автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов, описываемых уравнениями типа Лиувилля, применительно к теории гравитации и космологии

1 Введение

2 Точные решения уравнений Лиувилля в классе тг-форм

2.1 Внедиагональное представление оператора Лапласа

2.2 Общая схема построения точных решений.

2.2.1 Классификация решений

2.2.2 Точные решения с рациональными координатными функциями.

2.2.3 Точные решения с тригонометрическими и гиперболическими координатными функциями.

2.3 Примеры построения точных решений.

2.3.1 Уравнения Лиувилля в размерности внедиагональ-ного представления п = 3.

2.3.2 Метод погружения в пространство четного числа измерений п — 4.

3 Неоднородная космологическая модель Маджумдара-Папапетроу

3.1 Общие свойства модели.

3.1.1 Пространство-время Маджумдара-Папапетроу

3.1.2 Ограничения накладываемые на метрику пространства-времени.

3.1.3 Выбор источников гравитационного поля.

3.2 Модель с постоянной амплитудой флуктуаций.

3.2.1 Решение уравнений Эйнштейна.

3.2.2 Динамика Вселенной.

ОГЛАВЛЕНИЕ

3.3 Модель с амплитудой флуктуаций, изменяющихся со временем

3.3.1 Решение уравнений Эйнштейна.

3.3.2 Динамика Вселенной.

3.4 Нелинейная сигма-модель.

3.5 Уравнения движения пробной частицы.

4 Пространственные распределения полей

4.1 Пространственные структуры, описываемые уравнением Лапласа.

4.2 Пространственные структуры, описываемые уравнением Лиувилля.

А Тензора Эйнштейна и Римана в различных классах метрик

А.1 Метрика Маджумдара-Папапетроу.

А.1.1 Тензор Римана

А. 1.2 Тензор Эйнштейна.

А.2 Метрика с постоянной амплитудой возмущений

А.2.1 Тензор Эйнштейна.

А.З Метрика с переменной амплитудой возмущений.

А.3.1 Тензор Эйнштейна.

Глава 1 Введение

Если рассматривать современный подход к моделированию процессов эволюции Вселенной и формирования ее структуры, то его можно разделить на два этапа. Первый этап заключается в построении глобальной однородной и изотропной модели Вселенной - так называемого фонового решения [1]. Применение методов численного моделирования на данном этапе построения модели оказывается затруднительным, так как они требуют жесткой постановки начальных и граничных условий, полностью сформулировать которые на сегодняшней стадии развития науки не представляется возможным. Поэтому исследователю приходится перебирать множество вариантов начальных и граничных условий задачи, подбирать различные формы материальных источников гравитационного поля таким образом, чтобы результаты моделирования согласовывались с имеющимися на сегодняшний день экспериментальными (наблюдательными) данными. С другой стороны, большой точности для описания фонового решения не требуется, т.к. для современных задач достаточно добиться правильного по характеру поведения решений на определенных стадиях эволюции и правильного асимптотического поведения решений. В связи с этим на данном этапе построения моделей рациональнее применять аналитическое моделирование, то есть анализировать результаты моделирования на основе точных решений.

Одним из центральных элементов современных космологических сценариев является наличие инфляционной эпохи [2]. Достаточно точно известен характер материи, которой была заполнена Вселенная на ранних этапах своего развития во время инфляционного процесса. Материя такого типа представляет собой однородное скалярное поле, подобное квантовому вакууму, эффективное уравнение состояния которого имеет вид близкий к так называемому квазивакуумному уравнению состояния: р = —р, где р - эффективное давление, ар- плотность энергии материи. Именно материя с такими свойствами реализует экспоненциально быстрое расширение Вселенной [2, 3]. Кроме инфляционной эпохи современные наблюдательные данные указывают на существование в процессе эволюции эры преобладания излучения, когда Вселенная была заполнена изотропным электромагнитным излучением, имеющим уравнение состояния р = р/3, и эры преобладания вещества, которая соответствует современному состоянию Вселенной [4]. В современную эпоху предполагается, что Вселенная заполнена в основном материей в форме вещества с уравнением состояния близким к пылевидному, т.е. с р ~ О и изотропным плаиковским электромагнитным излучением с температурой Т ~ 2.73К0 [2, 4]. Если факт существования инфляционной стадии в истории Вселенной и стадии последующего фридмановского расширения установлены надежно, то сама трактовка перехода с одного режима на другой является важной проблемой всех инфляционных сценариев. Проблема описания перехода расширения Вселенной от одного режима к другому связана с проблемой правильной интерпретации физических свойств материальных полей, заполняющих Вселенную в эти периоды времени, и характеристик фазовых переходов, сопровождающих смену режимов. Таким образом возникает проблема описания космологических моделей с несколькими материальными источниками гравитационного поля, имеющими различную физическую природу. Эта проблема распадается в свою очередь на задачи описания глобальной космологической динамики с различными типами материи и их трансформациями друг в друга в приближении однородной, изотропной и плоской Вселенной и на задачи развития крупномасштабной структуры распределения материи и связанных с ней полей как соответствующих возмущений на фоне глобальной модели Вселенной.

Динамика однородной и изотропной Вселенной описывается уравнениями Фридмана, получаемых из уравнений Эйнштейна, которые можно записать в виде [1] а

2 8тг в кс2

С1-1) а2 3 а2 где а - масштабный фактор, р и р - давление и плотность энергии всех типов материи соответственно [р — рс2), к = 0, ±1 - постоянная кривизны пространства, С - гравитационная постоянная. Данные уравнения являются отражением того факта, что динамика Вселенной фактически определяется типом материи, заполняющей ее. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Перепишем второе уравнение Фридмана (1.2) в виде, соответствующем движению частицы в поле тяготения, создаваемом на поверхности сферы радиуса а точечной массой М в центре сферы

СМ (л ъ а=-—г, (1.3) а< где полная "гравитационная масса". Масштабный фактор а в такой записи выступает в роли радиус-вектора, проведенного из центра сферы, а вторая производная по времени от него эквивалентна ускорению, которое испытывает точка массы М на поверхности сферы. Величина этого ускорения полностью определяется величиной М. При этом выражение (1.4) отражает тот факт, что в Эйнштейновской теории гравитации давление материи оказывает влияние на динамику Вселенной, т.е. "имеет вес" и ускорение (или замедление) расширения фактически определяется эффективным уравнением состояния вещества во Вселенной.

До недавнего времени считалось, что расширение Вселенной в современную эпоху описывается решением ФРУ и масштабный фактор изменяется пропорционально ¿2//3 (для случая плоской Вселенной к — 0). Однако, результаты наблюдений за сверхновыми типа 1а, проведенные в 1998 году двумя группами исследователей [5, 6], показали, что расширение Вселенной на сегодняшнем этапе эволюции происходит не с замедлением, а с ускорением [7].

Для ускоренного расширения Вселенной, согласно уравнению Фридмана (1.2), необходимо, чтобы выполнялось условие а > 0, т.е. полная гравитационная масса М в выражении (1.3) должна быть меньше нуля. Это условие выполняется, только если уравнение состояния материи имеет вид, близкий квазивакуумному:

V < ~\рс2. (1.5)

Если материя, заполняющая Вселенную, описывается уравнением состояния вида

Р — 1Рч (здесь и далее) с = 1, то условие ускоренного расширения Вселенной можно записать в виде

7 < (1.6)

Т.е. для того, чтобы расширение Вселенной происходило с ускорением, необходимо доминирование в ней материи, характеризующейся отрицательным давлением.

Один из способов введения материи, удовлетворяющей (1-6), заключается в рассмотрении модели с космологической постоянной Л, введенной Эйнштейном для того, чтобы получить уравнения, описывающие статическую Вселенную [8]

1 втгС^

Чк - 29гкИ ~ Л9гк = —Т(к.

Физический смысл космологической постоянной можно увидеть, если переписать второе уравнение Фридмана (1.2) а 4тг(7 / 3р\ Ас2 т.е. космологическая постоянная вводилась Эйнштейном для того, чтобы сбалансировать гравитационное притяжение отталкиванием. Если же этот баланс нарушить

4тгС / 3р" то становится возможным получить ускоряющуюся Вселенную. Поскольку при этом Л-член оказывается несвязанным ни с каким материальным

А 2 источником, то энергию, связанную с ним /?л = назвали "энергией вакуума".

Однако, как показывают расчеты [9], [10], если большая часть Вселенной сопротивляется гравитационному притяжению, то невозможно формирование мелкомасштабной структуры Вселенной в прошлом. Эту дилемму можно разрешить, если предположить, что в прошлом эта гипотетическая темная энергия была незначительной, и только с недавнего времени стала доминирующей во Вселенной, т.е. необходимо, чтобы плотность энергии, связанная с А-членом менялась со временем, т.е. факти

А с2 3 чески необходимо ввести некоторую материю, характеризующуюся отрицательным давлением. Материя такого типа получила в литературе название "квинтэссенция" [5].

Одним из главных претендентов на роль квинтэссенции является самодействующее скалярное поле [9, 11, 12, 13], поскольку в изотропной Фридмановской Вселенной тензор энергии-импульса скалярного поля идентичен тензору энергии-импульса идеальной жидкости (3.22),(3.23). Если V > \ф2, то потенциальная энергия доминирует над кинетической, и эффективное уравнение состояния идеальной жидкости р — je в результате принимает квазивакуумный вид, который может удовлетворять условию (1.6).

В современной космологии и астрофизике имеется еще одна, неразрешенная пока проблема, связанная с существованием "темной материи". В космологии и астрофизике в настоящее время имеются экспериментальные свидетельства существования специфических форм материи [1, 14], которые явно не обнаруживаются в прямых экспериментах, но оказывают косвенное, и весьма существенное влияние на динамику наблюдаемой ("видимой") материи. Такая форма материи ("dark matter"), свидетельства существования которой появились еще в 30-х годах, обнаруживается в динамике больших скоплений звезд и галактик и является одним из важнейших факторов формирования глобальной структуры Вселенной.

Второй этап построения космологической модели служит для сопоставления ее предсказаний с имеющимися на сегодняшний день данными о распределении флуктуаций плотности материи, такими, как галактики и скопления галактик. Для этого обычно, сделав более или менее правдоподобные предположения о размере, амплитуде и характере начальных возмущений фонового решения, получают логические и математические следствия этих предположений и сопоставляют их с современными данными [15].

При этом отдельно классифицируют возмущения гравитационного поля и возмущения плотности материи. Гравитационные возмущения можно разделить на 3 типа [17, 18]. Эта классификация сводится к определению возможных типов плоских волн, в виде которых может быть представлен симметричный тензор <5 <7^, описывающий возмущения к метри

0) ческому тензору д\к :

1. Скалярные возмущения, определяемые с помощью скалярной функции ешг.

Из нее можно составить вектор Р = п(5 и два тензора

В данном разделе греческие индексы нумеруют числа с 1 до 4, латинские - с 1 до 3.) В этом случае наряду с гравитационным полем возмущения испытывают скорость и плотность материи, причем Ьдъа строится из тензоров С^ьа и

2. Векторные возмущения:

Э = Бе1пг] 8п = 0.

Из вектор-функции 8 можно построить тензор п13-+- па3через который будет определяться тензор возмущений к метрике гравитационного поля 5дьа. Описывают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает изменения скорость, но не плотность материи. Эти возмущения можно также назвать вращательными.

3. Тензорные возмущения: 0.

Эти возмущения описывают возмущения гравитационного поля, при которых материя остается неподвижной, т.е. это - гравитационная волна в изотропном мире [17].

Классификация возмущений плотности материи осуществляется исходя из двух предположений [15, 19]:

1. Вселенная имеет идеальную, невозмущенную метрику. Возмущения представляют собой неоднородности в распределении барионов на фоне однородно распределенного излучения. Поэтому отношение 7/В (число фотонов на один барион) - непостоянно. Так как удельная энтропия пропорциональна этой величине, то такие возмущения называют энтропийными.

2. Возмущения представляют собой общее движение фотонов и барионов. Так как в этом случае энтропия сохраняется, то такие возмущения называют адиабатическими.

При этом, в силу сложности получаемых уравнений, обычно рассматривают линеаризованные уравнения динамики плотности возмущений. Однако, если для описания структурных особенностей распределения флуктуаций по отношению к однородному фону применение теории возмущений является оправданным с точки зрения наблюдательных данных [20], то с точки зрения динамики таких возмущений этот подход может оказаться не совсем адекватным [21]. Действительно, обнаруживаемые структурные элементы Вселенной, такие как войды, скопления галактик, космические блины и струны, говорят о том, что процесс их образования может быть существенно нелинейным и для моделирования возникновения глобальной структуры Вселенной возможно необходимо использовать какие-либо другие подходы, учитывающие существенно нелинейный характер процесса динамики флуктуаций [24].

Однако, подобный подход справедлив для описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной на уровне сверхскоплений. Для описания более мелкомасштабной динамики флуктуаций и формирования локализованных структур он не годится, поскольку данные процессы могут быть существенно нелинейными, о чем свидетельствует существование войдов, "космических струн" и т.п. Для описания таких структур и меньших по масштабу эффективно использовать неоднородные космологические модели [23]. При этом, в рамках неоднородных космологических моделей оказывается возможным описание формирования таких пространственных структур во Вселенной как войды [25, 26], галактики

27], доменные стенки [28] и другие топологические дефекты типа космические струн и блинов [29].

В связи со сказанным, неоднородные космологические модели представляют собой важный, но малоисследованный объект в современной космологии. Это связано с математическими трудностями анализа уравнений Эйнштейна без привлечения теории возмущений. Любое продвижение в этой области является новым и актуальным. Для разработки таких моделей необходимо привлекать новые методы. Одним из наиболее привлекательных объектов для исследования формирования и эволюции структур во Вселенной в нелинейном режиме являются диагональные метрики Маджумдара-Папапетроу, ранее использовавшиеся для описания самогравитирующего электростатического поля [30, 31]. В рамках данной работы предлагается нестатическое обобщение этих метрик, что позволяет исследовать космологическую эволюцию материальных структур, создающих неоднородное гравитационное поле. Прогресс в этой области оказался возможным в связи с развитием в последнее время методов построения точных решений уравнений Лиувилля в многомерных пространствах [32].

Целью диссертационной работы является моделирование режимов эволюции Вселенной, гравитационное поле которой описывается нестатическим обобщением метрики Маджумдара-Папапетроу, а так же процессов формирования локализованных структур в ней, в том числе, космических струн, доменных стенок, скоплений галактик. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать метод точного математического анализа уравнений динамики гравитационного и материальных полей в нестатической модели с метриками Маджумдара-Папапетроу;

2. Найти точные решения уравнений Эйнштейна с различными комбинированными источниками гравитационного поля, которое описывается нестатической метрикой Маджумдара-Папапетроу;

3. Исследовать космологическую динамику в такой модели и установить взаимосвязь между темпом эволюции и характером материальных источников в ней. В частности, рассмотреть вопросы о наличии стадий инфляции и современного ускоренного расширения Вселенной;

4. Исследовать условия формирования в нелинейном режиме различных типов структур в такой модели, в том числе доменных стенок, космических струн и скоплений галактик.

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Разработан метод построения и получены в явном виде точные вещественные решения уравнения Лиувилля с оператором Лапласа в трехмерном пространстве путем погружения в комплексное пространство большего числа измерений;

2. Впервые найдены точные решения уравнений Эйнштейна для неоднородной космологической модели, построенной на базе нестатического обобщения метрики Маджумдара-Папапетроу, с различными комбинированными источниками гравитационного поля в форме идеальной жидкости и совокупности скалярных полей;

3. Показано, что построенная космологическая модель может содержать стадию ускоренного расширения Вселенной, которая в зависимости от параметров материальных источников гравитационного поля может быть сопоставлена как с инфляционной стадией, так и со стадией ускоренного расширения в современную эпоху;

4. Построена математическая модель пространственного распределения материального и гравитационного полей в рассматриваемой неоднородной космологической модели, которая описывает сложные пространственные структуры, соответствующие доменным стенкам, космическим струнам и блинам.

Практическая значимость полученных автором результатов:

1. Разработанный метод построения точных решений уравнений Лиу-вилля и Лапласа позволяет получать аналитические решения в широком круге задач математического моделирования, в том числе в астрофизике и космологии;

2. Построенная неоднородная космологическая модель может служить основой для интерпретации современных экспериментальных данных о наблюдаемых в настоящее время космологических структур типа доменных стенок, космическим струн и блинов;

3. Результаты, полученные при моделировании космологической динамики Вселенной, представляют собой один из вариантов объяснения ускоренного расширения Вселенной на современном этапе и проблемы "квинтэссенции";

4. Моделирование динамики пробной частицы в рамках построенной космологической модели дает один из вариантов объяснения проблемы скрытой массы или "темной материи".

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод погружения исходного координатного пространства в комплексное пространство большего числа измерений позволяет строить точные вещественные решения уравнений Лиувилля с оператором Лапласа в трехмерном пространстве в классах п-форм.

2. Уравнение Лиувилля в трехмерном пространстве допускает в явном виде классы точных решений в виде рациональных, тригонометрических и гиперболических функций, отвечающих различным модельным и асимптотическим условиям на бесконечности, таким как периодичность, постоянство на бесконечности.

3. Неоднородная космологическая модель в классе метрик, являющихся нестатическим обобщением метрики Маджумдара-Папапетроу с различными комбинированными источниками гравитационного поля, описывает ускоренное расширение Вселенной, которое можно сопоставить как инфляционной стадии ее эволюции, так и современной стадии ускоренного расширения.

4. Математическая модель пространственного распределения материального и гравитационного полей в рассматриваемой неоднородной космологической модели подчиняется уравнению Лиувилля с оператором Лапласа в трехмерном пространстве и описывает сложные пространственные структуры, соответствующие доменным стенкам, космическим струнам и блинам.

5. Математическая модель динамики пробной частицы в гравитационном поле, описываемом в рамках рассматриваемой космологической модели, обладает специфическими свойствами, которые допускают трактовку как эффект "скрытой массы".

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на: 10-й Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), Международной конференции "Геометризация физики IV" (Казань, 1999), VII Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-2000" (Москва, 2000), XII международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга-12'2000" (Казань, 2000), 3-й международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2000), 2-й международной школе-семинаре "Проблемы теоретической космологии Ш88-2000" (Ульяновск, 2000), 2-й международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 2000), Украино-российской конференции "Гравитация, Космология и Релятивистская Астрофизика" (Харьков, 2000), 7-й Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых ВНКСФ-Т (Санкт-Петербург, 2001), XIII международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга-13'2001" (Казань, 2001), Всероссийской астрономической конференции "ВАК-2001" (Санкт-Петербург, 2001), V международной конференции стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), 4-й между народной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2001), а также на семинаре по гравитации и космологии памяти Зельманова (МГУ, ГАИШ, 2001), на ежегодных конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета, на семинарах Лаборатории фундаментальных исследований физико-технического факультета УлГУ, Института теоретической физики УлГУ, кафедры теоретической и математической физики УлГУ.

Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертационной работе: постановка задач осуществлялась научным руководителем, к.ф.-м.н. Журавлевым В.М.; теоретические положения разработаны совместно с Журавлевым В.М.; проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации: По теме диссертационной работы опубликовано 18 работ. Из них 5 - статей, 1 работа опубликована в Los Alamos e-print архиве, 12 работ - в тезисах докладов и трудах конференций.

Структура работы: Диссертационная работа изложена на 105 страницах, состоит из четырех глав, одного приложения и заключения, содержит 15 рисунков, 95 ссылок на оригинальную научную литературу.

В первой главе (Введении) сформулированы цели диссертационной работы и ее актуальность. Вторая глава посвящена рассмотрению метода n-форм построения точных решений уравнений Лапласа и Лиу-вилля. Сформулированы основные принципы, лежащие в основе метода, произведена классификация решений, приведены примеры построения точных решений. Третья глава диссертационной работы посвящена рассмотрению космологической модели, построенной на основе нестатического обобщения метрики Маджумдара-Папапетроу с различными комбинированными источниками гравитационного поля в виде идеальной жидкости и совокупности скалярных полей. Четвертая глава диссертации посвящена анализу пространственных структур гравитационного и материального полей, возникающих в модели. Найдены классы решений типа доменных стенок, космологических блинов и струн.

Глава 2

Точные решения уравнений Лиувилля в классе п-форм

При исследовании стационарных процессов различной природы (колебания, теплопроводность, диффузия) часто приходят к рассмотрению уравнений эллиптического типа [34, 35, 36, 37]. Наиболее типичными уравнениями этого типа являются уравнение Лапласа: д2 д2 д2 0, гДе Л = + + (2-1) и уравнение Пуассона:

Аи(х,у,г) = /(х,у,г). (2.2)

В случае, если функция /(х,у^) в уравнении Пуассона (2.2) представляет собой функцию, содержащую нелинейность лиувиллевского типа: /(х,у,г) ~ ехр(и(х,у,г)), то говорят об эллиптических уравнениях лиувиллевского типа, либо просто о уравнениях Лиувилля [38].

Для нахождения решения уравнения Лапласа и Лиувилля с оператором Лапласа могут использоваться три различных подхода. Первый подход - это использование фундаментальных решений уравнения Лапласа [34]: щ(г) = 1 (2.3) г в трехмерном случае, и

2.4) в двумерном. Фундаментальные решения удовлетворяют уравнению Лапласа во всем пространстве, за исключением точек г = 0 и р = 0 соответственно. Появление сингулярностей означает, что данная теория не является полной теорией [39]. Поскольку сингулярные точки должны быть вырезаны из пространственного многообразия, в них нельзя определить уравнения полей и тем самым предсказать, что произойдет с сингуляр-ностями.

Второй подход заключается в представлении решения при помощи функций Грина [34, 40]. В самом общем случае в трехмерном пространстве решение в точке Мд будет иметь вид где Мр - точка на границе области, ЯммР ~ расстояние от точки М до Мр, д/дп - производная по нормали к поверхности 5, йа - элемент площади поверхности. Таким образом, гармоническая функция внутри любой точки области выражается через значение этой функции и и ее нормальной производной ди/дп на границе области [34, 40]. Однако эта формула не совсем удобна для построения точных решений, поскольку аналитически найти значение интеграла в формуле (2.5) удается только в ограниченном ряде случаев.

Третий подход к решению уравнения Лапласа - это использование метода разделения переменных. Применение этого метода возможно только в очень ограниченном ряде задач, когда граница области такова, что возможно разделение переменных [34]. В частности, можно выделить следующие области: круг, кольцо и прямоугольник - в двумерном пространстве, прямоугольный параллелепипед - в трехмерном.

Основным объектом исследования будут уравнения Лиувилля и Лапласа, имеющие вид

2.5)

ДФ = «ехр(-2Ф), ДФ = 0,

2.6) где О - вещественная постоянная. Для дальнейшего изложения удобно рассматривать однородные уравнения Лапласа как частные случаи уравнения Лиувилля, соответствующие значению = 0. Это позволяет классы решений уравнений Лапласа описывать с помощью специальных классов уравнения Лиувилля.

Заключение

В работе рассмотрен метод построения точных решений уравнения Лиу-вилля с оператором Лапласа при помощи метода п-форм и приложение данных решений в теории гравитации и космологии. Получены следующие результаты:

1. Разработан метод построения точных вещественных решений уравнения Лиувилля с оператором Лапласа в трехмерном пространстве. Метод основан на погружении исходного трехмерного пространства в комплексное пространство большего числа измерений.

2. В явном виде найдены различные классы точных решений уравнения Лиувилля в трехмерном пространстве в виде рациональных, тригонометрических и гиперболических функций, отвечающих различным модельным и асимптотическим условиям на бесконечности, таким как периодичность, постоянство на бесконечности.

3. Построена неоднородная космологическая модель в классе метрик, являющихся нестатическим обобщением метрики Маджумдара-Папапетроу с различными комбинированными источниками гравитационного поля в форме идеальной жидкости и совокупности скалярных полей. Показано, что построенная модель содержит стадию ускоренного расширения Вселенной, которая, в зависимости от параметров материальных источников гравитационного поля, может быть сопоставлена как с инфляционной стадией, так и со стадией ускоренного расширения в настоящую эпоху.

4. Построена математическая модель пространственного распределения материального и гравитационного полей в рассматриваемой кос

93 мологической модели. Показано, что данное распределение удовлетворяет уравнению Лиувилля с оператором Лапласа в трехмерном пространстве. С помощью разработанного метода построения точных решений уравнения Лиувилля найдены различные варианты пространственных структур гравитационного и материального полей. Показано, что данная математическая модель допускает существование таких сложных структур как доменные стенки, космические струны и блины.

5. На основании математической модели динамики пробной частицы в построенной космологической модели показано наличие эффекта "скрытой массы".

1. С. Вейнберг. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975, 696с.

2. А.Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.:Наука, (1990).

3. А. Н. Guth. Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems. Phys. Rev. D 23, 347 (1981).

4. А.Д. Долгов, Я.Б. Зельдович, M.B. Сажин. Космология ранней Вселенной. М.:МГУ, 1988.

5. S. Perlmutter, et al. Measurements of Vi and A from 42 High-Redshift Supernovae.// ApJ 517 (1999) 565, preprint astro-ph/9812133.

6. A.G. Riess et al. Snapshot Distances to Type la Supernovae All in "One" Night's Work.// Astron.J 116 (1998) 1009-1038, Los Alamos e-print archive astro-ph/9804065.

7. C.J. Hogan, R.P. Kirshner, N.B. Suntzeff. Surveying Space-time with Supernovae. //Scientific American, January 1999, 28.

8. Р.Толмен. Относительность, термодинамика и космология. М.:Наука, (1974).

9. N.A. Bahcall, J.P. Ostriker, S. Perlmutter, P.J. Steinhard. The Cosmic Triangle: Assessing the Stute of the Universe.// Science 284, (1999) 1481, Los Alamos e-print archive astro-ph/9906463.

10. V. Sahni, A. Starobinsky. The Case for a Positive Cosmological K-term. yjl/Los Alamos e-print archive astro-ph/9904398.

11. Т. Matos, L.A. Urena-Lopez. Quintessence and scalar dark matter in the Universe. // Class. Quantum Grav. 17 (2000) L75-L81.

12. T. Torii, K. Maeda, M. Narita. Can the cosmological constant support a scalar field?// Phys.Rew.D 59 (1999).

13. I. Waga, J.A. Frieman. New contraints from high redshift supernovae and lensing statistics upon scalar field cosmolgies.// Phys.Rew.D 62 (2000).

14. M.S. Turner. Dark Matter and Dark Energy in the Universe.// Astron.Soc.Pac.Cohf.Ser. 666; Los Alamos e-print archive astro-ph/9811454.

15. Я.Б. Зельдович. Теория крупномасштабной структуры Вселенной. В сб. Крупномасштабная структура Вселенной. М., Мир, 1981.

16. Крупномасштабная структура Вселенной. М., Мир, 1981.

17. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Т II. Теория поля. М.: Наука, 1973, 504 с.

18. Е. Bertschinger. Cosmological Perturbation Theory and Structure Formation.// COSMOS2OO, Conference Proceedings; Los Alamos e-print archive astro-ph/0101009.

19. K.A. Malik. Cosmological Perturbations in an Inflationary Universe. Submitted for the Degree of Doctor of Philosophy Department of Computer Science and Mathematics University of Portsmouth, UK.

20. В.Ф. Муханов. Квантовая теория калибров очно-инвариантных космологических возмущений.// ЖЭТФ, 94, 1998, с. 1.

21. М.С. Лонгейер. Частное мнение о крупномасштабной структуре Вселенной. В сб. Крупномасштабная структура Вселенной. М., Мир, 1981.

22. Ф.Дж.Э. Пиблс. Структура Вселенной в больших масштабах. М.:Мир, 1983, 408 с.

23. A. Krasinski. Inhomogeneous cosmological models. Cambridge, 1997.

24. A. Krasinski. Physics and cosmology in an inhomogeneous Universe. // Los Alamos e-print archive gr-qc/9806039.

25. F.Occionero, P. Santangelo, N. Vittorio. // Astron. Astrophys. 97, 169.

26. W.B. Bonnor, A. Chamorro. // Astrophys. J. 378, 461.

27. J.W. Moffat, D.C. Tatarski. Redshift and structure formation in a spatially flat inhomogeneous universe. // Phys.Rev.D 45, 3512.

28. Tanmay Vachaspati. Lectures on Cosmic Topological Defects. Los Alamos e-print archive hep-ph/0101270.

29. R.H. Brandenberger. Topological Defects and Cosmology. Los Alamos е-print archive gr-qc/9806473.

30. A. Papapetrou. A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution. // Proc. Roy. Irish Acad. A 51, 191 (1947).

31. S.D. Majumdar. A Class of Exact Solution of Einsteins Feld Equations. // Phys.Rew, 72, 390 (1947).

32. B.M. Журавлев. Точные решения уравнения Лиувилля в многомерных пространствах // ТМФ, т. 120, Ж1, с. 3-19.

33. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика: Механика, т.1 М.: Наука, 1988, 215 с.

34. А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. Лекции по математической физике. М.МГУ, 1993, 352 с.

35. Э.Маделунг. Математический аппарат физики. М.: "ФИЗМАТ-ЛИТ", 1961, 618 с.

36. Ф.М.Морс, Г.Фешбах. Мет,оды теоретической физики. М.-"Иностранная литература", 1958 т.1, 931 с.

37. Ф.М.Морс, Г.Фешбах. Методы теоретической физики. М.:"Иностранная литература", 1960, т.2, 897 с.

38. Р.Курант. Уравнения с частными производными. М.: "МИР", 1964, 830 с.

39. С.Хокинг, Р. Пенроуз. Природа пространства и времени. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 160 с.

40. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1977, 735 с.

41. В.М. Журавлев, Д.А. Корнилов. Точные решения в классе неоднородных космологических моделей с идеальной жидкостью и скалярным полем. Ульяновск: Ученые записки УлГУ, серия физическая, 2001, с. 3-10.

42. В.М. Журавлев, Д.А. Корнилов. Точные решения многомерных уравнений типа Лиувилля и их приложение в теории гравитации и космологии. // Материалы второй международной конференции "Фундаментальные проблемы физики", Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2000, с. 79.

43. Д. Крамер, X. Штефани, М. Мак-Каллум, Э. Херльт. Точные решения уравнений Эйнштена. М.: Энергоиздат, 1982, 416 с.

44. N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. // Gen. Reí. Grav. J. 4 (1973) 435-447.

45. H. Yilmaz. New Approach to General Relativity. // Phys.Rev.lll, 51 (1958).

46. U.Muench, F.Gronwald, F.W.Hehl. A small guide to variations in teleparallel gauge theories of gravity and the Kaniel-Itin model // Los Alamos e-print archive gr-qt/9801036.

47. M. Giirses. Sources for the Majumdar-Papapetrou Space-times. Los Alamos e-print archive gr-qc/9805002.

48. V. Varela. Analytical Description of Voids in Majumdar-Papapetrou Spacetimes. Los Alamos e-print archive gr-qc/9911062.

49. M. Heusler. On the Uniqueness of the Papapetrou-Majumdar Metric. Los Alamos e-print archive gr-qc/9607001.

50. K. Watt and C.W. Misner. Relativistic Scalar Gravity: A Laboratory for Numerical Relativity. // Los Alamos e-print archive gr-qc/9910032.

51. Sh. Kaniel, Yakov Itin. Gravity on parallelizable manifold. // Gen.Rel.Grav. 31 (1999) 187-204.

52. Yakov Itin. Coframe teleparallel models of gravity. Exact solutions. //Los Alamos e-print archive gr-qc/9912013.

53. Yakov Itin. Conserved currents for general teleparallel models //Los Alamos e-print archive gr-qc/0103017.

54. F.Fayos, C.F.Sopuerta. On the Papapetrou field in vacuum. // Los Alamos e-print archive gr-qc/9907029.

55. V.Varels. Construction of sources for Majumdar-Papapetrou spacetimes. // Los Alamos e-print archive.

56. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Majumdar-papapetrou type solutions in sigma-model and intersecting p-branes.// Los Alamos e-print archive hep-th/9802121.

57. M.A. Grebeniuk, V.D. Ivashchnk. Sigma-model solutions and intersecting p-branes related to lie algebras. Los Alamos e-print archive hep-th/9805113

58. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, 760с.

59. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964, 664 с.

60. J.D. Barrow, P. Saich. Scalar-field cosmologies. Jj Class. Quantum Grav. 10 (1993) 279-283.

61. B.M. Журавлев, Д.А. Корнилов. Неоднородная космологическая модель со скалярным полем и квинтэссенция, // Уч. записки Ульяновского гос. ун-та. Сер. физ., 2000, J№ 1(8), с. 6-9.

62. С.В. Червон. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. Уляновск, 1997, 191 с.

63. В.М. Журавлев, С.В. Червон, В.К. Щиголев. Новые классы решений в инфляционной космологии, // ЖЭТФ, 1998, т. 114, с. 406-407.

64. S.V.Chervon, Chiral ■ nonlinear sigma models and cosmological inflation// Gravitation & Cosmology, 1995, 1, № 2, P.1-7.

65. J.Schwinger. A theory of fundamental interactions.) j Ann.Phys., 1957, 2, P.407-434.

66. T.H.R.Skyrme. A nonlinear theory of strong inderactions.// Proc.Roy.Soc., 1958, A247, № 1249, P.260-278.

67. M.Gell-Mann, M.Levy. The axial vector current in beta decay, j j Nuovo Cim., 1960, 26, № 4, P.705-726.

68. А.А. Белавин, A.M. Поляков. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетка.// Письма в ЖЭТФ, 1975, 22, N2 10, С.503-506.

69. М.Forger. Instations in nonlinear sigma-models gauge theories and general relativity.// Lect.Not.Phys., 1981, 139, P.110-134.

70. A.M.Переломов. Решения типа инстантонов в киралышх моделях./ / Успехи физических наук, 1981, 134, № 4, С.577-609.

71. A.M.Perelomov. Chiral models: geometrical aspects./* Pliys. Reports. 1987, 146, № 3, P.136-213.

72. R. Geroch. A method for generating solutions of Einstein's equations.-J. Math. Phys, 1971, 12, P. 918-924.

73. D. Maison. On the complete inte.grability of the stationaryaxially symmetric Einstein equation./j J. Math. Phys., 1979, 20, Ny 5. P.871-877.

74. M. Luscher, K. Pohlmeyer. Integrability aspects and soliton solutions pf some field theoretical equations.// Nucl. Phys., 1978, В 137, P.46-54.

75. V.M. Zhuravlev, D.A. Kornilov. Latent mass effect, in an inhom.oge.ne.ous cosmological model with a self-interacting scalar field and a perfect fluid. // Gravitation & Cosmology, Vol. 5 (1999), № 4, p.p. 325-328.

76. Ю.С. Владимиров, А.Ю. Турыгин. Теория прямого м,еэ\счасти,ч,ного взаимодействия. М.: Энргоатомиздат, 1986, 136с.

77. F. Hoyle, J.V. Narlikar. A radical departure from the 'steady-state' concept in cosmology. // Proc. of Roy. Soc., 1966 290 p. 162-176.

78. Дж.В. Нарликар. Инерция и космология в теории относительности Эйнштейна, В кн.: Астрофизика,, кванты и теория, относительности. М.: Мир, 1982, с. 498-534.

79. F. Hoyle, J.V. Narlikar On the gravitational influence of direct particle fields. Proc.Roy.Soc., 1964, A282, p. 184-190.

80. F. Hoyle, J.V. Narlikar. A conformal theory of gravitation. Proc.Roy.Soc., 1966, A294, p. 138-148.

81. A. JI их норови ч. Теория, относительности и математическая физика. В сб. Астрофизика, кванты и теория относительности. стр. 129-214.

82. Астрофизика, кванты и теория относительности. / Под ред. Ф.И.Федорова, М.:Мир, 1982, с. 560.

83. Г.Г. Иванов. // ТМФ, 1985, т. 62, №1, с. 144.

84. E.J. Copeland, A.R. Liddle, D. Wands. Exponential potentials and cosmological scaling solution. Phys.Rew.D 57 (1998).

85. V.M. Zhuravlev, D.A. Kornilov. Effect of latent mass in inhomogeneous cosmological model with perfect fluid and self-acting scalar field. // Los Alamos eprint archive gr-qc/0002082 (2000).

86. Д.А.Корнилов. Класс точных решений в неоднородной космологической модели с заряженным скалярным полем и идеальной жидкостью. //Вестник молодых ученых. Серия "Физические науки", 2002, №3, с.35-43.

87. М. Каку. Введение в теорию суперструн. М.:Мир, 1999, 624 с.

88. R.Durrer, М. Kunz and A.Melchiorri. Cosmic Structure Formation with Topological Defects. // Los Alamos eprint archive gr-qc/0110348.

89. R.Durrer. Cosmological Structure Formation With Topological Defects.// Los Alamos eprint archive gr-qc/0003363.

90. H.H. Калиткин. Численные методы.

91. A.A. Самарский, А.Г1. Калиткин. Математическое моделирование. М.:Наука, 1997, 320 с.

92. Г.Е.О.Джакалья. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 320 с.

93. В.И. Арнольд, В.В Козлов, А.И. Нейштадт. Математические аспекты классической и небесной механики. М.:ВИНИТИ, 1985, 304 с.