автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование многомерного сильного сжатия политропного газа

на правах рукописи

РОЩУПКИН Алексей Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОГО СИЛЬНОГО СЖАТИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Уральском государственном университете путей сообщения на кафедре «Прикладная математика».

Научный руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор С.П. Баутин

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук А.Д. Зубов

— доктор физико-математических наук, профессор A.M. Филимонов

Ведущая организация

— Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

Защита состоится « о^'Т&^-р^ » 2СО V г. в , в ауд. "№Ь9 на

заседании диссертационного совета Д 218.005.10 при Московском государственном университете путей сообщения (127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, д. 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан «_» «_» г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, профессор

Соловьев В.П.

Диссертация посвящена математическому моделированию процесса безударного сильного сжатия двумерных и трехмерных слоев сплошной среды с уравнением состояния идеального политропного газа. Аналитически и численно исследуются две начально-краевые задачи для нелинейной системы уравнений с частными производными— системы уравнений газовой динамики.

Актуальность темы. В задачах физики часто возникает необходимость сжатия газа до больших значений плотности. В частности, получение больших плотностей требуется при лазерном (инерционном) термоядерном синтезе. Под «термоядерным синтезом» понимается реакция слияния легких атомных ядер в более тяжелые ядра. Некоторые такие реакция сопровождаются выделением огромного количества энергии. Так, например, реакция слияния двух ядер дейтерия Н2 высвобождает 3.25 миллионов электрон-вольт энергии, а реакция слияния изотопа лития Li6 и атома дейтерия — 22.4 миллиона электрон-вольт энергии. Из приведенных цифр видно, что управляемый термоядерный синтез даст новый источник энергии. Для реализации таких реакций требуется получить достаточно большое значение плотности и существенно повысить температуру исходного вещества.

На данный момент довольно масштабные эксперименты в этой области проводятся в Ливерморской Национальной лаборатории имени Лоуренса, Калифорния, США (Lawrence Livermore National Laboratory, California, USA). Здесь при помощи 192 лазеров сжимают мишени различной структуры. Основная проблема, с которой сталкиваются физики в Ливерморе при экспериментах — возникновение ударных волн в мишени и, как следствие, появление неустойчивости течения. Попытки «размазать» ударную волну при помощи различных оболочек мишени и сделать процесс более устойчивым, пока не дали результатов.

Считается, что исследование сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политропного газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления требуемых процессов. Конечно, при требуемых плотностях и температурах газ будет далеко не идеальной средой: изменяются физико-химические свойства, будут происходить процессы ионизации, диффузные процессы, перенос энергии излучением. Ясно [19, стр. 307), что эти обстоятельства приводит к существенному усложнению математической модели и делает ее труднодоступной для качественно анализа. Тем не менее существенно, что упомянутые сложные физико-химические процессы в газе происходят на общем фоне чисто газодинамического течения, свойства которого во многом являются определяющими и подлежат независимому и: >У)Щ"1РацЙо»1АЛЬНаТ

БИБЛИОТЕКА

СПтрОург

„09 J00

шм

з

В работе 114, стр. 9] отмечено, что «кумуляция (сильный рост плотности и давления) свойственна непрерывным средам и безусловным ее ограничением служит атомизм (конечные размеры атомов и их пробегов), но связанный с этим предел но размерам обычно в миллионы раз дальше того, что изучается в самых тонких опытах, и тогда практически он несуществен». Там же [14, стр. 165] отмечено, что, «несмотря на неустойчивость кумуляции в сплошных средах, она остается очень полезной идеализацией, допускающей точные решения и указывающей как к ней приближаться практически, не рассчитывая, однако, на самофокусировку (т.е. надо прилагать определенные усилия)».

При математическом моделировании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений системы уравнений газовой динамики можно выделить два подхода:

1. Использование точных решений, полученных исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодельность, линейность по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.

2. Сначала ставятся нужные (с точки зрения газовой динамики для получения соответствующих течений сжатия) начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики, а затем ищутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений.

Исследования в рамках первого подхода привели к четырем точным решениям системы уравнений газовой динамики, описывающим процесс безударного сильною сжатия первоначально однородного и покоящегося газа:

1. Простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности (см., например, работы [14, 19]).

2. Автомодельные решения Л.И. Седова [20], интерпретированные на сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией, например, в работах [15, 17].

3. Двумерное решение В.А. Сучкова [25], интерпретированное А.Ф. Сидоровым [22] на сжатие; призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы.

4. Трехмерное; решение А.Ф. Сидо1юва [21, 22], описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя 7 и двугранных углов.

С использованием указанных точных решений установлены законы движения сжимающих поршней, реализующих сжатие соответствующих объемов газа. При этом с помощью первого точного решения закон движения поршня получен в явном, виде [19]. В случае точных решений 2-4 установле-

Щ приближенные законы движения поршня при * —¥ £,.(17, 22, 23]. Также приближенные закономерности движения поршней исследовались в работах А.Ф. Сидорова, Г.В. Долголевой и А.В. Забродина, СП. Баутина, М.Ф. Прохоровой.

В работах [22] - [24] А.Ф. Сидоровым с помощью двух конкретных точных двумерного и трехмерного автомодельных решений показал, что при их реализации в отдельных областях течения газа степень кумуляции существенно выше, чем в других частях, а также выше, чем в случае одномерных течений. Это свойство в начале 90-х годов прошлого века вызвало настоящий бум в среде математиков и физиков г. Сарова и г. Снежинска, занимающихся сильным сжатием: «забрезжила» надежда зажечь термояд. Численными методиками в г. Сарове и г. Снежинске эти точные решения были воспроизведены и, в частности, воспроизведен эффект локальной кумуляции. Но сразу же выяснилось, что кроме этих двух точных решений (полученных при согласовании величин двугранных углов сжимаемых объемов газа и показателя политропы 7) другие течения (при других углах, но при нужном 7 = 5/3) подобным расчетом восстановить не удается, в первую очередь потому, что не известен закон внешнего воздействия. Если при «несогласованных» углах использовать закон внешнего воздействия, установленный в «согласованном случае», то в течении газа уже на первой стадии сжатия (когда газ сжат еще не сильно) возникают ударные волны. Именно это обстоятельство легло в основу решения физиков г. Сарова и г. Снежинска не проводить соответствующий физический эксперимент.

Возможность получения таких газодинамических эффектов с локальной кумуляцией говорит о важности исследования именно не одномерных процессов безударного сильного сжатия газовых слоев.

Второй подход к решению задачи о безударном сильном сжатии был предложен в книге СП. Баутина [3], где установлено, что течения, реализующие безударное сильное сжатие различных объемов газа, описываются решением соответствующих характеристических задач Коши (ХЗК).

В работе [3] показано, что для описания процессов безударного сжатия до бесконечной плотности необходимо для нелинейной системы.уравнений с частными производными (системы уравнений газовой динамики) решать одну характеристическую задачу - задачу о получении вертикального распределения (ХЗК1). Здесь термин «вертикальное распределение» указывает на то, что в момент сильного сжатия график зависимости плотности от пространственной координаты переходит в вертикальную прямую. Получаемая волна сжатия в одномерном плоскосимметричном случае есть центрированная волна Римана. В случае одномерных цилиндрически и сферически сим-

метричных течений, а также в двумерном и трехмерном случае эта волна есть соответствующее обобщение центрированной волны Римана. Указанное обобщение рассмотрено в работах (3, б, 10, 11], причем в работах [6, 10, 11] оно применено к описанию истечения газа в вакуум.

В работе [4] с использованием обобщения центрированной волны Рима-на получены приближенные законы движения одномерного непроницаемого поршня, обеспечивающего безударное сильное сжатие до бесконечной плотности одномерных слоев иолитропиого газа при ненулевых радиусах этих слоев. При помощи этих приближений установлено, что траектория одномерного сжимающего газ поршня, лежит в области сходимости рядов, решающих ХЗК1. Тем самым ранее была установлена правомерность использования обобщения центрированной волны Римана для описания процессов безударного сжатия до любого значения плотности, но лишь в случае одномерных течений.

Задача о безударном сильном сжатии слоев газа до конечной плотности решается состыковкой двух искомых течений через слабый разрыв. Первое течение — обобщение центрированной волны-Римана — описывается решением задачи о получении вертикального распределения (ХЗК1) и непрерывно примыкает к заданному фоновому течению. Второе течение описывается решением другой характеристической задачи Коши — задачи о получении наперед заданных распределений (ХЗК2). В работе [3] для случая одномерных течений в классе аналитических функций установлено существование и единственность решения этой второй характеристической задачи Коши.

После построения решений этих двух характеристических задач Коши становится возможным положительно ответить на вопрос: «Какое внешнее воздействие на газ осуществляет требуемое сжатие?» В частности, возможно ли построение закона движения сжимающего непроницаемого поршня. Такое построение траектории движения поршня ведется в обратном направлении изменения времени до её прихода на характеристическую поверхность, разделяющую фоновое течение и решение ХЗК1.

Все доказанные теоремы существования решений задачи о безударном сильном сжатии газа носят локальный характер. Они не указывают конкретное, значение массы газа, которую можно сжать безударно. Также не известно, как реально скажется наперед заданное распределение плотности на траекторию сжимающего поршня, и будет ли при различных распределениях плотности в момент возможность физически реализовать требуемое

воздействие. Решение этих вопросов в настоящее время возможно только численными методами.

Численное исследование безударного сильного сжатия проведено, напри-

мёр; в работах [13, 9; 1, 7, 18] (здесь работы упомянуты в хронологическом порядке).

В работах [13, 9,1] алгоритм расчета течений при безударном сильном сжатии основан на использовании известных точных решений. Следовательно, закон движения сжимающего поршня известен заранее до проведения расчетов. Указанные алгоритмы лишь восстанавливают все возникающие течения. Их использование ограничено теми конфигурациями, для которых получены точные решения.

В работах [7, 18] предложен алгоритм построения течения и траектории сжимающего поршня для задачи безударного сильного сжатия одномерных газовых слоев в случае плоской, сферической и цилиндрической симметрии. Исходная задача рассматривается в пространстве физических переменных (две независимые переменные) и решается методом характеристик.

Исследования, представленные в данной диссертации, проведены в рамках второго подхода к рассмотрению процессов безударного сильного сжатия идеального газа.

Методы исследования. В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели — системы уравнений газовой динамики (нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа) — описывающей течения газа при больших степенях сжатия. Решения представляются в виде сходящихся рядов, а их начальные отрезки - для приближенного описания течений, возникающих при безударном сильном сжатии политропного газа. С помощью специальных разностных методов производится численное решение указанных характеристических задач Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными.

Целями работы являются:

1. Установить существование и единственность локально аналитического решения задачи о получении наперед заданных конечных распределений параметров газа в случае двумерных и трехмерных течений газа.

2. Определить приближенное аналитическое поведения сжимающего поршня, обеспечивающее безударное сильное сжатие двумерных и трехмерных слоев газа до бесконечной плотности.

3. Численно решить задачу о безударном сильном сжатии газа до конечной плотности в случае двумерных течений. Построить траекторию поршня, реализующею требуемое сжатие двумерных газовых слоев.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Впервые установлено существование и единственность решения специальных начально-краевых задач, в том числе показано, что задача о полу-

чении наперед заданных распределений в случае двумерных и трехмерных течений имеет единственное локально аналитическое решение.

2. Приведены.новые приближенные законы поведения поршня при безударном сильном сжатии двумерных и трехмерных слоев газа до бесконечной плотности.

3. Предложен и реализован новый численный алгоритм решения двумерных нестационарных начально-краевых задач, имеющих конкретную особенность. Этот алгоритм позволяет рассчитать течения, возникающие при безударном сильном сжатии газа в случае двумерных течений и указать закон движения поршня, реализующего требуемое сжатие. Проведены численные расчеты безударного сжатия двумерных слоев газа до плотности, в шесть раз превышающей исходную.

Тем самым впервые обоснована возможность локальной кумуляции течений политропного газа в «несогласованном» случае.

Теоретическая ценность работы состоит в следующем.

Установлено существование решения специальных начально-краевых задач, моделирующих безударное сильное сжатие достаточно произвольных двумерных и трехмерных объемов газа.

Практическая ценность работы состоит в том, что построенные ряды и асимптотические приближения применимы к содержательным задачам газовой динамики. Предложенный численный алгоритм применим для расчетов задачи о безударном сильном сжатии двумерных слоев газа. Подтверждена «гипотеза А.Ф. Сидорова» о возможности локальной кумуляции в многомерных течениях с ненулевой массой газа, при сжатии которой возможны подобные газодинамические эффекты.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), VI.и VII Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа», (САМГОП - 2000, Пермь, 2000 г. и САМГОП — 2002, Снежинск, 2002 г.), Международная конференция «VI и VII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2001, 2003 гг.), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика, RDAMM — 2001», (Новосибирск, 2001 г.), Конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании», (ВТММ — 2000, Новосибирск, 2000 г., ВТММ - - 2002, Алма-Ата, 2002 г.), Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы исследования и разработок по созданию силовых и энергетических установок 21 века» (Москва, ЦИАМ, 2000 г.), III Между на-

родная конференция «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2002 г.), 31, 32 и 33 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000, 2001 и 2002 гг.), Межотраслевая научно-практическая конференция «Снежинск и нау ка» (Снежинск, 2000 г.), Всероссийская научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования транспорту — 2000» (Екатеринбург, 2000 г.), III научно-техническая конференция «Молодые ученые — транспорту» (Екатеринбург, 2001 г).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 18 работ (3 статьи в журналах (26, 27, 28], 3 депонированных в ВИНИТИ статьи [29, 30, 31], остальные — труды и тезисы конференций).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих десять параграфов, заключения, приложения (25стр.), списка используемой литературы, рисунков. Объем диссертации составляет страницы машинописного текста, включая рисунков и библиографическую ссылку.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая постановка задачи математического моделирования безударного сильного сжатия газа. С точки зрения газовой динамики, задачу о безударном сильном сжатии плоского слоя газа можно поставить следующим образом.

Пусть задан некоторый плоский слой покоящегося газа с плотностью р = р0. Это состояние газа в дальнейшем будем называть фоновым течением и обозначать Uq. В момент времени ;t = ta в фоновое течение плавно вдвигается непроницаемый поршень. При этом в газе возникает волна сжатия, непрерывно примыкающая к фоновому течению через звуковую характеристику С*. Требуется построить такой закон движения поршня, чтобы, во-первых, в момент времени , сжатый газ имел наперед заданное распределение плотности р = р„ > р„, в том числе бесконечное, во-вторых, во все моменты времени искомое течение сжатие газа непрерывно примыкало бы через звуковую характеристику С„ к фоновому течению, и, в-третьих, все возникающие течения должны отделяться друг от друга слабыми разрывами, но не ударными волнами.

Указана связь этой задачи с характериети чески ми задачами Коши для нелинейных систем дифференциальных уравнений частными производными — системы уравнений газовой динамики.

Для описания течения, реализующего безударное сильное сжатие до бесконечной плотности, решается задача о получении вертикального распределения — ХЗК1. Данные Коши этой задачи ставятся на характеристике отделяющей фоновое течение и искомую волну сжатия, и являются значениями параметров газа фонового течения на ней. Добавляя к данным Коши условие «вертикального распределения» в момент на поверхности ,

становится возможным однозначно построить искомую волну сжатия.

Для описания течений, реализующих безударное сильное сжатие газа до любой наперед заданной плотности, требуется через звуковую характеристику состыковывать два решения. Первое решение — решение задачи Х3КЬ Второе решение - решение задачи о получении наперед заданных распределений (ХЗК2). Здесь под термином «наперед заданное распределение» понимается, что в момент сильного сжатия 1 — 1. задано требуемое распределение плотности р — р-. (х). После решения ХЗК1 на характеристике С\ , отделяющей обобщение центрированной волны Риманаот искомого течения, ставятся данные Коши для второй задачи. Эти данные есть значения газодинамических параметров первого течения на характеристике С*. Добавляя к данным Коши дополнительное условие о том, что в момент сильного сжатия значение плотности газа есть ,р = р, (х), однозначно определяется как характеристика , так и вся искомая волна сжатия.

Также во введении делается обзор современного состояния исследуемой проблемы.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней, с помощью аналитических методов теории дифференциальных уравнений и математической физики, рассматриваются конкретные характеристические задачи Ко-ши, приводящие к задаче безударного сильного сжатия газа.

Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе кратко рассказано о моделировании течений газа. Выписана система уравнений газовой динамики. Указано как находить характеристики этой системы. Дано определение решения со слабым разрывом. Введено понятие «траектория движения сжимающего поршня».

Во втором параграфе рассматриваются задача о получении вертикального распределения и задача о получении наперед заданных распределений параметров течения газа при сжатии одномерных объемов газа. Решения рассматриваемых в параграфе задач получены ранее в работах СП. Баутина и С.Л. Дерябина.

В третьем параграфе указан способ получения приближенных закономерностей, имеющих место при безударном сильном сжатии одномерных слоев газа до бесконечной плотности. Ранее этот метод применялся А.Ф. Сидо-

ровым для получения асимптотик слабых ударных волн. Позже метод был применен А.Ф. Сидоровым и СП. Баутиным в задачах безударного сильного сжатия.

Во второй главе установлено существование и единственность локально аналитического решения задачи о получении наперед заданных параметров газа при безударном сильном сжатии многомерных слоев газа. Глава два состоит из двух параграфов.

В четвертом параграфе кратко изложена постановка и решение задачи о получении вертикального распределения при безударном сжатии многомерных слоев газа до бесконечной плотности. Постановка и решение задачи принадлежат СП. Баутину. Используя решение рассматриваемой задачи в случае трехмерных течений в виде начальных отрезков рядов получены приближенные распределения параметров течения газа.

В пятом параграфе рассматривается задача о получении наперед заданного распределения, непрерывно примыкающего к фоновому течению. Для двумерного и трехмерного случая доказывается ТЕОРЕМА. Пусть п — размерность пространства (п = 2 в случае двумерных течений, п = 3 в случае трехмерных течений), вектор f = (fj) в случае двумерных течений, £ = в случае трехмерных течений,

(г), £ ) ~ криволинейные координаты, связанные с геометрией поверхности

сильного сжатия С„ ip = t] — ф <р — Q — звуковая характеристи-

ка фонового течения U0 и пусть для системы у]ювнений газовой

динамики в переменных (vil*)

Ao0v + A\Ut + £ Ai+1UCi = Ó (1)

¿=i

заданы: 1) начальные данные

<2>

и 2) краевое условие

^ (^,í,í)|t=f (3)

непрерывно согласованные между собой, т.е.

Если начальные данные (2) есть значения фонового течения U0 на

звуковой характеристике,

и все входные данные задачи (1)-(3) являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки ^ = <р = 0, £ = £о) , то региеиие этой задачи существует, единственно в классе аналитических функций и является аналитическим в некоторой окрестности указанной точки.

Для доказательства-теоремы поставленная задача сводится к характеристической задаче Коши стандартного вида, для которой СП. Баутиным ранее уже доказана теорема существования и единственности локально аналитического решения (аналог теоремы Ковалевской [3]). Процесс сведенияк стандартному виду состоит в нахождении двух специальных невырожденных матриц перехода Т\ и Т2 таких, что м а т^ро^ и вектор Т^О

имеют требуемый в аналоге теоремы Ковалевской вид.

В двумерном случае указанные матрицы имеют следующий вид (для трехмерного случая здесь матрицы не приводятся ввиду их громоздкости):

где

В1 - известная функция.

Если фоновое течение 0о - решение задачи о получении вертикального распределения (задача ХЗК1), то состыковка течений, описываемых решением задач ХЗК1 и ХЗК2, через слабый разрыв (звуковая характеристика первого течения <р = 0) описывает процесс безударного сжатия до любой наперед заданной величины , связанной с наперед заданной плотностью

известным соотношением.

В третьей главе, состоящей только из четвертого параграфа, устанавливаются приближенные законы поведения решения задачи о безударном сильном сжатии вначале однородного и покоящегося газа до бесконечной плотности в случае двумерных и трехмерных течений.

Запишем решение задачи о получении вертикального распределения в виде следующего степенного ряда

и (г,с,= (с,С)(«-*.)'/«.

4 ' 1=0 4 /

(4)

где с — скорость звука, с = ав — в случае общих пространственных течений, и с = а — в случае, когда газ фонового течения — однородный покой с в = 1, а = р _ плотность, 7 — константа в уравнении состояния

политропного газа р = Л2(5)р7/7, 7 > 1, р — давление, 5 — энтропия, в = А(8), 0 = (т], V, — неизвестные газодинамические параметры, V — вектор

скорости газа, вектор £ = (£1) — в случае двумерных течений, £ = (£1,62) — в случае трехмерных течений, £1 и £2 пространственные координаты, связанные с геометрией поверхности С».

Как установлено С.П. Баутиным и С.Л. Дерябиным, область сходимости ряда (4) при с +оо есть

_ 7 + 1

7-1 1, 7 > 3.

, 1 < 7 < 3,

(5)

Для определения закона внешнего воздействия определяется Ср £ ^ — значение скорости звука на сжимающем поршне. В этом случае закон движения поршня в направлении нормали будет задаваться соотношением

£ч»М) («-«.)'/« / -чУ ' и=о 4 > с =

Поскольку поршень непроницаемый, то на нем выполнено равенство

аср 81 и\г>с*"Ь)

где вместо т] и и требуется подставить соответствующие ряды (4). Делая замену т = и — получаем уравнение для определения функции Ср

Дифференциальное уравнение (6) является обыкновенным дифференциальным уравнением, в которое вектор входит как параметр.

Ограничиваясь только первыми коэффициентами рядов (4) для и и т), ранее полученными другими авторами, приближенные решения уравнения (6) построены для четырех промежутков значения 7: 1) 1 < 7 < 5/3, 2) 7 = 5/3, 3) а именно

где под многоточием понимаются слагаемые большего порядка малости, чем последние из приведенных; — функция, появившаяся в резуль-

тате интегрирования и определяемая начальными данными; к = — 1/г(^) — в случае двумерных течений и к = &) + £2) — в случае трехмерных течений, г(£х) — радиус кривизны к (£1,^2)1 — главные

кривизны поверхности

Очевидно, что кривые, описываемые данными формулами, при ле-

жат в области сходимости (5) рядов (б).

Поскольку непосредственное получение приближенных законов безударного сильного сжатия многомерных слоев достаточно громоздко, то оно вынесено в приложение.

Глава четыре содержит численное исследование безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев.

Глава состоит из четырех параграфов.

В седьмом параграфе описывается алгоритм численного построения траектории поршня, реализующего безударное сжатие первоначально покоящегося газа до плотности, больше начальной.

В работах С.П. Баутина и Ю.В. Николаева рассматривается применение метода характеристик для расчетов безударного сильного сжатия одномерных газовых слоев. Используя идеологию одномерных расчетов, предлагается следующий алгоритм.

Система уравнений газовой динамики, описывающая изэнтропичсские течения политропного газа, после ряда эквивалентных преобразований может быть приведена к виду

М|.+ = А^Щ - - - А2 („2 - ■[р* - I2]) ,

dt dL dt

д_ = AlvLi - - L)v( - Л2 (V2 + [R2 - I2]) ,

R + L

=-Aivvi + ?—tA1(R-L)(Ri-Li) + Aiv at ¡со о

-- производная вдоль кривой С, новые неизвестные функции RwL

С

определяются из соотношений

R = «(*,77,0 + Г], О, L = fl(t, Г), 0 - -2-ro(t, ч, О,

7~1 7-1

кривые С+, С~ и С0, лежащие в плоскости £ = const, удовлетворяют уравнениям

С+ : § = 1±1Л - l^L, С" : § = l±lL - ^ си 4 4 <й 4 4

яо . dri _ R + L

° ' Tt~~2~-

Разбивая отрезок [Hj, Нг] — область определения кривой С„ в окрестности которой требуется получить заданное распределение плотности, точками & = Ei + кА£, Д£ = (Ег — Ei)/N, решение будем строить в каждой плоскости £ = £ = 0,1,..., N. Дополнительно предполагается симметрия искомого течения при f = то есть

dt} =0. £=£о

Формулы для расчета течения в плоскостях f = & получаются аналогично формулам для расчета одномерного сильного сжатия с учетом кривой С° — для расчета неизвестной функции г, и расчета частных производных по £ из правых частей системы. Эти производные вычисляются с применением уже построенного в плоскости £ = течения.

Выход с кривой, на которой в момент t = t, возникает определенная осо-

бенность, производится с помощью указанных выше кривых С~ и С+ (в зависимости от того как происходит сжатие: изнутри или снаружи). Такой выход из особенности возможен так как известна зависимость между и ист в момент сильного сжатия — ряды (4) при t = t.

После построения течения во всех плоскостях £ = строится траектория сжимающего поршня. Поверхность поршня строится от некоторой кривой, определяемой по массе газа, которую требуется безударно сжать, и значению конечной плотности р = р„, до её прихода на характеристику Эта кривая есть положение сжимающего поршня в момент сильного сжатия.

В восьмом параграфе приводятся результаты расчетов для случая сжатия газовых слоев изнутри.

Для проверки правильности работы алгоритма проведены расчеты одномерного сильного сжатия цилиндрически симметричных слоев газа. Результаты сравнивались с расчетами по методу, предложенному СП. Баутиным и Ю.В. Николаевым. Показано совпадение результатов в пределах точности каждого из алгоритмов.

Отметим, что приведенные в этом параграфе расчеты выполнены для небольших степеней сжатия , что обусловлено долгим временем работы алгоритма и большими требованиями к физическим параметрам ЭВМ. Но следует отметить, что полученные скачки плотности все же больше, чем при сжатии газа бесконечно сильной ударной волной.

В девятом параграфе обсуждается корректность численного метода построения решения и проводиться его сравнение с другими численными методами. При помощи серии расчетов исследуется влияние изменения шага аппроксимации производной по пространственной координате , на численный расчет, а также исследуется влияние малых изменений входных данных на численное решение (влияние изменения начальных данных на численное решение проверялось одномерными расчетами, влияние изменения поверхности сильного сжатия — двумерными расчетами). Также приведены расчеты по восстановлению течений методом Годунова (метод «распада разрыва») в случае безударного сжатия плоского и цилиндрически симметричного объема газа. Для двумерных течений классическими разностями построено решение ХЗК1. В § 9 показано:

1) Расчеты по предложенному в диссертации алгоритму с разными шагами по £ показали хорошее совпадение.

2) Расчеты с разными начальными данными показали: при малых изменениях начальных данных в области решения ХЗК2 изменение численного решения также мало. При согласованных и малых изменениях начальных данных в области ХЗК1 численное решение изменяется мало. При иесогласо-

ванном изменении скорости и плотности газа в области ХЗК1 в рассчитанных течениях возникают ударные волны.

3) Использование традиционных численных методов для решения ХЗК1 и ХЗК2 возможно только при небольших степенях сжатия и только в немногочисленных случаях наличия точных решений, когда априори известны законы внешнего воздействия. Причем в таким способом численно построенных течениях возникает скачок энтропии, что говорит о возникновении ударных волн. Кроме изменения энтропии уже в одномерном расчете при значении времени ? = 0.999 полученная плотность равняется р = 200, что далеко от требуемой в соответствии с точным решением.

В десятом параграфе, в том числе с использованием результатов А.И. Баш-кирцевой [8], обсуждается вопрос моделирования процессов безударного сильного сжатия при помощи характеристических рядов, являющихся решениями ХЗК1 — задачи о получении вертикального распределения. Показано, что аналитическими представлениями решений рассматриваемых начально-краевых задач и виде конечных отрезков сходящихся рядов можно надежно пользоваться в достаточно малой окрестности особой точки. При этом удовлетворительные результаты даст учет всего 2-3 слагаемых ряда и это учтено при численных расчетах в § 8.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Для случая двумерных и трехмерных течений установлено существование локально аналитического решения второй характеристической задачи — задачи о получении наперед заданных распределений параметров газа.

Доказанный результат говорит о том, что в окрестности поверхности сильного сжатия С. финальное распределение плотности можно брать непостоянным. В частности, можно взять распределение, описывающее локальную кумуляцию плотности. Тогда существует ненулевая масса газа фонового течения, которую можно безударно сжать в слой с таким распределением.

2. С использованием ранее полученных другими авторами решений впервые установлены приближенные закономерности поведения зависимости скорости звука от времени на сжимающем поршне, реализующем безударное сильное сжатие многомерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа до бесконечной плотности.

3. Показано, что при временах, близких к моменту сильного сжатия, траектория поршня лежит п области сходимости рядов, являющихся решением первой характеристической задачи -- задачи о получении вертикального распределения.

4. Анализ полученных закономерностей пшволяет сделать следующие выводы.

Во-первых, полученные закономерности еще раз подтверждают известный вывод о легко (при малых 7) и трудно (при больших 7) сжимаемых средах.

Во-вторых, дополнительные внешние энергетические затраты, связанные с переходом от сжатия плоских слоев к сжатию многомерных слоев, при 1 < 7 < 3 конечны.

В-третьих: вообще говоря, процессы сильного сжатия являются неустойчивыми. Если сжимать ударно (в графике распределения плотности уже в начальный момент времени присутствует вертикаль), то эта неустойчивость проявится сразу. Если сжимать безударно (график распределения плотности переходит в вертикаль только в моменты времени близкие к ), то на

начальном этапе получаемые течения будут устойчивы. Полученные закономерности говорят о том, что если сжимающий поршень будет направлен по нормали к поверхности сильного сжатия С», то и при временах, близких к 4 = и,, рассматриваемые процессы будут устойчивы по отношению к малым изменениям поверхности

5. Предложен численный алгоритм построения совместного решения этих двух характеристических задач Коши. Данный алгоритм позволяет строить течения, возникающие при безударном сжатии первоначально однородных и покоящихся газовых слоев, а также траекторию сжимающего поршня, реализующего требуемое сжатие.

6. Проведены расчеты процессов безударного сильного сжатия до /з, = 6.89. С точки зрения сжатия, требуемого для термоядерного синтеза (10? — 104), представленные расчеты имеют предварительный характер. ,Тем не менее, они показывают, что предложенный алгоритм, принципиально отличающийся от всех алгоритмов прямот расчета (когда требуется знание закона движения сжимающего поршня), дает устойчивые результаты для указанного диапазона сжатия.

Цитируемая литература

[1] Анучин М.Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // Прикладная механика и техническая физика. - 1998. Т. 39. - № 4. - С. 25-32.

[2] Баутин СП. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. - 1973. - Т. 4. - № 1. - С. 3-15.

[3] Баутин С П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеальною газа. - Новосибирск: Наука, 1997.

[4) Баутин С П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. - 1999.

- Т. 63. - Вып. 3. - с. 415-423.

[5J Баутин СП. О задаче получения наперед заданных распределений параметров газа // Прикладная математика и механика. — 1999. - Т. 63. -Вып. 6. - С. 938-946.

[6] Баутин СП:, Дерябин С. Л. Двумерное истечение в вакуум // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды.

- Свердловск: УНЦ АН СССР. - 1983. - С. 3-15.

[7] Баутин СП., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии.

- 2000. - Т. 5. - N 4. - С. 3-12.

[8] Башкирцев;! И .А. Применение численно-аналитических методов к задачам об истечении газа в вакуум // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. - 1990. -Вып. 3. - С. 84-89.

[9] Бронина; Т.Н. Численные расчеты движения поршня при безударном сжатии конуса с идеальным газом // Вычислительные технологии. - 1996.

- Т. 1. -- № 2. - С. 47-56.

[10] Дерябин СЛ. Трехмерное истечение в вакуум из состояния покоя // Численные методы механики сплошной среды - 1983. - Т. 14. - № 4. -С. 58-73.

[11] Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа // Нестационарные проблемы механики сплошных сред -1984. - Вып. 65. - С. 56-74. 1957, с. 77-88.

[12] Жуков.В.Т., Забродин А.В., Феодоритова О.Б. Схема решения

нестационарного двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. - Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. - 1991. - N18.

[13] Жуков В.Т., Забродин А.В., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б.

Численное моделирование мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. - Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. - 1993. - № 41.

[14] Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. - М.: Наука, 1988.

115] Забабахин И.Б., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. - 1978. - Т. 42. - Вып. 3. - С. 573-576.

[16Т Зубов Е.Н., Сидоров А.Ф. О решении одной краевой задачи для неустановившегося течения гада и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. - 1972. - Т. 3. - № 3. -С. 32-50.

[17] Каждая Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1977. - N 1. - С. 23-30.

[18] Николаев Ю.В; О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. - 2001. -Т. б. - № 2. - С. 104-109.

[19] Овсянников Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука, 1981.

[20] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1981.

[21] Сидоров А.Ф. Два точных решения уравнений гидродинамики.типа тройной волны // Прикладная математика и механика. - 19G4. - Т. 28. -Вып. б.-С. 1139-1142.

[22] Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа.// Доклады АН СССР. - 1991. -Т. 318. - № 3. - С. 548-552.

[23] Сидоров А.Ф. Оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа // Доклады АН СССР. - 1993. - Т. 329. - № 4. -С. 444-448.

[24] Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады Академии наук. - 1990. - Т. 313. № 2. - С. 283-287.

[25] Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная математика и механика. - 19G3. - Т. 27. - Вып. 4. - С. 739-740.

Публикации автора по теме диссертации.

|2б] Николаев Ю.В., Рощупкин А.В. Расчеты сильного безударного сжатия газовых слоев // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6. - С. 464466.

(271 Рощупкин А.В. Исследование некоторых характеристических задач Коти, возникающих при решении не одномерных задач безударного сильного сжатия газа // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7. - С. 96103.

[28] Баутин СП., Рощупкин А.В. Об одном способе расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7. -ДО б. - С. 3-12.

[29] Баутин СП., Рощупкин А.В. Алгоритм расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев. - Екатеринбург: УрГУПС, 2000. -Деп. в ВИНИТИ от 24.10.2000 за ДО 2699-ВОО. - 50 с.

[30] Рощупкин А.В. Трехмерные нестационарные задачи о получении наперед заданных распределений параметров течения идеального газа. - Екатеринбург: УрГУПС, 2002. - Деп. в ВИНИТИ от 24.06.2002 за ДО 1174-В2002. - 21 с.

[31] Рощупкин А.В. Асимптотические законы безударного сильного сжатия многомерных слоев газа. - Екатеринбург: УрГУПС, 2002. - Деп. в ВИНИТИ от 10.07.2002 заДО 1281-В2002. - 44 с.

[32] Баутин СП., Бердников А.Е., Николаев Ю.В., Рощупкин А.В., Чернышов Ю.Ю., Ягупов С.А. Новые результаты в математической теории безударного сильного сжатия газа // Аннотации докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. — Пермь, 2001.- С. 82.

[33] Рощупкин А.В. Численно-аналитическое моделирование двумерного безударного сильного сжатия газа // Тезисы VII Всероссийской школы-семинара «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа» (САМГОП — 2002). - Снежинск: Российский Федеральный Ядерный Центр - Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Технической Физики, 2002. - С. 52.

[34] Рощупкин А.В. Примеры расчетов сильного сжатия двумерных слоев газа // Тезисы международной конференции «VI Забабахинские научные

чтения». - Снежинск: Российский Федеральный Ядерный Центр — Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Технической Физики, 2001. - С. 21.

[35] Рощупкин А.В. Об одном алгоритме расчета двумерного безударного сжатия газа // Тезисы конференции «Вычислительные технологии — 2000». - Новосибирск: Институт Вычислительных Технологий СО РАН, 2000. - электронная публикация www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000.

[36] Рощупкин А.В. Об одном подходе к расчету сильного сжатия двумерных слоев газа // Тезисы Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы исследования и разработок по созданию силовых и энергетических установок 21 века». - Москва: Центральный Институт Авиационного Моторостроения, 2000. - С. 33.

[37] Рощупкин; А.В. Уточненные асимптотические законы безударного сильного сжатия многомерных слоев газа // Труды III Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». - Красноярск: Институт Вычислительного Моделирования СО РАН, 2002. - С. 198201.

[38] Рощупкин А.В. О возможности получения локальных кумуляции плотности при безударном сильном сжатии многомерных слоев газа // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - С. 65.

[39] Баутин СП., Рощупкин А.В. Об одном подходе к расчету двумерного сильного сжатия газа // Тезисы межотраслевой научно-практической конференции «Снежинск и наука». - Снежинск: Российский Федеральный Ядерный Центр — Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Технической Физики, 2000. - С. 90-91.

[40] Рощупкин А.В. Безударное сильное сжатие газа в двумерном нестационарном случае // Труды 31 региональной молодежной конференции «Проблемы тео!>етической и прикладной математики». - Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2000. - С. 60-в1.

[41] Рощупкин А.В. Расчеты двумерного сильного сжатия идеального газа // Труды 32 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». -- Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2001. - С. 155-15&

[42] Рощупкин А.В. Об одном подходе к численному решению задачи безударного сильного сжатия на регулярных сетках // Труды 33 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной

математики». - Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2002. - С. 171-172.

[43] Рощупкин А.В. Применение метода характеристик для расчета двумерного безударного сильного сжатия газа // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования — транспорту — 2000». - Екатеринбург: УрГУПС, 2000. - Ч. 2. - С. 430.

04" 1 582 1

РОЩУПКИН Алексей Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОГО СИЛЬНОГО СЖАТИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 09.04• Усл.-веч. л. 1,5 Печать офсетная. Бумага для множ. апп. Формат 60x84 1/16 Тираж 80 экз. Заказ Д8&_

Типографии МИИТ, 12799-1, Москва, ул. Обращена, 15

Используемые обозначения и сокращения.

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование процессов безударного сильного сжатия сплошной среды с уравнением состояния идеального политропного газа.

§ 1. Математическое описание течений газа.

§ 2. Задача о получении вертикального распределения и задача о получении наперед заданных распределений параметров газа в случае одномерных течений.

§ 3. Получение приближенных закономерностей безударного сильного сжатия газа.

Глава 2. Задача о получении наперед заданных распределений параметров газа.

§ 4. Обобщение центрированной волны Римана на двумерный и трехмерный случаи.

§ 5. Существование решения задачи о получении наперед заданных распределений параметров газа в случае многомерных течений газа.

Глава 3. Приближенные закономерности безударного сильного сжатия многомерных слоев газа.

§ 6. Получение приближенных закономерностей, имеющих место при математическом моделировании безударного сжатия до бесконечной плотности.

Глава 4. Численное исследование процессов безударного сильного сжатия газа.

§ 7. Описание алгоритма совместного расчета решений двух характеристических задач Коши.

§ 8. Результаты расчетов.

§ 9. Применение различных способов моделирования задач безударного сильного сжатия.

§ 10. Моделирование безударного сильного сжатия характеристическими рядами.

Диссертация посвящена математическому моделированию процесса безударного сильного сжатия двумерных и трехмерных слоев сплошной среды с уравнение состояния идеального политропного газа. Аналитически и численно исследуются две начально-краевые задачи для нелинейной системы уравнений с частными производными — системы уравнений газовой динамики.

В задачах физики часто возникает необходимость сжатия газа до больших значений плотности. В частности, получение больших плотностей требуется при лазерном (инерционном) термоядерном синтезе. Под «термоядерным синтезом» понимается реакция слияния легких атомных ядер в более тяжелые ядра. Некоторые такие реакция сопровождаются выделением огромного количества энергии. Так, например, реакция слияния двух ядер дейтерия Н2 высвобождает 3.25 миллионов электрон-вольт энергии, а реакция слияния изотопа лития Li6 и атома дейтерия — 22.4 миллиона электрон-вольт энергии. Из приведенных цифр видно, что управляемый термоядерный синтезом даст новый источник энергии. Для реализации таких реакций требуется получить очень большое значение плотности и существенно повысить температуру исходного вещества.

На данный момент довольно масштабные эксперименты в этой области проводятся в Ливерморской Национальной лаборатории имени Лоуренса, Калифорния, США (Lawrence Livermore National Laboratory, California, USA). Здесь при помощи 192 лазеров сжимают мишени различной структуры. Основная проблема, с которой сталкиваются физики в Ливерморе при экспериментах — возникновение ударных волн в мишени и, как следствие, появление неустойчивости течения. Попытки «размазать» ударную волну при помощи различных оболочек мишени и сделать процесс более устойчивым, пока не дали результатов.

Считается, что исследование сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политропного газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления требуемых процессов. Конечно, при требуемых плотностях и температурах газ будет далеко не идеальной средой: изменяются физико-химические свойства, будут происходить процессы ионизации, диффузные процессы, перенос энергии излучением. Ясно [35, стр. 307], что эти обстоятельства приводит к существенному усложнению математической модели и делает ее труднодоступной для качественно анализа. Тем не менее существенно, что упомянутые сложные физико-химические процессы в газе происходят на общем фоне чисто газодинамического течения, свойства которого во многом являются определяющими и подлежат независимому изучению.

В работе [20, стр. 9] отмечено, что кумуляция (сильный рост плотности и давления) свойственна непрерывным средам и безусловным ее ограничением служит атомизм (конечные размеры атомов и их пробегов), но связанный с этим предел по размерам обычно в миллионы раз дальше того, что изучается в самых тонких опытах, и тогда практически он несуществен. Там же [20, стр. 165] отмечено, что, несмотря на неустойчивость кумуляции в сплошных средах, она остается очень полезной идеализацией, допускающей точные решения и указывающей как к ней приближаться практически, не рассчитывая, однако, на самофокусировку (т.е. надо прилагать определенные усилия, причем очень хитрые).

С точки зрения газовой динамики задачу о безударном сильном сжатии плоского слоя газа можно поставить следующим образом (см. рис. 1).

Пусть задан некоторый плоский слой газа с плотностью р = р0. Это состояние газа в дальнейшем будем называть фоновым течением (Uo на рис. 1). В момент времени t = t0 в фоновое течение плавно вдвигается непроницаемый поршень (кривая £2 на рис. 1). При этом в газе возникает волна сжатия, непрерывно примыкающая к фоновому течению через звуковую характеристику Cq. Требуется построить такой закон движения поршня, чтобы, во-первых, в момент времени t = t* > tQ сжатый газ имел наперед заданное распределение плотности р — р* > Ро, в том числе бесконечное, во-вторых, во все моменты времени t <t+ непрерывно примыкал через звуковую характеристику к фоновому течению, и, в-третьих, все возникающие течения должны отделяться друг от друга слабыми разрывами, но не ударными волнами.

При математическом описании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений системы уравнений газовой динамики можно выделить два подхода:

1. Использование точных решений, полученных исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодельность, линейность по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.

2. Вначале ставятся нужные, с точки зрения газовой динамики, начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики (например, задача о поршне), а затем ищутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений.

Исследования в рамках первого подхода привели к четырем точным решениям системы уравнений газовой динамики, описывающих процесс безударного сильного сжатия объемов первоначально однородного и покоящегося газа:

1. Простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности. Как указано в книге Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [20], это решение было предложено в работе П.Г. Гюгонио (Р.Н. Hugoniot) [55] и в работе лорда Рэлея (Rayleigh) [56]. Подробное описание безударного сильного сжатия плоского слоя первоначально однородного и покоящегося газа имеется в книге J1.B. Овсянникова [35, стр. 189].

2. Автомодельные решения Л.И. Седова, описывающие сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией. Автомодельные решения Л.И. Седова [39] интерпретированы на задачу безударного сильного сжатия в работах И.Е. Забабахина, В.А. Симоненко [21], Я.М. Каждана [27, 28, 29], А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [31]. В работе [31] рассмотрен не только случай сжатия газа до бесконечной плотности — весь первоначальный объем газа сжимается в центр или на ось симметрии, но и случай сжатия сферических или цилиндрических объемов газа до конечной плотности — газ со сферической симметрией сжимается в шаровой, а газ с цилиндрической симметрией — в цилиндрический объемы с меньшими радиусами.

3. Двумерное решение В.А. Сучкова, описывающее сжатие призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы. Это решение предложено в работе В.А. Сучкова [50] для задачи об истечении газа с косой стенки и интерпретировано для описания безударного сильного сжатия специальных призм А.Ф. Сидоровым [41].

4. Трехмерное решение А.Ф. Сидорова, описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя 7 и двугранных углов. Это решение предложено в работе А.Ф. Сидорова [40] для задачи об истечении газа из трехгранного угла, а затем в работе [41] интерпретировано им для описания безударного сильного сжатия специальных многогранников.

В рамках первого подхода имеются и другие точные и приближенные решения (см., например, [23, 24, 25]).

В работах А.Ф. Сидорова [41]-[45], А.Ф. Сидорова, О.Б. Хайрулиной [47] описано построение процессов безударного сжатия газа, находящегося внутри призм и тетраэдров специальных форм. Показано, что при безударном сильном сжатии газа в таких неодномерных телах степень кумуляции выше, чем при сжатии цилиндрических или сферических объемов газа. В указанных конфигурациях процессы сжатия описываются при помощи состыковки через слабый разрыв течений различной размерности. Например, для сильного сжатия двумерных слоев газа — одномерная центрированная волна Римана и примыкающая к непроницаемой стенке двумерная волна сжатия. К сожалению, отклонение угла тела от специального значения ведет к возникновению особенностей, связанных с пересечением характеристик одного семейства, и даже возникновению ударных волн, что показано С.П. Баути-ным [4].

В работах Г.В. Долголевой и А.В. Забродина [15, 16, 22] для случая течений с плоской, сферической и цилиндрической симметрией рассмотрена задача о достижении неограниченного по плотности сжатия и требуемого нагрева при минимально необходимом энерговложении для зажигания термоядерной микромишени оболочечной структуры. Указан способ построения оболочечных систем. Установлена зависимость энерговложения от времени, реализация которой позволяет воспроизвести в средней части мишени необходимые для начала термоядерной реакции значения параметров среды. Эти значения, в том числе скорости и плотности газа, согласованы между собой в соответствии со значениями в центрированной волне Римана.

В рамках первого подхода численное исследование безударного сильного сжатия проведено в работах В.Т. Жукова, А.В. Забродина и др. [19], Т.Н. Бро-ниной [10], М.Г. Анучина [1] (работы упомянуты в хронологическом порядке).

В [19] численно исследуется динамика мишени тяжелоионного термоядерного синтеза — изучается влияние асимметрии энерговложения на процесс сжатия. Задача расчета динамики мишени с учетом возмущений ограничена двумерным осесимметричным случаем. Исследование проводится с использованием двумерной методики интегрирования уравнений газовой динамики с теплопроводностью [18], в которой разностная схема строится на подвижных криволинейных сетках с выделением контактных разрывов.

В работе [10] приведено описание методики численного построения формы подвижного поршня, обеспечивающего безударное сильное сжатие идеального газа в двумерном конусе специальной формы. Исходная задача рассматривается в автомодельных переменных (две независимые переменные) и решается методом характеристик. Максимальная степень сжатия получена в области известного автомодельного течения.

В работе [1] проведено численное исследование влияния теплопроводности на безударное сильное сжатие плоского газового слоя, при котором в случае идеального адиабатического газа реализуется безударное сжатие с неограниченной кумуляцией плотности и энергии. Расчеты проводились на программном комплексе ТИГР, разработанном в Российском Федеральном Ядерном Центре — ВНИИТФ, г. Снежинск.

Второй подход к решению задачи о безударном сильном сжатии был предложен в работе С.П. Баутина [4]. Вначале ставятся нужные (с точки зрения газовой динамики) начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики, а затем ищутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений. В работе [4] показано, что течения, реализующие безударное сильное сжатие различных объемов газа, описываются решением соответствующих характеристических задач Коши.

С.П. Баутиным установлено [4], что для получения бесконечной плотности необходимо решать одну характеристическую задачу — задачу о получении вертикального распределения (ХЗК1). Здесь термин «вертикальное распределение» указывает на то, что в момент сильного сжатия график зависимости плотности от пространственной координаты переходит в вертикальную прямую (рис. 2, 3 левая часть). Данные Коши этой задачи ставятся на характеристике отделяющей фоновое течение и искомую волну сжатия, и являются значениями параметров фонового течения на ней. Добавляя к данным Коши условие «вертикального распределения» плотности на поверхности С* в момент времени t = становится возможным однозначно построить искомую волну сжатия. Получаемая волна сжатия в одномерном плоскосимметричном случае есть центрированная волна Римана, а в одномерных цилиндрически и сферически симметричных случаях, а также в двумерном и трехмерном случае — соответствующие обобщения центрированной волны Римана.

Термин «обобщение центрированной волны Римана» появился в 70-80 годах прошлого века в отдельных журнальных статьях. В работах С.П.Баутина, СЛ. Дерябина, В.М. Тешукова (см., например, [4, 12, 13, 52, 53]) построены течения, обладающие той же особенностью, что и центрированная волна Римана, но формального единого определения пока не существует. В работах С.П. Баутина под этим термином понимается, что в таком течении график плотности р переходит в вертикальную линию. В своих работах В.М. Тешу ков связывает такие течения с пересечением характеристик одного семейства на конкретных поверхностях. В данной диссертации «обобщение центрированной волны Римана» используется в терминологии С.П. Баутина, как решение характеристической задачи Коши в специальном пространстве, которое в физическом пространстве обладает особенностью специального вида где 11 — расстояние по нормали от некоторой кривой т] = т]*(£).

Вначале данное решение было построено и применено к решению задачи об истечении газа в вакуум С.П. Баутиным, C.JI. Дерябиным [7], C.J1. Дерябиным [12, 13], и только затем было интерпретировано С.П. Баутиным [4] на сильное сжатие как одномерных, так и двух- и трехмерных объемов газа до бесконечной плотности. Решение ХЗК1 представляется в виде степенных рядов в пространстве специальных переменных. Детальное исследование коэффициентов этих рядов, как для случая одномерных так и для случая многомерных течений, проведено в вышеуказанных работах по истечению газа в вакуум. В этих работах описана область сходимости степенного ряда, решающего ХЗК1, и установлено, что свободная граница, разделяющая газ и вакуум, принадлежит этой области сходимости.

В работе С.П. Баутина [5] с использованием обобщения центрированной волны Римана получены асимптотические законы движения непроницаемого поршня, обеспечивающего безударное сильное сжатие одномерных слоев идеального газа до бесконечной плотности в рамках используемой математической модели. Показано, что в случае безударного сильного сжатия одномерных объемов газа до бесконечной плотности траектория поршня, задаваемая полученными асимптотиками, лежит в области сходимости рядов, решающих ХЗК1.

Также асимптотики процессов безударного сильного сжатия получены в работах А.Ф. Сидорова [46], Г.В. Долголевой и А.В. Забродина [14], М.Ф. Прохоровой [36] (подробнее о результатах [36] см. § 3).

При решении ХЗК1 моделируется неограниченное сжатие, что физически, естественно, невозможно. Тем не менее физиков г. Сарова и г. Снежинска интересуют показатели а степеней в зависимости р = (t* — t)a, а < О, при которых физические параметры газовых течений стремятся к бесконечности. «Не раскрывая всех своих карт» (это связано с секретностью технических показателей их конкретных физических устройств) они говорят, что в задаче безударного сильного сжатия им эта информация нужна и фактически достаточна. С ее помощью они оценивают требуемые энергетические затраты и делают выводы о возможности соответствующего физического эксперимента.

Задача о безударном сильном сжатии одномерных слоев газа до любой наперед заданной конечной плотности также рассмотрена С.П. Баутиным в работах [4, 6]. Показано, что решение такой задачи дается состыковкой двух разных течений через слабый разрыв (рис. 3 правая часть). Первое течение — обобщение центрированной волны Римана — описывается решением задачи о получении вертикального распределения (ХЗК1) и непрерывно примыкает к заданному фоновому течению. Второе течение описывается решением другой характеристической задачи Коши — задачи о получении наперед заданных распределений (ХЗК2). Здесь под термином «наперед заданные распределения» понимается, что в момент сильного сжатия t = t, задано требуемое значение плотности р = р*. После решения ХЗК1 на характеристике С*, отделяющей обобщение центрированной волны Римана от искомого течения, ставятся данные Коши для второй задачи. Эти данные есть значения газодинамических параметров первого течения на характеристике С\ . Добавляя к данным Коши дополнительное условие — в момент сильного сжатия t = t+ значение плотности газа есть р = р* — однозначно определяется как характеристика С^, так и вся искомая волна сжатия.

Полученные решения задачи о безударном сильном сжатии газа носят локальный характер. Они ничего не говорят о конкретных значениях массы газа, которую можно сжать безударно. Также они не дают ответа на вопрос о том, как реально скажется наперед заданное распределение плотности на траекторию сжимающего поршня, и будет ли при различных распределениях плотности в момент t = t+ возможность физически реализовать требуемое воздействие. Решение этих вопросов в настоящее время возможно только численными методами.

Численное исследование безударного сильного сжатия в рамках второго подхода проведено в работах С.П. Баутина, Ю.В. Николаева [8], Ю.В. Николаева [34]. В этих работах предложен алгоритм построения течения и траектории движения сжимающего поршня для задачи безударного сильного сжатия одномерных газовых слоев в случае плоской, сферической и цилиндрической симметрии. Исходная задача рассматривается в пространстве физических переменных (две независимые переменные — время и пространственная координата) и решается методом характеристик.

В рамках второго подхода и проведены исследования, представленные в данной диссертации.

Цель работы. Целями данной работы является:

1. Установить существование и единственность локально аналитического решения задачи о получении наперед заданных конечных распределений параметров газа в случае двумерных и трехмерных течений газа.

2. В рамках рассматриваемой модели аналитически определить приближенное поведения сжимающего поршня, обеспечивающее безударное сильное сжатие двумерных и трехмерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа до бесконечной плотности.

3. Численно решить задачу о безударном сильном сжатии газа до конечной плотности в случае двумерных течений. Построить траекторию поршня, реализующего безударное сжатие двумерных газовых слоев.

Представляется, что реализация этих трех целей позволит проверить гипотезу А.Ф. Сидорова о возможности получения больших степеней кумуляции плотности в локальных областях многомерных течений (рис. 4).

Этот термин — «гипотеза А.Ф. Сидорова» — после смерти А.Ф. Сидорова в 1999 г. ввел на нескольких конференциях С.П. Баутин. А.Ф. Сидоров с помощью двух конкретных точных двумерного и трехмерного автомодельных решений показал, что при их реализации в отдельных областях течения газа степень кумуляции плотности существенно выше, чем в других частях, а также выше, чем в случае одномерных течений. Это свойство в начале 90-х годов прошлого века вызвало настоящий бум в среде математиков и физиков г. Сарова и г. Снежинска, занимающихся сильным сжатием: «забрезжила» надежда зажечь термояд. Численными методиками в г. Сарове и г. Снежинске (при счете в сторону увеличения времени при заданном законе внешнего воздействия) эти точные решения были воспроизведены и, в частности, воспроизведен эффект локальной кумуляции. Но сразу же выяснилось, что кроме этих двух точных решений (полученных при согласовании величин двугранных углов сжимаемых объемов газа и показателя политропы 7) другие течения (при других углах, но при нужном 7 = 5/3) подобным расчетом восстановить не удается, в первую очередь потому, что не известен закон внешнего воздействия. Если при «несогласованных» углах использовать закон внешнего воздействия, установленный в «согласованном случае», то в течении газа уже на первой стадии сжатия (когда газ сжат еще не сильно) возникают ударные волны. Именно это обстоятельство легло в основу решения физиков г. Сарова и г. Снежинска не проводить соответствующий физический эксперимент.

Этот эффект локальной кумуляции («гипотеза А.Ф. Сидорова») ранее был получен только на двух точных решениях. С помощью подхода С.П.Баутина, в том числе при помощи строго установленных свойств общих пространственных течений течений, в диссертации стало возможным:

А) доказать теорему о том, что финальное распределение плотности р может быть принципиально не одномерным и может граничить с однородным покоем на неплоской поверхности. Тем самым показана возможность получения локальных кумуляций хотя и для малых масс. С.П. Баутин на конференциях, где рассказывает о безударном сжатии, представляет этот результат как обоснование гипотезы А.Ф. Сидорова и как одно из подтверждений того, что физический эксперимент возможен, в том числе и потому, что есть математическое обоснование эффекта локальной кумуляции не только в «согласованном случае».

Б) создать и реализовать вычислительный алгоритм, моделирующий безударное сильное сжатие в одномерном и двумерном случаях, одним из результатов работы которого является восстановление закона внешнего воздействия не только в «согласованном случае». До расчетов, представленных в диссертации, и до одномерных расчетов Ю.В. Николаева [34] подобных результатов (получение законов движения поршня в достаточно общих случаях, включая двумерные) в задачах безударного сильного сжатия не было.

В научных кругах, занимающихся этими проблемами этот термин «гипотеза А.Ф. Сидорова о локальной кумуляции в многомерных течениях» возражений не встретил, а даже получил определенную поддержку и одобрение.

Методы исследования. В данной работе использованы аналитические и численные методы теории дифференциальных уравнений с частными производными.

1. Для установления существования и единственности локально аналитического решения задачи о получении наперед заданных распределений — метод сведения некоторых задач газовой динамики к характеристической задаче Коши стандартного вида, изложенный в работе С.П. Баутина [4].

2. Для получения приближенных законов поведения сжимающего поршня — метод представления решений различных нелинейных дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными) в виде бесконечных рядов. Методологически данное исследование основано на работах Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшища [32], А.Ф. Сидорова [46], С.П. Баутина [5], Г.В. Долголевой и А.В. Забродина [14].

3. Для численного решения задачи о безударном сильном сжатии в случае двумерных течений газа — метод решения характеристических задач Коши с помощью модификаций метода характеристик, строго учитывающих имеющуюся в решении особенность.

Структура и основные результаты диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих десять параграфов, заключения, четырех приложений, списка используемой литературы, рисунков.

Выводы.

1) Предложенный в диссертации алгоритм рассчитывает на доступной автору вычислительной технике двумерные нестационарные течения в условиях отсутствия точных решений до небольших степеней сжатия с абсолютной погрешностью меньшей 1%.

2) Использование традиционных численных методов для решения ХЗК1 и ХЗК2 возможно только при небольших степенях сжатия и только в немногочисленных случаях наличия точных решений, когда априори известны законы внешнего воздействия.

3) Предложенный в диссертации алгоритм показал устойчивость к небольшим изменениям входных данных при небольших степенях сжатия.

§ 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕЗУДАРНОГО СИЛЬНОГО СЖАТИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ РЯДАМИ

В данном параграфе рассматривается математического моделирования процессов безударного сильного сжатия политропного газа с использованием начальных отрезков характеристических рядов (2.10), решающих рассматриваемые начально-краевые задачи. Целью данного параграфа является выявление границ достоверности моделирования рассматриваемых явлений при таком подходе. Исследование проводится по следующим направлениям:

Пункт 9.1. Оценка точности решения ХЗК1 при использовании различных по количеству слагаемых конечных отрезков характеристических рядов, построенных С.П. Баутиным, С.Л. Дерябиным и И.А. Башкирцевой.

Пункт 9.2. Использование численно построенного решения ХЗК1 для выяснения границы применимости конечных отрезков характеристических рядов с малым числом слагаемых.

Обсудим предлагаемый подход с точки зрения достоверности получаемых в его рамках результатов.

Пункт 9.1. В работах [2, 4] указан алгоритм построения коэффициентов характеристических рядов (2.10). В статье И.А. Башкирцевой [9] с использованием ранее полученных С.П. Баутиным результатов выписано и запрограммировано 14 первых коэффициентов характеристического ряда, решающего задачу об истечении газа в вакуум в случае одномерных течений. Решение из [9] в момент начала истечения газа в вакуум имеет ту же самую особенность, что и используемые в диссертации ряды. Это связано с тем, что и там, и здесь решается одна и та же краевая задача — ХЗК1 — и, следовательно, получаемое решение одно и то. В работе [9] это решение используется при t > t* и описывает истечение газа в вакуум. При t < t* данное решение описывает неограниченное сжатие.

Естественно, что для рядов вида m*) = tfk(v){t-u)k к=0 скорость сходимости при конкретных значениях t и сг зависит только от расстояния от этой точки (t, а) до границы интервала сходимости (£* — R{<j)', t+ 4-R{<j)) и не зависит от того по которую сторону от точки t = берется значение t. Поэтому результатами работы [9] можно пользоваться как при t > так и при t < U для оценки достоверности результатов, получаемых с помощью конечных отрезков рядов (2.10).

Для случая двумерных и трехмерных течений в работах [7, 12, 13] построено 3 коэффициента рядов (2.10), решающих задачу о пространственном истечении газа в вакуум. Построение следующих коэффициентов рядов в случае пространственных течений затруднительно, что связано с большим объемом вычислений. Построенные С.П. Баутиным и C.JL Дерябиным ряды при замене t' = — t, V' = —V (данное преобразование не меняет вид системы уравнений газовой динамики) описывают процессы многомерного безударного сильного сжатия до бесконечной плотности при t —>■ t+ — 0.

Зная первые коэффициенты рядов (2.10), можно приближенно восстановить газодинамические течения. Точность такого восстановления в малой окрестности рассматриваемой точки, в том числе и при больших градиентах в физическом пространстве, следует из теорем, доказанных С.П. Баутиным (см. например [4]). Кроме этого, в работе [9] показано, что при использовании 2-3 коэффициентов ряда вида (2.10) в окрестности особой точки \t — < 0.05 течение газа передается с достаточно большой точностью. При использовании большего числа коэффициентов ряда становиться возможным в физическом пространстве отойти от особенности t = t* достаточно далеко.

Например, на рисунке 22, взятом из работы [9], в точке Р в момент t = t+ имеется особенность, связанная с возникновение бесконечного градиента плотности (профиль графика плотности — вертикальная линия). Из рисунка 22 видно, что имеется некоторая граница использования построенных отрезков рядов. Так на правом графике левее точки Pi из-за возникновения новой особенности, связанной с фокусировкой свободной границы в точку г = 0, построенные с использованием 6 коэффициентов отрезки рядов (на рисунке 22 значения скорости звука с, вычисленные по ним, обозначены пунктирной линией) не передают реального течения. Расстояние от точки Р\ до точки Р примерно равно 2.42. Примененные в работе [9] специальные способы ускорения сходимости рядов (метод аппроксимации Падэ, алгоритм Эйткена), представляющих ряд в виде рациональной дроби, дает возможность отойти от первоначальной особенности еще дальше и описать течения в окрестности новой особенности г = 0 с достаточно большой точностью. К сожалению такие методы ускорения в случае пространственных течений не применимы из-за малого числа известных коэффициентов ряда (2.10). Поэтому в случае двумерных и трехмерных течений начальные отрезки рядов мы можем использовать только для: а) установления приближенных свойств решения в окрестности t~—t+ в рамках принятого способа моделирования сжатия; б) для «отступления» от особенности в момент t = t+ с тем, чтобы затем начать построение течений по какой-либо численной методике.

Как следует из сказанного выше, достоверность использования отрезков рядов с 2-3 слагаемыми в достаточно малой окрестности |£ — < 0.05 точки t = t* обусловлена теоремами С.П. Баутина и расчетами И.А. Башкирцевой.

Рассмотрим численное моделирование процессов безударного сильного сжатия.

Пункт 9.2. Поскольку численно построенные в диссертации решения удовлетворяют описанному в § 9 критерию точности (S < 1%) при всех t : tQ < t < U, то их можно использовать для еще одной проверки достоверности использования небольших отрезков рядов (2.10) в окрестности точки t =

Для этого поступим следующим образом: возьмем некоторый момент времени t = te, te < а также £ = & — набор плоскостей, в которых проведен расчет ХЗК1. В каждой плоскости £ = будем брать только те расчетные точки в которых t € \te — 0.001, te + 0.001]. Все множество этих точек обозначим как Рт. В каждой такой точке определены значения параметров R, L и v (по Ди L восстанавливаются значения функций а и и). Обозначим численно рассчитанные значения функций сг, и и v в этих выбранных точках как ат, ит, vm соответственно. Полученное значение <тт, а также значение £ = и значение момента времени t, взятое из координаты конкретной рассматриваемой точки из Рт, будем подставлять в отрезки рядов (2.10). В результате получим значения и = иС) rj = rjcy vc = 0 (т.к. первые коэффициенты ряда для v равны нулю).

Таким образом по величинам

5и = К - «т| . 100% s = \Г)С-Г1т\ 100%

М ш можно судить, насколько совпадают значения газодинамических параметров, сосчитанных разными методиками: /т — численно, с использованием критерия выполнения закона сохранения массы; /с — с помощью начальных отрезков рядов.

Поскольку объем информации по значениям 5и, 8г) достаточно большой, то вводятся величины Sumin = min 5и, Sumax — max5u, Srjmin = minSr], 8rjmax =

Pm Pm Pm max 5 rj.

Pm

Кроме точности совпадения значений, полученных разными методиками, необходимо учитывать следующее: на каком расстоянии от точки t — t*, 7) = Т]* (t*, £) (в ней — исходная особенность) расположена та точка, в которой производиться сравнение значений газодинамических параметров. Для этого вводятся величины lumin, lumax, lrjmin, lilmax следующим образом: lumin — расстояние от точки, где был достигнут минимум 5и, до точки на рассматриваемой плоскости £ = к, в которой в момент t = f* имеется особенность (бесконечный градиент плотности), lumax — расстояние от точки, где был достигнут максимум 5и, до точки на плоскости £ = в которой имеется особенность, 1т}т{п — расстояние от точки, где был достигнут минимум Stj, до точки на плоскости ^ = которой имеется особенность, 17]тах — расстояние от точки, где был достигнут максимум 5г], до точки на плоскости £ = в которой имеется особенность. В таблицах 10-12 для разных плоскостей £ = приведены значения t, Sumin, lumin, Sumax, lumax, S7jmin, 1т]т{п, S7]max, l7]max.

Таким образом, в строках таблицы указано минимальное и максимальное значение относительной погрешности в процентах в соответствующем временном слое, а также расстояния от точки с особенностью до точке, в которой это экстремальное значение достигается. t fiv-fnin lu ■ 5umax lu ^Vmin IVmin TJmax I'Hmax

0.95 0.0313 0.0695 41.384 0.2109 0.0035 0.1452 8.4026 0.2109

0.9 0.0702 0.1406 69.9628 0.3125 0.0274 0.2664 8.4226 0.3125

0.85 0.1191 0.2115 91.3753 0.3805 0.0238 0.3611 5.8851 0.3805

0.8 0.1835 0.2829 118.735 0.4408 0.1674 0.2829 6.4516 0.3716

0.75 0.2713 0.3537 133.177 0.4908 0.2386 0.3537 8.2219 0.4434

0.7 0.4016 0.4247 1371.1003 0.5488 0.3097 0.5418 33.9647 0.5488

0.65 0.6156 0.4955 273.0037 0.5868 0.4793 0.4955 11.5546 0.5683

0.6 1.0422 0.5666 179.532 0.6275 0.7223 0.5666 12.702 0.6204

0.55 2.3488 0.6388 161.4697 0.6688 1.2803 0.6388 12.7567 0.665

0.5 55.1878 0.7101 55.1878 0.7101 8.8863 0.7101 8.8863 0.7101

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации рассмотрены две характеристические задачи Коши, решения которых описывают процессы безударного сильного сжатия газа, и получены следующие результаты.

1. Для случая двумерных и трехмерных течений установлено существование локально-аналитического решения второй характеристической задачи — задачи о получении наперед заданных распределений параметров газа.

Доказанный результат говорит о том, что в окрестности поверхности сильного сжатия С* финальное распределение плотности можно брать непостоянным. В частности, можно взять распределение, описывающее локальную кумуляцию плотности. Тогда существует ненулевая масса газа фонового течения, которую можно безударно сжать в слой с таким распределением.

Таким образом, на уровне теорем в классе аналитических функций подтверждена «гипотеза А.Ф. Сидорова» о возможности получения локальной кумуляции в неодномерных процессах безударного сильного сжатия.

2. С использованием ранее полученного другими авторами решения ХЗК1 установлены приближенные закономерности поведения скорости звука от времени на сжимающем поршне, реализующем безударное сильное сжатие многомерных слоев газа до бесконечной плотности.

3. Показано, что при временах, близких к моменту сильного сжатия, траектория поршня лежит в области сходимости рядов, являющихся решением первой характеристической задачи — задачи о получении вертикального распределения. ,

4. Анализ полученных асимптотических законов позволяет сделать следующие выводы.

Во-первых, полученные асимптотики еще раз подтверждают известный вывод о легко (при малых 7) и трудно (при больших 7) сжимаемых средах — при 1 < 7 < 3. А именно, вторые слагаемые в правых частях формул (3.7) стремятся к нулю при г —>■ 0, а при 7 > 3 эти слагаемые стремятся к бесконечности (2% + 1 = (3 - 7)/(т+ !), 2х + 1 > 0 при 1<7<3, 2* + 1 < О при 7>3).

Во-вторых, дополнительные внешние энергетические затраты, связанные с переходом от сжатия плоских слоев к сжатию многомерных слоев, при 1 < 7 < 3 конечны.

В-третьих: вообще говоря, процессы сильного сжатия являются неустойчивыми. Если сжимать ударно (в графике распределения плотности сразу есть вертикаль), то эта неустойчивость проявится сразу. Если сжимать безударно (график распределения плотности переходит в вертикаль только в моменты времени близкие к t = f*), то на начальном этапе получаемые течения будут устойчивы. Полученные закономерности говорят о том, что если сжимающий поршень будет направлен по нормали к поверхности сильного сжатия С*, то и при временах, близких к t = t+, рассматриваемые процессы будут устойчивы по отношению к малым изменениям поверхности С*.

5. Предложен численный алгоритм построения совместного решения этих двух характеристических задач Коши. Данный алгоритм позволяет строить течения, возникающие при безударном сжатии газовых слоев, а также траекторию сжимающего поршня, реализующего требуемое сжатие.

6. Проведены расчеты процессов безударного сильного сжатия до р* = 6.89. С точки зрения сжатия, требуемого для термоядерного синтеза (103 — 104), представленные расчеты имеют предварительный характер. Тем не менее, они показывают, что предложенный алгоритм, принципиально отличающийся от всех алгоритмов прямого расчета (когда требуется знание закона движения сжимающего поршня) — работает. Опыт предварительных расчетов по этому алгоритму показывает, что для достижения требуемых плотностей необходимо увеличение памяти и быстродействия компьютера, а также, возможно, и распараллеливание алгоритма.

1. Анучин М.Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // Прикладная механика и техническая физика. 1998. - Т. 39. - № 4. - С. 25-32.

2. Баутин С.П. Характеристичекая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12. -№ 4. - С. 5-17.

3. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. 1973. - Т. 4. - № 1. - С. 3-15.

4. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997.

5. Баутин С.П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. 1999.- Т. 63. Вып. 3. - С. 415-423.

6. Баутин С.П. О задаче получения наперед заданных распределений параметров газа // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63. -Вып. 6. - С. 938-946.

7. Баутин С.П., Дерябин C.JI. Двумерное истечение в вакуум // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 3-15.

8. Баутин С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии.- 2000. Т. 5. - № 4. - С. 3-12.

9. Башкирцева И.А. Применение численно-аналитических методов к задачам об истечении газа в вакуум // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. 1990. -Вып. 3. - С. 84-89.

10. Бронина Т.Н. Численные расчеты движения поршня при безударном сжатии конуса с идеальным газом // Вычислительные технологии. — 1996. Т. 1. - № 2. - С. 47-56.

11. Годунов С.К., Забродин А.В. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. 400 с.

12. Дерябин С.JI. Трехмерное истечение в вакуум из состояния покоя // Численные методы механики сплошной среды. 1983. - Т. 14. — № 4. -С. 58-73.

13. Дерябин С.JI. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа // Нестационарные проблемы механики сплошных сред. -1984. Вып. 65. - С. 56-74.

14. Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности при-блеженных решений для определения велечины кумулирующей энергии при схождении слоистой системы оболочек // Известия Академии наук. Механика жидкости и газа. 1999. - № 2. - С. 115-123.

15. Долголева Г.В., Забродин А.В. Воспроизведение безударного сжатия в оболочных конструкциях микромишений. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, 1999. - № 53.

16. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричных сверхзвуковых течений газа // Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Обо-ронгиз, 1957. - С. 77-88.

17. Жуков В.Т., Забродин А.В., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарного двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1991. JV* 18.

18. Жуков В.Т., Забродин А.В., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б.

19. Численное моделирование мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993. - № 41.,

20. Забабахин Е.И., Забабахин И.Б. Явления неограниченной кумуляции. М.: Наука, 1988.

21. Забабахин И.Е., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. —Т. 42. — Вып. 3. - С. 573-576.

22. Забродин А.В., Плинер JI.A., Северин А.В. Численные расчеты некоторых режимов безударного сжатия. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1996. - № 4.

23. Зубов А .Д., Симоненко В.А. Движение с однородной деформацией в магнитной газодинамике // Вопросы Атомной Науки и Технике, Сер. Теоретическая и прикладная физика. 1986. - Вып. 1(3). - С. 3.

24. Зубов А.Д., Симоненко В.А. О стахостичности движений с однородной деформацией // Вопросы Атомной Науки и Технике, Сер. Теоретическая и прикладная физика. 1987. - № 2. - С. 45-56.

25. Зубов А.Д., Симоненко В.А. Магнитогазодинамические течения с однородной деформацией. Препринт Российского Федерального Ядерного Центра — Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Технической Физики, 1997. - № 56.

26. Зубов Е.Н., Сидоров А.Ф. О решении одной краевой задачи для неустановившегося течения газа и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. 1972. - Т. 3. — N8 3. -С. 32-50.

27. Каждан Я.М. Сферический разлет газа к центру. Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1969. - JV® 150.

28. Каждан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977. - № 1. - С. 23-30.

29. Каждан .Я.М. Адиабатическое сжатие газа под действием цилиндрического поршня. Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1980. - № 56.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. - 576 с.

31. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие газа // Теплофизика высоких температур. 1998. - Т. 36. - № 1. - С. 120-128.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

33. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.

34. Николаев Ю. В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. 2001. -Т. 6. - № 2.

35. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

36. Ричардсон Д.Дж. Метод характеристик для решения уравнений гидродинамики двумерных неустановившихся течений // Вычислительные методы в гидродинамике. Изд-во "Мир", 1967. - С. 292-315.

37. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

38. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981.

39. Сидоров А.Ф. Два точных решения уравнений гидродинамики типа тройной волны // Прикладная математика и механика. 1964. - Т. 28. -Вып. 6. - С. 1139-1142.

40. Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа // Доклады АН СССР. —1991. -Т. 318. № 3. - С. 548-552.

41. Сидоров А.Ф. Оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа // Доклады АН СССР. — 1993. Т. 329. - № 4. -С. 444-448.

42. Сидоров А.Ф. Методы решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых разрывов // Прикладная математика и механика. 1972. - Т. 36. - Вып. 3. -С. 462-434.

43. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады Академии наук. 1990. - Т. 313. - № 2. - С. 283-287.

44. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баратропного газа // Прикладная математика и механика. 1991. - Т. 55. - Вып. 5, С. 769-779.

45. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. М.: Физ-матлит, 2001. - С. 769-779.

46. Сидоров А.Ф., Хайрулина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58. - Вып. 4. - С. 81-92.

47. Сидоров А.Ф., Хайрулина О.Б. Методы расчета неограниченного сжатия газа в двумерной и трехмерной постановок // Вопросы атомной науки и техники. Серия математическое моделирование физических процессов. 1997. - Вып. 1. - С. 33-34.

48. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1955.

49. Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27. - Вып. 4. - С. 739-740.1. Г'

50. Тешуков В.М. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды. 1977. -Вып. 32. - с. 82-94.

51. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Рима-на и Прандля-Майера // Журнал прикладной механики и технической физики. 1982. -ДО 4. - С. 98-106.

52. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях // Динамика сплошной среды. 1979. - Вып. 39. - С. 102-118.

53. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Екатеринбург: УралГАХА, препринт, 1999.- 264 с.

54. Hugoniot Р.Н. Sur la propagation du mouvement dans les corps et sp'ecialement dans les gaz parfaits, II // Journal de l'Ecole Polytechnique.- 1889. ДО 5. - p. 1-125.

55. Lord Rayleigh (Strutt J.W.) Aerial plane of finite amplitude // Proceedings of the Royal Society of London. 1910. - vol. 84A. - p. 247-284.

56. Публикации автора по теме диссертации

57. Николаев Ю.В., Рощупкин А.В. Расчеты сильного безударного сжатия газовых слоев // Вычислительные технологии. Спец. выпуск. Труды Международной конференции RDAMM-2001. 2001. - Т. 6. - С. 464-466.

58. Баутин С.П., Рощупкин А.В. Об одном способе расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7. - № 6. - С. 3-12.

59. Рощупкин А.В. Исследование некоторых характеристических задач коши, возникающих при решении не одномерных задач безударного сильного сжатия газа // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7. - Ч. 4. -С. 96-103.

60. Баутин С.П., Рощупкин А.В. Алгоритм расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев. Екатеринбург: УрГУПС, 2000. -Деп. в ВИНИТИ от 24.10.2000 за № 2699-В00. - 50 с.

61. Рощупкин А.В. Трехмерные нестационарные задачи о получении наперед заданных распределений параметров течения идеального газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2002. - Деп. в ВИНИТИ от 24.06.2002 за № 1174-В2002. - 21 с.

62. Рощупкин А.В. Асимптотические законы безударного сильного сжатия многомерных слоев газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2002. - Деп. в ВИНИТИ от 10.07.2002 за № 1281-В2002: - 44 с.

63. Баутин С.П., Бердников А.Е., Николаев Ю.В., Рощупкин А.В., Чернышов Ю.Ю., Ягупов С.А. Новые результаты в математической теории безударного сильного сжатия газа // Аннотации докладов VIII

64. Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. — Пермь, 2001. С. 82.

65. Рощупкин А.В. Об одном алгоритме расчета двумерного безударного сжатия газа // Тезисы конференции "Вычислительные технологии — 2000". Новосибирск: Институт Вычислительных Технологий СО РАН, 2000. - электронная публикация www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000.

66. Рощупкин А.В. Безударное сильное сжатие газа в двумерном нестационарном случае // Труды 31 региональной молодежной конференции

67. Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2000. - С. 60-61.

68. Рощупкин А.В. Расчеты двумерного сильного сжатия идеального газа // Труды 32 региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2001. - С. 155-156.

69. Рис. 1. К физической постановке задачи о безударном сильном сжатии газа. —* ,

70. U0 — фоновое течение, С* — характеристика фонового течения, разделяющая фон и решение ХЗК1, f2 — траектория поршня, tQ — момент начала движения поршня, f* — момент сильного сжатия.

71. Рис. 2. Распределение функции о в задаче о безударном сильном сжатии газа до бесконечной плотности, где tQ <t\ < t*.

72. Рис. 5. Расположение векторов при введение координат (77, £). Здесь т— вектор касательной, п — вектор нормали, N = els°a° j(7 — 1).

73. Рис. 8. Распределение функции а при безударном сжатии до бесконечной плотности изнутри, где кривая сильного сжатия С* — эллипс, с полуосями 2:1. Слева — в момент времени t = 0.9. Справа — в момент времени t = 0.999. Случай 7 ф 5/3,2.

74. Рис. 10. Распределение функции а при безударном сжатии до бесконечной плотности снаружи, где кривая сильного сжатия С* — эллипс, с полуосями 2:1. Слева — в момент времени t = 0.9. Справа — в момент времени t = 0.999. Случай 7 ф 5/3,2.

75. Рис. 14. Распределение функции а в момент сильного сжатия при безударном сжатии до наперед заданного распределения плотности, описывающее локальную кумуляцию плотности.1"0.960.960.94* 0.9242 0,915 0.881. XI 0.86

76. Рис. 15. Траектория движения поршня при безударном сильном сжатии ejначале однородного и покоящегося газа до бесконечной плотности. Кривая сильного сжатия С* — эллипс с полуосями 2:1. Справа представлена только первая четверть траектории £ 6 0, тг/2.

77. Рис. 20. Вычисление производной по £ при построение сетки в плоскости £ = при сжатии изнутри. Здесь: точка Pj — новая расчетная точка на плоскости £ = плоскость £ = — ранее посчитанная плоскость.

78. Рис. 21. Траектория сжимающего поршня при сжатии изнутри до плотности ст* — 2. Здесь: кривая С* — эллипс с полуосями 2 и 1, £ 6 0,7г/2.

79. Рис. 23. График зависимости относительной погрешности 5щ от расстояния I на плоскости £ = = 0.0524.

80. Рис. 24. График зависимости относительной погрешности 8щ от расстояния

81. Рис. 25. График зависимости относительной погрешности 8щ от расстояния

82. Рис. 26. График зависимости относительной погрешности 8гц от расстояния I на плоскости £ = = 0.0524.

83. Рис. 27. График зависимости относительной погрешности Srji от расстояния

84. Рис. 28. График зависимости относительной погрешности 5r}i от расстояния I на плоскости £ = £20 = 0.9948.1. Xi x2p p*l

85. Рис. 30. График давления р в момент t = 0.95 при расчете классической разностной схемой.

86. Рис. 31. График плотности р в момент t = 0.95 при расчете классической разностной схемой.

87. Рис. 32. График компоненты скорости и в момент t = 0.95 при расчете классической разностной схемой.а

88. Рис. 34. График давления р в момент t = 0.999 при расчете классической разностной схемой.

89. Рис. 35. График плотности р в момент t = 0.999 при расчете классической разностной схемой.

90. Рис. 36. График компоненты вектора скорости и в момент t = 0.999 при расчете классической разностной схемой.1;