автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Симметрии и законы сохранения внешних дифференциальных уравнений в приложении к задачам механики жидкости и газа

На правах рукописи

КУСЮМОВ Александр Николаевич

СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРИЛОЖЕНИИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань 2003

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева.

Научные консультанты: доктор физико-математических наук,

профессор Гараев Кавас Гараевич;

доктор технических наук,

профессор Павлов Валентин Гаврилович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зайцев Валентин Федорович;

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Павловский Юрий Николаевич;

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

информатики и автоматизации РАН

Защита состоится " ^ " 2003 г. в " ^ " часов на

заседании диссертационного совета Д 212.079.01 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. Карла Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

Автореферат разослан "_"_ 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета /

доктор физико-математических наук, профессор ЖШ^ < Данилаев П.Г.

2ооЗМ ,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Теория непрерывных групп преобразований (симметрий) в приложении к дифференциальным уравнениям является одним из универсальных инструментов, используемых при решении задач математического моделирования в самых различных областях естествознания.

С. Ли создавал основы теории непрерывных групп специально для изучения дифференциальных уравнений. Систематические исследования по приложению групп Ли для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым и его учениками.

Одни из первых работ по исследованию и использованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Н.Х. Ибрагимовым, Ю.Н. Павловским, В.В. Пухначе-вым, C.B. Хабировым (в г. Казани В.Г. Павловым). В настоящее время работы по исследованию уравнений механики жидкости продолжаются Л.В Овсянниковым, В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, В.Ф. Ковалевым, А.П. Чупахиным и др.

Важное направление - использование обобщенных (высших) симметрий, начало которого восходит к работам С. Ли и А. Бэклунда. Дальнейшее развитие имеется в работах Н.Х. Ибрагимова и R.L. Anderson.

Обобщенные (высшие) симметрии рассматривались в работах

A.M. Виноградова, И.С. Красильщика, В.В. Лычагина и др. в рамках развиваемой ими геометрической теории группового анализа систем уравнений в частных производных.

Геометрическая теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на использовании бурбаковского формализма, разработана Ю.Н. Павловским.

К современным направлениям развития группового анализа относится также теория приближенных групп преобразований для систем уравнений, содержащих малый параметр (Н.Х. Ибрагимов, В.А. Байков, Р.К. Газизов, В.И. Фущич, В.А. Чугунов). Нетрадиционные направления группового анализа в приложении к дифференциальным уравнениям развиваются в работах В.Ф. Зайцева (дискретный групповой анализ),

B.А. Дородницына (группы преобразований в сеточных пространствах).

Благодаря работам Э. Картана сформировался подход к изучению

систем дифференциальных уравнений в частных производных путем приведения их к системам внешних дифференциальных уравнений.

Впервые переход к системам внешних дифференциальных уравнений использовался для нахождения симметрий

производных в работах A.M. Васильева и К

тоВуйШЙММЛЬКАЯ БИБЛИеТЕКА С. Петербург л « ОЭ

Позднее В.К. Harrison, F.B. Estabrook также использовали переход к внешним дифференциальным уравнениям для отыскания симметрий дифференциальных уравнений в частных производных произвольного класса. Для нахождения инфинитезимальных симметрий использовались производные Ли внешних дифференциальных форм (данный алгоритм поиска симметрий может быть реализован средствами пакета Maple V, ориентированного на работу с внешними дифференциальными формами). Аналогичный подход используется в работах R. Bryant, P. Griffits, W.L. Burke. Внешние дифференциальные формы использовались для решения задачи редукции нелинейных управляемых динамических систем (В.И. Елкин, В.И. Легенький).

Наиболее известная методика построения законов сохранения для уравнений в частных производных опирается на первую теорему Э. Нетер, позволяющую определять законы сохранения вариационных систем уравнений. Н.Х. Ибрагимов доказал обобщенный вариант теоремы Э. Нетер на языке теории непрерывных групп преобразований. Им же были построены законы сохранения для уравнений из различных областей физики. К.Г. Гараевым построена модифицированная теория инвариантных задач, позволяющая конструировать законы сохранения и первые интегралы для оптимизационных задач в различных областях естествознания.

На языке внешних дифференциальных форм задача построения законов сохранения сформулирована A.M. Васильевым в начале 60-х годов.

Позднее A.M. Виноградов разработал методику построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных произвольного класса на основе теории спектральных последовательностей.

Таким образом, динамика развития и использование группового анализа при исследовании уравнений из различных областей естествознания определяет актуальность проблемы диссертационной работы: разработка математических методов, алгоритмов и применение средств вычислительной техники для дальнейшего развития и совершенствования средств "качественного" анализа дифференциальных уравнений (групповой анализ и законы сохранения дифференциальных уравнений).

Цель работы, методика исследования, результаты,

выносимые на защиту

Целью работы является развитие на основе дифференциально - геометрического подхода теоретико - группового анализа в приложении к дифференциальным уравнениям по следующим направлениям.

I. Расширение возможностей использования классических (точечных) симметрий для построения решений уравнений в частных производных:

геометрическая интерпретация частично- и дифференциально- инвариантных решений и развитие техники построения инвариантно- груп-

повых решений; поиск инвариантно- групповых решений в расширенном пространстве представления группы.

II. Разработка новых (неклассических) видов точечных симметрии, для расширения класса объектов (систем дифференциальных уравнений), допускающих теоретико-групповые методы исследования:

использование симметрий в задачах получения точных и приближенных решений исходной системы уравнений На базе решений более простой системы; модификация записи условия инвариантности системы уравнений для расширения алгебры симметрий исходной системы и построения точных решений.

III. Построение и использование законов сохранения для невариационных систем уравнений в частных производных:

использование метода внешних дифференциальных форм в задаче построения законов сохранения систем уравнений невариационного типа; вопросы существования законов сохранения при не гладких характеристиках законов сохранения; связь между симметриями и законами сохранения для систем уравнений не вариационного типа.

IV. Развитие метода внешних дифференциальных форм применительно к задачам отыскания симметрий и построения законов сохранения систем дифференциальных уравнений:

исследование возможностей и особенностей использования метода внешних дифференциальных форм в задачах отыскания симметрий и построения законов сохранения уранений в частных производных; вопросы использования метода внешних дифференциальных форм в других задачах "качественного" анализа дифференциальных уравнений; использование пакетов символьного моделирования в указанном классе задач.

Изложение материала диссертационной работы в основном опирается на дифференциально-геометрический подход и, более узко, на использование метода внешних дифференциальных форм (отдельные разделы выполнены "традиционной" технике).

При получении определяющих уравнений для определения симметрий систем внешних дифференциальных уравнений используются производные Ли и методы теории возмущений (разложение в ряд по малому параметру). Методы теории возмущений используются также при решении задачи о точной и приближенной групповой редукции некоторой (упрощенной) системы уравнений к исходной системе уравнений. В разделе посвященном проблеме существования и построения законов сохранения используется терминология комплекса де Рама. В приложениях использовались также пакеты программ и методы, ориентированные как на проведение символьных вычислений, так и на численное решение систем уравнений в частных производных.

На защиту выносятся методы, алгоритмы и их приложения, доказательства теорем и предложений полученные при решении проблем, указанных в данном разделе.

Научная новизна

В работе получены следующие оригинальные результаты:

1. Рассмотрены возможности и особенности использования метода внешних дифференциальных форм в задаче поиска симметрий систем уравнений в частных производных. Предложено использовать метод расщепления системы внешних дифференциальных уравнений по параметру преобразования в процедуре получения определяющих уравнений.

2. Исходя из геометрической трактовки системы уравнений в частных производных (поверхность СЕ в пространстве струй) определено понятие голономной и дифференциальной связи (как поверхности в пространстве струй, пересекающейся с СИ). Рассмотрена возможность построения частично-инвариантных решений увеличенного ранга (равного числу независимых переменых). Предложено использовать расширение пространства представления группы (за счет параметров системы или произвольных функций, входящих в систему), допускаемой систембй, в задаче построения голономных и дифференциальных связей между зависимыми переменными системы.

3. Введено понятие однопараметрического решения системы уравнений в частных производных вдоль векторного поля, являющегося инфини-тезимальной образующей симметрии исходной системы уравнений. Показана возможность использования данного класса решений для построения и исследования особенностей инвариантных решений.

4. Сформулированы условия существования точной и приближенной неинвариантных симметрий и алгоритм использования неинвариантных симметрий для построения точных и приближенных решений системы уравнений в частных производных на базе решения некоторой более простой системы. Введено понятие частной симметрии для систем уравнений в частных производных и систем внешних дифференциальных уравнений.

5. Введено понятие закона сохранения с не гладкими характеристиками закона сохранения. Разработан алгоритм отыскания законов сохране-. ния произвольных систем уравнений в частных производных, с помощью которого задача отыскания характеристик закона сохранения сводится к задаче отыскания ядра оператора внешнего дифференцирования, действующего на некотором подпространстве 1-форм. Введено понятие неподвижных точек для 1-формы на контуре. Сформулирован алгебраический критерий, определяющий необходимые условия для обеспечения точности замкнутых 1-форм с неодносвязной областью определения.

6. Рассмотрен принцип вариации функционала с фиксированной областью интегрирования и определены условия инвариантности функционала. Введено понятие "квазиэйлеровых" систем уравнений (систем, которые не получаются из вариационного принципа). Доказана теорема, аналогичная теореме Э. Нетер, устанавливающая связь симметрии "квазиэйлеровой" системы уравнений с характеристиками закона сохранения.

Практическая ценность результатов

Практическую ценность имеют:

• алгоритмы получения симметрий на основе перехода к системе внешних дифференциальных уравнений с последующим применением метода разложения в ряд (с ращеплением) по параметру преобразования;

• алгоритмы построения и использования инвариантных дифференциальных и голономных связей, в том числе с расширением пространства представления группы преобразованиий;

• алгоритмы отыскания и использования неинвариантных и частных симметрий;

• методы построения законов сохранения для произвольных систем уравнений и квазиэйлеровых систем уравнений;

• методы и результаты решения задач по интегрированию уравнений пограничного слоя на вращающемся цилиндре и сопряженного тепломассообмена в сжимаемом турбулентном пограничном слое.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных школах, конференциях, семинарах и, в частности, на:

- Всесоюзной конференции по устойчивости, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1988);

- семинаре кафедры аэрогидродинамики Куйбышевского авиационного института (Куйбышев, 1989);

- Международном геометрическом семинаре имени Н.И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, 1997);

- VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997);

- Всероссийских Ахмедгалеевских семинарах "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997, 2001);

- Всероссийском семинаре "Герценовские чтения" (С.-Петербург, 1998);

- Международных летних школах-семинарах по теоретической и математической физике "Петровские чтения" (Казань, 1998, 1999);

- Международной конференции "Géométrisation of Physics IV" (Казань, 1999);

- городском семинаре кафедры геометрии КГУ (Казань, 1999);

- Международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 1999);

- Международной конференции "Modern Group Analysis" (Уфа, 2000);

- семинаре Академии нелинейных наук (Казань, 2000);

- 1-ой Московской конференции "Декомпозиционные методы в математическом моделировании" (Москва, 2001);

- Международном геометрическом семинаре "Лаптевские чтения" (Москва, 2001);

- VIII Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002);

- Международном симпозиуме по нелинейной аккустике ISNA-16 (Москва, 2002).

В целом результаты работы докладывались на семинарах кафедры аэрогидродинамики КГТУ им А.Н. Туполева и Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН (Санкт-Петербург, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 27 статьях и монографии. Всего по теме диссертации опубликовано более 40 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 307 страницах машинописного текста, включая 1 таблицу, 8 рисунков, и состоит из введения, шести глав и заключения. В конце работы приведен список литературы, содержащий 164 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы и определеляется ее проблематика, дан краткий обзор работ по теме исследования, излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 является вводной и содержит основные понятия и сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для изложения последующих разделов.

В главе 2 исходная система уравнений в частных производных к-го порядка представляется в виде

F'{x,u,p) = 0, (s = 1,... ,m) (1)

где г, £ М С Л" - независимые переменные, и> £ U С Я7" - зависимые переменные, а через pj обозначен набор частных производных

. _ дМ и> ** ~ дх\> .. .дх\; '

Здесь а = (г'ь..., г„) - мультииндекс, |<т| = ц + ... + г'„ < к.

В работе рассматриваются системы уравнений, для которых функции F' можно представить в виде

= + (M<*-I)

где a'ja(x,u,p),a"a(x,u) - некоторые гладкие функции.

Система (1) рассматривается как поверхность Е в пространстве Jk(ir) к-струй локальных сечений (локально тривиального) расслоения ж над пространством независимых и зависимых переменных Е. При этом на многообразии Jk(ir) задано распределение Картана С с помощью наг бора 1-форм

oL^tá-ífLubi* (М<*-1) «=1

где 1,- = (0,...,1,0,.. .,0) и 1 стоит на t-м месте.

От 1-форм, задающих распределение Картана, производится переход к п-формам

ПЪ = Í1» A {dxt А ... A dx„)j = dpi A {dxi A... A + (-l)*w„, (2)

где üj„ = dxi A... A dxn, [dxi A... A d®n)i = dx\ A... A dx¡-1A A... A di„ (суммирования по г в формуле (2) нет).

Системе Е сопоставляется система внешних дифференциальных уравнений Л(Е):

Таким образом, исходной системе уравнений СЕ соответствует система внешних дифференциальных уравнений Л(СЕ):

í& = 0, ш' = 0.

Предложение 3. 1 Системы СЕ иЛ(СЕ) эквивалентны, т.е. всякое интегральное многообразие СЕ является интегральным многообразием дляЛ(СЕ), и наоборот.

Пусть Ucz _ пространство интегральных многообразий систем СЕ, Л(СЕ). Для системы Л (СЕ) условие инвариантности относительно действия группы преобразований G записывается в виде

- w'fc.u,?))!^ = 0. (3)

Пусть X(i) - векторное поле Ли на Jk(ir), соответствующее группе преобразований G. Условия (3) на языке инфинитезимальных операторов

'В автореферате сохранена нумерация определений и теорем, принятая в диссертационной работе.

записываются (В.К. Harrison, F.B. Estabrook) в виде

ТР\ыГ) = ХУ + 1*'Ща. (4)

Условия (4) позволяют получить систему определяющих уравнений для нахождения инфинитезимальных образующих симметрий. При использовании условий (4) для квазилинейных систем уравнений расщепление ведется по "неполным формам объема" (степени п) пространства Jk{n): dx i Л йхч A... A dx„, dpj. Л dxix Л ... Л dx{n_t и другим формам. Для нелинейных систем добавляется расщепление по pj.

В разделе 2.3.2 отмечается, что для квазилинейной системы уравнений в частных производных первого порядка переход к системе внешних дифференциальных уравнений приводит к тому, что система Л(Е) определена не на пространстве J1(7r), а на пространстве Е. Обозначим через sym(CE) базис алгебры Ли векторных полей X, определяющих симметрии СЕ, а через cosym(CS) базис алгебры Ли векторных полей X, определяющих инфинитезимальные симметрии X системы Л(С£).

Теорема 3. Для точечных инфинитезимальных симметрий систем СЕ и Л(С£) имеет место соотношение

sym{CS) = cosym{CY,).

Аналогичный результат устанавливается в разделе 2.3.3 для произвольных систем уравнений (теорема 4).

В разделах 2.3.2, 2.3.3 показывается, что переход к системам внешних дифференциальных уравнений и использование алгебраических свойств внешнего произведения потенциально позволяет уменьшить объем вычислений в задаче получения системы определяющих уравнений. А именно, переход к системе внешних дифференциальных уравнений позволил уменьшить число условий расщепления (за счет устранения "лишних" условий расщепления), исключив из "вычислительного процесса" линейно зависимые уравнения системы определяющих уравнений.

В разделе 2.3.4 предлагается использовать метод разложения в ряд по параметру преобразования для вычисления производных Ли (в этом случае удобно использовать программы символьных вычислений типа Maple V). Пусть под действием группы непрерывных преобразований G переменные, входящие в систему внешних дифференциальных уравнений Л(С£), примут вид Xi —> щ(х,и,е), и> —> Hj(x,u,£)t р>„ —> pj(a;,u,p,e), где £ - параметр преобразования группы G. Тогда

Sli(x,u,p) —> Qi = Ql(x,u,p), ш'(х,и,р) —= ш"{х,и,р).

Разложим преобразованные переменные в ряд по параметру преобразования, ограничиваясь только линейным представлением:

ж,- = а* + '(ж,+ & = и> +е{'(х,и) += р>, + е&(х,и,р). (5)

Подставим преобразованные переменные в выражения для форм П^, ш*. После подстановки получим

= П» + + -.., ш* = и* + е5ш' + ...,

где <5П- некоторые дифференциальные п-формы, которые зависят от вида функций £'(а:,и), &(х,и), (1(х,и,р). Тогда условие инвариантности системы Л (СЕ) (на ее интегральных многообразиях) относительно действия группы преобразований б можно записать в виде

(6)

Условия (6) инвариантности системы Л(СЕ) позволяют получить систему уравнений для функций £'(х,и), (^(ж, и), ("¿(ж, и,р). Эти условия эквивалентны условиям (4), но получены только с применением операции дифференцирования.

В разделе 2.3.5 показывается, что использование представления системы внешних дифференциальных уравнений в виде суммы мономов или метода расщепления системы внешних дифференциальных уравнений по параметру преобразования сокращает объем вычислений ».процедуре получения определяющих уравнений. • 1 -

Раздел 2.4 посвящен использованию структурного метода отыскания симметрий (на основе уравнений Маурера-Картана) для уравнений произвольного типа.

В качестве примеров в Главе 2 рассматривались квазилинейные системы уравнений первого порядка и эволюционные произвольного порядка. Определен класс допустимых симметрий уравнений эволюционного типа. Рассматривались также система уравнений, описывающая одномерное нестационарное течение несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе, и уравнение Т. Кармана.

В Главе 3 рассматривается поиск решений исходной системы уравнений в случае когда исходная система переопределяется за счет присоединения к ней дополнительных соотношений (связей). При этом связи могут иметь как голономный, так и дифференциальный характер. Общим для этих связей является то, что они имеют инвариантный характер.

В разделе 3.1 присоединяемые связи имеют дифференциальный характер (в виде некоторой дополнительной системы уравнений Пфаффа).

5Ш

Л(СЕ)

: 0, 5ш'

Л(СЕ)

= 0.

В 3.1.1, 3.1.2 определяются условия существования инвариантов Рима-на у системы уравнений гиперболического типа первого порядка с двумя независимыми и двумя зависимыми переменными. Рассматривается квазилинейная система уравнений общего вида гиперболического типа при то = п = 2. Такую систему можно представить как систему внешних дифференциальных уравнений

w3 Л w1 = 0, w4 Л w2 = 0,

где вид 1-форм ш1 (i = 1,... ,4) определяется конкретной системой уравнений. При этом 1-формы wl, шг будут определять характеристики системы. Пусть

do»' = а'ш1 Л w2. (7)

Пусть также в = + а2шх и Re = а^ + а22, где ax¿ - Пфаффова

производная функции а' по форме шк.

Теорема 5. Если для функций а1, а2, определяемых (7), выполняется условие Re = а\ + а2 = 0, то формы w* приводятся к точным формам £7*. При этом интегралы форм 573, CJ4 определяют инварианты Римана вдоль характеристик системы, определяемых формами w1, а/2.

В разделе 3.1.3 рассматривется связь инвариантов Римана с существованием обобщенной функции тока у системы уравнений того же класса.

В разделе 3.1.4 на гладком двумерном многообразии М задается линейная связность Vi) ассоциированная с корепером шк. Связность Vi вво~ дится с помощью корепера шк и матрицы коэффициентов 7*. (к, i,j — 1,2), определяющих форму связности ш с компонентами = 7* w3 = а1-9, где а* = const. При этом 7ц = ajo2, y¡2 = —afa1.

Обозначим через ñj^ (p,q = 1,2) тензор кривизны и через S'^ - тензор кручения связности Vi-

Теорема 7. = 0 тогда и только тогда, когда R$ = 0.

Предложение 13. При произвольной матрице коэффициентов а'р симметричность связности Vi» ассоциированной с корепером ш', есть необходимое и достаточное условие для голономности корепера ш'.

Теорема 8. Пусть для связности Vi, ассоциированной с корепером w', имеет место R,l2 = 0. Тогда существует корепер ш1 — дшх, для ко-' торого связность Vi будет симметрической. При этом нормировочная функция д(х1,ж2) определяется выражением d(lng) = в.

Условие Rg = 0, определяющее равенство нулю тензора кривизны связности Vii используется для идентификации векторных полей, касающихся линии тока плоского потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости. Для этого рассматривается безвихревое векторное поле

на плоскости

Л Л

где u,v - продольная и поперечная компоненты скорости произвольного плоского стационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости. То есть компоненты и,к удовлетворяют системе

ди ди dv _

di + dy~* dy~di~

Предложение 15. Векторное поле X = Шдх + vdy является безвихревым векторным полем Хф для некоторой фунции тока ф плоского потенциального течения, если связность Vi, ассоциированная с корепе-ром wl = Tidy — Vdx, ш2 = udx + vdy является симметрической.

Условие Re = 0 используется также для определения одной из форм записи второго закона термодинамики.

В разделе 3.2, исходя из геометрической трактовки системы уравнений в частных производных (поверхность СЕ в пространстве струй), определено понятие голономной и дифференциальной связей (как поверхности в пространстве струй, пересекающейся с СЕ).

Определение 8. Будем называть выражение

фг{х,щра)\и2 = с (|ег| < г, с = const) (8)

дифференциальной связью порядка г < к между переменными системы уравнений СЕ на подпространстве интегральных многообразий Uz (здесь Uг С Усе).

Частному случаю дифференциальной связи (8), когда в функцию ф не входят производные зависимых переменных (порядок связи г = 0), соответствует определение.

Определение 9. Будем называть выражение фа(х, = с

(с = const) голономной связью между зависимыми (а в общем случае и независимыми) переменными системы уравнений СЕ на подпространстве интегральных многообразий Uz.

Систему СЕ вместе с присоединенными связями обозначим как DCS.

Пусть векторное поле X'*' является инфинитезимальной симметрией системы СЕ. Определим функцию фГ(х,и,ра) (или семейство функций) из условия

Х{к\фг(х,и,Ра)) = ^(фг^щрг)) = 0. (9)

Функция фТ(х,и,ра), удовлетворяющая (9), используется для определения семейства "инвариантных" поверхностей STD в пространстве Ja'(7t)

(из условия касания этих поверхностей векторным полем X'*'). Это семейство поверхностей можно определить выражением

фт{х,и,ра) = с. (с = const)

Если г < к, то продифференцируем t раз это выражение по независимым переменным (к = г + i)

«¿•r+tfc.u.P.r+tOk = О,

где а - мультииндекс и 0 < |а| < t. При этом получим в Jk некоторую поверхность 5д, которая определяется функцией фг{х, и,ра) и ее производными, и которая является "образом" поверхности STD. Для существования дифференциальной связи необходимо, чтобы поверхности Sp и Е пересекались.

Условие инвариантности исходной системы можно записать в виде

X(4(i-)|8=X(4|=(F,)|r = 0.

Данная запись означает, что ограничение на поверхность Е, осуществляется в два этапа: сначала на поверхность Е ограничивается векторное поле Х''', а затем на поверхность Е ограничивается результат дифференцирования функций F' вдоль векторного поля

Теорема 9. Для того, чтобы соотношение (9) определяло дифференциальную связь, совместную с системой СЕ, должно выполняться условие

=X(%(F')|E = 0.

Практически теорема 9 используется следующим образом. Дифференциальная связь, определяемая условием (9), присоединяется к системе СЕ (получается DCЕ) и затем ищется подпространство Uz, исходя из условия совместности системы £>СЕ.

Отыскание области пересечения поверхностей 5д и Е и представляет из себя задачу решения пассивной системы Р и фактор- системы CE/if (в терминологии JI.B. Овсянникова). Таким образом, в разделе 3.2 дается геометрическая интерпретация частично- инвариантным и дифференциально - инвариантным решениям.

В работе снимается одно из ограничений методики построения частично-инвариантных решений: рассматриваются решения не только ранга меньше или равного п — 1, но и ранга п.

В качестве примеров рассматривались дифференциальные и голоном-иые связи для уравнений околозвукового движения газа и одномерного нестационарного течения жидкости.

Для уравнений одномерного нестационарного течения жидкости ди1 ¡ди1 2ди2 п ви2 , 38рГ, \ди2 _

Ш + апи м + "12и Ш =3?'+ апи ж + а"и Л? = °

с параметрами огц, лд¡, о<21> с*22 рассматривалась, например, инвариантная голономная связь

ы1 - х2/х1 - «'/(г1) = О, для группы преобразований с инфинитезимальной образующей

д 1 9 А дх2'

Подпространство интегральных многообразий 1}г в данном случае определяется выражениями

ц2 ^ Ы -1)/*2 <И *2 | 3

х1(«12 - а«/2) ¿х1 (аи - ог2г/2)

где 5(г1) - произвольная гладкая функция. Для функций /(ж1) и 5(г1) имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений Х>21!3|:

_§_(а21/2 _ а12)г1 + ^^ + 2/з _ _ 2ап)+

+/(1 - «21)(/2 - ома«) = О, - Ы*1 + + /а:1^ + /2 - оиа„) = 0.

В разделе 3.3 рассматриваются инвариантные связи для динамических систем с параметрами. А именно, рассматривается гладкая динамическая система вида

= (¿ = 1 ,...,п) (10)

Здесь £ € Т С Я ~ время, г£МСЙ° - п-мерный вектор фазовых координат системы, а 6 А* С -К171 - т-мерный вектор параметров системы, /'({,х,а) - некоторые гладкие функции. Пусть Е = Т х М х Аа. Определение 12. Будем, называть выражение

ф{1,х,а) = ка (11)

первым интегралом системы уравнений с параметрами СЕ, если кц Е Я - произвольная величина (не зависящая от Ь,х,а) и производная от ф{Ь,х,а) по времени равна нулю на всем пространстве 11се-

В некоторых случаях система СЕ может допускать выражение вида (11) не с произвольной, а с некоторой фиксированной величиной Определение 13. Будем называть выражение

ф{Ь, г, а) = 0 (12)

частной голономной связью между зависимыми переменными системы уравнений СИ, если производная ф(Ь,х, а) по времени равна нулю на некотором подпространстве интегральных многообразий {7г С Г7се-

Пусть векторное поле Ли X является инфинитезимальной симметрией системы уравнений £ (полагаем, что вид системы не изменяется под действием преобразований группы). Обозначим через X инфинитезимальную образующую симметрии X (проекцию X на Е). Запись векторного поля X в координатах имеет вид:

Х = Х0 + Х„ (13)

где

^ , (д ,, д \ „ Ад : д

Здесь £<,£*- некоторые функции от я, а и г? - функции от а.

Расширим пространство представления группы в, определив действие группы в на некотором.пространстве ЕхЬ, где Ь С Я. Это означает, что вместо векторного поля X вида (13) можно рассмотреть векторное поле

X — Х0 + Хяс, Хас = X, + Хс, Хс — С^-

Здесь £ - функция координат пространства Е х Ь, и с € Ь - некоторая переменная. Положим, что дополнительная переменная с - это константа Лео, входящая в выражение (11).

Теорема 10. Если векторное поле Хк - инфинитезимальная образующая симметрии системы (10) с присоединенной голономной связью (11), то

Хас{Ф(Ь> х> а) - с)|{/св = 0.

Если динамическая система допускает группу преобразований (7, с инфинитезимальной образующей Х„ то можно строить голономную связь (11) или (12), определяя функцию ф(Ь,Х,а) из выражения

Х,(ф(Ь,х,а)) = Х(ф(1,х,а) — с),

где Л - некоторая функция.

В качестве примера при построении голономных связей рассматривалась система типа уравнений Вольтерра:

ж1 = «1а;2 — сцх1 — аз(ах + х2)®1, ж2 = (с*4 — а^)х2 — а^ж1 + г2)а;2.

Здесь х' - фазовые координаты (г = 1,2), агу - параметры системы

и = 6).

Векторное поле Х3 для данной системы определяется выражением

При этом рассматривался класс симметрий с функциями линейными по фазовым координатам ¡с': = ¿цо+апз'+а^а:2, где а,о, ац, а,2 - константы.

Для гр = 0 (параметры системы не преобразуются) исходная система допускает группу преобразований с инфинитезимальной образующей

д д

• и*1 дхч

и ограничениях на параметры системы: ав = аз и 05 = «4 + 02 + 0(1. Частная голономная связь, построенная с использованием данной симметрии, . имеет вид:

О- п.2 _ 012 X + X —--.

аз

В расширенном пространстве представления исходная система имеет, например, симметрию с инфинитезимальной образующей

X2 — г1 ^ х2 ^ а ^ а ^ ' Х дх1 Х дх2 аздаз Лб дщ

Здесь при «6 = «з имеем частную голономную связь х2 — сх1 = 0, где

ац - а5 + а2

с =-.

«1

Векторное поле X2 допускает также голономную связь вида х1+х2 = с (с - функция от а). Отсюда получается голономная связь, аналогичная построенной на X}, но при менее жестких ограничениях на параметры системы

ага6 + 03(0:1 + с*4 - а5) = 0.

В разделе 3.4 аналогичный подход используется динамических систем с управлением или для недоопределенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

А именно, рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

х' = Г{1,х,и), (г = 1,... ,п) (14)

где f G Т С R - время, х £ М С Rn - n-мерный вектор зависимых переменных, /'(£, х, и) - некоторые гладкие функции.

Назначение и смысл m-мерного вектора и е А С ВТ1 определяется постановкой задачи. Произвольные функции u;(i) можно рассматривать как некоторый дополнительный набор зависимых переменных (поведение которых во времени не определено). Тогда система (14) может рассматриваться как недоопределенная система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Как и в предыдущем разделе считается, что под действием группы преобразований преобразуются не только зависимые переменные системы, но и дополнительный вектор зависимых переменных и. Доказана теорема 13, аналогичная теореме 10.

В качестве примера в данном разделе рассматривается редукция обыкновенного дифференциального уравнения (обобщенное уравнение Ермакова с функциональным произволом) к системе уравнений первого порядка.

В разделе 3.5.1 вводится понятие однопараметрических решений вдоль векторных полей (принадлежащих к классу инвариантных решений), определяющих симметрии исходной системы уравнений в частных производных. Однопараметрические решения строятся как интегральные кривые инфинитезимальных образующих симметрий системы (для простоты рассматривается система уравнений в частных производных первого порядка). Пусть - инфинитезимальная симметрия системы СИ. Рассматривается такое векторное поле (удовлетворяющее условию теоремы 9), которое проектируется без вырождения на Е по всем координатам пространства Е. Интегральные кривые векторного поля X определяют семейство однопараметрических кривых

х, = <р%х*), v? = ф3(е,иЪ), (15)

где x4,Uq = const.

Выразим параметр преобразования £ через одну из координат базы М, используя соотношения (15). Пусть, например,

£ = (16)

где функция <р\ является обратной к tp1. Подставляя это выражение в (15), имеем семейство кривых на базе М, заданных выражениями

xi = l?(zuzlxj). (i = 2,...,n) (17)

Подстановка выражения для параметра е в функции определяет семейство Гц графиков функций вдоль кривых (17) на пространстве расслоения Е:

и> =ф(хих°1,и}0).

Теорема 16. Для заданной точки ж® С Ми инфинитезималъной симметрии X11» системы СЕ существует график Гуо £ Г^ такой, что Гу 6 Е. При этом график Гца является интегральной кривой векторного поля X .

После того как определено семейство Гу графиков функций вдоль кривых (17) можно можно построить инвариантные решения системы для граничных условий, соответствующих данному инвариантному решению (эти граничные условия восстанавливаются по значениям производных вдоль интегральных кривых).

В качестве примера рассматривается простейшее уравнение волнового типа, система уравнений пограничного слоя.

Например, уравнения пограничного слоя на пластине

иих + уиу = ииуу, их + = 0, го = иу допускают симметрию с инфинитезималъной образующей

д д я д д д

X - и— + V— + 2и>5--х— - у—.

аи оу от ох ау

В этом случае и = щ ехр(е), V = г>о ехр(е), хи — гиц ехр(2е), х = хо ехр(-е), у = уоехр(—г). Семейство интегральных кривых векторного поля X в координатной форме записи имеет вид и — щ/и, V = г>оЛ,, ги = гио/ш, где

ИЗ (Г ЧЗШ"

'■-те

э систему (вдоль отношения для коэффициентов к^, ку.

V "(2+Аз)

ио/ Ч2/о >

Подстановка в исходную систему (вдоль интегральных кривых) Дает со-

щ «о^о |/гоо®о

После восстановления граничных условий, соответствующих векторному полю X, можно получить инвариантное решение для данного векторного поля.

В разделе 3.5.2 рассматривается еще один алгоритм использования однопараметрических решений. Выражения (5) можно рассматривать кале изменение компонент вектора зависимых переменных при изменении'век-тора независимых переменных. Для определения вектора зависимых переменных и в новой точке X можно использовать не только выражения (5), но также и выражения, получающиеся при построении однопараметрических решений вдоль векторного поля X. Значения координат вектора зависимых переменных и в новой точке х, полученной преобразованием некоторой точки ж0, определяются преобразованиями координат вектора щ. Бели в значения вектора щ "заложить" информацию о значениях вектора зависимой переменной и в точках, соседних с точкой х°, (в достаточно малой окрестности точки х°), то получаются рекуррентные формулы для рассчета вектора зависимой переменной в узлах сетки, покрывающей область определения пространства независимых переменных. При определенных условиях полученный таким образом вектор и соответствует приближенному решению для произвольных граничных условий. Контролировать соответствие значений вектора и решению исходной системы уравнений можно минимизируя невязку, полученную подстановкой вектора и в конечно-разностный аналог исходной системы. В работе подобный алгоритм используется для интегрирования волнового уравнения.

Глава 4 посвящена неклассическим точечным симметриям. Под этим термином понимаются точечные симметрии систем уравнений в частных производных, которые не получаются с помощью классического метода Ли-Овсянникова.

В данной главе для построения точных и приближенных решений систем уравнений в частных производных используется понятие "неинвариантных" симметрий.

В разделе 4.1 рассматривается система уравнений в частных производных первого порядка

Р'{х1и>Р1£) = 0) (а = 1,...,т)

где я* € М С Яп,и' £ и С Я7", е € Ьс С й. Здесь е - параметр, который полагается малым (в некоторых случаях это условие не является обязательным).

Поставим в соответствие системе СЕ (с заданным распределением Картана) систему внешних дифференциальных уравнений Л(СЕ):

ш> = 0, Щ = 0.

Рассматривается также поверхность По: 2*о = 0 = -Р*|с=о)- Аналогично, поставим в соответствие системе СЕ о систему внешних дифференциальных уравнений Л(СЕо): ^ = 0, = 0 = а|'|£=о).

Будем считать далее, что функции F' (но не функции F0'), определяющие систему СЕ, записаны не в координатах х,и,р, а в некоторых координатах Я € М,В 6 U,p € •J1(7r)- Соответствено, вместо системы СЕ будем иметь систему СЕ. Тогда функции F0' можно рассматривать как результат действия некоторого преобразования Со на функции F'.

Определение 17. Преобразование С0: Л(СЕ) —у Л(СЕо) будем называть "отсекающим" преобразованием для системы Л(С£).

Пусть теперь имеется однопараметрическая группа преобразований RG, действующая на пространстве — М х U. Пусть также е € Ьс -параметр группы преобразований.

Замечание 5. Преобразование координат пространства Ео индуцирует "восстанавливающее" преобразование Re функций Ffi по правилу Rc{Fq) = Fl где F$(x,u,p) = F'0(x,n,p,e).

Замечание 6. Преобразование координат пространства Ец индуцирует преобразование Rf форм ы'й по правилу R?(wj) = ш'0, где ш^(х,и,р) =

Определение 18. Будем говорить, что RG является точной "восстанавливающей" ("restore") группой, если Re(F$) = F'(w,u,p,e) и, соответственно, = е) на интегральных многообразиях СЕо.

Определение 19. Будем говорить, что RG является приближенной "восстанавливающей" группой с порядком аппроксимации т > 2, если на интегральных многообразиях СЕо имеет место

Re(FS) = + e'F/-', (I = г, г +1,...)

Re(uj'0) = w'(x,u,p,e) + elwj'\

где F[''(x,u,p) - некоторые функции, wj'* g An(J1(7r)) - некоторый набор n-форм. Разложим в ряд по параметру преобразования е выражения для n-форм шя(^(х,и,е), ъ(х,и,е), р(х,и,р,е)):

ш'(я,щр,е) = wj + е1ш1'. 6 Лп(Яо), / = 1,2,...)

Теорема 18. Для приближенной RG-группы системы Л(СЕ) с порядком аппроксимации s restore-условия имеют вид:

(«12,')|л(зд = 0. (i = 1,2.....г- 1)

Следствие. Для существования точной RG-группы системы Л(СЕ) необходимо выполнение бесконечной цепочки соотношений

Ц2,, = 0)|Л(СЕ,). (¿ = 1,2,...)

Аналогичным образом в работе формулируется теорема, определяющая существование приближенной Ж?-группы системы (СЕ).

Поскольку существование гез1;оге-группы не связано с выполнением условий инвариантности, то и алгоритм использования неинвариантных симметрий отличается от классического алгоритма использования симметрии.

Теорема 19. Значения е, &(щ(х)) определяют приближенное (порядка аппроксимации г) интегральное многообразие для СЕ, Л(СЕ).

Координатную запись решения можно получить следующим образом. Пусть ж' = е). Пусть также щ(х) - какое нибудь решение системы

СЕо (эта система более проста по сравнению с исходной). Тогда выражения V? = -ф3(91_1 , е), щ{<Р~1{х, £)),£) определяют приближенное решение с порядком аппроксимации г системы = 0.

В качестве примера рассматривалась неоднородная система уравнений одномерной нестационарной газовой динамики вида (в преобразованных переменных)

ди1 ,дйх ,дй2 „ дй2 оди1 лдЪг Л

Здесь = ¡"(х, й,е).

В предположении что /'(ж,и,0) = 0, система £о примет вид:

- ^ . „1ди1 , ^ -п р2-ди\ . „11_ п

Разложение функций /®(ж,«,е) в ряд по параметру £ дает

Г (ж, и, е) = еЯ (ж, и) + £2Я(х,и) +

где /|,/|,•. - - некоторые функции. Для построения решений использовалась ДС-группа со вторым порядком аппроксимации. Функции

! ¿2Сх ,2 ,2 _ 2 <^2

л - ~17ГП2 ~ 1 ЗТГпз ~ и

¿(ж1)2 ¿(ж1)3 ф1)2' ¿(ж1)2

соответствуют следующему решению системы определяющих уравнений

,1 1 , dci 2 С?С2 >2 2

Здесь с0 - постоянная, ci(x1),c2(x1) - произвольные функции.

В разделе 4.2 рассматриваются частные симметрии уравнений в частных производных. Здесь условие инвариантности выполняется не для любого интегрального многообразия исходной системы, а для некоторого подпространства пространства интегральных многообразий.

Определение 23. Будем говорить, что группа преобразований С?р называется частной симметрией системы внешних дифференциальных уравнений Л(Е) (и одновременно СИ), если выполняются условия

-!*'(*,«))!!,. = 0. (18)

Формы ш' определяют систему внешних дифференциальных уравнений Л(Е) и иг С

Разложим выражения для преобразованных переменных х,й в ряд по параметру преобразования е и подставим их в п-формы 0/(3;,«), определяющие систему Л(Е). Получим

е2

ш'(х, и) = ш'{х,и) + £ш1 + уЦ + •••) (19)

где ш*(х,«,4,С)>Ш2(Ж>У>^>С)!• • • ~ некоторые п-формы, в выражения для которых входят не только переменные х, и, но и компоненты и),£(ж, и) векторного поля Хр.

Ограничение этого выражения на подпространство С/2 в условии (18) эквивалентно тому, что должна быть совместной следующая переопределенная система внешних дифференциальных уравнений

. ш' = 0, ш{ = 0, Ц = 0,... (20)

Условия (20) можно использовать как для отыскания частных симмет-рий, так и для отыскания классических симметрий. Условие инвариантности для классических симметрий в общем виде записывается с помощью соотношений ш{ — А^иР, где А' - некоторые функции.

Пусть п-формы ш\р определяют некоторую систему внешних дифференциальных уравнений Лр: ш'р = 0. Обозначим через 1/р пространство интегральных многообразий системы внешних дифференциальных уравнений Лр.

Теорема 20. Для того, чтобы группа бр определяла частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений Л(Е), необходимо и достаточно выполнения условий инвариантности

и\=Ш1р + \у, (21)

причем иСт. П ир = 11г ^ 0.

Из данной теоремы вытекает алгоритм, в соответствии с которым могут быть получены частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений. А именно, используя (18) и (19) необходимо получить формы и представить их в виде (21). Из (21) получается система внешних дифференциальных уравнений Лр, в которой искомыми функциями

будут зависимые переменные системы Л(Е). Произвол в выборе функций, определяющих координаты оператора Хр, используется для обеспечения условий совместности систем Л(Е) и Ар (то есть для определения Uz).

В качестве примеров в разделе 4.2 рассматривались волновое уравнение и неоднородное уравнение теплопроводности вида:

При /(t, х,и) = u — xt частная симметрия определяется векторным полем

X-U— + X— ди дх

для интегрального многообразия и = x(cexp(i) + 1 + f). При f(t, х, и) = х3 + 2t — 6xt имеем частную симметрию

х = ви|_+JL + з А

ди дх dt

для и = tx3 +t2 + с. (с = const).

В Главе 5 рассматриваются законы сохранения для систем уравнений, которые не получаются из вариационного принципа.

Законом сохранения для системы уравнений в частных производных СЕ называется выражение (равенство)

DivP = 0, (22)

которое выполняется на интегральных многообразиях системы СЕ. Здесь Р = (Pl(x, гг,р),..., Рп(х,и,р)) - гладкие функции.

То, что левая часть выражения (22) обращается в нуль на всяком интегральном многообразии системы СЕ, означает что DivP = Q'F'. Функции Q' называются характеристиками закона сохранения.

После перехода к системе внешних дифференциальных уравнений, выражение (22) можно записать в виде

(-l)i+1d.F Л (dzj Л... Л <*яп)? = 0 (23)

(О в правой части равенства есть нулевая форма 0 ■ dx\ Л ... Л dxn).

Существуют системы уравнений, также допускающие запись вида (22), но для которых условие гладкости функций Р1,...,Рп может нарушаться в некотором подпространстве. Поэтому можно дать следующую формулировку закона сохранения системы внешних дифференциальных уравнений.

Определение 32. Законом сохранения для системы внешних дифференциальных уравнений Л(СЕ) (с граничными условиями ит) будем называть равенство (23) в подпространстве J' С J*(7r), если:

а) функции Р = (P1(xiu,p),... ,Рп(х,и,р)) - являются гладкими в пространстве J';

б) для граничных условий ит интегральное многообразие системы Л (СЕ) и его график в Jk(iг) принадлежат J';

в) левая часть выражения (23) обращается в нуль на интегральных многообразиях системы А(СЕ).

Рассмотрим короткую последовательность следующего вида

Л„-i(J4(»)) -А Л°(СS) -Л An+1(J*(тг)). (24)

Здесь через Л"(СЕ) обозначено подпространство n-форм, обращающихся в нуль на интегральных многообразиях системы СЕ. Для системы уравнений Л(СЕ) подпространство Л°(СЕ) определяется n-формами вида

а = Qaua. (25)

Сопоставим каждой n-форме а, определяемой выражением (25), некоторый набор 1-форм /?*, так что а = ß1 Л (dx\ Л ... Л dxn)j. Обозначим через Л°(СЕ,£?) подпространство, определяемое совокупностью 1-форм ß'. Короткая последовательность (24) порождает следующую короткую последовательность

Ф(Л*)) -А A?(CE,Q) —4 Л3{Jk(*)).

Для этой последовательности рассмотрим Zl<u(Q) = ker d(A\(CE, Q)), Blu{Q) = im ¿(Ф(Зк(к))). Набор функциий при котором ß' 6 Z1u(Q), обозначим как Q\.

Предложение 23. Если все 1-формы ß' £ Zlw(Q), то а £ Znw(Q) и функции Q" есть характеристики закона сохранения.

Исходя из предложения 23 и из условия ß* € Zlu(Q), можно получить систему уравнений в частных производных для характеристик закона сохранения Q\. Если эта система совместна и имеет аналитические решения, то эти решения и определяют характеристики законов сохранения.

Далее, на втором этапе решения задачи необходимо выяснить: имеет ли место закон сохранения, определяемый данным набором характеристик, во всем пространстве Jk(n) или в некотором подпространстве J' С Jk{ir)- Кроме того, нужно определить вид функций Р' в (22).

Предложение 24. Для того, чтобы а £ BJw в некоторой области J' С Jk{n), необходимо и достаточно чтобы в этой области выполнялось условие ßl £ Blu(Q).

Определим условия при которых замкнутые формы /3' одновременно будут являться точными. При этом будем рассматривать случай, когда область определения форм /31 является неодносвязной.

Пусть 1-форма /3 является гладкой в двумерной области определения и = Я2 \ 5, где 5 - ограниченная подобласть в Я2. Проведем в области определения формы /3 окружность конечного радиуса так, чтбы область 5 находилась внутри окружности. Рассмотрим эту окружность в качестве Замкнутого Контура 7. Рассмотрим также 1-форму /37 (/3 на контуре 7).

Определение 33. Будем называть точку «ц,^ € 7 неподвижной для формы ¡3 на контуре 7, если в этой точке /?7(ид,ид) = 0.

. Теорема 21. Для того, чтобы замкнутая 1-форма ¡3 была точной, необходимо, чтобы для данной формы на контуре 7 существовала хотя бцодна неподвижная точка.

_ Теорема 22. Пусть и — Я2 \ 5 - область определения 1-формы ¡3 = А{(и)<1и\ где 5 - подобласть в Л2, находящаяся внутри окружности с радиусом К. Пусть также форма /3 гладкая в и и принадлежит кег ¿(А^и)). Тогда для того, чтобы форма ¡3 была точной в и, необходимо, чтобы существовали такие значения и2, которые являлись бы решениями системы уравнений

¿104,«5)«? = М< «о)«о. (мо)2 + К)2 = к2

(в теореме 23 доказывается аналогичное утверждение для 1-форм, которые получаются из 1-формы на п-мерном многообразии фиксацией всех координат, кроме произвольной пары координат).

Далее в работе доказана лемма Пуанкаре для области, которая не обязательно является односвязной. Используя лемму, можно построить функции Р', определяющие закон сохранения для исходной системы уравнений.

В качестве примера рассматривались законы сохранения (с не гладкими характеристиками) для уравнения Лапласа и система уравнений из одномерной нестационарной газовой динамики.

В 5.2 рассматривается возможность применения теоремы Э. Нетер для построения законов сохранения невариационных систем уравнений. В разделе 5.2.1 используется понятие первого интеграла закона сохранения и указывается на связь задачи определения характеристик законов сохранения с некоторой обобщенной вариационной задачей Майера по управлению исходной системой уравнений в частных производных. В разделе 5.2.2 вводится понятие невариационной системы уравнений с эйлеровой частью ("квазиэйлерова система").

Пусть под действием преобразований группы в некоторая функция (лагранжиан) д примет вид д — д(х,ь.,р). Изменение лагранжиана д опре-

делим величиной 8д = д — д. Рассмотрим функционал

Л 9] = 1в9^х,

и его вариацию, определяемую выражением

ЛЭД = /д

Функционал 1[д] будем называть функционалом с фиксированной (неварь-ируемой) областью интегрирования.

На языке теории непрерывных групп преобразований необходимое и достаточное условие инвариантности функции д(х,и,р) записывается в виде: Х^ д(х,и,р) = 0.

Определение 38. Группу С будем называть группой вариационных симметрий функционала с фиксированной областью интегрирования 1[д\.

Пусть функции .Р(х,и,р) могут быть представлены в виде

Р'(х,щр) = Е,{д) + и,?), • (26)

где функции РЦ(х,и,р) определяют "не эйлерову" часть системы СЕ.

Определение 39. Систему СЕ с функциями .Р" вида (26) будем называть "квазиэйлеровой" для лагранжиана д.

Теорема 26. Пусть система уравнений СЕ является квазиэйлеровой для лагранжиана д, т.е. функции Р" имеют вид (26). Тогда, если векторное поле Х^ является инфинитезимальной симметрией функционала 1[д], и функции РЦ(х,и,р) удовлетворяют условию

то характеристики 0* векторного поля Х^ являются характеристиками закона сохранения системы уравнений СЕ. Здесь

Определение 40. Будем называть векторное поле Ли Xинфинитезимальной вариационной симметрией квазиэйлеровой системы СЕ, или симметрией, если выполняется условие

Х(4) д + + дШу £ = Б™ В.

Здесь В{х,и,р) - некоторая функция.

Теорема 27. Пусть система СЕ является квазиэйлеровой, т.е. функции Р3 имеют вид (£6). Тогда, если векторное поле

является (}Е

симметрией системы СЕ, то характеристики в3' векторного поля являются характеристиками закона сохранения системы СЕ. При этом компоненты закона сохранения имеют вид Р* = В* — Ах —

Отметим, что если теорема Э. Нетер устанвливает соответствие между симметриями и законами сохранения эйлеровых (вариационых) систем дифференциальных уравнений, то теоремы 26 и 27 устанавливают аналогичное соответствие для систем уравнений, отличных от эйлеровых (квазиэйлеровых).

В качестве примеров в этом разделе рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Например, уравнение Эм-дена - Фаулера

иа + 2 щ/Ь + иь = О

запишем в виде

Р2 + 2р1Д + и5 = 0.

Интегрирующий множитель для уравнения Эмдена-Фаулера есть функция 42. Однако, законы сохранения этого уравнения можно определить записав его в не эйлеровом виде:

*Р2 + 2р1 + Ьи5 = 0.

Представим это уравнение в невариационном виде:

Е(д) + Е¡, = 0.

Здесь можно взять, например, д = ¿2м5р]С1 + ¿«бС2, Е„ = ¿и5( 1 - 6с2 + 2сх) + 2р1 + Ьр2, где С1,С2 - константы. Характеристика векторного поля, определяющего (¿Е симметрию, имеет вид 0 = —Ы/2 — Функция В в этом случае определяется выражением

В = г3и6(6с2 - 1 - Зс!)/6 - ¿2ирх/2 - £3(рг)2/2,

а компонента закона сохранения Р имеет вид

Р=-(^и6/3 + *2ирг-И3(Р1)2)/2

(аналогичное выражение получается и по теореме Э. Нетер, если исходное уравнение привести к эйлеровому виду).

В Главе 6 рассматриваются две задачи из теории пограничного слоя. В разделе 6.1 рассматривается задача интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре в поперечном потоке несжимаемой жидкости. Математическая модель несжимаемого ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре определяется

двумя уравнениями, одно из которых (уравнение неразрывности) записано в дивергентной форме. Учет этого обстоятельства позволяет модифицировать одну из известных в гидродинамике задач по расчету поперечного обтекания цилиндра: в окрестности критической точки система уравнений пограничного слоя сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, одно из которых - уравнение Фокнер-Скен. Решение в окрестности критической точки сравнивается с конечно-разностным решением. В разделе 6.2 рассматривается задача рассчета тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки в сжимаемом турбулентном пограничном слое. По "технологии" решения этой задачи выделяется дивергентная и источниковая части, т.е. используется частично-дивергентная форма записи исходной системы уравнений. С помощью модифицированного метода А. А. Дородницына уравнения пограничного слоя сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Данная система в окрестности критической точки допускает группу непрерывных преобразований, что позволяет присоединить к системе инвариантные голономные связи. Уравнения пограничного слоя интегрируются совместно с уравнениями теплопроводности и фильтрации в оболочке.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Рассмотрены особенности и преимущества перехода к внешним дифференциальным уравнениям для исследования симметрий систем уравнений в частных производных, представленных в виде полиномов по степеням переменных. Показано, что алгебра симметрий систем внешних дифференциальных уравнений совпадает с алгеброй симметрий уравнений, записанных в исходном виде. Показано также, что в определенных случаях переход к системе внешних дифференциальных понижает трудоемкость процедуры построения определяющих уравнений. Предложено использовать метод расщепления системы внешних дифференциальных уравнений по параметру преобразования в процедуре получения определяющих уравнений.

2. Исходя из геометрической трактовки системы уравнений в частных производных (поверхность СЕ в пространстве струй), определено понятие голономной и дифференциальной связи (как поверхности в пространстве струй, пересекающейся с СЕ). Дифференциальные (голономные) связи, инвариантные относительно преобразований симметрий системы СЕ, позволяют редуцировать исходную систему СЕ к системе с меньшим числом зависимых переменных (частично- инвариантные и дифференциально- инвариантные решения). Рассмотрены частично-инвариантные решения увеличенного ранга, совпадающего с размерностью пространства независимых переменных. Для систем обыкновенных дифференциальных уравне-

ний предложено использовать расширение пространства представления группы ("за счет параметров системы или произвольных функций, входящих в систему), допускаемой системой, в задаче построения голономных связей между зависимыми переменными системы.

3. Введено понятие однопараметрического (инвариантного) решения системы уравнений в частных производных вдоль векторного поля, являющегося инфинитезимальной образующей симметрии исходной системы уравнений. Алгоритм построения однопараметрического решения вдоль векторного поля исключает этап решения уравнений фактор- системы, соответствующей данной группе преобразований. На примере простейшего волнового уравнения показано, что однопараметрические решения вдоль векторных полей могут быть использованы при анализе особенностей в поведении инвариантного решения.

4. Сформулированы условия существования точной и приближенной неинвариантных симметрий и предложен алгоритм использования неинвариантных симметрий для построения точных или приближенных решений системы уравнений в частных производных на базе решения некоторой более простой системы. Введено понятие частной* симметрии для системы уравнений в частных производных и для системы внешних дифференциальных уравнений. Так же, как и классические симметрии, частные симметрии используются для построения точных решений исходной системы уравнений.

5. Введено понятие закона сохранения с не гладкими характеристиками закона сохранения. Разработан алгоритм отыскания законов сохранения произвольных систем уравнений в частных производных, с помощью которого задача отыскания характеристик закона сохранения сводится к задаче отыскания ядра оператора внешнего дифференцирования, действующего на некотором подпространстве 1-форм. Доказан вариант леммы Пуанкаре для замкнутых 1-форм, с неодносвязной областью определения. Показано, что уравнения, определенные в односвязной области и не имеющие особенностей в области определения, могут иметь неодносвязную область действия закона сохранения. Введено понятие неподвижных точек для 1-формы на контуре. Сформулирован алгебраический критерий, определяющий необходимые условия для обеспечения точности замкнутых 1-форм с неодносвязной областью определения.

6. Рассмотрен принцип вариации функционала с фиксированной областью интегрирования и определены условия инвариантности функционала. Введено понятие "квазиэйлеровых" систем уравнений (которые не получаются из вариационного принципа). Доказана теорема, аналогичная теореме Э. Нетер, устанавливающая связь симметрий "квазиэйлеровой" системы уравнений с характеристиками закона сохранения. Данная теоре-

ма позволяет (аналогично теореме Э. Нетер) явным образом записывать законы сохранения "квазиэйлеровых" систем уравнений.

7. В качестве приложений при поиске симметрий и законов сохранения систем внешних дифференциальных уравнений рассматривались различные уравнения механики жидкости и газа: уравнения одномерной нестационарной газовой динамики, уравнение Т. Кармана, волновое уравнение и др. Символьные вычисления осуществлялись с использованием компьютерной математической системы Maple V.

8. Рассмотрены две краевые задачи, иллюстрирующие возможности использования дивергентной и частично-дивергентной формы записи систем уравнений в частных производных.

Получено аналитическое решение задачи о несжимаемом ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки вращающегося цилиндра в поперечном потоке. Эта задача сведена к задаче интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из уравнений системы аналогично уравнению Фокнер-Скен. При получении второго уравнения учитывается, что уравнение неразрывности записано в дивергентной форме. Это позволяет "модифицировать" решение Фокнер-Скен так, чтобы учесть подвижность поверхности.

Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя записаны в частично-дивергентной форме. Для решения этих уравнений использован метод обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына, с помощью которого исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решены задачи сопряженного турбулентного тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа// Известия вузов. Авиационная техника. - 1987. - N 2. -С. 22 - 25.

2. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Управление тепловым режимом на проницаемом сферическом носке в сверхзвуковом потоке с учетом сопряженного теплообмена//Известия вузов. Авиационная техника. - 1988. - N 4. - С. 30 - 34.

3. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об одной задаче управления теплообменом в турбулентном пограничном слое сжимаемого га-за//Устойчивость и управление: Межвузовский сб. / Казан, авиац. ин-т. - 1988. - С. 15 - 19.

4. Кусюмов А.Н. Расчет ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре. Казань, 1989. 18 с. Рукопись представлена Казанским авиационным институтом. Депонирована в ВИНИТИ 21.09.89., -N 5971 - В89.

5. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. О групповой классификации методом внешних дифференциальных форм Картана уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 1995. - N 1. - С. 66 - 69.

6. Кусюмов А.Н. Аналог инвариантов Римана для уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 1996. - N 3. - С. 17 - 20.

7. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Групповая классификация уравнения Т. Кармана в задаче истечения газа из цилиндрической трубы со скоростью звука//Известия вузов. Авиационная техника. - 1998. - N 1.

- С. 54 - 58.

8. Кусюмов А.Н. Характеристические симметрии гладкой динамической системы и анализ отклонения вектора наблюдения при возмущении временной координаты//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 1998. - N 4. - С. 1-6. (http//www. newa.ru/journal)

9. Кусюмов А.Н. Использование символьных вычислений на ЭВМ в задаче определения законов сохранения//"Новейшие проблемы теории поля. 1998". Труды международной летней школы - семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"/ Под ред. A.B. Аминовой. - Казань, 1998. -С. 217 - 221.

10. Кусюмов А.Н. Определяющие уравнения для инфинитезимальных сим-метрий одного класса систем внешних дифференциальных уравне-ний//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 1999. - N 1. - С. 27 - 30.

11. Кусюмов А.Н. Об однопараметрических решениях для систем уравнений в частных производных первого порядка//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 1999.

- N 2. - С. 31 - 42. (http//www.newa.ru/joumal)

12. Кусюмов А.Н. О симметриях одного класса систем внешних дифференциальных уравнений//"Новейшие проблемы теории поля. 1999 -

2000". Труды международной летней школы - семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"/ Под ред. Аминовой A.B. - Казань, 2000. С. 192 - 198.

13. Кусюмов А.Н. О не гладких характеристиках закона сохранения// "Новейшие проблемы теории поля. 1999 - 2000". Труды международной летней школы - семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" / Под ред. Аминовой A.B. - Казань, 2000. - С. 199 - 203.

14. Кусюмов А.Н. Функционал с фиксированными пределами интегрирования и законы сохранения систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 2000. - N 2. - С. 1 - 12.

(http //www.newa.ru/journal)

15. Кусюмов А.Н. Симметрии и голономные связи для систем уравнений в частных производных//Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Материалы. - Самара, 2000. -С. 68 - 69.

•16. Кусюмов А.Н. О некоторых точных решениях и инвариантах Римана одного класса систем внешних дифференциальных уравнений//Ред. ж. Изв. Вузов. "Математика". - 2001. - N 4. - Деп. в ВИНИТИ 28.11.00 N 3020 - В00. - 13 с.

17. Кусюмов А.Н. О голономных связях и некоторых точных решениях уравнений одномерного нестационарного течения газа//Прикл. ма-тем. и механ. - 2001. - Т. 65, N 3. - С. 449 - 455.

18. Кусюмов А.Н. Об одном классе точечных симметрий системы внешних дифференциальных уравнений. Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 2001. - N 2. -С. 1 - 9. (http//www.newa.ru/journal)

19. Кусюмов А.Н. О задаче поперечного обтекания вращающегося цилиндра// Международная конференция "Математическое моделирование 2001" (ММ-2001). Труды конференции. - С. 24 - 25.

20. Кусюмов А.Н. О приближенной групповой редукции одного класса систем уравнений в частных производных//III Уеждународная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения". Труды конференции. - Красноярск, 2002. - С. 139 - 143.

21. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 2002. - N 4. - С. 1 - 16. (http//www.newa.ru/journal)

22. Кусюмов А.H. Симметрии и законы сохранения невариационных систем уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". - 2003. - N 1. - С. 100 - 107.

(http//www.newa.ru/journal)

23. Кусюмов А.Н. Расчет поперечного обтекания вращающегося цилиндра в окрестности критической точки//Теор. основы химической технологии. - 2003. - Т. 37 , N 3. С. 1 - 5.

24. Кусюмов А.Н. Симметрии внешних дифференциальных уравнений и инвариантные связи (в приложении к некоторым задачам механики жидкости и газа). Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2003. 142 с.

25. Kusyumov A.N. About conservation laws for homogeneous quasilinear systems of two equations of the first order. - Proc. Int. Corif. "Géométrisation of Physics IV", Kazan State University. - Kazan, October 4 - 8,.1999. - Pp. 179 - 181.

26. Kusyumov A.N. About symmetries of exterior differential equations, appropriated to a system of quasilinear differential equations of the first order// Proc. of Institute of Mathematics of Ukraine. V. 30. Part 1. Kyiv: Institute of Mathematics of Ukraine, 2000/ Eds.: A.G. Nikitin, V.M. Boyko. -Pp. 131 - 136.

27. Kusyumov A.N. Metod of the exterior differential forms and problem of the conservation laws determination for partial differential equations system// Международный журнал "Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах". - 2000. - Вып 2, Том 6. - С. 91 - 101.

28. Kusyumov A.N. About symmetries of exterior differential equations//VIII International Conference "MOGRAN 2000. Modern Group Analysis for the New Millenium". Proceedings. Ufa: USATU Publishers, 2001/ Eds. V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov, F.M. Mahomed. -Pp. 101 - 104.

I

Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Усл. печ. л. 1,86. Усл. кр.-отт. 1,91. Уч. изд. л. 2,0. Тираж 100. Заказ (ЧМ-Типография Издательства Казанского государственного технического

университета 420111, Казань, К. Маркса, 10

Р10066

2-ooS-A

íooáé

Введение

1. Внешние дифференциальные формы и группы преобразований

1.1 Внешние дифференциальные формы.

1.2 Локальная группа Ли.

1.3 Локальная группа преобразований.

1.4 Корепер и линейная связность на односвязном гладком многообразии.

1.5 Интегрирование дифференциальных форм и комплекс де Рама.

2. Симметрии внешних дифференциальных уравнений

2.1 Пространство &-струй и система уравнений в частных производных.

2.2 Система внешних дифференциальных уравнений.

2.3 Производные Ли и симметрии внешних дифференциальных уравнений.

2.3.1 Производные Ли и метод В. Harrison и F. Estabrook.

2.3.2 Соотношение симметрий квазилинейных систем СЕ первого порядка и Л(СЕ).

2.3.3 Соотношение симметрий для произвольных "полиномиальных" систем СЕ и А(СЕ).

2.3.4 Определение производных Ли методом разложения в ряд по параметру преобразования.

2.3.5 Использование мономов для вычисления производных Ли.

2.4 Структурный метод определения симметрий внешних дифференциальных уравнений.

3. Симметрии и дифференциальные связи

3.1 Уравнения структуры и инварианты Римана для систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми и двумя зависимыми переменными.

3.1.1 Инварианты Римана.

3.1.2 Присоединенные дифференциальные связи и уравнения структуры.

3.1.3 Обобщенная функция тока.

3.1.4 О связности, ассоциированной с корепером на гладком двумерном многообразии.

3.2 Построение инвариантных связей.

3.3 Инвариантные связи для динамических систем с параметрами.

3.4 Инвариантные связи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с функциональным произволом.

3.5 Однопараметрические решения вдоль векторных полей.

3.5.1 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и "восстановление граничных условий".

3.5.2 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и произвольные граничные условия.

4. Неклассические симметрии уравнений в частных производных

4.1 Неинвариантные симметрии уравнений в частных производных.

4.2 Частные симметрии уравнений в частных производных.

5. Внешние дифференциальные уравнения и законы сохранения

5.1 Законы сохранения системы внешних дифференциальных уравнений.

5.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения невариационных систем уравнений.

5.2.1 Теорема Э.Нетер и законы сохранения системы уравнений для характеристик законов сохранения.

5.2.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения для квазиэйлеровой системы уравнений.

6. Использование законов сохранения при решении задач пограничного слоя

6.1 Несжимаемый ламинарный пограничный слой на вращающемся цилиндре в поперечном потоке.

6.2 Расчет тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки в турбулентном пограничном слое.

Проблема изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время имеет различные направления. С одной стороны, эта проблема может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли взгляды на дифференциальные уравнения в частных производных стали развиваться в новых направлениях. Возникла так называемая "качественная" математика, предметом исследования которой являются те или иные характеристики или свойства объектов, связанных каким либо образом с системой уравнений. Предметом интересов стала и структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью таких операций, как дифференцирование и продолжение.

Отметим, что методы, направленные на проведение "качественных" исследований систем уравнений в частных производных (аналитические методы), по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориентированы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравненении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы исследования имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса (моделируемого дифференциальными уравнениями), возможность замены математической модели процесса более простой моделью (или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме), в некоторых случаях возможность получения точных ("количественных") решений, и др. Как отмечается в [108] "численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов решений, зависящих от произвольных параметров и функций, возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации". Таким образом, данное направление математического моделирования ("качественные исследования") дополняет методы численного моделирования и часто является предварительным этапом задачи получения решений системы дифференциальных уравнений.

К наиболее известным и разработанным задачам, относящимся ко второму направлению, принадлежат задача исследования групп симметрий систем уравнений в частных производных и задача построения законов сохранения.

Само по себе понятие симметрии является одним из наиболее фундаментальных "качественных" свойств окружающего нас мира. По выражению В. Гильде [28] понятие симметрии играет "ведущую, хотя и не вполне осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни".

Применительно к дифференциальным уравнениям группа симметрий определяется как совокупность преобразований (удовлетворяющих определенным требованиям), и преобразующих решения этой системы в другие ее решения. В соответствии с этим требованием система дифференциальных уравнений является инвариантной относительно действия группы преобразований: в преобразованных переменных система имеет тот же вид, что и исходная.

Теория непрерывных групп преобразований создавалась С. Ли специально для изучения дифференциальных уравнений. Основной задачей исследования групп симметрий систем дифференциальных уравнений является задача построения алгебры Ли дифференциальных операторов (векторных полей). При этом исходная система уравнений должна являться инвариантной относительно действия группы преобразований, соответствующей алгебре Ли дифференциальных операторов (которые называются также инфинитезимальными симметриями системы уравнений).

Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям [156] (см. также [89]). Позднее Г. Биркгоф [12] привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости.

Систематические исследования по приложению групп Ли для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым [85] и его учениками [43]. Применительно к уравнениям механики жидкости и газа, эти работы продолжаются Л.В Овсянниковым и по настоящее время (см., например, [87], [88]). В аналитической механике теоретико - групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Че-таева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [93], В.В. Пухначевым [104], С.В. Хабировым [124] (в г. Казани В.Г. Павловым [26], [91], [92]).

Представления о современном состоянии и направлениях развития метода Ли - Овсянникова можно найти в работах [2],[43], [89]. Кроме того, краткое введение в современные методы группового анализа и сводка основных результатов по групповому анализу дифференциальных уравнений имеются в Руководстве по групповому анализу дифференциальных уравнений [140].

Отметим здесь, что наибольшая часть работ в этом направлении была выполнена с использованием точечных групп преобразований (т.е. групп преобразований, "изначально" действующих в пространстве зависимых и независимых переменных).

Важнейшим направлением развития теории непрерывных групп преобразований является направление связанное с понятием обобщенных (высших) симметрий. В теории контактных преобразований С. Ли включал производные зависимых переменных в пространство представления группы [154] (группа преобразований действует в пространстве зависимых, независимых переменных и производных зависимых переменных первого порядка). Он же поставил вопрос о существовании обобщений контактных преобразований высших порядков [155]. Позднее Бэклунд рассматривал преобразования, зависящие от производных зависимых переменых произвольного (конечного) порядка [131] (преобразования Ли - Бэклунда). Обобщение данного подхода привело к обобщенным преобразованиям, которые существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных. Преобразования данного типа появились в связи с открытием "вполне интегрируемых систем" и последующим развитием методов обратной теории рассеяния [1], [129].

Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к. дифференциальным уравнениям, - теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6], [7], [8] были введены в рассмотрение Н.Х. Ибрагимовым, В.А. Байковым, Р.К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр е [81]. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [142], [143], [144] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрий уравнений с малым параметром.

Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В.И. Фущича и его коллег [121], [122], [123]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой переменной по малому параметру, с последующим расщеплением исходного уравнения по степеням малого параметра.

Примеры группового анализа дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, имеются также в работах В.А. Чугунова и др. [116], [138].

Еще одна тенденция в развитии группового анализа - тенденция к абстракции и глобализации, охватившая большую часть современной теории групп. По выражению П. Олвера "приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, начатые Ли и Нетер, постепенно уходили во тьму, в то время как глобальная абстрактная переформулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за которую боролся Э. Кар-тан, занимала господствующее положение в математике" [89]. Наиболее полно данная тенденция проявилась в работах A.M. Виноградова и др. [20], [109] направленных на создание геометрической теории группового анализа систем уравнений в частных производных. В этих работах система уравнений в частных производных рассматривается как некоторая поверхность в пространстве струй (джетов) локальных сечений некоторого расслоенного пространства.

Геометрическая теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на использовании бурбаковского формализма, разработана Ю.Н. Павловским и изложена в работе [94].

Кроме того, благодаря работам Эли Картана, сформировался подход к изучению систем дифференциальных уравнений в частных производных путем приведения их к системам внешних дифференциальных уравнений. При использовании этого подхода исходная система уравнений заменяется системой, в которую в общем случае входят зависимые и независимые переменные, производные зависимых переменных, а также дифференциалы этих величин. Выражения, состоящие из слагаемых, в которые входят дифференциалы переменных всех видов, образуют т.н. внешние дифференциальные формы, которые умножаются специальным образом - с помощью внешнего произведения и дифференцируются с помощью операции внешнего дифференцирования. Систематическое использование внешних дифференциальных форм и операции внешнего дифференцирования составляет основу дифференциально-геометрического метода исследования.

Впервые переход к системам внешних дифференциальных уравнений использовался для нахождения симметрий систем уравнений в частных производных, по-видимому, в начале 60-х годов в работах A.M. Васильева [18], [19] и К.П. Суровихина [113], [115] на примере некоторых систем уравнений механики жидкости и газа. В этих работах для нахождения симметрий использовался достаточно трудоемкий метод канонизации. Основной задачей здесь являлось представление системы внешних дифференциальных уравнений с помощью системы форм Пфаффа, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана (уравнению структуры). Данную методику проведения группового анализа условно можно назвать структурным методом.

Позднее, в работе В.К. Harrison, F.B. Estabrook [146] также использовался переход к системам внешних дифференциальных уравнений для отыскания симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного класса. Для нахождения инфинитезимальных симметрий в [146] использовались производные Ли внешних дифференциальных форм. Так же как и в методе Л.В. Овсянникова, задача отыскания симметрий сводится в [146] к задаче получения и решения системы определяющих уравнений. Поэтому метод отыскания симметрий [146] в определенном смысле можно считать аналогом метода Л.В. Овсянникова.

Все перечисленные выше направления касаются различных подходов к методам и формулировкам понятия симметрий систем дифференциальных уравнений. Что касается использования симметрий, то здесь также существуют различные подходы.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений наличие однопараметрической группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу [89]. Кроме того, наличие симметрий у системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет определять первые интегралы системы [94], [127]. Возможно также использование симметрий для решения задачи декомпозиции системы обыкновенных дифференциальных уравнений [94].

Симметрии и дифференциально-геометрический подход использовались в работе [38] по редукции нелинейных управляемых динамических систем (приведение исходных систем к более простому виду). Вопросы редукции обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались также в [39], [40] на основе теории дискретных групп преобразований.

Для уравнений в частных производных одно из направлений исполь-звания симметрий - построение новых решений системы уравнений в частных производных по уже известным ее решениям (размножение решений). При этом группа симметрий позволяет классифицировать множество всех решений системы (два решения считаются эквивалентными, если они связаны одним из преобразований группы). Возможна также классификация с помощью симметрий систем дифференциальных уравнений в зависимости от произвольных параметров или функций, входящих в систему.

Другое направление касается собственно построения решений системы уравнений. Найденные в результате проведения группового анализа симметрии системы уравнений в частных производных используются для понижения размерности пространства независимых переменных при построении так называемых инвариантных и частично-инвариантных решений [86], [89]. А именно, в результате исследования групповых свойств системы уравнений определяется система инвариантов группы (полная или неполная). После этого исходная система уравнений сводится к так называемой фактор-системе, которая имеет меньшую размерность пространства независимых переменных. В частности, таким образом можно получать автомодельные решения систем уравнений в частных производных. Возможен и другой подход к использованию инвариантов группы

- уменьшение размерности пространства зависимых переменных. Подобным образом, например, получаются решения типа простых волн [86]. Недостаток данного подхода к использованию симметрий - ограничения по постановке граничных условий для которых могут быть получены решения исходной системы уравнений.

Групповые методы используются при решении задачи о точной линеаризации нелинейных уравнений в частных производных. Такая возможность рассматривалась в [12], [85] и более полно в [43].

Еще одно известное направление использования симметрий - построение законов сохранения для систем уравнений определенного класса. Под законом сохранения понимается запись уравнений, входящих в исходную систему, в специальной форме - в виде дивергенции некоторого вектора.

Наиболее известная методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных опирается на первую теорему Э. Не-тер. Теорема Э. Нетер позволяет определять законы сохранения для так называемых вариационных систем уравнений в частных производных, т.е. для таких систем, которые могут быть получены как уравнения Эйлера

- Лагранжа для некоторого функционала. При этом сама процедура построения законов сохранения использует симметрии системы. Достоинством данного подхода к построению законов сохранения является тот факт, что наиболее трудоемкая часть метода заключается в проведении группового анализа системы исходной уравнений - то есть основана на использовании хорошо известного и разработанного алгоритма. К недостаткам метода можно отнести то ограничение, что исходная система уравнений должна быть вариационной.

Н.Х. Ибрагимов [42] дал новое доказательство теоремы Э. Нетер на языке теории непрерывных групп преобразований. Им же были построены законы сохранения для уравнений из различных областей физики. К.Г. Гараевым построена [21], [22] модифицированная теория инвариантных задач, позволяющая конструировать законы сохранения и первые интегралы для оптимизационных задач в различных областях естествознания (в частности, при решении задачи оптимизации управления ламинарным пограничным слоем сжимаемого газа). Кроме того, в [22] приводится обобщение теоремы Э. Нетер на основе теории L* инвариантности.

Отметим здесь, что задача построения законов сохранения систем уравнений в частных производных может быть сформулирована на языке внешних дифференциальных форм. Впервые этот подход использовался, по - видимому, A.M. Васильевым в начале 60-х годов. Методика, разработанная A.M. Васильевым, позволяет определять законы сохранения для систем уравнений произвольного класса на основе отыскания характеристик законов сохранения (некоторой вектор-функции, на которую умножаются уравнения исходной системы). Недостаток этой методики, изложенной в работах [10], [11], [18], заключается в том, что для определения характеристик законов сохранения необходимо провести исследование на совместность некоторой системы уравнений Пфаффа и затем построить ее аналитическое решение, что в общем является достаточно трудоемкой задачей.

Оригинальная методика построения законов сохранения для уравнений в частных производных (на основе перехода к внешним дифференциальным уравнениям) была предложена в [162].

Позднее была разработана методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных произвольного класса на основе теории спектральных последовательностей и использовании комплекса де Рама [109]. Согласно [109], задача отыскания законов сохранения сводится к задаче отыскания некторой вектор-функции, которая называется производящей функцией закона сохранения. Несколько более простое изложение этой методики приводится в [89], где производящие вектор - функции называются характеристиками законов сохранения. При этом производящие функции (или характеристики законов сохранения) определяются из решения линейной системы уравнений в частных производных первого порядка. Если производящая функция найдена, то можно утверждать, что закон сохранения существует (по крайней мере, локально) и его можно найти с помощью подходящего оператора гомотопии [89]. Справедливость этого утверждения определяется леммой Пуанкаре. Поскольку дифференциальные формы используются и при доказательстве леммы Пуанкаре и при построении оператора гомотопии, то можно считать, что использование метода внешних дифференциальных форм является совершенно естественным в задаче отыскания законов сохранения. Поэтому вполне естественной является и формулировка задачи отыскания законов сохранения на языке метода внешних дифференциальных форм.

Необходимо отметить, что приведенный здесь обзор работ является не полным, особенно в части применения симметрий в качественной теории дифференциальных уравнений. При составлении данного обзора упоминались, в основном, работы близкие по тематике к проблемам, затрагиваемым в диссертационной работе.

Основные проблемы, рассматриваемые в диссертационной работе, можно классифицировать по следующим направлениям.

I. Расширение возможностей использования классических (точечных) симметрий для построения решений уравнений в частных производных.

II. Построение новых (неклассических) видов точечных симметрий, для расширения класса объектов (систем дифференциальных уравнений), допускающих теоретико-групповые методы исследования.

III. Построение и использование законов сохранения для невариационных систем уравнений в частных производных.

IV. Развитие метода внешних дифференциальных форм применительно к задачам отыскания симметрий и построения законов сохранения систем дифференциальных уравнений.

Первые два направления существенным образом опираются на геометрическую трактровку понятия инвариантно- групповых решений, к которым относятся инвариантные, частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения. С геометрической точки зрения технику построения инвариантно- групповых решений можно трактовать как присоединение к исходной системе дополнительных уравнений (поверхностей) инвариантного характера. При таком подходе, в отличие от метода дифференциальных связей, присоединяемые уравнения (одно или несколько) используют априорную информацию о системе, полученную на основе группового анализа. В работе геометрическая трактовка инвариантно- групповых решений на основе присоединения инвариантных связей используется как при решении задачи расширения области использования классических (в смысле JI.B. Овсянникова) симметрий, так и при построении и использовании неклассических симметрий.

Раширение возможностей использования классических симметрий может быть связано с различными аспектами. В частности, одним из возможных направлений использования симметрий может являться уменьшение количества присоединяемых инвариантных связей (минимум - одна связь). При таком подходе исходная система переопределяется в "минимальной степени", что потенциально увеличивает произвол в решении, но одновременно повышает трудоемкость построения решений (частично данную проблему снимает использование компьютерных пакетов символьных вычислений). Здесь же возможна и переформулировка самого понятия инвариантной связи либо за счет расширения класса присоединяемых уравнений (поверхностей более общего характера), либо за счет включения в пространство представления группы новых объектов (например, параметров системы).

Разработка неклассических симметрий может быть связана с изменением самого понятия инвариантности системы уравнений. Речь здесь может идти, в частности, о обобщении понятия инвариантности за счет за счет ослабления требования преобразования любого решения исходной системы уравнений снова в решение данной системы.

Вторым существенным аспектом работы является использование метода внешних диффернциальных форм. Использование метода внешних дифференциальных форм в работе связано не только с упоминавшейся выше тенденцией абстрактизации и глобализации в современной теории группового анализа. В своей работе В.К. Harrison ( [148]) следующим образом определяет преимущества использования метода внешних дифференциальных форм для изучения уравнений в частных производных.

1. Метод прост в применении.

2. Метод имеет "геометрическую природу". Это позволяет использовать метод внешних дифференциальных форм в различных задачах (отыскание классических и обобщенных симметрий, законов сохранения и т.д.).

3. Метод дает возможность "менять местами" зависимые и независимые переменные (как в преобразованиях годографа).

4. Метод хорошо адаптируется для проведения символьных вычислений на компьютере.

Справедливость данных утверждений по поводу преимуществ метода внешних дифференциальных форм достаточно очевидна за исключением, быть может первого пункта. В частности, это касается преимуществ использования метода внешних дифференциальных форм в задаче отыскания симметрий дифференциальных уравнений перед классическим методом J1.B. Овсянникова. В своей статье В.К. Harrison не приводит обоснований, определяющих технические особенности метода внешних дифференциальных форм с точки зрения облегчения задачи отыскания симметрий.

Возможно именно это обстоятельство, в совокупности с необходимостью изучения "языка" и техники метода внешних дифференциальных форм, и явилось причиной не достаточно широкого применения метода в прикладных исследованиях. В частности, в 97 г. В. Harrison [148] отмечает, что предложенный им (совместно с F. Estabrook) подход к проведению группового анализа дифференциальных уравнений с использованием метода внешних дифференциальных форм не получил широкого распространения и остался практически не известным широкому кругу специалистов, работающих в области группового анализа уравнений. Отметим здесь следующий ряд работ, в которых рассматривались различные аспекты использования метода внешних дифференциальных форм [134], [135], [136], [147], [149], [160].

Некоторые возможности метода внешних дифференциальных форм, определяющие преимущества вычислительного характера в задаче отыскания симметрий (по сравнению с классическим методом), можно выявить при анализе следующего простого примера.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида dx ,. ч где /(£, х) - некоторая гладкая функция. Пусть инфинитезимальная образующая симметрии определяется векторным полем вида д д где £(t,x),T](t,x) - некоторые гладкие функции. В рассматриваемое уравнение входят зависимая, независимая переменная и производная зависимой переменной. Под действием группы преобразований происходит преобразование всех этих переменных. Поэтому для того, чтобы, в соответствии с классической методикой Л.В.Овсянникова, определить точечные симметрии рассматриваемого уравнения, необходимо использовать продолженное векторное поле

Х=х+са dxt

Здесь ((t,x,p) - некоторая функция.

Перейдем теперь от исходного уравнения к внешнему дифференциальному уравнению. В данном случае оно будет иметь вид dx = f(t, x)dt.

Поскольку производная зависимой величины формально не входит в данную запись, то инфинитезимальные симметрии рссматриваемого уравнения полностью определяются векторным полем X а не продолженным векторным полем X.

Аналогичное положение имеется в целом для квазилинейных систем уравнений как обыкновенных, так и в частных производных. Для данного класса уравнений формально нет необходимости использовать продолженные векторные поля для отыскания симметрий. Это не означает, что переход к системе внешних дифференциальных уравнений позволяет полностью избежать той вычислительной работы, которая необходима для построения продолженного векторного поля, поскольку в результате получается та же самая система определяющих уравнений, что и в классическом методе JI.B. Овсянникова. Однако, сама процедура вычисления симметрий становится более "естественной", поскольку действие группы точечных симметрий изначально определяется на пространстве зависимых и независимых переменных. Преобразования же производных зависимых переменных целиком определены преобразованиями зависимых и независимых переменных.

Тем не менее, снижения вычислительных затрат в процедуре построения определяющих уравнений для определения симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных (а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений) можно ожидать по следующей причине. В выражение для функции определяющей продолженное векторное поле X, входят производные зависимых величин. Наличие этих производных определяет технику расщепления условий инвариантности системы уравнений. Однако, каждая процедура продолжения векторного поля X повышает нелинейность условий инвариантности по производным зависимых переменных. Поэтому в результате увеличивается число условий расщепления и число уравнений в системе определяющих уравнений (не все из которых являются линейно независимыми). Следовательно, переход к системе внешних дифференциальных уравнений потенциально должен приводить к уменьшению числа условий расщепления в процедуре построения определяющих уравнений.

Что касается задачи построения законов сохранения систем уравнений в частных производных, то здесь о "естественности" применения метода внешних дифференциальных форм уже говорилось выше.

Как известно, для того, чтобы закон сохранения существовал во всей области определения уравнения, необходимо, чтобы область определения уравнения была односвязной. Данное условие является необходимым и достаточным когда характеристики законов сохранения являются гладкими функциями.

Заметим, однако, что существуют уравнения для которых характеристики законов сохранения не являются гладкими функциями. В этом случае лемма Пуанкаре непосредственно не применима (как и оператор гомотопии). Кроме того, вопрос о существовании закона сохранения осложняется еще и тем, что не известна конфигурация подпространства, определяемого интегральным многообразием системы при заданных краевых условиях (характеристики закона сохранения могут быть гладкими функциями во всей области определения при одних краевых условиях и не быть гладкими при других). Учет данного обстоятельства приводит к необходимости корректировки определения закона сохранения с целью учета краевых условий к исходной системе уравнений.

Отметим также, что метод отыскания законов сохранения, разрабатываемый в данной работе, также, как и другие методы, ориентированные на отыскание законов сохранения для систем уравнений произвольного типа (Olver, М.В. Виноградов и др.), ни коим образом не опираются на существование симметрий у исследуемых систем уравнений. Напротив, метод отыскания законов сохранения, в основе которого лежит теорема Э. Нетер, объединяет эти две задачи и позволяет строить законы сохранения по известным симметриям системы. При этом хорошо известно, что эта методика имеет довольно существенное ограничение. А именно, исходная система уравнений должна получаться из вариационного принципа. То есть исходная система должна получаться как уравнения Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Анализ показывает однако, что данное ограничение можно несколько ослабить, если рассматривать "ква-зиэйлеровые" системы уравнений. По данным термином понимаются системы, каждое уравнение которых можно представить в виде суммы двух выражений. Одно из выражений является "эйлеровым" и получается как уравнение Эйлера - Лагранжа для некоторого функционала. Второе выражение определяется некоторой произвольной функцией. При определенных условиях законы сохранения "квазиэйлеровых" систем можно получать на основе алгоритма, аналогичного алгоритму, построенному с помощью теоремы Э. Нетер.

Работа состоит из настоящего введения и последующих шести глав. Содержание работы распределятся по главам следующим образом.

Основные результаты этой главы формулируются следующим образом.

1. Получено аналитическое решение задачи о несжимаемом ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки вращающегося цилиндра в поперечном потоке. Эта задача сведена к задаче интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из уравнений системы аналогично уравнению Фокнер-Скен, решение которого определяет обтекание неподвижного цилиндра. При получении второго уравнения учитывается, что уравнение неразрывности записано в дивергентной форме. Это позволяет "модифицировать" решение Фокнер-Скен так, чтобы учесть подвижность поверхности.

Полученное решение хорошо совпадает, с решением, которое построено ранее в [48] с помощью конечно-разностного метода.

2. Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя записаны в частично-дивергентной форме. Для решения этих уравнений используется метод обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына, с помощью которого исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение рассчитанного теплового потока и касательного напряжения на поверхности тела сферической формы с результатами других авторов показывает, что метод дает удовлетворительные результаты.

Приведено решение сопряженных задач теплообмена в турбулентном пограничном слое сжимаемого газа.

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты работы.

• Рассмотрены особенности и преимущества перехода к внешним дифференциальным уравнениям для исследования симметрий систем уравнений в частных производных, представленных в виде полиномов по степеням переменных. Показано, что алгебра симметрий систем внешних дифференциальных уравнений совпадает с алгеброй симметрий уравнений, записанных в исходном виде. Показано также, что в определенных случаях переход к системе внешних дифференциальных понижает трудоемкость процедуры построения определяющих уравнений. Предложено использовать метод расщепления системы внешних дифференциальных уравнений по параметру преобразования в процедуре получения определяющих уравнений.

• Исходя из геометрической трактовки системы уравнений в частных щ производных (поверхность СЕ в пространстве струй), определено понятие голономной и дифференциальной связи (как поверхности в пространстве струй, пересекающейся с СЕ). Дифференциальные (голо-номные) связи, инвариантные относительно преобразований симметрий системы СЕ, позволяют редуцировать исходную систему СЕ к системе с меньшим числом зависимых переменных (частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения). Рассмотрены частично-инвариантные решения увеличенного ранга, совпадающего с размерностью пространства независимых переменных. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений предложено использовать расширение пространства представления группы (за счет пара® метров системы или произвольных функций, входящих в систему), допускаемой системой, в задаче построения голономных связей между зависимыми переменными системы.

Введено понятйе однопараметрического (инвариантного) решения системы уравнений в частных производных вдоль векторного поля, являющегося инфинитезимальной образующей симметрии исходной системы уравнений. Алгоритм построения однопараметрического решения вдоль векторного поля исключает этап решения уравнений фактор-системы, соответствующей данной группе преобразований. На примере простейшего волнового уравнения продемонстрировано, что одно-параметрические решения вдоль векторных полей могут быть использованы при построении приближенных решений уравнений в частных производных с произвольными граничными условиями.

Сформулированы условия существования точной и приближенной неинвариантных симметрий и предложен алгоритм использования неинвариантных симметрий для построения точных и приближенных решений системы уравнений в частных производных на базе решения некоторой более простой системы. Введено понятие частной симметрии для системы уравнений в частных производных и для системы внешних дифференциальных уравнений. Так же, как и классические симметрии, частные симметрии используются для построения точных решений исходной системы уравнений.

Введено понятие закона сохранения с не гладкими характеристиками закона сохранения. Разработан алгоритм отыскания законов сохранения произвольных систем уравнений в частных производных, с помощью которого задача отыскания характеристик закона сохранения сводится к задаче отыскания ядра оператора внешнего дифференцирования, действующего на некотором подпространстве 1-форм. Доказан вариант леммы Пуанкаре для замкнутых 1-форм, с неодносвязной областью определения. Показано, что уравнения, определенные в од-носвязной области и не имеющие особенностей в области определения, могут иметь неодносвязную область действия закона сохранения. Введено понятие неподвижных точек для 1-формы на контуре. Сформулирован алгебраический критерий, определяющий необходимые условия для обеспечения точности замкнутых 1-форм с неодносвязной областью определения.

Рассмотрен принцип вариации функционала с фиксированной областью интегрирования и определены условия инвариантности функционала. Введено понятие "квазиэйлеровых" систем уравнений (систем, которые не получаются из вариационного принципа). Доказана теорема, аналогичная теореме Э. Нетер, устанавливающая связь симметрий "квазиэйлеровой" системы уравнений с характеристиками закона сохранения. Данная теорема позволяет (аналогично теореме Э. Нетер) явным образом записывать законы сохранения "квазиэйлеровых" систем уравнений.

В качестве приложений при поиске симметрий и законов сохранения систем внешних дифференциальных уравнений рассматривались различные уравнения механики жидкости и газа: уравнения одномерной нестационарной газовой динамики, уравнение Т. Кармана, волновое уравнение и др. Символьные вычисления осуществлялись с использованием компьютерной математической системы Maple V.

Рассмотрены две краевые задачи, иллюстрирующие возможности использования дивергентной и частично-дивергентной формы записи систем уравнений в частных производных.

Получено аналитическое решение задачи о несжимаемом ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки вращающегося цилиндра в поперечном потоке. Эта задача сведена к задаче интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из уравнений системы аналогично уравнению Фокнер

Скен. При получении второго уравнения учитывается, что уравнение неразрывности записано в дивергентной форме. Это позволяет "модифицировать" решение Фокнер-Скен так, чтобы учесть подвижность поверхности.

Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя записаны в частично-дивергентной форме. Для решения этих уравнений использован метод обобщенных интегральных соотношений А. А. Дородницына, с помощью которого исходная система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решены задачи сопряженного турбулентного тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. - 478 с.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука, 1994. - 319 с.

3. Аржанников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. М.: Оборонгиз, 1952. - 480 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. - 432 с.

5. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учебное пособие для вузов. М. Высш. шк., 1989. - 221 с.

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 150. - 28 с.

7. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

8. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29, N 10. - С. 1712 - 1732.

9. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520 с.

10. Билчев С.И. Системы из двух дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка (локальная теория) // Изв. вузов. Математика. 1970. - АГ 3. - С. 14-21.

11. Билчев С.Й. Системы из двух дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка (о законах сохранения)// Изв. вузов. Математика. 1970. - АГ 6. - С. 28 - 34.

12. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. - 184 с.

13. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М.: Госуд. изд. физико-мат. литературы, 1959. - 144 с.

14. Болгарский А.В., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. - 495 с.

15. Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. Теоретико-групповая интерпретация чувствительности гладких динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1980. - N 2. - С. 5 - 10.

16. Брайловская И.Ю., Чудов J1.A. Решение уравнений пограничного слоя разностным методом. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962. - Вып. 1. - С. 167 - 182.

17. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические силы на вращающемся гладком цилиндре в поперечном потоке// Изв. СО АН СССР. Серия: Техн. науки. 1970. - АГ 8, Вып. 2. - С. 125 - 135.

18. Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Математический сборник. 1966. - Т. 70, N 24. - С. 457 - 480.

19. Васильев A.M. Теория дифференциально геометрических структур. Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 190 с.

20. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. -336 с.

21. Гараев К.Г. Об одном следствии для двумерных вариационных задач типа Майера//Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44, N 3.-С. 448 - 453.

22. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя. Казань : Изд - во Казан, гос. техн. ун-та, 1994. - 240 с.

23. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа// Известия вузов. Авиационная техника. 1987. - N 2. -С. 22 - 25.

24. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Управление тепловым режимом на проницаемом сферическом носке в сверхзвуковом потоке с учетом сопряженного теплообмена//Известия вузов. Авиационная техника. 1988. - А/" 4. - С. 30 - 34.

25. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об одной задаче управления теплообменом в турбулентном пограничном слое сжимаемого газа/ /Устойчивость и управление: Межвузовский сб. / Казан, авиац. ин-т. 1988. - С. 15 - 19.

26. Гараев К.Г., Павлов В.Г. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя//Известия Вузов. Авиационная техника. 1970. - JV 4. - С. 5 - 9.

27. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. M.,JI.: Физмат-газ, 1961. - 228 с.

28. Гильде В. Зеркальный мир. М.: Мир, 1982. - 120 с.

29. Гиневский А.С., Емельянова Г.Н., Колесников А.В. Турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности//Уч. записки ЦАГИ. -1976.-Т. VII, JV1.-С. 40 49.

30. Гинзбург И.Г. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. - 376 с.

31. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. - 188 с.

32. Гохман А.В. Введение в теорию аффинных связностей. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 62 с.

33. Грауерт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Мир, 1971. - 680 с.

34. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ. 1956.

35. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя//Ж. прикл. механ. и техн. физ. 1960. - N 3. -С. 111 - 118.

36. Дуайер Х.А., Сандерс Б.Р. Физически оптимальная разностная схема для трехмерных пограничных слоев// Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1974. - С. 107 - 116.

37. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 760 с.

38. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально геометрический подход. - М.: Наука. Физматлит, 1997. -320 с.

39. Зайцев В.Ф. Дискретно групповой анализ дифференциальных уравнений// Дифференц. уравн. - 1989. - Т. 25, N 3. - С. 379 - 387.

40. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике и точные решения. М.: Физматлит, 1993. - 464 с.

41. Землянский Б.А., Степанов Г.Н. О расчете теплообмена при пространственном обтекании затупленных конусов гиперзвуковым потоком воздуха// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. -N 5. - С. 173 - 177.

42. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и их законы сохранения/ /Теорет. и мат. физика. 1969. - Т. 1, N 3. - С. 350 - 359.

43. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

44. Карман Т. Закон подобия для трансзвукового потока. Газовал динамика. Сб. статей. М.: ИЛ, 1950. - 320 с.

45. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1962. - 367 с.

46. Кильп X. Две квазилинейные системы типа £32(1) из механики с шестиугольной тритканью характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тартуского гос. ун-та. 1975. - Вып. 277. - С. 63 - 77.

47. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986. - 224 с.

48. Кусюмов А.Н. Расчет ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре. Казань, 1989. 18 с. Рукопись представлена Казанским авиационным институтом. Депонирована в ВИНИТИ 21.09.89., -N 5971 В89.

49. Кусюмов А.Н. Влияние вдува и подвижности поверхности (вращения) на тепломассообмен и трение в пограничном слое. Диссерт. . канд. техн. наук. Казань, 1989.

50. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. О групповой классификации методом внешних дифференциальных форм Картана уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1995. - N 1. - С. 66 - 69.

51. Кусюмов А.Н. Аналог инвариантов Римана для уравнений течения несжимаемой жидкости в упругом трубопроводе//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1996. - N 3. - С. 17 - 20.

52. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Групповая классификация уравнения Т. Кармана в задаче истечения газа из цилиндрической трубы со скоростью звука//Известия вузов. Авиационная техника. 1998. - N 1.- С. 54 58.

53. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. О волновых свойствах уравнений движения жидкости в упругом трубопроводе//ХУП Российская школа по проблемам проектирования неоднородных конструкций. Тез. докл. -Миасс: Миасский научно учебный центр, 1998. С. 53.

54. Кусюмов А.Н. Определяющие уравнения для инфинитезимальных симметрий одного класса систем внешних дифференциальных урав-нений//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. - N 1. - С. 27 -30.

55. Кусюмов А.Н. Об однопараметрических решениях для систем уравнений в частных производных первого порядка//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 1999. - N 2. - С. 31 - 42. (http//www.newa.ru/journal)

56. Кусюмов А.Н. Симметрии и голономные связи для систем уравнений в частных производных//Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Материалы. Самара, 2000. - С. 68 -69.

57. Кусюмов А.Н. О некоторых точных решениях и инвариантах Римана одного класса систем внешних дифференциальных уравнений//Ред. ж. Изв. Вузов. "Математика". 2001. - N A.-Ren. в ВИНИТИ 28.11.00 N 3020 - В00. - 13 с.

58. Кусюмов А.Н. О голономных связях и некоторых точных решениях уравнений одномерного нестационарного течения газа//Прикл. ма-тем. и механ. 2001. - Т. 65, N 3. - С. 449 - 455.

59. Кусюмов А.Н. Об одном классе точечных симметрий системы внешних дифференциальных уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2001. - N 2. - С. 1 -9. (http//www.newa.ru/journal)

60. Кусюмов А.Н. О задаче поперечного обтекания вращающегося цилиндра// Международная конференция "Математическое моделирование 2001" (ММ-2001). Труды конференции. С. 24 - 25.

61. Кусюмов А.Н. О инвариантных дифференциальных связях для уравнений в частных производных//Третья международная конференция "Средства математического моделирования". Тез. докл. Санкт - Петербург, 2001. - С. 96.

62. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2002. - N 4. - С. 1 - 16. (http//www.newa.ru/journal)

63. Кусюмов А.Н. О приближенной групповой редукции одного класса систем уравнений в частных производных//III уеждународная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения". Труды конференции. Красноярск, 2002. - С. 139 - 143.

64. Кусюмов А.Н. Симметрии и законы сохранения невариационных систем уравнений//Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2003. - N 1. - С. 100 - 107. (http//www.newa.ru/journal)

65. Кусюмов А.Н. Расчет поперечного обтекания вращающегося цилиндра в окрестности критической точки//Теор. основы химической технологии. 2003. - Т. 37, N 3. С. 1 - 5.

66. Кусюмов А.Н. Симметрии внешних дифференциальных уравнений и инвариантные связи (в приложении к некоторым задачам механики жидкости и газа). Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2003. -142 с.

67. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. - 312 с.

68. Лаптев Г.Ф. Геометрия погруженных многообразий. Теоретико групповой метод дифференциально- геометрических исследова-ний//Труды Моск. матем. об-ва. - 1953. - Т 2. - С. 275 - 382.

69. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: М.: ИЛ, 1960. - 216 с.

70. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962. - 480 с.

71. Лю-Шень-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, N 5. - С. 868 - 883.

72. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел/ Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. М.: Наука, 1988. - 232 с.

73. Мэллор Г. Несжимаемые пограничные слои с произвольными градиентами давления//Ракетная техника и космонавтика. 1967. - Т. 5, N 9. - С. 43 - 54.

74. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

75. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. - 232 с.

76. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи/Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959. С. 611 - 630.

77. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960. - 128 с.

78. Овсянников JI.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 240 с.

79. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 399 с.

80. Овсянников Л.В. Программа "ПОДМОДЕЛИ". Газовая динамика/ /Прикл. матем. и механика. 1994. - Т. 58, N 4. - С. 30 - 55.

81. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы "ПОДМОДЕЛИ" для уравнений газовой динамики//Прикл. матем. и механика.- 1999. Т. 63, - N 3. - С. 62 - 72.

82. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -М.: Мир, 1989. 639 с.

83. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 288 с.

84. Павлов В.Г., Чепрасов В.П. Инвариантно-групповые свойства нелинейного оптимального процесса с распределенными параметра-ми//Прикл. матем. и механика. 1968. - Т. 32, N 3.

85. Павлов В.Г. Об инвариантности оптимального процесса с распределенными параметрами//Прикл. матем. и механика. 1970. - Т. 34, N 4. - С. 741 - 747.

86. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя//Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1961. -N 2. - С. 280 - 294.

87. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998. - 266 с.

88. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами//Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. 1982. - С. 155 - 189.

89. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. - N 2. - С. 45 - 47.

90. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.

91. Педли Т.Дж. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. - 446 с.

92. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

93. Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев JT.A. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1988. 168 с.

94. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М. Мир, 1983. - 400 с.

95. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Гл. ред. физ. - мат. лит., 1984. - 520 с.

96. Прохорова М.Ф. Моделирование решения уравнения теплопроводности и задачи Стефана с понижением размерности//Доклады РАН. -1998. Т. 361, N 4. - С. 450 - 452.

97. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье Стокса в двумерном несжимаемом случае. Прикл. механ. и техн. физ. - 1960. - N 1. - С. 83 - 90.

98. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

99. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

100. Сафаров Р.А., Тирский Г.А. Турбулентный пограничный слой с теплообменом//Труды Моск. физ.-техн. ин-та. Серия: Аэромеханика. Процессы управления. 1972. - С. 53 - 67.

101. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. - 272 с.

102. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. / Под ред. Виноградова A.M. и Красильщика И.С. М.: Изд-во "Факториал", 1997. - 461 с.

103. Сиразетдинов Т.К., Диваков О.Г. Оптимальное управление пограничным слоем//Известия вузов. Авиационная техника. 1969. - N 3.- С. 5 13.

104. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 478 с.

105. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. - 412 с.

106. Суровихин К.П. Внешние формы Картана и отыскание группы, допускаемой данной системой уравнений//Вестник МГУ. 1965. - N 6.- С. 70 81.

107. Суровихин К.П. Инвариантный смысл инвариантов Римана//Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, N 2. - С. 319 - 322.

108. Суровихин К.П. О групповой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа//Докл. АН СССР. 1966. - Т. 171, N 1. - С. 55 - 58.

109. Тонконог С.JI., Чугунов В.А., Эскин Л.Д. Истечение тонкой пленки нелинейно-вязкой жидкости из щели с проскальзыванием у ло-жа//Прикл. мех. техн. физ., 2000. Т. 41, - N 2. - С. 71 - 76.

110. Уильяме Дж. Отрыв пограничного слоя несжимаемой жидкости// Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантованные вихри. М.: Мир, 1979. - С. 59 - 100.

111. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987. - 304 с.

112. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., Л.: Гос. издат. техн. - теор. лит., 1948. - 423 с.

113. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во "ЧеРо", 1998. - 416 с.

114. Фущич В.И. О дополнительной инвариантности релятивистких уравнений движения // ТМФ. 1971. - Т. 7, N 1. - С. 3 - 12.

115. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246, N 4.-С. 846 - 850.

116. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - N 8. - С. 18 - 21.

117. Хабиров С.В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой во-ды//Сб. "Динамика сплошной среды", Новосибирск. 1969. Вып. 3. -С. 82 - 90.

118. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

119. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача: Учеб. для неэнергетич. спец. втузов. М.: Высшая школа. 1988.- 479 с.

120. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динамических систем//Кибернетика и вычислительная техника. -Киев.: Наук, думка, 1978. N 39. - С. 26 - 39.

121. Яненко Н.Н. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений// Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109. - N 1. - С. 44 - 47.

122. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. Philadelphia: SIAM Stidies in Applied Mathematics, 1979.- 124 p.

123. Arthur P.D., Willjams J.C. Maximum turbulent boundary layer heating rates on a hemispherical nose//ARS Journal. 1960. - V. 30, N 2. - Pp. 207 - 208.

124. Backlund A.V. Ueber Flashentransformationen. Math. Ann. 9 (1876).- Pp. 297 320.

125. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaltungssatze der Electrodynamik// Math. Ann. 1921. - Bd. 84. - S. 258 - 276.

126. Bluman G.W., Coole J.D. The general similarity solution of the heat equation//J. Math. Mech. 18 (1969). - Pp. 1025 - 1042.

127. Bryant R., Griffits P. Characteristic cohomology of differential systems (I)//J. Amer. Math. Soc, 1995. N 8. - Pp. 507 - 596.

128. Burke W.L. Applied Differential Geometry. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985.

129. Carminati J., Devitt J.S. and Fee G.J. Isogroup of differential equations using algebraic computing// J. Symbolic Computation, 1992. V. 14. -Pp. 103 - 120.

130. Carter J.E., Wornom S.F. Forward marshing procedure for separated boundary layer flows// AIAA Journal. 1975. N 13. - Pp. 1101 - 1103.

131. Chugunov V.A., Eskin L.D., Tonconog S.L. Methods of group analysis in dynamics of non-Newtonian fluid//Algebra and Analysis. Eds. Arslanov, Parshin, Shafarevich. Walter de Gruyter and Co., Berlin New York. 1996. - Pp. 31 - 41.

132. Clarcson P.A., Mansfield E.L. Algorithms for the nonclassical method of symmetry reductions//SIAM J. of Appl. Math. 1994. V. 54, N 6. -Pp. 1693 - 1719.

133. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.

134. Vol. 1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, 1994; Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995. Vol. 3: New Trends in Theoretical Development and Computational Methods, 1996.

135. Garaev K.G, Kusyumov A.N., Pavlov V.G. Conservation law characteristics and variational Mayer's problem// Труды II международной конференции " Симметрия и дифференциальные уравнения". -Красноярск, 2000. С. 74 - 76.

136. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries // Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 96 - 101.

137. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups // J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, N 1. -F. 202 - 228.

138. Janet M. Sur les systems d'equations aux derivees partielles//J. Math, pures et appl. 1920. - T. 3. - Pp. 65 - 151.

139. Harrison B.K. and Estabrook F.B. Geometric approach to invariance groups and solution of partial differential systems, J. Math. Phis. 1971.- V. 12, N 4. Pp. 653 - 666.

140. Harrison B.K. Exterior differential Systems. In Analysis, Manifolds and Physics. North-Holland: Y. Choquett-Bruhat and C. DeWitt-Morette. 1989.-Pp. 173-181.

141. Harrison B.K. Differential form symmetry analisis of two equations cited by Fushchych, Symmetry in nonlinear mathematical physics. Kyiv, 1997.- V. 1. Pp. 21 - 33.

142. Kersten P.H.M. Software to compute infinetisimal symmetries of exterior differential systems, with applications//Acta appl. Math., 1989. V. 16.- Pp. 201 207.

143. Kusyumov A.N. About conservation laws for homogeneous quasilinear systems of two equations of the first order. Proc. Int. Conf. "Geometrisation of Physics IV", Kazan State University. - Kazan, October 4 - 8, 1999. - Pp. 179 - 181.

144. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung, Arch, for Math. 6 (1881). -Pp. 328 - 368.

145. Lie S. Begrundung einer Invariantentheorie der Beruhrungstransforma-tionen, Math. Ann. 8 (1874). Pp. 215 - 288.

146. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig, B.G. Teubner. 1888, 1890, 1893. - 810 p.

147. Lie S. Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen belibeger Ordnung. Leipz. Berich. 1 (1895). - Pp. 53 - 128.

148. Moore D.W. The flow past a rapidly rotating circular cilinder in a uniform//J. Fluid Mech. 1957. - Vol. 2, Pt. 6. - Pp. 541 - 550.

149. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point//Quarter by Appl. Math. 1956. - V. 13, N 4. - Pp. 444 - 451.

150. Schutz B.F. Geometrical Methods of Mathematical Physics. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.

151. Spenser D.C. Overdetermined systems of linear partial differential equations// Bull. Amer. Math. Soc. 1965. - V. 75. - Pp. 1 - 114.

152. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations//J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - Pp. 1 - 7.

153. Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source//J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999). - Pp. 7405 - 7418.