автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Робастное оценивание состояния электроэнергетических систем на основе неквадратичных критериев

На правах рукописи

ХОХЛОВ МИХАИЛ ВИКТОРОВИЧ

РОБАСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ НЕКВАДРАТИЧНЫХ КРИТЕРИЕВ

Специальность 05.14.02 - Электрические станции и электроэнергетические системы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 8 МАР 2010

Екатеринбург - 2010

003493857

Работа выполнена в лаборатории энергетических систем Отдела энергетики Института социально-экономических и энергетических проблем Севера Коми научного центра Уральского отделения Российской АН (ИСЭиЭПС УрО РАН).

Научный руководитель -

доктор технических наук, старший научный сотрудник Чукреев Юрий Яковлевич

Официальные оппоненты -

доктор технических наук, профессор Бартоломей Петр Иванович

кандидат технических наук Машалов Евгений Владимирович

Ведущая организация -

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН

Защита состоится 7 апреля 2010 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.285.03 при ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» по адресу 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19, ауд. Э-406.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.285.03 по адресу: ул. Мира, 19, УГТУ-УПИ, 620002, г. Екатеринбург. (Факс (343)359-16-15, e-mail: khmic@yandex.ru).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Автореферат разослан «_» марта 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.285.03 доктор технических наук

Зюзев A.M.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Решение аналитических задач оперативного контроля и управления электроэнергетическими системами (ЭЭС) требует использования оперативной модели энергосистемы, формируемой в темпе процесса по данным телеметрической информации о положении коммутационной аппаратуры и значениях параметров режима. Эта модель необходима для оптимизации и коррекции параметров режима ЭЭС, анализа ее надежности, проведения различных имитационных расчетов, связанных с проверкой тех или иных прогнозируемых ситуаций и т.д. Одним из этапов построения оперативной модели ЭЭС является оценивание ее состояния.

Для корректной статистической постановки задачи оценивания и последующего выбора процедуры ее реализации важно иметь представление о вероятностном распределении ошибок телеметрических измерений. Существующая теория оценивания состояния ЭЭС, берущая начало в 70-х годах прошлого века, построена на предположении, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения. К этому закону прибегали и прибегают для обоснования применения статистического критерия наименьших квадратов, лежащего в основе методов оценивания состояния ЭЭС. Однако, несмотря на математическую красоту, возможности практического использования такой постановки задачи оказываются чрезвычайно ограниченными. Нормальный закон распределения ошибок измерений на практике никогда не бывает корректным. Большие ошибки измерений, порождаемые более длинными "хвостами" функции плотности распределения, - наиболее очевидное, но не единственное свидетельство его невыполнения. Резкое искажение результатов оценивания состояния ЭЭС, вызываемое такими ошибками, приводит к неверному представлению о режиме функционирования ЭЭС и, следовательно, принятию неверных управляющих решений.

Неустойчивость процедуры наименьших квадратов к грубым ошибкам неверных измерений (НИ) является одной из причин, препятствующих широкому использованию результатов оценивания в практике оперативного управления ЭЭС. Поэтому на протяжении последних 40 лет разрабатываются и совершенствуются методы обнаружения и идентификации неверных измерений. Анализ современных разработок в этой области свидетельствует о тенденции ко все большему увеличению сложности (как алгоритмической, так и временной) процесса анализа достоверности измерений. Это усугубляется ростом размерности расчетных схем ЭЭС и количества обрабатываемых измерений. Растет понимание влияния других начальных допущений. Все это свидетельствует об актуальности вопроса пересмотра традиционной постановки задачи оценивания состояния ЭЭС с целью ее ориентации на получение оценок, устойчивых к нарушениям исходных допущений и оптимальных не только для заданной нормальной модели ошибки измерений, но и в некоторой ее окрестности, отвечающей неполным знаниям и представлениям о вероятностных свойствах телеметрических измерений. Такие оценки называют робастными.

Исследования непосредственно связаны с выполнением научных тем лаборатории энергетических систем Отдела энергетики ИСЭиЭПС КНЦ УрО РАН «Разработка интегрированной системы управления нормальными и аварийными режимами региональной электроэнергетической системы на базе технологий искусственного

интеллекта», гос.рег. №01.960.005932 (1996-2000 гг.), «Разработка методов исследования и обеспечения режимной надежности региональной электроэнергетической системы с применением новых информационных технологий», гос. per. №01.200.116595 (2001-2005 гг.), «Методы изучения и моделирование надежности функционирования региональных энергетических систем с учетом их производственно-экономической организации», гос.рег. №0120.0603398 (2006-2010 гг.).

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка научно-методических основ робастного оценивания состояния ЭЭС на основе неквадратичных критериев. Для этого поставлены следующие задачи:

1. Изучение влияния свойств ЭЭС и ее измерительной системы на возможность получения робастных оценок состояния ЭЭС.

2. Разработка теоретических подходов к построению и анализу робастных процедур оценивания состояния ЭЭС, малочувствительных к отклонениям от исходных предположений.

3. Разработка и исследование численных методов и алгоритмов робастного оценивания состояния ЭЭС, обеспечивающих быструю и надежную сходимость вычислительного процесса.

Методология исследований. Разработанные в диссертации научные положения, методы и модели базируются на теории оценивания состояния ЭЭС и теории робастной статистики, использовании прикладной теории множеств и графов, теории вероятностей, теории оптимизации, нелинейного программирования, методов имитационного моделирования, теории искусственных нейронных сетей. Достоверность научных результатов и теоретических выводов подтверждается вычислительными экспериментами для тестовых схем, в том числе путем сопоставления разработанных методов и моделей с широко применяемыми на практике, а так же опытом их использования при оперативном управлении режимами региональной ЭЭС.

Научная новизна. В ходе выполнения исследования в работе получены следующие новые результаты:

1. Разработаны и обоснованы количественные (топологические и алгебраические) показатели, характеризующие локальную избыточность измерений и локальную наблюдаемость параметров режима ЭЭС.

2. Получены необходимые и достаточные условия идентифицируемости НИ, определяемые уровнем локальной избыточности и задающие принципиальные ограничения на возможность идентификации плохих данных в составе измерений.

3. Предложена устойчивая модель ошибки измерения и обосновано применение неквадратичных критериев для робастного оценивания состояния ЭЭС.

4. Разработан математический аппарат анализа и оптимизации пороговых свойств робастных оценок. Получены условия их устойчивости к НИ в ситуации локальной избыточности измерений в ЭЭС.

5. Разработаны численные методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, основанные на модификации метода Ньютона, в том числе с учетом ограничений в форме равенств.

6. Решена задача эффективного расчета оптимального шагового множителя, обеспечивающего высокую надежность и скорость сходимости численных методов при использовании критериев, имеющих кусочно-линейную функцию первой производной.

7. Предложены новые принципы организации вычислений по оцениванию состояния ЭЭС, ориентированные на применение нейроподобных вычислительных устройств параллельной архитектуры.

8. Разработаны вычислительные модели нейросетевых алгоритмов как с непрерывной, так и с дискретной динамикой. Для различных критериев оценивания доказаны их устойчивость и оптимальность решений.

Практическая значимость. Использование предложенной постановки задачи оценивания состояния ЭЭС и методов ее решения приводит к повышению надежности результатов оценивания состояния и, следовательно, качеству оперативной модели ЭЭС в условиях непредсказуемого поведения ошибок телеметрических измерений. При этом исключается необходимость разработки сложных алгоритмов идентификации НИ. Теоретические и методические положения робастного оценивания состояния ЭЭС могут быть использованы при решении других электроэнергетических задач, имеющих дело со случайной исходной информацией.

Использование результатов. Численные методы и алгоритмы робастного оценивания состояния ЭЭС легли в основу создания программы "PSSE", предназначенной для оперативного расчета установившегося режима ЭЭС по данным телеметрических измерений, которая была внедрена в среду ОИК АСДУ региональной Коми энергосистемы (ныне филиал ОАО «СО ЕЭС» Коми РДУ).

Апробация. Основные положения диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах, совещаниях и конференциях различного уровня как отечественных, так и зарубежных: межрегиональной с международным участием молодежной научной конференции «Севергеоэкотех» (г.Ухта, 1999, 2000, 2001, 2004, 2006); Коми республиканской молодежной конференции (г.Сыктывкар, 1997, 2000, 2004); Всероссийском научном семинаре с международным участием «Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики» (г. Иркутск, 1998, г.Сыктывкар, 1999, г.Вышный Волочек, 2000, г.Казань, 2001, г.Туапсе, 2002, г.Вологда, 2007); Всероссийской научно-технической конференции «Энергосистема: управление, качество, безопасность» (г. Екатеринбург, 2001); 2-й Всероссийской научно-технической конференции «Энергосистема: управление, качество, конкуренция» (г.Екатеринбург, 2004); 3-й Международной научно-технической конференции «Энергосистема: управление, конкуренция, образование» (г. Екатеринбург, 2008); Межрегиональном научно-техническом семинаре «Оперативное управление электроэнергетическими системами - новые технологии» (г. Сыктывкар, 2003); V-й Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика» (г. Москва, 2003); Всероссийской конференции «Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (г. Иркутск, 2003); Международной конференции «2005 IEEE St.Petersburg Power Tech» (St.Petersburg, 2005).

Исследования в области анализа локальной избыточности измерений были поддержаны грантом УрО РАН для молодых ученых и аспирантов (2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 печатных работ, в том числе отдельные разделы в 3 коллективных монографиях и 3 статьи в изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 220 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, перечня литературы из 204 наименований. Работа иллюстрирована 43 рисунками и 40 таблицами.

1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ РОБАСТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЭС

В первой главе дается развернутая характеристика проблемы обеспечения устойчивости результатов оценивания состояния ЭЭС к НИ. Описываются источники и разновидности НИ и их влияние на оценки наименьших квадратов. Как уже отмечалось, основным путем решения проблемы является в настоящее время идентификация НИ с целью их удаления из состава исходных данных. Поэтому детально рассматриваются свойства задачи идентификации НИ и анализируются существующие методы ее решения.

Пусть 5 - множество НИ, т.е. измерений, содержащих грубую ошибку, а Т -множество остальных измерений:

Mv.lv, (*)+£+6,}, г = {у( IV, =у, (*)+£}> (1)

где х - вектор истинных значений переменных состояния ЭЭС, в качестве которых обычно выступают модули и фазы узловых напряжений (полярная система координат) или их действительные и мнимые составляющие (прямоугольная система координат), V/ - ¡-е измерение, \>,(х) - нелинейная функция зависимости измеряемого параметра режима от вектора х, % - нормально распределенная ошибка с нулевым математическим ожиданием и дисперсией сг2, Ь, - величина грубой ошибки. Тогда задачу обеспечения устойчивости оценок состояния ЭЭС к НИ можно свести к задаче разделения множества всех измерений на 5 и Т. Существование решения задачи зависит от уровня избыточности измерений и характеризуется понятием идентифицируемость НИ. Под идентифицируемостью НИ в работе понимается совокупность условий, определяющих возможность отделения множества неверных измерений 5 от множества хороших измерений Т при любых сочетаниях грубых ошибок Ь,.

Локальная избыточность измерений. В силу сетевой специфики ЭЭС избыточность измерений имеет существенно локальный характер. Ключевой характеристикой локальной избыточности измерений является критическая группа. Критическая группа измерений определяется в работе как множество измерений, удаление которых из вектора исходных данных приводит к уменьшению ранга матрицы Яко-би Я= 8v(x)lдx на единицу, при этом ни одно из его подмножеств таким свойством не обладает. В рамках топологического анализа при отсутствии избыточных измерений узловых мощностей критическая группа представляет собой разрез графа измерений, построенного на графе сети (рис.1). В общем случае, с произвольным составом измерений, критической группе отвечает коцикл матроида, моделирующего структуру измерительной системы.

В работе предложены так же количественные показатели, характеризующие избыточность измерений (наблюдаемость системы) на локальном уровне. В связи с различной природой факторов, влияющих на уровень избыточности (наблюдаемости), они разделены на топологические алгебраические.

Уровень топологической наблюдаемости параметра режима - наименьшее число измерений, при удалении которых параметр становится топологически ненаблюдаемым. Уровень у, топологической избыточности измерения - наименьшее число измерений, при удалении которых измерение становится топологически неизбыточным. Нетрудно убедиться, что для измеряемого параметра выполняются соотношение:

Сх={Ръ-иР1л} Сг={Ргл,Рз-2,Р1.г,РгА,Рм)

С1={Ргл,Рг-2,Рг.г,Рг4,Р1-ъ} С^{Рг.иРг.г,Рг.г,Рг-*,Рл.2)

с)

Рис. 1. К определению критических групп измерений: а) схема сети с расстановкой измерений, Ь) разрезы на графе измерений, с) критические группы.

Л=Г,-1 = Л-1, (2)

где р1 - размерность наименьшей критической группы, включающей /-е измерение.

Уровень лз алгебраической избыточности /-го измерения характеризует степень участия избыточных измерений в определении оценки /-го измеряемого параметра и, тем самым, может служить оценкой качества топологической избыточности:

к, = К, -1 = 1/я, -1, (3)

где К, - уровень алгебраической наблюдаемости измеряемого параметра, а, - диагональный элемент матрицы А = //(//7 Л"'я) ' НГЯ'1, Я = diag(p■f).

Показано, что алгебраические показатели, как и топологические, обладают важным свойством монотонности, т.е. при дублировании /-го измерения у1 := +1 и к) := к; +1. Для критического измерения = 0 <=> /г, = 0.

Условия идентифицируемости НИ. Уровень локальной избыточности измерений задает принципиальные ограничения на возможность идентификации НИ. Известно (К.Клементс, П.Дэйвис), что НИ неидентифицируемы, если их число в какой-либо критической группе размерности р больше, чем р- 2. Данное условие можно рассматривать как необходимое условие идентифицируемости НИ. В работе получено достаточное условие топологической идентифицируемости.

Утверждение 1. НИ топологически идентифицируемы, если ни в одной критической группе их число не превышает половины числа измерений, образующих эту группу, а именно, если выполняется условие

/<[(р,-1)/2], (5)

где/¡— число НИ в 1-й критической группе размерности р„ [•] - целая часть числа.

Если число / в какой-либо /-й критической группе такое, что

[(р,-1)/2]</,<А-2, (6) возможность идентификации НИ зависит от сочетания величин грубых ошибок в них. В этом случае следует говорить об условной идентифицируемости НИ. В схеме на рис. 1 условию (5) удовлетворяют одиночные НИ Рг.2, Р2-з, Р3-1, Л-з, Рг-4, Р^г и комбинация {Р2.з, Рз-г}- Условно идентифицируемыми согласно (6) являются комбинации {Р2-а, Ра-2}. {Рз-а, Ра-з), {Р2-4, Рз-4, Р3-2} и т.д. При возникновении грубой ошибки в измерениях Рз.\ или Р2а с у <2, идентифицировать НИ не возможно.

Полученное в работе условие алгебраической идентифицируемости НИ определяет предельную вероятность идентификации ошибочных измерений в зависимости от величин их грубых ошибок и алгебраической наблюдаемости.

Утверждение 2. Для заданной вероятности а ошибки I рода вероятность идентификации 1-го НИ (у, е5), содержащего ошибку величиной Ь,/сг,, вместе с другими НИ множества 5 не превышает значения Р„ определяемого согласно выражению:

где К,(7) — уровень алгебраической наблюдаемости измеряемого параметра, определяемый на множестве Т хороших измерений, Л^.о/ь N¡4 - квантили стандартного нормального распределения N(0,1).

Чем меньше уровень алгебраической избыточности измерений параметров режима, тем меньше вероятность обнаружения и идентификации грубых ошибок в них. Низкая алгебраическая избыточность характерна в первую очередь для измерений перетоков мощности в ветвях сети, имеющих сравнительно малое сопротивление, а так же измерений с относительно высокой точностью.

Анализ существующих методов. Определение условий разрешимости задачи идентификации НИ позволило выполнить анализ и дать критическую оценку идентифицирующих способностей существующих методов ее решения, как уже применяемых, так и разрабатываемых. Согласно предложенной в работе классификации все методы поделены на три группы (рис.2).

Установлено, что возможности идентификации НИ, заложенные в избыточной системе измерений и определяемые условиями идентифицируемости НИ, поисковыми методами достоверизации измерений, основанными на проверке простой статистической гипотезы, в полной мере не реализуются. Разработка более эффективных методов идентификации множественных НИ возможна лишь за счет привлечения комбинаторных методов, реализующих проверку сложных гипотез. Анализ последних выявил несостоятельность осуществляемого некоторыми авторами механического (прямого) переноса методов типа ЬМБ и ЬТ8, разработанных в теории роба-стной регрессии, на задачу идентификации НИ в ЭЭС. Развиваемый в ряде работ оптимизационный подход на основе критерия максимальной согласованности позволяет достичь наилучших результатов, однако характеризуется высокой вычислительной сложностью, несовместимой с работой в режиме реального времени.

Отмечается общий недостаток всех методов идентификации. По определению они исходят из жесткого деления измерений на множество 5 плохих и множество Т хороших, ошибки которых имеют нормальное распределение. При небольших отклонениях от нормальности (ошибки квантования и др.) истинный уровень значимости статистических критериев может существенно отличаться от предполагаемого, и вместо обычно полагаемого а = 0.27% достигать десятков процентов, что приводит к существенному увеличению вероятности браковки достоверных измерений. Подтверждением служат приведенные в работе результаты статистических испытаний некоторых методов при моделировании различных отклонений от предположений (наличие ошибок квантования, ошибки в задании дисперсии, ошибки в параметрах схемы замещения ЭЭС).

Обзор работ в области неквадратичного подхода выявил отсутствие содержательной теории, обосновывающей его применение, относительно частный характер проводимых исследований, наличие целого ряда нерешенных проблем вычисли-

(7)

' (ПОИСКОВЫЕ) ^ С (КОМБИНАТОРНЫЕ) ^ С (НЕКВАДРАТИЧНЫЕ) 4 Идентификация множества 5 Идентификация множества I Подавление грубых ошибок за неверных измерений (подмножества) Г хороших I счет использования неквадра-_путем анализа_^ ^ измерений по критерию ) ^ тичных критериев

наименьшей медианы квадратов (ЬМБ)

наименьших урезанных квадратов (ЬТБ)

максимальной согласованности

Рис.2. Основные методы обеспечения устойчивости результатов оценивания состояния ЭЭС к НИ.

тельного плана. Предложенный почти 40 лет назад из интуитивных соображений Х.Мерриллом и Ф.Швеппе он не получил своего развития и в свое время был признан малопригодным для оценивания состояния ЭЭС. Между тем идея использования критериальных функций, менее быстро растущих, чем квадратичная, имеет прямую связь с теорией робастной статистики, развитие которой лишь сравнительно недавно достигло уровня практического применения.

2. НЕКВАДРАТИЧНЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЭС

Во второй главе излагается робастная постановка задачи оценивания состояния ЭЭС, основой которой является теория робастной статистики, а именно минимаксная теория П.Хьюбера. Используя данную теорию, строятся оценки, устойчивые к нарушениям предполагаемого закона распределения ошибок. Фактически это приводит к задаче оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, которые таким образом получают свое теоретическое обоснование. Особое внимание уделяется установлению пороговых свойств неквадратичных оценок, а так же приемов их улучшения в условиях неравномерной локальной избыточности измерений в ЭЭС

Устойчивая модель ошибки измерения. Когда известно распределение ошибок измерений, тогда наилучшей в известном смысле оценкой х вектора состояния ЭЭС является та, при которой достигается максимум плотности вероятностей вектора £ = V Но найти вероятностные распределения ошибок измерений для огромного числа эксплуатируемых в ЭЭС приборов не представляется возможным. Однако можно выделить некоторую окрестность 3 = {/(£)} статистической модели ошибки, которая включает как идеальную модель, так и отклонения от нее.

В работе получено аналитическое выражение для асимптотической ковариационной матрицы ошибок оценки состояния ЭЭС, когда используемый гипотетический закон распределения ошибок измерений/г(£) не совпадает с фактически реализуемым /о (£). В свернутом ввде

соу(6х)=У{/г,/0).(НтЯ-1НУ (8)

оно представляет собой произведение двух сомножителей, из которых только скаляр

У(/г,Л) зависит от плотностей/}-(£) и/0(£). Это позволяет корректным образом перенести теорию Хьюбера, разработанную для одномерных задач, на оценку вектора состояния ЭЭС, рассматривая лишь величину У(/г,/о)- Согласно Хьюберу выбор гипотетической плотности./}- (£) е З' осуществляется исходя из наихудшего, что может произойти во всей окрестности с У(/г,/оУ-

/г (<?) = агЙ т|п шах У{/г,/0). (9)

Использование этого распределения обеспечивает минимальную потерю качества оценки состояния ЭЭС при самой неблагоприятной истинной плотности ошибок измерений. В работе плотность (9) называется устойчивой в семействе 9*.

Анализ нескольких семейств 3<, для которых известны устойчивые плотности, показал, что условиям образования ошибок, характерных для измерительных систем в ЭЭС, хорошо отвечает семейство г-загрязенных плотностей:

^ = 1Л/(<Г)=((Ю)

где £(£) — предполагаемая идеальная плотность распределения ошибок, е - доля данных, содержащих ошибки, которые имеют произвольное распределение Если в качестве идеального предполагать нормальный закон распределения, тогда оптимальная в минимаксном смысле плотность:

М-

1 £

е 2 " , при > аа,

у[2жа \~£

2<тг

(П)

при < аа,

VЪгсг

где величина а зависит от е.

На рис.3 на вероятностной бумаге для нормального распределения изображено эмпирическое распределение небаланса активной мощности в одном из узлов расчетной схемы Коми ЭЭС, который имеет измерения Р: мощности по всем присоединениям /:

^ = (12)

/е/ /е/ /б/

По характеру распределения небаланса можно косвенно судить о распределении ошибок измерений, входящих в уравнение (12). Выборка объема 17280 (суточные данные измерений с интервалом в 5 сек) дает картину, крайне похожую на ту, которая получается для распределения (11) с 1% загрязнением. Заметим, что в рассматриваемый период времени измерения не содержали грубых ошибок. Таким образом, даже при отсутствии сбоев в измерениях модель ошибки (10) оказывается лучше, чем традиционная нормальная модель.

Робастные М-оценки. Оценка вектора состояния ЭЭС, вычисляемая методом максимума правдоподобия, находится путем минимизации выражения:

( - . /-.ЛЛ

(13)

-£1

<=| (=1 где р(-) = -1п //{■), т — число измерений. Оценки такого типа называются Дооценками (оценками .максимального правдоподобия при нестандартных условиях).

0.9999 0.999 0.99

0.9 0.75 0.5 0.25

0.05

Рис.3. Функция распределения небаланса активной мощности в узле, обусловленного ошибками измерений, на нормальной вероятностной бумаге. Кружки - эмпирические данные, 1 -нормальное распределение, 2 - устойчивое распределение (11) при е= 0.01.

-8-6-4-2 0 2 4 6 АР, МВт

Подстановка распределения (11) приводит к неквадратичной критериальной функции (рис.4):

■{\г\-а-аг/2, при |r|>а,

которая имеет ограниченную функцию производной y-fj и определяет М-оценку Хьюбера. Регулируя значение а, можно влиять на фильтрующую способность метода, выбирая между эффективностью оценок и их чувствительностью к большой ошибке. Предельным случаем оценки (14) является традиционная оценка наименьших квадратов, р(г) = г2/2, при а—>оо. Она имеет неограниченную ^функцию и является абсолютно неробастной. Наиболее ограниченным вариантом является оценка наименьших модулей, р{г) = |г|, при а—>0.

Поскольку любая М-оценка с ограниченной ^-функцией является робастной, в работе рассмотрены так же другие неквадратичные функции. Особый интерес представляют две из них (рис.4): функция Меррилла-Швеппе

P(rh\r2/2'r- ПРИИ"°' (15)

V ' }2a3/2^-3a72, при |r|>a и предложенная в работе функция Стьюдента

ом-!^}

Их применение находит свое теоретическое обоснование в том факте, что ц/функция оценки максимального правдоподобия для распределений ошибок с более толстыми, чем у (11), "хвостами" убывает к нулю. В условиях локальной избыточности измерений в ЭЭС, уже небольшое количество НИ может расцениваться как следствие тяжелых "хвостов" распределений, порождающих их.

В табл.1 вычислены значения настроечных параметров, обеспечивающие оценкам при нормально распределенных ошибках асимптотическую эффективность 95%.

Таблица 1. Параметры настройки Л/-оценок

Хьюбер (14) Меррипл-Швеппе (15) Стьюдент(16)

a =1.345 a =1.637 a = 5.69

О Г /

а)

I Ь)

Рис.4 М-оцепки: 1 - наименьших квадратов, 2 - Хьюбера, 3 - Меррилла-Швеппе, 4 - Стьюдента.

Пороговые свойства М-оценок. Для любой оценки существует предел отклонений от предполагаемого распределения ошибок, при достижении которого, она становится неустойчивой. В теории робастной статистики количественной характеристикой предела является пороговая точка, определяемая как наименьшая доля недостоверных данных, которая может вызвать произвольно большое смещение оценки. В работе обоснована несостоятельность использования этого показателя в условиях оценивания состояния ЭЭС, где избыточность измерений имеет существенно локальный характер. Путем раскрытия понятия пороговой точки и ее разгло-бализации было получено условие локальной устойчивости робастных М-оценок.

Утверждение 3. М-оценка, определяемая функцией (14), (15) или (16), устойчива к множеству Е неверных измерений при любых сочетаниях грубых ошибок в них, если для любой}-й критической группы Су выполняется условие:

Здесь А, — ¡-я строка матрицы Н; р]- ненулевой вектор, такой, что /г,Д * 0 для всех /еС; и = 0 для всех / г С/, к - коэффициент вариации р-функции, значение которого для (14), (15) и (16) соответственно равно 1, 'Ли 0.

При к = 0 условие (17) в точности совпадает с условием (5) идентифицируемости НИ. Отсюда следует, что процедура оценивания состояния ЭЭС с использованием невыпуклой неквадратичной функции, подобной функции Стьюдента (16), обладает максимальными идентифицирующими способностями. При использовании функций (14) или (15) предел по устойчивости определяется алгебраическими свойствами матрицы Л""2Я, следовательно, зависит не только от структуры измерительной системы, но и параметров схемы замещения ЭЭС и точности измерений.

Для наглядного представления соотношения робастных свойств М-оценок в работе предложена диаграмма устойчивости (рис.5). На ней выделяются области содержащие комбинации НИ, удовлетворяющие необходимому условию идентифицируемости (6), и комбинации, удовлетворяющие достаточному условию (5). Если на диаграмме очертить комбинации НИ, к которым устойчива оценка Хьюбера, то получаемая область оказывается смещенной относительно центра, т.е. оценка может

1

(17)

< —

быть неустойчива к некоторым идентифицируемым НИ (даже одиночным), но является устойчивой к другим комбинациям НИ. Чем больше неоднородность параметров схемы замещения ЭЭС и неравноточность измерений, тем больше смещение. Оценка Меррилла-Швеппе менее подвержена влиянию свойств расчетной модели ЭЭС.

Исследование нескольких схем с различными моделируемыми составами измерений, их точностью и избыточностью показали, что площади областей устойчивости А/-оценок Стьюдента и Меррилла-Швеппе мало различаются между собой. Меньшую область имеет оценка Хьюбера. Сильной зависимости площади областей от режима функционирования ЭЭС не обнаружено.

Улучшение пороговых свойств оценки Хьюбера. Вероятность появления в составе измерительной информации одиночных НИ выше, чем двойных и т.д. Поэтому при оценивании состояния ЭЭС целесообразнее ориентироваться на применение невыпуклых функций типа Стьюдента, область устойчивости которой совпадает с областью идентифицируемости НИ, расположенной в центре диаграммы устойчивости. В тоже время, с вычислительной точки зрения, предпочтительнее использовать выпуклую функцию, определяющую оценку Хьюбера. Вскрытие ее пороговых свойств в виде условия (17) открывает возможности по ее улучшению. Один из вариантов, представленный в работе, - масштабирования строк h, матрицы /Г1/2 Я с помощью положительных весов w, так, что условие устойчивости (17) принимает вид:

5>MI< 5>М1- (18)

ieCjnE ibCj\E

Это соответствует замене функции оптимальности оценки (13) на функцию вида:

(19)

где параметр отрекомендуется брать равным 0 или 1.

В работе поставлена задача нахождения весов \v„ минимизирующих смещение области устойчивости оценки Хьюбера и максимизирующих область покрытия вероятных комбинаций НИ. Результатом ее решения явились веса:

М* I

Wj =1-шах—j—!_L_i!-s (20)

где K,)A| s IWM * | w*|s * = [л-/2]+1' Pk - размерность

Область идентифицируемости НИ

Область не-идентафици-руемости

Область условной р' идентифицируемости

Область устойчивости оценки Меррилла-Швеппе

Область устойчивости оценки Хьюбера

Рис.5. Диаграмма устойчивости

к-й критической группы. Рассмотрены так же другие способы определения весов. Исследования показали, что использование весов (20) позволяет достичь значительного улучшения пороговых свойств оценки Хьюбера. Область ее устойчивости превышает таковую для оценки Стьюдента, а при отсутствии избыточных измерений инъекций оценка (19) устойчива к любым идентифицируемым НИ. Вместе с тем отмечается трудоемкость расчета весов по формуле (20) и обосновывается применение менее робастных, но более пригодных для вычисления весов:

(21)

где а, - диагональный элемент матрицы А = н{нтЯ1 НтК'[.

Представлены многочисленные результаты оценивания состояния ЭЭС, полученные как для тестовых примеров, приводимых в литературе, так и путем статистических испытаний, демонстрирующие высокое качество оценки вида (19) с выпуклой />-функцией Хьюбера и весами (21) при различных нарушениях исходных предположений, в том числе грубых ошибках измерений. (Для повышения точности, получаемое решение уточнялось оцениванием с невыпуклой р-функцией). Традиционный подход, комбинирующий оценивание состояния ЭЭС по критерию наименьших квадратов с различными методами идентификации НИ (см. рис.2), показывал часто худшие результаты.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЭС ПО НЕКВАДРАТИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ

В третьей главе исследуются вычислительные свойства задачи робастного оценивания состояния ЭЭС:

(22)

(для простоты полагаем, что и', = 1) и разрабатываются чирленные методы и алгоритмы ее решения. Отмечается, что при замене сильно выпуклой квадратичной функции оптимальности оценок на неквадратичную на первый план выступают вопросы обеспечения надежной и быстрой сходимости вычислительного процесса. Показано, что широко применяемый для оценивания состояния ЭЭС метод Ньютона (Гаусса-Ньютона) не может использовать для минимизации целевой функции в новой постановке. В работе представлена модификация метода Ньютона, а так же выполнено его развитие с точки зрения повышения численной устойчивости, в частности, при наличие в сети транзитных узлов. Приводятся результаты численного исследования сходимости и вычислительной эффективности разработанных методов.

Модифицированный метод Ньютона. Разработанный численный метод решения задачи оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, представляет собой модификацию метода Гаусса-Ньютона в комбинации с расчетом оптимального шагового множителя. Итерационный процесс следующий (к - номер итерации):

Ок = р^Р(хк), (23)

= + ЬРк> (24)

где УР(хк) = -Н1 ) - градиент функции (22), гк =Я'1/г{у -г(хк)) - вектор

невязок измерений, Нк = дх{хк)/дхк - матрица Якоби для рк - вектор направления спуска, /* - длина шага, С?*- положительно определенная матрица.

14

Модификация заключается в замене функции второй производной с1(г) = р "(г) неквадратичного критерия ее положительной аппроксимацией (¡(г) и интерпретируется как один из способов регуляризации. Тогда как в методе Ньютона в качестве используется матрица Гессе УгР{хк) = Н[К''ОкНк-д\(хк)/дх2к Я',/2у/(гк), где Ок = Ша^с1(гк)), а в методе Гаусса-Ньютона - матрица Я^/Г'Д/Д, в модифицированном методе применяется матрица Н1И~1ОкНк. Для функции Хьюбера (14) диагональные элементы матрицы 5к вычисляются по формуле:

. (X при И < а,

«/('И , (25)

[а-а/г, при|/-|>а,

Выбор 0 < а 51 обеспечивает положительную определенность матрицы Ск, которая в методе Ньютона (Гаусса-Ньютона) вне малой области окрестности решения дг* сингулярная, или имеет отрицательные собственные числа. В работе обосновывается целесообразность пересчета коэффициента а так, чтобы аг-> 0 при хк ->х*:

(26)

Значения для постоянных Оз и Г рекомендуется брать равными аз = 0.5, Т= 2*5.

Определение оптимального шага ь, т.е. такого шага, при котором на каждой итерации достигается максимальное убывание целевой функции вдоль рк, требует решения задачи минимизации одномерной функции:

т

<р(.1) = Ял +'Рс)=Х р(г< + )) • (27)

(=1

Разработанная процедура основана на том, что функция невязок г,(/) = г,{хк + 1рк) достаточно хорошо описывается полиномом второй степени (при оценивании состояния ЭЭС в прямоугольной системе координат для измерений мощности это описание точное), а функция Хьюбера р(г,) является кусочной, меняющая вид зависимости в точках /-¿(Г) = ±а с квадратичной на линейную, и наоборот. Таким образом, одномерная функция представляется на каждом шаге итерационного процесса полиномом четвертой степени с кусочно-постоянными коэффициентами К = К(1). Определение 4 осуществляется путем решения уравнения:

<р'{1) = К1Р+К21г+ К31 + К4=0. (28)

Гиперповерхности г,{1) = ±а делят пространство состояний на области, в каждой из которых значения коэффициентов постоянные. Обозначим множество из N точек пересечения траектории спуска с границами этих областей как

Г = {г, | г,(дг;. + Т]рк)= ±а,1 = \,...,т), ] = (29)

и будем считать, что оно упорядочено: 0 < х\ < г2,..., < гу. Нахождение корня уравнения (28) состоит из двух этапов. На первом этапе локализуется область, в которой лежит минимум функции (27). Начиная с первой точки гь обновляются коэффициенты К, и проверяется знак производной <р'(5). Если для некоторого г/ производная сменила знак (р '(г/) > 0, то минимум функции лежит в интервале [гм, Г/]. Приравнивая производную ср'(') к нулю, на втором этапе находятся корни кубического уравнения (28). Наименьший действительный, положительный корень принимается за искомый 4.

В работе дается обобщение метода на оценивание состояния ЭЭС с невыпук-

лыми р-функциями. Для этого предложена обобщенная неквадратичная функция, имеющая кусочно-линейную функцию производной цКг) ~ р '(г). Увеличение количества точек (29), приводит к некоторому возрастанию трудоемкости расчета 4, однако, оно практически не сказывается на общих затратах выполнения одной итерации. Следует подчеркнуть, что при использовании невыпуклых р-функций метод сходится к ближайшей точке минимума, а потому не гарантирует оптимум целевой функции. В локальных минимумах робастность М-оценок не обеспечивается. Рассмотрено несколько вариантов решения проблемы глобального минимума. Наиболее практичный основан на использовании инерционности процесса изменения режима ЭЭС. При высоком темпе поступления телеметрической информации вектор х состояния ЭЭС за период опроса датчиков не успевает сильно измениться. Если оценка состояния, полученная на данных предыдущего среза, робастная, то она будет хорошим начальным приближением для оптимума целевой функции на порции новых данных.

Сравнение с другими методами. В работе реализованы и исследованы альтернативные методы решения задачи оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям. Первые три из них это применяемые в теории робастной регрессии метод с модифицированными весами (wGN) и метод с модифицированными невязками (rGN), а так же предложенный для оценивания состояния ЭЭС в 1971 г. метод Мер-рилла-Швеппе (71GN). Анализ показал, что все они являются модификациями метода Гаусса-Ньютона, но в отличие от метода (aGN), представленного выше, используют более грубую аппроксимацию функции d(r) = р "(г) и единичный шаг (f* =1), который может приводить к расходимости итерационного процесса. Сравнительные исследования показали, что предложенная модификация обеспечивает существенно более (в 5-10 раз) высокую скорость сходимости, а регулировка шага - надежность сходимости в широкой области определения переменных состояния.

Так же исследованы модификации метода Ньютона, предлагаемые современной теорией оптимизации, в которых положительная определенность итерационной матрицы Gk достигается за счет ее диагонального усиления (метод GN/e) или применения модифицированного разложения Холесского (методы N/ш и GN/m). Они значительно уступают по скорости сходимости предложенному методу, между тем, выявлены ситуации, когда имеет смысл переключаться с модифицированного метода aGN на метод Ньютона с модифицированным разложением Холесского (N/m).

В качестве иллюстрации в табл.2 приведено число итераций сходимости рассмотренных методов при оценивании состоянии четырех тестовых схем ЭЭС по критерию Хьюбера. Размерность схем составляет от 30 до 444 узлов при числе измерений, соответственно, от 109 до 1891, из которых около 5% содержат грубые ошибки. Методы wGN/t, rGN/t и 71GN/t отличаются от своих оригинальных версий регулировкой длины шага по методике, изложенной выше. Расчет шага выполнялся так же в методах N/m, GN/m и GN/e.

Улучшение обусловленности метода. Плохая обусловленность итерационной матрицы Gk может приводить к ошибкам в определении направления спуска и, следовательно, к замедлению сходимости метода или даже к его отказу. Последнюю ситуацию можно всегда избежать, используя численно устойчивую процедуру факторизации, генерирующую положительно определенную матрицу LDLr= Gk + Е, где ^-неотрицательная диагональная матрица. Тем не менее, устранение причин плохой

Метод Схема ЭЭС

1ЕЕЕ-30 1ЕЕЕ-118 1ЕЕЕ-300 ТУА-444

с^ 8 12 14 16

Ы/т 49 96 465 1055

вЫ/ш 47 94 468 604

йЫ/е 44 101 424* 252

71 бЫ 495 3154 Расходится Расходится

иОЫ 196 52 Не сходится Не сходится

ЮК 902* >5000 >5000 >5000

71 ОМ 57 19 58* 34*

\vGWt 30 29 73 60*

ЮМ 966 >5000 3525* >5000

1 условия критериев останова выполнены, но минимум не достигнут.

обусловленности всегда положительно сказывается на скорости сходимости итерационного процесса. Одна из распространенных причин плохой обусловленности матрицы Ск - представление детерминированных компонент исходной информации (нулевых инъекций транзитных узлов) как псевдоизмерений, и введение их в целевую функцию (22) с большим весом. Более естественным является обработка их в виде ограничения в форме равенств:

ф) = 0. (30)

Отмечается, что при расчете в прямоугольных координатах уравнения (30) эффективнее задавать в форме баланса активных и реактивных токов: /„([/',[/") = 0, 1г(и',1/") = 0. В этом случае минимизация (22) выполняется при линейных ограничениях.

В работе представлено четыре метода решения задачи с ограничениями (30). Все они различаются видом системы линейных уравнений, решаемой на каждом шаге итерационного процесса: (метод функции Лагранжа)

С, 0

Рк

-л^

//[я-'МгЫ) -сМ

(метод модифицированной функции Лагранжа)

уС, о

Рк

~ Ды.

(метод расширенной системы Хачтела)

-ф)

А:' 0 ~Мм '»МП)

Я[Л-1/2 0 С! Рк = 0

0 с, 0 _А+1.

(блочный метод расширенной системы) ~Н1Я-:ВаНа \HlRl

я?гнк ! - Дг1

I

сг р '

0 -Мь =

0 -л -с(х)

(32)

(33)

(34)

(35)

С ¡0

где Л. и ц — вектора неопределенных множителей Лагранжа, Л'1 - диагональная мат-

рица штрафных коэффициентов, С = 8с(х)/дх - матрица Якоби ограничений. В последнем методе предварительно выполняется разбиение вектора измерений на \а и \ь- В состав вектора \а включаются все измерения перетоков мощности и напряжений, а так же те ограничения (в виде квадратичного штрафа) и измерения инъекций, которые обеспечивают полный ранг матрицы Н1 ОаНа.

Для расчета оптимального шага используется функция выигрыша:

т ж

+ (36)

/-1 (=1

где параметр штрафа т} - дИДмН*» Ч > 1> 5 ~ число ограничений. Ее одномерная оптимизация выполняется аналогично поиску минимума функции (27).

В работе исследуются особенности систем линейных уравнений (32)-(35), а так же приводятся алгоритмы их решения. Результаты экспериментальных расчетов с использованием различных тестовых схем ЭЭС показали, что обработка нулевых инъекций транзитных узлов в виде ограничений обеспечивает точное выдерживание их значений без ухудшения обусловленности задачи. Несколько лучшей численной устойчивостью обладает метод расширенной системы Хачтела. С точки зрения затрат машинного времени наиболее эффективным является метод функции Лагранжа, трудоемкость решения системы (32) в 2-3 раза ниже, чем системы (34). Оценивание состояния ЭЭС на основе модифицированной функции Лагранжа или блочного метода расширенной системы хотя и позволяет в полной мере использовать процедуры положительно определенной факторизации с предварительным символьным упорядочиванием, но, тем не менее, требует большего числа арифметических операций.

4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТЫ

ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЭС В НЕЙРОСЕТЕВОМ БАЗИСЕ

В четвертой главе разрабатываются параллельно-структурированные алгоритмы оценивания состояния ЭЭС, реализуемые на нейросетевых вычислительных устройствах. Принципы организации таких устройств фундаментально отличаются от основных принципов парадигмы фон Неймана, заложенных в основу архитектуры современных вычислительных машин. Прежде всего, это высокий параллелизм, многократно повышающий производительность системы обработки информации.

При построении нейросетевых алгоритмов для оптимизационных задач исходят из того, что переходные процессы, происходящие в определенных нейронных структурах и затухающие во времени, сопровождаются минимизацией энергии нейронной сети. Динамика таких сетей обеспечивается введением обратных связей и описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

с1у(!)1Л = -ЧуЕ(у(1)) (37)

где у - вектор состояния нейронной сети (НС), Е(у) — функция ее энергии. Будучи выведена из равновесия, НС стремится к устойчивому состоянию, отвечающему минимуму энергии. Исходя из этого, отображение задачи на НС заключается в нахождении такой нейронной структуры, минимум энергии Е{у) которой соответствует оптимальному решению исходной задачи. Эти принципы положены в основу синтеза рекуррентных нейронных сетей для оценивания состояния ЭЭС.

Отображение задачи на нейронную сеть. Пусть зависимость у(х) линеаризуется в точке хк разложением в ряд Тейлора: \(х) - у(х*) + Н(х-хк). Оценке состояния

1 5», I

1Лг дх, /?Г\ о1,

' 1. ' (>1(//)

а)

Ь)

Рис. 6. Структура рекуррентной нейронной сети (а) и график переходного процесса в ней (Ь) при оценивании состояния 14-узловой тестовой схемы ЭЭС

линеаризованной системы соответствует минимум функции:

где в новых обозначениях у = - искомый вектор поправок; А, = ду,(хк) /дх - вектор-строка матрицы Якоби; Ь! = V, - V, ) - приближение для /-го измерения, полученное на предыдущем шаге. Решение у, минимизирующее (38), принимается за новую точку линеаризации, т.е. = хк + ¡¡у, и процесс расчета повторяется.

Если функцию (38) рассматривать как энергетическую функцию НС, то задача оценивания состояния линеаризованной модели ЭЭС отображается на систему нелинейных дифференциальных уравнений:

где т> 0 - постоянная времени интегрирования. Структура двухслойной НС, реализующая динамику (39) показана на рис.ба. Матрицы весовых коэффициентов НС являются взвешенными матрицами производных 1ГтН. Функция активации нейронов первого слоя, будучи первой производной функции оптимальности оценки цг= р', определяет робастные свойства оценок. Задавая активационную функцию в соответствии с желаемыми характеристиками у/ -функции можно получить широкий класс робастных оценок с различными статистическими свойствами.

Устойчивость непрерывной модели НС. Устойчивость рекуррентной НС, как замкнутой динамической системы, является важнейшим условием ее работоспособности. В устойчивой НС переходной процесс, вызванный подачей на вход взвешенных невязок измерений {у, -ч,(хк))/у>?сг, , со временем затухает (рис.бЬ). Поэтому большое внимание в работе уделяется исследованию устойчивости нейросетевых моделей и их сходимости к оптимальному решению задачи. Доказано, что при использовании неквадратичных функций (14)-(16) НС с непрерывной динамикой (39)

(38)

7=1,2,...,«,

(39)

устойчива и траектория у(1) каково бы ни было исходное состояние _у(0) = ,уо сходится к ближайшей точке равновесия у, удовлетворяющей необходимому условию оптимальности функции (38). Это свойство глобальной сходимости выражает надежность алгоритма и имеет первостепенное значение при решении любых задач реального времени на основе автоматизированных и, тем более, автоматических систем управления. Теоретически установлено, что время затухания переходного процесса

(40)

аЛтт

зависит от настроечного параметра а />функции и минимального собственного значения Л™,, матрицы #г/Г'#, которое зависит от свойств расчетной схемы ЭЭС и ее измерительного обеспечения, но не зависит от ее размерности. Таким образом, время расчета на НС с непрерывной динамикой от числа узлов схемы ЭЭС не зависит.

Дискретная модель НС. В работе отмечается, что, несмотря на успехи, полученные к настоящему времени в области создания аналоговых (электронных, оптических и т.д.) нейровычислителей, практическое распространение получили устройства, ориентированные на цифровую элементную базу. Функционирование НС с дискретной динамикой представляется системой нелинейных разностных уравнений, аппроксимирующих (39):

(-1

сг,

у = 1,2,...,«, (41)

где щ> 0 - шаговый множитель.

В работе доказано, что НС с дискретной динамикой (41) устойчива и последовательность {у^} сходится к стационарной точке функции Е(у) какова бы ни была начальная точка у(0), если шаг выбирается из условия И~хШх~аН}< 2, где т]

= сИа^Ц)), Лтах - максимальное собственное значение матрицы т]НТЕ''^''"Н. Этому условию удовлетворяет выбор

2 2 t1J = ff<-J== или Ц,<-„-, (42)

]±(*у хы

V м

где а,, - элемент матрицы НТЯ'ХШХ'"Н.

В связи с параллельной структурой нейросетевой вычислительной модели, время получения решения в процессе (42) определяется только числом тактов N функционирования НС. Теоретически установлено, что

(43)

где Лт„, Л,™, - соответственно минимальное и максимальное значение матрицы НТЯ'ЧУ 1~"Н. Т.е. быстродействие дискретной НС, в отличие от ее непрерывного аналога, зависит от числа обусловленности матрицы НТК~№1~"Н, которое напрямую связано с размерностью расчетной схемы ЭЭС. В результате, время расчета на НС с дискретной динамикой с увеличением числа узлов схемы ЭЭС возрастает. Преодоление этой зависимости возможно за счет разработки моделей алгоритмов, аппроксимирующих динамику НС (39) уравнениями более высокого порядка.

Модели НС, использующие множители Лагранжа. В работе отмечается, что зачастую неидентифицируемые грубые ошибки измерений приводят к получению оценок параметров режима, выходящих за рамки очевидных физических ограничений. Это могут быть диапазоны производительности электростанций, диапазоны регулирования коэффициентов трансформации трансформаторов, пределы на значения нагрузок как измеряемых, так и неизмеряемых и т.д. Использование этой информации при оценивании состояния ЭЭС позволяет ограничить область решений, а, следовательно, и смещение в оценках параметров режима, вызываемого НИ. В таком случае задача формулируется при ограничениях в форме неравенств:

- 0. (45)

Рекуррентная НС, синтезированная в работе и реализующая расчет поправок у на каждом шаге метода линеаризации, осуществляет поиск седповой точки модифицированной функции Лагранжа:

где Л1> 0 - множитель Лагранжа для 5-го ограничения, р> 0 - коэффициент штрафа, д — число ограничений. Динамика нейронной сети описывается системой дифференциальных уравнений:

а £сг,'ч £ £ I &Л& ,

с/Л, де,

И—г = -^-У + 8„ (47)

Л ах

0, /= 1, = 1,

Структура НС отличается от таковой на рис.6 наличием в первом слое нейронов, вычисляющих невязки ограничений и множители Лагранжа. Нейроны первого типа состоят из сумматора и нелинейного элемента, ограничивающего выходной сигнал г сумматора в соответствии с функцией Дг) = шт(0, г). Нейроны, вычисляющие множители Лагранжа, содержат между сумматором и нелинейным элементом интегратор с постоянной интегрирования /л. Весовые коэффициенты образуемых межнейронных связей соответствуют значениям элементов матрицы Якоби для ограничений. Если ограничения записываются в форме равенств (30), функцияДг) = г.

В работе выполнены исследования нейросетевого подхода к оцениванию состояния ЭЭС путем моделирования разработанных НС на ПЭВМ. Результаты, полученные в ходе экспериментов с различными расчетными условиями и схемами ЭЭС, подтверждают теоретические выводы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Возможности обеспечения устойчивости результатов оценивания состояния ЭЭС к НИ и другим отклонениям от предполагаемого закона распределения ошибок определяются не только топологической избыточностью измерений, т.е. объемом и схемой их расстановки в сети, но и уровнем алгебраической избыточности, которая зависит от параметров расчетной схемы ЭЭС и точности измерений. Независимо от применяемых методов и алгоритмов, трудности с идентификацией и подавлением влияния грубых ошибок возникают в измерениях, расположенных в ветвях сети с относительно мальм сопротивлением, и измерениях, имеющих сравнительно высо-

21

кую точность.

2. Показано, что существующие методы обеспечения устойчивости оценок путем идентификации и удаления НИ даже в условиях высокой избыточности измерений не гарантируют правильного решения при возникновении множественных НИ. Кроме того, эти методы не способны учитывать другие отклонения от нормального закона распределения ошибок измерений.

3. Обоснованная в работе робастная постановка задачи оценивания состояния ЭЭС не только не уступает по качеству получаемых оценок традиционному подходу, комбинирующему оценивание состояния по критерию наименьших квадратов с методами идентификации НИ, но часто превосходит его.

4. Разработанные численные методы и алгоритмы решения задачи демонстрируют высокую надежность и скорость сходимости вычислительного процесса. Они малочувствительны к начальному приближению, размерности сети, количеству измерений и грубых ошибок в них.

5. При современном темпе поступления телеметрической информации целесообразно применение невыпуклых неквадратичных критериев оптимальности. Их использование позволяет достичь наиболее высокой устойчивости оценок параметров режима к ошибкам в оперативных данных. В случае резких изменений режима, а так же при выполнении разовых расчетов ориентироваться следует на выпуклые критерии.

6. С появлением нейросетевых вычислительных устройств открываются принципиально новые возможности повышения быстродействия задачи оценивания состояния ЭЭС. Реализация представленных алгоритмов на аналоговых нейровычис-лителях позволит достичь сверхвысокого быстродействия при расчете схем большой размерности. Зависимость скорости сходимости НС в цифровом исполнении от размерности ЭЭС может быть преодолена разработкой последующих моделей, аппроксимирующих динамику НС разностными уравнениями второго и более высокого порядков.

Основные публикации по теме диссертационной работы

1. Хохлов М.В. Анализ методов оценивания состояния на примере Коми энергосистемы // Материалы тринадцатой Коми республиканской молодежной научной конференции. - Сыктывкар, 1997. (Коми научный центр УрО РАН). - С. 210-211.

2. Хохлов М.В. Применение искусственных нейронных сетей в задаче робастного оценивания состояния электроэнергетических систем // Молодежная науч.-техн. конф., посвященная 100-летию со дня рождения А.Я. Кремса: Тезисы докладов. - Ухта, 1999. - С.38.

3. Чукреев Ю.Я., Хохлов М.В., Алла Э.А. Оперативное управление режимами региональной энергосистемы с использованием технологии искусственных нейронных сетей // Электричество, 2000, № 4. - С.2-10.

4. Хохлов М.В., Чукреев Ю.Я. Повышение достоверности информационного обеспечения задач оперативного управления ЭЭС с использованием искусственных нейронных сетей // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. - Сыктывкар, 2000, Вып.51. -С.261-268.

5. Чукреев Ю.Я., Хохлов М.В., Готман Н.Э. Применение искусственных нейронных сетей в задачах оперативного управления режимами электроэнергетических систем. - Сыктывкар, 2000, Вып. 56. - 24 с. (Сер. Препринтов «Новые науч. методики»).

6. Современные проблемы надежности систем энергетики: модели, рыночные отношения, управление реконструкцией и развитием / H.A. Манов, Е.В. Се нова, М.Г. Сухарев и др.- М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2000. - С. 154-160.

7. Хохлов М.В., Чукреев Ю.Я. К выбору критерия в задаче робастного оценивания состояния

электроэнергетических систем // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: Материалы Ш всерос. науч.-техн. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш.Ун-та, 2000. - С.313-315.

8. Хохлов М.В. Синтез нейронной сети Хопфидда для оценивания состояния электроэнергетических систем по неквадратичным критериям // Межрегиональная молодежная науч. конф. «Се-вергеоэкотех-2001»: Тезисы докладов. - Ухта, 2001. - С.142-143.

9. Хохлов М.В. Идентификация точек разбалансировки в регрессионной модели телеизмерений // Межрегиональная молодежная науч. конф. «Севергеоэкотех-2002»: Тезисы докладов. - Ухта, 2002.-С.173-174.

10. Хохлов М.В. Обработка ограничений при оценивании состояния электроэнергетических систем на базе нейронной сети Хопфилда-Лагранжа // Там же,- С. 174-176.

11. Хохлов М.В. Устойчивость динамической нейронной сети для оценивания состояния электроэнергетических систем // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: Материалы IV Всерос. науч.-техн. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2002. - С.166-169.

12. Манов H.A., Чукреев Ю.Я., Успенский М.И. и др. Новые информационные технологии в задачах оперативного управления электроэнергетическими системами. - Екатеринбург: УрО РАН, 2002.-205 с.

13. Хохлов М.В. Развитие алгоритмов оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям // Управление электроэнергетическими системами - новые технологии и рынок. - Сыктывкар, 2004. - С.39-48.

14. Хохлов М.В. Модели нейронных сетей, использующие множители Лагранжа, в задаче оценивания состояния ЭЭС // Там же. - С.49-57.

15. Надежность либерализованных систем энергетики / В.А.Баринов, В.А.Савельев, М.Г. Сухарев и др. - Новосибирск: Наука, 2004. - С.276-288.

16. Khokhlov M.V. Constrained power system state estimation on recurrent neural networks // Proceedings of the ШЕЕ PowerTech Conference 2005, St. Petersburg, Russia, June 27-30, 2005. (CD-ROM, ref. 247) - P. 1-7.

17. Хохлов M.B., Чукреев Ю.Я. Помехоустойчивое оценивание состояния ЭЭС в условиях грубых ошибок телеизмерений // Вестник УГТУ-УПИ. Проблемы управления электроэнергетикой в условиях конкурентного рынка. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2005. №12 - С.309-322.

18. Хохлов М.В. Определение локальной избыточности телеизмерений в электроэнергетических системах // VII междунар. науч. конф. «Севергеоэкотех-2006»: Материалы конф. в 3 ч. - Ухта: УГТУ, 2006, ч.1. - С. 79-84.

19. Хохлов М.В. Задачи обеспечения режимной надежности при оперативном управлении ЭЭС // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. - М.-Н.Новгород, Изд-во Волго-Вятской академии гос. службы, 2008. Вып.58. - С. 7-19.

20. Хохлов М.В. Избыточность телеизмерений как средство обеспечения надежности информационно-измерительных систем в ЭЭС // Там же. - С. 350-363.

21. Хохлов М.В. Алгоритм определения локальной топологической избыточности телеизмерений на гиперграфе измерений // Энергосистема: управление, конкуренция, образование: Сб. докладов III международ, науч.-практ. конф. в 2 т. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008, Т.1. - С.423-427.

22. Хохлов М.В. Модифицированный метод Ньютона для оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям // Там же. - С.428-433.

23. Чупров B.C., Хохлов М.В. Оценивание состояния ЭЭС по неквадратичным критериям как задача нелинейного программирования // Там же. - С. 434-436.

24. Хохлов М.В. Модифицированный метод Ньютона для задачи оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям //Известия ВУЗов: Проблемы энергетики, 2008 №11-12/1. - С.149-158.

*В изданиях списка ВАК представлены работы [3,17,24].

Личный вклад автора. В коллективной монографии [12] автором написаны главы 3 и 4, разделы 1.2.1 и 1.3, в коллективной монографии [15] - раздел 4.5, посвященный методам устойчивого оценивания состояния ЭЭС. В коллективной монографии [6] в разделе 2.5 соискателю принадлежит разработка нейросетевого подхода.

Тираж 100

Заказ № 12

Информационно-издательский отдел Коми НЦ УрО РАН 167982, г. Сыктывкар, ул. Первомайская, 48

Введение.

Глава 1. Анализ проблемы робастного оценивания состояния ЭЭС

1.1. Краткая характеристика проблемы.

1.1.1. Вводный пример.

1.1.2. Неверные измерения: источники ошибок и разновидности.

1.1.3. Взаимосвязь задач робастного оценивания и идентификации НИ

1.2. Роль локальной избыточности измерений.

1.2.1. Критические группы, локальные избыточность и наблюдаемость

1.2.2. Условие топологической идентифицируемости НИ.

1.2.3. Условие алгебраической идентифицируемости НИ.

1.2.4. Иллюстративный пример.

1.3. Анализ существующих методов обеспечения робастности оценок.

1.3.1. Классификация методов.

1.3.2. Методы идентификации НИ.

1.3.3. Комбинаторные методы, LMS-, LTS-оценки.

1.3.4. Неквадратичные методы.

1.4. Выводы.

Глава 2. Неквадратичные критерии оценивания состояния ЭЭС

2.1. Общие положения.

2.2. Устойчивая модель ошибок измерений.

2.2.1.0 нормальной модели ошибки.

2.2.2. Подход минимаксной дисперсии Хьюбера.

2.2.3. Устойчивые плотности распределения ошибок.

2.3. Робастные М-оценки.

2.3.1. Монотонные оценки.

2.3.2. Немонотонные оценки.

2.4. Пороговые свойства робастных М-оценок.

2.4.1. Об определении предела устойчивости оценок в ЭЭС.

2.4.2. Пороговая точка: устойчивость в глобальном.

2.4.3. Устойчивость в локальном.

2.4.4. Иллюстративный пример. Диаграмма устойчивости.

2.4.5. Результаты исследований.

2.5. Улучшение пороговых свойств монотонных М-оценок.

2.5.1. Масштабирование строк матрицы R~]/2H с помощью весов w.

2.5.2. Метод расчета оптимальных весов.

2.5.3. Обобщенные М-оценки типа Хилла, Швеппе, Машюуза.

2.5.4. Результаты исследований.

2.6 Выводы.

Глава 3. Численные методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям

3.1. Общие положения.

3.2. Вычислительные свойства задачи.

3.2.1. Вырожденность минимума и многоэкстремальность.

3.2.2 Малая область сходимости ньютоновских методов.

3.3. Модифицированный метод Ньютона.

3.3.1. Определение направления поиска.

3.3.2. Определение шагового множителя.

3.3.3. Применение метода для нахождения немонотонных М-оценок

3.3.4. Сравнение с существующими методами.

3.4. Улучшение обусловленности метода: оценивание при ограничениях

3.4.1. Метод модифицированной функции Лагранжа.

3.4.2. Метод расширенной системы Хачтела.

3.4.3. Блочная формулировка метода расширенной системы.

3.4.4. Определение длины шага. Коррекция второго порядка.

3.5. Результаты численного исследования.

3.5.1. Описание тестовых примеров.

3.5.2. Выбор параметров модифицированного метода Ньютона.

3.5.3. Сравнение с другими способами модификации.

3.5.4. Исследование методов улучшения обусловленности.

3.6. Выводы.

Глава 4. Параллельные вычислительные алгоритмы оценивания состояния ЭЭС в нейросетевом базисе

4.1. Общие положения.

4.2. Базовая модель нейронной сети.

4.3. Анализ устойчивости непрерывной модели НС.

4.3.1. Критерий наименьших квадратов.

4.3.2. Неквадратичный критерий Хьюбера.

4.4. Выбор шага в дискретной модели НС.

4.4.1. НС с постоянным шаговым множителем.

4.4.2. НС с адаптивным шаговым множителем.

4.5. Модели нейронных сетей, использующие множители Лагранжа.

4.5.1. Модели для оценивания с ограничениями в форме неравенств

4.5.2. Обобщение на случай ограничений в форме равенств.

4.6. Результаты численного моделирования.

4.6.1. Устойчивость и робастные свойства НС.

4.6.2. Исследование факторов, влияющих на быстродействие НС.

4.6.3. НС, использующие множители Лагранжа.

4.7. Выводы.

Актуальность проблемы. Решение аналитических задач оперативного контроля и управления электроэнергетическими системами (ЭЭС) основывается на использовании оперативной модели ЭЭС, формируемой в темпе процесса по данным телеметрической информации о положении коммутационной аппаратуры и значениях параметров режима. Эта модель необходима для анализа надежности ЭЭС, оптимизации и коррекции режимов, проведения различных имитационных расчетов, связанных с проверкой различных прогнозируемых ситуаций и т.д. Очевидно, что от качества модели во многом зависит эффективность решения всех задач, использующих ее.

Одним из этапов построения оперативной модели ЭЭС является оценивание ее состояния. Статистическая постановка задачи оценивания состояния ЭЭС была сформулирована в 70-х годах прошлого века [182-184,137-138,6-7]. Идеи и подходы, заложенные в этих работах, определили все последующее развитие теории оценивания состояния ЭЭС. В основу теории положена классическая процедура наименьших квадратов, заключающаяся в минимизации суммы взвешенных квадратов рассогласования данных измерений параметров режима и результатов оценивания. Выбор квадратичного критерия оптимальности оценок определен в основном вычислительными аспектами. Однако, не смотря на математическую красоту и простоту вычислений, возможности практического использования такой постановки оказываются чрезвычайно ограниченными. Одной из причин тому является низкое качество и невысокая надежность телеметрической информации, что проявляется в возникновении больших непредсказуемых значений ошибок измерений. «Размазывание» таких ошибок в процессе минимизации квадратичной функции приводит к резкому искажению результатов оценивания состояния ЭЭС, дискредитируя процедуру наименьших квадратов. В связи с этим возникла проблема обеспечения устойчивости оценок наименьших квадратов к грубым ошибкам, сводящаяся главным образом к задаче обнаружения и идентификации неверных измерений (НИ) с целью их удаления из состава исходных данных.

С момента возникновения теории оценивания состояния ЭЭС проблеме «плохих данных» уделялось не меньшее, а зачастую большее внимание, чем непосредственно процедуре оценивания. Согласно библиографическому обзору [105], опубликованному в 1990 году более 20%. исследований, выполненных за первые 20 лет в области оценивания состояния ЭЭС, связаны с вопросами обнаружения НИ. В нашей стране значительный вклад в изучение и развитие проблемы плохих измерений внесла научная школа ИСЭМ СО РАН (А.З.Гамм, И.И.Голуб, И.Н. Колосок). Исследование и разработка алгоритмов фильтрации НИ ведется в УГТУ-УПИ (П.И.Бартоломей). Огромное количество работ опубликовано зарубежными исследователями. Среди наиболее ключевых отметим работы А. Абара, П. Дэйви-са, К. Клементса, Н.Ксианга, X. Меррилла, L. Мили, А.Монтичелли, И. Слуцкера, Д. Фалкао, М.Филхо, Э.Хандшина, Ф. Швеппе. Методам обнаружения НИ посвящена отдельная монография [17], а так же специальные главы в четырех монографических работах, обобщающих исследования в области теории оценивания состояния ЭЭС [7,10,65,162].

Между тем существование проблемы НИ является лишь следствием принятого в задаче оценивания состояния ЭЭС статистического критерия наименьших квадратов. Его применение обосновано только для ошибок измерений, следующих нормальному закону распределения и неприемлемо при нарушениях этого предположения. На практике нормальный закон никогда не бывает корректным, и большие ошибки, порождаемые более длинными хвостами функции плотности распределения, - наиболее очевидное свидетельство его невыполнения. Альтернативой классическому подходу, комбинирующему метод наименьших квадратов с идентификацией НИ, могут служить робастные процедуры оценивания состояния ЭЭС, в которых критерии оптимальности оценок определяются с учетом неполных знаний и представлений о вероятностных распределениях ошибок измерений.

Термин «робастный» впервые появился в работах статистиков Д.Бокса и С.Андерсона [78-79]. Робастной называлась «статистическая процедура, нечувствительная к отклонениям от предположений, лежащих в ее основе». Первая общая теория робастных оценок, заложившая основу для последующих теорий, была разработана П.Хьюбером в 1964 г. [124]. Вместо безоговорочного принятия той или иной модели ошибки (например, гауссовской), им выделялось некоторое подмножество распределений, в которое по предположению должно входить истинное распределение, порождающее данные наблюдений. Вслед за этим минимаксными методами находилась оценка с оптимальным во всей окрестности поведением. Подобные оценки были предложены в 70-х годах прошлого века для оценивания состояния ЭЭС [149,119]. Из-за характерного вида функции, замещающей в статистической процедуре функцию наименьших квадратов, критерии оптимальности таких оценок были названы «неквадратичными». Однако рассматриваемые в то время скорее как эвристические и менее удобные для вычислений неквадратичные критерии не получили своего дальнейшего развития и были вытеснены методами идентификации НИ.

Анализ современных разработок в области методов идентификации НИ свидетельствует о тенденции ко все большему увеличению сложности (как алгоритмической, так и временной) процесса анализа достоверности измерений. Это усугубляется ростом размерности расчетных схем ЭЭС и количества обрабатываемых измерений. Растет понимание влияния других начальных допущений на качество используемых процедур оценивания. В свою очередь развитие теории робастных статистик достигло уровня практического применения, что позволяет пересмотреть общепринятую статистическую постановку оценивания состояния ЭЭС и сориентировать ее на получение оценок, устойчивых к отклонениям от принимаемых предположений. Это требует существенной адаптации и развития методов теории робастных оценок к специфике ЭЭС, а так же разработки новых численных методов и алгоритмов, не уступающих в эффективности методам, применяемым при нахождении оценок наименьших квадратов.

Исследования, представленные в данной работе, были связаны с выполнением научных тем «Разработка интегрированной системы управления нормальными и аварийными режимами региональной электроэнергетической системы на базе технологий искусственного интеллекта», гос.рег. №01.960.005932 (1996-2000 гг.), «Разработка методов исследования и обеспечения режимной надежности региональной электроэнергетической системы с применением новых информационных технологий», гос. Per. №01.200.116595 (2001-2005 гг.), «Методы изучения и моделирование надежности функционирования региональных энергетических систем с учетом их производственно-экономической организации», гос.рег. №0120.0603398 (2006-2010 гг.), выполняемым в Отделе энергетике КНЦ УрО РАН, а позже в институте СЭиЭПС КНЦ УрО РАН.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка научно-методических основ робастного оценивания состояния ЭЭС на основе неквадратичных критериев. Для этого поставлены следующие задачи:

1. Изучение влияния структуры измерительной системы и свойств расчетной модели ЭЭС на возможность получения робастных оценок состояния ЭЭС.

2. Разработка теоретических подходов к построению и анализу робастных оценок состояния ЭЭС, малочувствительных к отклонениям от исходных предположений.

3. Разработка и исследование численных методов и алгоритмов робастного оценивания состояния ЭЭС, обеспечивающих быструю и надежную сходимость вычислительного процесса.

Методология исследований. Разработанные в диссертации научные положения, методы и модели основаны на использовании прикладной теории множеств и графов, теории вероятностей, теории робастной статистики, теории оптимизации, нелинейного программирования, методов имитационного моделирования, теории искусственных нейронных сетей. Достоверность научных результатов и теоретических выводов подтверждаются вычислительными экспериментами для тестовых схем, в том числе путем сопоставления разработанных методов и моделей с широко применяемыми на практике, а так же опытом их использования при оперативном управлении режимами региональной ЭЭС. Научная новизна.

1. Разработаны и обоснованы количественные (топологические и алгебраические) показатели, характеризующие локальную избыточность измерений и локальную наблюдаемость параметров режима ЭЭС.

2. Получены необходимые и достаточные условия идентифицируемости НИ, определяемые уровнем локальной избыточности и задающие принципиальные ограничения на возможность обеспечения устойчивости результатов оценивания.

3. Предложена устойчивая модель ошибки измерения и обосновано применение неквадратичных критериев для робастного оценивания состояния ЭЭС.

4. Разработан математический аппарат анализа и оптимизации пороговых свойств робастных оценок, а так же получены условия их устойчивости к НИ в ситуации локальной избыточности измерений в ЭЭС.

5. Разработаны численные методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, основанные на модификации метода Гаусса-Ньютона, в том числе с учетом ограничений в форме равенств.

6. Решена задача эффективного расчета оптимального шагового множителя, обеспечивающего высокую надежность и скорость сходимости численных методов при использовании критериев, имеющих кусочно-линейную функцию первой производной.

7. Предложены новые принципы организации вычислений по оцениванию состояния ЭЭС, ориентированные на применение нейроподобных вычислительных устройств параллельной архитектуры.

8. Разработаны вычислительные модели нейросетевых алгоритмов как с непрерывной, так и с дискретной динамикой. Для различных критериев оценивания доказаны их устойчивость и оптимальность решений.

Практическая значимость. Использование предлагаемой постановки задачи оценивания состояния ЭЭС и методов ее решения приводит к повышению надежности результатов оценивания состояния и, следовательно, качеству оперативной модели ЭЭС в условиях непредсказуемого поведения ошибок телеметрических измерений. При этом исключается необходимость разработки сложных алгоритмов идентификации НИ. Теоретические и методические положения робастного оценивания состояния ЭЭС могут быть использованы при решении других электроэнергетических задач, имеющих дело со случайной исходной информацией. Использование результатов.

Численные методы и алгоритмы робастного оценивания состояния ЭЭС легли в основу создания программы "PSSE", предназначенной для оперативного расчета установившегося режима ЭЭС по данным телеметрических измерений, которая была внедрена в среду ОИК АСДУ региональной Коми энергосистемы (ныне филиал ОАО «СО ЕЭС» Коми РДУ).

Апробация. Основные положения диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах, совещаниях и конференциях различного уровня как отечественных, так и зарубежных: межрегиональной с международным участием молодежной научной конференции «Севергеоэкотех» (г.Ухта, 1999, 2000, 2001, 2004, 2006); Коми республиканской молодежной конференции (г.Сыктывкар, 1997, 2000, 2004); юбилейной научной сессии Отдела энергетики Коми НЦ УрО

РАН (г. Сыктывкар, 1998); постоянно действующем Всероссийском научном семинаре с международным участием «Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики» (г. Иркутск, 1998, г.Сыктывкар, 1999, г.Вышный Волочек, 2000, г.Казань, 2001, г.Туапсе, 2002, г.Вологда, 2007); Всероссийской научно-технической конференции «Энергосистема: управление, качество, безопасность» (г. Екатеринбург, 2001); 2-й Всероссийской научно-технической конференции «Энергосистема: управление, качество, конкуренция» (г.Екатеринбург, 2004); 3-й Международной научно-технической конференции «Энергосистема: управление, конкуренция, образование» (г.Екатеринбург, 2008); Межрегиональном научно-техническом семинаре «Оперативное управление электроэнергетическими системами - новые технологии» (г. Сыктывкар, 2003); V-й Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика» (г. Москва, 2003); Всероссийской конференции «Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (г. Иркутск, 2003); Международной конференции «2005 IEEE St.Petersburg Power Tech» (St.Petersburg, 2005).

Исследования в области анализа локальной избыточности измерений были поддержаны грантом УрО РАН для молодых ученых и аспирантов (2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 печатных работ, в том числе отдельные разделы в 3 коллективных монографиях и 3 статьи в изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 220 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, перечня литературы из 204 наименований. Работа иллюстрирована 43 рисунками и 40 таблицами.

4.7 ВЫВОДЫ

1. Предложены новые принципы организации вычислений по оцениванию состояния ЭЭС, ориентированных на применение нейроподобных вычислительных устройств параллельной архитектуры. Реализация такого подхода позволит достичь высокого быстродействия решения задачи при расчете режимов ЭЭС большой размерности и существенно разгрузить центральный процессор.

2. Разработана вычислительная модель алгоритма оценивания состояния ЭЭС, реализуемого на рекуррентной сети из стандартных нейроподобных элементов, динамический переход которой в устойчивое состояние сопровождается минимизацией целевой функции. Исследованы устойчивость и оптимальность стационарных точек нейронной сети для различных критериев оценивания. Доказана глобальная сходимость вычислительного процесса в сетях с непрерывной динамикой. Получены условия сходимости алгоритма с дискретной динамикой.

3. Разработаны модели нейросетевых алгоритмов, осуществляющих поиск седловой точки функции Лагранжа в задаче оценивания состояния ЭЭС с учетом ограничений в форме равенств и неравенств. Установлено, что устойчивость ней-росетей зависит от применяемого критерия оценивания состояния ЭЭС. В случае критерия наименьших квадратов устойчивая нейронная сеть конструируется исходя из функции Лагранжа. В задаче оценивания по неквадратичным критериям нейронная сеть строится на базе модифицированной функции Лагранжа.

4. Выполнены теоретические и экспериментальные исследования скорости сходимости разработанных нейронных сетей. Установлено, что при реализации их на цифровой элементной базе время получения решения зависит от обусловленности задачи и растет с увеличением размерности ЭЭС. При использовании аналоговых нейровычислителей быстродействие нейронных сетей определяется минимальным собственным числом матрицы НтR~lWx~aН и от размерности расчетной схемы сети не зависит.

5. Если говорить о перспективах параллельной обработки телеметрической информации, то современный уровень развития нейровычислителей позволяет уже в настоящее время реализовать разработанные алгоритмы на базе цифровых сигнальных процессоров, программируемых логических интегральных схем, цифровых нейрочипах с многоразрядными весовыми коэффициентами.

Зависимость скорости сходимости от размерности ЭЭС может быть преодолена разработкой последующих моделей, аппроксимирующих динамику нейронной сети разностными уравнениями второго и более высокого порядков. Непосредственная реализация непрерывной динамики вычислительного процесса на аналоговых нейровычислителях требует рассмотрения их точностных характеристик, влияния внутренних шумов на качество и точность получения решения.

6. В целом, выполненные разработки представляют технологию построения новых параллельно-структурированных алгоритмов оценивания состояния ЭЭС, предназначенных для реализации вычислительного процесса на высокопроизводительных устройствах с нейросетевой архитектурой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оперативное моделирование электроэнергетических систем по данным телеметрической информации, содержащей различного рода помехи и ошибки, основано на использовании статистических подходов и методов. Достоверность результатов, получаемых с их помощью, зависит от принимаемых предположений о вероятностных свойствах измерений параметров режима и от того, насколько устойчиво ведут себя применяемые статистические методы при нарушении этих предположений. Классическая оптимальная процедура наименьших квадратов, лежащая в основе существующей теории оценивания состояния ЭЭС, предполагает нормальное распределение ошибок измерений и становится совершенно непригодной при отклонениях от него. Наиболее очевидная, но не единственная причина невыполнения нормального закона распределения на практике — возникновение больших непредсказуемых ошибок в телеметрической информации.

При выполнении исследований, результаты которых составили содержание данной работы, автор стремился к разработке методически цельного аппарата, направленного на комплексное рассмотрение проблемы устойчивости результатов оценивания состояния ЭЭС к нарушению начальных предположений о характере распределения исходных данных. Наряду с общеметодическим характером изложенные разработки имеют выраженную прикладную направленность. Одной из целей преследовалось отыскание оптимального сочетания формальной строгости и вычислительной эффективности решения задачи, с учетом ее высокой размерности, плохой обусловленности, отсутствия точных знаний и представлений о вероятностных свойствах телеметрической информации. Дадим краткую сводку основных результатов данной работы.

Получены условия, определяемые свойствами ЭЭС и ее измерительной системы, задающие принципиальные ограничения на возможность получения достоверных оценок параметров режима ЭЭС в ситуациях непредсказуемого поведения ошибок телеметрических измерений. Для этого впервые предложены и обоснованы количественные показатели, характеризующие локальный уровень избыточности измерений в ЭЭС и сформулированы необходимые и достаточные условия идентифицируемости неверных измерений (НИ). Представлена новая классификация-методов достоверизации измерений и выполнен комплексный анализ существующих, а так же разрабатываемых в настоящее время методов и подходов к проблеме плохих данных. Установлено, что возможности идентификации недостоверных данных, заложенные в избыточной системе измерений и определяемые условиями идентифицируемости НИ, существующими методами достоверизации данных, основанными на проверке простой статистической гипотезы, в полной мере не реализуются. Предлагаемые в настоящее время комбинаторные методы поиска НИ позволяют достичь максимальных результатов, однако характеризуются высокой вычислительной сложностью, требуя значительных затрат времени на получение решения.

Предложена новая статистическая постановка задачи оъ{енивания состояния ЭЭС, основой которой является теория робастной статистики. Обосновано моделирование ошибки телеизмерения с помощью ^-загрязненной плотности нормального закона распределения вероятностей и использование неквадратичных критериев оптимальности оценок состояния ЭЭС. Исследованы пороговые свойства неквадратичных оценок и впервые получены условия их устойчивости к нарушению предположений о характере распределения ошибок в ситуации локальной избыточности измерений. Установлено, что максимальные возможности для идентификации НИ, обеспечиваются при использовании невыпуклых функций типа Стьюдента. Выполнены теоретические разработки по оптимизации пороговых свойств неквадратичных оценок типа Хьюбера. Эффективность робастной постановки оценивания состояния ЭЭС подтверждена результатами статистических испытаний на тестовых схемах ЭЭС при моделировании различных нарушений исходных предположений. Так, оценивание состояния с использованием выпуклой функции Хьюбера по качеству оценок не только не уступает существующему подходу «метод наименьших квадратов + идентификация НИ», но превосходит его.

Исследованы вычислительные свойства задачи робастного оценивания состояния ЭЭС и разработаны численные методы и алгоритмы ее решения. Показано, что метод Гаусса-Ньютона, лежащий в основе построения численных алгоритмов оценивания состояния ЭЭС по критерию наименьших квадратов, становится совершенно непригодным при замене строго выпуклой квадратичной функции оценки на неквадратичную. Предложен новый численный метод, основанный на модификации метода Ньютона, а так же процедура расчета оптимального шагового множителя, обеспечивающего надежную сходимость итерационного процесса. Выполнено развитие метода с точки зрения повышения его численной устойчивости, в частности при наличии в исходной информации детерминированных данных типа нулевых инъекций транзитных узлов. Показано, что задача эффективно решается методами: функции Лагранжа, модифицированной функции Лагранжа, расширенной системы Хачтела. Проведены теоретические и экспериментальные исследования вычислительных характеристик разработанных методов, демонстрирующих высокую скорость и надежность сходимости вычислительного процесса при расчете больших схем с сильно неоднородными параметрами сети и неравноточными измерениями.

Предложены новые принципы организации вычислений по оцениванию состояния ЭЭС, ориентированные на применение нейроподобных вычислительных устройств параллельной архитектуры. Разработаны вычислительные модели параллельных алгоритмов оценивания состояния ЭЭС, реализуемых на рекуррентной сети из стандартных нейроподобных элементов. Исследованы устойчивость и оптимальность стационарных точек нейронных сетей для различных критериев оптимальности оценок состояния ЭЭС. Доказана глобальная сходимость вычислительного процесса в рекуррентных сетях с непрерывной динамикой и получены условия сходимости нейросетевых алгоритмов, предназначенных для реализации на цифровой элементной базе. Выполнены теоретические и экспериментальные исследования скорости получения решения и факторов влияющих на нее.

Представленные в работе результаты исследований, разумеется, не претендуют на окончательность, однако автор надеется, что они открывают новые возможности для дальнейших исследований в рамках предлагаемой парадигмы теории робастного оценивания состояния ЭЭС. Представляется, что изложенные подходы и методы к построению робастных оценок найдут свое применение и развитие при решении других задач, имеющих дело со случайной исходной информацией, таких как идентификация параметров моделей ЭЭС, расчет энергораспределения по данным АСКУЭ, прогнозирование режимов и т.д.

1. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с англ. - М.: Радио и связь. 1987. - 400 с.

2. Богданов В.А. Информационная модель электрической сети автоматизированной системой диспетчерского управления // Электричество, 1973, №5 —С. 1-7.

3. Боуз А., Клементе К. Оперативное моделирование электрических сетей энергосистем // ТИИЭР, Т.75, №12, 1987. С.63-83.

4. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979. 449 с.

5. Веников В.А., Головицын Б.И., Лисеев М.С., Унароков А.А. Расчет режима электроэнергетической системы по данным телеизмерений на основе метода регуляризации // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1976, №2. С. 39-49

6. Гамм А.З. Методологические вопросы оценивания и идентификации в электроэнергетических системах / В сб.: Вопросы оценивания и идентификации в энергетических системах. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1974. - С.29-51.

7. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. М.: Наука, 1976. 220 с.

8. Гамм А.З. Обнаружение недостаточно достоверных данных при оценивании состояния ЭЭС с помощью топологического анализа // Электричество 1978, №4. С. 1-8.

9. Гамм А.З. Вероятностные модели режимов электроэнергетических систем. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1993. 133 с.

10. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Колосок И.Н. и др. Оценивание состояния в электроэнергетике — М.: Наука, 1983. — 320 с.

11. Гамм А.З., Голуб И.И. Наблюдаемость электроэнергетических систем. М.: Наука, 1990. - 200 с.

12. Гамм А.З., Голуб И.И. Ополева Г.Н. Анализ ненаблюдаемых и плохо наблюдаемых электроэнергетических систем по данным измерений / Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнергетике. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. С.39-52.

13. Гамм А.З., Глазунова A.M., Колосок И.Н., Овчинников В.В. Методы оценки дисперсий телеизмерений в электроэнергетических системах // Электричество,1997, № 7. С.2-9.

14. Гамм А.З., Колосок И.Н. Идентификация характеристик ошибок измерений при оценивании состояния // Электронное моделирование, 1986, №3. С.45-50.

15. Гамм А.З., Колосок И.Н. Усовершенствованные алгоритмы оценивания состояния электроэнергетических систем // Электричество, 1987, № 11. — С.25-29.

16. Гамм А.З., Колосок И.Н. Обнаружение плохих данных в телеизмерениях для АСДУ ЭЭС на основе контрольных уравнений.- Иркутск, 1998. 24 с. (Препринт ИСЭМ СО РАН; №12.)

17. Гамм А.З., Колосок И.Н. Обнаружение грубых ошибок телеизмерений в электроэнергетических системах. — Новосибирск: Наука, 2000. — 152 с.

18. Гамм А.З., Колосок И.Н., Заика Р.А. Робастные методы оценивания состояния электроэнергетических систем и их реализация с помощью генетических алгоритмов // Электричество, 2005, №10. С. 2-8.

19. Гамм А.З., Кучеров Ю.Н., Паламарчук С.И. и др. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. -294 с.

20. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.-509 с.

21. Гришин Ю.А., Колосок И.Н., Коркина Е.С. и др. Программно-вычислительный комплекс "Оценка" оценивания состояния ЭЭС в реальном времени // Электричество, 1999, №2. С.8-16.

22. Колосок И.Н. Использование метода топологического анализа при обнаружении плохих данных в алгоритмах реального времени / В кн.: Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнергетике. Новосибирск: Наука, 1985. — С.52-59.

23. Колосок И.Н. Повышение достоверности телеизмерительной информации в ЭЭС на основе контрольных уравнений: дисс. . докт. техн. наук. Иркутск, 2004. - 323 с.

24. Колосок И.Н., Заика Р.А. Исследование эффективности применения генетических алгоритмов для достоверизации телеизмерений при оценивании состояния ЭЭС //Изв. РАН. Энергетика, 2003 №6. С.39-46.

25. Комарцова Л.Г., Максимов А.В. Нейрокомпьютеры. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 400 с.

26. Конторович A.M., Тараканов А.А. Выдерживание точных измерений при оценивании состояния электрических систем / В кн.: Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнергетике. — Новосибирск: Наука, 1985. С.63-68.

27. Корнеев В.В., Кисилев А.В. Современные микропроцессоры. М.: НО-ЛИДЖ, 2000. - 320 с.

28. Манов Н.А., Чукреев Ю.Я., Успенский М.И. и др. Новые информационные технологии в задачах оперативного управления электроэнергетическими системами. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. - 205 с.

29. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. СПб.: Изд-во «Лань», 2003.- 304 с.

30. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с фр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 488 с.

31. Основы теории колебаний / Мигулин. В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р. и др. М.: Наука, 1978. - 392 с.

32. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. Пособие для втузов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989.304 с.

33. Расчет и анализ режимов электроэнергетических систем / И.П.Стратан, В.И.Неретин, В.Л.Спивак. Кишинев: Штиинца, 1990. - 104 с.

34. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. / Ф.Хампель, Э.Рончетти, П.Рауссеу и др.- М.: Мир, 1989.-512 с.

35. Суворов А.А. Адаптивная идентификация параметров элементов электрической сети для задач оперативного и противоаварийного управления. Автореф. . канд. техн. наук. Екатеринбург, 2003. - 24 с.

36. Тарасов В.И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 2001. - 168 с.

37. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 655с.

38. Хохлов М.В. Синтез нейронной сети Хопфилда для оценивания состояния электроэнергетических систем по неквадратичным критериям // Межрегиональная молодежная научная конференция «Севергеоэкотех-2001»: Тезисы докладов. Ухта: УГТУ, 2001. - С. 142-143.

39. Хохлов М.В. Идентификация точек разбалансировки в регрессионной модели телеизмерения // Межрегиональная молодежная научная конференция «Север-геоэкотех-2002»: Тезисы докладов. Ухта: УГТУ, 2002. - С. 173-174.

40. Хохлов М.В. Обработка ограничений при оценивании состояния электроэнергетических систем на базе нейронной сети Хопфилда-Лагранжа // Межрегиональная молодежная научная конференция «Севергеоэкотех-2002»: Тезисы докладов. Ухта: УГТУ, 2002. - С. 174-176.

41. Хохлов М.В. Устойчивость динамической нейронной сети для оценивания состояния электроэнергетических систем // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: Материалы IV Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: ЧТУ, 2002. - С.166-169.

42. Хохлов М.В. Модели нейронных сетей, использующие множители Лагранжа, в задаче оценивания состояния ЭЭС // Управление электроэнергетическими системами новые технологии и рынок. — Сыктывкар, 2004. - С.39-48.

43. Хохлов М.В. Методы устойчивого оценивания состояния ЭЭС в оперативных задачах надежности // В кн. Надежность либерализованных систем энергетики / В.А. Баринов, В.А. Савельев, М.Г.Сухарев и др. Новосибирск: Наука, 2004. - С. 276-288.

44. Хохлов М.В. Развитие алгоритмов оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям // Управление электроэнергетическими системами новые технологии и рынок. - Сыктывкар, 2004. — С.39-48.

45. Хохлов М.В. Определение локальной избыточности телеизмерений в электроэнергетических системах // Материалы VII междунар. молод, науч. конф "Се-вергеоэкотех-2006". Ухта: УГТУ. 2006. - С. 79-84.

46. Хохлов М.В. Модифицированный метод Ньютона для задачи оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики. 2008, №11-12Я. С.149-158.

47. Хьюбер П. Робастность в статистике: Пер. с англ. М.: Мир, 1984 — 304 с.

48. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

49. Черников В., Виксне П., Фомин Д., Шевченко П. Архитектурные особенности нейропроцессора NM6403 // Научная сессия МИФИ 1999. Сб. науч. трудов. -М. 1999. - 4.2: Всероссийская научно-техническая конференция "Нейроинформа-тика-99"-С. 93-101.

50. Чукреев Ю.Я., Хохлов М.В., Алла Э.А. Оперативное управление режимами региональной энергосистемы с использованием технологии искусственных нейронных сетей // Электричество, №4, 2000. С. 2-10.

51. Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1962. - 335 с.

52. Abur A. Power system state estimation: Theory and implementation. — New York: Marcel Deccer, Inc., 2004. 330 p.

53. Abur A. A bad data identification method for linear programming state estimation // IEEE Trans, on PS, 1990, Vol.5, N 3. P. 894-901.

54. Abur A., Qelik M.K. A fast algorithm for the weighted least absolute state estimation // IEEE Trans, on PS, 1991. Vol.6, N 2. P. 1-8.

55. Allemong J.J., Radu L., Sasson A.M. A fast and reliable state estimation algorithm for AEP's new control center // IEEE Trans, on PAS, 1982, Vol. PAS-101, N 4. -P.933-944.

56. Alvarado F., Tinney W.F. State estimation using augmented blocked matrices // IEEE Trans, on PS, Vol.5, N3, 1990.-P. 911-921.

57. Amestoy P.R., Davis T.A., Duff I.S. Algorithm 837: AMD, an approximate minimum degree ordering algorithm // ACM Transactions on Mathematical Software, 2004, Vol.30, N3. P.381-388.

58. Asada E.N., Garcia A.V., Romero R. Identifying multiple interacting bad data in power system state estimation // IEEE PES General Meeting, 2005, Vol.1. P. 571-577.

59. Aschmoneit F.C., Peterson N.M., Adrian E.C. State estimation with equality constraints // Proceedings of the 10th PICA Conf., Toronto, ON, Canada, 1977. P. 427430.

60. Assadian M., Goddard R.J., Hong H.W., French D. Field operational experiences with on line state estimator // IEEE Trans, on PS, 1994. Vol.9, N 1. - P.50-58.

61. Ayres M., Haley P.H. Bad data groups in power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1986, Vol. 1, N3. P. 1-7

62. Baldick R., Clements K.A., Pinjo-Dzigal Z., Davis P.W. Implementing nonquad-ratic objective functions for state estimation and bad data rejection // IEEE Trans, on PS, 1997, Vol. 12, N1.-P. 376-382.

63. Bartels R. H., Golub G.H., Saunders M.A. Numerical techniques in mathematical programming, Report Number CS-70-162. Stanford University, Department of Computer Science, 1970. - 74 p.

64. Bouzerdoum A., Pattison T.R. Neural network for quadratic optimization withbound constraints // IEEE Trans, on Neural Networks, 1993, Vol.4, N.2. P.293-303.

65. Box G.E.P. Non-normality and test of variances // Biometrika, 1953, Vol.40, N3-4. -P.318-335.

66. Box G.E.P., Anderson S.L. Permutation theory in the derivation of robust criteria and the study of departure from assumptions // Journal of the Royal Statistical Society. Ser. B, 1955, VI7, N1. P. 1-34.

67. Broussolle F. State estimation in power systems: detecting bad data through the sparse inverse matrix method // IEEE Trans, on PAS, 1978, Vol. PAS-97, N 3. P.678-682.

68. Cheniae M.G., Mili L., Rousseeuw P.J. Identification of multiple interacting bad data via power system decomposition // IEEE Trans, on PS, 1996, Vol. 11, N.3. P. 1555-1563.

69. Cichocki A., Bargiela A. Neural networks for solving linear inequality systems // Parallel Computing, 1997, Vol. 22, №11.- P. 1455-1475.

70. Clements K.A., Davis P.W. Multiple bad data detectability and identifiability: a geometric approach // IEEE Trans, on PD, 1986, Vol.1, N3. P. 355-360.

71. Clements K. A., Krumpholz G.R., Davis P.W. Power system state estimation residual analysis: an algorithm using network topology // IEEE Trans, on PAS, 1981, Vol. PAS-100, N 4. P.1779-1787.

72. Clements K.A., Krunmpholz G.R., Davis P.W. State estimator measurement system reliability evaluation — an efficient algorithm based on topological observability theory // IEEE Trans, on PAS, 1982, Vol. PAS-101, N.4. P. 997-1004.

73. Clements K.A., Krumpholz G.R., Davis P.W. Power system state estimation with measurement deficiency: an observability/measurement placement algorithm // IEEE Trans, on PAS, 1983, Vol.PAS-102, N7. P. 2012-2020.

74. Costa A.S., Piazza T.S., Mandel A. Qualitative methods to solve qualitative problems in power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1990, Vol. 5, N.3. P. 941949.

75. Debs A.S., Contaxis G. State estimation for power systems — A case study // Proceedings of 25th Conference on Decision and Control, Athens, Greece, 1986, Vol.25. -P.l 186-1191.

76. Discussion on "Mili L., Van Cutsem Т., Ribbens-Pavilla M. Hypothesis testing identification: A new method for bad data analysis in power system state estimation" // IEEE Trans, on PAS, 1984, Vol.PAS-103, N11. P 3248-3252.

77. Donoho D.L., Huber P.J. The notion of breakdown point. — In: A Festschrift for Erich L.Lehmann / Ed. by P J.Bickel, Doksum K.A., J.L.Hodges. Wadsworth: Belmont, 1983.-P. 157-184.

78. Duff I.S. MA57 A code for the solution of sparse symmetric definite and indefinite systems // ACM Transactions on mathematical software, 2004. - Vol.20, №2. -P.l 18-144.

79. Duff I.S. MA57 Version 3.2.0 (HSL 2004). Package specification. Rutherford Appleton Laboratory, 2007. 21 p.

80. Durgaprasad G., Thakur S.S. Robust dynamic state estimation of power systems based on M-estimation and realistic modeling of system dynamic // IEEE Trans, on PS, 1998, Vol. 13, N4. P. 1331-1336.

81. Dutter R. Robust regression: Different approaches to numerical solutions and algorithms //Research Report No. 6, Fachgruppe fur Statistik, ETH, Zurich, 1975.

82. Ebrahimian R., Baldick R. State estimator condition number analysis // IEEE Trans, on PS, 2001. Vol.16, N2. P. 273-279.

83. Ellis S., Mortgenthaler S. Leverage and breakdown in Lj regression // Journal of the American statistical association, 1992, Vol.87, №417. P.143-148.

84. Falcao D.M., de Assis S.M. Linear programming state estimation: error analysis and gross error identification // IEEE Transactions on power systems, 1988, Vol. 3, N3. -P. 809-815.

85. Falcao D.M., Cooke P.A., Brameller A. Power system tracking state estimationand bad data processing // IEEE Trans, on PAS, 1982, Vol. 101, N2. P 325-333.

86. Fang H., O'Leaiy D.P. Modified Cholesky algorithms: A catalog with new approach // Mathematical Programming: Series A and B, 2008, Vol.115, N 2. P. 319-349.

87. Filho M.B., Leite da Silva A.M., Falcao D.M. Bibliography on power system state estimation (1968-1989) // IEEE Trans, on PS, 1990, Vol.5, N.3. P. 950-961.

88. Garcia A., Monticelli A., Abreu P. Fast decoupled state estimation and bad data processing // IEEE Trans, on PAS, 1979, Vol. PAS-98, N 5. P.1645-1652.

89. Gastoni S., Granelli G.P., Montagna M. Multiple bad data processing by genetic algorithms // IEEE Bologna Power Tech Conference Proceedings, 2003, Bologna, Italy, Vol.1.-6 p.

90. Gastoni S., Granelli G., Montagna M. Robust state estimation procedure based on the maximum agreement between measurements // IEEE Trans, on PS, 2004, Vol. 19, N4.-P. 2038-2043.

91. Ghosh S., Chowdhury В. H. Security-constrained optimal rescheduling of real power using Hopfield neural network // IEEE Trans, on PS, 1996, Vol. 11, №. 4. -P.1743-1748.

92. Gjelsvik A., Aam S., Holten L. Hachtel's augmented matrix method a rapid method improving numerical stability in power system static state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1985, Vol.PAS-104, N.l 1. - P. 2987-2993.

93. Glesner M., Pochmuller W. NeuroComputers: An Overview of Neural Networks in VLSI (Chapman Hall Neural Computing Series, №5). London, U.K.: Chapman and Hall, 1994. - 281 p .

94. Gould N., Scott J., Hu Y. A numerical evaluation of sparse direct solvers for the solution of large sparse symmetric linear systems of equations // ACM Transactions on mathematical software, 2007, Vol.33, №10. Article 10.

95. Granelli G.P., Montagna M. Identification of interacting bad data in the framework of the weighted least squares method // Electric Power Systems Research, 2008, Vol. 78,N5.-P. 806-814.

96. Granelli G.P., Montagna M. Genetic algorithm applications to the solution of electric power system problems / In: Electric Power: Generation, Transmission and Efficiency. Ed.: C.M.Lefebvre. New York: Nova Science Publishers, 2008. - P.75-120

97. Gu J.W., Clements K.A., Krumpholz G.R., Davis P.W. The solution of ill-conditioned power system state estimation problems via the method of Peters and Wilkinson // IEEE Trans, on PAS, 1983, Vol. PAS-102, N 10. P.3473-3480.

98. Hachtel G.D. Extended application of the sparse tableau approach finite elements and least squares, Technical report, Computer Science Dept., UCLA, 1974.

99. Hampel F. A general qualitative definition of robustness // The Annals of mathematical statistics, 1971, Vol.42, №6. P. 1887-1896.

100. Han Q., Liao L.-Z., Qi H., Qi L. Stability analysis of gradient-based neural networks for optimization problems // Journal of global optimization, 2001, Vol.19, №4. -P.363-381

101. Handschin E. Schweppe F.C. Kohlas J. Fiechter A. Bad data analysis for power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1975, Vol. PAS-94, N 2. P.329-337.

102. He X., Jureckova J., Koenker R., Portnoy S. Tail behavior of regression estimators and their breakdown points // Econometrica, 1990, Vol.58, №5. P. 1195-1214.

103. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 1982, Vol.79. P.2554-2558. ,

104. Hopfield J.J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 1984, Vol.81. P. 3088-3092.

105. Hopfield J.J., Tank D.W. "Neural" computation of decisions in optimization problems // Biological Cybernetics, 1985, Vol.52, №3. P.141-152.

106. Huber P. Robust estimation of a location parameter // The Annals of Mathematical Statistics, 1964, Vol.35, №1. P. 73-101.

107. Huber P.J. Robust regression: asymptotics, conjectures and Monte Carlo // The Annals of statistics, 1973, Vol.1, №5. P.799-821.

108. Huber P.J., Dutter R. Numerical solution of robust regression problems // COMPSTAT, 1974, Proc. Сотр. statist. Wien: Physika Verlag, 1974.

109. Irving M.R., Owen R.C., Sterling M. Power system state estimation using linear programming // Proceedings of the IEE 1978, Vol.125, №9. pp. 879-885.

110. Kennedy M., Chua L. Neural networks for linear and.nonlinear programming // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1988, Vol.35, №5. P. 554-562.

111. Khachiyan L., Boros E., Elbassioni K., Gurvich V., Makino K. On the complexity of some enumeration problems for matroids // SLAM Journal on Discrete Mathematics, 2005, Vol.19, №4. P. 966-984.

112. Khokhlov M.V. Constrained power system state estimation on recurrent neural networks // Proceedings of the IEEE PowerTech Conference 2005, St. Petersburg, Russia, June 27-30, 2005. (CD-ROM, ref. 247) 7 p.

113. King T. D., El-Hawary M. E., El-Hawary F. Optimal environmental dispatching of electric power system via an improved Hopfield neural network model // IEEE Transactions on Power Systems, 1995, Vol. 10, №. 3. P. 1559-1565.

114. Kohlas J. On bad data suppression in estimation // IEEE Trans, on automatic control, 1972, Vol AC-17, Dec. P. 827-828.

115. Korres G.N. A robust method for equality constrained state estimation // IEEE Trans, on PS, 2002, Vol.17, N2. P. 305-314.

116. Korres G.N. A new method for treatment of equality constraints in power system state estimation // Proceedings of 16th Power System Computation Conference, Glasgow, Scotland, 2008.

117. Kotiuga W., Vidyasagar M. Bad data rejection properties of weighted least absolute value techniques applied to static state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1982, Vol. PAS-101,N4. P. 844-853.

118. Kumar J., Sheble G.B. Clamped state solution of artificial neural network for real-time economic dispatch // IEEE Trans, on PS, 1995, Vol.10, №2. P.925-931.

119. Larson R.E., Tinney W.F., Peschon J. State estimation in power systems, Part I: Theory and feasibility // IEEE Trans, on PAS, 1970, Vol.PAS-89, N3.- P. 345-352.

120. Larson R.R., Tinney W.F., Hajdu L.P., Piercy D.S. State estimation in power systems, Part II: Implementation and applications // IEEE Trans, on PAS, 1970, Vol.PAS-89, N3. P. 353-363.

121. Lee K. Y. Sode-Yome A., Park J.H. Adaptive Hopfield Neural Networks for Economic Load Dispatch//IEEE Trans, on PS, 1998, Vol. 13, №. 2. -P.519-526.

122. Liang X.-B. A recurrent neural network for nonlinear continuously differenti-able optimization over a compact convex subset // IEEE Trans, on Neural Networks, 2001, Vol 12, N6. P. 1487-1490.

123. Liang X.-B., Si J. Global exponential stability of neural networks with globally Lipschitz continuous activations and its application to linear variational inequality problem // IEEE Trans, on Neural Networks, 2001, Vol. 12, N 2. P.349-359.

124. Lillo W. E., Loh M. H., Hui S., Zak S. H. On solving constrained optimization problems with neural networks: A penalty method approach // IEEE Trans, on Neural

125. Networks, 1993, Vol. 4, №6. P. 931-940.

126. Lo K.L., Ong P.S., McColl R.D., Moffatt A.M., Sulley J.L. Development of a static state estimator Part I: Estimation and bad data suppression // IEEE Trans, on PAS, 1983, Vol. PAS-102, N 8. P.2486-2491.

127. Lugtu R.L., Hackett D.F., Pietropola R.E., ets. The Atlantic electric system control center // IEEE Trans, on PAS, 1983, Vol.PAS-102, N11. P. 3571-3576.

128. Maa C.Y., Shanblatt M.A. Linear and quadratic programming neural network analysis. // // IEEE Trans, on Neural Networks, 1992, Vol.3, N4. P.580-594.

129. Machado P.A., Azevedo G.P., Monticelli A.J. A mixed pivoting approach to the factorization of indefinite matrices in power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1991, Vol.6, N2. P. 676-682.

130. Marrona R.A., Martin R.D., Yohai V J. Robust statistics: Theory and method. -New York: Wiley, 2006. 403 p.

131. Merrill H.M. Schweppe F.C. Bad data suppression in power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1971, Vol. 90, N6. P. 2718-2725.

132. Mili L., Cheniae G., Rousseeuw PJ. Robust state estimation of electric power systems // IEEE Trans, on circuits and systems -1: Fundamental theory and applications, 1994, Vol.41, №5.-P.349-358.

133. Mili L., Cheniae M.G., Vichare N.S., Rousseuw P.J. Robust state estimation based on projection statistics // IEEE Trans, on PS, 1996, Vol. 11, N2. P.l 118-1127.

134. Mili.L, Phaniraj V., Rousseeuw P J. High breakdown point estimation in electric power systems // Proc. 1990 IEEE International symposium on circuits and systems, 1990, Vol.3.-P.1843-1846.

135. Mili L., Phaniraj V., Rousseeuw P.J. Least median of squares estimation in power systems // IEEE Trans, on PS, 1991, Vol. 6, N 2. P.511-523.

136. Mili L., Van Cutsem T. Implementation of the hypothesis testing identification in power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1988, Vol. 3, N3. P. 887-893.

137. Mili L., Van Cutsen Т., Ribbens-Pavella M. Bad data identification methods in power system state estimation A comparative study // IEEE Trans, on PAS, 1985, Vol. PAS-104,N 11. - P.3037-3049.

138. Mili L., Van Cutsem Т., Ribbens-Pavilla M. Hypothesis testing identification: A new method for bad data analysis in power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1984, Vol.PAS-103, N11. P. 3248-3252.

139. Mizera I., Muller C. Breakdown points and variation exponents of robust M-estimators in linear model // The Annals of statistics, 1999, Vol.27, №4. P.l 164-1177.

140. Monticelli A. Modeling circuit breakers in weighted least squares state estimation // IEEE Trans, on PS, 1993, Vol. 8, N 3. P.l 143-1149.

141. Monticelli A. Electric power system state estimation // Proceedings of the IEEE, 2000, Vol.88, N.2. P.262-282.

142. Monticelli A. State estimation in electric power systems a generalized approach. - Norwell, MA: Kluwer, 1999. - 390 p.

143. Monticelli A., Garcia A. Reliable bad data processing for real-time state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1983, Vol. PAS-102, N 5. P.l 126-1139.

144. Monticelli A., Garcia A. Fast decoupled state estimators // IEEE Trans, on PS, 1990, Vol. 5, N 2. P.556-564.

145. Monticelli A., Murari C.A.F., Wu F.F. A hybrid state estimator: solving normal equations by orthogonal transformations // IEEE Trans, on PAS, 1985, Vol. PAS-104, N 12. P.3460-3468.

146. Monticelli A., Wu F.F., Yen M. Multiple bad data identification for state estimation by combinatorial optimization // IEEE Trans, on PD, 1986, Vol. PWRD-1, N3. -P.361-369.

147. Nocedal J., Wright S. Numerical optimization. New York: Springer Sci-ence+Business Media, LLC, 2006. - 664 p.

148. Nucera R., Gilles M. A blocked sparse matrix formulation for the solution of equality-constrained state estimation // IEEE Trans, on PS, 1991, Vol.6, N1. P. 214224.

149. Pajic S., Clements K.A. Power system state estimation via globally convergent methods // IEEE Trans, on PS, 2005, Vol.20, N4. P. 1683-1689.

150. Pandian A., Soman S.A. Towards faster givens rotations based power system state estimator // IEEE Trans, on PS, 1999, Vol. 14, N3. P.837-843.

151. Park J.H., Kim Y.S., Eom L.K., Lee K.Y. Economic load dispatch for piecewise quadratic cost function using Hopfield neural network // IEEE Trans, on PS, 1993, Vol. 8, N3. — P. 1030-1038

152. Piatt J.C., Barr A.H. Constrained differential optimization // Proc. of the IEEE 1987 NIPS Conference, 1988. P. 612-621.

153. Rao N.D., Tripathy S.C. Power system static state estimation by the Levenberg-Marquardt algorithm // IEEE Trans, on PAS, Vol.PAS-99, N2, 1980. P. 695-702.

154. Rodriguez-Vazquez A., Dominguez-Castro R., Rueda A., Huertas J.L., Sanchez-Sinencio E. Non-linear switched capacitor "neural" networks for optimization problems // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1988, Vol.37, N3. P. 384-398.

155. Rousseeuw P.J. Least median of squares regression // Journal of the American statistical association, 1984, Vol.79, N.388. P. 871-880.

156. Rousseeuuw P.J., Leroy A. Robust regression and outlier detection. New York: Wiley, 1987. - 329 pp.

157. Roy L., Mohammed T.A. Fast super decoupled state estimator for power system // IEEE Trans, on PS, 1997, Vol. 12, N 4. P.1597-1603.

158. Sammon, J.W. Jr. A nonlinear mapping for data structure analysis // IEEE Trans, on Computers, 1969, Vol. C-18, N5. P. 401-409.

159. Sasaki H. Optimal network bus ordering in power system state estimation its consistency with that in load flow // Trans, on PAS, 1983, Vol. PAS-102, N3. - P. 538547.

160. Schnabel R.B., Eskow E. A revised modified Cholesky factorization algorithm // SIAM J. Optim., 1999, Vol. 9, N4. P. 1135-1148.

161. Schnabel R.B., Eskow E. A new modified Cholesky factorization // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1990,11. P. 1136-1158.

162. Schweppe F. C. Wildes J. Power system static-state estimation, Part I: Exactmodel//IEEE Trans, on PAS, 1970, Vol. PAS-89,N 1. P.120-125.

163. Schweppe F. C. Rom D.B. Power system static-state estimation, Part II: Approximate model // IEEE Trans, on PAS, 1970, Vol. PAS-89, N 1. P.125-130.

164. Schweppe F. C. Power system static-state estimation, Part 1П: Implementation // IEEE Trans, on PAS, 1970, Vol. PAS-89, N 1. P.130-135.

165. Shevlyakov G. L., Vilchevski N. O. Robustness in Data Analysis: criteria and methods. Utrecht-Tokyo: VSP International Science Publishers, 2002. - 310 p.

166. Simoes-Costa A., Quintana V.H. A robust numerical technique for power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1981, Vol. PAS-100, N 2. P.691-698.

167. Slutsker I.W. Bad data identification in power system state estimation based on measurement compensation and linear residual calculation // IEEE Trans, on PS, 1989, Vol. 4, Nl.-P. 53-60.

168. Sudharsanan S., Sundareshan M. Exponential stability and a systematic synthesis of a neural network for quadratic minimization // Neural Networks, 1991, Vol.4, N5. P.599-613.

169. VanSlyck L.S., Allemong JJ. Operating experience with the AEP state estimator // IEEE Trans, on PS, 1988, Vol. 3, N 2. P.521-528.

170. Vempati N., Slutsker I.W., Tinney W.F. Enhancement to Givens rotations for power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1991, Vol.6, N 2. P.842-849.

171. Vempati N., Slutsker I.W., Tinney W.F. Orthogonal sparse vector methods // IEEE Trans, on PS, 1992, Vol.7, N 2. P.926-932.

172. Wang J.W., Quintana V.H. A decoupled orthogonal row processing algorithm for power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1984, Vol. PAS-103, N 8. -P.2337-2344.

173. Wei H., Sasaki H., Kubokawa J., Yokoyama R. An interior point method for power system weighted nonlinear LI norm static state estimation II IEEE Trans, on PS, 1998. Vol.13, N 2. P. 617-623.

174. Wu F.F., Liu W.-H.E., Lun S.-M. Observability analysis and bad data processing for state estimation with equality constraints // IEEE Trans, on PS, 1988, Vol.3, N2. -P. 541-548.

175. Xia X. W., Y., Li J., Chen W. K. A high performance neural network for solving linear and quadratic programming problems // IEEE Trans, on Neural Networks, 1996, Vol.7, N3.-P. 643-651.

176. Xia Y., Wang J. Neural network for solving linear programming with bounded variables //IEEE Trans, on Neural Networks, 1995, Vol.6, N2. P. 515-519.

177. Xiang Nian-de, Wang Shi-ying, Yu Er-keng. A new approach for detection and identification of multiple bad data in power system state estimation // IEEE Trans, on PAS, 1982, Vol. PAS-101, N 2. P.454-462.

178. Zhang B.M., Lo K.L. A recursive measurement error estimation identification method for bad data analysis in power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1991, Vol. 6, Nl.-P. 191-198.

179. Zhang B.M., Wang S.Y., Xiang N.D., ets. A state estimator with real-time implementation in the Northeast China power system // IEE International conf. on advances in power system control, operation and management, Hong Kong, 1991, Nov. P. 560

180. Zhang B.M., Wang S.Y., Xiang N.D. A linear recursive bad data identification method with real-time application to power system state estimation // IEEE Trans, on PS, 1992, Vol. 7, N3. P. 1378-1385.

181. Zhuang F., Balasubramanian R. Bad data suppression in power state estimation with a variable quadratic-constant criterion // IEEE Trans, on PAS, 1985, Vol. 104, N4. -P. 857-864.564.

182. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт социально-экономических и энергетических проблем Севера1. На правах рукописи1. ХОХЛОВ Михаил Викторович

183. РОБАСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ НЕКВАДРАТИЧНЫХ КРИТЕРИЕВ