автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка, обоснование и внедрение эффективных численных алгоритмов расчета нейтронных полей в реакторах АЭС

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ПОГОСБЕКЯН ЛЕОНИД РУБЕНОВИЧ

РАЗРАБОТКА, ОБОСНОВАНИЕ И ВНЕДРЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА НЕЙТРОННЫХ ПОЛЕЙ В РЕАКТОРАХ АЭС.

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор: ^^Хгли/с-

Москва - 1992

Работа выполнена во Всесоюзном научно-исследовательском института по зксплуатации атомных электростанций

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Хромов

Консультант:

кандидат физико-математических наук Н.В.Исаев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Крянев кандидат физико-математических наук Н.С.Келлин

Ведущая организация:

Институт атомной анергии им. И.В.Курчатова

Защита диссертации состоится 20 мая 1992г. в 15 час. 00 мин. на заседании специализированного совета Д053.03.08 в Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, Д.31, тел. 324-85-67.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека МИФИ. Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан " " апреля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

А.С.Леонов

Актуальность пробломы. Безопасность и экономичность работы ядерно-энергетических установок в значительной степени определяются уровнем математического моделирования как на стадии проектирования установок, так и в процессе их эксплуатации. Вместе с тем, возможности использования расчетных моделей в принятии эксплуатационных решений, в оптимизационных расчетах ограничены из-за необходимости поиска компромисса между точностью и быстродействием программ нейтронно-физического расчета. Поэтому совершенствование методов, алгоритмов и программ нейтронно-физического расчета представляется актуальной задачей. Важным требованием к программам для эксплуатационных расчетов является надежность их алгоритмов. В связи с чем, использованные итерационные методы должны иметь гарантированную сходимость, а программы - средства защиты от ошибочных данных.

Цель работы - исследование сходимости модифицированного метода итерации источника, разработка быстродействующих модулей нейтронно-физического расчета к программам для эксплуатационных расчетов РБМК, разработка и внедрение на АЭС с реакторами РБМК ряда новых эксплуатационных программ, разработка быстродействующего алгоритма и программы адаптации констант нейтронно-физического расчета по экспериментальным данным.

Новизна работы связана со следующими результатами.

Получены достаточные условия сходимости модифицированного метода итерации источника.

Разработан новый быстродействующий метод контроля энергораспределения в активной зоне по данным внутри и внезонных измерений. Этот же метод можно рассматривать как новый метод коррекции макросечений (по данным измерений) для повышения точности прогнозных нейтронно-физических расчетов и как метод диагностики корректности входных данных системы контроля энергораспределения (источник недостоверной информации можно выявить и локализовать по полю поправок к макросечениям).

Разработан и внедрен на АЭС ряд новых эксплуатационных программ (МКУ, БОКР-П, SUBKRIT, RESTORE, POKER).

Практическое значение.

Полученные в диссертации достаточные условия сходимости модифицированного метода итерации источника необходимы для построения новых эффективных итерационных алгоритмов расчета

полей нейтронов в размножающих средах, в том числе алгоритмов для многопроцессорных ЭВМ. Применительно к одному из способов повышении быстродействия - совмещению итераций даны практические рекомендации по выбору оператора шага и свободных параметров внутренних итераций. Разработан ускоренный блок нейт-ронно-физического расчета РБМК, который в настоящее время используется в качестве базового в комплексе эксплуатационных программ "Энергия". Блок внедрен на всех АЭС с реакторами РБМК. Начиная с 1934 года, с применением данного блока во ВНШАЭС и на АЭС с реакторами РБМК выполнен значительный объем эксплуатационных расчетов по следующим программам:

ОПЕРА (оптимизация перегрузок ядерного топлива, прогноз темпа перегрузок для оптимизации заказа топлива); ОПТИМА (оптимизация радиального энергораспределения стержнями СУЗ, обеспечение опорным физрасчетом системы централизованного контроля СКАЛА); МКУ (оптимизация порядка извлечения СУЗ при пуске реактора);

КРАТЕР (контроль линейной тепловой нагрузки на ТВЭЛ); safety, БОКР-ПБЯ (контроль подкритичности); subkrit (расчет влияния перегрузок на подкритичность); restore (адаптация констант расчетной модели по показаниям датчиков, диагностика ошибок в системе контроля, расчетная градуировка датчиков); ПОКЕР 1 ^ оптимизация высотно-радиального энергораспределения стержнями СУЗ). Алгоритм коррекции констант реализован в виде программного модуля restore, который вклшен в состав программы stepan в качестве блока адаптации констант. Алгоритм внедрен на АЭС с РБМК-1ООО. Версия restore для гексагональной решетки включены в состав комплекса ПИР-ВОПОЛ, предназначенного для расчетов ВВЭР. Подпрограмма restore передана в банк программ стран СЭВ (г. София) и по контракту поставлена в ЧСФР. Использование RESTORE в оперативном режиме позволит исключить некоторые

' Непосредственно автором диссертации разработаны МКУ, SUBKRIT, RESTORE, ПОКЕР. К остальным программам разработаны лишь отдельные программные модули.

предаварийше ситуации, связанные с попаданием недостоверных данных в систему контроля энергораспределения (недостоверные измерения, ошибочная перегрузка, застревание органа СУЗ и т.д).

Внедренио разработанных методов и программ позволило смягчить экономические последствия от мероприятий по повышении безопасности.

Основные научные положения диссертации отражены в 6 печатных работах (работы [4-9]) и в 9 научно-техничеких отчетах. Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (83 наименования), приложения. Содержит 136 страниц, 7 рисунков, 5 таблиц.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, обсуждались на:

1. Первом межотраслевом семинаре "Методы и программы расчета ядерных реакторов", ИАЭ им. И.В.Курчатова, г. Москва, ноябрь 1983 г.

2. Всесоюзном научно-техническом совещании "Совершенствование методов контроля и управления реакторов РБМК-ЮОО. Повышение эффективности работы систем диагностики реакторного оборудования и подавления активности". Смоленская АЭС, Дес-ногорск, 21-23 января 1986 года.

3. Шестом Всесоюзном семинаре по проблемам физики реакторов, Москва, 4-8 сентября 1989 г.

4. Седьмом Всесоюзном семинаре по проблемам физики реакторов, Москва, 3-7 сентября 1991 г.

На защиту выносятся:

- достаточные условия сходимости модифицированного метода итерации источника;

- достаточные условия сходимости алгоритмов нейтронно-физи-ческого расчета с совмещенными итерациями;

- программа и алгоритм быстродействующего блока нейтронно-фи-зического расчета РБМК для комплекса эксплуатационных программ "Энергия";

- алгоритм контроля энергораспределения и коррекции констант по данным внутри и внезонных измерений.

Краткое содержание работы.

В работе в абстрактном виде сформулированы три типа задач расчета полей нейтронов в размножающих средах.

р \

Условно-критическая задача

' кокр = ар; (1)

к ?; ф ?; к>0; ф>0. О О а

" В уравнении (1) ф -плотность потока нейтронов; Ь - линей-шй оператор, описывающий перенос, рассеяние и поглощение нейтронов; а - линейный оператор, описывавший генерацию вторичных нейтронов деления; ко - эффективный коэффициент размножения. Требуется найти положительную собственную функцию Ф и соответствующее ей положительное собственное значение ко. II. Задача расчета нейтронного поля в размножающей подкрити-критической системе.

1ф = Оф + q

Ф ?

к <1. о

(2)

Здесь q - заданный объемный или поверхностный источник нейтронов. L,Q,ko - те же, что ив (1). Требуется найти ф при условии, что эффективный коэффициент размножения ко меньше едицины.

III. Задача линейной теории возмущений

ЬОф - ^ Обф = q; (3)

о

- (условие сохранения функционала, например мощности).

СГ.бф> = о бф ?

Необходимо найти^Сф - возмущение решения задачи (1), вызванное возмущением бЬ.бо, при условии <1,Сф>=0. Здесь

q= £ бОф - бЬф +

<Ф+,[бь-^0а]ф> ^

<Фо,0ф>

оф ;

Ь, 0, ф, к соответствуют невозмущенному уравнению (1); ф -собственная функция оператора (ь ) 0, соответствующая собственному значению ко; <!,.> - произвольный ненулевой неотрицательный функционал. Физический смысл условия <£,6ф>=0 заключается в сохранении интегральной мощности реактора после воз-

условно-критическая задача может быть сформулирована не единственным образом. По терминологии работы [1] здесь идет речь об условно-критической задачэ второго рода.

мущения OL.OQ. Выражение для q удовлетворяет условию ортогональности «|£,q>=0, в котором коф^=(Ь+)~1а+ф\

В некоторых случаях условно-критическую задачу и задачу теории возмущений целесообразно рассматривать в следующей постановке.

Хо(£ + В)ф = (Q + в) ф ; (1а)

X ? ф ?

о т

ф > О ; Л. > О. (м)бф - £ (0+В)0ф = q; (За)

о

<1.Сф> = о ; . Оф ?

< ф+, [öL - J- бб]ф > л

q= i- öQcp - 5Lp + -, а л°-(СН-В)ф .

о <ф+((0+В)Ф>

Здесь ф - решение (1а), Л.оф*=(£++в+)_1 (а++в+)ф*. Предполагается, что линейный оператор В удовлетворяет сформулированным ниже ограничениям.

В практике нейтронно-физических расчетов для решения задач (1)-(3) обычно используется метод итерации источника. Оптимизация вычислительных затрат на решение задач (1)- (3) возможна на пути эквивалентного преобразования уравнений (1)-(3) и применения итерационных методов для решения преобразованных уравнений. При этом, в первую очередь встает вопрос о-сходимости итераций.

Первые три главы посвящены обоснованию достаточных условий сходимости модифицированного метода итерации источника (ММИИ), который можно рассматривать как метод решения преобра-зобразованных уравнений (1)-(3). Формулы ММИИ.

С (М)фли = ^¿рз (0+ё)Фп ; (1Ь)

Ф = lim фп ; фо>0 ; \о = <1, (in-b)-1 (о+в)ф> .

п-юо

(М)фп+1 = (0+-В)фЛ + q ; (2b)

Ф = lim ф . п-юо "

о

г <:Г»Ф > 1 cp = 0 ; 0ф = lim ф- w ф .

° TV* oo 1 n <Г,ф> ■>

(£н-В)ф ,= х;(0+-В)фп + q ; (Зс)

о

, <Г,ф > ^

ф = 0 ; оф = lim. ф - п ф .

° П-» 00 п <1, Ф> J

А Л

Когда В=0, то формулы (1b)-(3b) становятся формулами классического метода итерации источника решения задач (1)-(3). В диссертации построены примеры операторов В, когда в (1b)-(3b) отсутствует сходимость. Построен пример, когда Сфп> в (1Ь) сходится к знакопеременному решению. В дальнейшем изложении рассматриваются только конечномерные операторы L и Q, полученные путем аппроксимации исходных дифференциальных или ин-тегро-дафференциальных уравнений баланса нейтронов. Способы аппроксимации пока не конкретизируются. Достаточно того, чтобы конечномерные L и Q обладали рядом математических свойств, имеющих вполне очевидную физическую интерпретацию.

Для дальнейшего изложения необходимо в соответствии с работой [1] ввести понятие полунеразложимой матрицы. Определение 1. Матрица А называется полунеразложимой, если существует матрица перестановок Т такая, что матрица ОТ1AI имеет следующий блочный вид:

(4)

Т-,АТ =

О В1

б в2

где В2-яеотрицательная неразложимая примитивная матрица, В,- в общем случае прямоугольная матрица с неотрицательными компонентами (во избежании путаницы правильней было бы использовать термин "полупримитивная") Введем обозначения.

01 - множество полунеразложимиых матриц; fig - множество примитивных матриц;

fig - множество матриц с неотрицательными компонентами, имеющих в каждой строке хотя бы один отличный от нуля элемент.

0=0,UO,, B+d=f i(|B|+B), B_d=* 1(|В|-В).

По оггродвлению, 1 ¿-Я атгемянт матрицы |В| равен абсолютной величине и оломонта матрицы В. Запись А 5Ю означает неотрицательность всех компонент матрицы А. Запись А>0 - положительность всех компонент матрицы А. Аналогично для векторов. Теорема 1.

Пусть матрицы Ь, б, В такие, что:

1) с[е1;(£)*6, йе1;(1|-В_)/0, йеЪ

2) (6-В_)^0, (1н-В)"150;

3) ъ~1оеп, (£-в_)-1(о-в_)еп, (Ь+вг1(0+в)еп. Тогда

1) матрица (1>В)-1(0+В) имеет простое положительное собственное зачение ко, превосходящее модули остальных собственных значений Л >|Д., I, «=1.г....;

О 1 I '

2) собственному значению к соответствует собственный вектор с неотрицательными компонентами;

3) любые два неотрицательных собственных вектора матрицы (1н-В)~1 (0+В) либо линейно-зависимы, либо одному из них соответствует собственное значение равное нулю;

4) утверждения 1,2 справедливы для собственного значения ко матрицы Ь-10;

5) для матрицы Ь~10 справедливо утверждение 3;

6) Л. =1 тогда и только тогда, когда ко=1;

7) V<1 тогда и только тогда, когда к <1.

О Л А А О

Теорема 2. Пусть матрицы Ь, Ц, В такие, что:

1) йегаоД йе1;(М+)*6,

2) (Ш-В)50, сЬо;

3) £-1аеП, (М+)-1 (^в+)еп, (мзг1 (0+В)еп. Тогда справедливы утверждения теоремы 2.

Полунеразложимость для случая, когда Ь и 0 получеш путем конечно-разностной аппроксимации многогрупповых диффузионных уравнений установлена в работе Г.Биркгофа [1]. Там же доказана справедливость для собственного значения ко утверждений 1-3 теоремы 1. Физическая интерпретация полунеразложимости 1Г10 заключается в том, что в представлении (4) В2 описывает смену поколений нейтронов в той части фазового объема реактора, в которой сечение деления положительно, В1 - в

оставшейся части фазового объема реактора. Примитивность В2 означает, что если в Vf (Vf-4acTb фазового объема, в которой vfS£>Q) есть хотя бы один нейтрон, то через п поколений весь объем будет заполнен нейтронами.

Теоремы 1,2 дают взаимосвязь решений задач (1) и (1а). По собственному числу можно судить о критичности, надкри-тичности и подкритичности реактора. Если XQ=1, то решения задач (1) и (1а) совпадают. При произвольной В такая взаимосвязь решений (1) и (1а) может отсутствовать.

Теорема 3. Пусть матрицы L, Q, В удовлетворяют условию одной из теорем 1 или 2. Тогда:

1) сходятся итерации (1b); lim ср - решение задачи (1а);

п-»°о п

2) уели выполнено условие Хо<1 (реактор подкритичен), то сходятся итерации (2Ь);

3) если выполнено условие ортогональности <(j£,q>=0, Яо<|£=(£++В+Г1 (Q++B+)<l£, то сходятся итерации л(ЗЬ).

Проверка принадлежности матрицы (LfB)-1(Q+B) к множеству О связана с анализом структуры матрицы и проверкой знаков ео компонент.

Л А

С учетом особенностей структуры матриц L и Q многогруппового приближения получены более простые для проверки достаточные условия сходимости.

Предполагается, что L и Q имеют следующий блочный вид:

L=

■(1)

-sif

r\l-*fl ¿tri ----¿у

■(п)

Q=

lX

.Xa)vUn)

•x(,)vtin)

(5)

Обозначения матричных блоков соответствуют общепринятым. Способы получения конечномерной аппроксимации могут быть различными. Важно, чтобы матричные блоки удовлетворяли определенным требованиям, смысл которых заключается в том, чтобы модель и ее конечномерная аппроксимация не носили вырожденный характер.

Введем матрицу Б, характеризующую межгрупповые обмены нейтронами.

D

irO-.-iiS i0j

А

Матричныя норма может быть любой, например |А| = тах|А.,I.

Энергетические группы оказывают взаимовлияние друг на друга тогда и только тогда, когда матрица Б неразложимая. Пусть В имеет блочно-диагональный вид:

ип А

(6)

В =

в1

в

(2)

в

(п)

(7)

Теорема 4. Пусть матрицы ь, Q, В имеют блочное представление (5), (7) и выполнены условия:

1) teti.n], jtlz.n], i<j;

2) t€H.n], jeli.n] ;

3) матрица D в формуле (6) неразложима;

4) (Ь(г))"1>6, U[1,n];

5) (ь<*>+в<*>Г1Я (ь<г>+в<гЪ-1в<гЬо, (ь^+в^г'в^о,

(ь(г)+в(1))~1в{г)еппп3 ie[i,n].

Тогда:

1) (LfB)-1 (0+в)е£ППз;

A^J Л А Л _ j Л А '

2) для матриц Ь Q, (L+в) (сц-в) справедливы утверждения теорем 1,3;

3) справедливо соотношение: |X.q-1 | <|kQ-11, в котором А. - максимальное по модулю собственное значение матрицы

(Ы-в)-1(Q+B), к - максимальное по модулю собственное значение матрицы L-1Q. Введем блочную нижне-треугольнуш матрицу В.

В =

в

(О

-х(п

(8)

Теорема 5- Пусть матрицы L, Q, В имеют блочное представление (5), (8) и выполнены условия (1)-(5) теоремы 4. Тогда справедливы утверждения (1),(2) теоремы 4.

В нейтронно-физических расчетах в памяти ЭВМ обычно хранятся только ненулевые элементы матриц, преобразование сеточной функции 2 в сеточную фунцию Ах осуществляется по заданному набору формул. Поэтому непосредственная проверка условия АеОПП3 обычно невозможна. Основной инструмент проверки условия 5 теоремы 4 дает следующая терема. Теорема G. Утверждения (а) и (Ь) эквивалентны.

(a) AeQn^.

(b) Из неравенств х^о, Ах^о следует существование натурального числа п такого, что А"х>о.

Положительность всех компонент вектора часто удается установить аналитически, используя связность сетки неположительность коэффициентов в формулах вычисления вектора Ах.

Такой подход использован для вывода достаточных условий сходимости алгоритмов с фиксированным числом внутренних итераций на одну внешнюю. Определение связной сетки введем в соответствии с работой [3]. Через (^{X^J^j обозначим совокупность узлов сетки. Под окрестностью Шт узла Хдаеш будем подразумевать непустое подмножество Ш^с ш не содержащее в себе Хи. В част-частности, в качестве Шт могут быть узлы шаблона разностной схемы, без точки х .

m

Определение 2. Сетка ш связна относительно системы окрестностей если любые два узла хг ,Хх еш можно соединить

1 п

ломанной, вершинами которой являются узлы X, ,Х7 ,...,Х7 еш,

'г 'з п-1

причем X. еш, ,х. еш, ,...,х, еш, .

'г ') 1з 2 п п-1

Внутренние итерации в 1-й энергетической группе имеют вид:

Здесь г - номер 'внутренней итерации, Rj^-линейный оператор, который определяет тип внутренней итерации (SOR, STOR, AHI и т.д.), i - ускоряющий параметр. В диссертации показано, что то внутренних итераций (9) эквивалентны одной итерации по схеме:

(L (1 )+В (1) )Ф^1)+И=В(1 ^ÍU+q(1'; (10)

, r+m

В<*>= Í,<l>(Í - Z^))"^^); Z<1>= П [i - ^ L(l)) ;

I - единичная матрица.

Если в многогрупповой программе реализован классический метод итерации источника и внутренние итерации не доводятся до конца, то оператор внешней итерации имеет вид (1н-В)~1 (0+В), матрицы ь. О, В задаются формулами (5),(7),(9),(10). Предполагается, что в задаче на К0фф нормируется плотность потока нейтронов.

Ответ на вопрос о сходимости (1Ь)-(Зс), когда Ь.О.В задаются формулами (5),(7),(9),(10) дает теорема 4. Аналитический способ проверки выполнения условия 5 теоремы 4 для матриц 1Л в* ' в формуле (11) дает следующая теорема.

Теорема 7. Пусть существует система окрестностей

относительно которой сетка ш связна и итерации (ь+С)ф-,+1=Сф-5+5 обладают свойствами:

1) из следует ф'^3;

2) существует подмножество узлов ш такое, что для любого х еш, из ф°>0, 3=3, х,€Ш следует ф1 >о, ф!>0;

те 7 *те 4 (те тте ' I

(верхний индекс ф - номер итерации, нижний - номер компоненты вектора);

3) связно относительно системы окрестностей ;

4) если то для любого узла Хт из ш\ш, найдется узел х,еш, такой, что X еШ, ;

(7 те I

5) из §=3, ф1=3, ф°>о следует Х{еш\а)( .

Тогда матрицы (£+с)-1, (ь+с)~1с удовлетворяют условию 5 теоремы 4.

Иллюстрация условия 2 теоремы 7 проиведена на рисунке 1.

Ф° Ф1

О +

0 + 0 —> + + + о +

Рисунок 1.

Сетка - прямоугольная двумерная, система окрестностей - окрестности типа "крест". На нулевой итерации значение сеточной функции ф° положительно только в одном узле из ш1, в остальных узлах значение равно нулю. На первой итерации значения сеточной функции положительно по крайней мере, как в периферийных узлах креста, так и в центре. Этим свойством обладает, например, схема точечной релаксации:

С = <а.^и^Г (11>

На рисунке 2а для схемы (11) изображена сетка. Круги соответствуют узлам из ш1, крестики - узлам из ш\ш1. Рисунок 26

соответствует схеме линейной релаксации:

+ © © + + +

+ ©©©© © © © © О

+©©©©©© ©©©©©о©

©©©©00© © © © © © © ©

© © о © о © © ©©©©©©о

©00©© © © © © О

© © © © © ©

а) Рисунок 2. б)

С помощью теоремы 7 проанализированы наиболее распространенные схемы внутренних итераций в задачах с двух и трехмерной геометрией для прямоугольной и треугольной сеток. Получены ограничения на свободные параметры внутренних итераций такие, что сходимость внешних итераций гарантируется при любом фиксированном числе внутренних на одну внешнюю. При этом нэ делается особых предположений относительно формы области и нейтронных сечений. Ограничения на свободные параметры подучены для схем неполной факторизации, точечной, линейной релаксации, симметричной точечной, симметричной линейной, метода переменных направлений. Теорема 7 может быть применена к схемам внутренних итераций для проекционно-сеточных уравнений недиффузионного происхождения. Практический результат состоял в том, что в штатной программе нейтронно-физического расчета РБМК дорогостоящая (по числу арифметических операций на один узел) схема внутренних итераций - схема неполной факторизации заменена на более дешевую и получен выигрыш в скорости счета в 1.8-3.0 раза при полном совпадении результатов. Ускоренный блок нейтронно-физического расчета используется с 1984г. в комплексе эксплуатационных программ "Энергия" в качестве базового блока, в том числе для обеспечения опорным физрасчетом системы централизованного контроля РБМК-1000, для решения на ВЦ АЭС с РБМК эксплуатационных задач, связанных с контролем и управлением поля энерговыделения, формированием загрузки активной зоны.

В пятой главе излагается метод коррекции макросечений по экспериментальным данным. Расчетно-экспериментальное распреде-

ленио плотности потока нейтронов <рв находится из условия минимизации функционала Р:

„ 15ИФВ12 + Р2(Вфв - %)\г . (13)

Здесь Ь1- диагональные весовые матрицы, 2П- вектор измеряемых функционалов аойтрошюго ноли (токи внутри и внозошшх датчиков нейтронного потока, подогрев теплоносителя и т.д.). Коэффициенты матрицы В определяются коэффициентами чувствительности измерительных приборов. Матрица А описывает микробаланс нейтронов: равенство А<р=о означает набор соотношений баланса нейтронов для элементарных ячеек. Функционал ? равен нулю тогда и только тогда, когда выполнены соотношения микробаланса и расчитанные значения функционалов нейтронного поля совпадают с экспериментальными. Матрицы А и В известны с определенной погрешностью. Поэтому микробаланс будет нарушен даже с истинным распределением плотности потока нейтронов. Из условия (А+Б3)срв=о вычисляется матрица Б3 - набор поправок к сечениям поглощения для корректировки констант модели по экспериментальным данным.

Физическая интерпретация полученных результатов связана с выбором весовых матриц В работе обсуждаются некоторые

подходы к выбору ,Ю2. В частности, норма IБ1 Афв|=113С3фв | может быть нормой вектора относительных поправок к сечениям поглощения.

Вектор на котором Р достигает минимальное значение находится из системы уравнений:

д?/д(рв1=0 <==> (А+Б^А + В+В|в)фв = В+^2а. (14)

Система (14) может иметь вероятностную интерпретацию. Уравнения (14) выводятся из принципа наибольшего правдоподобия, в предположении, что макросечения и коэффициенты чувствительности являются независимыми нормально распределенными величинами, диагональные элементы матриц Т)~г,в~г являются дисперсиями микробаланса и дисперсиями измерений.

Для решения системы (14) используется итерационная схема с чебышевскими параметрами т{:

№++5)ф{ + ;/3=-Рср4+?, (15)

< - номер итерации, Б - диагональная, И - верхнетреугольная матрица. Матрица системы (14) - разреженная. Экономичность алгоритма (15),(16) достигается за счет исключения операций умножения на нуль. Покомпонентная реализация метода в простейшем случае имеет следующий вид.

Исходные данные: 8

Б/Ф^ ~ Е Ф, = 0 - уравнение баланса нейтронов в трехмерной

А=1 к

гексагональной геометрии; ср^ - показания расположенного в

узле точечного датчика нейтронного потока;

(с, если в 1-м узле есть датчик,

О, если в {-м узле нет датчика, оо - весовой множитель (одинаковый для всех датчиков), индекс к введен для локальной нумерации узлов на шаблоне, изображенном на рисунке 3.

4

г е > 30^ I &У>7

Ъ......г......©

5 <!> 6 Рисунок 3. 8 Разностный аналог уравнения (14):

8 8 БЛ - Е г + ^ ф4 = Ъ* <р° ; г{ = 5{ ф - 2 Ф ;

г{ - аналог вектора в уравнении (14).

Ра зностный аналог итераций (15),(16): С{= + Р{+ О, Р{- число соседних узлов у <-го

узла (Р.=8, если <-й узел внутренний), п - номер итерации,

А 8

Х?+' /3= £ ф?+'/3+ Е Ф? (18)

к=1 к к=5 к фп+»/3=( £ 3+ ^ £ + р^+'/З + р{фп+ (19)

Л—1 к 5 2ъ

5{ф?+,/3-Х?+,/3 (20)

х7+2/3=Е Ф?+,/3+ ! ч>Тг/3 <21>

1 к к=5

фп+2/3=( £ гп,1/3+1 2^2/3+Р{Хи.2/3+р^п+1/Э+в2фЭ)а4 (22)

п+г/з Л=5 *

=5{фп+2/3-Х^2/3 (23)

2п^=2п + т;П(2п+2/з_2п)( фп+»= фп + гп(ф"+2/3-<р"),

т" - чобишовскио параметры. В формулах (18)-(20) обход сетки осуществляется в направлении возрастания индвкса i, в формулах (21 )-(23) в обратном. Формулы (18)-(20) - аналог соотношения (15) формулы (21 )-(23) аналог соотношения (16).

Соточный аналог формул (15), (16) может бить получен и для общего случая: многогрупповая модель, протяженные детекторы (термопары для измерения подогрева, внезонные датчики и т.д.).

Данный подход требует значительно меньшего объема вычислений, чем решете задачи коррекции констант в ее традиционной постановке, когда минимизируется функционал, характеризующий расхождение расчета с экспериментом, а уравнение баланса нейтронов выступает в качестве ограничения.

Соотношения (13-16) могут использоваться для расчета стационарных полей энерговыделения с учитом действия системы регулирования, когда цель управления - | (Вф - 20) | -> min (В$ - набор функционалов нейтронного поля, 1д- регламентированное значение функционалов). В этом случае поправки к макросечениям интерпретируются как изменение положения регуляторов. Идея реализована в программе ПОКЕР.

Литература.

1. Биркгоф Г. Положительность и критичность. - В кн.: Теория ядерных реакторов. Пер. с англ. под ред. Г.А.Бать. - М.: Атомиздат, 1963, с. 132.

2. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. - М. : Атомиздат, 1973.

3. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. - М.: Наука, 1986.

4. Погосбекян Л.Р., Спиркин Е.И. Применение теории UQ - положительных операторов к разработке и исследованию алгоритмов расчета нейтронных полей. - ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1985, вып. 5, с. 29.

5. Исаев Н.В., Погосбекян Л.Р., Шмонин В.В. БОКР-П: программа нейтронно-физического расчета РБМК с ускоренной итерационной схемой. - ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1986, вып. I, с. 26.

6. Исаев Н.В., Шмонин D.B., Погосбекян Л.Р., Дружинин В.Е. Применение теории малых возмущений в эксплуатационных расчетах РБМК. - Атомная энергия, 1985, т. 59, с. 230.

7. Исаев Н.В., Погосбекян Л.Р., Сапрыкин Е.М. Расчетно-экспериментальная модель нейтронного поля РБМК. -ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1986, с. 13.

8. Погосбекян Л.Р. Контроль энергораспределения в активной зоне. - Атомная энергия, 1991, т. 71, с. 293-297.

9. Лысов Д.А., Погосбвкян Л.Р. Метод коррекции констант расчетной модели по экспериментальным данным // Внутренняя безопасность ядерно-энергетических установок: Тезисы доладов 7-го Всесоюзного семинара по проблемам физики реакторов.

М.: ЦНМатоминформ, 1991.