На радиационно доминантной стадии при 7 = 1/3 выполняется еа4 = £г/3 и уравнение ФЛ имеет вид

V 3 а2 \ £v £v/ В предельном случае t —> 0, а —» атi данное уравнение имеет решение

Здесь в случае о < 1, когда £ <С £\/г, предельное значение масштабного фактора равно

/ £ \1/2 "-"та; <<г-

Данное решение демонстрирует правильное поведепис а ~ \Д па фридмановской эре преобладания излучения при малых временах.

Для эры преобладания вещества стадии Фридмана (при 7 = 2/3) также пайдепо решение, проинтегрированное в предельных случаях. Построена более реалистичная модель эволюции Вселенной с гладкой функцией

3(ехр(г1(а1 - а)) + 1) З(ехр(г3(а3 - а)) + 1) '

"Chervon S.V. //Гравитация и космология (Gravit, fc Cosmol.). 1095. V. 1. P. 1-6.

где <11, аз — значения масштабного фактора, соответственно, в конце стадии инфляции и в конце эры преобладания излучения стадии Фридмана, а Гх, Гз определяют гладкость и крутизну изменения функции. Для этой функции плотность энергии темной материи может быть представлена в виде

Для данной модели с помощью численного интегрирования получены графики зависимости от масштабного фактора полной плотности темной материи и скорости расширения вселенной в модели, а также график зависимости масштабного фактора от времени, который качественно правильно отражает современные представления об эволюции Вселенной, а именно, наличие двух точек перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует выходу из стадии инфляции на стадию Фридмана, а вторая соответствует началу стадии расширения с ускорением. Алгоритм численного интегрирования приведен в Приложении В.

1. Построена калибровочная модель пространства-времени со структурой Вейля-Картана с процедурой локализации относительно группы Пуанкаре-Вейля и с тетрадными коэффициентами, зависящими от калибровочных полей подгрупп трансляций, Лоренца и дилатаций.

2. Для нелинейных лагранжианов в пространстве Вейля-Картана развит вариационный формализм первого порядка в тетрадной теории гравитации, а также в формализме внешних форм. Доказана лемма и выведена формула, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа.

3. Получено условие существования плоских волн кручения в модели гравитационного взаимодействия с произвольными квадратичными лагранжианами, заключающееся в наличии дополнительного ограничения на константы квадратичного лагранжиана, физический смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части кручения должны иметь нулевую массу покоя.

4. Доказано существование в пространстве Вейля-Картана топологического инварианта типа Эйлера и возможность представления формы Эйлера в этом пространстве как внешнего дифференциала от выражения типа Черна-Саймонса.

ВЫВОДЫ

5. Построена релятивистская вариационная модель идеальной спиновой цветовой жидкости, взаимодействующей с неабелевым цветовым нолем Янга-Миллса в пространстве Римана-Картана. На основе этой модели получены тензор энергии-импульса цветовой жидкости и классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга на случай цветовой группы 31/(3) и учитывающие наличие спина частицы. Получепо также уравпснис измспепия вектора спина частицы, обобщающее уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди. Проведена классификация сил, действующих на частицу в кварк-глюоппой плазме.

6. Построена модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картапа, получен тензор энергии-импульса подобной жидкости и гидродинамическое уравнение движения типа Эйлера. Доказано, что тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры.

7. Построена модель и предложено действие идеальной гипермоментной жидкости с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента. Доказано, что движение гипермоментной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомепта совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана.

8. Предложена модель темной материи в виде спин-дилатационной жидкости. В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью, построена несингулярная модель однородной и изотропной вселенной с космологической постоянной, в рамках которой получено обобщенное уравнение Фридмана-Леметра и найдены его решения для различных уравнений состояния материи.

9. Найдено несингулярное решение полученного обобщенного уравнения Фридмана-Леметра, указывающее на существование максимальной плотности вещества в начальный момент развития вселенной. Найдено решение типа инфляции для начального сверхжесткого уравнения состояния материи. Установлено существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует выходу из стадии инфляции на стадию Фридмана, а вторая соответствует началу стадии расширения с ускорением.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Багров В. Г., Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Фролов Б. Н. Движение цветной частицы со спином в неабелевых калибровочных полях в пространстве Римана-Картана //Препринт N 33 Томского филиала СО АН СССР. - Томск: 1988. -28 с.

2. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Гравитация и фундаментальные взаимодействия.- М.: УДН, 1988. - С. 119.

3. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной спиновой жидкости в пространстве Римана-Картана //Изв. ВУЗов. Физика. -1989. - N 10. - С. 101-105.

4. Baburova О. V., Frolov В. N. Он The Variational Theory Of The Perfect Spinning Fluid With Non-Abelian Colour In A Riemann-Cartan Space-Time //Mahavisva (Journal of the Indian Astron. Society). - 1991. - V. 4. - N. 1&2. - P. 55-57.

5. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Движение материи в аффинно-метрической теории гравитации //Изв. ВУЗов. Физика. - 1994. - N 1. - С. 76-82.

6. Babourova О, V., Erolov В. N. Gauss-Bonnet Type Identity in Weyl-Cartan Space //Intern. J. of Mod. Phys. A. - 1997. - V. 12. - P. 3665-3668 (gr-qc/9609004).

7. Babourova О. V. and Erolov B. N. Pontryagin, Euler forms and Chern-Simons terms in Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A - 1997. - V. 17. - P. 1267-1274 (gr-qc/9609005).

8. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Модель идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом //Докл. Акад. наук. - 1997. - Т. 357. - С. 183-186.

9. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Идеальпая спиновая жидкость с внутренним цветовым зарядом //Ядерная физ. - 1998. -Т. 61. - С. 888-893.

10. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Частица со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана //Ядерная физ. - 1998. - Т. 61. - С. 2289-2293.

11. Бабурова О. В., Климова Е. А., Фролов Б. Н. Плоские волны кручения в квадратичных теориях гравитации //Известия ВУЗов. Физика. -1998. - N 6. - С. 112-114.

12. Babourova О. V., Frolov В. N. The variational theory of the perfect dilaton-spin fluid in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A. - 1998. - V. 12. - P. 2943-2950 (gr-qc/9708006).

13. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect fluid and test particle with spin and dilatonic charge in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A. - 1998. - V. 13. - P. 7-13 (gr-qc/9708009).

14. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect hypermomentum fluid: Variational theory and equations of motion //Intern. J. Mod. Phys. - 1998. - V. 13. -P. 5391-5407 (gr-qc/0405124).

15. Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories //Class. Quantum Grav. - 1999. - V. 16. - P. 1149-1162 (gr-qc/9805005).

16. Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Идеальная дилатон-спиновая жидкость как источник неримановой космологии //Гравитация и космология (Gravit. к. Cosmol.).

- 1999. - V. 5. - N. 4 (20) - Р.65-72.

17. Babourova О. V., Frolov В. N. Colour-spin, dilaton-spin and hypermomentum perfect fluids as the sources of non-Riemannian cosmologies //Nucl. Phys. В Suppl. - 2000.

- V. 80. 04/01. - P. 1-9.

18. Baburova О. V., Frolov B. N., Color-spin and dilaton-spin perfect fluids as the sources of post-Riemannian spacetime //Proceedings of the XXV International Workshop on Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, 25-28 June. - Protvino: 2002. - P. 282-292.

19. Babourova О. V., Frolov B. N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe //Гравитация и космология (Gravit. к. Cosmol.). - 2003. - V. 9. - N 1 (33). - P. 15-19.

20. Babourova О. V. Model of the universe evolution from inflation stage up to postfriedmann era //Proceedings of the XXVI Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, July 2-4, 2003. - Protvino: 2003.

- P. 34-51.

21. Babourova О. V., Frolov B. N. Matter with dilaton charge in Weil- Cartan spacetime and evolution of the Universe //Class. Quantum Grav. - 2003. -V. 20. - P. 14231442 (gr-qc/0209077).

22. Babourova О. V. Modified Friedmann-Lemetre equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space //Гравитация и космология (Gravit. fc Cosraol.). - 2004. -V. 10. - N 1-2 (37-38). - P. 121-126 (gr-qc/0507104).

23. Babourova О. V., Frolov B. N., Portnov Ju. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime //Гравитация и космология (Gravit. fc Cosmol.). - 2005. - V. 11. - N 4 (44). - P. 310-312.

24. Babourova О. V. Quark-gluon plasma as perfect spin fluid with a color charge in a color field in Riemann-Cartan space //Proceedings of the XVIIIth International Workshop on the Quantum Field Theory and High Energy Physics, Saint-Petersburg, 17-23 June, 2004 (eds. M. Dubinin, V. Savrin). - Moscow: Izd. ООО "МАКС press",

2005. - P. 310-316.

25. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Применение системы MATHEMATICA для тензорных вычислений в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. - М.: ГНО Изд-во "Прометей" МПГУ,

2006. - С. 220-222.

26. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Расширение пакета символьных вычислений CARTAN для модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана //В сб.: Некоторые вопросы математики, информатики и методики преподавания. - М.: МПГУ, 2006. - С. 220-222.

к исполнению 02/05/2006 Исполнено 02/05/2006

Заказ №360 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ВЕЙЛЯ-КАРТАНА НА ОСНОВЕ КАЛИБРОВОЧНОГО ПРИНЦИПА

1.1. Группа Пуанкаре-Вейля.

1.2. Теорема Нетер для группы Пуанкаре-Вейля.

1.3. Принцип локальной инвариантности.

1.4. Структура лагранжиана взаимодействия с калибровочным полем

1.5. Лагранжиан свободного калибровочного поля.

Уравнения калибровочного поля.

1.6. Взаимодействие калибровочных полей.

1.7. Геометрическая интерпретация.

1.8. Лагранжиан гравитационного поля

2. ВАРИАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ПОСТРИМАНО-ВЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ (ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ФОРМАЛИЗМ ВНЕШНИХ ФОРМ) 59 2.1. Вариационный тетрадный формализм в пространстве Ь(д, Г) для общего квадратичного лагранжиана

2.2. Дифференциальные тождества для вариационных производных в аффинно-тетрадном вариационном формализме

2.3. Вариационный тетрадный формализм и уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана.

2.4. Вариационный метрический формализм и тождество Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана.

2.5. Формализм внешних форм в постримановых пространствах

2.6. Лемма вариационного исчисления в формализме внешних форм.

2.7. Вариационный формализм на языке внешних форм в пространстве Римана-Картана.

2.8. Уравнения гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних форм в пространстве Вейля-Картана.

2.9. Инварианты Понтрягина и Эйлера, члены Черна-Саймонса в пространстве Вейля-Картана.

3. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ СПИНОВОЙ ЦВЕТОВОЙ

ЖИДКОСТИ

3.1. Лагранжева плотность цветовой жидкости.

3.2. Уравнения движения цветовой жидкости.

3.3. Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса цветовой жидкости.

3.4. Гидродинамическое уравнение Эйлера для спиновой цветовой жидкости.

3.5. Уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана

3.6. Обобщенное уравнение движения вектора спина частицы в цветовом поле в пространстве Римана-Картана

4. МОДЕЛИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕМЕТ

РИЧНОСТИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

4.1. Модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана.

4.1.1. Динамические переменные и связи.

4.1.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости

4.1.3. Законы движения тензора спина и дилатационного заряда.

4.1.4. Тензор энергии-импульса идеальной спин-дилатационной жидкости.

4.1.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера.

4.1.6. Движение частиц в пространстве Вейля-Картана

4.2. Модель идеальной гипермоментной жидкости

4.2.1. Динамические переменные и связи.

4.2.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости

4.2.3. Закон изменения тензора гипермомента.

4.2.4. Токи гипермоментной жидкости как источники по-стриманова пространства-времени.

4.2.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера для гипермоментной жидкости.

4.2.6. Особые случаи движения гипермоментной жидкости

5. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ МОДЕЛИ ПОСТРИМА-НОВОЙ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

5.1. Плоские волны кручения в пространстве Римана-Картана

5.2. Модель эволюции Вселенной со спин-дилатационной темной материей.

5.2.1. Анализ Г-уравнения гравитационного поля.

5.2.2. 0-у равнение поля в однородной и изотропной космологии и обобщенное уравнение Фридмана-Леметра

5.2.3. Общие свойства эволюции вселенной с дилатационной материей.

5.2.4. Решения обобщенного уравнения Фридмана-Леметра на различных стадиях эволюции вселенной.

5.2.5. Моделирование перехода от стадии инфляции к фридмановской стадии эволюции вселенной.

Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна [1]-[5] фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели [6]-[9], достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной,

Однако, современные достижения наблюдательной космологии [10]-[16] привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность барион-ной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в два раза по плотности положительной энергией вакуума определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридма-новская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.

Решение этих новых проблем многие авторы видят в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой: пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметрич-ностью, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностыо вейлевского типа. В космологических теориях, развитых в пространстве Римана-Картана [17]-[23], решается проблема начальной космологической сингулярности либо за счет использования источника в виде идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе [17], [18] (по поводу жидкости Вейссенхоффа-Раабе см. [24], [25]), либо за счет вкладов от квадратичных лагранжианов [20], либо за счет учета квантовых добавок в эффективное действие [26]. В других работах проводилось построение космологии в пространстве Вейля-Картана и в общем аффинно-метрическом пространстве [2 7]-[39]. Во всех указанных работах в качестве источников гравитационного поля фигурирует материя с обычными свойствами, как правило, обычная идеальная жидкость или идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе. В работах [40], [41] использовалась конформная теория гравитации для объяснения ряда современных наблюдательных данных. Появилось целое направление, названное "нериманова космология" [42], которое автор предпочитает называть "постриманова космология".

Вместе с тем, причиной возможных отклонений от римановой структуры и появления постримановых свойств у пространства-времени могут служить материальные среды, обобщающие обычную идеальную жидкость и идеальную жидкость Вейссенхоффа-Раабе на наличие более сложных внутренних степеней свободы. К ним относятся построенные автором модели идеальных сред с внутренними степенями свободы, обобщающие идеальную спиновую жидкость Вейссенхоффа-Раабе: модель релятивистской идеальной цветовой жидкости с учетом спин-цветового взаимодействия [43]-[48]1, каждая частица которой обладает спином и неабелевым цветовым зарядом (Глава 3), модель идеальной спин-дилатационной жидкости [50], [51], частицы которой наделены спином и дилатационным зарядом (Глава 4), модель идеальной гипермо-ментной жидкости (Глава 4) [52]—[56], [58]—[62], [64], [65], [67] (предложенная позднее также другими авторами [57], [63] и [66]), частицы которой наделены внутренним гипермоментом.

Вместе с некоторыми другими исследователями [70]-[72], автор развивает в работах [73]-[81] точку зрения о том, что возможные отклонения от римановой структуры и появление постримановых свойств у пространства-времени, в частности, возникновение постримановой космологии, должны быть обусловлены существованием материи с указанными выше внутренними степенями свободы, которая заполняет пространство-время, генерирует его структуру и взаимодействует с этой структурой. В качестве такой материи В.Г. Кречетом и В.Н. Мельниковым [68] и В.Г. Кречетом [69] была рассмотрена идеальная жидкость с параметрами, обладающими трансформационными свойствами относительно прямого произведения группы Лоренца и группы дилатаций. Подобная жидкость вводит в пространстве Вейля дилатационное поле, источником которого служит величина £+ р. В [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в общем аффш-шо-метрическом пространстве, а в [71], [72] рассматривалась идеальная бесспомощью подчеркивания обозначена литература, принадлежащая автору пиновая жидкость, частицы которой наделены связанным с масштабной симметрией "зарядом Прока". Автором предложено в качестве источников постримановых свойств пространства-времени рассматривать идеальную спин-дилатационную жидкость [73]-[81]. Также для этой цели автором наряду с другими исследователями [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в аффинно-метрическом пространстве.

Взаимодействие указанных моделей жидкостей с геометрией пространства-времени таково, что при наличии идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом возникает модель пространства-времени с постримановой структурой Римана-Картана, идеальная спин-дилатациогшая жидкость приводит к постримановой модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана, в то время как идеальная гипермоментная жидкость приводит к постримановой модели общего аффинно-метрического пространства.

В Главе 1 свойства геометрии Вейля-Картана обосновываются, исходя из идей калибровочной теория поля. Как показано в целом ряде работ [96]—[122], [90]—[92] требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с естественными физическими требованиями позволяет построить содержательную физическую теорию поля в ее классическом аспекте. Интерес к калибровочной трактовке гравитационного взаимодействия не ослабевает вплоть до настоящего времени [123]—[135]. В Главе 1 на основании общих принципов теории калибровочных полей [91| развивается калибровочная теория поля, ковариантная относительно группы Пуанкаре-Вейля [132], [135]. Рассмотрение этой группы связано с тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной масштабной инвариантности теории, которая в математическом смысле эквивалентна требованию инвариантности относительно группы Вейля растяжений (дила-таций) пространства. В связи с этим целесообразно рассматривать расширение группы симметрий теории поля от группы Пуанкаре до группы Пуанкаре-Вейля.

Процедура локализации состоит в следующем. Рассмотрим интеграл действия системы спинорных полей, инвариантный относительно группы Пуанкаре-Вейля с постоянными параметрами, и потребуем, чтобы этот интеграл действия стал локально калибровочно инвариантным по отношению к группе Пуанкаре-Вейля, то есть инвариантным относительно действия этой группы с параметрами, являющимися произвольными функциями точек пространства-времени. Тогда на основании использования I и П теорем Нетер можно определить, как должна видоизмениться лагранжева плотность и физическая теория поля в целом, чтобы калибровочная инвариантность имела место. Калибровочное поле, соответствующее подгруппе Вейля (подгруппе дилатаций), названо дилатацион-ным полем. Это поле описывается вектором Вейля. Его напряженность представляет собой тензор сегментарной кривизны, который появляется в теории наряду с тензором кривизны и тензором кручения. Источником дилатационного поля является дилатационный ток внешних полей.

Результатом построенной теории является обнаружение структуры тетрадных коэффициентов, а именно того, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующее локализованной подгруппе трансляций (^поле), локализованной подгруппе Лоренца (г-поле) и локализованной подгруппе дилатаций (с1-поле). Этот результат может быть полезен при построении квантовой теории гравитационного поля. Показано, что геометрической основой гравитационного поля должно являтьи ся постриманово пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа. Выяснена общая структура лагранжиана гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана и получены соответствующие уравнения гравитационного поля. Особенность данного лагранжиана состоит в том, что при сохранении калибровочной инвариантности он допускает наличие ненулевой массы у вектора немет-ричности Вей ля, а тем самым и у дилатационного калибровочного поля. Это обстоятельство говорит о том, что калибровочное поле, вводимое при локализации группы дилатации, не является электромагнитным полем (в отличии от первоначальной идеи Вейля), а полем другой природы, на что указывалось в работах [136]—[138]. Наличие массы у поля Вейля может сыграть роль в интерпретации современных наблюдательных данных на основе использования постримановых космологических моделей (см. Главу 5). Некоторые слагаемые в данном лагранжиане имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут играть определенную роль при спонтанном нарушении дилатационной инвариантности и образовании масс частиц [95], [139].

Один из фундаментальных методов построения математических моделей состоит в использовании вариационных принципов, адекватных изучаемым моделям [140]. Вариационные методы находят широкое применение для решения различных задач математического моделирования (см., например, [141]—[143]). Построение моделей гравитационного взаимодействия в пространстве-времени с постримановыми геометрическими свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных формализмов. Если вариационный формализм в пространстве Римана-Картана (см. [87]—[91] и цитируемую там литературу), а также в общем аффинно-метрическом пространстве [93]-[95] достаточно хорошо развиты, то построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана до последнего времени не уделялось достаточного внимания. Уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана как правило получались как частный случай уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на неметричность условия Вей ля. Однако, полученные таким способом уравнения в общем случае не совпадают с вариационными уравнениями, получаемыми при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, если предположить, как это полагает автор, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус вне всякой зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. Поэтому в диссертационной работе значительное внимание уделено развитию вариационного формализма именно в пространстве Вейля-Картана (Глава 2).

В Главе 2 развиваются вариационные методы получения уравнений поля (тетрадный формализм и формализм внешних форм) в теории гравитации с квадратичными лагранжианами в вариационном формализме первого порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные переменные (обобщенный формализм Пала-тини, см. [144]—[153]). Теории гравитации, основанная на учете в формализме первого порядка кроме линейного по кривизне также и лагранжианов квадратичных по кривизне, кручению (в пространстве Римана-Картана) и неметричности (в общем аффинно-метрическом пространстве), в последнее время получили значительное развитие. При этом в пуанкаре-калибровочная теория гравитации (ПКТГ), в основе которой лежит группа Пуанкаре, используются не только линейные по кривизне, но также квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы [101],

103], [154]—[206] (см. также [114], [95], [91] и цитируемую там литературу). Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитации стимулируется попытками построения перенормируемой теории в пространстве Римана-Картана [188], [200]. Большинство квадратичных теорий гравитации основываются на лагранжианах, которые являются частным случаем 10-параметрического лагранжиана, впервые предложенного в [103].

Теории гравитации, построенные на основе вариационного формализма первого порядка, отличается от гравитационных теорий с квадратичными лагранжианами, развиваемых в пространстве Римана в формализме второго порядка. Эти последние теории предлагались в работах Вейля [96], Эддингтона [207], Ланцоша [208] и других авторов [209]—[224] и в настоящее время связаны с попытками решения проблемы инфляции, построения перенормируемой и унитарной теории гравитации, а также попытками устранения сингулярностей за счет учета квантовых флук-туаций. Все эти теории строятся в пространстве Римана, и в них используется вариационная процедура, приводящая к уравнениям поля, содержим производные от метрики выше второго порядка.

В диссертации производится сравнение двух способов варьирования в формализме первого порядка. В первом из них в качестве потенциалов гравитационного поля рассматриваются тетрады, а во втором способе - базисные один-формы. В качестве обобщенной связности рассматриваются три типа связности: связность Римана-Картана с кручением, связность Вейля-Картана и связность общего аффинно-метрического пространства. В п. 2.1 и 2.2 развит аффинно-тетрадный вариационный формализм в общем аффиино-метрическом пространстве [226], а в п. 2.3 развит тетрадный вариационный формализм в пространстве Вейля

Картана и получены соответствующие уравнения поля [225], [227].

Для проверки правильности полученных достаточно сложных выражений вариационных уравнений были использованы как аналитические методы, связанные с проверкой выполнения дифференциальных тождеств для каждого слагаемого в лагранжиане, так и система символьных вычислений СА1ЖШ [228], модифицированная и доработанная автором с той целью, чтобы с ее помощью можно было производить вычисления в пространстве Вейля-Картана [229], [230]. Для этой цели к системе CARTAN с использованием методов функционального и процедурного программирования добавлен большой набор новых функций и переменных, позволяющих вычислять связность, тензор кривизны, тензор Рич-чи и другие геометрические величины в пространстве Вейля-Картана как в координатном, так и в неголономном ортогональном базисах. Сама исходная система СА1ВДШ позволяет использовать вычислительную систему Ма^ета^са для символьных вычислений тензорной алгебры только в пространстве Римана-Картана. Отметим, что методы компьютерной алгебры находят самое широкое применение при решении разнообразных задач математической физики и математического программирования, см. [231], обзор [232] и цитируемую в нем обширную литературу. Краткое описание модифицированной системы CARTAN и пример ее использования приведен в Приложении А.

В п. 2.4 рассмотрен аффинно-метрический вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана и на его основе доказана обобщенная теорема Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана. Ранее было известно, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Римана (так называемое тождество Ланцоша [208]) и в пространстве Римана-Картана [181], но не выполняется в общем аффинно-метрическом пространстве

238]. Автором было доказано [235, 236], что данная теорема выполняется также и в пространстве Вейля-Картана.

Излагается развитый автором [234], [79] вариационный метод получения уравнений гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних дифференциальных форм, основанный на доказанной лемме, определяющей правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа. С помощью развитого формализма в пространстве Вейля-Картана автором проведено еще одно доказательство [237] обобщенной теоремы Гаусса-Бонне, основанное на доказательстве существования в указанном пространстве топологической формы типа Эйлера. Кроме того, доказано также, что данная форма в пространстве Вейля-Картана может быть представлена как внешний дифференциал от выражения типа Черна-Саймонса. Данные результаты могут найти свое применение при анализе топологических проблем в теории поля, в частности, при исследовании вопроса о существовании топологических солитонов [233] в пространстве Вейля-Картана.

Другим фундаментальным методом построения математических моделей является использование аналогий между изучаемым объектом и другим объектом, законы поведения которого до определенной степени изучены. В Главе 3 развивается с использованием вариационных методов развитая автором [43], [45]—[49] гидродинамическая аналогия между системой взаимодействующих кварков и глюонов (кварк-глюонной плазмой) и идеальной цветовой жидкостью, каждая частица которой обладает спиновым моментом и неабелевым цветовым зарядом. Данный тип жидкости представляет собой объединение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе и идеальной жидкости с неабелевым цветовым зарядом, нерелятивистская теория которой была построена в работах Балачандрана и других [239]—[241]. В релятивистской теории подобный источник гравитационного поля порождает геометрию Римана-Картана. Начатый первоначально Аморимом [242] релятивистский вариант данной модели был обобщен автором с целью учета спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римана Картана. Позднее модель цветовой жидкости строилась в работах Шоке-Брюа [243], [244], а сравнительно недавно Джакивом с соавторами [245].

Данный тип среды возникает при гидродинамическом подходе к системе взаимодействующих кварков и глюонов, которая апроксимиру-ется классическим образом как идеальная жидкость с внутренними степенями свободы. Автором разработана вариационная модель данного типа жидкости с учетом дополнительного взаимодействия спин-хромомагнитное поле. В теории явно учитывается пространственнопо-добная природа спина, используя условие Френкеля [246]. Теория развивается на основе формализма внешних форм. Строится лагранжева плотность жидкости, выводятся уравнения цветового поля в пространстве Римана-Картана, находится тензор энергии-импульса жидкости. Важность получения правильного выражения для тензора энергии-импульса идеальной спиновой жидкости с цветовым зарядом связано также с тем, что знание этого выражения позволяет из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана-Картана вывести гидродинамическое уравнение типа Эйлера движения спиновой жидкости с цветовым зарядом в неабелевом цветовом калибровочном поле и находящейся в пространстве Римана-Картана. Гравитационное поле порождается тензорами энергии-импульса и спинового момента, а цветовое поле порождается током цветового заряда частиц жидкости, поэтому задача является самосогласованной.

На основании найденного уравнения типа Эйлера выводятся обобщенное уравнение эволюции спина типа Баргмана-Мишеля-Телегди [247]-[249] в пространстве Римана-Картана, а также обобщенное уравнение типа Вонга [250]—[258] движения частицы со спином и цветовым зарядом.

Построенная в Главе 3 модель позволяет сделать вывод о том, что на частицу в кварк-глюонной плазме действуют силы четырех типов: обобщенная на цветовое поле сила Лоренца, порождаемая неабелевым цветовым зарядом; обобщенная на цветовое поле сила типа Штерна и Герлаха, градиентная по напряженности цветового поля; сила Матиссона, отражающая взаимодействие спина частицы с кривизной пространства-времени; и сила "трансляционного" типа, отражающая взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени. Интересно, что такого типа силы возникают в современной калибровочной теории дисклинаций и дислокаций [259], [260], в которой калибровочные группы вращений и трансляций используются для описания дефектов кристаллов. Построенная теория нашла свое дальнейшее применение в работах A.C. Вшивцева и В.Е. Фортова с сотрудниками [261], [262] при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы деконфаймен-та, на основании которой было проведено обобщение гидродинамической модели Ландау множественного рождения адронов [263], явным образом учитывающей структуру вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков [264].

В Главе 4 излагается построенная в работах автора [50], [50] вариационная модель идеальной спин-дилатационной жидкости, частицы которой наделены кроме спина также дилатационным зарядом. Понятие дилатационного заряда по отношению к группе дилатаций имеет тот же смысл, что и введенное ранее в работах Такера [72] понятие "вейлевского заряда" по отношению к группе масштабных преобразований. Показывается, что данный тип материи будет порождать в пространстве-времени геометрическую структуру Вейля-Картана и взаимодействовать с этой структурой.

В модели спин-дилатационной жидкости возникает новая динамическая величина - тензор дилатон-спина частиц жидкости, которая обобщает тензор спина жидкости Вейссенхоффа-Раабе. Существенным при построении теории оказывается то обстоятельство, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор дилатон-спина, а только его составляющая - тензор спина. Устанавливается лагранжева плотность теории и определяются вариационные уравнения движения жидкости, а также уравнение эволюции тензора дилатон-спина, которое содержит в себе закон сохранения дилатационного заряда. Затем находятся материальные токи спин-дилатационной жидкости (каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса, 3-форма дилатон-спинового момента), которые являются источниками гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Данные выражения затем используются для вывода из тождеств теоремы Нетер обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера для спин-дилатационной жидкости. В предельном случае исчезающего давления жидкости (уравнения состояния пыли) это последнее уравнение переходит в уравнение движения пробных частиц со спином и дилатационным зарядом в пространстве Вейля-Картана.

Далее в этой главе строится модель более сложного типа идеальной жидкости, впервые построенной автором [52]—[55]. Частицы этого типа жидкости наделены тензором гипермомента, введенным Хелем и Нее-маном [95], который обобщает тензор спинового момента на линейную группу Ст1/(4, К). Позднее этот тип идеальной жидкости под названием "гипержидкость" был рассмотрен Обуховым и Трескуерресом [57], [66], а затем Смолли [63]. Данный тип жидкость порождает геометрическую модель общего аффинно-метрического пространства, теория которого в настоящее время развивалась в работах Хеля и Неемана с сотрудниками в связи с проблемой взаимоотношений теории гравитации и теории элементарных частиц [265], а также в связи с проблемой перенормируемости квантовой теории гравитации [266]. В диссертации построена вариационная модель идеальной гипермоментной жидкости, устанавливается ла-гранжева плотность и выводятся уравнения движения с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента частиц жидкости. Затем находится тензор энергии-импульса, на основании которого выводится гидродинамическое уравнение типа Эйлера.

В Главе 4 устанавливаются ряд общих теорем, доказанных автором [56], [67], о движении частиц с дилатационным зарядом и с гипермоментом. Как следствие этих теорем выясняется, что движение спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана в предельном случае исчезающе малого дилатационного заряда и спина, а также движение гипермоментной жидкостей в общем аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающе малого гипермомента, совпадают с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана. Тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом или гипермоментом, не подвержены влиянию возможной вейлевской или более общей аффинно-мерической структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобных структур. Важным следствием этих теорем является утверждение о том, что для обнаружения различных проявлений вейлевской или аффинно-метрической структур пространства-времени (если подобные структуры существуют) следует использовать тела и среды, наделенные спин-дилатационным зарядом или гипермоментом.

В Главе 5 модели, построенные в предыдущих главах, применяются для решения некоторых проблем теории гравитации в постримановых пространствах. В данной главе на основе развитого вариационного формализма автором выясняются условия существования плоских волн кручения в теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана (п. 5.1), а также рассматривается применение теории гравитации в пространстве Вейля-Картана для построения несингулярной космологической модели эволюции вселенной (п. 5.2).

Проблеме поиска волновых решений для кручения в пространстве Римана-Картана посвящено целый ряд работ [268]—[276], [234]. В работе Адамовича [268] на основании аналогии с электромагнитными волнами было сформулировано понятие плоской волны кручения. Работы автора [272]—[275], [234] посвящены проблеме существования плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана. На языке внешних форм с помощью производных Ли формулируется определение пространства типа плоской волны метрики и кручения и выясняется, что в таком пространстве бесследовая неприводимая компонента тензора кручения зависит только от двух произвольных функций, а остальные неприводимые компоненты тензора кручения (след и псевдослед) равны нулю. Центральным в этом параграфе является доказательство теоремы, устанавливающей необходимые и достаточные условия того, что метрика и кручение пространства типа плоской волны удовлетворяют уравнениям пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида. Теорема устанавливает, что данные условия дают ограничение на константы связи в общем квадратичном лагранжиане. Физический смысл этого ограничения состоит в том, что кванты поля кручения должны иметь нулевую массу покоя. При этом также устанавливается на основании критерия, высказанного Траутманом [278], что плоские волны кручения могут переносить информацию.

В современной космологии на основе анализа наблюдательных данных было выяснено [10]-[16], что плотность темной материи на порядок превышает плотность барионной материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее по массе в два раза положительной энергией вакуума (или квинтэссенцией [12], [14]) определяет динамику Вселенной в настоящую эпоху. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской эры в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская эра "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к безудержному экспоненциальному расширению.

Идея о существовании во Вселенной темной (несветящейся) материи была высказана еще в 30-х годах прошлого века Цвикки [279]. Но сущность темной материи до настоящего времени не выяснена. Такером и Ваигом [72] была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена связанным с масштабной симметрией новым типом гравитационного заряда (названным "зарядом Прока"), при помощи которого осуществляется короткодействующее взаимодействие типа Прока. Это взаимодействие наиболее адекватным образом может быть описано на фоне пространства-времени Вейля-Картана. Независимо автором в работе [79] была высказана идея о том, что в качестве модели темной материи может быть рассмотрена идеальная спин-дилатационная жидкость.

В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью, автором построена модель однородной изотропной Вселенной, в которой выводится обобщенное уравнение Фридмана-Леметра. Автором построена модель однородной изотропной Вселенной в пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью. В этой модели выводится обобщенное уравнение Фридмана-Леметра. Доказывается, что при определенных условиях на параметры гравитационного лагранжиана данное уравнение имеет несингулярное решение, указывающее на существование максимальной плотности вещества во Вселенной [79]—[86].

Обобщение уравнения Фридмана-Леметра, по некоторым параметрам похожее на то, которое было получена автором в [79], [82], возникает в целом ряде направлений современной теоретической космологии. Так, в работе [70] уравнение такого типа, но без космологического члена, было получено в аффинно-метрической теории гравитации. Авторы данной работы после анализа полученного уравнения заключают, что "чисто ди-латонная материя усиливает гравитационное притяжение. В частности, она скорее ускоряет, чем замедляет коллапс системы". В космологической части работы константа, определяющая поведение системы, имеет противоположный знак по сравнению с уравнением, полученным автором, что "соответствует дополнительной эффективной силе притяжения, доминирующей в течение самых ранних стадиях эволюции" Вселенной [70]. Недавно в рамках данной нестандартной космологической модели (с добавленным руками космологическим членом) был произведен анализ последних данных по SN 1а сверхновой.

В работе [72] аналогичное модифицированное уравнение Фридмана-Леметра (также без космологического члена) было получено в рамках построения взаимодействующей системы Эйнштейна-Прока на основе гравитационной теории в пространстве Вейля-Картана. Здесь для случая материи в виде пыли показано путем численного анализа, что данное уравнение имеет как сингулярные, так и несингулярные решения. В работе [280] в рамках развития многомерной космологии [281] и космологии на Б-бранах [282], [283] (с границей в виде пространства анти-де Ситтера) было получено аналогичное уравнение Фридмана-Леметра, в котором дилатационный член пропорционален (4+1)-мерному "электрическому" заряду.

В Главе 5 излагается построенная автором несингулярную модель эволюции Вселенной [73]—[86], которая начинается со стадии типа инфляции (для сверхжесткого уравнения состояния материи), затем проходит фридмановскую стадию (эру преобладания излучения и эру преобладания вещества (которые соответствуют расширению с замедлением), и наконец завершается пост-фридмановской стадией "второй инфляции", в которой расширения сопровождается ускорением. При этом устанавливается существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, вторая из которых соответствует началу расширения с ускорением. Полученное автором обобщенное уравнение Фридмана-Леметра позволяет моделировать различные стадии эволюции Вселенной, в частности, переход от инфляционной стадии эволюции Вселенной к ее фридманов-ской стадии [80]—[86]. Это представляется интересным в свете тех проблем, с которыми сталкивается решение данной задачи в современной инфляционной космологии [284]—[287]. Расчет модели произведен методами численного интегрирования на основании алгоритма, приведенного в Приложении В. Результаты представлены в виде графиков.

Во всей диссертации используется метрика сигнатуры (+,+,+,—) и выбрана система единиц, в которой с — I, Н — 1. Для обозначения конца доказательств используется символ ||

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как следствие проведенных исследований получены следующие результаты:

1. Построена калибровочная модель пространства-времени со структурой Вейля-Картана с процедурой локализации относительно группы Пуанкаре-Вейля и с тетрадными коэффициентами, зависящими от калибровочных полей подгрупп трансляций, Лоренца и дилата-ций.

2. Для нелинейных лагранжианов в пространстве Вейля-Картана развит вариационный формализм первого порядка в тетрадной теории гравитации, а также в формализме внешних форм. Доказана лемма и выведена формула, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа.

3. Получено условие существования плоских волн кручения в модели гравитационного взаимодействия с произвольными квадратичными лагранжианами, заключающееся в наличии дополнительного ограничения на константы квадратичного лагранжиана, физический смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части кручения должны иметь нулевую массу покоя.

4. Доказано существование в пространстве Вейля-Картана топологического инварианта типа Эйлера и возможность представления формы Эйлера в этом пространстве как внешнего дифференциала от выражения типа Черна-Саймонса.

5. Построена релятивистская вариационная модель идеальной спиновой цветовой жидкости, взаимодействующей с неабелевым цветовым полем Янга-Миллса в пространстве Римана-Картана. На основе этой модели получены тензор энергии-импульса цветовой жидкости и классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга на случай цветовой группы Би(3) и учитывающие наличие спина частицы. Получено также уравнение изменения вектора спина частицы, обобщающее уравнения Тамма-Гуда и Баргмана-Мишеля-Телегди. Проведена классификация сил, действующих на частицу в кварк-глюонной плазме.

6. Построена модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля Картана, получен тензор энергии-импульса подобной жидкости и гидродинамическое уравнение движения типа Эйлера. Доказано, что тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры.

7. Построена модель и предложено действие идеальной гипермомент-ной жидкости с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента. Доказано, что движение гипермомент-ной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана.

8. Предложена модель темной материи в виде спин-дилатационной жидкости. В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дила-тационной жидкостью, построена несингулярная модель эволюции однородной и изотропной вселенной с космологической постоянной, в рамках которой получено обобщенное уравнение Фридмана-Леметра и найдены его решения для различных уравнений состояния материи.

9. Найдено несингулярное решение полученного обобщенного уравнения Фридмана-Леметра, указывающее на существование максимальной плотности вещества в начальный момент развития вселенной. Найдено решение типа инфляции для начального сверхжесткого уравнения состояния материи. Установлено существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует выходу из стадии инфляции на стадию Фридмана, а вторая соответствует началу стадии расширения с ускорением.

1. Эйнштейн А. Собрание сочинений.-М.: Наука, 1965.-Т. 1.-678 с.-Т. 2.-700 с.

2. Альберт Эйнштейн и теория гравитации /Сборник статей (К 100-летию со дня рождения)-М.: Мир, 1979.-592 с.

3. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.-М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы 1961.-464 с.

4. Синг Дж. JI. Общая теория относительности.-М.: ИЛ, 1963.-432 с.

5. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация.-М.: Мир, 1977.-Т. 1-3.

6. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд.-М.: Наука, 1971.-484 с.

7. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной.-М.: Наука, 1975.-736 с.

8. Вейнберг С. Гравитация и космология.-М.: Мир, 1975.-696 с.

9. Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр.-М.: Изд-во МГУ, 1986.-288 с.

10. Bond J.R. et al, "СМВ Analysis of Boomerang к Maxima к the Cosmic Parameters ütot, ü(,h2, ns", Proc. IAU

11. Symposium 201 (PASP), CITA-2000-65 //Preprint Los Alamos arXive, astro-ph/0011378.-2000.

12. Perlmutter S. et al. Measurements of ü and A from 42 high-redshift Supernovae //Astrophys. J.-1999.-V. 517.-P. 565-586 (astro-ph/9812133).

13. Bahcall N. A., Ostriker J. P., Perlmutter S. and Steinhardt P. J. The cosmic triagle: assessing the state of the Universe //Science.-1999.-V. 284.-P. 1481-1488 (astro-ph/9906463).

14. Perlmutter S., Michael S. and White M. Constraining dark energy with SNe la and large-scale structure //Phys.Rev.Lett-1999.-V. 83.-P. 670673 (astro-ph/9901052).

15. Armedanz-Picon C., Mukhanov V. and Steinhardt P. J. A Dynamical Solution to the Problem of a Small Cosmological Constant and Late-time Cosmic Acceleration // Phys. Rev. Lett-2000 V. 85.-P. 44384441 (astro-ph/0004134).

16. Riess G. at al. The Farthest Known Supernova: Support for an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration //Astrophys. J.-2001.-V. 560.-P. 49-71 (astro-ph/0104455).

17. Griffits L. M., Melchiorri A., Silk J. CMB constraints on a barionic dark matter-dominatied universe //Astrophys.J.-2001.-V. 553.-P. L5-L10 (astro-ph/0101413).

18. Kopczyñski W. A non-singular universe with torsion //Phys. Lett-1972.-V. 39A.-P. 219-220.

19. Trautman A. Spin and torsion may avert gravitational singularities //Nature (Phys. Sei.)-1973-V. 242.-N 114-P. 7-8.

20. Tsamparlis M. Cosmological principle and torsion //Phys. Lett.-V. 75A.-P. 27-28.

21. Minkevich A. V. Generalised cosmological Friedmann equations without gravitational singularity //Phys. Lett.-1980-V. 80A.-P. 232234.

22. Muller-Hoissen F. Friedmann cosmology with torsion //Phys. Lett-1982.-V. 92A.-P. 433-434.

23. Bedran M. L. and Vasconcellos-Vaidya E. P. The Role of Spin in Cosmological Models //Lett. Nuovo Cim-1984.-V. 41.-P. 73-74.

24. Павелкин В. H., Панов В. Ф. Нестационарная космологическая модель с вращением в теории Эйнштейна-Картана //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1993-N 8-С. 90-94.

25. Weyssenhoff J., Raabe A. Relativistic dynamics of spin fluid and spin particles //Acta. Phys. Polon.-1947.-V. 9.-P. 7-18.

26. Halbwachs E. Theorie relativiste des fluides a spin-Paris: Gauthior-Villars, 1960.-348 p.

27. Buchbinder I. L., Odintsov S. D., Shapiro I. L. Nonsingular model with torsion from effective action //Phys. Letters.-1985.-V. B162.-P. 92-96.

28. Minkevich A. V., Nemenman I. M. On the influence of the gravitating vacuum on the dynamics of homogeneous isotropic models in dauge theories of gravity //Class. Quantum Grav-1995.-V. 12.-P. 1259-1265.

29. Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Gravitational interaction of a scalar field in an affine-metric theory of gravity //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-1996. V. 2-P. 259-261.

30. Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field //Gravit. к Cosmol. (Гравитация и космология).-1997.-V. З.-Р. 133-140.

31. Кречет В. Г. Космологический аспект гравитационого взаимодействия скалярного поля в аффино-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1998-N 5.-С. 39-50.

32. Minkevich А. V., Garkun A. S. Gomogeneous isotropic models in the metric-affine gauge theory of gravity //Class. Quantum Grav.-2000.-V. 17.-P. 3045-3054.

33. Krechet V. G. Five-dimensional geometric model of gravi-electroweak interaction //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-Suppl-1999.-V. 5.-P. 56-59.

34. Кречет В. Г., Левкоева М. В., Садовников Д. В. Пятимерная модель граитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффино-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2000-N 11.-С. 43-47.

35. Puetzfeld D. and Tresguerres R. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime //Class. Quantum Grav.-2001.-V. 18.-P. 677-694 (gr-qc/0101050).

36. Puetzfeld D. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: I. Field equations and solutions //Class. Quantum Grav.-2002.-V. 19.-P. 3263-3280 (gr-qc/0111014).

37. Puetzfeld D. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: II. Magnitude-redshift relation //Class. Quantum Grav.-2002.-V. 19.-P. 4463-4482 (gr-qc/0205052).

38. Minkevich A, V. Problem of cosmological singularity and inflationary cosmology //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0303022.-2003.

39. Minkevich A. V. Gauge approach to gravitation and regular big bang theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0506140.-2005.

40. Miritzis J. Isotropic cosmologies in Weyl geometry //Class. Quantum Grav.-2004.-V. 21.-P. 3044-3056 (gr-qc/0402039).

41. Behnke D., Blaschke D., Pervushin V., Proskurin D. and Zakharov A. Cosmological Consequences of Conformal General Relativity //Preprint MPG-VT-UR 210/00.-2000 (gr-qc/0011091).

42. Pervushin V., Proskurin D. Conformal General Relativity //Grav. & Cosmol-2002.-V. 8. Suppl.-N l.-P. 161-167 (gr-qc/0106006).

43. Puetzfeld D. Status of non-Riemannian cosmology //New Astron.Rev-2005.-V. 49.-P. 59-64 (gr-qc/0404119).

44. Багров В. Г., Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Фролов Б. Н. Движение цветной частицы со спином в неабелевых калибровочных полях в пространстве Римана-Картана //Препринт N 33 Томского филиала СО АН СССР-Томск, 1988.-28 с.

45. Baburova О. V. and Frolov B. N. On The Variational Theory Of The Perfect Spinning Fluid With Non-Abelian Colour In A Riemann-Cartan Space-Time //Mahavisva (J. Indian Astron. Soc.).-1991.-V. 4.-N. 1&2.-P. 55-57.

46. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Модель идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом //Докл. Акад. наук.-1997.-Т. 357.-С. 183-186.

47. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Идеальная спиновая жидкость с внутренним цветовым зарядом //Ядерная физ-1998.-Т. 61.-С. 888-893.

48. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Частица со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана //Ядерная физ.-1998.-Т. 61.-С. 2289-2293.

49. Babourova О. V. and Frolov B.N. The variational theory of the perfect dilaton-spin fluid in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A.-1998 -V. 12.-P. 2943-2950 (gr-qc/9708006).

50. Babourova О. V. and Frolov B. N. Perfect fluid and test particle with spin and dilatonic charge in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A-1998.-V. 13.-P. 7-13 (gr-qc/9708009).

51. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Гравитация и фундаментальные взаимодействия.-М.: УДН, 1988.-С. 119.

52. Babourova О. V., Frolov В. N., Koroliov М. Yu. Perfect fluid with intrinsic hypermomentum //In: 13th Int. Conf. gen. rel. grav. Abstracts of contributed papers (ed. P. W. Lamberti and О. E. Ortiz)-Cordoba, Argentina, 1992.-P. 131.

53. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Лагранжева динамика идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Матер, научн. сессии по итогам науч.-исс. работы МПГУ им. В. И. Ленина (Серия: Ест. науки)-М.: Изд-во "Прометей", 1992.-С. 4-6.

54. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Научн.труды МПГУ им. В. И. Ленина (Серия: Ест. науки).-М.: Изд-во "Прометей", 1993.-С. 170-176.

55. Obukhov Yu. N. and Tresguerres R. Hyperfluid a model of classical matter with hypermomentum //Phys. Lett. A.-1993.-V. 184.-P. 17-22.

56. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Движение материи в аффинно-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. за-вед. Физика.-1994-N 1.-С. 76-82.

57. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Вариационный принцип для идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Научн. труды МПГУ им. В. И. Ленина (Сер.: Ест. науки). М.: Изд-во "Прометей", 1994. - С. 89-95.

58. Babourova О. V., Frolov В. N. New Variational Theory of Perfect Fluid with Intrinsic Hypermomentum in Space-time with Nonmetricity //В сб.: 14th International Conf. on Gen. Rel. and Grav. Abstracts of Contrib. Papers-Florence, Italy, 1995.-P. A90.

59. Babourova О. V., Frolov B. N. The variational theory of perfect fluid with intrinsic hypermomentum in space-time with nonmetricity //Los Alamos arXive, gr-qc/9609013.-1995.

60. Babourova О. V., Frolov B. N., Koroliov M. Yu. Peculiarities of Matter Motion in Metric-Affine Gravitational Theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9502012.-1995.

61. Smally L. L. and Krisch J. P. Fluids with spin and twist //J. Math. Phys.-1995.-V. 36-P. 778-795.

62. Babourova О. V., Frolov В. N. The variational theory of perfect hypermomentum fluid //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9612055 -1996.

63. Obukhov Yu. N. On a model of an unconstrained hyperfluid //Phys. Lett. A.-1996.-V. 210.-P. 163-167.

64. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect hypermomentum fluid: Variational theory and equations of motion //Intern. J. Mod. Phys-1998.-V. 13.-P. 5391-5407 (gr-qc/0405124).

65. Кречет В. Г., Мельников В. Н. О геометрической природе возможного нового взаимодействия //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1991.—N 2.-С. 147-150.

66. Кречет В. Г. Калибровочная теория гравитационного взаимодействия макроскопической материи //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1991-N 7.-С. 34-36.

67. Obukhov Yu. N., Vlachynsky E. J., Esser W. and Hehl F. W. Irreducible decompositions in metric-affine gravity models //Phys. Rev. D.-1997-V. 56.-N 12.-P. 7769-7778 (gr-qc/9705039).

68. Teyssandier P., Tucker R. W. and Wang C. On an interpretation of non-Riemannian gravitation //Acta Phys. Polonica B.-1998.-V. 29-P. 987-994.

69. Tucker R. W., Wang C. Dark matter gravitational interactions //Class. Quantum Grav.-1998.-V. 15.-P. 933-954.

70. Babourova О. V. and Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as a source of post-Riemannian cosmology //Gravit. к Cosmol. (Гравитация и космология)-1999.-У. 5-N. 4 (20) Suppl.-P. 65-72.

71. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as the source of non-Riemannian cosmology //В сб. 76].-1999.-С. 160.

72. Теоретические и экспериментальные проблемы общей теоии относительности и гравитации /10 Российская гравитац. конф., Владимир, 20-27 июня 1999 г. Тезисы докладов.-М.: 1999.-279 с.

73. Babourova О. V. and Frolov B. N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2003.-У. 9.-N 1 (33).-P. 15-19.

74. Babourova О. V., Frolov В. N. Matter with dilaton charge in Weyl-Cartan space-time and evolution of the Universe //Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20.-P. 1423-1442 (gr-qc/0209077).

75. Babourova О. V. Model of the universe evolution from inflation stage up to post-Friedmann era //В сб. 81]-2003-P. 34-51.

76. Space-Time Structure at Subnuclear and Cosmological Scales //Proceedings XXVI Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, July 2-4, 2003 Protvino, 2003.-146 p.

77. Babourova О. V. Modified Friedmann-Lemaitre equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space //Gravit. & Cosmol.-2004.-V. 10.-N 1-2 (37-38).-P. 121-126 (gr-qc/0507104).

78. Babourova О. V., Frolov В. N., Portnov Ju. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime //В сб.: Тезисы докладов XI 1-й Российской гравитационной конференции /Казань 20-26 июня 2005 г.-Казань: 2005.-С. 81-82.

79. Babourova О. V., Frolov В. N., Portnov Ju. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-2005.-V. 11.-N 4 (44).- P. 310312.

80. Бабурова О. В., Портнов Ю. А., Фролов Б. Н. Модель эволюции Вселенной с дилатационой темной материй в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Изд-во "Прометей" МПГУ, 2006.-С. 217-219.

81. Trautman A. On the Einstein-Cartan equations //Bui. Acad. Pol. Sci. (Ser. sci. math., astr., phys.)-1972-V. 20.-N. 2.-P. 185-191; N. 6.-P. 503-506; N 10-P. 895-896; V. 21.-N 4.-P. 345-346.

82. Trautman A. On the structure of the Einstein-Cartan equation //In: Differential Geometry. Symposia Math.-Vol. 12.-London: Academic Press, 1973,- P. 139-162.

83. Hehl F. W., von der Heyde P., Kerlick G. D., Nester J. M. General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects //Rev. Mod. Phys-1976- V. 48.-P. 393-416.

84. Пономарев В. H., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий.-М.: Энергоатомиздат, 1995.-168 с.

85. Фролов Б. Н. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации.-М.: МПГУ, 2003.-160 с.

86. Obukhov Yu. N. Poincare gauge gravity: selected topics //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0601090, 2006.

87. Hehl F. W. and Kerlick G. D. Metric-Affine Variational Principles in Genelal Relativity. I. Riemannian Space-Time //Gen. Relat. Gravit-1978.-V. 9-P. 691-710.

88. Hehl F. W., Lord E. A. and Smalley L. L. Metric-Affine Variational Principles in General Relativity. II. Relaxation of the Riemannian Constraint //Gen. Relat. Gravit.-1981.-V. 13.-P. 1037-1056.

89. Hehl F. W., McCrea J. L., Mielke E. W. and Neeman Yu. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance //Phys. Rep.-1995.-V. 258.-P. 1-171.

90. Вейль Г. Пространство, время, материя. М.: "Янус", 1996.-480 с.

91. Utiyama R. Invariant theoretical interpretation of interaction //Phys. Rev. -1956.-V. 101.-P. 1597-1607 (Перевод в сб. 98], С. 251-273).

92. Элементарные частицы и компенсирующие поля /Сборник статей. Под ред. Д. Иваненко. М,: Мир, 1964.

93. Бродский Ф. М., Иваненко Д., Соколик Г. А. Новая трактовка гравитационного поля //ЖЭТФ.-1961.-Т. 41.-С. 1307-1309.

94. Kibble Т. W. В. Lorentz invariance and the gravitational field //Journ. of Math. Phys.-1961.-V. 2.-P. 212-221 (Перевод в сб. 98], С. 274298).

95. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон.-1963-N 6.-С. 48-58.

96. Lubkin Е. Geometric Definition of Gauge Invariance //Ann. of Phys.-1963.- V. 23.-P. 233-283.

97. Hayashi K. Gauge Theories of Massive and Massless Tensor Fields //Progr. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-P. 494-515.

98. De Witt B. Dynamical Theory of Groups and Fields-New York: Gordon and Breach, 1965 (Перевод: Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей.-М.: Наука, 1987.-288 с.)

99. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //В сб.: Современные проблемы гравитации/Сборник трудов II Советской гравитационной конференции/Тбилиси, апрель 1965 г.Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1967.-С. 270-278.

100. Charap J. М. and Tait W. A gauge theory of the Weyl group //Proc. Roy. Soc.-1974.-V. A340.-P. 249-262.

101. Wu Т. Т., Yang C. N. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields // Phys. Rev. D.-1975.-P. 3845-3857.

102. Kasuya M. On the Gauge Theory in the Einstein-Cartan-Weyl SpaceTime //Nuovo Cim.-1975.-V. 28B.-P. 127-137.

103. Cho Y. M. Higher-dimensional unifications of graitation and gauge theories //J. Math. Phys.-1975.-V. 16.-P. 2029-2035.

104. Mansouri F., Chang L. N. Gravitation as a gauge theory //Phys. Rev. D. -1976.-V. 12.-P. 3192-3200.

105. Иваненко Д., Сарданашвили Г. Новые аспекты теории компенсации //В сб.: Актуальные проблемы теоретической физики /Под ред. А. А. Соколова.-М.: Изд-во Моск. унив., 1976.-С. 97-116.

106. Славнов А., Фаддеев JL. Введение в квантовую теорию калибровочных полей /1-ое изд. М.: "Наука", 1978; 2-ое изд. М.: "Наука", 1988.-272 с.

107. ИЗ. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Расширение эйнштейновской гравитации и перспективы единой калибровочной теории //Изв. высш. учебн. завед. Физика. -1980.-N 2.-С. 54-66.

108. Basombrio F. G. A comparative review of certain gauge theories of the gravitational field //Gen. Relat. Gravit.-1980.-V. 12.-P. 109-136.

109. Eguchi Т., Gilkey P. B. and Hanson A. J. Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry //Phys. Rep.-1980.-V. 66.-P. 213-393.

110. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.-М.: Атомиздат, 1980.-238 с.

111. Ivanenko D. and Sardanashvili G. The gauge treatment of gravity //Phys. Rep.-1983.-V. 94.-P. 1-45.

112. Сарданашвили Г. А. Об определении группы калибровочных преобразований в теории калибровочных полей //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1984-N 12.-С. 52-57.

113. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации.-М.: Изд-во МГУ, 1985.-142 с.

114. Пономарев В. Н., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий.-М.: Энергоатомиздат, 1985.-168 с.

115. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986.-260 с.

116. Sardanashvili G. and Zakharov О. Gauge Gravitation Theory-Singapore-New Jersey-London: World Scientific, 1992.-122 p.

117. Барбашов Б. M., Пестов А. Б. Связность Вейля, неабелево калибровочное поле и кручение //Теор. матем. физика.-1995.-Т. 104.-С. 429-434.

118. Барбашов Б. М., Пестов А. Б. Антисимметричные тензорные поля и калибровочная теория Вейля //Теор. матем. физика.-1997.-Т. 113-N 1-С. 112-124.

119. Барбашов Б. М., Пестов А. Б. Перенос Ферми-Уолкера и связность Вейля //Теор. матем. физика,- 1999.-Т. 119.-N 1-С. 136-141.

120. Sardanashvili G. On the geometric foundation of classical gauge gravitational theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0201074-2002.

121. Hammond R. T. Torsion gravity //Rep. Prog. Phys.-2002.-V. 65.-P. 599649.

122. Frolov B. N. On the physical field generated by rotating masses in Poincare-gauge theory of gravity //В Сб.: Physical Interpretationsof Relativity Theory /Proc. Int. Sci. Meeting PIRT-2003. Moscow, Liverpool, Sunderland: 2003.-P. 213-219.

123. Frolov B. N. On Foundations of Poincaré-Gauge Theory of Gravity //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2004.-У. 6.-N. 4(24).-P. 116-120.

124. Aldaya V., Sánchez-Sastre E. Gauge theories ofvgravity //В сб.: Symmetries in Gravity and Field Theory, Eds. Aldaya V, Cerveró J.M., Garcia Y.P., Salamanca: Ediciones Universidad de Salamanca, 2004.-P. 251-264.

125. Babourova О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Gauge Field Theory for Poincaré-Weyl Group //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0508088 (2005).

126. Babourova О. V., Zhukovsky V. Ch. The gauge field theory for Poincare-Weyl group //В сб. Тезисы докладов XII-й Российской гравитационной конференции, Казань 20-26 июня 2005 г., С. 15-16.

127. Babourova О. V. The gauge field theory for Poincare-Weyl group //In: Program & Abstracts of IV International Symposium "Quantum Theory and Symmetries"/ Varna 15-21 August 2005, P.17.

128. Babourova О. V. Model of Gauge Field Theory for Poincaré-Weyl Group //Bulgarian Journal of Physics (Proceedings 4th Intern. Symp. "Quantum Theory and Symmetries").- Heron Press: Sofia, 2006 (в печати).

129. Utiyama R. On Weyl's Gauge Field //Progress of Theor. Phys.-1973. -Vol. 50.-P. 2080-2090.

130. Freud P. G. O. Local Scale Invariance and Gravitation //Ann. Phys. (NY) .-1974-V. 84.-P. 440-454.

131. Utiyama R. On Weyl's gauge field //Gen. Relat. Gravit-1975-V. 6.-P. 41-47.

132. Frolov B. N. Generalized conformal invariance and gauge theory of gravity //В сб.: Gravity, Particles and Space-time (Ed. P. Pronin and G. Sardanashvily)-Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific 1996.-P. 113-144.

133. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. Физматлит, 1997.-316 с.

134. Головизнин В. М., Карабасов С. А., Суходулов Д. А. Вариационный подход к получению разностной схемы с пространственно расщепленной временной производной для уравнения Кортевега де Фриза //Математическое моделирование.-2000.-Т. 12.-N 4.-С. 105-116.

135. Богомолов К. А., Дегтярев JI. М., Тишкин В. Ф. Вариационный метод построения высокоаспектных регуляторных адаптивных сеток //Математическое моделирование-2001 -Т. 12.-N 5.-С. 11-28.

136. Жиляков Е. Г., Фокин Ю. А. Вариационный метод оценивания производных эллиптических функций //Ж. вычислительной математики и математической физики.-2002.-Т. 42.-N 8.-С. 1138-1143.

137. Palatini A. Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principo di Hamilton //Rend. Circ. Mat. Palermo.-1919.-V. 43-P. 203-207.

138. Эйнштейн А. Единая полевая теория тяготения и электричества /Собрание трудов.-М.: Наука 1966.-Т. 2.-С. 171-177.

139. Schrodinger Е. Space-time structure-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1950 (Русский перевод: Шрчдингер Э. Пространственно-временная структура Вселенной.-М.: Наука, 1986.-224 с.)

140. Ferraris M., Francaviglia M. and Reina С. Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 "Palatini's method "Discovered by Einstein in 1925//Gen. Relat. Grav.-1982.-V. 14.-P. 243-254.

141. Фролов Б. H. Тетрадный формализм Палатини //В сб.: Тезисы докладов третьей советской гравитационной конференции (Ереван, 11-14 октября, 1972 г.).-Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1972-С. 170-173.

142. Kopczynsky W. The Palatini principle with constraints //Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Astron. Phys.-1975.-V. 23-P. 467-473.

143. Smalley L.L. Variational principle for general relativity with torsion and non-metricity //Phys, Lett.-1977.-V. 61A.-P. 436-438.

144. Цейтлин А. А., Пономарев В. H. О корректном использовании принципа Палатини в гравитационных теориях //Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон-1978. -T. 19.-N 6.-С. 57-59.

145. Lim P. H. Modification of the Palatini variational principle in general relativity //Phys. Rev. D.-1983.-V. 27.-P. 719-727.

146. Meng X.-H., Wang P. R2 corrections to the cosmological dynamics of inflation in the Palatini formulation //Class. Quantum Grav.-2004.-V. 21,- P. 2029-2036 (preprint gr-qc/0402011).

147. Yang C. N. Integral formalism for gauge fields //Phys. Rev. Lett-1974.-V. 33.-P 445-447.

148. Познанин П. JI. Квадратичные лагранжианы и массивные гравитоны //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1975.-М 6.-С. 15-20.

149. Fairchild Е. Е. (Jr.) Gauge theory of gravitation //Phys. Rev. D-1976.-V. 14.-P. 384-391; (E) 3439.157. von der Heyde P. Is Gravitation Mediated by the Torsion of Spacetime? //Z. Naturforsch.-1976.-V. 31a.-P. 1725-1726.

150. Николаенко В. M. Лагранжианы второй степени по кривизне в теории гравитации //Acta Phys. Polon.-1976.-V. В7.-Р. 681-692.

151. Фролов Б. H. Об уравнениях гравитационного поля в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1977-N 3.-С. 154-155.

152. Фролов Б.Н. Задача Шварцшильда в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1977-N З.-С. 155-156.

153. Fairchild Е. Е. (Jr.) Yang-Mills formulation of gravitational dynamics //Phys. Rev. D.-1977.-V. 16.-P. 2438-2447.

154. Туняк В. H. Квадратичные лагранжианы в пространстве с кручением //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1977-N 12.-С. 7-10.

155. Фролов Б. Н. Задача Фридмана в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1978-N 5.-С. 148-149.

156. Frolov В. N. Tetrad Palatini formalism and quadratic Lagrangians in the gravitational field theory //Acta Phys. Polon-1978-V. B9.-P. 823-829.

157. Debney G., Fairchild E. E., Siklos S. T. Equivalence of Vacuum Yang-Mills Gravitation and Vacuum Einstein Gravitation //Gen. Relat. Grav.-1978.-V. 9.-P. 879-887.

158. Hehl F. W., Ne'eman Y., Nitsch J. and von der Heyde. Short-range confining component in a quadratic Poincaré gauge theory of gravitation //Phys. Lett.-1978-V. 78B-P. 102-106.

159. Neville D. Gravity Lagrangian with ghost-free curvature-squared terms //Phys. Rev. D.-1978.-V. 18.-P. 3535-3543.

160. Туняк В. H. Квадратичные лагранжианы в пространстве с кручением и теория калибровочного спинового поля //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1979-N 9.-С. 74-79.

161. Ramaswamy S. and Yasskin P.B. Birkhoff theorem for an R+R2 theory of gravity with torsion //Phys. Rev. D.-1979.-V. 19.-P. 2264-2267.

162. Yasskin P.B. Birkhoff theorem for metric and torsion theories //In: Abstracts 9th International Conference on General Relativity and Gravitation (Jena, 1980).-V. 3.-P. 652.

163. Neville D. Gravity theories with propagating torsion //Phys. Rev. D-1980.-V. 21.-P. 867-873.

164. Neville D. E. Birkhoff theorem for R + R2 gravity theories with torsion //Phys. Rev. D.-1980.-V. 21.-P. 2770-2775.

165. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion //Nuovo Cim-1980-V. 55B.-P. 37-51.

166. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion. II. Foundation and Conservation Equations //Nuovo Cim.-1980.-V. 56B-P. 21-37.

167. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. I. General Formulation //Progr. Theor. Phys-1980. -V. 64.-P. 866-882.

168. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. II. Equations of Motion for Test Bodies and Various Limits //Progr. Theor. Phys.-1980.-V. 64.-P. 883-896.

169. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. III. Weak Field Approximation //Progr. Theor. Phys. -1980.-V. 64.-P. 1435-1452.

170. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. IV. Mass and Energy of Particle Spectrum //Progr. Theor. Phys.-1980.-V. 64.-P. 2222-2241.

171. Sezgin E. and van Nieuwenhuizen P. New ghost-free gravity Lagrangians with propagating torsion //Phys. Rev. D.-1980.-V. 21.-P. 3269-3280.

172. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. V. The Extended Bach-Lanczos Identity //Progr. Theor. Phys-1981.-V. 65.-P. 525-532.

173. Neville D. Spin-2 propagating torsion //Phys. Rev. D-1981.-V. 23. -P. 1244-1249.

174. Nieh H.T., Rauch R. Riemann-Cartan type gravitational theories satisfying Birkhoff's theorem //Phys. Lett-1981-V. 81A.-P. 113-115.

175. Szczyrba V. Hamilton dynamics of gauge theories of gravity //Phys. Rev. D.-1982.-V. 25.-P 2348-2568.

176. Tseytlin A. A. On the Poincare and de Sitter gauge theories of gravity with propagating torsion //Phys. Rev. D.-1982.-V. 26.-P. 3327-3341.

177. Garecki J. On the gravitational theory with quadratic Lagrangian Lg — pnijAf]i+anijA*nji+aQiA*ei //Acta Phys. Polon.-1983.-V. B14.-P. 713-722.

178. Zhang Y. Z. Approximate solutions for general Riemann-Cartan-type R + R2 theories of gravitation //Phys. Rev. D.-1983.-V. 28.-P. 18661871.

179. Yan M. L. The renormalizability of the general gravity theory with torsion and the spontaneous breaking of Lorentz group //Commun. Theor. Phys. (Beijing, China)-1983.-V. 2.-P. 1281-1288.

180. Фролов Б. H. Уравнения поля в калибровочной квадратичной теории гравитации //В сб.: Космические исследования на Украине.-Вып. 17.-Киев: Наукова Думка, 1983-С. 51-52.

181. Фролов Б. Н. Уравнения поля в калибровочной квадратичной гравитации //В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации".-М.: 1984.-С. 236-237.

182. Fedorov F. I., Kudin V. I., Minkevich A. V. Nonsingular cosmology and the gravitational Lagrangians in the gauge theory of gravity //Acta Phys. Polon-1984.-V. B15.-P. 107-112.

183. Baekler P., Yasskin Ph.B. All Torsion-Free Spherical Vacuum Solutions of the Quadratic Poincare Gauge Theory of Gravity //Gen. Relat. Grav-1984. -V. 16.-P. 1135-1155.

184. Goenner H. and Miiller-Hoissen F. Spatially homogeneous and isotropic spaces in theories of gravitation with torsion //Class. Quant. Grav-1984. -V. l.-P. 651-672.

185. Katanayev M. 0. and Volovich I. V. Higgs fields in Kaluza-Klein theory with dynamical torsion //Phys. Lett.-1985.-V. 156B.-P. 327-330.

186. Szczyrba V. Stephenson-Kilmister-Yang theory of gravity and its dynamics //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36-P. 351-374.

187. Baekler P. and Mielke E. W. Hamiltonian strusture of Poincare gauge theory and separation of non-dynamical variables in exact torsion solutions //Fortschr. Phys.- 1988.-V. 36.-P. 549-594.

188. Chen H.-H., Chern De-Ch., Hsu R. R., Nester J. M. and Yeung W. B. Asymptotically Newtonian conditions for Poincare gauge theory //Prog. Theor. Phys.-1988.-V. 79.-P. 77-85.

189. Obukhov Yu.N., Ponomariev V.N. and Zhytnikov V.V. Quadratic Poincare Gauge Theory of Gravity: A Comparison with the General Reativity Theory //Gen. Relat. Gravit.-1989.-V. 21.-P. 1107-1142.

190. Pronin P. I. Renormalization of field theories in Riemann-Cartan spacetime //В сб.: Quantum Mechanics in Curved Space-Time (Ed. J. Audretsch and V. de Sabbata).-New York and London: Plenum Press, 1990.-P. 517-550.

191. De Sabbata V., Melnikov V. N. and Pronin P. I. Theoretical Approach to Treatment of Non-Newtonian Forces //Progr. Theor. Phys-1992 -V. 88.-P. 623-661.

192. Минкевич А. В. Однородные изотропные гравитационные модели в аффинно-метрической калибровочной теории тяготения //Доклады АН Беларуси.-1993.-Т. 37.-С. 33-38.

193. Gladchenko М. S., Zhytnikov V. V. Post-Newtonian effects in quadratic Poincare gauge theory of gravitation //Phys. Rev. D.-1994.-V. 50. -P.5060-5071.

194. Zhytnikov V. V. Double duality and hidden gauge freedom in the Poincare gauge theory of gravitation / / Gen. Rel. Grav.-1996.-V. 28-P. 137-162.

195. Hürth Т., van Nienwenhuizen P., and Waldrom A. Possible new R2 theory of supergravity //Phys. Rev. D.-1997.-V. 55.-P. 7593-7614.

196. Верещагин Г. В., Гаркун А. С., Минкевич А. В. О квадратичных гравитационных лагранжианах в аффинно-метрической калибровочной теории тяготения //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-1999.-V. 5.-N. 4(20) Suppl.-P. 60-64.

197. Eddington A. S. The Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed-Cambridge: Cambridge University, 1924 (Перевод: Эддингтон A. С. Математическая теория относительности.-Харьков, Киев: Гос. научно-техн. изд-во Украины, 1933.-357 с.)

198. Lanczos С. A remarkable property of the Riemann-Christoffel tensor in four dimensions //Ann. of Math.-1938.-V. 39.-P. 842-850.

199. Bach R. Zur Weylischen Relativitätstheorie und der Weyischen Erweiterung des Kr'ummungstensororbegriffs //Math. Z.-1921.-V. 9-P. 110-135.

200. Eddington A. S. A generalization of Weyl's theory of the electromagnetic and gravitational fields //Proc. Royl. Soc. (L).—1921.— V. A99.-P. 104-111.

201. Stephenson G. Quadratic Lagrangians and gauge invariance in covariant field theories //Proc. Cambr. Phil. Soc.-1960.-V. 56.-P. 247 259.

202. Lanczos C. Quadratic action principle of relativity //J. Math. Phys-1969.-V. 10.-P. 1057-1065.

203. Рузмайкина Т. В., Рузмайкин А. А. Квадратичные добавки к ла-гранжевой плотности гравитационного поля и сингулярность //Ж. Эксп. Теор. Физ.-1969-T. 57.-С. 680-685.

204. Folomeshkin V. N. The Quadratic Lagrangians in General Relativity //Commun, math. Phys.-1971.-V. 22.-P. 115-120.

205. Wynne V. A., Derrick G. H. A Theory of Gravitation Incorporating the Quadratic Action Principle of Relativity //Nuovo Cim.-1973.-V. 15B.-P. 181-209.

206. Wynne V. A. A Theory of Gravitation Incorporating the Quadratic Action Principle: Further Exact Sulutions //Nuovo Cimento.-1974.-V. 20B.-P. 93-104.

207. Giesswein M., Sexl R. and Streeruwitz E. Cosmologcal singularities and higher-order gravitatinal lagrangians //Phys. Letters.-1974.-V. 52B.-p. 442-444.

208. Stephenson G. Variational principles and gauge theories of gravitation //J. Phys. A: Math. Gen.-1977.-V. 10.-P. 181-184.

209. Fiedler В., Schimming R. Exact solutions of the Bach field equations of general relativity //Rep. Math. Phys.-1980.-V. 17.-P. 15-36.

210. Page D. N. Probability of R2 inflation //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36-P. 1607-1624.

211. Бухбиндер И. JI. О механизме индуцирования эйнштейновской гравитации //Известия высш. учебн. завед. Физика.-1986-N З.-С. 7781.

212. Buchbinder I. L. and Odintsov S. D. Effective potential and phase transitions induced by curvature in gauge theories in curved spacetime //Class. Quantum Grav-1985.-V. 2.-P. 721-731.

213. Buchbinder I. L. Renormalization of Quantum Field Theory in Curved Space-Time and Renormalization Group Equations //Fortschr. Phys.-1986.-V. 34.-P. 605-628.

214. Elizable E., Odintsov S. D., and Romeo A. Improved effective potential in curved spacetime and quantum matter-higher-derivative gravity //Phys. Rev. D.-1995.-V. 51-P. 1680-1691.

215. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Вариационный формализм и уравнения поля в тетрадной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2005.-С. 275278.

216. Бабурова О. В., Королев В. Ф., Умярова И. А. Вариационный формализм для квадратичных лагранжианов в тетрадной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2006.- N 4 (в печати).

217. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Вариационный формализм и уравнения поля в тетрадной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2006-N 5 (в печати).

218. Soleng H. H. The Mathematica Packages CARTAN and MathTensor for Tensor Analysis //В сб.: Relativity and Scientific Computing- Computer Algebra, Numerics, Visualization (F.W. Hehl, R.A. Puntigam, H. Ruder, eds.). Berlin: Springer, 1996. P. 210-230.

219. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Применение системы MATHEMATICA для тензорных вычислений в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей.- М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2006.-С. 220-222.

220. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Расширение пакета символьных вычислений CARTAN для модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана //В сб.: Некоторые вопросы математики, информатики и методики преподавания М.: МПГУ, 2006.-С. 220222.

221. Денисова И. П., Зубрило А. А. Применение компьютерной алгебры REDUCE для интегрирования уравнений теории гравитации методом Ньюмена-Пенроуза //Математическое моделирование-2000-Т. 12.-N 2.-С. 59-67.

222. Ефимов Г. В., Зуева Е. Ю., Щенков И. Б. Компьютерная алгебра в ИПМ им. Келдыша //Математическое моделирование.-2001.-Т. 13.-N 6.-С. 11-18.

223. Рыбаков Ю. П., Сашок В. И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения: Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2001 -481 с.

224. Babourova О. V., Frolov В. N., Klimova Е. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories in Riemann-Cartan space //Class. Quantum Grav.-1999.-V. 16.-P. 1-14 (gr-qc/9805005).

225. Babourova О. V., Frolov В. N. Gauss-Bonnet Type Identity in Weyl-Cartan Space //Intern. J. of Mod. Phys. A.-1997.-V. 12.-P. 3665-3668 (gr-qc/9609004).

226. Babourova О. V. and Frolov B. N. Pontryagin, Euler forms and Chern-Simons terms in Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A.-1997.-V. 17.-P. 1267-1274 (gr-qc/9609005).

227. Hehl F. W., Kopczynski, McCrea J. D., Mielke E. Chern-Simons terms in metric-affine space-time: Bianchi identities as Euler-Lagrange equations //J. Math. Phys.-1991.-V. 32.-P. 2169-2180.

228. Balachandran A. P. Classical description of a particle interacting with a non-Abelian gauge field //Phys. Rev. D.-1977.-V. 15.-P. 2308-2317.

229. Balachandran A. P., Marmo G., Skagerstam B.-S., Stern A. Gauge Symmetries and Fibre Bundles. Applications to Particle Dynamics //Lecture Notes in Physics.-V. 188-Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1983.-140 p.

230. Holm D. D. and Kupershmidt B. A. Yang-Mills magnetohydrodyna-mics: Nonrelativistic theory //Phys. Rev. D.-1984.-V. 30.-P. 25572560.

231. Amorim R. Chromohydrodynamics in Einstein-Cartan theory //Phys. Rev. D.-1986.-V. 33.-P. 2796-2799.

232. Choquet-Bruhat Y. Fluides chargés non abéliens de conductivité infinie //C. R. Acad. Sci. Paris.-1992.-V. 314.-P. 87-91.

233. Choquet-Bruhat Y. Hydrodynamics and magneto hydrodynamics of Yang Mills fluids //Report on the Conference at the symposium "Waves and stability in continuous media", Bologna, 1993.-15 p.

234. Bistrovic В., Jackiw R., Li H., Pi S.-Y. Non-Abelian Fluid Dynamics in Lagrangian Formulation // Phys. Rev.-2003.-V. D67.-P. 025013025023 (hep-th/0210143).

235. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elekrtons //Z. Phys.-1926.-V. 37.-P. 243-259 (Перевод: Френкель Я.И. Собрание избранных трудов.-M.-JL: АН СССР, 1958.-Т. 2.-С. 460-476.)

236. Bargrnan V., Michel L. and Telegdi V. L. Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field //Phys. Rev. Lett.-1959.-V. 2.-P. 435-436.

237. Tamm I. Zur Elektrodynamik des rotierenden Elekrtons //Z. Phys.-1929.-V. 55.-P. 129-138 (Перевод: Тамм И. E. Собрание научных трудов.-М.: "Наука", 1975.-Т. 2.-С. 5-23).

238. Багров В. Г., Бордовицын В. А. Классическая теория спина //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1980.Ч^ 2.-С. 67-76.

239. Wong S. К. Field and Particle Equation for the Classical Yang-Mills Field and Particle with Isotopic Spin //Nuovo Cim.-1970.-V. 65.-P. 689-694.

240. Arodz H. Colored, spinning classical particle in an external non-abelian gauge field //Phys. Lett-1982.-V. 116B.-P. 251-254.

241. Dixon W. G. On a Classical Theory of Charged Particles with Spin and the Classical Limit of the Dirac Equation //Nuovo Cim.-1965.-V. 28.-P. 1616-1643.

242. Corben H. C. Classical and Quantum Theory of Spinning Particles-San Francisco: Holden-Day, 1968.-279 p.

243. Hanson A. J. The Relativistic Spherical Top //Ann. Phys. (NY)-1974.-V. 87.-P. 498-566.

244. Glassberger P. Classical charged particles with spin //J. Phys. A: Math. Gen-1978.-V. 11.-P. 1221-1226.

245. Hojman S. Lagrangian theory of the motion of spinning particles in torsion gravitational theories //Phys. Rev. D.-1978.-V. 18.-P. 27412744.

246. Yasskin P. В., Stoeger W. R, Propagation equation for test bodies with spin and rotation in theories of gravity with tirsion //Phys. Rev. D-1980.-V. 21.-P. 2081-2094.

247. Cognola G., Soldati R., Vanzo L., and Zerbini S. Lagrangian formulation of a spinning test particle in a curved space-time with torsion //Phys. Rev. D.-1982.-V. 25.-P. 3109-3116.

248. Kadic A., Edelen D. G. B. A gauge theory of dislocations and disclinations.-Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983 (Перевод: Кадич А., Эделен Д. Калибровочноая теория дислокаций и дисклинаций.-М.: Мир, 1987.-168 с.)

249. Гузев М. А., Мясников В. П. Калибровоно-инвариантная гидродинамика идеальной жидкости //Изв. Акад. наук. Механика жидкости и ra3a.-1993.-N 4.-С. 25-29.

250. Вшивцев А. С., Перегудов Д. В. Гидродинамическая модель кварк-глюонной фазы деконфайнмента //ЯФ.-1997.-Т. 60.-N 7.-С. 14811484.

251. Вшивцев А. С., Кандауров В. И., Перегудов Д. В., Фортов В. Е. Гидродинамическая модель множественного рождения адронов //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1997-N 6.-С. 32-36.

252. Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столкновении быстрых частиц //Изв. АН СССР.-1953.-Т. 17.-С. 51-62.

253. Розенталь И. Л., Тарасов Ю. А. Гидродинамическая теория множественных процессов в свете современных экспериментальных данных //ЖЭТФ.-1985.-Т. 85.-С. 1535-1543.

254. Ne'eman Y., Sijacki Dj. Unified affine gauge theory of gravity and strong interactions with finite and infinite (7L(4,J?) spinor fields //Ann. Phys. (N.Y.)-1979.-V. 120-P. 292-315.

255. Lee C.-Y. and Ne'eman Yu. Renormalization of gauge-affine gravity //Phys. Lett. В-1990.-V. 242.-P. 59-63.

256. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1947.-408 с.

257. Adamovich W. Plane waves in gauge theories of gravitation //Gen. Relat. Gravit.-1980.-V. 12.-P. 677-691.

258. Chen M., Chern D., Hsu R. and Yeung W. B. Plane-fronted torsion waves in a gravitational gauge theory with quadratic Lagrangian //Phys. Rev. D.-1983. -V. 28.-P. 2094-2095.

259. Singh P. and Griffiths J. P. A new class of exact solutions of the vacuum quadratic Poincare gauge field theory //Gen. Relat. Gravit.-1990.-V. 22.-P. 947-956.

260. Zhytnikov V. V. Wavelike exact solutions of R + R2 + Q2 gravity //J. Math. Phys.-1994.-V. 35.-P. 6001-6017.

261. Бабурова О. В., Климова Е. А., Фролов Б. Н. Плоские волны кручения в теории гравитации с квадратичными лагранжианами //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. науки. М.: "Прометей", 1997.-С. 142-146.

262. Babourova О. V., Frolov В. N. and Klimova Е. A. Plane torsion waves in gravitational theory with quadratic lagrangians in Riemann-Cartari space. // In: GR15 Abst. of Plenary Lectures and Contr. Papers Pune, 1997.- P. 103.

263. Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9805005.-1998.

264. Бабурова О. В., Климова Е. А., Фролов Б. Н. Плоские волны кручения в квадратичных теориях гравитации //Известия высш. учебн. завед. Физика 1998.-N 6.-С. 112-114.

265. Климова Е. А. Волны кручения в пространствах современной теории гравитации //Дис. канд. физ.-мат. наук.-М.: РУДН, 1998100 с.

266. Zhytnikov V. V. GRG: Computer Algebra System for Differential Geometry, Gravitation and Field Theory. Version 3.1.-Moscow, 1992108 p.

267. TYautman A. On the propagation of information by waves //В сб.: Recent developments in general relativity.-Oxford-London-New York-Paris: Pergamon press; Warszawa: PNN-Polish Scientific Publishers, 1962.-P. 459-464.

268. Zwicky F. //Helve. Phys. Acta.-1933.-V. 6.-P. 110-127.

269. Barcelo C. and Visser M. Living on the edge: cosmology on the boundary of anti-de Sitter space //Phys. Lett.-2000.-V. B489.-P. 183194 (hep-th/0004056).

270. Bronnikov K. A., Melnikov V. N. Vaccuum Static, Axially Symmetric Fields in D-Dimeiisional Gravity //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология)-1995.-У. l.-N 2.-P. 155-159.

271. Br ax Ph. and van de Bruck C. Cosmology and brane worlds: a review //Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20.-P. R201-R232.

272. Gal'tsov D. V. and Dyadichev V. V. Non-Abelian brane cosmology //Astrophys.Space Sci.-2003.- V. 283.-P. 667-672 (hep-th/0301044).

273. Журавлев В. M., Червон С, В. Модели космологической инфляции, допускающие естественный выход на радиационно-домиирующую стадию и эру преобладания вещества //Ж. Экспер. Теор. Физики-2000.-V. 118.—N 2(8).-С. 259-272.

274. Chervon S. V., Zhuravlev V. M. The cosmological model with an analitic exit from inflation //Preprint Los Alamos arXiv, gr-qc/9907051.-1999.

275. Chervon S. V. Inflationary cosmology without restrictions on the scalar field potential //Gen. Relat. Gravit. 2004. V. 36. P. 1547-1553.

276. Chervon S. V. Cosmological Models of global Universe Evolution and Decomposition of Perturations //Inst. J. Modern Physics A.-2002.-V. 17-No 29,- P.4451-4456.

277. Duff M. J., Twenty Years of the Weyl Anomaly //Class. Quantum Grav.-1994.-V. 11- P. 1387-1404 (hep-th/9308075).

278. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model //Commun. Math. Phys.-1975.-V. 42.-P. 127-162.

279. Тютин И. В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке //Препринт N 39. ФИАН АН СССР, Москва.-1975.-62 с.

280. Boulanger N. A Weyl-covariant Tensor Calculus //J.Math.Phys.-2005.-V. 46,- P. 053508-053515 (hep-th/0412314).

281. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей /4-е изд., испр. М.: Наука, 1984.-600 с.

282. Mack G., Salam A. Finite-Component Field Representations of the Conformal Group// Ann. of Phys.-1969.-V. 53.-P. 174-202.

283. Схоутен И. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. I. Алгебра и учение о перенесении. M.-JL: ОНТИ, 1939,- 182 с.

284. Родичев В. И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: ИО НФМИ, 1998.-184 с.

285. Dirac P. A. M. Long range forces and broken symmetries //Proc. Roy. Soc. A.-1973.-V. 333.-P. 403-418.

286. Muench U., Gronwald F. and Hehl F. W. A small quide to variations in teleparallel gauge theories of gravity and the Kaniel-Itin model //Gen. Rel. Grav.-1998.-V. 30.-P. 933-961.

287. Зуланке P., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслое-ния.-М.: Мир, 1975.-350 с.

288. Бабурова О. В., Пономарев В. H., Фролов Б. Н. Релятивистская сплошная среда в пространстве Эйнштейна-Картана //В сб.: Тезисы докладов Всесоюзн. конф. "Совр. теор. и экспер. проб л. теории относит, и гравитации".-М.: Изд-во УДН, 1984.-С. 307-309.

289. Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Вариационная теория идеальной спиновой жидкости в пространствах аффинной связности //В сб.: Гравитация и электромагнетизм-Минск: Изд-во "Университетское", 1987.-С. 3-9.

290. Obukhov Yu. N. and Korotky V. A. The Weyssenhoff fluid in Einstein-Cartan theory //Class. Quantum Grav.-1987.-V. 4.-P. 1633-1657.

291. Babourova О. V., Frolov B. N. On the variational theory of perfect spinning fluids in the Riemann-Cartan space-time //In: Abstr. cont. papers, 12th Intern. Conf. on Gen. Rel. and Grav. (USA, Boulder, 1989), p. 151 (A3:08).

292. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренними степенями свободы //Дис. канд. физ.-мат. наук.-М.: ВНИЦПВ, 1989.-149 с.

293. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория М.: Наука, 1968.-Ч. 1.-480 с.

294. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля /6-е изд., испр. и доп-М.: Наука, 1973.-504 с.

295. Бабурова О. В., Пономарев В. Н., Фролов Б. Н. Уравнения движения материи как следствие уравнений поля обобщенной теории гравитации в пространстве Римана-Картана //В сб.: Гравитация и электромагнетизм-Минск: Изд-во "Университетское", 1988.—С. 8-10.

296. Ирошников Г. С. О непертурбативном вычислении адронных полевых корреляторов //ЯФ.-1986.-Т. 44.-С. 1554-1564.

297. Белов В. В., Маслов В. П. Квазиклассические траекторно-когерен-тиые состояния оператора Дирака с аномальным взаимодействием Паули //ДАН CCCP.-1989.~T. 305.-С. 764-780.

298. Белов В. В., Кондратьева М. Ф. ,,Классические"уравнения движения в квантовой механике с калибровочными полями //ТМФ-1992.-Т. 92.-С. 41-61.

299. Белов В. В., Маслов В. П. Квазиклассические траекторно-когерен-тные состояния в квантовой механике с калибровочными полями //ДАН СССР.-1990.-Т. 311.-С. 849-853.

300. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные решения уравнений Эйнштейна. /Под ред. X. Шмутцера: Пер. с англ-М.: Энергоиздат, 1982.-416 с.

301. Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштей-на.-М.: Наука, 1972.-199 с.

302. Sipper R. and Goenner Н. Symmetry classes of pp-waves //Gen. Rel. Grav.-1986.-V. 18.-P. 1229-1243.

303. Sola J. The cosmological constant and the fate of the cosmon in Weyl conformal gravity //Phys. Lett.-1989-V. B228.-P. 317-324.

304. Tolman R. C., Relativity, Thermodynamics and Cosmology (Clarendon Press, Oxford, 1969) (Перевод: Толмен P. Относительность, термодинамика и космология, М.: Наука, 1974.-520 с.)

305. Tresguerres R. Exact vacuum solutions of 4-dimentional metric-affine gauge theories of gravitation //Z. Phys. C.-1995.-V. 65.-P. 347-354.