автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие и обоснование блочных методов в теории переноса нейтронов

ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧРХКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи УДК 519.fi-.fi21.039.51 ■

АБРАМОВ БОРИС ДМИТРИЕВИЧ

Развитие и обоснование блочных методов в теории переноса нейтронов

(05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Обнинск — 1994

Работа выполнена в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Физико-энергетическом институте.

Научный руководитель: кандидат физпко-математичгских паук, старший научный сотрудник Г. Я. РУМЯНЦЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

Ю. И. ЕРШОВ

кандидат физико-математических наук, доцент

Н. И. ЩУКИН

Ведущая организация: Российский научный центр «Курчатовский

иии диссертационного совета Д 034.10.01 на соискание ученой степени кандидата наук в Физико-энергетическом институте (г. Обнинск, пл. Еоидареико, 1).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 249020, Калужская обл., г. Обнинск, пл. Бонда-ргнко, 1, ФЭИ, Ученый совет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Фнзнко-энергстн-ческого института.

институт», г. Москва

Защита состоится « »

1994 г. в

часов на заседа

. 1Э94 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

В. М. МУРОГОВ

ОБОЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вопросы повышения качества и надёжности прогнозирования характеристик ядерных реактороэ (ЯР) приобретают в последнее время особую актуальность в связи со всеобщим возрастанием требований к безопасности ЯР. Удовлетворительное решение их возможно, вообще говоря, лишь на пути всё более детального описания происходящих в ЯР процессов и, в первую очередь, конечно, процессов переноса нейтронов, определяющих сам характер протекания цепной реакции. Для этого, в свою очередь, необходима постоянная селекция, отбор накапливаемых знаний в области теории и методов математического моделирования переноса нейтронов и дальнейшее их развитие до уровня, адекватного современным воззрениям на математическую теорию переноса, сформированного в трудах В.С.Владимирова р], С.Б.Шихова [2], и др., и возможностям, которыми располагает современная вычислительная мате-' матика и техника, включая последние достижения в области векторной и параллельной обработки информации на многопроцессорных машинах. Отсюда, в сущности, и вытекает актуальность соответствующих исследований, проводимых автором в течении ряда лет в этом направлении, некоторые результаты которых и подводятся в предлагаемой диссертации.

Цель работы. Она заключалась, в частности, в развитии математической теории и практических алгоритмов реализации ряда перспективных вычислительных методов теории переноса нейтронов, объединённых общей идеей блочного агрегирования, таких, как метод разделения области (где блоками являются подобласти, на которые подразделяется исходная область пространства, в которой рассматривается процесс переноса нейтронов), метод эквивалентных крупных сеток (как разновидность многосеточных методов, где блоками являются ячейки крупной сетки, объединяющие соответствующие ячейки мелкой сетки, скажем, по территориальному признаку), многогрупповой метод (где блоками являются групповые интервалы, в пределах которых производится усреднение сечений по энергии, и гомогенизируемые зоны, в пределах которых производится усреднение по пространству), и т.д. Отметим, что речь здесь идёт о весьма широком круге важных теоретических и практических задач. Заметим также, что неотъемлемым достоинством блочного подхода является возможность сведения исходной сложной задачи к последовательному или (что актуально в приложении к многопроцессорным машинам) параллельному решению более простых задач, на которые может быть условно разделена исходная задача.

Научная новизна и значимость состоит в следующем:

- предложена и обоснована новая постановка краевых задач в подобластях, включал введение операторов классов функций пространств и указание достаточности подобных пространств для описания процессов переноса нейтронов;

- разработаны алгоритмы, создана математическая теория нового класса итерационных методов решения краевых задач теории переноса нейтронов: методов Якоби, Зейделя, Некрасова расщепления по подобластям;

- проведено обоснование метода Смелова разделения области в случае общего вида энергетической зависимости и подобластей;

- развита теория альбедных операторов в банаховых пространствах функций, суммируемых по границам раздела подобластей, включая вопросы существования и конструкции их, доказательства непрерывности, полной непрерывности, ¿10- положительности , и т.д., а также исследование условно критических задач;

- осуществлено развитие и обоснование итерационных и безытерационных методов решения краевых задач в альбедной постановке;

- разработано и исследовано семейство нелинейных итерационных методов решения линейных уравнений (алгебраических, интегральных), ориентированное на задачу расчёта заданной совокупности функционалов типа интегральных групповых потоков;

- предложен новый метод решения уравнения замедления;

- разработан и исследован новый метод эквивалентной крупной сетки для решения конечно-разностных диффуэионных уравнений реактора в двух и трёхмерной гексагональной геометрии;

- установлены границы применимости метода грубой сетки Эскью;

- осуществлена разработка и исследование алгоритмов метода эквивалентных крупных сеток для решения кинетических уравнений в приближениях типа ВПС, ШС по столкновениям, и т.п.;

- предложен новый метод ускорения сходимости итераций по столкновениям для решения односкоростных уравнений переноса и дано его строгое обоснование; попутно решена проблема обоснования сходимости метода оценки ите, (ионных отклонений Морозова;

- приведена математическая формулировка традиционной модели многогруппового метода и выяснены её свойства;

- приведено строгое математическое обоснование нелинейного многогруппового метода Марчука, ранее отсутствующее;

- разработана и исследована новая нелинейная модель многогруппового приближения расширенного баланса, указаны критерии, гарантирую-

щие разрешимость соответствующих уравнений;

- предложена и исследована новая модель полностью сбалансированного многогруппового метода, обеспечивающая сохранение а^.чисел процессов, интегральных потоков и поверхностных токов по зонам и группам при переходе от точной модели реактора к многогрупповой, разработаны эффективные алгоритмы приближённой реализации этого метода, обобщающие и развивающие традиционные подходы к усреднению сечений, коэффициентов диффузии, гомогенизации, и т.д.;

- развит эффективный математический аппарат для анализа рассматриваемых нелинейных моделей многогрупповых приближений и методов итераций по подобластям.

Практическое значение проведенных исследований состоит в том, что они, совместно с аналогичными исследованиями других авторов, способствуют расширению и обновлению базы знаний математической теории переноса, вывода её на качественно новый уровень путём пополнения новыми идеями, концепциями, приёмами и математически обоснованными высокоэффективными методами решения насущных задач. Стимулируя, тем самым, дальнейший прогресс в области теории и методов математического моделирования процессов переноса нейтронов, они содействуют повышению качества и надёжности прогнозирования характеристик ЯР как косвенно, так и непосредственно: путём внедрения разработанных алгоритмов в практику.

Апробация работы и публикации. Результаты, изложенные в работе, неоднократно докладывались на разного рода семинарах, конференциях, симпозиумах, и т.д., среди которых отметим доклады на: семинаре ОВМ АН СССР (Москва, 1983), семинарах "Численные методы решения уравнения переноса" (ИАФА АН ЭССР, Тарту, 1986, 1988), Республиканских конференциях "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (ИЛМЭ АН УССР, Киев, 1986, Одесса, 1989), семинарах 'Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчётов ядерных реакторов" (ФЭИ, Обнинск, 1991, 1992,1993), Международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса" (ШМ РАН, Москва, 1992). Они опубликованы в многочисленных статьях ( 10 ), препринтах ( 6 ), тезисах докладов ( 5 ), и т.д.

Автор выносит на защиту:

- развитие и обоснование алгоритмов метода разделения области для решения краевых задач теории переноса нейтронов, включал сюда постановку краевых задач в подобластях, разработку и исследование алгоритмов методов Якоби, Зейделя, Некрасова, а также метод Смелое* и вльбвд-ный метод;

- развитие и обоснование итерационных методов расчёта функционалов на решениях линейных уравнений, включая разработку и исследование

алгоритмов метода эквивалентных крупных сеток для решения конечно-разностных уравнений диффузии на гексагональных сетках, решения интегральных уравнений, а также методы ускорения сходимости итераций по столкновениям;

- развитие и обоснование математических моделей многогруппового приближения, включая традиционную линейную модель, нелинейные модели многогрупповых методов Марчука, расширенного баланса и полностью сбалансированного метода, а также алгоритмы практической реализации полностью сбалансированного многогруппового метода.

Личный вклад автора. Изложенные в диссертации новые результаты по развитию и обоснованию блочных методов теории переноса нейтронов получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 3 глав, Заключения, содержит 170 страниц печатного текста, 5 рисунков и 6 таблиц. Список литературных источников - 79 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, отмечается научная новизна и практическая значимость, перечисляются положения, вынесенные на защиту, даётся общий обзор материала диссертации, и т.д.

В главе I, озаглавленной "Развитие и обоснование методов разделения области для решения краевых задач теории переноса", осуществляется широкий комплекс исследований по актуальным проблемам развития и обоснования перспективных методов решения краевых задач теории переноса нейтронов, основанных на идее расщепления исходной сложной задачи на ряд более простых путём разделения исходной области на подобласти и перехода от решения задачи во вс.ей области к решению совокупности задач в подобластях. Решение задачи при таком подходе может быть обычно получено в процессе последовательного или, что ценно, параллельного пересчёта распределений плотности нейтронов в подобластях с целью согласования взаимных перетечек нейтронов между подобластями. Требуется лишь, чтобы рассматриваемый процесс итераций по подобластям (итераций перетечек между подобластями) сходился.

Так как математически процесс перетечек может быть организован различными способами, то существует, вообще говоря, достаточно много различных вариантов метода итераций по подобластям (или метода разделения области), некоторые из которых изучались ралее в работах В.В. С»1елова [3], В.И.Лебедева, В.И.Агоикова [4], и др., где в рамках одно-

скоростных задач с подобластями, удовлетворяющими условии конуса, были установлены, в '-'четкости, достаточные условии и оценки скоростей сходимости ряда алгоритмов типа альтернирующего алгоритма ¡ьг.ащ;а для случая подобластей без налегания и его обобщения по линии создания переменных параметров. Эти результаты были затем распоетрэпс-лы на симметру.зуемые задачи с энергетической зависимостью.

Поскольку, однако, отмеченные варианты на являются, очевидно, ни единственно возможными, ни, вероятно, наилучнимл, а всё ;люгообра-зие алгоритмов метода разделения области не изучено, то появляется потребность в дальнейшем исследовании этих вопросов с целью систематизации подобных алгоритмов и отбора наилучших из них. Некоторые результаты в этом направлении и содержит глава I, где в рамках достаточно общих представления о модели взаимодействия нейтронов с веществом и о геометрических характеристиках подобластей исследованы с единой точки зрения семейства методов итераций по подобластям типа обобщённого алгоритма Шварца, методов Якоби, Зейделя, Некрасова, альбедных методов, и т.д. Эти результаты дополняют и развивают дальпе соответствующие положения работ[3,4} в плане расширения круга рассматриваемых алгоритмов, изучения задач с несамосопряжёнными нееммметризуемыми операторами, оценок скоростей сходимости в терминах спектральных радиусов соответствующих операторов шага, зависимости этих величин от способа разделения области на подобласти, и т.п.

Обратимся к изложению конкретного содержания главы I.

В разделе (параграфе) 1.2, носящем вводный характер, исследуются различного рода постановки краевых задач для уравнения

(я.4 = ^/Е Ужм ¿-/яе')%¿,'я'ря.' / 4

(I)

переноса нейтронов в исходной выпуклой области ¡5С/р реактора с фиксированным граничным условием на её поверхности вида

Ч*>£&) , ЗП/х) < О (2)

и в её подобластях (¡?п С (7 с некоторыми неопределён ;ыми граничными условиями на их границах , где, как обычно [2], —

плотность нейтронов в точке х& <3 , обладающих энергией ]

и направлением полёта 1 ¿OJБt>]- интервал допустимых энер-

гий, О<£0< оо/ /3* - единичная сфера в/Р^ - известные

функции, /г<Ь) -единичный вектор внешней нормали к Р

, й ' ''

у//* С^/^,число вторичных нейтронов, образовавшихся 4/с ' > ' е/ ..

в однои реакции типа # нейтроны с ядром -с? - го нуклида, и плотность вероятноятности распределения их по энергиям £ и направлениям разлёта 52.) - макроскопическое сечение этой реакции,

тт ' уг ££

- суша по всем нуклидам, ^ - сумма по типам процессов:

радиационного захвата {/•=£), упругого рассеяния (/-О, неупругого рассеяния (/=/), деления а также реакций неупругого рассе-

яния с образованием /(- 2,3,... нейтронов (¿¡^/С).

В отношении величин ^¿¡¿/^¡У/^'е. предполагается, что они удовлетворяют условиям 3.1 монографии рг] , характеризующим ряд наиболее общих закономерностей взаимодействия нейтронов с находящимися в тепловом движении ядрами вещества.

Исходная область £ подразделяется на конечное число // непересекающихся подобластей достаточно общего вида: подобластью (у^ области б называется всякое открытое связное измеримое подмножество (э^Сб- с кусочно-гладкой границей /п класса такое, что почти все (относительно меры в дЛ?лЛ/?а) прямые линии Х0Х0в, , о^), имеющие с <5общую точку, пересекают <3/1 по конечному числу интервалов , где ^¡¿п > Х0 - ортого-нлльные проекции подобласти &л и вектора Х<>€($ на плоскость, перпендикулярную вектору Я>е, ¿Ггх^,...,^> /г =/,<?,.,.,/К

Вводятся банаховы пространства ¿^С}*.) > ¿/>0%*) вещественных функций , суммируемых на множествах

с р - ой степенью модуля, где при /яг/>< ех>

[¿0 ( ^ ^к . \

//щ =/\ £

и, соответственно, при /> -

' "<х>( Г) /

/г ^

л-0 А

после чего конструируются искомые классы > Дг

функций V , обладающих обобщённой производной

и, соответственно, нулевым, фиксированным и произвольным следом

^ = , 0 ^ сул) , , (5)

^ > К). *4> (б)

у ^ (7)

> ^е4-ОЮ.

где - линейный непрерывный в ) оператор, задаваемый

при почти всех ^52, ё /д^а/Х £на соответствующих интервалах /У/гх, ) формулой ^

= (^^^¿и;/, (в)

обратный к оператору ¿¡л порождаемому линейным дифференциальным выражением Я* на функциях согласно формуле

/ 4 ^ , /е/^г", ^Л О)

- расширение оператора на , - линейный неп-

рерывный из ¿а ^п") в ¿,,) ГК,) и воператор, определяемый на соответствующих интервалах формулой

г

ех/>/Л<# 'г/Лй ^ (10)

^ - оператор, сопоставляющий функциям и* следы на

при почти.всех £/0/£го7х£'1Х.(Я!/е/1 по формулам

, г'«-/^, ) • (II)

При этом классы выбираются в качестве областей опре-

деления линейных неограниченных замкнутых операторов ¿/г,вводятся также банаховы пространства функций {¿е.Д^.снайЛённых нормой графика:

которые относят к области определения линейных ограниченных из И^ в С/',?) операторов

- а -

Через обозначается линейный непрерывный в Л^С^п) оператор, порождаемый надлежащим интегральным выражением из правой части уравнения (I) на '¿¿¿¡а&лХпосле чего формулируется искомая обобщённая постановка краевых задач в подобластях в виде уравнения

либо, что эквивалентно, в виде уравнения

¿^/Г? / * ^ &) > . (14)

Отличительной чертой этой постановки является неопределённость (в выборе граничного условия нк , которое в о:, ;еании класса функций не фиксируется к должно быть найдено в процессе решения аналогичных задач в соседних подобластях. Близкая к ней постановка содержится в работах Т.А.Геркогеновой (см., например, [5] ), однако они на совпадают. Отметим, что выдвигаемое здесь требование

) обесп&чивает принадлезность {/а") и, тем самым, .

достаточность классов функций ¿у* (У«?) Для описания переноса нейтронов в системе прилегающих Д?уг к другу подобластей.

Указанная постановка краевых задач распостраняетсд далее и на исходную задачу (1),(2): обозначая через У> ¿^ № ),

г>*¿¿^ V, Ъ , /г, ... , .

соответствующие множества, классы функций, операторы при (лп — С? и предполагая дополнительно, что фебрОг')*^Л/г^/?^пртл некотором /> & ¿1, оо у, можно сформулиробать её либо в виде

¿> а # > (15)

либо в эквивалентном веде

> . (Ш

Теперь, опираясь на результат работы и учитывая, что

^-(17)

* е, * , Л< > //^(Г) =//. ,

где / ¿,/ > хг , €< , множества, классы

Функций, операторы и нормы цитируемой работы, уже нетрудно установить основные положения, касачциеся свойств полной непрерывности, иа - положительности, неразложимости, и т.д. оператора ¿>/( и вы-тек&ицих из них следствий о существовании и единственности решения этой задачи при выполнении условия

где Г{/.#) - спектральный радиус оператора /С, о возможности получения его методом последовательных приближений вида

Л ¿% , ^А^у), (19)

либо эквивалентным ему методом вида

¿^^К А'6/ ])/> , (20)

СХОДЯЩИМИСЯ в ¿л/>(У) при Произвольном выборе со скоростью

* Г так) > / х (21,)

о существовании и свойствах альбедных операторов ¿^/¡('-¿Х)'^''у действующих в ) из Ар^С) и ¿р {У) ,

соответственно, а также ряд других сведений, составляющих содержание теоремы 1.2.2 диссертации.

Аналогичным образом устанавливаются свойства условно критических уравнений типа уравнения второго рода

в отношении которого показывается, в частности, что в рамкях условий

оно имеет единственное (с точностью до нормировки) положительное решение .¿^^соответствующее ведущему собственному значению }

<3 //¿^У-//; ио £ ¿р V £ //УА ¿2 , (24)

гдв ¿имера множества (^у} на котором сосредоточены делящиеся нуклиды, ¿¿0- & - нулевой элемент пространств^ ГК)

в также свойства сопряжённых задач (теоремы 1.2.3, 1.2.44

Раздел Д.3 посвящен разработке и исследованию новых перспективных методов решения краевых задач, основанных на идее расщепления исходной задачи на ряд более простых задач в подобластях. Здесь удаётся построить содержательную теорию таких методов, обобщающую и развивающую теорию методов Якоби, Зейделя, Некрасова линейной алгебры применительно к существенно более сложным проблемам переноса нейтронов.

Для этого при помощи операторов проектирования на подобласти

■ JP Р =Р § Р (26)

осуществляется переход от уравнения (16) к эквивалентной ему системе уравнений^по подобластям" д/

£ 4* Zs-Aff/J>

которые и решаются затем в формальном соответствии с упомянутыми выше алгоритмами Якоби, Зейделя, Некрасова ускорения сходимости:

^'-Т&Щ™'! ¿¿'t^J&i <39,

ЛГ 2* ¿xvf^Gh 1301

¿¿п. е>л с

С использованием векторно-матричных обозначений типа

у > (31)

эти уравнения трансформируются к эквивалентным уравнениям

¿jfasej-p-^) + {/-¿'/¿{г+лв) , (32)

#^ / A / Л 'а ) , (33)

У^^^-в-ЮС-^^) ) , (34)

в пространствах вектор-функций ' ¿^fy)*Lpfe)/—*где

•/£ - г- <з5>

и введены действующие вс^, операторы Ъ^-в с элементами такими, что А1 = С+2> - P/~fcP*

В итоге, опираясь на утверждения теоремы 1.3.1 о свойствах оператора в ск^э и теоремы 1.3.2 о сравнении спектральных

радиусов такого рода операторов,(в теореме I.3.3Останавливаются искомые оценки

г/(/- 8-2)) С 7< г/О-* )] < < /,

(37)

Г/ГУ- ) ¿у7.' г/ < ) < 2 ,

спектральных радиусов операторов шаг'а рассматриваемых процессов, характеризующие их асимптотические скорости сходимости в условиях (18), а также оценки (теоремы 1.3.4)

)/< г/о-Ун'в+е)}, ^

, г/(;-£-2й г ¿{/-¿-¿Ус / (

характеризующие изменение этих скоростей в процессе блочного агрегирования исходных подобластей в более крупные подобласти Ъ такие, что - 4 -

Выводы этих теорем, а также некоторые другие результаты, и составляют содержание качественной теории методов Якоби, Зейделя, Некрасова расщепления по подобластям, упомянутой выше.

Раздел 1.4 содержит альтернативную формулировку методов (23)-(30) в виде последовательностей краевых задач

~ .{п^) , ., Си) л /С/п^) , Р

¿«.Ъс '4л , ^ * «¿л ; {39)

, ^п л ,

для методов (20),(29) и (28),(30), соответственно, с некоторыми отличными в общем случае от условий сшивки граничными условиями на

границах раздела подобластей, определяемыми из уравнений

т^ ^ (40)

(41)

где - соответствующий оператор 2), £} ¿?, характеризую

щий конкретный метод. Например, для метода Якоби в случае выпуклых подобластей отсюда вытекают следующие граничные условия:

и т.д. Более подробное изложение см. в ^б ] .

Представляет интерес также интерпретация этих методов в виде уравнений (41) с проце,дурами ускорения (40), трактуемыми приближенно. Она обосновывается в теореме 1.4.1 для произвольных аппроксимаций оператора вида А^ > когда, например, полагают В /}X. приближённо Ко* /с1 и т.п.

Раздел 1.5 поспящён исследованию предложенного В.В.Омеловым^З] метода итераций по подобластям в рассматриваемом случае общего вида энергетической зависимости и подобластей, согласно которому решение исходной задачи (1),(2) сводится к решению уравнений переноса

С А, - л-д; * ол , ^, (43)

с граничными условиями следующего простого вида:

« £77-2". к"""'/ - к*"7- . _ <«>

где , ^=/Лпри /-г.<£ , /г^У,

Здесь, опираясь на предыдущие результаты, удаётся достаточно полно описать характер сходимости этого метода и установить, в частности, теорему 1.5.2, согласно которой он сходится в со скоростью, не превосходящей скорость сходимости метода Некрасова, причём совпадение достигается ли^.ь в случае разделения исходной области на две выпуклые подобласти, а в остальных случаях она будет ниже.

Раздел 1.6 содержит результаты по развитию теории альбедного метода как разновидности метода разделения области, трактующей перенос нейтронов в подобластях с помощью так называемых альбедных операторов, осуществляющих трансформацию входящего в подобласти излучения в выходящее, в рамках которого решение задачи сводится к построению альбедных операторов подобластей и последующему, согласованию перетечек нейтронов между подобластями.Альбедная формулировка

, У,

/Г/?/^ о/ ^ 4&)

исходной задачи (1),(2), где введены обозначения

< - ^(у-Л^У^а) , ^ ^^/-^Д;7 ^ (4б)

альбедных операторов подобластей, анализируется в теореме 1.6.1, где доказывается, что при выполнении условия(16) её решение существует и единственно в оно может быть получено методом последовательных

приближений , , .

& 4 & , ~.... (47)

с условиями (44), сходящимсп в со скоростью метода (43), (44) при произвольном рыборе «пчельного приближения ц. ¿«^ ^ где ю?®/4

- соответствующие пространства

Проводится исследование свойств альбедных операторов, определённых на кусках поверхностей, характерных композиций альбедных операторов двух смежных подобластей, и т.п., результаты которого подводятся в теоремах 1.6.2 - 1.6.5.

Раздел 1.7 посвящен приложениям предыдущих результатов к проблеме изучения систем квазиодномерних подобластей типа плоских, концентрических и тому подобных слоев, описываемых: уравнениями типа

¿¿л &<3/1 ¿ли ¿/л ; ¿л "¿л^^'Аj (48)

где Д/г.у-Ь/1 - операторы пропускания - го слой в соответствующем диапазоне направлений распостранения нейтронов , - операторы отражения от него, /'л/^я. - извест! ые функции, и т.д.

Здесь, следуя работе М^вводятся и исследуются алгоритмы метода операторной прогонки для решения уравнений (48), формулируются и изучаются условно критические задачи в альбедной постановке, и т.п. Результаты этих исследований, подведенные в теоремах 1.7.1, 1.7.2, являются дальнейшим вкладом в теорию альбедного метода и могут рассматриваться в качестве обоснования ряда положений , высказанных ранее в качестве гипотез в работах П.Вертепа, л др.

Глава 2, озаглавленная "Развитие и обоснование итерационных методов расчёта функционалов на решениях линейных уравнений" содержит изложение ряда новых результатов автора по проблемам развития и обоснования перспективных методов итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений [8](конечно-разностных уравнений диффузии нейтронов Г9] конечно-разностных уравнений метода ВИС и его разновидностей [Ю] интегральных уравнений [Л] , а также уравнений переноса [12],•объединённых общей идеей балансного ускорения сходимости.

Известно, что задачи численного моделирования переноса нейтронов приводят обычно к необходимости решения большого числа линейных алгебраических уравнений и, тем самым, к получению больших объёмов информации, значительная часть которой нередко окаэывяатся невостребованной, поскольку практический интерес представляют линь некоторые интегральные характерики исследуемых явлений, т.е. некоторые функционалы на искомых решениях. В таких случаях целесообразно использовать специальные методы решения, адекватные рассматриваемой задаче расчёт* функционалов.Подобные методы и разрабатываются в разделе 2.2 применительно к задаче расчёта функционалов вида

» Т7 ^^^»

па решении №0системы линейных алгебраических уравнений

, . (50)

/ / >

где /7- матрицы с неотрицательными элементами, /} - диагональная, С*""*' - неотрицательная, Х><? ~ заданные неотрицательные векторы, совокупность индексов Ы- Л/, которыми нумеруются элементы ^^ вектора разбиваются на 2 непересекающихся непустых }

- проектор на/«»у с элементами ; ,

Для решения таких задач предлагается сворачивать исходную систему уравнений (50) к некоторой системе уравнений меньшей размернос-

„ 7,(61)

¿с <Х&)

непосредственно мя искомых величин г - I г г V Г / Де

А/) ^ ^ _^^^,, Ги где1 элементы матрицы С^р)

нелинейным образом зависят от неизвестного заранее решения Я" исходной задачи, после чего обращаться ^приближенным методам типа

(52)

определяя элементы матриц Ст скажем, в виде

Гбп> «у, Ы) ^ £¿¿^ )

" ^ - * ^; ' (53)

и т.д. В подобных весьма эффективных с практической точки зрения методах исходная система (50) большого числа уравнений фактически изымается из рассмотрения и 'все операции проводятся в рамках редуцированной системы (52) малого числа уравнений с адаптивными, подстраиваемыми в процессе итераций коэффициентами (53). Качество такого рода приближений зависит от выбора пробного_векто})а,_который можно производить^ например, в виде

<¿■■=4/, ?-Л// /!<б4/) ... . Указанные и некоторые Другие алгоритмы вычисления функционалов (49) анализируются в диссертации как теоретически, так и численно. Соответствующие результаты подводятся в теоремах 2.2.1 - 2.2.3 и иллюстрируются в таблице 2.2.1.

В разделе 2.3 разрабатываются алгоритмы метода эквивалентных крупных сеток для решения конечно-разностных уравнений диффузии нейтронов на гексагональных сетках. Ставится задача построения эффективной крупной сетки с одним узлом на шестигранную призму, эквивалент-

ной по точности мелким треугольным сеткам с 6,18,... узлами на эту же призму. Приближённое решение такой задачи находится методами предыдущего раздела. Оно тестируется на специально сконструированной модельной задаче, допускающей точное аналитическое решение. В итоге показывается, что предлагаемые новые принципы построения конечно-разностных уравнений диффузии действительно позволяют существенно повысить точность предсказания важнейших реакторных функционалов по сравнению с традиционными подходами, причём го всём диапазоне толщин ячеек и градиентов потока и, в частности, в той области этих параметров, где популярный в настоящее время метод грубой сетки Зскью оказывается (что также показвно в работе) недееспособным.

Поясним сказанное на примере уравнения диффузии нейтронов

- S7ÙVV' / » (54)

в двумерной области Ст реактора, покрытой крупной гексагональной сеткой с постоянными в пределах шестигранных ячеек (кассет) размера "под ключ"// коэффициентами J), £. Разбивая каждую кассету на б равносторонних треугольников, введём мелкую треугольную сетку с узлами в центрах треугольников, и соответствующее конечно- разностное уравнение на этоЯ^, сетке, аппроксимирующее уравнение (54):

где индекс с^си о нумерует треугольник, в котором ищется решение Hj) a oie 3 - окружающие его соседние треугольники.

Суммируя эти уравнения по индексам принадлежащим рассматри-ваеуой кассете, получаем искомо» уравнение на крупной сетке

U, ^ ° (56)

эквивалентное уравнению (56) относительно функционалов

% - /4" , £ , , (57)

& v </ V

где ¥y't - значения потока и источника в соответствующем треугольнике с - ой кассеты, граничащем с.У - ой кассетой, суммирование ведётся по всем б кассетам, граничащим с данной.

Используя, далее, аппроксимации типа

ПУЗ)

где и,' fj>-tfy ^)/f 4' выводим ряд линейных и нелинейных алгоритмов приближённой реализации исходной задачи, полагая в (56)

ЪМ = • (60)

для линейных алгоритмов и, например, или

do' J v

для нелинейных. Среди них наибольший интерес представляют нелинейные алгоритмы, существенно, на порядки уточняющие обычные уравнения

J. Т7^- ) , Г f -V (63)

на крупной сетке, вытекающие из (56),(58),(60), и т.п.

Раздел 2.4 содержит приложения аналогичного подхода к решению кинетических уравнений в рамках методов ВИС и ВПС по направлениям. Возникающие на этом пути нелинейные алгоритмы во многом близки к соответствующим алгоритмам работ В.В.Хромова,Э.Ф.Крючкова,Г.В.Тихомирова/^^ А.В.Чибиняева,В.Ф.Цибульского [14]^и др., отличаясь от них, в частности, использованием упрощенной формы связи между средними потоками и односторонними поверхностными токами, позволяющей исключать процедуру определения последних и, тем самым, снижать количество вычисляемых и запоминаемых переменных. Здесь же предлагается новый способ редукции уравнений методов ВИС и ВПС по направлениям к системам уравнений с матрицами ленточного типа. Все эти результаты открывают новые возможности в приложениях методов В11С и BI1C по направлениям к задачам расчёта реакторов и защит.

В разделе 2.5 изложенные выше положения (49)-(53) распостра-няются на интегральные уравнения вообще и на интегральное уравнение замедления нейтронов в частности. Демонстрируется высокое качество уже низших приближений предлагаемого метода расчёта групповых функционалов на уравнении замедления нейтронов.

В 2.6 даётся изложение и обоснование нового метода ускорения сходимости итераций по столкновениям для решения односкоростных уравнений переноса, также вытекающего из идеологии раздела 2.2. Устанавливается основная теорема 2.6.1, характеризующая свойства этого метода, указываются вытекающие из неё следствия по отношению к известной проблема обоснования метода оценки итерационных отклонений В.Н. Морозова [15]приводятся примеры численных расчётов, иллюстрирующих -сказанное, и т.д.

Глава 3, озаглавленная "Развитие и обоснование математических моделей многогруппового приближения", посвящена актуальным вопросам развития и теоретического обоснования математических моделей многогруппового приближения, являющегося в настоящее время одним из основных инструментов расчёта ядерных реакторов. "Характеризуя состояние дел в этой области, авторы известной монографии указ мают, "что даже солидные методические руководства по теории переноса нейтронов и теории реакторов не содержат обоснования применимости миаго-группового метода" и что, более того, "обосновать многогрупповое приближение лишь математическими средствами, которым;? оперирует теория переноса излучения, практически нэвозмэтно", ибо "многсгруппизое приближение, по существу, ке является математическим приближением". Отсюда, Еообще говоря, следует, что для обоснования многогрулпэвого приближения его необходимо прежде всего сформулировать как математическую задачу. Это можно сделать различными^способами, приводящими к различным, в общем, моделям многогруппового метода, 4 из которых, включая традиционную модель, модель Г.'Л..'.(арчука[15] и две модели, предложенные ё работах^17-19^ автора, описываются в разделе 3.2.

Область & реактора дзлится на /V непересекающихся подобластей (гомогенизируемых зон/^интервал допустимых энергий нейтронов /0,£й / - на непересекающихся подынтервалов (энергетических групп) С^с')^-^), после чего ставится задача подбора коэффици-

ентов сО^^Кс, ) , обеспечивающего некоторую близость свойств

исходного уравнения (22) и вытекающего из него при замене истинных коэффициентов на искомые коэффициенты -Г) уравнения

Г\, 'Ч» ^ гч/ О» г- ~ А

/цу, , ^Л'в , геЛ? . (64)

Пусть некоторая произвольная в общем весовая функция из

¿^«^¿¡^Гогда, полагая при хеб'п, 4-./ £ )

, = > (65)

где ) > О , ... и определяя ^^ , формулами

¿г.

(66)

приходим 1С некоторому обобщению традиционной формулировки многогруппового метода, согласно которому приближённое решение задачи сводится к вычислению коэффициентов (66) и последующему решению многогруппового уравнения (64), эквивалентного системе уравнений

(Ж ' X) = 4Г / 4 Щ)^'^') (о7)

с граничными условиями

=0 )Я№<0>ке/7% (60)

Отметим, что различным¿7(2:) здесь будут соответствовать различные, в общем, ыногегрупповые методы, так что речь ведётся фактически о некоторых семействах методов.

Достоинством приведенной формулировки является возможность сохранения весьма широкого" круга функционалов при переходе от модели (¿2) к модели (о*): располагая точными значениями коэффициентов (66),

здесь можно удовлетворить при почти всех СуХ ьЗ* равенства

^ , (б9)

с

а также прочие балансные соотношения, вытекающие из (22),(64). Это вовсе не очевидное ъ общем случае утверждение и устанавливается, в частности, г теореме 3.5.2 раздела 3.3 в рамках указанных выше предположений на коэффициенты уравнения (22), подобласти, и т.п.

К числу недостатков её, наряду с проблемой определения коэффициентов (63) в общем случае гетерогенных зон, можно отнести также то очевидное обстоятельство, что выражения типа (66) даже в случае гомогенных зон не являются, Бообще говоря, константами. Указанного недостатка нетрудно избежать, если сразу определить £, как константы, полагая, например, , .

Ъ = 7^'Г^Г' ^ ~' (70)

где &) = ¿*)& (£)} $п &(£)- характеристические функции

множеств &-/1 ) С^г, ~ оператор вида

/ я //.$? , (71)

О - положительное решение уравнения

= (72)

с коэффициентами (65), (70), сопряжённого к уравнению (64) в смысле Лагранга, т.е. удовлетворяющего при всех допустимых К, ч- условию

где ( , ) - символ 1. .теграла по всрл: Х,£& (3 АС^-с]X

3 итоге приходах к той верс>;и многогрулпового метода Г.И.^ар-чука/Хб], где уравкения(67) выбираются г форме уравнений с изотропным рассеянием, а при усреднении сечоняй используются как неизвестные заранее решения </- * ураннекий (22), (72), так и выбираемая произвольным образок функция играющая в данном случае роль

дополнительной весовой функции работы[х5],Поскольку здесь

(Ff, г

(74)

то если, конечно, нелинейная задача (72) разрешима. В тео-

реме 3.4.1 раздела 3.4 показываете/., что зто действительно так.

Конструкция многогруппового приближэнил Марчука ориентирована, главным образом, на сохранение (а также малых вариаций S). Обращаясь к более общей задаче сохранения при всех /¿=Jj У

расширенной совокупности балансных соотношений

- ^ , (75)

целесообразно воспользоваться определением [17J

.=-¿у'я ^,

* ^^ ' Т* (77)

поскольку всякое решение >9 возникающей при этом нелинейной задачи (64),(65),(77) удовлетворяет услориям (76) сохранения чисел процессов (скоростей реакций) по зонами группам,» искомое решение - и условиям (75) сохранения и интегральных поверхностных токов.Требуется, однако, быть уверенным в самом существовании таких решений.

В теореме 3.5.2 раздела 3.5 диссертации доказывается, в частности, что рассматриваемая нелинейная задача имеет требуемое решение, если разбиение множества (SX/Q-^öJна. зоны и группы выбрано так, что

О < , /= Zr , * ~ ¿4S. (78)

В противном случае задача может не иметь решения. Приводятся примеры.

Изложенная выше схема расширенного баланса не является, тем не менее, полностью сбалансированной, поскольку удовлетворение условий

Р) > + (V9)

сохранения интегральных по зонам и группам потоков нейтронов в ней не гарантируется. Согласно концепции полностью сбалансированного многогруппового метода работы [iO^j достижение такого баланса возможно, например, на пути перехода от уравнения (Г4) к более общему уравнению

(61) (82)

где Р - некоторый ортогональный к^ф/ оператор типа

- константы нового типа, подбираемые из условий (79). Тем самым задача сохранения функционалов (75),(76),(79) сводится здесь к задаче уточнения многогрупповой индикатрисы рассеяния либо за счёт введения эффективной линейной анизотропии рассеяния типа (61) и т.п., либо в транспортном приближении (82), и т.д., а задача подбора групповых гомогенизированных констант распадается на две задачи: подбора констант обычного типа, не зависящих от К '

^(. ^^/йо (83)

в которые переходят, в сил^(79), константы (77), и констант нового тип* , зависящих от <£-.

Отметим, что в рамках диффузионного приближения-У- /У» У / \

= ^аР (64)

к/

последняя задача сводится к задаче подбора коэффициентов диффузии ^ = (85)

В целях реализации этой концепции вводится уравнение

/У^о / - 4 ^ - (06)

для погрешности К групповой аппроксимации, вытекающее из урав-

нений (22), (80) при С=мг-Л*, СУ-Т-19, после чего рассматривается задача о совместном решении уравнений (80),(86) с условиями

= > * = , (87)

скажем,в ходе итерационного процесса типа

му-«*, - 4>/ +<Г?Л- ^ ^ ,

(88)

Где А/^ ) , - операторы А/, С , Р ^ с коэффициентами^ вычис-

ляемым по Прежним формулам, но с заменой V-, ^ на ^ ) = >

Согласно этой схеме групповые гомогенизированные константы определяются в ходе итерационного процесса (88) из условия удовлетворения с любой наперёд заданной точностью (лимитируеиой на практике неопределенностями ядерных данных) балансных соотношений (75), (76),(79), причНм сама схема (88) является, очевидно, просто некоторой итерационной схемой решения исходной задачи с непрерывной энергетической зависимостью (22), в которой многогрупповое уравнение играет роль процедуры ускорения сходимости (уравнения на крупной сетке).

Однако учёт специфики задачи позволяет внести в эту схему ряд существенных упрощений, позволяющих трактовать её как схему решения задачи в многогрупповом приближении с итерационным уточнением констант. Важнейшим из них является замена истинных граничных условий сшивки для .функции У* на границах раздела гомогенизируемых зон приближёнными граничными условиями ячеечного типа (отражения, периодичности), в рамках которых уравнения , заведомо выполняются, задача определения ^ ' во всём объёме распадается на ряд не связанных между собою задач в отдельно взятых зонах, а условия 0=*

УДОвлетворяются^по_ существу, автоматически, так что возникающий произвол в выборе может быть использован в целях минимизации погрешности групповой аппроксимации , и т.д..

Радикальное упрощение другого рода вытекает из возможности замены кинетического многогруппового уравнения диффузионным. В последнем случае предлагаемая схема переходит в схему итерационного уточнения констант для многогруппового диффузионного уравнения се специальным способом усреднения коэффициентов диффузии, учитывающим истинный ход глобального решения в реакторе.

Указанные, а также некоторые другие положения и составляют основу концепции полностью сбалансированного многогруппового метода, развиваемой и исследуемой в разделе 3.6, где устанавливается свойства одногрупповых однозонных моделей предлагаемого метода и связи с другими методами, разрабатываются алгоритмы приближённой реализации его и на модели гомогенных зон демонстрируется, как эти алгоритмы переходят в стандартные алгоритмы усреднения сечения, коэффициентов диффузии и т.п., излагаются методы коррекции сечений, гомогенизации ячеек, свёртки групп, восстановления тонкой структуры потока нейтронов по данным многогрупповых диффузионных расчётов и некоторые другие возможности, вытекающие из предлагаемой концепции в различных частных случаях и приближениях и потверждающие, тем самым,ее теоретическую состоятельность и практическую значимость.

ОСНОВНОЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Перечислим кратко основные результаты работы по главам.

Б главе I, посвященной развитию и обоснованию методов разделения области для решения краевых задач теории переноса нейтронов,

- предложена и обоснована новая постановка краевых задач в подобластях;

- разработана математическая теория и алгоритмы реализации нового класса итерационных методов решения краевых задач, допускающих естественное распараллеливание вычислений по подобластям и обобщающих в определенном смысле методы Якоби, Зайделя, Некрасова линейной алгебры на существенно более сложную проблематику теории переноса нейтронов;

- проведено исследование эффективности и дано строгое математическое обоснование метода Смелопа разделения области в рассматриваемом случае общего вида энергетической зависимости и подобластей;

- развиты основные положения теории альбедных операторов и методы решения краевых задач в альбедной постановке.

Ь главе 2, посвященной развитию и обоснованию методов повышенной эффективности решения конечно-разностных уравнений,

- разработаны и исследованы нелинейные итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и линейных интегральных уравнений, ориентированные на ускоренное определение искомой совокупности линейных функционалов;

- предложен новый метод решения уравнения замедления нейтронов;

- разработан и исследован новый метод эквивалентной крупной сетки для реаения конечно-разностных уравнений диффузии нейтронов в гексагональной геометрии;

- осуществлена разработка и исследование нелинейных схем метода эквивалентной крупной сетки для решения краевых задач в приближениях методов ВПС и ВПС по направлениям; предложены эффективные.схемы редукции последних к системам уравнений с ленточными матрицами;

- предложен и обоснован новый метод ускорения сходимости итераций по столкновениям, обоснован метод оценки итерационных отклонений.

В главе 3, посвященной актуальным вопросам развития и обоснования математических моделей многогруппового приближения,

- приведено строгое математическое обоснование традиционной модели многогруппового приближения;

- обоснована нелинейная модель многогруппового метода Марчука;

- предложена и обоснована новая модель многогруппового приближе-]г.1л расширенного баланса;

- предложена и исследована новая модель полностью сбалансированного многогруппового метода; разработаны эффективные алгоритмы приближённой реализации этого метода, обобщающие и развивающие традиционные подходы к усреднению сечений, коэффициентов диффузии, гомогенизации ячеек реакторов, свёртке групп, восстановлению истинной структуры потока, коррекции групповых констант, и т.п.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах|б-12,17-19], ЛИТЕРАТУРА

1. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц//Тр. Матем. ин-та АН СССР. М, 196Г, т.61.

2. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.:Атомиздат, 1973.

3. Смелов В.В. Принцип итерирования по подобластям в задачах с уравнением переноса//!». вычисл. матем. и матем. физ. 1981.т.21. №6, с. 14931504.

4. Лебедев В.И.,Агошков В.И. Обобщённый алгоритм Шварца с переменными параметрами: Препринт №19. ¡Л..: ОВМ АН СССР, 1981.

5. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

6. Абрамов Б.Д.,Шихов С.Б. Методы расщепления по подобластям для уравнения переноса нейтронов//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1990.т.30. №11. с.I702-I7I8.

7. Абрамов Б.Д..Шихов С.Б. К теории линейных альбедных операторов в банаховых пространствах: Препринт ФЭИ-1428, Обнинск, 1983.

8. Абрамов Б.Д. Квазигрупповой подход к решению систем линейных алгебраических уравнений: Препринт ФЭИ-1787, Обнинск, 1988.

9. Абрамов Б.Д. Метод эквивалентных крупных сеток для расчёта реакторов в гексагональной геометрии//ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1994, вып.2.

10 Абрамов Б.Д. Метод ВПС по направлениям: Препринт ФЭИ-2290, Обнинск, 1992.

П.Абрамов Б.Д. Многогрупповой подход к расчёту функционалов на решениях линейных интегральных уравнений.- В кн.:Интегральные уравнения в прикладном моделировании: Тез. 2-й Республ. конф.- Киев, Ин-т Электродинамики АН УССР, 1988, с.53-54.

12.Абра>- , Б.Д. К ускорению сходимости итераций по столкновениям//«, вычисл. матем. и матем. физ. 1989.т.29. №4. с.627-630.

13. Хромов B.B..Крючков Э.Ф..Тихомиров Г.В. Решение уравнения переноса нейтронов в средах с ячеистой структурой методом объёмных и поверхностных балансов//ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1968, вып.4, с. 24-28.

14. Чибиняев A.B..Цибульский В.Ф. Балансный метод решения уравнения переноса с дискретным представлением угловой зависимости потока нейтронов метод): Препринт ИАЭ-4988/4, Москва, 1989.

15. Марчук Г.И.,Лебедев B.W. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.

16. Николаев М.Н..Рязанов Б.Г..Савоськин М.М..Цибуля A.M. Многогрупповое приближение в.теории переноса нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1984.

17. Абрамов Б.Д. О задаче подбора групповых гомогенизированных конс-т&нт//ВАНТ. Сер. Ядерные константы. 1986, вып.1, с.52-62.

18. Абрамов Б.Д. Полностью сбалансированный многогрупповой метод// ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. 1992, вып.4, с.3-8.

19. Абрамов Б.Д. О некоторых моделях многогруппового приближения в теории ядерных реакторов/Д. вычисл. матем. и матем. физ. 1994.т.34. №2. с.214-233.