автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование безударного сильного сжатия сплошных сред с реальными уравнениями состояния газа

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование безударного сильного сжатия воздуха с реальным уравнением состояния.

§ 1. О математическом моделировании течений сплошной среды с уравнениями состояния газа.

§ 2. Некоторые сведения о математическом моделировании безударного сильного сжатия газа.

§ 3. Реальное уравнение состояния воздуха.

§ 4. Доказательство существования и единственности решения характеристических задач Коши 1, 2.

§ 5. Анализ решения, представимого в виде ряда.

Глава 2. Математическое моделирование безударного сильного сжатия водорода с реальным уравнением состояния.

§ 6. Реальное уравнение состояния водорода.

§ Т. Описание сжатия слоев газа с реальным уравнением состояния водорода.

§ 8. Описание сжатия сферически и цилиндрически симметричных объемов газа с реальным уравнением состояния водорода.

Диссертация посвящена применению математического моделирования и численных методов для исследования проблемы, имеющей и фундаментальный, и прикладной аспекты: описание процессов безударного сильного сжатия сплошных сред с реальными уравнениями состояния газа. При этом исследуются математические модели двух физических объектов: воздух с реальным уравнением состояния; водород с реальным уравнением состояния при больших значениях давления и плотности в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную.

Для математического моделирования газовых течений необходимо строить (аналитически или численно) решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными - системы уравнений газовой динамики. Из всего множества решений системы уравнений газовой динамики требуемые решения выделяются с помощью задания соответствующих начальных или краевых условий. В частности, встречаются ситуации, когда при задании на некоторой поверхности начальных условий обращается в нуль определитель матрицы, стоящей перед вектором производных, выводящих с поверхности, на которой заданы начальные данные. Такие задачи называются характеристическими задачами Коши. Для единственности их решения необходимо на другой поверхности задать столько условий, какова кратность характеристики. Одним из способов построения решений характеристической задачи Коши является представление ее решения в виде бесконечного ряда. В случае сходимости ряда его начальные отрезки используются для приближенного описания решений.

В частности, имеется характеристическая задача Коши, для которой в случае линейной гиперболической системы Р. Курант [1], В.М. Бабич [2], D. Ludwig [3] разработали метод представления решений в виде <Собобщенной бегущей волны^> - ряда по специальным системам функций. Конкретная характеристическая задача Коши для нелинейной системы уравнений газовой динамики решена А.А. Дороднициным [4]. А.Ф. Сидоровым [5, 6] предложен метод построения решения нелинейных характеристических задач Коши в виде степенных.рядов. Коэффициенты рядов определяются при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем метод характеристических рядов был развит в работах А.Ф. Сидорова [7, 8], С.П. Баутина [9], а также в ряде работ их учеников. С.П. Баутиным [9] была поставлена характеристическая задача Коши стандартного вида и методом мажорант доказан аналог теоремы Ковалевской о существовании и единственности решения этой задачи в классе аналитических функций. Ряды, решающие характеристические задачи Коши стандартного вида, обычно называются характеристическими рядами. В.М. Тешуковым [10-13] рассмотрены многие задачи газовой динамики в случае общих пространственных течений нормального газа, которые либо являются характеристической задачей Коши, либо одной из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. Характеристическая задача Коши применяется при математическом моделировании безударного сильного сжатия газа.

Сильное сжатие газа представляет интерес для решения различных физических задач, в том числе для реализации управляемого термоядерного синтеза. При этом режимы безударного сжатия газа оказываются энергетически более выгодными, чем сжатие газа с использованием ударных волн [14]. Кроме этого, именно режимы безударного сильного сжатия позволяют получить большие значения плотности газа. Например, даже в бесконечно сильной ударной волне (когда давление стремится к бесконечности) скачок плотности конечен. В частности, в политропном газе р*~ор° < где 7 -показатель политропы газа, ро - плотность газа перед ударной волной, р* -плотность газа за ударной волной. Тогда для воздуха при 7 = 7/5 степень сжатия получается равной 6, а для 7 = 5/3 (этот случай соответствует водороду) степень сжатия равна 4.

Для более адекватного описания процессов, имеющихся при сильном сжатии газа, необходимо исследовать соответствующие решения нелинейной системы с частными производными - системы уравнений газовой динамики, замкнутой с помощью конкретного уравнения состояния. При этом для реальных физических экспериментов наибольший интерес представляют такие решения систем уравнений газовой динамики, в которых первоначальное состояние газа является однородным покоем. А кроме этого, краевые условия, соответствующие рассматриваемому решению, должны обеспечить замкнутость объема газа, подвергающегося сжатию.

Математическое моделирование безударного сильного сжатия газа ведется в различных направлениях.

Первое направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа (первоначально однородного и покоящегося газа) состоит в использовании точных решений систем уравнений газовой динамики для по-литропного газа.

Е.И. Забабхиным, И.Е. Забабахиным [14] указано, что впервые простая центрированная волна Римана применена Гюгонио в 1889 г. [15] и Рэлеем в 1910 г. [16] к описанию безударного сильного сжатия плоского слоя газа. Подробное описание безударного сжатия до бесконечной плотности плоского слоя первоначально однородного и покоящегося газа имеется в книге К.П. Станюковича [17]. А.Ф. Сидоровым [18] имеющийся при построении неавтомодельной простой волны Римана произвол в одну функцию одной переменной использован для описания сжатия плоского слоя, в котором бесконечное значение плотности достигается только в одной точке. В книге Р. Мизеса [19] описан безударный переход плоского слоя газа из одного однородного покоящегося состояния в другое однородное покоящееся состояние, но с большим значением плотности под действием двух непроницаемых поршней. В этой задаче в качестве промежуточного состояния получено течение, возникающее при безударном сжатии плоского слоя до любого, наперед заданного значения плотности газа. Указанное течение строится с помощью состыковки центрированной волны Римана и однородного движущегося газа. Описание безударного сильного сжатия первоначально однородного и покоящегося в цилиндре или шаре идеального политропного газа, осуществляется с помощью автомодельных решений Л.И. Седова [20]. Интерпретации этих решений для задач о безударном сильном сжатии газа посвящены работы Я.М. Каждана [21]. И.Е. Забабахина, В.А. Симоненко [22], А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [23]. В.А. Сучковым [24] найдено одно точное двумерное автомодельное решение, примененное им для описания истечения газа в вакуум с наклонной стенки в случае, при котором показатель политропы и наклон стенки однозначно связаны специальным соотношением. В работе А.Ф. Сидорова [25] решение В.А. Сучкова обобщено на случай трехмерных автомодельных течений и использовано для описания истечения газа в вакуум из трехгранного угла при согласованных значениях у и двугранных углов. А.Ф. Сидоровым [26] указанные точные решения В.А. Сучкова и А.Ф. Сидорова применены для точного описания безударного сильного сжатия до бесконечной плотности газа, который в начальный момент покоится внутри призмы или многогранника при согласованных значениях 7 и двугранных углов исходных фигур. В работах А.Ф. Сидорова [27-29], А.Ф. Сидорова, О.Б. Хайрулиной [30], В.И. Таржано-ва [31] точно и приближенно описывается безударное сильное сжатие газа, первоначально однородного и покоящегося внутри тел неодномерной формы. А.Ф. Сидоровым [28, 29] построено одно точное автомодельное течение, описывающее безударное сильное сжатие газа в окрестности оси вращения. Все перечисленные точные решения получены исходя из каких-либо заранее указанных свойств: симметрии, автомодельности, линейности по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.

Другое направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа связано с приближенными: аналитическими, численными или комбинированными численно-аналитическими методами. Например, Г.В. Долголевой, А.В. Забродиным, JT.A. Плинером, А.В. Севериным [32-34] рассмотрены решения уравнений газодинамики, реализующие неограниченное по плотности безударное сжатие в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях и показано, что в рамках оболочечной системы можно подобрать такой закон энерговложения, который позволяет воспроизвести зависимости скорости и давления на внешней границе сжимаемого слоя, необходимые для осуществления безударного сжатия в смеси дейтерий-тритий.

Имеются работы А.Ф. Сидорова [35], А.Н. Крайко [36-38] об оптимальном сжатии плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа.

В монографии С.П. Баутина [39] предложен единый подход к математическому моделированию безударного сильного сжатия газа. Данный подход состоит в следующем. Сначала для системы уравнений газовой динамики ставятся начально-краевые задачи, описывающие процесс безударного сильного сжатия произвольного, локально аналитического, фонового течения на произвольной, локально аналитической поверхности. Для поставленных начально-краевых задач доказываются теоремы существования и единственности аналитических и кусочно-аналитических решений. При этом одним из элементов составного решения обязательно является обобщение простой центрированной волны Римана. Если это обобщение центрированной волны стыкуется через слабый разрыв только с фоновым течением, то таким образом описывается сжатие газа до бесконечной плотности. Сжатие газа до любой наперед заданной конечной плотности описывается при состыковке обобщенной центрированной волны: с одной стороны, через слабый разрыв с фоновым течением, а с другой - через второй слабый разрыв с течением, имеющим наперед заданное нужное распределение плотности. Решения рассматриваемых задач представляются в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекур-рентно определяемыми в явном виде или через квадратуры. Исследуются свойства решений, в том числе, устанавливаются асимпотические законы поведения газодинамических параметров при неограниченном росте плотности. Этот подход получил дальнейшее развитие как в работах С.П. Баутина [4046], так и в работах его учеников [47-50, 61-76].

Одним из наиболее актуальных на сегодня направлений математического моделирования безударного сильного сжатия газа (см. [51, с. 467], [39, с. 139]) является учет реальных уравнений состояния, полученных в соответствующих, как правило, очень сложных физических экспериментах, в которых исследуются термодинамические свойства заданных реальных сред. В этих экспериментах уравнения состояния получаются в виде больших таблиц с <Сдвумя входами^*, поскольку в качестве независимых термодинамических переменных можно выбрать две, например: плотность и энтропию, плотность и давление. Аппроксимация подобных таблиц в том или ином аналитическом виде (рациональные дроби, тригонометрические функции, сплайны) представляет из себя трудную и нетривиальную математическую задачу. Реальные уравнения состояния сплошных сред, наиболее интересные для соответствующих физических экспериментов, до недавнего времени практически были недоступны широким кругам исследователей, поскольку относились к закрытым материалам.

Фактически имеются только две работы, в которых с помощью строгих аналитических подходов моделируется безударное сильное сжатие не полит-ропного газа.

А.Ф. Сидоровым, в работе [52], в плоско-симметричном случае исследовано изэнтропическое сжатие плоского слоя с произвольной изэнтропой, задающейся зависимостью давления от плотности р = р(р). При этом постулируется, что р'{р) = с2(р) - есть монотонная функция, и тем самым предполагается существование бегущей волны Римана произвольной амплитуды. Для точного решения задачи об оптимальном сжатии плоского слоя такого газа стыкуется указанная волна Римана и однородный движущийся газ. Приближенное исследование оптимального сжатия сферических и цилиндрических слоев газа в указанной работе А.Ф. Сидорова проведено только в случае по-литропного газа.

В монографии С.П. Баутина [39] рассмотрено безударное сильное сжатие газа с двумя произвольными уравнениями состояния: во-первых, близкого к политропному с р — р7/(/>, S), где S - энтропия, а во-вторых, вида р = р(р} е), где е - внутренняя энергия, и предполагается выполнение условий нормальности этих газов. Для таких газов построены обобщения центрированной волны Римана на случай плоской, цилиндрической и сферической симметрии при непрерывной состыковке этих течений с однородным покоящимся газом. Доказана возможность безударно сжать газ с этими уравнениями состояния до некоторой плотности, строго больше первоначальной.

Также имеются многочисленные работы по математическому моделированию сильного сжатия газа с реальными уравнениями состояния с помощью различных численных методов, в основном, с помощью конечных разностей.

В данной работе рассматриваются начально-краевые задачи для нелинейных уравнений, которые описывают течения среды с реальными уравнениями состояния. Для задач о безударном сильном сжатии газа это есть характеристические задачи Коши для систем уравнений газовой динамики с конкретным реальным уравнением состояния.

Рассматриваемые в диссертации математические задачи имеют конкретный физический смысл: система уравнений с частными производными является системой уравнений газовой динамики, описывающей течения реального газа. В качестве уравнений состояния рассматриваются два уравнения состояния. Одно - реальное уравнение состояния воздуха в специальных термодинамических переменных, взятое из статьи Г. Броуда [53], второе - уравнение состояния водорода при больших значениях давления при переходе из молекулярной фазы в атомарную. Это уравнение состояния взято из работы В.П. Копышева, В.Д.Урлина [54]. Оба, рассматриваемые в диссертации, уравнения состояния получены в результате физических экспериментов по сжатию вещества до больших значений давления.

Первое уравнение состояния воздуха зависит от двух специальным образом введенных термодинамических переменных и задано в виде суммы рациональных дробей, являющихся аналитическими функциями при всех положительных значениях давления и плотности газа.

Второе рассмотренное уравнение состояния является изэнтропой водорода, т.е. зависит от одного термодинамического параметра - плотности. Эта изэн-тропа задана в виде графика зависимости давления от плотности. Область изменения плотности и давления включает аномальный участок поведения р(р). Физики связывают эту аномалию с переходом водорода из молекулярной фазы в атомарную. Границы изменения плотности и давления для указанной изэнтропы включают в себя и те значения, при которых ожидается начало соответствующей термоядерной реакции. Полные уравнения состояния, зависящие от двух термодинамических переменных, для этого диапазона изменения плотности и давления в литературе не встречаются. Проведенное в диссертации исследование показало, что газ с подобной изэнтропой не удовлетворяет определению нормального газа как по терминологии книги JI.B. Овсянникова [55], так и по терминологии книги Б.Л. Рождественского, Н.Н.

Яненко [56].

У рассмотренных в диссертации характеристических задач Коши решения представляются либо в автомодельном виде, т.е. получаются как решения специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в виде бесконечных сходящихся рядов, коэффициенты которых получены при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательство существования и единственности решения осуществляется сведением поставленных характеристических задач Коши к характеристическим задачам Коши стандартного вида, для которых справедлив аналог теоремы Ковалевской. С помощью начальных отрезков рядов строятся приближенные решения, описывающие безударное сжатие рассматриваемых сред с реальными уравнениями состояния. Анализируются свойства полученных решений, в том числе указываются границы их применимости.

Целями работы являются: Применение математического моделирования и численных методов для решения научной проблемы имеющей и фундаментальный, и прикладной аспекты. А именно: исследование процессов безударного сильного сжатия газа с реальными уравнениями состояния - воздух и водород.

Научная новизна работы заключается в следующем. Математически смоделированы ранее не исследовавшиеся течения газа при больших изменениях плотности и давления в случае реальных уравнений состояния.

Теоретическая ценность работы состоит в следующем. Установлено существование течений газа с реальными, взятыми из физических экспериментов, уравнениями состояния, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных объемов газа.

Практическая ценность работы состоит в том, что построенные решения описывают течения газа, важные для соответствующих физических экспериментов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.; на VI Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов механики жидкости и газа" (САМГОП — 2000), Пермь, 2000 г.; на VII Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов механики жидкости и газа" (САМГОП — 2002), Снежинск, 2002 г.; на Международной конференции "VI Забабахинские научные чтения", Снежинск, 2001 г.; на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (RDAMM — 2001), посвященная 80-летию академика Яненко Н. Н., Новосибирск, 2001 г.; на Международной конференции "Уравнения состояния вещества", Институт теплофизики экстремальных состояний ОИВТ РАН, Эльбрус, 2002 г.; на Международной конференции "Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании", Алма-Ата, 2002 г.; на 32-ой, 33-ей региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2001, 2002 гг.; на Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф. Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2003 г.; на "Конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике", Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, 2001 г.; на Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы исследования и разработок по созданию силовых и энергетических установок 21 века", Центральный институт авиационного моторостроения, Москва, 2000 г.; на межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука", Снежинск, 2000 г.; на научном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" в Уральском государственном университете путей сообщения в 19992002 г.; на научном семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения" в Институте математики и механики УрО РАН в 2002 г.; на Всероссийской научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000", УрГУПС, Екатеринбург, 2000 г.; на III научно-технической конференции "Молодые ученые - транспорту", УрГУПС, Екатеринбург, 2001 г.

По теме диссертации опубликовано 16 работ [61-76].

Работа состоит из введения, двух глав, восьми параграфов, заключения, списка литературы и рисунков.

В первой главе рассматриваются характеристические задачи Коши (хзК), описывающие сжатие газа с реальным уравнением состояния воздуха. Доказывается существование решения у этих хзК в виде сходящихся рядов. С помощью построения начальных отрезков рядов приближенно строятся соответствующие течения газа.

Глава содержит 5 параграфов.

В § 1 параграфе рассматриваются вопросы применения математического моделирования для описания течений сплошной среды. В том числе, рассматривается математическое моделирование течений газа, с использованием основных физических законов сохранения: массы, импульса и энергии сплошной среды; а также с учетом закономерностей, установленных в термодинамике.

В § 2 описывается общий подход к решению задач о безударном сжатии газа с произвольным уравнением состояния, предложенный С.П. Баутиным [39]. Рассматривается система уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния. Уравнение состояния может быть представлено в разных видах. Например, если уравнение состояния представлено в виде р = р(р, е), то система уравнений газовой динамики для одномерных течений имеет вид

Pt + upr+p (ur + v™) = о, щ + ииг + j^pr = 0, (0.1) et + иет + ^ (ur + vf) = 0.

Здесь: г = xj > 0, v = 0,1, 2, р - плотность, и - скорость, р - давление,

- внутренняя энергия, t - время, U = (р, и, z)- искомые функции; при v = 2 и есть проекция V вектора скорости газа в точке М G i?3 на радиус-вектор этой точки в R3 и предполагается, что V параллелен этому радиус-вектору; при и — 1 и есть проекция V на радиус-вектор этой точки в Я2 и при этом проекция V на ось Охз считается равной нулю. В случае, когда уравнение состояния задано в виде р = p(p,S), где S - энтропия, то система имеет следующий вид: pt + upr + р [ur + i/Ц) = О, < щ 4- ииг + -ррг = О, (0.2)

St + uSr = 0. к

Системы (0.1) и (0.2) эквивалентны. При переходе от одной системы к другой используется основное термодинамическое тождество.

Для постановки хзК, решение которой описывает сжатие до бесконечной плотности и является обобщением центрированной волны (ц.в.) Римана (рис. 0.1а), делается замена переменных r = r{p,t'), t = t'.

При этой замене система (0.1) переходит в систему г (и - rt) + р{гир + vurp) = 0, < ргрщ + рир(и - rt) +рр(р,е) +ре(р,е)ер = 0, (0.3) prrpet + prep(u - rt) + р(р, e)(rup + vurp) = 0.

К системе (0.3) присоединяются начальные данные на характеристике С* r|c± = r0(t), u\c±=u00{t), (0.4) е|с± = e0Q(t) и краевое условие r\t=u = r* — const>0. (0.5)

Поставленная хзК (0.3)-(0.5) называется хзК 1 и имеет единственное локально аналитическое решение в некоторой окрестности точки [t = t*, р — р*) при условии аналитичности функции р = р(р, е) в некоторой окрестности точки р = poo(U), е = e00(U).

Решение ищется в виде бесконечного ряда с рекуррентно определяемыми коэффициентами.

Следующая задача - о получении наперед заданных значений плотности, которая далее называется хзК 2 (рис. 0.16). Поскольку решение этой задачи через слабый разрыв примыкает к решению хзК 1, то для постановки хзК 2 к системе (0.1) присоединяются данные на характеристике С^, являющейся звуковой характеристикой хзК 1. Данные на Cf являются значениями решения хзК 1 на этой характеристике. Дополнительное условие, обеспечивающее единственность хзК 2, есть наперед заданное значение плотности.

Доказательство существования и единственности решения у этих двух задач состоит в их сведении к стандартному виду, для которого справедлив аналог теоремы Ковалевской, доказанный С.П. Баутиным [9].

В § 3 рассматривается конкретное реальное уравнение состояния воздуха.

Уравнение состояния реального воздуха е = ^ • S ■ z ■ [p(z, In р) — 1] (0.6) взято из статьи Г. Броуда [53], где S — 0.4, z = р - давление, р - плотность, /j,(z,hip) - конкретная функция, описывающая свойства воздуха, которая состоит из суммы рациональных дробей от z и является линейной по In р.

Функция (0.6), задающая уравнение состояния, является в случае задачи о сжатии газа аналитической на всей области определения z и р: z > 1, р > 1 ~ поскольку при этих значениях z к р знаменатели рациональных дробей нигде в нуль не обращаются и In р при р > 1 является аналитической функцией.

С помощью численного исследования обыкновенного дифференциального уравнения, передающего основное термодинамическое тождество, построена изэнтропа воздуха с данным уравнением состояния и выявлены границы параметров газа, вне которых уравнение состояния не физично.

В § 4 доказывается существование и единственность решения характеристических задач Коши 1,2 с реальным уравнением состояния (0.6).

Система уравнений газовой динамики, записанная для искомых функций e,u,z в случае уравнения состояния (0.6), имеет вид 6t + ивг + ur + uf = 0, 1 ut + uur + ±(zr + z9r) = 0, (0.7)

Здесь 9 = In p. D\,D2 являются рациональными дробями от zb a D\ еще линейно зависит от в. К системе (0.7) присоединяются данные на характеристике С*:

U0(t,r)\r=ro(t) = UQ0(t), (0.8) которые предполагаются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки t = t*.

Для выделения единственного решения необходимо к задаче (0.7), (0.8) добавить еще одно условие. Для задачи о сжатии до бесконечной плотности (хзК 1) это условие <Свертикали^> r(t,6)\t=u = r* = const > 0.

В задаче о получении наперед заданных значений плотности (хзК 2) требуемое дополнительное условие задает значение плотности в момент сжатия

Решение хзК 1 описывает сжатие газа до бесконечной плотности. В этой задаче у параметров искомого течения при t —»■ t* — 0 производные по г должны обращаться в бесконечность. Для того, чтобы раскрыть эту особенность, меняются ролями зависимые и независимые переменные.

Далее рассматриваются хзК 1 и хзК 2 и показывается, что они являются хзК стандартного вида и поэтому для них справедлив аналог теоремы Ковалевской, доказанный С.П. Баутиным. Тем самым устанавливается существование и единственность локальных аналитических решений у хзК 1 и хзК 2.

Решение хзК 1 строится в пространстве независимых переменных t, в, и особенностей в окрестности рассматриваемой точки (t = t*, 9 = 9q) не имеет. В пространстве физических переменных (t,r) решение хзК 1 описывает безударное сжатие до бесконечной плотности и имеет особенность в точке (t — т — т*)

Решение хзК 2 строится в физическом пространстве и описывает течение, примыкающее через звуковую характеристику С* к решению хзК 1 и имеющее в момент t = t* наперед заданное конечное распределение плотности.

При этом на Cf, которая выходит из точки (t = U,r = г*) и на которой e\t=t^r=rt = 0*(r,*)=const< +00, все параметры газа являются аналитическими функциями от одной переменной t в некоторой полной окрестности точки t — t* •

Сначала рассмотрим хзК 2: 0t + ивг + иг + и^ = О, щ + uur + -I- z9r) = О, + uzr + К + ит) = ' е\с± = бооW, ' (0-9) и\ С± = Uoo(t),

Act = М' 0|t=te = 6»,(г), =9оо{и).

Здесь Cf : г = го(£) есть звуковая характеристика решения хзК 1.

Теорема 1.1. Характеристическая задача Коши (0.9) при условии аналитичности функций 9oo(t), uoo(t), zoo{t), 9*{г) в окрестности точки (t = t*, г = г*) имеет в некоторой окрестности указанной точки единственное аналитическое решение. Теперь рассмотрим хзК 1: rt + и + щ + у^Чр- = 0, ut • гв - rt • щ + и ■ щ + 7^{zq + z) = 0,

Zt • Гв - П ■ Z0 + и ■ ze + ('Щ + = r(t,9)\c±=r0{t), r0(U) = п = const > 0, (°-10) u(t,9)\c± = u0o(t), z(t,9)\c± = z00(t), ^ r(t,9)\t=u = r*, где звуковая характеристика С± задана в виде 9 = 9oo(t).

Теорема 1.2. Характеристическая задача Коши (0.10) при условии аналитичности функций ro(t), uoo(t), £00 (0 в окрестности точки t = t* имеет в некоторой окрестности точки (t = t*, в — 9q) единственное аналитическое решение.

Восстановить в пространстве физических переменных течение газа, полученное с помощью решения хзК 1, можно только при условии отличия от нуля якобиана перехода от независимых переменных t и в к переменным t и г. Якобиан перехода обращается в ноль только в момент сильного сжатия. Следовательно, в некоторой окрестности точки (t = t*, г = г*) можно восстановить течение газа в пространстве физических переменных.

И, следовательно, доказано существование ненулевой массы и некоторой плотности (строго большей исходной), до которой эту массу газа можно сжать безударно.

В § 5 решение хзК 1 описывается с помощью ряда

17(0,*)= Е Uk{9){t-Qk/k\, (0.11) k=О ит dkU(9,t) dtj где

U(в, t) = (г, и, z) - вектор искомых функций, 6:t - независимые переменные.

Краевое условие из (0.10) дает значение: r*o(0) = г* — const. Для нулевых коэффициентов получается задача = Г (0.12) -^2 zo - ®ТТ7' го(0)|9=о = 1

Решение задачи (0.12), (0.13) описывает поведение нулевых слагаемых ряда (0.11). Знак плюс соответствует сжатию слоя изнутри, а знак минус - сжатию снаружи. Решение задачи (0.12), (0.13) определяет связь между газодинамическими параметрами в момент t — t^.

Из анализа свойств решения задачи (0.12)-(0.13) видно, что при уравнении состояния (0.6) безударно газ можно сжать только до конечной плотности р « е7'8 • ро ~ 2440 • ро, где ро - плотность газа фонового течения. Этот вывод основан на том, что у решения (0.12)-(0.13) в указанной точке в = 9q ~ 7.8 имеется особенность.

Последующие коэффициенты ряда имеют ту же особенность, что и нулевые коэффициенты, т.к. определяются из линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Течение газа в пространстве физических переменных восстанавливается следующим образом. С помощью начальных отрезков ряда, описывающего течение газа в пространстве специальных переменных, приближенно задается найденное решение. Затем с помощью построения обратных функций течение газа восстанавливается в пространстве физических переменных.

Вторая глава диссертации посвящена математическому описанию сжатия водорода при больших значениях давления.

В § б приводится уравнение состояния водорода при больших значениях давления в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную.

В работе В.П. Копышева, В.Д. Урлина [54] в виде графика приведена зависимость давления р от плотности р, описывающая изэнтропическое сжатие водорода до очень больших значений плотности. На некотором участке изменения плотности скорость нарастания давления существенно меняется. Эта аномалия в поведении давления связывается с переходом водорода при этих условиях из молекулярного состояния в атомарное.

Для получения зависимости с2 = с2(р) (здесь с - скорость звука, с2 = р'{р)) использовались различные представления р = р(р) и р'(р), и в качестве с2(р) была выбрана некая усредненная кривая. Далее предполагается, что с(р) является аналитической функцией при р > 0.

Производная р'(р) положительна, но не является монотонной функцией. Следовательно, р"(р) = [с2(р)]' имеет разные знаки на разных участках изменения р. Рассматриваемая среда не является нормальным газом ни по терминологии JI.B. Овсянникова [55], ни по терминологии Б.Л.Рождественского, Н.Н. Яненко [56].

В § 7 описывается построение решения хзК 1 в виде ряда, где в качестве уравнения состояния взято указанное уравнение состояния водорода.

Для описания одномерных изэнтропических течений используется система уравнений газовой динамики в безразмерных переменных, введенных стандартным образом pt + upr + p (ur + uu/r) = 0, ^ щ +uur + C2(p)pr/p = 0.

Для того, чтобы описать безударное сильное сжатие одномерного слоя газа в момент t = 0 в точке г = 1, используется соответствующее обобщение центрированной волны Римана, предложенное С.П. Баутиным [39]. При этом меняются ролями р и г: г (наряду с и) считается искомой функцией от t и р. Система (0.14) в этом случае записывается следующим образом: г (и - rt) + р{гир + иигр) = 0, ^ rput + {и- rt)up + С2(р)/р = 0.

Для системы (0.15) ставятся условия такие же, что и в задаче (0.10), но в частном случае - примыкание искомого обобщения центрированной волны к однородному покою r(t,p)\c± = 1 ± Coot, u(t,p)\c± = 0, (0.16) r(t,p)\t=Q = 1, где С±\ р = poo, coo ~ скорость однородного покоящегося газа.

Теорема 2.1. Характеристическая задача Коши (0.15)-(0.16) в некоторой окрестности точки (t = 0; р = роо) имеет единственное аналитическое решение.

Требуемое решение ищется в виде ряда оо и(*,р) = Е иk(p)tk/k\, Ufc(p) - {г,и}. (0.17) к=0

Установлено, что в пространстве переменных t, р ряд (0.17) сходится при любом положительном значении р. При v — 0 ряд (0.17) обрывается и получившееся точное решение является центрированной волной r(t,p) = 1 + ri(p)t, u(t,p) =и0(р).

0.18)

Течение газа в пространстве физических переменных восстанавливается следующим образом. С помощью начальных отрезков ряда, описывающего течение газа в пространстве специальных переменных, приближенно задается решение. Затем с помощью построения обратных функций решение восстанавливается в пространстве физических переменных.

Восстановить течение газа, которое получено с помощью построенного ряда (0.17) в пространстве независимых переменных t, г, можно только при условии отличия от нуля J = — гр якобиана перехода от независимых переменных t, р к переменным t, г.

В финальный момент сильного сжатия, т.е. при t = 0, в силу условия (0.16) заведомо J = 0.

Однако из-за не монотонности коэффициента Г\{р) помимо финального момента сильного сжатия (момента t = 0) еще имеются точки на плоскости переменных t, р, в которых якобиан обращается в нуль. На основании этого можно предположить, что безударно сжать плоский, цилиндрический или сферический слой рассматриваемого газа до плотности, большей р = pi (или даже р = /?2*) (рис. 2.3), невозможно.

В § 8 строятся автомодельные решения для водорода с рассматриваемым уравнением состояния.

Для построения автомодельных решений системы (0.14) делается стандартная замена переменных: £ = tfr, т = t и полагается д/дт — 0. В результате, вместо системы (0.14) получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений для р = р(£), и =

В случае v — 0 эта система является однородной. Для того, чтобы она имела не только тривиальное решение, необходимо потребовать равенства нулю определителя этой системы, которое приводит к решению (0.18).

0.19)

В случаях v = 1,2 система (0.19) не является однородной и может быть переписана в нормальном виде pf = -upu(i - /кг - ы2 - ес2(р)],

0.20) и'= -и£<?(р)и/[(1

Поскольку функция с2(р) не является монотонной, то систему (0.20) невозможно свести к одному уравнению, как это сделано в случае политропного газа. И поэтому особые точки системы (0.20) заранее неизвестны.

Решения системы (0.20) строятся численно, при задании в неособой точке £ = 0 начальных значений плотности и скорости: р(0) = роо > 0, и(0) = Woo < 0. Интегральные кривые рассчитываются в сторону убывания т.е. при £ < 0. Выявлены три различные ситуации сжатия водорода с рассматриваемым уравнением состояния: 1) если значение що велико по модулю, то безударное сжатие возможно; 2) если и0о недостаточно велико по модулю, то изэнтропически пройти аномальный участок плотности не удается; 3) если модуль скорости в момент t — 0 еще меньше, то возможен безударный переход, но для не сильно отличающихся значений плотности как исходного, так и сжатого газа.

Таким образом, чем больше по модулю итоговая скорость, тем больше возможность безударно сжать рассматриваемый газ, несмотря на наличие аномального участка. Для случаев v — 1, 2 численными расчетами найдены зависимости и = и\2(р) и и = М2з(р)> <Сразделяющие^> первый и второй, а также второй и третий режимы сжатия.

В случае первого и третьего режима сжатия возможно восстановление течения в пространстве физических переменных. Восстановление происходит следующим образом. Искомые функции плотности и скорости зависят от автомодельной переменной £ = t/r, отсюда в фиксированные моменты времени выражается г и восстанавливается решение в пространстве физических переменных.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Выводы по математическому исследованию б.у.с.с. водорода:

1. Математическое исследование процесса сжатия водорода с реальным уравнением состояния в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную показало, что при безударном сжатии плоских, цилиндрических и сферических слоев первоначального покоящегося однородного газа еще до финального момента сжатия в течении газа возникают бесконечные градиенты, если плотность газа достигнет значений из аномального промежутка.

2. Исследованы автомодельные решения, описывающие безударное сжатие первоначально однородных и покоящихся цилиндрических и шаровых объемов водорода с рассматриваемым уравнением состояния. Выявлены три различных случая сжатия водорода с рассматриваемым уравнением состояния:

1) если значение woo велико по модулю, то безударное прохождение аномального участка плотности возможно;

2) если uoo недостаточно велико по модулю, то изэнтропически пройти аномальный участок плотности не удается;

3) если модуль скорости в момент t = О еще меньше, то возможен безударный переход, но при небольшой разнице между значениями плотности исходного и сжатого газа.

Заключение

В диссертации впервые проведено математическое моделирование безударного сильного сжатия газа с реальными, полученными в физических экспериментах, уравнениями состояния газа. Рассмотрены два реальных уравнения состояния: воздуха и водорода.

При описании безударного сильного сжатия воздуха получены следующие результаты.

1. С помощью численного исследования обыкновенного дифференциального уравнения, передающего основное термодинамическое тождество, построена изэнтропа воздуха с рассмотренным уравнением состояния и выявлены границы изменений параметров газа, вне которых уравнение состояния не фи-зично.

2. Для плоско, цилиндрически и сферически симметричных нестационарных течений впервые выписана система уравнений газовой динамики в тех термодинамическими переменных, которые используются физиками при описании данного реального уравнения состояния воздуха.

3. Для полученной системы в пространстве специальных переменных поставлена начально-краевая задача, решения которой описывают течения воздуха с реальным уравнением состояния с особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана. Доказано существование и единственность аналитического решения у этой начально-краевой задачи в виде бесконечного сходящегося ряда.

4. Решение рассмотренной начально-краевой задачи представлено в виде бесконечного сходящегося ряда, коэффициенты которого однозначно определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения в окрестности точки, несущей начальные данные, особенности не имеют.

5. Показано, что в случае плоской симметрии ряд обрывается и описывает течения, являющиеся центрированной волной данного газа с реальными уравнениями состояния.

6. Показано, что в случаях всех трех симметрий нулевые слагаемые рядов (при v = О, нулевое слагаемое задает все решение) определяются из такой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, во-первых, расщепляется, а, во-вторых, первое из уравнений полностью совпадает с уравнением для изэнтропы данного газа. Тем самым установлено, что вплоть до момента сильного сжатия t = t* построенное течение изэнтропично.

7. Значение переменной, при которой имеется особенность коэффициентов рядов, передающих решения рассмотренной начально-краевой задачи, совпадает со значением, при котором есть особенность у изэнтропы. Тем самым строго математически установлена возможность безударного сжатия газа с рассмотренным уравнением состояния до плотности меньшей р* « 2440, в течении, аналогичном центрированной волне Римана.

8. Для системы уравнений газовой динамики с заданным уравнением состояния воздуха поставлена вторая начально-краевая задача. Решение этой краевой задачи непрерывно примыкает к построенному решению и передает безударное сжатие плоских, цилиндрических и сферических слоев рассмотренного воздуха до конечных значений плотности, которая не может быть больше р*. Доказано, что у этой второй задачи также существует решение в виде бесконечного ряда, сходящегося в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Тем самым установлена возможность безударного сжатия слоя газа ненулевой массы в слой с любой плотностью, меньшей р*.

9. С помощью начальных отрезков рядов приближенно определяются параметры моделируемых газовых течений.

Впервые математически исследуется безударное сжатие газа, не являющегося нормальным. Этот газ - водород с реальным уравнением состояния. В результате проведенного исследования в диссертации получено следующее.

10. Доказано, что если газ не является нормальным по терминологии книги B.JI. Рождественского, Н.Н. Яненко, то центрированной волны Римана произвольной амплитуды не существует.

11. Приведен пример газа, не являющегося нормальным по терминологии книги JI.B. Овсянникова, но являющийся таковым по терминологии книги

Б.JI. Рождественского, Н.Н. Яненко. Для такого газа центрированная волна произвольной амплитуды существует.

12. Для системы уравнений газовой динамики с реальным уравнением состояния водорода поставлена начально-краевая задача, решение которой описывает течение с особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана.

13. Показано, что у данной задачи существует локально-аналитическое решение в виде бесконечного ряда, не имеющего особенности в пространстве специальных переменных при любых р > 0.

14. Показано, что при переходе из пространства специальных переменных в физическое пространство в течении газа при достижении значений плотности из аномального промежутка обязательно возникает особенность. Тем самым доказано, что безударно сжать плоские, цилиндрические и сферические слои газа с ненулевыми внешними и внутренними радиусами возможно только до значений, меньших значений плотности из аномального промежутка.

15. Впервые построены автомодельные течения, описывающие сжатие до конечных значений плотности цилиндрических и сферических объемов газа с реальным уравнением состояния водорода, не являющимся нормальным.

16. При анализе этих автомодельных решений выявлены три различных режима сжатия водорода с рассматриваемым уравнением состояния: 1) если значение що (финальная скорость сжимающего поршня) велико по модулю, то безударное сжатие возможно; 2) если що недостаточно велико по модулю, то изэнтропически пройти аномальный участок плотности не удается; 3) если модуль скорости в момент t = 0 еще меньше, то возможен безударный переход, но для не сильно отличающихся значений плотности как исходного, так и сжатого газа.

Значение для практики результатов полученных в диссертации, состоит в следующем.

1. На примере реальных уравнений состояния, установленных в физических экспериментах подтверждена эффективность методики, предложенной С.П. Баутиным для математического моделирования безударного сильного сжатия сплошной среды с уравнениями состояния газа.

2. На основе проведенного математического моделирования сильного сжатия водорода, в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную, высказаны конкретные рекомендации для физических экспериментов по параметрам внешнего воздействия (скорость движения сжимающей поверхности, давления на ней) приводящей к изэнтропическому сжатию водорода до плотностей 1 - 2г/см3.

1. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

2. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник. 1960. Т. 52(94), вып.2. - С. 709-738.

3. Ludvig D. Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem // Communications on Pure and Applied Manhematics. 1960. Y. 13. N3. P. 473-508.

4. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричных сверзвуковых течений газа // Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз. - 1957. - С. 77-88.

5. Сидоров А.Ф. Об одном методе решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распостранения слабых ударных волн // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. -Вып. 3. - С. 426-434.

6. Сидоров А.Ф. О решении некоторых краевых задач в теории потенциальных течений газа и распостранение слабых ударных волн // Доклады Академии наук СССР. 1972. Том 204. - № 4. С. 803-806.

7. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Численные методы механики сплошной среды. 1975. Т. 6. - N4. - С. 106-115.

8. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах решения дифференциальных и интегральных уравнений // Известия ВУЗов. Математика. 1983. - № 7. - С. 13-22.

9. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12, N2 11. С. 2052-2063.

10. Тешуков В.М. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды. 1977. Вып. 32. - С. 82-94.

11. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 39. - С. 102-118.

12. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Журнал прикладной механики и технической физики.1980. № 2. С. 126-133.

13. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандтля-Майера // Журнал прикладной механики и технической физики. 1982. - № 4. С. 98-106.

14. Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. М.: Наука, 1988. 172 с.

15. Hugoniot Р.Н Sur la propagation du mouvement dans les corps et sp'ecialement dans les gas parfaits, II // Journal de I'Ecole Poly technique. 1889. 5. -P. 1-125.

16. Lord Rayleigh (Strutt J.W.) Aerial plane of finite amplitude // Proceedings of the Royal Society of London. ~ 1910. Vol. 84. - P. 247-284.

17. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 1955. - 804 с.

18. Sidorov A.F. Mathematical modelling of the processes of unshocked gas compression // Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 1995. - Vol. 10, № 3. - P. 255-277.

19. Мизес P. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит. 1961. - 188 с.

20. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,1981. 448 с.

21. Каждан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977. - № 1. - С. 23-30.

22. Забабахин И.Е., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42, вып.З.- С. 573-576.

23. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие идеального газа плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем// Теплофизика высоких температур. 1998. Т. 36, JYQ 1. - С. 120-128.

24. Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, вып. 4. - С. 739-740.

25. Сидоров А.Ф. Два точных решения уравнений гидродинамики типа тройной волны // Прикладная математика и механика. 1964. - Т. 28, вып. 6. - С. 1139-1142.

26. Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа // Доклады Академии наук СССР.- 1991. Т. 318, № 3. - С. 548-552.

27. Сидоров А.Ф. О взаимодействии сильных волн разрежения и сжатия // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 320, № 6. - С. 1345-1348.

28. Сидоров А.Ф. Оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа // Доклады АН. 1993. - Т. 329, Ш 4. - С. 444-448.

29. Сидоров А.Ф. Исследование особенностей нестационарных конических течений газа // Доклады АН. 1994. - Т. 335, № 6. - С. 732-735.

30. Сидоров А.Ф., Хайрулина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58, вып.4. С. 81-92.

31. Таржанов В.М. Кумулятивная геометрия сжатия газа, промежуточная между сферической и цилиндрической // Докл. междунар. конф. "IV Забабахинские научные чтения". Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1995. -С. 44-50.

32. Забродин А.В., Плинер JI.A., Северин А.В. Численные расчеты некоторых режимов безударного сжятия // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1996, №4.

33. Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности приближенных решений для определения величины кумулирующей энергии при схождении слоистой системы оболочек // Изв. Академии Наук. Механика жидкости и газа. 1999, №2. - С. 115-123.

34. Долголева Г.В., Забродин А.В. Разработка термоядерных мишений на основе реализации концепции безударного сжатия // Аэромеханика и газовая динамика. 2002, №2. - С. 48-54.

35. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 313, № 2. - С. 283-287.

36. Крайко А.Н. О свободном нестационарном расширении идеального газа // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1993. - N2 4. - С. 155-163.

37. Крайко А.Н. Асимптотические закономерности нестационарного расширения идеального газа в пустоту // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58, вып. 4. - С. 70-80.

38. Крайко А.Н. О неограниченой кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика. -1996. Т. 60, вып. 6. - С. 1000-1007.

39. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997. - 160 с.

40. Баутин С.П. Безударное сверхсжатие идеального газа. // Вычислительные технологии. 1998. - Т. 3, №6. - С. 3-8.

41. Баутин С.П. О возможности изэнтропического перехода от однородного покоя в другое однородное покоящееся состояние идеального газа. // Доклады Академии наук. 1998. - Т. 362, № 5. - С. 621-624.

42. Баутин С.П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа. // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63, вып. 3. - С. 415-423.

43. Баутин С.П. О задаче получения наперед заданных распределений параметров газа. // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63, вып. 6. - С. 938-946.

44. Баутин С.П. О существовании решений задачи А.Н. Крайко. // Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т. 41, № 3. - С. 48-55.

45. Баутин С.П. Слабые разрывы в течениях теплопроводного невязкого газа. // Доклады АН. 2001. - Т. 377, № 4. С. 481-484.

46. Баутин С.П. Характеристические поверхности в течениях газа. // Прикладная математика и механика. 2001. - Т. 65 вып. 5. С. 862-875.

47. Баутин С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа. // Вычислительные технологии. 2000. - Т. 5, № 4. - С. 3-12.

48. Баутин С.П., Чернышов Ю.Ю. Одно течение теплопроводного газа, аналогичное центрированной волне Римана. // Прикладная математика и механика. 2002. - Т. 66, вып. 1. С. 87-94.

49. Николаев Ю.В., Рощупкин А.В. Расчеты сильного безударного сжатия газовых слоев. // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6. - С. 464-466.

50. Николаев Ю.В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, №2. С. 104-109.

51. Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

52. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // Прикладная математика и механика. 1991. - Т. 55, вып. 5. - С. 769-779.

53. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. // Механика.Новое в зарубежной науке. М.: Мир. 1976, № 4. - С. 9-11.

54. Копышев В.П., Урлин В.Д. Изэнтропическая сжимаемость водорода и уравнения состояния водорода до давления 1ТПа // Ударные волны и экстремальные состояния вещества. Под ред. В.Е. Фортова и др. М.: Наука 2000. - С. 297-314.

55. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981. 368 с.

56. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968. 529 с.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

58. Кубо Р. Термодинамика. М: Мир. 1970. 304 с.

59. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. С. 1106-1109.

60. Сидоренко А.Д. Волновые адиабаты для сред с произвольным уравнением состояния // Доклады АН СССР. 1968. - Т. 178, № 4. С. 818-821.

61. Публикации автора по теме диссертации

62. Ягупов С.А. Безударное сильное сжатие газа с реальными уравнениями состояния // Вопросы атомной науки и техники. Серия математическое моделирование физических процессов. 2001, вып. 2. - С. 49-58.

63. Баутин С.П., Ягупов С.А. Математическое исследование безударного сжатия водорода с реальным уравнением состояния // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6 - С. 103-107.

64. Баутин С.П., Ягупов С.А. Анализ возможности изэнтропического сжатия водорода с реальным уравнением состояния // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67, вып.1 - С. 42-48.

65. Ягупов С.А. О возможности изэнтропического сжатия водорода при больших значениях давления // Вычислительные технологии. 2002. -Т. 7 - С. 342-346.

66. Ягупов С.А. Безударное сильное сжатие газа с реальными уравнениями состояния // УрГУПС, Екатеринбург. 2000. 36 е., деп. в ВИНИТИ от 06.12.00 № 3075-В00

67. Ягупов С.А. О математическом описании сильного сжатия газа с реальными уравнениями состояния. Тезисы межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука". Снежинок: Снежинский физико-технический институт, 2000. С. 28.

68. Ягупов С.А. Задача о безударном сильном сжатии газа с реальными уравнениями состояния. Труды Всероссийской научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования — транспорту 2000", ч. 2. Екатеринбург: УрГУПС, 2000. - С. 445-446.а

69. Задача о получении "вертикал!"

70. Задача о получении наперед заданного значения плотности1. Рис. 0.1 ХзК 1 ихзК 21. Рис. 0.2

71. Области определения состыкованных решений хзК 1 и хзК 21. Рис. 1.1

72. Линия 1 график изэнтропы воздуха с реальным уравнением состояния, выходящей из точки (In р =0, В =i ).

73. Линии 2-5 графики иззнтропы воздуха с реальным ур авн е н и ем с о стоян ия, в ыходящи е из других точ ек.

74. Поведение графика функции zo= zo(0) на поверхности D = Dj(z, 6)Ut=t* >Рt=t

75. Графики функщш u| =и с, (6) линия 12 (е) линия 2р t=t* 01.4

76. Восстановление в пространстве физических переменных газодинамических параметров воздуха

77. Рне. 2.1 График изэнтропы водорода

78. Восстановление в пространстве физических переменных газодинамических параметров водорода1. Рис. 2.5а

79. Графики р(£) и и(£) для первого режима сжатияv=21. Рис.

80. Графики р(£) и и для второго режима сжатияv=29 Л0,93 Q-Q.31. U •0,6

81. Графики р(^) и и© дня третьего режима сжатаяv=2tea-а. 1 1 . |1 I 1 ! | 1 1 |-15 \ { г— i 1 1 1 1 1 1 1 i ! -0М § 1sws Я* ^>41. Рис. 2.5 в1. Рис. 2.6

82. АВ ■ траектория движения поршня v=21. Рис. 2.8

83. Графики функций, разделяющих режимы сжатия1.р- ЗЛ- 25- 2Д15