автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Робастная параметрическая идентификация моделей диагностики на основе обобщенного метода наименьших модулей

На правах рукописи

ТЫРСИН Александр Николаевич

РОБАСТНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ДИАГНОСТИКИ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ МОДУЛЕЙ

Специальность 05 13 18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Челябинск - 2007

003059415

Работа выполнена на кафедре теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета и на кафедре экономико-математических методов и статистики Южно-Уральского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

А.В. Панюков

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

С.А. Тимашев

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Павленко

доктор технических наук, профессор В.В. Родионов

Ведущая организация. ГОУВПО «Уральский государственный

технический университет - УПИ»

Защита диссертации состоится 14 марта 2007 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 298 02 при Южно-Уральском государственном университете по адресу 454080, Челябинск, пр Ленина, 76, ЮУрГУ, в аудитории 1007

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета

Ваш отзыв, заверенный печатью, просим выслать по адресу 454080, Челябинск, пр им В И Ленина, 76, ЮУрГУ, ученый совет

Автореферат разослан « » февраля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, у А О Чернявский

доктор технических наук, профессор ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Роль математического моделирования в научных исследованиях неуклонно возрастает Его суть заключается в замене объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах алгоритмов

Крупный вклад в развитие теории математического моделирования внесли Р Беллман, В Н Вапник, Н Винер, В М Глушков, С К Годунов, И И Еремин, Ю И Журавлев, Н Н, Калиткин, Р Калман, А Н Колмогоров, П С Краснощекое, Л Льюнг, А П Михайлов, Н Н Моисеев, В В Налимов, А А Петров, А А Самарский, Э Сейдж, Я 3 Цыпкин, К Шеннон, П Эйкхофф и другие ученые

Методология математического моделирования бурно развивается Одним из основных направлений развития является исследование сложных систем, к характерным признакам которых относят

- некоторые факторы неизвестны или не могут быть измерены,

- неизвестен характер взаимосвязи факторов,

- стохастическая неоднородность данных

Вопросы математического моделирования сложных систем исследовались многими учеными, отметим работы В Б Бетелина, В Н Буркова, Дж Ван Гига, А Дж Вильсона, В А Виттиха, С Л Гольдштейна, С В Емельянова, Н Г Заго-руйко, Л Заде, Г Б Клейнера, А А Колесникова, М Месаровича, Ф И Перегу-дова, Ю С Попкова, И В Прангишвили, И Пригожина, Т Саати, С А Тимаше-ва, А И Уемова, Б С Флейшмана, Дж Форрестера, Р Шеннона и др

Математическая модель может давать здесь лишь частичное представление о сложной системе Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является построение моделей диагностики Модель диагностики представляет собой некоторую функцию у - /(х), которая отражает зависимость показателя у от некоторого процесса, протекающего на исследуемом объекте, характеризуемого множеством факторов х Основными требованиями к диагностической модели являются1 1) конечный результат должен быть максимально точным и надежным, 2) лаконичность и интерпретируемость способа получения конечного результата

Чем более экономно по форме и содержательно по смыслу преобразование >> =_/{х) при соблюдении заданной точности модели, тем более общие закономерности структуры экспериментальных данных вскрывает используемая модель и, значит, тем более устойчива и надежна количественная оценка диагностируемого показателя, получаемая с помощью преобразования Дх) Таким образом, от диагностической модели не требуется максимальной адекватности описания исследуемого объекта в целом Одновременно, в задачах диагностики существенно возрастает роль математической статистики при оценивании параметров моделей Укажем на такие особенности как

- возможное наличие в выборке резко выделяющихся наблюдений, не обязательно обусловленных ошибками измерений,

' Биргер И А Техническая диагностика -М Наука, 1978 -239с

- зачастую не экспериментальный, не однородный характер данных,

- использование различных группировок и округлений,

- возможная зависимость результатов наблюдений,

- не полное соответствие модели части наблюдений

Данные особенности при использовании классических процедур, ориентированных на выполнение основных предпосылок математической статистики могут привести к снижению достоверности и оперативности диагноза

Примером сложной социотехнической системы является горнодобывающее предприятие Здесь сочетаются высокопроизводительное горное оборудование, взаимосвязанность сложных организационных и технологических процессов, опасные условия работы персонала шахт, возрастание конкуренции на рынке Отметим основные проблемы Во-первых, необходимо обеспечить экономически целесообразный уровень работоспособности оборудования Например, затраты отечественных шахт на техническое обслуживание и ремонт достигают 25-40% в себестоимости добычи угля

Во-вторых, взаимосвязь организационных и технологических процессов приводит к усложнению управления предприятием Необходимо своевременно выявлять основные тенденции в условиях увеличивающегося потока разнородной информации

В-третьих, на российских горнодобывающих предприятиях актуальна проблема обеспечения безопасности труда Травматизм на порядок выше, чем в странах с развитой рыночной экономикой

Указанные проблемы во многом могут быть решены на основе построения адекватных математических моделей и разработки методов их достоверной и оперативной идентификации

Вопросы математического моделирования процессов и явлений, протекающих в горнодобывающих предприятиях, исследовались многими учеными Отметим работы Л И Андреевой, К Г Асатура, В А Галкина, Н О Калединой, П А Касьянова, С В Корнилкова, А А Кулешова, X Кумамото, Э С Лапина, О Г Латышева, С А Ляпцева, Ю И Леля, Э Дж Хенли, В Л Яковлева и др

Главным признаком сложности социотехнической системы является наличие человеческого фактора Однако определенные черты сложности присутствуют и в ряде технических объектов К ним в первую очередь можно отнести механические системы (МС), под которыми понимают различные машины, отдельные и взаимодействующие механизмы, конструкции, узлы, передачи и т д

По мере усложнения объектов исследования применение расчетных методов математического описания становится весьма трудоемко, недостаточно точно и не всегда возможно 2 С другой стороны, современные МС непрерывно развиваются в направлении увеличения мощности, быстроходности и точности При одновременном стремлении к снижению металлоемкости и габаритов это приводит к высокой динамической загруженности МС, делая необходимыми получение оперативной и достоверной информации об их текущем состоянии и

2 Рагульскис К М Скучас И Ю Динамический синтез машин полунатурным моделированием - Вильнюс Мокслас 1985 -162с

обнаружение дефектов на ранней стадии их возникновения Спецификой задач диагностики является то, что МС в состоянии зарождения дефекта зачастую становится существенно нелинейной, а анализируемый сигнал - нестационарным, неся в себе одновременно составляющую нормального функционирования и признак неисправности3 В особенности это касается таких высоконагруженных объектов, как турбомашины, в частности газотурбинные двигатели (ГТД)

В качестве диагностических признаков МС часто используют динамические характеристики (ДХ) Существующие методы определения ДХ МС зачастую требуют специально поставленных экспериментов, не всегда имеют достаточную точность и быстродействие Оценки параметров не обладают свойством устойчивости к вариации закона распределения присутствующего в измерительном тракте шума, наличию выбросов и к окраске его Спектра

Крупный вклад в развитие технической диагностики МС внесли И А Бир-гер, Ю Н Васильев, М Д Генкин, И В Егоров, В А Карасев, Р А Коллакот, В П Максимов, И Л Письменный, А Б Ройтман, М К Сидоренко, А Г Соколова, К В Фролов, К Цемпел, К Н Явленский и др

Таким образом, проведенный на примере механических систем и горнодобывающих предприятий, анализ современных направлений повышения эффективности функционирования сложных объектов, показывает актуальность проблематики совершенствования, как математических моделей в задачах диагностики, так и методов их построения Причем одними из наиболее актуальных направлений являются обеспечение устойчивости оценивания в условиях стохастической неоднородности и переход к дискретным моделям

Спецификой проблемы оценивания параметров моделей является некорректность задач по Ж Адамару В настоящее время разработан ряд методов обеспечения вычислительной устойчивости решений Наиболее крупный вклад в решение данной проблемы внесли А Н Тихонов, М М Лаврентьев, В К Иванов и их ученики Отметим, что для линейных операторов проблема в целом решена Здесь выделим методы сингулярных разложений, разработанные С К Годуновым, Дж Голубом и Ч Ван Лоуном, и экстремальный метод решения параметрической обратной задачи, предложенный А В Панюковым К числу нерешенных проблем следует отнести учет стохастической неопределенности

В настоящее время хорошо известны общематематическая и общесистемная мотивации приоритетного изучения дискретных систем и дискретных математических моделей Академик А Н Колмогоров отмечал, что «весьма вероятно, что в очень многих случаях разумно изучение реальных явлений вести, избегая промежуточный этап их стилизации в духе представлений математики бесконечного и непрерывного, переходя прямо к дискретным моделям Особенно это относится к изучению сложно организованных систем, способных перерабатывать информацию В наиболее развитых таких системах тяготение к дискретности работы вызвано достаточно разъясненными в настоящее время причинами»4

3 Генкин МД, Соколова А Г Виброакустическая диагностика машин й механизмов - М Машиностроение, 1987 -288 с

4 Колмогоров АН Комбинаторные основания теории информации // Успехи математических наук - 1983 - Т 38, №4 -С 27-36

Академик Н Н Моисеев приводит близкие соображения « любое детальное исследование неизбежно требует перехода к дискретному описанию Справедливость этого тезиса становится особенно очевидной, когда мы начинаем анализировать процессы с использованием ЭВМ Первый шаг такого анализа -это всегда переход к дискретному представлению изучаемых моделей Успехи именно в этой области определят качественный прорыв в будущее»5

Характерным примером исследования сложных систем с помощью дискретных моделей является анализ временных рядов Данную задачу решают, когда в силу многочисленности и сложности измерения факторов, не разработанности теоретических предположений относительно их взаимосвязей между собой, не представляется возможным обосновать и построить модель классического типа Крупный вклад в развитие теории математического моделирования временных рядов внесли С А Айвазян, Т Андерсон, В Н Афанасьев, Дж Бокс, Р Браун, К Гренджер, Д Дикки, М Кендалл, Ю П Лукашин, Ю Н Прохоров, В К Семенычев, В Фуллер, А Н Ширяев, Р Энгл и другие ученые

Построение конкретной математической модели диагностики по имеющимся наблюдениям реализуется с помощью статистических методов оценки ее параметров Многие задачи, связанные с обработкой статистических данных, решаются в предположении существования достаточной информации об изучаемых объектах, процессах, явлениях и о свойствах действующих на них возмущений Для широкого класса задач разработаны методы эффективного оценивания неизвестных параметров с использованием классических методов максимального правдоподобия В частности, в предположении, что случайные ошибки нормально распределены, методом максимального правдоподобия является метод наименьших квадратов (МНК) На основе МНК создана целостная система статистической обработки С учетом простоты реализации он является наиболее распространенным статистическим методом построения зависимостей Например, он используется в теории оптимального построения линейных моделей Р Калмана, при построении линейных регрессионных моделей, в методе восстановления зависимостей В Н Вапника и др

Стохастическая неоднородность в виде наличия отдельных выбросов и нестационарности случайных ошибок обуславливает необходимость обеспечить устойчивость получаемых оценок параметров моделей Использование МНК при этом может привести к значительным ошибкам Крупный вклад в развитие теории робастных и непараметрических методов внесли М В Болдин, В А Васильев, А П Вощинин, Е П Гильбо, Я Додж, В Я Катковник, А В Лапко, Р Мартин, Л Д Мешапкин, В И Мудров, А И Орлов, Б Т Поляк, С А Смоляк, Ф П Тарасенко, Б П Титаренко, Дж Тьюки, Ю Н Тюрин, Ф Хампель, Т Хеттман-спергер, П Хьюбер, И Б Челпанов, А М Шурыгин и другие ученые

Основное направление в теории робастного оценивания уделяется устойчивости оценок к отдельным выбросам, постулируя при этом однородность (стационарность) основной части случайных ошибок измерений Однако реальные данные часто трудно отнести к каким-либо параметрическим семействам, в рам-

5 Моисеев Н Н Человек Среда Общество -М Наука, 1982 -240 с

6

ках которых находится конкретное распределение ошибок Причем случайные ошибки во многих случаях не являются стационарными, в них могут присутствовать отдельные выбросы Наиболее актуальным является обеспечение устойчивости оценок параметров моделей временных рядов, поскольку они гораздо более чувствительны к стохастической неоднородности данных ввиду зависимости наблюдений

Целью работы является разработка единого подхода к решению проблемы робастной параметрической идентификации моделей диагностики, позволяющего на его основе получить комплекс математических моделей, а также методов, алгоритмов и программ их оценивания

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач

1 Разработать и теоретически обосновать робастный метод параметрической идентификации математических моделей в условиях стохастической неоднородности Одновременно метод должен иметь достаточно простую реализацию, ориентированную на практическое применение

2 Исследовать существующие подходы к математическому моделированию временных рядов на предмет выявления их общих закономерностей, позволяющих повысить достоверность построения математических моделей диагностики

3 Разработать комплекс математических моделей диагностики, а также методов, алгоритмов, программ и устройств их оценивания, апробировать разработанный комплекс для исследования процессов, протекающих при функционировании горнодобывающих предприятий и турбомашин

Научная новизна состоит в следующем

1 В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений

а) Разработан обобщенный метод наименьших модулей (ОМНМ) — новый метод робастного построения математических моделей

2 В области разработки, исследования и обоснования математических объектов

а) Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отображается во множество линейных разностных схем, теоретически обоснована методика представления экстраполяционных моделей в виде разностных схем конечного порядка,

б) Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моделей в линейные дискретные модели (ЛДМ) временных рядов, которые учитывают стохастическую неоднородность данных,

в) Разработан метод распознавания зависимостей по коэффициентам ЛДМ,

г) Доказано, что ОМНМ при некоторых ограничениях можно распространить и на случай робастного вычисления параметров нелинейных моделей

3 В области развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования

а) Установлена взаимосвязь нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами,

б) Разработан алгоритм обнаружения полиномиальных трендов,

в) Разработан метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов, позволяющий повысить быстродействие робастного сглаживания процессов

4 В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ

а) Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость при одностороннем засорении и в случае гетероскедастичности ошибок по сравнению с МНМ-оценками

5 В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента

а) Разработаны численные алгоритмы и программы реализации ОМНМ,

б) Разработаны алгоритмы и программы построения ЛДМ в условиях детерминированных помех и аддитивного шума

6 В области комплексного исследования научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента

а) Получен ряд ЛДМ колебаний МС при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования, на основе которых разработан комплекс алгоритмов, программ и устройств определения ДХ МС,

б) Построены ЛДМ спектров колебаний МС, учитывающих возможную окраску воздействия, а также частичное перекрытие резонансных зон На основе данных ЛДМ разработан метод определения ДХ линейных МС, устойчивый к наличию в резонансной зоне дискретных составляющих,

в) Построена математическая модель зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях

7 В области разработки новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента

а) Установлено, что случайные колебания линейной механической системы размерности Ь статистически эквивалентны модели авторегрессии АР(21),

б) Разработан алгоритм определения несмещенных значений ДХ МС в режиме нормального функционирования при наличии аддитивного шума на основе ЛДМ отсчетов колебаний

8 В области разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели

а) Разработаны алгоритмы и устройства диагностирования неисправностей и нерасчетных режимов работы турбомашин,

б) Разработана методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах

На защиту выносятся следующие основные положения 1 Разработан обобщенный метод наименьших модулей - новый метод робастного построения математических моделей

2 Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость по сравнению с МНМ-оценками в условиях стохастической неоднородности при построении линейных моделей

3 Разработан комплекс алгоритмов и программ для реализации обобщенного метода наименьших модулей

4 Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отображается во множество разностных схем

5 Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моделей в линейные дискретные модели временных рядов в условиях стохастической неоднородности

6 Теоретически обоснована методика построения ЛДМ временных рядов, на основе которой разработан метод распознавания трендов временных рядов и регрессионных зависимостей

7 Установлена взаимосвязь между нестационарными моделями временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами На ее основе разработан метод обнаружения полиномиальных трендов

8 Получен комплекс ЛДМ колебаний механических систем при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования, на основе которого разработан ряд новых способов, алгоритмов и устройств параметрической идентификации и диагностики механических систем

9 Разработаны методы идентификации моделей диагностики горнодобывающих предприятий анализ показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах, зависимость травматизма от компетентности и информированности персонала

10 Разработан новый метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации Все результаты диссертационной работы, в том числе постановка проблем, развитие модельных представлений и обобщений, разработка, исследование и обоснование математических моделей и методов их исследования, разработка комплекса компьютерных моделей и экспериментальных методик, доказательство всех утверждений и проведение численных расчетов и моделирования, получены лично автором диссертации В К Семенычеву, в соавторстве с которым опубликовано 23 работы (1988-1992 гг), принадлежат идея и поддержка на начальном этапе проведения исследований, связанных с применением разностных схем для параметрической идентификации механических систем В остальных случаях соавторам принадлежит участие в постановке задач, разработка отдельных аппаратных или программных средств, приложение и конкретизация методов

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, многомерного статистического анализа, функционального анализа, матричного анализа, оптимизации, вычислительной математики и теории систем При составлении пакетов программ на Visual Basic for Applications исполь-

зовались подпрограммы, составленные диссертантом на основе известных алгоритмов вычислительной математики

Реализация результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом НИР по темам № ГР 01880011951 (инв № отчета во ВНТИЦ 02890012516), № ГР 01900044624 (инв № отчета во ВНТИЦ 02900036222) Работа поддержана грантами Центра прикладных экономических исследований УрГУ (2003 г ), РГНФ 05-02-85203 а/У и РФФИ 07-01-96035 «Урал_а» Разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса из 10 программ на ЭВМ, зарегистрированных в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ и включенных в Информационно-библиотечный фонд РФ (№№ госрегистрации - 50200300815, 50200401146, 50200401230, 50200501318, 50200501319, 50200501320, 50200501321, 50200501322, 50200501323, 50200601575), и внедрены в НТЦ-НИИОГР (г Челябинск) и в Управлении по технологическому и экологическому надзору РОСТЕХНАДЗОРА по Челябинской области, что подтверждается соответствующими справками Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Южно-Уральского, Челябинского и Уральского государственных университетов

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 55 научных конференциях, в том числе на Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы повышения качества, надежности и долговечности машин» (Брянск, 1990), Всесоюзной научно-технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» (Куйбышев, 1990), Всесоюзной научно-технической конференции «Радиоизмерения-91 (методы повышения точности)» (Севастополь, 1991, X научной конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1992), III Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск, 2002), Международной научно-практической конференции «Хозяйствующий субъект новое экономическое состояние и развитие» (Ярославль, 2003), Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения - Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003-2006), 1У-У1 Международных научно-практических конференциях «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004-2006), 1-Ш Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004-2006), IV международной конференции «Современные сложные системы управления (НТС8' 2004)» (Тверь, 2004), IV Международной Московской конференции «Исследование операций» (Москва, 2004), УИ-1Х Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2004-2006), VI Международной конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2004), XI и XII Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Сочи, 2004, 2005), У-УИ Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Санкт-Петербург, 2005, Кисловодск, 2006), Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005), V Международной на-

учно-практической конференции «Моделирование Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005), XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005), VIII Международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2005), XXVIII Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С С Шаталина (Нижний Новгород, 2005) и др

Результаты работы обсуждались на научных семинарах отдела управляемых систем (рук - член-корр РАН А Г Ченцов) Института математики и механики УрО РАН, (2004-2005), «Математика в приложениях» Института математики СО РАН (2005), кафедр теории управления и оптимизации (2003-2006) и математических методов в экономике (2004) Челябинского государственного университета, кафедры экономико-математических методов и статистики Южно-Уральского государственного университета (2006), кафедры вычислительной техники Уральского государственного технического университета (2006)

Публикации. Содержание работы отражено в 123 печатных работах, в том числе в 26 публикациях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для докторских диссертаций (из них - 15 статей), в 18 авторских свидетельствах на изобретения и в 10 программах, зарегистрированных в Отраслевом фонде алгоритмов и программ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографического списка из 373 наименований и приложений Основной текст изложен на 274 страницах, включая 81 рисунок и 44 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы, задачи, научная новизна, изложены основные результаты, а также сведения о публикациях и апробации работы

В первой главе выполнен обзор известных методов построения зависимостей Показана перспективность использования для описания сложных систем дискретных моделей временных рядов Рассмотрена проблематика построения моделей диагностики Показано, что оценивание параметров моделей как, правило, осуществляется в условиях стохастической неоднородности

Проведенный в § 1 1 обзор основных методов построения зависимостей показал, что данная проблематика далека от окончательного решения Во-первых, современные подходы ориентированы в основном на параметрическую идентификацию Во-вторых, результаты идентификации зависят от используемого критерия качества В-третьих, отсутствие единой и обоснованной методологии моделирования создает ситуацию, когда различные модели одного и того же объекта с трудом поддаются сравнению, проверке на адекватность, не допускают объединения в едином комплексе и т д В-четвертых, известные подходы ориентированы, главным образом, на случай известного закона распределения погрешностей измерений и допускают лишь незначительные отклонения от данной

предпосылки Вопросы стохастической неоднородности результатов измерений практически не исследовались

Указанные проблемы особенно ярко проявляются при моделировании временных рядов Частный характер моделей приводит к ограничениям соответствующих методов идентификации данных моделей

В § 1 2 на примере таких объектов как горнодобывающие предприятия и механические системы рассмотрена проблематика математического моделирования сложных организационных и технических систем

Основными проблемами построения математических моделей процессов, протекающих на горнодобывающих предприятиях, являются, во-первых, их многофакторность, сложность взаимосвязей Как следствие этого, остро встает потребность разработки методов структурной идентификации моделей Во-вторых, как правило, исходные данные носят статистически неоднородный характер (см, например, рис 1, 2), для учета которого необходимо использовать устойчивые методы оценки параметров моделей

Год* Гч |ы

Рис I Зависимость среднего удельного Рнс 2 Смертельный травматизм в Кузбассе,

потребления электроэнергии в угольной связанный со взрывами метана и

промышленности в 1975-2004 гг угольной пыли, в 1975-2004 гг

Анализ известных методов определения ДХ высоконагруженных МС показал, что они не всегда имеют достаточные точность и быстродействие Кроме того, данные используемые модели ориентированы на нормальный режим функционирования и становятся не адекватными при решении диагностических задач в условиях зарождающихся дефектов, которые характеризуются стохастической неоднородностью результатов измерений Это проявляется в том, что известные методы определения ДХ МС снижают свою точность и становятся неустойчиво работающими В таких условиях для описания анализируемых процессов целесообразно использовать дискретные модели, которые ориентированы на возможности цифровой техники и выгодно отличаются от аналоговых Во многих случаях адекватным представлением протекающих в рассмотренных объектах процессах являются математические модели временных рядов

В § 1 3 рассмотрены основные предпосылки использования моделей временных рядов

В § 1 4 проведен сравнительный анализ достоинств и недостатков известных математических моделей временных рядов

Структурно-детерминированная (экстраполяционная) модель временного ряда считается состоящей из суммы ук = гк + £к, где гк =Л<к) - квазидетерминиро-ванная составляющая (тренд), ск - случайная составляющая

В настоящее время наибольшее распространение получили линейные стохастические модели временных рядов авторегрессии порядка р (АР(р)-модель) хк=^=\а е*> скользящего среднего порядка д (СС(^)-модель) =е*> авторегрессии-скользящего среднего порядка р, д (АРСС(р,д)-модель) хк = + + к-) Относительно гк пред-

полагается независимость и стационарность в широком смысле

Рассмотрим еще одну математическую модель - разностную схему (РС) Традиционно основным применением РС является аппроксимация дифференциальных уравнений Однако, с точки зрения моделирования временных рядов, актуальна обратная задача - по имеющейся последовательности данных определение параметров РС Данный подход, предложенный В К Семенычевым6, имеет ряд существенных недостатков

Во-первых, подход описан как последовательность приемов и преобразований с 2-изображением детерминированной последовательности Отсутствует формальное доказательство необходимых и достаточных условий, которое позволило бы выделить класс моделей, для которых возможно построение РС

Во-вторых, формальный перенос методов оценивания РС на модели авторегрессии не обоснован ни теоретически, ни практически

- В-третьих, МНК-оценки коэффициентов авторегрессии, в случае присутствия аддитивных случайных ошибок являются смещенными

В-четвертых, не рассмотрен случай мультипликативных случайных помех В-пятых, предложенный учет гетероскедастичности случайных ошибок на основе взвешенного МНК для стохастических моделей авторегрессии невозможен, т к в отличие от классической регрессии здесь случайная ошибка на каждом шаге зависит от всех предыдущих шагов

В-шестых, МНК-оценки коэффициентов моделей авторегрессии являются несостоятельными при наличии в измеренных данных резких выбросов Анализ подходов моделирования временных рядов (табл 1) показал

- ограниченность каждого из подходов моделирования, модели не дают целостного представления о временных рядах, часто даже приводя к взаимно противоречивым результатам,

- актуальна проблема построения математических моделей временных рядов в случае стохастической неоднородности случайной составляющей,

- адекватная модель диагностики временного ряда должна одновременно сочетать в себе признаки всех трех известных моделей — структурно-детерминированных, стохастических и разностных схем

В § 1 5 проведен анализ проблемы устойчивости построения математических моделей в условиях стохастической неоднородности Проведенный анализ

6 Сеченычев В К Эконометрическое моделирование и прогнозирование рядов динамики на основе параметрических моделей авторегрессии Автореферат дисс докт экон наук 08 00 13 - Москва, 2005 -37 с

показал различные трактовки данного понятия Наиболее четко его сформулировали С А Смоляк и Б П Титаренко7

Опредечение 1.3 8 Будем считать однородной такую совокупность, элементы которой формируются под воздействием общих основных причин и условий, а их законы распределения имеют простую структуру, и неоднородной — если разные ее элементы формируются под влиянием разных причин и условий либо если она может быть представлена в виде объединения некоторого числа однородных совокупностей с более простой структурой законов распределения элементов

Таблица 1

Сводка достоинств и недостатков подходов моделирования временных рядов

Модели Достоинства Недостатки

Структурно-детерминированные модели 1 Хорошо описывает тенденцию процесса 2 Аналитическое представление Модель имеют ясную содержательную интерпретацию 3 Разработанность классического аппарата регрессионного анализа для построения моделей 1 Невозможно формализовать процедуру выбора наилучшей модели 2 Случайная составляющая не имеет содержательного смысла 3 Модель мало пригодна для прогнозирования временных рядов 4 Неустойчивость оценок параметров в условиях нестационарности случайной составляющей

Стохастические модели 1 Возможность прогнозирования случайных процессов 2 Разработанность теории моделирования для стационарных случайных процессов 3 Формализована процедура идентифика цни модели 1 Мало приспособлены для описания нестационарных (относительно среднего) процессов 2 В целом отсутствует интерпретация параметров моделей 3 Неустойчивость оценки параметров в условиях нестационарности случайно"* составляющей

Разностные схемы $ Очень хорошо описывают нестационарные детерминированные процессы 1 Затруднена трактовка модели в условиях случайных ошибок 2 Не приспособлены для моделирования стохастических трендов

Поскольку причины неоднородности проявляются в выборке, она носит статистический характер Но, с другой стороны, некоторая размытость понятия говорит о том, что предпочтительно говорить о стохастической неоднородности Построение математической модели по имеющимся наблюдениям реализуется с помощью статистических методов оценки параметров модели Применение классических параметрических методов и схем обработки данных зачастую оказывается недостаточным для получения адекватных моделей в условиях стохастической неоднородности Альтернативой параметрическим методам является непараметрическая и робастная статистика

Определение 1.4. Непараметрическая задача — это статистическая задача, определенная на таких классах распределений, среди которых хотя бы один не сводится к параметрическому семейству функций 9

Непараметрические процедуры часто лишь незначительно проигрывают в эффективности параметрическим, если оба типа процедур строятся по данным, соответствующим известной параметрической модели, и намного выигрывают, когда модель не адекватна данным Их основные предпосылки - непрерывность и постоянство распределения случайных ошибок Поэтому добавление резко

7 Смоляк С А, Титаренко, Б П Устойчивые методы оценивания - М Статистика, 1980 - 208 с

н Нумерация определений, утверждений лемм примеров и замечаний совпадает с нумерацией в диссертации

Тарасенко Ф П Непараметрическая статистика - Томск Изд-во Томского университета, 1976 -292 с

выделяющихся наблюдений значительно снижает эффективность непараметрических методов, ограничивая область их применения

Свойство устойчивости оценок к появлению резко выделяющихся наблюдений называют робастностью Термин «робастность» ввел в 1953 г Дж Бокс Ро-бастность означает нечувствительность к малым отклонениям от предположений, в частности закона распределения

Определение 1.5. Статистическую процедуру называют устойчивой, если на значение оценки не оказывают влияния малые изменения всех или большие изменения нескольких значений в основной выборке 10

Понятия устойчивости и робастности несколько отличаются друг от друга Вместе с тем, как было показано Ф Хампелем, почти во всех практических случаях эти два понятия выступают как синонимы '1 Основное направление в теории робастного оценивания уделяется устойчивости оценок к выбросам Одной из наиболее распространенных является модель засорения Тьюки-Хьюбера

где F(x) — функция распределения случайных ошибок е„ обладающая «хорошими» свойствами (обычно нормальностью), Н(х) - функция распределения засорений, имеющих вид выбросов, как по уровню, так и по дисперсии, у - вероятность появления выброса

Оценки получают, решая задачу минимизации ]T"=1p(|s,|)=> nun, где р(х) -

некоторая функция потерь, в частности для МНК р(х) = х2

Наиболее распространенным робастным методом является метод наименьших модулей (МНМ), в котором p(jt) = |*| МНМ достаточно просто реализуется на практике Укажем оценки на основе функции потерь

занимающие промежуточное положение между МНК- и МНМ-оценками

П Хьюбер предложил минимаксный подход, сочетающий достоинства МНК и МНМ, и ориентированный на ситуацию, наименее благоприятную для задачи оценивания, т е обеспечивает получение некоторого гарантированного решения12 Наиболее распространенной минимаксной оценкой является М-оценка Хьюбера, функция потерь которой

Основными недостатками функций потерь (2) и (3) являются они рассчитаны на симметричный характер распределения Н(х), получение оценок на основе (3) даже в весьма простых задачах является трудоемкой процедурой, оценки на их основе не имеют содержательной интерпретации

Развитие подхода Хьюбера привело к появлению множества сниженных .Дооценок, специально рассчитанных на произвольное (несимметричное) засорение

шМостеллер Ф , ТьюкиДж Анализ данных и регрессия Вып 1 -М Финансы и статистика, 1982 - 317 с

11 Робастность в статистике Подход на основе функций влияния / Ф Хампельидр -М Мир, 1989 -512с

12 Хьюбер П Робастность в статистике -М Мир, 1984 -304 с

Fy(x) = (l-Y)F(x) + yH(x),

О)

р(*) = |х|\ (1 < v < 2),

(2)

(3)

Их особенностью является то, что, начиная с некоторого * > й, р(х) из выпуклой превращается в вогнутую функцию или константу Наиболее известны четыре параметрических семейства функций потерь, имеющие горизонтальную асимптоту, специально рассчитанных на произвольное (несимметричное) засорение Это - функции потерь Эндрюса13, Мешалкина14, Рамсея15 и Хампеля16 Недостатками данного подхода являются вопрос о содержательной интерпретации параметров функций потерь, а также проблема нахождения оценок параметров, поскольку в каждом случае имеется множество локальных минимумов целевой функции Используемые численные итерационные алгоритмы поиска глобального минимума не позволяют найти точное решение

Известен также метод, основанный на оптимизации функций риска, являющихся функционалами плотности распределения и неявной оценочной функции 17 Его недостатками являются требование, чтобы была известной плотность распределения переменных по компонентам вектора коэффициентов регрессии, постоянство закона распределения основной части случайных ошибок и сложность реализации процедуры функциональной оптимизации

Таким образом, можно констатировать следующее Во-первых, в целом недостаточно рассмотрен случай несимметричного засоряющего распределения Неравенство нулю среднего значения ошибок на конечной выборке с «засорениями» в виде выбросов качественно можно объяснить следующим образом Поскольку дисперсия выбросов значительно больше по величине чем дисперсия основной части ошибок, а выбросов достаточно мало, то имеем малую выборку выбросов, для которой вероятность того, что среднее значение окажется близким к нулю, вообще говоря, мала Очевидно, что вероятность близости к нулю их средней величины будет мала, даже если теоретическое математическое ожидание засоряющего распределения нулевое Отметим, что асимметричность засорения часто носит объективный характер, особенно в экономических приложениях Поэтому робастная процедура должна быть устойчивой к смещению оценок из-за не симметрии засоряющего распределения Кроме того, в робаст-ных моделях обычно считается известной частота засорения у, что на практике является невозможным

Во-вторых, актуальна разработка робастных процедур, удовлетворяющих следующим требованиям18 ориентированность на ограниченное засорение, находящееся «на грани», между «интуитивно возможным» и «интуитивно невозможным», степень засорения у должна быть в достаточно широких пределах

В-третьих, скорость сходимости выборочных оценок к асимптотическим результатам должна быть достаточно высокой

п Andrews D F A robust method for multiple linear regression // Technometncs -1974 -V 16, №4 - PP 523-531

14 Мешалкин Л Д Курочкина А И Новый подход к параметризации регрессионных зависимостей // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР -1979 -Т 87 - С 79-86

Ramsay J О A comparative study of several robust estimates of slope, intersept and scale m linear regression // Journal of the American Statistical Association -1977 -V 72,№3 -PP 608-615

1(1 Робастность в статистике Подход на основе функций влияния / Ф Хачпельидр -М Мир, 1989 -512с

17 Шурыгин А М Прикладная стохастика робастность, оценивание, прогноз - М Финансы и статистика, 2000 -224 с

|к Орлов А И Современная прикладная статистика // Заводская лаборатория - 1998 -Т 64 №3 -С 52-60

В-четвертых, усложнение объектов исследования приводит к тому, что часто неоднородной становится и основная часть погрешностей измерений Наряду с объективными причинами стохастической неоднородности, можно указать на неполную адекватность модели реальному объекту, присутствие мультипликативных помех и нелинейные преобразования сигналов

И, в-пятых, процедура построения робастных оценок должна быть простой и легко реализуемой на практике Робастные процедуры, за исключением МНМ, весьма сложны в реализации

Таким образом, представляется актуальной проблемой разработка робастных статистических методов оценивания моделей в условиях стохастической неоднородности, что фактически означает разработку робастных методов, ориентированных на достаточно широкий класс параметрических моделей, т е быть в известной степени непараметрическими

В § 1 6 приведены результаты и выводы по главе и дана постановка задачи Проведенный анализ проблематики оценивания моделей в условиях стохастической неоднородности позволил сформулировать гипотезу, позволяющую разработать единый подход к решению проблемы робастной параметрической идентификации моделей диагностики

Гипотеза. Если функция потерь р имеет свойства 1) р(0) = 0, 2) дополнительный прирост ошибки будет оказывать на функцию потерь уменьшающееся влияние, 3) она является дважды непрерывно дифференцируемой на всей положительной полуоси, то про1(едура оценивания параметров модели будет обладать свойством устойчивости в условиях стохастической неоднородности

Во второй главе исследована проблема робастного построения математических моделей в условиях стохастической неоднородности Описан обобщенный метод наименьших модулей, позволяющий получать устойчивые оценки В § 2 1 изложен ОМНМ на примере робастного построения линейной модели

У, ~ао+ а\Х,\ + + атхт + е,, (г = 1, ,«) (4)

Рассмотрим задачу построения линейной регрессионной модели (4)

(а'0, а\, , а*т) = а^пип £"=,р|у, - а0 -

"о щ, о»,

(5)

где во , , , ат - искомые параметры линейной модели, р - функция потерь, удовлетворяющая сформулированной гипотезе Очевидно, что р — некоторая монотонно возрастающая, всюду дважды непрерывно-дифференцируемая на положительной полуоси функция, причем р(0) = 0 и Ух>0 р'(х) > 0, р"(х) < 0

Целевая функция задачи (5) имеет множество локальных минимумов Известные численные методы позволяет найти один из локальных минимумов Глобальный минимум не находится

Утверждение 2.1. Пусть имеется выборка наблюдений (хь , х„) и задана функцш 0.{а) = \х! ■> 0 < X < 1 Тогда локальными минимумами фунщии {2{а) являются все х, и между любыми двумя соседними точками х1 и х1+\ имеется локальный максимум

дана

05

ет

Рис 3 Пример функции £)(а) = ]Г"=] |.х.

Пример 21. Пусть функция Q{a) = ]Г"=| ¡X, -(рис 3) Зададим выборку (-0,8,0,0,6,1,2,5,4,8,10,10,6) На рис 3 отчетливо видны локальные минимумы, соответствующие

Обобщим утверждение 2 1 Утверждение 2.3. Пусть имеется выборка наблюдений (х„у,) = (1,х,,, ,хт,у,), (1 = 1, , п), и задана функция

е(а0,а,, ,ат) = - а0 - |аЛ/|)> (6)

где р(х) - некоторая монотонно возрастающая, всюду дважды непрерывно-дифференцируемая на положительной полуоси функция, причем р(0) = 0 и \/х>0 р'(х) > 0, р"(х) < 0

Введем гиперплоскости О, =0(а,х,,^,) в виде уравнений

У, ~ ао ~ £7=1 «/*„ =0-0 = 1» .и) (7)

Введем также узловые точки пересечения гиперплоскостей (7)

и= Лп,, М = {*„ ДИ+1},А,<£2< <*м+„А,6{1, ,и}, (8)

Обозначим и — множество всех узловых точек (8) Тогда справедливо утверждение Для того чтобы точка и° = (а%,К,а°) являлась точкой локального

минимума функции (6) необходимо и достаточно, чтобы и0 е II

В задаче (5) в качестве функции потерь можно использовать любую строго вогнутую на положительной полуоси функцию, например, р(х) = (0 < X < 1), р(х) = аг^|л:| и тд На основе функций потерь р(х) можно получить минимаксные оценки, аналогичные оценке Хьюбера Преобразовав, например, функцию р(х) = аплфс|, получим минимаксную оценку }>(х) = ап^(|;>г|2'4311, сочетающую устойчивость по отношению к выбросам с низкой дисперсией при малых погрешностях Показано, что ОМНМ-оценки более устойчивы чем МНМ-оценки

Известные определения устойчивости используют в своих формулировках закон распределения случайных ошибок, который неизвестен, а в случае стохастической неоднородности вообще не существует Поэтому целесообразно дать еще одно определение устойчивости, лишенное этого недостатка

Определение 2.3. Устойчивость процедуры оценивания - это свойство, заключающееся в уменьшающемся влиянии на функцию потерь дополнительного прироста ошибки, те \/5 > 0 и Ух2 > х, > 0 р(х2 + 6) - р(х2) < р(х, + 5) - р(лг1)

В § 2 2 рассмотрены алгоритмы реализации ОМНМ Из утверждения 2 3 непосредственно вытекает, что точное решение задачи (5) можно получить, пе-

ребирая все узловые точки, которые находят решением C„m+i соответствующих систем линейных уравнений Для малых значений пит это не вызывает затруднений С целью снижения вычислительных затрат предложен ряд алгоритмов

Разработан итерационный алгоритм, который сводится к последовательной одномерной минимизации по всем параметрам модели Представлены результаты тестирования итерационного алгоритма, которые показали, что оценки, полученные по итерационному алгоритму, очень близки к оценкам, вычисленным по переборному алгоритму Получены приблизительные оценки числа итераций для первого приближения и для самого алгоритма

Альтернативным является подход, основанный на сведении решения задачи (5) к решению последовательности задач линейного программирования (ЗЛП)

тш uZi PiuI ~11' ~ У, ~ао~ YU «Л -111 >lli - 0)' = 1, ,и) (9)

«О "т J J J

"l i ¿'л

Задача (9) имеет каноническую форму, п + т + 1 переменных и 3п ограничений неравенств, включая условия неотрицательности переменных ы, Одним из возможных алгоритмов решения задачи (5) является следующий алгоритм А Вход число измерений п, число коэффициентов в уравнении регрессии т, погрешность приближения 5, значения зависимой переменной у¡, , у„, соответствующие значения объясняющих переменных x,i, х,2, , хт, i = J, 2, , п, функция р Выход оценка коэффициентов уравнения регрессии а 1, , ат Шаг 1. Для всех г = 1,2, , т положить р, = 1, положить к = 0,

положить (я,0, , а]т) = argmm^X,ply, -

а, К а„, 1

Шаг 2 Для всех i = 1, 2, , т положить р, = — 1), положить

к = к +1, положить (а, , ,a*) = argmin-Х^а^Чу!

а] ,К а,„ '

Шаг 3 Если |j(af, ,a* ) - (af4, , a*-1 )j| > 8, то перейти на шаг 2

Шаг 4. Останов, искомые значения равны (af, , akm)

Обоснование результативности алгоритма А дает следующее утверждение Утверждение 2.6 Если функция потерь р является вогнутой монотонно возрастающей непрерывно-дифференцируемой на положительной полуоси функцией, такой что р(0) = 0, р'(0) = М то последовательность

{(af, , построенная алгоритмом А, имеет предел

В § 2 3 на основе метода Монте-Карло проведено исследование ОМНМ для различных случаев нарушения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова Показано, что нелинейные преобразования исходной модели приводят к появлению гете-роскедастичности остатков В случае гетероскедастичности принято использовать обобщенный МНК 19 Однако здесь возникают следующие проблемы Во-первых, здесь вначале находят обычные МНК-оценки, на основе которых произ-

19 Айвазян С А , Мхитарян В С Прикладная статистика и основы эконометрики - М ЮНИТИ 1998 - 1022 с

19

водят тестирование модели Во-вторых, часто возникают неопределенные ситуации, когда несколько тестов обнаруживают гетероскедастичность, и неясно какую взвешивающую функцию выбрать

Исследование функции чувствительности ОМНМ-оценок для линейных регрессионных моделей установило их робастность Ввиду сложности интерпретации результатов обычно исследование робастных оценок проводят на примере оценки параметра сдвига 9 р(х, -9) => min Пусть (хп ,хп) - случайная

выборка наблюдений с теоретическим распределением F(x - 9), где F(x) - известное непрерывное симметричное одновершинное распределение с плотностью Д*) Известно, что при очень общ их условиях на производную функции потерь \y(z) = p'(z) асимптотические математическое ожидание E[\\s,F\ и дисперсия D[\(/,F] оценок параметра сдвига определяются по формулам

Jv(z)/(*)<fe, D[y,F]= \y\z)f(z)dz \\y'(z)f(z)dz

(10)

Лемма 2.4. Пусть дана случайная выборка ,х„) с распределением (1) с

0 < у < 0,5, в котором распределения F(x) и Н(х) имеют непрерывные одновершинные и симметричные относительно своих математических ожиданий плотности распределения fix — 0) и h(x - а), где в = 0 и а > 0 Пусть также фунщия потерь р(х) удовлетворяет условиям утверждения 2 3 Тогда, если lim \\i(x)h(x -а)-0, то lim £[vy, Fy ] = 0

jr->0 «-»"

(/—►со

Согласно лемме 2 4 математическое ожидание ОМНМ-оценок, в отличие от медианы с увеличением сдвига стремится к нулю, т е ОМНМ-оценки являются асимптотически несмещенными Одновременно некоторые из ОМНМ-оценок (например, р(*) = 1 - и р{х) = |jc|x, (0 <?*< 1)) практически не уступают МНМ-оценке по эффективности, а во многих случаях даже превосходят

Пример 2.5 Исследование устойчивости оценок относительно выбросов в условиях стохастическойй неоднородности случайных ошибок (рис 4)

Рис 4 Абсолютные погрешности и выборочные дисперсии оценок парамет-ра сдвига а 1-

р(х) = *2, 2 - р(х) = И , 3 - р(;г) = |л|0 5, 4 - р(дг) = ьфг| +1), 5 - р(х) = 1-^,6- р(х) = И/(|*| +1), 7 - р(*) = аг«^, 8 - р(дг) = ап^|*|2 41')

Рассмотрим модель у, = а + £,, (г = 1, ,п), где е, имеют распределение (х) = (1 - у)Л,(0,аЕ2,) + уЛЬ>,о?), где аЕ представляет собой случайную величину, имеющую для определенности равномерное распределение на [0, 2], у - вероятность выбросов (0< у <0,5) Зададим а = 0, а = 1, ц = 2,0] =3, и = 200, М- 20000 - число испытаний

Пример 2.6 Исследование устойчивости оценок относительно гетероске-дастичности ошибок (табл 2) Исследуем модель из примера 2, в которой ошибки б ~ N(0,а2) имеют переменную дисперсию а2 = а2(')

Таблица 2

Абсолютные погрешности Аа оценок параметра сдвига а_

Вид гетероскедастичности Р = А" р = arctan(|;c|r j

р=2 Р= 1 р=0,75 />=0,5 т=1 т=2,431

Линейная без засорения 0,1007 0,0793 0,0735 0,0681 0,0443 0,0328

с 10%-м засорением 1,0281 0,1452 0,0729 0,0362 0,0127 0,0144

Параболическая без засорения 0,0954 0,0276 0,0130 0,0056 0,0072 0,0180

с 10%-м засорением 1,1030 0,0511 0,0142 0,0039 0,0006 0,0015

Экспоненциальная без засорения 0,0648 0,0224 0,0205 0,0193 0,0165 0,0149

с 10%-м засорением 0,6097 0,0329 0,0085 0,0021 0,0091 0,0038

Рассмотрим следующие виды гетероскедастичности линейную о,(0 = с,/а, параболическую а2(/) = c2(t - т,)2ст, экспоненциальную c3(f) = съе'^2а Зададим а = 0, а = 1, и = 50, М= 50000 - число испытаний, с, =0,2, с2 = 0,025, с3 = 0,2, Т] =25, т2= 12 В качестве засоряющей используем модель (1) с у = 0,1

В § 2 4 рассмотрено применение ОМНМ для оценки коэффициентов авторегрессионных моделей Вычисление коэффициентов авторегрессии менее устойчиво к выбросам по сравнению с нахождением коэффициентов линейной регрессии Показано, что при некоторых ограничениях чувствительность к большим ошибкам ОМНМ-оценок коэффициентов авторегрессии конечна Т е ОМНМ-оценки, а отличие от МНК- и МНМ-оценок, являются состоятельными в случае присутствия в данных независимых (одиночных) выбросов Пусть наблюдается вектор у„ = (у\-Р, , у„), где

Л *eZ (11)

В (11) {z\} - норслв, z\ ~Bi(l,y), 0<у< 1, у - уровень засорения, -норслв с распределением из некоторого класса М^, последовательности

{xk}, {zl}, - независимые между собой Установлено, что если функция

потерь р(х) удовлетворяет условиям утверждения 23 и sup_t20Jjr2p'(-*)|<00, то

ОМНМ-оценки коэффициентов авторегрессии устойчивы к большим ошибкам

Примеры функций потерь, устойчивых к большим выбросам р(х) = |*| /(|х| +1); р(х) = arctg|x|; р(х) = 1 - ехр(-|х|)

Пример 2.8. Исследование устойчивости ОМНМ-оценок коэффициентов авторегрессии в условиях неоднородности случайных ошибок Генерируем процесс АР(1) с односторонними выбросами \хк = + еа , к = 0,1,К , 200,

[У к =**

где а = 0,7, гк ~ Ы{0, о^ ), аЕ - с в , имеющие равномерное распределение на

[0, 2], {г^} - н орел в, ^ ~ В1(1,у), 0<у<1, у - уровень засорения, 4} -н о р сл в с равномерным законом распределения на отрезке [50,100], М= 15000 - число испытаний Результаты оценивания показаны на рис 5

т г

Рис 5 Оценки коэффициента а и их выборочные дисперсии 1 - р(дг) = х1, 2- р(х) = |л|, 3 -

р(х) = |д|"5, 4 - р(х) = Ця| +1), 5 - р( *) = 1 - е"1', 6 - р(х) = |л|/(|х| +1), 7 - р(х) = агс1ё|ж|, 8 -

РС^) = агс1§|л-|2 41')

Из примеров видим, что ОМНМ-оценки выигрывают по сравнению с МНК-оценками даже в случае отсутствия выбросов

Далее описан итерационный алгоритм робастного вычисления коэффициентов авторегрессии с пропусками в данных, основанный на ОМНМ

В § 2 5 исследованы вопросы использования ОМНМ для построения нелинейных математических моделей Доказаны утверждения, расширяющие область применения ОМНМ на достаточно общий класс нелинейных моделей

Третья глава посвящена изложению единого подхода к математическому моделированию временных рядов на основе ЛДМ

В § 3 1 дано теоретическое обоснование взаимосвязи экстраполяционных и стохастических моделей и разностных схем

Утверждение 3.1. Пусть на линейном нормированном пространстве з всевозможных числовых последовательностей задано множество X, состоящее их числовых последовательностей \ = (х0,х1, ,хп, ), для которых х0 ^ 0 На множестве Xвведем отображение F 1-яв виде

>* = 1,2, (12) Тогда отображение У7 существует и единственно

Утверждение 3.2. Отображение, задаваемое условиями утверждения 3 1, не является взаимно однозначным

Утверждения устанавливают взаимосвязь между экстраполяционными и разностными моделями Рассмотрим вместо (12) конечную РС

хк=Т?=)а1хк„,,к>р (13)

Утверждение 3.3. Пусть в условиях утверждения 3 1 последовательность а конечна и я = (а1,а2, ,ар) — не нулевой вектор, те вместо (12) имеем (13)

Тогда отображение ставящее в соответствие последовательности х вектор а является однозначным и непрерывным

Лемма 31. (О статистической эквивалентности РС и АРСС-модели) Пусть имеем последовательность наблюдений у = (уй,у\, ), элементы которой равны у к = X/, + , где для х^ справедлива РС (16), - белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Тогда последовательность ук представляет собой процесс АРСС{р,р)

Очевидно, что в случае отсутствия ошибок РС (13) представляет собой процесс авторегрессии порядка р с нулевым случайным возмущением

Утверждение 3.4. Пусть задана последовательность х = (л0,л-,, ,) равномерно дискретизированных значений некоторой функции

** =/(£Д>«1>«2> ,ат)Л = 0,1,2, (14)

Тогда последовательности (14) однозначно соответствует некоторый вектор а конечного или бесконечномерного векторного пространства, координаты которого являются коэффициентами РС хк =

Утверждение 3 3 и лемма 3 1 приводят к целесообразности объединения РС и стохастических моделей в один класс

Определение 3.1. Назовем линейной дискретной моделью (ЛДМ) временного ряда выражение

где {б*} - независимые случайные величины с постоянным математическим ожиданием и ограниченной дисперсией, {г^} - белый шум, - н орел в, г|~В1(1,у), 0 < у < 1, у - уровень засорения, -н орел в с распределением из некоторого класса М^, последовательности {х*}, {г*}, {4*}> {Л*} —независимые между собой

Введение ЛДМ позволяет, упростив модель Калмана в целом, рассматривать проблему идентификации достаточно простого класса объектов в более реальных условиях стохастической неоднородности

В § 3 2 описан метод идентификации временных рядов на основе ЛДМ В основе методики построения ЛДМ временных рядов лежит утверждение

Утверждение 3.5. Пусть задана некоторая функция времениД/), ! > 0 Преобразуем данную функцию в последовательность у у* =/(М), к = 0, 1, Для того чтобы последовательность у можно было представить в виде ЛДМ, не-

обходимо и достаточно, чтобы для у существовало 2-преобразование в виде отношения двух ненулевых полиномов конечного порядка

= = ад/200,

гйе = 2]'^/"'' = 1<р<со

Утверждение 3 5 задает класс экстраполяционных моделей временных рядов, для которых можно непосредственно построить ЛДМ Для этого класса моделей удается отобразить бесконечномерное пространство числовых последовательностей в конечномерное векторное пространство, координатами которого служат коэффициенты ЛДМ Это делает возможным использовать ЛДМ для распознавания трендов временных рядов В таблице 3 для типовых трендовых моделей определена область допустимых значений (ОДЗ) в евклидовом векторном пространстве Приведенный здесь набор моделей не полный При необходимости его можно увеличить

Таблица 3

Области допустимых значений коэс }фициентов ЛДМ трендовых моделей

Трендовая модель Замена переменной ЛДМ ОДЗ

Ум = А + В^ - У к =2Ук-,-Ук-2 (2,-1)

•*к=Ук~Ук-г = 2*к->~*к-2 (2,-1)

, В С у,,=А+- + -Т / / 'к 'к V, = Ук'1 ~ Ук-,'11 П = 2П-1 -П-2 (2,-1)

, В у„=А + -'к V» = У Л = - vll_1 (2,-1)

1 У> А + 1 П = — Ук (2,-1)

'к Ук ¿+В'к ч V* = — Ук V» = - (2,-1)

=ехр(А + В/(1) V, =Ь^Ук (2, -1)

у,=Ае"" V* =1пл V* (2,-1)

Ук = В + Се "' - У к = а\Ук-\+а1Ук-г а, + а2 =1, аг Ф -1

А У> 1 + ОЛ 1 V* =- Ук У к =".>'*-! +агУк-2 а, +а2 = 1, а2 Ф -1

! П =2У[_,-У4_2 (2,-1)

у„ = \п(А + В1к) (2,-1)

Пожертвовав свойством идентификации модели без оценивания ее параметров, можно выбрать лучшую модель из любого заданного множества моделей Это вытекает из утверждения 3 6

Утверждение 3.6. Пусть имеем последовательность {ук} = {/{к)}, (к = 1, 2, ), где /{к) — некоторая непрерывная, ограниченная снизу функция одной пере-

менной Зададим произвольное множество непрерывных, ограниченных снизу фунщий одной переменной IV = {fj(k)}, j е Q, Q - некоторое множество индексов Тогда множество W упорядочено по отношению порядка в смысле близости^ к/

В § 3 3 рассмотрены вопросы построения ЛДМ временных рядов при наличии детерминированных и случайных помех Исследованы случаи аддитивного и мультипликативного присутствия помех yk=xk+uk+zk, yk = (xk+uk) ek, yk = xk uk+ek, yk = xk щ zk, где xk — полезный сигнал, uk — помеха известной функциональной формы, ek - случайная ошибка Вид функциональных моделей полезного сигнала и детерминированной помехи или несколько возможных их вариантов, как правило, бывают известными Затруднения возникают в выборе формы связи между тремя составляющими - аддитивной или мультипликативной Вопрос решается путем предположения наиболее приемлемой в вычислениях формы 20

Утверждение 3.7. Пусть имеем временной ряд ук = хк + ик, у которого известны Z—изображения его составляющих хк и ик

= , *<'"> , а0 =Ро =1,

в(=~') Etc«,---' ZUb*-'

где Q(z '), P{zA), S(z']), R{z~x) — полиномы относительно z порядков p, px < p, q, qi <q, соответственно Тогда для временного ряда yk справедлива ЛДМ

i>,fcUfV*-/-,)=0' k>p + q (16)

1=0

В (16) в скобках записан «формирующий фильтр», который позволяет устранить помеху щ, не искажая структуры полезной составляющей хк Фильтрация помехи выглядит следующим образом vk = yk - Е''=]Р;Ук~/ ,k>q

Мультипликативный случай (yk = xk uk) для типовых моделей, как правило, путем тождественных преобразований сводится к аддитивной модели Для мультипликативного шума также получим аддитивную модель

Ук =vk Ek=vk(c+T\k) = cvk+vkx\k=wk+l,k, где w* - полезный сигнал, щ — стационарный случайный процесс с нулевым м о , с,к — гетероскедастичный случайный процесс, также имеющий нулевое м о

Таким образом, установлена инвариантность ЛДМ к типу связи между детерминированной и случайной составляющими временного ряда

При аддитивном белом шуме имеем математическая модель xk=<*txk_]+a2xk_ 2+ + архк_р+гк, Ук =xk+ik

Считаем в общем случае процесс хк не стационарным В результате в информационной матрице значения элементов, расположенных на главной диаго-

211 Клейнер Г Б, Смоляк С А Эконометрические зависимости принципы и методы построения - М Наука, 2003 - 104 с

нали будут завышены на одну и ту же величину, равную дисперсии <т,2 Это приводит к смещению вектора оценок причем при с*2 —» оо они будут стремиться к нулю В работе рассмотрены два случая — когда функциональная модель полезного сигнала априорно известна или не известна

Для случая 1 предложен метод устранения смещенности коэффициентов ЛДМ, в котором, дисперсию а^ не оценивают, а подбирают, исходя из априорно известной функциональной модели полезного сигнала При этом решается задача одномерной оптимизации по параметру а 2 Для случая 2 для конечно интегрированных процессов хк предложено путем взятия разностей соответствующего порядка получать оценку яе2 дисперсии аддитивного шума

Известны решения задачи учета влияния аддитивного шума, например, на основе фильтра Калмана Однако здесь фактически осуществляется переход от модели АР(р) к АРСС(р,;?)-модели, что требует дополнительно определять р коэффициентов скользящего среднего Это не всегда возможно для выборок ограниченного объема и более трудоемко

В § 3 4 рассмотрены вопросы обнаружения и идентификации характера тренда временного ряда Обобщены определения нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами, показана их Установлено, что модель стохастического тренда эквивалента сумме двух детерминированных трендов, один из которых имеет мультипликативный шум, сумма двух временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами представляет собой стохастический тренд с аддитивным шумом Рассмотрим модель временного ряда

У к = хк +11к' (17)

где хк = Рт (к) - полиномиальный тренд т-го порядка, щ - некоторая последовательность, представляющая собой процесс авторегрессии АР(/) ик = + ек > гДе Ек - белый шум Для (17) построим модель АРСС(р,д)

Ук = (18)

Утверждение 3.9. Пусть временной ряд имеет вид (17) Тогда

1 Порядок модели (18) удовлетворяет усчовиям р = I + т + 1, ({ = т + \

2 Процесс (18) содержит полиномиальный тренд тогда и только тогда, когда выполняется равенство

(19)

Отметим, что условие (19) выполняется в достаточно широких пределах Во-первых, данный признак достаточно стабилен и для случая, когда последовательность ик не является процессом АРСС(р,ф Во-вторых, он мало чувствителен к выбору порядка модели Единственное ограничение р > т + 1

Показано, что стохастические модели описывают процессы, представляющие собой произведение откликов линейных систем на импульсное воздействие и случайный процесс Найдено условие существования стохастического тренда

В четвертой главе рассмотрен ряд моделей диагностики механических систем В их основе — теоретические результаты, полученные во 2-й и 3-й гла-

вах Инструментом моделирования являются ЛДМ, а основой, гарантией устойчивости результатов идентификации моделей в условиях стохастической неоднородности служит ОМНМ

В § 4 1 рассмотрены общие вопросы использования ЛДМ для идентификации линейных (или линеаризуемых) МС

Утверждение 4.1 устанавливает, что колебания линейной МС размерности Ь при полигармоническом воздействии в режимах неустановившихся и вынужденных колебаний описываются ЛДМ в форме РС порядка 21, коэффициенты которой зависят только от структурных параметров — частот <о] и коэффициентов затухания ар у = 1, ,Ь

Поскольку зависимость коэффициентов ЛДМ от частот и коэффициентов затухания нелинейная, то непосредственное применение данной модели для идентификации многомерных МС ограничено 2-3 степенями свободы

Рассмотрим теперь вариант, когда на МС воздействует некоторый входной случайный процесс Этот случай соответствует также режиму нормального функционирования МС Данная задача была решена В А Кармалита21 для частного случая, где была установлена статистическая эквивалентность процесса авторегрессии АР(2) случайным колебаниям одномерной линейной МС Обобщим данный результат на случай МС размерности £

Утверждение 4.2. Случайные колебания линейной механической системы размерности Ь статистически эквивалентны модели АРСС(2Ь,2Ь—2)

В § 4 2 представлены результаты параметрической идентификации линейных МС при тестовых и случайных воздействиях Для линейных МС важнейшими динамическими характеристиками (ДХ) являются собственная частота ю0 = 27Г/Т и логарифмический декремент 5 = аТ= 2яа/со0, где Т- период колебаний, а - коэффициент затухания Они описывают каждую из форм собственных колебаний МС, и их изменение отражает появление в МС усталостных и прочих повреждений В целом, наряду с набором этих ДХ всех форм колебаний, можно использовать АЧХ и ФЧХ МС

Основываясь на подходе, использующем 2-преобразование измеренного сигналауь=у(кА), получен ряд структурных соотношений в виде ЛДМ

(20)

коэффициенты которых связаны определенным образом с ДХ идентифицируемой МС, а также параметрами тестового воздействия

Для вычисления коэффициентов ЛДМ (20) следует решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) порядка р, образованную из выражения (20) в различные моменты времени Задав соответствующий интервал дискретизации Д, можно получить суммарное время измерений, а, следовательно, и время определения ДХ, меньше чем в известных методах Рассмотрены случаи гармонического воздействия с фиксированной частотой и амплитудой, с изменяющейся частотой, с изменяющейся амплитудой

21 Кармалита В А Цифровая обработка случайных колебаний - М Машиностроение, 1986 - 80 с

27

На основе того же подхода при увеличении порядка рис учетом в коэффициентах ЛДМ свойств помехи, легко устраняются помехи в виде постоянной составляющей, линейного и нелинейного тренда, аддитивной и мультипликативной синусоид, затухающих гармонических колебаний Если для помехи известны коэффициенты Р, соответствующей ЛДМ, то, воспользовавшись формирующим фильтром, можно уменьшить порядок ЛДМ

Но (ZU р , Л-)= 0, к > р + q, ^о = Ро = 1

Разработан метод определения несмещенных значений динамических характеристик механических систем в режиме нормального функционирования при наличии аддитивного шума на основе ЛДМ Учет аддитивного шума обеспечивается вводом в модель дополнительных коэффициентов, число которых равно суммарному числу присутствующих в колебательном процессе регулярных составляющих - гармоник и однокомпонентных случайных колебаний

Рассмотренные методы параметрической идентификации МС на основе структурных соотношений в виде ЛДМ при отсутствии случайных ошибок измерений и регистрации являются точными для линейных систем В этом случае погрешность оценок параметров определяется степенью неадекватности анализируемого сигнала постулируемой модели Приведены результаты тестирования, которые показали приемлемые точность и быстродействие

В § 4 3 рассмотрены вопросы, связанные с определением ДХ многомерных МС в частотной области по отсчетам спектра вибросигнала в условиях ненаблюдаемого воздействия, соответствующего режиму нормального функционирования роторных МС Спектр вибросигнала МС при отсутствии внутренних источников возбуждения имеет вид (рис 6)

5//) = [5,(/)+Д(/)]|Я(/)|2, (21)

где Syif), Sx{f) - энергетические спектры колебаний и случайного воздействия, D( f) - совокупность дискретных составляющих, генерируемых воздействием внешних периодических источников колебаний, |Я(/)| - АЧХ МС В дискретной форме соотношение (21) примет вид Sy{k) = [Sx(¿) + D(A:)]:f/(A:)|2, где St,(k) = Sr{fk), fk =kA, Д - интервал частот между соседними отсчетами спектра Поскольку в спектре присутствуют выбросы в виде дискретных составляющих (рис 6), то для определения ДХ используем ОМНМ

КШ(Ш4 ~а(кА)2 +Ь]-С~ £>М|Х пнп^,

где а = fa(1Q2 -\)/Q2, b = /04, Nu N2 - номера начального и конечного отсчетов анализируемой резонансной зоны, С = Sfg , D = Rf¿, Sx(k) = S + RkÁ ,S,R —

Рис 6 Участок спектра с дискретной составляющей в области резонанса

const Приведены результаты тестирования, подтверждающие точность оценивания ДХ предложенным методом

На основе достаточно общих допущений о модели спектра отклика МС разработаны алгоритм идентификации дискретных составляющих

В пятой главе изложены методы исследования сложных систем в экономике, которые опираются на теоретические результаты 2-й и 3-й глав

В § 5 1 рассмотрены основные проблемы и подходы к математическому моделированию сложных систем в экономике Главная проблема здесь, как отмечал В В Налимов22, состоит в неоднозначности математического моделирования плохоорганизованных систем, в результате чего моделирование возможно лишь при ослаблении требований к его математическому описанию Поэтому нужно каким-то образом найти компромисс между общим и частным, и перейти к некоторой формальной модели Эту идею развил Б С Флейшман23, считая, что возможности построения теории сложных систем связаны с возможностями построения их простых оптимизационных моделей

Данный подход к моделированию имеет два основных недостатка Это -оценочный характер простых моделей и стохастический характер выводов, достоверность которых будет определяться допустимой грубостью оценок24

Для решения первой проблемы предложен общий подход к построению математической модели сложных систем в виде совокупности диагностических моделей Каждая диагностическая модель сложной системы должна отражать главную цель системы в рамках поставленной проблемы, при этом второстепенные цели формализуют на языке главной цели Учет в модели качественных признаков может быть осуществлен на основе процедуры шкалирования

Для учета стохастической неоднородности целесообразно использовать ОМНМ при оценивании параметров моделей

В § 5 2 рассмотрены вопросы применения метода распознавания временных рядов для решения двух задач — для распознавания типа тренда временного ряда и регрессионных зависимостей Идея распознавания регрессионных зависимостей заключается в равномерной дискретизации пространственной объясняющей переменной, в результате чего получается аналог временного ряда Формальная процедура построения ДЦМ та же

Пример 5.3. Рассмотрим данный метод на известном примере25 Здесь приведены данные специального эксперимента по изучению зависимости расстояния s, пройденного автомобилем после подачи сигнала об остановке, от его скорости v (рис 7) Применение известных статистических критериев не позволяет выбрать наилучшую модель Сгруппировав данные, получим аналог временного ряда (рис 8) Результаты расчета указаны в табл 4 Искомая зависимость наилучшим образом описывается логистической моделью s ~ А /(1 + CeBv)

В § 5 3 показана возможность обнаружения разладки временных рядов на основе ЛДМ Одним из наиболее характерных изменений состояния сложных

32 Налимов В В Теория эксперимента - М Наука Физчатлит - 1971 - 208 с

23 Флейшман Б С Основы системологии -М Радио и связь, 1982 -368 с

24 Гольдштейн Г Я О несистемности общей теории систем//Известия ТРТУ -2004 -№4(39) -С 71-75

25 Езекиэл М , Фокс К Методы анализа коррекций и регрессий -М Статистика, 1966 -559 с

систем является возникновение (или исчезновение) тренда исследуемого показателя Данная задача может быть решена на основе утверждения 3 9 Для повышения быстродействия разработан робастный рекуррентный алгоритм оценивания коэффициентов авторегрессии на основе ОМНМ Приведены результаты тестирования разработанных алгоритмов и программ

+ - -1 -ь - 1

-4- j [♦--',

"7 т

-1

_t ..r t- + - £

Рис 7 Зависимость расстояния, пройденного Рис 8 График полученного «временного ряда»_у„ после снгнала до остановки (футов) от скорости при подаче сигнала (миль в час)

Таблица 4

I Вид модели а\ 02 Расстояние до ОДЗ

|Прямая 1,383 -0,020 1,158

¡Парабола 0,333 1,170 2,736

[Экспонента 1,654 -0,627 0,509

Экспонента + Const 1,383 -0,020 0,257

Экспонента х Время 0,866 0 221 1,667

[Логистическая 0,836 -0,136 0,213

¡Обратная 0,836 -0,136 1,449

¡Гипербола 1,659 -0,119 0,945

St

я 2000 t 1000

-i^i si j^yJkr'

- -«I»»»-

ш

Н J ил».*1'

'JA .. • ♦ '

ffW r ir:

■4. г. i—

В § 5 4 рассмотрены вопросы робастного сглаживания временных рядов При анализе временных рядов часто возникают ситуации, когда необходимы сведения о величине временного ряда не в конце интервала наблюдения (задача прогноза), а в произвольный момент времени На практике анализируемый ряд часто сильно искажен помехами, и для получения решений на коротких интервалах наблюдений его необходимо сгладить, чтобы можно было принять те или иные гипотезы относительно имеющихся данных (рис 9)

Как видно из рисунка, временной ряд требует предварительного сглаживания Отсюда возникает задача сглаживания эмпирических зависимостей в условиях априорной неопределенности, которая сводится к построению робастных методов разложения вида х(1) = + , = , где 5 - оператор сглаживания, г(/) - функция, удовлетворяющая априорным ус-

Рис. 9 Суточная выработки одного из очистных участков шахты ЗАО «Распадская» за 2002-2003 гг

ловиям регулярности (типа гладкости, монотонности, выпуклости и т д), £,(/) -погрешность сглаживания, которая минимизируется на основе некоторых принципов оптимальности, сформулированных исходя из имеющихся предположений о вероятностном механизме, порождающем процесс х{()

Предложен алгоритм робастного сглаживания на основе скользящих ОМНМ-оценок среднего Принципиальным случаем нестационарности процесса хк является перепад В терминологии сглаживания данных необходимо исследовать поведение скользящего фильтра на границе Проведен сравнительный анализ статистических характеристик скользящих медианы и ОМНМ-оценок на типовой модели «перепад + шум»

»•*о> >Х3>Х4 >*7+А, ,

где ** - н о р с в ~ (1 — у)А^(0, а2) + у/У(|л, а2) Приведены результаты оценивания мо и с к о скользящих среднего, медианы и ОМНМ-статистик на последовательности «граница + шум» Оценки выполнены методом Монте-Карло для количества статистических испытаний М ~ 400000

На рис 10 показаны значения у, ' оценок математического ожидания • - -

скользящего среднего (линия 1), скользящей медианы (линия 2), скользящей ОМНМ-оценки при '"

р(.х) = (линия 3) и м о вход- >--------

ного процесса на перепаде (линия 4) ......

для хк ~ N(0,1), А = 5 Видим, что в

сглаживание на основе ОМНМ- _

оценок приводит по сравнению с ,

медианным сглаживанием К мень- Рнс 10 Оценки м о скопьзящих среднего (1), ме-шему растеканию полезного сигнала дианы (2), омнм-оценки (3) и м о входного про-на перепаде Аналогичные результа- «есса на перепаде (4) для хк ~ N(0, 1), л = 5 ты были получены и для несимметричного засорения

В шестой главе описаны результаты, имеющие прикладное значение В § 6 1 показан ряд приложений результатов работы для вибродиагностики МС, использующих полученные структурные соотношения в виде ЛДМ Это

- комплекс алгоритмов и программ идентификации механических систем при тестовых воздействиях,

- алгоритмы и устройства для обнаружения нерасчетных режимов работы газотурбинных двигателей (автоколебания, вращающийся срыв, помпаж, резонансные колебания, виброгорение),

- определение параметров биений и амплитудно-модулированных колебаний элементов турбомашин,

- определение интенсивности и энтропии узкополосного вибросигнала,

- комплекс алгоритмов и программ идентификации МС в частотной области, включающий определение собственный частот и добротностей всех форм колебаний, идентификацию дискретных спектральных составляющих и формирование системы диагностических признаков

В § 6 2 показаны приложения результатов работы для угольной промышленности Во-первых, построена и практически апробирована математическая модель травматизма на горнодобывающих предприятиях в зависимости от компетентности и информированности персонала

Во-вторых, рассмотрены вопросы применения ОМНМ для обеспечения устойчивости оценок моделей в условиях стохастической неоднородности

В-третьих, приведены примеры распознавания зависимостей в угольной промышленности зависимость частоты травматизма от коэффициента групповой компетентности, зависимости смертельного травматизма энерговооруженности и метаноносности от времени

В-четвертых, на основе шкалирования качественных признаков формализован коэффициент профилактической работы на угольных шахтах

В-пятых, разработана и апробирована на ряде реальных процессов автоматизированная система анализа временных рядов в угледобывающей промышленности

В-шестых, на основе ОМНМ-сглаживания разработана методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах, позволяющая проводить совместный анализ текущих и долговременных факторов работы угледобывающей техники Методика также апробирована на практике

В § 6 3 приведены результаты работы, имеющие приложения для информационно-измерительной техники

Описан метод фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов, позволяющий в режиме реального времени осуществлять робастную фильтрацию процессов Для обеспечения обработки данных в темпе их поступления операция поиска медианы внутри апертуры требует сложной аппаратурной реализации Указанный недостаток можно устранить за счет замены поиска медианы на множестве чисел на мажоритарные преобразования в параллельных последовательностях бинарных кодов, причем в зависимости от динамики изменения полезного сигнала и соотношения сигнал/шум целесообразно использовать различные по сложности способы поразрядного мажоритарного преобразования Предложен ряд способов и оригинальных устройств, реализующих различные модификации данного метода, которые обеспечивают его широкие функциональные возможности

ОМНМ может быть эффективно применен для сглаживания различных сигналов Примеры эффективного применения ОМНМ-сглаживания обработка речи с целью очистки высоких тонов от помех, сглаживание изображений в оптике и голографии при наличии импульсных помех, увеличение детальности изображений, автоматическая диагностика параметров помех и искажений видеосигнала, обнаружение границ изображений

Пример 6.11. Сравним результаты работы медианного фильтра и ОМНМ-фильтра при фильтрации импульсных помех В качестве исходного изображения используем снимок Луны, искаженный импульсными помехами (рис 11,а) Апертура фильтра - окно в форме квадрата 3x3 Результаты обработки данного изображения с помощью двумерного медианного фильтра (рис 11,6) и ОМНМ (рис 11 ,в), также демонстрируют существенное преимущество ОМНМ-фильтра

Во-первых, он лучше сохраняет контраст изображения, а, во-вторых, более эффективно подавляет импульсные помехи.

Рис. 11. Сравнение результатов работы медианного фильтр;! и ОМНМ-фчлыра при фильтрации импульсных помех (на примере енннка Луны}.

В § 6.4 показано значение результатов работы для учебного процесса. В частности, в рамках научно-исследовательской работы и руководства дипломным Проектированием разработан комплекс программ идентификации зависимостей и робастной аппроксимации данных. Совместно со студентами-магистрантами и дипломниками опубликовано 11 научных работ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Решена важная научная проблема в области математического моделирования: разработан обобщенный метод наименьших модулей - новый метод ро-бастного построения линейных моделей. Данный метод позволяет эффективно оценивать модели диагностики в условиях стохастической неоднородности. Разработаны численные алгоритмы реализации (ЭМНМ — переборный, итерационный, рекуррентный, при наличии пропусков с данных.

2. Установлено, что ОМИМ-оценки имеют более высокую устойчивость при одностороннем засорении и в случае гетероскедаетичности ошибок по сравнению с МНМ-оценками, одновременно они сохраняют устойчивость и при симметричном засорении.

3. Ограниченность функционалов влияния ОМНМ-оценок коэффициентов авторегрессионной модели приводит к существенно более высокой устойчивости ОМНМ-оценок к большим ошибкам по сравнению с МНМ-оценками при построении стохастических моделей временных рядов.

4. На основе ОМНМ-оценок построены минимаксные оценки, сочетающие устойчивость к выбросам и низкую дисперсию при малых ошибках.

5. Доказано, что ОМПМ при некоторых ограничениях на вид зависимости можно распространить и на случай робастного вычислении параметров нелинейных моделей заданного класса.

6. Установлена взаимосвязь между тремя основными классами моделей временных рядов, которая позволяет: объединить их в ЛДМ; более эффективно использовать данные модели при решении задач, связанных с анализом временных рядов, протекающих в сложных системах,

7. Использование ЛДМ при математическом моделировании временных рядов обладает следующими преимуществами:

- процесс также как и при структурно-детерминированном моделировании характеризуется с точки зрения зависимости от времени его условного математического ожидания,

- структурные свойства процесса учитываются на основе разностных соотношений, определяемых формой функциональной зависимости,

- построение ЛДМ происходит на основе известных методов построения стохастических моделей, что позволяет учесть в явном виде, наряду с детерминированной, и стохастическую составляющую временного ряда,

- в модели учитывается стохастическая неоднородность данных

8 Теоретически обоснована методика построения линейных дискретных моделей временных рядов, на основе которой

- разработан метод распознавания трендовых временных рядов и однофактор-ных регрессионных зависимостей,

- разработан метод построения линейных дискретных моделей временных рядов в условиях детерминированных и случайных помех,

- установлена взаимосвязь моделей нестационарных временных рядов с детерминированным и стохастическим трендом,

- разработан метод обнаружения полиномиальных трендов

9 Получен комплекс новых линейных дискретных моделей для описания колебаний механических систем при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования На его основе разработан ряд помехоустойчивых методов параметрической идентификации МС во временной и частотной областях, которые обладают достаточно высокими точностью и быстродействием, ориентированы на использование ЭВМ с ограниченной оперативной памятью

10 Установлено, что сглаживание на основе ОМНМ-оценок имеет существенное преимущество перед традиционной медианной фильтрацией при анализе нестационарных резко изменяющихся процессов, а также при наличии случайных помех в виде выбросов по уровню или дисперсии С целью упрощения реализации и повышения быстродействия робастного сглаживания процессов разработан метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов, предложен ряд способов и устройств, реализующих различные модификации данного метода

11 Для предприятий угледобывающей отрасли разработаны

- методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах, позволяющая проводить совместный анализ текущих и долговременных факторов работы угледобывающей техники,

- автоматизированная система анализа временных рядов, позволяющая проводить исследование процессов в угледобывающей промышленности,

- математическая модель зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала,

- математическая модель зависимости стоимости обслуживания экскаваторов на единицу результата относительно производительности оборудования,

- алгоритм расчета коэффициента профилактической работы на горнодобывающем предприятии

12 Разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы реализованы в виде апробированных программ, использованных и апробированных на ряде предприятий и вузов Программный комплекс, состоящий из десяти программ на ЭВМ, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ и включен в Информационно-библиотечный фонд РФ

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему первому научному руководителю доценту Ю С Дмитриеву за то, что привил навыки к научной работе, научному руководителю кандидатской диссертации профессору В К Семенычеву за выбор перспективной научной тематики и поддержку на начальном этапе исследований, а также научному консультанту профессору А В Панюкову, члену-корреспонденту РАН А Г Ченцову и профессору В И Ухоботову за консультации, ценные замечания и организационную помощь в подготовке и оформлении диссертационной работы

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих источниках

[1]Тырсин АН Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей /АН Тырсин // Записки научных семинаров ПОМИ -2005 -Т 328 -С 236-250

[2] Тырсин А Н Дефектоскопия механических систем по отклику на гармоническое воздействие на основе моделей авторегрессии /АН Тырсин // Дефектоскопия -2005 -№2 -С 72-78

[3] Тырсин А Н Идентификация нестационарных экономических процессов на основе дискретно-совпадающих моделей авторегрессии /АН Тырсин // Известия Уральского государственного экономического университета - 2004 -№9 - С 44-51

[4] Тырсин А Н Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии /АН Тырсин//Автометрия -2005 -Т 41, №1 -С 43-49

[5] Тырсин А Н Метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов /АН Тырсин, Ю С Дмитриев, В К Семенычев // Автометрия - 1992 - № 4 - С 105-110

[6] Тырсин А Н Методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах /АН Тырсин, В Н Лапаев, М С Подгорный // Известия вузов Горный журнал -2005 -№1 -С 8-12

[7] Тырсин А Н Модель авторегрессии как отображение функциональной зависимости временного ряда /АН Тырсин // Системы управления и информационные технологии -2005 - № 1(18) - С 27-29

[8] Тырсин А Н Определение динамических характеристик элементов газотурбинных двигателей по спектру вибросигнала /АН Тырсин // Известия вузов Авиационная техника - 2005 - № 3 - С 78-80

[9] Тырсин А Н Построение моделей авторегрессии временных рядов при наличии помех /АН Тырсин // Математическое моделирование — 2005 - Т 17, №5 -С 10-16

[10] Тырсин А Н Построение дискретно-совпадающих моделей временных рядов при наличии аддитивного белого шума /АН Тырсин // Системы управления

и информационные технологии -2005 -№4(21) - С 24—29

[11]Тырсин АН Робастное построение линейных регрессионных моделей по экспериментальным данным /АН Тырсин // Заводская лаборатория - 2005 -Т 71,№ 11 -С 53-57

[12] Семенычев В К Определение параметров испытательных гармонических сигналов на основе разностных схем / В К Семенычев, А Н Тырсин // Автометрия -1991 - № 3 - С 95-98

[13]Могилат В Л Математическое моделирование зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях / В Л Могилат, А Н Тырсин // Известия вузов Горный журнал -2006 -№2 -С 77-81

[14]Тырсин АН Методика количественной оценки эффективности управления социально-экономическим развитием города /АН Тырсин // Вестник ЮУр-ГУ Серия Экономика -2005 -В 5, №12(59) -С 192-195

[15] Лобко В П Совершенствование профилактической работы как одно из эффективных направлений снижения травматизма на горнодобывающих предприятиях / В П Лобко, А И Гусев, А Н Тырсин // Известия вузов Горный журнал -2006 - № 5 - С 37-43

[16] Еленевский Д С А С 1632138, МКИ 4 в 01 Н 7/00 Способ определения параметров бигармонических колебаний механической системы при биениях/ Д С Еленевский, В В Малыгин, В К Семенычев, А Н Тырсин - № 4664686/28, Заявл 16 01 89, Опубл 10 09 05, Бюл № 25

[17] Костин В И АС 1672481, МКИ 4 в 06 в 7/52 Устройство для определения энтропии / В И Костин, А Н Тырсин, В И Бояринцев -№ 4662251/24, Заявл 10 03 89, Опубл 23 08 91, Бюл №31 -Зс

[18] Костин В И А С № 1677551, МКИ 4 в 01 М 7/00 Устройство для измерения интенсивности узкополосного вибрационного процесса / В И Костин, А Н Тырсин -№4650917/28, Заявл 13 02 89, Опубл 15 0991,Бюл №34 -Зс

[19] Семенычев В К А С 1566299, МКИ 4 в 01 Я 25/00 Способ определения фазового сдвига синусоидальных сигналов / В К Семенычев, А Н Тырсин - № 4408778/24-21, Заявл 11 04 88, Опубл 23 05 90, Бюл № 19 - 4 с

[20] Семенычев В К А С 1647325, МКИ 4 й 01 М 7/00 Способ определения характеристик рассеяния энергии при колебаниях линейной механической системы / В К Семенычев, А Н Тырсин - № 4675860/25-28; Заявл 11 04 89, Опубл 01 05 91,Бюл № 17 -2 с

[21] Семенычев В К А С 1670464, МКИ 4 в 01 М 7/00 Способ определения динамических характеристик линейной механической системы / В К Семенычев, А Н Тырсин - № 4663891/28, Заявл 21 03 89, Опубл 15 08 91, Бюл № 30 - 3 с

[22] Семенычев В К А С 1755060, МКИ 4 в 01 Н 17/00 Способ определения параметров амплитудно-модулированных колебаний механической системы / В К Семенычев, АН Тырсин - № 4799311/28, Заявл 05 03 90, Опубл 15 08 92, Бюл №30 - 3 с

[23] Тырсин А Н АС 1622931, МКИ 4 Н 03 К 5/156 Способ преобразования последовательности прямоугольных импульсов напряжения и устройство для его осуществления / АН Тырсин, ЮС Дмитриев - № 4436573/21, Заявл 06 06 88, Опубл 23 01 91, Бюл № 3 -5 с

[24] Тырсин АН АС 1624673, МКИ 4 Н 03 К 5/153 Устройство для преобразования последовательности импульсов /АН Тырсин, В К Семенычев, Ю С Дмитриев -№4454132/21, Заявл 01 07 88, Опубл 30 01 91, Бюл №4 - Зс

[25] Тырсин А Н А С 1721810, МКИ 4 Н 03 К 5/19 Устройство для преобразования бинарных сигналов /АН Тырсин, В К Семенычев, Ю С Дмитриев, АН Мозгунов -№4812072/21, Заявл 14 02 90, Опубл 23 03 92, Бюл №11 -3 с

[26] Тырсин АН АС 1723660, МКИ 4 Н 03 К 5/156 Способ преобразования последовательностей прямоугольных импульсов и устройство для его осуществления/АН Тырсин, В К Семенычев, ЮС Дмитриев -№ 4798032/21, Заявл 01 03 90, Опубл 30 03 92, Бюл № 12 - 7 с

[27] Тырсин А Н Идентификация функциональной зависимости временного ряда по его модели авторегрессии /АН Тырсин // Обозрение прикл и промышл матем -2004 Т 11, В 4 - С 939-940

[28] Тырсин А Н Метод обнаружения полиномиального тренда временного ряда /АН Тырсин//Обозрение прикл и промышл матем -2005 — Т 12, В 2 -С 533-534

[29] Тырсин А Н Об одном подходе устойчивого построения регрессионных моделей /АН Тырсин // Обозрение прикл и промышл матем — 2005 - Т 12, В 1 -С 191-192

[30] Тырсин А Н Об одном способе устойчивого оценивания математического ожидания /АН Тырсин, Д С Воронина // Обозрение прикл и промышл матем -2004 -Т 11, В 2 - С 261-262

[31] Тырсин А Н Об эквивалентности знакового и наименьших модулей методов построения линейных моделей /АН Тырсин // Обозрение прикл и промышл матем -2005 -Т 12, В 4 - С 879-880

[32] Тырсин А Н Робастное построение авторегрессионных моделей временных рядов с пропусками /АН Тырсин // Обозрение прикл и промышл матем — 2005 -Т 12, В 4 - С 1108-1109

[33] Тырсин А Н Статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего /АН Тырсин // Обозрение прикл и промышл матем -2005 -Т 12,В 4 -С 1109-1110

[34] Тырсин А Н Робастное сглаживание временных рядов на основе обобщенного метода наименьших модулей /АН Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики -2006 -Т 13, В 3 -С 551-552

[35] Тырсин А Н Взаимосвязь моделей временных рядов экономических процессов /АН Тырсин // Организация и управление производительностью производственных систем Матер междунар науч -практ конф - Новочеркасск ЮРГТУ (НПИ), 2002 -С 68-71

[36]Тырсин AHO построении нелинейных регрессионных зависимостей при изучении эволюции открытых систем / А Н Тырсин // Журнал проблем эволюции открытых систем — 2004 - В 6, Т 2 — С 78-83

[37] Тырсин А Н Обнаружение особых нерасчетных режимов работы турбома-шин /АН Тырсин // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики Матер III междунар науч -практ конф 4 3- Новочеркасск ЮРГТУ (НПИ), 2002 - С 22-26

[38]Тырсин АН Построение авторегрессионных моделей в условиях статистической неоднородности данных /АН Тырсин // Математическое моделирование и краевые задачи Тр III Всеросс науч конф 4 2- Самара СГТУ, 2006 - С 160-164

[39] Тырсин А Н Численные алгоритмы реализации обобщенного метода наименьших модулей /АН Тырсин, Е Ю Еремеева // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике Матер V междунар науч -практ конф 4 3- Новочеркасск ЮРГТУ (НПИ), 2005 - С 44— 47

[40] Тырсин А Н Рекуррентный алгоритм оценивания коэффициентов авторегрессии на основе обобщенного метода наименьших модулей /АН Тырсин, Н Ю Климова // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике Матер VI междунар науч -практ конф 4 3- Новочеркасск ЮРГТУ (НПИ), 2006 -С 6-8

[41] Тырсин AHO математическом моделировании сложных систем в задачах диагностики /АН Тырсин // Математика Информационные технологии Образование 4 1 Сб науч тр - Оренбург ОГУ, 2006 - С 103-106

[42] Tyrsin А N Robust Identification of Linear Models on Experimental Data /AN Tyrsin // The 4th Moscow International Conference On Operations Research (QRM2004) Proceedings -Moscow, 2004 -PP 221-223

Отпечатано в тип "Фотохудожник" г Челябинск, ул Свободы, 155/1, тел 237-17-43 Заказ № 11 от 18 01 2007 г Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ ДИАГНОСТИКИ.

1.1. Проблема построения диагностических моделей исследуемых объектов по экспериментальным данным.

1Л Л. Идентификация сложных систем в задачах диагностики.

1 Л.2. Методы построения зависимостей. Основные подходы.

1.2. Обзор методов моделирования некоторых объектов.

1.2Л. Обзор математических моделей механических систем.

1.2.2. Вопросы построения математических моделей функционирования горнодобывающих предприятий.

1.3. Модели временных рядов, основные предпосылки их использования.

1.4. Обзор математических моделей временных рядов

1.4.1. Математические модели структурно-детерминированных рядов.

1.4.2. Математические модели стохастических временных рядов.

1.4.3. Разностная схема как математическая модель временного ряда.

1.5. Проблема устойчивости построения математических моделей в условиях стохастической неоднородности.

1.5.1. Проблематика определения стохастической неоднородности.

1.5.2. Непараметрический подход к построению моделей.

1.5.3. Робастные статистические процедуры. Обзор методов.

1.6. Выводы по главе и постановка задачи.

1.6.1. Результаты и выводы по главе.

1.6.2. Постановка задачи.

ГЛАВА 2. РОБАСТНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ МОДУЛЕЙ.

2.1. Описание обобщенного метода наименьших модулей на примере робастного построения линейных регрессионных моделей.

2.1.1. Формальное описание обобщенного метода наименьших модулей.

2.1.2. Класс функций потерь, на котором задан ОМНМ.

2.1.3. Минимаксные ОМНМ-оценки.

2.1.4. Место ОМНМ-оценок среди других робастных оценок.

2.2. Алгоритмы реализации ОМНМ.

2.2.1. Точное вычисление оценок обобщенных наименьших модулей.

2.2.2. Итерационный алгоритм реализации ОМНМ.

2.2.3. Сравнительный анализ вычислительных затрат переборного и итерационного алгоритмов реализации ОМНМ.

2.2.4. Нахождение оценок обобщенного метода наименьших модулей на основе идей линейного программирования.

2.3. Исследование ОМНМ в условиях стохастической неоднородности.

2.3.1. Основные нарушения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова в условиях стохастической неоднородности.

2.3.2. Функция чувствительности.

2.3.3. Исследование свойств ОМНМ (на примере оценки параметра сдвига)

2.3.4. Моделирование ОМНМ-оценок регрессии методом Монте-Карло.

2.4. Робастное построение моделей авторегрессии временных рядов.

2.4.1. Вычисление коэффициентов авторегрессии на основе ОМНМ.

2.4.2. Функционалы влияния ОМНМ-оценок параметров авторегрессии.

2.4.3. Робастное вычисление коэффициентов авторегрессионных моделей с пропусками в данных.

2.5. Использование ОМНМ для построения нелинейных моделей.

2.6. Результаты и выводы по главе.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Соответствие экстраполяционных и линейных дискретных моделей.

3.1.1. Об одном линейном отображении.

3.1.2. Статистическая эквивалентность РС и АРСС-моделей.

3.1.3. Однозначность соответствия между экстраполяционными моделями и разностными схемами.

3.2. Метод распознавания временных рядов на основе ЛДМ.

3.2.1. Z-преобразование как дискретный аналог преобразования Лапласа

3.2.2. Методика построения ЛДМ временных рядов.

3.2.3. Метод распознавания трендов.

3.3. Построение ЛДМ временных рядов при наличии помех.

3.3.1. Построение ЛДМ временных рядов при детерминированных помехах

3.3.2. Инвариантность ЛДМ к типу связи между детерминированной и случайной составляющими.

3.3.3. Построение ЛДМ при наличии аддитивного белого шума.

3.4. Обнаружение и распознавание характера тренда временного ряда.

3.4.1. Современные методы моделирования нестационарных стохастических временных рядов.

3.4.2. Взаимосвязь моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами

3.4.3. Обнаружение полиномиального тренда временного ряда.

3.5. Результаты и выводы по главе.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ.

4.1. Линейные дискретные модели колебаний механических систем.

4.1.1. Построение линейных дискретных моделей колебаний механических систем при тестовых воздействиях.

4.1.2. Построение линейных дискретных моделей колебаний механических систем при случайных воздействиях.

4.2. Идентификация механических систем при тестовых и случайных воздействиях

4.2.1. Идентификация МС при гармоническом воздействии в установившемся режиме.

4.2.2. Идентификация МС по нестационарным процессам при гармоническом воздействии.

4.2.3. Идентификация стационарных колебаний МС в условиях аддитивного шума. и пи¡ґиVIс«-'іописіу ууупл^иипирь/оипмл. декретные модели спектров колебаний механических систем.

Определение динамических характеристик без учета дискретных сост;

•пределение динамических характеристик при наличии дискретных с эщих.

Идентификация дискретных спектральных составляющих. ультаты и выводы по главе. 5. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В ЭКОНС ювные проблемы и подходы к математическому моделированию ело пецифика исследования сложных систем в экономике. систем

6.1.1. Комплекс алгоритмов и программ идентификации механических систем при тестовых воздействиях на основе ЛДМ.

6.1.2. Алгоритмы, программы и устройства для оценки состояния турбомашин в эксплуатационных условиях.

6.1.3. Комплекс алгоритмов и программ идентификации механических систем в частотной области.

6.2. Значение результатов работы для угольной промышленности.

6.2.1. Математическое моделирование травматизма на горнодобывающих предприятиях

6.2.2. Автоматизированная система анализа временных рядов в угледобывающей промышленности.

6.2.3. Методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах.

6.2.4. Математическая модель зависимости стоимости обслуживания на единицу результата относительно продуктивного времени работы.

6.3. Значение результатов работы для информационно-измерительной техники

6.3.1. Метод фильтрации данных на основе поразрядного преобразования бинарных кодов.

6.3.2. Применение скользящего сглаживания на основе ОМНМ.

6.4. Значение результатов работы для учебного процесса.

6.5. Результаты и выводы по главе.

Актуальность работы. Роль математического моделирования в научных исследованиях неуклонно возрастает. Его суть заключается в замене объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах алгоритмов [171]. Крупный вклад в развитие теории математического моделирования внесли многие ученые [12, 24, 32,46, 90, 92, 102, 117, 131, 137, 171,200,310, 321] и др.

Методология математического моделирования бурно развивается. Одним из основных направлений развития является исследование сложных систем, характерными признаками которых являются: некоторые факторы неизвестны или не могут быть измерены; неизвестен характер взаимосвязи факторов; стохастическая неоднородность данных. При использовании теории математического моделирования здесь возникает ряд проблем. Так академик В.М. Глушков в предисловии к работе [64] отмечал, что «идея анализа слабоструктурированных проблем и разработки способов их решения показала свою перспективность . Даже в тех случаях, когда практические аспекты некоторых системных проблем по сложности оказались недоступными современной теории, неудачи и разочарования не вызывали уныния». Вопросы математического моделирования сложных систем исследовались многими учеными, отметим работы [22, 31, 35, 50, 64, 70, 71, 87, 132, 152, 156, 157, 203, 204, 294, 297, 298, 313, 317] и др.

Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является построение моделей диагностики. Модель диагностики представляет собой некоторую функцию^ =ЛХь •••5 хт), которая отражает зависимость показателя у от некоторого процесса, протекающего на исследуемом объекте, характеризуемого множеством факторов хь . , хт. Математическая модель может давать здесь лишь частичное представление о системе. Поэтому существенно возрастает роль математической статистики в математическом моделировании сложных объектов [137]. Укажем на такие особенности как: - не полное соответствие модели части наблюдений,

- возможное наличие в выборке резко выделяющихся наблюдений, не обязательно обусловленных ошибками измерений,

- зачастую не экспериментальный, не однородный характер данных,

- использование различных группировок и округлений,

- возможная зависимость результатов наблюдений.

Данные особенности при использовании классических процедур, ориентированных на выполнение основных предпосылок математической статистики могут привести к грубым ошибкам [168], а, следовательно, к снижению достоверности и оперативности диагноза.

Примером сложной социотехнической системы является горнодобывающее предприятие. Здесь сочетаются: высокопроизводительное горное оборудование; взаимосвязанность сложных организационных и технологических процессов; опасные условия работы персонала шахт; возрастание конкуренции на рынке. Отметим основные проблемы. Во-первых, необходимо обеспечить экономически целесообразный уровень работоспособности оборудования. Например, затраты отечественных шахт на техническое обслуживание и ремонт достигают 25-40% в себестоимости добычи угля.

Во-вторых, взаимосвязь организационных и технологических процессов усложняет управление предприятием. Необходимо своевременно выявлять основные тенденции в условиях увеличения потока разнородной информации.

В-третьих, на российских горнодобывающих предприятиях актуальна проблема обеспечения безопасности труда. Травматизм на порядок выше, чем в странах с развитой рыночной экономикой.

Указанные проблемы во многом могут быть решены на основе построения адекватных математических моделей диагностики и разработки методов их достоверной и оперативной идентификации. Вопросы математического моделирования процессов и явлений, протекающих в горнодобывающих предприятиях исследовались многими учеными [6, 38, 100, 104, 105, 106, 149] и др.

Главным признаком сложности социотехнической системы является наличие человеческого фактора. Однако определенные черты сложности присутствуют и в ряде технических объектов. К ним в первую очередь можно отнести 8 механические системы (МС), под которыми понимают различные машины, отдельные и взаимодействующие механизмы, конструкции, узлы, передачи, элементы и т.д. [30, 63]. По мере усложнения объектов исследования применение расчетных методов математического описания становится весьма трудоемко, недостаточно точно и не всегда возможно [161]. Это приводит к тому, что результаты экспериментальных исследований служат основной исходной информацией для решения задач идентификации сложных МС [63].

С другой стороны, современные МС непрерывно развиваются в направлении увеличения мощности, быстроходности и точности. При одновременном стремлении к снижению металлоемкости и габаритов это приводит к высокой динамической загруженности МС, делая необходимыми получение оперативной и достоверной информации об их текущем состоянии и обнаружение дефектов на ранней стадии их возникновения [39, 44, 156]. Специфика задач диагностики состояния является то, что МС в состоянии зарождающегося дефекта зачастую становится существенно нелинейной, а анализируемый сигнал - нестационарным, неся в себе одновременно составляющую нормального функционирования и признак неисправности [39, 91, 154]. В особенности это касается таких высоконагруженных и дорогостоящих объектов, как турбомашины, в частности газотурбинные двигатели (ГТД) [28, 78].

В качестве диагностических признаков во многих случаях используют динамические характеристики (ДХ) МС. К ним относятся спектральная плотность мощности вибрации, собственная частота, амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики, коэффициент затухания, амплитуда и частота гармоники, числовые статистические характеристики и др. Существующие методы определения ДХ МС зачастую требуют специально поставленных, сложных и длительных экспериментов, не всегда имеют достаточную точность, быстродействие. Получаемые при этом оценки параметров не обладают свойством устойчивости к вариации закона распределения присутствующего в измерительном тракте шума, наличию выбросов и к окраске его спектра. Значительные результаты в области диагностики турбомашин получены многими учеными [16, 28, 30, 39, 48, 78, 91, 121, 154, 301, 324, 330, 353] и др. 9

Таким образом, проведенный на примере механических систем и горнодобывающих предприятий, анализ современных направлений повышения эффективности функционирования сложных объектов, показывает актуальность проблематики совершенствования, как математических моделей в задачах диагностики, так и методов их построения. Причем одними из наиболее актуальных направлений являются обеспечение устойчивости оценивания в условиях стохастической неоднородности и переход к дискретным моделям.

Спецификой проблемы оценивания параметров моделей является некорректность задач по Ж. Адамару. В настоящее время разработан ряд методов обеспечения вычислительной устойчивости решений [77, 206, 325]. Можно отметить, что для линейных операторов проблема в целом решена. Здесь выделим метод сингулярных разложений [47], а также экстремальный метод решения параметрической обратной задачи [150]. К числу нерешенных проблем следует отнести учет стохастической неоднородности.

В настоящее время хорошо известны общематематическая и общесистемная мотивации приоритетного изучения дискретных систем и дискретных математических моделей; из многочисленных мнений специалистов укажем лишь некоторые, наиболее авторитетные.

Академик А.Н. Колмогоров в работе [92] отмечает: «Весьма вероятно, что в очень многих случаях разумно изучение реальных явлений вести, избегая промежуточный этап их стилизации в духе представлений математики бесконечного и непрерывного, переходя прямо к дискретным моделям. Особенно это относится к изучению сложно организованных систем, способных перерабатывать информацию. В наиболее развитых таких системах тяготение к дискретности работы вызвано достаточно разъясненными в настоящее время причинами».

Академик C.B. Емельянов, в связи с проблемами развития теории и технологии системного моделирования, подчеркивает [203]: «Использование неалгоритмических описаний часто является данью традициям, связанным с разработанностью таких разделов математики, как дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных и интегральных уравнений и др. В то же время вряд ли есть основание считать, что, например, уравнение теплопро

10 водности точнее отражает физическую суть явления, чем соответствующая ему дискретная разностная схема».

Академик H.H. Моисеев в работе [132] пишет: «.любое детальное исследование неизбежно требует перехода к дискретному описанию. Справедливость этого тезиса становится особенно очевидной, когда мы начинаем анализировать процессы с использованием ЭВМ. Первый шаг такого анализа - это всегда переход к дискретному представлению изучаемых моделей. Успехи именно в этой области определят качественный прорыв в будущее».

Характерным примером исследования сложных систем с помощью дискретных моделей является анализ временных рядов. Данную задачу решают, когда в силу многочисленности и сложности измерения факторов, не разработанности теоретических предположений относительно их взаимосвязей между собой, не представляется возможным обосновать и построить модель классического типа. В результате в отношении ряда yt часто выдвигают предположение, что совокупное влияние факторов формирует внутренние закономерности в развитии процесса уь что дает возможность применить для его описания модель из специфического класса моделей временных рядов [1, 205, 339]. Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики реальных процессов различной природы [16, 66, 80, 84, 194, 314, 342, 353, 367]. Сложность, многовариантность проблематики построения подобных зависимостей делает актуальным разработку унифицированного подхода к моделированию и идентификации временных рядов.

Построение конкретной математической модели диагностики по имеющимся наблюдениям реализуется с помощью статистических методов оценки ее параметров. Многие задачи, связанные с обработкой статистических данных решаются в предположении существования достаточной информации об изучаемых объектах, процессах, явлениях и о свойствах действующих на них возмущений. Для широкого класса задач разработаны методы эффективного оценивания неизвестных параметров с использованием классических методов максимального правдоподобия. В частности, в предположении, что случайные ошибки нормально распределены, методом максимального правдоподобия является метод наименьших квадратов (МНК). На основе МНК создана целостная система статистической обработки. С учетом простоты реализации он является наиболее распространенным статистическим методом построения зависимостей. Например, он используется в теории оптимального построения линейных моделей Р. Калмана [90], при построении линейных регрессионных моделей, в методе восстановления зависимостей В.Н. Вапника [24] и др.

Стохастическая неоднородность в виде наличия отдельных выбросов и нестационарности случайных ошибок обуславливает необходимость обеспечить устойчивость получаемых оценок параметров моделей. Использование МНК при этом может привести к значительным ошибкам. Крупный вклад в развитие теории робастных и непараметрических методов внесли многие ученые [19, 25, 40, 81, 103, 107, 134, 126, 133, 168, 197, 201, 305, 309, 320, 352 364] и др.

Основное направление в теории робастного оценивания уделяется устойчивости оценок к отдельным выбросам, постулируя при этом однородность (стационарность) основной части случайных ошибок измерений. Однако реальные данные часто трудно отнести к каким-либо параметрическим семействам, в рамках которых находится конкретное распределение ошибок. Причем случайные ошибки во многих случаях не являются стационарными, в них могут присутствовать отдельные выбросы. Наиболее актуальным является обеспечение устойчивости оценок параметров моделей временных рядов, поскольку они гораздо более чувствительны к стохастической неоднородности данных ввиду зависимости наблюдений.

Целью работы является разработка единого подхода к решению проблемы робастной параметрической идентификации моделей диагностики, позволяющего на его основе получить комплекс математических моделей, а также методов, алгоритмов и программ их оценивания.

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработать и теоретически обосновать робастный метод параметрической идентификации математических моделей в условиях стохастической неоднородности. Одновременно метод должен иметь достаточно простую реализацию, ориентированную на практическое применение.

2. Исследовать существующие подходы к математическому моделированию временных рядов на предмет выявления их общих закономерностей, позволяющих повысить достоверность построения математических моделей диагностики.

3. Разработать комплекс математических моделей диагностики, а также методов, алгоритмов, программ и устройств их оценивания; апробировать разработанный комплекс для исследования процессов, протекающих при функционировании горнодобывающих предприятий и турбомашин.

Объектом исследования являются сложные системы. Предметом исследования являются модели диагностики в условиях стохастической неоднородности.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений: а) Разработан обобщенный метод наименьших модулей (ОМНМ) - новый метод робастного построения математических моделей.

2. В области разработки, исследования и обоснования математических объектов: а) Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отображается во множество линейных разностных схем; теоретически обоснована методика представления экстраполяционных моделей в виде разностных схем конечного порядка; б) Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моделей в линейные дискретные модели (ЛДМ) временных рядов, которые учитывают стохастическую неоднородность данных; в) Разработан метод распознавания зависимостей по коэффициентам ЛДМ; г) Доказано, что ОМНМ при некоторых ограничениях можно распространить и на случай робастного вычисления параметров нелинейных моделей.

13

3. В области развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования: а) Установлена взаимосвязь нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами; б) Разработан алгоритм обнаружения полиномиальных трендов; в) Разработан метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов, позволяющий повысить быстродействие робастного сглаживания процессов.

4. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ: а) Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость при одностороннем засорении и в случае гетероскедастичности ошибок по сравнению с МНМ-оценками.

5. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента: а) Разработаны численные алгоритмы и программы реализации ОМНМ; б) Разработаны алгоритмы и программы построения ЛДМ в условиях детерминированных помех и аддитивного шума.

6. В области комплексного исследования научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента: а) Получен ряд ЛДМ колебаний МС при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования, на основе которых разработан комплекс алгоритмов, программ и устройств определения ДХ МС; б) Построены ЛДМ спектров колебаний МС, учитывающих возможную окраску воздействия, а также частичное перекрытие резонансных зон. На основе данных ЛДМ разработан метод определения ДХ линейных МС, устойчивый к наличию в резонансной зоне дискретных составляющих; в) Построена математическая модель зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях.

7. В области разработки новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента: а) Установлено, что случайные колебания линейной механической системы размерности Ь статистически эквивалентны модели авторегрессии АР(2Ь); б) Разработан алгоритм определения несмещенных значений ДХ МС в режиме нормального функционирования при наличии аддитивного шума на основе ЛДМ отсчетов колебаний.

8. В области разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе математической модели: а) Разработаны алгоритмы и устройства диагностирования неисправностей и нерасчетных режимов работы турбомашин; б) Разработана методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработан обобщенный метод наименьших модулей (ОМНМ) - новый метод робастного построения математических моделей.

2. Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость по сравнению с МНМ-оценками в условиях стохастической неоднородности при построении линейных моделей.

3. Разработан комплекс алгоритмов и программ для реализации обобщенного метода наименьших модулей.

4. Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отображается во множество разностных схем.

5. Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моделей в линейные дискретные модели временных рядов в условиях стохастической неоднородности.

6. Теоретически обоснована методика построения ЛДМ временных рядов, на основе которой разработан метод распознавания трендов временных рядов и регрессионных зависимостей.

7. Установлена взаимосвязь между нестационарными моделями временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами. На ее основе разработан метод обнаружения полиномиальных трендов.

8. Получен комплекс ЛДМ колебаний механических систем при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования, на основе которого разработан ряд новых способов, алгоритмов и устройств параметрической идентификации и диагностики механических систем.

9. Разработаны методы идентификации моделей диагностики горнодобывающих предприятий: анализ показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах; зависимость травматизма от компетентности и информированности персонала.

10. Разработан новый метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов.

Теоретическая и практическая значимость.

Значение результатов работы для математического моделирования:

1. Разработан обобщенный метод наименьших модулей - новый статистический метод параметрической идентификации математических моделей. Он обладает более высокой устойчивостью по сравнению с МНМ и близкими к нему робастными методами в условиях стохастической неоднородности. Во-вторых, ОМНМ в достаточно широких пределах обладает непараметрическими свойствами. В-третьих, он имеет простую реализацию.

2. Предложен новый класс математических моделей временных рядов -линейные дискретные модели, обобщающий стохастические и структурно-детерминированные модели и разностные схемы. Он восполнил неполноту существующих подходов к математическому моделированию временных рядов в условиях стохастической неоднородности.

3. Установлена взаимосвязь нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами.

16

4. Разработаны методы идентификации зависимостей, имеющие теоретическую и практическую важность:

- метод распознавания трендовых временных рядов и регрессионных зависимостей;

- метод обнаружения полиномиальных трендов.

Значение результатов работы для техники и экономики:

5. Предложенные математические модели и методы могут достаточно эффективно использоваться в вибрационной диагностике, а также при прочностных испытаниях и доводке турбомашин.

6. Предложенный системный подход к построению математической модели сложных систем, основанный на формализации второстепенных целей на языке главной цели и введении шкалирования позволяет строить математические модели качественных явлений. В частности, разработана математическая модель зависимости травматизма на горнодобывающих предприятиях от компетентности и информированности персонала, а также формализован коэффициент профилактической работы.

7. ОМНМ может быть эффективно применен при сглаживании различных сигналов, в частности речи и изображений в оптике и голографии.

8. Разработанный метод поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов позволяет в режиме реального времени осуществлять робастное сглаживание быстропеременных процессов.

9. На основе полученных теоретических результатов разработаны и практически используются в НТЦ-НИИОГР (г. Челябинск) методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах и автоматизированная система анализа временных рядов.

Реализация результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ по темам: № ГР 01880011951 (инв. № отчета во ВНТИЦ 02890012516), № ГР 01900044624 (инв. № отчета во ВНТИЦ 02900036222). Работа поддержана грантами Центра прикладных экономических исследований Уральского государственного университета (2003 г.), РГНФ 0502-85203 а/У и РФФИ 07-01-96035 «Урала». Разработанные в диссертацион

17 ной работе методы и алгоритмы реализованы в виде апробированных программ. Программный комплекс, состоящий из десяти программ на ЭВМ, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ и включен в Информационно-библиотечный фонд РФ.

Положения и выводы диссертационной работы, а также разработанные комплексы программ использованы в НТЦ-НИИОГР (подтверждено справкой):

1) При исследовании закономерностей функционирования системы технического сервиса горного оборудования и построении математических моделей: изменения стоимости обеспечения одного машино-часа работы горного оборудования в зависимости от времени его продуктивного использования; динамики старения горных машин в зависимости от изменения параметра отказов и срока эксплуатации; адгезии горной породы в зависимости от свойств различных поверхностей активной части горных машин и температуры окружающей среды; зависимости действий персонала от информационного положения;

2) Для повышения адекватности и устойчивости к аномальным наблюдениям математических моделей зависимостей функционирования угледобывающих предприятий.

Результаты диссертационной работы использовались в Управлении по технологическому и экологическому надзору РОСТЕХ НАДЗОРА по Челябинской области (подтверждено справкой):

1) Для распознавания вида зависимостей между различными показателями функционирования горнодобывающего предприятия;

2) Для устойчивой оценки параметров полученных зависимостей, а также результатов экспертных оценок;

3) При расчете коэффициента профилактической работы на горнодобывающем предприятии.

Результаты диссертационной работы также используются в учебном процессе Челябинского, Южно-Уральского и Уральского государственных университетов (подтверждено актами).

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Все результаты диссертационной работы, в том числе постановка про

18 блем, развитие модельных представлений и обобщений, разработка, исследование и обоснование математических моделей и методов их исследования, разработка комплекса компьютерных моделей и экспериментальных методик, доказательство всех утверждений и лемм, проведение численных расчетов и моделирования, получены лично автором диссертации. В.К. Семенычеву, в соавторстве с которым опубликовано 23 работы, принадлежат идея и поддержка на начальном этапе исследований, связанных с применением разностных схем для параметрической идентификации механических систем. В остальных случаях соавторам принадлежит участие в постановке задач, разработка отдельных аппаратных или программных средств, приложение и конкретизация методов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 55 научных конференциях, в том числе на: Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы повышения качества, надежности и долговечности машин» (Брянск, 1990); Всесоюзной научно-технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» (Куйбышев, 1990); Всесоюзной научно-технической конференции «Радиоизмерения-91 (методы повышения точности)» (Севастополь, 1991; X научной конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1992); III Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск, 2002); Международной научно-практической конференции «Хозяйствующий субъект: новое экономическое состояние и развитие» (Ярославль, 2003); Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения - Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003-2006); 1У-У1 Международных научно-практических конференциях «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004-2006); I—III Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004-2006); IV международной конференции «Современные сложные системы управления (НТСБ' 2004)» (Тверь, 2004); IV Международной Московской конференции «Исследование операций» (Москва, 2004); УН-1Х

Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем»

19

Красноярск, 2004-2006); VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2004); XI и XII Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Сочи, 2004, 2005); V-VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004; Санкт-Петербург, 2005; Кисловодск, 2006); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005); V Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005); XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005); VIII Международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2005); XXVIII Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Нижний Новгород, 2005) и др.

Результаты работы обсуждались на научных семинарах: отдела управляемых систем (рук. - член-корр. РАН А.Г. Ченцов) Института математики и механики УрО РАН, (2004-2005); «Математика в приложениях» Института математики СО РАН (2005); кафедр теории управления и оптимизации (20032006) и математических методов в экономике (2004) Челябинского государственного университета; кафедры экономико-математических методов и статистики Южно-Уральского государственного университета (2006), кафедры вычислительной техники Уральского государственного технического университета (2006).

Публикации. Содержание работы отражено в 123 печатных работах, в том числе в 26 публикациях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для докторских диссертаций (из них - 15 статей), в 18 авторских свидетельствах на изобретения и в 10 программах, зарегистрированных в Отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографического списка из 373 наименований и приложений. Основной текст работы изложен на 274 страницах, включая 81 рисунок и 44 таблицы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Решена важная научная проблема в области математического моделирования: разработан обобщенный метод наименьших модулей — новый метод ро-бастного построения линейных моделей. Данный метод позволяет эффективно оценивать модели диагностики в условиях стохастической неоднородности. Разработаны численные алгоритмы реализации ОМНМ - переборный, итерационный, рекуррентный, при наличии пропусков в данных.

2. Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость при одностороннем засорении и в случае гетероскедастичности ошибок по сравнению с МНМ-оценками, одновременно они сохраняют устойчивость и при симметричном засорении.

3. Ограниченность функционалов влияния ОМНМ-оценок коэффициентов авторегрессионной модели приводит к существенно более высокой устойчивости ОМНМ-оценок к большим ошибкам по сравнению с МНМ-оценками при построении стохастических моделей временных рядов.

4. На основе ОМНМ-оценок построены минимаксные оценки, сочетающие устойчивость к выбросам и низкую дисперсию при малых ошибках.

5. Доказано, что ОМНМ при некоторых ограничениях на вид зависимости можно распространить и на случай робастного вычисления параметров нелинейных моделей заданного класса.

6. Установлена взаимосвязь между тремя основными классами моделей временных рядов, которая позволяет: объединить их в ЛДМ; более эффективно использовать данные модели при решении задач, связанных с анализом временных рядов, протекающих в сложных системах.

7. Использование ЛДМ при математическом моделировании временных рядов обладает следующими преимуществами:

- процесс также как и при структурно-детерминированном моделировании характеризуется с точки зрения зависимости от времени его условного математического ожидания;

- структурные свойства процесса учитываются на основе разностных соотношений, определяемых формой функциональной зависимости;

- построение ЛДМ происходит на основе известных методов построения стохастических моделей, что позволяет учесть в явном виде, наряду с детерминированной, и стохастическую составляющую временного ряда;

- в модели учитывается стохастическая неоднородность данных.

8. Теоретически обоснована методика построения линейных дискретных моделей временных рядов, на основе которой:

- разработан метод распознавания трендовых временных рядов и однофактор-ных регрессионных зависимостей;

- разработан метод построения линейных дискретных моделей временных рядов а условиях детерминированных и случайных помех;

- установлена взаимосвязь моделей нестационарных временных рядов с детерминированным и стохастическим трендом;

- разработан метод обнаружения полиномиальных трендов.

9. Получен комплекс новых линейных дискретных моделей для описания колебаний механических систем при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования. На его основе разработан ряд помехоустойчивых методов параметрической идентификации МС во временной и частотной областях, которые обладают достаточно высокими точностью и быстродействием, ориентированы на использование ЭВМ с ограниченной оперативной памятью.

10. Установлено, что сглаживание на основе ОМНМ-оценок имеет существенное преимущество перед традиционной медианной фильтрацией при анализе нестационарных резко изменяющихся процессов, а также при наличии случайных помех в виде выбросов по уровню или дисперсии. С целью упрощения реализации и повышения быстродействия робастного сглаживания процессов разработан метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов, предложен ряд способов и устройств, реализующих различные модификации данного метода.

11. Для предприятий угледобывающей отрасли разработаны:

- методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах, позволяющая проводить совместный анализ текущих и долговременных факторов работы угледобывающей техники;

- автоматизированная система анализа временных рядов, позволяющая проводить исследование процессов в угледобывающей промышленности;

- математическая модель зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала;

- математическая модель зависимости стоимости обслуживания экскаваторов на единицу результата относительно производительности оборудования;

- алгоритм расчета коэффициента профилактической работы на горнодобывающем предприятии.

12. Разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы реализованы в виде апробированных программ, использованных и апробированных на ряде предприятий и вузов. Программный комплекс, состоящий из десяти программ на ЭВМ, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ и включен в Информационно-библиотечный фонд РФ.

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1985. -488 с.

2. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

3. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание / А. Альберт. М.: Наука, 1977. - 223 с.

4. Амосов A.A. Вычислительные методы для инженеров / A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов / Т. Акдсрсон. М.: Мир, 1976.-757 с.

6. Андреева Л.И. Методология формирования внутрифирменного технического сервиса горно-транспортного оборудования на угледобывающем предприятии: Автореферат дисс. докт. техн. наук: 05.05.06; 08.00.28. Екатеринбург, 2004. - 48 с.

7. Анфилов B.C. Системный анализ в управлении: Учебное пособие /B.C. Ан-филов, A.A. Емельянов, A.A. Кукушкин. М.: Финансы и статистика, 2003. -368 с.

8. Афанасьев В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование / В.Н. Афанасьев, М.М. Юзбашев. М.: Финансы и статистика, 2001. - 228 с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Ко-бельников. М.: Наука, 1987. 445 с.

10. Беллман Р. Математические методы в медицине / Р. Беллман. М.: Мир, 1987.-200 с.

11. Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р. Белл-ман, С. Дрейфус. М.: Наука. Физматлит, 1965. - 460 с.

12. Беляев Б.К. Вероятностные методы выборочного контроля / Б.К. Беляев. -М.: Наука, 1975.-406 с.

13. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика, 2001. -368 с.

14. Бир С. Мозг фирмы / С. Бир. М.: Радио и связь, 1993. - 416 с.

15. Биргер H.A. Техническая диагностика/И.А. Биргер. -М.: Наука, 1978.-239 с.

16. Божко А.Е. Динамико-энергетические связи колебательных систем / А.Е. Божко, Н.М. Голуб. Киев: Наукова думка, 1980. - 188 с.

17. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. М.: Мир, 1974. - 408 с.

18. Болдин М.В. Знаковый статистический анализ линейных моделей / М.В. Болдин, Г.И.Симонова, Ю.Н.Тюрин. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

19. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций / В.В. Болотин. -М.: Машиностроение, 1984. 312 с.

20. Бояринцев В.И. Погрешности экспериментального определения вибрационных признаков технического состояния машин, связанные с конечным временем наблюдения / В.И. Бояринцев, В.И. Костин // Машиноведение. 1988. - № 4. - С. 116-120.

21. Бурков В.Н. Большие системы: моделирование организационных механизмов / В.Н. Бурков, Б. Данев, А.К. Еналеев и др. М.: Наука, 1989. - 245 с.

22. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. Преобразования и медианные фильтры/Под ред. Т.С. Хуанга. -М.: Радио и связь, 1984.-221 с.

23. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В.Н. Вапник. М.: Наука. Физматлит, 1979. - 448 с.

24. Васильев В.А. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей / В.А. Васильев, A.B. Доброви-дов, Г.М. Кошкин. М.: Наука, 2004. - 508 с.

25. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988. - 552 с.

26. Вибрационный контроль технического состояния газотурбинных газоперекачивающих агрегатов / Ю.Н. Васильев, М.Е. Бесклетный, Е.А. Игуменцев и др. М.: Недра, 1987. - 197 с.

27. Вибрация в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

28. Вибрация в технике: Справочник. Т. 5. Измерения и испытания / Под ред. М.Д. Генкина. М.: Машиностроение, 1981. 496 с.

29. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.Дж. Вильсон. М.: Наука. Физматлит, 1978. - 248 с.

30. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине / Н. Винер. М.: Наука 1983. - 343 с.

31. Винтер Б. Оптоэлектроника / Б. Винтер, Э. Розеншер. М.: Техносфера, 2004. - 592 с.

32. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. М.: Мир, 1989.-360 с.

33. Волкова В.Н. Основы теории систем и системного анализа: Учебник / В.Н. Волкова, A.A. Денисов. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 512 с.

34. Вучков И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, JI. Бо-яджиева, Е. Солаков. М.: Финансы и статистика, 1987. - 239 с.

35. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи / Э.М. Галеев. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 304 с.

36. Галкин В.А. Проектирование горных работ при формировании карьерного пространства зонами концентрации / В.А.Галкин, В.Н. Сидоренко, С.Е Гав-ришев. Магнитогорск: МГТУ, 1991. - 142 с.

37. Генкин М.Д. Виброакустическая диагностика машин и механизмов / М.Д. Генкин, А.Г. Соколова. М.: Машиностроение, 1987. - 288 с.

38. Гильбо Е.П. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора (мажоритарное и близкие к нему преобразования) / Е.П. Гильбо, И.Б. Челпанов. -М.: Советское радио, 1976. 344 с.

39. Гинсберг К.С. Системные закономерности и теория идентификации / К.С. Гинсберг // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 5. - С. 156-170.

40. Гитис Э.И. Аналого-цифровые преобразователи / Э.И. Гитис, Е.А. Пискулов. М.: Энергоиздат, 1981. - 360 с.

41. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / Под ред. Д.Л. Данилова, A.A. Жиглявского. СПб.: СПбГУ, 1997. - 308 с.

42. Глебов М.А. Диагностика турбогенераторов / И.А. Глебов, Я.Ь. Данилевич. -Л.: Наука, 1989.- 119 с.

43. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. М.: Наука. Физ-матлит, 1988.-447 с.

44. Годунов С.К. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука. Физматлит, 1973. - 400 с.

45. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир, 1999.-458 с.

46. Гольдин A.C. Вибрация роторных машин / A.C. Гольдин. М.: Машиностроение, 2000. - 344 с.

47. Гольдштейн Г.Я. О несистемности общей теории систем / Г.Я. Гольдштейн // Известия ТРТУ. 2004. - № 4(39). - С. 71-75.

48. Гольдштейн С.Л. Введение в системологию и системотехнику / С.Л. Гольдштейн, Т.Я. Ткаченко. Екатеринбург: ИРРО, 1994. - 198 с.

49. Грановский В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

50. Гренджер К. Спектральный анализ временных рядов в экономике / К. Гренджер, М. Хатанака. -М.: Статистика, 1972. -312 с.

51. Гроп Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. М.: Мир, 1979. - 302 с.

52. Губанов В.А. Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов / В.А. Губанов, А.К. Ковальджи // Экономика и математические методы. 2001. - Т. 37. - № 1. - С. 91-102.

53. Данфорд Н. Линейные операторы. Часть 1. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 896 с.

54. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия / Е.З. Демиденко. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

55. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Е-преобразования / Г. Деч. М.: Наука, 1971. - 288 с.

56. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М.Ф. Диментберг. М.: Наука, 1980. - 368 с.

57. Дмитриев Ю.С. А.С. 1243119, МКИ 4 Н 03 К 5/19. Способ преобразования последовательности прямоугольных импульсов напряжения и устройство для его осуществления / Ю.С. Дмитриев, А.Н. Тырсин. № 3661768/24-21; Заявл. 09.11.83; Опубл. 07.07.86, Бюл. № 25.

58. Дмитриев Ю.С. А.С. 1262400, МКИ 4 в 01 Я 19/06, 25/00. Способ фазочув-ствительного измерения напряжения / Ю.С. Дмитриев, А.Н. Тырсин. № 3707203/24-21; Заявл. 06.03.84; Опубл. 07.10.86, Бюл. № 37.

59. Добрынин С.А. Методы автоматизированного исследования вибрации машин: Справочник / С.А. Добрынин, М.С. Фельдман, Г.И. Фирсов. М.: Машиностроение, 1987. - 224 с.

60. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Проблемы системологии: Проблемы теории сложных систем / В.В. Дружинин, Д.С. Конторов. М.: Советское радио, 1976.-296 с.

61. Дэвис. Сравнение метода преобразования Фурье и параметрических методов идентификации конструкций / Дэвис, Хэммонд // Конструирование и технология машиностроения. 1984. - № 1. - С. 38-48.

62. Дэвис Дж. Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2 / Дж. Дэвис. -М.: Недра, 1990.-427 с.

63. Езекиэл М. Методы анализа корреляций и регрессий / М. Езекиэл, К. Фокс. -М.: Статистика, 1966. 559 с.

64. Жуковский В.И. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности / В.И. Жуковский, JI.B. Жуковская. М.: Едиториал УРСС, 2004.-272 с.

65. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний / Н.Г. Заго-руйко. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 270 с.

66. Заде JI. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / JI. Заде // Математика сегодня: Сб. переводных статей. -М., 1974.-С. 5-48.

67. Заездный A.M. Основы полипространственной теории измерения параметров сигналов и процессов (Обзор состояние и перспективы) / A.M. Заездный // Приборостроение. - 1976. - № 3. - С. 27-38.

68. Залманзон J1.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях / J1.A. Залманзон. М.: Наука, 1987. -487 с.

69. Зиновьев A.A. Основы логической теории научных знаний / A.A. Зиновьев. -Наука, 1967.-261 с.

70. Зотеев В.Е. Построение разностных уравнений для повышения точности параметрической идентификации колебательных систем со слабой нелинейностью общего вида / В.Е. Зотеев // Вестник СамГТУ Серия «Физико-математические науки» 2000. - № 9. - С. 169-174.

71. Иванов В.П. Колебания рабочих колес турбомашин / В.П. Иванов. М.: Машиностроение, 1983. - 224 с.

72. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. М.: Наука, 1978. - 208 с.

73. Карасев В.А. Вибрационная диагностика газотурбинных двигателей / В.А. Карасев, В.П. Максимов, М.К. Сидоренко. М.: Машиностроение, 1978. -132 с.

74. Карасев В.А. Доводка эксплуатируемых машин, ьибродиагностические методы / В.А. Карасев, А.Б. Ройтман. М.: Машиностроение, 1986.-192 с.

75. Кармалита В.А. Цифровая обработка случайных колебаний / В.А. Кармали-та. М.: Машиностроение, 1986. - 80 с.

76. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных /

77. B.Я. Катковник. М.: Наука, 1985. - 336 с.

78. Кашьяп P.JI. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / P.JI. Кашьяп, А.Р. Pao. М.: Наука, 1983. - 384 с.

79. Кей С.М. Современные методы спектрального анализа: Обзор / С.М. Кей,

80. C.Л. Марпл-мл. // ТИИЭР. 1981. - № 11. - С. 5-51.

81. Кендалл М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. М.: Наука. Физматлит, 1976. - 736 с.

82. Кендалл М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стьюарт. М.: Наука. Физматлит, 1973. - 900 с.

83. Клейнер Г.Б. Системное моделирование микроэкономических объектов / Г.Б. Клейнер // Системный анализ в экономике: Сб. науч. тр. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001.

84. Клейнер Г.Б. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения / Г.Б. Клейнер, С.А. Смоляк. М.: Наука, 2003. - 104 с.

85. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 832 с.

86. Кокс Д. Статистический анализ последовательностей событий / Д. Кокс, П. Льюис. М.: Мир, 1969. - 312 с.

87. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 400 с.

88. Коллакот P.A. Диагностирование механического оборудования / P.A. Колла-кот. Л.: Судостроение, 1980. - 296 с.

89. Колмогоров А.Н. Комбинаторные основания теории информации / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук. 1983. - Т. 38, № 4. - С. 27-36.

90. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. ¡vi.: Наука. Физматлит, 1976. - 544 с.

91. Конюхов Н.Е. A.C. 1200418 СССР, МКИ 4 H 03 M 1/14. Преобразователь перемещения в код / Н.Е. Конюхов, Ю.С. Дмитриев, В.М. Гречишников, А.Н. Тырсин. № 3741061/24; Заявл. 15.05.84; Опубл. 23.12.85, Бюл. № 47.

92. Коржик В.И. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник / В.И. Коржик, Л.М. Финк, К.Н. Щелкунов; Под ред. Л.М. Финка. М.: Радио и связь, 1981. - 231 с.

93. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука. Физматлит, 1974. 832 с.

94. Костин В.И. A.C. 1672481, МКИ 4 G 06 G 7/52. Устройство для определения энтропии / В.И. Костин, А.Н. Тырсин, В.И. Бояринцев. № 4662251/24; Заявл. 10.03.89; Опубл. 23.08.91, Бюл. № 31.

95. Костин В.И. A.C. № 1677551, МКИ 4 G 01 M 7/00. Устройство для измерения интенсивности узкополосного вибрационного процесса / В.И. Костин,

96. A.Н. Тырсин. № 4650917/28; Заявл. 13.02.89; Опубл. 15.09.91; Бюл. № 34.

97. Костин В.И. Об эквивалентности синусоидальной и узкополосной нагрузок /

98. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

99. Краснощеков П.С. Принципы построения моделей / П.С. Краснощекое, A.A. Петров. М.: Фазис, 2000. - 412 с.

100. Крянев A.B. Математические методы обработки неопределенных данных /

101. A.B. Крянев, Г.В. Лукин. М.: Физматлит, 2003. - 216 с.

102. Кулешов A.A. Надежность горных машин и оборудования / A.A. Кулешов,

103. B.П. Докукин. СПб.: СПГГИ, 2004. - 104 с.

104. Лабунский Л.В. Развитие компетенций персонала горнодобывающего предприятия / Л.В. Лабунский. Екатеринбург: Издательство УрО РАН, 2003. -230 с.

105. Латышев О.Г. К обоснованию методики определения характеристик дроби-мости горных пород ударом и взрывом / О.Г. Латышев, A.C. Жилкин, И.С. Осипов // Известия вузов. Горный журнал. 2005. - № 1. — С. 102-106.

106. Лбов Г.С. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений / Г.С. Лбов, Н.Г. Старцева. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 212 с.

107. Левин Б.Р. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления / Б.Р. Левин, В. Шварц. М: Радио и связь, 1985. - 312 с.

108. Леман Э. Теория точечного оценивания / Э. Леман. М: Наука. Физматлит, 1991.-448 с.

109. Лимер Э. Статистический анализ неэкспериментальных данных / Лимер Э. -М.: Финансы и статистика, 1983. 381 с.

110. Литтл Р.Дж. Статистический анализ данных с пропусками / Р.Дж. Литтл, Д.Б. Рубин. М.: Финансы и статистика, 1990. - 336 с.

111. Лобко В.П. Совершенствование профилактической работы как одно из эффективных направлений снижения травматизма на горнодобывающих предприятиях / В.П. Лобко, А.И. Гусев, А.Н. Тырсин // Известия вузов. Горный журнал. 2006. - № 5. - С. 37^13.

112. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. М.: Мир, 1975.- 496 с.

113. Лоусон Ч. Численное решение задач МНК / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. М.: Наука. Физматлит, 1986. - 232 с.

114. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов / Ю.П. Лукашин. -М.: Финансы и статистика, 2003.-416 с.

115. Лукашин Ю.П. Линейная регрессия с переменными параметрами / Ю.П. Лукашин. М.: Финансы и статистика, 1992. - 256 с.

116. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. М.: Наука, Физматлит, 1991. - 432 с.

117. Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, A.A. Пересецкий. М.: Дело, 2004. - 576 с.

118. Максимов В.П. Измерение, обработка и анализ быстропеременных процессов в машинах / В.П. Максимов, И.В. Егоров, В.А. Карасев. М.: Машиностроение, 1987. - 208 с.

119. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов, A.B. Подлазов. М.: КомКнина, 2006.-280 с.

120. Маркел Дж.Г. Линейное предсказание речи / Дж.Г. Маркел, А.Х. Грей. М.: Связь, 1980.-308 с.

121. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл-мл. М.: Мир, 1990. - 584 с.

122. Материалы 10-го Международного форума «Технологии безопасности» // Безопасность труда в промышленности. 2005. - № 3. - С. 2-11.

123. Мешалкин Л.Д. Новый подход к параметризации регрессионных зависимостей / Л.Д. Мешалкин, А.И. Курочкина // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. - Т. 87. - С. 79-86.

124. Методика оценки технического состояния горного оборудования на горнодобывающих предприятиях // НТЦ-НИИОГР. -Челябинск, 2002.-27 с.

125. Могилат В.Л. Математическое моделирование зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях / В.Л. Могилат, А.Н. Тырсин // Известия вузов. Горный журнал. 2006. - № 2. - С. 77-81.

126. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа / H.H. Моисеев. -М.: Наука, 1981.-487 с.

127. Моисеев H.H. Человек. Среда. Общество / H.H. Моисеев. М.: Наука, 1982. - 240 с.

128. Мостеллер Ф. Анализ данных и регрессия / Ф. Мостеллер, Дж. Тьюки. Вып. 1,2.- М.: Финансы и статистика, 1982. 317 е.; 239 с.

129. Мудров В.И. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

130. Найман Э.-Л. Малая энциклопедия трейдера / Э.-Л. Найман. Киев: ВИРА-Р, Альфа Капитал, 1999. - 236 с.

131. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества / B.B. Налимов. M.: Физматгиз, 1960. - 430 с.

132. Налимов В.В. Теория эксперимента / В.В. Налимов. М.: Наука. Физматлит. -1971.-208 с.

133. Неволина Е.М. Снижение травматизма на горнодобывающем предприятии на основе развития компетентности персонала: Автореферат дисс. канд. техн. наук: 05.26.01. Челябинск, 2004. - 18 с.

134. Непараметрические модели коллективного типа / A.B. Лапко, В.А. Лапко, М.И. Соколов, C.B. Ченцов. Новосибирск: Наука, 2000. - 144 с.

135. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов / И.В. Никифоров. М.: Наука, 1983. - 200 с.

136. Николай Николаевич Яненко. Очерки. Статьи. Воспоминания / Сост. H.H. Бородина. Новосибирск: Наука, 1988. - 303 с.

137. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств / П.В. Новицкий. Л.: Энергия, 1968. - 248 с.

138. Новоселов О.Ф. Формирующие динамические системы с дискретным временем / О.Ф. Новоселов // Измерительная техника. 2004. - № 12. - С. 3-8.

139. Носко В.П. Эконометрика (введение в регрессионный анализ временных рядов) . http ://www. iet.ru/mipt/2/text.htm.

140. Орлов А.И. Современная прикладная статистика / А.И. Орлов // Заводская лаборатория. 1998. - Т. 64, № 3. - С. 52-60.

141. Орлов А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / А.И. Орлов // Заводская лаборатория. 1991. - Т. 57, № 7. - С. 64-66.

142. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Под ред. М. Бассвиль, А. Банвениста. М.: Мир, 1989. - 278 с.

143. Обработка сигналов в радиотехнических системах ближней навигации / Г.А. Пахолков, Т.Е. Збрицкая, Ю.Т. Криворучко и др. -М.: Радио и связь, 1992. -256 с.

144. Панкратов С.А. Динамика машин для открытых горных и земляных работ / С.А. Панкратов. М.: Машиностроение, 1967. - 448 с.

145. Панюков A.B. Устойчивый алгоритм параметрической идентификации уравнений по эмпирическим данным // Научные школы и результаты в российской статистике: Матер. Междунар. науч.-практ. конф. СПб., 2006. - С. 164-165.

146. Панюков A.B. Сложность нахождения гарантированной оценки решения приближенно заданной системы линейных алгебраических уравнений / A.B. Панюков, М.И. Германенко // Известия Челябинского научного центра УрО РАН, 2000. В.4(9). С. 11-15.

147. Перегудов Ф.И. Введение в системный анализ / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тара-сенко. М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

148. Петрович M.JI. Робастная регрессия: оценки и сравнение методов Монте-Карло (Обобщающая статья) / M.JI. Петрович, Г.К. Шлег // Заводская лаборатория. 1987. -№ 3. - С. 41-48.

149. Письменный И.JI. Многочастотные нелинейные колебания в газотурбинном двигателе / И.Л. Письменный. М.: Машиностроение, 1987. - 128 с.

150. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М. Наука. 2002. 303 с.

151. Попков Ю.С. Теория макросистем (равновесные модели) / Ю.С. Попков, Э.Л. Мышинский, О.И. Попков. -М.: УРСС, 1999.- 320 с.

152. Прангишвили И.В. Системные законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе / И.В. Прангишвили, Ф.Ф. Пащенко, Б.П. Бусыгин. -М.: Наука, 2001.-525 с.

153. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. -М.: Мир, 1993.-368 с.

154. Прохоров Ю.Н. Статистические модели и рекуррентное предсказание речевых сигналов / Ю.Н. Прохоров. М.: Радио и связь, 1984. - 240 с.

155. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика / Т. Пу. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 198 с.

156. Рагульскис K.M. Динамический синтез машин полунатурным моделированием / K.M. Рагульскис, И.Ю. Скучас. Вильнюс: Мокслас, 1985. - 162 с.

157. Разработка комплекса методов и программ определения динамических характеристик механических систем / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин, А.Ю. Бучин и др. // Отчет по НИР № ГР 01900044624, инв. № отчета во ВНТИЦ 02900036222. Куйбышев, КПтИ, 1990. 22 с.

158. Райбман Н.С. Что такое идентификация / Н.С. Райбман. М.: Наука, 1970. -120 с.

159. Расчеты и испытания на прочность. Оценка значений параметров вибрации механических систем // Методические рекомендации МР 222-87. М.: ВНИИНМАШ, 1987. - 57 с.

160. Редько С.Ф. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров / С.Ф. Редько, В.Ф. Ушкалов, В.П. Яковлев. Киев: Наукова думка, 1985. - 216 с.

161. Репецкий О.В. Компьютерный анализ динамики и прочности турбомашин / O.B. Репецкий. Иркутск: ИрГТУ, 1999. - 301 с.

162. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния / Ф. Хампель, Э. Рончетти, П. Рауссеу, В. Штаэль М.: Мир, 1989. - 512 с.

163. Робастные методы статистического анализа навигационной информации: Обзор / Авторы-сост. Н.В. Бабкин, A.A. Мусаев, А.В Макшанов; Под ред. И.Б. Челпанова. Л.: ЦНИИ «Румб», 1985. - 206 с.

164. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. - 471 с.

165. Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Наука. Физматлит, 2001. - 320 с.

166. Самарский A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. М.: Наука, 1989.-616 с.

167. Самойлович Г.С. Случайные колебания механических систем / Г.С. Самой-лович. М.: Машиностроение, 1975. - 228 с.

168. Саветлицкий В.А. Возбуждение колебаний лопаток турбомашин / В.А. Са-ветлицкий. -М.: Машиностроение, 1991. 320 с.

169. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер. М.: Мир, 1980. -456 с.

170. Семенычев В.К. A.C. 1415103, МКИ 4 G 01 М 7/00. Способ определения характеристик рассеяния энергии при колебаниях линейной механической системы / В.К. Семенычев. № 4158100/25-28; Заявл. 08.12.86; Опубл. 07.08.88, Бюл. № 29.

171. Семенычев В.К. A.C. 1566299, МКИ 4 G 01 R 25/00. Способ определения фазового сдвига синусоидальных сигналов / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин. № 4408778/24-21; Заявл. 11.04.88; Опубл. 23.05.90, Бюл. № 19.

172. Семенычев В.К. A.C. 1647325. МКИ 4 G 01 М 7/00. Способ опоелеления ха1. Л ' •рактеристик рассеяния энергии при колебаниях линейной механической системы / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин. № 4675860/25-28; Заявл. 11.04.89; Опубл. 01.05.91, Бюл. № 17.

173. Семенычев В.К. A.C. 1670464, МКИ 4 G 01 М 7/00. Способ определения динамических характеристик линейной механической системы / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин. № 4663891/28; Заявл. 21.03.89; Опубл. 15.08.91, Бюл. № 30.

174. Семенычев В.К. A.C. 1755060, МКИ 4 G 01 Н 17/00. Способ определения параметров амплитудно-модулированных колебаний механической системы / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин. № 4799311/28; Заявл. 05.03.90; Опубл. 15.08.92, Бюл. №30.

175. Семенычев В.К. Нелинейная фильтрация данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов / В.К. Семенычев, А.Н.

176. Тырсин // Радиоизмерения-91 (методы повышения точности): Тез. докл. Всесоюзн. науч.-техн. конф. Севастополь, 1991. - С. 22.

177. Семенычев В.К. Математическое обеспечение эксперимента в динамике турбомашин / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин // Автоматизированные информационные системы: Сб. науч. тр. Самара: СПтИ, 1992. - С. 30-36.

178. Семенычев В.К. Определение параметров испытательных гармонических сигналов на основе разностных схем / В.К. Семенычев, А.Н. Тырсин // Автометрия. 1991. - № 3. - С. 95-98.

179. Семенычев В.К. Получение вибродиагностических признаков сигналов наоснове АРСС-моделей / B.K. Семенычев, А.Н. Тырсин // Волновые и вибрационные процессы в машиностроении: Тез. докл. Всесоюз. конф. Ч. 2. -Горький, 1989.-С. 70.

180. Семенычев В.К. Эконометрическое моделирование и прогнозирование рядов динамики на основе параметрических моделей авторегрессии: Автореферат дисс. докт. экон. наук: 08.00.13. Москва, 2005. - 37 с.

181. Сидоренко М.К. Виброметрия газотурбинных двигателей / М.К. Сидоренко. М.: Машиностроение, 1973. - 224 с.

182. Сильвестров Д.С. Программное обеспечение прикладной статистики / Д.С. Сильвестров. М.: Финансы и статистика, 1988. - 240 с.

183. Смоляк С.А. Устойчивые методы оценивания / С.А. Смоляк, Б.П. Титарен-ко. М.: Статистика, 1980. - 208 с.

184. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. М.: Наука, 1973.-311 с.

185. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Ко-ролюк, Н.И. Портенко, A.B. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука. Физматлит, 1985.-640 с.

186. Сейдж Э.П. Идентификация систем управления / Э.П. Сейдж, Дж.Л. Меле. -М.: Наука, 1974.-246 с.

187. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика / Ф.П. Тарасенко. Томск: Изд-во Томского университета, 1976. - 292 с.

188. Теория систем и системный анализ: Учебное пособие / Автор-сост. А.Н. Тырсин Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2001. - 128 с.

189. Технология системного моделирования / Под общ. ред. C.B. Емельянова, В.В. Калашникова, М. Франка. М.: Машиностроение, 1988. - 520 с.

190. Тимашев С.А. Надежность больших механических систем / С.А. Тимашев. -М.: Наука, 1982.-184 с.

191. Тихомиров Н.П. Эконометрика: Учебник / 11.11. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. М.: Экзамен, 2003. - 512 с.

192. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука. Физматлит, 1979. - 285 с.

193. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука. Физматлит, 1980.-496 с.

194. Ту Дж. Принципы распознавания образов / Дж. Ту, Р. Гонсалес. М.: Мир, 1978.-411 с.

195. Тырсин А.Н. Алгоритм и программа вычисления коэффициентов авторегрессии на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин

196. Государственный координационный центр информационных технологий.- 2005. № ОФАП (инвентарный номер Отраслевого фонда алгоритмов и программ) 5164; № госрегистрации (инвентарный номер ВНТИЦ) 50200501323.

197. Тырсин А.Н. A.C. 1624673, МКИ 4 Н 03 К 5/153. Устройство для преобразования последовательности импульсов / А.Н. Тырсин, В.К. Семенычев, Ю.С. Дмитриев. № 4454132/21; Заявл. 01.07.88; Опубл. 30.01.91, Бюл. № 4.

198. Тырсин А.Н. A.C. 1721810, МКИ 4 Н 03 К 5/19. Устройство для преобразования бинарных сигналов / А.Н. Тырсин, В.К. Семенычев, Ю.С. Дмитриев, А.Н. Мозгунов. № 4812072/21; Заявл. 14.02.90; Опубл. 23.03.92, Бюл.№ 11.

199. Тырсин А.Н. Взаимосвязь моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами / А.Н. Тырсин // Моделирование неравновесных систем: Матер. VIII Всеросс. семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. -С. 194-195.

200. Тырсин А.Н. Взаимосвязь моделей временных рядов экономических процессов / А.Н. Тырсин // Организация и управление производительностью производственных систем: Матер, междунар. науч.-практ. конф. Новочеркасск: ЮРГТУ (Н1Ш). 2002. - С. 68-71.

201. Тырсин А.Н. Взаимосвязь экстраполяционных и авторегрессионных моделей временных рядов / А.Н. Тырсин // Информационные технологии в экономике: теория, модели, методы: Сб. науч. тр. Екатеринбург: УрГЭУ, 2005.-С. 84-88.

202. Тырсин А.Н. Дефектоскопия механических систем по отклику на гармоническое воздействие на основе моделей авторегрессии / А.Н. Тырсин // Дефектоскопия. 2005. - № 2. - С. 72-78.

203. Тырсин А.Н. Задача устойчивой параметрической идентификации моделей неравновесных систем / А.Н. Тырсин // Моделирование неравновесных систем: Матер. IX Всеросс. семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 178-179.

204. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии / А.Н. Тырсин // Автометрия. 2005. - Т. 41, № 1. - С. 43-49.

205. Тырсин А.Н. Идентификация нестационарных экономических процессов наоснове дискретно-совпадающих моделей авторегрессии / А.Н. Тырсин // Известия Уральского государственного экономического университета. 2004. -№ 9.-С. 44-51.

206. Тырсин А.Н. Идентификация нестационарных экономических процессов на основе моделей авторегрессии / А.Н. Тырсин // Экономика и социум на рубеже веков: Матер. IV науч.-практ. межвуз. конф. Челябинск, 2004. - С. 178-180.

207. Тырсин А.Н. Идентификация функциональной зависимости временного ряда по его модели авторегрессии / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11, В. 4. - С. 939-940.

208. Тырсин А.Н. Использование безразмерных моментных дискриминантов вг? 'оИир0Нр04п0с1пЫл иССлсдОвапИЯХ при с i спдииыл иены 1 амии а |^риимашш1 /

209. А.Н. Тырсин, В.К. Семенычев, В.В. Малыгин // Автоматизация испытаний объектов машиностроения: Тез. докл. науч.-практич. семинара. Челябинск, 1990.-С. 34-35.

210. Тырсин А.Н. Использование линейных дискретных моделей в техническом анализе товарных и финансовых рынков / А.Н. Тырсин // Экономика и социум на рубеже веков: Матер. III межвуз. науч. конф. Ч. 1. Экономика. Челябинск, 2003. - С. 224-226.

211. Тырсин А.Н. Использование медианной фильтрации в вибродиагностике газотурбинных двигателей / А.Н. Тырсин // Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов: Сб. науч. тр. Куйбышев: КуАИ, 1988. - С. 73-79.

212. Тырсин А.Н. К вопросу об идентификации характера тренда временного ряда / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т. 11, В. 2. - С. 260-261.

213. Тырсин А.Н. Линейные дискретные модели в эконометрическом анализе / А.Н. Тырсин // Хозяйствующий субъект: новое экономическое состояние и развитие: Матер, междунар. науч.-практ. конф. Ч. II. Ярославль: Концерн «Подати», 2003. - С. 19-21.

214. Тырсин А.Н. Методика количественной оценки эффективности управления социально-экономическим развитием города / А.Н. Тырсин // Вестник ЮУрГУ. Серия Экономика. 2005. - В. 5, № 12(59). - С. 192-195.

215. Тырсин А.Н. Метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов / А.Н. Тырсин, Ю.С. Дмитриев, В.К. Семенычев // Автометрия. 1992. - № 4. - С. 105-110.

216. Тырсин А.Н. Метод обнаружения полиномиального тренда временного ряда / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005. Т. 12, В. 2. - С. 533-534.

217. Тырсин А.Н. Методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах / А.Н. Тырсин, В.Н. Лапаев, М.С. Подгорный // Известия вузов. Горный журнал. 2005. - № 1. - С. 8-12.

218. Тырсин А.Н. Модель авторегрессии как отображение функциональной зависимости временного ряда / А.Н. Тырсин // Системы управления и информационные технологии. 2005. - № 1(18). - С. 27-29.

219. Тырсин А.Н. О взаимосвязи стохастической и мультипликативной моделей линейных трендов временных рядов / А.Н. Тырсин /7 Моделирование неравновесных систем: Матер. VII Всеросс. семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2004.-С. 166-167.

220. Тырсин А.Н. О взаимосвязи экстраполяционных и авторегрессионных моделей временных рядов в задачах идентификации систем / А.Н. Тырсин // Современные сложные системы управления (HTCS' 2004): Матер. IV Между-нар. конф. Тверь: ТГТУ, 2004. - С. 461-463.

221. Тырсин А.Н. О построении нелинейных регрессионных зависимостей при изучении эволюции открытых систем / А.Н. Тырсин // Журнал проблем эволюции открытых систем. 2004. - В. 6, Т. 2. - С. 78-83.

222. Тырсин А.Н. О построении экстраполяционных динамических моделей процессов и зависимостей / А.Н. Тырсин // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всеросс. науч. конф. Ч. 2. Самара: СГТУ, 2004. - С. 254-257.

223. Тырсин А.Н. Об одном подходе устойчивого построения регрессионных моделей / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005.- 1. 12, В. 1. —С. 191—192.

224. Тырсин А.Н. Об одном способе устойчивого оценивания математического ожидания / А.Н. Тырсин, Д.С. Воронина // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, В. 2. - С. 261-262.

225. Тырсин А.Н. Об эквивалентности знакового и наименьших модулей методов построения линейных моделей / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, В. 4. - С. 879-880.

226. Тырсин А.Н. Обнаружение особых нерасчетных режимов работы турбомашин / А.Н. Тырсин // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: Матер. III Междунар. науч.-практ. конф. Ч. 3. Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2002. - С. 22-26.

227. Тырсин А.Н. Обнаружение присутствия во временном ряде полиномиального тренда / А.Н. Тырсин // Моделирование. Теория, методы и средства: Матер. Междунар. научно-практ. конф. Ч. 5. Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2005. - С. 25-26.

228. Тырсин А.Н. Обобщенный метод наименьших модулей новый подход для устойчивого построения линейных регрессионных зависимостей / А.Н. Тырсин // Некоторые задачи динамики и управления: Сб. науч. тр. - Челябинск: ЧелГУ, 2005. - С. 84-93.

229. Тырсин А.Н. Определение динамических характеристик механических систем при наличии аддитивного широкополосного шума / А.Н. Тырсин // Надежность и неупругое деформирование конструкций: Сб. науч. тр. Куйбышев: КПтИ, 1990.-С. 147-151.

230. Тырсин А.Н. Определение динамических характеристик элементов газотурбинных двигателей по спектру вибросигнала / А.Н. Тырсин // Известия вузов. Авиационная техника. 2005. - № 3. - С. 78-80.

231. Тырсин yj MaicMaiHicCKOM моделировании сложных систем в задачах диагностики / А.Н. Тырсин // Математика. Информационные технологии. Образование. 4.1: Сб. науч. тр. Оренбург: ОГУ, 2006. - С. 103-106.

232. Тырсин А.Н. Определение колебаний лопаток турбомашин на основе линейных дискретных моделей / А.Н. Тырсин // Конструкционная прочность двигателей: Тез. докл. XII Всесоюз. науч.-техн. конф. Куйбышев, 1990. -С. 150-151.

233. Тырсин А.Н. Особенности применения медианной фильтрации в отдельных разрядах цифровых датчиков / А.Н. Тырсин, А.З. Крейн // Оптоэлектронные и электромагнитные датчики механических величин: Сб. науч. тр. Куйбышев: КуАИ, 1988. - С. 86-91.

234. Тырсин А.Н. Построение авторегрессионных моделей процессов в условиях аддитивного белого шума / А.Н. Тырсин // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. II Всеросс. науч. конф. Ч. 2. Самара: СГТУ, 2005. -С. 248-251.

235. Тырсин А.Н. Построение авторегрессионных моделей в условиях статистической неоднородности данных / А.Н. Тырсин // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. III Всеросс. науч. конф. Ч. 2. Самара: СГТУ, 2006.-С. 160-164.

236. Тырсин А.К. Построение дискретно-совпадающих моделей временных рядов при наличии аддитивного белого шума / А.Н. Тырсин // Системы управления и информационные технологии. 2005. - № 4(21). - С. 24 - 29.

237. Тырсин А.Н. Построение моделей авторегрессии временных рядов при наличии помех / А.Н. Тырсин // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17, №5.-С. 10-16.

238. Тырсин А.Н. Построение трендовых моделей экономических процессов / А.Н. Тырсин // Проблемы позиционирования российских регионов в мировом экономическом пространстве: Сб. науч. статей Междунар. практ. семи-нара-конф. Киров: ВСЭИ, 2002. - С. 490-493.

239. Тырсин А.Н. Представление стохастического линейного тренда экстраполя-ционной моделью / А.Н. Тырсин, Н.Ю. Романова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, В. 4. - С. 941.

240. Тырсин А.Н. Разработка автоматизированной системы анализа работы горнодобывающих участков / А.Н. Тырсин, В.Н. Лапаев, И.С. Масленникова //

241. Государственный координационный центр информационных технологий. -2004. № ОФАП (инвентарный номер Отраслевого фонда алгоритмов и программ) 3952; № госрегистрации (инвентарный номер ВНТИЦ) 50200401230.

242. Тырсин А.Н. Робастное построение авторегрессионных моделей временных рядов с пропусками / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. — Т. 12, В. 4. - С. i í0S—í iu9.

243. Тырсин А.Н. Робастное построение линейных регрессионных моделей по экспериментальным данным / А.Н. Тырсин // Заводская лаборатория. 2005. - Т. 71, № 11.-С. 53-57.

244. Тырсин А.Н. Робастный метод построения зависимостей по экспериментальным данным / А.Н. Тырсин // Забабахинские научные чтения: Тез. докл. VIII Междунар. конф. Снежинск, 2005. - С. 194-195.

245. Тырсин А.Н. Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин // Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. - Т. 328. - С. 236-250.

246. Тырсин А.Н. Робастное сглаживание временных рядов на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13, В. 3. - С. 551-552.

247. Тырсин А.Н. Робастный метод построения линейных регрессионных моделей / А.Н. Тырсин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер. Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВГУ, 2005.-С. 232-233.

248. Тырсин А.Н. Способ подавления помех на основе поразрядного мажоритарного преобразования / Тырсин А.Н., Семенычев В.К. // Теория и практикапроектирования микропроцессорных систем: Сб. науч. тр. Куйбышев. КПтИ, 1989.-С. 54-57.

249. Тырсин А.Н. Статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии скользящего среднего / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, В. 4. - С. 1109-1110.

250. Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / А.Н. Тырсин. Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2004. - 204 с.

251. Тырсин А.Н. Устойчивая аппроксимация нелинейных зависимостей / А.Н. Тырсин // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVI». -Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 154.

252. Тырсин А.Н. Устойчивый метод построения линейных регрессионных моделей при несимметричном распределении выбросов / А.Н. Тырсин, Д.С. Воронина // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. -Т. 11, В. 4.-С. 940-941.

253. Тырсин А.Н. Функционалы влияния оценок обобщенных наименьших модулей коэффициентов авторегрессионных моделей / А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, В. 4. - 880-881.

254. Тюхтин B.C. Отражения, системы, кибернетика / B.C. Тюхтин. М.: Наука, 1972.-256 с.

255. Устойчивые статистические методы оценки данных / Под ред. P.JI. Лорнера,

256. Г.Н. Уилкинсона. M.: Машиностроение, 1984. -232 с.

257. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

258. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика) / Дж. Форрестер. М.: Прогресс, 1971. - 340 с.

259. Флейшман Б.С. Основы системологии / Б.С. Флейшман. М.: Радио и связь, 1982.-368 с.

260. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация / В.Н. Фомин. М.: Наука, 1984. - 288 с.

261. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир., 1980. - 280 с.

262. Фролов К.В. Методы совершенствования машин и современные проблемы машиностроения / К.В. Фролов. М.: Машиностроение, 1984. - 223 с.

263. Харкевич A.A. Борьба с помехами / A.A. Харкевич. М.: Наука. Физматлит, 1963.-276 с.

264. Харкевич A.A. Линейные и нелинейные системы / A.A. Харкевич. М.: Наука, 1973. - 566 с.

265. Хеннан Э. Многомерные временные ряды / Э. Хеннан. М.: Мир, 1974. -576 с.

266. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах / Т. Хеттманспергер. М.: Финансы и статистика, 1987. - 334 с.

267. Холлендер М. Непараметрические методы статистики / М. Холлендер, М. Вульф. М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с.

268. Хорн Р. Матричный анализ / Р.Хорн, Ч.Джонсон. М.: Мир, 1989. - 655 с.

269. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов / Д.В. Хронин. -М.: Машиностроение, 1970. -412 с.

270. Хьюбер П. Робастность в статистике / П.Хьюбер. М.: Мир, 1984. - 304 с.

271. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации / Я.З. Цып-кин. М.: Наука, 1984. - 198 с.

272. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин. М.:1. Физматгиз, 1963. 968 с.

273. Ченцов А.Г. Элементы теории статистических решений (байесовы и минимаксные решения). Учебное пособие / А.Г. Ченцов. Екатеринбург.: УГТУ-УПИ, 2005.-30 с.

274. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой / Ю.И. Черняк. -М: Экономика, 1975. 191 с.

275. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике / Е.П. Чураков. М.: Финансы и статистика, 2004. - 240 с.

276. Чучупал В.Я. Цифровая фильтрация зашумленных речевых сигналов / В.Я. Чучупал, A.B. Чичагов, К.А. Маковкин. М.: ВЦ РАН, 1998 - 51 с.

277. Шарковский А.Н. Разностные уравнения и их приложения / А.Н. Шарков-ский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко. Киев: Наукова думка, 1986. -280 с.

278. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

279. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ / А.Н. Ширяев. -М.: Наука, 1969.-231 с.

280. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели; Т. 2. Теория / А.Н. Ширяев. М.: Фазис, 1998. - 489 е.; 525 с.

281. Шурыгин A.M. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз / A.M. Шурыгин. М.: Финансы и статистика, 2000. - 224 с.

282. ЭйкхосЬсЬ П. Основы идентификации систем управления ! П. Эйкхофф. М.:1. XX ' ' Л. 1 J Г X X1. Мир, 1975.-685 с.

283. Эконометрия / В.И. Суслов, Н.М. Ибрагимов, Л.П. Талышева, A.A. Цыпла-ков Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005. - 744 с.

284. Эрлих A.A. Технический анализ товарных и финансовых рынков / A.A. Эр-лих. М.: ИНФРА-М, 1996. - 176 с.

285. Явленский К.Н. Вибродиагностика и прогнозирование качества механических систем / К.Н. Явленский, А.К. Явленский. Л.: Машиностроение, 1983. - 239 с.

286. Яненко Н.Н. Методологические проблемы математической физики / Н.Н. Яненко, Н.Г. Преображенский, О.С. Разумовский. Новосибирск: Наука, 1986.-296 с.

287. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику / Л.П. Ярославский. М.: Радио и связь, 1987. - 296 с.

288. Andrews D.F. A robust method for multiple linear regression / D.F. Andrews // Technometrics. 1974. - V. 16, № 4. - PP. 523-531.

289. Bates D.M. Nonlinear Regression Analisys its Applications / D.M. Bates. John Wiley & Sons, Inc., 1988. - 371 p.

290. Brown R.G. Smoothing Forecasting and Prediction of Discrete Time Series / R.G. Brown.-N.Y., 1963.

291. Cempel C. Diagnostically oriented measures of vibroacoustical processes / C. Cempel // Journal of Sound and Vibration. 1980. - V. 73, № 4. - PP. 547-561.

292. Danielsson P.-E. Getting the Median faster / P.-E. Danielsson // Computer Graphics and Image Processing. 1981. - V. 17, № 1. - PP. 71-78.

293. Dickey D.A. Distribution of the estimators for autoregressive time-series with a unit root / D.A. Dickey, W.A. Fuller // Journal of the American Statistical Association. 1979. - V. 74. - PP. 427^131.

294. Dickey D.A. Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root / D.A. Dickey, W.A. Fuller // Econometrica. 1981. - V. 49, № 4. - PP. 1057-1072.

295. Developments in Robust Statistics / R. Dutter, P. Filzmoser, U. Gather, and P.J. Rousseeuw. Heidelberg and New York, Physica Verlag, 2003. - 431 p.

296. Efroimovich S.Yu. Nonparametric Curve Estimation. Methods, Theory and Application / S.Yu. Efroimovich. Springer-Verlag, 1999.

297. Forsyth A.B. A strong rule for variable selection in multiple regression / A.B. Forsyth, L. Engelman, R. Gennrich, F.R.A. May // Journal of the American Statistical Association. 1973. - V. 68, № 341. - PP. 74-77.

298. Granger C.W. Time series modeling and interpretation / C.W. Granger, M.J. Morris // Journal of the Royal Statistical Society. 1976. - Ser. A. - Vol. 139. - P. 2.

299. Greene W.H. Econometric Analysis / W.H. Greene. Prentice-Hall International, 2000.- 1026 p.

300. Hamilton J.D. Time Series Analysis / J.D. Hamilton. Princeton University Press, 1994.-799 p.

301. Hampel F.R. The influence curve and its role in robust estimation / F.R. Hampel // Journal of the American Statistical Association. 1974. - V. 69. - PP. 383-393.

302. Heinonen P. FIR-median hybrid filters / P. Heinonen, Y. Neuvo // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1987. - V. 35, № 6. - PP. 832-838.

303. Hipel K.W. Time Series Modeling of Water Resources and Environmental Systems / K.W. Hipel, A.I. McLeod. Amsterdam: Elsevier, 1994. 1013 p.

304. Huber P.J. Robust smoothing // Robustness in statistics; Ed. R.L. Launer. N.Y.: Acad. Press, 1979. - PP. 33-47.

305. Jureckova J. Nonparametric estimates of regression coefficients / J. Jureckova // Annals of Mathematical Statistics. 1971. - V. 42, № 4. - PP. 1328-1338.

306. Kimeldorf G.S. A correspondence between bauesian estimation and smoothing by splines / G.S. Kimeldorf, C.A. Wahba // Annals of Mathematical Statistics. -1970. V. 41. - PP. 495-502.

307. Lamperti J. Stohastic Processes: A Survey of the Mathematical Theory / J. Lamperti. -N.Y.: Springer-Verlag, 1977. 520 p.

308. Lehmann E.I. Nonparametrics Statistical Methods Based on Franks / E.I. Lehmann. San Francisco: Holden-Day, 1975. - 628 p.

309. Lenth R.V. Robust splines / R.V. Lenth // Communications in Statistics. 1977. -A6.-V. 9.-PP. 847-854.

310. Lok P. The application of a diagnostic model and surveys in organizational development / P. Lok, J. Crowford // Journal of Managerial Psychology. 2000. - V. 15, №2.-PP. 108-125.

311. Malliaris A.G. Stochastic Methods in Economics and Finance / A.G. Malliaris, W.A. Brock. ELSEVIER SCIENCE B.V., 1999. - 317 p.

312. Mallows C.L. Resistant smoothing / C.L. Mallows // Time Series; Ed. O.D. Anderson. Amsterdam-N.Y.-Oxford. - 1980.

313. Martin R.D. Influence functional for time series / R.D. Martin, V.J. Yohai // Annals of Statistics. 1986. -V. 14, № 4. - PP. 781-818.

314. Mobley R. Vibrations Fundamentals / R. Mobley. Newnes, 1999. - 295 p.

315. Nelson C.P. Trends and random walks in macroeconomic time series: some evidence and implications / C.P. Nelson, C.I. Plosser // Journal of Monetary Economics. 1982. -V. 10. - PP. 139-162.

316. Pandit S.M. Time Series and System Analysis with Applications / S.M. Pandit, S.M. Wu. John Wiley & Sons, Inc., 1983. - 586 p.

317. Phillips P.C.B. Time series regression with a unit root / P.C.B. Phillips // Econometrics 1987. -V. 55. - PP. 277-301.

318. Pollock D. A Handbook of Time-Series Analysis, Signal Processing and Dynamics / D. Pollock. London: Academic Press, 1999. - 782 p.

319. Rabiner L.R. Application of a nonlinear smoothing algorithm to speech processing / L.R. Rabiner, M.R. Sambur, C.E. Schmidt // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1975. - V. 23, № 6. - PP. 552-557.

320. Ramsay J.O. A comparative study of several robust estimates of slope, intersept and scale in linear regression / J.O. Ramsay // Journal of the American Statistical Association. 1977. - V. 72, № 3. - PP. 608-615.

321. Raveh A. Least politone analysis (LPA): a nonmetric technique for analyzing time series data / A. Raveh // Time Series; Ed. O.D. Anderson. Amsterdam - N.Y. -Oxford, 1980. - PP. 335-356.

322. Rey W.J.Jr. Robust Statistical Methods / W.J.Jr. Rey. Lecture Notes in Mathematics. - 1978. - № 690. - 128 p.

323. Scollar I. Image enhancement using the median and the interquartille distance /1. Scollar, B. Weidner, T.S. Huang // Computer Vision, Graphics and Image Processing. 1984. - V. 25, № 2. - PP. 236-251.

324. Sheskin D.J. Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures / D.J. Sheskin. Chapman & Hall/CRC, 2000. - 1002 p.

325. Statistical Data Analysis Based on the Lj-norm and Related Methods / Ed. Y.tVi ■

326. Dodge // Papers of the 4 International Conference on Statistical Analysis on the Li-norm and Related Methods. Basel: Birkhauser, 2002. - 454 p.

327. Sung L. Response of linear discrete and continuous systems to variable frequency sinusoidal exitations / L. Sung, K.K. Stevens // Journal of Sound and Vibrations. -1980. -V. 71, № 4. PP. 497-509.

328. Theory and Applications of Recent Robust Methods, Statistics for Industry and Technology / M. Hubert, G. Pison, A. Struyf and S. Van Aelst. Basel: Birkhauser, 2004. - 400 p.

329. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series / R.S. Tsay. John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 455 p.

330. Tukey J.W. Exploratory Data Analysis / J.W. Tukey. N.Y.: Addison-Wesley, 1971.

331. Tyrsin A.N. Nondestructive Testing of Mechanical Systems Based on Autoregression Models of the Response to a Sinusoidal Input Signal / A.N. Tyrsin // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2005. - V. 41, № 2. - PP. 115-120.

332. Tyrsin A.N. Robust Identification of Linear Models on Experimental Data / A.N. Tyrsin // The 4th Moscow International Conference On Operations Research (ORM2004): Proceedings. -Moscow, 2004. PP. 221-223.

333. Wegman E.J. Splines in statistics / E.J. Wegman, I.W. Wright // Journal of the American Statistical Association. 1983. - V. 78, № 382. - PP. 361 - 365.

334. WTiisky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamic systems / A.S. Willsky // Automatica. 1976. - V. 12, № 6. - PP. 601-611.

335. Yong H.L. Generalized median filtering and related nonlinear filtering techniques / H.L. Yong, S.A. Kassam // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1985. -V. 33, № 3. - PP. 672-683.1. ГУ^ гг «1» г тр Гщ^ил

336. Тег» 'ЗМ ^с. »4» 281 л Фм >.Ъ1,Л:1- С ^«•чС^Ч» ^

337. Ап'Лч»!« даЧГТЙ«-«ч« -»Г-—, Г--1 74Ы0''№использования результатов диссертационной работы Тырсина Александра Николаевича в Научно-техническом центре угольной промышленное™ по открытым горным разработкам (ОАО НТЦ-НИИОГР)

338. Зам, ген, директора, докт. техн. наук И.Л, Кравчуки \ ; /■ ^щ! ^ '

339. Зав Отделом ТиОРГТО. докт. техн. наук > ¡¡'/¡/: ' Л И.Андреева1