автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка оптимизационных и численных методов для математического моделирования некоторых трудноформализуемых объектов

На правах рукописи

г"

Бамадио Бурейма

РАЗРАБОТКА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 7 ОКТ 2015

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005563095

Краснодар - 2015

005563095

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет» в г. Краснодаре.

Научный руководитель:

Семепчин Евгений Андреевич

Лебедев Константин Андреевич

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры вычислительной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Официальные оппоненты: Шхануков-Лафишев Мухамед Хабаловнч

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Сайфутдинова Наталья Анатольевна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет»

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет»

Защита диссертации состоится «03» декабря 2015 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347925, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ им. Ю.А. Жданова, расположенной по адресу: 344103, г. Ростов-на-Дону ул. Зорге, 21 Ж, а также на сайте http://hub.sfedu.ru/diss/announcement/

Автореферат разослан «30» сентября 2015 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22, доктор технических наук, профессор

Целых А.Н.

Обшая характеристика работы

Актуальность и степень разработанности темы. В настоящее время математическое моделирование является интеллектуальным ядром информационных технологий и встраивается в структуры глобального информационного пространства. Математическое моделирование призвано дать надёжные способы переработки обширной информации об объекте (процессе, явлении) в точное знание. В современных условиях, только совершенствование методов математического моделирования позволяет получить качественные научные результаты.

Трудноформализуемые объекты и проблема их математического моделирования, не поддаются исследованиям в нужной глубине, полноте и точности, обычными теоретическими методами. Для подобных объектов фундаментальные законы природы, классические подходы к моделированию не могут быть применимы в полной мере. Такие объекты встречаются в экономике, экологии, политике, где системы функционируют с решающим вмешательством людей. Трудноформализуемой проблемой, не имеющей чёткого алгоритма, является проблема надёжной оценки кредитоспособности предприятия.

Надёжная оценка кредитоспособности предприятия представляет собой сложную, ответственную и рисковую задачу для кредитующей организации (банка). Абсолютно надёжных качественных или приближённых аналитических методов, для таких проблем, не существует, но распространение получили относительно надёжные вероятностные математические модели Альтмана и Бивера, которые допускают дальнейшее совершенствование и повышение достоверности даваемых ими оценок.

С целью повышения надёжности оценок, перспективными представляются разработка методов оптимизации, дальнейшая разработка новых математических подходов к моделированию абстрактных объектов и явлений, возникающих в области кредитования. Эти фундаментальные объекты относятся к сложным системам, которые возможно совершенствовать только разрабатывая новые эффективные вычислительные методы и алгоритмы с применением современных компьютерных технологий, оптимизационных и других математических методов.

Решению указанных проблем способствуют вычислительные эксперименты, основанные на применении математических моделей, численных методов и алгоритмов, оформленных в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.

Анализ, построение и разработка математических методов моделирования в данном направлении достаточно представлены во многих исследованиях зарубежных и российских учёных. Среди западных учёных выделяют таких как: Харриган Д., Альтман Э., Бивер В., Голдер М., Смитир Р., Таффлер Р., Лис Р., Спрингейт Г., Чессер Р., Тишоу Г., Дюран Д., Хикман В. и др. Среди работ данной тематики большой вклад внесли работы и российских исследователей: Бердникова Т.Б., Давыдовой Г.В., Грачева A.B., Ендовицкого Д.А., Донцовой Л.В., Беликова А.Ю., Зайцевой О.П., Ендовицкой A.B., Ковалева В.В., Кадыкова Г.Г., Коваленко А.В,

Никифоровой H.A., Савицкой Г.В., Патласова О.Ю., Сайфулина P.C., Сергиенко О.В., Федотовой М.А., Стояновой Е.С., Фомина П.А., Калайдина E.H., Недосекина А.О., Давниса В.В.; Булгаковы И.Н. и др.

Актуальность указанной научной проблемы состоит в недостаточной математической разработанности методологии математического моделирования абстрактных объектов и явлений, возникающих в области кредитования. Следовательно, тему диссертационной работы, направленную на разработку фундаментальных математических основ теории кредитования, следует признать актуальной и практически значимой.

Целью диссертационной работы является разработка математических, оптимизационных, численных методов и алгоритмов, применяемых для исследования трудноформализуемых объектов на примере математических моделей Альтмана и Бивера.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. В области математического моделирования:

• Разработан и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемых объектов, основанный на известной пятифакторной модели Альтмана, с использованием оптимизации, среднеквадратичного интегрального приближения, теории нечётких множеств и имитационного моделирования.

• Предложен и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемых объектов, основанный на многокритериальных моделях оптимизации Бивера и теории однокритериального портфеля.

2. В области численных методов:

• Построена оптимальная аппроксимация функции Альтмана с помощью численного метода среднеквадратичного приближения в конечномерных линейных нормированных пространствах.

• Для оптимизации целевых функций решена задача оптимизации функционалов предложенным регуляризованным методом Ньютона. Обоснованы оптимальные параметры для постоянного шага и параметра регуляризации.

• Обобщён модифицированный классический метод Ньютона, известный из литературы, для решения систем нелинейных уравнений на класс задач отыскания экстремума функционалов и доказана теорема сходимости.

3. Разработаны ком/ыексы программ, реализующих численные решения впервые поставленных оптимизационных задач: «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)», предназначенный для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия; «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)», предназначенная для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования; «Программа оценки финансового со-

стояния предприятия (PVRisK)», предназначенная для определения доли (значимости) показателей Бивера и меру рисков в портфеле, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск).

Объектом исследования являются математические модели, описывающие теории Альтмана и Бивера.

Предметом исследования является аппарат математического моделирования, методы оптимизации, численные методы, теория нечётких множеств, применённые к разработке математических методов, основанных на моделях Альтмана и Бивера.

Методологией и методом диссертационного исследования являются фундаментальные методы математического и имитационного моделирования, теория математической оптимизации и принятия решений, теория нечётких множеств, современные численные методы, нейросетевые технологии. Для численных расчётов использованы прикладные программные пакеты: Mathcad, Statistica (STATISTICA Automated Neural Networks).

Научная новизна диссертационного исследования состоит в разработке математического оптимизационного аппарата, который применяется к методам Альтмана и Бивера. Разработка эффективных численных методов и алгоритмов для реализации предложенных новых оптимизационных методов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и обладающих новыми возможностями по сравнению с существующими.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных автором:

В области математического моделированиях

• Разработан и исследован новый математический метод моделирования труд-ноформализуемых объектов, основанный на известной пятифакторной модели Альтмана, научная новизна которого проявляется в следующем: 1) дискретные значения вероятностей банкротства в модели Альтмана заменены на непрерывные путём привнесения в новый метод функции наилучшего интегрального приближения; 2) для оценки степени принадлежности вероятностей к множествам Альтмана применена теория нечётких множеств; 3) для тестирования новых методов использовано имитационное моделирование и тестовые примеры. Показана универсальность математического моделирования трудноформализуемых объектов на модели Альтмана. (С. 52 -70)

• Предложен и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемых объектов, основанный на многокритериальных методах оптимизации Бивера и теории однокритериального портфеля: 1) для однокритериальной модели Бивера разработаны новые оптимизационные подходы для минимизации рисков путём определения долей показателей Бивера; 2) для многокритериальной модели Бивера предложен новый оптимизационный подход для минимизации рисков, основанный на свёртке критериев. Показана универсальность математического моделирования трудноформализуемых объектов на модели Бивера. (С. 93 - 109)

В области численных методов:

• Для реализации численных оптимизационных методов построены целевые функции для моделей на основе метода внешних штрафных функций. Для оптимизации целевых функций используется метод Ньютона и его регуляризованные модификации. Предлагаются оптимальные параметры шага и регуляризации, полученные с помощью численных экспериментов, выполненных на тестовых примерах. Разработанные методы оптимизации тестировались на математических усовершенствованных моделях Альтмана и Бивера. (С. 75 - 91)

• Обобщён известный модифицированный метод классического метода Ньютона для решения систем уравнений на класс задач отыскания экстремума путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости для оптимизации целевых функций. Обобщение достигалось путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости. Доказана теорема сходимости. ( С. 75 — 80)

В области создания комплексов программ:

• В результате теоретического исследования и численных экспериментов разработана оригинальная структура в виде комплекса программ, позволяющая осуществить адаптацию, обоснование и тестирование разработанных оптимизационных методов, основанных на теориях Альтмана и Бивера: разработаны комплексы программ «(Бш-Ооп)», «(РОМБС)», «(РУКлбК)», реализующие новые численные решения вышеуказанных проблем. (С. 133 — 140)

Научная и практическая значимость заключается в возможности применения организациями (коммерческими банками) и предприятиями разработанных новых математических методов для повышения обоснованности принятия решения о возможности выдачи кредита. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут быть базой для дальнейших научных исследований в области математического моделирования экономических процессов. Изложенный в диссертации материал по применению оптимизационных методов может служить частью спецкурсов по построению математических моделей реальных процессов в данной предметной области. Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам и доступен другим пользователям.

Результаты диссертации используются в организации «Копёо Црдшта» Республики Мали.

Результаты диссертации используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «КубГУ» факультета математики и компьютерных наук на кафедре вычислительной математики и информатики в лекционных курсах для студентов магистратуры направления «Вычислительная математика» в курсах «Компьютерные и вычислительные методы», «Экономико-математические методы и вычислительные алгоритмы» и в курсе «Методы оптимизации» для бакалавриата.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов обоснованы строгой математической постановкой проблемы, применением точных методов современных информационных технологий (математических пакетов программ), правильным использованием численных и приближённых методов. Результаты расчётов коррелируют с результатами вычислительных экспериментов других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый математический оптимизационный метод моделирования трудно-формализуемых объектов, основанный на пятифакторной модели Альтмана.

2. Имитационный метод компьютерного моделирования для усовершенствованной трудноформализуемой теории Альтмана.

3. Новый оптимизационный математический метод моделирования трудно-формализуемых объектов, основанный на модели Бивера и теории однокритериально-го портфеля.

4. Новый метод построения и алгоритм принятия решений, основанные на теории свёртки критериев.

5. Регуляризованные модификации метода Ньютона и его оптимальные параметры.

6. Теорема о сходимости модифицированного метода Ньютона со специальным выбором итерационного параметра.

7. Комплексы проблемно-ориентированных программ, реализующих математические вычислительные методы для моделирования трудноформализуемых объектов, на примерах моделей Альтмана и Бивера.

Апробация диссертационного исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на следующих конференциях: международной научной конференций «Экономика и менеджмент» (г. Патгайа, Бангкок, 2012 г.); международной научно-практической конференции «Экономическое развитие России в условиях глобальной нестабильности: тенденции и перспективы» (г. Сочи, Краснодар, 2013 г.); IV международной конференции «Современные концепции научных исследований» (г. Москва, 2014 г.); конференции International Research Journal Conference VII ( г. Екатеринбург, 2015 г.).

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По теме диссертации опубликовано 17 научных трудов, в том числе 14 статьей из них 6 - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. 1 - в иностранном журнале с высоким импакт-фактором. Получены три (3) свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура работы. Диссертационная работа включает в себя следующие перечисленные части: введение, три главы, заключение, список использованной литературы и приложение. Основная часть диссертационной работы изложена на 164 стра-

ницах машинописного текста, список литературы - из 143 наименований и 4 приложений.

Основное содержание работы:

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель исследования и научная задача, излагаются основные результаты, выносимые на защиту, их новизна, обоснованность и достоверность, представляются сведения о публикациях, апробации и реализации основных результатов диссертации. Также дана информация о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе проведён обзор литературных источников, необходимых для анализа и разработки математических методов моделирования трудноформализуемых объектов. Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствования путём использования математических оптимизационных методов. Дано изложение и даны определения существующих понятий пространств на основе фундаментального понятия - структура, введённая Бурбаки Н. Это позволяет построить иерархию существующих пространств: метрического, линейного, нормированного, Евклидова, Гильбертова, Банахова и применять оптимизационные численные методы в подходящей структуре.

Задачи приближения и оптимизации ставятся в линейных нормированных пространствах. Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленами разных степеней. Вычислительные алгоритмы для приближенного решения задачи оптимизации чаще всего строятся на использовании необходимых и достаточных условиях оптимальности. Реализация такого подхода связана с решением соответствующих уравнений итерационными методами. Теория итерационных методов имеет обширную библиографию. Дан небольшой обзор литературы, связанной со сходимостью метода Ньютона, главным образом связанный с методами выбора итерационного параметра для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах. В частности, метод К.А. Лебедева при наложении определённых условий на систему уравнений. Сделан вывод, что выбор итерационного параметра, расширяющего область сходимости и теорему о сходимости, можно обобщить на случай оптимизации некоторых классов функций.

Применение нечётких методов в различных областях финансовой деятельности обобщено в работах А.О. Недосекина. Показано, что применение аппарата нечётких множеств позволяет усовершенствовать модели Альтмана и другие модели.

Из проведённого литературного обзора, сформулированы выводы, подтверждающие поставленные цели и задачи диссертации: моделирование трудноформализуемых объектов, на примере оценки кредитоспособности предприятий, в большинстве случаев рассматривались с точки зрения экономической науки, а не математической. Исследование оценки кредитоспособности предприятий, как проблемы трудно-формализуемой, мало рассмотрены в научных исследованиях. Поэтому в диссерта-

ции, моделирование трудноформализуемых объектов, на примере оценки кредитоспособности предприятий, рассматривается как научная задача, решение которой осуществляется с применением математического моделирования, численных методов, теории оптимизации и комплексов программ.

Вторая глава посвящена разработке нескольких оптимизационных методов исследования трудноформализуемых объектов. Модель Альтмана усовершенствована в двух отношениях: во-первых, применяются среднеквадратичное интегральное приближение для аппроксимации функции Альтмана, во-вторых, применяется аппарат нечётких множеств для упорядочения множеств по степени доверия полученной вероятности. В-третьих, проведено имитационное моделирование процедуры оценки кредитоспособности. Приведены несколько реальных примеров применения методики. Для поиска экстремумов, построенных функционалов применялись разные методы: методы штрафных функций в сочетании с градиентными методами и модифицированным методом Ньютона, методы в математических пакетах. В тестовых примерах использовались также и аналитические методы для тестирования численных методов.

Наибольшее распространение получила пятифакторная теория Альтмана, позволяющая оценить возможность банкротства предприятия, которая, применительно к экономике США, имеет вид:

г = \.2к1 + \Лкг + З.Зк3 +0.6 к, +1.0А-, (1)

где к ,г = к = —. к к = — , к =—. к =—> вычисляются на основе расчё-

1 а2 2 а, 3 а2 4 ай ' а,

та следующих показателей: а1 - собственный оборотный капитал, а2 - сумма активов, а, - нераспределённая прибыль, а4 - прибыль до уплаты процентов, а5 - рыночная стоимость собственного капитала, а6 - заёмный капитал и а1 - объем продаж. Вероятность рассчитывается согласно эмпирически установленной зависимости с помощью функции Альтмана р(:)

[0.80,1.0 ] если 0 < г < 1.8

[0.35,0.5] если 1.81 <:< 2.77

Р{') = \ г 1 > (2)

у I [0.15,0.2] если 2.8 <г< 2.99

[о, е] если 3 < г < со

при т> 3 вероятность банкротства предприятия р = с достаточно мала (г-»0 при 2->со) и считается приближённо равной нулю. При дальнейшем изложении проблемы примем е = 0,05. Усовершенствование модели Альтмана состоит в следующем.

Модель Альтмана порождает нечёткие множества, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия. Модель Альтмана, позволяет в первом приближении разделить предприятия на четыре класса с вероятностью банкротства Д , 1 = 1, ",4. А, =[о.8,1 о] - «вероятность банкротства велика», А-, =[0.35, 0.50] - «вероятность банкротства средняя», А3 - [о. 15, 0.20]- «вероятность банкротства не велика», А, =[0, е]- «вероятность банкротства маленькая». В

рассматриваемом примере ре[О,1]. На рис.1 представлен график функции р(2) метода Альтмана. Определим две оптимизационные функции /,(2) = 1ШП /,(г) = гтшх р(г). Решалась задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой п-й степени

ЬХг) = ±(а,г'), (3)

¿=0

на отрезке 2 е[0,г4], 21: =3.5. Коэффициенты находились из минимизационной задачи в п - мерном пространстве Я" коэффициентов полинома,

(4)

(5)

а - ат ггап F(a) >,

и«- .1

где а = {о0,а,,аг,..,а„ }г, при некоторых дополнительных естественных ограничениях

= 0.

(6)

Задача минимизации решалась методом штрафных функций и последующим применением метода Ньютона. Отрезок, на котором производится аппроксимация, правая крайняя точка выбрана 24=3.5. Выбор этой точки до некоторой степени произволен, однако прямые к, /г. ограничивающие область, в которой содержатся прямоугольники, пересекаются на оси г в одной точке с координатой г = 3.5. Применялся методом Ньютона со специальным выбором итерационного параметра.

Был обоснован выбор степени полинома.

а = {а„,а1,а2,а3,аА,а5, а6 }г = {0.937; О; 2.167 • 10"' ;-0.052; 1.798 -10'; 8.006 • 1 (Г1 ;3.132 • 1 (У4 }.

Вводились нечёткие множества X, которые задаются функциями предпочтения ц-^ (г/):ицеМ = [0,1]еЛ, позволяющими определить меру нечёткости множества

X,; в данном случае меру нечёткости вычисленной вероятности р = Ь6(г) е X,.

Функции принадлежности подмножеств х1, х2, Х3, хл имеют следующий вид:

100/7-20

[10/7—5

если 0.5 < р < ОЛ

^ = 3

[1, если 0.8 </)<!;

Аг, =

15

если 0.2 < р < 0.35,

1, если 0.35 <р <0.5, 8 —Юр

=

100/? — 5

10

если 0.05 <р< 0.15,

если 0.5 < р < 0.8;

[1, если 0< р <0.05,

1, если 0,15 < /7 < 0,2 35-100/7

/'.У, =\ 15-100/7

15

если 0.2 <р <0.35,

10

если 0.05 <р <0.15.

Сам множества запишем с помощью традиционных для теории нечётких множеств знака определённого интеграла:

I ЪЮ'Р- \ <

0.5<;><1 0.5<р<08\ У/ 08<р<И *

1 I / I ЖА

0.05</><0.35 0.055^40.154 'и У/ ОЛ^^О.г' ' 0.2<;><0.35 V //

* = 1 / УР+ I

0<и<0.15 0<о<0.05' г it.fiр<011 у> У/

1.0 ю з.о 4.о г

Рисунок 1. График полинома Ь6(-) и функций р(ъ) /(-) = гшпр(г), /2(-) = тах отвечающих множествам Альтмана.

Мера нечёткости множества X определяется как расстояние ¿¡(х,х0) от этого множества X до множества, ближайшего к нему чётко заданного множества Х0: сЦХ,Ха) = ). С

помощью полученных чётких множеств

: Хш = {р ■ 0-65 <р< 1.0}; Х2о = {Р '■ 0.275 < р< 0.65} ;

= {/>: 0.1 < р < 0.275}, Х40 = {р:0.0<р< 0.1} строится функция принятия решения 1(р).

Функция принятия решения - зависимость индекса /= {1,2,3,4}, указывающего на чёткое ближайшее подмножество Х10 множества X,, в зависимости от полученной вероятности с применением многочлена /,6(~). Функции принятия решения 1(р) однозначно указывает на одно из чётких подмножеств Хт и, следовательно, порождающее его нечёткое множество Х< (рис. 3). Она также однозначно определяет множество Альтмана А\, так как А, с Х,0 <= X,. Зная р и функцию-меру(р) для Х1 вычисляется числовое значение // (которое очевидно примет значения 0.5 </¿<1.0) принадлежности (нечёткости) величины р, соответствующее нечёткому множеству А', (рис.4).

Введено полное упорядочение множеств по степени их нечёткости. Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости с!. Чёткое подмножество, ближайшее к нечёткому А с функцией принадлежности еА/[0,1]<=Д), называют подмножество Л0е£/, характеристическая функция

II, если рА>0.5,

0, если цА < 0.5, (7)

1 или 0, если //, = 0.5.

В пространстве ¿>[0,1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить расстояние между множествами А и Ао как среднеквадратичное расстояние между функциями принадлежности

dUJ0) = p(pA,p,it) = ]j}(p,4-n^fdx (8)

Чёткие подмножества X, , X, ,

■в ' -0 '

X, . X. ближайшие соответственно к

'О '

нечётко заданным X,, Х2, Хъ и Х4, имеют вид (множества обозначены с помощью знака интеграла, как принято в теории нечётких множеств):

*I„= ifx,(p)'p= Wp+ I Ур> х20= \ихЛр)'р= /0/р+ S У„+ J0!р\

0.5<р<1 0.5<p<j} i3<p<l' у q2<р<08 0,2<р<р2 р2<р<р3' и рЗ<р<0.8

xit = J^r, (/>)//>= \°!р+ j У„+ 1°1р->хч= ^*ЛрУр= I Ур+ ¡°/р-

0.05<р<0.35 0Mspi.pl pUp<pZ p2<ps0,35 0<р<0Л5 0<р<0.05У 0.05<p<pl

Найдены меры нечёткости определённых выше подмножеств Хх, Хг, X,, Х4, вычисляя меры нечёткости по метрике Евклида:

<14х„х,0 ) = р^х-у^х.) = Jiks, - Mxi0 }dx «0.155 dE(X2, X20) = J} ~px,Jdx =0.194;

dE (X,, X,0) = J'lip^ - //s.3o }cix «0.144; JL(X4, X40) = Jj^ »0.091.

Из всей совокупности \х^х2,х,,х4] наиболее нечётко заданным является Х2 -«возможность банкротства средняя», а наиболее чётко задано Х4— «возможность банкротства мала». Это означает, что доверие к суждению о возможном банкротстве предприятия увеличивается слева направо в ряду Х2 >- X, у Xi >■ Х4.

Величина z случайная, так как зависит от случайных показателей kt. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью модели Альтмана, аппроксимирующей функции ¿6, функции принятия решения 1(р) и алгоритма вычисления предпочтения ц полу-

Рисунок 2. Графики функций принадлежности нечётких подмножеств

т

кр)=

7 = Lecnn р 10] i = З.кля р е

[0,0;

^=0,1

= 0,275 ^=0,65 1,0

Рисунок 3. Функция принятая решения: а) аналитический вид функции принятия решения !(р); б) график функции принятия решения на чётких множествах Х10.

чаем номер множества / того, которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости Х2 у X, у X, у Х4 .

Разыгрывалась имитация случайной величины г, которая отвечает набору случайных величин к,. Параметр г задавался случайным обра-

Рисунок 4. Схема последовательности вычислений при имитационном моделировании

зом с применением функции, порождающей случайно равномерно распределённую величину на отрезке [0, 3,5] области определения функции р' = L6(z>). По каждому входному значению случайного скаляра z' находилась вероятность р* =L6(zJ) и с помощью функции принадлежности 1(р) находился индекс i = I(pJ) и, следовательно, множество Хп которому принадлежит предприятие, причём вычисляется мера принадлежности p^ (pJ) отнесения предприятия к полученному множеству Х: в системе упорядоченных по степени нечёткости Х2 у уХ3 у Х4.

Таблица 1. Математические ожидания и среднеквадратичное уклонение величин z, р, i, р..

м а = 4Т)

Z 1.741 1.025

р 0.599 0.33

i 1.815 1.071

ß 0.91 0.147

Проведённое имитационное исследование, подтверждает выводы о возможностях усовершенствованного метода и даёт набор статистик (см. таб.1). Во второй колонке даны математические ожидания, в третьей - среднеквадратичные уклонения величин z, р, i, /л.

Получены результаты имитационного моделирования разных величин /?(т), г(т), ц(т) и на следующем рисунке 5 представлено z(m).

Рассматривалась задача отыскания экстремума (минимума для определённости) в некоторой выпуклой замкнутой области G cÄ" конечномерного линейного нормированного пространства

(9)

Рисунок 5. Пример имитационной реализации случайного процесса z(m).

F(x)

► mm ,

*eG

где функция сильно выпукла F: G cz R" R на выпуклом замкнутом множестве G^R" нормированного линейного пространства, что обеспечивает единственность локального минимума х. eG, у функции F(x) имеется достаточная гладкость.

Обозначим /(х) = Рх(х). В работе1 получены условия, при выполнении которых справедлива теорема о сходимости вычислительного процесса Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Решение задачи минимизации функции эквивалентно нахождению корня системы нелинейных уравнений 17х(х) = 0или /(х) = 0. Благодаря предложенной модификации итерационный процесс, основанный на методе продолжения, приводит в область локализации искомого минимума, в которой выполняются достаточные условия сходимости классической процедуры.

Предположим наличие достаточной гладкости у сильно выпуклой функции Р(х) в минимизационной задаче (9).

а) Р(х) с С3 (С), б) ||^м-1||<м.

Задача (9) имеет единственное решение (оптимальную точку * ) и при сформулированных условиях а) - б) существует область и., содержащая .г,, с любой точки которой х = х0 е и, а С классический (/7 = 1) метод Ньютона для задачи сходится к корню х , однако диаметр области мал. Достаточные условия сходимости процесса, позволяют выделить в общем случае область & а II. с ещё меньшим диаметром Лат Я. < ¿Пат 17. < Лат С, а сходимость итераций с произвольной точки х0 е С не гарантируется.

Отображения : Я" ->Я", : К" —> 1.(11"Л"), В: Я" х Я" —»■ Я" задаются формулами

= Д(£)(А,А) е Я", /'„(.V) =

дх

М

д2/, дх.дх,

3'/

дх1дх(дх1

где /(х) = (х), Т7,,/7^,- первая и вторая производные, ЦЯ",Я") — линейное нормированное пространство матриц, В — билинейный оператор.

|^х(х)| = тах|^тг-(х)| = шах|у;-(х)|, |Ь(.т:)| = тах £ ' ' I j=1

п

= тах £ / у=1

|Кхг(*)1 = тах1тах 2 ^ [ ' 7=1

дх^дх!

«

1 Лебедев К.Л. Об одном методе нахождения начального приближения для метода Ньютона //Журнал

вычислительной математики и математической физики. 1996. Т.36. № с.6-14

Доказана теорема, как следствие теоремы в [1] о сходимости модифицированного метода Ньютона для решения нелинейных систем в нормированных пространствах. Определялся итерационный процесс

F (x.)Ax.=-F (х .), хх J J X J

X . , = X .

J+l J

-p .Ax., HJ J

Pj = min-j 1,

1,2

InNlF^ixj)

-1

xoeG-

I

(10) (П)

(12)

Теорема. Если выполняются условия а) - б), то процесс (10) - (12) для задачи (9) с любой точки хо € б за конечное число шагов /=1 приводит к начальному приближению х, =х0 е5. с О, начиная с которого процесс (10) - (12) совпадает с классическим методом Ньютона и сходится к корню хж.

Заметим, что формулами (10) - (12) трудно воспользоваться на практике, так как постоянные ЛГ, М, как правило, в задачах практического содержания далеко не всегда известны. Но таковые теоремы позволяют указать на имеющуюся принципиальную возможность устранить существенный недостаток метода Ньютона, который заключается в трудности выбора хорошего начального приближения и предлагают некоторые способы для этого. Теорема сформулирована для сильно выпуклых функций, у которых (кгоднако практически эта величина может быть очень малой, особенно, при сведении задачи с ограничениями к безусловной оптимизации после применения метода штрафных функций. Либо сам функционал может не принадлежать классу сильно выпуклых функций и тогда условие <.1а /■'„ ^ 0 не гарантируется во всей области б . Поэтому практически возможно прибегать к регуляризации алгоритма с помощью параметра а > 0

E + FAXj)

х . , = х . + В .Ах ., 7+1 J J J

(13)

(14)

где Е - единичная матрица а п= 0, 1,2. Сходимость и количество итераций процесса тестировалась на известном в литературе на тестовом примере при »=0,1,2

/•'(х, ,х2) = (х, - 2)" + (х, - 2х, )2, при заданной точности ]|F,(x/)||<ff = 10-4. Возможен подбор параметров а и ¡3 с целью оптимизации процесса поиска экстремума или с целью обеспечения свойства релаксации итерационного процесса

Метод применялся для минимизации функционала Альтмана и функции Бивера. Чем больше параметр регуляризации а > 0, тем в большей степени процесс приобретает свойства градиентного метода. При достаточно больших а процесс определяется формулой

аЛх, = —Ь\(х/), х.+1 =х. — рЛхр

что соответствует простому градиентному методу, с итерационным шагом у =—. Из

а

рисунка видно, что с увеличением параметра регуляризации линии спуска все в большей мере становятся перпендикулярными к линиям уровня, но вместе с тем возрастает количество необходимых шагов (табл.2) для достижения заданной точности.

Результаты тестирования показали, что при п=2 процесс сходится за меньшее количества шагов, чем при п=0, /1=1 и на рисунке бив таблице 2 показан случай п=2. Все траектории приводят сначала к линии дна оврага, а затем в точку локального минимума х*=(2, 1). Достигаемая точность полагалась равной ||/;(х.)||<г = 10-4. Для

реализации такого приёма в главе 2.1 выбран процесс (13), (14) при п=2. Для аппроксимации функции Альтмана полиномами высокой степени, задача плохо обусловлена и требуется регуляризация метода Ньютона. Апробация метода на тестовых примерах показывает, что с процесс даже с большим параметрам а = 100 и ¡3 = 1, обладая на первых шагах свойствами градиента, тем не менее, сходиться с точностью | Рх \\ = е = 9,494 10 5 за 13 шагов.

Результаты тестирования показали, что при п=2 процесс сходится за меньшее количества шагов, чем при п=0, п=1 и на рисунке бив таблице 2 показан случай п-2. Все траектории приводят сначала к линии дна оврага, а затем в точку локального минимума х«=(2, 1). Достигаемая точность полагалась равной

< г = Ю-1. Для реализации такого приёма в главе 2.1 выбран процесс (13), (14) при и=2. Для аппроксимации функции Альтмана полиномами высокой степени, задача плохо обусловлена и требуется регуляризация метода Ньютона. Апробация метода на тестовых примерах показывает, что с процесс

Рисунок 6. Траектории спуска для четырёх случаев 1-4 из таблицы (см. таб. 2.): 1-(1,1), 2-(1,5), 345,5), 4-(5,1).

даже с большим параметрам а = 100 и /3 = 1, обладая на первых шагах свойствами градиента, тем не менее, сходиться с точностью || || = £ = 9,494 • 10 5 за 13 шагов.

Таблица 2. Количество итераций зависимо от параметров а к р

1) а = 0 2) а = 10 3) а =50 4) а = 100 5) а = 1000

1) /7 = 0,1 129 131 138 149 336

2) /3 = 0.2 64 64 68 73 166

3) /? = 0.5 25 25 26 28 65

4)/7 = 0,8 15 15 16 17 40

5)/7 = 1 12 12 13 13 32

Проводились аппроксимация функции Альтмана с помощью полиномов все повышающихся степеней. Для этого минимизировалась целевая функция, полученная методом внешних штрафных функций

<Р,(а) =

сЧ-Л-)

. Г г ^ 1=1 0 у=1

<3:

= 0, ^=0,

<Р2 (а) = 4 = 0 , а0 + Я] -4 + Д2-42 + ЙГз-43 + «4-44 + + «б-д'' = 0 ,

^„(я)

= 0; ^ +2я2Г4 +Зо,г42 +403^4"' +5 а5г44 +6я5245 = 0.

г=г4

Исследована сходимость итерационных процессов и по виду зависимости нормы функционала от степени полинома была выбрана оптимальная степень полином п=6. Более низкие степени не аппроксимируют /¡(.г) и /г(х) с достаточной для практики точностью. Более высокие п > 7 использовать нерационально, требуется вводить дополнительные ограничения, причём значения целевой функции могут начать возрастать из-за хорошо известного факта отсутствия равномерной сходимости интерполяционного многочлена. Кроме того, полином становиться немонотонно убывающим, что недопустимо в теории Альтмана.

В третьей главе разработаны математические методы принятия решения для трудноформализуемых объектов, на основе теории Бивера. Параметры к,,...,^ являются случайными величинами, имеющим среднее квадратичное отклонение сг,.. Сформируем «портфель» из коэффициентов к1, т.е. образуем совокупность М = {&,,•••, к5} из коэффициентов Бивера. В модели к, - коэффициент Бивера, к2 -текущей ликвидности, к} - рентабельности активов, к4 — финансовой зависимости и /с, - долей собственных оборотных средств в активах. Пусть а, - вес или коэффициент значимости к, (доля коэффициента к,) в совокупности М - {/г, к5 [ (т.е.), а, > 0,

/ = 1,--,5, а, +---+а5 = 1. Пусть R = a1kl-t— + а5к5 - линейная комбинация параметров Бивера, отражающая эффективность совокупности параметров (fc,

Предположим, что мера риска допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности портфеля R имеет следующий вид:

где - ковариация между к}, т.е. v9 =соф,Ду), i,j = 1,--,5. Задача определения доли (веса) ап i = {,■■■, 5, различных показателей Бивера сводится к решению задачи оптимизации портфеля:

Y.a,ajv,j —> min, = cov(fr,, ¡j=l

■|>i = 1. . (17)

or, >0.....a„ >0,

./'= !,•••,5 .

Данная задача представляет собой задачу минимизации квадратичной формы от

п переменных а1,...,ап, удовлетворяющих условиям Y.a, ='> а, -0, ' = !,•■■,5, то есть

м

задачу квадратичного программирования. Решая уравнение (17), получим различные значения а', ¿ = 1,--,5. Сравнивались скорости сходимости методов при одинаковой достигаемой точности. Решалась задача (17) разными методами, получились различные значения а*, ; = 1,--,5. Чем больше значение а', тем больше влияет г-й показатель Бивера к, на меру риска, т.е. тем больше позволяет допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности портфеля R из показателей Бивера.

С помощью нейросетевых технологий предложен метод исследования трудно-формализуемой задачи на основе теории Бивера. Он позволяет, как и модель Бивера, выделить три класса кредитоспособности. Обучающий набор данных поступает из базы данных, содержащей информацию о предприятии, с её помощью вычисляются коэффициенты Бивера h и построенный метод определяет финансовое состояние исследуемого предприятия. Используя значения коэффициентов к,, / = 1,---,5, был сделан вывод о финансовом состояния предприятия в 2011 году: А:, =2,19, к, = 0,24, к, =0,90, /5г„ =0,41, ks =-0.31.

Усовершенствованы оптимизационные математические методы принятия решений для минимизации рисков в многокритериальной трудноформализуемой теории Бивера, основанный на свёртке критериев. Пусть А/ - событие, означающее, что 1 -й показатель (коэффициент) к: принадлежит j -й группе, / = 1,---,5, / = 1,2,3. В теории принятия решений предлагается что, ЛПР принимает решения, исходя из состояний некоторой среды, которая полностью определяется этими состояниями (состояния

среды часто называют её стратегиями). В нашем случае среда может находиться в одном из следующих состояний: все возможные стратегии ^'.А'г.-'.л'б) ял я первой группы, (у,2,для второй группы, О''.^'""'^!3«) для третьей группы. Таким образом, среда состоит из 48 состояний у'т: V,2,--,=1,2,3; от = 1, ..., 16. Вычисляются вероятности каждого из 48 состояний по формуле

/=< 1

в которой вероятности р{л>), представлены в матрице Р. Например, для первого состояния имеющего два отрицания и принимая допущение о независимости А'т, имеем значение

¿\=р№=М МУ м-мшм)- <18>

Для вычисления дохода по всем состояниям применяем простую формулу

а, = х ■ с/',

1т т9

где х руб. доход предприятия.

Предположим, что Мх, - средний ожидаемый доход, который получит банк за

кредит, если ЛПР принимает стратегию .г,, г - риск не получить требуемый доход при стратегии хп г = л\Вх1 , / = 1,2,3, где О - символ дисперсии. Тогда выше поставленная задача в этом параграфе сводится к двухкритериалъной задаче

Мх1 —» шах

• —> тт (19)

16

IX =■

и=1

Решалась задача (19) с помощью методики свёртки критериев. В данном случае, использовалась линейная свёртка, которая имеет вид

Я, = а1Мх1 - а2г: -> шах (20)

коэффициенты а„а2 вычисляем по стандартному методу, путём решения задачи среднеквадратичного программирования различными методами оптимизации, изложенными в главе 1. В качестве заданных точек X,-, выбор которых необходим в методике естественно выбрать столбцы матрицы Хт, которая может быть исследована одним из описанных выше способов. Таким образом, если Нт является максимальным фактором и указанием лицу принимающего решение о том, что банку рекомендуется придерживаться / -ой стратегии.

Заключение. В диссертационной работе на основе выполненных прикладных исследований в области математических методов моделирования трудноформализуе-мых объектов получены следующие результаты:

1. Проанализированы существующие решения проблемы моделирования труд-ноформализуемых объектов. Объектом исследования являются математические модели, описывающие теории Альтмана и Бивера. Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствования путём использования математических оптимизационных методов. В литературном обзоре описаны основные понятия, необходимые для разработки математического аппарата для моделирования трудноформализуемых объектов на примере качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятий. Дано изложение и даны определения существующих понятий пространств на основе фундаментального понятия -"структура", введённая Н. Бурбаки. Это позволяет построить иерархию существующих пространств: метрического, линейного, нормированного, Евклида, Гильбертова, Банахова и применять оптимизационные численные методы в подходящей структуре.

2. Усовершенствованная модель Альтмана, выбранный способ определения параметров модели и процедура оптимизации с оптимальным шагом рассматривается как единая триада "модель-алгоритм-программа". Теория Альтмана усовершенствована путём привнесения в теорию идеи непрерывного наилучшего среднеквадратичного приближения множеств Альтмана с помощью алгебраических полиномов в линейном оснащённом нормированном пространстве. Определены коэффициенты аппроксимирующих полиномов достаточно высокой 1-7-й степени в задаче интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана для минимизации функционала, полученного с помощью метода внешних штрафов. Выбрана оптимальная степень полинома - 6, обеспечивающая, с одной стороны достаточный минимум целевой функции и, с другой стороны — монотонность самого полинома.

3. Имитационное моделирование подтвердило выводы моделей с набором устойчивых статистик. Разработанный метод апробировался и осуществлялся набор реальных статистик в организации "Копс1о Цр§шта" Республики Мали.

4. Доказана теорема о сходимости метода Ньютона, которая является аналогом приближенного численного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах. Для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций предлагается метод специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге.

5. Экспериментально, с помощью численных экспериментов, выбраны оптимальные параметры оптимизационного алгоритма Ньютона: параметр регуляризации и итерационный параметр шага. Возникающая оптимизационная задача решалась разными способами и показано, что достигается высокая точность при решении любым из предложенных способов.

6. Предложен и исследован новый математический метод моделирования труд-ноформализуемых объектов, основанный на теории однокритериального портфеля: разработаны новые оптимизационные подходы для минимизации рисков путём определения долей показателей в однокритериальной модели Бивера. Определены доли а, показателей к, в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным. Показано, что полученные результаты в пределах численной погрешности совпадают с результатами других методов оптимизации, в том числе из стандартных математических пакетов.

7. Для реализации предложенных методов был разработан проблемно-ориентированный (нацеленный на оценку кредитоспособности предприятий) комплекс программ, позволяющий сочетать встроенные функции и разработанные методы минимизации программной среды МаЛСАБ для моделирования трудноформали-зуемого объекта на примере методов оценки кредитоспособности предприятий. Получены новые численные решения при моделировании трудноформализуемых объектов, когда используются модели, основанные на пятифакторной модели Альтмана. Разработанная теория приводит к увеличению надёжности выводов теории Альтмана.

8. Предложен и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемых объектов, основанный на многокритериальных методах оптимизации Бивера. Построена количественная математическая теория принятия решения на основе теории Бивера о возможности выдачи кредита предприятию, основанная на свёртке критериев в многокритериальных задачах. Данный математический метод принятия решения является двухкритериальной задачей: 1-й критерий является необходимостью максимизировать средний получаемый доход, 2-й - необходимостью минимизировать риск не получить предполагаемый доход за предоставление кредита. Данная задача решается с помощью линейной свёртки критериев, где весовые коэффициенты выбираются не экспертами, а по стандартному методу путём решения задачи среднеквадратичного программирования различными методами оптимизации, изложенными в главе 1. Использование на практике указанной методики позволяет лицу, принимающему решение ускорить принятие решения при выдаче требуемого кредита предприятию-заёмщику и взвешенные решения о его выдаче.

9. Разработан математический метод построения количественной оценки о возможности принятия решений, основанная на модели Маркова. В данном методе ЛПР со стороны кредитора рассматривает два возможных варианта принятий решения (стратегии), оптимизируя в определённом конечном горизонте ожидаемого дохода при предоставлении кредита: Х1 - выдавать, Х2 - не выдавать предприятию кредит. Получен новый количественный способ оптимизации планирования дохода.

10. Дан метод исследования задачи оценки кредитоспособности предприятия, разработанный с помощью нейросетевых технологий, при этом для обучения сети используются показатели Бивера. Используя алгоритм обратного функционирования

нейронной сети, прогнозируются (на несколько лет вперёд) значения коэффициентов У. Бивера, а затем, на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия. Показано, что и с небольшими количеством данных, предложенная нейронная сеть, с обучением по параметрам Бивера способна надёжно прогнозировать будущее состояние предприятия.

11. Разработаны комплексы программ «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заёмщика (Зга-Бои)», «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (РОМБС)», «Программа оценки финансового состояния предприятия (РУКлзК)», реализующие новые численные решения, выше указанных проблем моделирования трудноформализуемых объектов. Созданы три программных продукта (ЭВМ) и зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Результаты диссертации используются в кредитной организации «Копск> Ц^ш'та» Республики Мали.

12. Разработанная теория и программы используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «КубГУ» факультета математики и компьютерных наук на кафедре вычислительной математики и информатики. Разделы, посвященные применению аппарата нечётких множеств, имитационного моделирования, среднеквадратичное интегральное приближение, доказанная теорема о сходимости метода Ньютона, регуляри-зованный метод оптимизации включены в рабочую программу и используются в лекционных курсах для студентов магистратуры направления «Вычислительная математика» в курсах «Компьютерные и вычислительные методы», «Экономико-математические модели и вычислительные алгоритмы». Разработанные оптимизационные подходы используются в курсе «Методы оптимизации» для бакалавриата.

Основное содержание диссертации изложено в работах: Публикации в лсурналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук:

1. Бамадио Б. Определение рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия с помощью моделей математической оптимизации / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета [Электр, ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2015. - №01(105). -Реж. доступа: http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/23.pdf

2. Бамадио, Б. Оценки кредитоспособности предприятия на основе пятифакторной модели Альтмана при использовании аппарата нечётких множеств и среднеквадратичного интегрального приближения / Б. Бамадио, М.В. Кузякина, К.А. Лебедев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета [Электр, ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. -№10(104) - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/39.pdf

3. Бамадио, Б. Оценки кредитоспособности предприятия на основе пятифакторной модели Альтмана при использовании аппарата нечётких множеств и имитационного моделирования / Б. Бамадио, К.А. Лебедев, И.В. Шевченко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета [Электр, ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2015. - №04(108). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2015/04/pdf/22.pdf

4. Бамадио, Б. Принятие решений о выдаче кредита в условиях многокритериальной оптимизации / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Современные проблемы науки и образования, 2014. - №3. - С.690 [Электр, ресурс]. - Реж. доступа: http://www.science-education.ru/l 17-1315

5. Бамадио, Б. Меры нечёткости множеств, порождаемых моделью Альтмана / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин// Фундаментальные исследования, 2013.-№1-3. -С.750-753.

6. Бамадио, Б. Применение нейросетевых технологий для оценки кредитоспособности предприятий / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Фундаментальные исследования, 2013. — № 11 (часть 4). — С. 651 — 655.

Международные издания:

7. Bamadio, В. Development of Altman five-factor model of assessing the creditworthiness of an enterprise / B. Bamadio, K.A. Lebedev // Modern Economy, 2015. -vol. 6. - P. 797 - 807 URL: http://dx.doi.org/10.4236/me.2015.67075

8. Bamadio, B. On a decision model to grant loans to enterprises on the basis of Markov models for finite horizon / B. Bamadio, M.V. Kuzzyakina, K.A. Lebedev // International journal of applied and fundamental research, 2015. - № I; URL: http://www.science-education.ru/460-24750

9. Bamadio, B. Beaver's technique of risk assessment in the estimation of the financial positions of companies / B. Bamadio, E.A. Semenshin // European journal of natural history, 2013. -№ 5. - P. 12 - 14.

Другие издания:

10. Бамадио, Б. Меры нечёткости множеств, порождаемых моделью оценки кредитоспособности предприятия Альтмана / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Евразийский Союз Ученых (ЕСУ), 2014. - № 4 (12). - С. 15-17.

11. Бамадио, Б. Оценка кредитоспособности предприятий-заемщиков России и Мали / Б. Бамадио // Известия кубанского государственного университета. Естественные науки, 2013. - Вып. № 1 (2). — С. 57 — 61.

12. Бамадио, Б. Основные аспекты оценки кредитоспособности предприятий-заемщиков России и Мали / Б. Бамадио // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований, 2013. - № 1. - С. 139 - 140.

13. Бамадио, Б. Определение рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Тенденции и перспективы: Материалы международной научно-практической конференции. Сочи, 2013 г. - С. 23 -24.

14. Bamadio, В. Newton's method for finding extrema of strongly convex functional / B. Bamadio, K.A. Lebedev // Международный научно-исследовательский журнал: Сборник по результатам International Research Journal Conference XL. Екатер.: МНИЖ - 2015. - № 6 (37) Часть 2. - С. 11 - 14. URL: http://research-journal.org/wp-content/uploads/2015/07/6-2-37.pdf

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

15. Бамадио Б. Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisk) / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ ЭВМ № 2015613753 от 25 марта 2015 г.

16. Бамадио, Б. Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC) / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015611295 от 27 января 2015 г.

17. Бамадио, Б. Программный комплекс для прогнозирования состояние предприятия (Sini-Don) / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014614142 от 14 апреля 2014 г.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве: [110] - соавторам принадлежит постановка задачи, [13-14] - соавтору принадлежит обсуждение моделей, [15-17] — соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение моделей. Все полученные в работе результаты, разработка программного комплекса, реализация программ на ЭВМ, проведение вычислений и анализ результатов принадлежат соискателю. ___

Г)

Соискатель ^--'"Г^ У''А ^( ° Б. Бамадио

г- 'с^Г Т

АВТОРЕФЕРАТ

Бамадио Бурейма

РАЗРАБОТКА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

Подписано в печать 23.09.2015. Формат 60 х 84 У]6. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 2344.2

Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская 149

Н!

Уь /