автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей

На правах рукописи

ПЛАТОНОВ Арий Прокопьевич

Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей (упругое замедление нейтронов)

Специальность - 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ульяновск -2003

Работа выполнена в ФГУП "Государственный научный центр Российской Федерации - Научно-исследовательский

Доктор физико-математических наук, профессор Орлов Виктор Владимирович (ФГУП "Научно-исследовательский и конструкторский институт энерготехники")

Доктор физико-математических наук, профессор Лаппа Александр Владимирович ( Челябинский государственный университет)

Доктор физико-математических наук, профессор Учайкин Владимир Васильевич (Ульяновский государственный университет)

Ведущая организация: ГНЦ РФ Физико - энергетический институт им. академика А. И. Лейпунского

Защита состоится 2003 г. в'^часов на заседании

диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: 432970, г. Ульяновск, Набережная реки Свияги 40, зал Ученого совета, к. 703

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Ульяновского государственного университета.

Отзывы на автореферат диссертации отправлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого 42, УлГУ, научная часть

Автореферат разослан "30, ¿)7. 2003 г.

институт атомных реакторов

(ФГУП "ГНЦ РФ НИИАР")

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационноп

совета Д 212.278.02.

Веревкин А.Б.

2©°?-А

I. Общая характеристика диссертационной работы

3

Актуальность темы. Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационноопасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и прикладной нейтронной физики. Большое значение в решении этой проблемы имеет правильный выбор ядерно-физических параметров как основных элементов установок, в том числе активных зон ядерных реакторов , так и защиты. Широкое применение численных методов для расчета основных характеристик ядерных реакторов, и особенно реакторов на быстрых нейтронах, стимулировало изучение макроскопических явлений, связанных с резонансной структурой сечений. Оказалось, что в отличие от реакторов на тепловых нейтронах, где резонансное самоэкранирование сказывается лишь в вероятности избежать резонансного захвата, в реакторах на быстрых нейтронах оно существенно и для характеристик диффузии нейтронов, относящихся к резонансной части спектра замедления. К настоящему моменту точность учета резонансных эффектов в определении макроскопических характеристик среды и, в первую очередь, в многогрупповых константах для расчета реакторов на быстрых нейтронах, обеспечивает безопасную эксплуатацию ядерных энергетических установок на проектируемый период их эксплуатации. Ближайшие перспективы развития атомной энергетики, в том числе создание реакторов на быстрых нейтронах повышенной безопасности, делают необходимым не только дальнейшее изучение энергетической структуры нейтронных сечений для всего интервала резонансных энергий, но и более детальное изучение энергетической зависимости спектра потока замедляющихся нейтронов в средах с резонансными сечениями, в частности, в однородных протяженных средах с равномерно распределенными источниками. Кроме того, повышение точности ядерно - физических данных, в конечном итоге, существенным образом влияет и на экономическую эффективность энергетических установок. Для обеспечения таких исследований необходимы как новые данные о резонансной структуре сечений, так и новые вычислительные методы и алгоритмы, обладающие соответствующими характеристиками и позволяющие проводить расчеты нейтронных полей в резонансной области энергий.

Начиная с первых работ по исследованию замедления нейтронов в средах, проведенных Э. Ферми с сотрудниками, прогресс в исследованиях резонансных эффектов в ядерных реакторах тесно связан именами И. И. Гуревича и И. Я.

Померанчука1, которые предложили приближенную теорию резонансного поглощения, другой ее вариант был разработан в США Е. Вигнером2. Для реакторов на быстрых нейтронах существенный вклад в изучение макроскопических эффектов, связанных с резонансной структурой сечений, внесли академик А. И. Лейпунский, профессора И. И. Бондаренко, В. В. Орлов, Л. Н. Усачев, М. Н. Николаев, А. А. Лукьянов3, А. Д. Галанин, П. П. Благоволин и научные коллективы РНЦ "Курчатовский институт", ГНЦ ФЭИ, ИТЭФ, МИФИ, ИПЭ HAH Беларуси и др. Решение поставленной проблемы было бы невозможным без развития теории ядерных реакторов и численных методов для их расчета. Работы отечественных ученых В. С. Владимирова, С. Б. Шихова4, Т. А. Гермогеновой, М. В. Масленникова, а также зарубежных ученых Б. Дэвисона, Ю. Вигнера и А. Вейнберга и других, отражающие основные положения математической теории реакторов, широко известны. Что касается вычислительных методов решения задач теории реакторов, в том числе задач замедления нейтронов в средах, то они достаточно полно представлены в трудах академика РАН Г. И. Марчука, профессоров В. И. Лебедева, В. В. Смелова, В. И. Агошкова и их учеников.

Широкое применение вычислительной техники в научных исследованиях позволяет пересмотреть многие подходы к решению ряда важных задач математической физики и сосредоточить усилия на создании новых алгоритмов, основанных на использовании численных методов, успешно реализуемых на современных вычислительных машинах. При этом аналитический подход к решению практических задач во многих случаях может уступать место изучению физических и дру1их процессов на основе математического моделирования с использованием эффективных численных методов. Это относится и к проблеме резонансного поглощения нейтронов при их замедлении в средах. Данный раздел нейтроной физики базируется на решениях уравнения замедления нейтронов для сложных пространственных структур с учетом энергетической зависимости сечений. Трудности прямого численного решения таких задач настолько велики, что до настоящего времени решение их в полной постановке, т. е. с учетом реальной геометрии, энергетической зависимости сечений в области

1 Гуревич И. И., Померанчук И. Я. Теория резонансного поглощения в гетерогенных системах // Материалы Международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева, 1955. Т. 5. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 557.

2 Wigner Е. et. al. Nuclear Reactor Issue // J. Api. Phys., 1955. V. 26 . P. 257.

3 Лукьянов А. А. Замедление и поглощение резонансных нейтронов. М.: Атомиздат, 1974.

4 Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973.

резонансных энергий и всех физических эффектов упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, остается проблемашчным. При решении задач замедления, как правило используют два основных предположения: первый - это многогрупповой подход по энергетической переменной, а второй - сведение основного уравнения к задачам ( или последовательности задач ) меньшей размерности. Однако такая постановка задачи не учитывает всего многообразия явлений при описании процессов замедления и поглощения резонансных нейтронов в средах, а их учет требует разработки методов и алгоритмов, обеспечивающих получение надежной информации о спектрах резонансных нейтронов во всей области изменения энергии. Это означает, что требуется строгое математическое обоснование корректности используемых в вычислительной практике приближенных методов ( доказательство существования и единственности решения, обобщение понятия решения, исследование свойств гладкости решений, обоснование точности вычислительных процессов и т. д.). Весьма актуальным остается также выявление "дополнительных ( скрытых ) резервов" тех методов и алгоритмов, которые выдержали проверку временем. Из современных численных методов решения задаче замедления отвечают методы, основанные на много-многогрупповом и подгрупповом подходах, и методы Монте - Карло. Существенных достижений в разработке таких подходов достигли коллективы исследователей ФЭИ, ИАТЭ, г. Обнинск, МИФИ, РНЦ "Курчатовсий институт", однако исследования непрерывных решений уравнения замедления в резонансной области энергий ими не проводились.

Анализ современного состояния теории упругого замедления и резонансною поглощения нейтронов позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем математической теории нейтронных полей проблему создания прецизионных методов численного решения задач замедления нейтронов с учетом всех особенностей рассеяния при упругом столкновении нейтронов с ядрами среды и основанных на углубленном понимании закономерностей поведения искомых функций. При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи исследования локальной структуры спектров замедляющихся резонансных нейтронов, в основе которых лежат простейшие формы уравнения замедления. Такой задачей выступает задача замедления нейтронов в гомогенных многокомпонентных бесконечных средах.

Целью работы являются: I) теоретическое изучение дифференцируемое™ интеграла упругих соударений уравнения Больцмана как основного элемента, определяющего упругое замедление нейтронов в среде; 2) формулировка метода и построение общего алгоритма численного решения уравнения замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах при 8 - образном законе рассеяния, отвечающем полной физичес-

кой модели упругого столкновения нейтронов с ядрами среды, и для различных типов <

источников, а также его применение для решения задач теории нейтронных полей с [

учетом нахождения пространственно - угловых зависимостей на основе современных |

численных методов ( в рамках общей теории переноса нейтронов); 3) математические и [

численные исследования решений основной модельной задачи теории нейтронных полей - задачи замедления нейтронов в гомогенных многокомпонентных бесконечных * средах; 4) преда авление всех полученных теоретических результатов в конструктивной форме для последующего использования их в вычислительной практике. |

Научная новизна и практическая ценность работы состоит в том, что в ней: - сформулирован метод и посгроен в обобщенных координатах ал1 ори!м численного !

решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного ^

источника единичной мощности в гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении:

• показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 6 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и | последующих производных;

• разработаны и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Р| -, Рз - и Р„ - приближениях в сложных гетерогенных средах;

• разработан и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно - энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из практических задач теории нейтронных -полей;

• детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, ( Я, Ъ ) - и

( X, У) - геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме;

• рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов, при этом все численные схемы естественным образом вписаны в алгоритмы односкоростных задач и могут быть рекомендованы для реализации в действующих комплексах программ для расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах;

- проведены всесторонние математические исследования уравнения замедления, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах:

• получены условия разрешимости уравнения замедления, существования и единственности его решения;

• показана устойчивость решения уравнения замедления во всей области изменения параметров уравнения замедления, найдены простые соотношения между параметрами уравнения замедления, обеспечивающие устойчивость его решений;

• получены оценки роста решения и фундаментальное соотношение между основными параметрами уравнения замедления ( величиной сброса энергии ири упругом столкновении нейтронов на ядрах среды и отношением сечения упругого рассеяния к полному сечению среды);

• детально рассмотрены методы шагов, Лапласа и Фурье, которые позволили сформулировать и доказать ряд теорем, связанных с особенностями постановки задачи Коши для уравнения замедления, а также получить ряд асимптотических оценок решения;

• на основе теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка в общей постановке построена задача Коши для сопряженного уравнения замедления;

- найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной ( естественной ) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах;

- описаны созданные автором на основе предложенного численного метода для модельной задачи программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, которые явились базой широких численных исследований спектров плотности столкновений в резонансной области:

• показано сложное поведение спектров плотности столкновений в области резонанса, обращено внимание на необходимость учета взаимного влияния резонансов и интерференции потенциального и резонансного рассеяния при точных расчетах спектра плотности столкновений;

• установлены закономерности влияния на формирование спектра плотности столкновений в области резонансных энергий нерезонансных разбавителей и температуры среды;

• получены качественные и количественные оценки эффективности и точности предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной, которые

позволяют судить о точностях и эффективности предложенного численного метода решения уравнения в гетерогенных средах;

• приведены сравнительные оценки дифференциальных характеристик среды ( интегралов поглощения, многогрупповых констант ), полученные на основе точных расчетных данных и приближенными методами; совокупность приведенных результатов позволила уточнить значения многогрупповых констант некоторых делящихся ядер и ядер конструкционных материалов в группах, содержащих сильно рассеивающие и поглощающие резонансы ( оценки были проведены в Центре ядерных данных ГНЦ РФ ФЭИ).

Проведенными в диссертационной работе исследованиями и полученными в ней результатами осуществлено решение четко очерченного цикла логически взаимосвязанных математических задач теории упругого замедления нейтронов в области резонансных энергий. Этим самым осуществлено развитие и обобщение целого ряда результатов этого направления. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для непосредственного выхода в сферу конкретных вычислительных алгоритмов нейтронной физики и физики атомных реакторов и защиты. В частности, найденные способы учета корреляции между углом рассеяния в лабораторной системе координат и потерей энергии нейтронов при упругом соударении с ядром среды открывают перспективы широкого использования в практике нейтронно-физических расчетов прецизионных методов, учитывающих тонкие эффекты взаимодействия нейтронов с веществом.

На защиту выносятся:

1. Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при й - образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности.

2. Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Р„ - приближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, ( Я, Ъ ) - и (X, У) - геометриях.

3. Положения и выводы математического исследования дифференцируемое™

по энергии интеграла упругих соударений в интегродифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтроне« в гетерогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бес-

конечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим ар1 у ментом первого порядка.

4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров ило1ности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 33 публикациях.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях :

1) ФГУП "ГНЦ РФ - Научно - исследовательский институт атомных реакторов";

2) ГНЦ РФ - Физико - энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского;

3) Московском инженерно - физическом институте;

4) Нижегородском техническом университете;

5) РНЦ "Курчатовский институт";

6) Обнинском институте атомной энергетики;

7) Ульяновском государственном университете.

В плане практической апробации по теме диссертации автором созданы две рабочие программы на ЭВМ СПЕКТР и ПЕРСЕЙ по расчету нейтронных полей от источников различного типа в гомогенных многокомпонентных средах в области резонансных энергий. Эти программы использовались в Центре по ядерным данным при ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, 20 параграфов, заключения и 4 приложений, а также содержит 31 рисунок, 6 таблиц и 191 библиографическую ссылку. Общий объем диссертации 309 страниц.

П. Содержание работы.

Из обширного перечня проблем теоретической нейтронной физики предметом исследования диссертационной работы выбрана проблема распространения нейтронов в гомогенных и гетерогенных средах с резонансной структурой сечений. Рассматривая в целом современное состояние теории ядерных реакций и проблему учета влияния резонансной структуры нейтронных сечений на макроскопические характеристики сред,

можно сделать вывод, что одной из основных причин неполноты и неточности получаемых в расчетах результатов - это неполнота и неточность данных об энергетической структуре спектров нейтронов практически во всем интервале замедления и, особенно, в резонансной области энергий. Поэтому основным элементом в проблеме влияния резонансной структуры сечений на распространение нейтронов в средах выступает проблема численного решения уравнения замедления в гетерогенных стредах с учетом всех физических особенностей взаимодействия нейтронов с ядрами среды и, как частный случай, задача исследования спектров замедления в резонансной области энергий в гомогенных бесконечных средах (основная модельная задача теории замедления нейтронов).

По мере того как численные методы в теории переноса завоевывали основные позиции при расчетах атомных реакторов, вопросы учета резонансного поглощения и замедления нейтронов основывались на приближенных схемах, использующих два основных упрощающих предположения: 1) ширины резонансов либо малые, либо большие по сравнению со средней потерей энергии нейтроном при упругом рассеянии на ядрах резонансной компоненты; 2) энергетическая зависимость сечений в резонансной области представляется в виде суммы отдельных изолированных уровней.

В первых попытках численного решения полной задачи замедления нейтронов традиционными методами было отмечено появление погрешностей, искажающих качественную картину нейтронного спектра. Эти явления связаны со сложной геометрией среды, разрывными коэффициентами и функциями источников, а поэтому в конкретных случаях исследование краевых задач предпочитают проводить для "слабых" решений, удовлетворяющих уравнению переноса, краевым и начальным условиям в обобщенном ( интегральном ) смысле. Однако развитие численных методов теории переноса требует правильных качественных представлений о поведении решений. Для этого необходимо исследование локальных свойств решений: получение точных оценок, анализ областей непрерывности и дифференцируемости, изучение поведения решений в окрестностях |раниц областей и поверхностей разрыва решений и его производных. ( Исследованию и обоснованию свойств решений уравнения замедления по энергетической переменной посвящена основная часть диссертации ). В идеале задачу замедления нейтронов в средах следовало бы трактовать как полное численное решение многомерного уравнения Больцмана в конкретной геометрии с учетом в интеграле упругих столкновений всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды. Ясно, что это практически неприемлемая постановка вопроса. Поэтому в вычислительной практике целесообразно использовать хорошо

разработанные численные методы решения односкоростных задач, на основе которых уже можно строить новые подходы к решению уравнения замедления в области упругого рассеяния нейтронов на ядрах греды (В диссертации рассматриваются только те численные методы решения стационарных односкоростных задач, которые получили практическую реализацию в виде программ и вошли в основные курсы теории нейтронной физики и атомных реакторов. При этом детали пространственного решения и связанные с ними расчеты распределения потоков нейтронов в различных зонах, условия критичности и другие специальные вопросы теории атомных реакторов в диссертации не рассматриваются).

Мощным импульсом для развития методов решения уравнения замедления нейтронов в гетерогенных средах послужили численные результаты пространственно-энергетического распределения потока нейтронов вблизи резонансов Ея. = 6,7 эВ и Е>. = 190. эВ для блоков урана в графитовой решетке, полученные Левисом Е. и Адлером Ф.1 Сравнение этих результатов с результатами, полученными в различных приближениях теории резонансного поглощения, наглядно показали важность учета действительного потока нейтронов в области энергии резонанса. Однако численные трудности решения полной задачи замедления и принцип эквивалентности резонансного поглощения в гомогенных и гетерогенных системах способствовали развитию методов, в том числе и численных, решения задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах как основной модельной задачи в теории резонансного замедления нейтронов. Задача об энергетическом спектре нейтронов в бесконечной среде в случае постоянных сечений была решена Плачеком Г., а первый численный алгоритм решения ее в области резонансных энергий был построен на основе прямых методов решения интегрального уравнения замедления2. Однако избежать вычислительных трудностей в то время не удалось, что в конечном итоге привело к пересмотру подходов к решению уравнения замедления и применению, по предложению автора, для решения задачи замедления приемов сведения интегрального уравнения к дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом, которое затем и решалось численными методами. Дальнейшие исследования этого подхода показали возможность построения численного метода решения уравнения замедления в общей форме при условии доказательства дифференцируемости интеграла упругих соударений по энергетической переменной,

1 Lewis Е. Е„ Adler F. Т. A Bolzman Integral Eguation Treatment of Resonanse Absorption in Lattices" //Nucl. Sei. Eng.,1968. V. 31. P.l 17 -126 .

2 Марчук Г. И., Михайлус Ф. Ф. Резонансное поглощение нейтронов в бесконечной однородной среде // Атомная энергия, 1958. Т. 4. С. 520.

являющегося основным элементом уравнения замедления и отвечающего за процесс рассеяния нейтронов на ядрах среды.

На основании фундаментальных результатов исследования дифференциальных свойств интеграла соударений' в диссертации показана процедура дифференцирования интеграла упругих соударений, записанного с учетом корреляции между углом разлета частиц и сбросом энергии при столкновении, по энергетической переменной, которая позволила не только доказать возможность дифференцируемое™ интеграла упругих соударений по энергетической переменной, но и получить в явном виде производные как первого, так и последующих порядков. Вид первой производной интеграла соударений по энергии показал ее прямую зависимость от искомого решения задачи с запаздывающим аргументом для энергетической переменной, что и легло в основу предложенного численного метода.

Описание численного метода решения уравнения замедления при упругом рассеянии нейтронов на ядрах среды приведено в диссертации для самой общей (бескоординатной ) формы записи, однако практаческая реализация любого алгоритма требует привлечения координатных систем и прежде всего классических ( прямоугольная, цилиндрическая, сферическая ) систем координат, в которых представление уравнения замедления хорошо известно. В качестве практических приложений к работе приведены построенные алгоримы численного расчета нейтронных полей ряда важных задач нейтронной физики и теории атомных реакторов в различных геометриях и различными методами решения односкоросчных задач 1еории переноса, в том числе конечно-разностными методами, в Рп - приближении, методами расщепления и конечных элементов, с последующим численным решением полученных уравнений итерационными и безытерационными методами.

Предложенный автором метод решения задачи упругого замедления нейтронов в гетерогенных средах, как и всякий метод численного расчета сложных задач математической физики, требует точных представлений о локальной структуре решения -знания оценок, областей дифференцируемое™, характера особенностей у границ областей и т. д. Ясно, что исследование многомерного уравнения замедления одновременно по всем переменным - это очень трудноразрешимая задача. Поэтому с учетом результатов исследований тонкой структуры решений односкоростных задач теории переноса и принципа эквивалентности резонансного поглощения в гомогенных и гетерогенных средах автором предложен и реализован подход к исследованию

'Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука,

1986.

энергетической части уравнения замедления на основе широкого изучения поведения решений модельной задачи, в качестве которой выступает задача замедления нейтронов в гомогенной многокомпонентной бесконечной срепе. Здесь в качестве объекта исследования выступает проинтегрированный по пространственным переменным поток нейтронов Р(г,в,Е):

Ф (£) = |<Ы8£(г,8,£),

удовлетворяющий кинетическому уравнению замедления нейтронов в бесконечной среде, которое получается интегрированием уравнения замедления

= Е) + 0(г,*,Е) ('}

по переменным г и в при условии F(r,s,£) 0, если г ->со, т. е.

Ф (£)!,(£) = ¡^„(Е')Ф(£')^(Е' -+£) + в(Е), (2)

/

где суммирование по / относится к различным компонентам замедлителя ( обозначения величин, используемых в настоящей работе, соответствуют обозначениям, принятым в монографии Г. И. Марчука 1 ).

Особенностью данного подхода является применение для исследования уравнения замедления методов теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, представленных в монографиях Мышкиса А. Д 2 и Беллмана Р. и Кука К. Л.3. В рамках математического исследования уравнения ( 2 ) автором получены не только количественные оценки, но и качественные результаты, позволившие обратить особое внимание на такие вопросы теории, как устойчивость решений, эквивалентность решений уравнений замедления, записанных в различных формах ( интегральной и дифференциальной с запаздывающим аргументом ), существование и единственность ре-" шений, асимптотическое поведение и вопросы построения сопряженного уравнения при энергетической зависимости коэффициентов уравнения замедления.

Наиболее значимым результатом упомянутого исследования является теорема об эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной и дифференциальной с запаздывающим аргументом формах, которая позволила определить принцип построения начальных условий задач замедления нейтронов. На основе

1 Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961 .

2 Мышкис А. Д. Дифференциально - разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

3 Беллман Р. и Кук К. Л. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

этого принципа решение задачи замедления будет эквивалентным для уравнений замедления, записанных в разных формах, только при условии, если физический спектр замедляющихся нейтронов, отвечающий именно решению интегрального уравнения замедления, является начальным условием для решения уравнения замедления, записанного в дифференциальной форме.

Выводы теоретических исследований модельной задачи в полной мере подтверждены численными исследованиями спектров плотности столкновений нейтронов в многокомпонентных гомогенных средах в области как отдельных резонансов, так и в достаточно широкой энергетической области, содержащей несколько десятков разрешенных резонансов ( например, рассчитаны спектры плотности столкновений в гомогенной среде, содержащей ядра урана - 238 и нерезонансных элементов на энергетическом интервале 1 - 400 эВ ). При этом определено влияние расчетных спектров на различные физические характеристики среды, в том числе на групповые константы урана-238, на значения интеграла поглощения, на температурную его зависимость, а также проведено сравнение полученных данных с различными результатами приближенных методов. Данное широкое исследование одной из фундаментальных модельных задач теории резонансного замедления нейтронов позволило высказать с достаточно высокой вероятностью предположение об аналогичном поведении спектров замедления в гетерогенных средах, а также оценить возможные точности рассмотренных в диссертации алгоритмов решения общей задачи замедления нейтронов в гетерогенных средах предложенным автором методом.

Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

Глава 1 называется " Эффективный метод расчета нейтронных полей в области упругого замедления нейтронов. Дифференциальные свойства интеграла упругих столкновений".

Первый параграф посвящен исследованиям дифференцируемое™ интеграла упругих соударений по энергетической переменной в задачах замедления нейтронов в гетерогенных средах с учетом всех особенностей взаимодействия нейтронов с ядрами среды и имеющего для однокомпонентной среды следующий вид:

/(г.^Ь1 \dtn- р«'Т(г,8',м')й(г,Ы')4(8,8')-^(и,«')]схр[-(«-«')1

где

Иъ = = = ММ' + М2 М'2 сои(у/- >//'), м-сюв'М' = соз0'; (3)

/•I

( M-1

J^r.s'.nyro'= Jrf^'jsin<9'cil9'4'(r,^',0',w), 0<й<яг, 0<< 1к\ а = [

4х 0 0

T'(r,s,£)- плотность столкновении нейтронов в точке г объема ti, летящих в направлении s = ( S1,S2,S3 ) с энергией Е; в(0<в<я) - угол между вектором скорости нейтрона иг; i/(Q<i/f<2л)- азимутальный угол; h(r,и) = h(u) .

В сферических координатах интеграл упругих соударений может быть приведен к виду

. 1 2л ь

= -j \dM' \dV' jNP(r+ (4)

-pr tJi~m'2 cos(^ - V')- /¿(w,M')]exp[—(и - u')]du', где в общем случае

¥(r,//', y/', и') st Ч'Сг, ц', ж+ yf,' ,и'\ 0<1//'<л, и внутренний двухкратный интеграл в выражении ( 4 ) представим в виде двух слагаемых:

которые соответственно равны: 1 *

/и(г,Л¥г,«,«')= -1)* + уг'.и'ЭДяо* "M".«'))

-I о

fi№ = до' + VbV Vh^co^ + (-1)" V"); k = 1,2. С использованием общего правила интегрирования 8 - функции после вычисления интегралов по переменной у/ в формуле ( 4 ) формальное дифференцирование полученного результата по переменной и (и » q) позволяет записать выражения для определения производных функции l(r,/j,y/,u), например, для первой производной в виде д 1

—- /(г, ju,t//,u) + /(г, ц, у, и) = ——-- А(и)(/|, (г, fj,f,u,u)+ln (г, ¿1,1//,и, и)) -

ди 2;г(1-а)

- 2л(\-а) e'"h(-u~ ?)(7i 1 (г> Р> V> 'и>и ~ Ч) + Аз (r> Р> V' ">" - Я)}+ ( 5 )

1 Г . . , д

;-г fdu'e-^hiu')—(/„(г, и, и')+О. ^ «'))■

2я-(1 - а) ; ди

В заключение параграфа рассмотрен алгоритм вычисления частных производных по энергетической переменной функций 1ц(г,^,ц/,и) и /,2(г,//,у,м), а также высших

производных функции /(г,//,(у,ы) по переменной к. При этом показано, что сохраняется структура, аналогичная выражению ( 5 ), для определения этих производных.

В § 2 дано детальное описание численного метода решения задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. Построение проводится в самой общей ( бескоординатной ) форме и базируется на приеме выделения S - образной особенности в решении уравнения замедления с последующим дифференцированием интеграла упругих соударений по энергетической переменной с учетом разрывов решения и его производных в точках последовательности {kq],k = 0,...,и , где и - число рассматриваемых интервалов на энергетической оси.

Если записать уравнение замедления нейтронов ( 1 ) от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности в однородной однокомпонентной среде в виде

[Z, (г,«)]"' (s, gradV( г, s, и)) + ЧР(г, s, и) =- ST(r,s, и) + -J- â(r Щи), (6)

тогда решение уравнения в области D = G -[0,u0] ■ Q пространственных, энергетической и угловых переменных с граничными и начальными условиями Ч?(г,s,и) - 0 при г s âC,

3

если(8,п)<0,и Ч'(г,8,и) = 0 при и < О, где(я,п) = , п - единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности 3G, ограничивающей объем G , S - оператор интеграла упругих соударений ( 1 ), и представить решение как сумму двух слагаемых

ЧР(г, s, и) ~ (г, s, и)З(и) + ср{г, s, и), тогда само уравнение ( 6 ) можно переписать в виде системы уравнений:

[2, (г, и)]"' (s, grad<p0 (г, s, и)) + <pQ (г, s, и) = —— ; ^

[S, (г, к)]"' (s, grad<p{r, s, и)) + <p(r, s, и) = Sç>(r, s, и) + F0 (г, s, и),

где

F (г s и)-¡2*0-«)'" W^iM^'.O)-^5'8')0<u<q,

l 0, и > д.

Здесь под численным решением задачи понимается численный расчет регулярной части функции Т(г,8,и) в области D . Решение первого уравнения системы ( 7 ) хорошо известно. Представляя решение на интервале [ 0, q ] в виде суммы двух функций <p(.r,s,u) -= «p,(r,s,u) + 0(r,s,u), второе уравнение мелено также переписать в виде системы уравнений:

[х,(г,и)]'1 (г,5,«)) +5»,(г,в,- ^(г,а,и);

[I, (г,«)]"' (в,£ГЛ</Ф(Г, 8,И)) + Ф(Г, 5, И) = вФО,8, и) + ^ (г, в,и),

Решение первого уравнения этой системы легко можно записать в явном виде.

3,0-,«) .. "г^О- ШКг - &0)

З2л3(1-а) \

'((г-*),.)

р,(г,8,и) = е" -;——^——- X

х8

'-кт

ехр[-г(г - ¿8,0,0) - г(г, г -

или, применив правило интегрирования 6- функции, окончательно записать

х ехр[-г(г - ^,0,0) ~ г(г, г - ¿„8, и)], где введены специальные обозначения:

0 и « А,/'

1 и 6

ХЛ") =

нн

(А + 1У

лА7/©.

-м-Ш

-м ч I ( ¿-И л о с / \ »К

А С"о) = М .-- . С"о) = , , г- , ' & = М

(Л

= М< эир^Ч^) =-Ц= =

Л-1

Здесь //"'(^о) " функция, обратная

С учетом данного результата функция ^',(г,8,и) будет иметь вид З2яг3(1-а) а Л

2, (г, «У Д, (г - ~ £о"'>0) .

х ехр[-т(г - £0а',0,0) - т(г, г - -

где= //(«',0), т.е. источник в уравнении для функции Ф(г,з,ы)на интервале 0 <и <ц

уже не имеет 5 - образных особенностей по энергетической неременной, и его можно использовать для решения второго уравнения системы при и > ц.

Известно, что источник типа Р\{ и ), определенный на интервале [ 0,д ], вносит в решение по энергетической переменной разрывы первого рода как самого решения в точках и = 0 и м = так и его производных в точках последовательности {&?}, к = 0,...,«, где и - число рассматриваемых интервалов на энергетической оси. При этом первая производная решения терпит разрыв в точках и - 0, и = д, и 1. д., вторая производная в точках и = д, и = и т. д.

Если построить кусочно-непрерывные функции

О, и<£,

(атДг^и), «>£,, и функцию

л»! (г+1 (и~ ¿V

я(г,«,и)=XX , п;».».«),

величины разрывов которой по энергетической переменной и ее производных в точка> последовательности {4,}>' = 1,2,...,«+ 1 совпадают с соответствующими разрывам!-функцииФ'(г,в,и), тогда, вводя непрерывную по энергетической переменной функцию

g(r,s,u) = Ф(г,8,ы) - Я(г,я,ы), второе уравнение системы ( 8 ) для непрерывной функции я, а) можно записать I виде двух уравнений:

[2, (г, и)]"' (в, г, в, и)) + я(г,и) = и) + ^ (г, $,и);

Г2 (г, 8, и) = -[2, (г, и)]"1 (в, ягш/Я(г, 8, и)) - Я(г, вЯ(г, 8, и) + 8,ы).

Таким образом, решение задачи о нахождении распределения замедляющихся нейт ронов в среде от точечного изотропного моноэнергетического источника сведено •

нахождению непрерывной по энергетической переменной функции g(г,s:u) и величин

разрывов функций Ф"(гв точках последовательностиг = 1,2.....п +1.

Так как для непрерывной функции g(r,s,u) оператор Б вполне непрерывен из ££ в 1/0 при 1< р <оо , в том числе и по энергетической переменной, дифференцируя функцию

Щг,1,«) = адм.») = ———г Ут'

по и и полагая, что h(r,u) = h(u), получаем дифференциальное уравнение £(f(r,s,«) + W(r,s,u) = —ф-j|ä(m) Joic7'g(r,s',M)<5[(s,S')- //(к,к)] +

и

+e"'h(u-q)jdm'g(r,s',u- <7)<S[(s,s')- fi(u,u -$)] + jdu'e'("'u)h(u') x а

д

X

du

¡dw'g(r,^^,u^)¿{(^,^•)-f4u1tt^)]

которое и позволяет замкнуть систему уравнений решения уравнения замедления в гетерогенных средах. В последнем уравнении интегралы по угловым переменным могут быть сравнительно легко вычислены в конкретном координатном представлении ( для сферически симметричного случая смотри, например, § I).

Таким образом, получена замкнутая система дифференциальных уравнений, в которой первое уравнение определяет спектр нерассеянных нейтронов на ядрах среды, второе уравнение - спектр упругорассеянных нейтронов в среде. При этом источники во втором уравнении определяются дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом по энергетической переменной. В заключение параграфа в общем виде подробно рассмотрено правило определения разрывов решения уравнения замедления по энергетической переменной.

В § 3 алгоритм решения задачи замедления нейтронов в гетерогенной среде конкретизирован для одной из координатных систем. В качестве простейшей выбрана задача замедления нейтронов в плоской геометрии с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды.

Здесь уравнение переноса для нахождения пространственно- энергетического распределения нейтронов при их замедлении в однокомпонентной среде с произвольным источником

20

I

2,(м)А 2я(1-в) Д _■> >

граничными и начальными условиями

я) = 0, к¥{а,и,ц) = 0, // < О;

Ч'(х)и,^) = 0, ы<0,

где//, определяется формулой ( 3 ), а среда представляет собой плоскопараллельную пластину толщиной 2а, приводится к эквивалентной системе уравнений:

Е, дх 2

4-Щх,и,м) + Щх,и,М) = —Ц{А(иЩх,и,1) - -1) +

<?ы (1 - а)1

+1 [-^ЧЧ*,и',/¿'(и,и',?>))}, * Р»

^(х, и,/и) + Щх,и,м) = —Ц {¿(иЩх, ">1) - Ки - <7)е-'Т(х, и - <¡-,-1) + ди (1~«)

+ ГЛ'й (м')е""(°^ = +1 ^ = ф,и% 3 ди >

кИ,

где положено ¡и(и,и) = 1, /¿(и, и - = -1.

В этой системе уравнений первое уравнение является уравнением переноса д® односкоростного случая с известной правой частью, а следующие уравнения являют« дифференциальными уравнениями первого порядка, отражающие особенности учета <5-образного закона рассеяния нейтронов на ядрах среды для первой производной ин теграла столкновений по энергетической переменной.

В заключении параграфа показана возможность численного решения получснно} системы дифференциальных уравнений с использованием известных методов решени) односкоростного уравнения переноса и метода Адамса для решения дифферен циальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом, определяющи; источники в односкоростном уравнении.

В § 4 задача замедления нейтронов в одномерной геометрии усложнена включением в расчет точечного изотропного моноэнергетического источника единичной мощности. Здесь же подробно показана процедура опредеаения разрывов решения и его производных в точках последовательности },/ = 1,2,...,л +1.

В § 5 рассмотрены некоторые особенности решения предыдущих задач для многокомпонентных сред. Показано, что многокомпонентность среды не влияет на общий алгоритм решения задач замедления нейтронов.

В § 6 кратко описаны практические приложения рассмотренного метода численного решения задачи замедления нейтронов в гетерогенных средах к различным задачам теории нейтронных полей, связанных с некоторыми моделями представления решения по пространственно - угловым переменным, которые даны в приложениях 1 - 3. В приложении 1 подробно рассмотрен метод решения уравнения замедления в Р, • приближении. В приложении 2 общий метод решения уравнения замедления распространен на модельные задачи, в которых односкоростное уравнение решается итерационными методами. Здесь в качестве примера выбран и детально рассмотрен метод расщепления. В приложении 3 рассмотрен вопрос о возможности включения общих положений предлагаемого метода решения уравнения замедления в структуру одного из перспективных численных методов решения задач математической физики - метода конечных элементов. Кратко рассмотрим особенности задач нейтронной физики, включенных в приложения.

В приложения 1 метод сферических гармоник применен для решения задач упругого замедления нейтронов в гетерогенных средах, где особое внимание обращено описанию численного алгоритма решения задачи замедления нейтронов в средах со сферической симметрией и с учетом потерь энергии нейтроном при упругом рассеянии в Р„ -приближении. Представляя индикатрису упругого рассеяния нейтронов в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра, пользуясь независимостью решения задачи от азимута и производя итерирование в интеграле упругих соударений по переменной у/ , получаем уравнение замедления в форме, к которой уже можно применить построенный численный алгоритм решения задачи замедления. Особенностью данного алгоритма является представление

РЛм(»))е-(9) где коэффициенты Апк, известны заранее для любого заданного ¡, которое позво-

ляет построить замкнутую систему дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием для определения источников по энергетической переменной для одно-скоростного уравнения переноса. В качестве конкретного приложения предложенного алгоритма рассмотрены задачи о нахождении спектра быстрых нейтронов в водороде и воде от точечного моноэнергетического источника с учетом потерь энергии при упругом рассеянии нейтронов на ядрах среды в Р„ - приближении. Первая задача - одна из простейших задач теории замедления нейтронов в конечных средах и играет важную роль при разработке новых приближенных подходов при решении более сложных задач нейтронной физики, а вторая - наиболее важная прикладная задача теории ядерных реакторов и защиты. В обоих случаях приведены расчетные формулы и отмечены характерные особенности решения поставленных задач. Далее рассмотрены Р„ - и Р\ - приближения для решения уравнения замедления в средах со сферической симметрией и в одномерной среде. Построение указанных алгоритмов основано на приведении односкоростного уравнения переноса в соответствующей геометрии к Р„ -прилижению и дифференцированию правых частей уравнений по энергетической переменной с учетом представления ( 9 ). Показано, что уравнение замедления в данном случае эквивалентно системе дифференциальных уравнений, по форме аналогичных общему случаю, а его решение возможно в замкнутом виде с использованием известных методов решения уравнения переноса в Рп - приближении для односкоростного случая и системы дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием по энергетической переменной, определяющих источники в односкоростных уравнениях. В качестве практического использования полученного алгоритма по теме диссертации была рассмотрена задача замедления нейтронов в ячейках цилиндрической, квадратной и шестиугольной формы конечной высоты в Р\ - и Ръ - приближениях, а также задача о расчете спектра быстрых нейтронов в области отдельного резонанса от точечного моноэнергетического источника ( см. список опубликованных работ [ 15, 30 ]). В последней задаче основное внимание уделяется обсуждению постановки начальных условий в соответствии с основной теоремой об эквивалентности интегральной и дифференциальной форм в области резонансных энергий, а также вопросу определения энергетической границы, начиная с которой осцилляции функции Плачека не влияют на спектр замедляющихся нейтронов, а для начального решения задачи возможно использование упрощенных формул диффузионно-возрастного приближения. Все формулы, необходимые для решения задач, приведены к виду, удобному для практического использования.

В приложении 2 рассмотрены методические вопросы применения метода расщепления, разработанного для решения односкоростного уравнения переноса, для решения задач теории упругого замедления нейтронов в гетерогенных средах. Показана возможность построения симметричного, положительно определенного оператора, зависящего только от энергетической переменной. Обсуждены особенности математической реализации метода расщепления в задачах теории замедления, а также построены численные алгоритмы на базе этого метода для решения практически важных задач физики ядерных реакторов и защиты. Здесь детально рассмотрены самосопряженная форма уравнения замедления для плоскопараллельной геометрии, условия построения симметризованной системы уравнений, эквивалентной уравнению замедления, а также вид уравнений для численного расчета спектра замедления в плоской геометрии с индикатрисой упругого рассеяния для случая изотропного рассеяния нейтронов на ядрах среды в лабораторной системе координат методом расщепления. Детально рассмотрена численная схема решения уравнения замедления методом расщепления, где особое внимание обращено на решения уравнений, в которые входят операторы, содержащие элементы индикатрисы упругого рассеяния. Для решения этих уравнений использован прием сведения интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям первого порядка с запаздыванием по энергетической переменной и с последующим численным решением их методом типа Адамса. В качестве практической проверки возможности использования метода расщепления для задач теории замедления рассмотрена задача решения уравнения замедления в ( Х,У ) - геометрии, а также обсуждены особенности решения уравнения замедления в ( Я,Ъ ) - геометрии методом расщепления в Ръ - приближении и вопросы практической реализации итерационного процесса для рассмотренных задач. К этому циклу работ примыкают не вошедшие в диссертацию ( см. список опубликованных работ [ 17, 18 ] ) исследования метода расщепления задачи определения спектра замедляющихся нейтронов в одной энергетической группе при многогрупповом расчете спектра нейтронов в гетерогенной среде, а также возможности учета 8 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды в этом методе. Показано, что предложенный алгоритм численного решения уравнения замедления методом расщепления с учетом 8-образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды не содержит каких-либо ограничений на энергетический ход сечений и не использует упрощающих предположений для описания физики упругого взаимодействия нейтронов с ядрами среды.

В приложении 3 метод конечных элементов ( МКЭ ) используется для решения задач теории замедления нейтронов в сложных гетерогенных средах. Применению МКЭ в задачах замедления предшествовал анализ решения реакторных задач в одно-скоростном приближении, частично включенный в диссертацию ( см. список опубликованных работ [ 20 ] ). На основе указанного анализа в обобщенной постановке исследованы основные особенности вариационно-сеточного алгоритма решения уравнения замедления, учитывающего б - образную зависимость индикатрисы упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды. Построены алгоритмы расчета спектра замедляющихся нейтронов в сложных гетерогенных средах, основанные на прямом применении конечно-элементною подхода к решению уравнения замедления и на методе предварительного сведения задачи к системе двух уравнений, для решения которых могут быть использованы как метод частичной дискретизации с применением численных схем высокой точности для решения дифференциальных уравнений первого порядка по энергетической переменной, так и стандартный конечно-элементный подход, приводящий к трехслойным схемам. Рассмотрена общая постановка задачи замедления нейтронов в методе конечных элементов, и приведены основные формулы метода, отмечены некоторые особенности их применения. Особое внимание уделено вопросам выбора базисных функций. Рассмотрены простейшие базисные функции, указаны методы нахождения коэффициентов метода Галеркина и вычисления интегралов, в которые входят элементы интеграла упругих соударений. Сделан вывод о том, что вычислить эти интегралы, используя только явный вид базисных функций по .мерияи-ческой переменной без указания вида базисных функций по пространственным и угловым переменным, не удается. Рассмотрены особенности приведения уравнения замедления при использовании метода конечных элементов к системе уравнений, эквивалентной уравнению замедления. Здесь, как и в предыдущих примерах, применен прием сведения уравнения замедления к системе уравнений, где одно из уравнений является уравнением переноса нейтронов в односкоростном случае с заданными источниками, а сами источники находятся из решения дифференциального уравнения по энергетической переменной с запаздыванием, которое аналогично основному уравнению замедления для бесконечной среды. Приведены в явном виде расчетные формулы, которые могут быть непосредственно использованы в численном расчете. В заключительной части приложения обсуждены особенности реализации метода конечных элементов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния нейтронов на ядрах срсды; получены уравнения, определяющие частичную дискретизацию задачи по

энергетической переменной, а также приведены трехслойные схемы для основны> функционалов на основе простейших базисных функций по энергетической переменной. Одной из особенностей данного исследования является рассмотрение задачи замедлени* в нормальной шкале энергии.

К данному разделу работы примыкает приложение 4, в котором представлены в явном виде коэффициенты, часто встречающиеся при рассмотрении уравнения замедления в Рп - приближении.

Глава 2 называется " Замедление нейтронов при упругом рассеянии в бесконечных гомогенных средах. Общие свойства решений". Эта глава и ряд следующих глав, будучи, в первую очередь, теоретическими исследованиями, являются в то же время основой для непосредственного выхода в область конкретных вычислительных алгоритмов как основной модельной задачи, так и доказательства возможности решения задачи упругого замедления нейтронов в гетерогенных средах.

Параграф 1, которым открываются исследования модельной задачи, посвящен вопросам математической постановки основной модельной задачи теории нейтронных полей - задачи теории замедления нейтронов в гомогенной бесконечной многокомпонентной неразмножающейся среде при упругом рассеянии нейтронов на ядрах среды в области резонансных энергий с постоянно действующими источниками, при этом само рассеяние нейтронов на ядрах среды изотропно в системе центра инерции. Основным объектом исследований в теории замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах при упругом рассеянии выступает проинтегрированный по пространственным переменным поток нейтронов ^(г, 8, Е), определяемый уравнением ( 1 ). В теории замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах обычно используется не сам поток замедляющихся нейтронов Ф(Е), а плотность столкновений нейтронов в среде

которая удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

= £ тМ4")^' -*■ ЕУЕ' + • (10)

I )

Решение уравнения замедления, как правило, ищется в классе непрерывных функций С1 или в классе кусочно-непрерывных функций РС1, определенных в области I) = [ 0,Ео ], 1 дс [ 0,Ео ] - конечный интервал энергетической оси, а Ео - энергия, с которой начинается процесс замедления нейтронов в среде. В параграфе детально рассмотрены все особенности функций, входящих в уравнение ( 10 ). Так, функция распределения упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды имеет вид

ИГ,(£'->£) = —-Ц-, а,Е' <Е < Е': (1 -а,)Е'

Иг (£' ->• £') = 0, если Я *[«,£',£'],£' > О,

(ч-А2 ■ ,

где , =

М, - массовое число ядра - го изотопа; п - число изотопов в среде. При этом функция

-» £) непрерывнапо £ е[а,£',£'],£'>0 и по £'е[£,£/а,],т.е. непрерывна в пределах ступеньки замедления и равна нулю вне ее.

Задачи теории замедления нейтронов обычно решаются в логарифмической шкале отсчета. Полагая

и = \п(Е0/Е), £ = £0ехр(-м), 0<и<°о, и используя тождество

ЙК (£' -> = ИГ (и' ^ и,,

получаем

1У!1(и,и') = —-—е"'"-"',если и' е[и-д,,и], >Гй(и,к') = 0,еслин' ¿[«-д и], 1-а,

где 9,=1п(1 /а,),

а уравнение замедления тогда принимает следующий вид:

, I

При этом А, (и) = (м) / 2, (и) и все нейтронные сечения являются непрерывными функциями на энергетическом интервале [ О,Т], а константа Т определяет минимальное значение энергии нейтрона, до которой преобладает упругое рассеяние нейтронов на ядрах среды. Если в среде есть ядра водорода, тогда в уравнении (11) появляется член, отвечающий за рассеяние нейтронов на ядрах водорода:

о

где А„(и) = 21„(ы)/2,(и),21„(м)- сечение упругого рассеяния на ядрах водорода. После этих предварительных сведений формулируется основнан задача упругого замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах:

Требуется найти функцию класса С1 или РС1, описывающую плотность упругих столкновений нейтронов в бесконечной гомогенной среде на ин-

44«) = £ \ ~LLe-{,^"')'V{u^)du• + «а). (11)

'=1 «-а,

тервале [ щ. Т], удовлетворяющую уравнению (11) и условию ^и)-У», ц)-пвх.{Ч,}<и<ц, /=1,...,/7,

где ЧР0 (и) - заданная функция класса С1 или РС1 ( /> 1), описывающая распределение плотности столкновений нейтронов в среде на интервале |и0-тах{д(},и0|, ¿ = 1

Так как решение уравнения замедления (11) ищется в классе функций С1 или РС1, т.е. решение непрерывно или имеет конечное число разрывов первою рода, а также имеет непрерывную первую производную, формальное дифференцирование уравнения (11) по переменной и дает следующее дифференциальное уравнение первого порядка для функции У(и):

Ч"(") -

-а, 1 -а,

/(и).

( 12)

где /И = 04")+ 20).

Это уравнение относится к типу дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (дифференциально - разностных уравнений с сосредоточенным запаздыванием ). Заменой

1

— ¡И,(и")<(и' Ы 1-е, о

<р(и) = Ч'(и) ехр уравнение (12) приводится к более простому виду:

<р'(и) = -£,С,(иМи~я,) + /(«),

(13)

где

С, (и) = —-—/г,.(и-д,)ехр

1-е

Л«) = [е'(") + Й(«)]ехр

V Г ^Ъи'

-и

1 -а,

+ (""У"'

,.1 1-Я, о

Наличие в среде смеси ядер не вносит каких-либо существенных особенностей при исследованиях поведения решений уравнений ( 11 ) и ( 12 ), а поэтому все утверждения, если это не оговорено специально, приводятся для однокомпонентной среды. В этом случае уравнения (11 ) и (12) соответственно имеют вид

Ч» = Г И(и')-Ч'(и')^«' f д(и)

J 1 -а

¥'(") + a(u)V(u)+Ъ{и)Ч>{и -q) = /(и),

(14)

где

Заменой

ietai; «(„) = i-M;

a 1-а

b = ~-—h(u-q).

J_nt

<p(u) = ЧР(и)ехр

1 "

и--—- ih(u')du'

l-a '

однородное уравнение (14) при и>щ> д приводят, как правило, к более простому

виду: где

<р'(и) = -с(и)ф-д) ,

(15)

1

с(и) =-h(u - а)ехр

l-a

)h(u'W l-a J

При h(u) = const однородное уравнение (14) имеет вид

(16)

где

, h , a _ h

а„ = 1---; 6,=--h; с = --е1-

1-а 1-а 1-а

Далее в параграфе показано, что уравнение замедления (13 ) можно представить в операторной форме:

0>'ОО = Цр(и-«»] + /(«) . (17)

где Ц<р(и- и',и)] - функционал, определенный на функциях <р(и') еС' (РС') в интервале [ 0,да ) и зависящий от и , как от параметра. По теореме Рисса всякий линейный непрерывный функционал в этих пространствах может быть представлен в виде интег-

рала Стилтьеса:

где число а > 0 и функция с конечным изменением Я(и,и') (0 < и' < а) определены функционалом ¿.Таким образом, уравнение (17) с любым линейным непрерывным в указанном смысле функционалом приобретает вид

о

Ч"(и)= j4f(M-w')dR(«,K') + /(и)

(18)

с ядром

где

R(u, и') = а(и)е(и') +1>, (и)е(и'-$,),

е(и) =

1, 0 < и < оо;

О, и < 0.

Для уравнения (15) с постоянными значениями сечений ядро имеет вид

Щи,и') = се(и' - (?)

и не зависит от переменной и. В качестве функции источника здесь выступает функция вида

л«)=е'(*)+ес«о-

При указанном определении функций Я(»,"') и /( м) уравнения (18 ) и (12) эквивалентны. Уравнения (11), (12) и (18) представляют три формы записи уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах и являются предметом изучения в следующих главах.

В § 2 достаточно подробно рассмотрен известный метод шагов для простейших задач замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде при постоянных сечениях ' рассеяния и захвата. Найдены для первых нескольких интервалов решения практически

' важных задач теории замедления, проведено сравнение процедуры получения методом

| шагов решений интегральной и дифференциальной форм записи уравнения замедления,

отмечено несовпадение результатов в случаях, когда решаются задачи с произвольными | начальными функциями.

, В § 3 рассмотрены решения в классе кусочно-непрерывных функций, указан

( алгоритм нахождения разрывов самих решений и их производных соответствующих

порядков в ходе решения задачи замедления нейтронов от моноэнергетического источника при постоянных значениях сечений.

!

В § 4 рассмотрены теоремы существования и единственности решения уравнения

I

' замедления ( 11) и даны некоторые оценки роста решений. В начале параграфа кратко

рассмотрены теоремы Фредгольма для уравнения замедления ( 11 ) и показано, что все

|

теоремы Фредгольма справедливы для уравнения замедления, которое относится к уравнениям типа Вольтерра. На основании комбинации метода последовательных прибли-

' жений и шагов доказан ряд теорем существования и единственности решения уравнения

{

замедления во всех трех формах записи ( 11 ), ( 12 ) и ( 18 ), откуда следует справедливость известного из теории дифференциально-разностных уравнений первого I порядка соотношения

' определяющего существование решений вида ехр(,-и/д) и отрицательного действи-

I

тельного корня характеристического полинома уравнения замедления в интегральной ^ форме. Изучено свойство монотонности и доказано существование ограниченной ва-

1 I

риации решения, а также получено условие, обеспечивающее данный результат. В конце параграфа приведены некоторые оценки роста решений неоднородного уравнения замедления с различными значениями начальной функции.

Параграф 5 посвящен детальному анализу математической постановки задачи замедления нейтронов в бесконечных средах, где подробно рассмотрены некоторые аспекты постановки задачи замедления нейтронов в бесконечных средах как для однородного, так и для неоднородного уравнения замедления. Приведена корректная формулировка постановки начальной задачи для уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах с источниками различного вида, в том числе с моноэнергетическим источником единичной мощности.

Глава 3 называется " Операционные методы. Представление решений в виде рядов". Здесь рассмотрены метод представления решений уравнения замедления в виде суммы простых решений - показательных функций, а также вопросы эквивалентности интегральной и дифференциальной ( 12 ) форм записи скалярного уравнения замедления для бесконечных гомогенных сред на основе анализа характеристических квазиполиномов этих уравнений.

В § 1 введены основные понятия и доказаны теоремы, известные в теории дифференциально-разностных уравнений, о представлении решения уравнения замедления в виде контурного интеграла и определенного интеграла, эквивалентного контурному, а также сформулирована и доказана теорема о представлении неоднородного уравнения (11) через решение задачи замедления со специальным значением начальной функции. В заключении параграфа сформулированы общие вопросы в проблеме расположения корней характеристического квазиполинома уравнения ( 11 ) и соответственно квазиполинома уравнения (16):

^ ' 1+к 1+к

где «^(^соответствует уравнению (11), а <Цк) уравнению (16). Характерный вид функций Ф,(£) и <Цк) представлен на рис. 1 для однокомпонентной среды.

Найдены условия существования действительных корней квазиполинома уравнения замедления. Показано, что неравенство

определяет наличие действительных корней характеристического квазиполинома как для уравнения (11), так и для (16). Как результат этого исследования сформулирована и доказана соответствующая лемма , показывающая схожесть и различие действи-

тельных корней квазиполиномов уравнения замедления, записанного в интегральной и дифференциальной формах. В последней части параграфа приведены результаты исследования вопроса о разложении решений уравнения замедления в виде рядов Фурье ( 1/ ехр( к,и ), где к, - корень характеристического квазиполинома, р < а, - I, а, -кратность корня к,). Сформулированы применительно к уравнению замедления известная в теории дифференциально-разностных уравнений теорема о представлении

Рис.1. График функций Ф^ к) и Ф( к) при условии 1-а) < 1. решения в виде ряда по указанным функциям и теорема смещения, на основе которой получены явные решения модельной задачи для скалярного уравнения (16) при единичной начальной функции.

В § 2 рассмотрено преобразование Лапласа уравнения замедления в однородных бесконечных средах без поглощения или к01да отношение сечения рассеяния к полному сечению взаимодействия нейтрона со средой является величиной постоянной во всем интервале изменения энергии. Характерными для уравнения замедления при данном предположении являются существование полной системы экспоненциальных решений и связанная с ней возможность применения операционного метода решения. Сформулирована и доказана основная теорема о применении метода Лапласа к уравнению замедления, рассмотрены особенности применения теоремы о свертке и отмечены некоторые особенности асимптотического поведения решения уравнения замедления ( 11 ), а также приведен ряд утверждений, определяющих вид решения уравнения замедления при и -> со, в том числе на основе асимптотической оценки интегралов Лапласа в формулировке, принадлежащей Харди и Литлвуду. В качестве практического применения полученных результатов рассмотрены особенности асимптотического поведения решения уравнения замедления от изотропного моноэнергетического источника и показано применение теоремы смещения для этого случая. Получены, как

следствие общей теории, известные решения задачи замедления для единичного источника.

Глава 4 называется " Устойчивость. Сопряженное уравнение замедления. Теоремы сравнения. Вопросы эквивалентности решений уравнения замедления в интегральной и дифференциальной формах".

В § 1 введены основные определения устойчивости применительно к уравнению замедления и рассмотрены условия асимптотической устойчивости решения уравнения замедления на основе модифицированного амплитудно-фазового метода, а также метода О - разбиений. Основные исследования устойчивости проведены для дифференциальной формы уравнения замедления ( 16 ). Показано, что решение уравнения замедления на поле коэффициентов ао и Ь\ всегда устойчиво, при этом критическое значение параметра запаздывания £/ = qt,, известного из теории дифференциально-разностных уравнений,

начиная с которого теряется устойчивость решения дифференциальною уравнения с запаздывающим аргументом, справедливо и для уравнения замедления. На основании выводов общей теории определены зоны устойчивости уравнения замедления в зависимости от значений параметров h и а, найдены возможные условия неустойчивости в зависимости от параметра q. В качестве методического приема данные вопросы рассмотрены для интегродифференциальной формы, что позволяет без каких-либо ограничений перенести полученные результаты на решения уравнения замедления для многокомпонентной среды.

В § 2 рассмотрен вопрос о построении сопряженного уравнения замедления в общей постановке для различных форм записи уравнения замедления. Показано, что при энергетической зависимости сечений в качестве сопряженного уравнения замедления во всех формах записи выступает дифференциальное уравнение с опережающим аргументом вида

arooos(-аь/fr)

-£'(",«')+ S(u,W)-£

уЩи+Я,) к 1 -а,

S(u+q,u') = 0 (19)

с начальными условиями

-S'(u, и') + 1 - У 5(и,и') = 0, и<и"-и'<и + q,

^ 1 _ /V

Интегральная форма сопряженного уравнения

«* и

1-Я,

1-1 и '

справедлива лишь при условии, когда h^u) = h,(u+g,) ,т. е. при ht(u) = const. В заключении параграфа приведены известные теоремы об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений применительно к уравнению замедления, которые доказываются с учетом решения сопряженного уравнения (19).

В § 3 сформулирова основная теорема об эквивалентности решений уравнения замедления в интегральной (11) и дифференциальной (12) форме, в которой установлено, что решения уравнения замедления, записанного в различных формах, эквивалентны только тогда, когда начальная функция уравнения замедления для дифференциальной формы является действительным решением интегрального уравнения замедления.

В § 4 приведены теоремы сравнения решений однородного и неоднородного уравнения замедления, широко известные для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и адаптированные к уравнению замедления. На основе этих теорем, в частности, показана основная особенность решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, отличающих этот класс уравнений от класса интегральных уравнений замедления. В частности, приведена теорема о существовании критического числа для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом до такого, что при всех д > до решение этого уравнения имеет нули на интервале [ 0, °о ) , в то время как решение уравнения замедления не имеет нулей на всем энергетическом интервале при любом значении q. В заключении главы для исследования свойств однородного уравнения замедления применены известные теоремы о дифференциальных неравенствах с запаздывающим аргументом, которые позволили уточнить оценки решения уравнения замедления, записанного в диффренциальной форме, известные из общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, а также показать, что с учетом основной теоремы об эквивалентности интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления свойство расщепления (дихотомия) решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при его стремлении к бесконечности отсутствует для решений уравнения замедления.

Глава 5 называется "Программное обеспечение и численные исследования нейтронных полей в бесконечных средах в резонансной области энергий". В этой главе описан конструктивный (явный) алгоритм рассмотренного метода, чвдл^нрго реше-

библиотека J

с. Петербург J рЭ ТОО «кт__J.

ния уравнения замедления для задачи упругого замедления нейтронов в резонансной области в многокомпонентной, бесконечной среде с учетом всех особенностей начальных условий и функции источника, в том числе моноэнергетического источника единичной мощности, представляемого в виде 5 - функции от энергетической переменной. Кроме того, приведены результаты численных исследований модельной задачи как в области отдельного резонанса, так и на значительном энергетическом интервале, содержащем несколько десятков рассеивающих и поглощающих резонансов. В данной главе подведен итог теоретических и численных исследований модельной задачи теории замедления, который подтверждает основные положения общего метода численного решения задач теории замедления, рассмотренного в первой главе диссертации. . В § 1 уточнена общая постановка вычислительной задачи и построен "обобщенный" конечно-разностный оператор решения поставленной задачи, учитывающий разрывы решения уравнения замедления в процессе решения задач с 5 - образным источником. Приведены теоремы, определяющие сходимость и погрешность метода Адамса, применяемого для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и используемого здесь в качестве примера решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Показано, что предложенный численный алгоритм решения задачи замедления нейтронов для бесконечной среды с учетом основной теоремы об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления наиболее эффективен в случае сложной энергетической зависимости коэффициентов и функции источника (многокомпонентная среда, область резонансных энергий, разрывной характер функции источника и начальной функции ит. д.).

В § 2 даны краткое описание созданных автором программ СПЕКТР и ПЕРСЕЙ для исследования спектров плотности столкновений в резонансной области энергий, а также оценки вычислительной погрешности рассматриваемых программ на ЭВМ. Показано, что значение оптимального шага хорошо согласуется с оценками по теореме Дальквиста, а относительная погрешность на расчетном интервале при оптимальном шаге растет достаточно медленно, что говорит о высокой степени точности расчетов при использовании формул Адамса - Башфорта высокого порядка.

В заключительном § 3 главы приведены результаты численных исследований спектров плотности столкновений в однородных средах в области резонансных энергий. Анализ особенностей нейтронных спектров начинается с изучения спектров модельной задачи замедления нейтронов в непоглощающих двухкомпонентных средах как вблизи энергии моноэнергетического источника, так и на асимптотике, при этом энергети-

ческая зависимость сечения рассеяния тяжелой компоненты среды, в качестве примера, имеет синусоидальный характер. Полученные результаты ( рис. 2 ) показали качественно новую зависимость плотности столкновений в среде, коррелированную с периодическим характером энергетического хода сечения рассеяния тяжелой компоненты, в то время как приближенные решения дают постоянное значение на асимптотике.

Характерное поведение плотности столкновений на отдельном уровне исследовалось на примере рассеяния нейтронов в двухкомпонентной среде, содержащей ядра урана-238 и натрия-23 и нерезонансные замедлители от водорода до свинца. Кроме этого, для гомогенных смесей урана-238 с этими же нерезонансными замедлителями рассмотрены спектры плотности столкновений во всей области хорошо разрешенных резонансных уровней урана, простирающейся от верхней границы тепловой группы до энергии, приблизительно равной 400 эВ.

Т(и)

Рис. 2. Функция У (и) для смеси ядер тяжелой ('Фе) и легкой ('Н) компонент; пунктиром показан энергетический ход сечения тяжелой компоненты (ат= 0,1; 1 ; 10 барн) В расчетах в соответствии с теоремой об эквивалентности решений уравненю замедления, записанного в интегральной и дифференциальной формах, лредполага лось, что выше резонансной области или рассматриваемых уровней спектр плотносп столкновений имеет фермиевский вид, а резонансное поглощение на вышележащи; уровнях урана несущественно. Подробно спектры рассмотрены на примере двух уров ней урана-238 в интервале 170 - 230 эВ с энергиями 189,6 и 208,6 эВ и в области резоиан са натрия-23 с энергией 2,9 кэВ. Показана существенная зависимость спектра плотносп столкновений, коррелированного с энертмчееким ходом сечения рассеяния резонам сной компоненты, от интерференции резонансного и потенциального рассеяния, кон

центрации (стт) и массы нерезонансного замедлителя (рис. 3 - 5 ) и температуры среды. Выявлено, что энергетическая зависимость плотности столкновений в средах, где нерезонансная компонента имеет массовое число больше, чем резонансная ( натрий -23 ), значительно отличается от сред противоположной композиции ( рис. 6 ). Однако наиболее существенное влияние на энергетическую зависимость плотности столкновений оказывают два фактора: резонансное поглощение и неасимптотические флуктуации, обусловленные рассеянием резонансных нейтронов на ядрах замедлителя.

1,5

0,5

ат = 103

= ЮО —Л | %

1 1

Рис. 3. Нормированный спектр плотности столкновений в гомогенной среде »и: О ( <тт = 1 ;10; 100; 1000 барн, Т = 300 К)

Рис. 4. Нормированный спектр плотности столкновений в эквивалентных средах, содержащих И8и и Н, О, Бе, РЬ ( ат = 10барн,Т = 300К)

Резонансное поглощение приводит к резкому выеданию спектра плотности столкновений, и при определенных концентрациях и достаточно больших атомных массах замедлителя возможно полное отсутствие нейтронов в системах при низких энергиях рассматриваемого интервала, в то время как неасимптотические флуктуации приводят к значительным отклонениям значений спектра в области резонансных энергий (рис. 6). Далее кратко рассмотрено влияние точных значений спектров в гомогенных средах на значения резонансных интегралов 238и ( см. табл. 1, 2 ) и проведено сравнение их со значениями, полученными известными приближенными методами "узкого резонанса" (N11), "бесконечной массы поглотителя" (NRIM) и приближения "промежуточного

' Рис. 5. Спектр плотности столкновений в среде иМа с Н и Ре

\ при различных сечениях замедлителя

1

I

| Рис. 6. Нормированный спектр плотности столкновений в среде 238и: Н

! (о-т = 18,6барн,Т=ЗООК)

[ резонанса" (III). Основной анализ проведен в терминах X и ц № - приближения (см. табл. 3). Показано существенное отличие (до 30 %) в значениях параметров, при этом

температурная зависимость последних на интервале 300 - 2100 К невелика и не превышает 2 - 3 %. В заключении параграфа приведены оценки влияния точного спектра в гомогенной среле урана-238 при различных значениях сечения рассеяния нерезонанс-

Таблица 1. Значения эффективных интегралов для 23811 в интервале 170-220 эВ

( верхнее значение для уровня 189,6 эВ; нижнее - для уровня 208,6 эВ )

Ore барн Т® К U:H без ин- и.Н с интер- U :0 U: Fe U :РЬ

терференции ференцией

1 300 0,06664 0,1250 0,1165 0,0983 0,0868

0,0542 0,0810 0,0815 0,0746 0,0679

900 0,0663 0,1236 0,1149 0,0968 0,0854

0,0585 0,0779 0,0782 0,0714 0,0646

2100 0,0680 0,1198 0,1113 0,0936 0,0822

0,0654 0,0799 0,0801 0,0729 0,0655

10 300 0,1270 0,1896 0,1797 0,1496 0,0989

0,0930 0,1230 0,1208 0,1109 0,0854

900 0,1310 0,1915 0,1810 0,1503 0,0983

0,1068 0,1340 0,1312 0,1199 0,0901

2100 0,1399 0,1963 0,1852 0,1526 0,0976

0,1295 0,1558 0,1521 0,1377 0,0999

Таблица 2. Резонансные интегралы захвата для уровней а8и с энергиями 189,6 и 208,6 эВ (ст„= 7,6 барн)

Т>К Среда Ео = 189,6 эВ Ео = =208,6 эВ

Метод расчета Тонн. IR NRIM NR Точн. IR NRXM NR

300 U: Н 0,1797 0,1561 0,1712 0,2835 0,1153 0,1100 0,1132 0,1019

ио2 0,1689 0,1127

900 U: Н 0,1803 0,1584 0,1808 0,2312 0,1229 0,1175 0,1181 0,1041

Шг 0,1693 0,1199

2100 U:H 0,1827 0,1653 0,1998 0,1840 0,1400 0,1347 0,1421 0,1158

ись 0,1713 0,1363

Таблица 3. Значения параметров X и ц для урана-238 с энергиями 189,6 и 208,6 эВ

Уровень с Е = 189,6 эВ Уровень с Е - 208,6 эВ

dm, А X И X И

барн 1 точн. 0,049 (0,345) 1R 0,178 точн. 1 IR 1 точн. 0,148 (0,797) 1R 0,480 точн. 1 IR 1

10 16 0,167 0,922 0,876 0,477 0,944 0,952

56 0,163 0,408 0,626 0,470 0,745 0,841

208 1 0,382 (0,571) 0,103 0,430 1 0,124 1 0,708 (0,885) 0,442 0,730 1 0,490 1

100 16 0,422 0,938 0,945 0,729 0,978 0,979

56 0,418 0,771 0,816 0,726 0,903 0,928

208 0,379 0,377 0,424 0,715 0,691 0,746

ных замедлителей и их массовых чисел на групповые константы 23811во всей области разрешенных резонансов (см. табл.4). Обнаруженные расхождения между "точными"

и приближенными значениями, например, групповых констант' оказываются довольно значительными ( до 30 % ), особенно гам, где содержатся широкие рассеивающие резонансы урана-238 ( например, группы 215 -100; 21,5 -10 эВ), при

Таблица 4. Групповые константы 238U в смеси U : Ог и эквивалентной смеси U : Н ( Л = 0,77; <т„ =7,6 барн )

т» к Ами с« St группа 215- S, 100 эВ 8, ег+ст„ S.

300 1,081 11,638 17,365

I 1,354 0,201 13,017 0,106 18,115 0,0414

16 1,304 0,171 12,994 0,104 17,978 0,0341

900 1,189 11,939 17497

1 1,471 0,192 13,367 0,107 18,182 0,0377

16 1,416 0,161 13,341 0,105 18,041 0,0302

2100 1,347 12,413 17,752

I 1,644 0,181 13,901 0,107 18,334 • 0,0317

16 1,586 0,150 группа 21,5 13,885 10 эВ 0,106 18,176 0,0234

300 1,833 7,176 15,638

1 1,558 -0,176 7,445 0,0361 15,662 0,03154

16 2,965 0,382 7,475 0,040 15,737 0,03629

900 1,867 7,208 15,615

1 1,584 -0,178 7,448 0,0323 15,639 0,0457

16 3,105 0,399 7,474 0,0356 15,687 0,02454

2100 1,919 7,276 15,591

1 1,612 -0,191 7,466 0,0255 15,619 0,0484

16 3,324 0,422 7,474 0,0265 15,629 0,0*241

эгом сростом температуры, как правило, расхождение значений уменьшается. Полученные результаты могут быть непосредственно использованы в практических приложениях либо для проверки точности известных схем учета "промежуточности" резонансов ( Ж - приближение) в уже построенных системах групповых констант и оценок различных дифференциальных эффектов в среде.

Сформулируем теперь в краткой форме основные выводы диссертации и новые результаты:

1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении.

2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 6 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных._

1 Абагян Л. П. и др. Групповые константы для расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1964.

3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Р1 -, Рз - и Р„ - приближениях.

4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощной и, как одной из основных задач теории нейтронных полей.

5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, (Я , Ъ) - и (X, У) - геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме.

6. Сформулирован и всесторонне рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов.

7. Проведен углубленный математический анализ уравнения Больцмана, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах (разрешимость уравнения замедления, существование и единственность его решения, асимптотические равенства, устойчивость, оценки роста решения, методы шагов, Лапласа и Фурье, теория сопряженного уравнения в общей постановке и т. д.) на основе общей теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка.

8. Найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной (естественной) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

9. Кратко описаны созданные автором программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, реализующие метод численного решения уравнения замедления для модельной задачи.

10. Приведены результаты численных исследований и рассмотрены основные особенности формирования нейтронных полей в многокомпонентных бесконечных средах в области резонансных энергий, а также показано влияние полученных спектров на дифференциальные характеристики среды.

Таким образом, в настоящей работе получила развитие и практическую реализацию имеющая важное значение в прикладной нейтронной физике проблема построения высокоэффективных алгоритмов численного расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах с учетом всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды. Полученные алгоритмы численного расчета нейтронных полей содержат простые схемы, удобные для реализации на современных ЭВМ, и

обеспечивают высокую устойчивость и достаточную точность счета. Проведенные математические и численные исследования решений уравнения замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах (модельная задача) позволили выявить не только основные математические особенности поведения решений задач теории упругого замедления нейтронов, но и получить качественные картины поведения спектров замедляющихся нейтронов в области резонансных энерхий, а также оценить эффективность и точность предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной.

Публикации по теме диссертации

1. Платонов А. П. Применение метода Адамса к задаче замедления нейтронов в

гомогенной бесконечной среде//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972. Т. 12. С. 1325- 1331.

2. Платонов А. П. ПЕРСЕЙ - программа расчета спектра плотности столкновений

нейтронов в многокомпонентных однородных средах // Ядерные константы. М.: Атомиздат, 1973. Вып. 12. С. 128 - 148.

3. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Влияние микроструктуры спектра плотности

столкновений на групповые константы 238и в резонансной области // Ядерные константы. М.: Атомиздат, 1973. Вып. 12. С. 98.

4. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Неасимптотический спектр нейтронов в

двухкомпонентной среде с энергетической зависимостью сечений //Атомная энергия, 1972. Т. 33. С. 985 - 986.

5. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Спектр нейтронов в гомогенной среде и: Н //

Ядерные константы. М.: Атомиздат, 1972. Вып. 10. С. 236 - 245.

6. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Плотность столкновений в промежуточных

резонансах // Атомная энергия, 1973. Т. 35. С. 56 - 57.

7. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Особенности резонансного поглощения для

промежуточных уровней // Атомная энергия, 1973. Т. 35. С. 264.

8. Платонов А. П. Спектры замедления нейтронов в средах,содержащих ядра 2ТЫа и

хРе // Ядерные константы. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 15. С. 104 - 117.

9. Платонов А. П. Спектры резонансных нейтронов в средах, содержащих 23№ / /

Атомная энергия, 1975. Т. 38. С. 101 -103.

10. Платонов А. П., Лукьянов А. А. Спектры резонансных нейтронов в гомогенных

средах //Атомная энергия, 1975 Т 39 С ?13

11. Платонов А. П. О дифференцируемое™ интеграла упругих соударений по энергии//

Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 3 -11.

12. Платонов А. П. Численный метод решения уравнения замедления нейтронов от

моноэнергетического изотропного точечного источника в однородной среде // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 11 - 23.

13. Платонов А. П. О решении уравнения замедления нейтронов в плоской геометрии

с учетом 8 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 24 - 29.

14. Платонов А. П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в конечных

средах со сферической симметрией в Р„ - приближении II Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 29 - 37.

15. Платонов А. П. Решение уравнения замедления нейтронов с моноэнергетическим

протяженным источником для цилиндрической, квадратной и шестиугольной ячеек конечной высоты в Р|- и Рз - приближениях II Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 38 - 62.

16. Платонов А. П. Решение уравнения замедления в конечных средах с учетом

потерь энергии нейтронами при упругом рассеянии в Рп -приближении // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 62 - 71.

17. Платонов А. П, Особенности решения уравнения замедления нейтронов методом

расщепления с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния II Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 71 - 76.

18. Платонов А. П. О расчете спектра замедляющихся нейтронов в одной

энергетической группе при решении уравнения переноса методом расщепления // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 76 - 83.

19. Платонов А. П. Некоторые вопросы математической реализации решения

уравнения замедления нейтронов в ячейках сложной формы методом конечных элементов // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 83 -99.

20. Платонов А. П. Метод конечных элементов в задачах односкоростной теории

переноса нейтронов в гетерогенных средах// Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997. Вып. 2. С. 100 - 138.

21. Платонов А. П. Сопряженное уравнение замедления нейтронов в гомогенных

бесконечных средах и устойчивость II Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1998. Вып. 2. С. 40 - 48.

22. Платонов А. П. Решение уравнения замедления нейтронов в самосопряженной

форме методом расщепления // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1998. Вып. 2. С. 49 - 59.

23. Платонов А. П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в

(Я, Т) - геометрии методом расщепления в Рз - приближении // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1998. Вып. 2. С. 60 - 72.

24. Платонов А. П. Об одном подходе к расчету спектров быстрых нейтронов в

водороде и воде от точечного моноэнергетического источника с учетом ' потерь энергии при упругом рассеянии в Р„ - приближении // Сборник трудов.

Димитровград: НИИАР, 1998. Вып. 2. С. 73 -84.

25. Платонов А. П. Численный метод расчета спектров замедляющихся нейтронов в

конечных средах с учетом 8- образной зависимости индикатрисы упругого ' рассеяния // Атомная энергия, 1998. Т. 84. С. 102 -107.

' 26. Платонов А. П. Решение уравнения замедления нейтронов в (X, У) - геометрии ^ методом расщепления // Атомная энергия, 1998. Т. 84. С. 216 - 219.

' 27. Платонов А. П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной [ форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах // Сборник

| трудов. Димитровград: НИИАР, 1999. Вып. 3. С. 3 -15.

! 28. Платонов А. П. О дифференцируем ости по энергии интеграла упругих соуда-^ рений в задачах замедления нейтронов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

| 1999. Т. 39, №4. С. 663-669.

! 29. Платонов А. П. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления | нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного

| источника // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000. Т. 40, №1. С. 144-152.

> 30. Платонов А. П. Об одном подходе к расчету спектра быстрых нейтронов в | области отдельного резонанса от точечного моноэнергетического источника //

| Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 2000. Вып. 3. С. 101 -111.

31. Платонов А. П. Об одной оценке асимптотического решения уравнения замедления

нейтронов в бесконечной гомогенной среде // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 2001. Вып. 1. С. 72 -77.

32. Платонов А. П. О представлении решения уравнения замедления нейтронов в

гомогенной бесконечной среде с постоянными коэффициентами в виде определенного интеграла // Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 2001. К Вып. ¡.С.78-83.

33. Платонов А. П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. 2001. Т. 41. №3. С. 459 - 466.

Подписано к печати 28. 06. 03. Печ. л. 2,0.

Тираж 130 экз. Заказ тип. 778.

Отпечатано в Федеральном унитарном предприятии " Государственный научный центр Российской Федерации -Научно - исследовательский институт атомных реакторов" 433510, г. Димитровград - 10, ФГУП " ГНЦ РФ НИИ АР"

»11796

1oo3-l\

ÏÏ7^T

Введение

Глава 1. Эффективный метод расчета нейтронных полей в области упругого замедления нейтронов. Дифференциальные свойства интеграла упругих столкновений.

§ 1.1.0 дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов

§ 1.2. Эффективный метод численного решения задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. Общие вопросы.

§ 1.3. Замедление нейтронов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния в средах с плоской геометрией.

§ 1.4. Замедление нейтронов в одномерных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника.

§ 1.5. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в многокомпонентных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника.

§ 1.6. Модели и алгоритмы расчета нейтронных полей в гетерогенных средах практические задачи ).

Глава 2. Замедление нейтронов при упругом рассеянии в бесконечных гомогенных средах. Общие свойства решений.

§ 2.1. Основная задача теории замедления нейтронов. Формы уравнения замедления.

§ 2.2. Простейшие задачи теории замедления. Метод шагов.

§ 2.3. Решение уравнения замедления в классе кусочно-непрерывных функций.

§ 2.4. Теоремы существования и единственности. Оценки роста решений.

§ 2.5. Математическая постановка задачи замедления нейтронов в бесконечных средах

Глава 3. Операционные методы. Представление решений в виде рядов.

§ 3.1. Экспоненциальные решения. Применение операционных методов.

Корни характеристического полинома.

§ 3.2. Метод Лапласа. Асимптотическое поведение решений.

Глава 4. Устойчивость. Сопряженное уравнение замедления. Теоремы Ф сравнения. Вопросы эквивалентности решений уравнения замедления в интегральной и дифференциальной формах.

§ 4.1. Основные положения.

§ 4.2. Сопряженное уравнение замедления и устойчивость.

§ 4.3. Теорема об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления.

§ 4.4. Теоремы сравнения.

Глава 5. Программное обеспечение и численные исследования нейтронных полей в бесконечных средах в резонансной области энергий.

§ 5.1."Обобщенный" метод Адамса.

§ 5.2. Программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ. Оценки вычислительной погрешности.

§ 5.3. Численные исследования полей резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

Разработка эффективных численных методов решения задач теории нейтронных полей, исследование этих методов, создание на их основе вычислительных алгоритмов и программ продолжают оставаться одной из актуальных сфер деятельности математиков в связи с бурным развитием вычислительной техники.

Успехи в области вычислительной математики и математической физики, достигнутые в последние десятилетия, позволили значительно расширить и углубить теоретические представления о прохождении излучения через вещество, необходимые для решения практических задач теории ядерных реакторов и защиты, атмосферной оптики, ядерной геофизики, метрологии ионизирующих излучений, биофизики. Если на более раннем этапе развития атомной энергетики уточнение ядерных данных и разработка алгоритмов и программ обработки определяли возможность или целесообразность сооружения ядерных реакторов того или иного типа, то в настоящее время это необходимо в первую очередь для технико-экономической оптимизации объектов аюмной энергетики, качественного решения вопросов ядерной и радиационной безопасности, экологических оценок.

Разработка новых типов, внедрение безопасных ядерных реакторов, анализ аварийных состояний реакторов традиционных конструкций, использование реакторов для наработки ценных радионуклидов и, напротив, для уничтожения долгоживущих радиоактивных отходов методом трансмутации, снятие ядерных установок с эксплуатации, вопросы утилизации запасов плутония оружейного происхождения - эти и другие обострившиеся в последнее время проблемы ядерной физики и атомной энергетики значительно расширяют сферу применения высокоточных численных методов ядерно-физических расчетов и данных, полученных на их основе, и требуют постоянного их совершенствования.

В настоящее время математическая теория ядерных реакторов и, в том числе теория нейтронных полей, представляет наиболее развитую часть математической физики. Практические потребности ядерного реакторостроения явились сильным импульсом развития теории реакторов и соответствующего вычислительного аппарата для их расчета. Сейчас теория реакторов, как комплекс предложений и выводов из них, описывающих физику реакторов, практически завершена. Монографии В.С.Владимирова [ 1 ], С.Б.Шихова [ 2 ], Т.А.Гермогеновой [ 3 ], А.Д.Галанина [ 4 ], Ю.И.Ершова [ 5 ], Б.Дэвисона [ 6 ], Ю.Вигнера и А.Вейнберга [ 7 ], С.Глестона и М.

Эдлунда [ 8 ], отражающие основные положения математической теории реакторов, широко известны. Что касается вычислительных методов решеня задач теории реакторов, представленных достаточно полно в монографиях Г.И.Марчука [ 9 ], Г.И.Марчука и В.И.Лебедева [ 10 ], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [ 11 ], то сами методы и их реализация на современных вычислительных комплексах позволяют заключить,что отличие основных расчетных параметров ядерных реакторов от фактических значений является скорее неточностью наших знаний о ядерных константах, а не погрешностями, присущими численным алгоритмам. Однако широкое использование современных вычисленных методов в последнее время позволило провести не только количественные, но и получить новые качественные результаты в одном из фундаментельных разделов ядерной физики

- в теории замедления нейтронов в различных средах, в том числе в проблеме замедления и поглощения резонансных нейтронов. Данные разделы ядерной физики базируются на решениях кинетического уравнения Больцмана, при этом задачи замедления нейтронов в гетерогенных средах отличаются сложностью пространственной структуры и энергетической зависимостью коэффициентов. Трудности прямого численного решения таких задач настолько велики, что до настоящего времени решение их в полной постановке, т.е. с учетом реальной геометрии, энергетической зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом и всех физических эффектов упругого рассеяния нейтронов ядрами среды, не представлялось возможным. При решении задач замедления нейтронов, как правило, использовались два приема разбиения полной задачи на более простые: первый - это многогрупповая аппроксимация по энергетической переменной, второй -сведение основного уравнения к задачам ( или последовательности задач ) меньшей размерности.

Первый прием выделяет как особую задачу построение системы усредненных по энергии сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества - групповых констант, а второй - позволяет воспользоваться упрощенными геометрическими моделями. Однако такая постанока задачи не учитывает всего многообразия явлений при описании процессов замедления и поглощения нейтронов и поэтому параллельно с развитием численных методов решения уравнения замедления разрабатывались способы аналитического учета всех особенностей процесса замедления и поглощения, в том числе и резонансных нейтронов. Однако аналитический подход к решению практических инженерных задач во многих случаях уступает место изучению физических и других процессов на основе математического моделирования с использованем более эффективных численных методов.

Начиная с 40-х годов прошлого века проблема замедления и резонансного поглощения нейтронов является одной из центральных проблем при обосновании возможности цепной реакции деления с использованием природного урана, при этом недостаточные сведения о детальной структуре сечений урана - 238 компенсировались прямыми экспериментальными исследованиями резонансного поглощения в урановых блоках в зависимости от их диаметра, формы, температуры среды и концентрации урана в блоке и их обобщением на основе приближенных теоретических представлений об энергетической структуре как сечений, так и спектра нейтронов в резонансной области [ 12,13 ] . Решение этой проблемы связано с работами Э. Ферми, Я.Б.Зельдовича и Б.Харитона, Е.Вигнера, И.И.Гуревича и И.Я.Померанчука. К концу 60-х годов было в основном закончено построение феноменологической теории резонансного замедления и поглощения в реакторах на тепловых нейтронах, физические основы которой и практические применения были изложены в монографии Л.Дреснера "Резонансное поглощение в ядерных реакторах"( М.: Госатомиздат, 1962).

С переходом к промышленному освоению атомных реакторов на быстрых нейтронах начался новый этап в изучении прохождения излучения через вещество. Именно в реакторах на быстрых нейтронах эффекты, связанные с замедлением и поглощением нейтронов резонансных энергий, оказываются наиболее существенными [ 14,15 ]. Основные работы, выполненные в 60 - 70 годы российскими и зарубежными учеными по всем аспектам теории ядерных реакторов, в том числе по резонансному поглощению нейтронов в сложных гетерогенных системах, учету детальной структуры спектра замедляющихся нейтронов в "промежуточных" резонансах при оценке самоэкранирования, по исследованиям интерференционных особенностей нейтронных сечений и их влияния на самоэкранирование в области разрешенных и неразрешенных резонансов, систематизированы в монографии А.А.Лукьянова "Замедление и поглощение резонансных нейтронов"( М.: Атомиздат, 1974 ).

Однако разработанные до настоящего времени методы учета резонансных эффектов в теории нейтронных полей не позволяют в полной мере провести детальное исследование поведения потока нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях и оценить влияние спектра на резонансное поглощение нейтронов "промежуточными" уровнями, определить зависимость коэффициентов самоэкранирования от концентрации вещества в среде, его температуры, атомного веса замедлителя, граничных эффектов. Ответ на эти вопросы дает только детальное знание нейтронного поля в реальных средах, основанное на численном решении уравнения замедления с учетом детальной энергетической зависимости сечений в резонансной области [ 16,17 ].

В первых же попытках численного решения таких задач традиционными методами было отмечено появление погрешностей, искажающих качественную картину спектра : на участках ожидаемого монотонного изменения приближенное решение оказывалось колеблющимся и эти отклонения не всегда удавалось устранить модернизацией алгоритма или уменьшением расчетной сетки [ 18 ]. Подобные явления порождаются сложностью локальной структуры решений уравнения замедления даже для сравнительно простых ограниченных областей при достаточно гладких коэффициентах в нерезонансной области энергий.

Мощным импульсом к дальнейшему созданию расчетных комплексов и проведению аналитических исследований решения задач теории замедления нейтронов явился Всесоюзный семинар по резонансному поглощению нейтронов ( г. Москва, 21 -23 июня 1977 года), на котором не только были рассмотрены вопросы теории, методов расчета, результаты экспериментальных исследований, ядерные данные в области разрешенных и неразрешенных резонансов, но и были намечены пути дальнейшего развития методов решения задач теории замедления, включая задачу о прохождении излучения через вещество в полной постановке, т.е. с учетом всех физических эффектов, связанных с взаимодействием нейтронов с ядрами среды. Хотя основной упор при решении поставленных вопросов делается на использование численных методов,аналитические методы решения уравнения переноса применительно к задачам теории замедления нейтронов продолжают также развиваться. Однако до настоящего времени не найдено аналитического решения уравнения замедления в явном виде для бесконечной среды с тяжелым замедлителем и равномерно распределенными по пространству источниками при произвольных энергетических зависимостях нейтронных сечений рассеяния и захвата.

Развитию численных методов решения задач теории замедления способствуют достаточно высокий уровень экспериментальных результатов о резонансных параметрах основных реакторных матералов ( в частности, урана-238, плутония-239 и др. ), наличие специальных алгоритмов и программ, позволяющих с высокой точностью восстанавливать истинную энергетическую зависимость нейтронных сечений в резонансной области, а также мощный апппарат современной математической физики, адаптированный к задачам теории переноса нейтронов.

После одной из первых работ [ 17 ] по исследованию пространственно-энергетического распределения потока нейтронов для цилиндрических блоков урана в графитовой решетке при энергии резонансов урана-238 Е = 6,7 и 190 эв, численный алгоритм которой был основан на решении интегрального уравнения Пайерса, появились аналогичные исследования и разработки в нашей стране как в многогрупповом приближении, так и при детальном описании энергетической зависимости сечений [ 19 - 22 ] . Однко они, как правило, разрабатывались для интегральных по спектру величин в ограниченных энергетических интервалах решения по всем переменным и не позволяют решить задачу о замедлении нейтронов в полной постановке, в том числе и задачу о замедлении нейтронов в гетерогенных средах от точечного моноэнергетического источника единичной мощности, важную как в методическом, так и практическом плане не только в проблеме упругого замедления нейтронов, но и во всей теории нейтронных полей.

В настоящее время для исследования тонкой структуры спектра в гетерогенных системах, а также для сравнения эффективности, погрешности и областей применимости расчетных моделей описания сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества с успехом используются отечественные и зарубежные коды и вычислительные комплексы,в том числе: СПЕКР [ 23,24 ], АРАМАКО [ 25,26 ], АЛЕКСА [ 19,27 ], Р.О.З. [ 28,29 ] , MUFT [ 30 ], WIMS [ 31,32 ], ПРАКТИНЕЦ-ЗФ [ 33 -37 ] и другие. ( Обзоры современных вычислительных комплексов представлены в работах [ 38 - 44 ] ). При этом большое внимание уделяется аттестации программных средств, предназначенных для расчета ядерных реакторов и защиты, опирающихся на современные библиотеки ядерных данных. Среди новых и модернизированных комплексов следует назвать программы ANISN с библиотеками констант VITAMIN -С и БНАБ, 1ST, САПФИР - ВВР95, САПФИР - ВВРТ, BMVC - Т, PC, БИПР - 8, TBC -М, SADCO, РБМК CONUKS, программые комплексы КАСКАД и ЭНЕРГИЯ. Состояние этих программных комплексов и отдельных программ, а также мероприятия по верификации их достаточно полно обсуждались на семинарах в ГНЦ РФ ФЭИ " Нейтроника -97 " и " Нейтроника - 98" [45, 46 ].

Из-за сложности локальной структуры решений в конкретных задачах, где области состоят из нескольких ( часто - из большого числа ) зон с различными свойствами, перечисленные выше алгоритмы в большинстве своем не достаточно точно учитывают фундаментальные свойства решений уравнения переноса нейтронов. Успехи в исследовании качественных представлений о поведении решений, его областей непрерывности и дифференцируемости, поведении в окрестности границ области и поверхностей разрыва как самого решения, так и его производных, гладкости решения и интеграла столкновений, дифференцируемости требуют дальнейшего развития и обоснования надежных эффективных вычислительных алгоритмов. В соответствии с общепринятой в настоящее время многогрупповой аппроксимацией уравнения переноса по энергетической переменной основу численного алгоритма обычно составляет метод решения односкоростной задачи. Учет непрерывной энергетической зависимости сечений в уравнении замедления значительно усложняет алгоритм расчета и вносит дополнительные погрешности в результаты нейтронно - физических расчетов.

Наличие хорошо разработанных и внедренных в практику численных методов решения односкоростных задач, на первом этапе потребовали создания алгортитмов решения модельной энергетической задачи, решениие которой могло бы ответить на самые принципиальные вопросы формирования и влияния спектра плотности столкновений на функционалы, зависящие от него. Попытки разработать эффективный алгоритм для исследования энергетической зависимости потока ( плотности столкновений ) нейтронов в бесконечной гомогенной среде от точечного источника как первого приближения полной задачи о распространении нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях предпринимались рядом авторов [ 13, 47 - 50 ] . Алгоритм, наиболее полно учитывающий особенности распространения нейтронов в бесконечных многокомпонентных средах, был разработан автором и явился основой широкого изучения спектров резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах [ 16, 51 - 57 ]. На базе данного алгоритма был разработан полуаналитический метод решения задачи упругого замедления нейтронов в гомогенных средах, учитывающий точные связи физических свойств среды и не содержащий никаких приближений [ 58 ] . Полученные соотношения данного метода легко алгоритмизуются для проведения численных расчетов и использовались для подготовки групповых констант в комплексе программ Центра ядерных данных ГНЦ РФФЭИ [59,60].

На основании анализа уравнения замедления, свойств его решения и алгоритма численного решения уравнения замедления в бесконечной гомогенной среде автором предложен эффективный метод решения уравнения Больцмана для описания нейтронных полей в сложных гетерогенных средах в области упругих соударений нейтронов с ядрами среды, основанный на дифференцировании уравнения по энергетической переменной и сведением его к системе дифференциальных уравнений с западывающим аргументом. Повышение порядка исходного уравнения потребовало проведения достаточно полных теоретико - математических и численных исследований модельной задачи (замедление нейтронов в многокомпонентных гомогенных средах ), которые позволили бы ответить на основной вопрос о разрешимости указанного алгоритма и оценить возможную его погрешность по энергетической переменной. Постановка такой общей задачи без знания особенностей поведения решения простейшей модельной задачи упругого замедления нейтронов, становится не только затруднительной, а ее решения могут в конечном итоге приводить и к нефизическим результатам.

В основе математических задач как для гетерогенных, так и бесконечных гомогенных сред, решения которых рассматриваются в настоящей работе, лежат представления о близости математического описания процесса упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды с процессами, рассматриваемыми теорией автоматического регулирования, основными уравнениями в которой являются дифференциальные уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом. Естественно предположить,что некоторые общие математические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и решения уравнения упругого замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах, преобразованного к дифференциальной форме, совпадают либо близки, а для исследования уравнения замедления в интегральной форме можно воспользоваться техникой, развитой в теории уравнения восстановления [ 61 ]. Действительно, на энергетическую задачу для уравнения замедления нейтронов в бесконечной среде в области энергий, где основной вклад вносит упругое рассеяние, удается распространить такие характерные для уравнений с запаздывающим аргументом утверждения, как теоремы существования и единственности, сравнения, устойчивости, получить оценки на основе дифференциальных неравенств с запаздывающим аргументом, определить особенности затухания решений и их асимптотическое поведение.

В работе основы теории дифференциально-разностных уравнений в представлении Р.Беллмана и К.Кука [ 61 ], А.Д.Мышкиса [ 62 ], Э.Пинни [ 63 ], С.Б.Норкина [ 64 ], Л.Э.Эльсгольца [ 65 ], В.Хана [ 66 ], А.М.Зверкина [ 67,68 ], А.Халаная [ 69 ], Н.П.Красовского [ 70 ], а также ряда авторов, работы которых представлены в Трудах семинара по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при Университете дружбы народов им. П.Лумумбы, применены в комплексе к модельной задаче замедления нейтронов в бесконечных многокомпонентных гомогенных средах.

В этой связи данная работа, исходя из практики теории замедления и поглощения резонансных нейтронов, направлена на создание для реальных задач в полной постановке эффективных схем численного расчета высокого порядка точности. Необходимость исследований и реализации новых подходов к задачам такого класса диктуется еще и тем обстоятельством, что более полная постановка задачи методом Монте - Крало не дает ответов на все возникающие вопросы теории нейтронных полей. Очень трудно, или даже невозможно, вычислить малые дифференциальные эффекты статистическим методом. Потребность же знания этих эффектов на практике всегда имеется, например, в теории атомных реакторов для вычисления всякого рода коэффициентов реактивности [ 7 ,8 ]. Одной из особенностей данной работы является использование для схем расчетов пространственно-углового распределения замедляющихся нейтронов хорошо разработанных численных методов ( например, метода сферических гармоник ) и алгоритмов, применяемых для решения односкоростного уравнения переноса, при этом используются, в основном, только те методы, которые реализованы в программных комплексах, прошли всестороннюю апробацию в реакторных расчетах и вошли составной частью основных монографий по теории нейтронных полей и ядерных реакторов.

Отметим, что автор не ставил своей целью вписать предложенные схемы численного решения уравнения замедления во все многообразие численных методов, схем и алгоритмов, используемых в настоящее время для решения односкоростного уравнения Больцмана, а предпринял попытку продемонстрировать возможности предложенного метода к расчетам спектров замедляющихся нейтронов с учетом всех физических эффектов, возникающих при упругом рассеянии нейтронов ца ядрах среды, на примере различных модельных задач для уравнения переноса, а также показать возможную практическую реализацию расчетных формул предложенных схем, используя конечно-разностные аналоги полученных дифференциальных уравнений. При этом, как указано в работе, схема численного решения дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием по энергетической переменной, основанная на методе типа Адамса, является чисто иллюстративной и в практических расчетах с успехом может быть заменена любым методом численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка достаточной точности. В то же время, помимо классических конечно-разностных методов решения односкоростной задачи в работе рассмотрены возможности применения разработанных схем и для других, получивших развитие в последнее время, численных методов решения односкоростного уравнения Больцмана в гетерогенных средах, таких как метод конечных элементов и метод расщепления. Метод конечных элементов, который начал интенсивно разрабатываться с середины 60-годов, является в настоящее время наиболее эффективным способом численного решения инженерных задач и задач математической физики. Он показал свое преимущество при решении эллиптических уравнений по сравнению с конечно-разностными методами. Метод очень удобен для программирования и позволяет учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда удается получить теоретическое обоснование его применения [10,11,71,72 ]. Метод конечных элементов является одним из вариационно-сеточных методов, основы применения которого к задачам теории переноса нейтронов достаточно полно рассмотрены в работах Г. И. Марчука, В. И. Лебедева [ 10 ], Г.И.Марчука, В.И.Агошкова [11], где указан ряд трудностей применения численных методов,обусловленных "неприятными" особенностями этих задач - в первую очередь их существенной многомерностью. В то же время предложенные подходы к решению уравнения переноса с помощью вариационно-сеточных алгоритмов позволяют эти особенности трансформировать в положительные стороны методов. Это в полной мере относится к решению уравнения замедления нейтронов в гетерогенных средах, где кроме пространственно-угловых координат появляется еще одна переменная -энергия.

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к последовательному решению ряда более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ. Успех такого подхода связан с именами Дугласа, Письмена и Рэчфорда [ 11,73 ], которые предложили метод переменных направлений, оказавший существенное влияние на построение алгоритмов в различных отраслях прикладной математики.

Редукция сложных задач к более простым обычно возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы получили название методов расщепления и в теории переноса нейтронов на первом этапе применялись для решения нестационарного уравнения Больцмана, однако в дальнейшем методы расщепления стали использоваться как мощный инструмент для итерационного решения стационарного уравнения переноса [ 10, 11, 73, 74 ]. Привлекательной стороной использования метода расщепления в задачах замедления нейтронов является возможность построения симметричного и положительно определенного оператора,з ависящего только от энергетической переменной. Так как в данной работе преследуются не только методические цели, но и построение необходимых для практики схем алгоритмов, то наряду с рассмотрением задачи о возможности учета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в существующих схемах реакторных расчетов методом расщепления построены схемы численных алгоритмов решения практических задач в(Х, У ) - и ( Я, Ъ)- геометрии в Рз - приближении. Значительный методический интерес представляет задача о решении уравнения замедления в самосопряженной форме как прием решения сим метризованных уравнений с использованием методов интегральных тождеств и расщепления оператора на более простые.

Данная диссертационная работа является обобщением результатов проведенных по данной проблеме исследований и разработок автора. Резюмируя изложенное,отметим следующие основные положения представленной работы.

Актуальность темы

Краткий анализ современого состояния теории упругого замедления нейтронов и резонансного поглощения их в гетерогенных средах позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем математической теории нейтронных полей проблему создания эффективного метода численного решения возникающих в теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных средах задач, основанных на углубленном понимании закономерностей поведения искомых функций, которые могли бы быть использованы при оценках достоверности результатов и получаемой точности, используемых в настоящее время, приближенных методов численного расчета распределения нейтронов в сложных средах при их замедлении. Для определения особенностей локальной структуры и точности получаемых решений многомерной задачи теории замедления нейтронов необходимы математические и численные исследования простейших модельных задач по каждой переменной и, в том числе по энергетической переменной. В качестве такой модельной задачи для уравнения замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах выступает задача замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах. Исследование вопросов существования и единственности решения, его асимптотического поведения, устойчивости, затухания, получение различных оценок областей существования физических решений, а также нахождение численными методами некоторых специфических особенностей поведения решения уравнения замедления в бесконечных средах является неотъемлемой частью проблемы построения схем численных алгоритмов расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных системах.

Таким образом, проблема создания эффективного метода численного расчета пространственно-энергетического распределения замедляющихся нейтронов в сложных гетерогенных системах с учетом всех особенностей закона рассеяния при упругом столкновении нейтронов с ядрами среды, а также детальные исследования фундаментальных свойств спектра замедляющихся нейтронов в гомогенных бесконечных средах как основной модельной задачи теории упругого замедления нейтронов, является для атомной физики и, в том числе теории нейтронных полей, не только актуальной,но и своевременной. Цель работы

Построение на основе фундаментальных свойств уравнения Болыдмана метода численного решения уравнения замедления нейтронов с различными типами источников в сложных гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов, отвечающем полной физической модели упругого столкновения нейтронов с ядрами среды, и с использованием для нахождения пространственно - угловых зависимостей современных численных методов, а также его теоретико -математическое и численное исследование на модельной задаче замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде, обеспечивающее не только теоретическое обоснование метода и открывающее точные связи физических свойств среды и нейтронных полей в области резонансных энергий при упругом замедлении нейтронов в сложных системах, но и являющееся основой для непосредственного выхода в область построения конкретных вычислительных алгоритмов решения различных задач теории нейтронных полей.

Основные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в работах [ 16,51 - 57, 75-94].

В работе принята сквозная нумерация параграфов в каждой главе. Так запись § 4.6 означает, что это параграф 6 главы 4, а запись ( 4.6 ) соответствует формуле ( 6 ) главы 4. Системы уравнений имеют один номер, но для обозначения строки применяется запись ( 31.2 ), что соответствует строке 2 формулы ( 31 ). Ссылки такого рода применяются только внутри одной главы. N

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем в обобщенной форме основные выводы и новые результаты, полученные в диссертации :

1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении.

2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных.

3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Рь Рз и Рп - приближениях.

4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из основных задач теории нейтронных полей.

5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, - и X - У - геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме.

6. Сформулирован и всесторонне рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов.

7. Проведен углубленный математический анализ уравнения Больцмана, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах ( разрешимость уравнения замедления, существование и единственность его решения, асимптотические равенства, устойчивость, оценки роста решения, методы шагов, Лапласа и Фурье, теория сопряженного уравнения в общей постановке и т.д.) на основе общей теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка.

8. Найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной ( естественной ) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

9. Кратко описаны созданные автором программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, реализующие метод численного решения уравнения замедления для модельной задачи.

10. Приведены результаты численных исследований и рассмотрены основные особенности формирования нейтронных полей в многокомпонентных бесконечных средах в области резонансных энергий, а также показано влияние полученных спектров на дифференциальные характеристики среды.

Суммируя результаты данной работу автор защищает:

1. Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при 8 - образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности.

2. Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Рп- приближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, Я - Ъ - и X - У - геометриях.

3. Положения и выводы математического исследования дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в интегро-дифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтронов в гетерогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бесконечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом первого порядка.

4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров плотности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.

Таким образом, в настоящей работе получила развитие и практическую реализацию, имеющая важное значение в прикладной нейтронной физике, проблема построения высокоэффективных алгоритмов численного расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах с учетом всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, обеспечивающих простые схемы реализации на современных ЭВМ и обладающих высокой устойчивостью и достаточной точностью счета. Проведенные математические и численные исследования решений уравнения замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах ( модельная задача ), позволили выявить не только основные математические особенности поведения решений задач теории упругого замедления нейтронов, но и получить качественные картины поведения спектров замедляющихся нейтронов в области резонансных энергий, а также оценить эффективность и точность предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной.

Следует отметить, что результаты настоящей работы, в частности, предложенные алгоритмы численного решения задач теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах, позволили также значительно расширить класс методов и приемов решения многоскоростных задач теории нейтронных полей, которые могут быть с успехом использованы для решения конкретных задач физики атомных реакторов и защиты.

1.Владимиров В.С.Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр. Математического института им.В.А.Стеклова. М.,1961.Т.61.

2. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов.Линейный анализ.М.: Атомиздат,1973.

3. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса.М.:Наука,1986.

4. Галанин А.Д.Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах.М.: Энергоатомиздат, 1990.

5. Ершов Ю.И.,Шихов С.Б. Математические основы теории переноса.М.: Энергоатомиздат, 1985.Т. 1,2

6. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов.М.:Атомиздат,1960.

7. Вейнберг А.,Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов.М.:Изд-во иностр. лит.,1961.

8. Глесстон С.Ддлунд М. Основы теории ядерных реакторов.М.:Изд-во иностр. лит.,1954.

9. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов.М.:Госатомиздат,1961. Ю.Марчук Г.И.Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.М.:1. Атомиздат,1981.

10. Марчук Г.И.,Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.М.: Наука, 1981.

11. Дреснер Л.Резонансное поглощение в ядерных реакторах.М.:Атомиздат, 1962. 1 З.Лукьянов A.A. Замедление и поглощение резонансных нейтронов.М.:1. Атомиздат,1974.

12. Н.Лейпунский А.И. и др. Исследование по физике реакторов на быстрых нейтронах.В кн.Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии.Женева, 1958.Избранные доклады советских ученых.М.: Атомиздат, 1959.Т2.С.377.

13. Абагян Л.П. и др. Влияние резонансной структуры сечений на распространение и замедление нейтронов в средах//Материалы Третьей женевской конференции по мирному использованию атомной энергии.Нью-Йорк.:Изд-во ООН,1965.Т.2.1. С.47.

14. Платонов А.П.,Лукьянов A.A. Плотность столкновений в промежуточных резонансах//Атомная энергия, 1973.Т.35.С.56 57.

15. Lewis E.E.,Adler F.T. A Bolzman Integral Eguation Treatment of Resonanse Absorption in Lattices. //Nucl.Sci.Eng.,1968.V.31.P.l 17 126.

16. Марчук Г.И.,Михайлус Ф.Ф. Резонансное поглощение нейтронов в бесконечной однородной среде//Атомная энергия. 1958.Т.4.С.520.

17. Благоволин П.П.Многогрупповая программа вычисления эффективного резонансного интеграла отдельного резонанса в многослойной цилиндрической ячейке теплового реактора//Резонансное поглощение нейтронов

18. Материалы Всесоюзного семинара по резонансному поглощению нейтронов, Москва,21-23 июня 1977 г.).М.:ЦНИИатоминформ,1978.С.29 33.

19. Додь А.И. Пространственно- энергетическое распределение нейтронов резонансных энергий в реакторной ячейке в линейно анизотропном приближении//Там же. С. 56 - 60.

20. Додь А.И. Пространственно-энергетический расчет спектра нейтронов в реакторной ячейке и некоторых от него функционалов//Там же.С.61 65.

21. Додь А.И. Пространственно-энергетическое распределение нейтронов резонансных энергий//Весщ АН БССР,1972.Т.З.С.З.

22. Морозов А.Г.,Кузьмин В.В.,Слесарев И.С.,Зверков Ю,А„Сироткин A.M. Комплекс программ СПЕКТР-СИГМА-ПИН для расчета гетерогенных активных зон быстрых реакторов//ВАНТ,сер.Физика и техника ядерных реакторов.М.: ЦНИИатоминформ,1982.Вып.7(29).С.72 74.

23. Рязанов Б.Г.,Савоськин М.М.,Цибуля A.M.Николаев М.Н. Расчет гетерогенных эффектов в системе АРОМАКО.Комплекс программ ПОВЕСА//Резонансное поглощнение нейтронов. М.:ЦНИИатоминформ,1978.С.38 42.

24. Бурмистров А.Я.,Кочуров В.П. Решение интегрального уравнения Пайерлса в многозонной цилиндрической ячейке ( Программа МК ): Препринт ИТЭФ 49. М.,1976.

25. Гермогенова Т.А.Дектярев С.Ф.,Орлов В.В.,Суворов А.П.,Тихонов В.К.,Цыпин С.Г. Перенос быстрых нейтронов в плоских защитах.М.:Атомиздат,1971.

26. Волощенко A.M.,Костин Е.И.,Панфилов Е.И.,Уткин В.А. РОЗ 6 - система программ для решения уравнения переноса в одномерных геометриях.Версия 2. Инструкция.М.:ИПМ АН СССР, 1980.

27. ВоЫ H.,Gelbard Е.М.,Hemphill А.Р. MUFT-5-A Fast Neutron Spectrum Program for the Philco- 2000.WAPD-TM-218,February 1961 (cM.Naval Reactor Physics Handbook. USA EC.TID- 7030,1964)

28. ЗКЛалетин Н.И.,Люлька В.А. О резонансном поглощении нейтронов в U238// Нейтронная физика.Часть 4.М.:ЦНИИатоминформ,1980.С.35 42.

29. Askew I.R.,Fayers F.J.,Kemshell Р.В. A general description of the lattice code WIMS. IBWES, 1966.P.564.

30. Султанов H.B. Многогрупповая программа расчета коэффициента использования тепловых нейтронов в многозонной цилиндрической ячейке

31. МГ ПРАКТИНЕЦ): Препринт -3376/5 .М.:ИАЭ,1981.

32. Бояринов В.Ф. Программа нейтронного группового расчета цилиндрической ячейки реактора (НЕГР-Ц): Препринт ИАЭ-3377/5. М.:ИАЭ,1981.

33. Султанов Н.В. Многогрупповая программа расчета цилиндрической ячейки РАЦИЯ: .Препринт ИАЭ-3536/5.М.:ИАЭ,1982.

34. Бояринов В.Ф. Программа нейтронного группового расчета плоской периодической ячейки реактора разностным аналогом метода поверхностных псевдоисточников (НЕГР-ПР): Препринт ИАЭ-3582/5 .М.:ИАЭ,1982.

35. Султанов Н.В. Односкоростной расчет цилиндрических ячеек с сильнопоглощающей кольцевой зоной: Препринт ИАЭ-3988/4.М.:ИАЭ,1984.

36. Сборник Вычислительные методы в физике реакторов.М.:Атомиздат,1972.

37. Сборник докладов по программам и методам физического расчета быстрых реакторв/ Под ред. М.Н.Зизина. Димитровград:НИИАР,1975.

38. Васильев Б.А.,Евсеев В.И.Дарабасов А.С.,Кирюшин А.И.,Самойлов О.Б. Потребности в программном обеспечении проектных разработок реакторов на быстрых нейтронах// ВАНТ.Сер. Физика и техника ядерных реакторов. М.:ЦНИИатоминформ,1982. Вып.7 (29).С.59 64.

39. Saito Y.,Takeda Т. Development of Three-Dimensional Transport and Diffusion Codes

40. Based on Nodel Method//J.Nucl.Science and Techn.,1986.V.23(6).P.565 568. 42.Колесов В.E.,Журавлева Т.И.,Зинин А.И.,Невиница А.И.Суслов И.Р.Дуркова Е.В.,Исаков А.Г. Система алгоритмов модульного комплекса ВЕСНА//

41. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов: Сб.тр.семинара "Нейтроника 97".Обнинск:ФЭИ,1998 .- 199 с.

42. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов:

43. Сб.тр.семинара "Нейтроника 98".Обнинск:ФЭИ,1999 .- 271 с.

44. Bednarz R. Exact solution of the Slowing Down Equation//Nucl. Science Engng.,1961. V.10 P.219 222.

45. Finkelstein L. Formal Solution to the Neutron Moderation Problem in Nonhydrogeneous Infinite Homogeneous Media//Nucl. Science Engng.,1968.V.32.P.241 248.

46. Stefanovitch D. An Exact Solution of the Neutron Slowing Down Equation// Nucl. Science Engng.,I970.V.4I.P.394 398.

47. Trie-Yie Dawn Generalized Exact Solution of Slowing Down Equation//J.of Nucl.Sci.Technology,1972.V.9.P.93 96.

48. Платонов А.П.Применение метода Адамса к задаче замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде//Ж. вычисл.матем.и матем .физ.,1972.Т.12. С. 1325 1331.

49. Платонов А.П. ПЕРСЕЙ программа расчета спектра плотности столкновений нейтронов в многокомпонентных однородных средах//Ядерные константы.М.: Атомиздат,1973.Вып . 12.С.128 - 148.

50. Платонов А.П.,Лукьянов А.А. Влияние микроструктуры спектра плотности столкновений на групповые константы U238 в резонансной области//Ядерные константы.М.:Атомиздат, 1973.Вып. 12.С.98.

51. Платонов А.П. Лукьянов А.А. Неасимптотический спектр нейтронов в двухкомпонентной среде с энергетической зависимостью сечений//Атомная энергия, 1972. Т.ЗЗ.С.985 986.

52. Платонов А.П.Лукьянов А.А.Спектр нейтронов в гомогенной среде U:H// Ядерныеконстанты.М.:Атомиздат,1972.Вып.10.С.236 245.

53. Платонов А.П.,Лукьянов A.A. Особенности резонансного поглощения для промежуточных уровней//Атомная энергия, 1973.Т.35.Вып.С.264.

54. Платонов А.П.Лукьянов A.A. Спектры резонансных нейтронов в гомогенных средах//Атомная энергия, 1975.Т.39.Вып.З.С.213 .

55. Воротынцев М.Ф. Решение задачи замедления нейтронов в бесконечной среде с резонансным поведением нейтронных сечений//Резонансное поглощение нейтронов.М.- ЦНИИатоминформ,1978.С.10 13.

56. Воротынцев М.Ф.,Ваньков A.A.,Воропаев А.И.,Возняков В.В.,Пивоваров В.А. Детальный расчет энергетического спектра нейтронов и проблема подготовки групповых констант. В сб.ВАНТ. Серия Ядерные константы.М.:Атомиздат, 1976.Вып.21.С.147 184.

57. Воротынцев М.Ф.,Пивоваров В.А.,Ваньков A.A.,Воропаев А.И.,Возняков В.В. Оценка точности приближений постоянства плотности соударений при расчете факторов резонансной блокировки//Резонансное поглощение нейтронов.

58. М.: ЦНИИатоминформ, 1978.С.71 73.

59. Беллман Р.,Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения.М.:Мир, 1967.

60. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.:Наука,1972.

61. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.М.:Изд-во иностранной лит.,1961.

62. Норкин С.Б.Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.М.:Наука. 1965.

63. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:Наука, 1964.

64. Зверкин А М. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием//Труды семинара по теории дифф.ур-ний с отклоняющимся аргументом. М.:Ун-т Дружбы народов,1969.Т.7.С.З 16

65. Халанай А. Системы с запаздыванием.Результаты и проблемы//Математика.М.: 1966. Т.10.Вып.5.С.85 102.

66. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.М.:Физматгиз. 1959.

67. Кузнецов Ю.А.,Явушкин В.И. Итерационные решения системы метода конечных элементов для уравнения переноса нейтронов// Численные методы в математической физике. Новосибирск:ВЦ СО АН СССР.1979.С.84 105.

68. Норри Д.,де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.М.:Мир,1981.

69. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.М.:Наука,1980.

70. Марчук Г.И. Методы расщепления.М.:Наука,1988.

71. Платонов А.П. О дифференцируемости интеграла упругих соударений по энергии // Сборник трудов.Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.З -11.

72. Платонов А.П. Численный метод решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического изотропного точечного источника в однородной среде// Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1997.Вып.2.С.11 23.

73. Платонов А.П. О решении уравнения замедления нейтронов в плоской геометрии с учетом 5 -образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.24 29.

74. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в конечных средах со сферической симметрией в Рп приближении//Сборник трудов.Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.29 - 37.

75. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов с моноэнергетическим протяженным источником для цилиндрической,квадратной и шестиугольной ячеек конечной высоты в Р|- и Рз приближениях//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.38 - 62.

76. Платонов А.П. Решение уравнения замедления в конечных средах с учетом потерь энергии нейтронами при упругом рассеянии в Рп -приближении//Сборник трудов. Димитровград:НИИАР, 1997.Вып.2.С.62 71.

77. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов методом расщепления с учетом 6 образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния//Сборник трудов. Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.71 - 76.

78. Платонов А.П. О расчете спектра замедляющихся нейтронов в одной энергетической группе при решении уравнения переноса методом расщепления//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.76 83.

79. Платонов А.П. Некоторые вопросы математической реализации решения уравнения замедления нейтронов в ячейках сложной формы методом конечных элементов // Сборник трудов. Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.83 -99.

80. Платонов А.П. Метод конечных элементов в задачах односкоростной теории переноса нейтронов в гетерогенных средах//Сборник трудов.Димитровград: НИИАР.1997. Вып.2.С. 100 138

81. Платонов А.П. Сопряженное уравнение замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах и устойчивость //Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1998. Вып.2.С.40 48.

82. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов в самосопряженной форме методом расщепления//Сборник трудов.Димитровград:НИИАР,1998.Вып.2.1. С.49 59.

83. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в ( Л,Ъ )-геометрии методом расщепления в Рз приближении//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР,1998.Вып.2.С. 60 - 72.

84. Платонов А.П. Об одном подходе к расчету спектров быстрых нейтронов в водороде и воде от точечного моноэнергетического источника с учетом потерь энергии при упругом рассеянии в Рп приближении//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР,1998.Вып.2.С.73 -84.

85. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах //Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1999.Вып.З.С.З 15.

86. Платонов А.П. О дифференцируемое™ по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов//Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,1999. Т.39.№4. С.663 669.

87. Платонов А.П. Численный метод расчета спектров замедляющихся нейтронов в конечных средах с учетом 5- образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния //Атомная энергия,1998.Т.84.Вып.2.С. 102 107.

88. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов в (х,у )- геометрии методом расщепления//Атомная энергия,1998.Т.84.Вып.З.С.216 219.

89. Платонов А.П. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления нейтроновв однородной среде от моноэнергетического изотропноготочечного источника //Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,2000.Т.40.№ 1 .С. 144-152.

90. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах// Ж.вычисл. матем.и матем.физ., 2001.Т.41,№З.С.459 466.

91. Гермогенова Т.А. Интеграл столкновений в окрестности граничной поверхности// Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц.М.:Отд. вычисл. матем.АН СССР,1983.С.10 32.

92. Николайшвили Ш.С.Прохождение гамма-излучения через плоский слой.В книге Некоторые математические задачи нейтронной физики.М.:Изд-во МГУ, 1960. С.183 198.

93. Marshak R.E. Theory of the Slowing Down of Neutrons by Elastic Collisions with Atomic Nuclei//Rev.Mod.Phys.,l947.V. 19.P. 185.

94. Кейз К.,Цвайфель П. Линейная теория переноса.М.: Мир,1972.

95. Журнал вычисл.матем.и матем.физ.,1969.Т.9.№З.С.605 -625. 102.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.М.:Мир,1975. ЮЗ.Стренг Г.,Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.М.:Мир,1977. Ю4.Тьюарсон Р. Разреженные матрицы.М.:Мир,1977.

96. Зенкевич О.,Морган К. Конечные элементы и аппроксимации.М.:Мир,1986. 106.Самарский А.А.,Николаев Е.С. Метод решения сеточных уравнений.М.:Наука, 1978.

97. Ю7.Марчук Г.И.,Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы.

98. Новосибирск:Наука, 1972. 108.3авьялов Ю.С.,Квасов В.И.,Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.М.: Наука, 1980.

99. Ю9.Митчел Э.,Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.М.:Мир, 1981.

100. Ю.Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.

101. Л.'Изд-во Ленинградского Гос.ун-та,1977.1. l.Briggs L.L.,Lewis Е.Е. A Two-dimensional Constrained Finite Element Method for

102. З.Грачев В Д.Некоторые вопросы математической реализации метода конечных элементов в задачах реакторной теплофизики.М.:ЦНИИатоминформ, 1985. Препринт. НИИАР-6(652).

103. М.Николайшвили Ш.С.,Ляшенко Е.И. Расчет угловых распределений нейтронов в ядерных реакторах.В сб.Вопросы физики защиты реакторов.М.:Атомиздат, 1968.Вып. З.С.54 68.

104. Слесарев И.С.,Сироткин A.M. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов. М.:Атомиздат,1978.

105. Briggs L.L.,Miller W.F.,Lewis Е.Е. Ray-effect Mitigation in Discrete Ordinate-Like Angular Finite Element Approximation in Neutron Transport// Nucl.Sci.Engng., 1975.V. 57.P.205.

106. Martin W.R.,Duderstadt J.J. Finite Element Solutions of the Neutron Transport Equation with Applications to Strong Heterogeneities //Nucl.Sci.Engng., 1977.V.62. P.371 390.

107. Слесарев И.С.,Сироткин A.M. Вариационно-разностные методы расчета ядерных реакторов.М.: Энергоатомиздат, 1981.

108. Ukai S. Solution of Multi-Dimensional Neutron Transport Equation by Finite Element Method.//J.of Nucl.Sci. and Techn.,1972.V.9.№6.P.366 373.

109. Miller W.F.,Reed Wm.H. Ray-Effect mitigation Methods for Two-Dimensional Neutron Transport Theory.//Nucl.Sci.Engng.,1977.V.62.P.391 -411.

110. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.М.:Наука,1967.

111. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.М.:Наука,1976.

112. Птицын А.Р. Использование метода моментов для расчета пространственно-энергетического распределения нейтронов от плоского и точечного источника в бесконечной среде//Атомная энергия, 1961.Т.10.С. 117.

113. Басс Л.П.,Гермогенова Т.А.,Гребенникова Н.А. и др. Многогрупповая программа РАДУГА-2.Инструкция для пользователя.М.:ИПМ АН СССР, 1982.

114. Rhoades W.A.,Mynat F.R. The DOT-3-TWO-Dimensional Discrete Ordinates Transport Code.ORNL-TM-4280,1973.

115. Takeuchi R.,Sasamoto N. Fundamental Theory of the Direct Integration Method for Solving the Steady-State Integral Transport Equation for Radiation Shielding Calculation// Nucl.Sci.Engng ,1982.V.80.P.536 553.

116. Карл сон Б.,Латроп К. Теория переноса.Метод дискретных ординат// Вычислительные методы в физике реакторов.М.:Атомиздат,1972.С.102 -157.

117. Rhoades W.A.,Engle W.W. A New Weighted-Difference Formulation for Discrete Ordinates Calculations//Trans.Am. Nucl.Soc.,1977.V.27.P.776.

118. Barbucci P.,Di Pasguantonio F. Exponential Supplementary Equations for Sn-Methods.The One-Dimensional Case// Nucl.Sci.Engng., 1978.V.63.P. 176 187.

119. Волощенко A.M. О решении уравнения переноса DSn-методом в гетерогенных средах. Часть 2. Одномерные сферическая и цилиндрическая геометрии// Численные решения уравнения переноса в одномерных задачах.М.:Изд-во АН СССР, 1981 .С.64 -91.

120. Ш.Гермогенова Т.А.,Басс Л.П. О решении уравнения переноса методомхарактеристик. В сб.Вопросы физики защиты реакторов.М.:Атомиздат, 1969.Вып.З.С.69 77.

121. Бродкин Э.Б.,Кожевников А.Н.,Хрусталев A.B. Возможности и опыт применения программ для расчетов на ЭВМ задач о прохождении излучения через вещество// Радиационная безопасность АЭС.М.:Труды ВТИ,1979.Вып.26.С.ЗО 38.

122. Канторович Л.В.,Акилов Г.П. Функциональный анализ.М.:Наука, 1977.

123. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. M : Высшая школа,1967.

124. Титчмарш Е. Теория функций.М.-Л.:Гостехиздат,1951.

125. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.М.: Наука, 1967.

126. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье.М.:Гос.изд-во физ.-мат.лит,1962.138.3абрейко П.П.,Кошелев А.И.,Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения.1. М.:Наука,1968.

127. Уваров В.Б. Асимптотические свойства распределения нейтронов по энергии при замедлении их в бесконечной среде// Ж.вычис.матем.и матем. физ.,1967.Т.7. С 836- 851.

128. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз,1958.

129. Feller W. On the integral eguation of renewal theory .//Ann.Math.Statistics. 1941. V. 12.P.243 -267.

130. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе.М.:Гостехиздат, 1953.

131. ИЗ.Цыпкин ЯЗ. Устойчивость систем автоматического регулирования.М.: Гостехиздат, 1953.

132. Неймарк Ю.И. Структура D разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышеградского и Нейквиста//Доклады АН СССР,1948.Т.60. С. 1503 -- 1506

133. Малкин И.Г.Теория устойчивости движения.М.:Наука, 1966.

134. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // УМН,1954.Т.9. С.95 112.

135. Мейман H.H.,Чеботарев Н.Г. Проблема Рауса Гурвица для полиномов и целых функций: Тр.Математического института им.В.А.Стеклова,1949.Т.26.С.1 - 331.

136. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.М.: Наука, 1967.

137. Марчук Г.И., Орлов B.B.K теории сопряженных функций.Нейтронная физика.М.:1. Госатомиздат. 1961 .С.30.

138. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.М.:Изд-во иностранной лит., 1954.

139. Разумихин B.C. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием//Авт.и телемех.,1960.Т.21.Вып.6.С.740 -748.

140. Ла-Сааль Ж. и Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:Мир,1964.

141. Хейл Д. Асимптотическое поведение решений разностно-дифференциальных уравнений: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям (1961). Киев.:Изд-во АН УССР, 1963.С.409 426.1.

142. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием.М.: Наука, 1983.

143. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.М.:Наука,1967.

144. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.М.:Наука,1970.

145. Kozakiewicz Е. Uber die nichtschwingenden Losungen einer linearen Differentialgleichung mit nacheilendem Argument//Math.Nachr. 1966.V32:1/2.P. 107 113.

146. Мышкис А.Д. Об одном дифференциально-функциональном неравенстве //УМН. 1960.Т.15, вып.;.С. 157 161.

147. Мышкис А.Д. Об асимптотической оценке решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//УМН,1960.Т,15.1. ВЫП.4С.163- 167.

148. Горбунов А.Д.,Попов В.Н. О методах типа Адамса приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием//

149. Березин И.С.,Жидков Н.П. Методы вычислений.М.:Физматгиз, 1959.Т. 1,2.

150. Токмалаева С.С. Ординатные формулы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка// Вычисл.математика.М.: АН СССР,1959.СЗ 57.

151. Тихонов А.Н.,Горбунов А.Д. Асимптотические разложения погрешности разностного метода решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Ж. вычисл.матем.и матем .физ.,1962.Т.2.С. 537 -548.

152. Абагян Л.П., Николаев М.Н., Петрова Л.В. УРАН программа расчета сечений икоэффициентов гомогенной резонансной самоэкранировки в области разрешенных резонансов. //Бюллетень информационного центра по ядерным данным. М.:Атомиздат,1966.С.418

153. Бабушка Н.,Витасек Э.,Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.М.: Мир,1969.

154. Dunn F.E.,Becker М. Neutron Slowing Down in Mixtures Containing Scattering Resonances.//Trans.Am.Nucl.Soc. 1969.V.12.P.693-694.

155. Stacey W.M. Continuous Slowing Daun Theory Applied to Fast Reactor Assemblies.// Nucl.Sci.Engng. 1970.V.41 .P.381 -393.

156. Лукьянов А.А., Юсеф М.Ю.А. Неасимптотическая структура спектразамедляющихся нейтронов вблизи "промежуточных" резонансов.//Атомная энергия, 1969.Т.26.Вып.6.С.540.

157. Neltrup H.,Mikkelsen I. The Influence of Scattering Interference on Resonance Absorption in 23»u and 232Th.//J.of Nucl.Energy.l968.V.22.P.601.

158. Stacey W.M. Resolved Narrow Resonance Reaction Rates in Fast Reactor Mixtures.// Nucl Sci.Engng 1970.V.41 .P.455-457.

159. Абагян Л.П., Николаев М.Н., Петрова Л.В. Расчет сечений 238U по программа УРАН.// Бюллетень информационного центра по ядерным данным.М.: Атомиздат, 1967.Вып.4.С.392-419

160. Hughes D.J., Schwartz R.B. Neutron Cross Section. Second Edition.BNL-325. // Washington. US Goverment Printing Office. 1965. V.3

161. Sehgal B.R. Resonance Absorption for heavy Moderators in Homogeneous Media.//J.of

162. Nucl.Energy.Part A/B. 1965.V. 19.P.921. 175.Sehgal B.R., Goldstein R. Intermediate Resonance Absorption in Heterogenejus Media.

163. Nucl.Sci.Engng. 1966. V.25.P. 174-182. 176 Goldstein R., Cohen E.R. Theory of Resonance Absorption of Neutron. //Nucl. Sci. Engng. 1962.V13.P. 132-140.

164. Адлер Ф.,Хинман Г., Нордгейм JI. Методы количественных оценок резонансных интегралов.//Материалы 2-й международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Избранные доклады иностранных ученых.М.: Атом издат. 1959.Т.2.

165. Wigner Е.Р. Theoretical Physics in the Metallurgies Laboratory of Chicago.// J.Appl.Phys. 1946.V.17.P.857.

166. Forti G. Evaluation of Resonance Integrals in Homogeneous and Heterogenejus Systemsand Intermediate Approximation.//Nucl.Sci.Engng.l964.V.19.P. 1449-457.

167. Goldstein R. Integration and Intermediate Resonance Absorption. //Nucl. Sci. Engng. 1967. V30.P. 146.

168. Mikkelsen J. Extrapolation and Interpolation in Calculation of the Resonance Absorption of Neutrons of Intermediate Energy. //Nucl. Sci. Engng.l970.V39.P. 403-406.

169. Goldstein R. Temperature-dependent Intermediate Neutron Resonance Integrals. //Nucl.

170. Sci. Engng. 1972.V48.P.248-254.

171. Corcuera R., Solanilla R. Operator formulation of Resonance Absorption of Neutrons. //J.of Nucl.Energy. 1969. V.23.P.643-654.

172. Samner H.M. "Eric 1. A Fortran Program for Calculating Resonance Integrals and some Examples of its use". AEEW M - 403.1963.

173. Лукьянов A.A., Орлов В.В. Влияние интерференции потенциального и резоансного рассеяния на резонансное поглощение нейтронов в веществе. Теория и методы расчета ядерных реакторов.М.:Госатомиздат. 1962.С. 179-190

174. Ахиезер А.и Померанчук И. Некоторые вопросы теории ядра.М.:ГИТТЛ.1959. С.280.

175. Kirchenmager A. Effective Resonance Integral Dependence on the Moderator Slowing Down Properties//Nucl. Sci. Engng. 1962.V14.P.312.

176. Goldstein R. Intermediate Resonance Absorption at Low Energies. //Nucl. Sci.1. Engng. 1965. V22.P.387.

177. Абагян Л.П. и др. Групповые константы для расчета ядерных реакторов.М.: Атом издат. 1964.

178. Лукьянов A.A., Орлов B.B. Влияние резонансной структуры сечений U238 на диффузию нейтронов в гомогенной среде. Нейтронная физики. М.: Госатомиздат. 1961 .С. 105.

179. Абагян Л.П., Михайлус Ф.Ф., Николаев М.Н., Орлов В В. Распространениерезонансных нейтронов вгомогенных средах.// Бюллетень информационного центра по ядерным данным. Приложение. М.: Атомиздат, 1968.