автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитическое и численное исследование гравитирующих статических сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций

003463081

На правах рукописи

Чемарина Юлия Владимировна

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАВИТИРУЮЩИХ СТАТИЧЕСКИХ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ СКАЛЯРНО-ПОЛЕВЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003463081

Работа выполнена на кафедре математических методов современного естествознания Тверского государственного университета.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Цирулёв Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация Лаборатория информационных технологий Объединенного института ядерных исследований

Защита состоится " 27 " февраля 2009 г. в 45- 30 на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6.

Автореферат разослан " '¿011 января 2009 г.

доктор' физико-математических наук, профессор Грац Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Шикин Георгий Николаевич

Ученый секретарь диссертационного совета

Фомин М.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Построение конфигураций самогравитирующих физических полей стало в последние годы одним из приоритетных направлений в развитии современной теории гравитации. Особое внимание при этом уделяется построению частицеподобных конфигураций.

Интерес к исследованию асимптотически плоских самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций обусловлен непосредственной связью с физикой элементарных частиц и космологией, а в более общем плане - с фундаментальным вопросом о роли гравитации в микромире. Вещественное скалярное поле допускает классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки источника гравитации в микромире ие возникает в данном случае, а асимптотические условия, вместе с предположением о минимальности взаимодействия, приводят к естественной и однозначной математической постановке задач. Изучение свойств самогравитирующих частицеподобных конфигураций позволит лучше понять роль гравитации в микромире, оставаясь в рамках общей теории относительности.

Актуальность исследования самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций связана с тем, что гравитирующие скалярные поля в настоящее время рассматриваются как основа для описания новой формы материи небарионного типа - холодной тёмной материи, на существование которой указывают данные астрономических наблюдений последних двадцати лет. Ограничения сверху на интенсивность взаимодействия массивных частиц тёмной материи с известными частицами, полученные из наблюдений и прямых экспериментов по измерению ее годовой модуляции, показывают, что тёмная материя, по-видимому, наиболее адекватно моделируется нейтральным (вещественным) скалярным полем, которое участвует только в гравитационном взаимодействии.

К частицеподобным можно в равной степени отнести как регулярные решения с тривиальной топологией пространства-времени, так и скалярные топологические геоны. Топологический геон является привлекательной моделью элементарной частицы, поскольку её масса, заряд и спин, могут быть определены в рамках соответствующей модели как топологические характеристики пространственно-временного многообразия.

Скалярные чёрные дыры также представляют интерес для изучения. Долгое время считалось, что "чёрные дыры не имеют волос". Однако, в последние годы, появилось много работ, посвящённых исследованию нелинейных гравитирующих полей, свидетельствующих о нарушении этого утверждения. Теорема об отсутствии волос нарушается для скалярных полей с потенциалом самодействия, принимающим отрицательные значения вблизи горизонта. Для гравитиру-ющего скалярного поля интерес представляет исследование степени влияния поля на геометрию чёрной дыры, возможности существования решений с двумя и более горизонтами, связи между радиусом горизонта и гравитационной массой, а также ряда других вопросов.

Среди известных классов пространственно-временных многообразий с нетривиальной топологией определенный интерес представляют активно исследуемые в последние годы кротовые норы (червоточины, \vormholes). Построение точных решений, описывающих проходимые (без горизонта) кротовые норы с фантомным скалярным полем занимают важное место в этих исследованиях. Предполагается, что такие объекты могут возникать на планковском мае1 штабе длины как следствие квантовых флуктуаций.

В общей теории относительности гравитирующее скалярное поле с минимальной связью описывается системой уравнений Эйнштейна и динамическим уравнением поля. При этом основные трудности связаны с решением этой системы при фиксированном потенциале самодействия. На сегодняшний день эта (прямая) задача полностью решена только для безмассового скалярного поля. Поэтому одним из возможных способов отыскания статических сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций является метод обратной задачи, позволяющий полностью восстанавливать решения по функции поля или метрическому коэффициенту, а также численные методы построения решений.

Цель работы

Целью данной диссертационной работы является построение и исследование самогравитирующих статических асимптотически плоских сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций, их классификация по геометрическим и топологическим типам, получение модельных аналитических и численных решений, а также развитие новых методов построения скалярно-полевых конфигураций.

Основные результаты работы

1. Предложен новый подход к решению обратной задачи для само-гравитирующих сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций: проведена специальная редукция полной системы уравнений Эйнштейна; получено общее решение обратной задачи в виде интегральной формулы, позволяющей по заданному скалярному полю ф восстановить метрику и потенциал поля У{ф). Получены интегральные формулы для определения метрики для наиболее часто встречающихся калибровочных условий: статической калибровки и координат типа Крускала.

2. Получен класс решений центрального типа и дана его полная классификация на основе сравнения шварцшильдовой массы с определенным критическим значением. Класс содержит три типа моделей: чёрные дыры с сингулярностью в центре, голые сингулярности и регулярные частицеподобпые решения с тривиальной топологией. Показано, что шварцшильдова масса регулярных решений равна критическому значению, у чёрных дыр больше критического, а у голых сингулярностей меньше критического значения. Доказано, что чёрные дыры обладают единственным горизонтом, масса регулярного решения совпадает по знаку с кинетическим членом.

3. Рассмотрен класс асимптотически плоских статических кротовых нор для фантомного Скалярного поля. Получены условия их существования, доказана проходимость, получена формула для шварц-шильдовых масс. Выделены два типа решений, описывающих симметричные кротовые поры (для них в наиболее удобной калибровке получены формулы для восстановления метрики, поля и его потенциала по функции радиуса) и не симметричные относительно горловины кротовые норы.

4. Построен класс скалярных топологических геонов. Сформулирована теорема взаимности о соответствии между классом скалярных топологических геонов и классом симметричных относительно горловины кротовых нор. Предложен метод получения скалярных топологических геонов из решений центрального типа с горизонтом событий. Получена формула для нахождения собственного времени жизни скалярных топологических геонов с горизонтом событий. Показано, что оно конечно для решений с положительным кинетическим членом.

5. На основе метода обратной задачи получено новое двухпа-раметрическое семейство точных асимптотически плоских решений центрального типа с положительным кинетическим членом. Семейство включает в себя чёрные дыры, голые сингулярности и регулярные частицеподобные решения.

6. Построены точные решения, описывающие статические кротовые норы с различными свойствами: симметричные кротовые норы со всюду положительным и положительным на пространственной бесконечности потенциалами и семейство несимметричных кротовых нор.

7. Посредством численного решения спектральной краевой задачи для системы ОДУ пятого порядка построена статическая конфигурация гравитирующего фантомного скалярного поля в виде топологического геона с физически выделенным потенциалом.

Научная новизна

Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Новизна проявляется в следующих элементах исследования:

1. Развита модификация метода обратной задачи при построении частицеподобных конфигураций гравитирующего статического сферически-симметричного скалярного поля, отличающаяся инвариантностью подхода. Она включает в себя следующие новые элементы: специальная редукция полной системы уравнений Эйнштейна и получение общего решения. Этот подход может быть применён для широкого класса самогравитирующих физических полей.

2. Найдены новые семейства решений уравнений Эйнштейна, описывающие частицеподобные конфигурации, и проведено их исследование. Они отличаются от ранее известных решений ограниченностью потенциала и его положительностью на пространственной бесконечности.

3. Получены новые следствия из теории гравитирующего скалярного поля: единственность горизонта событий, совпадение знака гравитационной массы регулярного решения со знаком кинетического члена.

4. Предложена новая постановка отдельных задач, включающая предположение о иетривиальности топологии пространства-времени.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в том, что построенные методом обратной задачи частицеподобные решения дают новое понимание свойств гравитирующих скалярных полей. Альтернативный вариант решения обратной задачи по восстановлению потенциала, функции поля и метрики по одной известной метрической функции в статической калибровке может быть использован в реальных экспериментах. Такая постановка задачи может помочь в дальнейшем выделить типы потенциалов существующих в реальности гравитирующих скалярных полей, так как заранее вид потенциала не известен. В работе предъявлены конструктивные методы построения решений с заданными свойствами для системы уравнений Эйнштейна. Построенные частицеподобные решения могут описывать новый, мало изученный тип материи - тёмную материю.

Практическая значимость полученных результатов заключается в возможности использования свойств частицеподобных конфигураций скалярного поля при сравнении с данными астрономических наблюдений и планировании экспериментов. Результаты диссертации, полученные в опубликованных работах соискателя, используются при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов на математическом факультете Тверского государственного университета.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность результатов вытекают из использования строгих и апробированных математических методов исследования. В работе используются метод структурных уравнений Кар-тана, аналитические методы вывода, преобразования и решения систем дифференциальных уравнений, асимптотические и интегральные оценки решений.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались па научном семинаре математического факультета Тверского государственного университета "Нелинейные математические модели в естествознании", на международных научных конференциях

"Идеи синергетики в естественных науках", 2006, 2007 гг. (ТвГУ, Тверь), на XLIII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 2007 г. (РУДН, Москва), на 13-й Российской гравитационной конференции, 2008 г. (РУДН, Москва).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 работ, которые в полной мере отражают выносимые на защиту результаты. Работы [1 - 4] опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях и журналах, определенных ВАК Минобрнауки РФ, а остальные - в материалах международных и всероссийских научных конференций. Список работ приведён в конце автореферата.

В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в непосредственном участии в постановке задач и интерпретации результатов, проведении аналитических и численных расчетов; все конкретные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - 115 страниц машинописного текста, включая 29 рисунков и список литературы, содержащий 99 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели и задачи, приведён обзор научных работ по проблемам, решению которых посвящена диссертация, кратко изложено содержание по главам.

В Главе 1 проведена специальная редукция уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля с минимальной связью.

В первом разделе рассмотрены общие принципы описания само-гравитирующего скалярного поля с минимальной связью.

Действие и тензорное поле энергии-импульса имеют вид

= J {-l-S + L^j^d'x, Сф - е(с1ф,с1ф)-2У(ф), (1)

Т = 2ейф®11ф-{е(<1ф,йф) -2V) д. (2)

Здесь используется геометрическая система единиц (G = 1, с = 1), скобки ( ,) обозначают скалярное произведение относительно метрики д, S - скалярная кривизна, У(ф) - потенциал самодействия. Параметр е = ± 1 унифицирует действие для математических моделей с положительным и отрицательным кинетическим членом.

Во втором разделе для метрики сферически-симметричного пространства-времени

g = A2dt ®dt- B2dr ®dr- C2(d9 ® d9 + sin2 в dip® dip), (3)

где А, В и С зависят только от координат t и г, в ортонормированном базисе векторных полей

1

-JOt, ei = — дг , е2 = -=дв , е3 = j^—. А В С С sin t

с помощью структурных уравнений Картана получены выражения для компонент тензорного поля кривизны, составлена система уравнений Эйнштейна и уравнения поля, из которой выделена независимая подсистема:

+ 2-%% - - I = £{ФЬ) + + 2 у, (4)

_2Сш, + + -^0) - 1 = + ФЬ)) _ 2у> (5)

_2Сщ,+2М!) г = 2гф(0)ф{1Ь (6)

Фтп-Фом + Фп^-Фь^ + 'К = о- (7)

Индекс в круглых скобках используется для обозначения производной по направлению соответствующего базисного поля, например, С(о) = е0С = (1 /А)д1С, ф{1) = е1ф = (1 /В)дТф.

Третий раздел посвящен редукции системы (4) - (7). Введение характеристической функции

/ = - (dC.dC) = С2(1) - С%}, (8)

отличающейся знаком от скалярного квадрата 1-формы йС, позволяет в статическом случае выделить два уравнения, полностью определяющие поведение решения:

+ (1 + е^2С2)/-1 + 2С2У = 0, (9)

+ + /-2С2У) - еУ; = 0, (10)

где использованы обозначения /1/ = df/dC, фу = ¿ф/ёС.

Эти уравнения инвариантны относительно выбора калибровочных (координатных) условий.

Тем самым получение решения разделено на два этапа: решение двух инвариантных уравнений (9), (10) и, после выбора конкретных координатных условий, двух оставшихся.

Глава 2 содержит формальное решение обратной задачи, позволяющей восстанавливать метрику и потенциал самодействия по функции поля.

В первом разделе проведён анализ поведения характеристической функции (наличие нулей и асимптотики), позволяющего однозначно отнести решение к определённому типу: чёрная дыра, голая сингулярность, регулярное решение или кротовая нора.

Показано, что условие / = 0, й С ^ 0 при некотором фиксированном С = С* означает наличие горизонта, а условие / = 0, й С = 0 - наличие топологической особенности.

Второй раздел содержит аналитическое решение обратной задачи, когда заданным считается не потенциал, а поле ф(С). Конкретно, получено общее решение системы инвариантных уравнений (9), (10) в виде интегральных формул для нахождения характеристической функции и потенциала по заданной функции поля:

/(С)= -2С2е-^У|Уе^с|—¿С, F(C) = Jeфv2CdC, (11)

У(С) = ^(1 - / - еС'ф^/- С Г) . (12)

где

Решение обратной задачи даёт возможность получать результаты и формулировать теоремы, относящиеся, в некотором смысле, сразу ко всем возможным потенциалам.

Третий раздел посвящён анализу асимптотически плоских решений. Получены соответствующие ограничения па асимптотику функции поля

0V(C) = 0(С'3/2'а) , С-оо, а > 0, (13)

и потенциала самодействия У(ф) на пространственной бесконечности.

Интегральная формула для характеристической функции (11) записана в форме, которая явно учитывает плоскую асимптотику метрики:

f{C) = 2 C2e~2F jT M^KdC, (14)

poo

F(C) = - / ефу2 CdC, (15)

Je

roo

Q(C) = С + / (1 - eF) dC = С + o(l), с oo, (16)

Je

а параметр m играет роль шварцшильдовой массы.

Если <?!>(С) аналитична на пространственной бесконечности, то

/ = + С-юо. (17)

Четвёртый раздел содержит формулы для восстановления метрики для наиболее часто встречающихся калибровочных (координатных) условий.

Для статической калибровки (С(о) = 0) метрика принимает вид

л г2

ds2 = fe2Fdt2 - ^j- - С2 (de2 + sin2 0 dp2)- (18)

Другой удобный выбор калибровки В = 1 /А соответствует переходу к радиальной координате г = Q(C) + const в метрике (18).

Для статической калибровки представлен альтернативный способ решений'обратной задачи: получены формулы для восстановления поля, потенциала и метрики по заданной метрической функции А{С).

При исследовании решений с горизонтом событий эффективно использовать координаты типа Крускала, характеризующиеся условиями

где постоянная к однозначно определяется из требования аналитичности С(т) на горизонте событий.

Глава 3 посвящена построению различных типов конфигураций и изучению их свойств.

В первом разделе рассмотрен класс решений, названный решениями центрального типа, характеризующийся отсутствием минимума у. функции С. Заданной монотонной функции ф{С) соответствует од-нопараметрическое семейство решений, где роль параметра играет шварцшильдова масса т.

Введено понятие критической массы т* и получены формулы для её нахождения. Доказана лемма о совпадении знаков у критической массы и кинетического члена.

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 3.1.1. Для существования горизонта событий необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие т> т*.

Следствие 1. Чёрная дыра может обладать только одним горизонтом.

Следствие 2. Масса чёрной дыры с положительным кинетическим членом положительна.

Следствие 3. Для решений с отрицательным кинетическим членом чёрная дыра может обладать как положительной, так и отрицательной массой. Если (5(0) = — оо, то решения представляют собой чёрную дыру при любом значении массы.

Следствие 4. Под горизонтом у чёрной дыры сингулярность.

Теорема 3.1.2. При т < т* решения представляют собой голые сингулярности.

А = В, С = С(т), т(«, г) = г2 - г2.

При этом

(19)

На основе сравнения шварцшильдовой массы с критической проведена полная классификация решений:

1) При т > 7п* — чёрная дыра.

2) При тп < тп* — голая сингулярность.

3) При m = тп* и дополнительном условии

ф = ф0 + ф2С2 + 04С4 + ... , <7-0, {20)

решение является регулярным (частицеподобным), а топология пространства-времени - тривиальной (R4). Шварцшильдова масса такого решения совпадает по знаку с кинетическим членом. Если разложение (20) не справедливо, то центр сферической симметрии будет особой точкой, в которой нарушается аналитичность решения.

Второй раздел посвящен статическим скалярным кротовым норам. Они существуют только для фантомного поля. Метрика кротовой норы в сферически-симметричном случае имеет вид

ds2 = А2 (г) dt2 - В2 (г) dr2 - С2 (г) (de2 + sin2 в dp2). (21)

Функция С(г) при г = 0 принимает своё минимальное значение С = а > 0 и имеет разложение

С = а + с2„г2п + О (r2n+1) , с2„ > 0, п > 1. (22)

Области пространства-времени при г —» ±оо асимптотически плоские. Двумерная поверхность г = 0, t — const является двумерной сферой радиуса С — а и называется горловиной кротовой норы.

Получены глобальные необходимые условия существования статической кротовой норы, удобные для общего анализа семейства кротовых нор и получения точных решений.

Доказана проходимость такой кротовой норы, т. е. отсутствие горизонта событий между двумя асимптотическими областями.

Получены формулы для нахождения шварцшильдовых масс в двух асимптотических областях (они могут быть разными) по заданной на одной из половин норы функции ф(С).

Решения разделены на два типа: симметричные и не симметричные относительно горловины кротовые норы. Для первых в удобной калибровке А — I /В получены формулы для восстановления решения по заданной функции радиуса С (г).

В третьем разделе подробно исследованы скалярные топологические геоны, как с горизонтом событий, так и без горизонта. Для таких геонов пространство-время имеет топологию К х К3#МР3.

Рассматриваются сферически-симметричные скалярные топологические геоны двух типов. Геоны первого типа возникают при факторизации по группе Ъг максимальных аналитических продолжений решений центрального типа с горизонтом событий. В качестве примера рассмотрен вакуумный геон, метрика которого получена в специальных координатах вблизи топологической особенности. Это способствует лучшему пониманию геометрии скалярных геонов.

Геоны второго типа также возникают при факторизации по группе 22 из статических проходимых кротовых нор, симметричных относительно горловины.

Получены следующие результаты:

Теорема взаимности: если сферически-симметричная кротовая нора обладает зеркальной симметрией относительно горловины, то разрез по горловине и отождествление противоположных точек граничной сферы одной из двух частей кротовой норы дает сферически-симметричный топологический геон; обратно, из сферически-симметричного топологического геона можно получить симметричную относительно горловины кротовую нору.

Теорема 3.3.1 Собственное время жизни скалярного топологического геона первого типа может быть найдено по формуле

и является конечным для решений с положительным кинетическим членом (С* - радиус горизонта событий).

Глава 4 содержит точные и численные решения различных типов: решения центрального типа, статические кротовые норы и топологический геон с фиксированным потенциалом.

В первом разделе методом обратной задачи получено новое двух-параметрическое семейство точных асимптотически плоских решений центрального типа с метрикой сферически-симметричного пространства-времени в форме (18).

(23)

Пологая, что функция ер(С) имеет вид

= 0 < а < 1, (24)

последовательно находим: функцию поля

где Р(г,к) - эллиптический интеграл первого рода в форме Лежан-дра; характеристическую функцию по формуле (14)

, . { (I ■- «"КЗ у

х [агс1ап (С + 1) - ак*ал {С - 1)] - т (зЦ^ +1 С2 у) | , (26)

где

а4 I С2 — 2 С + 2 Г = 2" | Ь V С* + 2С + 2 ~ аГС<;аП ~ ~ аГ°*аП + + * | '

и потенциал поля по формуле (12)

, 2 (К + С — 3 т) е~р — 3 / + 1 = (С4 + 4)2 + ' (27)

Семейство характеризуется двумя параметрами: шварцшильдо-вой массой т и полевым параметром о, и включает в себя: голые сингулярности при условии т < 7г о4 / 6, аналитические (частицеподобпые) решения, если т = 7га4/6, и чёрные дыры с горизонтом событий радиуса С* = С*(т,а) при условии т > 7га4/6.

Параметр а характеризует силу влияния скалярного поля на решение. В присутствии скалярного поля горизонт событий сдвигается в сторону сингулярности (Рис. 1). Для частицеподобных решений функция У(ф) всюду аналитическая. Во всех случаях потенциал положителен на пространственной бесконечности (Рис. 2).

С* {horizon)

Рис. 1: Радиус горизонта событий С*(т,а) для четырёх значений параметра а. Для т = 0.6 мы имеем С*(0.6,0) = 1.2 (Шварцшильд); С*(0.6,1-Ю-10) ~ 0.1001.

Ф

Рис. 2: График потенциала У(ф, т, а) для а — 0.93. Значения массы т. даны в единицах массы /х = а4 тг/6 ~ 0.3918 регулярного решения (чёрная сплошная линия). Вставка показывает детали для малых значений ^ вблизи пространственной бесконечности.

Во втором разделе построены точные решения, описывающие статические скалярные кротовые норы.

Два первых решения представляют собой симметричные относительно горловины кротовые норы, а третье - семейство не симметричных относительно горловины кротовых нор, шварцшильдовы массы которых ш± в разных асимптотических областях отличаются друг от друга знаком.

В третьем разделе с помощью численных методов построено решение, описывающее статический фантомный скалярный топологический геон с физически выделенным аналитическим потенциалом

Анализ асимптотики показывает, что это наиболее простой потенциал, инвариантный относительно преобразования ф ь-» —ф и имеющий минимальный (третий) порядок нуля по ф в вакуумном состоянии.

Редукция системы (4) - (7) приводит к краевой задаче с двумя особыми точками г = 0, оо. После представления неизвестных функций рядами в особых точках и перехода к конечному отрезку [п, гг], г 1 > 0 получаем нелинейную спектральную краевую задачу для системы ОДУ пятого порядка. Для решения задачи применен метод стрельбы из граничных точек с последующей сшивкой решений в промежуточной точке посредством минимизации целевой функции. Этот метод позволяет явно учесть спектральный характер задачи и даёт единственное асимптотически плоское решение без горизонта событий.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Nikonov V.V., Tchemarina Ju.V., Tsirulev A.N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations// Class. Quant. Grav. - 2008. Vol. 25. - 138001.

[2] Цирулев A.H., Чемарина Ю.В. Сферически-симметричные топологические геоны// Вестник ТвГУ. Сер. "Прикладная математика". - 2007. №17(45). - С. 59 - 68.

[3]: Никонов В.В., Цирулев А. Н., Чемарина Ю.В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего

-¡сферически-симметричного скалярного поля// Вестник ТвГУ. Сер. "Прикладная математика". - 2007. №5(33). - С. 11 - 20.

[4] Никонов В.В., Цирулев А!Н., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией Е х М3#КР3// Вестник ТвГУ. Сер. "Прикладная математика". - 2006. №4(21). - С. 106 - ИЗ.

[5] Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Сферически-симметричное грави-тирующее скалярное поле. Обратная задача и точные решения. 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике:. Тезисы докладов. - М.: РУДН, 2008. - С. 97.

[6] Чемарина Ю.В. Редукция сферически-симметричной системы уравнений для гравитирующего скалярного поля и точные решения для безмассовых полей. Х1ЛП Всероссийская конференция по' проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секции физики. - М.: РУДН, 2007. - С. 80.

[7] Чемарина Ю.В. Исследование сферически-симметричных части-цеподобных конфигураций для гравитирующего безмассового скалярного поля. Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы международной междисциплинарной научной конференции. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2007. -С. 218 - 220.

[8] Чемарина Ю.В. Топологически нетривиальные гравитирующие структуры и их роль в синергетике. Вторые Курдюмовские чтения: Материалы конференции/ Международная междисциплинарная научная конференция "Идеи синергетики в естественных науках". - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2006. - С. 101 - 103.

Чемарина Юлия Владимировна Аналитическое и численное исследование гравитирующих статических сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций

В диссертации рассматриваются статические частицеподобные конфигурации гравитирующего скалярного поля с минимальной связью. Получено точное общее решение обратной задачи для сферически-симметричных конфигураций в виде интегральной формулы, позволяющей по заданному скалярному полю найти соответствующий потенциал и метрику пространства-времени. Изучены общие свойства скалярно-полевых черных дыр, регулярных решений, кротовых нор и топологических геонов. Получено новое двухпа-раметрическое семейство асимптотически плоских точных решений уравнений Эйнштейна для гравитирующего скалярного поля с положительным кинетическим членом. Получено численное решение, описывающее топологический геон с фантомным скалярным полем и заданным потенциалом.

Julia V. Tchemarina Analytical and numerical investigation of gravitating static spherically symmetric scalar field configurations

In thesis static particlelike configurations of minimally coupled gravitating scalar fields are considered. An exact general solution of the inverse problem for spherically symmetric configurations in the form of an integral formula, whereby one can find the associated potential and spacetime metric, is obtained. The common properties of scalar field black holes, regular solutions, wormholes and topological solutions are studied. A new two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations with the positive kinetic term is obtained. Numerical simulations of a topological geon with a phantom scalar field and given potential are performed.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 16.01.2009. Формат 60 84 1/16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 9. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение

1 Редукция уравнений Эйнштейна для сферически-симметричного гравитирующего скалярного поля

1.1 Действие и тензор энергии-импульса.

1.2 Уравнения Эйнштейна в ортонормированном базисе

1.3 Редукция уравнений.

2 Решение обратной задачи

2.1 Анализ характеристической функции /(С).

2.2 Формальное общее решение обратной задачи

2.3 Асимптотически плоские сферически-симметричные скалярно-полевые конфигурации

2.4 Калибровочные условия.

3 Общие свойства и классификация скалярно-полевых конфигураций

3.1 Решения центрального типа.

3.1.1 Критическое значение массы.

3.1.2 Чёрные дыры.

3.1.3 Голые сингулярности.

3.1.4 Регулярные решения

3.1.5 Полная классификация решений

3.2 Статические кротовые норы.

3.2.1 Условия существования.

3.2.2 Типы решений.

3.3 Топологические геоны.

3.3.1 Сферически-симметричный топологический геон

3.3.2 Теорема взаимности.

3.3.3 Вакуумный геон.

3.3.4 Скалярные топологические геоны.

4 Аналитическое и численное исследование конкретных скалярно-полевых конфигураций

4.1 Двухпараметрическое семейство точных решений центрального типа.

4.2 Аналитические модели статических кротовых нор

4.2.1 Симметричная относительно горловины кротовая нора с нечётной функцией поля.

4.2.2 Симметричная относительно горловины кротовая нора с чётной функцией поля.

4.2.3 Кротовые норы, не симметричные относительно горловины.

4.3 Численное моделирование скалярного топологического геона без горизонта событий

Диссертация посвящена исследованию самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности. Такие конфигурации описываются полной системой уравнений Эйнштейна, включающей динамическое уравнение поля [1, 2, 3, 4]. Мы будем рассматривать сферически-симметричное статическое вещественное скалярное поле с минимальной связью при условии, что пространственно-временное многообразие является асимптотически плоским. Особое внимание уделено построению частицеподобных конфигураций.

Интерес к исследованию самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций обусловлен непосредственной связью с физикой элементарных частиц и космологией, а в более общем плане - с фундаментальным вопросом о роли гравитации в микромире. В работе [56] М.А. Марков сформулировал этот вопрос так: "Может ли общая теория относительности, имеющая целью описание свойств пространства-времени, оказаться верной не только в большом, но и в малом?" Вещественное скалярное поле допускает классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки источника гравитации в микромире не возникает в данном случае, а геометрическая интерпретация поля, вместе с предположением о минимальности взаимодействия, приводит к естественной и однозначной математической постановке задач. Таким образом, исследование самогравитирующих частицеподобных конфигураций позволит лучше понять роль гравитации в микромире, оставаясь в рамках общей теории относительности.

Основные трудности построения самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций связаны с решением системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля при фиксированном потенциале самодействия У(ф). На сегодняшний день эта (прямая) задача полностью решена только для безмассового (У(ф) = 0) скалярного поля [15, 48, 57, 58]. Отметим, что решения в этом случае представляют собой при положительном кинетическом члене голые сингулярности, а при отрицательном кинетическом члене семейства не симметричных относительно горловины кротовых нор с одной или двумя асимптотически плоскими областями и единственную, с точностью до перемасштабирования, симметричную относительно горловины кротовую нору.

Актуальность исследования самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций связана с тем, что гравитирующие скалярные поля в настоящее время рассматриваются как основа для описания новой формы материи небарионного типа - темной материи [28, 29, 50], на существование которой указывают данные астрономических наблюдений последних двадцати лет. Ограничения сверху на интенсивность взаимодействия массивных частиц темной материи с известными частицами, полученные из наблюдений и прямых экспериментов по измерению ее годовой модуляции, показывают, что темная материя, по-видимому, наиболее адекватно моделируется нейтральным (вещественным) скалярным полем, которое участвует только в гравитационном взаимодействии.

К частицеподобным решениям уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля можно в равной степени отнести как регулярные решения с тривиальной (М4 ) топологией пространства-времени, представленные, в частности, в работах [32, 34], так и скалярные топологические геоны. Термин геон был введён в 1955 году Дж.А. Уилером [59, 60] для обозначения классических гра-витирующих конфигураций, связанных с электромагнетизмом или безмассовыми полями. Эти конфигурации представляли собой массивные долгоживущие относительно внешнего наблюдателя объекты и не являлись чёрными дырами [61, 62, 63, 64, 65]. Такие геоны были асимптотически плоскими, обладали тривиальной топологией пространства (М3) и не были устойчивыми. Их эволюция приводила либо к рассеянию полей на пространственную бесконечность, либо к образованию чёрной дыры в результате гравитационного коллапса.

Понятие топологического геона впервые появилось в работе Р.Д. Соркина [17]. Топологический геон представляет собой гравитирующую конфигурацию с нетривиальной топологией (Ж х Е \ {point} или, эквивалентно, Ш х Ж3#Е , где Е - компактное трёхмерное многообразие) асимптотически плоского пространства-времени. Примером такого геона является известное вакуумное решение [18, 66], полученное путём факторизации многообразия Крускала по группе ЪАi. Топологический геон является чрезвычайно привлекательной моделью элементарной частицы, поскольку её масса, заряд и спин, могут быть, в принципе, определены в рамках соответствующей модели как топологические характеристики пространственно-временного многообразия. В работах [67, 68, 69] анализируются термодинамические характеристики ШР3 геона. Изучению топологических геонов с зарядом и горизонтом событий посвящена работа [70].

В настоящем исследовании мы рассматриваем скалярные топологические геоны двух типов: без горизонта событий (такие решения существуют только для фантомного поля) и чёрные дыры, содержащие под горизонтом топологическую особенность.

Скалярные чёрные дыры также представляют большой интерес для изучения. Согласно знаменитому утверждению Дж.А. Уилера "чёрная дыра не имеет волос". Его смысл заключается в том, что статическая чёрная дыра полностью характеризуется тремя параметрами: массой, электрическим зарядом и моментом вращения, которые могут быть измерены на пространственной бесконечности. Это так называемая теорема об отсутствии волос у чёрной дыры, справедливая, в частности, в вакуумном случае и для теории Эйнштейна-Максвелла [71, 72, 73, 74, 75]. Предполагалось, что все гравитирующие поля, допускающие решения с горизонтом событий, удовлетворяют этой теореме. Однако, в последние годы, появилось достаточно много работ, посвящённых исследованию нелинейных гравитирующих полей. Результаты, отраженные в работах [52, 76, 77, 78], показывают, что нелинейность поля в корне меняет ситуацию: сюда можно отнести и сам факт существования решений с горизонтом для этих полей, и нарушение, вообще говоря, теоремы об "отсутствии волос". Кроме того, новые, необычные свойства имеют топологические чёрные дыры [79, 80, 81, 82, 83].

Для гравитирующего скалярного поля интерес также представляет исследование степени влияния поля на геометрию чёрной дыры, возможности существования решений с двумя и более горизонтами, и чёрных дыр для фантомного поля, а также связи между радиусом горизонта событий и гравитационной массой. Настоящее диссертационное исследование посвящено, в частности, решению и этих задач.

Помимо топологических геонов, среди известных классов пространственно-временных многообразий с нетривиальной топологией определенный интерес, помимо чисто математического, представляют активно исследуемые в последние годы кротовые норы (червоточины, \¥Огт1ю1ез). Такие решения впервые рассмотрены в работах [21, 62] качественно - как модель элементарной частицы и основа для введения пенообразной структуры пространства-времени. М.С. Моррис и К.С. Торн в работе [24] впервые построили математические модели проходимых (без горизонта) кротовых нор в рамках общей теории относительности и полуклассической теории квантовой гравитации. Вместе с тем, они получили, что для проходимой сферически-симметричной кротовой норы существует область вблизи горловины (при фиксированном времени двумерной гиперповерхности минимальной площади), где нарушается изотропное энергетическое условие, т. е. условие иг V? > 0 для тензорного поля энергии-импульса и произвольного изотропного или вре-мениподобного вектора и. Позднее в работе [18] при некоторых ограничениях было показано, что пространство-время, содержащее проходимую кротовую нору, должно иметь изотропные геодезические, нарушающие изотропное энергетическое условие. Последний факт зачастую объяснялся [84, 85, 86] наличием вблизи горловины так называемой "экзотической материи". Невозможность существования проходимых кротовых нор для самогравитирующего скалярного поля с положительным кинетическим членом доказана в работах [33, 87]. Вообще говоря, нарушение энергетических условий является неотъемлемым свойством кротовых нор. Все известные на сегодняшний день попытки избежать этого нарушения или минимизировать его связаны с использованием альтернативных теорий гравитации (теории Бранса-Дикке [88, 89, 90], дилатонной гравитации [91] и пр.). В работе [44] исследуется связь кротовых нор с чёрными дырами и рассматриваются непроходимые (с горизонтом событий) кротовые норы. Объектами данного исследования будут являться скалярные кротовые норы как с горизонтом событий, так и без, а именно, условия их существования, свойства и связь с топологическими геонами.

В силу сложности интегрирования связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля большую роль играют численные методы построения гравитирующих скалярно-полевых конфигураций. Так, в работе [92] получены статические регулярные с тривиальной топологией пространственно-временного многообразия численные решения для фантомного скалярного поля с потенциалом, называемым "мексиканской шляпой", и доказана их неустойчивость. Обсуждаются численные модели скалярных чёрных дыр с анти-де-Ситтеровской асимптотикой и вопросы их устойчивости [93]. В ряде работ предложены численные математические модели коллапса самогравитирующих конфигураций скалярного поля [94, 95, 96].

Целью данной диссертационной работы построение и исследование самогравитирующих статических асимптотически плоских сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций, их классификация по геометрическим и топологическим типам, получение модельных аналитических и численных решений, а также развитие новых методов построения скалярно-полевых конфигураций.

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

В первой главе проведена специальная редукция уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля с минимальной связью.

В первом разделе записано действие для связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля. Приведён явный вид общей системы уравнений, а также выражение для тензорного поля энергии-импульса. Введены основные обозначения и система единиц.

Во втором разделе для метрики сферически-симметричного пространства-времени в ортонормированном базисе с помощью структурных уравнений Картана получены выражения для компонент тензорного поля кривизны, составлена система уравнений Эйнштейна и уравнения поля, из которой выделена независимая подсистема.

Третий раздел посвящён непосредственно редукции этой системы, позволившей в статическом случае выделить два уравнения, полностью определяющие поведение решения. Эти уравнения инвариантны относительно выбора калибровочных (координатных) условий. Тем самым получение решения разделено на два этапа: решение двух инвариантных уравнений и, после выбора конкретных координатных условий, двух оставшихся.

Вторая глава содержит формальное решение обратной задачи, позволяющей восстанавливать метрику и потенциал самодействия по функции поля.

В первом разделе проведён анализ поведения характеристической функции (наличие нулей и асимптотики в центре и на пространственной бесконечности), позволяющего однозначно отнести решение к определённому типу: чёрная дыра, голая сингулярность, регулярное решение или кротовая нора. В качестве иллюстраций приведены известные решения Шварцшильда, Рейснера-Нордстрема [8, 97, 98] и симметричная относительно горловины кротовая нора [14, 15].

Во втором разделе мы сосредоточимся на аналитическом решении обратной задачи. Обратной будем считать такую постановку задачи, когда заданным считается не потенциал, а поле или метрические функции. Решение обратной задачи даёт возможность получать результаты и формулировать теоремы, относящиеся, в некотором смысле, сразу ко всем возможным потенциалам. Конкретно, в этом разделе получено общее решение системы двух инвариантных уравнений в виде интегральных формул для нахождения характеристической функции и потенциала по заданной функции поля.

Третий раздел посвящён анализу асимптотически плоских решений. Получены соответствующие ограничения на асимптотику функции поля ф и потенциала самодействия У(ф) на пространственной бесконечности. Интегральная формула для характеристической функции записана в форме, которая явно учитывает плоскую асимптотику метрики.

Четвёртый раздел содержит формулы для восстановления метрики для наиболее часто встречающихся калибровочных условий: статической калибровки и координат типа Крускала. Доказано, что простой нуль характеристической функции соответствует горизонту событий. Для статической калибровки представлен альтернативный способ решения обратной задачи: получены формулы для восстановления поля, потенциала и метрики по одной заданной метрической функции.

Третья глава посвящена исследованию общих свойств и классификации скалярно-полевых конфигураций.

В первом разделе рассмотрен класс решений, названный решениями центрального типа, характеризующийся отсутствием минимума у функции радиуса С. Заданной монотонной функции ф(С) соответствует однопараметрическое семейство решений, где роль параметра играет шварцшильдова масса. Введено понятие критической массы, совпадающей по знаку с кинетическим членом, получены формулы для её нахождения. На основе сравнения шварцшильдовой массы с критической проведена полная классификация, разделяющая конфигурации на чёрные дыры, регулярные (частицеподобные) решения и голые сингулярности. Доказано, что в центре чёрной дыры находится сингулярность, её горизонт единственный, а масса, в случае положительного кинетического члена, положительна. Для регулярных решений получены условия их существования, показано, что знак потенциала в центре противоположен знаку кинетического члена.

Второй раздел посвящён статическим скалярным кротовым норам. Получены условия их существования и формулы для нахождения шварцшильдовых масс в двух асимптотических областях (они могут быть разными) по заданной на одной из половин норы функции ф(С), доказана проходимость нор. Решения разделены на два типа: симметричные и не симметричные относительно горловины. Для первых в удобной калибровке получены формулы для восстановления решения по заданной функции радиуса С (г) (ещё один вариант обратной задачи), а для вторых показано, что данная калибровка, вообще говоря, не применима вблизи горловины.

В третьем разделе подробно исследованы скалярные топологические геоны, как с горизонтом событий, так и без горизонта. Тривиальным примером геона с горизонтом является вакуумный геон, метрика которого будет получена в специальных координатах вблизи топологической особенности. Это поможет лучше понять геометрию скалярных топологических геонов. Сформулирована теорема взаимности, согласно которой каждой симметричной относительно горловины кротовой норе соответствует топологический геон, и наоборот. Для скалярных геонов с горизонтом событий получена формула для нахождения их собственного времени жизни, показано, что для решений с положительным кинетическим членом оно конечно.

Заключительная четвёртая глава содержит конкретные аналитические и численные модели скалярно-полевых конфигураций.

В первом разделе получено новое двухпараметрическое семейство асимптотически плоских решений, включающее в себя чёрные дыры, регулярные решения и голые сингулярности.

Во втором разделе построены точные решения, описывающие симметричные кротовые норы и семейство не симметричных относительно горловины кротовых нор, шварцшильдовы массы которых в разных асимптотических областях отличаются друг от друга знаком.

В третьем разделе с помощью численного моделирования построено решение прямой задачи с физически выделенным потенциалом и заданной топологией пространства-времени.

Для решений, полученных в четвёртой главе, построены графики потенциалов, функций поля и метрических коэффициентов.

В работе используются апробированные математические методы исследования: метод структурных уравнений Картана, аналитические методы вывода, преобразования и решения систем дифференциальных уравнений, асимптотические и интегральные оценки решений. Для численного решения спектральной краевой задачи для системы ОДУ пятого порядка используется метод стрельбы из граничных точек с последующей сшивкой решений в промежуточной точке посредством минимизации целевой функции.

Все полученные в данном диссертационном исследовании результаты являются новыми и основаны на разработанном автором методе редукции уравнений Эйнштейна, который может быть применён для широкого класса самогравитирующих физических полей. Теоретическая значимость полученных результатов состоит в том, что построенные благодаря решению обратной задачи конфигурации, в частности, частицеподобные, являются вкладом в теорию гравитирующего скалярного поля, моделирующего новый, мало изученный тип материи - тёмную материю.

Практическая значимость полученных результатов заключается в возможности использования полученных свойств самогравитирующих конфигураций скалярного поля при сравнении с данными астрофизических и космологических наблюдений. Решение обратной задачи по восстановлению потенциала и функции поля, а также метрики по заданной метрической функции в статической калибровке также может быть использовано в реальных экспериментах, поскольку именно эта величина поддаётся измерению. Такая постановка задачи может помочь в дальнейшем выделить типы потенциалов гравитирующих скалярных полей, так как изначально никаких предположений о виде потенциала мы не имеем. Наконец, в диссертации разработаны конструктивные методы построения решений с заданными свойствами для связанной системы уравнений Эйнштейна.

Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах [7, 14, 20, 35, 36, 57, 58, 99].

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре математического факультета Тверского государственного университета "Нелинейные математические модели в естествознании", на международных научных конференциях "Идеи синергетики в естественных науках", 2006, 2007 гг. (ТвГУ, Тверь), на ХЫН Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 2007 г. (РУДН, Москва), на 13-й Российской гравитационной конференции, 2008 г. (РУДН, Москва).

Заключение

Диссертация посвящена исследованию самогравитирующих асимптотически плоских сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций в рамках общей теории относительности, как наиболее проверенной и получившей широкое признание современной теории гравитации. Рассматривается статическое скалярное поле с минимальной связью.

Получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый подход к решению обратной задачи для самогравитирующих сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций: проведена специальная редукция полной системы уравнений Эйнштейна; получено общее решение обратной задачи в виде интегральной формулы, позволяющей по заданному скалярному полю ф восстановить метрику и потенциал поля У(ф). Получены интегральные формулы для определения метрики для наиболее часто встречающихся калибровочных условий: статической калибровки и координат типа Крускала.

2. Получен класс решений центрального типа и дана его полная классификация на основе сравнения шварцшильдовой массы с определенным критическим значением. Класс содержит три типа моделей: чёрные дыры с сингулярностью в центре, голые сингулярности и регулярные частицеподобные решения с тривиальной топологией. Показано, что шварцшильдова масса регулярных решений равна критическому значению, у чёрных дыр больше критического, а у голых сингулярностей меньше критического значения. Для чёрных дыр и голых сингулярностей верно и обратное утверждение.

Доказано, что чёрные дыры обладают единственным горизонтом, масса регулярного решения совпадает по знаку с кинетическим членом.

3. Рассмотрен класс асимптотически плоских статических кротовых нор для фантомного скалярного поля. Получены условия их существования, доказана проходимость, получена формула для шварцшильдовых масс. Выделены два типа решений, описывающих симметричные кротовые норы (для них в наиболее удобной калибровке получены формулы для восстановления метрики, поля и его потенциала по функции радиуса) и не симметричные относительно горловины кротовые норы.

4. Построен класс скалярных топологических геонов. Сформулирована теорема взаимности о соответствии между классом скалярных топологических геонов и классом симметричных относительно горловины кротовых нор. Предложен метод получения скалярных топологических геонов из решений центрального типа с горизонтом событий. Получена формула для нахождения собственного времени жизни скалярных топологических геонов с горизонтом событий. Показано, что оно конечно для решений с положительным кинетическим членом.

5. На основе метода обратной задачи получено новое двухпа-раметрическое семейство точных асимптотически плоских решений центрального типа с положительным кинетическим членом. Семейство включает в себя чёрные дыры, голые сингулярности и регулярные частицеподобные решения.

6. Построены точные решения, описывающие статические кротовые норы с различными свойствами: симметричные кротовые норы со всюду положительным и положительным на пространственной бесконечности потенциалами и семейство несимметричных кротовых нор.

7. Посредством численного решения спектральной краевой задачи для системы ОДУ пятого порядка построена статическая конфигурация гравитирующего фантомного скалярного поля в виде топологического геона с физически выделенным потенциалом.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

2. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. М.: Наука, 1969.

3. Wyman М. Static spherically symmetric scalar field in general relativity// Phys. Rev. D, 1981, V.24, p. 839 841.

4. Rybakov Yu.P., Shikin G.N. and Popov Yu.A. Plane-symmetric kink-like configurations in general relativity// Grav. Cosmol., 2006, V.12, p. 279 282.

5. Tsirulev A.N. Gravitational fields with Yang-Mills curvature// Proc. 15th Int. Conf. "High Energy Physics and Quantum Field Theory", Moscow, 2001, p. 382 384.

6. Tsirulev A.N. Curvature decomposition and the Einstein-Yang-Mills eguations// Part. Nucl. JINR, 2004, V.l, N12(119), p. 99 102.

7. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Асимптотически плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля// Вестник ТвГУ, сер. "Прикладная математика", 2007, №5(33), с. 11 20.

8. Чандрасекар С. Математическая теория чёрных дыр. Т.1. М.: Наука, 1989.

9. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика чёрных дыр. М.: Наука, 1986.

10. Торн К.С., Прайс Р.Х., МакДональд Д.А. Чёрные дыры: мембранный подход. М.: Мир, 1988.

11. Новиков И.Д., Фролов В.П. Чёрные дыры во Вселенной// УФН, 2001, Т.171, №3, с. 307 324.

12. Visser М. Lorentzian wormholes: from Einstein to Hawking. New York: AIP Press, 1995.

13. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes// Class. Quant. Grav., 2000, V.17, p. 3843 3864; arXiv: gr-qc/0003025.

14. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией Ж х Ж3 #RP3 // Вестник ТвГУ, сер. "Прикладная математика", 2006, №4(21), с. 106 113.

15. Bronnikov К.A. Scalar-tensor theory and scalar charge// Acta. Phys. Pol., 1973, V. B4, p. 251 266.

16. Bronnikov K.A., Shikin G.N. Cylindrically symmetric solitons with nonlinear self-gravitating scalar fields// Grav. Cosmol., 2001, V.7, p. 231 240.

17. Sorkin R.D. Introduction to topological geons// Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy, May 12-22, 1985, p. 249 270.

18. Friedman J.L., Schleich К., Witt D.M. Topological censorship// Phys. Rev. Lett., 1993, V.71, p. I486 1489; arXiv: gr-qc/9305017.

19. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Мир, 1989. Пер. с англ.: Wolf J.A. Spaces of constant curvature. Berkley, University of California, 1972.

20. Цирулев A.H., Чемарина Ю.В. Сферически-симметричные топологические геоны// Вестник ТвГУ, сер. "Прикладная математика", 2007, №17(45), с. 59 68.

21. Fuller R.W., Wheeler J.A. Causality and multiply connected space-time// Phys. Rev., 1962, V.128, p. 919 929.

22. Frolov V.P., Novikov I.D. Physical effects in wormholes and time machine// Phys. Rev. D, 1990, V.42, p. 1057 1065.

23. Хуснутдинов H.P. Квазиклассические кротовые норы с гладкой горловиной// ТМФ, 2004, Т.138, №2, с. 297 318.

24. Morris M.S., Torn K.S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels// Am. J. Phys., 1988, V.56, p. 395 412.

25. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy// Phys. Rev. D, 2005, V.71, 043520; arXiv: gr-qc/0502084.

26. Krasnikov S. Evaporation induced traversability of the EinsteinRosen wormhole// Phys. Rev. D, 2006, V.73, 084006; arXiv: gr-qc/0507079.

27. Turner M. Dark matter and dark energy: the critical questions// Hubble's Science Legacy: Future Optical/Ultraviolet Astronomy from Space, 2003, V.291, p. 253; arXiv: astro-ph/0207297.

28. Bento M.C., Bertolarni О., Sen A.A. The revival of the unified dark energy dark matter model?// Phys. Rev. D, 2004, V.70, 083519; arXiv: astro-ph/0407239.

29. Sahni V. Dark matter and dark energy// Lect. Notes Phys., 2004, V.653, p. 141 180; arXiv: astro-ph/0403324.

30. Bechmann O., Lechtenfeld O. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field// Class. Quant. Grav., 1995, V.12, p. 1473 1482; arXiv: gr-qc/9502011.

31. Dennhardt H., Lechtenfeld O. Scalar deformations of Schwarzschild holes and their stability// Int. J. Mod. Phys. A, 1998, V.13, p. 741 764; arXiv: gr-qc/9612062.

32. Bronnikov K.A., Fabris J.C. Regular fantom black holes// Phys. Rev. Lett., 2006, V.96, 251101; arXiv: gr-qc/0511109.

33. Bronnikov K.A., Shikin G.N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons// Grav. Cosmol., 2002, V.8, p. 107 116; arXiv: gr-qc/0109027.

34. Bronnikov K.A., Chernakova M.S. Charge black holes and unusual wormholes in scalar-tensor gravity// Grav. Cosmol., 2007, V.13, p. 51 55; arXiv: gr-qc/0703107.

35. Nikonov V.V., Tchemarina Ju.V., Tsirulev A.N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations// Class. Quant. Grav., 2008, V.25, 138001.

36. Цирулев A.H., Чемарина Ю.В. Сферически-симметричное гравитирующее скалярное поле. Обратная задача и точные решения// Тезисы 13-й Российской гравитационной конференции, РУДН, Москва, Россия, Июнь 23-28, 2008, с. 97.

37. Bekenstein J.D. Black holes: classical properties, thermodynamics, and heuristic quantization. In: Cosmology and Gravitation. Atlantisciences, France, 2000, p. 1 85; arXiv: gr-qc/9808028.

38. Adler S., Pearson R.B. "No-hair" theorems for the Abelian Higgs and Goldstone models// Phys. Rev. D, 1978, V.18, p. 2798 2803.

39. Gal'tsov D.V., Lemos J.P.S. No-go theorem for false vacuum black holes// Class. Quant. Grav., 2001, V.18, p. 1715 1726; arXiv: gr-qc/0008076.

40. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V. Scalar fields in multidimensional gravity. No-hair and other no-go theorems// Gen. Rel. Grav., 2003, V.35, p. 505 525; arXiv: gr-qc/0212065.

41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

42. Morris M.S., Torn K.S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition// Phys. Rev. Lett., 1988, V.61, p. 1446 1449.

43. Волобуев И.В., Малышенко В.О. Точные решения типа кротовых нор в системах Эйнштейна-Янга-Миллса с дополнительными измерениями пространства-времени// Фунд. прикл. матем., 1998, Т.1, с. 233 244.

44. Hochberg D., Visser М. Geometric wormhole throats// Proc. Haifa Workshop "The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities", Haifa, Israel, June 29 July 3, 1997, p. 249 - 295; arXiv: gr-qc/9710001.

45. Hochberg D., Visser M. The null energy condition in dynamic wormholes// Phys. Rev. Lett., 1998, V.81, p. 746 749; arXiv: gr-qc/9802048.

46. Armendariz-Picon C. On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity// Phys. Rev. D, 2002, V.65, 104010; arXiv: gr-qc/0201027.

47. Дьяконов В. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.: Солон-Пресс, 2006.

48. Фишер И.З. Поле скалярного мезона с учетом гравитационных эффектов// ЖЭТФ, 1948, Т.18, с. 636 640; arXiv: gr-qc/9911008.

49. Hinshaw G., et al. First year WMAP observations: angular power spectrum// Astrophys. J. Suppl., 2003, V.148, p. 135 152; arXiv: astro-ph/0302217.

50. Bilic N.; Tupper G.B., Viollier R.D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous Chaplygin gas// Phys. Lett. В., 2002, V.535, p. 17 23; arXiv: astro-ph/0111325.

51. Артёмов И.JI. Fortran. Основы программирования. М.: Диалог-МИФИ, 2007.

52. Volkov M.S., Galt'tsov D.V. Gravitating non-Abelian solutions and black holes with Yang-Mills fields// Phys. Rept., 1999, V. 319, p. 1 83; arXiv: hep-th/9810070.

53. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unified dark matter in scalar field cosmologies// Mod. Phys. Lett. A, V.22, №38, p. 2893 2907; arXiv: astro-ph/0703259.

54. Bertacca D., Bartolo N., Diaferio A., Matarrese S. How the scalar field of unified dark matter models can cluster// 2008; arXiv: 0807.1020 astro-ph].

55. Liddle A.R., Lyth D.H. Cosmological inflation and large-scale structure. Cambridge University Press, 2000.

56. Марков M.A. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц? В кн.: А. Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979.

57. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино, вселенная. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

58. Misner C.W., Wheeler J.A. Classical physics as geometry// Ann. Phys., 1957, V.2, p. 525 603.

59. Wheeler J.A. Geons// Phys. Rev., 1955, V.97, p. 511 536.

60. Wheeler J.A. Geometrodynamics. New York: Academic Press, 1962.

61. Ernst Jr. F.J. Variational calculations in geon theory// Phys. Rev, 1957, V.105, p. 1662 1664.

62. Ernst Jr. F.J. Linear and toroidal geons// Phys. Rev, 1957, V.105, p. 1665 1670.

63. Brill D.R., Hartle J.B. Method of the self-cobsistent field in general relativity and its application to the gravitational geon// Phys. Rev., 1964, V.135, p. B271 B278.

64. Louko J. Single-exterior black holes// Lect. Notes Phys., 2000, V.541, p. 188 202; arXiv: gr-qc/9906031.

65. Louko J., Marolf D. Inextendible Schwarschild black hole with a single exterior: How thermal is the Hawking radiation?// Phys. Rev. D, 1998, V.58, 024007; arXiv: gr-qc/9802068.

66. Louko J., Whiting B.F. Hamiltonian thermodynamics of the Schwarschild black hole// Phys. Rev. D, 1995, V.51, p. 5583 5599; arXiv: gr-qc/9411017.

67. Langlois P. Hawking radiation for Dirac spinors on the 1RP3 geon // Phys. Rev. D, 2004, V.70, 104008; arXiv: gr-qc/0403011.

68. Louko J., Mann R.B., Marolf D. Geons with spin and charge// Class. Quant. Grav., 2005, V.22, p. 1451 1468; arXiv: gr-qc/0412012.

69. Israel W. Event horizons in static vacuum space-times// Phys. Rev., 1967, V.164, p. 1776 1779.

70. Israel W. Event horizons in static electrovac space-times// Commun. Math. Phys., 1968, V.8, p. 245 260.

71. Wald P.M. General relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984.

72. Bizon P. Gravitating solitons and hairy black holes// Acta Phys. Polon. B, 1994, V.25, p. 877 898; arXiv: gr-qc/9402016.

73. Хокинг С., Пенроуз P. Природа пространства и времени// Ижевск: РХД, 2000.

74. Bekenstein J.D. Black hole hair: twenty-five years after// Proc. "Second International Sakharov Conference on Physics", Moscow, Russia, May 20-23, 1996, p. 216 219; arXiv:gr-qc/9605059.

75. Radii E., Tchrakian D.H. New hairy black hole solutions with a dilaton potential// Class. Quant. Grav., 2005, V.22, p. 879 892; arXiv: hep-th/0410154.

76. Winstanley E. Classical Yang-Mills black hole hair in anti-de Sitter space//2008; arXiv: 0801.0527 gr-qc].

77. Lemos J.P.S. Three dimensional black holes and cylindrical general relativity// Phys. Lett. B, 1995, V.353, p. 46 51; arXiv: gr-qc/9404041.

78. Smith W.L., Mann R.B. Formation of topological black holes from gravitational collapse// Phys. Rev. D, 1997, V.56, p. 4942 4947; arXiv: gr-qc/9703007.

79. Vanzo L. Black holes with unusual topology// Phys. Rev. D, 1997, V.56, p. 6475 6483; arXiv: gr-qc/9705004.

80. Birmingham D. Topological black holes in anti-de Sitter space// Class. Quant. Grav., 1999, V.16, p. 1197 1205; arXiv: hep-th/9808032.

81. Klemm D., Moretti V., Vanzo L. Rotating topological black holes// Phys. Rev. D, 1998, V.57, p. 6127 6137; arXiv: gr-qc/9710123.

82. Fewster C.J., Roman T.A. On wormholes with arbitrarily small quantities of exotic matter// Phys. Rev. D, 2005, V.72, 044023; arXiv: gr-qc/0507013.

83. Kuhfittig P.K.F. Viable models of traversable wormholes supported by small amounts of exotic matter// Int. J. Pure Appl. Math., 2008, Vol.44, p. 467 482; arXiv: 0806.1194 gr-qc].

84. Richarte M.G., Simeone C. Traversable wormholes in a string cloud // 2007; arXiv: 0711.2297 gr-qc].

85. Bronnikov K.A. Spherically symmetric false vacuum: no-go theorems and global structure// Phys. Rev. D, 2001, V.64, 064013; arXiv: gr-qc/0104092.

86. Agnese A.G., La Camera M. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation// Phys. Rev. D, 1995, V.51, p. 2011 2013.

87. Nandi K.K., Islam A., Evans J. Brans wormholes// Phys. Rev. D, 1997, V. 55, p. 2497 2500.

88. Anchordoqui L.A., Bergliaffa S.P., Torres D.F. Brans-Dicke worm-holes in nonvacuum spacetime// Phys. Rev. D, 1997, V.55, p. 5226 5229; arXiv: gr-qc/9610070.

89. Eiroa E.F., Simeone C. Thin-shell wormholes in dilaton gravity// Phys. Rev. D, 2005, V.71, 127501; arXiv: gr-qc/0502073.

90. Dzhunushaliev V., Folomeev V., Myrzakulov R., Singleton D. Non-singular solutions to Einstein-Klein-Gordon equations with a phantom scalar field// JHEP, 2008, 0807:094; arXiv: 0805.3211 gr-qc].

91. Park D.H. Scaling arguments and scalar hairs in asymptotically anti-de Sitter spacetime// Class. Quant. Grav., 2008, V.25,

92. Choptuik M.W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field// Phys. Rev. Lett., 1993, V.70, p. 9 12.

93. Hamade R.S., Steward J.M. The spherically symmetric collapse of a massless scalar field// Class. Quant. Grav., 1996, V.13, p. 497 512; arXiv: gr-qc/9506044.

94. Guzman F.S., Urena-Lopez L.A. Evolution of the Schrodinger-Newton system for a self-gravitating scalar field// Phys. Rev. D, 2004, V.69, 124033; arXiv: gr-qc/0404014.

95. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т.З. М.: Мир, 1977.

96. Townsend Р.К. Black holes// Lecture notes given as part of the Cambridge University Mathematical Tripos, 1997; arXiv: gr-qc/9707012.

97. Чемарина Ю.В. Топологически нетривиальные гравитирую-щие структуры и их роль в синергетике// Материалы международной научной конференции "Идеи синергетики в естественных науках", ТвГУ, Тверь, Россия, Апрель 20-23, 2006,095002.с. 101 103.