автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум

УДК 517.95 + 533.6

на правах рукописи

Дерябин Сергей Львович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ВАКУУМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в

Институте вычислительных технологий СО РАН и Уральском государственном университете путей сообщения на кафедре "Прикладная математика".

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Андреев В.К. доктор физико-математических наук, профессор Куропатенко В.Ф. доктор физико-математических наук, профессор Хакимзянов Г.С.

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша (Москва)

Защита состоится " " "^¿¿мЗ^Тлв " г. в^ часов,

на заседании Диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВТ СО РАН (проспект академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профес< Чубаров Л.Б.

Общая характеристика работы.

Диссертация 1 посвящена разработке аналитических методов математического моделирования истечения идеального газа в вакуум. Исследуются основные конфигурации одномерных и многомерных течений, возникающие при истечении в вакуум политропного газа, а также газа с другими уравнениями состояния. В частности, моделируется эволюция примыкающих к вакууму течений газа, которые испытывают воздействие внешних массовых сил или гравитируют по Ньютону. Кроме этого рассматриваются смежные проблемы, связанные с появлением в исследуемых течениях бесконечных градиентов.

Актуальность темы.

Решение важных теоретических и прикладных задач механики сплошных сред практически невозможно без математического моделирования. Перечислим некоторые из задач газовой динамики и астрофизики, основные элементы решений которых строятся с помощью предложенного подхода:

- описание процесса разлета газового шара, а также его схлопывания под действием самогравитации - одна из фундаментальных проблем астрофизики;

- исследование эффектов кумуляции при схлопывании полости в сплошной среде. Именно такие течения возникают в некоторых физических экспериментах при получении больших локальных значений плотности специальных сред, в том числе для инициирования термоядерного синтеза. Кроме того, подобные течения возникают при кавитации воздушных пузырьков на гребных винтах и подводных крыльях;

- исследование различных струй, включая кумулятивные, границы которых априори являются свободными.

Особо отметим, что многие решения системы уравнений газовой динамики, описывающие при £ > ¿о истечение газа в вакуум (начиная с момента времени ¿о) также при t < tо передают процессы неограниченного сжатия газа, наступающего в момент £ = ¿о- Исследование процессов либо неограниченного, либо очень сильного сжатия газа имеет принципиальное значение для многих физических экспериментов по осуществлению управляемого термоядерного синтеза.

Значительная часть физических процессов и явлений, происходящих в сплошных средах, описывается с помощью систем дифференциальных или г интегродифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения - это сложный математический объект исследования, особенно если они нелинейные или имеют особенности. Поэтому кроме исследования конкретных физических и механических задач актуально исследование самой "Исследование поддержало РФФИ, проекты 02-01-01122, 04-01-00205.

математической модели в следующих направлениях: постановки начально-краевых задач со свободными границами, которые сами являются одним из искомых элементов задачи и доказательство существования и единственности решений. Кроме этого для нелинейных уравнений с частными производными актуальными и трудными являются вопросы конструктивного построения решений, в том числе с раскрытием различных особенностей.

Построение и исследование решений нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время ведется с помощью двух подходов: аналитического и численного.

Численные методы решения развиваются очень активно, что в первую очередь связано с наличием мощных процессоров. Однако для многих нелинейных задач, решения которых обладают различными особенностями (большие градиенты, малые или очень большие значения плотности, состыковка областей с принципиально различными значениями параметров потока, наличие особых точек на границах областей существования решений и т.д.), применение численных методов зачастую не дает надежных результатов.

Исследование нелинейных задач с помощью аналитических методов имеет свои принципиальные трудности, в основе которых лежат все те же особенности решений нелинейных задач. Эти затруднения связаны во многих случаях с отсутствием строго доказанных фактов о существовании решений и знаний об их свойствах. Очень осложняет положение большой объем выкладок и построений, необходимых для практического применения аналитических подходов. К тому же, не очень велик и сам набор эффективных аналитических методов исследования нелинейных задач: метод дифференциальных связей 2; групповой анализ нелинейных уравнений с частными производными 3; представление решений в виде рядов 4 5; различные асимптотические разложения и некоторые другие аналитические подходы.

В данной диссертации математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум проводится с помощью аналитического исследования решений нелинейных начально-краевых задач, в том числе с использованием различных сходящихся рядов.

Одним из самых важных результатов аналитических исследований служит установление и выявление физических и газодинамических эффектов, которые трудно (а порой и невозможно) предсказать с помощью численных

аСидоров Л.Ф., Шапеев B.II., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. - Новосибирск: Наука. - 1984. - 272 с.

'Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука. -1978. - 400 с.

'Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. - М.: Физматлит. - 2001. -576 г..

»Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. -Новосибирск: Наука. - 1997. - 160 с.

расчетов. Это, в свою очередь, позволяет строить вычислительные процедуры, учитывающие особенности решений конкретных математических моделей. Яркий пример подобных вычислительных процедур - это разностная схема С.К. Годунова 6 и се модификации, построенные на базе точного решения задачи о распаде разрыва уже почти полвека используемые при численном решении задач газовой динамики.

Объект исследования.

Начальным этапом математического моделирования был и остается выбор математической модели. В настоящей диссертации исследуется система уравнений газовой динамики, являющаяся системой гиперболического типа. Поскольку в работе исследуются газовые течения либо без ударных волн, либо до момента их возникновения, то основным элементом при построении сложных конфигураций течений служат характеристические поверхности -поверхности слабых разрывов. У системы уравнений газовой динамики имеются две звуковые характеристики, каждая кратности один, а также контактные характеристики, которые в зависимости от размерности задачи имеют кратность от нуля до трех. При учете более сложных физических эффектов математическая модель, то есть система уравнений газовой динамики, усложняется. В частности, при учете сил гравитации по Ньютону приходится рассматривать интегродифференциальную систему, у которой подынтегральная функция имеет известную особенность.

Среди всех краевых задач для нелинейных систем уравнений с частными производными особое место занимают задачи со свободными границами. На таких границах заданы значения некоторых искомых функций (как правило, давление), но положение самих границ и законы их движения заранее не известны, и они - искомые элементы в соответствующих начально-краевых задачах. К таким задачам со свободными границами и относятся задачи об истечении газа в вакуум, рассматриваемые в настоящей диссертации.

Сформулируем две основные задачи, исследуемые в диссертации:

1). Задача о распаде специального разрыва, при котором возникает истечение газа в вакуум;

2). Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Постановки этих задач следующие.

Задача о распаде специального разрыва. Пусть в момент времени t — to поверхность Г, проходящая через точку х° = {х®, х®, ^-'3}, отделяет находящийся по одну сторону от Г идеальный газ от вакуума. В этот момент времени t = to известны распределения параметров газа: р — ро(х) - плотность газа; V = V0(x) - вектор скорости газа; S = So(x) - энтропия. Предполагается,

«Годунов С.К. Разностный метод численного расчета, разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. - 1959. - Т. 47(89).- Вып. 3. - С. 271-306.

что плотность газа ро(х) всюду больше нуля, в том числе ро(х)|г > 0. В момент времени t — to начинается движение газа, определяемое заданными при t = to распределениями ро, Vo, Sq, которое в дальнейшем называется фоновым течением. В частности, фоновое течение может быть однородным покоем. В тот же начальный момент времени t — to помимо начала движения фонового течения поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Tj, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: ро(х) |г0 = 0> где Го - заранее неизвестная свободная поверхность, являющаяся границей, разделяющей волну разрежения и вакуум.

В, задаче о распаде специального разрыва требуется построить фоновое течение и волну разрежения, а также найти законы движения Ti и Г0.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Пусть в некоторый момент времени t = to по одну сторону от заданной поверхности Г известны параметры газа p\t=to = ро(х); V|i=io = V0(x); S|t=<0 - 50(х), а по другую сторону от Г - вакуум, причем ро(х)|г — 0В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму требуется при t > to определить закон движения самой свободной поверхности Го и построить течение в ее окрестности.

Если начальные распределения параметров газа ро(х), V0(x), Sq(x) и поверхность Г задаются функциями, аналитическими в окрестности точки х° = {х®, ж^х-)}, то в решении задач свободная поверхность Го (хотя бы некоторое время) будет гладкой. Такая задача называется квазиодномерной, поскольку какое-то время основные свойства течений будут близки к свойствам одномерных течений, примыкающих к вакууму.

Другой случай в задаче о распаде специального разрыва - задача с угловой точкой на свободной поверхности - можно получить двумя способами.

Во-первых, начальные распределения газодинамических параметров могут быть аналитическими функциями, но точка х° при этом является угловой точкой исходной поверхности Г, то есть начальная поверхность Г состоит из двух или из большего числа разных частей.

Вторая возможность появления угловой точки на Го : исходная поверхность Г задается одной аналитической функцией, по начальные распределения газодинамических параметров или их производные терпят разрыв.

Сложность исследованию задачи о распаде специального разрыва придают следующие обстоятельства:

- необходимо с помощью задания специальных граничных условий описать особенность решения, которая имеет место в момент мгновенного убира-

ния стенки Г, то есть в момент времени I = ¿о (в момент распада разрыва);

- при описании примыкания волны разрежения к фоновому течению возникает характеристическая задача Коши, когда начальные данные задаются на характеристической поверхности, и следовательно, определитель матрицы перед вектором выводящих с этой поверхности производных равен нулю;

- необходимость построения нелокального решения начально-краевой задачи в том числе для того, чтобы определить закон движения свободной поверхности и найти значения параметров газа во всей области течения от Гх до Г0.

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму сложности следующие:

- начальные данные задаются на характеристике кратности, равной числу уравнений в системе уравнений газовой динамики;

- в течении возникают бесконечные производные от газодинамических параметров, поскольку градиентная катастрофа имеет место не только в волнах сжатия, но также и в рассматриваемых волнах разрежения.

Все указанные обстоятельства существенно осложняют описание течений численными методами особенно в начальные моменты времени после распада разрыва, а также в непосредственной окрестности границы "газ-вакуум".

Цель работы.

Основная цель данной диссертации - моделирование различных течений идеального политропного газа, примыкающих к вакууму. Эта цель достигается с помощью последовательного решения следующих задач:

- построение с помощью рядов решений квазиодномерных задач о распаде специального разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму;

- исследование областей сходимости построенных рядов;

- установление точного закона движения свободной поверхности;

- выявление тех особенностей и особых точек течений, которые имеют место на свободной поверхности и на слабом разрыве;

- исследование свойств течений в окрестностях этих особых точек;

- построение течений, имеющих на свободной поверхности угловые точки;

- исследование течений политропного газа в условиях действия внешних массовых сил и гравитирующих по Ньютону;

- рассмотрение течений газа с другими уравнениями состояния;

Методология исследования.

При решении сформулированных задач используется методология характеристической задачи Коши и представление ее решения в виде степенных рядов. Но поскольку большинство из построенных в работе решений имеют какие-либо особенности, то для их раскрытия часто делаются вырожденные замены переменных (например, с использованием логарифмов или дробных

степеней) и строятся ряды в специальных пространствах.

Кроме этого, проводится исследование особых точек в построенных течениях: центры симметрии, угловые точки свободных поверхностей и звуковых характеристик - в этих точках решения, как правило, теряют аналитичность. Для состыковки различных течений производится переразложение построенных решений в окрестностях особых точек. При этом, как правило, невозможно полное описание сложных течений с помощью функций, аналитических во всей рассматриваемой области. В этом состоит ограниченость используемого метода представления решения характеристической задачи Коши в виде рядов. ;

Исследования, проведенные в диссертации, привели к созданию единой методики решения задач об истечении газа в вакуум. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1. Введение вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической ситуацией.

2. Перемена ролей у зависимой и независимой переменных для описания течений, возникающих в задаче о распаде специального разрыва и имеющих в физическом пространстве бесконечные значения производных.

3. Постановка начально-краевых задач в пространстве специальных независимых переменных. Как правило, эти задачи являются характеристическими задачами Коши, которые удается свести к стандартному виду.

4. Представление решений полученных характеристических задач Коши в виде рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами. При этом коэффициенты для части искомых функций находятся при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а для остальных - из решения систем линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля главным определителем.

5. Установление локальной сходимости рядов сведением к теореме о существовании и единственности аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида.

6. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов с целью выявления их особенностей, а также полиноминальной структуры коэффициентов по каким-либо переменным и описание на этой основе области сходимости рядов.

7. Установление свойств решений, в том числе определение точного закона движения свободной границы и значений газодинамических параметров на ней.

8. Построение решения характеристической задачи Коши в физическом пространстве в случае непрерывного примыкания газа к вакууму, когда кратность характеристики, несущей начальные данные для этой задачи, совпада-

ет с числом уравнений в исходной системе уравнений с частными производными.

9. Выявление особенностей, которые возникают на свободной поверхности, с помощью исследования системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых выводящих со свободной поверхности производных.

10. С помощью специальных вырожденных замен переменных внесение конкретных особенностей в решения для построения течений в окрестностях особых точек, включая ось или центр симметрии.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для поставленных начально-краевых задач как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму в случае многомерных течений политропного газа построены кусочно-аналитические решения, описывающие истечение газа в вакуум. В качестве одного из элементов составного решения построено обобщение простой центрированной волны Римана на случай (г, Х2, ж.з). Установлено существование и единственность аналитических решений во всей области волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности включительно.

2. На основе анализа построенных решений определены законы движения свободной поверхности как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму. В многомерных течениях каждая частица газа на свободной поверхности движется по своей прямой со своей постоянной скоростью. В этом случае скорость истечения газа на свободной поверхности определяется как геометрией исходной поверхности раздела "газ-вакуум", так и начальными распределениями параметров газа на ней. В частном случае линейчатых свободных поверхностей доказано, что свободная поверхность до возникновения особенностей в течении стоит на месте, а частицы газа движутся каждая со своей постоянной скоростью вдоль образующих этой поверхности.

3. Получены системы транспортных уравнений, описывающие поведение первых производных, выводящих со свободной поверхности, и исследованы их решения. Это позволило определить моменты времени и места возникновения в течениях газа градиентных катастроф, которые в свою очередь определили временные границы существования построенных решений. В том числе в случае разлета газа бесконечные значения производных возникают на поверхности фокусирующегося слабого разрыва, а на свободной поверхности никаких особенностей нет. В случае схлопывания одномерной полости, наоборот, бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности. В общем случае трехмерных течений при исследовании систем транспортных уравнений для свободной поверхности найдена зависимость критических значений показателя адиабаты от главных кривизн исходной

поверхности раздела 7» = 7.(^1,^2) : если 7 < 7,, то градиентная катастрофа наступает в момент появления угловой точки на свободной поверхности; если 7 > 7,, то градиентная катастрофа возникает еще до этого момента.

4. В задаче о распаде специального разрыва и в задаче о гладком примыкании газа к вакууму полученные результаты обобщены: на случай одномерных течений нормального газа с достаточно общим уравнением состояния; на случай трехмерных течений политропного газа, который находится в поле действия внешних массовых сил; а также на на случай одномерных течений политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В частности установлено, что при наличии внешней силы каждая частица на свободной поверхности движется как материальная точка в поле этой силы. Определена для са-могравитирующего газа ситуация, когда при разлете газ останавливается и после этого момента начинается схлопывание всей массы газа. Выявлено регулирующее воздействие гравитации на течение газа: отсутствие градиентной катастрофы на свободной поверхности до момента фокусировки газа на ось или в центр симметрии.

5. Построены решения задачи со специально подобранными начальными условиями, моделирующие закрученные и струйные течения. Установлено, что в случае закрученных течений свободная поверхность остается осесим-метричной и движется от оси симметрии. При исследовании систем уравнений переноса и систем транспортных уравнений показано, что особенности в струйных течениях возникают в двух ситуациях: 1) частицы газа, движущиеся вдоль свободной границы Го, набегают одна на другую и течение "опрокидывается"; 2) градиентная катастрофа происходит за счет уплотнения среды, примыкающей к свободной поверхности Го- Следовательно, в струйных течениях градиентные катастрофы на поверхности Го возникают по разным направлениям.

6. Построены кусочно-составные течения, возникаюшие как при одновременном, так.и..при последовательном убирании в разные моменты времени двух взаимно пересекающихся плоскостей, отделяющих в начальный момент времени однородный покоящийся газ от вакуума. Установлено существование угловых-точек на свободной поверхности, а также определены законы движения различных частей свободных поверхностей и поверхностей слабых разрывов.

7. Построены различные представления решений одномерных уравнений газовой динамики в окрестности оси или в центра симметрии и исследованы их свойства. Описано течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум а по другую - однородный покоящийся газ. В частности, решение задачи о распаде специального разрыва вдали от точки фокусировки слабого разрыва на ось сим-

метрии построено в виде сходящихся рядов во всей области течения, включая свободную поверхность. В окрестности точки фокусировки слабого разрыва установлено, что область сходимости рядов имеет секториальный вид. Также построено другое представление решения в окрестности оси симметрии, которое стыкуется с исходным однородным покоящимся газом.

Теоретическое значение и научная новизна.

В диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуум. Разработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач. Тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.

Это потребовало формулировки новых начально-краевых задач, а именно, характеристических задач Коши с данными на звуковых характеристиках и на кратных характеристиках как в физическом, так и в специальном функциональном пространствах. -

Поскольку в начальные моменты времени после распада специального разрыва, а также в окрестности границы "газ-вакуум" исследование этих задач численными методами практически невозможно, разработана методология аналитического решения сформулированных задач.

В основе этой методологии лежит доказательство существования локально-аналитических решений начально-краевых задач и их конструктивное построение в виде степенных рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

Далее для описания всей картины течения построенные решения состыковываются между собой непрерывно или приближенно. Это позволило с большой степенью достоверности представить всю картину истечения газа в вакуум, выявить возникающие особенности и, в частности, во многих случаях получить точный закон движения границы "газ-вакуум" и значения параметров газа на ней.

Практическая ценность работы определяется ее важностью с точки зрения приложений. Построенные решения могут использоваться для:

1. Описания процесса разлета газового шара, а также его схлопывания под действием самогравитации;

2. Исследования эффектов кумуляции при схлопывании полости в сплошной среде. Именно такие течения возникают в некоторых физических экспериментах при получении больших локальных значений плотности специальных сред, в том числе дда инициирования термоядерного синтеза. Кроме того, подобные течения возникают при кавитации воздушных пузырьков на гребных винтах и подводных крыльях;

3. Исследования различных струй, включая кумулятивные, границы ко-

торых априори являются свободными;

. 4. Описания процессов неограниченного сжатия газа. Исследование процессов либо неограниченного, либо очень сильного сжатия газа имеет принципиальное значение для многих физических экспериментов по осуществлению управляемого термоядерного синтеза.

Кроме того полученные в диссертации результаты можно использовать для правильной постановки начально-краевых задач и граничных условий в численных исследованиях задач со свободными границами.

....■; И наконец, построенные решения могут использоваться для тестирования численных методик.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:

• математически строгой постановкой начально-краевых задач;

построением в виде рядов полных разложений решений этих задач и их исследованием;

доказательством теорем о свойствах областей сходимости построенных решений ..

- то есть математически строго доказанными фактами.

Личный вклад автора.

Постановка одномерных начально-краевых задач о распаде специального разрыва и их решения, приведенные для полноты изложения в §1 пункте 1.2, получены С.П. Баутиным 7. Задачи об истечении в вакуум нормального газа, представленные в §2, решены автором совместно с С.П. Баутиным в работе [9], в которой автору принадлежат постановка задачи, построение решения и анализ структуры коэффициентов ряда, а С.П. Баутиным доказана теорема 2.2. Задачи об истечении в вакуум газа гравитирующего по Ньютону (§3) решены автором совместно с Н.П. Чуевым [10], а также исследованы автором в работе [11]. В работе [10] автору принадлежат постановка задач, построение решений и доказательство всех теорем, а Н.П. Чуевым исследовалась задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Исследования в совместных работах [1, 3, 6] проведены автором и С.П. Баутиным с равным творческим вкладом. В совместно с С.П. Баутиным опубликованной книге [14]: автором единолично написаны §§4-9,11,12; автором совместно с С.П. Баутиным написаны введение, §§2, 3, 10, заключение и библиографический обзор; С.П. Баутиным единолично написаны §§1, 13-16.

Публикации.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 24 печатных работах, куда входят: одна монография [14], издательства Наука, а также 12

'Баутин С.П. Одномерное истечение газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. - 1983. - Т. 14, № 4. - С. 3-20. .

статей [1-3,5-13], опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" (Свердловск 1982 г.), Всесоюзной конференции "Многомерные задачи механики сплошной среды" (Красноярск 1982 г.) Всесоюзной конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Москва 1990 г.), Международной конференции "Free-boundary problems in continuum mechanics" (Новосибирск 1991 г.), Всероссийских школах - семинарах "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Екатеринбург 1992 г., Саров 1994 г., Уфа 1998 г., Абрау-Дюрсо 2004 г.), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь 2001 г.), VII, VIII Международных конференциях "Забабахинские научные чтения", (Снежинск 2003, 2005 гг.), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф. Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (Екатеринбург 2003 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л.В. Овсянникова "Новые математические модели механики сплошной среды: построение и изучение", (Новосибирск 2004 г.), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.Л. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", (Новосибирск 2005 г.).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения трех глав и заключения. Список литературы содержит 191 наименование. Объем диссертации 227 страниц.

Основное содержание работы.

Во Введении обосновывается актуальность исследуемых в диссертации задач. Приводится обзор литературы по изучаемой и смежной тематике. Кратко излагается содержание диссертации.

Глава I (§§ 1 — 3) посвящена исследованию одномерных течений полит-ропного газа и газа с другими уравнениями состояния.

В §1 рассматриваются одномерные изэнтропические течения идеального политропного газа, возникшие при' разлете в вакуум первоначально однородного и покоящегося газового шара или цилиндра. Вначале для полноты изложения приводится ранее построенное С.П. Баутиным7 решение задачи о распаде специального разрыва, описывающее течение в окрестности Го во все моменты времени, а в окрестности фокусирующей в центр или на ось симметрии поверхности Гх - только до момента ее фокусировки. Затем для

раскрытия особенности течения в момент фокусировки поверхности Гх с использованием вида решений транспортных уравнений выбрано специальное функциональное пространство и решение в нем построено в виде сходящихся рядов вплоть до момента фокусировки поверхности слабого разрыва на ось или в центр симметрии включительно. Доказывается, что в физическом пространстве области сходимости этих рядов носят секториальный характер и с их помощью нельзя получить распределения параметров газа в момент времени £ = (момент фокусировки слабого разрыва на ось или в центр симметрии). В физическом пространстве в окрестности оси или центра симметрии построено в виде ряда еще одно течение, примыкающее через слабый разрыв к покоящемуся газу. Это решение является фактически переразложением предыдущего решения по другим переменным. У этого ряда хотя и не доказана сходимость, по детально исследована структура коэффициентов и показана аналитичность коэффициентов в области между двумя характеристиками: пришедшей на ось или в центр симметрии и отраженной. Поскольку переразложение проводилось в окрестности оси или центра симметрии (особой точки), то оба построенных решения удалось состыковать только приближенно.

В §2 исследуются одномерные течения идеального нормального газа в предположении, что на функцию, задающую уравнение состояния, наложены некоторые условия, которые позволяют построить решения начально-краевых задач в виде сходящихся рядов. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов показал: при малых I область сходимости рядов содержит всю волну разрежения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно, и каждая частица газа на Го движется с постоянной скоростью.

В §3 исследуются одномерные течения идеального политропного газа в предположении, что на массу газа действует ньютоновское тяготение. Решения построены в виде сходящихся рядов и доказано, что область сходимости этих рядов содержит всю волну разрежения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. В задаче о схлопывапии одномерной полости показано, что свободная поверхность "газ-вакуум" движется с постоянной скоростью, такой же, как и при отсутствии гравитации. В задаче о разлете газа установлено, что закон движения свободной поверхности совпадает с законом движения частиц в поле притяжения материальной точки.

Глава II (§§ 4—8) посвящена исследованию трехмерных течений идеального политропного газа в случае аналитических начальных данных и гладкой начальной поверхности раздела газ-вакуум. Исследования показали, что можно выделить два принципиально различных случая: вектор скорости газа не лежит или лежит в касательной плоскости к исходной поверхности Г. В четвертом и пятом параграфах исследуется первая ситуация, а в шестом и

седьмом — вторая. В восьмом параграфе полученные результаты обобщаются на случай действия внешних массовых сил.

В §4 рассматривается частный случай трехмерного истечения в вакуум, когда исходная поверхность отделяет вакуум от однородного покоящегося газа. В этом случае неодномерность задачи связана только с нсодномерной геометрией исходной поверхности раздела. По изложенной ранее методике решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и доказано, что свободная поверхность некоторое время будет двигаться с постоянной скоростью. Исследование транспортных уравнений позволило найти моменты времени, когда на свободной поверхности возникают бесконечные производные. Также была найдена зависимость критических значений 7* = 7»(&1, кг) (¿1, /с2 — главные кривизны исходной поверхности раздела): если 7 < 7«, то первая особенность на Го возникает на том луче, на котором достигается минимум всех радиусов кривизны исходной поверхности Г в момент образования угловой точки на Го; если 7 > 7«, то градиентная катастрофа возникает на том же луче, но еще до момента образования угловой точки на Го-

В §5 рассматривается общий случай трехмерного истечения в вакуум, когда исходная поверхность отделяет вакуум от неоднородного движущегося газа. Здесь неодномерность задачи определяется как неодномерной геометрией исходной поверхности раздела, так и изменением значений газодинамических параметров вдоль нее. Решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и доказано, что каждая частица на свободной поверхности некоторое время будет двигаться по своей прямой со своей постоянной скоростью х) + ^гхСо(х)п(х)| Здесь п(х) - единичный нормальный вектор поверхности Г. Все результаты этого параграфа получены в предположении, что V» ■ п 0, то есть вектор V, не лежит в касательной плоскости к поверхности Г.

В §6 рассматривается случай трехмерного истечения в вакуум, когда вектор V» лежит в касательной плоскости к поверхности Г, но не принадлежит поверхности Г. В этом случае с помощью преобразования Галилея вводится новая система координат, в которой начально-краевая задача сводится к задаче, рассмотренной в пятом параграфе. Детально исследован один частный случай таких течений, когда газовое тело в начальный момент времени является двумерным осесимметричным и начальные условия обеспечивают закрутку газа на свободной поверхности. Естественно, что возникновение подобных течений возможно только при специально подобранных начальных данных. Тем не менее, имеются содержательные примеры таких течений. Скажем, когда снаружи от осесимметричной поверхности находится газ, а

внутри - вакуум, то такое течение можно использовать для приближенного моделирования нижней части закрученных потоков типа торнадо. Если снаружи от поверхности - вакуум, а внутри — газ, то полученное решение описывает головную часть закрученных струйных течений. С помощью сходящихся рядов построено решение начально-краевых задач и доказано, что свободная поверхность всегда движется от оси симметрии.

В §7 рассматривается случай трехмерного истечения в вакуум, когда поверхность Г является линейчатой и вектора V» лежат на образующих этой поверхности. В этом случае доказано, что некоторое время свободная поверхность Го стоит на месте, то есть совпадает с Г, и частицы газа движутся вдоль образующих этой поверхности. Также доказано, что особенности в таких течениях возникают в двух ситуациях.

В первом случае бесконечные значения могут возникнуть у производных по переменной, изменяющейся вдоль образующих свободной поверхности (внутренней переменной поверхности Г). Этот момент времени совпадает с моментом возникновения особенностей у уравнений переноса и означает, что частицы газа, движущиеся вдоль Г, "набегают" одна на другую.

Во второй ситуации найдены соотношения между значениями параметров газа и функцией, задающей поверхность Г, при которых бесконечные значения возникают у производных по переменной, выводящей с поверхности Г. В этом случае особенности возникают у системы транспортных уравнений. Это означает, что происходит уплотнение среды примыкающей к свободной поверхности.

Исследование показало, что для струйных течений градиентные катастрофы на поверхности Го' могут возникать по этим двум разным направлениям.

В §8 рассматривается общий случай трехмерного истечения в вакуум в условиях действия внешних массовых сил. С помощью специальной системы координат решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и тем самым доказано, что область сходимости рядов содержит всю волну разрежения — от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. Закон движения свободной поверхности в этом случае определяется как решение задачи Коши для заранее известной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава III (§§ 9 — 11) посвящена исследованию одномерных и многомерных течений идеального политропного газа в случае неаналитических начальных данных или негладкой начальной поверхности раздела газ-вакуум.

В §9 рассматривается двумерный разлет идеального политропного газа в вакуум в случае, когда исходная поверхность раздела имеет (рис. 1) угловую точку.

Рис. 1

В пространстве годографа в виде ряда строится двумерное решение, примыкающее к простой волне и являющееся решением одной характеристической задачи Коши стандартного вида. Доказывается, что область сходимости ряда в окрестности угловой точки носит секториальный характер и не дотягивается до свободной поверхности (рис. 2).

Рис. 2

В §10 рассматривается следующая задача. Пусть прямые х = 0 и у = 0 являются непроницаемыми стенками. Идеальный политропный газ покоится в первой четверти, а в остальном пространстве - вакуум (рис. 3).

Вакуум

Вакуум

;. Одиоролны й : . -.пЬкоящийря

Вакуум

Рыс. 3

В момент 4 = 0 стенка х — 0 мгновенно разрушается и начинается истечение газа в вакуум вдоль стенки у = 0. Возникшее в реультате распада разрыва течение имеет следующую конфигурацию (рис. 4):

0 Вакуум 0 < ! < г„ У . 2 Центрированная волна Римана г» 1 Однородный покоящийся газ

А о

Рис. 4

в области 0 - вакуум; в области 1 - однородный покоящийся газ; в области 2 - простая центрированная волна Римана. Г02 - прямая, отделяющая движущийся газ от вакуума (свободная поверхность), Г12 - прямая, разделяющая движущийся и покоящийся газ (звуковая характеристика). В точках А, В терпят разрыв первые производные от газодинамических параметров.

В момент Ь = ¿о > 0 стенка у = 0 мгновенно разрушается и возникает сложная картина истечения в вакуум, составленная из одномерных и двумерных течений состыкованных между собой с помощью характеристик Г12, Г13, Г24, Г25, Г35, Г45 (рис. 5):

Рас. 5

в области 0 - вакуум; в области 1 - покоящийся газ; в областях 2 и 3 - простые волны; в области 4 - течение, возникшее в результате распада разрыва на отрезке [.А, £?]; в области 5 - течение, возникшее в окрестности точки В в

силу того, что в момент 4 = ¿о производные от газодинамических параметров в точке В терпят разрыв. Свободная поверхность состоит из трех частей: Г02] Гоз, Г04 и имеет две угловые точки С и £>. Решение задачи о распаде разрыва построено в виде характеристических рядов в области 4. Доказана сходимость этих рядов вплоть до угловой точки С на свободной поверхности. Также доказано, что поверхность слабого разрыва Г24, отделяющая искомое течение от простой волны, и свободная поверхность Г04 являются прямыми. В виде сходящихся рядов построены характеристики Г25, Г45. Для течения в области 5 поставлена задача с данными на трех характеристиках: Г25, Г351 Г45. Однако для получившейся переопределенной задачи, имеющей в момент времени Ь = £о особенность, решение пока не построено.

В §11 рассматривается течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум, а по другую газ. Решение задачи о распаде разрыва построено в виде степенных рядов. Доказана сходимость этих рядов во всей области течения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. Также доказано существование этого решения вплоть до момента фокусировки слабого разрыва на ось симметрии.'В физическом пространстве получено переразложение этого решения в окрестности оси симметрии.

В Заключении на основе полученных результатов сформулированы выводы.

Основные публикации автора по теме диссертации.

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях:

1. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Двумерное истечение в вакуум // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Труды ИММ УНЦ АН СССР - Свердловск: УНЦ АН СССР - 1983.- С. 3-15.

2. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум из состояния покоя // Численные методы механики сплошной среды,- 1983.- Т 14, № 4,- С. 58-73.

3..Баутин С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум // Доклады АН СССР - 1983 - Т. 273, № 4.- С. 817-820.

4. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа // Динамика сплошной среды - 1984 - Вып. 65.- С. 56-74.

5. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение идеального газа в вакуум в случае линейчатой свободной поверхности. Свердловск: УЭМИИТ, 1984. - 28 с. Деп. в ВИНИТИ 25.04.1984.- № 2617-84.- С. 1-28.

6. Баутин С.П., Дерябин С.Л. О существовании аналитических решений задачи о разлете газа в вакуум при наличии угловой точки // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Труды ИММ УНЦ АН СССР.- Свердловск: УНЦ АН СССР - 1985.- С. 3-14.

7. Дерябин С.Л. Отдельные задачи, возникающие при истечении газа в вакуум в условиях действия внешних массовых сил // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. Труды ИММ УНЦ АН СССР - Свердловск: УНЦ АН СССР,- 1987.- С. 48-62.

8. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил // Динамика сплошной среды - 1987 - Вып. 83 - С. 60-71.

9. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Задача об истечении в вакуум нормального газа // Динамика сплошной среды - 1993.- Вып. 107.- С. 26-38.

10. Дерябин С.Л.,Чуев Н.П. Сферически симметричное истечение самограви-тирующего идеального газа в вакуум // Прикладная математика и механика.— 1994,- Т.58.- Вып.2.- С.77-84.

11. Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум. // Вычислительные технологии.- 2003.- Т.8, № 4 - С. 32-44.

12. Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум // Вычислительные технологии.- Т.9, Вестник КазНУ №3(42) (совместный выпуск).- 2004 - С. 167-175.

13. Дерябин С.Л. Начальная эволюция закрученных газовых объемов, примыкающих к вакууму // Вычислительные технологии,- 2005 - Т.10, № 1,- С. 21-36.

14; Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум.- Новосибирск: Наука, 2005.- 390 с.

Работы, опубликованные в трудах всесоюзных, всероссийских и международных конференций и семинаров:

15. Bautin S.P., Deryabin S.L. The flowing of an ideal gas into vacuum // Free-boundary problems in continuum mechanics. Abstract.- Новосибирск: ИГ CO АН СССР.- 1991- С. 17-18.

16. Дерябин С.Л. Одно двумерное течение, примыкающее к простой волне // Международная школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа САМГОП-94", Арзамас 16.- 1994.- С. 51.

17. Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Одномерное истечение газа в вакуум в условиях самогравитации // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов.- Пермь - 2001.- С. 231.

18. Дерябин С.Л. Эволюция закрученных газовых тел в задачах об истечении газа в вакуум // 19-ая Всероссийская школаг-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САПГОП-2002)", Снежинск - 2002 - С. 24.

19. Дерябин С.Л. Исследование задач, возникающих при истечении идеального газа в вакуум // Всероссийская конференция, посвященная 70-летию со дня рождения академика А.Ф. Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики". Тезисы докладов. Екатеринбург: ИММ УрО РАН.-2003.- С. 32-33.

20. Дерябин С.Л. Пространственное истечение идеального газа в вакуум// Международная конференция "VII Забабахинские научные чтения". Тезисы докладов - Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ.- 2003.- С. 212.

21. Дерябин С.Л. Аналитическое исследование конических течений полит-ропного газа в окрестности оси симметрии // Всероссийская конференция, приуроченная к 85-летию академика Л.В. Овсянникова "Новые математические модели механики сплошной среды: построение и изучение". Тезисы докладов - Новосибирск: ИГ СО РАН - 2004 - С. 59.

22. Дерябин С.Л. Многомерное истечение газа в вакуум в условиях действия внешних массовых сил или самогравитации с гладкой и не гладкой свободной поверхностью // XX Всероссийская школа-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САПГОП-2004)". Тезисы докладов - Абрау-Дюрсо,- 2004,- С. 32-33.

23. Дерябин С.Л. Конические течения идеального газа, имеющие особенности на свободной поверхности и на поверхности слабого разрыва // Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике". Тезисы докладов - Новосибирск: ИГ СО РАН,- 2005 - С. 39-40.

24. Дерябин С.Л. Двумерное течение, примыкающее к вакууму с угловыми точками на свободной поверхности // VIII Международная конференция "Забабахинские научные чтения". Тезисы докладов.- Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ,- 2005.- С. 204-205.

Дерябин Сергей Львович

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ВАКУУМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано в печать 03.11.2005 Бумага писчая №1 Формат 60X90 1/16 Объем 1, 4 п. л.

Тираж 100 экз. Цена договорная Заказ 297

Уральский государственный университет путей сообщения 620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66

t ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Одномерное истечение газа в вакуум.

§ 1. Разлет газового шара или цилиндра.

§ 2. Одномерное истечение в вакуум нормального газа.

§ 3. Одномерное истечение газа в вакуум в условиях самогравитации.

Глава II. Многомерное истечение газа в вакуум.

§ 4. Трехмерное истечение газа в вакуум из состояния покоя.

§ 5. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа.

§ 6. Эволюция закрученных газовых объемов, примыкающих к вакууму.

§ 7. Истечение газа в вакуум в случае линейчатой свободной поверхности.

§ 8. Трехмерное истечение газа в вакуум в условиях действия внешних массовых сил.

Глава Ш.Течения газа с особенностями на границах волны разрежения.

§ 9. Истечение газа в вакуум с косой стенки.

§ 10. Истечение газа в вакуум при последовательном убирании двух стенок.

§11. Истечение газа в вакуум из конуса.

Диссертация 1 посвящена разработке аналитических методов математического моделирования истечения идеального газа в вакуум. Исследуются основные конфигурации одномерных и многомерных течений, возникающие при истечении в вакуум политроппого газа, а также газа с другими уравнениями состояния. В частности, моделируется эволюция примыкающих к вакууму течений газа, которые испытывают воздействие внешних массовых сил или гравитируют по Ньютону. Кроме этого рассматриваются смежные проблемы, связанные с появлением в исследуемых течениях бесконечных градиентов.

Значительная часть физических процессов и явлений, происходящих в сплошных средах, описывается с помощью систем дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения - это сложный математический объект исследования, особенно если они нелинейные или имеют особенности. Построение и исследование решений нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время ведется с помощью двух подходов: аналитического и численного.

Численные методы решения развиваются очень активно, что в первую очередь связано с наличием мощных процессоров. Однако для многих нелинейных задач, решения которых обладают различными особенностями (большие градиенты, малые или очень большие значения плотности, состыковка областей с принципиально различными значениями параметров потока, наличие особых точек на границах областей существования решений и т.д.), применение численных методов зачастую не дает надежных результатов.

Исследование нелинейных задач с помощью аналитических методов имеет свои принципиальные трудности, в основе которых лежат все те же особенности решений нелинейных задач. Эти затруднения связаны во многих случаях с отсутствием строго доказанных фактов о существовании решений и знаний об их свойствах. Очень осложняет положение большой объем выкладок и построений, необходимых для практического применения аналитических подходов. К тому же, не очень велик и сам набор эффективных аналитических методов исследования нелинейных задач: метод дифференциальных связей [158]; групповой анализ нелинейных уравнений с частными производными [131]; представление решений в виде рядов [35, 156]; различные асимптотические разложения и некоторые другие аналитические подходы.

В данной диссертации математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум проводится с помощью аналитического исследования решений нелинейных начально-краевых задач, в том числе с использованием различных сходящихся рядов.

Исследование поддержано РФФИ, проекты 02-01-01122, 04-01-00205.

Одним из самых важных результатов аналитических исследований служит установление и выявление физических и газодинамических эффектов, которые трудно (а порой и невозможно) предсказать с помощью численных расчетов. Это, в свою очередь, позволяет строить вычислительные процедуры, учитывающие особенности решений конкретных математических моделей. Яркий пример подобных вычислительных процедур - это разностная схема С.К. Годунова [73] и ее модификации, построенные на базе точного решения задачи о распаде разрыва уже почти полвека используемые при численном решении задач газовой динамики.

Начальным этапом математического моделирования был и остается выбор математической модели. В настоящей диссертации исследуется система уравнений газовой динамики, являющаяся системой гиперболического типа. Поскольку в работе исследуются газовые течения либо без ударных воли, либо до момента их возникновения, то основным элементом при построении сложных конфигураций течений служат характеристические поверхности -поверхности слабых разрывов. У системы уравнений газовой динамики имеются две звуковые характеристики, каждая кратности один, а также контактные характеристики, которые в зависимости от размерности задачи имеют кратность от нуля до трех. При учете более сложных физических эффектов математическая модель, то есть система уравнений газовой динамики, усложняется. В частности, при учете сил гравитации по Ньютону приходится рассматривать интегро-дифференциальную систему, у которой подынтегральная функция имеет известную особенность.

Среди всех краевых задач для нелинейных систем уравнений с частными производными особое место занимают задачи со свободными границами. На таких границах заданы значения некоторых искомых функций (как правило, давление), но положение самих границ и законы их движения заранее не известны, и они - искомые элементы в соответствующих начально-краевых задачах. К таким задачам со свободными границами и относятся задачи об истечении газа в вакуум, рассматриваемые в настоящей диссертации.

Сформулируем две основные задачи, исследуемые в диссертации:

1). Задача о распаде специального разрыва, при котором возникает истечение газа в вакуум;

2). Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Постановки этих задач следующие.

Задача о распаде специального разрыва. Пусть в момент времени t = to поверхность Г, проходящая через точку х° = {ж^, х®, £<]}, отделяет находящийся по одну сторону от Г идеальный газ от вакуума (рис. 01). В этот момент времени t = to известны распределения параметров газа: р — ро(х) - плотность газа; V = Vo(x) - вектор скорости газа; S = 5о(х) - энтропия. Предполагается, что плотность газа ро(х) всюду больше нуля, в том числе ро(х)|г > 0. В момент времени t = to начинается движение газа, определяемое заданными при t = to распределениями ро, Vo, So, которое в дальнейшем называется фоновым течением. В частности, фоновое течение может быть однородным покоем. В тот же начальный момент времени t = to помимо начала движения фонового течения поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Гх, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: ро(х)|г0 — где Го - заранее неизвестная свободная поверхность, являющаяся границей, разделяющей волну разрежения и вакуум (рис. 02).

В задаче о распаде специального разрыва требуется построить фоновое течение и волну разрежения, а также найти законы движения Гх и Го.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Пусть в некоторый момент времени t = to по одну сторону от заданной поверхности г известны параметры газа p\t=to = ро(хЬ vlf=fo = vo(x); S\t=to = 50(х), а по другую сторону от г - вакуум, причем /?о(х)|г = 0 (рис- 03).

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму требуется при t > to определить закон движения самой свободной поверхности Го и построить течение в ее окрестности.

Если начальные распределения параметров газа ро(х), Vo(x), £о(х) и поверхность Г задаются функциями, аналитическими в окрестности точки х° = {xj, х^х^}, то в решении задач свободная поверхность Го (хотя бы некоторое время) будет гладкой. Такая задача называется квазиодномерной, поскольку какое-то время основные свойства течений будут близки к свойствам одномерных течений, примыкающих к вакууму.

Другой случай в задаче о распаде специального разрыва - задача с угловой точкой на свободной поверхности - можно получить двумя способами.

Во-первых, начальные распределения газодинамических параметров могут быть аналитическими функциями, но точка х° при этом является угловой точкой исходной поверхности Г (рис. 04), то есть начальная поверхность Г состоит из двух или из большего числа разных частей.

Вторая возможность появления угловой точки на Го : исходная поверхность Г задается одной аналитической функцией, но начальные распределения газодинамических параметров или их производные терпят разрыв (например плотность газа (рис. 05)).

Сложность исследованию задачи о распаде специального разрыва придают следующие обстоятельства:

- необходимо с помощью задания специальных граничных условий описать особенность решения, которая имеет место в момент мгновенного убирания стенки Г, то есть в момент времени t = to (в момент распада разрыва);

- при описании примыкания волны разрежения к фоновому течению возникает характеристическая задача Коши, когда начальные данные задаются на характеристической поверхности, и следовательно, определитель матрицы перед вектором выводящих с этой поверхности производных равен нулю;

- необходимость построения нелокального решения начально-краевой задачи в том числе для того, чтобы определить закон движения свободной поверхности и найти значения параметров газа во всей области течения от Г1 до Г0.

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму сложности следующие:

- начальные данные задаются на характеристике кратности, равной числу уравнений в системе уравнений газовой динамики;

- в течении возникают бесконечные производные от газодинамических параметров, поскольку градиентная катастрофа имеет место не только в волнах сжатия, но также и в рассматриваемых волнах разрежения.

Все указанные обстоятельства существенно осложняют описание течений численными методами особенно в начальные моменты времени после распада разрыва, а также в непосредственной окрестности границы "газ-вакуум".

Работы предшественников.

Математическому описанию движения сплошной среды, в той или иной мере связанному с моделированием истечения газа в вакуум, посвящен ряд работ. Эти работы (может быть несколько условно) можно разбить па две части. В первой - исследуются общие свойства используемых математических моделей. Вторая группа работ, посвящена приложениям.

Для работ из первой части выделены следующие разделы: гиперболические уравнения и системы; характеристическая задача Коши; транспортные уравнения и градиентная катастрофа; вырожденные замены переменных.

Во второй части обсуждаются результаты, полученные по следующим направлениям: течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых сил; задача о распаде разрыва; задача об истечении газа в вакуум.

Гиперболические уравнения и системы

Теоремы существования и единственности решений у различных начально-краевых задач для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений приведены во многих учебниках по теории уравнений с частными производными и по газовой динамике [120,121,125,132,134,136,172,175]. Теорема Ковалевской (ее доказательство изложено в [120,134]) применима к системам гиперболического типа, поскольку те заведомо являются системами типа Ковалевской: при записи системы в нормальном виде в правой части не возникают производные более высокого порядка, чем производные в левой части.

Характеристическая задача Коши

Такая задача возникает, когда, во-первых, ставится задача Коши, то есть на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в нуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных.

В случае линейных гиперболических систем В.М. Бабич [15, 16], Д. Людвиг [184], Р. Курант [120] разработали метод представления решений в виде обобщенной бегущей волны - бесконечного ряда по специальным системам функций, зависящим от (р, где (р = 0 - это уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Фактически этот метод есть постановка характеристической задачи Коши для линейной задачи и представление ее решения в виде специальных рядов. При соответствующей замене независимых переменных эти ряды становятся обычными рядами Тейлора, коэффициенты которых последовательно определяются из рекуррентных соотношений. Часть из этих соотношений являются алгебраическими, часть - обыкновенными дифференциальными уравнениями. В случае аналитичности входных данных задачи В.М. Бабич [16] и Д. Людвиг [184] доказали сходимость этих рядов в малом. Д. Людвиг свел вопрос о сходимости обобщенной бегущей волны к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для этого случая Дж. Дафф [179] и Д. Людвиг [184] доказали соответствующие аналоги теоремы Ковалевской.

В нелинейном случае для системы уравнений газовой динамики постановки конкретных характеристических задач Коши в случае, когда данные на характеристике взяты из однородного покоя или однородного движения с постоянной скоростью, были впервые рассмотрены в работе А.А. Дородницына [93] и в работе Л.В. Овсянникова [126]. В этих работах А.А. Дородницыным и Л.В. Овсянниковым построены представления решений соответствующих задач виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами и доказана их сходимость. Однако с точки зрения теории уравнений с частными производными это две принципиально разные характеристические задачи Коши.

В работе А.А. Дородницына [93] для описания сверхзвуковых двумериых стационарных течений решение поставленной характеристической задачи Коши построено в случае, когда у части бесконечных рядов коэффициенты определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. И поэтому решение такой характеристической задачи Коши обладало дополнительным произволом.

В работе JI.B. Овсянникова [126] доказана сходимость ряда, описывающего стационарное осесимметричное течение Мейера в окрестности оси симметрии, па которой система уравнений имеет известную особенность: 1/г. В этом случае коэффициенты ряда определялись из разрешенной в явном виде системы линейных алгебраических уравнений и поэтому дополнительного произвола в решении данной характеристической задачи Коши нет.

Позже работы А.А. Дородницына [93], в которой коэффициенты рядов определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, в работе Е.Н. Зубова и А.Ф. Сидорова [101], а также в работах А.Ф. Сидорова [147 - 149] в пространстве годографа в виде формальных степенных рядов (в последующем названных авторами характеристическими рядами) построены потенциальные дву- и трехмерные нестационарные течения в задачах о плавном вдвижении поршня в покоящийся однородный газ и об обтекании тел сверхзвуковым однородным потоком газа. При этом коэффициенты рекуррентно определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость построенных формальных рядов в работах Е.Н. Зубова, А.Ф. Сидорова не была доказана. Как и обобщенная бегущая волна, так и характиристические ряды являются решениями соответствующих характеристических задач Коши, которые при стандартной замене переменных становятся обычными рядами Тейлора с рекуррентно определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов из работ [101, 147 - 149], а также рядов, решающих характеристическую задачу Коши стандартного вида в общем случае квазилинейной аналитической системы, была доказана С.П. Баутиным [17, 21, 22]. В последующем методика решения различных характеристических задач Коши, возникающих в задачах газовой динамики, была применена в работах А.Ф. Сидорова [72, 150, 151, 156, 180], С.П. Баутина [18 - 20, 22 - 27, 29 - 44, 47 - 65], И.А. Башкирцевой [66, 67], И.Б. Гаврилушкина [72], СЛ. Дерябина [49 - 54, 74 - 92], АЛ. Казакова [55 - 57, 104, 105], М.Ю. Козманова [107,108], З.Л. Ольхи [133,188], А.В. Рощупкина [58,137] Л.И. Рубипой [141], С.С. Титова [168, 170], Ю.Ю. Чернышова [59 - 62, 174], Н.П. Чуева [176], С.А. Ягупова [63 - 65, 177, 178]. Заметим, что указанный подход успешно применен не только для случая гиперболической системы уравнений газовой динамики, но так же и для описания течений как теплопроводного невязкого [42 - 44, 59 - 62, 174], так и теплопроводного вязкого газа [30 - 34]. Представление решений нелинейных уравнений с частными производными в случаях, когда одна из рассматриваемых задач фактически является характеристической задачей Коши с дополнительным произволом в решении, имеются в работах В.А. Куликовского [119] и В.М. Тешукова [162, 164 - 166].

Характеристическая задача Коши, близкая к рассмотренной в работе JT.B. Овсянникова [126] с точки зрения отсутствия дополнительного произвола в решении, а также близкая по методике доказательства сходимости рядов, решающих эти задачи, возникает при описании тепловых волн, распространяющихся по холодному фону (см. [46]). Применение методологии характеристических рядов к построению тепловых воли было предложено А.Ф. Сидоровым в [152], в которой для нелинейного уравнения теплопроводности в одномерном плоскосимметричном случае доказано существование и единственность аналитического решения при задании закона движения фронта тепловой волны в виде многочлена от t или от ехр(—nt), к = const > 0. В работе С.П. Баутина [28] при заданной произвольной аналитической функции a(t), определяющей фронт движения тепловой волны, доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности, а также приведено обобщение данного результата как на многомерный случай, так и на другие уравнения параболического типа. В работе А.Ф. Сидорова [153] сформулирована теорема о существовании тепловой волны при заданном специальном краевом режиме, однако эта теорема осталась недоказанной (см. [156]). В работах С.П. Баутина [45, 46] доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности (в том числе многомерного) при заданном произвольном аналитическом краевом режиме с отличной от нуля в момент t = 0 производной по времени. Построение тепловых волн в течениях теплопроводного вязкого газа приведено в работе С.П. Баутина [33].

Транспортные уравнения и градиентная катастрофа

Решения нелинейных систем уравнений с частными производными имеют некоторые свойства, принципиально отличающиеся от свойств решений линейных систем уравнений с частными производными. Одним из таких свойств решений нелинейных гиперболических уравнений является градиентная катастрофа: в некоторый конечный момент времени частные производные искомых функций неограниченно растут, хотя сами искомые функции при этом остаются ограниченными. Наиболее содержательные и физически осмысленные примеры градиентных катастроф имеются в газовой динамике: градиентная катастрофа обязательно возникает в волнах сжатия, но так же она может возникнуть из-за других внешних причин, в частности, геометрических. Например, когда к центру или к оси симметрии движется вся волна разрежения, включая свободную границу. Градиентная катастрофа так же происходит в момент прихода в точку г = 0 слабого разрыва, отделяющего однородный покой от волны разрежения, распространяющейся в этом случае вместе со свободной поверхностью в сторону увеличения г.

Работа Б. Римана [135, 190], а также работы А. Гюгонио [183] и О. Рэлея [189] положили начало аналитическим исследованиям свойств решений уравнений газовой динамики, в том числе по описанию явления градиентной катастрофы. В частности, в простой центрированной волне Римана точно определяется время и место градиентной катастрофы [132, 136, 159]. Однако для определения момента возникновения градиентной катастрофы можно не строить полностью какое-либо решение системы уравнений газовой динамики. Для этого бывает достаточно знать значения первых производных, выводящих с какой-либо звуковой характеристики, разделяющей искомое и заданное течения. Уравнения, описывающие поведение таких производных, называются транспортными.

Имеется достаточно много работ, посвященных получению транспортных уравнений и исследованию их свойств. В книге Р. Куранта [120] для случая линейных гиперболических систем получено транспортное уравнение и указано на возможность получения подобного уравнения для квазилинейной системы. В случае квазилинейной системы двух уравнений с двумя независимыми переменными в работе И. Нитше [187] получено транспортное уравнение и * исследованы свойства его решений. В работах А. Джеффри [181, 182] для квазилинейной системы произвольного порядка со многими независимыми переменными получено транспортное уравнение и для случая одномерных течений приведены формулы, определяющие время и место возникновения градиентной катастрофы. В работе А.Н. Крайко [111] результаты из [181] обобщены на случай одномерных нестационарных неравновестных течений газа. А.Ф. Сидоровым в случае двумерных [144] и трехмерных [145, 146] течений политропного газа, непрерывно примыкающих к однородному покою, выписаны транспортные уравнения и найдены их решения. В работе С.П. Ба-утина [38] транспортные уравнения и их решения для системы уравнений газовой динамики в цилиндрически- и сферически- симметричном случаях получены при построении первых коэффициентов рядов, решающих характеристические задачи Коши, с помощью которых описываются течения газа при движении одномерных непроницаемых поршней.

В работах Л.И. Рубиной [138, 139] для системы уравнений магнитной газовой динамики, а также для произвольной квазилинейной гиперболической системы со многими независимыми переменными (в случае характеристической поверхности постоянной кратности больше единицы) получены и про-^ интегрированы системы транспортных уравнений. Тем самым Л.И. Рубина получила универсальные законы распространения слабых разрывов по однородному фону. В работе [140] Л.И. Рубина также исследовала поведение слабых разрывов, распространяющихся по областям центрированных волн Римапа и Прандтля-Майера.

В работах С.П. Баутина [42, 43] рассмотрены транспортные уравнения и их решения, описывающие явление градиентной катастрофы на звуковых и контактных характеристиках в течениях теплопроводного невязкого газа, а также на контактной характеристике в случае теплопроводного вязкого газа [30].

Впервые системы транспортных уравнений, которые в одномерном случае описывают поведение производных, выводящих со свободной поверхности, разделяющей газ и вакуум, выписаны и проанализированы в работе Я.М. Каждапа [102] и в его совместных с Ю.В. Житниковым работах [94, 95]. В работах [24 - 26] С.П. Баутиным получена аналогичная система транспортных уравнений в одномерном и в двумерном случаях и сведена к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. При численных расчетах этого уравнения показано, что при определенных значениях входных параметров задачи градиентная катастрофа наступает в момент фокусировки свободной поверхности в центр симметрии, а в других случаях бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности еще до момента ее фокусировки. C.JT. Дерябиным в работах [74 - 79, 82, 88] получены и исследованы транспортные уравнения при трехмерном истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил, а работах C.JT. Дерябина [82], C.JT. Дерябина и Н.П.Чуева [91] — для случая одномерных течений и в условиях самогравитации. В работе С.С. Титова [169] в виде сходящихся рядов с особенностями построены решения системы транспортных уравнений на свободной границе в случае разлета в вакуум газового шара.

Вырожденные замены переменных

При исследовании решений нелинейных систем уравнений с частными производными, включая систему уравнений газовой динамики, часто используются вырожденные замены переменных: при переходе от исходных независимых переменных, обозначенных как х, к новым независимым переменным у, якобиан преобразования на одной из новых координатных плоскостей (например, i/i = 0) равен нулю d( у)

J = 0. j/i=o

D(x)

Одна из простейших вырожденных замен такая: У\ = ех\ у2 = х2] J = дуг dxi dyi дх2 У1 0 ду-2 ОУ2 0 1 дх\ 8X2

У1.

В этом случае соответствующая новая координатная плоскость становится характеристической поверхностью, поскольку справедливо равенство д д дх\ Ш дух и на поверхности у\ = 0 зануляется коэффициент перед производной по у\. И тогда, в частности, становится возможным применение методики построения решения характеристической задачи Коши с соответствующим дополнительным произволом. Кроме этого, в газовой динамике построение автомодельных решений, включая центрированные волны Римана и Прандт-ля-Майера, фактически является использованием специальных конкретных вырожденных замен переменных. Одной из целей использования вырожденных замен переменных является раскрытие особенностей у цилиндрически-и сферически-симметричных течений в окрестности точки г = 0, что достаточно хорошо разработано в случае обыкновенных дифференциальных уравнений [106].

Таким образом, несмотря па некоторое математическое единство идеи использования вырожденных замен переменных, цели их введения могут разными: 1) получение характеристической задачи Коши; 2) избавление от особенности в исходной системе уравнений; 3) то же самое по отношению к на-^ чальным или граничным условиям; 4) внесение конкретных особенностей в искомое решение и расширение тем самым класса используемых функций.

При первом подходе возможно существенное увеличение произвола в решении. Это позволяет получить больший класс частных решений или удовлетворить большему числу краевых условий, что повышает область применимости математической модели. В работах О.В. Коковихиной и А.Ф. Сидорова [109]; Л.Г. Корзунина и М.Ю. Филимонова [110]; А.Ф. Сидорова, Л.Г. Кор-зунина и М.Ю. Филимонова [180]; С.С. Титова [167, 168, 170] решения различных нелинейных задач, включая газодинамические, строились в виде рядов по специально подобранным базисным функциям. Основное достоинство этих рядов — дополнительный произвол, возможно позволивший бы удовлетворить дополнительному краевому условию. Заметим, что использование произвола в построенных решениях для точного удовлетворения произвольным заданным краевым условиям в настоящее время остается нерешенной проблемой. Фактически, в основе специальных рядов, использованных в перечисленных работах, лежит вырожденная замена переменных, что показано в работах С.П. Баутина [30 - 34]. К этому подходу также близка и идея введения дополнительной независимой переменной типа у = In я, использованная щ в работах С.П. Баутина, С.С. Титова (см., напр., [23], [171]).

При реализации второй из целей введения вырожденных замен переменных - раскрытие особенности типа 1 /г в исходной системе уравнений -наиболее часто используется введение автомодельных переменных. С точки зрения математического формализма вначале делается замена переменных £ = r/ta, т = t, а затем полагается д/дт = 0. Такой подход убирает особенность типа 1/г из одномерных уравнений газовой динамики [131] ^ и существенно упрощает задачу. Анализ размерностей во многих случаях определяет значение константы о; и позволяет получить решения ряда важных одномерных задач [142], например, задачи о сильном точечном взрыве. Применению автомодельных решений в задачах газовой динамики, помимо упомянутой книги Л.И. Седова [142], посвящено много работ. Это труды: К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [71]; И.Е. Забабахина и В.А. Симоненко [97]; Я.М. Каждана [103]. Более сложная, но и более содержательная ситуация возникает при введении нестационарных автомодельных переменных, когда рассматривается случай д/дт ф 0. Тогда размерность исходной задачи не понижается, но зато появляется возможность удовлетворить дополнительному краевому условию. Например, в работах С.П. Баутина и А.Л. Казакова [55 - 57], а также в работах А.Л. Казакова [104, 105] исследована задача об отражении волны сжатия от оси или центра симметрии, решение которой строится в виде сходящихся рядов. В работе С.Л. Дерябина [88] об эволюции закрученных газовых течений внесение особенности типа 1/г в искомые функции позволило убрать особенность этого типа у системы уравнений га-4 зовой динамики.

К третьему направлению введения вырожденных замен переменных с целью убирания особенностей из начальных данных или из краевых условий также можно отнести автомодельные решения типа центрированных воли Римана и Прандтля-Майера, которые применяются, в частности, для описания решений задачи о распаде произвольного разрыва в плоскосимметричном случае (когда в начальный момент времени имеется разрыв [132, 136]), а также в задаче о неограниченном безударном сжатии плоского слоя (когда в финальный момент времени образуется особенность [132, 159]). Многомерные решения с подобными особенностями использовались В.М. Тешуковым в работах [162 - 166] с применением более сложных конструкций при описании распада произвольного разрыва на криволинейной поверхности. Одним из эффективных способов убирания особенности из начальных данных, в частности, в задаче о распаде специального разрыва и в задаче о безударном сильном сжатии оказалась перемена ролями зависимых и независимых переменных. Когда в физическом пространстве есть начальный или финальный разрыв плотности в виде условия вертикали, то перемена ролей плотности газа и одной из пространственных переменных позволяет перенести V особенность в само преобразование; а у искомого решения в новом функциональном пространстве особенность отсутствует. Этот прием был использован С.П. Баутиным в [20] для описания ранее пе встречавшихся цилиндрическии сферически-симметричных течений газа, имеющих особенность, аналогичную особенности центрированной волны Римана. Эти течения возникают при мгновенной остановке вдвигающегося в газ поршня. Позже этот прием использовался для описания истечения газа в вакуум, когда имеется особенность, аналогичная особенности в центрированной волне Римана, в следующих работах: А.Ф. Сидорова [151], С.П. Баутина [24 - 27], С.П. Баутина и C.JI. Дерябина [50 - 54], C.JI. Дерябина [74 - 90], C.JI. Дерябина и Н.П. Чуева [91, 92]. Так же этот подход для убирания особенности типа условия вертикали применялся при описании безударного сильного сжатии газа в работах: С.П. Баутина [35 - 37, 44, 47], С.П. Баутина и А.В. Рощупкина [58], С.П. Баутина и Ю.Ю. Чернышова [59, 60], С.П. Баутина и С.А. Ягупова [63 - 65], А.В. Рощупкина [137], Ю.Ю. Чернышова [174], С.А. Ягупова [177, 178].

Четвертая из идей использования вырожденных замен переменных предполагает использование достаточно сложных вырожденных замен с тем, чтобы особенности внести в вид искомых функций. Построение различных асимптотических разложений часто использует именно этот подход. Например, в работах Я.М. Каждана [102], Ю.В. Житникова и Я.М. Каждана [94, 95] с помощью достаточно сложных асимптотических разложений исследовалось одномерное истечение газа в вакуум. В работе А.Ф. Сидорова [155] и в его совместной с О.Б. Хайруллииой работе [157] построено одно точное автомодельное течение, описывающее конический разлет газа или безударное сильное сжатие газа в окрестности оси вращения и имеющее конкретную особенность. Детально это решение исследовано И.А. Башкирцевой в работе [67]. В работах А.Н. Крайко [116, 117] с помощью специальных замен переменных построено течение, возникающее при отражении слабого разрыва от оси или центра симметрии в предположении о непрерывности искомого течения. В книге С.П. Баутина, C.JI. Дерябина [54] для полного построения решения задачи распаде специального разрыва при одномерном разлете газа в вакуум в окрестности оси или центра симметрии использовались нестационарные автомодельные переменные и одновременно с этим вносились конкретные особенности в искомые функции. Это позволило убрать особенность из системы уравнений и получить аналитические краевые условия. Решение начально-краевой задачи построено в виде ряда, коэффициенты которого получены в явном виде.

Течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых сил

Исследованием движений сплошной среды с учетом сил гравитации занимались П.Г. Дирихле, Р. Дедекинд, Б. Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Сюда относятся и классические работы об определении формы Земли, восходящие еще к И. Ныотону. Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [122, 124, 173]. Исследованию неустановившихся движений жидкости со свободной границей в точной постановке для уравнений идеальной жидкости, включая теоремы существования и единственности, посвящены работы JI.B. Овсянникова [127 - 130]. Так же JI.B. Овсянникову принадлежат постановка и первые результаты в задаче о малых возмущениях неустановившихся движений жидкости со свободной границей, полученные в [127]. Исследованию корректности этих задач и устойчивости их решений посвящены работы В.К. Андреева [1 -14]. Имееется много работ по описанию схлопывания полости в несжимаемой жидкости (см., напр., кн. Е.И. Забабахина и И.Е. Забабахина [96]).

В монографиях К.П. Станюковича [159], Л.И. Седова [142] рассматривается движение гравитирующего газового шара как модель для описания поведения звездных образований. М.Л. Лидовым [123] в явном виде найдено точное решение для сферически симметричного течения гравитирующего газа с переменной плотностью. В работах О.И. Богоявленского [69, 70] рассмотрена динамика адиабатических течений с однородной деформацией гравитирующего газового эллипсоида. Исследованию адиабатических течений с однородной деформацией при учете сил гравитации и магнитного поля посвящены работы А.Г. Куликовского [118], А.Д. Зубова и В.А. Симоненко [99, 100]. Численное исследование гравитационого сжатия вращающегося газового шара проведено А.Ю. Бисяриным и А.Д. Зубовым в [68]. Работа Nishida Т. [186] содержит обзор некоторых результатов по математическому описанию истечения газа в вакуум. В ней, в частности, приведен результат Makino Т. [185] разрешимости начально-краевых задач для эволюции самогравитирую-щих газовых звезд.

Одномерные и многомерные нестационарные движения газа в поле внешних массовых сил при наличии свободной границы рассматривались в работах С.П. Баутина [18, 19]. В работах С.Л. Дерябина [78, 79] исследовались трехмерные задачи об истечении газа в вакуум с учетом произвольной внешней массовой силы. Решения этих задач были построены в виде сходящихся степенных рядов во всей области волны разрежения, включая свободную границу газ-вакуум. В работах С.Л. Дерябина и Н.П. Чуева [91], С.Л. Дерябина [82] аналогичные результаты получены для одномерных течений идеального политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В работе Н.П. Чуева [176] при исследовании трехмерных течений идеального политропного газа, гравитирующего по Ныотону, рассматривалась интегро-дифференциальная система. В виде степенного ряда было построено формальное решение задачи об эволюции закрученного газового шара и доказана аналитичность коэффициентов этого ряда. В этой работе получен приближенный закон движения свободной границы газ-вакуум для вращающегося гравитирующего газового шара. Оказалось, что при определенных соотношениях параметров газа и угловой скорости вращения шар принимает форму сплюснутого эллипсоида, симметричного относительно оси вращения. При других соотношениях параметров газа и скорости вращения происходит сжатие шара вдоль оси вращения и одновременный разлет в перпендикулярных направлениях - шар превращается в плоскую фигуру, ограниченную расширяющимся вдоль обеих осей эллипсом.

Задача о распаде специального разрыва

Задачи о распаде специального разрыва — это частный случай классической задачи о распаде разрыва (см. напр., [132, 136]). В случае плоской симметрии решением задачи о распаде специального разрыва является центрированная волна Римана, состыкованная с однородным покоем.

Как уже отмечалось, такие задачи о распаде специального разрыва решаются, в частности, при перемене ролей зависимых и независимых переменных. А.Ф. Сидоровым в [151] использованы ранее построенные в пространстве годографа характеристические ряды [101, 147] для описания решения задачи о распаде специального разрыва. Сходимость рядов в окрестности звуковой характеристики в работе А.Ф. Сидорова [151] обеспечивали теоремы, доказанные С.П. Баутиным в [17, 21], а сходимость рядов в окрестности свободной границы в [151] не исследовалась. Впервые в случаях цилиндрической и сферической симметрий полное решение задачи о распаде специального разрыва для описания истечения газа в вакуум как решение характеристической задачи Коши в специальном функциональном пространстве с дополнительным краевым условием вертикали получено С.П. Баутиным в [24]. Решение построено в виде степенных рядов и доказано, что область сходимости этих рядов покрывает всю зону волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности. Также получен точный закон движения свободной поверхности. Затем подобные задачи были решены в многомерных случаях С.П. Баутиным [26, 27], С.П. Баутиным и СЛ. Дерябиным [49 - 54], СЛ. Дерябиным [74 -90], СЛ. Дерябиным и Н.П. Чуевым [91]. Позже часть из этих решений была использована С.П. Баутиным для описания безударного сильного сжатия газа (см., напр., [35, 44]).

В работах В.М. Тешукова [162 - 166] рассмотрены задачи о распаде произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля в случае общих пространственных течений нормального газа, которые либо являются характеристическими задачами Коши, либо одно из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. В указанных работах В.М. Тешукова не только построены решения таких характеристических задач Коши, но и доказаны их существование и единственность в классе аналитических и кусочно-аналитических функций. При этом методами, отличными от примененных в работах [22, 24], для некоторых решений детально описана область существования решений.

Задача об истечении газа в вакуум

Известны три точные решения системы уравнений газовой динамики, описывающие процесс истечения газа в вакуум, который в начальный момент времени был однороден и покоился внутри конкретных геометрических тел: 1) простая центрированная волна Б. Римана [132,136] с линейными профилями скорости газа и скорости звука газа и с постоянной скоростью движения свободной поверхности; 2) двумерное решение В.А. Сучкова [160], описывающее истечение в вакуум с косой стенки при согласованных значениях показателя 7 и угла наклона стенки; 3) трехмерное решение А.Ф. Сидорова [143] - истечение из многогранника при согласованных значениях 7 и двухгранных углов. У течений газа, описываемых последними двумя точными решениями, все части свободной границы движутся с постоянной скоростью. Все три перечисленные решения являются автомодельными. Использование точных решений возможно для описания только очень ограниченного круга газодинамических задач, а для исследования достаточно общих ситуаций эти решения, как правило, применить не удается.

В работах Я.М. Каждапа [102], Ю.В. Житпикова и Я.М. Каждана [94, 95] различные автомодельные решения и асимптотические разложения применяются для описания цилиндрически и сферически симметричного истечения газа в вакуум. В работах С.П. Баутина [24 - 27], а также в совместных с C.J1. Дерябиным работах [49 - 54] при t > to рассматриваются одно- и двумерное истечения газа в вакуум в различных ситуациях, в том числе и в случае произвольного уравнения состояния р = p7f(p,S) с аналитической функцией f(p,S).

В книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера [98] приближенное аналитическое исследование течений газа в задаче о разлете шара или цилиндра дало следующие результаты. В главных порядках при больших значениях времени имеет место инерционный разлет, приближенно описываемый автомодельными решениями с произвольными функциями, которые отражают предысторию неавтомодельной стадии расширения газа в вакуум. При этом траектории частиц являюся прямыми, вдоль которых плотность уменьшается по степенному закону от времени. Распределение плотности по радиусу не меняется с течением времени, а только растягивается с ростом г, оставаясь подобным самому себе. В серии работ А.Н. Крайко [112 - 115] исследовались

R такие конфигурации течений, которые либо возникают при одномерном истечении газа в вакуум, либо могут быть использованы для описания подобных течений. В частности, в работе А.Н. Крайко [113] изучаются асимнтотические закономерности нестационарного течения газа при его свободном расширении в вакуум, и получены главные слагаемые, описывающие поведение траекторий частиц газа и плотности газа. В работе А.Н. Крайко [114] система уравнений газовой динамики интегрируется в первом приближении, а также строятся решения с неполной автомодельностыо, когда только часть искомых функций зависит от автомодельной переменной. Кроме этого, в упомянутой работе установлена асимптотика второго приближения цилиндрически-и сферически-симметричного истечения газа в вакуум.

C.JI. Дерябиным [74 - 79] построено обобщение центрированной волны, испольуемое для описания трехмерного истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил. В работе C.JI. Дерябина [82], а также в работе C.JI. Дерябина и Н.П. Чуева [91] указанное обобщение простой волны переносится на случай одномерных течений в условиях самогравитации. И.А. Башкирцевой [66] для передачи одномерного истечения газа в вакуум применены методы ускорения сходимости рядов. Детальная структура коэффициентов этих рядов и их сходимость установлены ранее в работах С.П. Баутина [24, 25]. Л.И. Рубиной в [141], по-видимому, впервые в случае состыковки одномерной простой волны Римана с соответствующим двумерным автомодельным течением поставлена характеристическая задача Коши и сведением к теореме из [21] доказано существование у нее решения. Благодаря этому Л.И. Рубиной построено кусочно-составное решение задачи об истечении газа в вакуум с гладкой стенки. В работе А.Ф. Сидорова [154] одно известное точное решение задачи об истечении газа в вакуум с особенностью в момент t = to состыковано с волной сжатия, имеющей особенность в другой момент времени t = t\ > to. В.М. Тешуковым доказано существование в целом вплоть до свободной поверхности решения задачи Гурса для уравнения плоских конических течений [161].

Основная цель данной диссертации - моделирование различных течений идеального политропного газа, примыкающих к вакууму. Эта цель достигается с помощью последовательного решения следующих задач:

- построение с помощью рядов решений квазиодномерных задач о распаде специального разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму;

- исследование областей сходимости построенных рядов;

- установление точного закона движения свободной поверхности;

- выявление тех особенностей и особых точек течений, которые имеют место на свободной поверхности и на слабом разрыве;

- исследование свойств течений в окрестностях этих особых точек;

- построение течений, имеющих на свободной поверхности угловые точки;

- исследование течений политропного газа в условиях действия внешних массовых сил и гравитирующих по Ньютону;

- рассмотрение течений газа с другими уравнениями состояния;

При решении сформулированных задач используется методология характеристической задачи Коши и представление ее решения в виде степенных рядов. Но поскольку большинство из построенных в работе решений имеют какие-либо особенности, то для их раскрытия часто делаются вырожденные замены переменных (например, с использованием логарифмов или дробных степеней) и строятся ряды в специальных пространствах.

Кроме этого, проводится исследование особых точек в построенных течениях: центры симметрии, угловые точки свободных поверхностей и звуковых характеристик - в этих точках решения, как правило, теряют аналитичность. Для состыковки различных течений производится переразложение построенных решений в окрестностях особых точек. При этом, как правило, невозможно полное описание сложных течений с помощью функций, аналитических во всей рассматриваемой области. В этом состоит ограниченость используемого метода представления решения характеристической задачи Коши в виде рядов.

Исследования, проведенные в диссертации, привели к созданию единой методики решения задач об истечении газа в вакуум. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1. Введение вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической ситуацией.

2. Перемена ролей у зависимых и независимых переменных для описания течений, возникающих в задаче о распаде специального разрыва и имеющих в физическом пространстве бесконечные значения производных.

3. Постановка начально-краевых задач в пространстве специальных независимых переменных. Как правило, эти задачи являются характеристическими задачами Коши, которые удается свести к стандартному виду.

4. Представление решений полученных характеристических задач Коши в виде рядов с рекуррентио определяемыми коэффициентами. При этом коэффициенты для части искомых функций находятся при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а для остальных - из решения систем линейных алгебраических уравнений с отличным от пуля главным определителем.

5. Установление локальной сходимости рядов сведением к теореме о существовании и единственности аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида.

6. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов с целью выявления их особенностей, а также полиномиальной структуры коэффициентов по каким-либо переменным и описание на этой основе области сходимости рядов.

7. Установление свойств решений, в том числе определение точного закона движения свободной границы и значений газодинамических параметров на ней.

8. Построение решения характеристической задачи Коши в физическом пространстве в случае непрерывного примыкания газа к вакууму, когда кратность характеристики, несущей начальные данные для этой задачи, совпадао ет с числом уравнений в исходной системе уравнений с частными призвод-ными.

9. Выявление особенностей, которые возникают на свободной поверхности, с помощью исследования системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых выводящих со свободной поверхности производных.

10. С помощью специальных вырожденных замен переменных внесение конкретных особенностей в решения для построения течений в окрестностях особых точек, включая ось или центр симметрии.

В диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуум. Разработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач. Тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.

Это потребовало формулировки новых начально-краевых задач, а именно, характеристических задач Коши с данными на звуковых характеристиках и на кратных характеристиках как в физическом, так и в специальном функциональном пространствах.

Поскольку в начальные моменты времени после распада специального разрыва, а также в окрестности границы "газ-вакуум" исследование этих задач численными методами практически невозможно, разработана методология аналитического решения сформулированных задач.

В основе этой методологии лежит доказательство существования локально-аналитических решений начально-краевых задач и их конструктивное построение в виде степенных рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

Далее для описания всей картины течения построенные решения состыковываются между собой непрерывно или приближенно. Это позволило с большой степенью достоверности представить всю картину истечения газа в вакуум, выявить возникающие особенности и, в частности, во многих случаях получить точный закон движения границы "газ-вакуум" и значения параметров газа на ней.

Практическая ценность работы определяется ее важностью с точки зрения приложений. Построенные решения могут использоваться для:

1. Описания процесса разлета газового шара, а также его схлопывания под действием самогравитации;

2. Исследования эффектов кумуляции при схлопывании полости в сплошной среде. Именно такие течения возникают в некоторых физических экспериментах при получении больших локальных значений плотности специальных сред, в том числе для инициирования термоядерного синтеза. Кроме того, подобные течения возникают при кавитации воздушных пузырьков на гребных винтах и подводных крыльях;

3. Исследования различных струй, включая кумулятивные, границы которых априори являются свободными;

4. Описания процессов неограниченного сжатия газа. Исследование процессов либо неограниченного, либо очень сильного сжатия газа имеет принципиальное значение для многих физических экспериментов по осуществлению управляемого термоядерного синтеза.

Кроме того полученные в диссертации результаты можно использовать для правильной постановки начально-краевых задач и граничных условий в численных исследованиях задач со свободными границами.

И наконец, построенные решения могут использоваться для тестирования численных методик.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается: математически строгой постановкой начально-краевых задач; построением в виде рядов полных разложений решений этих задач и их исследованием; доказательством теорем о свойствах областей сходимости построенных решений

- то есть математически строго доказанными фактами.

Личный вклад автора.

Постановка одномерных начально-краевых задач о распаде специального разрыва и их решения, приведенные для полноты изложения в §1 пункте 1.2, получены С.П. Баутиным [25]. Задачи об истечении в вакуум нормального газа, представленные в §2, решены автором совместно с С.П. Баутиным в работе [53], в которой автору принадлежат постановка задачи, построение решения и анализ структуры коэффициентов ряда, а С.П. Баутиным доказана теорема 2.2. Задачи об истечении в вакуум газа гравитирующего по Ньютону (§3) решены автором совместно с Н.П. Чуевым [91], а также исследованы автором в работе [82]. В работе [91] автору принадлежат постановка задач, построение решений и доказательство всех теорем, а Н.П. Чуевым исследовалась задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Исследования в совместных работах [49, 50, 51] проведены автором и С.П. Баутиным с равным творческим вкладом. В совместно с С.П. Баутиным опубликованной книге [54]: автором единолично написаны §§4-9,11, 12; автором совместно с С.П. Баутиным написаны введение, §§2, 3, 10, заключение и библиографический обзор; С.П. Баутиным единолично написаны §§1, 13-16.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 24 печатных работах, куда входят: одна книга [54], издательства Наука, а также 12 статей [49-51, 53, 74, 75, 78, 79, 82, 85, 88, 91], опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" (Свердловск 1982 г.), Всесоюзной конференции "Многомерные задачи механики сплошной среды" (Красноярск 1982 г.) Всесоюзной конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Москва 1990 г.), Международной конференции "Free-boundary problems in continuum mechanics" (Новосибирск 1991 г.), Всероссийских школах - семинарах "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Екатеринбург 1992 г., Саров 1994 г., Уфа 1998 г., Абрау-Дюрсо 2004 г.), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь 2001 г.), VII, VIII Международных конференциях "Заба-бахинские научные чтения", (Снежинск 2003, 2005 гг.), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф. Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (Екатеринбург 2003 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика JI.B. Овсянникова "Новые математические модели механики сплошной среды", (Новосибирск 2004 г.), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", (Новосибирск 2005 г.).

Диссертация состоит из введения трех глав и заключения. Список литературы содержит 191 наименование. Объем диссертации 227 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При подведении итогов полученных в данной диссертации результатов исследований можно сделать следующие выводы.

Для поставленных начально-краевых задач как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму в случае многомерных течений политропного газа построены кусочно-аналитические решения, описывающие истечение газа в вакуум. В качестве одного из элементов составного решения построено обобщение простой центрированной волны Римана на случай (t, х\, х2, xz). Доказано существование и единственность аналитических решений во всей области волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности включительно.

На основе анализа построенных решений установлены законы движения свободной поверхности как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму. В многомерных течениях каждая частица газа на свободной поверхности движется по своей прямой со своей постоянной скоростью. В этом случае скорость истечения газа па свободной поверхности определяется как геометрией исходной поверхности раздела "газ-вакуум", так и начальными распределениями параметров газа ; на пей. В частном случае линейчатых свободных поверхностей доказано, что свободная поверхность до возникновения особенностей в течении стоит на месте, а частицы газа движутся каждая со своей постоянной скоростью вдоль образующих этой поверхности.

Получены системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых производных, выводящих со свободной поверхности, и исследованы их решения. Это позволило определить моменты времени и места возникновения в течениях газа градиентных катастроф, которые в свою очередь определили временные границы существования построенных решений. В том числе в случае разлета газа бесконечные значения производных возникают на поверхности фокусирующегося слабого разрыва, а на свободной поверхности никаких особенностей нет. В случае схлопывания одномерной полости, наоборот, бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности. В общем случае трехмерных течений при исследовании систем транспортных уравнений для свободной поверхности найдена зависимость 7* = 7*(&i, к2) : если 7 < 7*, то градиентная катастрофа наступает в момент появления угловой точки на свободной поверхности; если 7 > 7*, то градиентная катастрофа возникает еще до этого момента. I В задаче о распаде специального разрыва и в задаче о гладком примыкании газа к вакууму полученные результаты обобщены на случай одномерных течений нормального газа с достаточно общим уравнением состояния, на случай трехмерных течений нолитроппого газа, который находится в поле действия внешних массовых сил, а также на на случай одномерных течений политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В частности установлено, что при наличии внешней силы каждая частица на свободной поверхности движется как материальная точка в поле этой силы. Определена для са-могравитирующего газа ситуация, когда при разлете газ останавливается и после этого момента начинается схлопывание всей массы газа. Выявлено регулирующее воздействие гравитации на течение газа: отсутствие градиентной катастрофы па свободной поверхности до момента фокусировки газа на ось или в центр симметрии.

Построены решения задачи со специально подобранными начальными условиями, моделирующие закрученные и струйные течения. Установлено, что в случае закрученных течений свободная поверхность остается осесим-метричной и всегда движется от оси симметрии. При исследовании систем уравнений переноса и систем транспортных уравнений показано, что особенности в струйных течениях возникают в двух ситуациях: 1) частицы газа, движущиеся вдоль Г, набегают одна на другую и течение "опрокидывается"; 2) градиентная катастрофа происходит за счет уплотнения среды, примыкающей к свободной поверхности. Следовательно, в струйных течениях градиентные катастрофы на поверхности Го возникают по двум разным па-правлениям.

Построены кусочно-составные течения, возникающие как при одновременном, так и при последовательном убирании в разные моменты времени двух взаимно перпендикулярных плоскостей, отделяющих в начальный момент времени однородный покоящийся газ от вакуума. Установлено существование угловых точек на свободной поверхности, а также определены законы движения различных частей свободных поверхностей и поверхностей слабых разрывов.

Построены различные представления решений одномерных уравнений газовой динамики в окрестности оси или в центра симметрии и исследованы их свойства. Описано течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум а но другую -однородный покоящийся газ. В частности решение задачи о распаде специального разрыва вдали от точки фокусировки слабого разрыва на ось симметрии построено в виде сходящихся рядов во всей области течения, включая свободную поверхность. В окрестности точки фокусировки слабого разрыва установлено, что область сходимости рядов имеет секториальный вид. Также построено другое представление решения в окрестности оси симметрии, которое стыкуется с исходным однородным покоящимся газом.

В заключение можно сказать - в диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуум; разработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач - тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.

1. Андреев В.К. Об устойчивости нестационарной круглой струи идеальной несжимаемой жидкости // Журнал прикладной математики и технической физики. 1972, JVS 4. - С. 80-84.

2. Андреев В.К. Об устойчивости неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей форму эллипсоида вращения // Динамика сплошной среды. 1972. - Вып. 12. - С. 14-25.

3. Андреев В.К. Корректность задачи о малых возмущениях движения со свободной границей // Динамика сплошной среды. 1973. - Вып. 15. - С. 18-24.

4. Андреев В.К. Вихревые возмущения неустановившегося движения со свободной границей // Журнал прикладной математики и технической физики. 1975, JV® 5. - С. 58-68.

5. Андреев В.К. Малые возмущения неустановившегося движения жидкости со свободной границей с учетом капилярных сил // Динамика сплошной среды. 1977. - Вып. 32. - С. 11-16.

6. Андреев В.К. К задаче о неустановившемся движении сжимаемой жидкости со свободной границей // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 244, № 5. - С. 1107-1110.

7. Андреев В.К. Влияние капилярности и начальной завихренности на устойчивость движения жидкости // Динамика сплошной среды. 1981. - Вып. 52. - С. 3-10.

8. Андреев В.К. Малые возмущения сферического слоя жидкости // Журнал прикладной математики и технической физики. 1981, № 1. - С. 110-117.

9. Андреев В.К. Об устойчивости неустановившегося движения полосы вязкой жидкости // Журнал прикладной математики и технической физики. 1985, № 2. - С. 93-99.

10. Андреев В.К. Устойчивость вихревого неустановившегося движения плоского слоя идеальной жидкости со свободными границами // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986, № 2. - С. 15-21.

11. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. - 1992. - 136 с.

12. Андреев В.К., Пухначев В.В. О движении конечной массы жидкости // Журнал прикладной математики и технической физики. 1979, № 2. - С. 25-43.

13. Андреев В.К., Радионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращателыю- симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24. - № 9. - С. 1577-1586.

14. Андреев В.К., Радионов А.А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 298, JV? 5. - С. 1358-1361.

15. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // Доклады АН СССР. 1959. - Т. 21, № 3. - С. 479-481.

16. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник. 1960. - Т. 52(94). - Вын. 2. - С. 709-738.

17. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. 1973. - Т. 4, № 1. - С. 3-15.

18. Баутин С.П. Потенциальные течения газа в поле тяжести под действием поршня и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. -1974. Т. 5, № 1. - С. 5-19.

19. Баутин С.П. Использование специальных рядов для приближенного расчета движения слабых ударных волн по покоящейся неоднородной среде // Численные методы механики сплошной среды. 1975. Т. 6. - № 1, С. - 5-12.

20. Баутин С.П. Приближенный метод расчета одномерных течений газа, вызванных немонотонным движением поршня // Прикладная математика и механика. 1976. - Т. 40. -Вып. 6. - С. 1058-1064.21