автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Решения систем законов сохранения

РГ5 ОД

г з ш ит

российская акадиям наук

Институт математического моделирования

На правах рукописи УДК 517.9

ГАЛКИН Валерий Алексеевич

рнпения систем законов сохранения

Специальность 05.13.18 Теоретические основы математического моделирования, численные метода и комплексы программ

Автореферат дасеертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва,1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Обнинского института атомной энергетики

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор А.В.Бобылев

доктор физико-математических наук

профессор С.Н.Кружков

доктор физико-математических наук

профессор Б.Л.Рождественский

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится "_"_1994 г. в_часов на заседании специализированного совета Д 003.91.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математического моделирования РАН по адресу:125047, Москва,А-47, Миусская пл.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИНМ

Автореферат разослан *?.(. " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук

* Н.В.Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аннотация. Диссертация носит прикладной характер. Ее содержание посвящено вопросам обоснования корректности задач для систем нелинейных уравнений, имевщих важные приложения в математической физике. Выявляются и анализируются основные математические структуры, связанные с вопросами сходимости приближенных методов, доказаны теоремы о глобальной разрешимости задачи Ковш -для квазилинейных и полулинейных систем.

Актуальность темы. Математические модели физических систем, состоящих из статистически большого количества частиц (разреженные газы, дисперсные системы, плазма), а также модели механики сплошной среды основываются на фундаментальных соотношениях баланса, носящих общее название - законы сохранения. Значительное количество современных исследований по теории законов сохранения связано с вопросами корректности задач для систем нелинейных дифференциальных и интегро дифференциальных уравнений

хео^ , г >0 , *€() ,

где - неизвестная вектор-функция, вид потоков I^ и ис-

точника Б считается заданным характером моделируемого физического процесса, хеО^- пространственные координаты, г - время, О -параметры, нумерувдие уравнения. Ниже такие систеш уравнений

з

будем именовать системами законов сохранения. Их приложения широко известны, в частности,в связи с уравнениями газодинамики и гидродинамики, кинетическими уравнениями Больцмава и Смолу-ховского, теорией плааш, и др.1

Наряду с корректностью в 1фуге задач для законов сохранения (1) традиционно особую роль тратт такие проблемы нелинейной математической физика как обоснование предельных переходов и асимптотик по малым параметрам приближенных методов, используемых в процессе отыскания неизвестного ревения. До недавнего времени трудности, связанные с предельными переходами в нелинейных (квазилинейных и полулинейных) системах законов сохранения (1) для многих методов казались непреодолимой.

Таким образом, актуальной является проблема выделения классов корректности в целом для задачи Кош и эффективное обоснование сходимости приближенных методов в случае нелинейных систем, отражавших соотношения сохранения в моделях фвзических процессов»

Наиболее полные результаты для задачи К сипи в случае нелинейных уравнений (1) были получены при card 0 =1 в работах Д.Н.ТИховова и A.A.Самарского, Э.Хаофа. О. А. Олейник , С. Н. Кружкова, а также для некоторых классов систем (1) при card Q <н0 с жесткими ограничениями на исходные данные задачи Коки (Б.Л.Рождественский, Дж. Глимм, Н.С. Бахвалов, Н.Н.Кузнецов в В.А.Тупчиев и др.1). 1) _.___

Рождественский Б.Л..Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.Наука,1Э78.

лее интенсивные исследования традиционно связаны с теорией уравнения Болыщава кинетической теории газов (Т.Карлеман,

Н.В.Маслова.А.В.Бобылвв .DlPerna и Lions , ряд японских и ита-

р

льянских математиков и др.). ,

Сода же примыкает исследования о разрешимости и классах корректности для уравнения Сиолуховского, опнсыващего процессы коагуляции в дисперсных системах 1.

В течение 80-х годов сформировался ряд серьезных новых подходов в исследовании законов сохранения (1 ) превде всего благодаря усилиям Л.Тартара и Ф.Мюрата, Р.ДиПерна, и др. , развиввим концепции компенсированной компактности и определившим ее применения в теории уравнений с частными производными. На атом направлении зародилась идея дальнейшего расширения понятия соболевских обобщенных решений, приводящая к определению мернозначвого решения, основанная на использовании вместо неизвестных функций и параметрических семейств вероятностных мер Янга. В дальнейшем эти исследования получили развитие в работах В.А.Галкина и В.Д.Тупчиева [14], где введено и аффективно применено понятие решения в среднем, а затем В.А.Галкиным разработана теория функциональных решений законов сохранения (1) при любом сагб ~ [15,16]. Теория функциональных решений в свою очередь смыг—ется с теорией решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, построенной А. Ф. Филипповым3. Весьма важно подчеркнуть, что урав-

? )

' Неравновесные явления;Уравнение Болыдмана.Под редакцией Дк.Л.Либовица и У.У.Монтролла.М. ,ltap,I986.

3 ^Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой

s

нения физической кинетики вида (1) непосредственно приводят к примерам с разрывными в естественных норнах операторами S .

Ноше концепции в теории компактности и расширение понятия решения систем законов сохранения позволили установить содержательные теоремы о разрешимости задачи Коои в целом для систем (1), в частности, для уравнений больцнановского типа, а также для квазилинейных систем .

Центральной нерешенной в настоящее время проблемой для указанного подхода является эффективное построение классов корректности , доказательство теорем единственности и получение теорем типа "вложения" С. Л. Соболева.

Один из возможных вариантов решения этого вопроса предложен Л. Тартаром на примере скалярного закона сохранения с одномерной пространственной переменной .

Диссертационное исследование входит в план госбюджетных работ Обнинского института атомной энергетики по теме:"Теоретические и прикладные задачи для дифференциальных и интегродафференциальных уравнений", номер госрегистрации 01.87.095230. Тема диссертации утверждена ученым советом названного института в 1990 г.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка теории разрешимости в целом задачи Исаи для нелинейных систем законов сохранения (1) с произвольными card П, в особенности в ситуациях, связанных с физической кинетикой и механикой сплошной среды, выявление и анализ основных математических

частью.// Матем.сб.,I960, T.5I.M1.

в

структур для этого круга проблей, а также приложения к физическим моделям.

Научная новизна предлагаемой работы основана на доказательстве разрешимости в целом и обосновании сходимости приближенных методов для нелинейных систем законов сохранная (1) общего вида, а также для конкретных математических моделей, связанных с полулинейными уравнениями больциановского типа и квазилинейными системами.

Теоретическая и практическая ценность диссертации обусловлена созданием нового общего подхода к обоснованию приближенных методов решения задач для систем законов сохранения, а также доказательством разревшмости (либо корректности) задач, имещих прикладное значение в физике. Полученные результаты могут быть использованы в научно - теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, при обосновании численных методов, в учебно« процессе математических и физических факультетов вузов.

Защщаеше научные результаты.

1) Обоснование сходимости регулярных приближенных методов к функциональному решению законов сохранения при условии слабой аппроксимации и слабой устойчивости метода (при наличии

равномерной для приближений оценки в пространстве

loo • ' . .

L, ). Отождествление функциональных решений с элементами прост-

1 loo -

ранства 1>1 и описание возможных классов корректности.

2) Обоснование сходимости разностного приближенного метода к неотрицательному функциональному решению задачи Коти для уравнений больцмановского типа.

3)Обоснование приближенных методов для систем законов сох-

ранения в классе решений в среднем при наличии равномерной по параметру априорной оценки энтропии приближений.

4) Обоснование корректности в целом для нелинейного операторного уравнения вольтерровского вида с малой неоднородностью и его приложения в кинетике.

5)Возникновение не дифференцируемых особенностей решений полулинейных уравнений Смолуховского при сколь угодно гладких начальных данных.

6)Доказательство существования решения в целом в классе обобщенных соболевских решений для пространственно неоднородной задача Кош в случае уравнения Смолуховского.

7)Обоснование существования решений уразнений Смолуховского, содержащих переход соотношения сохранения в соотношение диссипации за счет нарушения свойства непрерывности оператора Б (оператора столкновений в правой части (1)) в норме, связанной с соотношением сохранения.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы, опуубликованиые в (1-24), докладывались на следующих конференциях» школах и сеинарах

1 .Всесоюзная школа "Неклассические уравнения математической физики". Новосибирск. 1960.

2.Всесоюзный семинар по аналитическим методам газовой динамики. Свердловск, 1982; Фрунзе, 1985; Екатеринбург, 1992.

3.Всесоюзная конференция "Методы решения сингулярно возмущенных задач". Минск, 1982; Нальчик, 1987; Пса, 1990.

4.11 Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Чехословакия, Брно, 1985.

5.17 Международная конференция по дифференциальным уравнениям я их приложениям. Болгария, Русе, 1989.

6.14 и 17 зимние математические школы. Воронеж.

7.Семинар отдела дифференциальных уравнения института математики АН Болгарии, София, 1990.

8.Заседание секции союза математиков Болгарии, Русе, 1990.

9. Общеинститутский семинар института

гидродинамики,института математики СО АН, 1991. 10. Международна я кои$еренция, посвященная 70-лети» со дня рождения н.Н.Яненко, Новосибирск, 1991.

11.Научно-исследовательский центр Cadarache, Франция, 1992.

12.Совместная конференция Американского я Лондонского математических обществ, Великобритания, Кембридж, 1992.

13. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям, Италия, Флоренция, 1993.

14.2-я международная конференция IMACS по вычислительной физике, США, Сент-Луис, 1993.

15. Семинар института вычислительной математики РАН под руководством академика Н.С.Бахвалова , 1993

16. Семинар института математического моделирования под руководством академика A.A.Самарского, 1993

Структура работа. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы, 252 страша».

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным предметом настоящей работы является вопрос о

в

разрешимости задачи Кот относительно неизвестной и и выявлении классов корректности для нелинейных уравнений (1). Система законов сохранения (1) дополняется начальными данными

<2> ult=0eu0 '

Множество параметров О =t ш > макет быть конечным либо бесконечным. ( Оно считается метрическим локально компактным пространством, в честности, когда 0 конечный набор индексов, то О снабжается дискретной метрикой. Уравнения (1) возникают при моделировании естестевенных процессов как соотношения баланса, выпоянящегося ори взаимодействии элементов, составляющих моделируемую систему, скажем, молекул газа, капель в аэрозольном облаке и т. д. При этом состояния моделируемого об$екга в каждый момент времени X задаются вектором и , а операторы £ij> и S в уравнениях (1) задаются характер«! моделируемого явления . Как правило, ати операторы нелинейные, что отражает наличие взаимодействия между элементами описываемого объекта. Кроне того, они могут не обладать даже свойством непрерывности в естественных пространствах, связанных с исследуемым процессом. Все эти факторы определяют значительный уровень сложности математического исследования упомянутых задач. Практические надобности, связанные с вычислением конкретных физических параметров, предЗявляет соответствуйте требования к обоснованию приближенных методов, что в свою очередь приводит к вопросам об определении понятии рехения я отыскании функциональных пространств, в которых имеет место сходимость приближенных методов. Вопросы ати становятся особенно трудными, когда нелинейные операторы и S в (1) разрывные, ибо отсутствие их непрерывности мокет nolo

влечь отсутствие классических и дазе обобщенных решений задачи Коши в целом, то есть при всех t>0. Простейший примером тому служит задача Кош для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью

du/dt = I(u) , t > 0 ,

i(u) = t -1 , ; 1 , u<1 > .

Не сложно установить, что функция u(t) = 1 является решением этого уравнения в смысле А.Ф.Филиппова, но не относится к классическим и обобщенным решениям. При этом разностный метод Эйлера

tu^it+h) - lytniT1 = ioyt)) , lyt) = Uq , est«.

равномерно сходится к решению А.Ф.Филиппова на всей полуоси t>0, когда h 0. Наряду с проведенными причинами отсутствие решения в целом для законов сохранения (1) может быть обусловлено тем, что закон эволюции (1) не оставляет вектор и в заранее выбранном функциональном пространстве, то есть за конечное время вектор и покидает множество определения операций в (1). Это явление будем называть формированием особенности решения задачи. Следует подчеркнуть, что исследование особенностей не является чисто математической проблемой, поскольку выбор способа моделирования обзекта включает в себя выбор пространств, в которых следует рассматривать задачу. Наличие математических особенностей служит

указанием на возникновение каких-то {изических аспектов моделируемого явления, не начудит учета на стадии создания модели. Поэтому исследование особенностей может повлечь дальнейший пересмотр модели, применяемых методов и т.д., либо изменить концепцию решения, например, посредством продолжения операторов в (1) на более широкие функциональные пространства.На 8ток пути обычно задача обретает реяения в целом, теряя его единственность. Итак, весьма серьезное значение приобретает вопрос отбора таких решений, которые соответствуют моделируемому процессу (физике явления). Здесь важна роль метода построения решения, который представляет собой разновидность регуляризации задачи. Выбор классов корректности для задач с упомянутым вше продолжением операторов Б без учета происхождения задачи,

как правило, является схоластическим.

Предлагаемое в настоящей работе расширение понятия решения (функциональные решения) позволяет обосновать разрешимость в целом и в некоторой смысле выделить классы корректности для задачи Кош (1), (2) при наличии априорной оценки приближений в пространстве

Во введении проведен обзор исследований, посвященных вопросам разрешимости в целом задачи Кою для систем законов сохранения (квазилинейных и полулинейных), очерчено место настоящей диссертации в этом круге работ, сформулирована цель, ее основные результаты и вывода«

Глава I. Функциональные реяения законов сохранения Глава I диссертация посвящена теории функциональных решений задачи Кош для систем законов сохранения, обобщающих (1)

д^ипа.Х)* Е д% ^(и.х.*) - (и,х.*)=0.

«€(}, хеО^, t >о , •

Определение функционального решения основано на расвире-вии понятия соболевского обобщенного решения посредством сведущей процедуры. Множество локально суммируемых функций и (пространство неизвестных), у которых локально суммируемые суперпозиции (I-}°и) , <п+1 , мовоморфно вкладывается в пространство линейных функционалов (алгебраически сопряженное к символу уравнения (1))» снабженное тихоновской топологией. Элементы заикания образа вложения считаются функциональными решениями, если для них выполняется аналог интегральных равенств С. Л. Соболева с произвольной пробной функцией. Вооросн разрешимости задачи Кови (1), (2) в целом решаются на основе анализа приближенных методов. Метод считается слабо аппрокепшрущш, если невязка задачи (1), (2) в пространстве функционалов стремится к нулю для заданной последовательности приближений. Метод считается слабо устойчивым, если на каждом кошлхте аргументов приближения равномерно ограничены по норме пространства ь., . Основная теорема этой главы : если метод слабо аппрокештрущиД а слабо устойчивый, то он сходится в целом к функциональному реаению задачи Кови (1), (2). Важно подчеркнуть что в данной теореме доказывается существование в целом функционального реяе-

13

ния, являющегося пределом указанных аппроксимаций. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченной разрывной правой частью 1д+1функциональное решение, получаемое как предел разностного метода Эйлера, совпадает с определением А.Ф.Филиппова .На примере системы квазилинейных уравнений/ (1) иллюстрируется эффективность вышеприведенной теоремы для метода исчезающей вязкости. Достаточным условием его сходимости служит равномерная локальная суммируемость вязких приближений относительно параметра вязкости.

На основании леммы о мономорфности отображения, сопоставляющего начальным данным классы эквивалентности функциональных решений, в сочетании с аксиомой выбора Цермело предлагается описание возможных классов корректности задачи Кош (1), (2) для регулярных методов, обладающих свойством слабой аппроксимации и слабой устойчивости.

Основные результаты главы 1 опубликованы в работах 115-17,241.

Глава 2. Решения полулнейных уравнений и их приложения к задачам физической кинетики

Глава 2 диссертации посвящена приложениям результатов предыдущей главы к задаче Кош для обобщенных уравнений больцма-новского типа. Эволюция физических систем, состоящих из большого количества сталкивающихся (в некотором смысле) в процессе движения элементов, моделируется задачей Коши для обобщенного уравнения больцмановского типа

(3) <Эи(и)(х.*)/аг+й1т2.(т((1,)и)=8<ш)(и(-)(хЛ)), ш€П, гбС^.хеО^,

! подлежащая отысканию функция и описывает состояния физичес-I системы в каждый момент времени Ъ > О в точках с пространством координатами х = (х1,х2,...,хп).Величины у^еП^ задают >рость движения элементов системы между столкновениями, то !ь скорость свободного переноса. Ограничения на оператор >лкновений 5 в основном связаны со свойствами сохранения либо возрастания нормы решения в пространстве Ь1, а также неотрица-гьностью решения, которое по своему физическому содержанию зактеризует распределение числа частиц в системе по возможным :тояниям. Следует выделить два важных с точки зрения приложе-1 оператора Б,восходящих к Дж.К.Максвеллу, определившему в >9 г. основное понятие кинетической теории - функцию распре-юния и Л.Больцману,записавшему в 1872 г. первое кинетическое шнение,которое описывает эволюцию функции распределения ыоле-I газа по скоростям в случае близости системы к состоянию тер-щнамического равновесия. В 1916 г. выдающийся польский физик 2молуховский, исследуя эволхщию слипающихся (коагулирующих) лиц в электролитах, записал кинетическое уравнение коагуляции I функции распределения частиц по массам.

Для уравнения Больцмана кинетической теории газов опера-з Б в уравнении (3) задается соотношениями

4) 8<и>(и(->)-| \ Ки.С.*)!^»'и<ш>и(£>] не (к! , О 22

иеП =

ш'= ш - дСиК.д)^, ?*= I +

= { чеО?, : «ЬЦ)^3 1 >•

Интенсивность столкновений частиц V считается известной функцией. Другой пример моделей вцда (3) связав с кинетической теорией коагуляции (Смолуховского), где фазовое пространство о = - это массы частиц, а оператор столкновений Б определен соотно-вениями

со

(5) 8(ш)(и<->) = 1/2 | »(и - «• .ы.№(имв,)и«и,)аИ- -

О

0} о

ш , «'бЯ}" , О < 1(ш,ш') = »(и*,и ) .

Аналогично выглядит оператор столкновений Смолуховского в теории коагуляции частиц с дискретным массами

(б) (и< • > > » 1/2 ё"1 К« - и' .«• >и<ш' >-

=1

(д) ®—1

и € О = £М .

Несмотря на то,что первые кинетические уравнения записаны для специальных систем,область их приложений оказалась весьма широкой. Аналога уравнений Больцнана и Смолуховского используют-

ся прн ноделярования процессов переноса излучения в веществе, нейтронов в ядерном реакторе, при исследовании роста Цапель в облаках,дефектов в материалах реакторов на быстрых нейтронах, газовых пор в металлах и т.д.

Задача Кожи для уравнения (3) с операторами столкновений (4), (5), (6) подробно исследована с точки зрения корректности в целом в классах начальных данных, которые не зависят от пространственных координат х. Случай пространственно неоднородных задач весьма трудный и число содержательных результатов здесь относительно невелико. Основная трудность заклшается в отсутствии непрерывности операторов столкновений вида (4) - (6) в нормах, связанных с соотношениями сохранения или диссипации, специфических для этих задач . Такая жв проблема возникает при рассмотрении уравнений (3), когда интенсивность столкновений частиц Я обладает достаточно большим порядком роста на бесконечности , даже при условии пространственной однородности задачи Коои.

Основной результат главы 2 связан с доказательством теоремы существования в целом неотрицательного функционального решения задачи Коои для обобщенного уравнения больцмановского типа (3), если скорость V локально ограниченная борелева функция, а начальные данные и - неотрицательные суммируемые функции. Соответственно утверждениям главы 1 выделяется классы корректности. Доказательство основано на исследовании приближений, задаваемых явной разностной схемой, для которой устанавливается равномерные по шагам сетки априорные оценки, если выполнено некоторое условие Куранта. Рассмотрены примеры, связанные с операторами столкновений (4)-(6).

В связи с исследованием разрешимости задачи Кош для ура) нений (3) устанавливаются достаточные условия корректности ее классе непрерывных функций, При этом предположения о характе] бесстолкновительного переноса носят более общий характер, чем (3). Считается, что свободный перенос частиц описывается лине! ной 1?уппой или полугруппой, согласованной со структурой локал но липшиц-непрерывного оператора столкновений Б. В теореме 2 доказана разрешимость в целом, единственность и устойчивость классе непрерывных ограниченных функций уравнения вольтерровсю го вида при наличии упомянутого согласования. Выделены услови. обеспечивапцие неотрицательность решения. В качестве приме] устанавливается наличие согласования для уравнения Больцмана и нетической теории газов (оператор столкновений (4}) с ограничь ной функцией V. Упомянутые теоремы сформулированы следующ образе».

На фазовом пространстве Сь .состоящем из непрерывных огр ниченных функций, рассматривается уравнение (аналог интегральн формы задачи Коши для уравнения (3)

t

о

Теорема 2.3.Пусть однопараметрическая полугруша и оператор Б удовлетворяют требованиям (Б1), (Б2), (Б3 причем локальная постоянная Липшица Ь(г,1) в условии (Б2) маж рируется при г>0Л>0, функцией ч(г,1),суммируемой по геК}" п каждом значении параметра г>0. Если для любой функции ие суперпозиция Б (и) принадлежит ®о(ср),уо>0, то для каждого г>0 м

хно указать неотрицательные числа г0,б, такие,что в случае и0€В0(Твф,г0) уравнение (3) имеет единственное решение и<~ В(п(Т(3ф,г).Связь между величинами г,г0,0 швет быть задана соотношениями

+оо

А. = J q(r,T)dT < 1, г^ r(1-q), г,г0,в е И^.

Ö

Теорема 2.4.Пусть в дополнение к условиям теоремы 2.3 одно-параметрическая группа {Tt>tej^6G+,a оператор S удовлетворяет требованию

(S4) уо,г е töj" Э h(o,r)e ф: S(u)+ub>0,

V u>0, us U ВЛТлр.г).

0<t<o 0 *

Тогда решение уравнения (I),указанное в теореме 2.3.является неотрицательным при всех t>0,eora функция Uq>0.

Основные результаты, относящиеся к главе 2, опубликованы в работах 15,6,15-17,19).

Глава 3. Разрешимость в среднем квазилинейных систем законов сохранения

Глава 3, являющаяся естественным продолжением главы 1, вновь обращена на проблемы разрешимости задачи Коши (1), (2) и обоснование предельных переходов под знаке« нелинейных операций. Предлагается понятие решения в среднем, которое ищется в классе боре левых регулярных мер. Рассмотрены приложения для обоснования метода " исчезающей" вязкости для одного класса градиентных ква-

зшшнейных систем. Указываются связи с функциональными решениями и мернозначнши решениями Тартара и ДиПеряв .

Основные результаты главы 3 опубликованы в (14,161,

Глава 4. Обобщенные решения пространственно неоднородной

коагуляции

Теория обобщенных решений задачи Коши (1), (2) для математических моделей пространственно неоднородной коагуляции составляет предмет главы 4 диссертации. Эта тема непосредственно связана с приложениями, рассматривавшимися в главе 2 для обобщенных уравнений больциановского типа. Важным моментом исследования служит доказательство возхможности возникновения негладких особенностей решения по пространственно - временным аргументам при сколь угодно гладких начальных данных, что напрямую связано с отсутствием непрерывности оператора столкновений Б.

Для описания эволюции концентрации связанных 1 мономеров -и^ в и(1,х,1;) в такой системе используется кинетическое уравнение Смолуховского

где ф1, ~ интенсивность слияния 1 и 3-ыеров, а^. -

сечение захвата, являющееся симметричной, неотрицательной функцией на ОМЛ^- скорость свободного переноса. Для этой модели установлены следующие важные теоремы.

Теорема 4.1. Пусть сечение захвата частиц о^ (1,;)еШ) удовлетворяет неравенствам

0< 1п1 <ь ,.< вир о. . <00, ШхШ 1>3 ИхШ 1,3

скорость свободного переноса частиц т^ является строго монотонной функцией аргумента ieOH. Предположим, что начальные концентрации {<PiJi6[n в условии (2) полжительные гладкие по хеЩ функции, имепцие конечные интегралы

^(I-tf^tj)3<Pj(x) ах < ю ,

и ф^ (х) о при | х | оо. Пусть набор начальных концентраций ф={ф1}1ещ в кадкой точке хеК удовлетворяет локальному соотнове-ниж) сохранения

«I ^

Тогда , если существуют точки (x,t), в которых величина

I(X,t)=|=i«i>^;j(X-T;it)= 4«,

то независимо от класса гладкости начальных концентраций решение уравнения (I) с этими начальными линиями не может быть гладким по (x,t) для всех t>0, хеК. В точках, где I(x,t)=+oo, решение задачи Коли (I),(2) имеет особенность типа "градиентная катастрофа", т.е. производные обращаются в бесконечность.

Теорема 4.2. Пусть скорости свободного переноса ietN,

сечение взаимодействия частиц о^ (i.jeW) симметричная неотрицательная функция, которая удовлетворяет неравенству

вир а. _,(i7+;J?)<oo, i.JeW 1,3

при некотором 0<7<1. Предположим, что ф^ при каждом номере leftl измеримая, неотрицательная функция, ограниченная на каждс* ком-

□акте в R, в справедливо соотношение

f Е = И < оо .

Р Т=1 1

Тогда при этих условиях существует обобщенное глобальное решение задачи Кош неотрицательное в П.

Указанных условиям удовлетворяет случай гравитациооной коагуляции облачных капель в предположении стоксова закона падения их в воздухе под действием силы тяжести, когда

2/3 2/3 2/3

о. . < const ( i + J ), v.=const i , (l,j€lN).

1» J J-

Ревение уравнения (3) с оператором столкновений Смолуховс-кого (6) в классе соболевских обобщенных решений построено на основе метода компенсированной компактности, введенной Л. Тартаром при исследовании слабой непрерывности квадратических форм. Разрешимость задачи в атом случае устанавливается еле дутары образом. Рассмотрим последовательность аппроксимирующих задач, где вместо оператора Смолуховского S подставлен "обрезанный" оператор

- характеристическая функция компакта Кд, netH последовательность которых исчерпывает П .Для этих задач корректность доказывается довольно просто. Оператор (6) является слабо непрерывным на некоторой подпоследовательности решений аппроксимирующих за-

дач. При некоторых естественных ограничениях на исходные данные задачи Ноши доказано существование обобщенного решения этой задачи в целом в случае оператора столкновений (6).

Выделен естественный класс корректности для уравнения (3) с оператором столкновений (5).

Основные результаты главы 4 опубликованы в работах И-7,10,12,13).

Глава 5. Переход соотношения сохранения в соотношение диссипации для пространственно однородного кинетического уравнения коагуляции

Содержание главы 5 продолжает исследования глав 2, 4с ориентацией на пространственно однородные задачи для уравнения (3) в ситуациях,связанных с нарушением непрерывности оператора Б. В частности.установлено,что это может служить причиной перехода соотношения сохранения в соотношение диссипации.Данное явление подробно рассматривается на примере уравнения (3) с оператором столкновений (5) Смолуховского ,когда функция V мультипликативная .Аналогичные явления устанавливаются для стационарной задачи с источником Б (и) +q(<d)=0, фО.

Рассмотрены вопросы разрешимости и корректности пространственно однородной задачи Кении для уравнения (3) в различных функциональных пространствах.

Основные результаты главы 5 опубликованы в работах 18,9,17,18) .

Заключение. В заключении даются общие выводы по работе и намечаются возможные пути ее развития.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публи-

нациях:

1 .Галкин В.А.О существовании и единственности решения уравнения коагуляции.//Дифференц.уравнения, 1977, т.13, N8, 1460-1470.

2.Галкин В.А. Об устойчивости и стабилизации решения уравнения коагуляции.//Дифференц.уравнения, 1978, т.14, N10, С.1863-1874.

3.Галкин В.А.,Тупчиев В.А.Об асимптотическом поведении решения уравнения коагуляции.//Труды института экспериментальной метеорологии,М. , Гидрометеоиздат, вып.19, 1978, С.31-39.

4.Галкин В.А. Итерационный метод решения одного класса эволюционных уравнений, связанных с физической кинетикой.//IBM и ДО, 1981, т.21, N2,0.385- 399.

5.Галкин В.А.О корректности задачи Коли для одного класса нелинейных уравнений,связанных с физической кинетикой.//Abstracîs ol Invited and contributed papers.Second Conference on Differential Equations and Applications, Bulgaria, Rousse, 1981, P.49.

6.Галкин В.А. Методы расчета задач физической кинетики. Обнинск, 1981, 60 С.

7.Галкин В.А.Корректность задач физической кинетики и их регуляризация. //Труда XYII Воронежской зимней математической школы, 1983, 4 е., Деп. N4585-84.

8.Галкин В.А.Об одном свойстве коагуляции атмосферного аэрозоля. //Метеорология и гидрология, 1983, N12, С.11-19.

Э.Галкин В.А. О решении кинетического уравнения коагуляции с ядром Ф=ху. //Метеоролотая и гидрология, 1984, N5, С.33-39. Ю.Галкин В.А.Об уравнении Смолуховского кинетической теории коагуляции для пространственно неоднородных систем.//ДАН СССР, 1985, Т.285, N5, С.1087- 1091.

11.Галкин В.А..Дубовский П.Б.О решениях уравнения коагуляции с неограничен ными ядрами.//Диффереиц.уравнения, I98S. т.22, N3, С.504-509.

12.Галкин В.А. Обобщенное решение кинетического уравнения Смолу-ховского для пространственно неоднородных систем.//ДАН СССР, 1987, т.293, N1, С.74-77.

13.Галкин В.А.О решениях уравнений,связанных с физической кинетикой. //ДАН СССР, 1988, Т.298, N6, С.1362-1367.

14.Галкин В.А.,Хупчиев В.А. О разрешимости в среднем системы квазилинейных законов сохранения.//ДАН СССР, 1988, т.300, N6, С.1300-1304.

15.Галкин В.А.функциональные решения кинетического уравнения Больцмана, полулинейных и квазилинейных законов сохранения. //Abstracts of Invited and contributed papers.Fourth Conference on Differential Equations and Applications, Bulgaria, Rousse, 1989, P.62.

16.Галкин В.А.функциональные решения законов сохранения.//ДАН СССР, 1990,Т.310, N4, С.834-839.

17.Галкин В.А.Разрешимость в целом законов сохранения.//В сб. "Исследование нелинейных моделей математической физики", 1990, Обнинск, С.4-22.

18.СаШп V.A., Dubovakli P.B. and Stewart I.W. Exact solution for the coagulation-fragmentation equation.\\J.Physics A:Bath. Gen..Printed in UK, 1992, v.25, 4737-4744.

1Э.Галкин В.А. Решения уравнений физической кинетики с нелинейными операторами столкновений.//В сб."Исследование нелинейных и стохастических моделей математической физики", 1992, Обнинск,

С. 4-13.

20.Галкин В.А..Русских В.В. Приближенное решение уравнения Эйлера и КДФ.// В сб."Исследование нелинейных и стохастических моделей математической физики", 1992, Обнинск, С.14-35. 21 .Galkln V.A. "functional solution of differential equations.// Abstracts of International Meeting on Ordinary Differential Equations and Applications, Italy, Florence, 1993, p.52.

22.Galkln V.A.,Russkikh V.V.Convergence of Approxljnate Methods for Equations of Incompressible Fluid Dynamics.//Abstracts of Second IMACS International Conference on Conpitatlonal Physics, USA, Saint-Louis, 1993.

23.Галкин В.А.,Русских В.В.Сходимость приближенных методов для уравнений несжимаемой жидкости.//Математическое моделирование, 1994, N3.

24.Galkln V.A. Convergence and numerical stability of approximate methods for conservation laws.//Journal of Modern Physics C, 1994.